Cálculo 3-A (Teorema de Green)

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Fundacao Centro de Ciencias e Educacao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educacao Superior a Distancia do Estado do Rio de Janeiro

Clculo IV EP10 aAula 17 Teorema de GreenObjetivo Estudar um teorema que estabelece uma ligao importante entre integrais de linha e integrais ca duplas.

O Teorema de Green Teorema: Seja D uma regio fechada e limitada de R2 , cuja fronteira D formada por um a e 1 nmero nito de curvas simples, fechadas e C por partes, duas a duas disjuntas, orientadas u no sentido que deixa D ` esquerda das curvas, (isto , D est orientada positivamente). Seja a e a 1 F = P (x, y) i + Q(x, y) j um campo vetorial de classe C em um conjunto aberto U com D U . Ento a F dr =D+ D+

P dx + Q dy =D

Q x

P y

dxdy

C1 C2

DC3

C4

No caso, D = C1 C2 C3 C4 e F dr =D++ C1

F dr + C2

F dr + C3

F dr + C4

F dr .

OBS.: Geralmente, usamos o Teorema de Green, quando dif de ser calculada diretamente. e cilC+

F dr

Calculo IV

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Exemplo 1 Seja F (x, y) = (2x+y) i +(3y +4x) j . Vamos calcular as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, para D a regio triangular de vrtices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). a e yB = (0, 1)

DO

x+y =1 A = (1, 0)

x

Temos D = OA AB BO. F drOA

Clculo de a

Temos OA : y = 0, 0 x 1, donde dy = 0. Ento a F dr =OA OA 1

P (x, 0) dx =0

2x dx = x2

1 0

= 1.

Clculo de aAB

F dr

Temos AB : x = 1 y, 0 y 1, donde dx = dy. Ento a F dr =AB AB 1

P (1 y, y) (dy) + Q(1 y, y) dy 2(1 y) + y dy + 3y + 4(1 y) dy0 1

= =0 1

(2 + 2y y + 3y + 4 4y) dy 2 dy0

= =

2y

1 0

= 2.

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Clculo de aBO

F dr =OB

F dr

Temos OB : x = 0, 0 y 1, donde dx = 0. Ento a F dr =BO OB 1

Q(0, y) dy = 0

(3y + 0) dy =

3y 2 2

1 0

= 3 . 2

Somando, temos F dr =1+2D+ 3 2

= 3. 2

Por outro lado,Q x

D

P y

dxdy =D

(4 1) dxdy = 3A(D) = 3 1 1 1 = 3 . 2 2

Exemplo 2 Seja F (x, y) = x2 y i + xy 2 j e D o disco de centro (0, 0) e raio 1. Calculemos para D orientada no sentido anti-horrio. a Soluo: ca Do Teorema de Green, temos F dr =D+ D Q xD +

F d, r

P y

dxdy =D

(y 2 + x2 ) dxdy .

y1 D

D1

x

Passando para coordenadas polares, temos

x= y= dxdy = 2 x + y2 =

r cos r sen rdrd r2

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e Dr dado por e Dr : Ento a F dr =D+ Dr 1 2 1

0r1 0 2

r2 r drd =Dr

r3 drd =0

r30

ddr = 20

r3 dr = 2

r4 4

1 0

=

2

.

Exemplo 3 Seja F (x, y) =

y i x2 +y 2

+

x j x2 +y 2

denido em D = R2 {(0, 0)}. Calculemos:

a)+ C1

F d r , sendo C1 : x2 + y 2 = a2 , a > 0; F d r , sendo C2 uma curva fechada, C 1 por partes, que envolve a origem.

b)+ C2

Soluo: ca a) Observemos que a regio limitada por C1 no est contida em D, pois (0, 0) D. Ento no a a a / a a podemos aplicar o Teorema de Green. Sendo assim, usaremos a denio. Parametrizando C1 , temos ca x = a cos t e y = a sen t, com 0 t 2 donde dx = a sen t dt e dy = a cos t dt. Ento a F dr =+ C1

2 C1 y x2 +y 2 +

dx +

x x2 +y 2

dy =0 2

a sen t (a sen t) a2

+

a cos t (a cos t) a2

dt

=0 2

(sen2 t + cos2 t) dt dt0

= = 2 . b) y

C2

x

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Aqui tambm no podemos aplicar o Teorema de Green, pois (0, 0) est na regio limitada por C2 e a a a e (0, 0) D. Usar a denio imposs pois nem conhecemos uma equao de C2 . Ento o que / ca e vel ca a fazer? ya C1 a C2

x

R

A idia de isolar (0, 0) por uma circunferncia e e e 2 2 2 C1 : x + y = a com o raio a adequado de modo que C1 esteja no interior da regio limitada por C2 , a orientada no sentido horrio. a

Seja R a regio limitada por C1 e C2 . Logo, R = C2 C1 . Como R no contm (0, 0), ento a a e a podemos aplicar o Teorema de Green em R. Temos F dr =R+ Q x R P y Q x

P y

dxdy . F dr ++ C2 C1

Como donde

= 0 (Verique!) ento aR++ C1

F d r = 0. Logo, F dr =+ C2 + C1

F dr =0

F dr + C2

F d r = 0 ou

F d r = 2 por (a).

Exemplo 4 a) Se D uma regio plana qualquer ` qual se aplica o Teorema de Green, mostre que a rea de e a a a D dada por A(D) = eD+

y dx ou A(D) =D+

x dy ou A(D) =

1 2

y dx + x dy.C x2 a2

b) Aplique uma das frmulas acima para mostrar que a rea limitada pela elipse o a ab. e Soluo: ca a)

+

y2 b2

= 1

D

Pelo Teorema de Green, tem-se y dx =D+ D+

y dx + 0 dy =D

0 x

(y) y

dxdy =D

(0 + 1) dxdy dxdyD

=

= A(D) .Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ

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Logo, A(D) =D+

y dx. Analogamente, prova-se as outras frmulas. o

b) O esboo de D : c e yb D

Da

x

A rea de D dada por A(D) = a eD+

y dx onde D parametrizada por e , 0 t 2 .2

(t) = (a cos t, b sen t) (t) = (a sen t, b cos t) Ento a A(D) =0 2

(b sen t)(a sen t) dt =0

ab sen2 t dt1 2

= ab

t

sen 2t 2

2 0

1 = ab 2 2

= ab u.a.

Aula 18 Teorema das Quatro Equivalncias eObjetivo Estudar condies sobre o dom de F para que valha a rec co nio proca do Teorema 1, da aula 16, isto , em que dom e nios, campos de rotacional nulo so conservativos? a

Condies sobre D co (i) D aberto. e (ii) D conexo (isto , dois pontos quaisquer de D podem ser ligados por uma curva contida em e e D). (iii) D sem buracos (isto , qualquer curva fechada de D delimita uma regio inteiramente e e a contida em D).

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Um conjunto satisfazendo as condies (i), (ii) e (iii) dito um conjunto simplesmente conexo. co e A seguir daremos exemplos de conjuntos simplesmente conexos.

111111111111111 000000000000000 y 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 D = R2 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 x 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 y 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000{(0, 0)} D = R2 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 x 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000

y

11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 D 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 x

1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 D 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 x 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000

y

Agora, daremos exemplos de conjuntos no simplesmente conexos. a

1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 D 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 x 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000

y

111111111111111 000000000000000 y 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 eixo x D = R2 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 x 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000 111111111111111 000000000000000

OBS.: Seja D R3 . Dizemos que D um conjunto simplesmente e conexo se D aberto, conexo e sem buracos (no sentido de que quale quer curva fechada de D delimita uma superf inteiramente contida cie em D).

Exemplo O R3 , uma bola aberta em R3 , o R3 {(0, 0, 0)} so conjuntos simplesmente conexos. O R3 sem a uma reta no simplesmente conexo. a e Teorema 1: Seja F um campo de classe C 1 em um dom D de R2 , simplesmente conexo. Se nio rot F = 0 ento F conservativo. a e Demonstrao ca O fato de que D um conjunto simplesmente conexo e rot F = 0 segue do Teorema de Green que e F d r = 0. para todo caminho fechado de D. Da mostramos que F d no depende do r a C C caminho. Em seguida, mostra-se que F conservativo. e

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Do Teorema 1 e de teoremas da aula 16, enunciamos um teorema contendo quatro equivalncias. e Teorema das quatro equivalncias: Seja F = (P, Q) : D R2 R2 um campo de classe C 1 em e D. Se D R2 um conjunto simplesmente conexo, ento as seguintes armaes so equivalentes: e a co a a) b)C Q x

= P em D y F d r = 0 qualquer que seja a curva fechada C de D. F d r no depende do caminho C de D. a

c)C

d) F conservativo. e

Exemplo 1 Considere a curva C dada por (t) = cos , et1 , 1 t 2. Calcule t F (x, y) = (y 2 sen x, 2y cos x). F d, onde rC

Soluo: ca Como F de classe C 1 em R2 (que um conjunto simplesmente conexo) e Q = 2y sen x = P , e e x y ento pelo teorema das quatro equivalncias, segue que F d r no depende do caminho que liga a e a (1) = (1, 1) e (2) = (0, e). Ento considere C = C1 C2 , onde C1 : y = 1, 0 x 1, donde a dy = 0 e C2 : x = 0, 1 y e, donde dx = 0.C

y(0, e) C2 C1 (1, 1)

x Temos F dr =C1 C1

F dr = C1

1

1

P (x, 1) dx = 0

( sen x) dx =0

sen x dx = cos x

1 0

= 1 cos 1 . F dr =C2 C2 e e

Q(0, y) dy =1

2y cos 0 dy =1

2y dy = y 2

e 1

= e2 1 .

Logo,C

F d r = 1 cos 1 + e2 1 = e2 cos 1 .

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Uma soluo alternativa ca Pelo teorema das quatro equivalncias segue que F conservativo. Logo, existe (x, y) denido em e e 2 R , tal que = y 2 sen x (1) x = 2y cos x (2) y Integrando (1) e (2) em relao a x e y respectivamente, temos ca (x, y) = y 2 cos x + f (y) (x, y) = y 2 cos x + g(x) Tomando f (y) = 0 e g(x) = 0, temos que (x, y) = y 2 cos x uma funo potencial de F . Logo, e ca F d r = ((2)) ((1)) = (0, e) (1, 1) = e2 cos 0 12 cos 1 = e2 cos 1 .C

Exemplo 2 Considere a integral de linhaC

(kxey + y) dx + (x2 ey + x ky) dy.

a) Determine a constante k para que esta integral seja independente do caminho. b) Calcule o valor da integral de A = (0, 0) a B = (1, 1) para o valor de k encontrado em (a). Soluo: ca a) O campo F denido em R2 que um conjunto simplesmente conexo. Pelo teorema das quatro e e equivalncias necessrio que rot F = 0 para que a integral independa do caminho. Ento e e a a rot F = 0 Q x

=

P y

em R2

2xey + 1 = kxey + 1 2xey = kxey 2x = kx pois ey = 0 para todo y R k = 2. Portanto, para k = 2 segue que rot F = 0 , donde pelo teorema das equivalncias temos que a e integral independe do caminho.

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b) Temos que

k = 2 F (x, y) = (2xey + y) i + x2 ey + x 2y j . y

1

B = (1, 1) C2

A = (0, 0) C1

1

x

Como a integral independe do caminho, tomemos C = C1 C2 , onde C1 : y = 0, com 0 x 1 donde dy = 0 e C2 : x = 1, com 0 y 1, donde dx = 0. Temos F dr =C1 C1 1 1

P (x, 0) dx =0 1

2xe0 dx =0

2x dx = x2

1 0

=11 0

F dr =C2 C2

Q(1, y) dy =0

(ey + 1 2y) dy = ey + y y 2

= e 1.

Somando temos,C

F d r = 1 + e 1 = e.

Uma soluo alternativa ca Tambm do teorema das equivalncias resulta que F conservativo, isto , existe (x, y) denido e e e e em R2 , tal que = 2xey + y (3) x = x2 ey + x 2y (4) y Integrando (3) e (4) em relao a x e y respectivamente, temos ca (x, y) = x2 ey + xy + f (y) (x, y) = x2 ey + xy y 2 + g(x) . Devemos tomar f (y) = y 2 e g(x) = 0. Assim (x, y) = x2 ey + xy y 2 uma funo potencial e ca de F . Logo, F d r = (B) (A) = (1, 1) (0, 0) = e + 1 1 0 + 0 0 = e .C

At a prxima aula. e o Rioco K. BarretoCoordenadora de Clculo IV a

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Exerc cio 1: Verique o teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado para F (x, y) = (x3 + xy 2 ) i + (yx2 + y 3 + 3x) j e D = (x, y) R2 |y2 x2 + 1 . 9 4

Exerc cio 2: Use o teorema de Green para calcular a integral de linhaC

y 3 dx + (x3 + 3xy 2 ) dy,

onde C a unio do grco de y = x3 de (0, 0) a (1, 1) com o segmento de reta y = x de (1, 1) a e a a (0, 0), orientada no sentido anti-horrio. a Exerc cio 3: Uma part cula percorre a circunferncia C : x2 + y 2 = 9, uma vez no sentido antie horrio, sob a ao da fora F (x, y) = y 3 i + (x3 + 3xy 2 ) j. Use o teorema de Green para calcular o a ca c trabalho realizado pela fora. c Exerc cio 4: CalculeC

(arctg x + y 2 ) dx + (ey x2 ) dy onde C a fronteira da regio anelar D e e a

ilustrada na gura que se segue. yx2 + y 2 = 1 x2 + y 2 = 9 D C

x

Exerc cio 5: Seja D a regio no interior da elipse a x2 + y 2 = 1. Calcule a integral de linha orientada positivamente.C

x2 y2 + 9 4

= 1 e fora da circunferncia e

2xy dx + (x2 + 2x) dy, onde C a fronteira de D, e

Exerc cio 6: Use uma integral de linha para calcular a rea da regio limitada pelos grcos de a a a 2 y = 2x + 1 e y = 4 x . Exerc cio 7: CalculeC

F dr, onde F (x, y) = (y 2 + 1) i + (3xy 2 + 1) j e C o semic e rculo

(x 1)2 + y 2 = 1, com y 0, orientado de (0, 0) a (2, 0).(1,4)

Exerc cio 8: Mostre que(2,1)

2xy dx + x2 dy independente do caminho e calcule a integral e

a) usando o teorema fundamental do clculo para integrais de linha; a b) integrando sobre qualquer caminho conveniente.(4,5)

Exerc cio 9: Mostre que a integral(0,0)

y 2 ex dx + 2yex dy independente do caminho e utilize e

qualquer mtodo para calcul-la. e aFundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ

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Exerc cio 10: Seja F (x, y) = (sen y y sen x) i + (x cos y + cos x) j. a) F conservativo? e b) Calcule F dr, onde C a curva parametrizada por (t) = e2t2 t2 t , com 0 t 1. , 3 1+t 1 + t3

Exerc cio 11: Considere o campo vetorial F (x, y) = (x, y) = (1, 0).

y x1 i + j , com 2 + y2 2 + y2 (x 1) (x 1)

a) Calcule rot F (x, y) F d r = 2, onde Ca a circunferncia de raio a e centro (1, 0), orientada e e b) Verique que no sentido anti-horrio. a c) F conservativo? e d) Calcule F d , on de C : x2 + y 2 = 4, orientada no sentido anti-horrio. r aC Ca

e) CalculeC

F d r onde C : x2 + (y 1)2 = 1, orientada no sentido anti-horrio. a

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