Cadernodeaula-CalculoIII-Revisao03

Fernando de Melo Lopes

UNIUBE

2012

Caderno de Aula

CÁLCULO III

Aula 1

Conteúdo Programático 1. FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

1.1. Notação e terminologia

1.2. Gráficos de funções de duas variáveis

1.3. Domínio de funções de duas variáveis

1.4. Curvas de nível

2. LIMITES DE FUNÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS

3. DERIVADAS PARCIAIS

3.1. Derivadas parciais de funções de duas variáveis

3.2. Notação de derivadas parcial

3.3. Derivadas parciais vistas como taxas de variação e inclinações

3.4. Derivadas parciais de ordens superiores

3.5. Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis

4. DERIVADAS DIRECIONAIS E GRADIENTE DE FUNÇÕES DE DUAS

VARIÁVEIS

4.1. Derivadas direcionais – definição e cálculo

4.2. Forma vetorial – o gradiente

4.3. Propriedades do gradiente

4.4. Aplicações

5. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

5.1. Extremos

5.2. O teorema do valor extremo

5.3. Determinando o extremo relativo

5.4. Teste da derivada segunda

5.5. Determinando extremos absolutos em conjuntos fechados e limitados

6. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

6.1. Problemas de extremos com restrições

6.2. Multiplicadores de Lagrange

6.3. Três variáveis e uma restrição

7. INTEGRAL MÚLTIPLA

7.1. Volumes como integrais iteradas;

7.2. Integrais duplas e integrais iteradas;

7.3. Aplicações físicas das integrais duplas;

7.4. Integrais duplas em coordenadas polares;

7.5. Integrais triplas;

8. APLICAÇÕES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA

8.1. Funções de duas ou mais variáveis

8.2. Derivadas parciais

8.3. Derivadas direcionais e gradientes de funções de duas variáveis

8.4. Máximos e mínimos de funções de duas variáveis

8.5. Multiplicadores de Lagrange

8.6. Integral múltipla

3

Bibliografia Os livros abaixo citados serão usados em nosso curso e deverão ser consultados

sempre que necessário. Neles você encontrará exercícios complementares e um

conteúdo mais detalhado.

ANTON, H., “Cálculo, Volume II”, 8ª edição, volume 2, Bookman, 2007.

THOMAS, G., B., “Cálculo”, 10ª edição, volume 2, Addison Wesley by Pearson

Education do Brasil, 2003

STEWART, JEMES, “Cálculo”, 5ª edição, volume 2, Pioneira Thomson Learning,

2006

Avaliações

Avaliação cumulativa: 100 pontos

Primeiro momento de avaliação: 50 pontos

Prova 01: 18 pontos

Lista de exercícios 01: 7 pontos

Prova 02: 18 pontos


Segundo momento de avaliação: 50 pontos

Prova 03: 18 pontos


Prova 04: 18 pontos


Roteiro NP: 4 pontos

O aluno deve atingir 70 pontos para passar.

Como medida de recuperação de nota a prova de segunda chamada poderá

ser feita por aqueles alunos que não atingiram 70 pontos para substituição de umas

das avaliações feitas durante o semestre.

Caso o aluno não atinja 70 pontos necessários para passar será aplicada uma

avaliação suplementar que será feita na última semana de férias do aluno. Esta

prova conterá toda a matéria do semestre com questões fechadas, sem consulta,

no valor de 100 pontos. Lembramos que esta prova não será aplicada pelo professor

da matéria em questão e a correção será feita de forma automatizada. Neste

momento a média necessária para aprovação será 6 e seguirá a seguinte fórmula:

𝑎𝑐 ∗ 3 + 𝑎𝑠 ∗ 2

5≥ 6

ac – Avaliação cumulativa

4

as – Avaliação suplementar

Para aqueles alunos que não fazem oficinas, a nota será calculada através de

uma média simples conforme estipulado pela Universidade, sendo:

𝑁𝑜𝑡𝑎 1 𝑑𝑒 𝑜𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎𝑠 =𝑁𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙𝑕𝑜𝑠 + 𝑁𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑠

43∗ 7

𝑁𝑜𝑡𝑎 2 𝑑𝑒 𝑜𝑓𝑖𝑐𝑖𝑛𝑎𝑠 =𝑁𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙𝑕𝑜𝑠 + 𝑁𝑜𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑠

42∗ 8

Caso o aluno perca alguma avaliação semestral este terá o prazo máximo de

02 (dois) dias úteis, após a avaliação, para protocolar pedido no setor de

Multiatendimento. O requerimento deve conter a data da prova, nome da disciplina,

motivo da falta e anexo documento comprobatório que justifique sua ausência no

momento da aplicação da avaliação. A prova de segunda chamada só e somente só

será aplicada caso o seu pedido seja deferido, ao final do semestre, contendo a

toda a matéria do semestre.

5

Sumário

Conteúdo Programático ................................................................................................................. 2

Bibliografia ....................................................................................................................................... 3

Avaliações ......................................................................................................................................... 3

Exercícios de revisão de derivadas e integrais .................................................................... 8

Funções de Duas ou Mais Variáveis .......................................................................................... 9

Notação e terminologia ............................................................................................................ 9

Domínio .......................................................................................................................................... 9

Exercícios ................................................................................................................................... 13

Gráficos de funções de duas variáveis .............................................................................. 14

Gráfico de superfície .......................................................................................................... 14

Gráfico de curva de nível ................................................................................................... 15

Exercícios ................................................................................................................................... 19

Limites e Continuidade................................................................................................................ 21

Limite de uma função de duas variáveis ............................................................................ 21

Propriedades dos limites ........................................................................................................ 21

Exercícios ...................................................................................................................................22

Derivadas Parciais ........................................................................................................................24

Derivadas parciais de uma função de duas variáveis.....................................................24

Notação de derivada parcial .................................................................................................26

Cálculo de derivadas parciais ................................................................................................27

Derivada parcial vistas como taxa de variação ...............................................................28

Exercícios ...................................................................................................................................29

Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis ........................................ 31

Derivadas parciais de ordens superiores .......................................................................... 31

Igualdade de mistas ................................................................................................................33

Exercícios ...................................................................................................................................34

Derivadas direcionais e gradientes de funções com duas variáveis .............................35

Derivadas direcionais ..............................................................................................................35

Cálculo de derivadas direcionais ..........................................................................................37

Gradiente .................................................................................................................................... 41

Propriedades do gradiente ................................................................................................43

6

Os gradientes são normais à curva de nível .................................................................45

Exercícios: ..................................................................................................................................46

Máximos e Mínimos de funções de duas variáveis .............................................................48

Extremos ....................................................................................................................................48

Conjuntos limitados .................................................................................................................49

Teorema do valor extremo ....................................................................................................50

Encontrando extremos relativos .........................................................................................50

Teste da derivada segunda ................................................................................................... 51

Exercícios: ..................................................................................................................................52

Encontrando extremos absolutos em conjuntos fechados e limitados ....................53

Exercícios: ..................................................................................................................................56

Multiplicadores de Lagrange .....................................................................................................58

Introdução .................................................................................................................................58

Método dos Multiplicadores de Lagrange .........................................................................58

Duas restrições ........................................................................................................................63

Exercícios: ..................................................................................................................................63

Integrais Múltiplas ......................................................................................................................64

Volume .........................................................................................................................................64

Definição .................................................................................................................................66

Propriedades das Integrais Duplas ....................................................................................67

Integrais Iteradas ..................................................................................................................67

Teorema de Fubini para o Cálculo de Integrais Duplas ............................................67

Teorema ..................................................................................................................................68

Exercícios: ..................................................................................................................................68

Integrais Duplas Sobre Regiões Não Retangulares.......................................................69

Teorema ..................................................................................................................................69

Procedimentos para encontrar limites de integração ............................................... 71

Exercícios: ..................................................................................................................................72

Integrais duplas em coordenadas polares ........................................................................74

Regiões polares .....................................................................................................................74

Cálculo de integrais duplas polares .................................................................................74

7

Teorema: .................................................................................................................................75

Exercícios: ..................................................................................................................................77

Anexo 1 ............................................................................................................................................79

Tabelada de derivadas e integrais ......................................................................................79

Anexo 2 ........................................................................................................................................... 81

Trabalho 1 ................................................................................................................................... 81

Trabalho 2 ..................................................................................................................................82

Trabalho 3 ..................................................................................................................................85

Trabalho 4 ..................................................................................................................................88

Anexo 3 ........................................................................................................................................... 91

Respostas da página 8 ............................................................................................................. 91

Respostas da página 13 ........................................................................................................... 91

Respostas da página 19 ...........................................................................................................92

Respostas da página 22 ..........................................................................................................97




Respostas da página 52 ........................................................................................................ 100






Respostas do trabalho 01 .................................................................................................... 102




8

Aula 1

Exercícios de revisão de derivadas e integrais

1) Dada as funções, calcule a derivada:

a) 𝑓 𝑥 = 4

b) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3

c) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥+1

d) 𝑓 𝑥 = cos 𝑥2

e) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 1

f) 𝑓 𝑡 = 2𝑡2 + 𝑙𝑛 𝑡

g) 𝑓 𝑤 = 𝑤1

2 + 𝑤3

h) 𝑓 𝑦 = 𝑦2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦

i) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + cos 𝑥 + 𝑐3 + 𝑧

j) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑦

2) Dada as funções, calcule a integral definida:

a) 5 𝑑𝑥2

1

b) 𝑥21

0+ 3 𝑑𝑥

c) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝜋

20

𝑑𝑥

d) 𝑒𝑡 𝑑𝑡2

1

e) 3𝑤33

1+ 𝑤

3 𝑑𝑤

f) 2

𝑥2

2

1 𝑑𝑥

g) 2𝑥 𝑥2 + 2 𝑑𝑥2

0

h) cos 2𝑥 + 2 𝑑𝑥𝜋

0

Aula 2

Aula de resolução dos exercícios da página 8

Aula 3

Aula de correção dos exercícios da página 8

9

Aula 4

Funções de Duas ou Mais Variáveis

Notação e terminologia

Nos estudos de cálculo feitos até hoje, trabalhamos sempre com funções de

apenas uma variável real. Agora iremos rever tudo o que foi visto com funções com

mais de uma variável. Este tipo de função aparece com mais freqüência na ciência

que funções com uma única variável e seu cálculo é ainda mais extenso. Suas

derivadas são mais variadas e mais interessantes por causa das diferentes

maneiras como as variáveis podem interagir e suas integrais levam a uma variedade

maior de aplicações. Os estudos de probabilidade, estatística, dinâmica dos fluidos

e eletricidade, por exemplo, conduzem de uma maneira natural a funções de mais

de uma variável.

Há muitas fórmulas familiares que envolvem mais de uma variável, como por

exemplo, a área A de um triângulo depende do comprimento da base b e da altura h

pela fórmula 𝐴 =𝑏𝑕

2, a temperatura T de um ponto na superfície da Terra depende

de sua latitude x e longitude y, representada por 𝑇 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

Definição

Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa um único número

real 𝑓(𝑥, 𝑦) a cada ponto (𝑥, 𝑦) de algum conjunto D no plano xy.

A terminologia e a notação para funções de duas ou mais variáveis são

análogas àquelas para funções de uma variável.

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑢 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛)

Domínio

O domínio D é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) possíveis para a

função que leva a resultados reais.

Assim como acontece com o domínio de funções com uma variável, o domínio

de funções com duas variáveis pode ser representado duas formas:

Matematicamente através de uma expressão matemática ou graficamente através

de um desenho.

10

Vamos agora lembrar o domínio de funções com uma variável:

Exemplo:

1) Determine o domínio da função abaixo e represente graficamente.

𝑓 𝑥 = 𝑥

Lembre-se de que não existe uma resposta real de raiz de um número

negativo, portanto o valor de “x” não poderá ser negativo, o que significa que:

𝑥 ≥ 0

Desta forma, o domínio desta função será:

𝐷𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 0

O que quer dizer que “x” pode assumir qualquer valor que seja maior ou igual

a zero.

Agora podemos fazer uma representação gráfica deste domínio através da

reta real.

Figura 1: Representação

do domínio de uma função

de uma variável

Da mesma forma podemos trabalhar com funções com duas variáveis com a

diferença que agora o conjunto domínio é formado por pares de pontos (𝑥, 𝑦) e a

representação gráfica é feita no plano real ℝ2.

2) Determine o domínio da função abaixo e esboce o gráfico do domínio:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 𝑥2

Para que tenhamos valores de 𝑓(𝑥, 𝑦) reais, não é permitido que tenhamos no

denominador da função um valor igual a zero e nem um número negativo dentro da

raiz, portanto:

𝑦 − 𝑥2 ≥ 0

𝑦 ≥ 𝑥2

Assim o domínio pode ser escrito:

11

𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2|𝑦 ≥ 𝑥2

Para fazer a representação gráfica seguimos 2 passos:

Passo 1 – Desenhar o gráfico utilizando a condição de domínio substituindo o sinal

existente por igual.

Passo 2 – Analisar a região do gráfico que representará o conjunto domínio.

Se a condição é 𝑦 ≥ 𝑥2, vamos trocar o sinal de ≥ por = e desenhar o

gráfico:

𝑦 = 𝑥2

Figura 2: Desenho do domínio

antes da análise

Agora vamos analisar o gráfico e hachurar todos os pontos que pertencem

ao conjunto domínio. Para fazer a análise vamos seguir uma regrinha prática:

Vamos analisar o sinal da condição. Se for maior devemos hachurar tudo que

está acima da linha do gráfico, se for igual vamos hachurar tudo que está sobre a

linha do gráfico e se for menor devemos hachurar tudo que está abaixo da linha do

gráfico.

Assim, como o sinal é ≥ (𝑦 ≥ 𝑥2), devemos hachurar tudo que está acima e

sobre a linha do gráfico e teremos:

Figura 3: Representação do

domínio da função

Concluímos que todos os pontos que estão na região hachurada pertencem ao

domínio da função.

12

OBS.: Estamos trabalhando com a representação gráfica do domínio, portanto este

não é o gráfico da função e sim o gráfico do domínio da função.


𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 +1

𝑦 + 1

Neste caso a função é composta por dois termos e teremos problema de

domínio nos dois termos. Devemos analisar separadamente cada termo sendo o

conjunto domínio composto por todos os pontos (𝑥, 𝑦) que satisfazem as duas

condições simultaneamente.

Tudo que está dentro da raiz não pode ser negativo, portanto:

𝑦 + 𝑥 ≥ 0 𝑦 ≥ −𝑥

Não podemos ter zero no denominador da função, portanto:

𝑦 + 1 ≠ 0 𝑦 ≠ −1

O domínio será:

𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2|𝑦 ≥ −𝑥 𝑒 𝑦 ≠ −1

Agora vamos desenhar o gráfico:

Desenhando as duas condições considerando 𝑦 = −𝑥 e 𝑦 = −1, teremos:

Figura 4: Desenho do domínio

antes da análise

Fazendo a análise, teremos:

2 0 2

2

0

2

x

1

x

13




𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 − 𝑥2 + 2𝑥 − 𝑦

Neste exemplo novamente teremos duas condições a satisfazer:

𝑦 − 𝑥2 ≥ 0 2𝑥 − 𝑦 ≥ 0

𝑦 ≥ 𝑥2 𝑦 ≤ 2𝑥

Nestas condições o domínio será:

𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2|𝑦 ≥ 𝑥2 𝑒 𝑦 ≤ 2𝑥

E a representação gráfica será:



Aula 5

Exercícios

1) Dada as funções, encontre o domínio e represente graficamente:

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 =1

𝑥2+1−𝑦

14

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 =1

𝑥−𝑦+ 2𝑥2 − 𝑦

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2

d) 𝑓 𝑥, 𝑦 =1

3𝑥2+2𝑦2−1

e) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1 + 𝑥 − 𝑦

Aula 6


Aula 7

Gráficos de funções de duas variáveis

Existem duas maneiras principais de se representar uma função de duas

variáveis 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) em um plano cartesiano. A primeira e representar através de

uma superfície, sendo esta muito difícil de desenhar sem a ajuda de um

computador; a outra é o gráfico de curva de nível, sendo que em alguns casos é

possível fazer o desenho à mão.

Gráfico de superfície

Sendo 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , a superfície é criada obtendo-se uma malha de pontos

contendo todos os valores (x,y) do domínio da função juntamente com os

correspondentes valores de z.

Exemplo:

𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2

Figura 7: Exemplos de superfícies

𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2

z

15

Gráfico de curva de nível

O gráfico de curva de nível cria um fatiamento da superfície, fixando

certos valores de z juntamente com todos os valores (x,y) que levam a este

determinado valor de z.

𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2

Figura 8: Fatiamento da superfície para a formação do gráfico de curvas de nível

Estamos todos familiarizados com mapas topográficos nos quais uma

paisagem tridimensional, tal como a extensão de uma montanha está representado

por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevação constante. Ao longo

das linhas, a função assume um mesmo valor constante para a altura.

Se a superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) for cortada pelo plano horizontal 𝑧 = 𝑘, então

todos os pontos da interseção têm 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘. A projeção desta interseção sobre o

plano xy é denominada de curva de nível de altura k ou curva de nível com

constante k. Um conjunto de curvas de nível para 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é chamado de um

esboço de contornos ou mapa de contornos de 𝑓.

Exemplo:

𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑦) Superfície

Mapa de contorno

16

𝑧 = 4𝑥2 + 𝑦2 Superfície

Mapa de contorno

𝑧 = 2 − 𝑥 − 𝑦 Superfície

Mapa de contorno

Figura 9: Exemplos de superfícies e seus respectivos mapas de contornos

Para desenhar o gráfico de curvas de nível de uma função de duas variáveis

é preciso fixar valores de z e encontrar todos os valores de x e y que levam a este

resultado.

Exemplo:

1) Encontre o mapa de contornos para os níveis 𝑧 = 1, 𝑧 = 2 e 𝑧 = 4 para a função:

𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2

Primeiro temos que encontrar a equação de curva de nível para cada nível

desejado. Para isso, basta igualar a função ao valor do nível desejado. Desta forma

teremos:

Para 𝑧 = 1 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 = 1 𝑥2 + 𝑦2 = 4 − 1 𝑥2 + 𝑦2 = 3

Para 𝑧 = 2 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 = 2 𝑥2 + 𝑦2 = 4 − 2 𝑥2 + 𝑦2 = 2

Para 𝑧 = 4 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 = 4 𝑥2 + 𝑦2 = 4 − 4 𝑥2 + 𝑦2 = 0

Estas são as equações de curva de nível para os três níveis. Observe que

agora teremos uma função de apenas uma variável independente, o que facilita o

desenho que será feito em duas dimensões. Portanto vamos desenhar o gráfico das

17

três funções em um único sistema cartesiano. Observe que estas são equações de

circunferência, o que facilita o desenho do gráfico. Desta forma, teremos:

Figura 10: Mapa de contornos

2) Encontre o mapa de contornos para valores de z iguais a 𝑧 = 1, 𝑧 = 2 e 𝑧 = 4

considerando a função 𝑧 = 4𝑥2 + 𝑦2.

Vamos encontrar as equações de curva de nível de cada nível igualando a função

ao respectivo z:

Para 𝑧 = 1 4𝑥2 + 𝑦2 = 1

Para 𝑧 = 2 4𝑥2 + 𝑦2 = 2

Para 𝑧 = 4 4𝑥2 + 𝑦2 = 4

Feito isso basta desenhar as três equações em um sistema de coordenadas.

Estas são equações cujo desenho será uma elipse, desta forma:

Para 𝑧 = 1

4𝑥2 + 𝑦2 = 1

Para desenhar a elipse basta descobrir onde ela corta o eixo x e y. Para isso

fazemos 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 como segue:

𝑦 = 0 4𝑥2 + 𝑦2 = 1 4𝑥2 = 1 𝑥2 = 1/4 𝑥 = ± 1/4 𝑥 = ±1/2

𝑥 = 0 4𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑦2 = 1 𝑦 = ± 1 𝑦 = ±1

Agora basta desenhar uma elipse que passa por estes valores em x e y:

Figura 11: Curva de nível para z = 1

18

Desenhando as outras equações todas juntas, teremos:

𝑦 = 0 4𝑥2 + 𝑦2 = 2 4𝑥2 = 2 𝑥2 = 2/4 𝑥 = ± 1/2 𝑥 = ±0,7

𝑥 = 0 4𝑥2 + 𝑦2 = 2 𝑦2 = 2 𝑦 = ± 2 𝑦 = ±1,41

𝑦 = 0 4𝑥2 + 𝑦2 = 4 4𝑥2 = 4 𝑥2 = 4/4 𝑥 = ± 1 𝑥 = ±1

𝑥 = 0 4𝑥2 + 𝑦2 = 4 𝑦2 = 4 𝑦 = ± 4 𝑦 = ±2

Figura 12: Mapa de contornos de 𝒛 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

3) Desenhe o mapa de contornos para os níveis 𝑧 = 1, 𝑧 = 2 e 𝑧 = 4 sendo a função

𝑧 = 2 − 𝑥 − 𝑦.

Fazendo a função igual ao respectivo nível z, teremos:

Para 𝑧 = 1 2 − 𝑥 − 𝑦 = 1 𝑦 = 2 − 𝑥 − 1 𝑦 = 1 − 𝑥

Para 𝑧 = 2 2 − 𝑥 − 𝑦 = 2 𝑦 = 2 − 𝑥 − 2 𝑦 = −𝑥

Para 𝑧 = 4 2 − 𝑥 − 𝑦 = 4 𝑦 = 2 − 𝑥 − 4 𝑦 = −2 − 𝑥

Desenhando todas as funções em um mesmo gráfico teremos:

Figura 13: Mapa de contornos de 𝒛 = 𝟐 − 𝒙 − 𝒚

19

Aula 8

Exercícios

1) Represente no plano xy as curvas de nível z = 0, z = 1 e z = 4 das funções

indicadas:

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 9

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 9

2) Represente no plano xy as curvas de nível z = -1, z = 1 e z = 3 das funções:

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 + 𝑦 − 7

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 − 𝑦 + 1

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 7 − 𝑥

3) Represente no plano xy as curvas de nível z = 0, z = 9 e z = -9 das funções:

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2

4) A temperatura no ponto de uma chapa é dada por 𝑇 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑦2 + 15.

Determine a equação da isoterma que passa pelo ponto (1,3) e a represente no

plano xy.

5) A temperatura do ponto (x,y) de uma chapa de aço é dada por 𝑇 𝑥, 𝑦 = 30 +

50 − 𝑥2 − 𝑦2.

a) Determine o domínio de T(x,y) e a temperatura do ponto (2,4).

b) Determine a equação da isoterma que contém o ponto (3,4) e a represente

no plano xy.

6) O potencial elétrico de uma região do plano xy é dado por 𝐸 𝑥, 𝑦 =120

𝑥2+𝑦2.

a) Qual o lugar geométrico cujo potencial é 30 V?

b) Determine a curva equipotencial que passa pelo ponto (1,1).

7) O potencial elétrico do ponto (x,y) é dado por 𝐸 =4

9−𝑥2−𝑦2 (V em volts).

Determine e represente no plano xy as curvas equipotenciais para 2V e 4V.

8) Associe cada curva de nível a sua respectiva superfície:

20

1 a

2

b

3

c

4

d

5

e

21

6 f

Aula 9


Aula 10

Limites e Continuidade

A definição do limite de uma função de duas ou três variáveis é similar à

definição do limite de uma função de uma variável. Para resolvê-los procedemos da

mesma forma já estudada anteriormente, com a diferença que agora temos mais

variáveis envolvidas.

Limite de uma função de duas variáveis

Se os valores de uma função real 𝑓(𝑥, 𝑦) estão próximos de um número real

L para todos os pontos (𝑥, 𝑦) suficientemente próximos do ponto (𝑥0 , 𝑦0), mas não

iguais a (𝑥0 , 𝑦0), dizemos que L é o limite de f quando (𝑥, 𝑦) se aproxima de (𝑥0 , 𝑦0).

lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑥0,𝑦0)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿

Dizemos: O limite de f quando (𝑥, 𝑦) tende a (𝑥0 , 𝑦0) é igual e L. Isso é

parecido com o limite de uma função com uma variável, com a diferença de que há

duas variáveis independentes envolvidas, em vez de uma, o que complica a questão

de proximidade. Se (𝑥0 , 𝑦0) é um ponto interior do domínio de 𝑓, (𝑥, 𝑦) pode se

aproximas de (𝑥0 , 𝑦0) a partir de qualquer direção, enquanto no caso de uma

variável 𝑥 só se aproxima de 𝑥0 ao longo do eixo x.

Propriedades dos limites

Sendo L,M e k números reais e lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑥0 ,𝑦0) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿, lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑥0 ,𝑦0) 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑀

22

1. Regra da soma: lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑥0 ,𝑦0) 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐿 + 𝑀

2. Regra da diferença: lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑥0 ,𝑦0) 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐿 − 𝑀

3. Regra do produto: lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑥0 ,𝑦0) 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐿𝑀

4. Regra da multiplicação por constante: lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑥0 ,𝑦0) 𝑘𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝐿

5. Regra do quociente: lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑥0 ,𝑦0)𝑓(𝑥 ,𝑦)

𝑔(𝑥 ,𝑦)=

𝐿

𝑀 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0

6. Regra da potência: Se m e n forem inteiros, então

lim 𝑥 ,𝑦 →(𝑥0 ,𝑦0)[𝑓 𝑥, 𝑦 ]𝑚/𝑛 = 𝐿𝑚/𝑛

Exemplo

1) lim 𝑥 ,𝑦 →(0,1)𝑥−𝑥𝑦 +3

𝑥2𝑦+5𝑥𝑦−𝑦3 =0− 0 1 +3

0 2 1 +5 0 1 −(1)3 = −3

2) lim 𝑥 ,𝑦 →(3,−4) 𝑥2 + 𝑦2 = (3)2 + (−4)2 = 25 = 5

3) lim 𝑥 ,𝑦 → 0,0 𝑥2−𝑥𝑦

𝑥− 𝑦= lim 𝑥 ,𝑦 → 0,0

(𝑥2−𝑥𝑦 )( 𝑥+ 𝑦)

𝑥− 𝑦 𝑥+ 𝑦 = lim 𝑥 ,𝑦 → 0,0

𝑥 𝑥−𝑦 𝑥+ 𝑦

𝑥−𝑦

lim x,y →(0,0)

𝑥 𝑥 + 𝑦 = 0 0 + 0 = 0

Aula 11

Exercícios

1) Encontre os limites abaixo:

a) xy

xxyyx

2

2,2,lim

b) yx

yxyxyx

32

9124lim

22

2,3,

c) xy

yxyxyxyx

22

1,1,

3232lim

d)

2

4lim

22

1,2, xy

yxyx

yx

e) yx

yxyx

2

4lim

22

4,2,

f) yx

yxyx

2

8lim

33

2,1,

g) yx

xyxxyyxyx

222

2,2,lim

23

h) yxy

yxyxy

yx

2

4)(4lim

222

3,2

1,

i) xyx

yxxyyx

322

1,5,

)(lim

Aula 12


Aula 13

Aula de resolução do trabalho 01 em anexo.

Aula 14


Aula 15

Revisão para prova.

Aula 16

Prova 01

Aula 17

Prova 01

24

Aula 18

Derivadas Parciais

Quando fixamos todas as variáveis independentes de uma função, exceto

uma, e derivamos em relação a essa variável, obtemos uma derivada parcial. Desta

forma podemos derivar funções com qualquer quantidade de variáveis

Derivadas parciais de uma função de duas variáveis

Quando derivamos a função 𝑓(𝑥) em um ponto 𝑥0 estamos encontrando a

inclinação da reta tangente a este ponto (𝑥0 , 𝑦𝑜). Esta é a definição geométrica das

derivadas.

Figura 14: Definição geométrica

da derivada - Inclinação da reta

tangente

Da mesma forma, a representação geométrica da derivada direcional

também será uma inclinação de uma reta tangente a um determinado ponto. Porém

agora, por se tratar de uma superfície, temos a reta tangente em duas direções:

Em direção ao eixo x positivo ou em direção ao eixo y positivo.

Portanto, se derivamos a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) em relação a 𝑥 no ponto (𝑥0 , 𝑦0)

estamos encontrando a inclinação de uma reta tangente ao ponto (𝑥0 , 𝑦0) na direção

do eixo 𝑥 positivo e se derivamos a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) em relação a 𝑦 no ponto

(𝑥0 , 𝑦0) estamos encontrando a inclinação de uma reta tangente ao ponto (𝑥0 , 𝑦0) na

direção do eixo 𝑦 positivo.

Se (𝑥0 , 𝑦0) for um ponto no domínio da função 𝑓(𝑥, 𝑦), o plano vertical 𝑦 = 𝑦0

cortará a superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) na curva 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦0).

25

Figura 15: Superfície cortada pelo plano vertical 𝒚 = 𝒚𝟎

Essa curva é o gráfico da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦0) no plano 𝑦 = 𝑦0. A coordenada

horizontal nesse plano é x e a coordenada vertical é z.

Figura 16: Função 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚𝟎) com a

reta tangente ao ponto (𝒙𝟎, 𝒚𝟎)

A derivada da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) é a inclinação da reta tangente ao ponto

(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0) sobre a curva 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦0).

Definição A derivada parcial de 𝒇(𝒙, 𝒚) em relação a x no ponto (𝑥0 , 𝑦0) é

𝜕𝑓

𝜕𝑥

(𝑥0 ,𝑦0)= 𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥, 𝑦0)

𝑥=𝑥0

= lim𝑕→0

𝑓 𝑥0 + 𝑕, 𝑦0 − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0)

𝑕

Desde que o limite exista

O símbolo 𝜕 (chamado Del), similar à letra graga minúscula 𝛿 usada na

definição do limite, é apenas outro tipo de d, que diferencia as derivadas parciais

de derivadas simples.

A definição de derivada parcial de 𝑓(𝑥, 𝑦) em relação a y no ponto (𝑥0 , 𝑦0) é

similar à definição da derivada parcial de 𝑓 em relação a x. Mantemos x fixo no

valor 𝑥0 e tomamos a derivada de 𝑓(𝑥0 , 𝑦) em relação a y em 𝑦0.

26

Figura 17: Superfície cortada pelo plano vertical 𝒙 = 𝒙𝟎 e função 𝒛 = 𝒇(𝒙𝟎, 𝒚) com a reta tangente ao

ponto (𝒙𝟎, 𝒚𝟎)

O coeficiente angular da curva 𝑧 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦) no ponto (𝑥0 , 𝑦0) no plano vertical

𝑥 = 𝑥0 é a derivada parcial de f em relação a y em (𝑥0 , 𝑦0).

Definição A derivada parcial de 𝒇(𝒙, 𝒚) em relação a y no ponto (𝑥0 , 𝑦0) é

𝜕𝑓

𝜕𝑦

(𝑥0 ,𝑦0)

= 𝑑

𝑑𝑦𝑓(𝑥0 , 𝑦)

𝑦=𝑦0

= lim𝑕→0

𝑓 𝑥0,, 𝑦0 + 𝑕 − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0)

𝑕

Desde que o limite exista

Notação de derivada parcial

A notação para uma derivada parcial depende do que queremos enfatizar:

𝜕𝑓

𝜕𝑥 𝑥0 , 𝑦0 ou 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)

“Derivada parcial de f em relação a x em (𝑥0 , 𝑦0)” ou “𝑓𝑥 em (𝑥0 , 𝑦0)”. Conveniente

para enfatizar o ponto (𝑥0 , 𝑦0).

𝜕𝑧

𝜕𝑥

(𝑥0 ,𝑦0)

“Derivada parcial de z em relação a x em (𝑥0 , 𝑦0)”. Comum em ciências e engenharia

quando se lida com as variáveis e não se menciona uma função explicitamente.

𝑓𝑥 ,𝜕𝑓

𝜕𝑥, 𝑧𝑥 𝑜𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑥

“Derivada parcial de f (ou z) em relação a x”. Conveniente quando se considera a

derivada parcial como uma função.

27

A derivada parcial em relação a y é denotada da mesma maneira que a

derivada parcial em relação a x:

𝜕𝑓

𝜕𝑦 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 ,

𝜕𝑓

𝜕𝑦, 𝑓𝑦

Cálculo de derivadas parciais

As definições de 𝜕𝑓/𝜕𝑥 e 𝜕𝑓/𝜕𝑦 fornecem duas maneiras de derivar 𝑓(𝑥, 𝑦)

em um ponto: 𝜕𝑓/𝜕𝑥 é a derivada de 𝑓(𝑥, 𝑦) em relação a 𝑥, tratando 𝑦 como uma

constante e 𝜕𝑓/𝜕𝑦 é a derivada de 𝑓(𝑥, 𝑦) em relação a 𝑦, tratando 𝑥 como

constante.

Observe que a variável que é mostrada na notação sempre será a variável, o

restante das variáveis serão tratadas como constante.

Exemplo:

Encontre os valores de 𝜕𝑓/𝜕𝑥 e 𝜕𝑓/𝜕𝑦 no ponto (4,-5) se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥𝑦 +

𝑦 − 1

Solução:

Para encontrar 𝜕𝑓/𝜕𝑥, tratamos 𝑦 como uma constante e derivamos em

relação a 𝑥:

𝜕𝑓

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥 𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 − 1 = 2𝑥 + 3𝑦 + 0 − 0 = 2𝑥 + 3𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑥(4, −5) = 2 4 + 3 −5 = −7

Para encontrar 𝜕𝑓/𝜕𝑦, tratamos 𝑥 como uma constante e derivamos em relação a 𝑦:

𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦 𝑥2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 − 1 = 0 + 3𝑥 + 1 − 0 = 3𝑥 + 1

𝜕𝑓

𝜕𝑦 4, −5 = 3 4 + 1 = 13

Exemplo:

Encontre 𝜕𝑓/𝜕𝑥 e 𝜕𝑦/𝜕𝑦 se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)

28

Solução:

Tratando 𝑦 como uma constante e derivando em relação a 𝑥, teremos: 𝜕𝑓

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 = 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑦 = 𝑦2cos(𝑥𝑦)

Tratando 𝑥 como uma constante e derivando em relação a 𝑦, teremos: 𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 = 1𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 𝑥 = 𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)

Aula 19

Derivada parcial vistas como taxa de variação

Como já sabemos, uma derivada pode ser entendida como uma taxa de

variação. Assim 𝑑𝑦/𝑑𝑥 (derivada de 𝑦 em relação a 𝑥) é a taxa de variação de 𝑦 em

relação a 𝑥.

De maneira análoga, as derivadas parciais podem ser entendidas como taxas

de variação. Sendo assim, 𝜕𝑧/𝜕𝑥 é a taxa de variação de 𝑧 em relação a 𝑥. Indica o

comportamento da variação da função 𝑧 quando 𝑥 está variando e 𝑦é mantido

constante e 𝜕𝑧/𝜕𝑦 é a taxa de variação de 𝑧 em relação a 𝑦, ou seja, como 𝑧 está

variando quando alteramos 𝑦 mantendo 𝑥 cosntante.

Exemplo:

A sensação térmica em um dado local é função da temperatura T e da

velocidade do vento v e é dado pela fórmula:

𝑤 = 35,74 + 0,6215𝑇 + 0,4275𝑇 − 35,75 𝑣0,16

No momento em que a temperatura é 25°F e a velocidade do vento é de 10

milhas/h, se a velocidade do vento aumentar em uma unidade, qual será o

comportamento da sensação térmica?

Solução:

Se quisermos saber como a sensação térmica está se alterando em função

da velocidade do vento, devemos calcular a derivada parcial de w em relação a v,

mantendo T fixo. Sendo assim, teremos:

𝜕𝑤

𝜕𝑣 𝑇, 𝑣 = 0 + 0 + 0,4275𝑇 − 35,75 0,16𝑣0,16−1 = 0,4275𝑇 − 35,75 0,16𝑣−0,84

Substituindo T = 25 e v = 10 teremos:

29

𝜕𝑤

𝜕𝑣 25,10 = 0,4275(25) − 35,75 0,16(10)−0,84 = −4,01 10−0,84 ≈ −0,58

𝑚𝑖𝑙𝑕𝑎𝑠/𝑕

Concluímos que, se a temperatura 𝑇 (25°F) se mantiver constante e a

velocidade do vento se alterar a partir de uma velocidade inicial 𝑣 (10 milhas/h),

então a razão da variação do índice de sensação térmica pela variação da

velocidade do vento deveria ser de aproximadamente −0,58

𝑚𝑖𝑙 𝑕𝑎𝑠/𝑕. O sinal

negativo significa que se o vento aumentar em uma unidade, o índice de sensação

térmica diminuirá, ou seja, é inversamente proporcional.

Exercícios

1) Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦.

a) Determine a inclinação da reta tangente ao ponto (4,2) na direção do eixo 𝑥.

b) Determine a inclinação da reta tangente ao ponto (4,2) na direção do eixo 𝑦.

2) Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑦 + 5𝑦.

a) Determine a inclinação da reta que tangencia o ponto (3,0) na superfície

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) na direção do eixo 𝑥.

b) Determine a inclinação da reta que tangencia o ponto (3,0) na superfície

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) na direção do eixo 𝑦.

3) Seja 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(𝑦2 − 4𝑥).

a) Determine a taxa de variação de 𝑧 em relação a 𝑥 no momento em que temos

(2,1) com 𝑦 fixado.

b) Determine a taxa de variação de 𝑧 em relação a 𝑦 no momento em que temos

(2,1) com 𝑥 fixado.

4) Determine 𝜕𝑧/𝜕𝑥 e 𝜕𝑧/𝜕𝑦.

a) 𝑧 = 4𝑒𝑥2𝑦3

b) 𝑧 = cos(𝑥5𝑦4)

c) 𝑧 = 𝑥3ln(1 + 𝑥𝑦−3/5)

d) 𝑧 = 𝑒𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛(4𝑦2)

e) 𝑧 =𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2

f) 𝑧 =𝑥2𝑦3

𝑥+𝑦

5) Determine 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 .

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥5𝑦 − 7𝑥3𝑦

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑥+𝑦

𝑥−𝑦

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦−3/2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥/𝑦)

30

d) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑒−𝑦 + 𝑦3sec( 𝑥)

6) Calcule as derivadas parciais indicadas.

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 7𝑦3 , 𝑓𝑥 3,1 , 𝑓𝑦(3,1)

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦𝑒𝑥𝑦 , 𝜕𝑓/𝜕𝑥 1,1 , 𝜕𝑓/𝜕𝑦(1,1)

c) 𝑧 = 𝑥2 + 4𝑦2 , 𝜕𝑧/𝜕𝑥 1,2 , 𝜕𝑧/𝜕𝑦(1,2)

d) 𝑤 = 𝑥2 cos 𝑥𝑦 , 𝜕𝑤/𝜕𝑥 1

2, 𝜋 , 𝜕𝑤/𝜕𝑦

1

2, 𝜋

7) O volume de um cilindro circular reto é dado pela fórmula 𝑉 = 𝜋𝑟2𝑕 onde r é o

raio e h é a altura.

a) Determine a fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a

r se r variar e h permanecer constante.

b) Determine uma fórmula para taxa de variação instantânea de V em relação a

h se h variar e r permanecer constante.

c) Suponha que h tenha um valor constante de 5 cm, mas que r varie.

Determine a taxa de variação de V em relação a r com um r inicial de 2 cm.

d) Suponha que r tenha m valor constante de 6 cm, mas que h varie. Determine

a taxa de variação instantânea de V em relação a h no ponto onde h = 10 cm.

8) De acordo com a lei dos gases ideais, a pressão, a temperatura e o volume de

um gás estão relacionados por 𝑃 = 𝑘𝑇/𝑉, onde k é uma constante de

proporcionalidade. Suponha que V seja medido em polegadas cúbicas (pol3), T

seja medido em Kelvins (K), e que para um certo gás a constante de

proporcionalidade seja k = 10 pol.lb/K.

a) Determine a taxa de variação instantânea pressão em relação à

temperatura se a temperatura for 80 K e o volume permanecer constante

em 50 pol3.

b) Determine a taxa de variação da pressão em relação ao volume se o volume

for 50 pol3 e a temperatura permanecer constante em 80 K.

9) A temperatura em um ponto (𝑥, 𝑦) sobre uma placa de metal no plano xy é

𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑦2 + 𝑥 °C. Suponha que a distância seja medida em centímetros

(cm). Determine a taxa na qual a temperatura varia com a distância se

iniciarmos no ponto (1,2) e movemos:

a) Para a direita e paralelamente ao eixo x.

b) Para cima e paralelamente ao eixo y.

31

Aula 20


Aula 21

Derivadas parciais de funções com mais de duas variáveis

Para uma função f(x,y,z) de três variáveis, há três derivadas parciais:

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧

A derivada parcial 𝑓𝑥 é calculada mantendo y e z constantes e derivando em

relação a x. Para 𝑓𝑦 as variáveis x e z mantêm-se cosntantes, e para 𝑓𝑧 as variáveis

x e y são mantidas constantes. Se uma variável dependente de 𝑤 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) for

usada, então as três derivadas parciais de f podem ser denotadas por:

𝜕𝑤

𝜕𝑥,

𝜕𝑤

𝜕𝑦,

𝜕𝑤

𝜕𝑧

Exemplo:

Se 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3𝑦2𝑧4 + 2𝑥𝑦 + 𝑧, então:

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3𝑥2𝑦2𝑧4 + 2𝑦

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥3𝑦𝑧4 + 2𝑥

𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4𝑥3𝑦2𝑧3 + 1

Em geral, se 𝑓(𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … , 𝑣𝑛) for uma função de n variáveis, há n derivadas

parciais de 𝑓, cada uma das quais foi obtida fixando 𝑛 − 1 variáveis e derivando a

função em relaçãoà variável não fixada. Estas derivadas parciais são denotadas:

𝜕𝑓

𝜕𝑣1,

𝜕𝑓

𝜕𝑣2, … ,

𝜕𝑓

𝜕𝑣𝑛

Derivadas parciais de ordens superiores

Suponha que f seja uma função de duas variáveis x e y. Como as derivadas

parciais 𝜕𝑓/𝜕𝑥 e 𝜕𝑓/𝜕𝑦 também são funções de x e y, essas funções podem elas

32

mesmas ter derivadas parciais. Isso origina quatro possíveis derivadas de segunda

ordem de f, que são definidas por:

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2=

𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑓

𝜕𝑥 = 𝑓𝑥𝑥

Derivando duas vezes em relação a x

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2=

𝜕

𝜕𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑦 = 𝑓𝑦𝑦

Derivando duas vezes em relação a y

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑥 = 𝑓𝑥𝑦

Derivando primeiro em relação a x e, então, em relação

a y

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑓

𝜕𝑦 = 𝑓𝑦𝑥

Derivando primeiro em relação a y e, então, em relação

a x

Os dois últimos casos são denominados derivadas parciais de segunda ordem

mistas. Observe que as duas notações para parciais de segunda ordem mistas têm

convenção oposta quanto a ordem de diferenciação. Na notação 𝜕, as derivadas são

feitas da direita para esquerda e, na notação subscrito, elas são tomadas da

esquerda para direita.

As derivadas parciais de terceira ordem, de quarta ordem e de ordens

superiores podem ser obtidas derivando sucessivamente.

Exemplo:

Determine as derivadas parciais de segunda ordem de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 + 𝑥4𝑦.

Solução:

Temos 𝜕𝑓

𝜕𝑥= 2𝑥𝑦3 + 4𝑥3𝑦

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 3𝑥2𝑦2 + 𝑥4

E assim teremos:

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2=

𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑓

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑥 2𝑥𝑦3 + 4𝑥3𝑦 = 2𝑦3 + 12𝑥2𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2=

𝜕

𝜕𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑦 =

𝜕

𝜕𝑦 3𝑥2𝑦2 + 𝑥4 = 6𝑥2𝑦

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑥 𝜕𝑓

𝜕𝑦 =

𝜕

𝜕𝑥 3𝑥2𝑦2 + 𝑥4 = 6𝑥𝑦2 + 4𝑥3

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑦 𝜕𝑓

𝜕𝑥 =

𝜕

𝜕𝑥 2𝑥𝑦3 + 4𝑥3𝑦 = 6𝑥𝑦2 + 4𝑥3

33

Igualdade de mistas

Poderíamos esperar que uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) tivesse quatro derivadas parciais

de segunda ordem distintas: 𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑦𝑦 , 𝑓𝑥𝑦 , 𝑓𝑦𝑥 . Contudo, observe que as derivadas

parciais de segunda ordem mistas do exemplo acima são iguais. O teorema a seguir,

explica o motivo dessa igualdade:

Teorema Seja uma função de duas variáveis. Se 𝑓𝑥𝑦 e 𝑓𝑦𝑥 forem contínuas em algum intervalo

aberto, então 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 neste intervalo

Este fato pode facilitar bastante em alguns casos, podendo ser usado em

nosso favor.

Exemplo:

Encontre a derivada de segunda ordem mista 𝑓𝑥𝑦 sendo 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦2 + 𝑥ln 𝑥2

𝑥+1

Solução:

Calculando 𝑓𝑥𝑦 , teríamos:

𝑓𝑥 = 𝑦2 + ln 𝑥2

𝑥 + 1 + 𝑥

2𝑥 𝑥 + 1 − 𝑥2

(𝑥 + 1)2

𝑥2

𝑥 + 1

= 𝑦2 + ln 𝑥2

𝑥 + 1 + 𝑥

(2𝑥2 + 2𝑥 − 𝑥2)(𝑥 + 1)

𝑥2(𝑥 + 1)2

= 𝑦2 + ln 𝑥2

𝑥 + 1 + 𝑥

𝑥2 + 2𝑥

𝑥3 + 𝑥2

= 𝑦2 + ln 𝑥2

𝑥 + 1 +

𝑥3 + 2𝑥2

𝑥3 + 𝑥2

= 𝑦2 + ln 𝑥2

𝑥 + 1 +

𝑥2(𝑥 + 2)

𝑥2(𝑥 + 1)

= 𝑦2 + ln 𝑥2

𝑥 + 1 +

(𝑥 + 2)

(𝑥 + 1)

𝑓𝑥𝑦 = 2𝑦

Como 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 , podemos fazer

𝑓𝑦 = 2𝑥𝑦

𝑓𝑦𝑥 = 2𝑦

Chegando ao mesmo resultado, porem de maneira mais fácil e prática.

34

Aula 22

Exercícios

1) Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de f são iguais

fazendo 𝑓𝑥𝑦 e 𝑓𝑦𝑥 .

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥2 − 8𝑥𝑦4 + 7𝑦5 − 3

b. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2

c. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥cos(𝑦)

d. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥−𝑦2

e. 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(4𝑥 − 5𝑦)

f. 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(𝑥2 + 𝑦2)

g. 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 − 𝑦)/(𝑥 + 𝑦)

h. 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥2 − 𝑦2)/(𝑥2 + 𝑦2)

2) Determine as derivadas parciais de segunda ordem:

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 − 3𝑥2𝑦3

b. 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(3𝑥 + 5𝑦)

c. 𝑧 = 𝑥/(𝑥 + 𝑦)

d. 𝑢 = 𝑒−𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑡

e. 𝑣 = 𝑥 + 𝑦2

Aula 23


Aula 24


Aula 25


Aula 26


35

Aula 27

Prova 02

Aula 28

Prova 02

Aula 29

Derivadas direcionais e gradientes de funções com duas

variáveis

Derivadas direcionais

Vimos que a derivada parcial de uma função calcula a taxa de variação

instantânea dessa função em relação a apenas uma variável, mantendo o restante

constante. As derivadas direcionais nos permitem calcular taxas de variação de

uma função em relação a todas as variáveis ao mesmo tempo, ou seja, podemos

saber o comportamento da função se variarmos todas as variáveis ao mesmo tempo.

Em outras palavras, com as derivadas parciais poderíamos encontrar a inclinação de

uma reta tangente ao ponto apenas nas direções paralelas aos eixos. Agora

poderemos calcular esta inclinação em qualquer direção.

Exemplo:

Imagine uma chapa de aço que é aquecida a partir de seu centro, sendo este

aquecimento dado pela equação 𝑇 𝑥, 𝑦 = −𝑥2 − 𝑦2 + 80 sendo T em °C e x e y em

cm. Uma formiga está sobre esta chapa no ponto (1,1). Calcule:

a) Se a formiga decidir caminhar na direção positiva de 𝑥, qual será a taxa de

variação da temperatura em relação à distância. A temperatura estará

aumentando ou diminuindo?

b) Se a formiga decidir caminhar na direção positiva de 𝑦, qual será a taxa de



36

c) Se a formiga decidir caminhar em uma direção dada pelo vetor 𝑑 = 2𝑖 + 𝑗,

qual será a taxa de variação da temperatura em relação à distância. A

temperatura estará aumentando ou diminuindo?

Solução:

Para responder a e b, já sabemos que a derivada parcial de uma função em

relação a 𝑥 nos dá a taxa de variação da função na direção de 𝑥 e a taxa de

variação da função na direção de 𝑦 é dada pela derivada parcial da função em

relação a 𝑦. Com isso:

a)

Figura 18: Variação da

temperatura em relação a x 𝑑𝑇

𝑑𝑥 1,1 = −2𝑥|(1,1) = −2/𝑐𝑚

ou seja, a temperatura irá diminuir a uma taxa de 2/𝑐𝑚

b)

Figura 19: Variação da

temperatura em relação a y 𝑑𝑇

𝑑𝑥 1,1 = −2𝑦 = −2/𝑐𝑚

ou seja, a temperatura irá diminuir a uma taxa de 2/𝑐𝑚

Para responder a letra c, primeiro precisamos aprender como derivar a

função em uma direção que seja outra qualquer diferente das direções de 𝑥 e 𝑦. A

este tipo de derivada damos o nome de derivada direcional.

37

Cálculo de derivadas direcionais

Suponha que queiramos calcular a taxa de variação instantânea de uma

função 𝑓(𝑥, 𝑦) em relação à distância num certo ponto (𝑥0 , 𝑦0) em alguma direção.

Como há uma infinidade de direções nas quais um ponto pode se mover no plano

(𝑥0 , 𝑦0), precisamos de algum método para descrever uma direção específica

começando em (𝑥0 , 𝑦0). Uma maneira de fazer isso é usar um vetor unitário

𝑢 = 𝑢1𝑖 + 𝑢2𝑗

que tenha ponto inicial em (𝑥0 , 𝑦0) e aponte na direção desejada.

Este vetor determina uma reta 𝑙 no plano 𝑥𝑦 que pode ser expressa

parametricamente como:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑠𝑢1 , 𝑦 = 𝑦0 + 𝑠𝑢2

onde 𝑠 é o parâmetro comprimento de arco que tem seu ponto de referência em

𝑥0 , 𝑦0 e tem valores positivos na direção e sentido de 𝑢 . A variável

𝑧 = 𝑓(𝑥 = 𝑥0 + 𝑠𝑢1 , 𝑦 = 𝑦0 + 𝑠𝑢2) é uma função do parâmetro 𝑠 na reta 𝑙. Então o

valor da derivada 𝑑𝑧/𝑑𝑠 em 𝑠 = 0 dá a taxa de variação instantânea de 𝑓(𝑥, 𝑦) em

relação à distância de (𝑥0 , 𝑦0) na direção e sentido de u.

Definição Se 𝑓(𝑥, 𝑦) for uma função de x e y e se 𝑢 = 𝑢1𝑖 + 𝑢2𝑗 for um vetor unitário, então a

derivada direcional de f na direção e sentido de 𝒖 em 𝑥0 , 𝑦0 é denotada por

𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 e definida por:

𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = lim𝑠→0

𝑓 𝑥0 + 𝑠𝑢1 , 𝑦0 + 𝑠𝑢2 − 𝑓 𝑥0 , 𝑦0

𝑠=

𝑑

𝑑𝑠[𝑓 𝑥0 + 𝑠𝑢1 , 𝑦0 + 𝑠𝑢2 ]𝑠=0

Geometricamente, 𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 pode ser interpretada como a inclinação da

superfície 𝒛 = 𝒇(𝒛, 𝒚) na direção de 𝒖 no ponto 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ). Em geral, o valor

de 𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 dependerá tanto do ponto 𝑥0 , 𝑦0 quanto da direção e sentido do

vetor 𝑢 . Assim, num ponto fixado da superfície, a inclinação dessa superfície varia

com a direção e o sentido. Analiticamente, a derivada direcional representa a taxa

38

de variação instantânea de 𝒛 = 𝒇(𝒛, 𝒚) em relação à distância na direção e

sentido de 𝒖 no ponto 𝑥0 , 𝑦0 .

Exemplo:

1) Calcule a derivada direcional de 𝑓 em na direção de 𝑢 no ponto (1,2)

𝐷𝑢𝑓(2,1) sendo a função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 e a direção 𝑢 = 3

2𝑖 +

1

2𝑗 .

Solução:

Primeiramente temos que calcular as paramétricas a partir da direção.

Lembrando que a direção deve ser representada por um vetor unitário. Desta

forma, teremos:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑢1𝑠

𝑥 = 1 + 3

2𝑠

𝑦 = 𝑦0 + 𝑢2𝑠

𝑦 = 2 +1

2𝑠

Agora vamos calcular a função do parâmetro 𝑠 na reta 𝑙. Para isso, vamos

substituir as paramétricas na função que queremos derivar:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦

𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 + 3

2𝑠 2 +

1

2𝑠

Aplicando a distributiva, teremos:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 2 +1

2𝑠 + 2

3

2𝑠 +

3

4𝑠2

Para termos 𝐷𝑢𝑓(1,2) basta derivar a função do parâmetro em relação a s

com 𝑠 = 0, ou seja:

𝐷𝑢𝑓 1,2 =𝑑

𝑑𝑠 2 +

1

2𝑠 + 2

3

2𝑠 +

3

4𝑠2

𝑠=0

𝐷𝑢𝑓 1,2 = 1

2+ 3 + 2

3

4𝑠

𝑠=0

𝐷𝑢𝑓 1,2 =1

2+ 3 + 2

3

4(0)

39

𝐷𝑢𝑓 1,2 =1

2+ 3 = 2,23

2) Calcule a derivada da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑥 no ponto (1,1) na direção do

vetor 𝑎 = 3𝑖 + 4𝑗.

Solução:

Observe que o vetor direção agora não é unitário. Portanto, vamos primeiro

calcular o versor de 𝑎 :

𝑢 =𝑎

𝑎 =

3𝑖 + 4𝑗

32 + 42=

3𝑖 + 4𝑗

9 + 16=

3𝑖 + 4𝑗

25=

3

5𝑖 +

4

5𝑗

Agora que temos o vetor unitário, vamos calcular as paramétricas:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑢1𝑠

𝑥 = 1 +3

5𝑠

𝑦 = 𝑦0 + 𝑢2𝑠

𝑦 = 1 +4

5𝑠

Assim, teremos a função:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑥

𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 +3

5𝑠

2

1 +4

5𝑠 + 1 +

3

5𝑠

Derivando em relação a s, teremos:

𝑑

𝑑𝑠 1 +

3

5𝑠

2

1 +4

5𝑠 + 1 +

3

5𝑠

𝑑𝑓

𝑑𝑠= 2 1 +

3

5𝑠

3

5 1 +

4

5𝑠 + 1 +

3

5𝑠

2

4

5 +

3

5

A derivada direcional será:

𝐷𝑢𝑓 1,1 = 2 1 +3

5𝑠

3

5 1 +

4

5𝑠 + 1 +

3

5𝑠

2

4

5 +

3

5 𝑠=0

𝐷𝑢𝑓 1,1 = 2 1 +3

5(0)

3

5 1 +

4

5(0) + 1 +

3

5(0)

2

4

5 +

3

5

40

𝐷𝑢𝑓 1,1 = 2 1 3

5 1 + 1 2

4

5 +

3

5

𝐷𝑢𝑓 1,1 =6

5+

4

5+

3

5=

13

5= 2,6

As derivadas direcionais de uma função que é diferenciável em um ponto,

existem em qualquer direção e sentido neste ponto e podem ser calculadas

diretamente em termos das derivadas parciais de primeira ordem da função.

Teorema a) Se 𝑓(𝑥, 𝑦) for diferenciável em 𝑥0 , 𝑦0 e se 𝑢 = 𝑢1𝑖 + 𝑢2𝑗 for um vetor

unitário, então a derivada direcional de 𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 existe e é dada por:

𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0 , 𝑦0 𝑢1 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 𝑢2

b) Se 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) for diferenciável em 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 e se 𝑢 = 𝑢1𝑖 + 𝑢2𝑗 + 𝑢3𝑘 for um

vetor unitário, então a derivada direcional de 𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 existe e é dada

por: 𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 𝑢1 + 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0 𝑢2 + 𝑓𝑧 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 𝑢3

Exemplo:

1) Dada a função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦, encontre 𝐷𝑢𝑓 1,2 , onde 𝑢 = 3

2𝑖 +

1

2𝑗

Solução:

Através da equação 𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 𝑢1 + 𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 𝑢2 temos:

𝑓𝑥 1,2 = 𝑦|(1,2) = 2

𝑓𝑦 1,2 = 𝑥|(1,2) = 1

𝑢1 = 3

2

𝑢2 =1

2

Portanto:

𝐷𝑢𝑓 1,2 = 2 3

2+ 1

1

2= 3 +

1

2

Exemplo:

2) Obtenha a derivada direcional de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2𝑦 − 𝑦𝑧3 + 𝑧 no ponto (1, -2, 0)

na direção e sentido do vetor 𝑎 = 2𝑖 + 𝑗 − 2𝑘.

Solução:

As derivadas direcionais de f são:

41

𝑓𝑥 1, −2,0 = 2𝑥𝑦|(1,−2,0) = −4

𝑓𝑦 1, −2,0 = 𝑥2 − 𝑧3|(1,−2,0) = 1

𝑓𝑧 1, −2,0 = −3𝑦𝑧2 + 1|(1,−2,0) = 1

Como a não é um vetor unitário, normalizamos a e encontramos:

𝑢 =𝑎

𝑎 =

1

9 2𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 =

2

3𝑖 +

1

3𝑗 −

2

3𝑘

Então, obtemos:

𝐷𝑢𝑓 1, −2,0 = −4 2

3 + 1

1

3 − 1

2

3 = −3

Aula 30

Gradiente

O gradiente é um vetor muito importante relacionado com derivadas

direcionais, cálculo de máximos e mínimos, entre outras aplicações. Veremos que

ele tem algumas propriedades muito importantes e úteis.

Definição: a) Se f for uma função de x e y, então o gradiente de f é definido por:

∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

b) Se f for uma função de x, y e z, então o gradiente de f é definido por: ∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘

O símbolo ∇ é um delta invertido. (Esse símbolo costuma ser lido como Del

ou nabla)

A derivada direcional de 𝑓 na direção 𝑢 em 𝑃0 é o produto escalar de 𝑢 com

o gradiente de 𝑓 em 𝑃0.

Teorema: Se 𝑓(𝑥, 𝑦) for diferenciável em 𝑃0(𝑥0 , 𝑦0), então:

𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = ∇𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑢

𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 = ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑢

O produto escalar do gradiente de f em P0 e u

42

Neste caso, a derivada direcional é dada em termos de um produto escalar

do vetor direção 𝑢 com um novo vetor construído a partir das derivadas parciais de

𝑓.

Com essa notação, o exemplo 2 ficaria na forma:

Exemplo:

2) Obtenha a derivada direcional de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2𝑦 − 𝑦𝑧3 + 𝑧 no ponto (1, -2, 0)

na direção e sentido do vetor 𝑎 = 2𝑖 + 𝑗 − 2𝑘.

Solução:

O gradiente será:

∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝑓𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘

∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −4𝑖 + 1𝑗 + 1𝑘

Como a não é um vetor unitário, normalizamos a e encontramos:

𝑢 =𝑎

𝑎 =

1

9 2𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 =

2

3𝑖 +

1

3𝑗 −

2

3𝑘

Então, obtemos:

𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 = ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝑢

𝐷𝑢𝑓 1, −2,0 = −4𝑖 + 1𝑗 + 1𝑘 ∙ 2

3𝑖 +

1

3𝑗 −

2

3𝑘 = −4

2

3 + 1

1

3 + 1 −

2

3 = −3

Agora já temos condições de fazer a letra c daquele primeiro exemplo dado.

Exemplo

1) Imagine uma chapa de aço que é aquecida a partir de seu centro, sendo este

aquecimento dado pela equação 𝑇 𝑥, 𝑦 = −𝑥2 − 𝑦2 + 80 sendo T em °C e x e

y em cm. Uma formiga está sobre esta chapa no ponto (1,1). Calcule:

a) Se a formiga decidir caminhar na direção positiva de 𝑥, qual será a taxa de



b) Se a formiga decidir caminhar na direção positiva de 𝑦, qual será a taxa de



c) Se a formiga decidir caminhar em uma direção dada pelo vetor 𝑑 = 2𝑖 + 2𝑗,

qual será a taxa de variação da temperatura em relação à distância. A

temperatura estará aumentando ou diminuindo?

Solução

A letra a e b já foram feitas, vamos fazer agora a letra c

43

Na letra c a formiga deseja caminhar um uma direção dada pelo vetor

𝑑 = 2𝑖 + 2𝑗. Vamos primeiro calcular o versor do vetor d, isto é, o vetor unitário da

direção:

𝑢 =2𝑖 + 2𝑗

22 + 22=

2𝑖 + 2𝑗

8=

2𝑖 + 2𝑗

2 2=

2

2𝑖 +

2

2𝑗

Agora que temos a direção como um vetor unitário vamos calcular o gradiente da

função:

∇𝑓 = 𝑓𝑥 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑗

∇𝑓 = −2𝑥𝑖 − 2𝑦𝑗 ∇𝑓 1,1 = −2(1)𝑖 − 2(1)𝑗 ∇𝑓 1,1 = −2𝑖 − 2𝑗

Agora resta apenas calcular a derivada direcional:

𝐷𝑢𝑓 1,1 = ∇𝑓(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑢

𝐷𝑢𝑓 1,1 = −2𝑖 − 2𝑗 ∙ 2

2𝑖 +

2

2𝑗

𝐷𝑢𝑓 1,1 = −4

2−

4

2

𝐷𝑢𝑓 1,1 = −8

2= −5,66 °𝐶/𝑐𝑚

Com isso, concluímos que se a formiga caminhar nesta direção a

temperatura irá começar a diminuir a uma taxa de −5,66 °𝐶/𝑐𝑚.

Propriedades do gradiente

O gradiente não é meramente um dispositivo notacional para simplificar a

fórmula para a derivada direcional. Veremos que o comprimento e a direção do

gradiente ∇𝑓 fornecem informação importante sobre a função f e a superfície

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

Se considerarmos a multiplicação escalar do gradiente pela direção em

termos do cosseno, teremos:

𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = ∇𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑢 = ∇𝑓 𝑥, 𝑦 𝑢 cos 𝜃 = ∇𝑓 𝑥, 𝑦 cos(𝜃)

Onde o ângulo 𝜃 é o ângulo entre ∇𝑓 𝑥, 𝑦 e 𝑢.

Podemos fazer as seguintes considerações:

Se ∇𝑓 𝑥, 𝑦 ≠ 0

Esta equação tem valor máximo crescente de 𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 quando 𝜃 = 0, ou

seja, a direção de ∇𝑓 𝑥, 𝑦 é a mesma de 𝑢, e este valor é ∇𝑓 𝑥, 𝑦 , visto que

44

𝑐𝑜𝑠(0) = 1. Geometricamente, isso significa que a superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tem sua

inclinação máxima em um ponto (x,y) na direção do gradiente.

Analogamente, a equação tem valor máximo decrescente de 𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0

quando 𝜃 = 𝜋, ou seja, a direção oposta a 𝑢, e este valor é − ∇𝑓 𝑥, 𝑦 , visto que

cos −𝜋 = −1. Geometricamente, isso significa que a superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tem sua

inclinação decrescente máxima em um ponto (x,y) no sentido oposto ao gradiente.

Finalmente, no caso das direções ortogonais ao gradiente, isto é, nas

direções que formam um ângulo de 90° com o gradiente, o valor de 𝐷𝑢𝑓 𝑥0 , 𝑦0 é

zero, uma vez que cos 𝜋

2 = 0 e cos

3𝜋

2 = 0.

Se ∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 0

A derivada direcional em qualquer direção será zero. Geometricamente, isso

significa que este ponto é um ponto de máximo ou mínimo relativo ou um ponto de

sela.

Teorema Seja f uma função de duas ou três variáveis e denotemos por P o ponto 𝑃(𝑥0 , 𝑦0) ou

𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0), respectivamente. Suponha que f seja diferenciável em P.

a) Se ∇𝑓 = 0 em P, então todas as derivadas direcionais em P são nulas.

b) Se ∇𝑓 ≠ 0 em P, então dentre todas as possíveis derivadas direcionais de f

em P, a derivada em P na direção e sentido de ∇𝑓 tem o maior valor

crescente. O valor dessa derivada direcional máxima crescente é ∇𝑓 .

c) Se ∇𝑓 ≠ 0 em P, então dentre todas as possíveis derivadas direcionais de f

em P, a derivada em P na direção e sentido oposto de ∇𝑓 tem o maior valor

decrescente. O valor dessa derivada direcional máxima decrescente é

− ∇𝑓 .

Exemplo:

Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑦 . Determine o valor máximo de uma derivada direcional em

(−2,0), e determine o vetor unitário na direção e sentido do qual o valor máximo

ocorre.

45

Solução:

Ima vez que:

∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗 = 2𝑥𝑒𝑦 𝑖 + 𝑥2𝑒𝑦𝑗

O gradiente de f em (-2,0) é:

∇𝑓 −2,0 = −4𝑖 + 4𝑗

Pelo teorema, o valor máximo da derivada direcional é:

∇𝑓(−2,0) = (−4)2 + 42 = 32 = 4 2

Esse máximo ocorre na direção de ∇𝑓 −2,0 . O vetor unitário desta direção é:

𝑢 =∇𝑓 −2,0

∇𝑓(−2,0) =

−4

4 2i +

4

4 2j = −

1

2𝑖 +

1

2𝑗

Os gradientes são normais à curva de nível

Vimos que o gradiente aponta na direção e sentido em que a função cresce

mais rapidamente. Vejamos agora, como essa direção e sentido da taxa de

crescimento máximo podem ser determinados a partir do mapa de contornos de

uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) de duas variáveis.

Já sabemos que cada curva de nível em um mapa de contornos nos dá um nível em

que a função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tem valor constante, ou seja, pensando em termos de taxa

de variação, a variação de z é nula. Sabemos também que o gradiente aponta

sempre na direção e sentido da maior derivada de crescimento, ou a maior taxa de

variação crescente. Com isso, podemos concluir que o gradiente será sempre

ortogonal à curva de nível. A prova deste conceito pode ser encontrada no livro

texto. Podemos observar este fato melhor através de um exemplo:

Exemplo:

Considere 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑦, desenhe o mapa de contornos da função quando

z = 1, z = 5 e z = 7. Encontre a direção de variação máxima de crescimento da

função nos pontos (1,1), (2,3) e (-2,1) e desenhe no mapa de contornos.

Solução:

Encontrando as equações de curva de nível, teremos:

2𝑥2 − 𝑦 = 1 𝑦 = 2𝑥2 − 1

2𝑥2 − 𝑦 = 5 𝑦 = 2𝑥2 − 5

2𝑥2 − 𝑦 = 7 𝑦 = 2𝑥2 − 7

Desenhando o mapa de contornos temos:

46

Para encontrar a direção de máximo crescimento faremos:

∇𝑓 = 4𝑥𝑖 − 𝑗

∇𝑓 1,1 = 4𝑖 − 𝑗 𝑒 𝑢 =4

17𝑖 −

1

17𝑗

∇𝑓 2,3 = 8𝑖 − 3𝑗 𝑒 𝑢 =8

73𝑖 −

3

73𝑗

∇𝑓 −2,1 = −8𝑖 − 𝑗 𝑒 𝑢 = −8

65𝑖 −

1

65𝑗

Desenhando os vetores teremos:

Aula 31

Exercícios:

1) Encontre 𝐷𝑢𝑓 em P.

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = (1 + 𝑥𝑦)3/2; 𝑃(3,1); 𝑢 =1

2𝑖 +

1

2𝑗

b. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒2𝑥𝑦 ; 𝑃(4,0); 𝑢 = −3

5𝑖 +

4

5𝑗

c. 𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(1 + 𝑥2 + 𝑦); 𝑃(0,0); 𝑢 = −1

10𝑖 −

3

10𝑗

d. 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 3𝑥5𝑦2𝑧3; 𝑃(2, −1,1); 𝑢 =1

3𝑖 +

2

3𝑗 −

2

3𝑘

e. 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑒𝑥𝑧 + 𝑧2; 𝑃(0,2,3); 𝑢 =2

7𝑖 −

3

7𝑗 +

6

7𝑘

2) Encontre a derivada direcional de f em P na direção de a.

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥3𝑦2; 𝑃(2,1); 𝑎 = 4𝑖 − 3𝑗

47

b. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 4𝑦3; 𝑃(−2,0); 𝑎 = 𝑖 + 2𝑗

c. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦2ln(𝑥); 𝑃(1,4); 𝑎 = −3𝑖 + 3𝑗

d. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥cos(𝑦); 𝑃 0,𝜋

4 ; 𝑎 = 5𝑖 − 2𝑗

e. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦

𝑥 ; 𝑃(−2,2); 𝑎 = −𝑖 − 𝑗

3) Encontre o gradiente de f no ponto indicado.

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥2 + 𝑥𝑦)3; (−1, −1)

b. 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥2 + 𝑦2)−1/2; (3,4)

c. 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦ln(𝑥 + 𝑦 + 𝑧); (−3,4,0)

d. 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦2𝑧 𝑡𝑔3(𝑥); (𝜋/4, −3,1)

4) Encontre um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em

P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção:

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥3𝑦2; 𝑃(−1,1)

b. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 − ln(𝑦); 𝑃(2,4)

c. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2; 𝑃(4, −3)

d. 𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑥

𝑥+𝑦; 𝑃(0,2)

e. 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥3𝑧2 + 𝑦3𝑧 + 𝑧 − 1; 𝑃(1,1, −1)

5) A temperatura em °C em um ponto (x,y) de uma placa de metal no plano xy

é:

𝑇 𝑥, 𝑦 =𝑥𝑦

1 + 𝑥2 + 𝑦2

a. Encontre a taxa de variação da temperatura em (1,1) na direção e

sentido de 𝑎 = 2𝑖 − 𝑗.

b. Uma formiga em (1,1) precisa andar na direção na qual a temperatura

baixe mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção.

6) Numa certa montanha, a elevação z acima de um ponto (x,y), num plano xy ao

nível do mar, é de 𝑧 = 2000 − 0,02𝑥2 − 0,04𝑦2, onde x, y e z são dados em

metros. O eixo x positivo aponta para o Leste e o eixo y positivo para o

Norte. Um montanhista está no ponto (-20,5,1991).

a. Se o montanhista utilizar uma bússola para caminhar em direção ao

Oeste, ele estará começando a subir ou descer?

b. Se o montanhista utilizar uma bússola para caminhar em direção ao

Nordeste, ele estará subindo ou descendo? A que taxa?

c. Em qual direção da bússola o montanhista deveria começar a

caminhar para percorrer uma curva de nível, isto é, não subir nem

descer (duas respostas)?

7) A temperatura em °C em um ponto (x,y,z) de um sólido metálico é:

𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 =𝑥𝑦𝑧

1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

a. Encontre a taxa de variação da temperatura em relação à distância

em (1,1,1) na direção da origem.

48

b. Encontre a direção na qual a temperatura eleva-se mais rapidamente

no ponto (1,1,1). (Expresse a sua resposta como um vetor unitário.)

c. Encontre a taxa na qual a temperatura eleva-se movendo-se de (1,1,1)

na direção encontrada em b) .

Aula 32

Máximos e Mínimos de funções de duas variáveis

Extremos

Se imaginarmos o gráfico de uma função f de duas variáveis como sendo uma

cadeia de montanhas, então os cumes, que são os pontos altos de suas vizinhanças

imediatas, são chamados de máximos relativos de f e as bases dos valores, que são

os pontos baixos de suas vizinhanças imediatas, são chamados de mínimos relativos

de f.

Assim como um geólogo pode estar interessado em determinar a montanha

mais alta e o vale mais profundo em toda uma cadeia de montanhas, também um

matemático pode estar interessado em determinar o maior e o menor valor de

f(x,y) sobre um domínio inteiro de f. Esses são chamados de valores máximos

absolutos e mínimos absolutos de f.

Definição: Diz-se que uma função de duas variáveis tem um máximo relativo em um ponto

(x0,y0) se há um circulo centrado em (x0,y0), de modo que 𝑓(𝑥0 , 𝑦0) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) para

todos os pontos (x,y) do domínio de f que estão dentro do círculo, e diz-se que f

tem um máximo absoluto em (x0,y0) se 𝑓(𝑥0 , 𝑦0) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) para todos os pontos (x,y)

do domínio de f.

49

Definição: Diz-se que uma função de duas variáveis tem um mínimo relativo em um ponto

(x0,y0) se há um circulo centrado em (x0,y0), de modo que 𝑓(𝑥0 , 𝑦0) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) para

todos os pontos (x,y) do domínio de f que estão dentro do círculo, e diz-se que f

tem um mínimo absoluto em (x0,y0) se 𝑓(𝑥0 , 𝑦0) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) para todos os pontos (x,y)

do domínio de f.

Se f tiver um máximo ou mínimo relativo em (x0,y0), dizemos que f tem um

extremo relativo em (x0,y0), e se f tiver um máximo ou mínimo absoluto em (x0,y0),

dizemos que f tem um extremo absoluto em (x0,y0).

A figura abaixo mostra o gráfico de uma função f cujo domínio é a região

quadrada fechada no plano xy dos pontos que satisfazem as desigualdades

0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1. A função f tem mínimo relativo no ponto C e um máximo

relativo em B. Há um mínimo absoluto em A e um máximo absoluto em D.

Conjuntos limitados

Assim como distinguimos entre intervalos finitos e infinitos da reta real,

vamos querer distinguir entre regiões de “extensão finita” e regiões de “extensão

infinita” no espaço bi ou tridimensional. Um conjunto no espaço bidimensional é

denominado limitado se o conjunto inteiro couber dentro de algum retângulo, e é

denominado ilimitado se não houver retângulo que contenha todos os pontos do

conjunto. Analogamente, um conjunto de pontos no espaço tridimensional é

limitado se o conjunto couber dentro de uma caixa e é ilimitado, caso contrário.

Conjunto limitado no

espaço bidimensional

Conjunto ilimitado no

espaço bidimensional

Conjunto limitado no

espaço

tridimensional

50

Teorema do valor extremo

Definição: (Teorema do valor extremo): Se 𝑓(𝑥, 𝑦) for contínua em um conjunto fechado e

limitado R, então f tem ambos máximo e mínimo absolutos em R

Encontrando extremos relativos

Lembre-se que se uma função g de uma variável tiver um extremo relativo

em um ponto x0 onde g é diferenciável, então 𝑔’ 𝑥0 = 0. Para obter o análogo deste

resultado para funções de duas variáveis, suponha que 𝑓(𝑥, 𝑦) tenha um máximo

relativo em (𝑥0 , 𝑦0) e que as derivadas parciais de f existam em (𝑥0 , 𝑦0). Parece

plausível, geometricamente, que os traços da superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) sobre planos

𝑥 = 𝑥0 e 𝑦 = 𝑦0 tenham retas tangentes horizontais em (𝑥0 , 𝑦0), logo:

𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 = 0 𝑒 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 = 0

A mesma conclusão é válida se f tiver um mínimo

relativo em (𝑥0 , 𝑦0) e isso tudo sugere o seguinte

resultado:

Teorema: (Teorema do valor relativo): Se f tiver um extremo relativo em um ponto (𝑥0 , 𝑦0)

e se as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesse ponto, então: 𝑓𝑥 𝑥0, 𝑦0 = 0 𝑒 𝑓𝑦 𝑥0, 𝑦0 = 0

Definição: Um ponto 𝑥0 , 𝑦0 no domínio de uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) é denominado ponto crítico da

função se 𝑓𝑥 𝑥0 , 𝑦0 = 0 𝑒 𝑓𝑦 𝑥0 , 𝑦0 = 0 ou se uma ou ambas derivadas parciais

não existirem em 𝑥0 , 𝑦0

Uma função de duas variáveis não precisa ter um extremo relativo em cada

ponto crítico. Por exemplo, considere a função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 − 𝑥2. Essa função. Cujo

gráfico é o parabolóide hiperbólico mostrado, tem um ponto crítico em (0,0), pois:

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = −2𝑥 𝑒 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 2𝑦

𝑓𝑥 0,0 = 0 𝑒 𝑓𝑦 0,0 = 0

Entretanto, a função f não tem um máximo nem um

mínimo relativo em (0,0). Por razões óbvias, o ponto (0,0) é

chamado de ponto de sela em 𝑥0 , 𝑦0 .

51

Teste da derivada segunda

Teorema: (Teste da derivada segunda) Seja f uma função de duas variáveis com derivadas

parciais de segunda ordem contínuas em algum círculo centrado em um ponto

crítico 𝑥0 , 𝑦0 e seja 𝐷 = 𝑓𝑥𝑥 𝑥0 , 𝑦0 𝑓𝑦𝑦 𝑥0, 𝑦0 − 𝑓𝑥𝑦

2 𝑥0, 𝑦0

a) Se 𝐷 > 0 𝑒 𝑓𝑥𝑥 𝑥0 , 𝑦0 > 0, então f tem um mínimo relativo em 𝑥0 , 𝑦0 .

b) Se 𝐷 > 0 𝑒 𝑓𝑥𝑥 𝑥0 , 𝑦0 < 0, então f tem um máximo relativo em 𝑥0 , 𝑦0 .

c) Se 𝐷 < 0, então f tem um ponto de sela em 𝑥0 , 𝑦0 .

d) Se 𝐷 = 0, então nenhuma conclusão pode ser tirada.

Exemplo:

1) Localize todos os extremos relativos e pontos de sela de:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 8𝑦

Solução:

Como 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 6𝑥 − 2𝑦 e 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = −2𝑥 + 2𝑦 − 8, os pontos críticos de f

satisfazem as equações:

6𝑥 − 2𝑦 = 0 −2𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0

Resolvendo-as para x e y, obtemos x = 2 e y = 6, logo (2,6) é o único ponto

crítico. Para aplicar o teorema, precisamos das derivadas de segunda ordem:

𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 6 𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = 2

𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = −2

No ponto temos:

𝐷 = 𝑓𝑥𝑥 2,6 𝑓𝑦𝑦 2,6 − 𝑓𝑥𝑦2 2,6 = 6 2 − (−2)2 = 8 > 0

𝑓𝑥𝑥 2,6 = 6 > 0

Logo f tem um mínimo relativo em (2,6) pela parte a) do teste da derivada

segunda.

2) Localize todos os extremos relativos e os pontos de sela de

𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥𝑦 − 𝑥4 − 𝑦4

Solução:

Como:

52

𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 4𝑦 − 4𝑥3

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 4𝑥 − 4𝑦3

Os pontos críticos de f têm coordenadas que satisfazem as equações:

4𝑦 − 4𝑥3 = 0 𝑦 = 𝑥3 4𝑥 − 4𝑦3 = 0 𝑥 = 𝑦3

Substituindo as equações e resolvendo x temos:

𝑥 = 𝑥3 3 = 𝑥9

sendo assim

𝑥9 − 𝑥 = 0

𝑥 𝑥8 − 1 = 0 𝑥 = 0

𝑥8 − 1 = 0 𝑥8 = 1 𝑥 = ± 18

𝑥 = 0, 𝑥 = 1 e 𝑥 = −1

Portanto, os pontos críticos são:

0,0 , 1,1 , (−1, −1)

Calculando a derivada segunda temos:

𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = −12𝑥2 , 𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = −12𝑦2, 𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 4

E obtemos a tabela a seguir:

PONTO CRÍTICO (𝑥0 , 𝑦0) 𝑓𝑥𝑥 (𝑥0, 𝑦0) 𝑓𝑦𝑦 (𝑥0 , 𝑦0) 𝑓𝑥𝑦 (𝑥0, 𝑦0) 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑦 − 𝑓𝑥𝑦

2 )

(0,0) 0 0 4 -16

(1,1) -12 -12 4 128

(−1, −1) -12 -12 4 128

Nos pontos (1,1) e (-1,-1), temos D > 0 e fxx < 0, logo ocorrem máximos relativos

nesses pontos críticos. Em (0,0), há um ponto de sela, já que D < 0.

Aula 33

Exercícios:

1) Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela se

houver.

53

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 + 𝑥𝑦 + 3𝑦 + 2𝑥 + 3

b. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 2𝑦 − 2𝑥 + 1

c. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 3𝑥

d. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2

e. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 +2

𝑥𝑦

f. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑦

g. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦 − 𝑒𝑦

h. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 +2

𝑥+

4

𝑦

i. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)

j. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Aula 34

Resolução dos exercícios da página 52.

Aula 35

Encontrando extremos absolutos em conjuntos fechados e

limitados

Se 𝑓(𝑥, 𝑦) for contínua num conjunto fechado e limitado R, então o Teorema

do Valor Extremo garante a existência de uma máximo e um mínimo absoluto de f

em R. Esses extremos absolutos podem ocorrer no interior ou na fronteira de R,

mas se um extremo absoluto ocorre no interior de R então ele ocorre em um ponto

crítico.

Como encontrar os extremos absolutos de uma função contínua de duas variáveis em um conjunto fechado limitado R. Passo 1 : Encontre os pontos críticos de f que estão situados no interior de R.

Passo 2 : Encontre todos os pontos de fronteira nos quais os extremos podem

ocorrer.

Passo 3 : Calcule 𝑓(𝑥, 𝑦) nos pontos obtidos nos passos precedentes. O maior

desses valores é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.

Exemplo:

1) Encontre os valores máximo e mínimo absoluto de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦 − 6𝑥 − 3𝑦 +

7 na região triangular fechada R de vértices (0,0), (3,0) e (0,5).

54

Solução:

Primeiramente iremos procurar pelos pontos críticos, possíveis extremos

absolutos que se encontram no interior da região. Para isto basta fazer as

derivadas parciais iguais a zero:

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 3𝑦 − 6 = 0 𝑒

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 3𝑥 − 3 = 0

Logo, todos os pontos críticos ocorrem onde

3𝑦 − 6 = 0 3𝑥 − 3 = 0 3𝑦 = 6 3𝑥 = 3

𝑦 =6

3 𝑥 =

3

3

𝑦 = 2 𝑥 = 1

Teremos então 𝑥 = 1 e 𝑦 = 2, logo (1,2) é o único ponto crítico no interior da

região R.

Em seguida, queremos determinar as localizações dos pontos sobre a

fronteira da região R nos quais pode ocorrer um valor extremo. A fronteira de R

consiste em três segmentos de retas, cada um dos quais tratados separadamente:

O segmento de reta entre (0,0) e (3,0): Nesse segmento de reta temos que

todos os valores de 𝑦 = 0, logo podemos simplificar a função para uma

função de uma única variável 𝑥 substituindo 𝑦 por zero na função 𝑓(𝑥, 𝑦).

𝑓 𝑥, 0 = −6𝑥 + 7, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3

Esta é a função que descreve a fronteira (0,0) - (3,0). Vamos agora procurar

por possíveis pontos extremos sobre esta fronteira. Para isso, faremos a derivada

igual a zero.

𝜕𝑓(𝑥, 0)

𝜕𝑥= −6

55

Essa fronteira não tem um ponto crítico, pois 𝜕𝑓 (𝑥 ,0)

𝜕𝑥= −6 e não pode ser

igualada a zero. Assim, os valores extremos ocorrem apenas nos pontos que

correspondem aos extremos da fronteira, ou seja, (0,0) e (3,0).

O segmento de reta entre (0,0) e (0,5): Nesse segmento de reta temos

todos os valores de 𝑥 = 0, logo podemos simplificar a função para uma

função de uma única variável 𝑦 substituindo os 𝑥 por zero. Assim, teremos:

𝑓 0, 𝑦 = −3𝑦 + 7, 0 ≤ 𝑦 ≤ 5

Esta é a função que descreve a fronteira (0,0) - (0,5). Vamos agora procurar

por possíveis pontos extremos sobre esta fronteira. Para isso, faremos a derivada

igual a zero.

𝜕𝑓(𝑥, 0)

𝜕𝑥= −3

Essa fronteira também não tem um ponto crítico, pois 𝜕𝑓 (0,𝑦)

𝜕𝑦= −3 e não

pode ser igualada a zero. Assim, os valores extremos ocorrem apenas nos pontos

que correspondem aos extremos da fronteira, ou seja, (0,0) e (5,0).

O segmento de reta entre (3,0) e (0,5): No plano 𝑥𝑦, esta fronteira pode ser

representada a partir de uma função do primeiro grau. Utilizando os

conceitos de equações de primeiro grau teremos a função:

𝑦 = −5

3𝑥 + 5, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3

Esta função representa a fronteira (3,0)-(0,5). Logo, podemos simplificar a

função 𝑓(𝑥, 𝑦) para uma função de uma única variável 𝑥, bastando para isto

substituir o valor de y pela função da fronteira, em outras palavras, substituir a

equação da fronteira em 𝑓(𝑥, 𝑦). Assim, teremos:

𝑓 𝑥, −5

3𝑥 + 5 = 3𝑥 −

5

3𝑥 + 5 − 6𝑥 − 3 −

5

3𝑥 + 5 + 7

𝑓 𝑥, −5

3𝑥 + 5 = −5𝑥2 + 15𝑥 − 6𝑥 + 5𝑥 − 15 + 7

𝑓 𝑥, −5

3𝑥 + 5 = −5𝑥2 + 14𝑥 − 8

Vamos agora procurar por possíveis pontos extremos sobre esta fronteira.

Para isso, faremos a derivada igual a zero.

56

𝜕𝑓(𝑥, −

53

𝑥 + 5)

𝜕𝑦= −10𝑥 + 14 = 0

−10𝑥 + 14 = 0 10𝑥 = 14

𝑥 =14

10=

7

5

Neste caso, esta fronteira terá pontos críticos. Para 𝑥 =7

5, o valor de 𝑦

será:

𝑦 = −5

3𝑥 + 5

𝑦 = −5

3

7

5 + 5

𝑦 = −7

3+ 5

𝑦 =8

3

Logo, o ponto 7

5,

8

3 é um possível extremo que se encontra sobre a fronteira

(3,0)-(0,5). Além deste ponto encontrado temos que considerar também os vértices

(3,0) e (0,5) da fronteira como possíveis

Assim, podemos construir uma tabela com todos os pontos críticos e seus

respectivos valores 𝑓(𝑥, 𝑦).

(𝑥, 𝑦) (0,0) (3,0) (0,5) 7

5,8

3 (1,2)

𝑓(𝑥, 𝑦) 7 −11 −8 9

5 1

Analisando os valores de 𝑓 𝑥, 𝑦 para os pontos encontrados concluímos o

valor máximo absoluto de 𝑓 é 𝑓 0,0 = 7 e o valor mínimo absoluto é 𝑓 3,0 = −11,

ou seja, o máximo absoluto é o ponto (0,0) e o mínimo absoluto é o ponto (3,0).

Aula 36

Exercícios:

1) Encontre os extremos absolutos da função dada no conjunto fechado e

limitado R indicado.

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 − 𝑥 − 3𝑦; R e a região triangular com vértices (0,0), (0,4)

e (5,0).

57

b. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 − 2𝑥; R é a região triangular com vértices (0,0), (0,4) e

(4,0).

c. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑦2 − 2𝑥 + 6𝑦; R é a região quadrada com vértices

(0,0), (0,2), (2,2) e (2,0)

d. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑦 − 𝑥2 − 𝑒𝑦 ; R é a região retangular com vértices (0,0),

(0,1), (2,1) e (2,0).

e. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥; R é a região circular 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4.

f. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦2; R é a região que satisfaz as desigualdades 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥

0 𝑒 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1

2) Determine três números positivos cuja soma seja 48 e tais que seu produto

seja maior possível.

3) Determine três números positivos cuja soma seja 27 e tais que seu produto

seja o maior possível.

4) Uma caixa retangular com volume de 16 cm3 é feita de dois tipos de

materiais. O topo e a base são feitos de um material que custa 0,10 R$/cm2

e os lados de uma material que custa 0,05 R$/cm2. Determine as dimensões

da caixa de moto que o custo dos materiais seja minimizado.

Aula 37

Resolução dos exercícios da página 55.

Aula 38


Aula 39


Aula 40


Aula 41

58

Prova 01

Aula 42

Prova 01

Aula 43

Multiplicadores de Lagrange

Introdução

Muitas vezes precisamos calcular extremos que possuem algumas

restrições, como o exemplo de uma caixa, onde temos uma quantidade

limitada de material para construí-la e queremos um volume máximo para a

caixa. Ou seja, um problema onde temos que maximizar o volume com a

restrição de quantidade de material. Poderíamos aplicar neste caso a teoria

de máximos e mínimos já estudada anteriormente, mas existe uma

ferramenta que facilita bastante o cálculo deste tipo de problema. Chama-

se “Multiplicadores de Lagrange”. Lagrange criou este método para calcular

extremos de problemas ligados à geometria, mas hoje o seu método é muito

usado em várias áreas da ciência, como na economia, engenharia entre

outras.

Método dos Multiplicadores de Lagrange

Se quisermos encontrar os extremos de uma função 𝑓(𝑥, 𝑦) com a

restrição 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑘 procedemos da seguinte forma.

Primeiro precisamos criar um sistema com três incógnitas e três

equações respeitando a igualdade abaixo, criada por Lagrange:

∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝜆∇𝑔(𝑥, 𝑦)

E considerando a condição

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑘

Onde a letra 𝜆 (lambda) é uma constante chamada de multiplicador de

Lagrange.

59

Se expandirmos os gradiente da primeira igualdade teremos:

𝑓𝑥 = 𝜆𝑔𝑥 𝑓𝑦 = 𝜆𝑔𝑦


Agora podemos calcular os valores de 𝑥, 𝑦 e 𝜆 que satisfazem o

sistema. Estes valores são os extremos da função 𝑓(𝑥, 𝑦) com a condição

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑘.

Para determinar qual é o ponto máximo e qual é o mínimo basta

substituir todos os pontos na função 𝑓(𝑥, 𝑦). O ponto que obtiver o maior

resultado é o máximo, e o que obtiver o menor resultado é o mínimo.

Para funções com três variáveis, o processo é o mesmo, sendo:

∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜆∇𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)

e

𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘

E as equações são:


𝑓𝑧 = 𝜆𝑔𝑧 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘

Exemplo:

1) Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão.

Determine o volume máximo desta caixa:

Temos que maximizar o volume com a restrição de que temos 12 m2 de

material. Sendo assim temos:

60

O volume, que é a equação que queremos maximizar, pode ser

calculado com:

V xyz

Restrição e a quantidade de material utilizado para construir a caixa,

que pode ser calculada com a seguinte equação:

𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 = 12

Calculando as derivadas parciais teremos


𝑓𝑧 = 𝜆𝑔𝑧 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘

𝑦𝑧 = 𝜆(𝑦 + 2𝑧) 𝑥𝑧 = 𝜆(𝑥 + 2𝑧) 𝑥𝑦 = 𝜆(2𝑥 + 2𝑦) 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 = 12

Agora temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas. Este

sistema pode ser resolvido da forma que você preferir. Neste caso, vamos

multiplicar as equações como segue:

𝑦𝑧 = 𝜆 𝑦 + 2𝑧 (𝑥) 𝑥𝑧 = 𝜆 𝑥 + 2𝑧 (𝑦) 𝑥𝑦 = 𝜆 2𝑥 + 2𝑦 (𝑧) 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 = 12

Teremos que:

𝑥𝑦𝑧 = 𝜆 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 𝑥𝑦𝑧 = 𝜆 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 𝑥𝑦𝑧 = 𝜆 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 = 12

Utilizando as duas primeiras equações, temos que:

𝑥𝑦𝑧 = 𝜆 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 = 𝜆(𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧) 𝜆 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 = 𝜆(𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧) 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 = 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧

61

2𝑥𝑧 = 2𝑦𝑧 𝑥 = 𝑦

Agora utilizando a segunda e terceira equação, teremos:

𝑥𝑦𝑧 = 𝜆 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 = 𝜆(2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧) 𝜆 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 = 𝜆 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 𝑥𝑦 + 2𝑦𝑧 = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 𝑦 = 2𝑧

Concluindo, temos que:

𝑥 = 𝑦 = 2𝑧

Agora substituindo na última equação, temos:

𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 = 12 2𝑧 2𝑧 + 2 2𝑧 𝑧 + 2 2𝑧 𝑧 = 12 4𝑧2 + 4𝑧2 + 4𝑧2 = 12 12𝑧2 = 12 𝑧2 = 1

𝑧 = ± 1 𝑧 = ±1

Como as dimensões da caixa não podem ser negativas, temos:

𝑧 = 1 𝑥 = 𝑦 = 2𝑧 𝑥 = 𝑦 = 2(1) 𝑥 = 2 𝑦 = 2

2) Determine os valores extremos da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 no círculo

𝑥2 + 𝑦2 = 1.

A função que devemos calcular os extremos é 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 e a restrição

é 𝑥2 + 𝑦2 = 1.

Sendo assim, teremos:



1 = 𝜆2𝑥

62

2 = 𝜆2𝑦 𝑥2 + 𝑦2 = 1

Isolando o 𝜆 na primeira equação teremos:

1 = 𝜆2𝑥

𝜆 =1

2𝑥

Substituindo o λ encontrado na segunda equação teremos:

2 = 𝜆2𝑦

2 =1

2𝑥2𝑦

2 =2𝑦

2𝑥

2 =𝑦

𝑥

𝑦 = 2𝑥

Então, usando a terceira equação teremos o valor de 𝑥:

𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑥2 + 2𝑥 2 = 1 𝑥2 + 4𝑥2 = 1 5𝑥2 = 1

𝑥2 =1

5

𝑥 = ± 1

5= ±

1

5

Agora resta apenas calcular o valor de y, sendo assim:

𝑦 = 2𝑥

Para 𝑥 = 1/ 5

𝑦 = 2 1

5

𝑦 =2

5

Para 𝑥 = −1/ 5

𝑦 = 2 −1

5

𝑦 = −2

5

63

Portanto temos:

1

5,

2

5

e

−1

5, −

2

5

Resta agira saber qual é o máximo e qual é o mínimo. Para isso, basta

substituir os pontos na equação.

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2𝑦

𝑓 1

5,

2

5 =

1

5+ 2

2

5=

1

5+

4

5=

5

5= 5

𝑓 −1

5, −

2

5 = −

1

5+ 2

−2

5= −

1

5−

4

5= −

5

5= − 5

Sendo assim, concluímos que 1

5,

2

5 é o ponto máximo e −

1

5, −

2

5 é o

ponto mínimo.

Duas restrições

Se quisermos agora calcular os extremos de uma função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) com

duas restrições 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 e 𝑕 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐 teremos:

∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜆∇𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝜇∇𝑕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Sendo que 𝜆 e 𝜇 são os multiplicadores de Lagrange.

Podemos escrever o sistema:

𝑓𝑥 = 𝜆𝑔𝑥 + 𝜇𝑕𝑥 𝑓𝑦 = 𝜆𝑔𝑦 + 𝜇𝑕𝑦

𝑓𝑧 = 𝜆𝑔𝑧 + 𝜇𝑕𝑧 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 𝑕 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑐

Aula 44

Exercícios:

1) Encontre os extremos sobre a elipse 𝑥2 + 2𝑦2 = 1 onde 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦

tem seus valores extremos.

64

2) Encontre os valores extremos de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 sujeitos a

restrição𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 10 = 0.

3) Encontre o ponto sobre o plano 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 13 mais próximo do

ponto (1,1,1). Dica: A distância é calculada a partir da equação

𝑥 − 𝑥0 2 + 𝑦 − 𝑦0 2 + 𝑧 − 𝑧0 2 ou seja,

𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 1 2 + 𝑧 − 1 2.

4) Encontre o ponto sobre a esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 mais distante do

ponto (1, −1,1).

5) Encontre três números reais cuja soma seja 9 e cuja soma de seus

quadrados seja o menor possível.

6) Uma caixa sem tampa deve ser construída de forma que seu volume

seja o máximo possível. Temos apenas 1 m2 de material para construir

a caixa. Que dimensões deve ter a caixa?

7) Você está encarregado de construir um radiotelescópio em um

planeta recentemente descoberto. Para minimizar a interferência,

você deseja colocá-lo onde o campo magnético do planeta é mais

fraco. O planeta é esférico com raio de 6 unidades, ou seja 𝑥2 + 𝑦2 +

𝑧2 = 36 . Com base em um sistema de coordenadas cuja origem está

no centro do planeta, a intensidade do campo magnético é dada por

𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 6𝑥 − 𝑦2 + 𝑥𝑧 + 60. Quais as coordenadas do local onde

você posicionaria o radiotelescópio?

Aula 45

Integrais Múltiplas

Volume

Lembre-se que a integral definida de uma função de uma variável

𝑓 𝑥 𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = limmax ∆𝑥𝑘→0

𝑓(𝑥𝑘∗)∆𝑥𝑘

𝑛

𝑘=1

Originou-se do problema de calcular áreas sob curvas.

65

Agora iremos estender esta integral para calcular o volume sob uma região

limitada. Para isso iremos utilizar as integrais duplas.

Vamos considerar uma função f de duas variáveis definida em um retângulo

fechado

𝑅 = 𝑎, 𝑏 𝑥 𝑐, 𝑑 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑

E vamos inicialmente supor 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0. O gráfico de f é a superfície co equação

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do

gráfico de f, ou seja,

𝑆 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3|0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) , (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ

Nosso objetivo é determinar o volume de S. O primeiro passo consiste em

dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o subintervalo [a,b]

em m subintervalos [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖] de mesmo comprimento ∆𝑥 = (𝑏 − 𝑎)/𝑚 e dividindo o

intervalo [c,d] em n subintervalos iguais [𝑦𝑖−1 , 𝑦𝑖] de comprimento ∆𝑦 = (𝑑 − 𝑐)/𝑛.

𝑅𝑖𝑗 = 𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 𝑋 𝑦𝑖−1 , 𝑦𝑖 = (𝑥, 𝑦)|𝑥𝑖−1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖−1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑦𝑖

Cada um dos quais com área ∆𝐴 = ∆𝑥∆𝑦 .

Se escolhermos um ponto arbitrário, que chamaremos de ponto amostra,

(𝑥𝑖𝑗∗ , 𝑦𝑖𝑗

∗ ) em cada 𝑅𝑖𝑗 , poderemos aproximar a parte de S que está acima de cada 𝑅𝑖𝑗

e altura 𝑓(𝑥𝑖𝑗∗ , 𝑦𝑖𝑗

∗ ), como mostra a figura abaixo. O volume dessa caixa é dado pela

sua altura vezes a área do retângulo da base:

𝑓(𝑥𝑖𝑗∗ , 𝑦𝑖𝑗

∗ )∆𝐴

66

Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos

os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume

total de S.

𝑉 ≈ 𝑓(𝑥𝑖𝑗∗ , 𝑦𝑖𝑗

∗ )∆𝐴

𝑛

𝑗 =1

𝑚

𝑖=1

Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor

de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-

retângulo e então adicionamos os resultados. Podemos intuir que a aproximação do

volume V melhora quando aumentarmos os valores de m e n, e, portanto devemos

esperar que:

𝑉 = lim𝑚 ,𝑛→∞


∗ )∆𝐴

𝑛

𝑗 =1

𝑚

𝑖=1

Limites como este ocorrem com muita freqüência, não somente quando

estamos determinando volume, como também em uma variedade de outras

situações, mesmo f não sendo uma função positiva. Podemos dar a seguinte

definição:

Definição

A integral dupla de f sobre o retângulo R é

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =

𝑅

lim𝑚 ,𝑛→∞


∗ )∆𝐴

𝑛

𝑗 =1

𝑚

𝑖=1

Se esse limite existir.

Assim vemos que o volume pode ser escrito como uma integral dupla:

𝑉 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

67

Propriedades das Integrais Duplas

Listaremos aqui três propriedades das integrais duplas. Admitiremos que

todas as integrais existam:

𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

+ 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

𝑐𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

= 𝑐 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

Onde c é uma constante.

Se

𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑔(𝑥, 𝑦)

Então

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

≥ 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅

Integrais Iteradas

Lembremos que geralmente é difícil calcular as integrais de funções de uma

variável diretamente a partir de sua definição de integral. O cálculo de integrais

duplas pela definição é ainda mais complicado. Porém veremos uma maneira mais

fácil de calcular as integrais duplas.

Teorema de Fubini para o Cálculo de Integrais Duplas

Suponha que queiramos calcular o volume sob o plano 𝑧 = 4 − 𝑥 − 𝑦 sobre a

região retangular 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2,0 ≤ 𝑦 ≤ 1 no plano xy. Se aplicarmos um método de

fatiamento com fatias perpendiculares ao eixo x, podemos calcular a área da fatia

utilizando a integral:

𝐴 𝑥 = 4 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦𝑦=1

𝑦=0

Se calcularmos a área de infinitas fatias entre x = 0

e x = 2, e somarmos estas áreas teremos o volume. Este

somatório pode se feito através da integral:

𝐴 𝑥 𝑑𝑥𝑥=2

𝑥=0

Sendo assim:

𝑉 = 4 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦𝑦=1

𝑦=0

𝑑𝑥𝑥=2

𝑥=0

= 4𝑦 − 𝑥𝑦 −𝑦2

2 𝑦=0

𝑦=1

𝑑𝑥𝑥=2

𝑥=0

= 7

2− 𝑥 𝑑𝑥

𝑥=2

𝑥=0

=

= 7

2𝑥 −

𝑥2

2 𝑥=0

𝑥=1

= 5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠

68

A integral 4 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥1

0

2

0 é chamada de integral repetida ou integral

iterada e é utilizada para calcular o volume de uma região retangular R sob uma

superfície f(x,y).

Teorema

Teorema de Fubini (primeira forma): Se 𝑓 𝑥, 𝑦 for contínua na região retangular

𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, então:

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑏

𝑎

𝑑

𝑐

= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑

𝑐

𝑏

𝑎

𝑅

O Teorema de Fubini diz que as integrais duplas sobre retângulos podem ser

calculadas como integrais iteradas. Diz também que podemos calcular a integral

dupla integrando em qualquer ordem, o que é verdadeiramente conveniente, como

veremos mais adiante. Em particular, quando calculamos um volume por fatiamento,

podemos usar tanto planos perpendiculares ao eixo x quanto planos perpendiculares

ao eixo y.

Exemplo:

Calcule 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅 para 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 − 6𝑥2𝑦 e 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, −1 ≤ 𝑦 ≤ 1

Solução:

Pelo Teorema de Fubini,

(1 − 6𝑥2𝑦) 𝑑𝐴

𝑅

= 1 − 6𝑥2𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦2

0

1

−1

= 𝑥 − 2𝑥3𝑦 02𝑑𝑦 = 2 − 16𝑦 𝑑𝑦 =

1

−1

1

−1

= 2𝑦 − 8𝑦2 −11 = 4 𝑢𝑐

Trocando a ordem de integração, obtemos o mesmo resultado

1 − 6𝑥2𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥1

−1

2

0

= 𝑦 − 3𝑥2𝑦2 −11 𝑑𝑥 = [ 1 − 3𝑥2 − (−1 − 3𝑥2)]𝑑𝑥 =

2

0

2

0

= 2𝑑𝑥2

0

= 4 𝑢𝑐

Aula 46

Exercícios:

1) Esboce a região de integração e calcule a integral.

a. 4 − 𝑦2 𝑑𝑦2

0

3

0𝑑𝑥

b. 𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦 𝑑𝑦0

−2

3

0𝑑𝑥

c. 𝑥 + 𝑦 + 1 𝑑𝑥1

−1

0

−1𝑑𝑦

d. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos(𝑦) 𝑑𝑥𝜋

0

2𝜋

𝜋𝑑𝑦

69

2) Integre f sobre a região dada:

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1/(𝑥𝑦) sobre o quadrado 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2

b. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) sobre o retângulo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1

Aula 47

Integrais Duplas Sobre Regiões Não Retangulares

O cálculo de integrais duplas utilizando integrais iteradas estudado até

agora considerava uma região R retangular, porém este método pode ser

generalizado para regiões não retangulares.

Se 𝑓(𝑥, 𝑦) é positiva e contínua sobre R, definimos o volume da região sólida

entre R e a superfície 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) como sendo 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅. Se R é uma região não

retangular, como na fugura, limitada “acima” e “abaixo” pelas curvas 𝑦 = 𝑔2(𝑥) e

𝑦 = 𝑔1(𝑥) e dos lados pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, podemos novamente calcular o

volume pelo método do fatiamento, primeiro calculando a área da seção transversal

𝐴 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑦=𝑔2(𝑥)

𝑦=𝑔1(𝑥)

e então integrarmos 𝐴(𝑥) de 𝑥 = 𝑎 a 𝑥 = 𝑏 para obter o

volume como uma integral iterada:

𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑦=𝑔2 𝑥

𝑦=𝑔1 𝑥

b

a

𝑑𝑥

Teorema

Teorema de Fubini (Forma mais Forte): Se 𝑓 𝑥, 𝑦 for contínua na região R.

1) Se R for definida por 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2(𝑥), com 𝑔1 e 𝑔2 contínuas em

[a,b], então:

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑔2(𝑥)

𝑔1(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑅

2) Se R for definida por 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑕1(𝑦) ≤ 𝑥 ≤ 𝑕2(𝑦), com 𝑕1 e 𝑕2 contínuas em

[c,d], então:

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑕2(𝑦)

𝑕1(𝑦)

𝑑

𝑐

𝑅

Exemplo:

Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy limitado pelo eixo

x e pelas retas 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 = 1 e cujo topo está no plano

𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3 − 𝑥 − 𝑦

70

Solução:

Para qualquer x entre 0 e 1, y pode variar de y = 0 a y = x, assim:

𝑉 = 3 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑥

0

1

0

= 3𝑦 − 𝑥𝑦 −𝑦2

2 𝑦=0

𝑦=𝑥

𝑑𝑥1

0

= 3𝑥 −3𝑥2

2 𝑑𝑥 =

1

0

= 3𝑥2

2−

𝑥3

2 𝑥=0

𝑥=1

= 1 𝑢𝑐

Podemos, se for conveniente, inverter a ordem de integração, porém os

intervalos devem ser ajustados para isso.

𝑉 = 3 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥𝑥=1

𝑥=𝑦

1

0

𝑑𝑦 = 3𝑥 −𝑥2

2− 𝑥𝑦

𝑥=𝑦

𝑥=1

𝑑𝑦1

0

= 5

2− 4𝑦 +

3𝑦2

2 𝑑𝑦 =

1

0

= 5𝑦

2− 2𝑦2 +

𝑦3

2

0

1

= 1 𝑢𝑐

Embora o Teorema de Fubini nos garanta que a integral dupla pode ser

calculada como uma integral iterada em qualquer ordem de integração, o valor de

uma integral pode ser mais fácil de encontrar que o valor de outra.

71

Procedimentos para encontrar limites de integração

A. Para calcular 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴

𝑅 sobre uma região R, integrando primeiro em

relação a y e depois em relação a x, execute os seguintes passos:

Passo 1: Um esboço. Esboce a região de

integração e identifique as curvas limitantes

Passo 2: Os limites de integração de y.Imagine uma reta vertical L que corta R na

direção de valores y crescente. Marque os

valores de y onde L entre e sai de R. Estes

são os limites de integração de y e

geralmente são funções de x (em vez de

cosntantes)

Passo 3: Os limites de integração x. Escolha

os limites de integração de x que incluam

todas as retas verticais através de R.

A integral é:

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥𝑦= 1−𝑥2

𝑦=1−𝑥

𝑥=1

𝑥=0

𝑅

B. Para calcular a mesma integral dupla como uma integral iterada com a ordem

de integração invertida, use retas horizontais em vez de retas verticais. A

integral é:

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥= 1−𝑦2

𝑥=1−𝑦

𝑦=1

𝑦=0

𝑅

Exemplo:

Esboce a região de integração para a integral e escreva uma integral equivalente

com a ordem de integração invertida.

4𝑥 + 2 𝑑𝑦2𝑥

𝑥2

2

0

𝑑𝑥

72

Solução:

A região de integração é dada pelas desigualdades 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥 e 0 ≤ 𝑥 ≤ 2.

Essa é, portanto, a região limitada pelas curvas 𝑦 = 𝑥2 e 𝑦 = 2𝑥 entre 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2.

Para encontrarmos limites para integrar na ordem invertida, imaginamos

uma reta horizontal passando, da esquerda para direita, através da região. Ela

entra em 𝑥 = 𝑦/2 e sai em 𝑥 = 𝑦. Para incluirmos todas essas retas, fazemos y

variar de 𝑦 = 0 a 𝑦 = 4. A integral é:

4𝑥 + 2 𝑑𝑥 𝑦

𝑦/2

4

0

𝑑𝑦 = 8 𝑢𝑐

Aula 48

Exercícios:

1) Esboce a região de integração e calcule a integral.

a. 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) 𝑑𝑦𝑥

0

𝜋

0𝑑𝑥

b. 𝑒𝑥+𝑦 𝑑𝑥ln(𝑦)

0

ln(8)

1𝑑𝑦

c. 𝑦 𝑑𝑦𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

0

𝜋

0𝑑𝑥

d. 𝑑𝑥𝑦2

𝑦

2

1𝑑𝑦

e. 3𝑦3𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑦2

0

1

0𝑑𝑦

f. 3

2𝑒𝑦/ 𝑥 𝑑𝑦

𝑥

0

4

1𝑑𝑥

2) Integre f sobre a região dada:

a. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥/𝑦 sobre a região no primeiro quadrante limitada pelas

retas 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 2𝑥, 𝑥 = 1 𝑒 𝑥 = 2

b. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 sobre a região triangular com vértices (0,0), (1,0) e

(0,1)

c. 𝑓 𝑢, 𝑣 = 𝑣 − 𝑢 sobre a região triangular cortada pelo primeiro

quadrante do plano uv pela reta 𝑢 + 𝑣 = 1

d. 𝑓 𝑠, 𝑡 = 𝑒𝑠ln(𝑡) sobre a região no primeiro quadrante do plano st que

está acima da curva 𝑠 = ln(𝑡) de 𝑡 = 1 a 𝑡 = 2

3) Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a

integral.

73

a. 𝑠𝑒𝑛 𝑦

𝑦𝑑𝑦

𝜋

𝑥

𝜋

0𝑑𝑥

b. 2𝑦2𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)𝑑𝑦2

𝑥

2

0𝑑𝑥

c. 𝑥2𝑒𝑥𝑦 𝑑𝑥1

𝑦

1

0𝑑𝑦

d. 𝑥𝑒2𝑦

4−𝑦𝑑𝑦

4−𝑥2

0

2

0𝑑𝑥

e. 𝑒𝑥2𝑑𝑥

ln(3)

𝑦/2

2 ln(3)

0𝑑𝑦

4) Encontre o volume da região limitada pelo parabolóide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e

inferiormente pelo triângulo delimitado pelas retas 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 0 e 𝑥 + 𝑦 = 2

no plano xy.

5) Encontre o volume do sólido que é limitado superiormente pelo cilindro

𝑧 = 𝑥2 e inferiormente pela região delimitada pela parábola 𝑦 = 2 − 𝑥2 e pela

reta 𝑦 = 𝑥 no plano xy.

6) Encontre o volume do sólido cuja base é a região no plano xy que é limitada

pela parábola 𝑦 = 4 − 𝑥2 e pela reta 𝑦 = 3𝑥, enquanto o topo do sólido é

limitado pelo plano 𝑧 = 𝑥 + 4.

Aula 49


Aula 50


Aula 51

Prova 04

Aula 52

Prova 04

Aula 53

74

Integrais duplas em coordenadas polares

Regiões polares

Algumas integrais duplas são mais fáceis de calcular se a região de

integração for expressa em coordenadas polares. Isso é geralmente verdadeiro se

a região for limitada por uma cardióide, uma rosácea, uma espiral ou, mais

geralmente, por qualquer curva cuja equação seja mais simples em coordenadas

polares do que em coordenadas retangulares. Além disso, as integrais duplas cujos

integrandos envolvem 𝑥2 + 𝑦2 também tendem a ser mais fáceis de calcular em

coordenadas polares porque essa soma é igual a 𝑟2 quando são aplicadas as

fórmulas de conversão.

A figura mostra uma região R num sistema de coordenadas polares que é

delimitado por dois raios, 𝜃 = 𝛼 e 𝜃 = 𝛽 e duas curvas polares 𝑟 = 𝑟1 𝜃 e 𝑟 = 𝑟2(𝜃).

Se as funções 𝑟1 𝜃 e 𝑟2(𝜃) forem contínuas e seus gráficos não se intersectarem,

então a região R é chamada de região polar simples. Se 𝑟1 𝜃 for identicamente

nula, então a fronteira 𝑟 = 𝑟1 𝜃 reduz-se a um ponto (a origem) e a região assume

a forma mostrada na figura b. Se, além disso, 𝛽 = 𝛼 + 2𝜋, então os raios coincidem

e a região assume a forma mostrada na figura c.

Um retângulo polar é uma região polar simples em que as curvas polares que

delimitam são arcos circulares. Por exemplo, a figura mostra um retângulo polar R

dado por

Cálculo de integrais duplas polares

Já vimos como calcular integrais duplas em coordenadas retangulares

expressando-as como integrais iteradas. As integrais duplas polares são calculadas

da mesma maneira. Para motivar a fórmula que exprime a integral dupla polar como

75

uma integral iterada, vamos supor que 𝑓(𝑟, 𝜃) seja não negativa, de modo que

possamos interpretar a integral como um volume. Entretanto, os resultados que

iremos obter também são aplicáveis de f tomar valores negativos.

O volume V pode ser expresso como uma integral iterada em que os limites

de integração são escolhidos para cobrir a região R.

𝑉 = 𝑓 𝑟, 𝜃 𝑑𝐴

𝑅

= 𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟𝑟2(𝜃)

𝑟1(𝜃)

𝛽

𝛼

𝑑𝑟𝑑𝜃

Teorema:

Se R for uma região polar simples cujos limites são os raios 𝜃 = 𝛼 𝑒 𝜃 = 𝛽 e as

curvas 𝑟1 𝜃 e 𝑟2(𝜃) mostradas na figura e se 𝑓(𝑟, 𝜃) for contínua em R, então:

𝑓 𝑟, 𝜃 𝑑𝐴

𝑅

= 𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟𝑟2(𝜃)

𝑟1(𝜃)

𝛽

𝛼

𝑑𝑟𝑑𝜃

Para aplicar esse teorema, precisamos saber como calcular os raios e as

curvas que formam a fronteira da região R, uma vez que eles definem os limites de

integração da integral iterada. Isso é feito da seguinte maneira:

Determinação dos limites de integração de uma integral dupla polar. Região polar simples. Passo 1. Como 𝜃 é mantido fixo na primeira integração, trace uma reta radial, com

ponto inicial na origem, através da região R e ângulo fixo 𝜃. Essa reta cruza a

fronteira de R, no máximo duas vezes. O ponto de intersecção mais interno está na

fronteira interna 𝑟 = 𝑟1(𝜃) e o ponto mais externo está na fronteira externa

𝑟 = 𝑟2(𝜃). Essas intersecções determinam os limites de integração de r.

Passo 2. Imagine girar o eixo x positivo uma revolução inteira no sentido anti-

horário em torno da origem. O menor ângulo em que esse raio intersecta a região R

é 𝜃 = 𝛼 e o maior ângulo é 𝜃 = 𝛽. Isso determina os limites de integração de 𝜃.

76

Para converter de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas

podemos usar as equações de conversão como abaixo:

𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 e 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑦/𝑥

Exemplo:

Calcule

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑅

𝑑𝐴

Onde R é a região no primeiro quadrante fora do círculo 𝑟 = 2 e dentro da

cardióide 𝑟 = 2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃).

Solução:

A região R está esboçada na figura. Seguindo o dois passos descritos acima,

obtemos:

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑅

𝑑𝐴 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )

2

𝑑𝑟𝜋/2

0

𝑑𝜃 =

= 1

2𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃

2

2(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )𝜋/2

0

𝑑𝜃 =

= 2 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 2𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃

𝜋2

0

=

= 2 −1

3 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 3 + 𝑐𝑜𝑠𝜃

0

𝜋/2

= 2 −1

3− −

5

3 =

8

3

Exemplo:

A esfera de raio a com centro na origem é expressa em coordenadas retangulares

como 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 e, portanto, sua equação em coordenadas cilíndricas é

𝑟2 + 𝑧2 = 𝑎2. Use essa equação e uma integral dupla polar para calcular o volume da

esfera.

Solução:

77

Em coordenadas cilíndricas, o hemisfério superior é dado pela equação

𝑧 = 𝑎2 − 𝑟2

De modo que o volume de toda a esfera é

𝑉 = 2 𝑎2 − 𝑟2

𝑅

𝑑𝐴

Onde R é a região circular mostrada na figura. Assim

𝑉 = 2 𝑎2 − 𝑟2

𝑅

𝑑𝐴 = 2 𝑎2 − 𝑟2𝑎

0

2𝜋

0

𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

= 2 −1

3 𝑎2 − 𝑟2

32

0

𝑎2𝜋

0

𝑑𝜃 =

= 2 1

3𝑎3

2𝜋

0

𝑑𝜃 = 2 1

3𝑎3𝜃

0

2𝜋

= 2 1

3𝑎32𝜋 =

4

3𝜋𝑎3

Aula 54

Exercícios:

1) Calcule a integral iterada

a. 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃

0

𝜋/2

0𝑑𝑟𝑑𝜃

b. 𝑟2𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃

0

𝜋/2

0𝑑𝑟𝑑𝜃

c. 𝑟1+𝑐𝑜𝑠𝜃

0

𝜋

0𝑑𝑟𝑑𝜃

d. 𝑟𝑐𝑜𝑠3𝜃

0

𝜋/6

0𝑑𝑟𝑑𝜃

e. 𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃1−𝑠𝑒𝑛𝜃

0

𝜋

0𝑑𝑟𝑑𝜃

2) Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.

a. (𝑥2 + 𝑦2) 1−𝑥2

0

1

0𝑑𝑦𝑑𝑥

b. 𝑒− 𝑥2+𝑦2 4−𝑦2

− 4−𝑦2

2

−2𝑑𝑥𝑑𝑦

c. 𝑥2 + 𝑦2 2𝑥−𝑥2

0

2

0𝑑𝑦𝑑𝑥

d. cos(𝑥2 + 𝑦2) 1−𝑦2

0

1

0𝑑𝑥𝑑𝑦

e. 𝑥2 + 𝑦2 𝑦

𝑦

1

0𝑑𝑥𝑑𝑦

3) Calcule 𝑥2𝑑𝐴

𝑅na região R mostrada abaixo.

79

Anexos

Anexo 1

Tabelada de derivadas e integrais

Nas tabela de derivadas e integrais a seguir considere que: u e v sejam funções deriváveis

de variável x ; c,C, K e a sejam constantes.

TABELA GERAL DE DERIVADAS

1 )('))((''))(( xgxgfyxgfy

(regra da cadeia)

2 0' ycy

3 1' yxy

4 '' ucyucy

5 ''' vuyvuy

6 uvvuyvuy '''

7 2

'''

v

uvvuy

v

uy

8 ''0, 1 uuKyKuy KK

9 'ln'1,0, uaayaaay uu

10 '' ueyey uu

11 eu

uyuy aa log

''log

12 u

uyuy

''ln

13 'ln''0, 1 vuuuuvyuuy vvv

14 'cos'sen uuyuy

15 'sen'cos uuyuy

16 'sec'tan 2 uuyuy

17 'seccos'cot 2 uuyuy

18 'tansec'sec uuyuy

19 'cotseccos'seccos uuuyuy

20 21

''arcsen

u

uyuy

21 21

''arccos

u

uyuy

22 21

''arctan

u

uyuy

23 21

''cot

u

uyuarcy

24

1

''1,sec

2

uu

uyuuarcy

1

''1,secarccos

2

uu

uyuuy

TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS:

1 Cudu

2 Cuu

duln

3

1,1

1

KparaCK

uduu

KK

4 Ck

edue

kuku

5 Ca

adua

uu

ln

6

Ck

kudukusen

)cos()(

7 Ck

kusenduku

)()cos(

8

Ck

kuduku

)cos(ln)tan(

9 Ck

kusenduku

)(ln)cot(

10

Ck

kukuduku

)tan()sec(ln)sec(

11 Ck

kudukuku

)sec()tan()sec(

80

12 Ck

kuduku

)tan()(sec2

13

Ck

kukuduku

)cot()sec(cosln)sec(cos

14

Ck

kudukuku

)sec(cos)cot()sec(cos

15

Ck

kuduku

)cot()(seccos 2

16

C

a

udu

uaarcsen

1

22

17

C

a

u

adu

uaarctan

1122

18

C

a

u

adu

uauarcsen

11

22

19

C

au

au

adu

ualn

2

1122

20

Cauuduau

22

22ln

1

FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA:

1 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛𝑛−1 𝑎𝑢 COS 𝑎𝑢

𝑎𝑛+

𝑛−1

𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛−2 𝑎𝑢 𝑑𝑢

2 cos𝑛 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑢 cos 𝑛−1(𝑎𝑢 )

𝑎𝑛+

𝑛−1

𝑛 cos𝑛−2 𝑎𝑢 𝑑𝑢

3 𝑡𝑔𝑛 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =𝑡𝑔𝑛−1 𝑎𝑢

𝑎(𝑛−1)− 𝑡𝑔𝑛−2 𝑎𝑢 𝑑𝑢

4 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡 𝑔𝑛−1 𝑎𝑢

𝑎(𝑛−1)− 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛−2 𝑎𝑢 𝑑𝑢

5 sec𝑛(𝑎𝑢) 𝑑𝑢 =sec 𝑛−2 𝑎𝑢 𝑡𝑔(𝑎𝑢 )

𝑎(𝑛−1)+

𝑛−2

𝑛−1 sec𝑛−2 𝑎𝑢 𝑑𝑢

6 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑛 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑒 𝑐𝑛−2 𝑎𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝑎𝑢 )

𝑎(𝑛−1)+

𝑛−2

𝑛−1 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑛−2 𝑎𝑢 𝑑𝑢

PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA:

1 dxxfcdxxfc )()(

2 dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

3 udvvudvu : Integração por partes

PROPRIEDADES DE FATORAÇÃO

1 ))((22 bababa

2 abbaba 2)( 222

3 222 2)( bababa

4 222 2)( bababa

5 ))(( 2233 babababa

))(( 2233 babababa

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + cos2 𝑥 = 1

2 1 + 𝑡𝑔2𝑥 = sec2 𝑥

3 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥

4 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =1−cos (2𝑥)

2

5 cos2 𝑥 =1+cos 2𝑥

2

6 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos(𝑥)

7 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑦 +𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑦

8 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = cos 𝑥 − 𝑦 −cos(𝑥 + 𝑦)

9 2 cos 𝑥 cos 𝑦 = cos 𝑥 − 𝑦 +cos(𝑥 + 𝑦)

10 1 ± 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 ± cos 𝜋

2− 𝑥

81

Anexo 2

Trabalho 1

Valor: 7 pontos

Funções de duas ou mais variáveis

Limites

O trabalho deve ser entregue no dia da primeira prova, com capa e grampeado.

Domínio de funções de duas ou mais variáveis

1) Determine o domínio das funções abaixo e represente no plano xy.

a)

𝑓 𝑥, 𝑦 =1

𝑥 − 𝑦

b)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 − 𝑦

c)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 +1

−𝑥 − 𝑦 + 1

d)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦 + 𝑥2 − 𝑥2 + 2 − 𝑦

e)

𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑥2

𝑥2 − 𝑦+ 2𝑥 − 𝑥 + 𝑦2 2

f)

𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑥2 + 𝑦

2

Curva de nível

2) Dada a função, represente graficamente as curvas de nível 𝑧 = 0, 𝑧 = 1, 𝑧 = 3 e

𝑧 = 5.

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦 − 2

b)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1 c)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 25 d)

𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑥2 − 2𝑦2 + 10

3) Considere uma chapa de assar alimentos onde a temperatura em seu centro é

100°𝐶. Admita que a temperatura se distribua ao longo da chapa segundo a

função 𝑇 𝑥, 𝑦 = −𝑥2

30−

𝑦2

10+ 100. As dimensões da chapa são 50𝑐𝑚 𝑥 30𝑐𝑚.

a) Qual a temperatura no ponto (15,7)?

82

b) Qual a temperatura no canto superior direito?

c) Desenhe a região da chapa que tem temperatura igual a 80°𝐶;

d) Desenhe a região da chapa que tem a mesma temperatura do ponto (15,7).

4) Alguns pesquisadores estão fazendo uma pesquisa com relação a movimentação

de cargas elétricas em uma mesa de metal. Em determinado experimento eles

utilizam uma mesa de metal de 8𝑚 𝑥 4𝑚 e aplicam um potencial de 100𝑉 no

centro de um dos lados maiores da mesa. Este potencial se distribui sobre a

mesa de acordo com a função 𝑉 𝑥, 𝑦 = −𝑥2

4− 𝑦 + 100 .

a) Qual o potencial no ponto (2,3) desta mesa?

b) Desenhe a região da mesa que possui o mesmo potencial do ponto (2,3);

c) Desenhe a região sobre a mesa que possui potencial igual a 𝑉 = 99𝑉, 𝑉 = 98𝑉

e 𝑉 = 97𝑉.

Limites

5) Calcule os limites abaixo:

a)

lim 𝑥 ,𝑦 →(−3,1)

𝑥3𝑦 + 3𝑥2𝑦2

𝑥 + 3𝑦

b)

lim 𝑥 ,𝑦 →(2,−1)

𝑥2 − 4𝑦2

𝑥 + 2𝑦

c)

lim 𝑥 ,𝑦 →(2,−1)

𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦2

𝑥 + 2𝑦

d)

lim 𝑥 ,𝑦 →(1,1)

𝑥3 − 𝑦3

𝑥 − 𝑦

e)

lim 𝑥 ,𝑦 →(4,2)

𝑥𝑦 − 2𝑦2

𝑥 − 2𝑦

f)

lim 𝑥 ,𝑦 →(3,1)

𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2

𝑥 − 3𝑦

g)

lim 𝑥 ,𝑦 →(2,−1)

4𝑥2 + 16𝑥𝑦 + 16𝑦2

2𝑥 + 4𝑦

h)

lim 𝑥 ,𝑦 →(2,−1)

𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦2

𝑥 + 4𝑦

Trabalho 2

Valor: 7 pontos

83

Derivadas parciais

Derivadas parciais de segunda ordem

O trabalho deve ser entregue no dia da primeira prova, com capa e grampeado.

Derivadas parciais

1) Calcular as derivadas parciais de primeira ordem 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 das funções abaixo:

a)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥4𝑦3 − 𝑥𝑦2 + 3𝑦 + 1

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 − 𝑦2 2

d) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑦 + 𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥)

e) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥 ln(𝑥𝑦)

f)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦

𝑥2 + 𝑦2

g) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 + cos 𝑦2

h)

𝑓 𝑥, 𝑦 =𝑥

𝑥 + 𝑦2

2) A companhia ACME produz três tipos de roller skates. O custo em reais para se

produzir x unidades do tipo I, y unidade do tipo II e z unidades do tipo III é

dado pela equação:

𝑐 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 500 + 27𝑥 + 36𝑦 + 47𝑧

Em um determinado dia, a fábrica está produzindo 200 unidades do tipo I, 150

unidades do tipo II e 80 unidade do tipo III, ou seja, (200,15,80).

a) O gerente da fabrica quer saber de quanto o custo irá variar se ele

aumentar a quantidade de produção do skate tipo I mantendo a quantidade

de produção dos skates tipo II e III constantes.

b) E se ele desejar aumentar a produção do skate do tipo III mantendo a

quantidade de produção dos skates tipo I e II constantes, de quanto o

custo irá variar?

c) E se aumentar a produção do skate do tipo II mantendo a quantidade de

produção dos skates tipo I e III constantes, como será a variação do

custo?

3) A análise de certos circuitos eletrônicos envolve a fórmula:

84

𝐼 =𝑉

𝑅2 + 𝐿2𝑤

Em que I é a corrente dada por Ampéres (A), V é a tensão em Volts (V), R é a

resistência em ohms (Ω), L é a indutância em Henry (H) e w é uma constante

positiva. Calcule e interprete 𝜕𝐼/𝜕𝑅 e 𝜕𝐼/𝜕𝐿.

4) Considere uma chapa que é aquecida a partir do centro. A temperatura sobre

esta chapa é dada pela equação:

𝑇 𝑥, 𝑦 = 100 − 2𝑥2 − 𝑦2

Sendo 𝑥 e 𝑦 dados em 𝑐𝑚 e 𝑇 em °𝐶.

a) Qual o domínio desta função?

b) Encontre a equação da curva isotérmica com temperatura igual a 60°𝐶 e

represente no plano 𝑥𝑦;

c) Uma formiga que se encontra sobre o ponto (1,2) desta chapa deseja

caminhar na direção positiva do eixo 𝑥. De quanto será a variação da

temperatura nesta direção?

d) Se esta formiga sobre o ponto (1,2) agora deseja caminhar na direção

positiva do eixo 𝑦, de quanto será a variação da temperatura nesta direção?

Derivadas parciais de segunda ordem

5) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem 𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑦𝑦 e 𝑓𝑥𝑦 das funções

abaixo:

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦)

c)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥2𝑦 + cos(𝑥 + 𝑦)

d)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦

85

Trabalho 3

Valor: 5 pontos


Máximos e mínimos relativos

Máximos e mínimos absolutos

O trabalho deve ser entregue no dia da segunda prova, com capa e grampeado.


1) Calcule 𝐷𝑢𝑓 𝑃0 sendo dados:

a)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥2−𝑦2 ; 𝑃0 = 1,1 ; 𝑢 é 𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 3𝑖 + 4𝑗

b)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥

𝑦 ; 𝑃0 = 3,3 ; 𝑢 =

1

2𝑖 +

1

2

c)

𝑓 𝑥, 𝑦 =1

𝑥2 + 𝑦2 ; 𝑃0 = 3,2 ; 𝑢 =

5

13𝑖 +

12

13𝑗

d) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑦3 ; 𝑃0 = 1,2 ; 𝑎 = 2𝑖 − 3𝑗

e) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 − 3𝑦2 ; 𝑃0 = 5,5 ; 𝑎 = 4𝑖 + 3𝑗

2) Para a função e o ponto indicado determine um vetor unitário na direção da

derivada direcional máxima e o valor máximo da derivada direcional.

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥𝑦 + 4𝑦2 ; 𝑃0 = (1, −1)

b)

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑠𝑒𝑛(𝑦) ; 𝑃0 = 1,𝜋

2

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑦2 + 𝑦3 + 4𝑥𝑦 ; 𝑃0 = (1, −2)

3) A temperatura 𝑇 (Celsius) num ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) dado é descrita pela função

𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 − 𝑦 + 𝑥𝑧2. Se 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são dados em metros, calcule:

a) A taxa de variação de 𝑇 no ponto 𝑃 = (2,1,2) na direção 𝑃𝑄 , com 𝑄 = (4,3,6).

b) Em qual direção a temperatura cresce mais rapidamente?

c) Em qual direção a temperatura decresce mais rapidamente?

d) Qual a maior taxa de variação em P?

86

4) O potencial elétrico 𝑉 de um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dado por 𝑉 = 𝑥2 + 4𝑦2 + 9𝑧2.

a) Determine a taxa de variação 𝑉 em 𝑃 = (2, −1,3) na direção de 𝑃 para a

origem.

b) Determine a direção e sentido que produz taxa máxima de variação de 𝑉 em

𝑃.

c) Qual a taxa máxima de variação em 𝑃?

5) A temperatura em uma chapa é dada por 𝑇 𝑥, 𝑦 = 80 − 𝑥2 − 3𝑦2 sendo a fonte

de calor localizada em seu centro e 𝑥 e 𝑦 em centímetros. Uma formiga está

sobre a região da chapa com coordenadas (1,2).

a) Se ela deseja caminhar na direção 𝑑 = 2𝑖 + 𝑗, com que velocidade a

temperatura irá variar?

b) E se ela desejar caminhar na direção 𝑑 = 𝑖 − 3𝑗, com que velocidade a

temperatura irá variar?

c) Em qual direção ela deverá caminhar para que a temperatura diminua mais

rapidamente? Com que velocidade a temperatura diminuirá nesta direção?

6) Uma empresa produz dois tipos de produtos, tipo I e tipo II, sendo a

quantidade de unidades produzidas do produto tipo I dado por 𝑥 e a

quantidade de unidades produzidas do produto tipo II dado por 𝑦. A equação

que relaciona o lucro com a quantidade de produção dos dois tipos de produtos

é 𝐿 = 200 +2𝑥2

10+

𝑦2

8 (mil reais). Em um dado mês foram produzidas 5 unidades

do tipo I e 4 unidades do tipo II.

a) Com base neste mês, qual será a taxa de variação do lucro em relação à

quantidade de produção se aumentarmos a produção em uma proporção de 3

produtos do tipo I para 1 produto do tipo dois?

b) Qual a proporção que devemos aumentar para obtermos um aumento máximo

do lucro? De qual será esta taxa?

Máximos e mínimos relativos

7) Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções

abaixo:

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 3𝑥 − 3𝑦 + 4

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 − 5𝑥2 − 2𝑦2 + 4𝑥 + 4𝑦 − 4

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥𝑦 + 𝑦3

87

d) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 − 𝑦3 − 2𝑥𝑦 + 6

e) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥𝑦 − 𝑥4 − 𝑦4

Máximos e mínimos absolutos

8) Encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 𝑦2 − 4𝑦 + 1 na placa triangular fexhada e limitada

pelas retas 𝑥 = 0; 𝑦 = 2 e 𝑦 = 2𝑥 no primeiro quadrante.

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 na placa triangular fechada limitada pelas retas 𝑥 = 0;

𝑦 = 0 e 𝑦 + 2𝑥 = 2 no primeiro quadrante

9) Encontre três números que somados dê um resultado igual a 10 e multiplicados

dê o maior valor possível.

10) Encontre três números de forma que 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8 e o produto seja o maior

possível.

11) Quais as dimensões mais econômicas de uma caixa (sem tampa) de 5 litros com

o fundo e uma das faces laterais custando (por cm2) o dobro das outras três

faces?

88

Trabalho 4

Valor: 5 pontos


Integrais duplas sobre regiões retangulares

Integrais duplas sobre regiões não retangulares

O trabalho deve ser entregue no dia da terceira prova, com capa e grampeado.


1) Encontre três números reais e positivos de forma que 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 =

10 sendo 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 o maior possível.

2) Uma caixa com tampa com volume 27𝑚3 deve ser construída com a

menor quantidade possível de material. Quais as dimensões que a

caixa deve ter?

3) Encontre os pontos de máximos e mínimos de 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧

sobre a esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 30.

4) Encontre o valor máximo de 𝑓 𝑥, 𝑦 = 49 − 𝑥2 − 𝑦2 sobre a reta

𝑥 + 3𝑦 = 10.

5) Um lago tem relevo do fundo determinado pela equação 𝑓 𝑥, 𝑦 = 50 −

𝑥2 − 2𝑦2. Um barco com trajetória descrita pela função 𝑦 + 2𝑥 = 3

que passa sobre este lago estará passando pelo ponto mais fundo do

lago em um ponto com quais coordenadas? Qual será a profundidade

do lago neste ponto?

6) A temperatura em um ponto (𝑥, 𝑦) sobre uma placa metálica é

𝑇 𝑥, 𝑦 = 4𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 𝑦2. Uma formiga sobre esta chapa anda ao redor

da circunferência de raio 5 centrada na origem. Quais os pontos onde

a temperatura é máxima e mínima e quais são as temperaturas

máxima e mínima encontradas pela formiga?

7) Uma sonda espacial no formato de um elipsóide 4𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑧2 = 16

penetra na atmosfera da Terra e sua superfície começa a se aquecer.

Depois de 1h, a temperatura no ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre a superfície da

89

sonda é 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 8𝑥2 + 4𝑦𝑧 − 16𝑧 + 600. Encontre o ponto mais

quente sobre a superfície da sonda.

Integrais duplas

8) Calcule as integrais duplas abaixo:

a.

𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 2

1

𝑑𝑥1

0

𝑑𝑦

b.

𝑥𝑦2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2

1

𝑑𝑦3

1

𝑑𝑥

c.

𝑦

𝑥

1

0

𝑑𝑦2

1

𝑑𝑥

d.

𝑥 + 2𝑥𝑦 21

−1

𝑑𝑥2

−2

𝑑𝑦

e.

𝑒2𝑥1

0

𝑑𝑥1

0

𝑑𝑦

f.

𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥2 + 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑦2) 𝜋

0

𝑑𝑥 𝜋

0

𝑑𝑦

g.

𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2

0

𝑑𝑦2

−1

𝑑𝑥

9) Calcule as integrais abaixo:

a.

𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2𝑥

0

𝑑𝑦3

0

𝑑𝑥

90

b.

𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 2𝑦2

𝑦

𝑑𝑥2

−1

𝑑𝑦

c.

𝑑𝑦 𝑥

𝑥

1

0

𝑑𝑥

d.

𝑦𝑥+2

𝑥

𝑑𝑦2

0

𝑑𝑥

e.

𝑥𝑒𝑦

𝑦

𝑑𝑥2

1

𝑑𝑦

f.

𝑑𝑦cos (𝑥)

0

𝜋

0

𝑑𝑥

10) Calcule o volume dos sólidos descritos abaixo:

a. Sólido cuja superfície é dada por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 e a base

formada pelo retângulo 𝑥 = 3, 𝑥 = 0, 𝑦 = 2 e 𝑦 = 0.

b. Sólido cuja superfície é dada por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 1 e a base

formada pelo triângulo 𝑥 = 0, 𝑦 = 2 e 𝑦 = 2𝑥.

c. Sólido cuja superfície é dada por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 e a base

formada pelo triângulo delimitado pelas retas 𝑦 = 𝑥, 𝑥 = 0 e

𝑥 + 𝑦 = 2.

d. Sólido limitado superiormente pelo cilindro 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 e

inferiormente pela região delimitada pela parábola 𝑦 = 2 − 𝑥2 e

pela reta 𝑦 = 𝑥 no plano 𝑥𝑦.

e. Sólido cuja base é a região no plano 𝑥𝑦 que é limitada pela

parábola 𝑦 = 4 − 𝑥2 e pela reta 𝑦 = 3𝑥, enquanto o topo do

sólido é limitado pelo plano 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 4.

91

Anexo 3

Respostas da página 8

1)

a) 𝑓´ 𝑥 = 0 b) 𝑓´ 𝑥 = 4𝑥 c) 𝑓´ 𝑥 = 𝑒𝑥+1 d) 𝑓´ 𝑥 = −2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥2) e) 𝑓´ 𝑥 = sec2(𝑥 + 1)

f) 𝑓´ 𝑡 = 4𝑡 +1

𝑡

g) 𝑓´ 𝑤 =1

2 𝑤+

1

3 𝑤 23

h) 𝑓´ 𝑦 =2𝑦+cos 𝑦

2 𝑦2+𝑠𝑒𝑛 𝑦

i) 𝑓´ 𝑥 = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) j) 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥2

2)

a) 5

b) 10

3

c) 1 d) 4,67 e) 62,49 f) 1 g) 7,91 h) 0


1)

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 =1

𝑥2+1−𝑦

𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2|𝑦 < 𝑥2 + 1

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 =1

𝑥−𝑦+ 2𝑥2 − 𝑦

𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2|𝑦 ≠ 𝑥 𝑒 𝑦 ≤ 2𝑥2

92

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2

𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2|𝑥2 + 𝑦2 ≤ 9

d) 𝑓 𝑥, 𝑦 =1

3𝑥2+2𝑦2−1

𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 3𝑥2 + 2𝑦2 > 1

e) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 1 + 𝑥 − 𝑦

𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 1 𝑒 𝑦 ≤ 𝑥


1)

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 9

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 → 𝑥2 + 𝑦2 = 9

93

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 1 → 𝑥2 + 𝑦2 = 10

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 4 → 𝑥2 + 𝑦2 = 13

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 − 9

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 → 𝑥2 + 𝑦2 = 9

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 1 → 𝑥2 + 𝑦2 = 10 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 4 → 𝑥2 + 𝑦2 = 25

2)

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 + 𝑦 − 7

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = −1 → 𝑦 = 6 − 3𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 1 → 𝑦 = 8 − 3𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 3 → 𝑦 = 10 − 3𝑥

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥 − 𝑦 + 1

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = −1 → 𝑦 = 2 + 3𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 1 → 𝑦 = 3𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 3 → 𝑦 = −2 + 3𝑥

94

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 7 − 𝑥

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = −1 → 𝑥 = 8 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 1 → 𝑥 = 6 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 3 → 𝑥 = 4

3)

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = −9 → 𝑦 = −9/𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 → 𝑦 = 0 𝑒 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 9 → 𝑦 = 9/𝑥

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = −9 → 𝑦 = −9/𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 → 𝑦 = 0 𝑒 𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 9 → 𝑦 = 9/𝑥2

95

c) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = −9 → 𝑦 = 𝑥2 + 9 𝑒 𝑦 = − 𝑥2 + 9 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 → 𝑦 = 𝑥 𝑒 𝑦 = −𝑥

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 9 → 𝑦 = 𝑥2 − 9 𝑒 𝑦 = − 𝑥2 − 9

4) 𝑇 1,3 = 44 °𝐶 2𝑥2 + 3𝑦2 + 15 = 44 ∴ 2𝑥2 + 3𝑦2 = 29

5)

a) 50 − 𝑥2 − 𝑦2 ≥ 0 ∴ 𝐷𝑓 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2/ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 50 𝑇 2,4 = 35,48 °𝐶

b) 𝑇 3,4 = 35

30 + 50 − 𝑥2 − 𝑦2 = 35 ∴ 𝑥2 + 𝑦2 = 25

96

6)

a) 𝑥2 + 𝑦2 = 4

b) 𝑇 1,1 = 60 𝑉 𝑥2 + 𝑦2 = 2

7)

a) 𝑥2 + 𝑦2 = 5

b) 𝑥2 + 𝑦2 = 8

97

8) 1 -> b

2 -> c

3 -> e

4 -> a

5 -> f

6 -> d


1)

a) Lim=-2

b) Lim=0

c) Lim=-1

d) Lim=0

e) Lim=8

f) Lim=12

g) Lim=6

h) Lim=0

i) Lim=5


1) 𝑓𝑥 = 0.375, 𝑓𝑦 = 0.25

2) 𝑓𝑥 = 1, 𝑓𝑦 = 2

3) 𝑓𝑥 = 3,016, 𝑓𝑦 = 1,508

4)

a) 𝑧𝑥 = 8𝑥𝑦3𝑒𝑥2𝑦3, 𝑧𝑦 = 12𝑥2𝑦2𝑒𝑥2𝑦3

b) 𝑧𝑥 = −5x4y4sin x5y4 , 𝑧𝑦 = −4x5y3sin x5y4

c) 𝑧𝑥 = 3x2 ln 1 + 𝑥𝑦−3

5 +𝑥3𝑦

−35

1+𝑥𝑦−

35

, 𝑧𝑦 = −3

5𝑥4𝑦

−85

1+𝑥𝑦−

35

d) 𝑧𝑥 = 𝑦𝑒𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛(4𝑦2), 𝑧𝑦 = xexy sen 4y2 + 8yexy cos 4y2

98

e) 𝑧𝑥 =𝑦3−𝑥2𝑦

𝑥2+𝑦2 2 , 𝑧𝑦 =𝑥3−𝑥𝑦2

𝑥2+𝑦2 2

f) 𝑧𝑥 =2𝑥𝑦3

𝑥+𝑦−𝑥2𝑦3

2 𝑥+𝑦

𝑥+𝑦, 𝑧𝑦 =

3𝑥2𝑦2 𝑥+𝑦−

𝑥2𝑦3

2 𝑥+𝑦

𝑥+𝑦

5)

a) 𝑓𝑥 =15𝑥4𝑦−21𝑥2𝑦

2 3𝑥5𝑦−7𝑥3𝑦 , 𝑓𝑦 =

3𝑥5−7𝑥3

2 3𝑥5𝑦−7𝑥3𝑦

b) 𝑓𝑥 = −2𝑦

𝑥−𝑦 2 , 𝑓𝑦 =2𝑥

𝑥−𝑦 2

c) 𝑓𝑥 =𝑦

−52

1+𝑥2

𝑦2

, 𝑓𝑦 = −3

2𝑦−

5

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥

𝑦 +

𝑥𝑦−

72

1+𝑥2

𝑦2

d) 𝑓𝑥 = 3𝑥2𝑒−𝑦 +𝑦3

2 𝑥sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 , 𝑓𝑦 = −𝑥3𝑒−𝑦 + 3𝑦2 sec 𝑥

6)

a) 𝑓𝑥 3,1 = −6 , 𝑓𝑦(3,1) = −21

b) 𝑓𝑥 1,1 = 8,155 , 𝑓𝑦(1,1) = 5,437

c) 𝑓𝑥 1,2 = 0,243 , 𝑓𝑦(1,2) = 1,940

d) 𝑤𝑥 1

2, 𝜋 = −0,785 , 𝑤𝑦

1

2, 𝜋 = −0,125

7)

a) 𝑉𝑟 = 2𝜋𝑟𝑕

b) 𝑉𝑕 = 𝜋𝑟2

c) 𝑉𝑟 2,5 = 62,8319 𝑐𝑚3/𝑐𝑚

d) 𝑉𝑕 6,10 = 113,0973 𝑐𝑚3/𝑐𝑚

8)

a) 𝑃𝑇 = 0,2𝑙𝑏

𝑝𝑜𝑙 2 /𝑘

b) 𝑃𝑉 = −0,32𝑙𝑏

𝑝𝑜𝑙 2 /𝑝𝑜𝑙3

9)

a) 𝑇𝑥 = 4 /𝑐𝑚

b) 𝑇𝑦 = 8 /𝑐𝑚


1)

a) 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 = −32y3

b) 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 = −𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 32

99

c) 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 = −exsen(y)

d) 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 = −2𝑦𝑒𝑥−𝑦2

e) 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 =20

4𝑥−5𝑦 2

f) 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 = −4xy

x2+y2 2

g) 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 =2 𝑥−𝑦

𝑥+𝑦 3

h) 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 =8𝑥𝑦 𝑥2−𝑦2

𝑥2+𝑦2 3

2)

a) 𝑓𝑥𝑥 = 12𝑥2 − 6𝑦3

𝑓𝑦𝑦 = −18𝑥2𝑦

b) 𝑓𝑥𝑥 = −9

3𝑥+5𝑦 2

𝑓𝑦𝑦 = −25

3𝑥 + 5𝑦 2

c) 𝑓𝑥𝑥 = −2

𝑥+𝑦 2 +2𝑥

𝑥+𝑦 3

𝑓𝑦𝑦 =2𝑥

𝑥 + 𝑦 3

d) 𝑢𝑠𝑠 = 𝑒−𝑠𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑢𝑡𝑡 = −𝑒−𝑠𝑠𝑒𝑛(𝑡)

e) 𝑣𝑥𝑥 = −1

4 𝑥+𝑦2 32

𝑣𝑦𝑦 = −𝑦2

𝑥 + 𝑦2 32

+1

𝑥 + 𝑦2


1)

a) 𝐷𝑢𝑓 = 8,485

b) 𝐷𝑢𝑓 = 6,4

c) 𝐷𝑢𝑓 = −0,949

d) 𝐷𝑢𝑓 = −240

e) 𝐷𝑢𝑓 = 6,429

2)

a) 𝐷𝑢𝑓 = 0

b) 𝐷𝑢𝑓 = 3,577

100

c) 𝐷𝑢𝑓 = −11.314

d) 𝐷𝑢𝑓 = 0.919

e) 𝐷𝑢𝑓 = 0.354

3)

a) ∇𝑓 = −36𝑖 − 12𝑗

b) ∇𝑓 = −0,024𝑖 − 0,032𝑗

c) ∇𝑓 = 4𝑖 + 4𝑗 + 4𝑘

d) ∇𝑓 = 54𝑖 − 6𝑗 + 9𝑘

4)

a) u = 0,832𝑖 − 0,555𝑗 𝐷𝑢𝑓 = 14,422

b) u = 0,997𝑖 − 0,083𝑗 𝐷𝑢𝑓 = 3,01

c) u = 0,8𝑖 − 0,6𝑗 𝐷𝑢𝑓 = 1

d) u = 𝑖 𝐷𝑢𝑓 = 0,5

e) u = 0,707𝑖 − 0,707𝑗 𝐷𝑢𝑓 = 4,243

5)

a) 𝐷𝑢𝑓 = 0,0497/𝑐𝑚

b) 𝑢 = 0,707𝑖 + 0,707𝑗

6)

a) 𝑧𝑥 = −0,8 𝑚/𝑚

O sinal negativo da derivada indica que ele estará descendo se

caminhar na direção oeste.

b) 𝐷𝑢𝑓 = 0,283 𝑚/𝑚

Ele estará subindo a uma taxa de 0,283 m/m.

c) 𝑜1 = 0,4472𝑖 + 0,8944𝑗 𝑜2 = −0,4472𝑖 − 0,8944𝑗

7)

a) 𝐷𝑢𝑓 = −0,2165 /𝑐𝑚

b) 𝑢 = 0,5773𝑖 + 0,5773𝑗 + 0,5773𝑘

c) 𝐷𝑢𝑓 = −0,2165 /𝑐𝑚


1)

a) 1, −2 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎

b) 2, −2 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎

c) 2, −1 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

101

d) 0,0 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎

1

6,

1

12 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

e) 1,1 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 −1, −1 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

f) 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠

g) 0,0 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎

h) 1,2 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

i) 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠

j) 0,0 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎 𝜋, 0 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎 2𝜋, 0 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎 3𝜋, 0 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎

. . . .

. . . .

. . . .


1)

a) 0; 0 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜

0; 4 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜

3; 1

5; 0

(3,38; 1,3)

b) 0; 2 0; 0

4; 0

0; 4

(1; 3)

c) 0; 1 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 1; 2 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 2; 1 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 1; 0 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 (1; 1)

d) 0,5; 0 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 2; 0 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 1; 1,69 1,36; 0 0; 0 0; 1 (2; 1)

102

e) −0,5; 4,94 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 0,5; 0 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜

f) 0,58; 0,82 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 0; 0 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 0; 1 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 1; 0 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜

2) (16,16,16)

3) 9,9,9

4) (2,2,4)





Respostas do trabalho 01

1)

a) 𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑦 ≠ 𝑥

b) 𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑦 ≤ 2𝑥2

c) 𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑦 ≥ −𝑥 𝑒 𝑦 < 1 − 𝑥

d) 𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑦 ≥ −𝑥2 𝑒 𝑦 ≤ 𝑥2 + 2

e) 𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑦 < 𝑥2 f) 𝐷𝑓 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2

103

2)

a) 𝑝/𝑧 = 0 → 𝑦 = 2 − 𝑥2 𝑝/𝑧 = 1 → 𝑦 = 3 − 𝑥2 𝑝/𝑧 = 3 → 𝑦 = 5 − 𝑥2 𝑝/𝑧 = 5 → 𝑦 = 7 − 𝑥2

b) 𝑝/𝑧 = 0 → 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑝/𝑧 = 1 → 𝑥2 + 𝑦2 = 2 𝑝/𝑧 = 3 → 𝑥2 + 𝑦2 = 10 𝑝/𝑧 = 5 → 𝑥2 + 𝑦2 = 26

c) 𝑝/𝑧 = 0 → 𝑥2 + 𝑦2 = 25 𝑝/𝑧 = 1 → 𝑥2 + 𝑦2 = 26 𝑝/𝑧 = 3 → 𝑥2 + 𝑦2 = 28 𝑝/𝑧 = 5 → 𝑥2 + 𝑦2 = 30

d) 𝑝/𝑧 = 0 → 𝑥2 + 2𝑦2 = 10 𝑝/𝑧 = 1 → 𝑥2 + 2𝑦2 = 9 𝑝/𝑧 = 3 → 𝑥2 + 2𝑦2 = 7 𝑝/𝑧 = 5 → 𝑥2 + 2𝑦2 = 5

3)

a) 𝑇 15,7 = 87,6°𝐶

b) Coordenadas do canto superior direito → (25,15) 𝑇 25,15 = 56,67°𝐶

c) 𝑥2

30+

𝑦2

10= 20

104

d) 𝑥2

30+

𝑦2

10= 12,4

4)

a) 𝑉 2,3 = 96𝑉

b) 𝑉 2,3 = 96𝑉 → 𝑦 = 4 −𝑥2

4

c) 𝑝/𝑉 = 99𝑉 → 𝑦 = 1 −𝑥2

4

𝑝/𝑉 = 98𝑉 → 𝑦 = 2 −𝑥2

4

𝑝/𝑉 = 97𝑉 → 𝑦 = 3 −𝑥2

4

5)

a)

lim 𝑥 ,𝑦 →(−3,1)

𝑥3𝑦 + 3𝑥2𝑦2

𝑥 + 3𝑦= 9

b)

lim 𝑥 ,𝑦 →(2,−1)

𝑥2 − 4𝑦2

𝑥 + 2𝑦= 4

c)

lim 𝑥 ,𝑦 →(2,−1)

𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦2

𝑥 + 2𝑦= 0

d)

lim 𝑥 ,𝑦 →(1,1)

𝑥3 − 𝑦3

𝑥 − 𝑦= 3

e)

lim 𝑥 ,𝑦 →(4,2)

𝑥𝑦 − 2𝑦2

𝑥 − 2𝑦= 8

f)

lim 𝑥 ,𝑦 →(3,1)

𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2

𝑥 − 3𝑦= 6

g)

lim 𝑥 ,𝑦 →(2,−1)

4𝑥2 + 16𝑥𝑦 + 16𝑦2

2𝑥 + 4𝑦= 0

h)

lim 𝑥 ,𝑦 →(2,−1)

𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦2

𝑥 + 4𝑦= 0

105


1)

a)

𝑓𝑥 =𝑥

𝑥2 + 𝑦2

𝑓𝑦 =𝑦

𝑥2 + 𝑦2

b) 𝑓𝑥 = 8𝑥3𝑦3 − 𝑦2

𝑓𝑦 = 6𝑥4𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 3

c) 𝑓𝑥 = 6𝑥5 − 6𝑥2𝑦2 𝑓𝑦 = −4𝑥3𝑦 + 4𝑦3

d) 𝑓𝑥 = 𝑒𝑦 + 𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑓𝑦 = 𝑥𝑒𝑦 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

e)

𝑓𝑥 = 𝑒𝑥 ln 𝑥𝑦 +𝑒𝑥

𝑥

𝑓𝑦 =𝑒𝑥

𝑦

f)

𝑓𝑥 =1

2 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 + 𝑦−

2𝑥 𝑥 + 𝑦

𝑥2 + 𝑦2 2

𝑓𝑦 =1

2 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 + 𝑦−

2𝑦 𝑥 + 𝑦

𝑥2 + 𝑦2 2

g) 𝑓𝑥 = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥2)

𝑓𝑦 = −2𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑦2)

h)

𝑓𝑥 =1

𝑥 + 𝑦2−

𝑥

2 𝑥 + 𝑦2 3

𝑓𝑦 = −𝑥𝑦

𝑥 + 𝑦2 3

2)

a) 𝜕𝑐

𝜕𝑥= 27𝑅$/𝑢𝑛

b) 𝜕𝑐

𝜕𝑦= 36𝑅$/𝑢𝑛

c) 𝜕𝑐

𝜕𝑧= 47𝑅$/𝑢𝑛

3) 𝜕𝐼

𝜕𝑅= −

𝑉𝑅

𝑅2 + 𝐿2𝜔 3

Esta equação determina a variação da corrente I em relação à resistência R

enquanto L e V se mantêm constantes.

𝜕𝐼

𝜕𝐿= −

𝑉𝐿𝜔

𝑅2 + 𝐿2𝜔 3

106

Esta equação determina a variação da corrente I em relação à indutância L

enquanto R e V se mantêm constantes.

4)

a) 𝐷𝑓 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2

b) 2𝑥2 + 𝑦2 = 40

c) 𝜕𝑇

𝜕𝑥= −4°𝐶/𝑐𝑚

A temperatura irá diminuir 4 °C por centímetro que a formiga caminhar

nesta direção x positiva

d) 𝜕𝑇

𝜕𝑦= −4°𝐶/𝑐𝑚

A temperatura irá diminuir 4 °C por centímetro que a formiga caminhar

nesta direção y positiva

5)

a) 𝑓𝑥𝑥 = 6𝑥𝑦2

𝑓𝑦𝑦 = 2𝑥3 + 2 𝑓𝑥𝑦 = 6𝑥2𝑦 − 3

b) 𝑓𝑥𝑥 = 2 cos 𝑥2 + 𝑦 − 4𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦)

𝑓𝑦𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦) 𝑓𝑥𝑦 = −2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦)

c)

𝑓𝑥𝑥 = 2𝑦𝑒𝑥2𝑦 + 4𝑥2𝑦2𝑒𝑥2𝑦 − cos 𝑥 + 𝑦 𝑓𝑦𝑦 = 𝑥4𝑒𝑥2𝑦 − cos(𝑥 + 𝑦)

𝑓𝑥𝑦 = 2𝑥𝑒𝑥2𝑦 + 2𝑥3𝑦𝑒𝑥2𝑦 − cos(𝑥 + 𝑦)

d)

𝑓𝑥𝑥 = −1

4 𝑥 + 𝑦 3

𝑓𝑦𝑦 = −1

4 𝑥 + 𝑦 3

𝑓𝑥𝑦 = −1

4 𝑥 + 𝑦 3


1)

a) 𝐷𝑢𝑓 = −0,4

b) 𝐷𝑢𝑓 = 0

c) 𝐷𝑢𝑓 = −0,035

107

d) 𝐷𝑢𝑓 = −5,547

e) 𝐷𝑢𝑓 = −4

2)

a) 𝑢 =9

306𝑖 −

15

306𝑗 𝐷𝑢𝑓𝑚𝑎𝑥 = 17,49

b) 𝑢 =2

3,72𝑖 −

𝜋

3,72𝑗 𝐷𝑢𝑓𝑚𝑎𝑥 = 3,72

c) 𝑢 =19

377𝑖 +

4

377𝑗 𝐷𝑢𝑓𝑚𝑎𝑥 = 19,41

3) S

a) 𝐷𝑢𝑓 = 15,1°𝐶

𝑚

b) Cresce mais rapidamente na direção do gradiente 𝑢 = 0,63𝑖 + 0,44𝑗 + 0,63𝑘

c) Decresce mais rapidamente na direção oposta ao gradiente 𝑢 = −0,63𝑖 −0,44𝑗 − 0,63𝑘

d) 𝐷𝑢𝑓𝑚𝑎𝑥 = 15,78°𝐶/𝑚

4)

a) 𝐷𝑢𝑓 = −47,57𝑉/𝑚 b) Cresce mais rapidamente na direção do gradiente 𝑢 = 0,073𝑖 − 0,146𝑗 +

0,986𝑘 c) 𝐷𝑢𝑓𝑚𝑎𝑥 = 54,73𝑉/𝑚

5)

a) 𝐷𝑢𝑓 = −7,15°𝐶/𝑐𝑚 b) 𝐷𝑢𝑓 = 10,75°𝐶/𝑐𝑚

c) Decresce mais rapidamente na direção oposta ao gradiente 𝑢 =2

148𝑖 +

12

148𝑗

𝐷𝑢𝑓𝑚𝑎𝑥 = −12,16°𝐶/𝑐𝑚

6)

a) 𝐷𝑢𝑓 = 2,21𝑚𝑖𝑙𝑅$/𝑢𝑛 b) Na proporção mostrada pelo gradiente ∇𝑓 = 2𝑖 + 𝑗, ou seja, a uma proporção

de 2 produtos do tipo I para cada produto do tipo II 𝐷𝑢𝑓𝑚𝑎𝑥 = 2,23𝑚𝑖𝑙𝑅$/𝑢𝑛

7)

a) −3; 3 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

b) 2

3;

4


c) 0; 0 → ponto de sela e −1; −1 → Máximo relativo

d) 0; 0 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎 𝑒 −2

3;

2


e) 0; 0 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑙𝑎, 1; 1 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒 −1; −1 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

8)

a) 0; 0 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 1; 2 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 (0; 2)

b) 0; 2 → 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜

108

0; 0 → 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 (1; 0)

8

10;

4

10

9) (3,33; 3,33; 3,33)

10) 8

3;

4

3;

8

3

11) (14,938; 22,410; 14,938)


1) 10

7,

15

7,

5

7

2) (3,3,3)

3) 1; −2,5 → Máximo −1,2; −5 → Mínimo

4) (1; 3)

5) 4

3,

1

3 T

4

3,

1

3 = 48m

6) 4

3, −

4

3, −

4

3 e −

4

3, −

4

3, −

4

3

7)

a) 4,167

b) 18,333

c) 0,347

d) 16,889

e) 3,194

f) 1,772

g) 7

8)

a) 26,325

b) 18,05

c) 0,167

d) 8

e) 10,636

f) 0

109

9)

a) 26

b) 2,667

c) 1,333

d) 3,15

e) 52,083

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