CadernoEducacional_3serie_Matematica_Professor_1bim.pdf

Material do professor

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MATEMÁTICAMATEMÁTICAMaterial de apoio

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ciênciasCiênciasMaterial de apoio

3a

sérieEnsino Médio

ExpedienteMarconi Ferreira Perillo JúniorGovernador do Estado de Goiás

Thiago Mello Peixoto da SilveiraSecretário de Estado da Educação

Erick Jacques PiresSuperintendente de Acompanhamento de Programas Institucionais

Raph Gomes AlvesChefe do Núcleo de Orientação Pedagógica

Valéria Marques de OliveiraGerente de Desenvolvimento Curricular

Gerência de Desenvolvimento CurricularElaboradoresAbadia de Lourdes da CunhaAlexsander Costa SampaioAline Márcia dos SantosCarlos Roberto BrandãoDeusite Pereira dos SantosInácio de Araújo MachadoJúnior Marques CarneiroLidiane Rodrigues da MataMárcio Dias de LimaMarlene Aparecida FariaMônica Martins PiresRegina Alves Costa FernandesSilma Pereira do Nascimento Vieira

SumárioApresentação ..............................................................................................................................................5

Aula 01 Conceitos básicos: O ponto e sua representação na reta real

e no plano cartesiano ....................................................................................................7

Aula 02 Conceitos básicos - reta e plano cartesiano ....................................................... 13

Aula 03 Ponto, reta e plano cartesiano – Exercícios ........................................................ 17

Aula 04 O estudo das bissetrizes ............................................................................................19

Aula 05 Distância entre dois pontos ......................................................................................25

Aula 06 Ponto médio de um segmento – Resolução de problemas ........................ 28

Aula 07 Ponto médio de um segmento ...............................................................................31

Aula 08 Ponto médio de um segmento - Exercícios ....................................................... 36

Aula 09 Retornando ao conceito de determinantes ....................................................... 39

Aula 10 Condição de alinhamento de três pontos .......................................................... 42

Aula 11 Condição de alinhamento de três pontos - Exercícios ................................... 45

Aula 12 Lugar geométrico - baricentro ................................................................................48

Aula 13 Baricentro - Exercícios .................................................................................................52

Aula 14 Equação geral da reta I ...............................................................................................55

Aula 15 Equação geral da reta II – Equação da reta dados dois pontos ................. 59

Aula 16 Equação segmentária e reduzida da reta ............................................................ 62

Aula 17 Equação segmentária e reduzida da reta - Exercícios .................................... 67

Aula 18 Retomando o conceito de tangente ..................................................................... 71

Aula 19 Coeficientes angular e linear de uma reta .......................................................... 75

Aula 20 Coeficientes angular e linear – Exercícios ........................................................... 78

Aula 21 Representação gráfica e intersecção de retas ................................................... 79

Aula 22 Representação gráfica e intersecção de retas - Exercícios............................ 82

Aula 23 Posições relativa das retas: paralelismo e concorrência ................................ 84

Aula 24 Posições relativas entre duas retas: perpendicularismo ............................... 87

Aula 25 Posições relativas das retas – Exercícios .............................................................. 90

Aula 26 Ângulo entre duas retas ...........................................................................................92

Aula 27 Ângulo entre duas retas – Exercícios ................................................................... 95

Aula 28 Distância entre ponto e reta.....................................................................................96

Aula 29 Distância entre ponto e reta – Exercícios ..........................................................100

Aula 30 Área de um triângulo ................................................................................................103

Aula 31 Resolução de exercícios ...........................................................................................108

Aula 32 Equação reduzida de uma circunferência .........................................................110

Aula 33 Equação reduzida de uma circunferência - Exercícios .................................114

Aula 34 Equação geral de uma circunferência ................................................................115

Aula 35 Equação geral de uma circunferência – Exercícios ........................................118

Aula 36 Posição relativa entre ponto e uma circunferência .......................................119

Aula 37 Posição relativa entre uma reta e uma circunferência .................................122

Aula 38 Posição relativa entre ponto, uma reta e uma circunferência – Exercícios ......................................................................................125

Aula 39 Intersecção entre uma reta e uma circunferência .........................................127

Aula 40 Resolução de Problema – Intersecção entre uma reta e uma circunferência .................................................................................................129

Aula 41 Posição relativa entre duas circunferências ......................................................130

Aula 42 Posição relativa entre duas circunferências – Exercícios .............................135

Aula 43 Circunferências – Exercícios ....................................................................................136

Apresentação

O Governo do Estado de Goiás, por meio da Secretaria de Estado da Edu-cação (SEDUC), criou o “Pacto pela Educação” com o objetivo de avançar na oferta de um ensino qualitativo às crianças, jovens e adultos do nosso Estado. Assim, busca-se adotar práticas pedagógicas de alta aprendizagem.

Dessa forma, estamos desenvolvendo, conjuntamente, várias ações, dentre elas, a produção deste material de apoio e suporte. Ele foi concebido tendo por finalidade contribuir com você, professor, nas suas atividades diárias e, tam-bém, buscando melhorar o desempenho de nossos alunos. Com isso, espera-se amenizar o impacto causado pela mudança do Ensino Fundamental para o Médio, reduzindo assim a evasão, sobretudo na 1ª série do Ensino Médio.

Lembramos que a proposta de criação de um material de apoio e suporte sempre foi uma reivindicação coletiva de professores da rede. Proposta esta que não pode ser viabilizada antes em função da diversidade de Currículos que eram utilizados. A decisão da Secretaria pela unificação do Currículo para todo o Estado de Goiás abriu caminho para a realização de tal proposta.

Trata-se do primeiro material, deste tipo, produzido por esta Secretaria, sendo, dessa forma, necessários alguns ajustes posteriores. Por isso, contamos com a sua colaboração para ampliá-lo, reforçá-lo e melhorá-lo naquilo que for preciso. Estamos abertos às suas contribuições.

Sugerimos que este caderno seja utilizado para realização de atividades den-tro e fora da sala de aula. Esperamos, com sua ajuda, fazer deste um objeto de estudo do aluno, levando-o ao interesse de participar ativamente das aulas.

Somando esforços, este material será o primeiro de muitos e, com certeza, poderá ser uma importante ferramenta para fortalecer sua prática em sala de aula. Assim, nós o convidamos para, juntos, buscarmos o aperfeiçoamento de ações educacionais, com vistas à melhoria dos nossos indicadores, proporcio-nando uma educação mais justa e de qualidade.

A proposta de elaboração de outros materiais de apoio continua e a sua participação é muito importante. Caso haja interesse para participar dessas ela-borações, entre em contato com o Núcleo da Escola de Formação pelo e-mail [email protected]

Bom trabalho!

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Expectativas de aprendizagem

u Compreender os conceitos de ponto, reta e plano.

aula 01

Conceitos básicos: O ponto e sua representação na reta real e no plano cartesianoObjetivo geral

Compreender os conceitos e a representação de ponto, medida algébrica de um segmento e plano cartesiano no estudo da matemática, especificamente na Geometria Analítica.

Conceito básico

Em matemática, no estudo da Geometria Analítica, veremos que as figuras geométricas podem ser analisadas através de seus elementos e por meio de processos algébricos. Nesta aula, estudaremos sobre o ponto, noções de reta real, medidas algébricas do segmento e plano cartesiano.

Reta real

Na 1ª série do Ensino Médio vimos que a reta numérica ou reta real é uma representação do conjunto dos números reais.

Assim, dada a reta real, sabemos que entre os pontos da mesma e os números reais representados nela há uma correspondência biunívoca, isto é, para cada ponto da reta existe um único número real correspondente ao mesmo e vice-versa.

Representação geométrica da reta real

Na reta real temos que:• O ponto 0 (zero) é a origem da reta;• Os valores representados a direita da origem são números positivos (+);• Os valores representados a esquerda da origem são números negativos (-).

É importante ressaltar que na reta numérica entre dois pontos quaisquer existirão, sempre, infinitos números reais.

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Medida algébrica de um segmento

Quando fazemos uma correspondência entre dois pontos na reta numérica temos uma medida algébrica de um segmento.

Assim, na reta a seguir, fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo das abscissas (eixo x) os números reais xA e xB, temos:

xA " abscissa do ponto A

xB " abscissa do ponto B

AB x xB A-= " medida algébrica de AB

Logo, temos que a medida algébrica de um segmento orientado é o módulo do número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.

Observe o exemplo a seguir,

3 0 3OM = - =

7 0 7ON = - =

3 0 3OP 1= - =

7 3 4MN = - =

3 3 10MP 1= - =

3 7 61NP = - =

Plano cartesiano

Existe uma relação entre um ponto do plano e um par ordenado de números reais: a cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado de números reais e, inversamente, a cada par tem como seu correspondente um ponto P do plano.

Geralmente:• Usa-se a notação (x,y) para indicar o par ordenado em que x é o primeiro elemento e y é o

segundo elemento;• O eixo horizontal 0x é o eixo das abscissas;• O eixo vertical 0y é o eixo das ordenadas;• O ponto (0,0), intersecção de 0x e 0y é a origem;• Se o ponto pertence ao eixo das abscissas, suas coordenadas são (x,0);• Se o ponto pertence ao eixo das ordenadas, suas coordenadas são (0,y);• O ponto (0,0) pertence aos dois eixos;• O plano que contém 0x e 0y é o Plano Cartesiano;

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• Os eixos 0x e 0y são denominados eixos ordenados;• Os dois eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro quadrantes, onde cada

quadrante tem os sinais conforme a figura abaixo.

Representação gráfica:

Exemplo:Dado o plano cartesiano a seguir:

Determine:a) As coordenadas dos pontos;b) Os pares ordenados que pertençam ao eixo das abscissas (eixo x)? Justifique.c) Os pares ordenados que pertençam ao eixo das ordenadas (eixo y)? Justifique.d) Os pares ordenados que pertençam ao primeiro quadrante?e) Os pares ordenados que pertençam ao segundo quadrante?

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f) Os pares ordenados que pertençam ao terceiro quadrante?g) Os pares ordenados que pertençam ao quarto quadrante?h) A medida algébrica do segmento AB .

Solução:

a) A = (-2,4), B = (4,3), C = (1,2), D = (0,1), E = (-1,0), F = (0,0), G = (2,0), H = (0,-2), I = (-3,-4), J = (3,-3)b) Os pontos E, F e G, pois a ordenada é zero.c) Os pontos D, F e H, pois a abscissa é zero.d) Os pontos B e C.e) O ponto A.f) O ponto I.g) O ponto J.h) A medida algébrica do segmento AB é 6, pois AB = xB – xA " AB = 4 -(-2) = 6.

Atividades 01 Dado o plano cartesiano, determine as coordenadas dos pontos:

Solução:

A(-4,0), B(-3,4), C(-1,2), D(3,2), E(1,0), F(5,0), G(-2,-2), H(2,-1), I(2,-3)

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02 Localize os pontos no plano cartesiano:A(-2,4), B(-1,3), C(0,2), D(1,2), E(0,0), F(-1,-1), G(1,3), H(2,2), I(3,1), J(2,0), K(1,-1), L(0,-2)

Solução:

03 Com base no gráfico do exercício anterior responda as questões a seguir:

a) Quais dos pares pertencem ao eixo das abscissas (eixo x)? Justifique.b) Quais dos pares pertencem ao eixo das ordenadas (eixo y)? Justifique.c) Quais dos pares pertencem ao primeiro quadrante?d) Quais dos pares pertencem ao segundo quadrante?e) Quais dos pares pertencem ao terceiro quadrante?f) Quais dos pares pertencem ao quarto quadrante?Qual a medida algébrica do segmento EJ ?

Solução:

a) Os pontos E e J, pois a ordenada é zero.b) Os pontos C, E e L, pois a abscissa é zero.c) Os pontos D, G, H e I.d) Os pontos A e B.e) O ponto F.f) O ponto K.A medida algébrica do segmento EJ é 2, pois EJ = xJ – xE " EJ = 2 – 0 = 2.

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Desafio

(ENEM – 2002) A leitura do poema “descrição da guerra” em Guernica traz à lembrança o famoso quadro de Picasso.

Entra pela janelao anjo camponês;com a terceira luz na mão;minucioso, habituadoaos interiores de cereal,aos utensílios que dormem na fuligem;os seus olhos ruraisnão compreendem bem os símbolosdesta colheita: hélices,motores furiosos;e estende mais o braço;planta no ar, como uma árvorea chama do candeeiro.(...)

(Carlos de Oliveira in ANDRADE, Eugénio. Antologia Pessoal da Poesia Portuguesa. Porto: Campo das Letras, 1999.)

Uma análise cuidadosa do quadro permite que se identifiquem as cenas referidas nos trechos do poema.

Podem ser relacionadas ao texto lido as partes:

a) a1, a2, a3b) f1, e1, d1c) e1, d1, c1d) c1, c2, c3e) e1, e2, e3

Solução: Letra c.

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aula 02

Conceitos básicos - reta e plano cartesianoObjetivo geral

Estudar alguns conceitos básicos sobre reta e localização de pontos no plano cartesiano.

Conceitos Básicos

Nessa aula estudaremos alguns conceitos básicos sobre reta e plano cartesiano.

Uma reta é um objeto geométrico formado por infinitos pontos, alinhados, aos quais podemos determinar pontos de referência. A reta é ilimitada nos dois sentidos e representada por uma letra minúscula.

Consideramos a reta, assim como o ponto e o plano, um conceito primitivo. Um conceito é dito primitivo quando não necessita de maiores definições para sua existência.

Na matemática, ao trabalhar com a reta, usualmente adota-se um ponto de origem (ponto zero) de onde a partir deste define-se uma unidade de medida (geralmente definida por algum conjunto numérico: e, ,Z Q R ) que é marcada na reta.

Observe que, no exemplo a seguir, a partir da origem 0 determinou-se a marcação da reta à partir do conjunto dos números inteiros.

Sendo assim, nesta reta o 0 (zero) é a origem da reta numérica. A sua direita temos os valores positivos e a sua esquerda temos os valores negativos. Pautado nesta ideia fica definido que na reta numérica à direita da origem 0 temos os valores positivos e à esquerda do mesmo temos os valores negativos.



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Seguindo o raciocínio análogo a este fica estabelecido que caso a reta esteja na vertical, acima da origem temos os valores positivos e abaixo da mesma temos os valores negativos.

O cruzamento da reta horizontal com a reta vertical deu origem ao plano de coordenadas cartesianas, estudado anteriormente.

Vale ressaltar que a reta na posição horizontal representa os valores de x (abscissa) e na posição vertical representa os valores de y (ordenada).

Exemplo:

Localize na reta numérica os pontos:

a) 1,3 b) 45- c) 5

4-

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d) 0,5 e) 2,23 f) r

g) -r

Solução:

Atividades 01 Localize no plano cartesiano os seguintes pontos:

a) A2,05` j b) B(-3,5 ; 2,5) c) C 0,

76-` j d) D

35,

35

-c m

Solução:

02 Represente na reta numérica os seguintes valores:

a) 52 b)

52- c)1,25 d)

45- e) 2,5

f ) 7 g) 3 h) 2- i) 25

- j) 25

Solução:

03 Represente no plano cartesiano os seguintes pontos.

a) A52,3

-` j b) B25,1-c m c) C 7 , 3-^ h d) D(0 ; -0,9) e) ,E -r r^ h

f ) F(0,5 ; -0,7) g) G(2,5 ; -2,5) h) H(-1,2 ; -2,1)

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Solução:

Desafio

Observe o gráfico a seguir.

De acordo com os dados observados no gráfico, analise as afirmações:I – Os pontos A, B e C pertencem ao 2° quadrante.II – As coordenadas de H, M, I e C são respectivamente (0;-0,5), (0,5), (-1,5;-2,5) e (0;1,5).III – O ponto F(0,0) pertence à origem do sistema de coordenadas cartesianas e o ponto C(0;-0,5) per-tence ao eixo das ordenadas.Quais das afirmações acima são verdadeiras?a) I e II. b) I e III.c) II e III. d) Todas as alternativas estão corretas.

Solução: Letra c.

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aula 03

Ponto, reta e plano cartesiano – ExercíciosObjetivo geral

Resolução de exercícios envolvendo ponto, reta e plano cartesiano.

Atividades 01 Determine o valor real para a, de tal modo que:

a) O ponto M = (5, -2a + 4) pertença ao eixo das abscissas.b) O ponto N = (3 + 3a, 2) pertença ao eixo das ordenadas.

Solução:a) a = 2.b) a = -1

02 Observe o plano cartesiano e indique as coordenadas de A, B, C, D, E, F e G.

Solução:

A = (4,4), B = (5,1), C = (2,-2), D = (-1,-1), E = (-6,-3), F = (-8,5) e G = (0,3)

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03 Represente no plano cartesiano os pares ordenados: A = (2,3), B = (-1,0), C = (0,4), D = (-3,-1), E = (2,-3) e F = (-4,-4).

Solução:

04 Determine o simétrico do ponto M = (3,-1) a) em relação ao eixo das abscissas.b) em relação ao eixo das ordenadas.

Solução:

a) M’ = (3,1) b) M” = (-3,-1)

05 Considere o ponto M = (-2a - 3, -6 - 6a) pertencendo ao 2º quadrante, determine os possíveis valores para a.

Solução: 23

1a a1 1! - -$ .

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aula 04

O estudo das bissetrizesObjetivo geral

Compreender os conceitos de ponto, reta e plano cartesiano através do estudo das bissetrizes na Geometria Analítica.

Conceito básico

Continuando o estudo da Geometria Analítica nesta aula iremos estudar o conceito de bissetriz de quadrantes e suas propriedades.

Aqui, destacaremos duas propriedades importantes, porém, inicialmente veremos a definição de bissetriz.

Bissetriz é a reta que divide determinado ângulo interno em dois ângulos adjacentes iguais (congruentes).

Para facilitar o entendimento das propriedades à seguir é importante relembrar que o plano cartesiano é dividido em quatro quadrantes conforme a figura a seguir:



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• 1ª propriedade

Todo ponto que pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares tem sua abscissa igual à sua ordenada.

x1 = y1

-x2 = -y2

Assim, a equação da bissetriz dos quadrantes ímpares será sempre representada por x = y, pois todos os valores do eixo 0x serão iguais aos do eixo 0y, isto é, abscissa = ordenada.

Graficamente:

• 2ª propriedade

Todo ponto que pertence à bissetriz dos quadrantes pares tem sua abscissa igual ao oposto de sua ordenada.

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x1 = -y1

-x2 = y2

Assim, a equação da bissetriz dos quadrantes pares será sempre representada por x = -y, pois todos os valores do eixo 0x serão opostos aos do eixo 0y, isto é, abscissa = -ordenada.

Graficamente:

Exemplos:

a) Dados os pontos A=(1, 2), B=(-1, 3), C = (-2, -2), D = (3, -3), E = (0, 0), F = (4, 4) e G = (-1, 1), represente-os no plano cartesiano e a seguir responda quais desses pontos pertencem à bissetriz dos quadrantes pares ou ímpares, justificando sua resposta.

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Solução:

• Os pontos C, E e F pertencem à bissetriz b13 dos quadrantes ímpares, pois, x = y.• Os pontos D, E e G pertencem à bissetriz b24 dos quadrantes pares, pois, x = -y.

b) Dada a coordenada (2s – 3,7) pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares, qual é o valor de s?

Solução:

Do enunciado temos que a coordenada (2s – 3,7) pertence a b1a. Como queremos o valor de s, basta aplicar a propriedade da bissetriz dos quadrantes ímpares, onde temos a equação x = y.

Assim, x = 2s – 3 e y = 7

Logo, 2s – 3 = 7

2s = 7 + 3

2s = 10s = 5

Portanto, o valor de s é 5.

c) Dada a coordenada (4t + 7, 2 – t) pertencente à bissetriz dos quadrantes pares, qual é o valor de t?

Solução:

Do enunciado temos a coordenada ,t t b4 7 2 24!+ -^ h , como queremos o valor de t, basta aplicar a propriedade da bissetriz dos quadrantes pares, onde temos a equação x = -y.

Assim, x = 4t + 7 e y = 2 – t

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Logo,

4t + 7 = -(2 – t)4t + 7 = -2 + t4t - t = -2 - 7

3t = -9

t = -3

Portanto, o valor de t é -3.

Atividades 01 Localize os pontos A(-2,4), B(-1,3), C(0,2), D(1,1), E(0,0), F(-1,-1), G(1,3), H(2,2), I(3,1), J(2,0), K(1, -1), L(0,-2) e M(2,-2) no plano cartesiano e, a seguir, responda às questões:

Quais desses pares pertencem a bissetriz dos quadrantes ímpares (b13)? Justifique.Quais desses pares pertencem a bissetriz dos quadrantes pares (b24)? Justifique.

Solução:

Representação gráfica:

a) F, E, D e H, pois a abscissa é igual à ordenada (x = y). b) E, K e M, pois a abscissa é igual ao oposto da ordenada (x = -y).

02 Dados as coordenadas dos pontos a seguir, pertencentes à bissetriz dos quadrantes ímpares, determine o valor de p.

a) (2p, 4) b) (3p, 0) c) (8, p + 2) d) (-10, 2p - 4)

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Solução:a) p = 2 b) p = 0c) p = 6 d) p = -3

03 Dadas as coordenadas dos pontos a seguir pertencentes à bissetriz dos quadrantes pares determine o valor de q.

a) (4q + 2, -6) b) 8, 32q

+` jc) (8, q + 2) d) (10, 2q – 4)

Solução:

a) q = 1 b) q = -22c) q = 10 d) q = -3

Desafio

(ENEM – 1999) José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, ente meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial espe-rará pelo outro, no máximo, meio hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho.Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y):

Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento “José e Antônio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horário” corresponde

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a) à diagonal OQb) à diagonal PRc) ao lado PQd) ao lado QRe) ao lado OR

Solução:

Todo ponto do segmento OQ apresenta abscissa e ordenada iguais, pois esse segmento está contido na bissetriz dos quadrantes ímpares (b13). Logo, o conjunto de pontos mencionado corresponde à diagonal OQ.Alternativa a.


u Calcular a distância entre dois pontos na reta orientada e no plano cartesiano;

u Resolver problemas utilizando o cálculo da distância entre dois pontos.

aula 05

Distância entre dois pontosObjetivo geral

Explorar, entender, aplicar e calcular a distância entre dois pontos na reta orientada e no plano cartesiano no estudo da matemática em Geometria Analítica.

Conceito básico

Continuando o estudo da Geometria Analítica sobre o ponto, nesta aula especificamente vamos estudar as noções de distância entre dois pontos. Assim, matematicamente temos que dados dois ponto A e B, num plano cartesiano, de modo que A = (xA,yA) e B = (xB,yB) a distância entre eles será determinada em função das suas coordenadas.

A seguir veremos três formas distintas de calcular esta distância entre os pontos A e B:

• 1ª formaQuando o segmento AB é paralelo ao eixo

0x, à distância dAB é o módulo da diferença entre as abscissas.

Matematicamente, temosd x xAB B A= -

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• 2ª formaQuando o segmento AB é paralelo ao eixo

0y, a distância dAB é o módulo da diferença entre as ordenadas.

Matematicamente, temos "

d y yAB B A= -

• 3ª forma Quando o segmento AB é um segmento

qualquer onde a distância dAB depende das diferenças entre as abscissas e as ordenadas, para calcular a distância dAB, usaremos o teorema de Pitágoras no triângulo ABC.

Matematicamente, temos:

d d dAB AC BC2 2 2= +^ ^ ^h h h

x yd x y2 2 2AB B A B A= - + -^ ^ ^h h h

d x x y yAB B A B A2 2= - + -^ ^h h

Exemplo:

Calcule a distância entre os pontos em cada item a seguir.

a)

d x xAB B A= -

d 3 1 2AB = - =

b)

d y yAB B A= -

d 3 1 2AB = - =

c)

d x x y yAB B A B A2 2= - + -^ ^h h

d 3 1 3 1 2 2AB2 2= - + - =^ ^h h

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Atividades 01 Calcule o perímetro do triângulo ABC a seguir.

Solução:Perímetro(p) = dAB + dAC + dBC

p = 2 + 2 +2 2 = 4+ 2 2 = 2 2 2+^ h

02 Observe o triângulo OPQ.

Observando os dados do gráfico é correto afirmar:a) O triângulo OPQ é equilátero.b) O triângulo OPQ é isóscele.c) O triângulo OPQ é escaleno.d) O triângulo OPQ é retângulo.

Solução: Letra b.

03 Os pontos M(-2,2) e N(2,6) são equidistantes do ponto P que pertence ao eixo das abscissas. Dos itens abai-xo, qual apresentam as coordenadas de P?

a) (4,0) b) (-4,0) c) (0,4) d) (0,-4)

Solução: Letra a.

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Desafio

Observe a figura a seguir.

Observando os dados, encontre:a) O perímetro do quadrilátero ABCD.b) A distância AC e BD.

Solução:

p d d d d 12 2AB BC CD DA= + + + =

dAC = 6 e dBD = 6



u Resolver problemas utilizando o cálculo da distância entre dois pontos.

aula 06

Ponto médio de um segmento – Resolução de problemasObjetivo geral

Resolver exercícios utilizando a distância entre dois pontos na reta orientada e no plano cartesiano no estudo da matemática em Geometria Analítica.

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Atividades 01 Sabendo que a distância entre os pontos H(-3,y) ao ponto I(3,4) é 10. O valor da ordenada do ponto I é:

a) 16 e 4b) 12 e -4c) -16 e 4d) -12 e 4

Solução: Letra b.

02 Observe o triângulo ABC na figura a seguir.

De acordo com os dados analise as afirmações:I – As coordenadas do triângulo são A(-2,3), (1,1) e (3,4).II – A distância dAB = 13.III – O perímetro do triângulo ABC vale: 2 13 26+ .

IV – A distância do ponto B à origem vale 2 .

Quais das afirmações acima são verdadeirasa) I, II e IIIb) I, II e IVc) I, III e IVd) II, III e IV

Solução: Letra c.

03 A distância do ponto P(-3,-4) ao ponto de origem do sistema de coordenadas cartesianas vale:

a) 3 b) 4c) 6 d) 5

Solução: Letra d.

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04 Os pontos A(1,2) e B(-6,3) equidistam do ponto M que pertence à bissetriz dos quadrantes pares.

Observando as informações é correto afirmar:

a) As coordenadas de M25,

25-` j .

b) As coordenadas de M25,25-` j.

c) As coordenadas de M25,25` j .

d) As coordenadas de M25,

25- -` j .

Solução: Letra a.

05 De acordo com os vértices A(3,2), B(3,5) e C(5,5) o triângulo ABC pode ser classificado como:a) O triângulo OPQ é equilátero.b) O triângulo OPQ é isóscele.c) O triângulo OPQ é obtusângulo.d) O triângulo OPQ é retângulo.

Solução: Letra d.

Pode ser resolvido com teorema de Pitágoras.

MateMática

31

06 Considere o ponto G(3,2) é correto afirmar:

a) A distância do ponto G ao sistema de coordenadas cartesianas é 13.b) A distância do ponto G ao eixo das ordenadas vale 2.c) A distância do ponto G ao eixo das abscissas vale 3.d) A distância do ponto G ao ponto H(4,3) é 2 .

Solução: Letra d.

aula 07

Ponto médio de um segmentoObjetivo geral

Determinar o ponto médio de um segmento de reta.

Conceitos Básicos

Ponto médio de um segmento

Considere os pontos A e B extremos de um segmento de reta e M o ponto que divide esse segmento exatamente ao meio.

Chamamos de ponto médio (M) o ponto pertencente ao segmento AB que o divide em dois outros segmentos com medidas iguais.

AM BM=

a b2 2

1 55

+=

+=

Observe o gráfico a seguir:


u Obter o ponto médio de um segmento de reta.

MateMática

32

No gráfico, M é o ponto médio do segmento A e B e o nosso objetivo é encontrar suas coordenadas.

Para isso, considere que o ponto M divide o segmento AB em duas partes iguais ( AM e MB ). Por projeções ortogonais de A, M e B nos eixos coordenados, obtemos segmentos que possuem

as mesmas condições, logo podemos dizer: x x x xA M M B= e y y y yA M M B= .

Calculando x do ponto médio (M):

x x x xA M M B=

x x x x x x x xM A B M M M A B"- = - + = +

2x x x xx x2M A B M

A B"= + =

+

Calculando y do ponto médio (M):

y y y yA M M B=

y y y y y y yyM A B M M M A B"- = - + = +

y y y yy y

22M A B M

A B

"= + =+

Exemplo 1:Dados os pontos A(2,6) e B(-4,2), calcule as coordenados do ponto médio do segmento AB .

2 4 12 2( )

xx x

x xMA B

M M" "=+

=+ -

=-

6 2 42 2yy y

y yM

A B

M M" "=+

=+

=

M(-1,4)

Exemplo 2:

Sejam os pontos Q, R e S todos sobre uma reta. Sabendo que Q tem como coordenadas (2, 5), R tem como coordenadas (5, 7) e que R é ponto médio do segmento QS , determine as

coordenadas da extremidade S do segmento.

MateMática

33

QR RS

2 2

22 5 2

57

2 10 5 1410 2 14 58 9

(8,9)

x xx

y yy

x y

x y

x y

x y

S

q sr

q sr

s s

s s

s s

s s

=+

=+

=

+=

+=

+ = + =

= - = -

= =

=

Graficamente, temos:

Atividades 01 Sejam os pares ordenados D e E indicados no gráfico a seguir.

MateMática

34

Considerando M o ponto médio do segmento DE , M1 o ponto médio do segmento DM , M2 o ponto médio do segmento ME , calcule M, M1 e M2.

Solução:

M(6,8); M1(5,7); M2(7,9).

02 Sendo M23,

21-` j o ponto médio do segmento LN , com N(3,-2), podemos afirmar que o ponto L tem coor-

denadas:

a) L 0,21` j b) L(0,1) c) L 0,

25` j d) L 0,

34` j

Solução: Letra b.

03 O triângulo DEF construído conforme ilustra a figura a seguir, é equilátero.

De acordo com os dados observados no gráfico, analise as afirmações:I – D(-4,0), E(0,0) e M(-2,0).II – M é o ponto médio do segmento DE.III – A distância dos pontos DF = 4.IV - F( 2, 3 3 )- - .

Quais das afirmações acima são verdadeiras a) I, II e IV.b) I, II e III.c) I, III e IV.d) II, III e IV.

Solução: Letra b.

MateMática

35

Desafio

Os pontos A(0,0), B(3,0) e C(0,4) são vértices de um triângulo. Sendo M o ponto médio do segmento

AB , M 1 o ponto médio do segmento AC e M2 o ponto médio do segmento BC , resolva os itens abaixo:a) Construa o triângulo no sistema de coordenadas cartesianas;b) Encontre os pontos M, M1 e M2.c) Verifique que o triângulo ABC é escaleno.

Solução:a)

b) M23,0` j , M1(0,2) e M2

23,2` j .

c) É escaleno. Todos os lados são diferentes.

MateMática

36

aula 08

Ponto médio de um segmento - ExercíciosObjetivo geral

Resolver exercícios que envolvam ponto médio de um segmento de reta.

Atividades 01 Considere a figura representada no sistema cartesiano a seguir:

Sendo A(1,1), B(1,5), C(5,5) e D(5,1), analise as afirmações:I – A figura ABCD é um quadrado.II – As diagonais AC e BD medem 4 3 .III – O ponto médio do segmento AB é 1,3^ h.Quais das afirmações acima são verdadeiras?a) I e IIb) I e IIIc) II e IIId) I, II e III

Solução: Letra b.


u Obter o ponto médio de um segmento de reta.

MateMática

37

02 “Dizemos que dois pontos P e P’ são simétricos em relação a um terceiro ponto T, quando T é ponto médio do segmento que une P e P’. Neste caso, o ponto T é chamado centro da simetria”.

Sendo P(1,3) e T(4,6) o centro de simetria, podemos dizer que o ponto simétrico de P em relação ao ponto T é:

a) (9,7)

b) 25,27` j

c) (7,9)

d) 27,25` j

Solução: Letra c.

03 As coordenadas dos pontos C, D e E que dividem em quatro partes iguais o segmento de extremidades A(-4,-8) e B(4,8) são respectivamente:

a) (-2,-4), (0,0) e (2,4) b) (2,4), (0,0) e (-2,-4) c) (2,4), (-2,-4) e (0,0) d) (0,0), (-2,-4) e (2,4)

Solução: Letra d.

04 O ponto Q pertence ao eixo x, com abscissa 6, e o ponto P pertence ao eixo y com ordenada 8. Unindo-se os pontos Q e P com um terceiro ponto O, com coordenadas no ponto de origem do plano cartesiano, construímos um triângulo QPO. Com base nessas informações é correto afirmar:

a) A distância do segmento PQ é 12.b) O ponto médio do segmento PQ é (4,3).c) O triângulo QPO é isósceles.d) A distância do ponto médio do segmento PQ a origem é 5.

Solução: Letra d.

MateMática

38

05 Observe o gráfico a seguir.

A, B e C são vértices de um triangulo e D, E e F os pontos médios de seus lados.Considerando A(-1,2), B(5,0) D(6,2) e E(3,3) os pontos C, E e F, nesta ordem são:a) (2,1), (3,3) e (7,4) b) (7,4), (3,3), e (2,1) c) (3,3), (2,1) e (7,4) d) (3,3), (7,4), e (2,1)

Solução: Letra b.

06 Considerando o triângulo do exercício 05 analise as afirmações.I – O comprimento da diagonal relativa ao vértice B é 3 .II – O perímetro do triângulo ABC é aproximadamente 19.III – O ponto médio dos pontos A e D é (3,2).Quais das afirmações acima são verdadeirasa) I e IIb) I e IIIc) II e III

Solução: Letra a.

MateMática

39

aula 09

Retornando ao conceito de determinantesObjetivo geral

Relembrar conceitos básicos acerca de determinantes.

Conceitos Básicos

Matriz

É um conjunto de elementos organizados em linhas (horizontal) e colunas (vertical). As matrizes são utilizadas para organizar dados numéricos.

O número de linhas é representado por m e o número de colunas é representado por n, onde, a quantidade de linhas e colunas devem ser maiores ou iguais a um.

ExemploA tabela a seguir apresenta as notas obtidas por 3 alunos nas disciplinas de português,

matemática e física.

Português Matemática Física A nota de Marcos em física (8) está na 2ª linha e na 3ª coluna.Guilherme 7 9 6

Marcos 9 5 8 A nota de Poliana em matemática (8) está na 3ª linha e na 2ª coluna.Poliana 7 8 9

A representação dos dados numéricos dispostos em linhas e colunas entre parêntese ou colchetes recebe o nome de matriz.

797

689

958

R

T

SSSS

V

X

WWWW

Os números 7 9 6 estão representados na 1ª linha.

Os números 958

estão representados na 2ª coluna.

Neste exemplo dizemos que essa matriz possui 3 linhas e 3 colunas, também chamada de matriz quadrada de ordem 3.

Determinante

A toda matriz quadrada de elementos reais de ordem n está associado um único número real chamado determinante da matriz que é obtido depois que seus elementos passam por operações.


u Aplicar a Regra de Sarrus e o Teorema de Laplace.

MateMática

40

Podemos dizer que o determinante de uma matriz quadrada é seu valor numérico.

É importante observar, que só as matrizes quadradas possuem determinante. Nesse momento, vamos nos ater a matriz quadrada de ordem 3 (3 linhas e 3 colunas).

Uma matriz de terceira ordem é representada da seguinte forma:

Aaaa

aaa

aaa

11

21

31

12

22

32

13

23

33

= > H

aij - identifica a posição do elemento nas respectivas linhas e colunas à qual o elemento se encontra.

a11 - significa que o elemento está na 1ª linha e na 1ª coluna.

a23 - significa que o elemento está na 2ª linha e na 3ª coluna.

A este tipo de representação chamamos de forma genérica da matriz.

Recordando a regra de Sarrus (matemático Pierre Frédéric Sarrus).

Repetem-se, à direita da matriz de ordem 3, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.

Somam-se algebricamente os produtos obtidos, calculando-se, assim, o valor do determinante.

A = a11 a22

a33 + a12 a23

a31 + a13 a21

a32 + a13 a22

a31 + a11 a23

a32 + a12 a21

a33

Exemplo 1:Calcule o valor do determinante da matriz M, a seguir.

MateMática

41

101

210

532

M

- -=

R

T

SSSS

V

X

WWWW

detM = -2 + (-6) + 0 - (-5) - 0 – 0 = -2 – 6 + 5 = -3

Exemplo 2:

Dada a matriz A = (aij)3x3, tal que 2, se1, sea

i ji jij

1$

= )

Encontre o valor do determinante de A.

Sugestão:

Matriz 111

211

221

A =

R

T

SSSS

V

X

WWWW detA = 1 + 2 + 4 – 2 – 2 – 2 = 1

Atividades 01 Calcule o valor do determinante a seguir.

0

0

0

5

4

1

3

2

6

-> H

Solução: 0

02 Seja a matriz A = (aij)

3x3, tal que a

1, se i j

1, se i j

2, se i jij

1

2= -

=* .

Sobre o determinante de A é correto afirmar que

a) detA = 6 b) detA = 12

c) detA = 2 d) detA = 14

Solução: Letra d.

03 Para que valores de x podemos afirmar que 11

1

1

0

1

1

x

x> H = 0.

a) 0 e -1 b) 1 e - 1

c) 0 e 1 d) -1 e 2

Solução: Letra c.

MateMática

42

Desafio

Considerando as matrizes A = (aij)3x3, e B = (bij)3x3, sendo:

A a( 1) , se i j

0, se i jij

i j!

=-

=

+

^ h) bij = i - j

Calcule det(A + B).

Solução:

A

0

1

1

1

0

1

1

1

0

B

0

1

2

1

0

1

2

1

0

A B

0

0

3

2

0

0

1

2

0

= -

-

-

- =

- -

- + =

- -

-

R

T

SSSS

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW

V

X

WWWW

det(A + B) = 12


u Reconhecer e verificar a condição de alinhamento de três pontos.

aula 10

Condição de alinhamento de três pontosObjetivo geral

Saber analisar e efetuar cálculos quando três pontos formam uma reta ou um triângulo.

Conceitos Básicos

Ao representarmos três pontos distintos em um sistema de coordenadas cartesianas ou teremos tais pontos alinhados (colineares) ou não teremos estes pontos alinhados (não colineares). Veja, por exemplo, as situações a seguir:

MateMática

43

A(0,5), B(1,3), e C(2,1)

Perceba que os pontos A, B e C situam-se sobre uma mesma reta, logo dizemos que são colineares.

M(0,5), N(1,4) e P(2,1)

Perceba que os pontos M, N e P não situam-se sobre uma mesma reta, logo dizemos que são não colineares.

Da imagem anterior fica claro que, unindo-se três pontos distintos, quaisquer:• Se eles estiverem alinhados, então, pertencerão a uma mesma reta;• Se eles não estiverem alinhados, então, representarão um triângulo qualquer.

Condição de alinhamento:

Três pontos A, B e C, quaisquer, estão alinhados, se, e somente se, o determinante de suas coordenadas for igual a zero.

Existem duas formas de verificarmos se os pontos estão alinhados:

1. Podemos utilizar a construção gráfica no sistema de coordenadas cartesianas;2. Podemos calcular o determinante da matriz de ordem 3 criada pelas coordenadas dos

pontos dados seguida de uma terceira coluna formada por 1 - matriz das coordenadas.

Exemplo:Verifique se os pontos A(0,2), B(1,3) e C(-1,1) são colineares (pertencem à mesma reta).

Solução:

011

231

111

011

231

111

011

231

111

011

231

0 ( 2) 1 2 0 ( 3) 2 1 2 3 4 4 0A =- - - -

+ - + - - - - =- + - + =- + =" " "

R

T

SSSS

V

X

WWWW

Os pontos A, B e C pertencem à mesma reta uma vez que o detA = 0.

MateMática

44

Atividades 01 O valor de x para que os pontos M(0,4), N(-x,2) e O(2,6) estejam todos sobre uma mesma reta é:

a) x = -2b) x = 2c) x = -4d) x = 4

Solução: Letra b.

02 Os pontos A(3,1) e B(4,2) estão alinhados com o ponto C que pertence ao eixo das ordenadas. Logo podemos dizer que as coordenadas de C são:

a) (-2,0) b) (2,0)c) (0,-2)d) (0,2)

Solução: Letra c.


Considerando as retas formadas pelos segmentos CD e AB encontre o ponto de intersecção E:

Solução:

Primeiro encontre as retas dos segmentos CD e AB usando E(x,y) - (Utilize regra de Sarrus).

CD y x" = -

xAB

24

y" =+

Resolvendo as equações temos E34,34-` j .

MateMática

45

Desafio

Sobre os pontos (2k + 1, 2), (-6,-5) e (0,1) podemos afirmar:I – Para k 0! os pontos representam os vértices de um triângulo.

II – Para k Z! e k 1# - , o triângulo tem pontos no 2o e 3o quadrantes e no eixo y;III – Para k Z! e k 1$ , o triângulo tem pontos no 1o e 3o quadrantes e no eixo y;IV – Para k = 2 os pontos estão contidos em uma reta.

Quais das afirmações acima são verdadeiras.a) I, II e IIIb) I, II e IVc) II, III e IVd) Todas as alternativas estão corretas.

Solução: Letra b.



aula 11

Condição de alinhamento de três pontos - ExercíciosObjetivo geral

Resolver problemas utilizando condição de alinhamento de 3 pontos

Atividades 01 Considerando os pontos A(1,2), B(3,0) e C(4,1) é correto afirmar que:

a) Os pontos A, B e C representam uma reta.

b) O ponto médio do segmento AC é 4,23` j .

c) Os pontos A, B e C representam um triângulo.d) A distância do ponto A ao ponto C é 10.

Solução: Letra c.

MateMática

46

02 Determine o valor de x para que os pontos (1,3), (3,4) e (x, -1) estejam todos sobre uma mesma reta.

Solução: x = - 7

03 Os pontos A, B(2,1) e C(-7,-1) são colineares, isto é, pertencem à mesma reta. O ponto A pertence ao eixo das ordenadas.

De acordo com os dados analise as afirmações:

I – As coordenadas de A 0,95` j .

II – O ponto médio do segmento BC é 25, 1- -` j .

III – Para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo a ordenada de A y95

! .IV – dAB < dAC.

Quais das afirmações acima são verdadeiras a) I, II e IIIb) I, III e IVc) II, III e IVd) Todas as alternativas estão corretas.

Solução: Letra b.

04 No plano cartesiano estão representados os pontos A, B e C conforme figura a seguir.

Determine as coordenadas dos pontos D, E e F.

Solução:

D 0, 56` j , E 0, 3

1-` j e F 516 ,0` j .

05 Considerando o triângulo ABC do exercício 04. Sendo G o ponto médio de AB , H o ponto médio de CB e I o ponto médio de AC , é incorreto afirmar:

MateMática

47

a) O ponto L, que intercepta o eixo x e é colinear aos pontos CG e L35,0` j .

b) G21, 1-` j , H 3,

31-` j e I

23,23` j .

c) Os pontos B, C e I são colineares.

d) AB 5=

Solução: Letra c.

06 Os pontos A e B são simétricos em relação à origem do sistema de coordenadas cartesianas e pertencem à bissetriz dos quadrantes pares. A distância entre os pontos A e B é 2 2 . O ponto C é simétrico de B em relação ao eixo das abscissas.

De acordo com os dados analise as afirmações:I – O perímetro do triângulo ABC é 2 2 2+^ h.II – Os pontos (1,1), (1,-1) e (1,0) são colineares.III – Os pontos A e B e (0,0) representam um triângulo.

Quais das afirmações acima são verdadeiras a) I e IIb) I e IIIc) II e III

Solução: Letra a.

MateMática

48

aula 12

Lugar geométrico - baricentroObjetivo geral

Resolver problemas envolvendo as coordenadas do baricentro.

Conceitos Básicos

Observe o triângulo ABC a seguir. Nele, temos que N é ponto médio do segmento AB , M é ponto médio do segmento BC e D é ponto médio do segmento AC . De tais informações podemos definir:

Mediana é o segmento cujas extremidades são um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a este ângulo. Portanto, temos que no triângulo ABC representado ao lado as medianas são dadas por AM , BD e CN .

Baricentro é o ponto de intersecção entre as medianas de um triângulo. No triângulo ao lado o baricentro é representado pelo ponto G.

Propriedade do baricentro de um triângulo

O baricentro divide a mediana de um triângulo em duas partes, sendo que a parte que contém o vértice é o dobro do tamanho da que contém o ponto médio.

222

CG GN

BG GD

AG GM

=

=

=



u Resolver problemas utilizando o cálculo da distância entre dois pontos;

u Obter o ponto médio de um segmento de reta;


MateMática

49

Isso significa dizer que o baricentro divide a mediana numa proporção de 2 para 1.

Como calcular as coordenadas do baricentro

Observe, novamente o triângulo ABC:

D é o ponto médio de AC x

x x2D

A C==

yy y

2D

A C=

=x

x x x x2 2 2G

D F D F=+

= +

x x x x

x2

2 2G

A C G B

=

++

+

xx x x

3GA B C=+ +F é o ponto médio de GB

xx x

2FG B==

yy y

2F

G B=

=

G é o ponto médio de DFx

x x2G

D F==

yy y

2G

D F=

=

yy y y y

2 2 2G

D F D F=

+= +

y

y y y y

22 2

G

A C G B

=

++

+

yy y y

3G

A B C=

+ +

Exemplo:Os pontos A(-2,1), B(-4,2) e C(-3,4) são vértices de um triângulo. Encontre as coordenadas do

baricentro deste triângulo.

Solução

( ) ( )x

x x xx

2 4 33

3 3GA B C

G"=+ +

=- + - + -

=-

yy y y

y 1 2 437

3 3G

A B C

G"=+ +

=+ +

=

G(-3, 7/3)

MateMática

50

Atividades 01 Os vértices de um triângulo são os pontos A, B e C, conforme figura a seguir.

M1 é o ponto médio do segmento AB ; M2 é o ponto médio do segmento AC e M3 é o ponto médio do segmento BC . G é o baricentro desse triângulo.

De acordo com os dados analise as afirmações:

I – As coordenadas de F38,38` j .

II – M 2,21

, M25,4 e M

27,27

1 2 3` ` `j j j .

MateMática

51

III - Os pontos CGM1 são colineares.IV - A mediana BM2 é aproximadamente 4 .

Quais das afirmações acima são verdadeiras a) I, II e IV.b) I, II e III.c) II, III e IV.d) Todas alternativas corretas

Solução: Letra b.

02 Os pontos A(2,4), B(x,5) e C(5,y) são vértices de um triângulo cujo baricentro é G(2,3). Observando os dados desse triângulo podemos afirmar que os valores de x e y nesta ordem são:

a) 0 e -1b) -1 e 0c) 0 e 1d) 1 e 0

Solução: Letra a.

03 Dados os pontos A(6,2), B(2,4) e C(4,-2). Localize no plano cartesiano o triângulo ABC, suas medianas e o baricentro.

Solução:

MateMática

52

Desafio

Sendo A(2-1), B(3,x) e C(-2,5) vértices de um triângulo retângulo, calcule:a) O valor de x.b) O baricentro.c) Os pontos médios.

Solução:

a) 31

x = - ; b) G 1,311` j ; c) M

25,

32

, M 0,2 e M21,37

1 2 3-` ^ `j h j



u Resolver problemas utilizando o cálculo da distância entre dois pontos;

u Obter o ponto médio de um segmento de reta;


aula 13

Baricentro - ExercíciosObjetivo geral

Resolver problemas envolvendo as coordenadas do baricentro, condição de alinhamento de 3 pontos, ponto médio e distância entre 2 pontos.

Atividades 01 Observe o triângulo a seguir.

Sendo M o ponto médio de AC ; N o ponto médio de BC e P o ponto médio de AB .De acordo com o gráfico analise as afirmações:

MateMática

53

I – A(-2,4), B(2,6) e C(4,2).II – M(3,4), N(1,3) e P(0,5).

III – Baricentro do triângulo G34,4` j .

Quais das afirmações acima são verdadeiras.a) I e IIb) II e IIIc) I e III.

Solução: Letra c.

02 Considerando o triângulo da atividade 01, é incorreto afirmar:a) Os pontos B, G e M são colineares.b) Os pontos M, N e P são vértices de um triângulo.c) A mediana CP vale 5.d) O triângulo ABC é retângulo em B, com hipotenusa valendo 40.

Solução: Letra d.

03 Observe os gráficos a seguir.

Gráfico I Gráfico II

O gráfico I representa o quadrilátero ABCD dividido em dois triângulos ABC e BCD.O gráfico II representa os dois triângulos, os pontos médios e os baricentros.

De acordo com as informações contidas nos gráficos é incorreto afirmar:

a) A soma das áreas dos triângulos equivale à área do quadrado Aq = 16 u.a.

b) G38,38

e G34,34

.1` `j j

c) M(2,4), M1(4,2), M2(2,0) e M3(0,2)

d) d23

2G G1= .

Solução: Letra d.

MateMática

54

04 Considerando os gráficos do exercício 03 mostre que:

a) DM1C são pontos que pertencem a mesma reta.b) MM1M2 são vértices de um triângulo.

Solução:d M 0

d M 0

CG

MM

3

32

1

1 !

=

05 Sendo ABC vértices de um triângulo e G o baricentro deste triângulo, com A(p,7), B(0,q), C(3,1) e G(6,11).

a) Os valores de p e q valem respectivamente.b) Identifique no plano cartesiano os vértices, os pontos médios e o baricentro do triangulo.

Solução: a) 15 e 25b)

06 Os pontos M215

,16 , N23,13 e P 9,4` ` ^j j h são respectivamente os pontos médios de AB, BC e AC , G(6,11)

o baricentro do triangulo ABC. Calcule as coordenadas de ABC.

Solução: Utilize a definição de ponto médio e de sistema linear para encontra os pontos.A(15,7), B(0,25) C(3,1)

MateMática

55

aula 14

Equação geral da reta IObjetivo geral

Entender os conceitos básicos da equação geral da reta.

Conceito básico

O estudo analítico da reta é muito utilizado em problemas cotidianos ligados a diversas áreas do conhecimento, como a física, biologia, química, engenharias, medicina etc. Determinar a equação da reta e compreender seus coeficientes é bastante importante para a compreensão de seu comportamento (da reta), sendo possível analisar sua inclinação e os pontos onde a mesma intercepta os eixos dos planos.

A equação geral da reta tem a forma ax + by + c = 0 onde a, b e c são números reais, com a e b diferentes de zero. Estes valores a, b e c são chamados de coeficientes onde o c é conhecido por termo independente.

A representação geométrica da equação da reta é feita no Plano Cartesiano e, para isso, é importante observamos alguns casos particurales:

• Quando a = 0, a reta será paralela ao eixo x.


u Compreender os conceitos de ponto, reta e plano;

u Identificar e determinar a equação geral e reduzida da reta.

MateMática

56

Exemplo 1: y = 3

Exemplo 2: y = -5

• Quando b = 0, a reta será paralela ao eixo y.

Exemplo 1: x = 4

MateMática

57

Exemplo 2: x = -3

• Quando c = 0, a reta passará pela origem do plano cartesiano.

Exemplo 1: y = 2x

Exemplo 2: y = -2x

MateMática

58

Atividades 01 Na equação 3x 2y

21

0- + - = identifique:

a) Seus coeficientes;b) Suas variáveis;c) O termo independente.

Solução:

a) -3, 2 e 21- . b) x e y c)

21-

02 Identifique nas equações a seguir, quais estão escritas na forma geral da reta.

a) 2x – y – 3 = 0b) x + 8 = 15c) y = – 9x -7d) 2x + 3y = 5

Solução: Letra a.

03 Determine quais dos pares ordenados a seguir tornam verdadeira a equação 2x + 3y – 12 = 0.

a) (1, 2)b) (3, 2)c) (0, 4)

Solução: Letras b e c.

Desafio

Represente graficamente cada uma das equações a seguir.a) x - y + 0 = 0 b) x + 0y + 2 = 0c) 0x – 2y + 6 = 0

Solução:

MateMática

59

aula 15

Equação geral da reta IIEquação da reta dados dois pontos

Objetivo geral

Aplicar o os conceitos da equação da reta dados dois pontos.

Conceito básico

Em estudos anteriores vimos que uma equação possui sinal de igualdade e incógnitas que são representadas por letras. Nesta aula analisaremos questões relacionadas à equação da reta na perspectiva da geometria analítica, portanto, iniciaremos esta aula estudando a condição de alinhamento de três pontos.

Para determinar a equação geral de uma reta, é necessário aplicar conceitos relacionados a determinantes para calcular o determinante de matrizes de 3ª ordem (regra de Sarrus).

Logo, para determinarmos a equação geral de uma reta r que corte dois pontos quaisquer P1(x1,y1) e P2(x2,y2) devemos proceder da seguinte forma:

1º Passo: Construir uma matriz de ordem 3 a qual deverá seguir o seguinte formato:

111

Mxxx

yyy

1

2

1

2

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW

2º Passo: Calcular o determinante de M igualando o resultado a 0.

0

111

0

detM

xxx

yyy

1

2

1

2

=

=

Exemplo:

Determine a equação da reta s que passa pelos pontos A(0, 2), B(3, 0).


u Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.

MateMática

60

03

20

111

03

20

111

0

Mx y

x y

=

=

R

T

SSSS

V

X

WWWW

003

20

111

03

20

111

0 03

20

111

03

20

Mx y x y x y x y

" " == =

R

T

SSSS

V

X

WWWW

2x + 3y – 6 = 0

Podemos representar a reta r ao plano cartesiano:

Generalizando temos: dada uma reta r, sendo A(xA,yA) e B(xB,yB) pontos conhecidos e P (x,y) um ponto genérico, se A, B e P estão alinhados, concluímos então que a equação geral da reta é: ax + by + c = 0, onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0 ou b ≠ 0 e (x ,y) são coordenadas de um ponto qualquer de r.

Atividades 01 Verifique se os pontos A( 2, 4); B( 4, - 2) C(0, 4) D(6, -2) pertencem à reta r: 3x + 2y – 8 = 0.

Solução:

Para saber se os pontos pertencem a equação da reta, substitui-se as coordenadas na equação dada.3x + 2y – 8 = 0A (2, 4): 3 ∙ 2 + 2 ∙ 4 – 8 = 0 " 6 + 8 – 8 = 0 " 6 ≠ 0, logo o ponto A ! r.B (4, -2): 3 ∙ 4 + 2 ∙ (-2) – 8 = 0 " 12 – 4 – 8 = 0 " 0 = 0, logo o ponto B ! r.C (0, 4): 3 ∙ 0 + 2 ∙ 4 – 8 = 0 " 0 + 8 – 8 = 0 " 0 = 0, logo o ponto C ! r.D (6, - 2) 3 ∙ 6 + 2 ∙ (-2) – 8 = 0 " 18 – 4 – 8 = 0 " 6 ≠ 0, logo o ponto D ! r.

02 Quais os pontos de intersecção da reta 2x – 3y – 6 = 0 com os eixos x e y?

Solução:A reta intercepta o eixo x quando y = 0, logo 2x – 3 ∙ 0 – 6 = 0 " 3x = 6 " x = 3 O ponto de intersecção com o eixo x é P(3, 0)

MateMática

61

A reta intercepta o eixo y quando x = 0, logo 2 ∙ 0 – 3y – 6 = 0 " 3y = - 6 " y = -2 O ponto de intersecção com o eixo y é P(0, -2)

03 Encontre a equação da reta que corta os pontos A e B em cada uma das situações a seguir:

a) A(3, 5) B(-2, 1)b) A(-2, 4) B(6, -1)

Solução:a)

5x – 2y + 3 – x – 3y + 10 = 0 " 4x – 5y + 13 = 0

b)

4x + 6y + 2 + x + 2y – 24 = 0 " 5x + 8y – 24 = 0

Desafio

Desenhe a reta r para a = 0, b = 2 e c = -2

Solução:Substituindo os coeficientes “a” e “b” e o termo independente temos:ax + by + c = 0 0x + 2y – 2 = 02y = 2y = 1Temos que o ponto P tem coordenadas (0,1). Logo, a reta será:

MateMática

62

aula 16

Equação segmentária e reduzida da retaObjetivo geral

Identificar, interpretar e aplicar o os conceitos da equação segmentária e reduzida da reta.

Conceito básico

Equação segmentária da reta

Observe o gráfico cuja reta intercepta os eixos nos pontos distintos da origem

P(p,0) e N(0,n):

Para determinarmos a equação geral desta reta, inicialmente tomamos os pontos P e N e colocamos suas coordenadas na matriz M de ordem 3 onde teremos que calcular seu determinante igual a zero. Assim:

111 0

0111

00

111

00

0111 0

0 0

0 10

( )

Mxxx

yyy

xp

y

n

xp

y

n

xp

y

n

xp

y

nnp py nx

nx py np

nx py np

0

1

2

1

2

" "

$

= =

= = - - =

- - + = -

+ - =

R

T

SSSS

R

T

SSSS

V

X

WWWW

V

X

WWWW


u Identificar e determinar a equação geral e reduzida da reta;

u Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação;

u Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.

MateMática

63

Ou, ainda, dividindo todos os termos por np:

0 1npnx

nppy

npnp

px

ny

"+ - = + = , que denominamos de equação segmentária da reta

r, onde p e n são as medidas algébricas dos segmentos OP e ON.

Comparando a equação geral da reta ax + by + c = 0 com a equação segmentária 1px

ny

+ =

concluímos que p ac=- e n

bc=- .

A equação segmentária é uma equação equivalente à equação geral da reta.

Exemplo:a) Vamos escrever a equação geral 2x + 3y – 12 = 0 na forma segmentária:

2x – 3y – 12 = 0

2x + 3y = 12

122 3

1212x y+

=

6 4 1x y+ =

b) Observe o gráfico a seguir com as retas r e s.

Nessa figura a equação segmentária da reta r é 3 4 1x y-

+ = e a equação segmentária da reta

s é 3 2 1x y+

-= .

Equação reduzida

Observe que, na equação geral da reta ax + by + c = 0 se isolarmos o y teremos uma nova equação.

0ax by c

by ax c

yba x

bc

+ + =

=- -

=- -

MateMática

64

Fazendo eba m

bc p - = - = , temos y = mx + p.

Quando isso é feito obtém-se uma expressão da forma y = mx + p, denominada equação reduzida da reta, onde m é considerado o coeficiente angular da reta e p é denominado de coeficiente linear.

Exemplo:Escreva a equação 2x – 3y + 3 = 0 na forma reduzida e identifique os coeficientes angular e

linear da mesma.

Solução:

Isolando y à esquerda na equação temos:

2x – 3y + 3 = 0

- 3y = - 2x – 3 (-1)

y = 2x + 3

32

33y x= +

32 1y x "= + esta é a equação reduzida da reta r, sendo que 3

2m = e p = 1.

Atividades

01 De acordo com o gráfico a seguir, determine as equações geral, segmentária e reduzida da reta t.

Solução:Equação geral: 2x + 4y – 8 = 0.

Equação segmentária: 4 2

1x y+ = .

Equação reduzida: y x2

2=- + .

MateMática

65

02 Obtenha a equação segmentária e construa o gráfico referente a cada uma das equações de reta a seguir:a) 7x – 2y + 42 = 0b) - 9x + 6y – 18 = 0

Solução:

a) 7x – 2y + 42 = 07x – 2y = - 42, dividindo 7x – 2y por – 42 temos:

427

422

4242x y

---

=--

" 7 21

1x y

-+-

=

Logo a equação segmentária desta reta é 7 21

1x y

-+-

= .

b) - 9x + 6y – 18 = 0- 9x + 6y = 18, dividindo - 9x + 6y por 18 temos:

189

186

1818x y-

+ = " 2 3

1x y-+ =

Logo a equação segmentária desta reta é 2 3

1x y-+ = .

MateMática

66

03 Escreva a equação 3x + 6y + 7 = 0 na forma reduzida.

Solução:

Isolando y da equação 3x + 6y + 7 = 0 temos:6y = -3x - 7

63 7

yx=

- -, logo, a equação reduzida é

2 67

yx=- -

04 Determine a forma reduzida da equação da reta que passa pelos pontos A(-1,5) e B(-3,-1)

Solução:

5x - 3y + 1 + y + x + 15 = 0 6x – 2y + 16 = 0 isolando y temos-2y = -6x – 16(-1)

26

216

yx

"= + logo, a equação reduzida dos pontos é y = 3x + 8

Desafio

Obtenha as equações segmentaria da reta e as equações reduzidas da reta no seguinte gráfico.

Solução:

Equação segmentária da reta r 5 3

1x y

" + =

Equação segmentária da reta s 3 4

1x y

"-

+ =

Equação reduzida da reta r 53

3y x" =- -

Equação reduzida da reta r 14yxx" = +

MateMática

67

aula 17

Equação segmentária e reduzida da reta - ExercíciosObjetivo geral

Resolver situações que envolvam a equação geral da reta.

Atividades 01 Escreva a equação da reta r, conhecendo a sua representação gráfica nos seguintes casos:

a)

Solução:

-3x – y + 10 = 0 ou 3x + y -10 = 0


u Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.

u Compreender os conceitos de ponto, reta e plano;

u Identificar e determinar a equação geral e reduzida da reta.

u Identificar e determinar a equação geral e reduzida da reta;


MateMática

68

b)

Solução:

x + y – 2 = 0 ou –x – y + 2 = 0

c)

Solução:

x – 5y + 2 = 0 ou –x + 5y – 2 = 0

02 Verifique dentre os pontos P(1,2), M(4,2), R(0,4) e S(3,-1) quais pertencem à reta r: x + 2y – 8 = 0.

Solução:

P não pertence; M pertence; R pertence; S não pertence.

MateMática

69

03 Relacione:

( A ) ( ) 4 3y x= -

( B ) ( ) y x=

( C ) ( )21

y x=

( D ) ( )23

8y x=- +

MateMática

70

04 Observe o gráfico a seguir:

a) Obtenha a equação geral da reta;b) Obtenha a equação reduzida da reta;c) Obtenha a equação segmentária da reta

Solução:

a) -3x + 2y -6 = 0; b) 2

3 6y

x=+

; c) 2 3

1x y

- + = .

05 Obtenha a equação segmentária de cada reta:

a) t: x – 6 = 0 b) w: 4x – 5y + 13 = 0c) r: ax + by + c = 0 d) u: 7y – 5 = 0

Solução:

a) não tem; b) 134

135

1x y

- + = ; c) 1cax

c

by- - = ; d) não tem.

Desafio

Construa, no mesmo gráfico, as retas r e s, sabendo que : :3 4

1 e 3 12 0rx y

s x y2+ = + - = .

Solução:

MateMática

71

aula 18

Retomando o conceito de tangenteObjetivo geral

Fazer uma retomada no estudo da tangente, para o estudo do coeficiente angular.

Conceitos básicos

Em diversas áreas da matemática, seja na álgebra, geometria ou trigonometria temos diversos assuntos que necessitam do conhecimento acerca da tangente. Para isso, inicialmente é importante relembrarmos que um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo reto e outros dois ângulos agudos. É válido, também, ressaltar que tal triângulo possui uma hipotenusa e dois catetos como mostra a figura a seguir:

Como dito anteriormente o triângulo retângulo possui dois ângulos agudos ea b os quais são de fundamental importância para a determinação de qualquer relação trigonométrica uma vez que os mesmos determinam a posição dos catetos adjacentes ou opostos.

A tangente do ângulo agudo a de um triângulo retângulo é determinada pela razão entre o cateto oposto a este ângulo a e o cateto adjacente a este mesmo ângulo.



u Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta;

u Identificar retas paralelas e retas perpendiculares a partir de suas equações.

MateMática

72

cateto adjacente acateto oposto a

tg tgba

"aa

aa= =

cateto adjacente acateto oposto a

ab

tg tg"bb

bb= =

No estudo da trigonometria trabalhamos com alguns ângulos importantes os quais apresentamos na tabela a seguir:

Ângulo Valor da tangente

0o 0

30o33

45o 1

60o 3

90o b

120o 33

-

135o -1

150o 3-

180o 0

210o 33

225o 1

240o 3

270o b

300o 33

-

315o -1

330o 3-

360o 0

MateMática

73

Observe o triângulo ABC apresentado no gráfico a seguir:

A tangente do ângulo a é obtida do seguinte modo:

tgx xy y

2 1

2 1a =

--

Note que se tiver tanto o ângulo ou as coordenadas dos vértices do triângulo, é fácil verificar o valor da tangente.

Atividades 01 Determine o valor da tangente dos ângulos: 0o, 45o, 210o, 300o e 330o, em seguida escreva o resultado em ordem crescente.

Solução: 3 ,33,

33, 0- - e 1.

02 Determine a tga , nos gráficos a seguir:

a)

MateMática

74

b)

Solução:

a) 3 13 1

22 1tg =

--

= =a b) 3 03 1

32

tg =--

=a

03 Determine a tangente dos ângulos apresentados nos gráficos a seguir:a)

b)

c)

Solução: a) 33

b) 1 c) 33-

MateMática

75

aula 19

Coeficientes angular e linear de uma retaObjetivo geral

Compreender o conceito e diferenciar os coeficientes angular e linear da reta.

Conceitos básicos

Seja a o menor ângulo formado entre uma reta qualquer e o eixo das abscissas.

Temos que o coeficiente angular (m) de uma equação é dado pela tangente do menor ângulo formado por uma reta qualquer e o eixo das abscissas.

Portanto, analisando a imagem anterior temos que:

coeficiente angular .m tgi= =

Ao desenharmos o gráfico de uma reta no plano cartesiano, podemos ter as seguintes situações:




u Identificar retas paralelas e retas perpendiculares a partir de suas equações.

MateMática

76

Perceba que nos casos A, B, C e D temos situações conforme descrito anteriormente onde 0 90O1 1a . Sendo assim, temos que 0m tg 2a= .

Nos casos E e F temos a reta paralela ao eixo Ox, portanto, 0a = . Logo 0m tga= = .

Em G e H temos a reta paralela ao eixo Oy ou perpendicular a Ox, portanto, 90Oa = .

O valor do coeficiente angular pode ser determinado através dos pontos apresentados no plano cartesiano. Vejamos:

Vamos determinar a tangente do ângulo a , que é o coeficiente angular da reta que passa pelas coordenadas A = (2,1) e B = (4,3).

4 23 1

22 1m tga= =

-- = =

MateMática

77

Assim, para determinarmos a coeficiente angular da reta, dados os pontos pertencentes a ela, basta calcularmos a razão entre a diferença das ordenadas pela diferença das abscissas, ou seja:

m tgx xy y

2 1

2 1a= =

--

Atividades 01 Considerando os pontos a seguir, determine o coeficiente angular em casa caso.

a) A(-1,3) e B(2,5) b) A(0,-2) e B(1,3) c) A(1,2) e B(2,4) d) A(-2,-2) e B(2,2) e) A(1,-3) e B(-2,5)

Solução:a)

32

m = b) m = 5 c) m = 2 d) m = 1 e) 38

m =

02 Relacione o ângulo com a declividade gerada por esse ângulo:

0o m = 145o m = 0120o m 3=

135o m = -1

Solução:

0o m = 1

45o m = 0

120o m 3=

135o m = -1

03 Determine o coeficiente angular da reta representado no gráfico a seguir:

Solução: m23=-

MateMática

78

Desafio

(FUVEST-SP - adaptada) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3) e pelo ponto Q, simé-trico de P em relação a origem.

Solução: m23=

aula 20

Coeficientes angular e linear – ExercíciosObjetivo geral

Resolver exercícios que envolvam conceitos sobre coefi-cientes angular e linear da reta.

Atividades 01 Determine a soma dos coeficientes angular e linear da reta que passa pelos pontos A = (-2,1) e B = (2,5).

Solução: a + b = 4.

02 Dados os pontos A = (1,5) e B = (3,1), responda:a) Qual é a equação da reta que passa por esses pontos?b) Determine os coeficientes angular e linear.c) Verifique se o ponto M = (5,-1) pertence à reta da letra a.

Solução:a) ƒ(x) = -x + 4; b) a = -1 e b = 4 c) O ponto M = (5,1) pertence à reta.

03 Sabendo que o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A = (-1,-5) e B = (p,3) é 2, determine o valor de p.

Solução: 3




MateMática

79

04 Sabendo que a distância entre os pontos A (x,-2) e B = (0,1) é igual a 5, determine a soma dos coeficientes angular e linear.

a) 1 b) 4 c) 43- d)

41 e) 0

Solução: Alternativa d

05 Determine os coeficientes angular e linear da reta que passa pelos pontos A(1,3) e B(-2,4).

Solução:

Coeficiente angular 31- ; Coeficiente linear

310- .

aula 21

Representação gráfica e intersecção de retasObjetivo geral

Representar gráficos de retas e determinar o ponto de intersecção entre elas.

Conceito básico

Ao representar em um mesmo plano cartesiano duas ou mais retas, elas podem se interceptar em um ponto qualquer. Como fazer para determinar esse ponto? Observe o gráfico a seguir:




u Determinar as posições relativas entre duas retas no plano comparando os respectivos coeficientes angulares.

MateMática

80

Para determinar as coordenadas do ponto P(x,y) é necessário igualarmos as funções que determinaram cada uma das retas apresentadas, no caso r e s.

Sendo r: ƒ(x) = 3x – 2 e s: g(x) = -x + 3, temos:

r = s

3x – 2 = -x + 33x + x = 3 + 24x = 5

45

x=

Portanto, já temos a abscissa do ponto de intersecção das retas r e s.Para sabermos a ordenada, é necessário substituirmos o valor de x em qualquer uma das

funções; o resultado obtido será o valor da ordenada do ponto de intersecção das retas.

ƒ(x) = 3x - 2

ƒ 45 3 4

5 2= -$c cm m

ƒ 45

415 2= -c m

ƒ 45

415 8= -c m

ƒ 45

47=c m

Portanto as coordenadas da intersecção entre as duas retas é o ponto ,P45

47= ` j.

Atividades 01 Determine o ponto P, localizado na intercecção entre os gráficos das retas r e s.

Solução: P = (3,3)

MateMática

81

02 Dadas as funções a seguir, calcule o ponto de intersecção de f e g em cada uma das alternativas apresenta-das.

a) ƒ(x) = -2x + 7 e g(x) = 5x

b) ƒ(x) = x - 1 e g(x) = 3x + 1 c) ƒ(x) = 3x - 6 e g(x) = -2x + 4

Solução:a) (1,5) b) (-1,-1) c) (2,0)

03 Seja P = (2,1) o ponto de intersecção entre as retas r e s no plano cartesiano, sabendo que a reta r passa pelo ponto (1,2). Determine a equação da reta r.

Solução: r: x + y – 3 = 0

Desafio

No gráfico a seguir são apresentadas as retas r, s, t e u, com suas respectivas funções ƒ, g, h e i.

a) Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r e s, t e u e nomeando-os, respectivamente, por P e Q.b) Calcule a distância entre os pontos P e Q.

Solução:

a) P23,

23= -` j e Q = (-3,2)

MateMática

82

aula 22

Representação gráfica e intersecção de retas - ExercíciosObjetivo geral

Resolver exercícios envolvendo a intersecção entre retas através de sua representação gráfica.

Atividades 01 Dadas as retas r: 2x – 3y + 1 = 0 e s: -x + y – 5 = 0 determi-ne as coordenadas do ponto P de intersecção das mesmas.

Solução: P = (-14,-9).





b)

d P,Q2130

( ) =

MateMática

83

02 Calcule o ponto de intersecção entre as retas m e n apresentadas no plano cartesiano a seguir:

Solução: P = (3,4)

03 Dadas as funções ƒ(x) = -5x + 6 e g(x) = 3x - 2, faça o que se pede:

a) Esboce em um mesmo gráfico as retas das funções ƒ(x) e g(x).b) Determine o coeficiente angular e linear das funções ƒ(x) e g(x), respectivamente.c) Determine as coordenadas do ponto de intersecção das representações gráficas de ƒ(x) e g(x).

Solução: a)

b) Função ƒ(x) Função g(x) Coeficiente angular: -1 Coeficiente angular: 2Coeficiente linear: 7 Coeficiente linear: -2

d) P = (1,1)

MateMática

84

04 Observe o gráfico e determine a distância entre o ponto P e o ponto Q = (4,5).

Solução: P e P Q( , ) ( , )1990

,1997

1910 2

x y d= =` j

aula 23

Posições relativa das retas: paralelismo e concorrênciaObjetivo geral

Verificar e aplicar as posições relativas das retas paralelas e concorrentes.

Conceitos

Ao representarmos duas retas quaisquer em um plano cartesiano ou tais retas se cruzarão em algum momento ou jamais se cruzarão. Observe os casos a seguir:

No caso I dizemos que as retas r e s são concorrentes, uma vez que as mesmas se cruzam.


u Identificar retas paralelas e retas perpendiculares a partir de suas equações;


MateMática

85

No caso II dizemos que as retas t e u são paralelas, uma vez que as mesmas não se cruzam. Neste caso, utilizaremos a representação // para afirmarmos que tais retas jamais se cruzarão.

No caso III dizemos que as retas v e z são coincidentes, uma vez que uma sobrepõe a outra.

Retas concorrentes

Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. Para duas retas serem concorrentes basta termos seus coeficientes angulares diferentes. Na

figura acima, existe um único ponto P comum a ambas as retas. Portanto as retas y = mx + p e y = m’x + p’ são concorrentes se, e somente se, m ≠ m’.

Caso as retas r e s não verticais apresentem o produto de seus coeficientes angulares igual a -1, serão consideradas perpendiculares. Reciprocamente, se duas retas não verticais são perpendiculares entre si, então, o produto de seus coeficientes angulares será igual a -1.

Exemplo:

Verifique se as retas r: 3x – 2y + 1 = 0 e s: 4x + y – 5 = 0 são concorrentes.

O coeficiente angular da reta r: é 23

23m =-

-=

O coeficiente angular da reta s é 14 4m =- =-l

Como os valores são diferentes as retas r e s são concorrentes.

Retas paralelas e distintas

Duas retas, r e s não-verticais, são paralelas se, e somente se, tem coeficientes angulares iguais.

r // s tg tg m msr+ + +i a i a= = =

MateMática

86

“Se duas retas são paralelas distintas, seus coeficientes angulares são iguais e seus coeficientes lineares são diferentes, e vice-versa.”

Exemplo:As retas r: 3x – 2y + 1 = 0 e s: 6x – 4y + 3 = 0 são paralelas, pois:

23

23mr =-

-= e 4

623

sm =--

= logo, mr = ms

Retas paralelas e coincidentes

Duas retas r e s são paralelas e coincidentes se possuírem todos os seus pontos em comum. Neste caso, os seus coeficientes angulares serão iguais.

Atividades 01 Verifique em cada item as posições relativas das retas dadas.

a) r: 3x + y – 5 = 0 e s: 6x + 2y -1 = 0b) r: 3x + 5y - 1 = 0 s: 5x + 7y + 2 = 0

Solução:

mr = 13

3- =- e ms = 26

3.- =- Como mr = ms as retas são paralelas.

mr = 53- e ms =

75- . Como mr ≠ ms as retas r e s são concorrentes.

02 Verifique a posição relativa das retas r: 2x + ky + 3 = 0 e s: 3x + 6y +5 = 0, segundo os valores de k.

Solução:

mr = 2k

- e ms = 63

21- =- .

Se r é paralelo a s temos mr = ms2

21

4k

k" "- =- = .

Se r e s são concorrentes temos mr ≠ ms 2

21

4k

k" "! !- - .

Portanto, se k = 4 temos r//s e se k ≠ 4 temos as retas concorrentes.

MateMática

87

03 Determine m para que as retas r: 2x + my – 2 = 0 e s: x + y + 7 = 0 sejam:a) concorrentesb) paralelas

Solução:a) m ≠ 2 b) m = 2

Desafio

Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2,5) e é paralela à reta de equação x – y + 2 = 0

Solução:

A equação é x – y + 3 = 0.

aula 24

Posições relativas entre duas retas: perpendicularismoObjetivo geral

Identificar e aplicar o conceito de retas perpendiculares.

Conceito básico

Duas retas são consideradas perpendiculares se possuírem um ponto em comum entre elas e este ponto formar um ângulo de 90o entre as mesmas.




MateMática

88

Para sabermos se as retas se cruzam em algum ponto e se são ou não perpendiculares, levamos em conta os seus coeficientes angulares que serão sempre inversos e também opostos.

Por exemplo, para que duas retas r e s sejam perpendiculares os ângulos ea b formados pelas retas s e r com o eixo x, respectivamente, deverão somar 90o.

90oa b+ =

Portanto, se o ângulo da reta s com o eixo x for o a , temos que a inclinação de r será 90o b- .

Com isto chegamos às seguintes conclusões:

Coeficiente angular da reta s: ms = tgb . Coeficiente angular da reta r: mr = tg(90o b- ).

90 8090

90

1o o

o

o

a b

a b

a b

+ + =

+ =

= -

Exemplo:

As retas r: -5x + 3y + 13 = 0 e s: 3x + 5y – 1 = 0 são perpendiculares, pois:

reta r " mr 35

35=- - =c m

reta s " ms 53=-

mr . ms 53

35

1$ -= - =c m

Portanto: mr . ms = -1.

MateMática

89

Atividades 01 Classifique as retas t e u conforme as suas posições relativas em paralelas, concorrentes e perpendiculares:

a)

34

4 0

43

415

0

:

:

t y x

u y x

- - =

+ - =

Z

[

\

]]

]

b)

72

76

0

27

7 0

:

:

t y x

u y x

- - =

+ - =

Z

[

\

]]

] c) t: x + 2y - 6 = 0 u: 2x + 4y - 3 = 0

Solução: a) Perpendicular; b) Perpendicular; c) Paralelas

02 Coloque (V) se as retas w e z forem perpendiculares e (F) se elas não forem perpendiculares entre si:a) ( ) w: 4x + 6y - 1 = 0 z: 2x + 3y + 1 = 0b) ( ) w: 5x – 7y = 0 z: 7x + 5y - 1 = 0c) ( ) w: 3x – 7 = 0 z: 2y + 5 = 0d) ( ) w: 3x – 5y + 2 = 0 z: 5x – 3y - 2 = 0

Solução: a) F; b) V; c) V; d) F.

03 Represente geometricamente (gráficos) as equações das retas a seguir:a) p: 2x + 3y – 5 = 0 q: 3x – 2y + 9 = 0b) t: 5x + 2y + 1 = 0 u: 2x + 5y + 4 = 0

Solução:a) p: A (2/5, 0) e B (0, 3/5). q: A (-1/3, 0) e B (0, 2/9).

b) t: A (-5, 0) e B (0, -2). u: A (-1/2, 0) e B (0, -5/4).

MateMática

90

aula 25

Posições relativas das retas – ExercíciosObjetivo geral

Verificar e aplicar os conceitos sobre as posições relativas das retas em atividades envolvendo o tema.

Atividades 01 Responda:

a) As retas de equações x = 5 e x = -2 são paralelas? Faça a demonstração no gráfico.b) As retas de equações x = 4 e y = 3 são perpendiculares? Faça a demonstração no gráfico.c) As retas de equações 3x – 3y + 1 = 0 e 5x + y – 4 = 0 são concorrentes?

Solução:a) São paralelas.





Desafio

Dada a reta r com equação 3x – 2y + 4 = 0 e o ponto P(1,-3), determine uma equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r.

Solução:

Coeficiente angular m1 da reta r = 23

Coeficiente angular m2 da reta s = 32-

Equação da reta s " 2x + 3y + 7 = 0

MateMática

91

b) São perpendiculares

c) r: 3x + 5y - 1 = 0 s: 5x + 7y + 2 = 0São concorrentes, pois os coeficientes angulares de r e s são, respectivamente, 1 e -5 .

02 Determine a equação da reta s, paralela a r, representada no gráfico a seguir.

Solução:A equação da reta s é x – 2y + 4 = 0 .

03 Qual a equação geral da reta que é paralela a reta de equação 5x – 2y + 1 = 0 e que passa pelo ponto P(2,-3)?

Solução:A equação geral da reta é 5x – 2y - 16 = 0

04 Nas equações a seguir encontre o valor de m de modo que as retas t e w sejam perpendiculares: t: mx + y – 3 = 0 e w: x – y + 1 = 0

Solução: m = 1

05 A reta perpendicular a 2x + 5y + 7 = 0 e que passa por (-2 e 4) é 5x – 3y + c = 0. Qual é o valor de c?

Solução: O valor é c = 18.

06 Determine as coordenadas do ponto P de intersecção das retas r e s, de equações 3x + 2y – 7 = 0 e x – 2y – 9 = 0

Solução: As coordenadas são P(4, -25 )

MateMática

92

aula 26

Ângulo entre duas retasObjetivo Geral

Propiciar ao aluno reconhecer e determinar o ângulo agudo e/ou obtuso formado entre duas retas concorrentes no plano cartesiano.

Conceito Básico

Considere duas retas r e s, concorrentes ou oblíquas (duas retas contidas em um mesmo plano, que têm direções diferentes, ou seja, que não são paralelas) e que, portanto, têm um único ponto em comum.

Seja o ângulo a , agudo, formado entre as retas r e s. Para obtê-lo é necessário calcular a diferença entre os ângulos que essas retas fazem com a

horizontal (Ox).

1( )tg tg tgtg tg

tg tg" "

$a b i a b i a

b i

b i= - = - =

+-

.

Como tg mrb = e tg msi = , concluímos que: 1tgm m

m mr s

r s

$a =

+- .

Essa relação nos fornece o ângulo a entre r e s, pois a 0tg $a . O ângulo obtuso (maior que 90º) será o suplemento de a .



MateMática

93

Casos Particulares

• 1º – Uma das retas é vertical ao eixo das abscissas

90 90 90 1( ) cottg tg g tgº º º" " "i a i a i a aa

+ = = - = - = .

Como tg mra = , temos que 1tg tgia

= .

O ângulo agudo pode, então, ser definido por: 1tg msi = .

• 2º – As retas são perpendiculares entre si

Neste caso, não convém aplicar a fórmula da tangente, pois não é definida a tg 90º. Basta,

então, lembrar que 1s

m mr =- , ou seja, 1m mr s$ =- , logo 90ºi = .

Exemplo 1:Determine o ângulo agudo formado entre as retas r: 3x – y + 1 = 0 e s: 2x + y + 1 = 0.

Chamemos de a o ângulo agudo formado entre r e s. Sabe-se que: 13 3m

ba

r =- =-- = e que

12 2m

ba

s =- =- =- .

MateMática

94

Temos que:

1 1 3 23 2

1 63 2

55 1

( )( )

tgm m

m mtg tg tg tg

r s

r s" " " " "

$ $a a a a a=

+-

=+ -- -

=-+ =

-= .

Então a é o ângulo agudo cuja tangente é igual a 1, ou seja, 45arctg1 º`a a= = .

Exemplo 2:Calcular o ângulo formado entre as retas r: 4x + 2y – 1 = 0 e s: 3x – 4 = 0.

Note que a reta s é vertical, portanto ms não é definido e que 2 2mba 4

r =- =- =- .

Temos que 12

121tg m tg tg

r" "a a a= =

-= .

Então a é o ângulo agudo cuja tangente é igual a 21 , ou seja, 2

1 26,6arctg º`a a= = .

Atividades 01 Determine o ângulo formado entre os seguintes pares de retas:

a. r: x + y = – 1 e s: – 3y = – 4x – 1

b. v: 2 4

12 5

7ex y

wx t

y t+ =

= -

= -)

Solução:a) arctg 7; b) arctg 4

3

02 Determine as equações das retas que passam por P(0,0) e formam um ângulo ~ = 45º com a reta r: – x + 2y – 4 = 0.

Solução: s1: 3x – y = 0 ou s2: x + 3y = 0

03 (EPUSP) A cotangente do ângulo agudo formado entre as retas x = 3y + 7 e x = 13y + 9 é:a. ( ) 4 b. ( ) 8 c. ( ) 10d. ( ) 14 e. ( ) n.d.a.

Solução: Letra a.

Desafio

Sejam os pontos A(2,-1), B(5 3 , 3+ ) e C(4, -1). Determine os ângulos internos do triângulo ABC.

Solução: 135º, 15º e 30º

MateMática

95

aula 27

Ângulo entre duas retas – Exercícios Objetivo Geral

Propiciar ao aluno reconhecer e determinar o ângulo agudo e/ou obtuso formado entre duas retas concorrentes no plano cartesiano e sanar possíveis dúvidas.

Atividades 01 Determine o ângulo formado entre os seguintes pares de retas:

a) r: 2x – y – 5 = 0 e s: 3x + y + 1 = 0b) v: –3x + y – 5 = 0 e w: –4x – 6y + 6 = 0

c) s: x 29

0- = e t: 3- x + y – 2 = 0

Solução:

Chamando o ângulo formado entre as duas retas de ~ , temos:a. ~ = 45º

b. ~ = arctg 31

c. ~ = 30º

02 A cotangente do ângulo agudo formado pelas retas 3x + 2y + 2 = 0 e –x + 2y + 5 = 0 é:

a. ( ) – 2 b. ( ) 81 c. ( )

52

d. ( ) 27- e. ( ) n.d.a.

Solução: Letra b.

03 Conduzir pela origem as retas que formam um ângulo 4

ar

= com a reta r: 3x + y – 23 = 0.

Solução:

s1: 21 0x y- =- e s2: 2x – y = 0

04 (ITA – SP) Os ângulos formados pelas retas 3x – y – 10 = 0 e 2x + y – 6 = 0 medem:

a. ( ) 60º e 120º b. ( ) 30º e 150º c. ( ) 0º e 180ºd. ( ) 135º e 45º e. ( ) 90º e 90º

Solução: Letra d.



MateMática

96

05 Considere os pontos A(3,0), B(10,1) e T(6,t). Determine os valores de t para os quais a medida do ângulo BÂT seja igual a 45º.

Solução: 49 ou t 4t =- =

06 Se ~ é o ângulo compreendido entre 0 e 2r e é determinado pelas retas r: x – y + 1 = 0 e s: y – 2 = 0,

então sen~ vale:

a. 2 b. 22

c. 21

d. 23

e. 31

Solução: Letra b.

07 (Unicamp – SP) Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano xOy.

a. Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45º com a reta dada?b. Para o ponto P(2, 5), determine as equações das retas mencionada no item a.

aula 28

Distância entre ponto e retaObjetivo geral

Calcular a distância entre ponto e reta

Conceitos Básicos

A distância entre um ponto ,P x y0 0 0^ h e uma reta r: ax + by + c = 0 é calculada unindo o ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo de 90°, conforme figura abaixo.


u Determinar a distância entre ponto e reta.

MateMática

97

A distância entre P0 e a reta r é indicada por d(P0,r) e definida como a menor distância entre P0 e r.

,d P ra b

ax by cp p0 2 2

=+

+ +^ h

Exemplo:Seja a reta s: 2x + 5y - 6 = 0 representada no gráfico a seguir.

Calcule a distância de A e S.

Solução:

a = 2, b = 5 e c = -6

2 52 2 5 4 6

2918 29

( , )d A s 2 2 "$ $

=+

+ + -^ h

Atividades 01 O ponto P(-1,-1) é vértice de um triângulo equilátero PRS que tem os outros dois vértices sobre a reta t: x + 2y – 5 = 0. Calcule a altura desse triângulo.

Solução: a = 1, b = 2 e c = -5 P(-1.-1)

( , )5

8 5d P t

a b

ax by cp p

2 2=

+

+ +=

MateMática

98

02 Dados os pontos A(1,-1), B(-1,3) e C(2,7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC.

Solução:

Devemos calcular a distância do segmento BC ao ponto A.

Segmento BC " t: -4x + 3y - 13 = 0

d(A, t)a b

ax by c2 2

A A

+

+ +=

d(A,t) = 04 unidades de medida

03 Observe as retas r: 2x – y + 4 = 0 e s: 2x – y – 7 = 0, representadas no gráfico a seguir.

MateMática

99

De acordo com o gráfico analise as afirmações:I – O ponto C tem coordenadas (2,-3).

II – A distância entre as retas r e s ( , )5

11 5d A r = .

III – Os pontos (-4,-4), (-2,0) e (0,4) pertencem à reta r.

Quais das afirmações acima são verdadeiras a) I e II b) I e IIIc) II e III

Solução: Letra b.

Desafio

Os pontos A e B estão na bissetriz dos quadrantes ímpares e distam 3 unidades da reta r: 4x – 3y +12 = 0. Calcule o ponto médio dos pontos A e B.

Solução:Os pontos A e B possuem coordenadas iguais, (x,x) ou (-x,-x).

d(A, t)a b

ax by c3

4 3

4 x ( 3) x 122 2

A A

2 2+

+ +=

+

+ - +" "

$ $=

x 12 15 x 3 e x 27+ = = =-"!"

A(3,3) e B(-27,-27)

Médio de AB(-12,-12)

MateMática

100

aula 29

Distância entre ponto e reta – ExercíciosObjetivo geral

Resolver problemas que envolvem distância entre ponto e reta.

Atividades 01 Observe o gráfico a seguir.

De acordo com o gráfico analise as afirmações:

I – A reta r que passa pelos pontos BC é r: x – y – 8 = 0.

II – O baricentro do triângulo ABC é G34,32` j .

III – Os pontos médios dos vértices do triângulo são (-1,1), (3,-1) e (2,3). IV – A distância do ponto A ao segmento BC 7 2= .

Quais das afirmações acima são verdadeiras.a) I, II e IIIb) I, II e IVc) I, III e IVd) II, III e IV

Solução: Letra b.


u Determinar a distância entre ponto e reta.

MateMática

101

02 Seja A(-3,2) e r: x + y – 1 = 0. Como o ponto B é simétrico de A em relação à reta r, então as coordenadas do ponto B são:

a) B(3,-2) b) B(-3,-2) c) B(4,-1) d) B(-1,4)

Solução: Letra d.

03 Observe a figura a seguir.

De acordo com os dados do gráfico classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) os itens a seguir.a) ( ) d(A,r) = d(B,r).b) ( ) A equação da reta s que passa pelos pontos A e B é s: x + y – 5 = 0.c) ( ) O ponto de intersecção das retas r e s é (3,-2).d) ( ) Os pontos (-3,2), (-2,3) e (-1,4) são colineares.e) ( ) O ponto de intersecção da reta r com o eixo das ordenadas é (0,1).

Solução:

a) V b) F c) F d) V e) V

MateMática

102

04 As retas t: x + 3y – 5 = 0 e p: x + 3y = 0 são paralelas.

Observando os dados do gráfico é incorreto afirmar que:a) A reta t passa pelos pontos (2,1) e (-1,2).

b) A distância entre as duas retas é 210

.

c) A reta q que está sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares, intercepta as retas p e t respectivamente nos

pontos 53,35` j e (0,0).

d) Os pontos A e B tem coordenadas 0,35` j e (5,0).

Solução: Letra c.

05 Considere o triângulo ABC representado no gráfico abaixo.

Com base nos dados calcule:a) As retas suportes do triângulo ABC.b) Os pontos médios do triângulo ABC.c) A medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC.

Solução: a) 2y – 3x – 7 = 0, y + x – 6 = 0 e 7y + 2x – 12 = 0.

MateMática

103

b) 27 , 2

5 , 25 , 1 , e 0, 2

7` ` `j j j .

c) 535 53

.

06 Considere o gráfico da atividade 05 e analise as seguintes informações.

I – O baricentro do triângulo ABC tem coordenadas G(2, 7/2).

II – 1,2 , (1,5) e27,25-^ `h j são colineares.

III – A distância de B ao ponto médio de AC2193

= .

Quais das afirmações acima são verdadeiras?a) I e IIb) I e IIIc) II e III

Solução: Letra b.

aula 30

Área de um triânguloObjetivo geral

Calcular a área de um triângulo utilizando geometria analítica.

Conceitos Básicos

Em geometria plana utilizamos a fórmula a seguir para calcular a área de um triângulo.

2A b h#=3

Onde:A3 - área do triângulo.b = baseh = altura

Em geometria analítica, conhecendo os vértices do triângulo podemos calcular sua área.

Observe o gráfico a seguir.


u Determinar a área de um triângulo conhecidas as coordenadas de seus vértices.

MateMática

104

Considere o triângulo de vértices A(x1,y1), B(x2,y3) e C(x3,y3).

A distância do ponto A ao ponto B será d x x y y12

12

AC 3 3= - + -^ ^h h .

A equação da reta s suporte do lado AC, é dada por: dAC = 0

111

0xxx

yyy

1

3

1

3 "= x1y3 + x3y + xy1 - xy3 - x1y – x3y1 = 0

(y1 – y3)x + (x3 – x1)y + x1y3 – x3y1) = 0y y ax x b

x y x y c

1 3

3 1

1 3 3 1

"

- =

- =

- =

^^

^

hhh

*

ax + by + c = 0

A distância do ponto B à reta suporte do segmento AC(r) é:

)d

x x y y

y y x x x y x y x y

x x y y

D

3 12

3 12

1 3 3 1 1 3 3 1

3 12

3 12,B r =

- + -

- + - + -=

- + -^ ^^ ^ ^

^ ^^ h hh h h

h hh

2 2A b h A d x d1( , )AC B r"

#= =3 3

21A x x y y x

x x y y

D3 1

23 1

2

3 12

3 12= - + -

- + -3 ^ ^

^ ^h h

h h

21

111

DA Dxxx

yyy

1

3

1

3" ==3

Portanto, a área de um triângulo cujas coordenadas de seus vértices são A(x1,y1), B(x2,y2) e C (x3,y3) é dada por

onde21

111

, DA Dxxx

yyy

1

2

3

1

2

3

==3

MateMática

105

Exemplo:Calcule a área do triângulo com vértices na figura a seguir.

21

153

025

111

16A D D"= = =3

216 8AABC = = unidades de área.

Atividades 01 Considere r: y + 3x – 6 = 0 e s: 2y + x – 4 = 0 representadas no plano.

Observando os dados, determine:a) Os pontos A, B, C, D e Q. b) A área dos triângulos ABC e CDQ.

MateMática

106

Solução:

a)A(0, 2), B (0, 6), C (2, 0), D (4, 0) e O 58 , 5

6` j .AABC = 4 ACDQ = 6/5

02 Observe o triângulo a seguir com vértices nos pontos M(1,5) N(-2,1) e O(4,1).

De acordo com o gráfico analise as afirmações:I – O perímetro do triângulo MNO é p = 16 unidades de medida. II – A área do triângulo MNO é A

MNO = 24 unidades de área.

III – O baricentro do triângulo MNO é G 1,37` j .

IV – Os pontos médios dos lados do triângulo MNO são (-1/2, 3) (1,1) e (5/2, 3).

Quais das afirmações acima são verdadeiras? a) I, II e IIIb) I,II e IVc) I, III e IVd) II, III e IV

Solução: Letra c.

03 Considere o triângulo ABC com as seguintes retas suporte: r: -3x + 6 = 0, s: x + 2y = 0 e t: -2x – y + 6 = 0.

De acordo com os dados é incorreto afirmar.

a) São vértices do triângulo ABC: A(2,2), B(4,-2) e C(2,-1).

b) A área do triângulo ABC é A27

ABC = .

c) A mediana relativa ao vértice (2,-1) é 2 .d) A soma dos coordenadas dos pontos médios do triângulo ABC é (8,-1).

Solução: Letra b.

MateMática

107

,

Desafio

Observe a figura a seguir.

De acordo com os dados, calcule as áreas dos triângulos ACE, ABE, BCE, ACG, ADE e ACD.

Solução:

ACE = 16 u.a. ABE = 8 u.a. BCE = 8 u.a.

ACG = 316 ADE = 8 u.a. ACD = 8 u.a.

MateMática

108

aula 31

Resolução de exercíciosObjetivo geral

Resolver exercícios utilizando o cálculo de área de um triângulo utilizando geometria analítica.

Atividades 01 O triângulo ABC tem os vértices A e B na bissetriz dos quadran-tes pares e o vértice C na bissetriz dos quadrantes ímpares conforme a figura.

De acordo com os dados observados no gráfico classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) os itens a seguir:

a) ( ) A área ACDOE = 2AADO.b) ( ) A área AABC = 9 u.a. c) ( ) Os pontos AOB são colineares.d) ( ) A reta que representa o segmento AB é y + x = 0.e) ( ) A distância dos pontos CO é dCO = 2 2 .

Solução:

a) V b) F c) Vd) V e) F


u Determinar a área de um triângulo conhecidas as coordenadas de seus vértices.

MateMática

109

02 Os vértices de um triângulo tem coordenadas (0,1), (2,4) e (-7,k). Sabendo-se que área desse triângulo é 225

o valor de k é:

a) k = 3 b) k = -3

c) k = 2 d) k = -2

Solução: Letra a.

03 O terreno a seguir está destinado para construção de uma fábrica de gêneros alimentícios.

Os pontos A, B, C e D são vértices de uma região plana.

De acordo com os dados analise as afirmações:I – Os vértices tem coordenadas A(6,1), B(5,1), C(-1,-1) e D(-3,4).II – A área do quadrilátero ABCD = 31 u.a. III – O triângulo AACD = 12 u.a. IV – O triângulo AACB = 19 u.a.

Quais das afirmações acima são verdadeiras? a) I, II e IIIb) I, III e IVc) I, II e IVd) II, III e IV

Solução: Letra d.

04 Considerando a figura da atividade 03 é incorreto afirmar que:

a) As retas suportes do quadrilátero são: t: 4y + 5x -29 = 0; s: -2y + x + 11 = 0; r: -3y + x – 2 = 0 e u: -2y – 5x – 7 = 0.b) O ponto (1,6) é o ponto de intersecção das retas t: 4y + 5x -29 = 0 e u: -2y – 5x – 7 = 0.

MateMática

110

c) A distância do ponto de origem ao segmento AB é 41

29 41.

d) A distância do ponto B ao ponto D é dBD = 73 .

Solução: Letra b.

05 O triângulo ABC com vértices A(2,1), B(0,2) e C(x,y), possui área 12 u.a.. Considerando que o ponto C perten-ce ao eixo das abscissas, podemos dizer que as coordenadas de C são respectivamente:

a) (0,20) ou (0,-28) b) (20,0) ou (-28,0) c) (-20,0) ou (28,0) d) (0,-20) ou (0,28)

Solução: Letra c.

06 Considerando os dados da atividade 05, agora com o ponto C pertencendo à bissetriz dos quadrantes pares, as coordenadas de C são respectivamente:

a) (-20,20) ou (28,-28) b) (20, -20) ou (-28,28) c) (-20,-20 ou (28,28) d) (20,20) ou (-28,-28)

Solução: Letra b.

aula 32

Equação reduzida de uma circunferênciaObjetivo geral

Determinar a equação da circunferência na forma reduzida.

Conceitos básicos

Inicialmente é importante perceber que a circunferência é uma linha, ou seja, é a “borda” de um círculo.

Com o auxílio de um compasso ou um barbante, podemos desenhar e representar uma circunferência numa folha.

Ao desenhar ou descrever uma circunferência, percebe-se que a “abertura” do compasso ou o tamanho do barbante, corresponderá ao raio dessa curva. Além disso, qualquer ponto dessa curva estará situado a uma mesma distância de um ponto fixo desse plano que denominamos de “centro da circunferência”. A distância dos pontos da circunferência ao seu centro chamamos de “raio”.


u Determinar a equação da circunferência na forma reduzida e na forma geral, conhecidos o centro e o raio.

MateMática

111

Exemplo: Ao considerarmos uma circunferência, de centro em C(a,b) e raio r, do plano cartesiano, teremos:

Um ponto qualquer P(x,y) do plano cartesiano que pertence à circunferência satisfaz a propriedade de que sua distância ao centro C(a.b) é igual ao raio r.

Assim, podemos escrever: dPC = r

Utilizando a relação de distância entre dois pontos do plano cartesiano a partir de suas coordenadas, podemos obter a equação da circunferência:

dPC = r

x a y b r2 2- + - =^ ^h h

Elevando ao quadrado os dois lados da igualdade, encontramos (x – a) 2 + (y – b) 2 = r2, que é a equação reduzida da circunferência, onde a e b são as coordenadas cartesianas do centro.

Exemplo:

01 – Dada a representação gráfica a seguir, escreva a equação reduzida da circunferência.

(x – a) 2 + (y – b) 2 = r2

MateMática

112

Solução:

a = 2, b = 1 e 43r = , então

432 1x y2 2

2

=- + -^ ^ ch h m

2 1 169x y2 2 =- + -^ ^h h

02 – Determine a equação reduzida da circunferência que tem o raio igual a 3 e o centro igual a (1,2).

Solução: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9

03 – Calcule o raio e o centro da circunferência, dada a equação reduzida (x – 1)2 + (y + 2)2 = 16.

Solução: r = 4 e centro C(1,-2)

Atividades 01 Obtenha a equação reduzida da circunferência com centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas e com raio igual a:

a) 2 3 b) 2436

c) 32

Solução:

Letra Respostaa x2 + y2 = 12b x2 + y2 = 1c x2 + y2 = 4/9

02 Observe a figura a seguir.

MateMática

113

Observando os dados é incorreto afirmar que:a) O centro da circunferência é o ponto C(0,6). b) O diâmetro da circunferência é 12.c) A equação da circunferência é x2 + (y – 6)2 = 36.d) A circunferência tem seu centro no eixo das abscissas.

Solução: Letra d.


Com base nos dados, encontre:a) O raio e o centro da circunferência.b) A equação reduzia desta circunferência.

Solução:a) r = 2 C(-4,-5) b) (x + 4)2 + (y + 5)2 = 4

Desafio

(USP) Se M é o ponto médio do segmento AB e P é o ponto médio do segmento OM, determinar a equa-ção da circunferência de centro P e raio OP.

Solução:

(x - 1)2 + (y - 1)2 = 2

MateMática

114

aula 33

Equação reduzida de uma circunferência - ExercíciosObjetivo Geral

Resolver exercícios envolvendo conceitos sobre equação reduzida de uma circunferência.

Atividades 01 Determine a equação reduzida da circunferência.

a) C(3,5) e r = 4b) C(-3,-5) e r = 3 c) C(0,2) e r = C(0,2) e r = 7

Solução: a) (x – 3)2 + (y – 5)2 = 16; b) (x + 3)2 + (y + 5)2 = 9; c) x2 + (y – 2)2 = 7

02 Determine o centro e o raio das circunferências de equações:

a) (x – 4)2 + (y – 5)2 = 9b) x² + y² = 4

Solução: a) C(4,5) e r = 3; b) C(0,0) e r = 2

03 Dada a equação x² + y² = 25, encontre as coordenadas do centro e o valor do raio da circunferência de equação.

Solução: Coordenadas (0, 0) e raio 5

04 Das alternativas abaixo, a que representa o centro e o raio da equação (x + 2)2 + y2 – 12 = 0a) C(2,-12) e r = 12 b) C(-2,12) e r = 12

c) C(-2,0) e r = 3 d) C(2,12) e r = 12

e) C(-2,0) e r = 12

Solução: Letra e.



MateMática

115

05 O segmento PQ , com P(2,8) e Q(4,0) determina o diâmetro de uma circunferência. Analisando essas informa-ções é correto afirmar:

a) O centro da circunferência é C(3,4).

b) O raio da circunferência é r = 17.c) A equação da circunferência é (x - 3)2 + (y – 4)2 = 17

d) A distância de PQ CP= .

Solução: Letra a.

aula 34

Equação geral de uma circunferênciaObjetivo geral

Determinar a equação da circunferência na forma geral.

Conceitos básicos

Na aula anterior estudamos a equação reduzida de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r, definida por:

(x – a)2 + (y – b)2 = x2

Desenvolvendo os quadrados e isolando os termos da equação no primeiro membro, temos:

x ax a y by b r2 22 2 2 2 2- + + + + =

2 2 0a rx y ax by b2 2 2 2 2- -+ - + + =

Fazendo 2 2,a d b e- = - = e a b r2 2 2+ - = ƒ, encontramos:

x2 + y2 + dx + ey + ƒ = 0

que denominamos de equação geral da circunferência.

Perceba que, dada a equação geral da circunferência, podemos determinar o centro (a,b) e o raio r:

2 2 2a d a d a d" "- = =- = -

2 2 2b e b e b e" "- = =- = -



MateMática

116

a b r f r a b f2 2 2 2 2 2"+ - = = + -

r a b f2 2` = + -

Exemplo:Dada a equação geral da circunferência, determine o centro (a,b) e o raio r.a) x2 + y2 – 4x - 2y - 4 = 0b) x2 + y2 + 6x - 4y + 4 = 0

Solução:

a) 4 2 e 4, .d e f=- =- =-

2 24 2a d= - =

- -=

^ h

2 22 1b e= - =

- -=

^ h

4 4 1 4 9( )r a b f 2 12 2 2 2= + - = + - - = + + =

3r =

b) 4 e 46, .d e f= =- =

62 2 3a d= - = - =-

2 24 2b e= - =

- -=

^ h

3 2 4 9 4 4 9r a b f2 2 2 2-= + - = + - = + - =^ h

3r =

Atividades 01 Determine a equação geral da circunferência de centro e raio igual a:

a) C(4,3) e r = 3

b) C(-1,-2) e r = 5

Solução:

a) x2 + y2 – 8x - 6y + 22 = 0b) x2 + y2 + 2x + 4y - 22 = 0

MateMática

117

02 Obtenha o centro e o raio das circunferências de equação geral, a seguir

a) x2 + y2 – 20 = 0b) x2 + y2 - 2 2 2 3 10 0x y- + =

Solução:

a) C (0,0 ou a = 0 e b = 0; r = 2 5

b) C ( 2 , 3 ) ou a = 2 e b = 3 ; r = 10

03 Observe a circunferência representada no plano cartesiano a seguir

Escreva a equação geral desta circunferência.

Solução: x2 + y2 - 6 = 0

Desafio

Dada a circunferência representada no plano cartesiano a seguir

Escreva a equação geral desta circunferência que passa pelos pontos A(3,-4) e B(1,-6) e centro C(0,yC).

Solução:

x2 + y2 + 6y – 1 = 0Dica: Faça dAC = dBC

MateMática

118

aula 35

Equação geral de uma circunferência – ExercíciosObjetivo geral

Determinar a equação da circunferência na forma geral.

Atividades 01 Determine o centro e o raio da circunferência dada pela equação

a) 4x2 + 4y2 – 12x + 4y + 6 = 0 b) x2 + y2 = 4(y + 1)

Solução:

a) C 23 , 1

1 1e r =` j

b) C(0,2) e r = 2 2

02 Dado as coordenadas do centro (C) e o raio (r), determine a equação geral da circunferência.

a) C(-3,2) e r = 3 b) C(-2,-3) e r = 2

Solução:a) x2 + y2 + 6x - 4y + 4 = 0b) x2 + y2 + 6x - 4y + 4 = 0

03 O raio da circunferência de equação x2 + y2 - 8x + 7 = 0 éa) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

Solução: Letra c.

04 Dados os pontos A(2,–3) e B(–4,1) extremos de um diâmetro da circunferência, determine sua equação.

Solução: x2 + y2 + 2x + 2y + 11 = 0



MateMática

119

05 Dada a representação gráfica a seguir, determine a equação da circunferência apresentada.

Solução: x2 + y2 + 6x – 2y + 6 = 0

aula 36

Posição relativa entre ponto e uma circunferênciaObjetivo geral

Determinar a posição relativa entre ponto e uma circunferência.

Conceitos básicos

Basicamente, faremos uma análise da distância entre um ponto e o centro de uma circunferência para verificar as posições relativas desse ponto P.

Sabe-se que todos os pontos pertencentes à circunferência distam-se igualmente do centro. Essa distância, como já visto anteriormente, é denominada de raio.

A partir do raio de uma circunferência podemos definir 3 posições a serem estudadas entre um ponto e uma circunferência.

Para estudarmos essas posições relativas vamos determinar uma circunferência de centro C(XC,YC) e raio r e depois analisar as possíveis posições relativas de um ponto P qualquer em relação a essa circunferência.

• Ponto P interno à circunferência: isso significa que a distância do ponto P até o centro da circunferência é menor do que o raio da circunferência.



u Identificar posições relativas entre pontos e circunferências, retas e circunferências e entre duas circunferências.

MateMática

120

Exemplo:

d rPC "1 P é interno à circunferência.

• Ponto P externo à circunferência: isso significa que a distância do ponto P até o centro da circunferência é maior do que o raio da circunferência.

Exemplo:

d rPC "2 P é externo à circunferência.

• Ponto P pertencente à circunferência: isso significa que a distância do ponto P até o centro da circunferência é igual ao raio da circunferência.

Exemplo:

d rPC "= P é externo à circunferência.

MateMática

121

Atividades 01 Analise as posições relativas entre os pontos dados e a circunferência: (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9

a) (-2,2) b) (1,1) c) (1,-1)

Solução:

Letra Respostaa Pertenceb Exteriorc Pertence

02 Dada a equação geral da circunferência: x2 + y2 – 4x + 6y - 3 = 0, quais dos pontos a seguir pertence a esta circunferência?

P(3,-1) Q(3,2) R(2,1)

Solução: O ponto R(2,1)

03 Observe a figura a seguir e encontre as coordenadas do ponto P sabendo que a abscissa de P vale 2

3 3.

Solução: P 23 3

, 29c m

Desafio

O ponto (1,0) é interior a qual ou quais das circunferências a seguir:g: (x)2 + (y + 1)2 = 4 h: x2 + y2 – 4x + 2y + 1 = 0 k: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 9 l: x2 + y2 – 10x + 2y + 25 = 0

Solução:

É interior as circunferências: g, h e k

MateMática

122

aula 37

Posição relativa entre uma reta e uma circunferênciaObjetivo geral

Determinar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência.

Conceitos básicos

Basicamente, faremos uma análise da distância entre uma reta e o ponto central de uma circunferência para verificar as posições relativas entre uma reta e uma circunferência qualquer.

Sabe-se que se todos os pontos pertencentes à circunferência distam igualmente do centro, essa distância, como já visto anteriormente, é denominada de raio.

Então, a partir do raio de uma circunferência podemos definir 3 posições a serem estudadas entre uma reta e uma circunferência.

Para estudar essas posições relativas vamos determinar uma circunferência de centro C(xC,yC) e raio r e depois analisar as possíveis posições relativas de uma reta s qualquer em relação a essa circunferência.

Posições relativas entre circunferência e reta:

• Reta secante à circunferência: A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, se a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Isto significa que a distância da reta s ao ponto central O da circunferência é menor que a medida do raio R.

Exemplo:

dOs < R => s é secante à circunferência




MateMática

123

• Reta externa à circunferência: A reta s é externa à circunferência de raio R e centro O, se a reta não intersecta a circunferência em nenhum ponto. Isto significa que a distância da reta s ao ponto central O da circunferência é maior que a medida do raio R.

Exemplo:

dOs > R => s é externo à circunferência

• Reta tangente à circunferência: A reta s é tangente à circunferência de raio R e centro O, se a reta intersecta a circunferência em um único ponto. Isto significa que a distância da reta s ao ponto central O da circunferência é igual à medida do raio R.

Exemplo:

dOs = R => s é tangente à circunferência

MateMática

124

Atividades 01 Analise as posições relativas entre a circunferência, a seguir, e as retas dadas nas alternativas

2 141

x y2 2- + + =^ ^h h

a) s: 21

y =-

b) r: 25

x =

c) t: y = x

Solução:a) Tangênciab) Tangênciac) Externa

02 Encontre a distância do centro da circunferência: C: x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0, a reta: r: 4x – 4y + 20 = 0 e conclua se a reta é tangente, secante ou externa a circunferência C.

Solução:Externa à circunferência C.

03 Dada a reta r: x – y = 0 construa uma circunferência de centro no ponto (-1,2) tangente à reta r.

Solução:Resposta pessoal.

Desafio

Desenhe no plano cartesiano a reta s: x - y + 21 = 0 e a circunferência C: x2 + y2 + 4x + 6y – 87 = 0 e

conclua se elas são: tangente ou secante.

Solução: tangente

MateMática

125

aula 38

Posição relativa entre ponto, uma reta e uma circunferência – ExercíciosObjetivo geral

Resolver problemas de posição relativa entre ponto, uma reta e uma circunferência.

Atividades

01 Esboce a circunferência x2 + y2 = 25 no plano cartesiano e depois verifique a posição (exterior, interior e pertencente) dos pontos dados: A(4,-3), B( 6 ,3 ), C(3,4), e D(-3,5) em relação à circunferência.

Solução:

Assim, os pontos A e C pertencem à circunferência, o ponto B é interior e o ponto D é exterior.

02 Com relação à posição relativa entre uma reta e uma circunferência, analise as alternativas a seguir como ver-dadeira ou falsa.

a) ( ) Uma reta secante à circunferência pode interceptar a circunferência em mais de dois pontos.b) ( ) Uma reta tangente à circunferência pode interceptar a circunferência em dois pontos.c) ( ) Uma reta externa à circunferência intercepta a circunferência em um único ponto.




MateMática

126

d) ( ) Uma reta secante à circunferência intercepta a circunferência em um único ponto.e) ( ) Todas as alternativas anteriores são falsas.

Solução: a)F; b) F; c) F; d) F e f) V

03 Qual deve ser a distância da reta s ao centro da circunferência de equação x2 + y2 – 8x + 7 = 0 para que s seja tangente a está circunferência.

a) 3

b) 2c) 3d) 4e) 9

Solução: Letra c.

04 Dada a reta r: x – y = 0, construa circunferências de centro no ponto (-1,2), sendo uma tangente, uma secan-te e outra externa à reta r.

Solução:Resposta pessoal.

05 Escreva as equações das retas paralelas à reta r: 3x – 4y + 50 = 0 e que tangenciem a circunferência C: x2 + y2 – 4x – 2y – 31 = 0

Solução:Dica: As retas paralelas à reta r: 3x – 4y + 50 = 0 tem os mesmos coeficientes de x e y. Então, as retas do tipo: s: 3x – 4y + c = 0, são paralelas a r. Agora para descobrir os possíveis valores de c calcule a distância de centro da circunferência C a reta s e considere a distância igual a 6, que é o raio da circunferência C, pois uma reta tangente à circunferência possui esta propriedade.

6da b

ax by c2Cs 2

0 0

+==

+ +

Resposta: 3x – 4y + 28 = 0 e 3x – 4y – 32 = 0

MateMática

127

aula 39

Intersecção entre uma reta e uma circunferênciaObjetivo geral

Determinar a intersecção entre uma reta e uma circunferência.

Conceitos básicos

Basicamente, nas aulas anteriores analisamos a distância entre uma reta e o ponto central de uma circunferência para verificar as posições relativas entre uma reta e uma circunferência qualquer.

A posição relativa de uma reta s e uma circunferência C é determinada pela resolução do sistema constituído pelas equações da reta e da circunferência. Para isso, inicialmente, isole – na equação da reta – a incógnita y e substitua o valor obtido na incógnita y da equação da circunferência.

Ao fazer esta substituição, a equação originária da circunferência C tornará-se uma equação polinomial de segundo grau com uma incógnita. O discriminante desta equação definirá o número de soluções do sistema e, logo, a posição relativa entre a reta e a circunferência.

Assim, temos:

∆ > 0 ⇔ secantes ∆ = 0 ⇔ tangentes ∆ < 0 ⇔ exteriores

Exemplo:Analise a posição relativa entre a reta s: x – y = 0 e a circunferência C: (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25

Resolvendo:

Precisamos resolver o sistema formado por: 0

1 2 25( ) ( )

x yx y2 2

- =

- + - =)

Isolando y na primeira equação, temos: y x=

Substituindo na segunda, temos:C: (x – 1)2 + (x – 2)2 = 25 [x2 – 2x + 1] + [x2 – 4x + 4] = 25 x2 – 2x + 1 + x2 – 4x + 4 = 25 2x2 – 6x + 5 = 25 2x2 – 6x + 5 – 25 = 0 2x2 – 6x – 20 = 0




MateMática

128

6 2 4 2 20 36 160 196( ) ( )$ $T - - - = + ==

0T 2

2 26 196( )

x$!

=- -

46 14

46 14

420 5 e 4

6 1448 2x x x1 2"

!= =+

= = =-

=-

=-

Portanto, secante nos seguintes pontos: como encontramos x = –2 e x = 5.

Agora, substituindo na equação y = x, chegamos aos pontos: (–2,–2) e (5,5).

Atividades 01 Represente no plano cartesiano a circunferência e as retas a seguir. E depois indique os pontos de intersecção quando for o caso.

(x - 2)2 + (y + 1)2 = 41 ; s: y =

21- ; r: x =

25 e t: y = x

02 Resolva e analise o sistema abaixo e conclua se a reta é tangente, secante ou externa à circunferência C.

:

:

2 2 12 0

2 48 0

r x y

C x y x2 2

- + =

+ + - =)

03 Com relação a intersecção entre reta e circunferência analise as alternativas a seguir como verdadeira ou falsa.a) ( ) Se um ponto P pertence a uma circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P.b) ( ) Se um ponto P é exterior a uma circunferência, então existem duas retas tangentes à circunferência por P.c) ( ) Se um ponto P é interior a uma circunferência, então existe uma única reta secante à circunferência passando por P.d) ( ) Se um ponto P é interior a uma circunferência, então existem infinitas retas secantes à circunferência passando por P.e) ( ) Todas as alternativas anteriores são verdadeiras exceto uma delas.

Solução: a) V; b) V; c) F; d) V e f)V.

Desafio

Analise a posição relativa entre a reta s: x – y + 1 = 0 e a circunferência C: (x + 1)2 + (y + 2)2 = 25. Caso a posição seja tangente ou secante encontre o(s) ponto(s).

Solução: Secante, 44 2 46

246

44 2 46

, 246

, e- + - - -c cm m

MateMática

129

aula 40

Resolução de Problema – Intersecção entre uma reta e uma circunferênciaObjetivo geral

Resolver problemas de intersecção entre uma reta e uma circunferência.

Conceitos básicos

Nesta aula, as atividades estão voltadas para a consolidação das habilidades dos alunos na resolução problema.

Os estudantes terão livre escolha quanto aos algoritmos que utilizarão para chegarem ao resultado.

Atividades 01 Dada equação da circunferência, a seguir, indique as equações das retas tangentes que passam nos pontos (2,1) e (6,-3)

(x + 2)2 + (y + 3)2 = 16

Solução: y = 1 e x = 6

02 Represente no plano cartesiano a reta e a circunferência a seguir, e conclua se a reta é tangente, secante ou externa à circunferência.

r: x + 2y + 2 = 0 e C: x2 + y2 + 2x – 48 = 0

Solução: Secante




MateMática

130

03 Com relação a intersecção entre reta e circunferência analise as alternativas a seguir como verdadeira ou falsa.a) ( ) Se um ponto P pertence a uma circunferência, então existe uma única reta secante à circunferência por P.b) ( ) Se um ponto P é exterior a uma circunferência, então existem somente duas retas secantes à circunfe-rência por P.c) ( ) Se um ponto P é interior a uma circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência passando por P.d) ( ) Se um ponto P é exterior a uma circunferência, então não existem infinitas retas externas à circunfe-rência passando por P.e) ( ) Todas as alternativas anteriores são falsas.

Solução: a) F; b) F; c) F; d) F e V.

04 Analise a posição relativa entre a reta s: x – y – 1 = 0 e a circunferência C: (x + 1)2 + (y + 2)2 = 25. Caso a posição seja tangente ou secante encontre o(s) ponto(s).

Solução:

Secante, 22 5 2

24 5 2

22 5 2

24 5 2

, ,e PP1 2

- + - + - + - -== c cm m

aula 41

Posição relativa entre duas circunferênciasObjetivo geral

Determinar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência.

Conceitos básicos

Basicamente, faremos uma análise da distância entre os pontos centrais das circunferências relacionando com adição ou subtração dos raios das circunferências para verificar as posições relativas entre duas circunferências quaisquer.

Então, a partir da comparação da distância dos pontos centrais com a adição ou a subtração dos raios das duas circunferências podemos definir três posições a serem estudadas. Assim, dependendo da posição assumem a denominação de secantes, tangentes ou disjuntas.




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131

Posições relativas entre duas circunferências:

• Circunferências secantes: As circunferências são secantes se interceptam em dois pontos. Isto significa que a distância dos pontos centrais das circunferências ou é menor que a soma dos raios ou maior do que a subtração dos raios.

Exemplo:

r1 – r2 < dO1O2 < r1 + r2

• Circunferências disjuntas: As circunferências são disjuntas se não interceptam em nenhum ponto. Isto significa que a distância dos pontos centrais das circunferências é maior que a soma dos raios.

Exemplo:

dO1O2 > r1 + r2

• Circunferências concêntricas (Caso especial de disjuntas): As circunferências são disjuntas concêntricas se o ponto central delas for o mesmo. Isto significa que a distância dos pontos centrais das circunferências é igual a zero.

dO1O2 = 0

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132

• Circunferências tangentes internas: As circunferências são tangentes internas se interceptam em um único ponto. Isto significa que a distância dos pontos centrais das circunferências é igual à diferença dos raios.

Exemplo:

dO1O2 = r1 - r2

• Circunferências tangentes externas: As circunferências são tangentes externas se interceptam em um único ponto. Isto significa que a distância dos pontos centrais das circunferências é igual à soma raios.

Exemplo:

dO1O2 = r1 + r2

Outra possibilidade de analisarmos as posições relativas entre duas circunferências é

analiticamente, a posição relativa das duas circunferências é determinada pela resolução do sistema constituído pelas equações das duas circunferências. Assim,

: ( ) ( )

: ( ) ( )

C x a y b rC x a y b r

1 12

12

22

22

12

22

2

- + - =

- + - =)

• Se o sistema tem duas soluções, C1 e C2 são secantes; • Se o sistema tem uma única solução, C1 e C2 são tangentes; • Se o sistema não tem solução, C1 e C2 são disjuntas.

Exemplo:Analise a posição relativa entre as circunferências:

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133

C1: x2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 e C1: x

2 + y2 – 8x + 4y + 11 = 0

Resolvendo:

Precisamos resolver o sistema formado por: 2 4 1 0 (01)8 4 11 0 (02)

x y x yx y x y

2 2

2 2

+ - - + =

+ - + + =)

Fazendo (1) – (2), temos: 6x – 8y – 10 = 0

34 5 (3)xy

=+

Substituindo (3) em (2), temos:

34 5

8 34 5

4 11 0y

yy

y2

2 $+

+ -+

+ + =c cm m

916 40 25

332 40

4 11 0y y

yy

y2

2+ ++ +

- -+ + =; E

916 40 25

332 40

4 11 0y y

yy

y2

2+ ++ +

- -+ + =

916 40 25 9 3 32 40 36 99

0yy y y y2 2 $+ ++ + - - + +

=^ h

16y2 + 40y + 25 + 9y2 + 3 . (-32y – 40) + 36y + 99 = 016y2 + 40y + 25 + 9y2 - 96y – 120 + 36y + 99 = 0 25y2 - 20y + 4 = 0

20 4 25 4 400 400 0( ) ( )2 $ $T = - - = - =

0T =

2 2520 0( )

y$

!=

- -

20 05020

52 e 50

2052

50y y y1 2"

!= = = = =

Agora, substituindo em (3), encontramos:

511

x =

Portanto, tangente no seguinte ponto: ,511

52` j.

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134

Atividades 01 Analise as posições relativas entre a circunferência x2 + y2 - 4x + 2y + 4 =0 e as circunferências dadas nas alternativas.

a) x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0b) x2 + (y + 1)2 = 1c) x2 + y2 = 1

Solução:

Letra Respostaa Tangenteb Tangentec Disjunta

02 Encontre a distância do centro das circunferências: C1: x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0 e C2: (x - 7)2 + (y - 3)2 =

251 e a seguir conclua se as duas circunferências são tangentes, secantes ou disjuntas.

Solução:A distancia é 5.As circunferências são Secantes.

03 Dada a circunferência C1: (x + 3)2 + y2 = 9 determine a equação da circunferência de centro no ponto (1, -2) e tangente a C1.

Solução:(x - 1)2 + (y + 2)2 = 29 - 12 5 .

Desafio

Analise a posição relativa entre as circunferências C1: (x + 2)2 + (y - 2)2 = 25 e C2: x2 + (y - 7)2 = 9. Caso a

posição seja tangente ou secante encontre o(s) ponto(s).

Solução:

Tangente, 2913 , 58

341-` j

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135

aula 42

Posição relativa entre duas circunferências – ExercíciosObjetivo geral

Resolver problemas de posição relativa entre duas circunferências.

Atividades 01 Esboce as seguintes circunferências no plano cartesiano e depois verifique as posições relativas delas (tangentes, secantes, disjuntas, con-cêntricas).

x2 + y2 + x + 3y + 23 = 0 e x

21

y23

4122

+ + + =` `j j

Solução:

São concêntricas

02 Com relação a posição relativa entre uma reta e uma circunferência analise as alternativas a seguir como verdadeira ou falsa.

a) ( ) Duas circunferências secantes podem se interceptar em mais de dois pontos.b) ( ) Duas circunferências tangentes podem se interceptar em dois pontos.c) ( ) Duas circunferências disjuntas se interceptam em um único ponto.d) ( ) Duas circunferências secantes se interceptam em um único ponto.e) ( ) Todas as alternativas anteriores são falsas.

Solução:a) F; b) F; c) F; d) F e f)V




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136

03 Observe as equações das duas circunferências a seguir:C1: x

2 + y2 – 8y + 7 = 0 e C2: (x – 5)2 + (y – 4)2 = r2

Qual deve ser o valor do raio r da circunferência C2 para que as circunferências C

1 e C

2 sejam tangentes?

a) 3 b) 2 c) 3

d) 4 e) 9

Solução: Letra b.

04 Encontre os pontos em comuns das seguintes circunferências secantes:(x + 1)2 + (y + 2)2 = 4 e (x - 1)2 + (y + 2)2 = 4

Solução: 0, 24 2 3

e 0, 24 2 3- + - -c cm m

05 Dada a circunferência C: x2 + y2 – 4x – 2y - 31 = 0 escreva uma equação da circunferência que seja:a) Secante à Cb) Tangente interna à Cc) Concêntrica à C

Solução: Resposta pessoal.

aula 43

Circunferências – ExercíciosObjetivo geral

Resolver problemas de posição relativa entre duas circunferências.

Atividades 01 Esboce as seguintes circunferências no plano cartesiano e depois verifique as posições relativas delas (tangentes, secantes, disjuntas etc.)

x2 + y2 + 5x + 7y + 235 = 0 e x y

25

27

412 2

+ + + =` `j j



u Reconhecer, dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferências;


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137

Solução:

02 Qual deve ser a distância da reta s ao centro da circunferência de equação x2 + y2 - 14x – 32 = 0 para que s seja tangente a esta circunferência.

a) 29 b) 3 c) 4

d) 6 e) 9

Solução: Letra e.

03 Escreva as equações das retas paralelas à reta r: 3x – 4y + 48 = 0 e que tangenciem a circunferência C: x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0

Solução:Dica: As retas paralelas à reta r: 3x – 4y + 48 = 0 tem os mesmos coeficientes de x e y. Então, as retas do tipo: s: 3x – 4y + c = 0, são paralelas a r. Agora para descobrir os possíveis valores de c calcule a distância de centro da circunferência C a reta s e considere a distância igual a 6, que é o raio da circunferência C, pois uma reta tangente à circunferência possui esta propriedade.

dCs = a b

ax by c3

2 2

0 0

++ +

=

Resposta: 3x – 4y + 25 = 0 e 3x – 4y - 5 = 0

04 (FEI-SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2,1) e que passa pelo ponto A(1,1).

Solução:(x – 2)2 + (y – 1)2 = 1

05 (ITA-SP) Qual a distância entre os pontos de intersecção da reta 10 20

1x y

+ = com a circunferência x2 + y2 = 400.

Solução: d = 16 5

06 (PUC-SP) O ponto P(3,b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0,3) e raio 5. Calcule o valor da coor-denada b.

Solução: b = -1 ou b = 7

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