Cálculo de Parâmetros de Linhas deTransmissão

Antonio Carlos S. Lima, Marco Polo Pereira Departamento de Planejamento da TransmissãoFurnas Centrais Elétricas Rua Real Grandeza 219, bloco C

sala 1607.3 Rio de Janeiro2283-090 RJ Brazil

mpolo@furnas.gov.br, aclima@furnas.com.brOrlando Hevia Faculdad Regional de Santa FeUniversidad Tecnologica Nacional heviaop@ssdfe.com.ar

Resumo

Atualmente noATP-EMTP existem duas subrotinas capazes de calcular os parâ-metros das linhas de transmissão, aLine Constants e aCable Parameters. Enquantoa primeira existe praticamente desde as primeiras versões de EMTP, a segunda rotinaé uma evolução daCable Constants, originalmente implementada em 1981. Apesarde ser originalmente desenvolvida para o cálculo dos parâmetros de configuraçõesde cabos elétricos, aCable Parameters é capaz de calcular os parâmetros de linhasde transmissão como um caso particular de um conjunto de cabos SC (Single Core)aéreos.

A comparação dos resultados obtidos com as duas subrotinas é feita usando umaLinha de Transmissão de 500kV, circuito simples. Compara-se os resultados obti-dos tanto no cálculo das matrizes de impedâncias quanto na obtenção de modeloscom parâmetros distribuídos constantes considerado a linha totalmente transposta enão transposta. Os modelos com parâmetros distribuídos constantes são usados tan-to para testes transitórios (energização com a linha em aberto e curto-circuito nosterminais da linha), como para a comparação da variação dos parâmetros da linhacom a freqüência usando as duas metodologias. Por usarem metodologias de cálculobem distintas as subrotinas obtêm modelos e transformações com distintos porémequivalentes, como mostram os resultados dos testes realizados.

1 Introdução

O cálculo dos parâmetros para a simulação das linhas de transmissão é uma parteimportante não só para o projeto adequado de linhas novas, mas como para a corretaavaliação no caso de reforços. De fato o cálculo dos parâmetros é tão importante quantoo desenvolvimento de modelos para as linhas de transmissão. É necessário conhecer aslimitações de cada rotina bem como os casos onde melhor se adaptam as metodologias.

Os Parâmetros unitários das linhas de transmissão, resistência por unidade compri-mento (R

′), indutância por unidade de comprimento (L

′) e capacitância por unidade de

comprimento (C′) não podem em geral ser considerados como concentrados e distribuem-

se igualmente pela linha. A condutânciaG′normalmente pode ser desconsiderada excetuando-

se os estudos de Efeito Corona. Para estudos de fluxo de potência e curto circuito somente

1

os parâmetros de seqüência positiva e zero são necessários, podendo ser usadas fórmu-las simplificadas. Contudo, estes valores não são adequados para estudos envolvendotransitórios ou efeitos de acoplamento indutivo, ou capacitivo, em regime permanente,necessitando-se de um cálculo mais preciso dos parâmetros da linha. Isto pode ser fei-to através das rotinasLine Constants e Cable Parameters. Por terem sido desenvolvidasem épocas distintas as rotinas utilizam diferentes metodologias. Além do mais, aLineConstants somente calcula os parâmetros de uma linha de transmissão, enquanto aCableParameters permite também o cálculo dos modelos de cabos aéreos e subterrâneos. É in-teressante, portanto, a comparação das rotinas para se avaliar a confiabilidade resultado,servindo até como uma forma de validação indireta dos cálculos dos parâmetros. Am-bas rotinas podem ser usadas para os cálculos dos dados de entrada de todos os modelosde linha disponíveis doATP-EMTP, desde a representação por umπ, até a representa-ção com parâmetros dependentes da freqüência como o modelo MARTI ou o IARMA.No caso do modelo de parâmetros distribuídos constantes utiliza-se a representação mo-dal(decomposição em autovetores) desenvolvida por Wedepohl [1]. NoATP-EMTP exis-tem dois possíveis modelos para a representação da linha com parâmetros distribuídosconstantes, Clarke e K.C. Lee. O primeiro usa a transformação de Clarke, sendo aplicávelpara linhas de transmissão totalmente transpostas, enquanto o segundo pode ser usadopara linhas não transpostas, devendo o usuário fornecer a matriz de transformação.

O caso base para a comparação consiste de um circuito simples de 500kV com trêscabos de 954MCM por fase e com dois cabos pára-raios. A comprimento do é de 210km,considerando-se duas situações para o circuito, linha totalmente transposta e não trans-posta. A freqüência para o cálculo dos parâmetros foi 60Hz. Compara-se também osautovalores calculados pelas rotinas com os resultados obtidos com um programa de cál-culo matricial. Hoje existem na Internet diversos programas “freeware” como o Scilab eo Octave com algoritmos confiáveis e robustos para este cálculos.

2 Line Constants

A subrotinaLine Constants é possivelmente a mais antiga do EMTP, tendo sido elabo-rada basicamente em conjunto com as primeiras versões do programa. É uma extensão dotrabalho desenvolvido por Hesse [2] e utiliza a fórmula de Carson para terra homogênea.Como a fórmula de Carson se baseia em condutores perfeitamente horizontais acima daterra, a altura média,V, do condutor é usada para os cálculo. Esta média é calculada daseguinte forma, seguindo a nomenclatura usada em [3, capítulo XXI]:

V =13Vtower+

23Vmid (1)

ondeVtower é altura do condutor na torre, eVmid é a altura do condutor no meio do circuito,ponto mais baixo do condutor. Caso no arquivo de entrada de dados doATP-EMTP umdestes valores não seja especificado (deixado em branco), o programa toma como alturamédia o valor especificado diferente de zero. Com isto, seVmid é deixado em branco,Vtower é considerado como altura média, casoVtower esteja em brancoVmid é consideradocomo altura média.

Esta rotina calcula as matrizes de capacitância e impedância tanto no domínio de fasequanto no domínio de seqüência e modal (para o caso da linha não transposta). Deve-se notar que estas matrizes, mostradas no arquivo de saída (.LIS) doATP-EMTP, sãode uma linha não transposta. Com isto, as matrizes de capacitâncias e impedâncias nas

2

coordenadas de fase são simétricas mas não possuem os elementos próprios iguais entresi, o mesmo ocorrendo para as mútuas. As matrizes com os valores de seqüência sãocheias. Vale notar que a matriz de capacitância é calculada na forma nodal, as mútuas(Cik) representam o inverso da soma de todas as capacitâncias entre os nósi ek.

Para calcular os parâmetros modais para alinha totalmente transposta é necessário seefetuar a média dos elementos próprios e mútuos. Isto eqüivale a desconsiderar as mútuasna matriz de seqüência. Esta média é calculada internamente pelo programa, e obedeceas seguintes equações (para o caso de um sistema trifásico com cabo pára-raios aterrado):

Zs =3

∑i=1

Zii

3

Zm =3

∑i=1j=1

13

Zi j i 6= j(2)

ondeZs é a impedância série própria, eZm é a mútua, lembrando que as matrizes sãosimétricas,Zi j = Z ji . Este mesmo procedimento aplica-se à matriz de capacitâncias. Emcoordenadas de seqüência a ação da eq.(2) eqüivale a zerar os elementos que acoplam asseqüências.

Para linhas totalmente transpostas a subrotina não calcula a matriz de transformação,ao invés, utiliza a transformação de Clarke,abc→ 0αβ, como mostra eq.(3). Para o casomultifásico o programa usa uma generalização da transformação, como mostra a eq.(4.58)de [4].

T =1√3

1√

2 0

1 − 1√2

√32

1 − 1√2−√

32

(3)

Os parâmetros obtidos com a eq.(3) são iguais aos parâmetros de seqüência. Parauma linha totalmente transposta, existem somente dois modos de propagação: o modode seqüência zero, ou modo terra, e o modo de seqüência positiva, ou modo linha. Esteúltimo apresenta multiplicidade 2.

3 Cable Parameters

A rotina Cable Parameters foi desenvolvida originalmente por Ametani e chamava-seCable Constants. Esta rotina se baseia na metodologia desenvolvida pelo mesmo eapresentada em [5]. O primeiro objetivo da rotina é, como o próprio nome já leva a crer, ocálculo dos parâmetros de cabos elétricos para adapta-los para a simulação noATP-EMTP.Até a presente data não existe no programa um modelo específico para cabos, o que sefaz normalmente é adaptar os dados dos cabos para representá-los usando os modelosexistentes para a representação de linhas de transmissão aéreas.

A Cable Parameters é capaz de calcular os parâmetros para três possíveis configura-ções de condutores:

• Cabo SC (Single-Core – cabo com núcleo simples) enterrado ou aéreo;

• Cabo PT (Pipe-Type – Cabo envolvido numa tubulação) enterrado ou aéreo;

3

• Linha de Transmissão aérea.

Uma linha de transmissão aérea pode ser considerada como um cabo SC aéreo. Portantoo programa possui dois tipos de cálculo, sendo o terceiro apenas um caso particular. Umavanço daCable Parameters com relação àCable Constants está na possibilidade decálculo dos parâmetros de cabos com dimensões assimétricas. ACable Constants sópermite o cálculo de condutores cilíndricos.

O cálculo dos parâmetros de cabos elétricos envolve a solução das equações em co-ordenadas cilíndricas dos campos elétricos e magnéticos. Tal situação implicaria no usode Funcões de Besselpara a representação das impedâncias. Só para efeito ilustrativomostramos aqui o valor da impedância séria de uma cabo SC sem revestimento com raiointernor0 e raio externor1.

Z(ω) =jωµ

2πx1

I0(x1)K1(x0)+K0(x1)I1(x0)I1(x1)K1(x0)− I0(x0)K1(x1)

(4)

ondex0 = r0√

jωµσ, x1 = r1√

jωµσ, ω é a freqüência que está efetuando os cálculos,µ éa permeabilidade do condutor,σ é a condutividade do condutor,I1(.), I0(.), K1(.) e K0(.)são funções de Bessel do primeiro tipo de ordem 1 e 0, e funções de Bessel do segundotipo de ordem 1 e zero respectivamente.

Na Cable Constants aproximações polinomiais para a representação das funções deBessel são usadas. Estas aproximações são bastantes precisas e possuem um pequenoerro. A referência [6] apresenta um exemplo destas aproximações.

A estrutura do arquivo de dados daCable Parameters é bem distinta daLine Cons-tants. A começar pelos dados de entrada, enquanto naLine Constants usa-se o valor daresistência dc emΩ/km, a Cable Parameters usa o valor da resistividade, o que nemsempre é disponível. Felizmente sabendo as dimensões do condutor é possível calcular aresistividade do condutor através da equação:

ρ = r′dcA (5)

onder′dc é a resistência unitária do condutor, eA é a área do condutor. A eliminação do

feixe de condutores, reduzindo-o a um condutor equivalente por fase, também é feita deforma distinta daLine Constants. A Cable Parameters aproxima através do raio médiogeométrico o efeito do feixe, enquanto aLine Constants calcula os parâmetros para cadacondutor e depois obtêm o condutor equivalente através do paralelismo dos condutoresna mesma fase. Uma outra diferença se dá com relação o cálculo da altura média doscondutores. Diferentemente daLine Constants, aCable Parameters considera que seVmid

ouVtower são deixadas em branco o seu valor é zero. Portanto, caso disponha-se somenteda altura média dos condutores, deve-se usarV = Vmid = Vtower.

No arquivo de saída da rotina pode ser impressos as matrizes das impedâncias de fasee modais bem como a matriz de capacitâncias. Um ponto interessante é que o programajá apresenta as matrizes com os devidos valores médios, no caso do sistema transposto.

Todos os parâmetros devem ser especificados tendo o metro como parâmetro de com-primento. Esta ação impede que o modelo convencional (linhas transpostas) com parâme-tros distribuídos, usando a transformação da eq.(3), seja usado, pois este modelo supõe ouso da distância em km. O uso da distância em metros para um circuito é possível atravésdo modelo de K.C. Lee [3, capítulo IV], onde qualquer unidade corrente de distância podeser usada e a matriz de transformação entre o domínio modal e o de fase é especificadaapós os dados da linha.

4

4 Parâmetros da Linha

A configuração do sistema exemplo é apresentada na Tabela 1. Conforme dito anteri-ormente os condutores de fase são 3x954MCM e com dois cabos pára-raios é de 3/8. Osparâmetros foram calculados para a freqüência de 60Hz.

Tabela 1: Espaçamento entre os condutores

Distância (m) Fase a Fase b Fase c Para-raioHorizontal -9.75 0.0 9.75 ±7.98Vertical 16 21.60 16.0 25.90

4.1 Sistema transposto

As equações (6) e (7) apresentam, respectivamente, os parâmetros unitários das linhasde transmissão emΩ/km, para o sistema totalmente transposto. Os subscritoslc e cpindicam a rotina usada para a obtenção destas matrizes. A diferenças ocorrem em tornoda quarta casa decimal.

Rslc =

0.142955 0.119925 0.1199250.119925 0.142955 0.1199250.119925 0.119925 0.142955

Rscp =

0.142946 0.119923 0.1199230.119923 0.142946 0.1199230.119923 0.119923 0.142946

(6)

Xslc =

0.7047786 0.357808 0.3578080.357808 0.704779 0.3578080.357808 0.357808 0.704779

Xscp =

0.704805 0.357812 0.3578120.357812 0.704805 0.3578120.357812 0.357812 0.704805

(7)

A eq.(8) mostra as matrizes de capacitâncias calculadas pelas subrotinas em nF/km. Si-milar ao caso da impedância série da linha, as diferenças ocorrem em torno da quarta casadecimal.

Clc =

11.27162 −1.42467 −1.42467−1.42467 11.27162 −1.42467−1.42467 −1.42467 11.27162

Ccp =

11.27107 −1.42457 −1.42457−1.42457 11.27107 −1.42457−1.42457 −1.42457 11.27107

(8)

A impedância característica é então calculada como:

Zcaract =

√Zs

Y(9)

ondeZs é a matriz de impedância série eY = jωC é a matriz de admitância. Para uma ma-triz diagonal o cálculo de (9) é trivial mas para matrizes cheias é necessário usar métodosenvolvendo autovalores e autovetores.

O processo de calcular a impedância característica nada mais é que um problemade cálculo de autovalores e autovetores. NoATP-EMTP a impedância característica é

5

calculada no domínio modal onde as matrizes envolvidas são diagonais, o valor da matrizno domínio de fases é obtido através da transformação inversa entre fase→modal. Para osistema transposto a diagonalização é feita usando a transformação de Clarke, eq.(3). ATabela 2 mostra os parâmetros de seqüência calculados pelaLine Constants.

Tabela 2: Parâmetros de seqüência calculados pelaLine Constants

SeqüênciaZero Positiva

Zcaract (Ω) 680.6706 −7.54159 269.5386 −1.89872v (km/s) 175957 292376R(Ω/km) .382804 .0230303X (Ω/km) 1.42039 .346972B (µS/km) 3.17513 4.78639

Os autovalores calculados pelaLine Constants(impedância característica de seqüênciazero e positiva foram verificados através do cálculo dos autovalores da matriz de impe-dância característica em coordenadas de fase obtida através da eq.(9)

Λ =

674.7746 −7.5416269.3866 −1.8987

269.3866 −1.8987

(10)

Assumindo os valores calculados pelo programa matemático como sendo a referência oserros encontrados ficam abaixo de 1%, caso os valores obtidos peloATP-EMTP comoreferência os erros ficam abaixo de 0.9%.

Como já dito anteriormente, aCable Parameters não usa o modelo de linha transpostapois as distâncias estão em metros. Ao invés, a rotina usa uma subrotina semelhante aEISPACK[6, 4] para o cálculo dos autovalores e autovetores. Para o exemplo apresen-tado aqui, considerando o circuito totalmente transposto, A matriz de transformação decorrente em 60Hz é dada por:

T i =13

1 −1 −32

1 2 01 −1 3

2

(11)

e T i = Ttv, ondeTv é a matriz de transformação de tensão. A impedância modal e a

admitância modal são obtidas através da eq(12).

Zmodal = T−1v ZsT i

Ymodal = T−1i YsTv

(12)

A Tabela 3 mostra os resultados daCable Parameters. Deve-se notar que as rotinacalcula três modos para a linha de transmissão, o que a príncipio parece ate contradiçãovista que teoricamente a linha deveria ter apenas dois modos. Contudo, enquanto a cons-tante de propagação modal e consequentemente, a velocidade de propagação do modosão unicamente definidos, o mesmo não ocorre com a impedância série e a admitâncianas coordenadas modais e, naturalmente, acarreta em uma matriz de impedância caracte-rística modal não única. Isto ocorre devido a ambigüidade nos autovetores. Impedâncias,

6

ou admitâncias, modais só fazem sentidos quando especificadas juntamente com os au-tovetores correspondentes. É por esta razão que as impedâncias características modaisdiferem nas Tabelas 3 e 2, todavia as velocidades de propagação dos modos são bem pró-ximas os modos Linha e Entrelinha trafegam com a mesma velocidade que o modo deseqüência positiva calculada pelaLine Constants, o mesmo acontecendo com os modosde seqüência zero ou modo terra. A diferença entre estas velocidades é de cerca de 2km/s,abaixo de 0.0015%.

Tabela 3: Parâmetros modais calculados pelaCable Parameters

ModosModo 1 Modo 2 Modo 3

Zsurto (Ω) 226.8976 −7.5 199.1116 −25.6 134.70276 −1.9v (km/s) 175959 292374 292374R (Ω/km) .1275971 0.01534930 0.01151197X (Ω/km) .4734762 0.2313289 0.1734966B (µS/km) 9.524975 7.179218 9.572291

Note-se que estes modos são combinações lineares dos valores de seqüência zero epositiva. Para 60Hz a relação é a seguinte:

• Zmodo1 = 13Z0;

• Zmodo2 = 32Zpos;

• Zmodo3 = 12Zpos;

4.2 Sistema não transposto

Na linha não-transposta surge um segundo modo, comente chamado de modo entreli-nha, lembrando que para um sistema de N-condutores haverá N-modos.

Rslc =

0.1393455 0.1218122 0.11614970.1218122 0.1501741 0.12181220.1161497 0.1218122 0.1393455

Rscp =

0.1393354 0.1218010 0.11614750.1218010 0.1501686 0.12180100.1161475 0.1218010 0.1393354

(13)

Xslc =

0.706526 0.370770 0.3318830.370770 0.701284 0.3707700.331883 0.370770 0.706526

Xscp =

0.70654936 0.37077924 0.331876970.37077924 0.70131658 0.370779240.33187697 0.37077924 0.70654936

(14)

Clc =

11.20941 −1.812248 −0.6495027−1.812248 11.396050 −1.8122520−0.6495027 −1.812252 11.209410

Clc =

11.20895 −1.81225 −0.64922−1.8122513 11.39531 −1.81225−6.4921623 −1.81225 11.20895

(15)

7

5 Testes Transitórios

Para testar os modelos de linha obtidos com as rotinas, mas especificamente o mo-delo de parâmetros distribuídos constante, realizou-se dois testes relativamente simples:energização direta da Linha de Transmissão com um terminal em aberto e curto circuitoterminal na linha. A Fig.1 mostra o unifilar para estes testes. Note-se que ele não visaavaliar as sobretensões ocorridas na linha, nem se o modelo é o mais adequado para estecálculo. Hevia em [7] apresenta os resultados comparativos da tensão terminal para ospossíveis modelos de linha disponíveis noATP-EMTP.

500kV60Hz

Figura 1: Unifilar do sistema para testes transitórios

A Fig.2 mostra a tensão terminal na fase “a” para o caso da energização direta con-siderando tanto o sistema transposto como não transposto. Como pode-se ver que osresultados obtidos com as duas rotinas são quase idênticos. Há uma mínima diferença defase e, após o sistema entrar em regime, em torno de 400ms, a diferença entre os resul-tados fica em torno de 300V, menos de 0.08%. Semelhante resultado é encontrado nasdemais fases.

0 50 100 150 200−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

tempo (ms)

V (

kV)

CPLC

(a) Sistema transposto

0 50 100 150 200−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

tempo (ms)

V (

kV)

CPLC

(b) Sistema não transposto

Figura 2: Tensão Terminal da Linha de Transmissão

No caso do curto circuito trifásico a diferença entre as correntes é uma curva senoidalde valor máximo igual a 3.4A, enquanto a corrente de curto é de 5659A. Portanto a dife-rença fica em torno de 0.06%, abaixo até do encontrado no caso da energização. Para o

8

curto monofásico tanto as correntes nas fases sãs como a corrente de falta foram basica-mente as mesmas. O curto circuito monofásico apresentou comportamento semelhante noque se refere à equivalência de resultados obtidos com os modelos obtidos através das ro-tinas. A Fig. 3(a) mostra a tensão em uma das fases sãs para o curto monofásico, e nota-seque mais uma vez os resultados são basicamente idênticos. A Fig. 3(b) mostra a diferençaentre as correntes de curto obtidas com o sistema usando os parâmetros calculados pelaLine Constants e pelaCable Parameters.

0 50 100 150 200−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

tempo (ms)

V (

kV)

CPLC

(a) Tensão de na fase “b” durante o curto-circuito monofásico

0 50 100 150 200−30

−20

−10

0

10

20

30

tempo (ms)

I (A

)

(b) Diferença entre as correntes calculadas pe-la Line Constants e pelaCable Parameters

Figura 3: Curto-Circuito Monofásico

6 Variação dos Parâmetros com a Freqüência

Ambas as rotinas são capazes de calcular as matrizes de impedância série e admitânciapara várias freqüências [3, XXI-D]. Portanto, é importante avaliar qual o comportamentodas rotinas em uma faixa larga de freqüência, notadamente para avaliar se existem di-ferenças sensíveis nos resultados em baixas ou altas freqüências devido aos diferentesequacionamentos apresentados nas rotinas como: possíveis diferenças entre as fórmulasde Carson, usadas pelaLine Constants com relação as fórmulas de Pollaczek, usadas pelaCable Parameters, ou até erros nas aproximações usadas para estas representações.

Calculou-se as impedâncias de seqüência positiva e zero para uma faixa de freqüên-cia de 6mHz até 60MHz. ACable Parameters não calcula os parâmetros de seqüênciapositiva e zero sendo necessário obtê-los através da seguinte equação:

Zpos= Zs−Zm

Z0 = Zs+2Zm(16)

ondeZs é a impedância série eZm é a impedância mútua. Naturalmente este valor temque ser recalculado para cada freqüência. A Fig.4 mostra a variação dos parâmetros deseqüência positiva e ondeR1 é o valor da resistência calculado pelaLine Constants eR1cp,o valor calculado pelaCable Parameters. A Fig.5 apresenta os parâmetros de seqüênciazero.

9

10−2

100

102

104

106

10−2

10−1

100

101

R(Ω

/km

)

f(Hz)

R1

R1cp

(a)Rpos

10−2

100

102

104

106

0.8

0.85

0.9

0.95

1

f(Hz)

L(m

H/k

m)

L1

L1cp

(b) Lpos

Figura 4: Parâmetros de seqüência Positiva em função da freqüência

10−2

100

102

104

106

10−2

10−1

100

101

102

103

f(Hz)

R(Ω

/km

)

R0

R0cp

(a)Rzero

10−2

100

102

104

106

0

2

4

6

8

f(Hz)

L(m

H/k

m)

L0

L0cp

(b) Lzero

Figura 5: Parâmetros de seqüência Zero em função da freqüência

7 Conclusão

Este trabalho apresentou uma drescrição das rotinas usadas peloATP-EMTP para ocálculo dos parâmetros de linhas de transmissão. As matrizes calculadas pelos dois pro-gramas são essencialmente iguais. Com relação a matriz de capacitância esta igualdadenão é uma surpresa pois os valores das capacitâncias são decididos pela matriz de Poten-cial de Maxwell e esta por sua vez depende das distâncias e dimensões dos condutores. Éinteressante notar apesar de usarem métodos distintos para o cálculo da matriz de impe-dância série há entre as subrotinas uma forte concordância.

Em termos do arquivo de dados, os modelos obtidos são bem distintos, Caso se com-pare apenas os valores modais, os modelos obtidos são bem distintos, mas levando emconta a matriz de transformação a representação do sistema torna-se bastante similar. Isto

10

era esperado pois as matrizes que descrevem a linha calculadas pelas rotinas são bastantessemelhantes.

A comparação dos parâmetros com a freqüência mostra que as rotinas calculam parâ-metros aproximadamente iguais para um larga faixa de freqüência, de alguns mHz até acasa dos MHz. Vale ressaltar que para freqüências mais baixas, as diferenças se situavamem torno da quarta casa decimal, enquanto para freqüências mais altas esta diferença che-ga a segunda casa decimal. É possível que acha uma freqüência limite acima da qual osvalores encontrados pelas rotinas não mais coincidem. Contudo este valor seria atingidonum freqüência tal elevada além da faixa de interesse de estudos típicos de transitóri-os. Em todos os casos estudados, as rotinas obtiveram matrizes de capacitância que sãoconstantes (independentes da freqüência).

A alta concordância apresentado nos casos estudados não garante que, para todos oscasos possíveis, o mesmo ocorra. Estudos adicionais envolvendo outras configurações,como por exemplo circuito duplo vertical, são necessários para se avaliar corretamente aequivalência entre as rotinas.

Referências

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[6] W. Press, S. Teukolsky, W. Vettering, and B. Flannery,Numerical Recipes in Fortran77. Cambridge University Press, 2nd ed., 1996.

[7] O. Hevia, “Comparación de los modelos de línea del atp,”Revista Iberoamericanadel ATP, Marzo 1999. http://iitree.ing.unlp.edu.ar/estudios/caue/Vol1_Num1.htm.

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