caderno_exerciciosFisica

Caderno de Exerccios Resolvidos de Fsica

Nuno Sousa

Universidade Aberta

2013

2

mbito deste documento

O presente caderno de exerccios contm as atividades formativas e orientaes de resposta das unidades curriculares de fsica das licenciaturas em Informtica e Cincias do Ambiente da Universidade Aberta. Pretende ser um auxiliar de estudo aos que queiram exercitar os seus conhecimentos dos temas da fsica aqui focados, designadamente a mecnica clssica, mecnica de fluidos, mecnica ondulatria e som, calorimetria e transferncias de calor e eletromagnetismo.

Os exerccios apresentados so retirados do livro de texto adotado nas unidades curriculares acima mencionadas [1], tendo sido redatilografados pelo autor no formato atual (prestamos aqui a devida vnia aos autores originais). As resolues so originais.

Tendo as resolues sido feitas com o intuito especfico de apoio aos alunos das licenciaturas da Universidade Aberta, h nelas vrias referncias aos contedos do livro de texto, que optmos por deixar intocadas, para referncia do leitor. De igual modo, as frmulas que representam leis fsicas e relacionam grandezas, e os valores das constantes fsicas usadas, tais como p.ex. a acelerao da gravidade, , calores especficos, , ou a constante de Coulomb, , seguem, de uma forma geral, o mesmo livro de texto. No entanto, qualquer outro manual de nvel universitrio conter a mesma informao, embora a possa, naturalmente, exprimir de uma forma ligeiramente diferente.

Nas resolues usou-se nos clculos intermdios mais 1 ou 2 algarismos significativos do que os das grandezas neles envolvidas. Os resultados finais so apresentados com os algarismos significativos da grandeza envolvida com menor nmero destes. A notao de parntesis no resultado final significa expresso do resultado com os algarismos significativos que a preciso dos dados permite. P.ex.

= 1,293m1,3m significa que o clculo que originou tem como resultado 1,293m, mas que desses quatro algarismos apenas dois so significativos. Entre parntesis escreveu-se ento o resultado com apenas dois algarismos: 1,3m. O autor deseja agradecer aos muitos estudantes que contriburam para o depurar deste documento.

Referncia do livro de texto:

[1] David Halliday, Robert Resnick & Jearl Walker. Fundamentos de Fsica (8 edio), vols. 1, 2 e 3. Ed. LTC - Livros Tcnicos e Cientficos (Rio de Janeiro, 2009). Importadora: Nova Guanabara (grupo Porto Editora). Verso original inglesa: Fundamentals of Physics, vols. 1, 2 e 3. Ed. Wiley.

Contedo

Parte I Enunciados dos Exerccios ............................................................................................................................ 3

Parte II Resoues dos Exerccios ........................................................................................................................... 39

3

Parte I

Enunciados dos exerccios

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Mecnica clssica - grandezas e medidas

Halliday et al. Fundamentos de Fsica.

Exerccios do captulo 1, vol.1

Problema 3

Um hipdromo tem uma distncia de 4,0 furlongs. Qual a distncia em a) varas e b) cadeias? Dados: 1 furlong = 201,168 m ; 1 vara = 5,0292 m ; 1 cadeia = 20,117 m.

Problema 5

A Terra tem uma forma aproximadamente esfrica com 6370 km de raio. Determine, usando o km como unidade de comprimento, a) o permetro da Terra, b) a rea da superfcie e c) o volume. Frmulas geomtricas: = 2; = 4; = .

Problema 9

O acre-p uma medida de pluviosidade usada nos EUA. definida como o volume de gua que enche 1 acre de terra profundidade de 1 p. Uma tempestade despejou 2,0 (2,0 polegadas) de chuva sobre uma cidade de 26 km2. Qual a pluviosidade em acres-p? Dados: 1 = 0,08333 ps ; 1 m2 = 10,76 ps2 ; 1 acre = 43560 ps2.

Problema 10

A planta de crescimento mais rpido que se conhece atinge 3,7 m em 14 dias. Qual a sua velocidade de crescimento em micrmetros por segundo?

Problema 13

A certa altura aps a Revoluo Francesa tentou-se basear as medidas de tempo em mltiplos de 10. O dia era uma unidade comum e definia-se a semana como 10 dias, 1 dia = 10 horas, 1 hora = 100 mins, 1 min = 100 seg. Qual a razo de a) a semana decimal francesa para a semana comum e b) o segundo decimal francs para o segundo comum?

Problema 20

O ouro um material extremamente dctil (i.e. pode ser transformado em folhas ou fios finos), de massa especfica de 19,32 g/cm3. a) Se uma amostra de ouro de 27,63 g for prensada at uma folha com 1,000 m de espessura, qual ser a rea dessa folha? b) E, se em vez disso fizermos um fio de 2,500 m de raio, qual ser o comprimento desse fio?

Problema 21

A gua tem massa especfica de 1,000 g/cm3. a) Determine a massa, em kg, de um metro cbico de gua. b) Se um recipiente de 5700 m3 esvazia em 10,0 h, qual ser o caudal do vazamento em kg/s?

5

Problema 23

A Terra tem 5,98 x 1024 kg de massa. A massa mdia dos tomos terrestres de 40 u (u: unidade de massa atmica). Quantos tomos tem a Terra aproximadamente? 1 u = 1,66054 x 10-27 kg.

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Mecnica clssica cinemtica a 1 dimenso



Problema 1

Um automvel viaja em reta 40 km rapidez de 30 km/h. Em seguida, continuando no mesmo sentido, viaja mais 40 km a 60 km/h. a) Qual a velocidade mdia do carro no percurso de 80 km? b) Qual a velocidade escalar mdia (rapidez mdia) do carro?

Problema 4

O recorde dos 200 m em bicicleta era, em 1992, de 6,509 s. Este recorde foi batido em 2001 por 19 km/h. De quanto tempo precisou o novo recordista?

Problema 15

Uma partcula descreve um movimento retilneo tal que, em unidades SI, tem uma posio dada por = 4 12 +3. a) Qual a sua velocidade em = 1s? b) Nesse instante o movimento no sentido negativo ou positivo de x? c) E qual a sua rapidez? d) A rapidez est a aumentar ou diminuir? e) Existe algum instante para o qual a velocidade se anula? Se sim, qual? f) Existe algum instante aps = 3s para o qual a partcula se move no sentido negativo?

Problema 26

Numa estrada seca um carro consegue desacelerar taxa de 4,92 m/s2. a) Quanto tempo leva esse carro a parar se se desloca inicialmente a 24,6 m/s? b) Que distncia percorre nesse tempo?

Problema 29

Um veculo eltrico parte do repouso e acelera em linha reta a 2,0 m/s2 at atingir uma rapidez de 20 m/s. Em seguida, trava a 1,0 m/s2 at parar. a) Quanto tempo decorre entre a partida e a paragem? b) Qual a distncia percorrida nesse movimento?

Problema 46

Uma pessoa lana uma pedra verticalmente de um edifcio a 30,0 m do solo. A pedra lanada para baixo rapidez de 12,0 m/s. a) Quanto tempo leva a pedra a atingir o solo e b) a que rapidez o atinge?

Problema 51

Uma chave cai verticalmente de uma ponte a 45 m de altura relativamente ao rio. Ao chegar gua, atinge um barco de brinquedo que se encontrava a 12 m do ponto de impacto quanto a chave foi largada. Qual a rapidez do barco?

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Mecnica clssica cinemtica a 2 e 3 dimenses



Problema 8

Um avio voa 483 km para leste, indo da cidade A para a cidade B em 45,0 min. Em seguida voa 966 km para sul, de B para C, em 1h 30 min. Para a viagem toda, determine a) o mdulo e b) a direo do deslocamento, c) o mdulo e d) a direo da velocidade mdia e e) a velocidade escalar (rapidez) mdia.

Problema 11

Uma partcula move-se de forma tal que a sua posio dada por ! = " + 4$ + %& (SI). Escreva expresses para a sua velocidade e acelerao como funo do tempo.

Problema 15

Um carro move-se num plano xy com acelerao de componentes '( = 4,0m/s e '+ = 2,0m/s. A sua velocidade inicial tem componentes ,-( = 8,0m/s e ,-+ = 12m/s. Qual a velocidade do carro quando este atinge a coordenada y mxima?

Problema 22

O recorde do mundo do salto em comprimento de 8,95 m. Supondo que o saltador fez a chamada rapidez de 9,5 m/s, calcule a diferena entre o recorde e a melhor marca possvel para uma partcula lanada mesma rapidez.

Problema 24

Uma pequena bola rola horizontalmente at borda de uma mesa de 1,20 m de altura, aps o que cai no cho 1,52 m para l da borda da mesa. Por quanto tempo fica a bola no ar e qual a velocidade com que bate no cho?

Problema 31

Um avio mergulha a velocidade constante, lanando um projtil a uma altitude de 730 m, num ngulo de 53,0 com a vertical. O projtil chega ao cho 5,00 s depois do lanamento. a) Qual a velocidade do avio no lanamento? b) Que distncia na horizontal percorre o projtil e quais so as componentes da velocidade c) na horizontal e d) na vertical no momento em que chega ao solo?

730 m

53

d

,!-

8

Problema 60

Um satlite move-se numa rbita circular 640 km acima da superfcie da Terra, com um perodo de 98,0 min. Quais so, em magnitude, a sua velocidade linear e acelerao centrpeta? Dados: /0112 = 6370km.

Problema 62

Um ventilador tem ps de 0,15 m de raio e gira a 1200 rotaes por minuto. a) Que distncia percorre um ponto na extremidade de uma p em 1 revoluo? Quais so b) a velocidade linear e c) a acelerao desse ponto e d) o perodo do movimento?

9

Mecnica clssica leis de Newton



Problema 3

Duas foras atuam num corpo de 3,0 kg, o qual se pode mover sem atrito num plano xy (assuma, tal como nas AFs da semana anterior, a direo/sentido leste como +x e norte como +y). Uma das foras tem 9,0 N de magnitude e aponta para leste. A outra tem 8,0 N de magnitude e atua a 62 ao norte do oeste, i.e. fazendo 118 com o eixo +x. Qual a magnitude da acelerao do corpo?

Problema 13

Observe as trs figuras abaixo. Nelas, um salame de 11 kg est dependurado de trs formas diferentes e, em todas elas, uma balana de mola mede a tenso na corda que o sustenta. Qual o valor medido pela balana nos trs casos?

a) b) c)

Problema 19

Na figura ao lado a massa do bloco 8,5 kg, a inclinao do plano 30 e a situao sem atrito. Determine a) a tenso na corda, b) a fora normal sobre o bloco e c) a acelerao do bloco se a corda for cortada.

Problema 41

Um elevador de peso 27,8 kN move-se para cima. Qual a tenso no cabo que o suporta se a sua rapidez a) aumenta ou b) diminui, em ambos os casos a uma taxa de 1,22 m/s2?

10

Problema 51

Trs blocos esto ligados por cordas e so puxados para a direita por uma fora com magnitude 678 = 65N. Os blocos deslizam sem atrito. Calcule a) a acelerao do sistema e b) as tenses 67 e 67.

12 kg 24 kg 31 kg 678 67 67

11

Mecnica clssica aplicaes das leis de Newton



Problema 7

Um bloco de 3,5 kg empurrado ao longo de um piso horizontal por uma fora de magnitude 15 N cuja direo de 40 com a horizontal (c.f. figura). O coeficiente de atrito cintico entre o bloco e o cho de 0,25. Calcule a magnitude a) da fora que o piso exerce sobre o bloco e b) da acelerao do bloco.

Problema 13

Um caixote de 68 kg arrastado sobre um piso, puxado por uma corda inclinada de 15 acima da horizontal e com atrito esttico para com o solo de 0,50. Determine a) o valor mnimo da magnitude da fora de tenso na corda para que o caixote se comece a mover e b) a acelerao do caixote para a fora encontrada na alnea anterior se o atrito cintico for de 0,35.

Problema 23

No desenho ao lado o coeficiente de atrito esttico entre o bloco na mesa e esta de 0,25. O ngulo indicado de 30 e a corda esquerda est na horizontal. O bloco B pesa 711 N. Determine o peso mximo do bloco A para o qual o sistema permanece em repouso.

Problema 41

Qual o menor raio de uma curva plana que permite a um ciclista a 29 km/h a fazer sem derrapar se o coeficiente de atrito esttico entre os pneus da bicicleta e o asfalto for de 0,32?

40

B

A

12

Mecnica clssica trabalho e energia



Problema 5

Um filho e um pai disputam uma corrida. A dada altura o pai tem metade da energia cintica do filho, cuja massa metade da do pai. O pai aumenta a sua rapidez em 1,0 m/s, atingindo a mesma energia cintica do filho, que entretanto manteve a sua rapidez. Quais so as rapidezes iniciais do pai e filho?

Problema 7

Uma fora de magnitude constante 5,0 N age sobre uma lata de 2,0 kg que se movimenta num plano xy. A lata tem inicialmente velocidade ;4,0 " e termina com velocidade ;6,0 $. Qual o trabalho da fora durante este deslocamento?

Problema 13

No ba da figura ao lado atuam as trs foras indicadas, cujos mdulos so respetivamente 68 = 5,00N, 6 = 9,00N e 6 = 3,00N. O ngulo de 6! com a horizontal de 60. O ba desloca-se 3,00 m para a esquerda sob a ao destas foras. Calcule o trabalho total realizado sobre o ba pelas trs foras e diga se a energia cintica deste aumentou ou diminuiu.

Problema 20

Uma fora horizontal 6!? de mdulo 20,0 N aplicada a um livro de 3,00 kg que sobe 0,500 m por uma rampa de inclinao 30,0 sem atrito (c.f. figura). Calcule a) o trabalho das foras horizontal, peso e normal no deslocamento indica e b) a energia cintica final do livro, assumindo que este iniciou o deslizamento do repouso.

Problema 26

Uma fisga gigante feita de meia elstica de constante = 100N/m. Arma-se a fisga com uma bola de corante e estica-se a meia 5,00 m, largando-se de seguida. Quanto vale o trabalho da meia sobre a bola quando a primeira volta ao seu comprimento normal?

6!8

6!

6!

@

0,5m 6!?

13

Problema 47

Um elevador carregado tem massa total de 1200 kg. A carga deve ser elevada 54 m em 3,0 minutos e o elevador tem um contrapeso de 950 kg. Que potncia mdia deve debitar o motor do elevador para o cabo de trao?

14

Mecnica clssica energia potencial



Problema 2

Na figura ao lado uma bola de 0,341 kg est pendurada por uma haste rgida, de massa desprezvel e comprimento 0,452 m, que articula sobre o centro. A haste est inicialmente na horizontal, sendo depois empurrada para baixo com fora suficiente para que a bola atinja o ponto mais alto com velocidade nula.

Qual o trabalho realizado pela fora gravitacional sobre a bola do ponto inicial A at o ponto mais baixo B, ao ponto mais alto D e ao ponto C direita mesma altura do lanamento?

Se definirmos o zero da energia potencial gravtica do sistema massa-Terra no ponto B, determine o valor dessa energia nos pontos B, C e D.

Se a haste tivesse sido empurrada com mais fora, de modo a chegar a D com rapidez maior que zero, a variao de energia potencial desde o ponto B ao D seria maior, menor ou igual ao caso das alneas anteriores?

Problema 9

Um camio de 12 toneladas perde os traves quando descia uma encosta a 130 km/h. O motorista dirige o veculo para uma rampa de emergncia de 15 de inclinao, sem atrito. Qual o comprimento mnimo da rampa para que o camio pare antes de chegar ao fim? Esse comprimento aumenta ou diminui se a massa fosse maior? E se a velocidade fosse maior? Considere o camio como pontual.

Problema 33

Na figura ao lado uma mola de constante elstica 170 N/m est presa do alto de um plano inclinado a 37,0, sem atrito. A extremidade inferior do plano est a 1,00 m do ponto de relaxao da mola. Uma lata de 2,00 kg empurrada contra a mola 0,200 m e libertada do repouso. Qual a rapidez da lata a) no instante em que a mola retorna ao comprimento relaxado (que o momento em que a lata se solta da mola) e b) ao atingir o solo?

A

D

B

C

15

c = ?

1 m

15

Problema 53

Um bloco, inicialmente viajando rapidez de 6,0 m/s, desliza ao longo da pista da figura abaixo, sem atrito at ao ponto mais alto, B. A partir desse ponto a pista passa a horizontal, com atrito de coeficiente cintico 0,60. O bloco imobiliza-se no ponto C. Calcule a distncia entre B e C.

Problema 56

Um pacote de 4,0 kg sobe um plano de 30 de inclinao e atrito de coeficiente cintico 0,30, comeando com 128 J de energia cintica. Que distncia percorre antes de parar?

A

B C

1,1 m 6 m/s

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Mecnica clssica impulso e momento linear



Problema 2

A figura ao lado mostra um sistema de trs partculas, de massas A8 = 3,0kg, A = 4,0kg e A = 8,0kg. (a) Calcule as coordenadas x e y do centro de massa deste sistema e (b) se A aumentar, o centro de massa aproxima-se de A, afasta-se de A ou permanece onde est?

Problema 15

Uma pea de artilharia dispara um obus com rapidez inicial 20 m/s e ngulo de 60. No ponto mais alto da sua trajetria, o obus explode em dois fragmentos de igual massa, sendo que um deles fica com velocidade nula imediatamente aps a exploso e cai verticalmente. A que distncia do local de lanamento cai o outro fragmento? Assuma que o terreno plano e despreze a resistncia do ar.

Problema 18

Uma bola de 0,70 kg move-se horizontalmente a 5,0 m/s quando choca contra uma parede vertical e ricocheteia com rapidez 2,0 m/s. Qual o mdulo da variao do momento linear da bola?

Problema 23

Uma fora no sentido negativo dos xx aplicada durante 27 ms a uma bola de 0,40 kg. A bola movia-se inicialmente a 14 m/s no sentido positivo desse eixo. Durante os 27 ms, a fora varia em mdulo e transmite um impulso de magnitude 32,4 N.s. Quais so (a) o mdulo e (b) o sentido da velocidade aps a aplicao da fora? Indique tambm (c) a intensidade mdia da fora e (d) a orientao do impulso aplicado bola.

Problema 42

Um balde de 4,0 kg desliza sem atrito quando explode em dois fragmentos de 2,0 kg. Um destes move-se para norte a 3,0 m/s e o outro 30 a norte do leste a 5,0 m/s. Qual a rapidez do balde antes da exploso?

Problema 49

Uma bala de 10 g de massa choca com um pndulo balstico com 2,0 kg de massa, alojando-se neste. O pndulo sobre uma distncia vertical de 12 cm. Calcule a rapidez inicial da bala. Para ver o que um pndulo balstico, c.f. exemplo 9-9, p.236 do livro de texto.

1 A8A

x (m)

y (m)

2

1

2 A

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Problema 61

Um carrinho com 340 g de massa move-se sem atrito a 1,2 m/s quando choca frontal e elasticamente com outro, de massa desconhecida e em repouso. Aps a coliso, o primeiro carrinho continua a mover-se na mesma direo e sentido que trazia pr-coliso, a uma rapidez de 0,66 m/s. Determine a massa e a velocidade final do segundo carrinho.

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Mecnica clssica momento de foras e rotao



Problema 1

Um lanador de baseball arremessa a bola rapidez de 85 milhas por hora e rodando a 1800 rpm. Quantas rotaes realiza a bola at chegar base principal? Assuma um trajeto em linha reta, de 60 ps. Converses de unidades: 1 p = 30,48 cm ; 1 milha = 1,61 km.

Problema 10

A velocidade angular de um motor de automvel aumenta uniformemente de 1200 rpm para 4000 rpm em 12 s. Calcule (a) a acelerao angular em rpm/m2 e (b) as rotaes que o motor executa nesse intervalo de tempo.

Problema 23

Uma nave espacial descreve uma curva de raio 3220 km rapidez de 29 000 km/h. Quais so os mdulos da (a) velocidade angular, (b) acelerao radial e (c) acelerao tangencial da nave?

Problema 33

Calcule o momento de inrcia de uma roda com energia cintica de rotao 24,4 kJ, girando a 602 rpm.

Problema 36

Na figura ao lado temos trs partculas de 10,0 g cada que foram coladas a uma barra de 6,00 cm de comprimento e massa desprezvel. O conjunto pode rodar em torno de um eixo perpendicular barra na sua extremidade esquerda. Se removermos uma das partculas, de que percentagem diminui o momento de inrcia do sistema quando a partcula retirada (a) a mais perto do eixo ou (b) a mais longe do eixo?

Problema 49

Num salto de trampolim a velocidade angular de uma mergulhadora em relao a um eixo que passa pelo seu centro de massa aumenta de 0 para 6,20 rad/s em 220 ms. O seu momento de inrcia em relao ao mesmo eixo de 12,0 kg.m2. Para este salto calcule (a) a acelerao angular mdia e (b) o momento de foras (torque) externas mdio exercido pelo trampolim sobre a mergulhadora.

2 cm 2 cm 2 cm

1 2 3

19

Problema 59

Uma roda de 32,0 kg essencialmente um aro fino de 1,20 m de raio (C = D). Esta roda gira a 280 rpm e tem de ser travada em 15,0 s. Qual so (a) o trabalho e (b) a potncia mdia necessrios para a travagem?

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Mecnica de fluidos hidrosttica e hidrodinmica



Problema 3

Uma janela de escritrio tem dimenses de 3,4 m de largura por 2,1 m de altura. passagem de uma tempestade a presso atmosfrica no exterior baixa para 0,96 atm. No escritrio a presso mantm-se a 1,0 atm. Qual o mdulo da fora que empurra a janela para fora?

Problema 11

Um submarino avaria a 100 m de profundidade. A tripulao tem de abrir uma escotilha de emergncia retangular, de 1,2 m por 0,60 m, para voltar superfcie. Que fora ter de ser realizada sobre essa escotilha Assuma que as presses no interior do submarino e superfcie so de 1,0 atm.

Problema 28

Um macaco hidrulico tem mbolos circulares de dimetros 3,80 cm e 53,0 cm. Quanto vale a fora que deve ser aplicada ao mbolo pequeno para equilibrar uma fora de 20,0 kN sobre o mbolo grande?

Problema 31

Uma ncora de ferro com massa especfica de 7870 kg/m3 aparenta ser 200 N mais leve debaixo de gua. (a) Qual o volume da ncora e (b) quanto pesa ela fora de gua? Use E = 1000kg/m.

Problema 49

Uma mangueira de jardim com dimetro interno de 1,9 cm est ligada a um borrifador de 24 furos de 1,3 mm de dimetro. Se a gua circular na mangueira a 0,91 m/s, com que rapidez sai a gua dos furos do borrifador?

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Problema 57

Uma canalizao tubular com dimetro interno de 2,5 cm transporta gua para uma casa rapidez de 0,90 m/s e presso de 170 kPa. Se o tubo estreitar para 1,2 cm e subir ao 2 andar, 7,6 m acima do ponto de entrada, quais sero (a) a rapidez e (b) presso da gua nesse 2 andar? (C.f. figura.)

7,6 m

2

1

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Mecnica ondulatria movimento harmnico simples



Problema 7

Um oscilador formado por um bloco de massa 500 g acoplado a uma mola. Posto em oscilao de amplitude 35,0 cm, descreve um ciclo completo a cada 0,500 s. Determine (a) o perodo, (b) a frequncia, (c) a frequncia angular, (d) a constante elstica da mola, (e) a rapidez mxima que o bloco atinge, (f) o mdulo da fora mxima que a mola exerce sobre o bloco e (g) a expresso do elongamento se definirmos = 0s no instante em que se larga o bloco.

Problema 11

Um sistema oscila em movimento harmnico simples (MHS) segundo o elongamento = 6,0m cos I3Hz + LM. Quais so em = 2s (a) o elongamento, (b) a velocidade, (c) a acelerao e (d) a fase do movimento? Indique tambm (e) a frequncia e o perodo do MHS.

Problema 28

Um sistema massa-mola oscila em MHS com energia mecnica de 1,00 J, amplitude de 10,0 cm e rapidez mxima de 1,20 m/s. Determine (a) a constante elstica, (b) a massa do bloco e (c) a frequncia de oscilao.

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Mecnica ondulatria ondas sinusoidais



Problema 1

Uma onda possui frequncia angular de 110 rad/s e comprimento de onda 1,80 m. Calcule (a) o n. de onda, e (b) a velocidade de propagao da onda, ,.

Problema 8

A expresso que descreve a propagao de uma onda transversal numa corda longa N, = 6,0 sen0,02 +4, com em segundos e em cm. Determine (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a frequncia, (d) a velocidade de propagao, (e) o sentido de propagao, (f) a velocidade transversal mxima de um ponto vibrante da corda e (g) o deslocamento transversal para uma partcula da corda em = 3,5cm no instante = 0,26s.

Problema 17

Uma corda esticada tenso de 10,0 N tem densidade linear de massa de 5,00 g/cm. Sobre ela propaga-se, no sentido negativo dos xx, uma onda sinusoidal progressiva de amplitude 0,12 mm e frequncia 100 Hz. Assumindo que a perturbao associada a esta onda pode ser descrita pela forma cannica N, = NQ sen S, determine a sua (a) a amplitude NQ, (b) n. de onda , (c) frequncia angular S, (d) o sinal que precede S e (e) a expresso completa de N, .

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Mecnica ondulatria ondas sonoras



Problema 5

Uma pedra deixada cair num poo, ouvindo-se o som de choque na gua 3,00 s depois. Qual a profundidade do poo? Ignore a resistncia do ar, mas no despreze a velocidade do som neste clculo. Dados: ,TQ = 343m/s.

Problema 11

Uma onda sonora que se propaga no ar tem a forma U, = 6,0nm cos[ + ;3000 12W= > + X]. Quanto tempo leva uma molcula de ar no caminho desta onda a mover-se entre os elongamentos 2,0 nm e -2,0 nm?

Problema 24

Uma fonte sonora pontual emite isotropicamente uma potncia sonora de 1,0 W. Qual a intensidade sonora a 1,0 m e 2,5 m da fonte?

Problema 26

Dois sons diferem de 1,0 dB em nvel de intensidade. Qual a razo entre a intensidade sonora do maior e do menor?

Problema 28

Uma potncia de 1,00 W emitida de uma fonte pontual. Calcule a (a) intensidade e (b) o nvel sonoro a 3,00 m de distncia.

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Termodinmica calorimetria e transferncias de calor



Problema 4

Em 1964 a aldeia de Oymyakon, na Sibria, chegou a 71 C. (a) Qual o valor desta temperatura na escala Fahrenheit? A maior temperatura registada nos EUA foi 134 F no deserto do Vale da Morte, Califrnia. (b) Qual o valor desta temperatura em graus Celsius?

Problema 22

Quando 314 J de energia sob a forma de calor so adicionados a 30,0 g de um substncia de massa molar 50,0 g/mol, a sua temperatura sobre de 25,0 C para 45,0 C. Quais so (a) o calor especfico e (b) o calor especfico molar da substncia. (c) Quantas moles tem a amostra?

Problema 25

Qual a menor quantidade de energia necessria para fundir 130 g de prata inicialmente a 15,0 C? Dados: Z[ =236 \][ . K ; abZ[ = 1235K ; cbZ[ = 105kJ/kg.

Problema 33

Um sistema de aquecimento de gua por energia solar composto por um painel solar, tubos e um tanque. A gua passa no painel, onde aquecida pelos raios de luz que passam atravs de uma cobertura transparente, circulando nos tubos e depositada no tanque. A eficincia do painel de 20% (i.e. apenas 20% da energia da radiao solar incidente transferida para a gua). Se a intensidade da luz solar for de 700 W/m2, que rea de painel seria necessria para aquecer de 20 C para 40 C os 200 litros de gua no tanque em 1,0 hora? (C.f. figura na prxima pgina.)

700 W/m2

200 L

20%

26

Problema 51

Uma placa de cobre de 25,0 cm de comprimento e 90,0 cm2 de seco usada para conduzir calor. Se as extremidades quente e fria da placa estiverem a 125 C e 10,0 C respetivamente e a conduo for em regime estacionrio, qual ser a taxa de conduo de calor atravs da placa? Dados: ef = 401 g

27

Eletromagnetismo lei de Coulomb



Problema 1

Qual deve ser a distncia entre cargas pontuais o8 = 26,0C e o = 47,0C para que a fora eletrosttica entre elas tenha mdulo 5,70 N?

Problema 9

Na figura ao lado o quadrado tem 5,00 cm de lado, com a carga 3 no centro do referencial xy. As cargas so o8 = o =100nC e o = o = 200nC.. Determine as componentes da fora eletrosttica a que est sujeita a partcula 3.

Problema 28

Duas pequenas gotas de gua esfricas, com cargas iguais e de 1,00 10s8tC, esto separadas por 1,00 cm de distncia entre os centros. (a) Qual o mdulo da fora eletrosttica entre as gotas? (b) Quantos eletres em excesso tm cada uma delas?

1 2

x

y

3 4

5 cm

5 cm

28

Eletromagnetismo campo eltrico



Problema 6

Duas partculas so mantidas fixas sobre o eixo dos xx. No ponto x = 6,00 cm temos a partcula 1 de carga 2,00 10suC e no ponto x = 21,0 cm a partcula 2 de carga 2,00 10suC. Qual o vetor campo eltrico no ponto mdio entre as duas partculas?

Problema 7

No eixo dos xx temos de novo duas cargas fixas. Desta vez o8 = 2,1 10svC est em = 20cm e o = 4o8 est em = 70cm. Em que ponto do eixo x o campo eltrico se anula?

29

Eletromagnetismo potencial eltrico



Problema 4

Na figura abaixo um eletro desloca-se de A para B. Nesse deslocamento o campo eltrico realiza um trabalho de 3,96 10s8wJ. Quais so as diferenas de potencial eltrico (a) x y ; (b) z y ; (c) z x?

Problema 15

Fazendo = 0 no infinito, qual ser o potencial no ponto P da figura abaixo devido s quatro cargas presentes? Seja o = 5,00fC e | = 4,00cm. Nota: 1fC = 10s8}C.

Problema 34

O potencial eltrico numa certa regio do espao dado por = 1500 (SI). Para = 1,3cm determine: (a) o mdulo do campo eltrico e (b) a direo e sentido deste.

B

A

C

Equipotenciais Linhas de

campo eltrico

P

d

d

d

d

o

+o

o+o

30

Problema 43

Uma partcula de carga 7,5C libertada a partir do repouso no eixo dos xx, no ponto = 60cm. A partcula comea a mover-se devido presena de uma carga fixa ~ na origem. Qual a energia cintica da partcula aps se deslocar 40 cm se (a) ~ = 20C ou (b) ~ = 20C.

31

Eletromagnetismo Condensadores



Problema 5

Um condensador de placas paralelas possui placas circulares de 8,20 cm de raio, separadas por 1,3 mm de distncia. (a) Qual a capacidade deste condensador e (b) que carga acumular ele nos seus terminais quando sujeito a uma d.d.p. de 120 V?

Problema 8

Determine a capacidade equivalente do circuito ao lado. Nele 8 = 10,0F ; = 5,00F e = 4,00F.

Problema 9

Repita o problema anterior para montagem ao lado.

Problema 36

Considere novamente a montagem do problema 8. Esta sujeita a uma d.d.p. de 100 V. Calcule a carga, a d.d.p. e a energia acumulada aos terminais de cada condensadores.

V 8

V

8

32

Eletromagnetismo corrente contnua



Problema 1

Uma corrente de 5,0 A atravessa um fio durante 4,0 min. Quanto vale (a) a carga que passa por uma seco desse fio e (b) a quantos eletres corresponde?

Problema 15

Um fio de nicrmio (liga de nquel e crmio com resduos de ferro, usada como elemento de aquecimento p.ex. em torradeiras) tem 1,0 m de comprimento e 1,0 mm2 de seco reta e conduz uma corrente de 4,0 A quando sujeita a uma d.d.p. de 2,0 V. Calcule a condutividade do nicrmio.

Problema 33

Um cabo eltrico multifilar composto por 125 fios de 2,65 cada um. A todos eles aplicada a mesma d.d.p., que produz uma corrente total de 0,750 A. Quanto valem (a) a corrente em cada fio, (b) a d.d.p. aplicada e (c) a resistncia do cabo?

Problema 38

Um estudante manteve um rdio de 9,0 V e ligado das 21:00 h s 2:00 h da manh do dia seguinte, debitando durante esse tempo todo uma potncia mdia de 7,0 W. Qual foi a carga que atravessou o rdio?

Problema 51 (custo de uma lmpada acesa)

Uma lmpada incandescente de 100 W deixada acesa durante um ms inteiro, de 31 dias. A tomada debita uma d.d.p. mdia de 220 V. Calcule (a) o custo deste gasto de energia, assumindo 0,128 /kWh (+IVA 23%), (b) a resistncia da lmpada e (c) a corrente que a percorre.

33

Eletromagnetismo circuitos de corrente contnua



Problema 1

Um circuito composto por uma resistncia de 5,0 e uma bateria de fora eletromotriz (f.e.m.) de = 2,0V com resistncia interna = 1,0.. Em 2,0 min qual (a) a energia qumica consumida pela bateria; (b) a energia dissipada na resistncia e (c) a energia dissipada na bateria.

Problema 7

No circuito ao lado as fontes de alimentao so ideais e tm f.e.m. de 8 = 12V e = 6,0V. As resistncias so de 8 = 4,0 e = 8,0. Determine: (a) a corrente no circuito, (b) a potncia dissipada nas resistncias, (c) a potncia fornecida pelas fontes. (d) as fontes recebem ou cedem energia?

Problema 26

Considere a associao de resistncias abaixo, na qual todas as resistncias tm o mesmo valor; = 5,00. Calcule a resistncia equivalente entre os pontos (a) F-H e (b) F-G.

8

8

C

G

F H

34

Problema 30

Os dois circuitos abaixo esto a funcionar em regime estacionrio (C constante). As fontes so ideais e tm f.e.m. de 12 V. As resistncias tm todas 6,0. A certa altura o interruptor S ligado. Qual , nos dois casos, a variao da d.d.p. aos terminais da resistncia 8 aps o ligar do interruptor?

Problema 32

No circuito abaixo as fontes so ideais e tm f.e.m. de 8 = 10,0V e = 5,00V. As resistncias so todas de 4,00. (a) Aplique as leis de Kirchhoff (regra dos ns e a regra das malhas) para escrever equaes que permitam calcular as intensidades de corrente nas trs resistncias e (b) calcule essas intensidades.

8

8

8

8

C C8 C

35

Eletromagnetismo campo magntico



Problema 2

Uma partcula de radiao alfa move-se com rapidez 550 m/s numa regio com um campo magntico uniforme de mdulo 0,045 T e que faz com a velocidade um ngulo de 52. Determine (a) o mdulo da fora magntica que o campo exerce sobre a partcula alfa, (b) o mdulo da acelerao e (c) indique se a rapidez da partcula varia. Dados: A = 6,6 10sukg ; o = 3,2 10s8wC.

Problema 21

Determine a frequncia de revoluo de um eletro com energia 100 eV num campo magntico uniforme de 35,0T e o raio da trajetria, assumindo que a sua velocidade perpendicular ao campo magntico. Dados: 1eV = 1,602 10s8wJ ; A = 9,109 10s8kg ; o = 1,602 10s8wC.

Problema 39

Um fio condutor de massa 13,0 g e comprimento L = 62,0 cm est suspenso por contactos flexveis na presena de um campo magntico uniforme de mdulo 0,440 T. Este campo tem direo perpendicular folha, sentido para dentro (c.f. figura). Determine (a) a intensidade de corrente necessria para que o condutor levite e (b) o seu sentido. Levitar quer aqui dizer que a fora de tenso nos contactos nula.

Problema 47

A bobina retangular da figura ao lado tem dimenses 10 cm de altura por 5,0 cm de largura. E composta por 20 espiras e conduz uma corrente de 0,10 A. A bobina est articulada numa dobradia segundo o eixo dos yy, num ngulo de @ = 30 com um campo magntico uniforme de 0,50 T, cuja direo segue o eixo xz. Escreva o vetor momento da fora magntica (torque) que o campo exerce, em relao dobradia.

62 cm

C

N

@ !

36

Eletromagnetismo fontes do campo magntico



Problema 3

Um topgrafo usa uma bssola a 6,1 m abaixo de uma linha eltrica conduzindo 100 A. Qual o campo magntico provocado pela corrente junto bssola? Esse campo afeta a leitura da bssola significativamente? O campo magntico terrestre no local de 20T.

Problema 11

Na figura abaixo uma corrente de 10,0 A circula no circuito em U. Os fios retilneos so longos, o ponto A est localizado no centro da semicircunferncia de raio 5,00 mm e o ponto B a meia distncia entre os fios, bastante afastado da semicircunferncia. Calcule (a) valores aproximados para os mdulos dos campos magnticos nos pontos A e B e (b) o sentido desses campos.

Problema 35 (enunciado ligeiramente diferente do original)

A figura ao lado representa a vista de topo sobre duas correntes paralelas, retilneas e longas. As distncias marcadas so |8 = 2,40cm e | = 5,00cm e as correntes C8 =4,00mA e C = 6,80mA, nos sentidos indicados. (a) Qual a fora magntica por unidade de comprimento entre os condutores? (b) Essa uma fora atrativa ou repulsiva?

Problema 50

Um solenide (ou bobina) de 1,30 m de comprimento e d = 2,60 cm de dimetro conduz uma corrente de 18,0 A. No seu interior o campo magntico de 23,0 mT. Qual o comprimento total do fio enrolado? Dica: calcule primeiro o n. de espiras do solenide.

A B

C

|8

|

C8 C

37

Eletromagnetismo induo eletromagntica



Problema 1

Na figura ao lado uma espira est sob influncia de um campo magntico homogneo e varivel no tempo, que lhe perpendicular e de sentido para fora da folha. O fluxo desse campo atravs da espira dado por x = 6,0 + 7,0, com em segundos e x em miliweber. (a) Qual o mdulo da f.e.m. induzida na espira no instante = 2,0s? (b) o sentido da corrente na resistncia para a direita ou esquerda?

Problema 17 (funcionamento de um gerador eltrico)

Um gerador eltrico contm uma bobina de 100 espiras retangulares de 50,0 cm por 30,0 cm. A bobina submetida a um campo magntico de 3,50 T e posta a girar a 1000 rpm em torno de um eixo perpendicular a esse campo. Qual o valor mximo da f.e.m. induzida? (c.f. figura)

Problema 23

Uma pequena espira circular com 2,00 cm2 de rea concntrica e coplanar com uma espira circular maior, de 1,00 m de raio. A corrente na espira maior varia uniformemente de 200 A para 200 A (i.e. inverte de sentido) num intervalo de 1 s. Determine o mdulo do campo magntico ! no centro da espira menor devido corrente na espira maior em (a) = 0s ; (b) = 0,500s ; (c) = 1,00s. Como a espira menor pequena, pode supor que esse campo magntico no centro dela aproximadamente uniforme. (d) Esse campo troca de sentido no intervalo de 1 s? (e) Determine a f.e.m. induzida na espira menor no instante = 0,500s.

50 cm

! 30 cm

1000 rot/min

100 espiras

R

38

Eletromagnetismo circuitos de corrente alternada



Problema 29

Para que frequncia de corrente alternada aplicada um indutor de 6,0mH e um condensador de 10F tm a mesma reatncia? Calcule essa reatncia e prove que igual frequncia natural de ressonncia de um circuito LC com os valores de L e C indicados.

Problema 39

Um circuito RLC srie tem componentes tais que = 200 ; c = 230mH ; = 70,0F ; = 60,0Hz e Q =36,0V. Calcule (a) a impedncia do circuito, (b) o ngulo de fase entre corrente e tenso e (c) as intensidades de corrente mxima (C) e eficaz (C0). Nota: o livro de texto chama intensidade eficaz C0 de valor quadrtico mdio da corrente e denota-o C1

39

Parte II

Resoluo dos exerccios

40

Mecnica clssica - grandezas e medidas


Resoluo dos exerccios do captulo 1, vol.1

Problema 3

Passando 4,0 furlongs a metros temos 4,0furlong = 4,0 201,168m = 804,672m. Para exprimir esta distncia em varas e cadeias fazemos

1vara = 5,0292m 1m = 15,0292 varas; 1cadeia = 20,117m 1m = 120,117 cadeias o que d ento

4,0furlong = 804,672m = 804,672 15,0292 varas = 160varas 4,0furlong = 804,672m = 804,672 120,117 cadeias = 40cadeias

Apresentmos o resultado com 2 algarismos significativos pois essa a preciso que os dados do enunciado permitem: a quantidade com menor nmero de alg.sig., 4,0 furlongs, tem 2 deles. Ver caixa no final da pgina 4 do livro de texto. Note-se tambm a barra por debaixo do 6 no resultado em varas, indicando que o 6 o ltimo algarismo significativo. Uma alternativa a esta notao passar a notao cientfica, i.e. escrever 1,6 10varas. De notar tambm que, apesar de o resultado final ser apresentado com 2 alg.sig., os clculos intermdios devem ser feitos com pelo menos mais um ou dois alg.sig., de forma a evitar de erros de arredondamento. Neste caso usmos todos os alg.sig. que as converses permitiam.

Problema 5

Basta aplicar as frmulas que nos do o permetro, rea superficial e volume de uma esfera.

= 2 = 2 6370km = 40000km b = 4 = 4 6370km = 5,10 10vkm510milheskm = 43 = 43 6370km = 1,083 108km1,08bilieskm

Note-se que o elevar ao quadrado ou ao cubo afeta a unidade que se est a elevar.

41

Problema 9

Novamente temos aqui de relacionar algumas unidades. Juntando 1m = 10,76ps e 1acre = 43560ps obtemos 1m = 2,47 10sacre. Temos ento, usando tambm a converso de polegadas em ps, uma pluviosidade em acres-p de

2,0" 26km = 2,0 0,08333ps 26 1000m = 0,16666ps 26 10t 2,47 10sacre= 1070,3acres p1100acres p Entre parntesis o resultado com 2 alg.sig.

Problema 10

A velocidade de crescimento , usando 1dia = 24 60 60s = 86400s e passando os metros a mcrons, de , = 3,7m14dias = 3,7 10tm14 86400s = 3,1m/s

Problema 13

Para as semanas o quociente de 8-Wk2=uWk2= = 1,43. A semana decimal francesa pois mais longa que a comum. Para o segundo francs temos de reduzir o quociente unidade comum, o dia:

s1s = 1100min1160min =1100 1100h1160 160 h =

1100 1100 110dias160 160 124 dias = 0,864 Trata-se pois de um segundo ligeiramente mais curto que o usual.

Problema 20

A massa de 27,63 g de ouro corresponde a um volume de = u,t[ = 1,430cm. Se distribuirmos este volume por uma folha de 1 mcron com rea vem

= espessura = 1,430cm1,000 10stm = 1,430 10sm1,000 10stm = 1,430m Se, ao invs, fizermos dele um fio temos, da frmula do volume de um cilindro = ,

= 2,500 10stm = 1,430cm 2,500 10stm = 72830m 73km

42

Problema 21

Passando a densidade a kg/m3 temos

E? = 1,000 gcm = 1,000 11000 kg; 1100m> = 1000kgm

Um metro cbico de gua tem pois 1 tonelada de massa. O que bate certo com a nossa noo intuitiva: uma cuba de gua com 1 m de aresta de facto muito pesada! Quanto ao vazamento temos um caudal mssico, ou razo de vazo, de

= A0=i2W2intervalodetempo = 5700m 1000kgm10,0h = 5700 10kg10,0 60 60s = 158kg/s

Problema 23

A massa da Terra obviamente igual massa mdia de cada tomo vezes o n. de tomos. Invertendo, temos

D7 = . at A . at = D7A = 5,98 10kg40 = 5,98 10kg40 1,6665 10sukg . at 9,00 10w tomos Por curiosidade e para comparao, estima-se que o n. de partculas no universo seja da ordem dos 10v-.

43

Mecnica clssica cinemtica a 1 dimenso



Problema 1

Neste caso, como o movimento no mudou nem de direo nem de sentido, a velocidade mdia e a rapidez mdia tm o mesmo valor numrico. Os tempos para fazer os percursos foram de

8 = 40km30kmh = 1,333h; =40km60 kmh = 0,667h

o que corresponde ento a velocidades e rapidezes mdias de

,Q = UQ = 40 + 40km8 + = 80km2h = 40km/h Notar que usmos 3 e 4 alg.sig. nos clculos intermdios dos tempos. S truncmos a 2 alg.sig. no resultado final.

Problema 4

A rapidez mdia do recordista de 1992 foi, em km/h,

,8 = 200m6,509s = 0,200km6,509s 13600 h = 110,6km/h Em 2001 o novo recordista fez ento os 200 m rapidez mdia de , = 110,6 + 19km/h = 129,6km/h. Isto corresponde a uma marca de

= |, = 200m129,6 kmh =200m129,6 1000m3600s = 5,556s

Problema 15

A velocidade instantnea , por definio, a taxa de variao da posio em relao ao tempo, i.e. a derivada da posio, , = ( . Derivando ento a expresso da posio temos, nas unidades do enunciado,

, = || = 12 + 6 ,1s = 12 + 6 1 = 6m/s S colocmos a unidade no fim porque se subentende que as grandezas esto no sistema SI nos passos intermdios. No entanto, sempre que tal no torne as expresses demasiado confusas, deve-se colocar unidades em todas as grandezas, mesmo nos passos intermdios.

44

Voltando s questes, temos que em = 1s a velocidade negativa, pelo que o movimento tem esse mesmo sentido. A rapidez instantnea, mdulo da velocidade e por conseguinte quantidade sempre positiva, ento de 6 m/s nesse mesmo instante. Olhando expresso da velocidade, ,, vemos tambm que a rapidez est tambm a diminuir em = 1s, continuando essa diminuio de maneira uniforme, at se anular em = 2s, passando depois a aumentar. Finalmente, aps = 3s a velocidade sempre positiva pelo que a partcula no mais se move em sentido negativo.

Problema 26

Num movimento retilneo uniformemente variado a acelerao constante e as expresses para a posio velocidade so

= - + ,- + 12', = ,- + ' No nosso caso temos, no sentido do movimento, ,- = 24,6m/s e ' = 4,92m/s. Note-se o sinal negativo da acelerao: o carro est diminuir de velocidade, logo a acelerao no sentido contrrio ao movimento. Parar significa ter velocidade nula o que, substituindo na expresso da velocidade nos d

0 = 24,6ms ;4,92 ms> = 24,6ms4,92 ms = 5,00s A distncia percorrida durante esse tempo ser ento, substituindo na expresso para a posio,

| = | -| = ;24,6ms > 5,00s 12 ;4,92 ms> 5,00s = 61,5m Esta distncia podia ter sido obtida de outras equaes, como p.ex. a expresso 2-16 do livro de texto, p.25, , =,- + 2' -. Note-se que apenas podemos dizer que| = | -| porque no houve inverso do sentido do movimento. Caso tivesse havido inverso, haveria que separar o movimento em vrias partes, calcular | para cada uma delas no fim e somar todas as distncias parciais.

Problema 29

Na primeira parte do movimento a velocidade dada por

, = ,- + ' , = 0 + ;2,0 ms> A rapidez de 20 m/s atingida ao fim de 10 s. A distncia percorrida de

| = | -| = ,- + 12' U = 0+ 12 ;2,0 ms> 10s = 100m Finda esta parte do movimento, se pusermos o cronmetro a zero temos, para a segunda parte do movimento,

45

, = 20ms ;1,0 ms> e o veculo pra (i.e. atinge , = 0ao fim de 20 s. Note-se novamente o sinal negativo da acelerao, que aparece porque o carro est a diminuir a sua rapidez. A distncia percorrida agora de

| = ;20ms > 20s 12 ;1,0 ms> 20s = 200m No total os dois movimentos duram 30 s e o veculo percorre 300 m.

Problema 46

Escolhamos em primeiro lugar um sentido positivo para o movimento, p.ex. para cima. Com esta escolha, e fazendo = 0m altura do solo, a expresso da posio torna-se = 30,0m ;12,0ms > 12 ;9,8 ms>

Note-se aqui que a pedra atirada para baixo, logo no sentido que arbitrmos negativo para o movimento. O mesmo acontece para a acelerao da gravidade. Note-se tambm que a expresso podia ser escrita de uma forma mais limpa como

= 30,0 12,0 129,8SI No entanto, como j foi dito acima, no se recomenda retirar as unidades das grandezas porque a sua presena ajuda a controlar erros e esquecimentos.

Continuando para as questes temos que a pedra atinge o solo quando = 0. Ora isso acontece no instante 0 = 30,0m ;12,0ms > 12 ;9,8 ms>

Esta uma equao de 2 grau, que se resolve aplicando a frmula resolvente = ss?? . No nosso caso temos ento

= 12,0ms ;12,0ms > 4 ;4,9ms > 30,0m9,8 ms = +1,536s3,985s Recorde-se que uma equao de 2 grau tem duas solues. Neste caso a soluo = 3,985s diz-se no-fsica porque no corresponde ao enunciado do problema, que assume = 0 no momento do lanamento. A soluo = 1,536s a que faz sentido. Para este valor do tempo a velocidade de

, = 12,0ms 9,8 ms 1,536s = 27,06m/s que corresponde a uma rapidez de 27 m/s no momento do embate no solo. Note-se que apesar de a altura do edifcio e a rapidez serem conhecidos com 3 alg.sig., a preciso menor de = 9,8m/s limita-nos a 2 alg.sig.

46

Problema 51

Temos aqui dois movimentos. Um MRU segundo o rio e um MRUV na vertical. As expresses das posies so, respetivamente e fazendo a origem das posies no local de impacto,

= 12m + ,(N = 45m 12 ;9,8 ms> O tempo de queda da chave ento de

0m = 45m 12 ;9,8 ms> = 3,03s Substituindo este valor na expresso para a posio do barco temos

0m = 12m + ,( 3,03s ,( = 3,96ms ;4,0ms > Entre parntesis o resultado com a preciso permitida pelos dados, 2 alg.sig.

47

Mecnica clssica cinemtica a 2 e 3 dimenses



Problema 8

Em primeiro lugar vamos definir um referencial para escrever as expresses. Na direo Este-Oeste colocamos o eixo dos xx, com sentido positivo para Este. Na direo Norte-Sul fica o eixo dos yy, sentido positivo para Norte. Ao lado temos um desenho deste referencial. Em todos os problemas semelhantes iremos assumir que este o referencial que se est a usar.

Para a viagem inteira o deslocamento foi ento de ! = 483km" + 966km$ e o tempo total da viagem foi, em horas, de ;+ 1,5> h = wh = 2,25h. Como o deslocamento desenha um tringulo retngulo no plano xy (experimente fazer o desenho se no estiver convencido ), aplicando o teorema de Pitgoras temos | !| =483 + 966km = 1080km. Aplicando agora trigonometria elementar vemos que a direo do deslocamento faz um ngulo de @ = arctg ;wtt]

48

Quando o carro atinge a posio mxima em y a componente da sua velocidade segundo esse eixo anula-se. Isso acontece para o instante

,+ = 0 0ms = ;12ms > ;2,0 ms> = 6,0s Neste instante a velocidade segundo x de

,( = ;8,0ms > + ;4,0 ms> 6,0s = 32ms A velocidade, em notao vetorial, ento

,!NQ?( = ;32ms > "

Problema 22

No instante do salto o atleta torna-se num projtil lanado rapidez inicial de 9,5 m/s num ngulo de 45. O ngulo assume-se ser 45 porque este o ngulo de alcance mximo (c.f. livro de texto p.73). Num referencial xy com origem no local do salto e sentido positivo dos yy para cima uma partcula pontual desloca-se segundo um MRU no eixo dos xx e MRUV no eixo dos yy. As expresses paramtricas do movimento so ento

= - + ,-(N = N- + ,-+ 12 = ;9,5ms > cos45i N = ;9,5ms > sen45i 12 ;9,8 ms>

O fim do salto d-se quando y = 0 m. Substituindo na expresso dos yy e isolando t, vemos que tal acontece no instante

= ;9,5ms > sen45i12 ;9,8 ms> = 1,371s Nesse instante a posio segundo x , a 2 alg.sig., de

1,371s = ;9,5ms > cos45i 1,371s = 9,21m9,2m Este seria ento o mximo possvel para um atleta que salte vindo de uma rapidez inicial de 9,5 m/s. Este clculo refere-se a uma situao ideal. Na prtica h uma srie de fatores, como o arrasto e o facto de o atleta no poder ser tratado como um corpo pontual, que teriam de ser considerados e que alteram o resultado.

Outra forma de resolver o problema seria aplicar diretamente a frmula que nos d o alcance de um projtil na ausncia de arrasto, = sen2@- (c.f. livro de texto p.73).

49

Problema 24

Sendo a bola pequena podemos trat-la como pontual e temos um movimento de projtil. Num referencial xy de direes e sentidos iguais s do problema anterior e com origem no local onde a bola salta, temos

= - + ,-(N = N- + ,-+ 12 = ,-(N = 12 ;9,8 ms>

A bola chega ao cho quando N = 1,2m. Substituindo esse valor na expresso dos yy vem f0W2 = 1,20m12 ;9,8 ms> = 0,4949s0,495s

Do enunciado sabemos que ao fim deste tempo a bola ter percorrido uma distncia de 1,52 m. Substituindo na expresso dos xx vemos que isso corresponde a uma velocidade inicial segundo x de

= ,-( ,-( = 1,52m0,4949s = 3,071m/s Esta componente da velocidade mantm-se constante porque a bola no acelerada segundo x. Segundo y temos

,+ = ,-+ ,+f0W2 = 0 ;9,8 ms> 0,4949s = 4,85ms No instante de embate a velocidade ento

,!f0W2 = ;3,07ms > "! + ;4,85ms > $! Se quisssemos tambm a rapidez no embate teramos

Uf0W2 = ,!f0W2 = ;3,07ms > + ;4,85ms > = 5,74ms

Problema 31

Para variar um pouco, escolhamos agora para origem do referencial xy um ponto no solo tal que o lanamento se d, nesse referencial, em = 0. As expresses do movimento tornam-se ento

= - + ,-(N = N- + ,-+ 12 = ,- sen53,0i N = 730m ,- cos53,0i 12 ;9,8 ms>

O sinal negativo de ,-+ devido ao facto de o projtil ser lanado com o avio a picar, i.e. a dirigir-se no sentido negativo do eixo dos yy. Ao fim de 5,00 s o projtil chega ao cho, i.e. a y = 0 m. Note-se tambm que neste caso o ngulo em jogo contado a partir da vertical, pelo que h que ter ateno que as componentes da velocidade trocam seno e coseno, por comparao ao caso em que o ngulo medido a partir da horizontal. Substituindo o tempo na expresso dos yy podemos extrair a rapidez de lanamento (quantidade sempre positiva), que

50

0m = 730m ,- cos53,0i 5,00s 12 ;9,8 ms> 5,00s ,- = 201,9ms A velocidade de lanamento ento (ateno novamente ao seno e coseno)

,! = ;201,9ms > sen53,0i " ;201,9ms > cos53,0i $ ,! = ;161ms > " ;121ms > $ (Trs alg.sig. na expresso final.)

O projtil percorre uma distncia horizontal de | = 5,00s = ;161,2 5,00s = 806m durante o voo e, das expresses para as componentes da velocidade, ,( = ,-( e ,+ = ,-+ 9,8m/s, atinge o solo com velocidade

,!5,00s = ,(5,00s" + ,+5,00s$ = ;161,2ms > " + 121,5ms 9,8 ms 5,00s $ ,!= ;161ms > " ;171ms > $ ,-( = 161ms ; ,-+ = 171ms

Problema 60

Trata-se aqui de um corpo em movimento circular uniforme. H apenas que ter em ateno que o raio da rbita no 640 km mais sim (6370 + 640) km, correspondentes ao raio da Terra mais a altitude da rbita. Tendo isto em ateno e passando as unidades ao SI temos, para 1 revoluo completa,

, = distncia = 2a = 2 7,010 10tm98,0 60s = 7491ms ; ' = , = ;7491ms >7,010 10tm = 8,01 ms

Problema 62

A distncia de 1 revoluo simplesmente o permetro do MCU associado, que 2 0,15m = 0,9425m. A frequncia de 1200 rev/min corresponde a 1 revoluo em

a = 60s1200 = 0,050s Por definio, este o perodo do movimento (i.e. tempo que demora a perfazer 1 rev). Substituindo o perodo na expresso (4-35) do livro de texto, a = L , podemos tirar a velocidade linear, que

, = 2a = 2 0,15m0,050s = 18,85ms A acelerao ento de

' = , = ;18,85ms >0,15m = 2370 ms ;2,4 10 ms>

51

Pode-se, naturalmente, obter os mesmos resultados por uma ordem diferente.

52

Mecnica clssica leis de Newton



Problema 3

H vrias maneiras de resolver o problema. Aqui apresentamos uma resoluo baseada na decomposio das foras no referencial xy, que

6!8 = 9,0N "; 6! = 8,0N [cos118i " + sen118i $] Somando as duas foras temos, calculando os valores numricos explicitamente,

6! = 5,244N" + 7,064N$ A magnitude desta fora resultante 6! = 6 = 5,244 + 7,064N = 8,798N. Aplicando a 2 lei de Newton temos ento uma acelerao de mdulo

' = 6A = 8,798N3,0kg = 2,933 ms ;2,9 ms> importante saber distinguir aqui acelerao e fora resultante (quantidades vetoriais) das suas magnitudes (quantidades escalares). Importa tambm referir que a 2 lei de Newton , na sua verso original, uma lei vetorial: 6! = A'!. apenas quando queremos a magnitude da acelerao (ou da fora resultante) que usamos a verso escalar dessa lei, 6 = A'.

Problema 13

O problema muito simples. Estando o salame esttico, a tenso na corda que o sustenta tem de ser igual ao seu peso, que 6 = A = 11kg ;9,8 = 107,8N. Este resultado igual para todos os casos. No caso a) imediato perceber isso. O caso b) igual ao a), sendo que a roldana na ponta da mesa apenas muda a direo da fora de tenso e no o seu mdulo. O caso c) o que poder gerar mais confuso mas, se pensarmos bem, vemos que no caso b) a tenso no ponto de unio com a parede tenta simplesmente puxar esta parede. Ora no caso c) temos exatamente a mesma tenso, s que agora esta no tenta puxar nenhuma parede: apenas redirecionada pela roldana para puxar e sustentar um segundo salame!

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Problema 19

Faamos o diagrama de corpo livre para o bloco, tratando este como pontual um corpo pontual e escolhendo um referencial ortonormado conveniente para a resoluo do resto do problema.

O referencial mostrado o mais indicado para obter uma decomposio simples das trs foras indicadas. Qualquer outro referencial serviria, mas neste duas das foras s tm uma componente, o que nos simplifica a tarefa.

Estando o bloco em repouso a acelerao nula e a 1 lei de Newton d-nos, decompondo-a nas suas duas componentes e aplicando trigonometria,

6! = 0 6( = 06+ = 0 67 6 sen30 = 06 6 cos 30 = 0 Substituindo valores do enunciado temos

67 8,5kg ;9,8 ms> 12 = 06 8,5kg ;9,8 ms> 32 = 0

67 = 41,65N42N6 = 72,12N72N Se a corda for cortada desaparece a fora de tenso. O movimento d-se obviamente ao longo do plano

inclinado (se no se desse o bloco estaria a levantar voo ou a enterrar-se no plano!) e temos, novamente da 2 lei de Newton,

6! = A'! 6( = A'(6+ = 0 6 sen30 = 8,5kg '( '( = 4,9m/s Lembremo-nos que '( a componente da acelerao segundo o eixo dos xx. Uma componente pode ter valor negativo ( o caso aqui) e fisicamente isso quer apenas dizer que a acelerao se d no sentido negativo desse eixo.

Problema 41

No elevador atuam duas foras: peso e tenso. Escolhemos o sentido positivo do movimento como para cima. A massa do elevador A = = 2837kg e, aplicando a 2 lei de Newton temos, para o caso da subida,

6! = A'! 67 6 = A' 67 27800N = 2837kg ;1,22 ms> 67 = 31,26kN31kN No caso da descida a nica coisa que muda o sentido da acelerao, que agora negativo porque o elevador diminui de velocidade. Temos ento

67 6 = A' 67 27800N = 2837kg ;1,22 ms> 67 = 24,34kN24kN

x

y 6!

6!

6!7

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Problema 51

Fazendo o diagrama de corpo livre para os trs blocos temos (as magnitudes das foras no esto escala)

A acelerao dos trs corpos , devido s cordas que as ligam, a mesma. Chamemos-lhe '. Aplicando a 2 lei de Newton aos trs corpos obtemos, no referencial indicado e da esquerda para a direita,

67 = 12kg '67 + 67 = 24kg '67 + 678 = 31kg ' Substituindo 678 = 65N e somando as trs equaes obtemos 65N = 67kg ' ' = 0,97m/s. Substituindo este valor na 1 e 3 equaes obtemos 67 = 11,64N e 67 = 65N 31kg ;0,97 = 34,93N. preciso de 2 alg.sig. vem 67 = 12N e 67 = 35N.

Note-se que as duas foras indicadas como 67, apesar de terem a mesma magnitude e direo e sentidos opostos, no so pares ao-reao. O par da fora 67 esquerda est na extremidade esquerda da corda. Mesma coisa para 67 direita: o seu par est na extremidade direita da corda. Na verdade, se considerssemos a massa da corda nos clculos, veramos que 67 direita seria ligeiramente maior que 67 esquerda. Iguais consideraes se podem pr para as foras 67.

x 678

67

67

67

67

55

Mecnica clssica aplicaes das leis de Newton



Problema 7

Como o bloco desliza na horizontal, a fora normal ter de compensar o peso do bloco e a componente vertical da fora aplicada. Ou seja, a normal de

6 = 6 + 6+ 6 = A+ 15N sin 40 = 43,94N44N Sabendo a magnitude da fora normal podemos calcular a magnitude da fora de atrito cintico, que ento

= 6 = 10,99N Por ser uma fora de atrito esta fora aponta no sentido contrrio ao movimento. Assim, a magnitude da acelerao , da 2 lei de Newton e com x positivo para a direita,

6( = A'( 15N cos 40 10,99N = 3,5kg '( '( = 0,143 ms ;0,14 ms>

Problema 13

O problema semelhante ao acima, s que agora a fora no empurra para baixo mas puxa para cima. Desenhemos ao lado as quatro foras que atuam no caixote, considerando este como um corpo pontual.

Para que o caixote se mova preciso vencer a fora de atrito esttico, . Na iminncia de movimento esta fora tem a sua magnitude mxima, Q?( = 6. Decompondo as foras num referencial xy usual e aplicando a 1 lei de Newton com ' = 0 temos

6! = 0 + 6( = 06 + 6+ 6 = 0 Substituindo valores do enunciado obtemos um sistema de duas equaes com duas incgnitas:

0,50 6 + 6 cos 15 = 06 + 6 sen 15 68kg ;9,8 ms> = 0 0,50 6 + 6 0,966 = 06 + 6 0,259 666,4N = 0 Para encontrar 6 necessitamos apenas de multiplicar a equao de cima por 2 e som-la de baixo. Obtemos com isto

26 0,966 + 6 0,259 = 666,4N 6 = 304,2N300N Esta ento a menor fora para a qual o caixote se comea a mover. Note-se que no precismos de calcular nem 6 nem explicitamente.

6! ! 6!

6!

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A partir do instante em que o movimento se inicia, a fora de atrito passa de esttica () a cintica (). No nosso caso isso significa que o coeficiente de atrito baixa de 0,50 para 0,35 e passamos a ter movimento segundo o eixo dos xx. Aplicando de novo a 2 lei de Newton temos

6! = A'! + 6( = A'(6 + 6+ 6 = 0 0,35 6 + 293,8N = 68kg '(6 + 78,73N 666,4N = 0 Voltamos a precisar s de uma das incgnitas, '(. Para a encontrar basta multiplicar a equao de baixo por 0,35 e som-la de cima. O resultado

293,8N + 0,35 78,73 666,4N = 68kg '( '( = 1,296 ms ;1,3 ms>

Problema 23

Para a situao ser esttica, no ponto de confluncia das trs cordas as tenses tm de se anular. fcil de ver que decompondo esta condio num referencial xy usual se obtm

67x + 67( = 067y + 67+ = 0 onde designmos por 67y, 67x e 67 respetivamente as magnitudes das tenses nas cordas ligadas aos blocos A e B e na corda oblqua.

Agora, se o bloco B repousa horizontalmente a sua normal igual ao peso. Do enunciado e da definio de fora de atrito esttico mxima temos Q?( = 0,25 711N = 177,8N. Esta a fora mxima que o atrito consegue fornecer para compensar a trao provocada pela tenso 67x. Por outras palavras, podemos considerar que 67x = Q?( = 177,8N. Com isto temos

177,8N + 67 32 = 067y + 67 12 = 0

177,8N + 67 32 = 067y + 67 12 = 0

67y = 102,7N Para o bloco A estar em repouso esta tenso tem de compensar exatamente o peso. Conclui-se portanto que o peso mximo do bloco A para que o bloco B no deslize de 102,7 N (100 N), o que corresponde a uma massa de cerca de 10 kg.

Problema 41

Para o ciclista dar a curva sem derrapar a fora de atrito esttico ter de ser capaz de provocar a acelerao centrpeta

necessria a um MCU com o raio pretendido. Juntando a magnitude da acelerao normal do ciclista, ' = , com a fora de atrito esttico mxima, Q?( = 6, na expresso da 2 lei de Newton temos

6 = A' Q?( = A, A = A, = , = ;29kmh >0,32 ;9,8 ms> =

;29 1000m3600s >3,136 ms = 20,69m21m

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Este o raio de curvatura mnimo. Se a curva for mais apertada, o ciclista entrar em derrapagem. Se for maior, a fora de atrito no estar a atuar ao seu valor mximo, mas sim a um valor inferior.

58

Mecnica clssica trabalho e energia



Problema 5

Esta questo pode parecer complicada de incio, mas basta equacion-la para a tornar simples de resolver. Transformemos pois as situaes inicial e final descritas no enunciado em quantidades fsicas. Indicaremos o pai pelo ndice maisculo P e o filho por F. (Note-se tambm que o livro usa para energia cintica um anglicanismo.)

= 12 = 12A, = 12 12A, 12A, = 12A,

12A, = 12 12 12A , 12A, + 1,0 = 12 12A , , = 14,, + 1,0 = 12,

(Unidades SI.) Desenvolvendo o caso notvel e resolvendo o sistema temos

, = 14,, + 2, + 1,0 = 12, 2 , = 2 14 , , + 2, + 1,0 = 0

Onde multiplicmos a equao de cima por -2 e sommo-la de baixo. Aplicando agora a frmula resolvente =ss?? vem , = 2 2 4 1 1,02 = 1 2ms

A soluo com sinal negativo no-fsica1 e temos por fim, isolando , da equao de cima, , = 4, = +2, = 4,828ms ;4,8ms >, = 2,414ms ;2,4ms >

Novamente a soluo negativa para , no-fsica. Note-se que o resultado final no depende das massas do pai e filho.

Problema 7

Se aqui tentssemos usar = 6! ! teramos um problema porque no sabemos nem a direo da fora nem o mdulo do deslocamento. A nica maneira ento usar um dos teoremas de trabalho-energia, nomeadamente T =. Vem ento

= = 12A, 12A, = 12 2,0kg ;6,0ms > ;4,0ms > = 20J 1 Tecnicamente corresponde a uma ambiguidade na escolha do sentido do aumento da rapidez do pai.

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Assumimos aqui que a fora indicada era a nica a agir no corpo. Necessrio, dado que de outra forma no podamos resolver a questo. Note-se que a direo/sentido das velocidades no entrou no clculo.

Problema 13

O trabalho total a soma dos trabalhos individuais de cada fora, os quais podem ser calculados da definio =6! !. Assumindo esquerda como o sentido negativo dos xx temos que ! = 3,00m". Vem pois = 6!8 ! = 6!8| !| cos 6!8, ! = 5,00N 3,00m +1 = 15,0J = 6! ! = 6!| !| cos 6!, ! = 9,00N 3,00m cos120 = 13,5J = 6! ! = 6!| !| cos 6!, ! = 3,00N 3,00m cos90 = 0,00J

importante perceber a provenincia de todos os sinais e quantidades acima indicadas. Em particular de notar que no caso da fora 6 o coseno 120 e no 60 porque o deslocamento no sentido horizontal negativo, oposto componente horizontal desta fora. Seria 60 se o deslocamento e componente horizontal apontassem no mesmo sentido.

Somando os trs trabalhos temos T = 15,0 13,5 + 0J = 1,50J. Sendo este trabalho positivo e no atuando mais nenhuma fora no corpo temos, pelo teorema de trabalho-energia, T = > 0 logo a energia cintica do ba aumenta neste deslocamento.

Problema 20

Novamente basta calcular o trabalho de cada uma das foras individualmente. Notando que o deslocamento faz 30 com a fora horizontal e 120 com o peso (marque o peso no desenho e verifique, se no estiver convencido) temos

= 6!? ! = 6!?| !| cos 6!? , ! = 20,0N 0,500m cos30,0 = 8,66J = 6! ! = 6!| !| cos 6! , ! = ;3,00kg 9,8 ms> 0,500m cos120 = 7,35J = 0

O trabalho do peso podia tambm ter sido calculado pelo 2 teorema de trabalho-energia, z = . Mas este teorema s ser abordado no captulo 8, pelo que adiaremos a sua aplicao at l.

O trabalho total ento T = 8,66 7,35J = 1,31J. Esta , por T = , a variao de energia cintica do livro, o qual termina com 1,31 J de energia a subida. Isto corresponde a uma rapidez de , = Q =0,935

60

Problema 26

Basta aplicar a expresso que nos d o trabalho de uma fora elstica (c.f. livro de texto p.163):

= 12 = 12 100 Nm 5,00m = 1250J

Problema 47

Sobre o elevador atuam duas foras: o peso da sua massa e carga e a tenso no cabo de trao. Parte da tenso causada pelo contrapeso, pelo que o motor s tem de produzir o que resta para fazer subir a carga. O trabalho do peso em 54 m de deslocamento

= ;1200kg 9,8 ms> 54m 1 = 635kJ O sinal negativo aparece porque o peso atua no sentido contrrio ao deslocamento. O trabalho do contrapeso pode ser calculado de forma semelhante:

= ;950kg 9,8 ms> 54m +1 = 503kJ O motor ter ento de juntar ao trabalho do contrapeso um trabalho tal que o total seja pelo menos nulo, i.e.

T = + +QT = 0 QT = 635 503kJ = 132kJ Se o motor fizer mais do que este trabalho teremos T > 0 e o elevador ganhar energia cintica durante a subida i.e. acelerar.

Como QT tem de ser realizado em 3 mins a potncia mdia do motor ter de ser no mnimo de Q = QT Q = 132kJ3,0 60s = 733,3W730W

Esta potncia aproximadamente um cavalo-vapor (1 cv = 736 W). Um aquecedor eltrico tem normalmente potncias desta ordem.

61

Mecnica clssica energia potencial



Problema 2

A partir do fim do empurro s a fora gravitacional realiza trabalho. Sendo esta uma fora conservativa, podemos resolver o problema aplicando o 2 teorema de trabalho-energia, z = . Definindo o zero do potencial gravitacional massa-Terra no ponto B (i.e. fazendo x = 0m), temos ento

zyx = yx zyx = Ax Ay = I0,341kg ;9,8 ms> 0 0,452m = 1,51J zyz = yz zyz = Az Ay = 0J zy = y zy = Ax A = I0,341kg ;9,8 ms> 0,904m 0,452m = 1,51J

(Note-se que o livro de texto usa o smbolo para energia potencial.) O valor da energia potencial nos pontos B, C e D , da definio de energia potencial gravtica e origem que

arbitrmos,

= Ax = 0J; = Az = 1,51J; = A = 3,02J Finalmente, se o empurro inicial fosse maior nada do escrito acima mudaria. A energia potencial no

depende da velocidade; apenas da altura. O estudante convidado a repetir o problema definindo um novo zero para o potencial, p.ex. y = 0m.

Problema 9

No havendo atrito h conservao de energia mecnica. Fazendo o zero do potencial gravtico camio-Terra na base da rampa temos, notando tambm que 130 ] ihi ihi = 66,53m Esta altura corresponde a um comprimento ao longo da rampa de

= sen15 = 257m260m Note-se que nenhum dos clculos no depende da massa do camio, pelo que o resultado seria o mesmo se a esta fosse maior ou menor. J a rapidez do camio na chegada base influencia o comprimento mnimo para parar. Quanto mais rpido o camio vier, mais longa ter de ser a rampa.

Na prtica as rampas de emergncia so bem mais pequenas do que isto porque o seu piso de areia grossa, o que causa bastante atrito entre os veculos e o piso.

62

Problema 33

Das trs foras atuantes, uma (normal) no realiza trabalho e as outras duas (peso, fora elstica) so conservativas. Assim sendo, a energia mecnica do sistema lata-mola-Terra conserva-se e basta-nos recorrer a esse facto para resolver o problema. Designemos por A, B e C respetivamente os pontos de compresso mxima da mola, de relaxao da mola e solo. Fazendo a origem do potencial gravitacional no solo temos, nos pontos A e B,

Qy = Qx y + y + .?y = x + x + .?x 12A,y +Ay + 12y = 12A,x +Ax + 12x onde o elongamento da mola ( = 0m no ponto de relaxao). Simplificando e substituindo os valores do enunciado temos a rapidez no ponto B:

0 +Ay + 12y = 12A,x +Ax + 0 ,x = 2y x + yA ,x= 2 ;9,8 ms> [1,20m 1,00m sin 37,0] + ;170

Nm> 0,200m2kg = 2,40ms Note-se que se a constante da mola fosse muito grande a parcela 2y x da soma seria desprezvel e teramos ,x Q. Esta uma aproximao que aparece por vezes em problemas prticos. No ponto C deixamos de ter fora elstica e a rapidez da lata

Qz = Qx z + z = x + x 12A,z + 0 = 12A,x +Ax ,z = ,x + 2x ,z= ;2,40ms > + 2 ;9,8 ms> [1,00m sin 37] = 4,19ms

Problema 53

No trajeto entre A e B apenas o peso realiza trabalho, pelo que podemos aplicar a conservao de energia mecnica para calcular a rapidez a que o bloco chega a B. Fazendo a origem do potencial gravitacional no ponto A temos

Qy = Qx y + y = x + x 12A,y + 0 = 12A,x +Ax ,x = ,y 2x ,x= ;6,0ms > 2 ;9,8 ms> 1,1m = 3,8ms

Agora, na parte entre B e C h atrito e esta fora realiza trabalho no-conservativo. No podemos aplicar a conservao de energia mecnica mas podemos aplicar o 3 teorema de trabalho-energia, z = Q. Vem ento, calculando o trabalho da fora de atrito explicitamente,

63

z = Q = Qz Qx ! | !| cos , = 0 12A,x A | 1 = 12A,x |= ,x2 | = ;3,8

ms >2 0,60 ;9,8 ms> = 1,228m1,2m No precismos de incluir a fora gravitacional neste ltimo clculo porque esta no realiza trabalho no deslocamento entre B e C.

Problema 56

Novamente podemos usar aqui o 3 teorema de trabalho-energia, z = Q. Designemos por A o ponto onde comea a subida e B o ponto de paragem. Definindo o zero do potencial gravitacional no ponto A e aplicando o 3 teorema entre A e B temos, juntando trigonometria,

z = Q = Qx Qy ! | !| cos , = x + x zy + x 6 | 1= 0 +Ax zy Acos 30 | = A| sen 30zy |= zyAsen 30 + cos 30 Substituindo valores do enunciado vem

| = 128J4,0kg ;9,8 ms> 12 + 0,3032 = 4,297m4,3m

64

Mecnica clssica impulso e momento linear



Problema 2

O centro de massa de um sistema de partculas pontual dado por (D a massa total) !z = 1DA !

que, decomposto em componentes x e y, leva a

(z = 1DA ; +z = 1DAN Olhando posio das vrias massas na figura temos, a 2 alg.sig.,

(z = 13,0 + 4,0 + 8,0kg [3,0kg 0m + 4,0kg 2m + 8,0kg 1m] = 1,1m +z = 13,0 + 4,0 + 8,0kg [3,0kg 0m + 4,0kg 1m + 8,0kg 2m] = 1,3m

Se A aumentar o centro de massa tender a deslocar-se na sua direo, em ambos os eixos. Basta substituir p.ex. A = 20kg nas expresses para verificar isso. No limite em que A extremamente massivo, o centro de massa praticamente coincide com a posio dessa massa.

Problema 15

Na exploso apenas atuam foras internas. Assim, o momento linear2 total do projtil mantm-se, ainda que este se divida em duas partes. Imediatamente antes da exploso o projtil tinha velocidade segundo x de

,( = ,-( = ;20ms > cos60 = 10ms Imediatamente aps a exploso, atendendo conservao do momento linear, a que os dois fragmentos tm a mesma massa e que um deles fica com velocidade nula (tanto em x como em y), temos

! = 0 ! = ! A,(2m0= = A2 ,8(W0hik= +A2 ,(W0hik= 10ms = 12 ;0ms > + 12,(W0hik= ,(W0hik= = 20ms Para o eixo dos yy a velocidade nula para ambos os fragmentos, novamente pela conservao de momento linear. No que se segue vamos precisar do instante da exploso, i.e. em que ,+ se anula, que

,+ = ,-+ 0m = ;20ms > sen60 ;9,8 ms> = 1,77s 2 A quantidade momento linear por vezes tambm designada de quantidade de movimento.

65

Fazendo a origem do referencial no local de tiro, a exploso acontece a uma altitude e posio horizontal de respetivamente

NQ?( = ,-+ 12 NQ?( = ;20ms > sen60 1,77s ;4,9 ms> 1,77s = 15,3m = - + ,-( = 0m + ;20ms > cos60 1,77s = 17,7m

Aps a exploso o fragmento 2 entra em movimento de projtil, com posies segundo x e y dadas por, do exposto acima e reajustando o tempo para = 0s no momento da exploso,

= - + ,-(N = N- + ,-+ 12 = 17,7m + ;20ms > N = 15,3m 12 ;9,8 ms>

O tempo de queda do fragmento 2 ento

0m = 15,3m 12 ;9,8 ms> = 15,3m4,9 ms = 1,77s E o fragmento estar em

= 17,7m + ;20ms > 1,77s = 53,1m53m Um alcance maior do que se no tivesse havido exploso. Nesse caso o projtil teria alcanado apenas 35,4 m.

Problema 18

Escolhendo o sentido do movimento antes do choque como positivo, o momento linear inicial da bola

! = A,! ! = 0,70kg ;5,0ms > " = 3,5 kg.ms " Aps o ricochete o momento linear

! = A,! ! = 0,70kg ;2,0ms > " = 1,4 kg.ms " A variao de momento pois

! = ! ! ! = 1,4 kg.ms " 3,5 kg.ms " = 4,9 kg.ms " E o mdulo da variao ento 4,9 kg.m/s.

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Problema 23

Para encontrar a velocidade final da bola basta aplicar o teorema do momento-impulso (livro de texto, p.228) C! = !.3 Dos valores e sentidos indicados no enunciado temos ento

C! = ! 32, 4N. s" = 0,40kg ,! 0,40kg ;14ms > " ,! = 67ms " Velocidade final de mdulo 67 m/s, sentido negativo dos xx.

A intensidade (ou mdulo ou magnitude) mdia da fora pode ser calculada da expresso 9-35 da p.228 do livro de texto:

C = 6Q 6Q = 32,4N. s0,027s = 1200N Esta fora atua no mesmo sentido do impulso, sentido negativo dos xx.

Problema 42

Novamente, como na exploso apenas atuam foras internas, basta-nos aplicar a conservao do momento linear. Identificando norte com +y e este com +x e notando que 30 norte do leste significa 30 com o eixo horizontal positivo dos xx temos

! = 0 ! = ! 2,0kg ;3,0ms > $ + 2,0kg I;5,0ms > cos30" + ;5,0ms > sen30$ = 4,0kg ,! ,! = ;2,17ms > " + ;2,75ms > $ A rapidez (i.e. mdulo da velocidade instantnea) ento de , = ,! = ;2,17 + ;2,75 = 3,5 Em km/h so cerca de 1100 km/h.

3 O livro de texto usa a letra J para impulso, i.e. escreve ! e no C!.

67

Problema 61

Na coliso o momento linear conserva-se. Sendo a coliso elstica, tambm a energia cintica se conserva e podemos construir um sistema de duas equaes e duas incgnitas. Segundo a direo do movimento temos ento

= 0 = 0 A8,8 = A8,8 +A,12A8,8 = 12A8,8 + 12A, 0,34kg ;1,2ms > = 0,34kg ;0,66ms > + A,12 0,34kg ;1,2ms > = 12 0,34kg ;0,66ms > + +12A,

0,408 kg.ms = 0,2244 kg.ms +A,0,245J = 0,074J + 12A, A, = 0,184 kg.ms A, = 0,342J

Substituindo a 1 equao na 2 temos

A, = 0,184 kg.ms A, , = 0,342J 0,184 kg.ms , = 0,342J

, = 0,342J0,184 kg.ms = 1,86ms

Substituindo este valor de volta na 1 equao obtemos finalmente todas as quantidades pedidas:

A ;1,86ms > = 0,184 kg.ms , = 1,86ms A = 0,099kg0,10kg, = 1,86ms ;1,9ms >

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Mecnica clssica momento de foras e rotao



Problema 1

Passando os comprimentos s unidades SI temos

, = 85mi1h = 85 1610m3600s = 38ms ; ii = , = 60ps38ms = 60 0,3048m38ms = 0,481s

Durante este tempo a bola realiza ento

@ = S = 1800 rotm 0,481s = 1800rot60s 0,481s = 14,44rot14rot

Problema 10

Trata-se de um problema elementar de movimento circular uniformemente variado (MCUV). As expresses da posio, velocidade e acelerao angular vm descritas na tabela 10-1 do livro de texto, p.266, e so semelhantes s do MRUV:

@ = @- +S- + 12S = S- + = Passando 2 expresso a minutos tiramos a acelerao angular pretendida:

3000rpm = 1200rpm + 12s = 1800rpm0,2min = 9000rot/min Da 1 expresso obtemos as rotaes executadas, que so, nas unidades 1 rotao e minuto,

@ = 1200rpm 0,2min + 12 9000 rotmin 0,2min = 420rot

Problema 23

A nave est em movimento circular uniforme (MCU). Em unidades SI temos

= 3220km = 3,22 10tm; , = 29000km1h = 29000 1000m3600s = 8056ms A velocidade angular e acelerao radial so ento

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, = S S = , = 8056ms3,22 10tm = 2,5 10s rads ; ' = , = ;8056ms >3,22 10tm = 20,2 ms

A acelerao tangencial nula porque num MCU o mdulo da velocidade no se altera; apenas a direo da mesma.

Problema 33

Aplicando 1i = 8 CS e passando ao SI de unidades (1 rot = 2pi rad) temos simplesmente 24400J = 12 C 602 260s C = 12,3kg.m

Problema 36

Calculemos o momento de inrcia nos trs casos, pela definio C = A . Recordemos que para efeitos desta definio ! o raio-vetor de desde o eixo de rotao at partcula i. Temos ento

C8 = A = 10,0g 2,00cm + 10,0g 4,00cm + 10,0g 6,00cm8,, = 560g. cm C = A = 10,0g 4,00cm + 10,0g 6,00cm, = 520g. cm C8 = A = 10,0g 2,00cm + 10,0g 4,00cm8, = 200g. cm

A retirada das partculas 1 e 3 implica diminuies para 520/560 = 93%e 200/560 = 36% do momento de inrcia inicial, respetivamente. Isto corresponde a perdas de 7% e 64%.

De notar que o efeito muito maior quando se retira a massa mais distante do eixo, apesar de esta ter a mesma massa de qualquer outra das partculas. a sua posio em relao ao eixo que faz a diferena.

Problema 49

Um problema de simples aplicao de frmulas. A acelerao angular mdia ento

Q = S = 6,20 0 rads0,220s = 28,2 rads e o momento de foras , em mdia, de

Q = CQ Q = 12,0kg.m 28,2 rads = 338N.m

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Problema 59

O momento de inrcia de um aro massivo girando sobre um eixo central e perpendicular ao seu plano (tabela 10-2, p.272) C = D. No nosso caso temos C = 32,0kg 1,20m = 46,1kg.m. A energia cintica de rotao deste aro ento

1i = 12 CS 1i = 12 46,1kg.m 280 260s = 19,8kJ O trabalho da travagem ter ento de eliminar 19,8 kJ de energia cintica em 15,0 s, o que corresponde a uma potncia de

Q = = 19,8kJ15,0s = 1,32kW

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Mecnica de fluidos hidrosttica e hidrodinmica



Problema 3

A diferena de presso entre o exterior e o interior , passando a unidades SI (1 atm = 101 kPa),

km 0 = 1atm 0,96atm = 0,04 101000Pa = 4040Pa Aplicando a definio de presso obtemos a resultante das foras de presso, cujo mdulo ento

= 6 6 = = 4040Pa 3,4m 2,1m = 28,8kN

Problema 11

O problema em tudo semelhante ao anterior, tendo-se apenas que efetuar o clculo extra da presso da gua a 100 m, que 4

8--< = - + E = - + 1024 kgm ;9,8 ms> 100m = - + 1004MPa (Note-se que a gua salgada tem densidade ligeiramente superior gua pura.) Do lado de dentro do submarino a presso , do enunciado, -. A diferena de presses ento de 1004 MPa e a fora necessria para abrir a escotilha 6 = = 1,004 10tPa 1,2m 0,60m = 723kN720kN uma fora demasiado grande para ser produzida por um humano (cerca de 74 toneladas-fora). Normalmente o submarino tem um sistema de alavancas ou explosivos para conseguir abrir a escotilha.

Problema 28

Aplicando o princpio de Pascal tem-se, associando a 1 e 2 as quantidades nos mbolos pequeno e grande respetivamente,

688 = 6 68 = 8 6 68 = ;|82 > ;|82 > 6 =

|8| 6 68 = 3,80cm53,0cm 20000N = 103N Note-se que as unidades da rea cancelam, no sendo por isso necessrio convert-las ao SI. Cerca de 10,5 kgf so assim suficientes para levantar mais de 2 ton-f! precisamente com sistemas de hidrulicos, baseados no princpio de Pascal, que funciona toda a maquinaria de trabalho pesado.

4 A presso atmosfrica normalmente designada por - ou 2

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Problema 31

Se a ncora aparenta ser 200 N mais leve dentro de gua porque esse o valor da fora de impulso5 que recebe da gua. Pelo princpio de Arquimedes esse valor igual ao peso de gua deslocada pela ncora e temos

6 = E 200N = 1000 kgm ;9,8 ms> = 2,04 10sm Ora como a ncora desloca um volume de gua igual ao seu prprio volume, esta tem ento 2,04 dm3 de volume.

Sabendo o volume da ncora podemos calcular o peso desta quando tirada da gua. A ncora pesar ento

6 = A = E0. 6 = 7870 kgm 2,04 10sm ;9,8 ms> = 1,57kN1,6kN

Problema 49

Para resolver este problema basta aplicar a equao de continuidade, vulgo conservao do caudal, 6. O caudal na mangueira de

= , = |2 , = 0,019m2 ;0,91ms > = 2,58 10sms sada do borrifador temos, da equao de continuidade, o mesmo caudal. Para os 24 furos vem ento

= 24 0,0013m2 ,f1i= 2,58 10sms = 3,19 10sum ,f1i= ,f1i= = 8,1ms

Problema 57

Assumimos que o escoamento ideal. Como tal, as equaes de continuidade e de Bernoulli so vlidas. Aplicando a primeira aos pontos 1 e 2 do desenho do enunciado temos

8 = 8,8 = , |82 ,8 = |2 , , = |8| ,8 , = 2,5cm1,2cm ;0,90ms >= 3,91m/s Fazendo a origem do potencial gravitacional ao nvel do ponto 1 e aplicando agora a equao de Bernoulli nos

mesmos pontos vem

8 + 12E,8 + E8 = + 12E, + E 170000Pa + 12 1000 kgm ;0,9ms > + 0= + 121000 kgm ;3,91ms > + 1000 kgm ;9,8 ms> 7,6m = 88,3kPa88kPa 5 O livro de texto chama impulso fora de empuxo.

6 Outro smbolo usual para o caudal, ou razo de vazo, ~.

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No partida claro se esta presso absoluta ou manomtrica (i.e. relativa). No entanto, dado que inferior presso atmosfrica (101 kPa), se se tratasse de uma presso absoluta no haveria sequer escoamento. Conclumos pois, por excluso de partes, que se trata de uma presso relativa.

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Mecnica ondulatria movimento harmnico simples



Problema 7

Este um problema elementar de movimento harmnico simples (MHS), destinado a familiarizar o estudante com os conceitos em jogo neste tipo de movimento.

O perodo o tempo que leva ao sistema realizar um ciclo completo de movimento. Este tira-se diretamente do enunciado: a = 0,500s.

A frequncia o inverso do perodo e conta o n. de ciclos/s: = 87 = 2,00Hz (ou, equivalentemente, 2,00ss8). A frequncia angular , por definio, S = 2 = L7 = 4Hz = 12,6Hz. A constante elstica de um sistema massa-mola que oscila em MHS relaciona-se com a frequncia angular e a

massa por S = Q = AS = 0,500kg 4Hz = 8 < = 79,0

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= cosS + X, = || = S senS + X' = |,| = S cosS + X

= 6,0m cos I3Hz + 3, = ;18ms > sen I3Hz + 3' = ;54 ms> cos I3Hz + 3

No instante indicado temos ento, a 2 alg.sig., (note-se que = 2 no tem alg.sig. associados porque no uma medio mas sim um valor escolhido)

2s = 6,0m cos I3Hz 2s + 3,2s = ;18ms > sen I3Hz 2s + 3'2s = ;54 ms> cos I3Hz 2s + 3

2s = 6,0m cos I6 + 3,2s = ;18ms > sen I6 + 3'2s = ;54ms> cos I6 + 3

2s = 6,0m 12,2s = ;18ms > 32'2s = ;54ms> 12

2s = 3,0m,2s = 49ms'2s = 270 ms

A fase do movimento simplesmente o argumento do fator oscilante, i.e. ;6 + L> rad 20rad, que equivalente a L 1,05rad pela periodicidade do coseno. Do fator oscilante tiramos tambm que S = 3Hz, o que nos d uma frequncia e um perodo de = L =1,5Hz e a = 8 = 0,67s respetivamente.

Problema 28

A energia mecnica de um sistema massa-mola em MHS tem duas parcelas: uma parte cintica e uma potencial: Q = + 0j2= = 8A, + 8 . Como a fora elstica uma fora conservativa, a energia mecnica conserva-se, o que para o nosso sistema significa 1,00J = 8A, + 8 .

Substituindo na ltima expresso o ponto de elongamento nulo, = 0m, e notando que este ponto corresponde rapidez mxima do bloco, obtemos a massa deste:

1,00J = 12A,Q?( + 0 A = 2 1,00J,Q?( A = 2,00J;1,20ms > = 1,39kg Substituindo agora o ponto de velocidade nula, que corresponde ao elongamento mximo, , obtemos a

constante elstica:

1,00J = 0 + 12 A = 2 1,00J0,100m = 200N/m

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Finalmente, o perodo pode ser obtido de = L = 8LQ. Substituindo valores temos = 1,91Hz.8

8 Nota: ngulos so grandezas sem dimenso. Unidades de grandezas deste tipo no necessitam de ser includas nas expresses.

Isto acontece p.ex. com a frequncia angular e, como veremos mais abaixo, tambm com o n. de onda.

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Mecnica ondulatria ondas sinusoidais



Problema 1

O n. de onda relaciona-se com o comprimento de onda pela expresso = L . No nosso caso temos ento = 21,80m = 3,49rad/m

J a velocidade de propagao , (no confundir com velocidade transversal, dita ou ,) dada por , = que, no caso em mos, resulta e

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