Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem … · 2017. 4. 7. · 8º Ano | 4° Bimestre...

Resolução de Problemas

Matemáticos

Aluno

Caderno de Atividades

Pedagógicas de

Aprendizagem

Autorregulada - 04 8º Ano | 4° Bimestre

Disciplina Curso Bimestre Ano

Resolução de Problemas Matemáticos

Ensino Fundamental 4° 8°

Habilidades Associadas

1. Compreender a interpretação geométrica dos produtos notáveis, através da resolução de problemas.

2. Resolver problemas que envolvam as medidas de tendência central, utilizando raciocínio intuitivo.

3. Resolver problemas geométricos envolvendo cálculos algébricos.

2

A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o

envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem

colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes

preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.

A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma

estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar suas

competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma autônoma,

por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções para desafios da

contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.

Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das

habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades roteirizadas.

Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é efetivada na

medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.

Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, também,

equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o a tomar

consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.

Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa ater maior domínio

daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para o

desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as ferramentas da

autorregulação.

Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se para

o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o aprender-a-

conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.

A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da

Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede estadual.

Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim de que os

professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às suas aulas.

Estamos à disposição através do e-mail [email protected] para quaisquer

esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.

Secretaria de Estado de Educação

Apresentação

3

Caro aluno,

Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas

habilidades e competências do 4° Bimestre do Currículo Mínimo de Resolução de Problemas

Matemáticos da 8º Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos

durante o período de um mês.

A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas Atividades de forma

autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas de

conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso.

Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e independência

indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do conhecimento do

século XXI.

Neste Caderno de Atividades, dar continuidade aos produtos notáveis, porém

daremos ênfase a representação geométrica. Iremos trabalhar problemas diretamente

relacionados a este assunto. Para finalizar entraremos no estudo do tratamento das

informações, abordando o estudo de medias através da resolução de alguns problemas do

dia a dia.

Este documento apresenta 3 (três) aulas. As aulas são compostas por uma explicação

base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias relacionadas às

habilidades e competências principais do bimestre em questão, e atividades respectivas.

Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As Atividades são referentes a

dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, propõe-se, ainda, uma pesquisa e uma

avaliação sobre o assunto.

Um abraço e bom trabalho!

Equipe de Elaboração

4

Introdução ................................................................................................

03

Aula 01: Resolvendo Problemas com Cálculos Algébricos..........................

Aula 02: Trabalhando com Produtos Notáveis............................................

Aula 03: Trabalhando com Média................................................................

Avaliação .....................................................................................................

Pesquisa........................................................................................................

Referências: .................................................................................................

05

13

22

26

30

32

Sumário

5

Caro aluno, nesta aula estudaremos um importante assunto: o cálculo algébrico. O

cálculo com expressões algébricas é mais comum do que você pensa e está muito

presentes em nosso cotidiano. Utilizamos estes cálculos em diversas situações, como por

exemplo: para representar áreas, perímetros e até volumes, ou ainda para escrever

sentença matemáticas.

Vamos à aula!!

1 – VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO:

Para resolvermos problemas envolvendo cálculos algébricos é preciso que você se

lembre como calcular o valor numérico de uma expressão algébrica! Através de alguns

exemplos vamos reforçar alguns cuidados necessários na hora de realizar esses cálculos.

Observe:

EXEMPLO 01:

Consideremos a expressão algébrica P= 2A + 10. Qual é o valor da expressão para A= 5 ?

Resolução:

Para descobrir o valor desta expressão devemos substituir a variável A pelo valor

numérico dado, isto é, substituindo A por 5. Então teremos:

P = 2.5+10 = 10+10 = 20

Neste exemplo a letra A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e

20 é o valor numérico da expressão indicada por P.

EXEMPLO 02:

Seja X = 4.A + 2 + B ─ 7 e tomemos A= 5 e B= ─3. Calcule o valor desta expressão:

Resolução:

Este cálculo requer um pouco mais de atenção, pois uma das variáveis apresenta

Aula 1: Resolvendo Problemas com Cálculos Algébricos

6

valor negativo. Substituindo os valores das variáveis A=5 e B= ─3 e calculando a expressão

temos:

X = 4.A + 2 + B ─ 7

X = 4 . 5 + 2 + (─3) ─ 7

X = 20 ─ 1─ 7

X = 12

Neste caso, as variáveis são A e B, o valor numérico de cada uma é A = 5 e B= ─3 e o

valor da expressão X = 4.A + 2 + B – 7 é 12.

EXEMPLO 03:

Calcule o valor numérico de x² - 7x +y para x = 5 e y = ─1:

Resolução:

Novamente, substituindo os valores das variáveis x= 5 e y = -1 e calculando a

expressão temos:

x² - 7x + y

5² - 7 . 5 + (─1)

Neste caso, devemos ter uma atenção especial para a ordem do cálculo das

operações! A princípio devemos calcular a potência e em seguida a multiplicação:

5² - 7 . 5 + (─1)

25 – 35 ─ 1 =

─ 10 – 1 =

─ 11

Assim o resultado da expressão será: ─ 11.

Em resumo, calcular o valor da expressão pode ser considerado uma tarefa fácil,

basta ter atenção aos cálculos! Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica,

você deve proceder do seguinte modo:

1º ─ Substituir as letras por números reais dados.

2º ─ Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:

7

a) Potenciação e radiciação, na ordem em que aparecem.

b) Divisão e multiplicação, na ordem em que aparecem.

c) Adição e subtração.

Agora que já relembramos como calcular os valor numérico, vamos trabalhar alguns

problemas!! Observe os exemplos a seguir:

EXEMPLO 04:

Observe as figuras abaixo e calcule a área e o perímetro de cada uma delas.

Retângulo Triângulo Equilátero Quadrado

Resolução:

Vamos inicialmente calcular o perímetro de cada uma das figuras acima, temos:

I ─ Retângulo: O perímetro é a soma dos lados do retângulo e como o retângulo tem dois

lados paralelos igual a 13q e outros dois lados paralelos igual a 6, a soma será dada por:

P = 13q + 13q + 6 + 6 = 26q + 12

O valor numérico de uma expressão algébrica

é o valor obtido na expressão quando

substituímos a variável por um valor

numérico.

8

Reduzindo os termos semelhantes teremos: P = 26q + 12

II ─ Triângulo Equilátero: O triângulo equilátero tem os três lados iguais. A soma desses

lados é: P = 6a +6a +6a . Então, temos que P = 18a.

III ─ Quadrado: O quadrado também tem os quatro lados iguais, assim a soma destes lados é:

P = 4n + 4n + 4n + 4n = 16n. Logo, o perímetro do quadrado será P= 16n.

Agora, vamos calcular as respectivas áreas:

I ─ Retângulo: A área do retângulo é encontrada calculando: A = base x altura. Neste caso,

teremos : A = 13q x 6. Logo, a expressão da área do retângulo será : A = 78q

II ─ Triângulo: A área do triângulo é calculada da seguinte forma: A = ( base x altura )/2.

Logo, teremos: A = 6a.b/3 . Simplificando: A = 3ab

III ─ Quadrado: A área do quadrado é calculada assim: A = lado x lado. Então, como o lado

do quadrado é 4n, teremos que a área será: A = 4n x 4n = 16n2

EXEMPLO 05:

O perímetro do campo de futebol é de 312 metros sendo que o comprimento é o dobro da

largura mais 6 metros. Use os cálculos com as expressões matemáticas para encontrar as

medidas da quadra.

Atenção!

Não podemos confundir as operações de adição e multiplicação.

9

Vejamos como podemos encontrar essas medidas!

Resolução:

Vamos começar registrando os dados que o problema nos informa:

� A largura pode ser representado por x.

� O comprimento pode será representado por 2 x + 6, pois o problema diz que o

comprimento é o dobro da largura mais 6 metros.

� O perímetro será indicado pela expressão algébrica :

P = x + x + 2x +6 +2 x +6 = 6x + 12

Sabemos que o perímetro da figura mede 321 m, e que este valor é equivalente à

expressão encontrada para expressar o perímetro: P = 6x + 12. Então, basta igualar o valor

dado para o perímetro e a expressão algébrica encontrada.

6x + 12 = 312

6.x = 312 – 12

6x = 300

x =300

6 = 50

‘ Desta forma já achamos a largura, mas ainda temos que calcular o comprimento:

2.x + 6 = 100 + 6 = 106

Logo as medidas do campo são: largura - 50 metros e comprimento – 106 metros

EXEMPLO 06:

Um retângulo tem comprimento igual a 8 + y e largura igual a 2x + 5. Determine:

a) Qual expressão algébrica que representa o perímetro deste retângulo?

b) Qual o valor desta perímetro para y = 7 e x = 4?

Resolução:

Primeiramente devemos encontrar a expressão algébrica que representa o

perímetro deste retângulo. Como o perímetro é a soma

paralelos de um retângulo são iguais

Reduzindo os termos semelhantes,

Logo, respondendo a questão a)

o perímetro deste retângulo:

Para resolver a questão b)

substituindo os valores dessas variáveis na expressão encontrada,

P = 2. 7 + 4. 4 + 26 = 14 + 16 +26 = 56

O perímetro do retângulo para os valores de y = 7 e x = 4 é 56 .

Viu como os cálculos com expressões algébricas é mais comum do que você

pensava.

Agora é a sua vez de praticar o que conversamos!

Convém utilizar parênteses quando

substituímos letras por números

negativos!


perímetro deste retângulo. Como o perímetro é a soma dos lados, e os lados opostos e

paralelos de um retângulo são iguais, temos:

P = 8 + y + 8 + y + 2x + 5 + 2x + 5

eduzindo os termos semelhantes, encontraremos a seguinte expressão:

P = 2y + 4x + 26

Logo, respondendo a questão a) obtemos como expressão algébrica que represe

o perímetro deste retângulo: P = 2y + 4x + 26

Para resolver a questão b) basta considerar y = 7 e x = 4 na expressão

substituindo os valores dessas variáveis na expressão encontrada, temos:

P = 2y + 4x + 26

P = 2. 7 + 4. 4 + 26 = 14 + 16 +26 = 56

O perímetro do retângulo para os valores de y = 7 e x = 4 é 56 .



Convém utilizar parênteses quando

substituímos letras por números

negativos!

10


, e os lados opostos e

expressão algébrica que representa

na expressão. Então

temos:


11

01. Considerando que um retângulo tem comprimento igual a 12 + y e largura igual a 2x,

responda:

a) Qual é a expressão matemática que representa o perímetro deste retângulo?

b) Qual o valor desta perímetro para y = 5 e x = 3?

02. Observe a figura abaixo e determine a expressão algébrica que representa o perímetro:

03. Seja Y = 18 – C + 9 + D + 8. C, onde C = ─2 e D= 1. Calcule o valor numérico desta

expressão:

Atividade 1

12

04. Para efetuar a construção da quadra esportiva, o Diretor pediu a ajuda do Professor de

Matemática. O Diretor disse que o perímetro da quadra deveria ser de 418 metros e que o

comprimento deveria ser o triplo da largura mais 9 metros. Ajude o Professor a usar as

expressões matemáticas para encontrar as medidas da quadra.

a) A largura pode ser representado por _______ .

b) O comprimento pode ser representado por _________________

c) O perímetro pode ser indicado pela expressão algébrica ________________________

d) A equação que representa essa situação é ______________________

05. Calcule o valor numérico de 2.x² – 5.x + 3y para x = 3 e y = ─2:

13

Olá alunos! Agora que já relembramos o uso do cálculo algébrico, podemos

trabalhar mais aplicações através da resolução de problemas. Nesta aula, vamos relembrar

operações com os produtos notáveis. Afinal, se eles estão tão presentes em vários

problemas matemáticos é fundamental aprofundarmos um pouco mais este estudo.

Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso

facilita cálculos, reduz o tempo de resolução e agiliza o aprendizado. O conhecimento

dessa ferramenta não implica dizer que não necessitamos saber o desenvolvimento do

cálculo proposto, apenas que temos outros caminhos que nos levam à solução final.

Utilizamos o termo notável para apontar sua importância, sua notabilidade e sua carência

de atenção.

Aqui vamos destacar o uso dessas fórmulas e sua representação geométrica.

1 ─ QUADRADO DA SOMA:

O quadrado da soma é representado algebricamente por: (a + b)2

= a2

+ 2ab + b2

No entanto, este produto (a + b)2

, pode ser representado através da área do

quadrado de lado (a + b). Considere o quadrado de lado (a +b) representado a seguir:

Figura 1

Aula 2: Trabalhando com Produtos Notáveis

14

Decompondo o quadrado de lado (a+b) em diferente figuras, teremos:

Figura 2

Assim as áreas das figuras apresentadas são:

� Quadrado de lado a: A = a2

� Retângulo de lados a e b: A = a . b

� Quadrado de lado b: A = b2

A soma destas áreas é: A = a2 + 2ab + b2

Desse modo podemos comprovar geometricamente que a área do quadrado de lado

(a+b) é igual a A = (a + b)2

= a2

+ 2ab + b2

Vamos estudar alguns exemplos para que você compreenda melhor essa

representação geométrica:

EXEMPLO 01:

Sabendo que o quadrado ao lado possui lado (2d +3c). Calcule:

a) Área do quadrado externo colorido:

b) Área do quadrado verde :

c) Área do retângulo azul:

d) Área do retângulo amarelo:

e) Área do quadrado vermelho:

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e) Área do quadrado externo colorido em função da soma das áreas das figuras

apresentadas:

Resolução:

Vamos utilizar a explicação acima como estratégia para responder as questões

propostas. Perceba que podemos calcular esta área total usando (2d + 3c)² , pois o lado do

quadrado mede 2d + 3c .

Ao representar geometricamente esta figura, podemos perceber que ela está

subdividida em 4 outras figuras. Observe as medidas das figuras e veja o que se podemos

concluir:

a) Área do quadrado externo de lado (2d + 3c) é igual a (2d + 3c )².

b) Área do quadrado verde mede: A = (2d)2= 4d2

c) Área do retângulo azul, cujos lados medem 2c e 3c, é A = 2d . 3c = 6dc.

d) Área do retângulo amarelo é análoga a área do retângulo azul

e) Área do quadrado vermelho, que tem lado medindo 3c, terá a área igual a A = (3c)2= 9c2

f) Área do quadrado externo colorido em função da soma das áreas das figuras

apresentadas: (2d + 3c )² = 4d2+ 2. 6dc + 9c2 = 4d2+ 12dc + 9c2 .

EXEMPLO 02:

Utilizando o produtos notáveis do quadrado da soma, calcule:

a) (x + 3)2 =

Considere a = x e b = 3, vamos substituir na fórmula (a + b)2

= a2

+ 2ab + b2 , temos:

x2 + 2.x.3 + 32 = x 2+ 6.x + 9

b) (2x + 7)2 =

Considere a = 2x e b = 7, vamos substituir na fórmula (a + b)2

= a2

+ 2ab + b2 , temos:

(2x)2 + 2.2x.7 + 72 = 4x2 + 28.x + 49.

16

2 - QUADRADO DA DIFERENÇA

Também podemos usar a ideia geométrica para calcular o quadrado da diferença

entre dois números. Neste caso, devemos considerar um quadrado de lado a, e vamos

retirar de cada lado um pedaço b. Logo, teremos a seguinte representação geométrica:

Note que o quadrado de lado a é obtido através da expressão A = a 2.

No entanto, nosso objetivo agora é obter a área do quadrado de lado (a – b) em

função das áreas das outras figuras. Observe o cálculo de cada área:

� O quadrado A1 de lado (a – b), tem área: A1 = ( a ─ b)2

� Os retângulos de lados ( a ─ b) e b tem área: A2 = b.( a ─ b) = ab ─ b2

� Quadrado pequeno de lado b tem área: A3 = b2

Logo a área total do quadrado de lado ( a – b ) também pode ser escrita como a

área do quadrado maior retirando a área dos dois retângulos laterais. Mas este processo

retira duas vezes a área do quadrado pequeno de lado b. Sendo assim podemos escrever

esta operação:

A1 + A2 + A3 = a2

( a ─ b)2 + 2 ( ab ─ b2 ) + b2 = a2

(a – b)2 = a2 ─ 2 ( ab ─ b2 ) ─ b2

(a – b)2 = a2 ─ 2ab + 2 b2 ─ b2

(a – b)2 = a2 ─ 2 ab + b2

Agora que você já compreendeu a explicação geométrica deste produto notável,

vamos estudar alguns exemplos:

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EXEMPLO 03:

Observe o quadrado a seguir e escreva as expressões algébricas solicitadas:


b) Área do quadrado amarelo:

c) Área do quadrado azul:

d) Área do retângulo vermelho:

e) Área do retângulo verde:

f) Área do quadrado azul em função das áreas das figuras apresentadas:

Resolução:

a) O quadrado externo tem lado medindo 4, logo sua área é 42= 16.

b) O quadrado amarelo tem lado medindo a, logo sua área é a2

c) O quadrado azul tem lado medindo (4 – a), logo sua área é (4 – a)2

d) O retângulo vermelho tem lados medindo 4-a e a, logo sua área é (4- a).a= 4a – a2

e) O retângulo verde também tem lados medindo 4-a e a, logo sua área é (4- a).a= 4a – a2

f) O quadrado azul é o quadrado de lado (4 – a), como já vimos no item c, sua área é (4 – a)2 . Mas

por outro lado, podemos usar o produto notável. Ou seja, a área do quadrado azul também pode

ser escrita como a área do quadrado maior retirando a área dos dois retângulos laterais e do

quadrado pequeno. Sendo assim podemos escrever esta operação: (4 – a)2 = 16 – 2. (4a – a2) - a2

= 16 – 8a2 + 2 a2 - a2 = 16 – 8a2 + a2

EXEMPLO 04:

Utilizando o produtos notáveis do quadrado da soma, calcule:

a) (5y – 1)2 = (5y)2 – 2. 5y. 1 + 1

b) (2x – 6)2 = (2x)2 – 2.2x.6 +6

3 - PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA

Novamente vamos usar a representação geométrica para

produto notável. Observe a figura abaixo:

Nosso objetivo é obter a diferença entre a área do quadrado de lado a e do

quadrado de lado b em função das áreas das demais figuras. Ou seja, queremos obter o

resultado da diferença a2 – b

Note que se tirarmos do quadrado maior, de lado “a”, o quadrado menor, de lado

“b”, teremos dois retângulos.

� O retângulo maior

� O retângulo menor

Estes retângulos podem ser sobrepostos, formando um único retângulo de lados

(a – b) e (a + b). Logo a diferença entre as área

deste retângulo que restou , qu

produtos notáveis do quadrado da soma, calcule:

2. 5y. 1 + 12 = 25y2 – 10y +1

2.2x.6 +62 = 4x2 - 24x + 36

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA:

Novamente vamos usar a representação geométrica para encontrar a fórmula desse

produto notável. Observe a figura abaixo:

Figura 3



b2.


s. Vamos observar cada parte:

maior tem lados medindo (a – b) e a.

retângulo menor tem lados b e (a – b).


Logo a diferença entre as áreas ( a2 – b2) pode ser expressa pela área

deste retângulo que restou , que é (a – b). ( a + b). Ou seja:

a2 – b2 = ( a – b). ( a + b)

18

encontrar a fórmula desse





pode ser expressa pela área

19

EXEMPLO 05:

Maria deseja fazer uma reforma na sua casa e construir uma churrasqueira no seu terreno.

Como posso expressar a área restante do terreno de Maria com a retirada da área do

espaço dessa churrasqueira, sabendo que o terreno é quadrado e tem x de lado e a

churrasqueira também é quadrada e mede 2y de lado.

Resolução:

Aplicando os nossos conhecimentos adquiridos sobre produtos notáveis, podemos

verificar que este problema equivale ao calculo da diferença entre dois quadrados. Então,

teremos:

X 2

─ (2y)2 = (x – 2y) . (x + 2y)


As atividades servirão para você praticar os conhecimentos trabalhados nesta aula.

Em caso de dúvida, retorne aos exemplos.

01. A área do quadrado externo colorido a seguir pode ser calculada usando os

conhecimentos sobre produtos notáveis. Veja que a figura está subdivida em 4 outras

figuras. Observe as medidas de cada uma destas figuras e escreva a expressão algébrica

solicitada:

Atividade 2

20


b) Área do quadrado verde:

c) Área do retângulo azul:

d) Área do retângulo amarelo:

e) Área do quadrado vermelho:

f) Área do quadrado externo colorido em função da soma das áreas das figuras

apresentadas:

02. Observe o quadrado a seguir e escreva as expressões algébricas solicitada:

a) Área do quadrado externo de lado a:

b) Área do quadrado menor de lado (a-b):

c) Área do quadrado de lado b:

d) Área do retângulo de lados b e a:

e) Área do quadrado amarelo como resultado da diferença entre as áreas das figuras

encontradas:

21

03. Use o produto notável para calcular a diferença entre as áreas dos quadrados de lado 3

e x, conforme figura abaixo:

04. Jonas está fazendo aniversário e sua mãe fez um bolo para ele comemorar esta data

com seus amigos da escola. Jonas deseja retirar uma fatia quadrada do bolo para dar para a

professora. Sabendo que o bolo é quadrado com 3a de lado e a fatia que Jonas deseja

retirar também é quadrada com 2b de lado.

Aplicando os seus conhecimentos sobre produtos notáveis, como você pode

expressar a área restante do bolo com a retirada desse pedaço?

→ Pedaço

05. Utilizando produtos notáveis do quadrado da soma, calcule:

a) (3y + 5 )2 =

b) (2a – b)2 =

22

Nesta aula, vamos trabalhar um importante assunto dentro do tratamento da

informação: as médias. Vamos abordar especificamente a média aritmética. Essas médias

estão presentes em diversas situações! O exemplo mais comum é a media das notas para a

aprovação. Como você sabe, é preciso ter média 5 para ser aprovado na disciplina no fim

do ano letivo. Mas, como é feito esse cálculo?

Vamos à aula!

1. MÉDIA ARITMÉTICA:

A média aritmética, ou simplesmente média é a medida de tendência central mais

utilizada no nosso cotidiano. Ela é o resultado da divisão do somatório dos números dados

pela quantidade de números somados.

Esse tipo de cálculo é muito utilizado em campeonatos de futebol, por exemplo, no

intuito de determinar a média de gols da rodada ou a média de gols de um determinado

jogador.

Vejamos um trecho da reportagem publicada no dia 19 de julho de 2013:

Aula 3: Trabalhando com Média

Para chegar a este resultado apresentado na reportagem, basta somar todos os gols

feitos pelo jogador e dividir pelo total de partidas. Ou seja:

A média aritmética também é utilizada nas escolas para calcular a média final dos

alunos e nas pesquisas estatísticas, pois o resultados determina o direcionamento das ideias

expressas pelas pessoas pesquisadas.

EXEMPLO 01:

Calcule a média anual de Carlos na disciplina de Matemática com base nas seguintes

notas bimestrais:

1º bimestre

7,3

Resolução:

Para calcular a média das n

quantidade de notas, ou seja, por 4. Observe o calculo abaixo:

A média anual de Carlos foi 7.

EXEMPLO 02:

O dólar é considerado uma moeda de troca internacional, por isso o seu valor diário

possui variações. Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma

semana verificou-se as variações de acordo com a tabela informativa:

Segunda

R$ 2,30


dividir pelo total de partidas. Ou seja:

27 : 33 = 0,8



pesquisadas.


1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre

8,5 7,2 5,5

Para calcular a média das notas devemos somar todas as notas e dividir pela

quantidade de notas, ou seja, por 4. Observe o calculo abaixo:

A média anual de Carlos foi 7.


Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma

se as variações de acordo com a tabela informativa:

Terça Quarta Quinta Sexta

R$ 2,10 R$ 2,60 R$ 2,20 R$ 2,00

23





4º bimestre

somar todas as notas e dividir pela


Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma

Sexta

R$ 2,00

Determine o valor médio do preço do dólar

Resolução:

Para efetuar o cálculo desta mexemplos anteriores:

O valor médio do dólar na semana apresentada foi de R$ 2,24.

As atividades a seguir servirão para você praticar os conhecimentos trabalhados nesta

aula. Em caso de dúvida retorne aos exemplos.

01. Observe um trecho da reportagem publicada em 25 de junho sobre a Copa das

Confederações realizada no Rio de janeiro:

Copa das Confederações de 2013 tem segunda melhor média de gols da

Figura 5

Determine o valor médio do preço do dólar nesta semana.

Para efetuar o cálculo desta média, vamos proceder de forma equivalente aos


seguir servirão para você praticar os conhecimentos trabalhados nesta

aula. Em caso de dúvida retorne aos exemplos.

Observe um trecho da reportagem publicada em 25 de junho sobre a Copa das

Confederações realizada no Rio de janeiro:


história em competições da Fifa

Só a Copa do Mundo de 1954 teve índice melhor que o torneio disputado no Brasil Impulsionada pelas goleadas levadas pelo Taiti, a

média de gols da Copa das Confederações de 2013

é a segunda melhor da históri

entre seleções organizadas pela Fifa. O torneio no

Brasil tem, ao fim da primeira fase, 58 gols em 12

partidas.

Atividade 3

24

édia, vamos proceder de forma equivalente aos


seguir servirão para você praticar os conhecimentos trabalhados nesta

Observe um trecho da reportagem publicada em 25 de junho sobre a Copa das


Só a Copa do Mundo de 1954 teve índice melhor que o torneio disputado no Brasil Impulsionada pelas goleadas levadas pelo Taiti, a

média de gols da Copa das Confederações de 2013

é a segunda melhor da história em competições

entre seleções organizadas pela Fifa. O torneio no

Brasil tem, ao fim da primeira fase, 58 gols em 12

25

Calcule a média de gols por partida nesta primeira fase da competição:

02. Uma pesquisa de preço feita com seis lojas mostrou a variação de preço de um

determinado produto. Os resultados foram tabulados e apresentados em uma tabela.

Observe:

Loja Preço Pesquisado

(R$)

A R$ 12,10

B R$ 12,90

C R$ 12,50

D R$ 12,40

E R$ 13,50

F R$ 12,60

Determine a média dos preços pesquisados:

03. André participou de um concurso, no qual foram realizadas provas de Português,

Matemática, Conhecimentos Gerais e Informática. Sabendo que André tirou 8,0 em

Português, 7,5 em Matemática, 5,0 em Conhecimentos Gerais e 4,0 em Informática. Qual foi

a média que ele obteve nesse concurso?

04. Na escola que Ângelo estuda, ao final do ano é calculada a média anual de cada matéria.

Observe a tabela abaixo e veja as notas de Matemática que Ângelo teve em cada bimestre e

determine a média anual de Ângelo:

Bimestre Nota

1º 7

2º 6,5

3º 8

4º 7,5

26

Caro aluno, chegou a hora de avaliar tudo o que nós estudamos nas aulas

anteriores. Leia atentamente cada uma das questões e faça os cálculos necessários. Vamos

lá, vamos tentar?

01. Uma escola aumentou o seu gramado que tinha 45 metros de comprimento em mais

15 metros, preservando a sua largura original. Como os alunos insistiam em pisar na grama,

a direção da escola optou por cercar o gramado. Sabendo que, para cercar o gramado,

foram gastos 150 metros de cerca, observe a figura abaixo e responda:

a) A expressão matemática que melhor representa o cálculo feito para a medida do

gramado é:

(A) 45 + 15 + y = 150

(B) 45 + 15 + 3y = 150

(C) 2 x 45 + 2 x 15 + y = 150

(D) 2 x 45 + 2 x 15 + 2y = 150

(E) 2 x 45 + 2 x 15 + 3y = 150

b) A medida da largura do gramado, que na figura está representada pela letra y, é:

(A) 5

(B) 10

(C) 15

(D) 20

(E) 25

Avaliação

27

c) De quanto o gramado foi aumentado?

(A) 600 m2

(B) 225 m2

(C) 150 m2

(D) 120 m2

(E) 70 m2

d) A expressão matemática que melhor representa a área total do novo gramado é:

(A) 45 . 15

(B) 45 . 15 . y

(C) (45 + 15) . y

(D) 45 . y

(E) 15 . y

02. No pátio de uma escola, será construída uma área para leitura. Esta área terá 12

metros de lado. Como não se sabe a medida do lado do pátio, que é quadrado, o mesmo

foi indicado pela letra a. Sabendo-se que a área para leitura também será quadrada, a

medida do lado que sobrará para o pátio, na parte os fundos será indicada por:

(A) a + 12

(B) 12a

(C) 12 - a

(D) a - 12

(E) a2 + 144

28

03. Para a festa de formatura das turmas do Ensino Fundamental, um colégio encomendou

um bolo quadrado. Após conferir a lista de convidados, a equipe de organização da festa

concluiu que o bolo precisaria ter seus lados aumentados em 10 centímetros para que

todos os convidados pudessem ser servidos. Se indicarmos por X a medida do lado do

bolo antes do aumento, o polinômio que representa a nova área do bolo é:

(A) X2 + 100

(B) X2 + 10

(C) X2 + 20 X + 100

(D) X2 + 20 X

(E) X + 10

04. Um grupo de alunos apresenta as idades de 10, 12, 15 e 17 anos. Se um aluno de 11

anos se juntar ao grupo, a média de idade dos alunos desse grupo será de:

(A) 11 anos.

(B) 12 anos.

(C) 13 anos.

(D) 14 anos.

(E) 15 anos.

05. No dia da realização do SAERJ, uma escola fez o levantamento do número de alunos

presentes em cada turma e os resultados foram tabulados e apresentados na tabela

abaixo:

29

Turma Quantidade de alunos

1001 32 1002 31 1003 29 2001 30 2002 33 2003 28 3001 27 3002 29 3003 31

A média de alunos por turma foi de:

(A) 32 alunos.

(B) 31 alunos.

(C) 30 alunos.

(D) 29 alunos.

(E) 28 alunos.

30

Caro aluno, agora que já estudamos todos os principais assuntos relativos ao 4°

bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles na nossa vida. Então,

vamos lá?

Agora, leia atentamente as questões a seguir e através de uma pesquisa responda

cada uma delas de forma clara e objetiva.

ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos livros

e sites nos quais foram utilizados.

I – Apresente alguns exemplos de situações reais nas quais podemos encontrar o uso do

cálculo de média.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

II − Continuamos nosso estudo conhecendo um pouco sobre cálculos algébricos. Você

sabia que a álgebra é o ramo da matemática que estuda a manipulação formal

de equações, as operações matemáticas, os polinômios e estruturas algébricas? A álgebra

é um dos principais ramos da matemática pura, juntamente

com a geometria, topologia, análise combinatória, e teoria dos números. Pesquise e

registre abaixo a origem da álgebra.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Pesquisa

31

III − Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita

cálculos, reduz o tempo de resolução e agiliza o aprendizado. Os gregos, na antiguidade,

faziam uso de procedimentos algébricos e geométricos exatamente iguais aos produtos

notáveis modernos. É importante destacar que o uso de sua maioria foi atribuído aos

pitagóricos e estão registrados na obra de Euclides de Alexandria─Elementos─na forma de

representações geométricas. Pesquise e responda abaixo, de onde vem o termo

“pitagóricos”.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

IV − Pesquise em jornais e revistas, recorte e cole em uma folha, reportagens e/ou

matérias em que estejam presentes tabelas em que médias possam ser calculadas.

( ATENÇÃO: Fazer esta parte da atividade em uma folha separada! )

32

[1] DOLCE, Osvaldo; POMPEU, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar

9: Geometria Plana. 8 ed. São Paulo: Atual, 2006

[2] IEZZE, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. 6ª. Edição. São Paulo:

Atual, 2009.

[3] PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação

Básica. Curitiba: SEED, 2006

[4] MARTAIX, M. El Discreto encanto de las matemáticas. Barcelona: Marcombo, 1986.

[1] Figura 1:

Fonte:http://revistaescola.abril.com.br/matematica/praticapedagogica/produtos-notaveis-

611905.shtml?page=1

[2] Figura 2: Fonte: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-

pedagogica/produtos-notaveis-611905.shtml?page=1

[3] Figura 3: Fonte: http://www.projetos.unijui.edu.br/matemati

ca/cnem/cnem/principal/re/PDF/RE23.pdf

[4] Figura 4:

http://globoesporte.globo.com/futebol/times/fluminense/noticia/2013/07/com-media-de-

08-gols-no-maracana-fred-festeja-retorno-vai-ser-especial.html

[5] Figura 5: Fonte:http://esportes.r7.com/futebol/copa-das-confederacoes-2013/copa-das-

confederacoes-de-2013-tem-segunda-melhor-media-de-gols-da-historia-em-competicoes-

da-fifa-25062013

Fonte das Imagens

Referências

33

COORDENADORES DO PROJETO

Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Mauricio Lessa

Coordenação de Áreas do Conhecimento

Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento

Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva

Marília Silva

COORDENADORA DA EQUIPE Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática

PROFESSORES ELABORADORES

Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves

Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva

Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro

Jonas da Conceição Ricardo

Reginaldo Vandré Menezes da Mota

Tarliz Liao

Vinícius do Nascimento Silva Mano

Weverton Magno Ferreira de Castro

REVISÃO DE TEXTO Isabela Soares Pereira

Equipe de Elaboração

Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem … · 2017. 4. 7. · 8º Ano | 4° Bimestre...

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