Cálculo II

5/12/2018 Cálculo II - slidepdf.com

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CÁLCULO: VOLUME II

MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA

Departamento de Análise - IMEUERJ



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Copyright by Mauricio A. VilchesTodos os direitos reservados

Proibida a reprodução parcial ou total



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PREFÁCIO

"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?Isso depende bastante de até onde você quer chegar."Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas

Esta notas são a continuação natural do livro CÁLCULO: VOLUME I, que é pré-requisito paraeste livro. Da mesma forma que o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável, os conceitoscentrais do Cálculo Diferencial e Integral de várias variáveis são relativamente profundos enão se espera que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o importante é que oleitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensão geométrica dos problemas.

Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cálculo Diferencial eIntegral de uma variável.Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, criteriosa, dos softwares de Cál-culo existente no mercado, pois eles são um complemento útil ao aprendizado da disciplina.Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do IME-UERJ que, dealgum modo, nos motivaram e deram condições para escrever estas notas e à Sra. Sonia MariaAlves pela digitação. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dosautores.

Mauricio A. Vilches - Maria Luiza CorrêaRio de Janeiro



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Conteúdo

1 GEOMETRIA ANALÍTICA 91.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Espaços Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 O Espaço Euclidiano Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Sistema de Coordenadas Ortogonais no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Norma Euclidiana de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.1 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Distância emR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8.1 Paralelismo e Perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8.2 Forma Simétrica da Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8.3 Distância de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.9.1 Ângulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.9.2 Paralelismo e Perpendicularismo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . 231.9.3 Distância de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10 Generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.10.1 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11 Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.12 Superfícies Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.12.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.12.2 Hiperbolóide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.12.3 Hiperbolóide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.12.4 Parabolóide elítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.12.5 Parabolóide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.12.6 Cone elítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.12.7 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5



6 CONT

2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Gráfico de Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1 Conjuntos de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Conjunto Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 LIMITES E CONTINUIDADE 4.1 LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 CONTINUIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 DERIVADAS PARCIAIS 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Derivadas Parciais como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 DERIVADA DIRECIONAL

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Derivada Direcional como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Gradiente de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.1 Observações Geométricas sobre Gradientes . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Gradiente e Conjuntos de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Gradiente e Curvas de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.1 Ângulo entre Curvas que se Intersectam . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Gradiente e Superfícies de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.7.1 Ângulo entre Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 MÁXIMOS E MINIMOS 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Determinação dos Extremos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



CONTEÚDO 7

7.3.1 Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.4 Máximos e Mínimos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.5 Método dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.6 Determinação dos Extremos Condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.7 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.7.1 Generalização do Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8 INTEGRAÇÃO DUPLA 1958.1 Integração Dupla sobre Retângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.2 Significado Geométrico da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.3 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.4 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.4.1 Extensão do Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.5 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.5.1 Regiões Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2058.6 Extensão da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.7 Integral Dupla e Volume de Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

8.7.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9 MUDANÇA DE COORDENADAS 2219.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.2 Mudança Linear de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.3 Mudança Polar de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9.3.1 Regiões Limitadas por Círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.3.2 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

9.4 Outras Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2389.4.1 Massa Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.4.2 Momento de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.4.3 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.4.4 Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

10 INTEGRAÇÃO TRIPLA 24510.1 Integração Tripla sobre Paralelepípedos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24510.2 Integrais Triplas sobre Regiões mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

10.2.1 7.2.1 Regiões Elementares no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24810.3 Extensão da Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25010.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

11 MUDANÇA DE COORDENADAS 25511.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25511.2 Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25611.3 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26111.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265



8 CONT

12 APÊNDICE 12.1 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliografia



Capítulo 1

GEOMETRIA ANALÍTICA

1.1 Introdução

Neste capítulo estabeleceremos os conceitos básicos para o estudo do Cálculo em várias va-riáveis. Não pretendemos fazer um estudo detalhado de vetores ou de Geometria Analítica,mas recomendamos aos leitores, consultar a bibliografia como complemento necessário destecapítulo.

1.2 Espaços Euclidianos

O espaço euclidiano n-dimensional (n ∈ N) é o produto cartesiano de n fatores iguais a R:

Rn = R× R× . . . . . . × R.

Se n = 1, R1 = R é a reta; se n = 2, R2 é o plano e se n = 3, R3 é o espaço euclidianotridimensional.

1.2.1 O Espaço Euclidiano TridimensionalO espaço euclidiano tridimensional é definido pelo conjunto:

R3 = {(x,y ,z) /x, y, z ∈ R}.

Logo, os elementos de R3 são ternos ordenados. Dados (x,y,z) ∈ R3 e (x1, y1, z1) ∈ R3, tem-se(x,y,z) = (x1, y1, z1) se, e somente se, x = x1, y = y1 e z = z1.

Em R3 podem ser definidas duas operações.

Definição 1.1. Dados (x,y,z), (x1, y1, z1) ∈ R3 e β ∈ R, definimos:

1. Adição de elementos de R3: (x,y,z) + (x1, y1, z1) = (x + x1, y + y1, z + z1).

2. Multiplicação de elementos de R3 por escalares de R: β (x,y ,z) = (β x, β y,β z).

Estas duas operações satisfazem às seguintes propriedades:

Proposição 1.1. Dados x, y, z e 0 = (0, 0, 0) elementos de R3 e α, β ∈ R ; então:

9



10 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA ANA

1. x + y = y + x

2. (x + y) + z = x + (y + z)

3. x + 0 = 0 + x = x.

4. α (β x) = (α β )x

5. β (x + y) = β x + β y

6. (α + β )x = αx + β x

7. 1 · x = x · 1 = x

8. ∃ − x ∈ R3 tal quex + (

−x) = (

−x) + x = 0.

Note que, se x = (x,y,z), então −x = (−x, −y, −z)

Em geral, um conjunto onde são definidas as operações de adição e multiplicação pnúmero real (escalar), como na definição anterior, satisfazendo às propriedades antechamado espaço vetorial sobreR e seus elementos são chamados vetores. Logo,R3 é umvetorial (de dimensão 3) sobre R. De forma analoga, R2 é um espaço vetorial de dimsobreR.

1.3 Sistema de Coordenadas Ortogonais no Espaço

Escolhamos três retas mutuamente perpendiculares e denotemos por 0 o ponto de intdas retas, chamado origem. Estas retas, ditas eixos coordenados, são designadas comodos x, eixo dos y e eixo dos z, respectivamente. Os eixos dos x e dos y formam um plrizontal e o eixo dos z é ortogonal a este plano. Os planos que contem os eixos coordchamados planos coordenados, são: plano xy se contem os eixos dos x e dos y; plancontem os eixos dos x e dos z e plano yz se contem os eixos dos y e dos z. Os planos cnados dividem o espaço em oito partes chamadas octantes. Um terno ordenado de nreais (x,y,z) está associado a um único ponto P do sistema de coordenadas. A distânponto P ao plano yz é a coordenada x de P , a distância do ponto P ao plano xz é a coory de P e a distância do ponto P ao plano xy é a coordenada z de P . Estas três coordenaas coordenadas retangulares do ponto P e determinam uma correspondência um a um

ternos ordenados e pontos do sistema de coordenadas. Ao 0 está associado o terno (0, 0

P

x

y

z

0

(x,y)

Figura 1.1:

Os elementos deR3 são denominados pontos ou vetores, com o seguinte cuidado: (x,y,é um vetor que tem a origem em (0, 0, 0) e extremidade em (x,y,z) e é também chamad



1.4. PRODUTO ESCALAR 11

posição de (x,y,z). Para ter uma melhor distinção denotaremos os vetores de forma diferenteda dos pontos. Por exemplo 0 = (0, 0, 0) é o vetor nulo.

(x,y,0)

(x,y,z)

z

x

0 y

Figura 1.2:

Dados P 1 = (x1, y1, z1) e P 2 = (x2, y2, z2), o vetor v determinado por−−−→P 1P 2 é:

v = P 2−

P 1 = (x2

−x1, y2

−y1, z2

−z1)

O vetor v =−−→OP é o vetor posição do ponto P .

Exemplo 1.1.

[1] Se P 1 = (3, 2, 1) e P 2 = (−2, 1, −5), determine−−−→P 1P 2.

Da definição: −−−→P 1P 2 = (−2, 1, −5) − (3, 2, 1) = (−5, −1, −6).

[2] Se P 1 = (√

2, 1, π) e P 2 = (2, 1, 2 π), determine−−−→P 1P 2.

Da definição: −−−→P 1P 2 = (2, 1, 2 π) − (

√2, 1, π) = (2 −

√2, 0, π).

1.4 Produto Escalar

Definição 1.2. Sejam u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) vetores em R3. O produto escalar de u e v,denotado por u · v (ou < u, v >) é definido por:

u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

Analogamente se define o produto escalar de vetores emR2

.Proposição 1.2. Sejam v, u, w ∈ R3 e β ∈ R, então:




1. v · v ≥ 0

2. v · v = 0 se e somente se, v = 0.

3. v · u = u · v.

4. v · 0 = 0.

5. (β u) · v = u · (β v) = β ( u · v).

6. w · ( u + v) = ( w · u) + ( w · v).

As propriedades podem ser provadas diretamente da definição.

Definição 1.3. O vetor v é ortogonal a w se e somente se

v · w = 0

O vetor 0 é o único vetor ortogonal a todos os vetores de R3. Se w ∈ R2 e w = (x, y), evetores (−y, x) e (y, −x) são ortogonais a w.

1.5 Norma Euclidiana de um Vetor

Definição 1.4. Seja v = (v1, v2, v3) ∈ R3. A norma euclidiana de v é denotada por v e defin

v =√

v · v =

v21 + v22 + v23

O vetor v é dito unitário se v = 1.

Proposição 1.3.

1. Se w = 0 não é unitário, então o vetor definido por v = w

w , é unitário e tem a mesma

de w.

2. Se θ é o ângulo formado pelos vetores v e u, então: v · u = v u cos(θ).

A propriedade 1, pode ser provada diretamente da definição. A segunda, aplicamos aco-senos ao triângulo da figura, temos: u− v2 = u2 + v2 − 2 u v cos(θ).

v

u-v

O

u

θ

Figura 1.3:

u2 = u · u; temos:

u− v · u− v

= u · u + v · v− 2 u v cos(θ); logo,

u · u− u · v− v · u + v · v = u · u + v · v− 2 u v cos(θ);



1.5. NORMA EUCLIDIANA DE UM VETOR 13

então, u · v = u v cos(θ).

Três vetores de R3 tem um destaque especial, a saber:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).

0

k

j

i

Figura 1.4: Os vetores i, j e k.

Os vetores i,

je

ksão unitários e mutuamente ortogonais. O conjunto {

i,

j,

k} é dito a basecanônica do R3. Para todo v = (v1, v2, v3) ∈ R3 temos:

v = v1 i + v2 j + v3 k

1.5.1 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores

Os ângulos diretores de um vetor não nulo v = (v1, v2, v3) são os ângulos α, β e γ , no intervalo[0, π] que v forma com os eixos coordenados.

γ

α

β

y

z

x

Figura 1.5:

Os co-senos desses ângulos diretores, cos(α), cos(β ) e cos(γ ) são chamados co-senos diretoresdo vetor v. Pelas propriedades do produto escalar, temos:

cos(α) = v · i

v i=

v1 v =

v1 v21 + v22 + v23

, cos(β ) = v · j

v j=

v2 v =

v2 v21 + v22 + v23




e

cos(γ ) = v · k

v k=

v3 v =

v3 v21 + v22 + v23

.

O vetor v fica univocamente determinado conhecendo seu comprimento e seus ângulotores. De fato:

v1 = v cos(α), v2 = v cos(β ) e v3 = v cos(γ ).

Note que cos2

(α) + cos2

(β ) + cos2

(γ ) = 1.Exemplo 1.2.

[1] Sejam v = (1, 2, 3) e w = (−2, 1, 3). Determine v · w e os vetores unitários nas direçõe w, respectivamente.

Primeiramente calculamos v · w = −2 + 2 + 9 = 9. Agora devemos determinar v v

v =√

1 + 4 + 9 =√

14 e w =√

4 + 1 + 9 =√

14; logo, 1√14

,2√14

,3√14

e

− 2√14

,1√14

,3√14

,

são os vetores unitários nas direções de v e w, respectivamente.

[2] Sejam v = (x, −2, 3) e u = (x,x, −5). Determine o valor de x para que v e u sejam nais.

Da definição v e u são ortogonais se v · u = 0; então, v · u = x2 − 2 x − 15 = 0, equação qsoluções x = 5 e x = −3; logo: v = (5, −2, 3) e u = (5, 5, −5) são ortogonais e v = (−3, u = (−3, −3, −5) são ortogonais.

[3] Sejam P 1 = (3, −2, −1), P 2 = (1, 4, 1), P 3 = (0, 0, 1) e P 4 = (−1, 1, −1). Determine o formado pelos vetores

−−−→P 1P 2 e

−−−→P 3P 4.

Sejam v =−−−→P 1P 2 = (1 − 3, 4 + 2, 1 + 1) = (−2, 6, 2) e w =

−−−→P 3P 4 = (−1, 1, −2). O ângulo fo

por v e w é:

cos(θ) = v

· w

v w= 2

33.

[4] Calcule os co-senos diretores de u = (−2, 1, 2).

Como u = 3, cos(α) = −2

3, cos(β ) =

1

3e cos(γ ) =

2

3.

1.5.2 Trabalho

Suponha que uma força constante F move uma partícula de um ponto P até um ponttrabalho realizado pela partícula é dado por:

W = F · −−→P Q

Se a unidade de comprimento é dada em metros e a força é dada em Newtons, o trabdado em Joules (J ).

Exemplo 1.3.

Uma força dada por F = (1, 2, 3) move uma partícula do ponto (1, 1, 1) ao ponto (4, 2, 3W = (1, 2, 3) · (3, 1, 2) = 3 + 2 + 6 = 11 J .



1.6. PRODUTO VETORIAL 15

1.6 Produto Vetorial

Definição 1.5. Dados v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) vetores em R3, o produto vetorial de v e w,denotado por v× w é definido por:

v

× w = v2 v3

w2 w3 i

− v1 v3

w1 w3 j + v1 v2

w1 w2 k

Logo, da definição segue:

v × w =

v2 w3 − v3 w2

i +

v3 w1 − v1 w3

j +

v1 w2 − v2 w1

k.

Proposição 1.4. Sejam v, w e u vetores do R3 e β ∈ R. Então:

1. v× v = 0.

2. 0 × v = v× 0 = 0.

3. v× w = − w× v.

4. v × ( w + u) = v× w + v× u.

5. β v× w = v× β w = β ( v× w).

6. v× w = v w sen(θ), onde θ é o ângulo formado por v e w.

7. Os vetores v e w são paralelos se e somente se v× w = 0.

8. O vetor v× w é ortogonal aos vetores v e w.

9. A área do paralelogramo determinado por v e w é v × w.

v

w

θ

Figura 1.6:

10. Identidade de Lagrange: v × w2 = v2 w2 − ( v · w)2.

11. u · ( v × w) =

u1 u2 u3

v1 v2 v3w1 w2 w3

.12. O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w é dado por

V = | u · ( v× w)|.




Prova: As provas seguem diretamente das definições. Por exemplo:

7. Se v× w = 0 o ângulo formado pelos vetores é zero ou π; logo, os vetores são parale

9. A base do paralelogramo é v e sua altura é w sen(θ), onde θ é o ângulo entre v e

10. v× w2 = v2 w2 sen2(θ) = v2 w2 (1 − cos2(θ)) = | v2 w2 − ( v · w)2.

12. A área da base é A =

v

× w

; seja θ o ângulo formado por u e v

× w; logo, a al

paralelepípedo é h = u |cos(θ)|; então, V = | u · ( v × w)|.

Exemplo 1.4.

[1] Sejam v = (−3, −2, 2) e w = (−1, 1, 2). Calcule v× w, ( w× v) × v e ( w× v) × u.

Da definição e das propriedades temos: v × w = (−6, 4, −5) e ( w × v) × v = (2, −27( w× v) × w = (−13, −18, 2).

[2] Calcule i× j, i× k, j× k e ( i× j) × ( j× k).

Da definição temos: i × j = (0, 0, 1) = k, i × k = (0, −1, 0) = − j, j × k = (1, 0, 0( i

× j)

×( j

× k) = k

× i = j.

[3] Calcule a área do triângulo determinado por P = (2, 2, 0), Q = (−1, 0, 2) e R = (0, 4,

A área do triângulo é a metade da área do paralelogramo determinado por u =−−→P Q e v

logo:

A = u× v

2=

(−10, 5, −10)2

=15

2.

[4] Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u = (2, −3, 4), v = (1e w = (3, −1, 2).

Como v× w = (3, −5, −7), temos V = | u · ( v × w)| = | − 7| = 7.

[5] Determine o valor de k tal que u = (2, −1, 1), v = (1, 2, −3) e w = (3, k, 5) sejam coplSe u, v e w são coplanares, então, u · ( v × w) = 0; caso contrário, determinariam um ppípedo e, portanto, os vetores não poderiam ser coplanares.

v× w = (10 + 3 k, −14, k − 6);

logo, u · ( v× w) = 7 k + 28; resolvendo 7 k + 28 = 0, temos k = −4.

1.6.1 Torque

Se uma força F age num ponto de um corpo rígido, de vetor posição r, então essa forç

a girar o corpo em torno de um eixo que passa pela origem do vetor posição e é perpenao plano de r e F . O vetor torque (relativo à origem) é dado por τ = r × F . O torque uma medida do efeito de um corpo rígido ao rodar em torno de um eixo. A direção de τo eixo de rotação.

Exemplo 1.5.



1.7. DISTÂNCIA EM R3 17

[1] Uma força F = (2, 5, 8) age num ponto de um corpo rígido, de coordenadas (1, 1, 2). Calculeo torque. Da definição r = (1, 1, 2); logo, τ = r × F = (1, 1, 2)× (2, 5, 8) = (−2, −4, 3). A direçãode (−2, −4, 3) indica o eixo de rotação.

[2] Um parafuso é apertado aplicando uma força de 300 N com uma chave de 0.45 m de com-primento fazendo um ângulo de π

4 como na figura. Determine o módulo do torque em tornodo centro do parafuso.

Figura 1.7:

τ

=

r

× F

=

r

F

sen(α); como

r

= 0.45,

F

= 300 e senπ

4 =√22 , temos,

τ

=

67.5 √2 J .

1.7 Distância emR3

Definição 1.6. Sejam P 1 = (x1, y1, z1) e P 2 = (x2, y2, z2) pontos do R3. A distância entre P 1 e P 2 édenotada e definida por:

d0(P 1, P 2) =

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

Em particular, se P = (x,y,z):

d0(0, P ) = −→0P =

x2 + y2 + z2

Proposição 1.5. Sejam P 1, P 2 e P 3 pontos do R3, então:

1. d0(P 1, P 2) > 0

2. d0(P 1, P 2) = 0 se, e somente se P 1 = P 2.

3. d0(P 1, P 2) = d0(P 2, P 1)

4. d0(P 1, P 3) ≤ d0(P 1, P 2) + d0(P 2, P 3).

1.8 RetasSejam P = (x1, y1, z1) um ponto e v = (v1, v2, v3) um vetor em R3. A reta que passa pelo pontoP e tem direção v é dada, parametricamente, por:

P (t) = P + t v, t ∈ R




Em coordenadas:

x(t) = x1 + t v1

y(t) = y1 + t v2

z(t) = z1 + t v3, t ∈ R.

Dados P 1 = (x1, y1, z1) e P 2 = (x2, y2, z2) em R3, vamos obter a equação da reta que paP 1 e P 2.

P

1

2

z

O

x

y

P

Figura 1.8: A reta que passa por P 1 e P 2.

A direção da reta é dada por v =−−−→P 1P 2; logo, as equações paramétricas são:

x(t) = x1 + t (x2 − x1)

y(t) = y1 + t (y2 − y1)

z(t) = z1 + t (z2−

z1), t

∈R.

Exemplo 1.6.

[1] Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, −1, 1) e tem a direção do vetorAche outro ponto da reta.

Sejam P = (1, −1, 1) e v = (2, 1, 3); logo,

x(t) = 1 + 2 ty(t) = −1 + t

z(t) = 1 + 3 t,

t ∈ R. Fazendo, por exemplo, t = 1 na equação da reta, temos que (3, 0, 4) é um ponto d



1.8. RETAS 19

-2.5

0

2.5

5

-20

2

-5

0

5

-2.5

0

2.5

5

-2

Figura 1.9: A reta do exemplo [1].

[2] Determine a equação da reta que passa pelos pontos P 1 = (−2, −1, 3) e P 2 = (3, 2, 7).A direção da reta é v =

−−−→P 1P 2 = (5, 3, 4); logo a equação é:

x(t) = −2 + 5 t

y(t) = −1 + 3 t

z(t) = 3 + 4 t, t ∈ R.

-5

0

5

-50

5

-5

0

5

-5

0

5

-50

Figura 1.10: A reta do exemplo [2].

1.8.1 Paralelismo e Perpendicularismo

Sejam l1 e l2 retas de direções v1 e v2, respectivamente; então:

1. l1 é paralela a l2 se, e somente se, v1 × v2 = 0.

2. l1 é perpendicular a l2 se, e somente se, v1 · v2 = 0.

A prova segue diretamente das definições.

Exemplo 1.7.[1] As retas

x = 1 + 2 t

y = −3 + 6 t

z = 1 + 4 t

e

x = 4 − t

y = −3 t

z = −5 − 2 t




são paralelalas. De fato, v1 = (2, 6, 4), v2 = (−1, −3, −2) e v1 × v2 = 0.

[2] As retas

x = 1 + 2 t

y = −3 + 6 t

z = 1 + 4 t

e

x = 5 − t

y = 3 + t

z = −5 − t

são perpendiculares. De fato, v1 = (2, 6, 4), v2 = (−

1, 1,−

1) e v1·

v2 = 0.

[3] As retas

x = 1 + 2 t

y = −2 + 3 t

z = 4 + t

e

x = 5 t

y = 3 + 2 t

z = −3 + 3 t

não são paralelas nem perpendiculares e não se intersectam. Tais retas são ditas reversa

-5

0

5

10

-50

5

-5

0

5

-5

0

5

10

-50

Figura 1.11: As retas do exemplo [3].

1.8.2 Forma Simétrica da Equação da Reta

Eliminando o parâmetro t na equação da reta, obtemos a forma simétrica da equação da

x − x1

v1=

y − y1v2

=z − z1

v3

sendo os vi = 0 (1 ≤ i ≤ 3). Se, por exemplo, v1 = 0, obtemos:

x = x1,y − y1

v2=

z − z1v3

;

os outros casos são análogos.

1.8.3 Distância de um Ponto a uma Reta

Seja P um ponto que não pertence à reta que passa pelos pontos Q e R. A distância doP à reta é:

d1 = v × w

vonde v =

−−→QR e w =

−−→QP . A prova deste fato fica como exercício.



1.9. PLANOS 21

Exemplo 1.8.

[1] Ache a distância do ponto P = (2, 1, −1) à reta que passa pelos pontos Q = (2, 0, 1) eR = (−2, −2, 1).

Como v =−−→QR = (−4, −2, 0), w =

−−→QP = (0, 1, −2); logo, d1 =

v× w v = 245 .

1.9 Planos

Definição 1.7. Sejam o vetor n = 0 e o ponto P 0 = (x0, y0, z0) ∈ R3, fixado. O conjunto de todos os pontos P = (x,y,z) ∈ R3 tais que:

n · −−→P 0P = 0

é chamado plano passando por P 0 e tendo normal n. Em particular, se n = (a,b,c), o plano passando

por P 0 e de normal n, tem a equação em coordenadas:

a (x − x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0

Exemplo 1.9.

[1] Ache a equação do plano que passa pelo ponto (1, −1, 1) e é normal ao vetor (−1, 2, 3).

Sejam P 0 = (1, −1, 1) e n = (−1, 2, 3); então, −1 (x − 1) + 2 (y + 1) + 3 (z − 1) = −x + 2 y + 3 z.A equação é −x + 2 y + 3 z = 0.

-1

0

1

-1

0

1

-1

0

1

-1

0

1

-1

0

Figura 1.12: Exemplo [1].

[2] Ache a equação do plano que passa pelo ponto (1, −1, −1) e é normal ao vetor (3, 2, −3).

Sejam P 0 = (1, −1, −1) e n = (3, 2, −3); então: 3 (x−1)+ 2(y + 1)−3 (z +1) = 3 x + 2 y −3 z −4.A equação é 3 x + 2 y − 3 z = 4.




-3

0

3

-3

0

2

-3

0

3

-3

0

2


Considerando a equação do primeiro grau nas variáveis x, y e z, a x + b y + c z + d = 0, b e c ∈ R não são todas nulas, o subconjunto do R3:

P = {(x,y ,z) ∈ R3/ a x + b y + c z + d = 0}

é o plano com vetor normal n = (a,b,c).Por simplicidade usaremos a expressão plano a x + b y + c z + d = 0 em lugar de, o pequação a x + b y + c z + d = 0.

Exemplo 1.10.

Determine a equação do plano que passa por P 1 = (1, 1, 1), P 2 = (2, 0, 0) e P 3 = (1, 1, 0)

Qualquer vetor normal ao plano deve ser ortogonal aos vetores v =−−−→P 1P 2 e w =

−−−→P 2P 3, q

paralelos ao plano. Logo, o vetor normal ao plano é n = v × w, donde n = (1, 1, 0); equação do plano é x + y + d = 0; como (2, 0, 0) pertence ao plano, temos: d =

−2 e a e

é x + y − 2 = 0.

-10

1

-1

0

1

2

-1

0

1

Figura 1.14:

1.9.1 Ângulo entre Planos

Definição 1.8. O ângulo entre dois planos é o menor ângulo formado pelos vetores normais aos



1.9. PLANOS 23

Logo, se n1 e n2 são os vetores normais aos planos, então:

cos(θ) = n1 · n2

n1 n2Exemplo 1.11.

[1] Determine o ângulo entre os planos 5 x

−2 y + 5 z = 12 e 2 x + y

−7 z =

−11.

Os vetores normais aos planos são n1 = (5, −2, 5) e n2 = (2, 1, −7), respectivamente; logo,cos(θ) = n1· n2

n1 n2 = −12 e θ = 2π

3 rad.

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.50

0.51

1

1.5

2

-1-0.5

00.5

-1

-0.50

0.5

Figura 1.15:

[2] Determine o ângulo entre os planos x + y − z = 0 e x − 2 y + 2 z = 0.

Os vetores normais aos planos são n1 = (1, 1, −1) e n2 = (1, −2, 2), respectivamente; logo:

cos(θ) = n1 · n2

n1 n2 = − 1√3

e θ = arccos(− 1√3

) rad.

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.50

0.5 1

-2

-1

0

1

2

-1-0.5

00.5

-1

-0.50

0.5

Figura 1.16:

1.9.2 Paralelismo e Perpendicularismo entre Planos

Definição 1.9. Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais, respectivamente n1 e n2, são paralelos, isto é:

n1 × n2 = 0




Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais, respectivamen n2, são ortogonais, isto é:

n1 · n2 = 0.

Proposição 1.6. Os planos a x + b y + c z = d e a1 x + b1 y + c1 z = d1 são:

1. paralelos, se existe k ∈ R tal que a = k a1, b = k b1 e c = k c1 ;

2. perpendiculares, se a a1 + b b1 + c c1 = 0.

A prova segue das definições.

Exemplo 1.12.

Determine a equação do plano paralelo ao plano 3 x + y − 6 z + 8 = 0 e que passa peloP = (0, 0, 1).

O vetor normal ao plano é n = (3, 1, −6); logo, a equação do plano é 3 x + y − 6 z + d = 0o ponto P pertence ao plano temos −6 + d = 0, logo, a equação do plano é

3 x + y − 6 z + 6 = 0.

O plano:a x + b y + d = 0

é perpendicular ao plano xy.

O plano:b y + c z + d = 0

é perpendicular ao plano yz.

O plano:a x + c z + d = 0

é perpendicular ao plano xz.

Figura 1.17: Planos coordenados.



1.10. GENERALIZAÇÕES 25

1.9.3 Distância de um Ponto a um Plano

Definição 1.10. A distância do ponto P 0 = (x0, y0z0) ao plano a x + b y + c z + d = 0 é dada por:

d2 =|a x0 + b y0 + c z0 + d|√

a2 + b2 + c2

Exemplo 1.13.

[1] Determine a distância do ponto (1, 1, −5) ao plano 12 x + 13 y + 5 z + 2 = 0.

Aplicando diretamente a fórmula: d2 =

√2

13.

[2] Determine a distância entre os planos paralelos: x + 2 y − z = 8 e 4 x + 8 y − 4 z = 10.

A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer do planox + 2 y − z = 8 ao plano 4 x + 8 y − 4 z = 10. O ponto (1, 4, 1) pertence ao plano x + 2 y − z = 8.A distância do ponto (1, 4, 1) ao plano 4 x + 8 y − 4 z = 10 é:

d2 = |4 + 32 − 4 − 10|√16 + 64 + 16

= 112√

6.

Em geral, se a x + b y + c z = d e a x + b y + c z = d1 são planos paralelos, a distância entre osplanos é:

d3 =|d1 − d|√

a2 + b2 + c2

1.10 Generalizações

Podemos fazer as seguintes generalizações para Rn

, n ≥ 3.Os pontos x ∈ Rn são x = (x1, x2, x3,....,xn) onde xi ∈ R. Dados x,y ∈ Rn, dizemos que x = y

se e somente se xi = yi, para todo i = 1,....,n. (0, ......., 0) é a origem do Rn. Em Rn podem serdefinidas duas operações. Dados x = (x1, x2, x3,....,xn),y = (y1, y2, y3,....,yn) ∈ Rn e β ∈ R:

Adição de elementos de Rn:

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, ........,xn + yn).

Multiplicação de elementos de Rn por escalares de R:

β · x = (β · x1, β · x2, .........., β · xn).

Estas duas operações satisfazem as propriedades análogas às enunciadas para R3. Logo, Rn

é um espaço vetorial de dimensão n sobre R. Os elementos do Rn são denominados pontosou vetores, com o seguinte cuidado: v ∈ Rn é um vetor que tem a origem em (0, ......., 0) eextremidade em v. Para ter uma melhor distinção denotaremos os vetores de forma diferenteda utilizada para os pontos. Por exemplo, 0 = (0, ......., 0) é o vetor nulo.




1.10.1 Produto escalar

Se u = (u1, u2, u3,....,un) e v = (v1, v2, v3,....,vn) são vetores do Rn, o produto escalar ddenotado por u · v é definido por:

u · v = u1 · v1 + u2 · v2 + ......... + un · vn.

O produto escalar tem as seguintes propriedades:

1. (β u) · v = u · (β v) = β ( u · v).

2. w · ( u + v) = ( w · u) + ( w · v).

3. v é ortogonal a w se, e somente se, u · v = 0.

Norma euclidiana: Se v ∈ Rn não é nulo:

v =√

v · v.

Distância: Se x = (x1, x2,....,xn) e y = (y1, y2,....,yn) são pontos do Rn, então:

d(x,y) =x

−y

= (x1

−y1)2 + (x2

−y2)2 + ........ + (xn

−yn)2.

1.11 Superfícies

Em R3 temos dois tipos de objetos de nosso interesse: os sólidos e as superfícies. Deintuitiva podemos dizer que os sólidos são os objetos de R3 que possuem volume e asfícies são objetos de R3 que possuem área, mas tem espessura irrelevante. Para leitorconhecimentos mais profundos, podemos dizer que um sólido é um objeto de dimensãR3 e as superfícies são objetos de dimensão 2 em R3. Os sólidos nos permitem mode

exemplo, depósitos de combustíveis, turbinas de aviões ou carros. As superfícies nos tem modelar, por exemplo, folhas de papel, membranas ou lâminas de metal. As dematemáticas destes objetos estão fora do contexto destas notas e, por isso, ficaremos coidéias intuitivas. Do Cálculo de uma variável, conhecemos os sólidos de revolução. Poplo, o sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos y a região limitada pelode (x − b)2 + y2 = a2, 0 < a < b. Veja o seguinte desenho:



1.12. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 27

Figura 1.18: Uma superfície em R3.

Os planos são exemplos de superfícies. A seguir definiremos um novo tipo de superfície: assuperfícies quádricas.

1.12 Superfícies Quádricas

Sabemos que o conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ R2 que satisfazem a equação geral dosegundo grau nas variáveis x e y é uma seção cônica: parábola, elipse, hipérbole ou algumaforma degenerada dessas curvas, como um ponto ou um par de retas. Em R3, a equação geraldo segundo grau nas variáveis x, y e z é F (x,y,z) = 0, onde:

F (x,y ,z) = A x2 + B y2 + C z2 + D x y + E x z + F y z + G x + H y + I z + J,

onde os coeficientes dos termos de segundo grau não são todos nulos, de modo que o grau daequação é 2. O subconjunto Q

⊂R3, definido por:

Q = {(x,y,z) ∈ R3 / F (x,y,z) = 0}

é chamado superfície quádrica ou quádrica central. Usando rotações e translações é possívelmostrar que existem os seguintes tipos de superfícies quádricas não degeneradas:

1) Elipsóides.

2) Hiperbolóide elítico ou de uma folha.

3) Hiperbolóide de duas folhas.

4) Parabolóide elítico.

5) Parabolóide hiperbólico.6) Cones.

7) Cilindros.

Apresentaremos as equações que definem as quádricas centradas na origem. As outras formasmais gerais podem ser determinadas a partir de translações e rotações. Uma forma básica




de esboçar uma superfície quádrica é determinar os interseptos com os eixos coordendesenhar suas seções retas, ou seja, as interseções da superfície com os planos coordtambém chamadas traços da quádrica. As quádricas centrais apresentam simetrias em a cada um dos planos coordenados. Se na equação que define a quádrica substituimos xe a equação não se altera, a quádrica é simétrica em relação ao plano yz; se substituimo−y e a equação não se altera, a quádrica é simétrica em relação ao plano xz; se substitupor

−z e a equação não se altera, a quádrica é simétrica em relação ao plano xy e se subst

(x,y,z) por (−x, −y, −z) e a equação não se altera, a quádrica é simétrica em relação à o

1.12.1 Elipsóide

A equação que representa o elipsóide de centro na origem é:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1,

onde a, b, c ∈ R não são nulos.

Figura 1.19: O elipsóide.

Interseções com os eixos coordenados: (±a, 0, 0), (0, ±b, 0) e (0, 0, ±c).

Simetrias: a equação não se altera se substituimos (x,y,z) por (−x, −y, −z); logo, o eltem simetria em relação à origem.

Traços do elipsóide:

No plano xy é a elipse: x2

a2+ y

2

b2= 1.

No plano yz é a elipse:y2

b2+

z2

c2= 1.

No plano xz é a elipse:x2

a2+

z2

c2= 1




Figura 1.20: O elipsóide e seus traços.

Em particular se a = b = c, temos:

x2 + y2 + z2 = a2

equação que representa a esfera de centro na origem e raio a.

Figura 1.21: A esfera e seus traços.

Em geral, a equação do elipsóide centrado no ponto (x0, y0, z0) é:

(x − x0)2

a2+

(y − y0)2

b2+

(z − z0)2

c2= 1

Em particular, a equação que representa a esfera de centro em (x0, y0, z0) e raio a é:

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = a2

1.12.2 Hiperbolóide de uma folha

A equação que representa o hiperbolóide de uma folha de centro na origem é:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1





Figura 1.22: Hiperbolóide de uma folha.

Interseções com os eixos coordenados:(±

a, 0, 0)e

(0,±

b, 0).Simetrias: a equação não se altera se substituimos (x,y,z) por (−x, −y, −z); logo, o h

lóide tem simetria em relação à origem.Traços do hiperbolóide de uma folha:

No plano xy é a elipse:x2

a2+

y2

b2= 1.

No plano yz é a hipérbole:y2

b2− z2

c2= 1.

No plano xz é a hipérbole:x2

a2− z2

c2= 1.

Figura 1.23: Hiperbolóide de uma folha e seus traços.

As equações:x2

a2− y2

b2+

z2

c2= 1 e − x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1,




representam também hiperbolóides de uma folha. No primeiro caso o eixo do hiperbolóide éo eixo dos y e no segundo caso o eixo dos x. O termo negativo na equação indica o eixo dohiperbolóide.

Figura 1.24: Outros hiperbolóides de uma folha.

1.12.3 Hiperbolóide de duas folhas

A equação que representa o hiperbolóide de duas folhas de centro na origem é:

−x2

a2− y2

b2+

z2

c2= 1


Figura 1.25: Hiperbolóide de duas folhas.

Interseções com os eixos coordenados: (0, 0, ±c).Simetrias: a equação não se altera se substituimos (x,y,z) por (−x, −y, −z); logo, o hiperbo-lóide de duas folhas tem simetria em relação à origem.Traços do hiperbolóide de duas folhas:No plano xy: nenhuma.




No plano yz é a hipérbole: −y2

b2+

z2

c2= 1.

No plano xz é a hipérbole: −x2

a2+

z2

c2= 1

Figura 1.26: Hiperbolóide de duas folhas e seus traços.

As equações:x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1 e − x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1,

representam também hiperbolóides de duas folhas. No primeiro caso o eixo do hiperé o eixo dos x e no segundo caso o eixo dos y. O termo positivo na equação indica o hiperbolóide.

Figura 1.27: Outros hiperbolóides de duas folhas.

1.12.4 Parabolóide elítico

A equação que representa o parabolóide elítico de centro na origem é:

x2

a2+

y2

b2− z

c= 0




onde a, b, c ∈ R não são nulos. Para c > 0, as parábolas tem a concavidade voltada paracima. Para c > 0, o parabolóide "abre"para cima. De forma análoga, se c < 0, o parabolóide"abre"para baixo.

Figura 1.28: Parabolóides elíticos.

Interseções com os eixos coordenados: (0, 0, 0).

Simetrias: a equação não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, o parabolóide temsimetria em relação aos planos yz e xz.

Traços do parabolóide elítico:

No plano xy: o ponto (0, 0, 0).

No plano yz é a parábola:y2

b2− z

c= 0.

No plano xz é a parábola:x2

a2

−

z

c

= 0.

Figura 1.29: Parabolóide elítico e seus traços.




1.12.5 Parabolóide hiperbólico

A equação que representa o parabolóide hiperbólico de centro na origem é:

x2

a2− y2

b2− z

c= 0

onde a, b, c ∈ R não são nulos. Para c < 0, as parábolas (traços no plano yz e xzconcavidade voltada para baixo.

Figura 1.30: Parabolóide hiperbólico.


Simetrias: a equação não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, o parabhiperbólico tem simetria em relação aos planos yz e xz.

Traços do parabolóide hiperbólico:

No plano xy: é um par de retas que se intersectam na origem.

No plano yz é a parábola:y2

b2+

z

c= 0.

No plano xz é a parábola:x2

a2− z

c= 0.




Figura 1.31: Parabolóide hiperbólico e seus traços.

1.12.6 Cone elítico

A equação que representa o cone elítico de centro na origem é:

x2

a2+

y2

b2− z2

c2= 0


Figura 1.32: Cone elítico.


Simetrias: a equação não se altera se substituimos (x,y,z) por (−x, −y, −z); logo, o cone elíticotem simetria em relação à origem.Traços do cone elítico:No plano xy é a origem.

No plano yz:y2

b2− z2

c2= 0, duas retas que se intersectam na origem.




No plano xz:x2

a2− z2

c2= 0, duas retas que se intersectam na origem.

Figura 1.33: Cone elítico e seus traços.

O traço em um plano z = k paralelo ao plano xy tem a equação:

x2

a2+

y2

b2=

k2

c2,

que representa uma elipse.

1.12.7 Cilindros

Se C é uma curva plana e L é uma reta não situada no mesmo plano da curva, então o code todas as retas paralelas a L e que intersectam C é chamado cilindro. A curva C é ditado cilindro e cada reta que passa por C paralela a L é chamada geratriz do cilindro. Decom a observação, o cilindro de geratrizes paralelas ao eixo dos z e tendo como diretrelipse no plano xy centrada na origem, tem equação:

x2

a2+

y2

b2= 1

e é chamado cilindro elítico. ( a, b não são nulos).




Figura 1.34: Cilindro elítico.

Se por exemplo a equação é:

y2

b2− z

c= 0

obtemos o chamado cilindro parabólico. ( b, c não são nulos). Desenho à esquerda. Se por

exemplo a equação é:y3

b2− z

c= 0

obtemos o chamado cilindro cúbico. ( a, c não são nulos). Desenho à direita.

Figura 1.35: Cilindro parabólico e cúbico, respectivamente.

Em geral, se na equação que descreve uma quádrica falta uma variável, ela representa umcilindro, com geratrizes paralelas à variável que falta.

Exemplo 1.14.[1] Ache a natureza da quádrica 9 x2 − 18 x + 9 y2 + 4 z2 + 16 z − 11 = 0. Completando osquadrados:

9 x2 − 18 x + 9 y2 + 4 z2 + 16 z − 11 =(x − 1)2

4+

y2

4+

(z + 2)2

9− 1;




a equação representa um elipsóide centrado no ponto (1, 0, −2).

[2] Determine a equação da esfera concêntrica à esfera x2 + y2 + z2 + 4x + 2y −6z + 10 =passa pelo ponto (−4, 2, 5). Como as esferas são concêntricas, completamos os quadraddeterminar o centro da esfera dada: x2+y2+z2+4x+2y−6z+10 = (x+2)2+(y+1)2+(z−então, o centro é (−2, −1, 3) e a equação é (x + 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = a2. Para detea usamos o fato de que o ponto (

−4, 2, 5) pertence à esfera; logo a2 = 17. A equação é:

(x + 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 17.

[3] Verifique que a interseção do parabolóide hiperbólico y2

b2− x2

a2= z

c comoplano z = bformada por duas retas. Para determinar a interseção, devemos resolver o sistema de eq:

y2

b2 − x2

a2 = zc

b x + a y = z.

Igualando as equações por z:

y2b2

− a yc

− x2a2 + b x

c

= 0; completando os quadrados:

1

b2

y − ab2

2c

2 − 1

a2

x +a2b

2c

2=

1

b2

y − a b2

2 c

2 − b x

a+

a b2

2 c

2= 0;


logo: y − a b2

2 c= ±

b x

a+

a b2

2 c .

[4] Determine a equação da superfície formada pelo conjunto dos pontos P = (x,y ,z) etantes do plano x − 2 = 0 e do ponto (−2, 0, 0). Identifique a superfície. Sejam d2 a distâponto P ao plano x − 2 = 0 e d0 a distância do ponto P ao ponto (−2, 0, 0); logo, d2 = |d0 =

(x + 2)2 + y2 + z2. Como d0 = d2, temos: x = − (y2+z2)

8 . A superfície é um parabelítico.





[5] Determine a equação da superfície formada pelo conjunto dos pontos P = (x,y ,z) equidis-tantes das retas L1, que passa pela origem na direção (1, 0, 0) e, L2 que passa pelo ponto (0, 1, 0)na direção (0, 0, 1). Identifique a superfície.Sejam d1(P, Li) as distâncias do ponto P às retas Li (i = 1, 2); como d1(P, L1) = d1(P, L2),

temos: y =(x2

−z2)

2 . A superfície é um parabolóide hiperbólico.


[6] Mostre que se o ponto P 0 = (x0, y0, z0) pertence ao parabolóide hiperbólico z = y2 − x2,então, as retas L1 que passa pelo ponto P 0 na direção (1, 1, 2 (y0−x0)) e L2 que passa pelo pontoP 0 na direção (−1, −1, −2 (y0 − x0)) estão contidas no parabolóide hiperbólico. Consideremosa reta L1. Temos:

x(t) = x0 + t

y(t) = y0 + t

z(t) = z0 + 2 t (y0−

x0);

logo, y(t)2 − x(t)2 = (y20 − x20) + 2 t (y0 − x0) = z0 + 2 t (y0 − x0) = z(t). Para L2 o procedimento

é análogo.

Os objetos sólidos do R3 que utilizaremos neste texto são definidos através de inequações.




Exemplo 1.15.

[1] R = {(x,y ,z) ∈ R3/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q} = [a, b] × [c, d] × [ p,q]. O conjrepresenta um paralelepípedo retangular.

[2] B = {(x,y,z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 ≤ r2, r > 0}. O conjunto B representa uma bola sócentro na origem e raio r ou o conjunto de todos os vetores de norma menor ou igual a

[3] C = {(x,y,z) ∈ R3

/x2

+ y2

≤ r2

, 0 ≤ z ≤ h, h > 0}. O conjunto C é uma porção do ccircular reto de altura h e raio r.

[4] F é o sólido obtido pela revolução de uma região do plano fechada e limitada pcurva:

Figura 1.39: Sólido em R3.

Note que todos estes conjuntos possuem volume.

1.13 Exercícios

1. Determine v =−−−→P 1P 2, se:

(a) P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (−5, 3, 1)

(b) P 1 = (

−3, 2,

−1), P 2 = (15, 2, 6)

(c) P 1 = (12, 222, 1), P 2 = (5, 23, 11)(d) P 1 = (4, 24, 18), P 2 = (−25, 23, 11)

(e) P 1 = (9, 3, 1), P 2 = (9, −3, 2)

(f) P 1 = (0, 12, −11), P 2 = (5, 2, 16)

(g) P 1 = (1, 1, 1), P 2 = (5, 3, 0)

(h) P 1 = (14, −12, 11), P 2 = (−1, 9, −1)

(i) P 1 = (−6, −4, 1), P 2 = (−2, 2, −(j) P 1 = (4,

−2, 20), P 2 = (3, 9, 9)

(k) P 1 = (−16, 14, 1), P 2 = (2, −2,(l) P 1 = (3, 3, 1), P 2 = (6, −9, 3)

(m) P 1 = (6, −4, 6), P 2 = (4, 2, 6)

(n) P 1 = (11, 23, 2), P 2 = (3, 0, 3)

(o) P 1 = (2, 2, −6), P 2 = (1, −4, −2



1.13. EXERCÍCIOS 41

2. Determine v · w e os vetores unitários nas direções de v e w, se:

(a) v = (1, 2, 1), w = (−5, 3, 1)

(b) v = (−3, 2, −1), w = (1, 2, −6)

(c) v = (2, −2, 2), w = (−2, 2, 1)

(d) v = (4, 1, 8), w = (−

2,−

23,−

1)

(e) v = (√

5, −3, 6), w = (−9, −3, 2)

(f) v = (0, 1, −1), w = (3, 2, 6)

(g) v = (1, 1, 1), w = (0, 3, 0)

(h) v = (−1, −1, −1), w = (7, −3, 2)

(i) v = (4, −2, 11), w = (−1, 0, −1)

(j) v = (−

6,−

4, 1), w = (−

2, 2,−

6)

(k) v = (4/3, −1, 1), w = (−2/5, 5, −1)

(l) v = (4/5, 4, 1/6), w = (2/3, −1, 3/4)

3. Determine o ângulo formado pelos vetores v e w, se:

(a) v = (−1, 2, −1), w = (−5, 3, 1)

(b) v = (−1, −2, −1), w = (1, −2, −6)

(c) v = (2, −2, −2), w = (−1, 2, 1)

(d) v = (1, 1, −8), w = (−2, −3, −1)(e) v = (5, −2, −6), w = (−8, 3, −2)

(f) v = (0, 1, −1), w = (3, 2, 6)

(g) v = (1, 1, 1), w = (0, 3, 0)

(h) v = (−1, −1, −1), w = (7, −3, 2)

(i) v = (4, −2, −1), w = (1, 0, 1)(j) v = (−6, −4, 1), w = (−2, 2, 0)

4. Determine o valor k tal que os seguintes vetores sejam ortogonais:

(a) v = (3, −2 k, 4), w = (1, 2, 5)

(b) v = (−1, 1, k), w = (1, −1, 1)

(c) v = (−k, −1, −1), w = (3, 0, 1)

(d) v = (k, 1, k), w = (−2, k, −k)

5. Determine v× w, se:

(a) v = (−1, 2, −1), w = (−5, 3, 1)

(b) v = (−1, −2, −1), w = (1, −2, −6)

(c) v = (2, −2, −2), w = (−1, 2, 1)

(d) v = (1, 1, −8), w = (−2, −3, −1)

(e) v = (5, −2, −6), w = (−8, 3, −2)

(f) v = (0, 1, −1), w = (3, 2, 6)

(g) v = (1, 1, 1), w = (0, 3, 0)

(h) v = (−1, −1, −1), w = (7, −3, 2)

(i) v = (4, −2, −1), w = (1, 0, 1)

(j) v = (−6, −4, 1), w = (−2, 2, 0)

(k) v = (0, 1, −1), w = (2, 0, 1)

(l) v = (1, 0, 1), w = (3, 2, 1)

(m) v = (3, 1, 2), w = (−6, 2, −1)

(n) v = (1, 4, 2), w = (−1, 2, −1)

(o) v = (1/3, 2, 1), w = (4, 2/4, 3)

(p) v = (1/2, 1, 3/5), w = (4/3, 2, −1/5)

6. Determine o valor de k tais que os seguintes vetores sejam coplanares:




(a) u = (1, 2, −3), v = (1, k, 1), w = (3, 2, 1)

(b) u = (−1, k, 2), v = (3, 2, 5), w = (−1, 0, 1)

(c) u = (1, k, 0), v = (1, 2, 1), w = (1, 0, k)

(d) u = (0, 1, −1), v = (k, 0, 1), w = (1, 1, 2 k)

7. Determine a área do triângulo P QR, se:

(a) P = (1, −1, 2), Q = (0, 3, −1), R = (3, −4, 1)

(b) P = (−3, 0, 5), Q = (2, −1, −3), R = (4, 1, −1)

(c) P = (4, 0, 0), Q = (0, 5, 0), R = (0, 0, 2)

(d) P = (−1, 2, 0), Q = (0, 2, −3), R = (5, 0, 1)

8. Determine o volume do paralelepípedo formado por−−→P Q,

−→P R e

−→P T :

(a) P = (0, 0, 0), Q = (1, −1, 2), R = (0, 3, −1), T = (3, −4, 1)

(b) P = (2, 1, −1), Q = (3, 0, 2), R = (4, −2, 1), T = (5, −3, 0)

9. Determine d(P 1P 2), se:

(a) P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (−5, 3, 1)

(b) P 1 = (−3, 2, −1), P 2 = (15, 2, 6)

(c) P 1 = (12, 222, 1), P 2 = (5, 23, 11)

(d) P 1 = (4, 24, 18), P 2 = (−25, 23, 11)(e) P 1 = (9, 3, 1), P 2 = (9, −3, 2)

(f) P 1 = (0, 12, −11), P 2 = (5, 2, 16)

(g) P 1 = (1, 1, 1), P 2 = (5, 3, 0)

(h) P 1 = (1, 1, −1), P 2 = (7, 3, 1)

(i) P 1 = (14, −12, 11), P 2 = (−1, 9

(j) P 1 = (−6, −4, 1), P 2 = (−2, 2, −

(k) P 1 = (4, −2, −6), P 2 = (4, −9, 4(l) P 1 = (2, −4, 5), P 2 = (2, −2, −4

(m) P 1 = (9, −3, 2), P 2 = (6, 9, 1)

(n) P 1 = (9, 0, 5), P 2 = (−5, 2, 1)

10. Verifique que para todo v e w ∈ Rn; tem-se:

(a) | v · w| ≤ v w(b) v + w ≤ v + w

(c) 2 u2

+ 2 v2

= u+ v2

+ u− v2

(d) u + v u− v = u2 + v2

(e) 4 u · v = u + v2

− u− v2

11. Sejam P 1 = (2, 9, 8), P 2 = (6, 4, −2) e P 3 = (7, 15, 7). Verifique que−−−→P 1P 2 e

−−P

ortogonais e determine um ponto P tal que P 1, P 2, P e P 3 formem um retângulo.




12. Sejam P 1 = (5, 0, 7) e P 2 = (2, −3, 6). Determine o ponto P sobre a reta que liga P 1 a P 2

tal que−−→P 1P = 3

−−→P P 2.

13. Determine a equação do plano passando pelos pontos P 1, P 2 e P 3, sendo:

(a) P 1 = (−3, 0, 2), P 2 = (6, 1, 4), P 3 = (−5, 1, 0)

(b) P 1 = (2, 1, 4), P 2 = (1, −1, 2), P 3 = (4, −1, 1)

(c) P 1 = (1, 1, 1), P 2 = (0, −1, 1), P 3 = (2, −1, −1)

(d) P 1 = (1, −1, 1), P 2 = (1, −1, −1), P 3 = (3, −1, 1)

(e) P 1 = (3, −4, 2), P 2 = (3, 3, −3), P 3 = (2, −5, 2)

(f) P 1 = (2, 3, 1), P 2 = (−3, 2, 6), P 3 = (−4, 2, 5)

(g) P 1 = (1/2, 1/3, −2), P 2 = (1, 1, 1), P 3 = (1/4, 2, −1/5)

(h) P 1 = (1, 1, 2), P 2 = (1/2, −1, 1/3), P 3 = (4/5, 0, 1/5)

14. Determine a equação do plano passando pelo ponto P = (3,

−1, 2), perpendicular à reta

determinada por P 1 = (2, 1, 4) e P 2 = (−3, −1, 7). Ache a distância do ponto P ao plano.

15. Verifique que a interseção dos planos x + y − 2 z = 1 e x + 3 y − x = 4 é uma reta. Ache adistância do ponto P = (1, 0, 1) a essa reta.

16. Determine a equação do plano paralelo ao plano 2 x + 3 y −6 z = 3 e que passa pelo pontoP = (1, 1, 1).

17. Determine o plano perpendicular à reta x2 = y−2

2 = z + 1 e que passa pelo ponto P =(1, 3, −1).

18. Determine a equação do plano perpendicular aos planos x + 2 y − 7 z = 0 e x − y − z = 5e que passa pela origem.

19. Determine a equação do plano ortogonal ao vetor (2, 3, 6) e que passa pelo ponto (1, 5, 3).

20. Determine a distância do plano do exercício [17] à origem e ao ponto (10, 15, 20).

Quádricas

1. Determine a natureza das seguintes quádricas:

(a) 4x2 + 9y2 + z2 = 36

(b) z − 4(x2 + y2) = 0

(c) 4x2 + 9y2 − z2 = 36

(d) x2 − y2 + z2 = 0

(e) x2

36 + z2

25 − 4y = 0

(f) x2

36 − z2

25 − 9y = 0

(g) x2 + 16z2−4y2+16 = 0

(h) x2 − 2x + y2 + z2 = 0

(i) x2 + y2 = 2 y

(j) x2 + y2 = 4 x




2. Utilizando a técnica dos traços, esboce o gráfico de cada quádrica do exercício [1]

3. Determine a natureza da curva obtida pela projeção no plano xy da interseção de

(a) z + x2 = 1 e z − x2 − y2 = 0.

(b) x = 2 e x = y2 + z2.

(c) z = 8 − 5x2 − 3y2 e z = 3x2 + 5y2.

4. Determine os valores de k tais que a interseção do plano x + k y = 0 com a quy2 − x2 − z2 = 1 seja uma elipse e uma hipérbole, respectivamente.

5. Verifique que 2x − 2z − y = 10 intersecta 2z = x2

9 + y2

4 num único ponto e deterponto.

6. Determine a, b, c e d de modo que os pontos dados pertençam à quádrica:

a x2

+ b y2

+ c z2

+ d = 0,

onde:

(a) (1, 1, −1), (2, 1, 0), (5, −5, 3).

(b) (2, −1, 1), (−3, 0, 0), (1, −1, −2).

(c) (1, 2, −1), (0, 1, 0), (2, 1, −2).

7. Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos P = (x,yque a distância de P ao eixo dos x é o dobro da distância de P ao plano yz. Ident

superfície.

8. Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos P = (x,yque a distância de P ao eixo dos y é 3

4 da distância de P ao plano xz. Identisuperfície.

9. Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos P = (x,yque a distância de P ao ponto (0, 0, 1) é igual à distância de P ao plano y = −1. Idena superfície.

10. Verifique que o ponto P = (1, 3, −1) pertence ao parabolóide hiperbólico 4 x2 − z

determine as equações das duas retas que passam por P e estão contidas no parab



Capítulo 2

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

2.1 Introdução

Como no Cálculo de uma variável, neste capítulo estudaremos uma das noções centrais daMatemática, o conceito de função. Uma função de várias variáveis reais é uma regra que des-creve como uma quantidade é determinada por outras quantidades, de maneira única. Atravésdas funções de várias variáveis poderemos modelar uma grande quantidade de fenômenos dosmais diversos ramos da Ciência.

Definição 2.1. Seja A ⊂ Rn, n = 2 ou n = 3. Uma função f definida no subconjunto A com valoresem R é uma regra que associa a cada u ∈ A um único número real f (u).

u é chamada variável independente da função e a notação é:

f : A ⊂ Rn −→ R.

Se n = 3, denotamos a variável independente por u = (x,y,z) e a função por w = f (x,y,z).Se n = 2, denotamos a variável independente por u = (x, y) e a função por z = f (x, y).

Exemplo 2.1.

[1] O número de indivíduos Q de uma certa colônia de fungos depende essencialmente daquantidade N de nutrientes (gr), da quantidade H de água (cm3), da temperatura T (0C ) e dapresença de uma certa proteina L (ml). Experimentalmente foi obtida a seguinte tabela:

N H T L Q

10 1 10 0.1 1520 3.5 14 0.4 2030 5.6 16 0.8 2222 8 21 0.1 2125 5.1 12 0.8 1510 1.4 30 1.6 1250 7.3 35 0.9 17

45



46 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VAR

Q possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma função benida: Q = Q(N , H , T , L)

[2] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h:

V (r, h) = π r2 h.

Logo, um cilindro de altura h = 10 cm e raio r = 2 cm tem volume: V (2, 10) = 40

aproximadamente, 125.663 cm3

[3] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma de umdro circular reto de raio r e de altura l m (m =metros), com um hemisfério em cada edade. O volume do tanque é descrito em função da altura l e do raio r.

r

l

Figura 2.1: O tanque do exemplo [3].

O volume do cilindro é π l r2 m3 e o dos dois hemisférios é 4π r3

3 m3; logo, o volume tot

V (l, r) = π

4 r3

3+ l r2

m3.

Por exemplo, se a altura for 8 m e o raio r = 1 m, o volume é V (8, 1) = 28 π3 m3.

[4] O índice de massa corporal humano (IMC) é expresso por:

IM C (P, A) =

P

A2 ,

onde P é o peso em quilos e A a altura em m. O IMC indica se uma pessoa está acima oudo peso ideal, segundo a seguinte tabela da OMS (Organização Mundial da Saude):

Condição IMC

Abaixo do peso < 18.5Peso normal 18.5 ≤ IM C ≤ 25

Acima do peso 25 ≤ IM C ≤ 30Obeso > 30

Por exemplo, uma pessoa que mede 1.65 m e pesa 98 quilos, tem IM C (98, 1.65) = 35segundo a tabela está obeso. Agora uma pessoa que mede 1.80 m e pesa 75 kg, tem

IM C (98, 1.65) = 23.1;

logo, segundo a tabela tem peso normal.



2.1. INTRODUÇÃO 47

[5] Da lei gravitacional universal de Newton segue que dada uma partícula de massa m0 naorigem de um sistema de coordenadas x y z, o módulo da força F exercida sobre outra partículade massa m situada no ponto (x,y,z) é dado por uma função de 5 variáveis independentes:


F (m0,m,x,y ,z) =g m0 m

x2 + y2 + z2,

onde g é a constante de gravitação universal.

[6] A lei de um gás ideal confinado (lei de Gay - Lussac) é P V = k T , onde P é a pressão emN/u3 (N =Newton, u=unidades de medida), V é o volume em u3, T é a temperatura em grause k > 0 uma constante que depende do gás. Podemos expressar o volume do gás em funçãoda pressão e da temperatura; a pressão do gás em função do volume e da temperatura ou atemperatura do gás em função da pressão e do volume:

V (P, T ) = k T P

, P (V, T ) = k T V e T (P, V ) = P V

k.

[7] Quando um poluente é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a concentração dopoluente, a x quilômetros da origem da emissão e a y metros do chão pode ser aproximada por:

P (x, y) =a

x2

eh(x,y) + ek(x,y)

,

onde h(x, y) = − b

x2

y − h

2 e k(x, y) = − b

x2

y + h

2.

O poluente P é medido em µg/m (µg=microgramas), onde a e b são constantes que dependemdas condições atmosféricas e da taxa de emissão do poluente. Sejam a = 200 e b =

−0.002. Por

exemplo, para uma chaminé de 10 m, a contaminação a 1 km de distância e a uma altura de 2 mé P (1000, 2) = 0.004 µg/m.

[8] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artérias ouveias. Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos considerar que vasos temformato cilíndrico não elástico.




R

Figura 2.3: Fluxo laminar de Poiseuille.

Denotemos por R o raio e l o comprimento, medidos em cm. Devido a fricção nas pdo vaso, a velocidade v do sangue é maior ao longo do eixo central do vaso e decresdistância d (cm) do eixo à parede cresce e é zero na parede. v é uma função de quatro va

v(P,R,l ,d) =P (R2 − d2)

4 l η,

onde η é a viscocidade do sangue e P a diferença entre a pressão da entrada e a da ssangue no vaso, medida em dina/cm2. Experimentalmente, para o sangue humano numη = 0.0027. Por exemplo, se l = 1.675, R = 0.0075, P = 4 × 103 e d = 0.004, tem-se:

v(4 × 103

, 1.675, 0.004)) = 8.89994 cm/seg.

[9] Médicos dos desportos desenvolveram empiricamente a seguinte fórmula para calárea da superfície de uma pessoa em função de seu peso e sua altura:

S (P, A) = 0.0072 P 0.425 A0.725,

onde P é o peso em quilogramas, A é a altura em cm e S é medido em m2. Uma pesspesa 50 quilos e mede 160 cm deve ter uma área da superfície corporal: S (50, 160) = 1.5

[10] Um circuito elétrico simples é constituído de 4 resistores como na figura:

R R R

R

E

1 2 3

4

Figura 2.4: Circuito elétrico.

A intensidade da corrente I neste circuito é função das resistências Ri (i = 1, 2, 3, 4)edada fonte E ; logo:

I (R1, R2, R3, R4, E ) =E

R1 + R2 + R3 + R4.

[11] A produção P ( valor monetário dos bens produzido no ano) de uma fábrica é deterpela quantidade de trabalho (expressa em operários/horas trabalhadas no ano) e pelo



2.2. DOMÍNIO E IMAGEM 49

investido (dinheiro, compra de maquinarias, matéria prima, etc.). A função que modela aprodução é chamada de Cobb-Douglas e é dada por:

P (L, K ) = A K α L1−α,

onde L é a quantidade de trabalho, K é o capital investido, A e α são constantes positivas(0 < α < 1). Por exemplo, se o capital investido é de R$600.000 e são empregados 1000

operários/hora, a produção é dada pela seguinte função de Cobb-Douglas:P (L, K ) = 1.01 L

34 K

14 ;

então, P (1000, 600.000) = 4998.72. A função de produção de Cobb-Douglas tem a seguintepropriedade para todo n ∈ N, P (n L , n K ) = A n K α L1−α, isto é, para acréscimos iguais naquantidade de trabalho e de capital investido obtemos o mesmo acréscimo na produção.

2.2 Domínio e Imagem

De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e Imagem de uma função

são relevantes para o estudo das funções de várias variáveis.Definição 2.2. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função.

1. O conjunto de todas as variáveis independentes u ∈ Rn tais que f (u) existe é chamado domíniode f e é denotado por Dom(f ).

2. O conjunto dos z ∈ R tais que f (u) = z e u ∈ Dom(f ) é chamado imagem de f e é denotado porIm(f ).

Na prática o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema.

Exemplo 2.2.[1] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h. Logo,

V (r, h) = π r2 h.

Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que:

Dom(f ) = {(r, h) ∈ R2 / r > 0, h > 0} = (0, +∞) × (0, +∞)

e Im(f ) = (0, +∞). No caso de não estar considerando a função como volume, teríamos queDom(f ) = Im(f ) = R2.

[2] Seja z = f (x, y) =

1 − x2

− y2

. Note que f é definida se, e somente se:1 − x2 − y2 ≥ 0,

ou seja x2 + y2 ≤ 1; logo:

Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.




Por outro lado 0 ≤ z =

1 − x2 − y2 ≤ 1; logo, Im(f ) = [0, 1].

1

1


[3] Seja z = f (x, y) =x

x − y. Note que f é definida se o denominador x − y = 0; então, x

Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2/x = y} = R2 − {(x, x)/x ∈ R}.

1

1


[4] Seja z = f (x, y) = arcsen(x + y). Note que arcsen(u) é definido se −1 ≤ u ≤−1 ≤ x + y ≤ 1 o que acontece, se, e somente se, y ≤ 1 − x e −1 − x ≤ y; então:

Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2/ − 1 − x ≤ y ≤ 1 − x}.

1

1




2.2. DOMÍNIO E IMAGEM 51

[5] z = f (x, y) = ln(y − x). Note que a função logarítmica ln(u) é definida se u > 0; logo,y − x > 0 e f é definida em todo o semi-plano definido por {(x, y) ∈ R2/y > x}.

1

1


[6] z = f (x, y) =y

x2 + y2

−1

. Note que o quociente é definido se x2 + y2 − 1 > 0; logo, a

função é definida em todo o plano menos a região determinada por x2 + y2 ≤ 1.

1

1


[7] w = f (x,y,z) = y

x2 + y2 + z2 − 1. Note que a raiz quadrada está definida se, e somentese:

x2 + y2 + z2 − 1 ≥ 0;

logo, a função é definida em todo R3 menos a região determinada por x2 + y2 + z2 < 1. De

outro modo, todo o espaço menos os vetores de R3

de norma menor que 1.

[8] Da mesma forma que no caso de uma variável, as funções polinomiais de grau n, de váriasvariáveis tem Dom(f ) = Rn e a Im(f ) depende do grau do polinômio. Por exemplo. Sef (x,y,z) = x5 + y3−3 x y z2−x2 + x2 y z + z5−1, então, Im(f ) = R. Se g(x, y) = x2 + y2−2 x y,então Im(f ) = [0, +∞).




2.3 Gráfico de Funções de Várias Variáveis

Definição 2.3. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. O gráfico de f é o seguinte subconjunto d

G(f ) = {(x, f (x)) ∈ Rn+1/x ∈ Dom(f )} ⊂ Rn ×R

Se n = 2 e x = (x, y); então:G(f ) = {(x,y ,f (x, y))/(x, y) ∈ Dom(f )}.

G(f ) é, em geral, uma superfície em R3. Por exemplo, o gráfico da função :

f (x, y) =

1 se x, y ∈ Q0 se x, y /∈ Q,

não é uma superfície.

Se n = 3, x = (x,y,z) e G(f ) é uma "hipersuperfície"em R4. Para n = 2, a projeção dode f sobre o plano xy é exatamente Dom(f ).

Figura 2.10: Esboço do gráfico de uma função , ponto a ponto.

Figura 2.11: Gráfico de uma função.



2.3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 53

2.3.1 Conjuntos de nível

Definição 2.4. O conjunto de nível de f com valor c ∈ R é definido por:

{x ∈ Dom(f )/f (x) = c}

Em particular:

Se n = 2, o conjunto de nível c é dito curva de nível c de f :

C c = {(x, y) ∈ Dom(f )/f (x, y) = c}

Se n = 3, o conjunto de nível c é dito superfície de nível c de f :

S c = {(x,y,z) ∈ Dom(f )/f (x,y,z) = c}

As curvas de nível são obtidas pela interseção do plano z = c com a superfície G(f ). No cason = 3, G(f ) ⊂ R4; portanto, somente poderemos exibir esboços de suas seções.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 2.12: Curvas de nível e o gráfico, respectivamente.

Se z = T (x, y) é a temperatura em cada ponto de uma região do plano, as curvas de nívelcorrespondem a pontos de igual temperatura. Neste caso, as curvas são chamadas isotermas.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura 2.13: Curvas Isotermais.




Se z = P (x, y) é o potencial elétrico em cada ponto (x, y) de uma região do plano, as cunível correspondem a pontos de igual potencial elétrico. Neste caso, as curvas são chaequipotenciais.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

x

y

Figura 2.14: Curvas Equipotenciais.

Outra aplicação é o esboço de gráficos de função de duas variáveis:

A construção do esboço do G(f ) é feita assim:

Uma vez dado o valor da "altura"z = c obtemos uma curva plana; elevando cada curvesticá-la ou incliná-la obtemos o contorno aparente de G(f ); auxiliado pelas seções (cocaso das quádricas), podemos esboçar G(f ) de forma bastante fiel.

Note que curvas de nível muito espaçadas, significa que o gráfico cresce lentamentcurvas de nível muito próximas significa que o gráfico cresce abruptamente.

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 2.15:




Figura 2.16:

Exemplo 2.3.

[1] Se T (x, y) = x + y2

−1 representa a temperatura em cada ponto de uma região do plano, as

curvas de nível ou isotermas são T (x, y) = c, isto é:

x + y2 − 1 = c, c ∈ R.

Temos uma família de parábolas:

c x + y2 − 1 = c

0 x + y2 = 11 x + y2 = 2

-1 x + y2 = 02 x + y2 = 3

-2 x + y

2

= −1

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 2.17: Esboco das curvas de nível de T = T (x, y).

[2] Esboce o gráfico de z = f (x, y) = x2 − y2. Note que Dom(f ) = R2.




Interseções de G(f ) com os eixos coordenados: somente a origem.

Simetrias: a equação:z = x2 − y2

não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, tem simetria em relação aos planxz.

Curvas de nível:Fazendo z = c, temos: x2 − y2 = c. Se c < 0, temos x2 − y2 = c, que são hipérbointersectam o eixo dos y; Se c = 0, temos y = ±x, que são duas retas passando pela origc > 0, temos x2 − y2 = c, que são hipérboles que intersectam o eixo dos x.

Traços:

No plano xy: um par de retas que se intersectam na origem.No plano yz: a parábola: y2 + z = 0.No plano xz: a parábola: x2 − z = 0. Logo z = f (x, y) = x2 − y2 é um parabolóide hipe

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 2.18: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.

[3] Esboce o gráfico de z = f (x, y) = x + y2. Note que Dom(f ) = R2.

Interseções de G(f ) com os eixos coordenados: somente a origem.

Simetrias: a equação:z = x + y2

não se altera se substituimos y por −y; logo, tem simetria em relação ao plano xz.

Curvas de nível:

Fazendo z = c, temos y2

= c − x, que é uma família de parábolas com foco no eixo dostodo c ∈ R.

Traços:

No plano yz é a parábola: y2 − z = 0. No plano xz é a reta: x − z = 0. Logo z = f (x, y) =é um cilindro parabólico.




-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[4] Esboce o gráfico de z = f (x, y) = ln(x2 + y2). Note que Dom(f ) = R2 − {(0, 0)}.

Interseções com os eixos coordenados: (0, ±1, 0), (±1, 0, 0).

Simetrias: a equação: z = ln(x2 + y2)

não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, tem simetria em relação aos planos yz exz.

Curvas de nível.

Fazendo z = c, temos: x2 + y2 = ec, para todo c ∈ R. As curvas de nível são círculos centradosna origem de raios ec/2; se c → −∞, o raio tende para zero e se c → +∞, o raio cresce. Asuperfície tem o aspecto de um funil.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[5] Esboce o gráfico de z = f (x, y) = sen(x).

Note que Dom(f ) = R2. Como na equação falta a variável y, o gráfico de f é um cilindro dediretriz z = sen(x) no plano xz e geratriz paralela ao eixo dos y.




-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[6] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f (x,y ,z) = x − y + z + 2. NDom(f ) = R3.

Superfícies de nível:

Fazendo w = c, temos: x − y + z = c − 2, que representa uma família de planos paralnormal (1, −1, 1), para qualquer c.

Figura 2.22: Superfícies de nível.

[7] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f (x,y ,z) = z − x2 − y2.

Note que Dom(f ) = R3

.

Superfícies de nível:

Fazendo w = c, temos: z = x2 + y2 + c, que para cada c é a equação de um parabolóide com eixo no eixo dos z.




Figura 2.23: Superfícies de nível.

[8] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f (x,y ,z) = x2 − y2 + z2.

Superfícies de nível: Fazendo w = c temos: x2 − y2 + z2 = c. Se c < 0, é um hiperbolóide deduas folhas: x2 − y2 + z2 = c.

Figura 2.24: Hiperbolóide de duas folhas.

Se c = 0, é um cone circular: x2 − y2 + z2 = 0.

Figura 2.25: Cone circular.




Se c > 0, é um hiperbolóide de uma folha: x2 − y2 + z2 = c; etc.

Figura 2.26: Hiperbolóide de uma folha.

Em alguns casos é mais conveniente esboçar as curvas nível do que o gráfico da função

[9] Considere a função de Cobb-Douglas: P (L, K ) = 1.01 L34 K

14 . As curvas de nível de

diversas produções são esboçadas, indicando as possibilidades de L e K para cada pro

0 50 100 150 200

0

50

100

150

200

Figura 2.27: Curvas de nível da função de Cobb-Douglas.

[10] Sabemos que o índice de massa corporal é dado por IM C (P, A) =P

A2. As curvas d

de IC M indicam as possibilidades de 10 ≤ P ≤ 200 e 0.5 ≤ A ≤ 2.5.



2.4. EXERCÍCIOS 61

25 50 75 100 125 150 175 200

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 2.28: Curvas de nível da função da massa corporal.

De forma análoga ao caso de uma variável, nem toda superfície em R3 é o gráfico de umafunção de duas variáveis. A condição necessária e suficiente para que uma superfície em R3

seja o gráfico de uma função z = f (x, y) é que toda reta paralela ao eixo dos z intersecte asuperfície em um único ponto. A esfera x2 + y2 + z2 = 1 não pode ser gráfico de uma funçãode duas variáveis, mas os hemisférios da esfera são gráficos das funções:

z = f 1(x, y) =

1 − x2 − y2 e z = f 2(x, y) = −

1 − x2 − y2.

Em geral, toda equação de tres variáveis que represente uma superfície é uma superfície denível de alguma função de tres variáveis. As superfícies quádricas são superfícies de algumnível de funções de três variáveis.

Exemplo 2.4.

[1] Seja x2 + y2 + z2 = 1; então: x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 0 para

f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 − 1,

x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 1 para

g(x,y,z) = x2 + y2 + z2

e x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 30 para h(x,y,z) = x2 + y2 + z2 + 29.

[2] Seja z = f (x, y), considere h(x,y,z) = z −f (x, y); então, G(f ) é uma superfície de nivel zerode h.

2.4 Exercícios

1. Determine o volume em função de h e r.

(a) Um depósito de grãos tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r,

com teto cônico.

(b) Um depósito de gás tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r, comteto uma semi-esfera.

2. Se f (x, y) = x5 − y5 − 4 x2 y3 − 3 x3 y2 + x y2 + x2 − y2 − x + y + 1, calcule:




(a) f (0, 0)

(b) f (1, 1)

(c) f (x, x)

(d) f (y, −y)

(e) f (x2,√

x y)

(f) f (1, h)

(g) f (h, 0)

(h) f (x+h,y)−f (x,y)h

(i) f (x,y+h)−f (x,y)h

3. Se f (x,y,z) = (x y z)2, calcule:

(a) f (0, 0, 0)

(b) f (1, 1, π)

(c) f (x,x,x)

(d) f (y ,z ,z)

(e) f (x2,√

x y z , z3 y)

(f) f (x+h,y,z)−f (x,y,z)h

(g) f (x,y+h,z)−f (x,y,zh

(h) f (x,y,z+h)−f (x,y,zh

(i) f (x+h,y+h,z+h)−fh

4. Determine Dom(f ) se:

(a) f (x, y) =

x−yx+y

(b) f (x, y) =

x2

−y2

x−y

(c) f (x, y) = x+yx y

(d) f (x, y) = 16 − x2 − y2

(e) f (x, y) = |x|e y

x

(f) f (x, y) = |x| − |y|

(g) f (x, y) = x−ysen(x)−sen(y)

(h) f (x, y) =√

y − x +√

1 − y

(i) f (x,y,z) = x y z − x4 + x5 − z7

(j) f (x,y,z) = sen(x2

−y2 + z2)

(k) f (x,y,x) = yz x

(l) f (x,y,z) = x2 sec(y) + z

(m) f (x,y,z) = ln(x2 + y2 + z2 − 1

(n) f (x,y,z) =

1 − x2 − y2 − z2

(o) f (x,y,z) = ex2+y2+z2

(p) f (x,y,z) = 3

1 − x2 − y2 − z2.

5. Esboce Dom(f ) no plano de cada função do exercício [4].

6. Seja x ∈ Rn. Uma função f (x) é dita homogênea de grau n ∈ Z se para todof (tx) = tn f (x). Verifique que as seguintes funções são homogêneas e determine o

(a) f (x, y) = 3 x2 + 5 x y + y2

(b) f (x, y) = 2x2+y2

(c) f (x, y) =

x2 + y2 sen( yx ), x = 0

(d) f (x,y,z) = xy3

+ yz3

+ zx3

(e) f (x,y,z) = 1x+y+z

(f) f (x,y,z) = x2 e−y

z

7. Esboce as curvas de nível de f , para os seguintes c:

(a) f (x, y) =

100 − x2 − y2, c = 0, 8, 10.

(b) f (x, y) =

x2 + y2, c = 0, 1, 2, 3, 4

(c) f (x, y) = 4 x2 + 9 y2, c = 0, 2, 4, 6

(d) f (x, y) = 3x − 7y, c = 0, ±1, ±2

(e) f (x, y) = x2 + xy, c = 0, ±1, ±(f) f (x, y) = x2

y2+1, c = 0, ±1, ±2, ±

(g) f (x, y) = (x − y)2, c = 0, ±1, ±(h) f (x, y) = ln(x2 + y2 − 1), c = 0



2.4. EXERCÍCIOS 63

(i) f (x, y) = xx2+y2+1

, c = ±1, ±2 (j) f (x, y) = ex2+y2 , c = 1, 2

8. Esboce as superfícies de nível de f , para os seguintes c:

(a) f (x,y,z) = −x2 − y2 − z2, c =0, ±1, ±2

(b) f (x,y,z) = 4x

2

+ y

2

+ 9z

2

, c =0, ±12 , ±1

(c) f (x,y,z) = x2 + y2 + z, c = 0, ±1, ±2

(d) f (x,y,z) = x − y2 + z2,

c = 0, ±1, ±2

(e) f (x,y,z) = x y z,c = 0, ±1, ±2

(f) f (x,y,z) = e−(x2+y2+z2),c = 0, ±1, ±2

9. Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :

(a) f (x, y) = x − y − 2

(b) f (x, y) = x2 + 4 y2

(c) f (x, y) = x y

(d) f (x, y) = 2 x2

−3 y2

(e) f (x, y) = |y|(f) f (x, y) =

16 − x2 − y2

(g) f (x, y) =

9 x2 + 4 y2

(h) f (x, y) = e−(x2+y2)

(i) f (x, y) = 1 −

x2 + y2

(j) z = 1 + y2 − x2

(k) z = x2

(l) z =

1 + x2 + y2

(m) z = y3

(n) z = sen(x)

(o) z = ey

10. Função de DuBois-DuBois: Em Medicina, às vezes, se utiliza a seguintefunção para deter-minar a superfície corporal de uma pessoa: S (P, h) = 0.0072 P 0.425 h0.725, que estabeleceuma relação entre a área da superfície S (m2) de uma pessoa, o seu peso P (Kg) e suaaltura h (cm).

(a) Se uma criança pesa 15 kg e mede 87 cm, qual é sua superfície corporal?(b) Esboce as curvas de nível da função S .(c) Esboce o gráfico de S .

11. De forma análoga ao que ocorre no Cálculo de uma variável, dadas f e g funções defini-das em A ⊂ Rn, definimos:

f + g

(u) = f (u) + g(u).f g

(u) = f (u) g(u); em particular,

λ f

(u) = λ f (u), para todo λ ∈ R.

f

g(u) =

f (u)

g(u)

, se g(u)

= 0.

(a) Calcule: f + g, f g, e f g , se f (x, y) = x3 − x y2 − x2 y − y3 + x2 + y2 e g(x, y) =

= x2 y + x y2 − x3 + y3 + x y.(b) Sejam f (x,y,z) = x y z − x2 z2 e g(x,y ,z) = x y z − y2 z2, calcule: f + g, f g, e f

g .



Capítulo 3

CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOSE FRONTEIRA

3.1 Introdução

Definição 3.1. Sejam r > 0 e x0 ∈ Rn

. A bola aberta de centro x0 e raio r é denotada por B(x0, r) edefinida por:B(x0, r) = {x ∈ Rn/x− x0 < r}.

Se n = 2; x0 = (x0, y0) e x = (x, y); logo x− x0 =

(x − x0)2 + (y − y0)2:

B(x0, r) = {(x, y) ∈ R2/(x − x0)2 + (y − y0)2 < r2}

B(x0, r) é o "interior"de um círculo centrado em (x0, y0) e raio r, ou equivalentemente, o conjunto dos vetores no plano de origem em (x0, y0) e norma menor que r. Neste caso, o conjuntoB(x0, r) é chamado disco aberto de centro (x0, y0) e raio r.

B(x,r)

x0

0y r

(x ,y )00

Figura 3.1: Disco aberto.

Analogamente, se n = 3; x0 = (x0, y0, z0) e x = (x,y ,z):

B(x0, r) = {(x,y ,z) ∈ R3/(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < r2}

65



66 CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRON

B(x0, r) é o "interior"de uma esfera "sólida"centrada em (x0, y0, z0) e raio r, ou equivmente, o conjunto dos vetores no espaço de origem em (x0, y0, z0) e norma menor que r

B(x,r)

r

x

Figura 3.2: Bola aberta.

Observe que em ambos os casos a desigualdade é estrita.

3.2 Conjuntos Abertos

Definição 3.2. A ⊂ Rn é dito aberto em Rn se para todo x ∈ A, existe B(x, r) tal que B(x, r)

A

Figura 3.3: Conjunto aberto.

Estes conjuntos são a generalização natural de intervalos abertos em R. Por definição junto vazio e Rn são conjuntos abertos em Rn.

Exemplo 3.1.

[1] Pela definição, {x} não é aberto em Rn, pois toda bola ou disco aberto de centro x ncontido em {x}. Em geral, os conjuntos do tipo {x1, x2, x3, ....., xn / xi ∈ Rn} não são a

[2] R "pensado"como a reta {(x, 0) / x ∈ R} ⊂ R2 não é aberto no plano, pois qualqueaberto centrado em (x, 0) não está contido em R.



3.3. CONJUNTO FRONTEIRA 67

x


[3] A = (a, b) × (c, d) é aberto em R2. De fato, para todo (x, y) ∈ A, a < x < b e c < y < d,denote por ε o menor número do conjunto {|x − a|, |x − b|, |y − c|, |y − d|}, onde | | é a distânciaentre números reais. Então, por exemplo, considerando r = ε

6 , temos, B((x, y), r) ⊂ A. Logo Aé um conjunto aberto.

A

c

d

a b


[4] A = R2 ⊂ R3 não é aberto no espaço, pois qualquer bola aberta centrada em (x,y, 0) nãoestá contida em R2.

[5] B(x0, r) é um conjunto aberto. De fato, denotando por d(x,y) a distância entre os pontosx, y emRn, sex ∈ B(x0, r) então d(x,x0) < r; tomando r1 = r−d(x,x0) < r , temos: B(x, r1) ⊂B(x0, r).

Será útil dar um nome especial para um conjunto aberto que contenha um ponto dado x. A talconjunto chamaremos de vizinhança do ponto x.

3.3 Conjunto Fronteira

Definição 3.3. Seja A ⊂ Rn. Um ponto x ∈ Rn é dito ponto da fronteira ou do bordo de A se todavizinhança de x intersecta A e Rn − A.




A

x

Figura 3.6: Bordo de A.

Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto A por ∂A. Um conjunto é abA ∩ ∂A = φ.

Exemplo 3.2.

[1] Se A = B(x, r) então ∂A = {y/d(x,y) = r}; logo o conjunto C = {y/d(x,y) ≤ raberto.

A C


[2] Seja A = {(x, y) ∈ R2/x > 0}; este conjunto corresponde ao primeiro e ao quarto quasem incluir a reta x = 0 e é aberto no plano; de fato, seja (x, y) ∈ A e escolhamos r = x(x1, y1)

∈B((x, y), r) temos:

|x − x1| =

(x − x1)2 ≤

(x − x1)2 + (y − y1)2 < r = x.

Logo x1 > 0 e B((x, y), r) ⊂ A; note que ∂A = {(0, y)/y ∈ R}.



3.4. CONJUNTOS FECHADOS 69


3.4 Conjuntos Fechados

Definição 3.4. Um conjunto A ⊂ Rn é dito fechado em Rn se ∂A ⊂ A.

Exemplo 3.3.[1] Rn é também um conjunto fechado.

[2] A = {(x, y) ∈ R2/ x2 + y2 < r2, r > 0} não é fechado, pois sua fronteira é :

∂A = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = r2, r > 0}.

Logo ∂A ⊂ A.

[3] O sólido W = {(x,y ,z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 ≤ r2, r > 0} é fechado pois sua fronteira é:

∂W = {(x,y,z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 = r2, r > 0}.

Logo ∂W ⊂ W . Em geral, todos os sólidos são fechados.

[4] A = [a, b] × [c, d] é um conjunto fechado, pois ∂A é o retângulo formado pelas retas x = a,x = b, y = c e y = d.

Nos próximos parágrafos apresenteremos uma caracterização mais eficiente dos conjuntos a- bertos e fechados.



Capítulo 4

LIMITES E CONTINUIDADE

4.1 LIMITES

Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função e x0 ∈ A ∪ ∂A. Intuitivamente, x0 ∈ A ∪ ∂A significa que sex0 não pertence a A deve estar arbitrariamente "próximo"de A.

Definição 4.1.O limite de f quando x aproxima-se de x0 é L quando para todo ε > 0, existe δ > 0 tal quex ∈ B(x0, δ) ∩ A implica |f (x) − L| < ε.

Notação:limx→x0

f (x) = L

Equivalentemente, limx→x0f (x) = L quando para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que:

0 < x− x0 < δ, implica em |f (x) − L| < ε.

Se n = 2: Consideramos x = (x, y), x0 = (x0, y0) e o vetor x− x0 = (x − x0, y − y0) a norma dovetor x− x0 é:

x− x0 =

(x − x0)2 + (y − y0)2.

Usamos a seguinte notação:lim

(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = L

Se n = 3: Consideramos x = (x,y,z), x0 = (x0, y0, z0) a norma do vetor x− x0 é:

x− x0 =

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.

Usamos a seguinte notação:lim

(x,y,z)→(x0,y0,z0)f (x,y,z) = L

71



72 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINU

Exemplo 4.1.

Verifique que lim(x,y)→(1,2)

(x + 2 y) = 5. De fato:

|x + 2 y − 5| = |x − 1 + 2 (y − 2)| ≤ |x − 1| + 2 |y − 2|≤

(x − 1)2 + (y − 2)2 + 2

(x − 1)2 + (y − 2)2

≤ 3 (x, y) − (1, 2).

Dado ε > 0, seja δ = ε3 ; (x, y) − (1, 2) < δ implica em |x + 2 y − 5| < 3 δ = ε. Logo:

lim(x,y)→(1,2)

(x + 2 y) = 5.

As propriedades dos limites são análogas às dos limites de funções de uma variávelprovas seguem diretamente da definição.

Teorema 4.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. Se o limite de f quando x aproxima-se de xentão ele é único.

Este teorema permite fazer simplificações no cálculo de limites.

Proposição 4.1. Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R, x0 ∈ A ∪ ∂A e c ∈ R, tal que limx→x0

f (x

limx→x0

g(x) = M , então:

1. limx→x0

c f (x) = c · L,

2. limx→x0

(f (x) + g(x)) = L + M,

3. limx→x0

(f (x) · g(x)) = L · M,

4. limx→x0

f (x)g(x)

= LM

se M = 0.

5. Em particular, se P = P (x) é um polinômio de várias variáveis:

limx→x0

P (x) = P (x0).

6. Se f (x) = P (x)Q(x) é uma função racional:

limx→x0

P (x)

Q(x)=

P (x0)

Q(x0),

se x0 ∈ Dom(f ).

Do teorema, podemos concluir que se duas curvas passam pelo ponto de abcissa x0 e orvalores diferentes para o limite de uma função quando restrita às curvas, então o limfunção quando x se aproxima de x0 não existe. Veja o exemplo [2].



4.1. LIMITES 73

Exemplo 4.2.

[1] Calcule lim(x,y)→(0,0)

x3 + 2 x2 + x y2 + 2 y2

x2 + y2.

Analogamente ao procedimento adotado no cálculo de limites de funções de uma variável,temos: x3 + 2 x2 + x y2 + 2 y2 = (x + 2)(x2 + y2), logo:

lim(x,y)→(0,0)

x3 + 2 x2 + x y2 + 2 y2

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)(x + 2) = 2.


2 x y

x2 + y2.

Observemos que f é definida em R2

− (0, 0). Consideremos o seguinte família de retas quepassam pela origem: y = k x; f calculada para y = k x é f (x,kx) =

2k

1 + k2e:

lim(x,kx)→(0,0)

f (x , k x) =2 k

1 + k2.


Logo, sobre cada reta que passa pela origem, f tem um valor constante, mas que depende docoeficiente angular k, de cada reta. O limite da função f depende do percurso do ponto (x, y)quando ele tende à origem. Por exemplo, considere k = 0 e k = 1. Como o limite de f , se existe,é único, podemos afirmar que o limite de f no ponto (0, 0) não existe.




-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

Figura 4.2: Curvas de nível do gráfico de f .


x2 y

x4 + y2.

Sejam a reta y = 0 e a parabóla y = x2. Então, f (x, 0) = 0 e:

lim(x,y)−→(0,0)

x2y

x4 + y2 = 0.

Por outro lado, f (x, x2) = 12 e:

lim(x,y)−→(0,0)

x2y

x4 + y2=

1

2.

Logo, o limite não existe. Veja as curvas de nível do G(f ):

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 4.3: Curvas de nível do gráfico de f .


sen(x2 + y2)

x2 + y2.

Do cálculo em uma variável sabemos que limx−→0

sen(x)x

= 1. Logo, para todo ε > 0, exist

tal que 0 < |x| < δ < 1, implica sen(x)

x −1 < ε. Poroutroladose v = (x, y), então v2 =

e:

lim(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)

x2 + y2= lim

v→0

sen(v2)

v2 ;



4.1. LIMITES 75

se 0 < v < δ, então 0 < v2 < δ2 < δ pois 0 < δ < 1, e

|f (v) − 1| =sen(v2)

v2 − 1 < ε.

Logo,

lim

(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)

x2

+ y2

= 1.

Observemos que as curvas de nível e o gráfico de f são bem "comportados"numa vizinhançade (0.0).

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1



x2 y

x2 + y2.

A função f é definida em R2 − {(0, 0)}. Consideremos a família de retas y = k x; f calculadaem y = k x é f (x , k x) = k x

1+k2 . Logo:

lim(x,y)→(0,0)

x2 y

x2 + y2= lim

(x,kx)→(0,0)

k x

k2 + 1= 0.

Mas, isto não nos garante que o limite:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0.

Temos que utilizar a definição de limite. De fato, como x2 ≤ x2 + y2 e |y| ≤

x2 + y2, temos:

x2y

x2 + y2 =x2 |y|

x2 + y2≤ (x2 + y2)

x2 + y2

x2 + y2= x2 + y2,

Tomando δ = ε, concluimos que x2 y

x2+y2

< ε, se 0 <

x2 + y2 < δ. Portanto,

lim(x,y)→(0,0)

x2 y

x2 + y2= 0.




A seguir, apresentaremos uma observação e um algoritmo para verificar a não existêum limite, gentilmente cedidos pela Professora Patrícia Nunes da Silva do DepartamAnálise do IME-UERJ. Consideremos o seguinte exemplo:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = lim(x,y)→(0,0)

x3

x2 + y.

É fácil verificar que x

3

x2+y tende a zero, se nos aproximamos da origem ao longo de rcurvas do tipo y = xk. No entanto, o limite acima não existe. Para determinar umsegundo a qual o valor do limite de f quando (x, y) se aproxima da origem seja diferzero, devemos proceder do seguinte modo:

i) Procuramos uma curva da forma y(x) = α(x) − x2 com α(x) = 0. Temos:

f (x, y(x)) = f (x, α(x) − x2) =x3

α(x).

Como queremos nos aproximar da origem, a escolha de α(x) deve ser tal que:

limx→0

y(x) = limx→0

(α(x)

−x2) = 0.

Por outro lado, desejamos que x3

α(x) não se aproxime de zero. Por exemplo, se α(x) = x3,

lim(x,y)→(0,0)

f (x, x3 − x2) = lim(x,y)→(0,0)

x3

x3= 1.

ii) Agora, vamos generalizar esta idéia. Devemos calcular o limite de uma função f q(x, y) se aproxima de um ponto (x0, y0) e encontramos várias curvas ao longo das quaição tende a zero. Sabemos que a função é dada pelo quociente de duas funções que se aem (x0, y0), isto é:

lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = lim(x,y)→(x0,y0)

p(x, y)

q(x, y) , tal que

p(x0, y0) = q(x0, y0) = 0.

Além disso, a função q = q(x, y) se anula ao longo de uma curva γ (x) que passa pelo(x0, y0) e, nesta curva, p = p(x, y) só se anula no ponto (x0, y0). Isto é:

γ (x0) = y0, q(x, γ (x)) = 0 e p(x, γ (x)) = 0,

para todo x = x0. Para encontrar uma curva ao longo da qual a função f não tendedevemos proceder do seguinte modo:

i) Procuramos uma curva da forma y(x) = γ (x) + α(x) com α(x) = 0.

ii) Avaliamos a função f (x, γ (x) + α(x)).

iii) Analisamos a função f (x, γ (x) + α(x)) a fim de determinar uma expressão convenienα(x).



4.1. LIMITES 77

Exemplo 4.3.

Verifique que lim(x,y)→(0,0)

x3 + y3

x − ynão existe. Considere p(x, y) = x3 + y3, q(x, y) = x − y e

p(0, 0) = q(0, 0) = 0.

i) Seja γ (x) = x, γ (0) = 0, q(x, γ (x)) = 0, p(x, γ (x)) = 2 x3 = 0 se x = 0. Seja y(x) = x + α(x)com α(x)

= 0.

ii) Por outro lado:

f (x, x + α(x)) =x3 + (x + α(x))3

x − x − α(x)=

x3 + (x + α(x))3

−α(x)= − x3

α(x)− (x + α(x))3

α(x).

Seja α(x) = x3; logo: f (x, x + x3) = −1 − (1 + x2)3 e:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, x + x3) = −1 − 1 = −2.




4.2 CONTINUIDADE

Seja A ⊂ Rn e f : A ⊂ Rn −→ R uma função.

Definição 4.2. f é contínua em x0 ∈ A quando:

1. limx→x0

f (x) existe

2. limx→x0

f (x) = f (x0)

Equivalentemente, f contínua em x0, quando para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que se:

x− x0 < δ, então |f (x) − f (x0)| < ε.

Definição 4.3. Dizemos que f é contínua em A se f é contínua em cada x0 ∈ A.

Exemplo 4.4.

[1] Se P = P (x) é uma função polinomial de várias variáveis, então P é contínua em quponto do Rn.

[2] A seguinte função não é contínua na origem:

f (x, y) =

2 x y

x2+y2se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

De fato:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = lim(x,kx)→(0,0)

2 k

k2 + 1=

2 k

k2 + 1

isto é, o limite não existe pois depende de k; logo, f não é contínua.

[3] A seguinte função é contínua na origem:

f (x, y) =

x2y

x2+y2se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

De fato:

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2= f (0, 0) = 0.

Veja os desenhos da curvas de nível e gráfico de f , respectivamente:



4.2. CONTINUIDADE 79

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1


[4] A função f (x, y) = arctg y

x

não é contínua no conjunto A = {(0, y)/ y ∈ R}. Veja o gráfico

e as curvas de nível de f :

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2


As propriedades das funções contínuas são análogas às das funções contínuas de uma variável.Suas provas seguem diretamente da definição.

Proposição 4.2. Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R funções contínuas no ponto x0. Então:

1. f + g e f · g são contínuas em x0.

2. Se f (x0) = 0 então1

f é contínua em x0.

As provas seguem da definição.

Exemplo 4.5.

[1] As função elementares são contínuas nos pontos onde estão definidas.[2] As funções racionais nos pontos onde os polinômios do denominador não se anulam, sãocontínuas.

[3] A função f (x, y) =x3 + y

x2 + 1é contínua em R2.




Proposição 4.3. Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função contínua no ponto x0 ∈ A e g : I ⊂ R

uma função tal que f (A) ⊂ I de modo que g ◦ f esteja bem definida. Se g é contínua em f (x0g ◦ f é contínua em x0.

A prova segue da definição.

Exemplo 4.6.

[1] A função f (x,y ,z) = (x2 + z2 + y4)4 + sen(z2) é contínua em R3.

A função f é a soma de duas funções contínuas: f 1(x,y,z) = (x2 + z2 + y2)4 e f 2(x,sen(z2). f 1 é a composta da função h(x,y ,z) = x2 + z2 + y2 e g(u) = u4, ambas contínuaa composta de h(x,y,z) = z2 e g(u) = sen(u), também contínuas.

[2] A função h(x,y,z) =(x2 + z2 + y4)4 + sen(z2)

x2 + y2 + z2é contínua em R3 − {(0, 0, 0)}.

De fato, escrevendo:

h(x,y ,z) =f (x,y ,z)

g(x,y,z)

,

onde f é a função do exemplo anterior e g(x,y,z) = x2 + y2 + z2 que é contínua e nãexceto na origem. Pela propriedade ii) temos que h é contínua em A = R3 − {(0, 0, 0)}.

[3] A função f (x) = x =

x21 + x2

2 + ....... + x2n é contínua para todo x ∈ Rn. Em part

f (x1, x2, x3,.....,xn) ≥

x2i = |xi|,

para todo x ∈ Rn.

[4] Seja v = (x, y), então:

x2 yx2+y2

≤ v2 v

v2 = v. Como lim v→ 0

v = 0 temos

lim(x,y)→(0,0)

x2 y

x2 + y2

= 0 e lim(x,y)→(0,0)

x2 y

x2 + y2= 0.

[5] Determine o valor de A para que a seguinte função seja contínua:

f (x, y) =

sen(√

x2+y2)√x2+y2

se (x, y) = (0, 0)

A se (x, y) = (0, 0).

Seja v = (x, y); então,

lim(x,y)→(0,0)

sen( x2 + y2) x2 + y2 = lim v→ 0

sen(

v

)

v = 1;

logo, A = 1.

A seguinte proposição não será provada, pois ela decorre de um teorema, que fica fcontexto destas notas.



4.3. EXERCÍCIOS 81

Proposição 4.4. Seja h : Rn −→ R uma função contínua; então:

1. A = {x ∈ Rn / 0 < h(x)} é aberto em Rn.

2. F = {x ∈ Rn / 0 ≤ h(x)} é fechado em Rn.

3. ∂A = {x ∈ Rn / h(x) = 0}.

Exemplo 4.7.

[1] Os planos em R3 são conjuntos fechados. De fato, considere:

h(x,y ,z) = a x + b y + c z − d.

A função h é contínua em R3.

[2] O sólido W = {(x,y,z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 ≤ r2, r > 0} é um conjunto fechado. De fato,considere:

h(x,y ,z) = x2

+ y2

+ z2

− r2

.A função h é contínua em R3 e pela proposição W é fechado.

[3] A parábola A = {(x, y) ∈ R2/y = x2} é um conjunto fechado. De fato, considere:

h(x, y) = y − x2.

A função é contínua em R2 e pela proposição A é fechado.

4.3 Exercícios

1. Utilizando as propriedades de limite, calcule:

(a) lim(x,y)→(0,1)

x3y

(b) lim(x,y)→(0,1)

exy

(c) lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2 + 2

(d) lim(x,y)→(0,0)

sen(xy)

xy

(e) lim(x,y)→(1,1)

x3y + y3 + 3

(f) lim(x,y)→(0,0)

sen2(xy)

(xy)2

(g) lim(x,y)→(1,1)

ln(|1 + x2 y3|)

(h) lim(x,y,z)→(1,2,6)

1

x+

1

y+

1

z

2. Verifique se os limites das seguintes funções dadas existem no ponto (0, 0):

(a) f (x, y) = x2

x2+y2

(b) f (x, y) = x3+y3

x2+y

(c) f (x, y) = 6x2y2+2xy3

(x2+y2)2

(d) f (x, y) = x2y2

x3+y3

(e) f (x, y) = x3+y3

(x2+y)2

(f) f (x, y) = x4+3x y2

x2+y2




3. Verifique que os limites das seguintes funções existem se (x, y) → (0, 0):

(a) f (x, y) = x3+y3

x2+y2(b) f (x, y) = xy√

x2+y2

4. Verifique que:

(a) lim(x,y)→(0,0)

1 − cos√x y

x

= 0 (b) lim(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)1 − cos

x2 + y2

=

5. Verifique que: limx→0

limy→0

x2

x2 + y2 = lim

y→0

limx→0

x2

x2 + y2.

6. Seja: f (x, y) =

xsen

1y

se y = 0

0 se y = 0.. Verifique que:

(a) lim(x,y)

→(0,0)

f (x, y) = 0

(b) limx→0

limy→0

f (x, y) = lim

y→0

limx→0

f (x, y).

7. Discuta a continuidade das seguintes funções:

(a) f (x, y) =

xy√x2+y2

se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(b) f (x, y) =

x2y

x4+y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(c) f (x, y) =

x+y

x2+y2se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(d) f (x, y) =

x3+y3

x2+y2se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(e) f (x, y) =

x3 y3

x2+y2se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).

(f) f (x, y) =

sen(x+y)

x+y se (x, y) = (0, 0)

2 se (x, y) = (0, 0).

(g) f (x,y,z) =

x z−y2

x2+y2+z2 se (x,y,z) = (0, 0, 0)

0 se (x,y,z) = (0, 0, 0).

8. Usando a composição de funções, verifique que as seguintes funções são contínua



4.3. EXERCÍCIOS 83

(a) f (x, y) =

x2 + y2

(b) f (x, y) = xyx2+y2+1

(c) f (x, y) =

x4 + y4 + 1

(d) f (x, y) = sen(x2y + y2x)

(e) f (x, y) = sen(xy)x2+y2

; x, y = 0

(f) f (x, y) = cos3(xy3)

(g) f (x, y) = 1√3−sen(xy)

; x, y = 0

(h) f (x, y) = sech3(xy3)

(i) f (x,y,z) = ln(

x2 + y2 + z2 − 1)

(j) f (x,y,z) = 1x2

−y2

−z+1

9. Calcule o valor de a para que a função

f (x, y) =

x2 y2√y2+1−1 se (x, y) = (0, 0)

a − 4 se (x, y) = (0, 0),

seja contínua.



Capítulo 5

DERIVADAS PARCIAIS

5.1 Introdução

Definição 5.1. Sejam A ⊂ R3 um conjunto aberto e f : A −→ R uma função.

1. A derivada parcial de f em relação à variável x , no ponto (x,y,z)

∈A é denotada por

∂f ∂x

(x,y,z) e definida por:

∂f

∂x(x,y,z) = lim

t−→0

f (x + t,y,z) − f (x,y,z)

t

se o limite existe.

2. A derivada parcial de f em relação à variável y , no ponto (x,y,z) ∈ A é denotada por∂f

∂y(x,y,z) e definida por:

∂f ∂y

(x,y,z) = limt−→0

f (x, y + t, z) − f (x,y,z)t

se o limite existe.

3. A derivada parcial de f em relação à variável z , no ponto (x,y,z) ∈ A é denotada por∂f

∂z(x,y,z) e definida por:

∂f

∂z(x,y,z) = lim

t−→0

f (x,y,z + t) − f (x,y,z)

t

se o limite existe.

De forma análoga são definidas as derivadas parciais para funções de duas variáveis. Observeque o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x ∈ A é necessário que x+ tei ∈ A i = 1, 2, 3,o que é verdadeiro se |t| < η (η > 0 pequeno). Veja a bibliografia.

85



86 CAPÍTULO 5. DERIVADAS PA

Exemplo 5.1.

[1] Se z = f (x, y) = x y, calcule suas derivadas parciais. Estamos no caso n = 2:

∂f

∂x(x, y) = lim

t−→0

f (x + t, y) − f (x, y)

t= lim

t−→0

(x + t) y − x y

t= lim

t−→0

t y

t= y,

∂f ∂y

(x, y) = limt−→0

f (x, t + y) − f (x, y)t

= limt−→0

x (t + y) − x yt

= limt−→0

t xt

= x.

[2] Se w = f (x,y ,z) = x2 y z2, calcule suas derivadas parciais. Estamos no caso n = 3:

∂f

∂x(x,y ,z) = lim

t−→0

f (x + t,y ,z) − f (x,y,z)

t= lim

t−→0

(x + t)2 y z2 − x2 y z2

t

= limt−→0

2 x y z2 t + t2yz2

t= 2 x y z2,

∂f

∂y(x,y ,z) = lim

t−→0

f (x, t + y, z) − f (x,y,z)

t= lim

t−→0

x2 (t + y) z2 − x2 y z2

t

= limt−→0

t x2 z2

t= x2 z2,

∂f

∂z(x,y ,z) = lim

t−→0

f (x,y,t + z) − f (x,y,z)

t= lim

t−→0

x2 y (t + z)2 − x2 y z2

t

= limt−→0

t2 x2 y + 2 t x2 y z

t= 2 x2 y z.

Observação 5.1.

Seja y = c, fixado e consideremos g(x) = f (x, c); logo:

g′(x) = limt−→0

g(x + t) − g(x)

t= lim

t−→0

f (x + t, c) − f (x, c)

t=

∂f

∂x(x, c);

se h(y) = f (c, y), então:

h′(y) =∂f

∂y(c, y).

Analogamente para mais variáveis. Consequentemente, para derivar parcialmente umaem relação a x, as demais variáveis são consideradas como constantes e a derivaçãocomo em R. Em relação às outras variáveis o procedimento é análogo. Assim, todas as

de derivação estudadas para funções em R podem ser aplicadas.




Exemplo 5.2.

[1] Se z = f (x, y) =

x2 + y2, calcule suas derivadas parciais. Calculemos, primeiramente,a derivada parcial de f em relação a x. Pela observação anterior consideramos z =

√x2 + c,

onde c = y2; derivando como em R:

∂f

∂x

(x, y) =x

√x2

+ c

=x

x2

+ y2

;

analogamente para y: fazemos c = x2:

∂f

∂y(x, y) =

y c + y2

=y

x2 + y2.

[2] Se z = f (x, y) = (x2 + y2) cos(x y), calcule suas derivadas parciais no ponto (1, π). Cal-culemos, primeiramente, a derivada parcial de f em relação a x. Pela observação anteriorconsideramos z = (x2 + c2) cos(c x), onde y = c; derivando como em R:

∂f

∂x

(x, y) = (x2 + c2) cos(c x))′ = 2 xcos(c x)

−c (x2 + c2) sen(c x)

= 2 xcos(x y) − y (x2 + y2) sen(x y);

analogamente para y: fazemos z = (c2 + y2) cos(c y):

∂f

∂y(x, y) =

(c2 + y2) cos(c y)

′= 2 y cos(c y) − c (c2 + y2) sen(c y)

= 2 y cos(x y) − x (x2 + y2) sen(x y));

∂f ∂x (1, π) = −2, ∂f

∂y (1, π) = −2 π.

[3] Se w = f (x,y,z) = ln(x2 + y2 + z2), calcule suas derivadas parciais. Calculemos, primeira-

mente, a derivada parcial de f em relação a x. Seja w = ln(x

2

+ c), onde c = y

2

+ z

2

; derivandocomo em R, temos:∂f

∂x(x,y,z) =

2 x

x2 + c=

2 x

x2 + y2 + z2;

analogamente para y: fazemos c = x2 + z2 e para z: c = x2 + y2:

∂f

∂y(x,y,z) =

2 y

y2 + c=

2 y

x2 + y2 + z2e

∂f

∂z(x,y,z) =

2 z

c + z2=

2 z

x2 + y2 + z2.

[4] Se w = f (x,y,z) = senx y

z

, calcule suas derivadas parciais. Calculemos, primeiramente, a

derivada parcial de f em relação a x; seja w = sen(c x), onde c = yz ; derivando:

∂f ∂x

(x,y,z) = ccos(c x) = yz

cos

x yz

;

analogamente para y; fazemos c = xz e para z; fazemos c = x y:

∂f

∂y(x,y,z) = ccos(c y) =

x

zcosx y

z

e

∂f

∂z(x,y,z) = −c z−2cos(

c

z) = −x y

z2cosx y

z

.




De forma análoga ao Cálculo de uma variável, as derivadas parciais de uma função são fe, portanto, podemos calcula-lás em pontos de seus domínios.

[5] Seja f (x, y) = ln (x2 + y2 + 1); então:

∂f

∂x(x, y) =

2 x

x2 + y2 + 1e

∂f

∂y(x, y) =

2 y

x2 + y2 + 1.

Temos duas novas funções: g(x, y) =2 x

x2 + y2 + 1e h(x, y) =

2 y

x2 + y2 + 1Logo,:

g(1, 1) = h(1, 1) =2

3, g(3, −2) =

3

7e h(1, −2) = −2

7.

2

0

2

2

0

2

0

1

2

3

Figura 5.1: Gráfico de f .

Figura 5.2: Gráficos de g e h, respectivamente.

A não existência das derivadas parciais de uma função contínua de duas variáveis numindica que o gráfico da função apresenta "arestas"nesse ponto.

De fato, seja z = f (x, y) =

x2 + y2; então, as derivadas parciais existem, exceto na ori



5.2. GENERALIZAÇÕES 89

Figura 5.3: Gráfico de f (x, y) =

x2 + y2.

5.2 Generalizações

Definição 5.2. Seja A ⊂ Rn um conjunto aberto, x = (x1, x2,...,xn) ∈ A e f : A −→ R uma função. A derivada parcial de f em relação à j-ésima variável no ponto x ∈ A é denotada por ∂f

∂xj(x) e definida

por:∂f

∂x j (x) = limt−→0

f (x1,...,x j + t,..,xn)

−f (x1,....,xn)

t ,

se o limite existe.

Fazendo j = 1,...,n, temos as derivadas parciais de f em relação à primeira, à segunda, àterceira, ......., à n-ésima variáveis, respectivamente. Denotando por e j = (0,...., 1,....0) o vetorque tem todas as componentes zero exceto a j-ésima, que é igual a 1, temos:

∂f

∂x j(x) = lim

t−→0

f (x + te j) − f (x)

t.

5.3 Interpretação Geométrica das Derivadas ParciaisO gráfico de uma função de duas variáveis z = f (x, y) é, em geral, uma superfície em R3. Ainterseção desta superfície com um plano paralelo ao plano xz, que passa pelo ponto (0, y0, 0)é uma curva plana (ou um ponto) que satisfaz às condições:

z = f (x, y)

y = y0.

Como a curva é plana, podemos considerá-la como o gráfico de uma função de uma variável, asaber: g(x) = f (x, y0). Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto x0, relativa

ao plano, é:

g′(x0) =∂f

∂x(x0, y0)

Analogamente, a curva plana definida pela interseção do gráfico de f com o plano que passapor (x0, 0, 0) paralelo ao plano yz pode ser definida por h(y) = f (x0, y). Logo, o coeficiente




angular da reta tangente à curva no ponto y0, relativa ao plano, é:

h′(y0) =∂f

∂y(x0, y0)

Desenhos à esquerda e à direita, respectivamente:

Figura 5.4:

Figura 5.5:

Exemplo 5.3.[1] Seja z = f (x, y) = x2 + y2. Determine a equação da reta tangente à interseção do gráf com o plano de equação y = 2, no ponto (2, 2, 8). Pela observação anterior: z = x2 + z = g(x) = x2 + 4 e a equação da reta tangente é: z − g(x0) = g′(x0)(x − x0), onde x0

seja: z − 4x = 0.

-2

0

2

-2

0

2

0

2

4

6

-2

0

2

4




5.3. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS 91

[2] Seja z = f (x, y) = y2. Determine a equação da reta tangente à interseção do gráfico de f com o plano de equação x = x0, no ponto (x0, 1, 1). Pela observação anterior: z = y2; logoz = h(y) = y2 e a equação da reta tangente é: z − h(y0) = h′(y0) (y − y0), onde y0 = 1, ou seja:z − 2y + 1 = 0.

1


Dos parágrafos anteriores temos:

Proposição 5.1. Seja f : A ⊂ R2

−→ R uma função tal que as derivadas parciais existam no conjuntoaberto A, então:∂f

∂x(a, b) = g′(a) se g(x) = f (x, b)

∂f

∂y(a, b) = h′(b) se h(y) = f (a, y)

A prova segue das definições e observações anteriores. Esta proposição se estende natural-mente para n ≥ 2.

Exemplo 5.4.

[1] Se f (x, y) = 4 x4 + y4, calcule∂f

∂x

(0, 0) e∂f

∂y

(0, 0).

Seja g(x) = f (x, 0) = x e h(y) = f (0, y) = y; logo g′(x) = 1 e h′(y) = 1; então:

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 1.

[2] Se f (x, y) = x2

(x2 + y2 ln(y2 + 1))−5 etg(x2 y+y3 x2), calcule∂f

∂x(1, 0).

Seja g(x) = f (x, 0) = x−3 e g′(x) = −3 x−4; logo:

∂f

∂x(1, 0) = g′(1) = −3.

[3] Se f (x,y ,z) =cos(x + y + z)

ln(x2 + y2 + z2), calcule

∂f

∂x(π, 0, 0).

Seja g(x) = f (x, 0, 0) =cos(x)

2 ln(x)e g′(x) = −x ln(x) sen(x) + cos(x)

2 ln2(x); logo:

∂f

∂x(π, 0, 0) = g′(π) =

1

2 π ln2(π).




5.4 Derivadas Parciais como Taxa de Variação

As derivadas parciais também podem ser interpretadas como taxa de variação ou razãotânea. De fato, sejam A ⊂ R2 aberto e f : A −→ R uma função tal que as derivadas parciatem no ponto (x0, y0). A derivada parcial ∂f

∂x (x0, y0) é a taxa de variação de f ao longoque passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0), isto é, c(t) = (x0, y0)+ t (1, 0) = (x0

(|t

|pequeno). De forma análoga interpretamos a outra derivada parcial: ∂f

∂y (x0, y0) é a

variação de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1)d(t) = (x0, y0) + t (0, 1) = (x0, y0 + t), (|t| pequeno).

0

0+t

0 0+t

e

e

2

1

Ay

y

x x

d(t) d(t)

c(t)

c(t)

Figura 5.8:

Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da variação parcial da função em recada variável, quando as outras estão fixadas.

Exemplo 5.5.

[1] A lei de um gás ideal confinado é P V = 8 T , onde P é a pressão em N/cm2, V é o v

em cm3

e T é a temperatura em graus. Se o volume do gás é de 150 cm3

e a temperatu100o, pede-se:

(a) Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura para o volume 150 cm3.

(b) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão para a temperatura100o.

(a) Escrevamos a pressão em função do volume e da temperatura:

P (V, T ) = 8T

V ; então,

∂P

∂T (V, T ) =

8

V ;

logo,∂P

∂T (150, T ) ∼= 0.0533 N/cm2/kal.

A variação da pressão em relação à temperatura cresce a uma razão de 0.0533 N/cm2/ka

que∂P

∂T não depende de T .



5.4. DERIVADAS PARCIAIS COMO TAXA DE VARIAÇÃO 93

(b) Escrevemos o volume em função da pressão e da temperatura:

V (P, T ) = 8T

P ; então,

∂V

∂P (P, T ) = −8

T

P 2.

Por outro lado, P = 8 T V e para T = 100 e V = 150, obtemos P = 16

3 ; logo:

∂V ∂P

( 163

, 100) = −28.13 cm3/N.

A variação do volume em relação à pressão diminui a uma razão de 28.13 cm3/N .

[2] O potencial elétrico no ponto (x,y ,z) é dado por:

V (x,y ,z) =x

x2 + y2 + z2,

onde V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variação instantânea de V emrelação à distância em (1, 2, 3) na direção do:

(a) eixo dos x;(b) eixo dos y;

(c) eixo dos z.

(a) Devemos calcular∂V

∂x(1, 2, 3). Seja g(x) = f (x, 2, 3) =

x√x2 + 13

; então:

∂V

∂x(x, 2, 3) = g′(x) =

13

(x + 13)3/2,

logo;∂V

∂x

(1, 2, 3) =13

14 √14

volts/cm.

(b) Devemos calcular∂V

∂y(1, 2, 3): Seja h(y) = f (1, y, 3) =

1 y2 + 10

; então:

∂V

∂y= h′(y) = − y

(y2 + 10)3/2,

logo;∂V

∂y(1, 2, 3) = − 1

7√

14volts/cm.

(c) Devemos calcular∂V

∂z(1, 2, 3): Seja k(z) = f (1, 2, z) =

1√z2 + 5

; então:

∂V

∂z= k′(z) = − z

(z2 + 5)3/2,

logo;∂V

∂z(1, 2, 3) = − 3

14√

14volts/cm.




[3] Quando materiais tóxicos são despejados ou manipulados num aterro podem ser libpartículas contaminadas para a atmosfera circundante. Experimentalmente, a emissãopartículas pode ser modelada pela função:

E (V, M ) = K × 0.00032 V 1.3 M −1.4,

onde E é a emissão (quantidade de partículas liberadas na atmosfera por tonelada

manipulado), V é a velocidade média do vento (mph=metros por hora), M é a umidatida no material (dada em porcentagem) e K é uma constante que depende do tamanpartículas. Calcule a taxa de variação da emissão para uma partícula tal que K = 0.2, VM = 13 em relação:

(a) ao vento;

(b) à umidade.

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

Figura 5.9: Curvas de nível de E .

(a) Calculamos∂E

∂V (10, 13): Então,

∂E

∂V (V, M ) = 0.000122 V 0.3 M −1.4; logo,

∂E

∂V (10, 13) = 0.00001496.

(b) Calculamos∂E

∂M (10, 13): Então,

∂E

∂M (V, M ) = −0.000291 V 1.3 M −2.4; logo,

∂E

∂M (10, 13) = −0.00001234.

Interprete os resultados obtidos no último exemplo.

5.5 DiferenciabilidadeNo caso de uma variável sabemos que se uma função é derivável num ponto, ela é cono ponto. Gostaríamos de ter um comportamento análogo para funções de várias variáventanto, a existência das derivadas parciais não garante a continuidade da função. Deexistência de ∂f

∂x depende do comportamento da função f somente na direção do eixo



5.5. DIFERENCIABILIDADE 95

a existência de ∂f ∂y depende do comportamento da função f somente na direção do eixo dos y.

Por exemplo, sabemos que a função:

f (x, y) =

2 x y

x2+y2 se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0),

não é contínua na origem. No entanto, as derivadas parciais existem em todos os pontos,

inclusive na origem. De fato, sejam g(x) = f (x, 0) = 0 e h(y) = f (0, y) = 0; logo:

∂f

∂x(0, 0) = g′(0) = 0 e

∂f

∂y(0, 0) = h′(0) = 0.

As derivadas parciais para (x, y) = (0, 0) são:

∂f

∂x=

2 y3 − 2 x2 y

(x2 + y2)2e

∂f

∂y=

2 x3 − 2 x y2

(x2 + y2)2.

Em uma variável, a existência da derivada de uma função num ponto, garante que nas proxi-midades desse ponto o gráfico da função fica bastante próximo da reta tangente a esse gráfico

no ponto considerado. Seguiremos esta idéia para estender o conceito de diferenciabilidadepara funções de várias variáveis. Correspondendo à reta tangente num ponto do gráfico deuma função em R temos o "plano tangente"num ponto do G(f ) e este plano deve ser uma"boa"aproximação para o G(f ) numa vizinhança do ponto.

Definição 5.3. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjunto aberto A. Dizemos que f édiferenciável no ponto x0 ∈ A se existem as derivadas parciais de f em x0 e:

limh→0

f (x) − f (x0) −n

j=1

∂f ∂xj

(x0)h j

h = 0,

onde h = x− x0, h j é a componente j-ésima de h e x ∈ A.

Para n = 2, este limite expressa o que pensamos ao dizer que:

f (x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0) (x − x0) +

∂f

∂y(x0, y0) (y − y0),

é uma boa aproximação para f numa vizinhança de x0 = (x0, y0).

Definição 5.4. f é diferenciável em A ⊂ Rn, se é diferenciável em cada ponto de A.

Exemplo 5.6.

Considere a função:

f (x, y) =

x2y

x2 + y2se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0),




f é contínua em (0, 0); suas derivadas parciais são:

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0,

∂f

∂x(x, y) =

2 x y3

(x2 + y2)2e

∂f

∂y(x, y) =

x2 (x2 − y2)

(x2 + y2)2.

Agora, apliquemos a definição de diferenciabilidade para f no ponto (0, 0):

lim(x,y)−→(0,0) |f (x, y)

|(x, y) = lim(x,y)−→(0,0) |x2y

|(x2 + y2)

x2 + y2 ;

considere y = k x, k > 0:

lim(x,y)→(0,0)

|x2y|(x2 + y2)

32

= lim(x,y)→(0,0)

|kx3|(x2 + k2x2)

32

= lim(x,y)→(0,0)

±k

(1 + k2)32

= ± k

(1 + k2)

o limite depende de k; logo f não é diferenciável em (0, 0).


Aplicar diretamente a definição de função diferenciável pode ser, em muitos casos, bcomplicado. Por isso, apresentamos o seguinte teorema:

Teorema 5.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função definida no conjunto aberto A tal que existeas derivadas parciais em cada ponto de A e cada uma delas é contínua no ponto x0 ∈ A. Endiferenciável em x0.

O teorema estabelece apenas uma condição suficiente, ou seja, nem todas as funções dciáveis num ponto x0 devem ter derivadas parciais contínuas numa vizinhança de x0.prova do teorema, veja o apêndice.

Exemplo 5.7.

[1] Considere a seguinte função

f (x, y) =

x2y2

x2 + y2se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).




As derivadas parciais são:

∂f

∂x(0, 0) =

∂f

∂y(0, 0) = 0,

∂f

∂x(x, y) =

2xy4

(x2 + y2)2e

∂f

∂y(x, y) =

2x4y

(x2 + y2)2.

As derivadas parciais existem em todo ponto. Aplicaremos o teorema para provar a diferen-ciabilidade de f no ponto (0, 0). Para isto provaremos que as derivadas parciais são contínuas

no ponto (0, 0).

lim(x,y)→(0,0)

∂f

∂x(x, y) = lim

(x,y)→(0,0)

2xy4

(x2 + y2)2=

∂f

∂x(0, 0) = 0.

De fato, |x| ≤

x2 + y2 e y4 ≤ (x2 + y2)2; logo, |2x y4|(x2+y2)2

≤ 2

x2 + y2; se δ = ε2 , teremos 2 x y4

(x2+y2)2

< ε se 0 <

x2 + y2 < δ. Analogamente para a outra derivada parcial.


[2] Os polinômios em várias variáveis são claramente diferenciáveis em todo ponto de Rn.[3] A função z = f (x, y) =

x2 + y2 é diferenciável em R2 − {(0, 0)}. De fato:

∂f

∂x=

x x2 + y2

e∂f

∂y=

y x2 + y2

e ambas são funções contínuas em R2 − {(0, 0)}.

Definição 5.5. Uma função é dita de classe C 1 em A quando existem as derivadas parciais em cada ponto de A e estas são contínuas. Logo f de classe C 1 implica em f diferenciável.

Proposição 5.2. Se f e g são funções de classe C 1 no ponto x0, então:

1. f + g é de classe C 1 em x0.

2. f g é de classe C 1 em x0.




3. Se g(x0) = 0,f

gé de classe C 1 em x0.

As provas seguem da aplicação direta da definição.

Exemplo 5.8.

[1] As função definidas por polinômios de várias variáveis são de classe C 1

.[2] A função f (x, y) = xy2 +

y

x2 + y2 + 1é diferenciável em todo R2. De fato, escrevend

f (x, y) = f 1(x, y) +f 2(x, y)

f 3(x, y),

onde f 1(x, y) = xy2, f 2(x, y) = y e f 3(x, y) = x2 + y2 + 1, vemos que as três funções sãrenciáveis em todo o plano, pois são polinômios e f 3 não se anula em nenhum ponto doPelas propriedades anteriores, f é diferenciável em R2.

Teorema 5.2. Se f é diferenciável no ponto x0, então f é contínua em x0.

Para a prova, veja o apêndice. Se f é de classe C 1, então f é diferenciável e portacontínua.

O plano tangente ao gráfico de uma função f num ponto é o plano que contem todas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponsão co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe. Nos próximos pardaremos uma justificativa para a seguinte definição:

Definição 5.6. Seja f : A ⊂ R2 −→ R uma função diferenciável no ponto (x0, y0). A equaplano tangente ao G(f ) no ponto (x0, y0, f (x0, y0)) é:

z = f (x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0) (x − x0) +

∂f

∂y(x0, y0) (y − y0)

Figura 5.12: Plano tangente ao G(f ).




Segue, de imediato, que os vetores normais ao plano tangente no ponto (x0, y0, f (x0, y0)) são:

n(x0, y0, z0) = ±∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0), −1

Exemplo 5.9.

[1] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z = (x2 + y2 + 1) e−(x2+y2) no ponto(0, 0, 1).

Observemos que f (x, y) = (x2 + y2 + 1) e−(x2+y2) é uma função diferenciável em R2. Sejamg(x) = f (x, 0) = (1 + x2) e−x2 e h(y) = f (0, y) = (1 + y2) e−y2 ; logo, g′(x) = −2 x3 e−x2 eh′(y) = −2 y3 e−y2 e:

∂f

∂x(0, 0) = g′(0) = 0;

∂f

∂y(0, 0) = h′(0) = 0

e f (0, 0) = 1. A equação do plano tangente no ponto (0, 0, 1) é z = 1.

Figura 5.13: Plano tangente do exemplo [1].

[2] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z = x − 6 y2 nos pontos (1, 1, f (1, 1))e (−1, −1, f (−1, −1)).

Como f é diferenciável em R2: f (1, 1) = −5 e f (−1, −1) = −7. Por outro lado:

∂f

∂x(x, y) = 1,

∂f

∂y(x, y) = −12 y.

As equações dos planos tangente ao G(f ) nos pontos (1, 1, −5) e (−1, −1, −7) são z = x−12 y+6e z = x + 12 y + 6, respectivamente.




Figura 5.14: Plano tangente do exemplo [2].

[3] Determine a equação do plano tangente ao gráfico de z = ex−y + x y2 no ponto (1, 1

Note que f é diferenciável em R2:

f (1, 1) = 2,∂f

∂x(x, y) = ex−y + y2 e

∂f

∂y(x, y) = −ex−y + 2 x y.

A equação do plano tangente ao G(f ) no ponto (1, 1, 2) é z = 2 x + y − 1. Os vetores nno ponto (1, 1, 2) são n = (2, 1, −1) e n = (−2, −1, 1).

5.6 Aproximação Linear

Como em Cálculo I, podemos usar a "boa"aproximação do plano tangente ao gráficovizinhança de um ponto para efetuar cálculos numéricos aproximados.

Definição 5.7. Seja f diferenciável no ponto x0. A aproximação linear de f ao redor de x0 é d por l e definida como:

1. se n = 2 e z0 = f (x0, y0):

l(x, y) = z0 +∂f

∂x(x0, y0)(x − x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)

2. se n = 3, x0 = (x0, y0, z0) e w0 = f (x0):

l(x,y,z) = w0 +∂f

∂x(x0) (x − x0) +

∂f

∂y(x0) (y − y0) +

∂f

∂z(x0) (z − z0)

Seja ε > 0 pequeno. Para todo x

∈B(x0, ε), o erro da aproximação é E (x) =

|f (x)

−satisfaz:lim

x−→x0

E (x)

x− x0 = 0.

Em outras palavras l(x) aproxima f (x) numa vizinhança de x0. A função l(x) tambémmada linearização de f numa vizinhança de x0.



5.6. APROXIMAÇÃO LINEAR 101

Exemplo 5.10.

[1] Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamosresolver os seguintes problemas:

(a) Se T (x, y) = x ex y representa a temperatura num ponto (x, y) numa certa região do plano,calcular as seguintes temperaturas T (1.0023, 0.00012) e T (0.00012, 1.0023).

(b) Se ρ(x,y,z) = ln(

x2

+ y2

+ z2

) representa a densidade de um ponto (x,y,z) numa certaregião do espaço que não contem a origem, determine ρ(1.005, 0.007, 1.01).

(c) Calcule, aproximadamente, o valor de√

1.012 + 4.012 + 8.0022.

(a) Como (1.0023, 0.00012) está perto de (1, 0) acharemos a linearização de T numa vizinhançade (1, 0). Isto é:

l(x, y) = T (1, 0) +∂T

∂x(1, 0) (x − 1) +

∂T

∂y(1, 0) y = 1 +

∂T

∂x(1, 0) x +

∂T

∂y(1, 0) y − ∂T

∂x(1, 0).

∂T ∂x (x, y) = ex y (1 + x y) e ∂T

∂y (x, y) = ex y x2; então, numa vizinhança do ponto (1, 0), temos:

x ex y

≃x + y.

O ponto (1.0023, 0.00012) está perto do ponto (1, 0), logo:

1.0023 × e1.0023×0.00012 ≃ 1.0023 + 0.00012 = 1.00242.

Analogamente, como (0.00012, 1.0023) está perto de (0, 1) acharemos a linearização de T numavizinhança de (0, 1). Isto é:

l(x, y) = T (0, 1) +∂T

∂x(0, 1) x +

∂T

∂y(0, 1) (y − 1) =

∂T

∂x(0, 1) x +

∂T

∂y(0, 1) y − ∂T

∂y(0, 1) = x.

Então, numa vizinhança do ponto (0, 1), temos:

x ex y ≃ x.

Logo: T (0.00012, 1.0023) ≃ 0.00012.

(b) Devemos determinar a linearização de ρ numa vizinhança de (1, 0, 1). Isto é:

l(x,y,z) = ρ(1, 0, 1) +∂ρ

∂x(1, 0, 1) (x − 1) +

∂ρ

∂y(1, 0, 1) y +

∂ρ

∂z(1, 0, 1) (z − 1).

Temos:

∂ρ

∂x(x,y,z) =

x

x2 + y2 + z2,

∂ρ

∂y(x,y,z) =

y

x2 + y2 + z2e

∂ρ

∂z(x,y,z) =

z

x2 + y2 + z2.

Então, numa vizinhança do ponto (1, 0, 1), temos:

ln(

x2 + y2 + z2) ≃ x + z + ln(2)

2− 1.

Logo: ρ(1.005, 0.007, 1.01) ≃ 0.354.




(c) Seja f (x,y,z) =

x2 + y2 + z2. Consideremos o ponto (x0, y0, z0) = (1, 4, 8) e detemos a linearização de f numa vizinhança do ponto (1, 4, 8):

l(x,y,z) = f (1, 4, 8) +∂f

∂x(1, 4, 8) (x − 1) +

∂f

∂y(1, 4, 8) (y − 4) +

∂f

∂z(1, 4, 8) (z − 8)

Temos:

∂f

∂x(x,y,z) =

x

f (x,y,z),

∂f

∂y(x,y ,z) =

y

f (x,y,z)e

∂f

∂z(x,y,z) =

z

f (x,y,z).

Logo, f (1, 4, 8) = 9, ∂f ∂x (1, 4, 8) = 1

9 , ∂f ∂y (1, 4, 8) = 4

9 e ∂f ∂z (1, 4, 8) = 8

9 ; então, numa vizinhaponto (1, 4, 8), temos:

x2 + y2 + z2 ≃ 1

9(x + 4 y + 8 z),

Em particular, no ponto (1.01, 4.01, 8.002):

1.01

2

+ 4.012

+ 8.0022

≃1

9 (1.01 + 4 × (4.01) + 8 × (8.002)) ≃ 9.0073.

[2] Lei de gravitação de Newton. A força de atração entre dois corpos de massa m epectivamente, situados a uma distância r é dada por:

F (m,M ,r) =G m M

r2,

onde G é a constante de gravitação. Determinemos a linearização da função F ao reponto (m0, M 0, r0).

∂F

∂m (m,M ,r) =G M

r2 ,∂F

∂M (m,M ,r) =G m

r2 e∂F

∂r (m,M ,r) = −2 G m M

r3 ;

logo, no ponto (m0, M 0, r0), temos:

l(m,M,r) =G

r30(M 0 r0 m + m0 r0 M − 2 m0 M 0 r + m0 M 0 r0).

Por exemplo, se m0 = 1, M 0 = 2 e r0 = 1, temos que:

F (m,M,r) ≃ G (2 m + M − 4 r + 2),

para todo (m,M ,r) numa vizinhança de (1, 2, 1).

[3] Um depósito de material radioativo tem o formato de um cilindro circular reto e devsuir altura no lado interno igual a 6 cm, raio interno com 2 cm e espessura de 0.1 cm. Sede fabricação do depósito é de 10 cv por cm3. (cv= centavos), determine o custo aproximmaterial usado.



5.7. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 103

Figura 5.15: Depósito de material radioativo.

O volume exato do depósito é a diferença entre os volumes dos cilindros C 1 e C , onde C 1 temraio r1 = 2.1 e altura h1 = 6.2 e C tem raio r = 2 e altura h = 6. Determinemos a aproximaçãolinear do volume do cilindro: V (r, h) = π r2 h. Como V (2, 6)) = 24 π,

∂V

∂r (r, h) = 2 π r h e

∂V

∂h (r, h) = π r2

;

então, numa vizinhança do ponto (2, 6), temos: l(r, h) = 4 π(6 r + h − 12). O volume de C 1 éV C 1

∼= l(2.1, 6.2) = 27.2 π e o volume total é V =

27.2 π − 24 π

cm3 = 3.2 π cm3. Logo o custoaproximado é de 10 × 3.2 π ∼= 100.58 cv.

O argumento desenvolvido neste parágrafo se generaliza facilmente para mais de 3 variáveis:[4] Suponha que 4 resistores num circuito são conectados em paralelo; a resistência R do cir-cuito é dada por:

R(r1, r2, r3, r4) =

1

r1+

1

r2+

1

r3+

1

r4

−1.

Determine a linearização de R numa vizinhança do ponto (10, 20, 40, 10), onde os ri são medi-dos em Ohms. Seja x = (r1, r2, r3, r4):

∂R

∂r1(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r21,

∂R

∂r2(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r22,

∂R

∂r3(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r23,

∂R

∂r4(x) =

(R(r1, r2, r3, r4))2

r24.

Logo, numa vizinhança do ponto (10, 20, 40, 10), temos:

R(r1, r2, r3, r4)

≃

1

121

(16 r1 + 4 r2 + r3 + 16 r4).

5.7 Derivadas Parciais de Ordem Superior

Seja f : A ⊂ R2 −→ R uma função tal que suas derivadas parciais existem em todos os pontos(x, y) ∈ A. As derivadas parciais são, em geral, funções de x e y e podemos perguntar se as




Em geral, se f : A ⊂ Rn −→ R é uma função tal que suas derivadas parciais existem em todosos pontos x ∈ A, definimos as derivadas parciais de segunda ordem de f da seguinte forma:

∂

∂x j

∂f

∂xi

(x) = lim

t→0

∂f ∂xi

(x + te j) − ∂f ∂xi

(x)

t,

se os limites existem. A notação é

∂

∂x j ∂f

∂xi

(x) =

∂ 2f

∂x j ∂xi (x). Logo, definimos n2

funções:

∂

∂x j

∂f

∂xi

: A ⊂ Rn −→ R.

Se n = 2 temos 4 derivadas parciais de segunda ordem e se n = 3 temos 9 derivadas parciaisde segunda ordem. Se i = j:

∂

∂xi

∂f

∂xi

(x) =

∂ 2f

∂x2i

(x).

Analogamente, definimos as derivadas de ordem 3, 4, etc. Por exemplo, para i, j, k = 1....n:

∂ 3

f ∂x j ∂xi∂xk

(x) = ∂ ∂x j

∂ 2

f ∂xi∂xk

(x).

Exemplo 5.12.

[1] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f (x,y,z) = x y z.

Calculemos as de primeira ordem:∂f

∂x= y z,

∂f

∂y= x z e

∂f

∂z= x y, logo:

∂ 2f

∂x2=

∂

∂x(y z) = 0,

∂ 2f

∂y2=

∂

∂y(x z) = 0,

∂ 2f

∂z2=

∂

∂z(x y) = 0,

∂ 2f

∂x∂y =

∂

∂x (x z) = z,

∂ 2f

∂x∂z =

∂

∂x (x y) = y,

∂ 2f

∂y∂x =

∂

∂y (y z) = z,

∂ 2f

∂y∂z=

∂

∂y(x y) = x,

∂ 2f

∂z∂x=

∂

∂z(y z) = y,

∂ 2f

∂z∂y=

∂

∂z(x z) = x.

[2] Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de f (x,y,z) = sen(x y z).

Calculemos as de primeira ordem:∂f

∂x= y z cos(x y z),

∂f

∂y= xzcos(x y z) e

∂f

∂z= xycos(x y z);

logo:

∂ 2f

∂x2== −y2 z2 sen(x y z),

∂ 2f

∂y2= −x2 z2 sen(x y z),

∂ 2f

∂z2= −x2 y2 sen(x y z),

∂ 2f

∂x∂y= z cos(x y z) − x y z2 sen(x y z),

∂ 2f

∂x∂z= y cos(x y z) − x y2 z sen(x y z),

∂ 2f

∂y∂x= z cos(x y z) − x y z2 sen(x y z),




∂ 2f

∂y∂z= xcos(x y z) − x2 y z s e n(x y z),

∂ 2f

∂z∂x= y cos(x y z) − x y2 z sen(x y z),

∂ 2f

∂z∂y= xcos(x y z) − x2 y z s e n(x y z).

[3] Equação de Laplace: Seja u = u(x, y) uma função duas vezes diferenciável num co

aberto do plano. A equação de Laplace é:∂ 2u

∂x2+

∂ 2u

∂y2= 0.

A equação de Laplace está associada a fenômenos estacionários, isto é, independentempo, como por exemplo potenciais eletrostáticos. As soluções desta equação são chafunções harmônicas. A função u(x, y) = sen(x) ey é harmônica. De fato:

∂ 2u

∂x2= −sen(x) ey e

∂ 2u

∂y2= sen(x) ey.

0 2 4 6 8

1

2

3

4

5

6

Figura 5.16: Curvas de nível da função u(x, y) = sen(x) ey.

[4] Equação da onda: Seja u = u(x, t) uma função duas vezes diferenciável num coaberto do plano. A equação homogênea da onda é:

∂ 2u

∂t2= c2

∂ 2u

∂x2,

onde c > 0 (c é chamada a velocidade de propagação da onda). u(x, t) descreve o deslocvertical de uma corda vibrante. A função :

u(x, t) = (x + c t)n + (x − c t)m, n, m ∈ N

satisfaz à equação da onda. De fato.∂ 2u

∂x2= m (m − 1) (x − c t)m−2 + n (n − 1) (x + c t)n−2,

∂ 2u

∂t2= c2 (m (m − 1) (x − c t)m−2 + n (n − 1) (x + c t)n−2).




Figura 5.17: Gráfico de z = u(x, t) para c = 16 , n = m = 3.

Analogamente, a função: u(x, t) =sen(x + c t) + cos(x − c t)

2satisfaz à equação da onda. De

fato.

∂ 2u

∂x2= −1

2(sen(x + c t) + cos(x − c t)),

∂ 2u∂t2

= −c2

2(sen(x + c t) + cos(x − c t)).

Figura 5.18: Gráfico de z = u(x, t) para c = 2.

Definição 5.9. A função f : A −→ R é de classe C 2 quando existem as derivadas parciais até a segundaordem em todos os pontos de A e as funções

∂

∂x j

∂f

∂xi

: A ⊂ Rn → R

são contínuas.

Notamos que nos exemplos estudados sempre verificamos que:∂

∂x j

∂f

∂xi

=

∂

∂xi

∂f

∂x j

.

Isto é consequencia do seguinte teorema.medskip




Teorema 5.3. (Schwarz) Se f : A ⊂ Rn −→ R é uma função de classe C 2 no ponto x0 ∈ A para todo i, j = 1.....n tem-se:

∂

∂x j

∂f

∂xi(x0)

=

∂

∂xi

∂f

∂x j(x0)

para i

= j.

Para a prova veja o apêndice.

Exemplo 5.13.

Consideremos a função: f (x, y) =

x y (x2 − y2)

x2 + y2se (x, y) = (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0).


Se (x, y) = (0, 0), f (x, y) possui derivadas parciais de todas as ordens; em (0, 0) as deparciais de f (x, y) existem e são todas nulas:

∂f

∂x=

y (x4 − y4 + 4x2y2)

(x2 + y2)2e

∂f

∂y=

x (x4 − y4 − 4x2y2)

(x2 + y2)2.

Para todo y = 0, f (0, y) = 0, ∂f ∂x (0, y) = −y, ∂f

∂y (0, y) = 0 e:

∂ 2f

∂x∂y(0, y) = −1,

∂ 2f

∂y∂x(0, y) = 0.

Logo, a função não é de classe C 2.

Em geral, as funções "bem comportadas", como as polinomiais, exponenciais e a maiofunções utilizadas neste livro são de classe C 2. A seguir apresentamos os gráficos e asde nível da função de classe C 2:

f (x, y) = (x2 − y2) e−x2+y2

2



5.8. REGRA DA CADEIA 109

e de suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem mistas, respectivamente:

Figura 5.20: Gráficos.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 5.21: Curvas de nível

O teorema de Schwarz também é valido para derivadas mistas de ordem superior a dois. Defato, se as terceiras derivadas de f são contínuas (f de classe C 3), temos:

∂ 3f

∂x∂x∂y=

∂

∂x

∂ 2f

∂x∂y

=

∂

∂x

∂ 2f

∂y∂x

=

∂ 3f

∂x∂y∂x.

Por outro lado, fazendo g =∂f

∂x :

∂ 3f

∂x∂y∂x=

∂ 2g

∂x∂y=

∂ 2g

∂y∂x=

∂ 3f

∂y∂x∂x.

Fica como exercício determinar as outras igualdades. Em geral, f é de classe C k (k ≥ 1), noconjunto aberto A se as derivadas parciais até ordem k existem e são contínuas em A. f e declasse C ∞ se é de classe C k para todo k ≥ 1.

5.8 Regra da Cadeia

Teorema 5.4. Se n = 2, z = f (x, y) é uma função de classe C 1, x = x(r, s) e y = y(r, s) são funçõestais que suas derivadas parciais existem, então:

∂z

∂r=

∂z

∂x

∂x

∂r+

∂z

∂y

∂y

∂re

∂z

∂s=

∂z

∂x

∂x

∂s+

∂z

∂y

∂y

∂s




r

x

z

y

rs s

Figura 5.22: A regra da cadeia para n = 2.

Em particular, se x = x(t) e y = y(t) são deriváveis, então:

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt

x

z

y

t

Figura 5.23: Caso particular da regra da cadeia para n = 2.

Se n = 3, w = f (x,y,z) é uma função de classe C 1, x = x(r,s,t), y = y(r,s,t) e z = z(r,tais que as derivadas parciais existem, então:

∂w

∂r=

∂w

∂x

∂x

∂r+

∂w

∂y

∂y

∂r+

∂w

∂z

∂z

∂r,

∂w

∂s=

∂w

∂x

∂x

∂s+

∂w

∂y

∂y

∂s+

∂w

∂z

∂z

∂s

e∂w

∂t=

∂w

∂x

∂x

∂t+

∂w

∂y

∂y

∂t+

∂w

∂z

∂z

∂t

x

w

y z

r r s t r s tts

Figura 5.24: A regra da cadeia para n = 3.

Em particular, se x = x(t), y = y(t) e z = z(t) são deriváveis, então:




x y

t

z

w

Figura 5.25: Caso particular da regra da cadeia para n = 3.

dw

dt=

∂w

∂x

dx

dt+

∂w

∂y

dy

dt+

∂w

∂z

dz

dt

Exemplo 5.14.

[1] Calculedw

dtse w = f (x,y,z) = x y z onde x = x(t) = t2, y = y(t) = t e z = z(t) = t4.

dw

dt=

∂w

∂x

dx

dt+

∂w

∂y

dy

dt+

∂w

∂z

dz

dt,

∂w∂x = y z = t × t4 = t5, ∂w

∂y = x z = t2 × t4 = t6 e ∂w∂z = x y = t2 × t = t3. Por outro lado, temos

que dxdt = 2 t, dy

dt = 1 e dzdt = 4 t3; então;

dw

dt= 2 t6 + t6 + 4 t6 = 7 t6.

Observe que podemos obter o mesmo resultado fazendo a composição das funções:

w = f (t2, t , t4) = t2 × t × t4 = t7, entãodw

dt= 7 t6.

Pode explicar por que isto ocorre?

[2] Seja w = f (x,y,z) = x2 + y2 + 2 z2, se:

x(ρ,α,θ) = ρsen(α) cos(θ), y(ρ,α,θ) = ρsen(α) sen(θ) e z(ρ,α,θ) = ρcos(α).

Calcule∂w

∂ρ,

∂w

∂αe

∂w

∂θ.

∂w

∂ρ=

∂w

∂x

∂x

∂ρ+

∂w

∂y

∂y

∂ρ+

∂w

∂z

∂z

∂ρ= 2 xsen(α) cos(θ) + 2 y sen(α) sen(θ) + 4 z cos(α);

logo, utilizando a definição das funções x, y e z temos:

∂w

∂ρ = 2 ρsen2(α)

cos2(θ) + sen2(θ)

+ 4 ρcos2(α) = 2 ρ + 2 ρcos2(α).

Como antes, se fazemos w = f (ρ,α,θ) = ρ2 + ρ2cos2(α), obtemos:

∂w

∂ρ= 2 ρ + 2 ρcos2(α),

∂w

∂α= −2 ρ2cos(α) sen(α) e

∂w

∂θ= 0.




[3] Em um instante dado, o comprimento de um lado de um triângulo retângulo é 10 cmà razão de 1 cm/seg; o comprimento do outro lado é 12 cm e decresce à razão de 2 cCalcule a razão de variação da medida do ângulo agudo oposto ao lado de 12 cm, medradianos, no instante dado.

x

y

θ


Sejam x = x(t) e y = y(t) os lados no instante t e θ = arctg

yx

o ângulo em questão; pe

da cadeia:dθdt

= ∂θ∂x

dxdt

+ ∂θ∂y

dydt

= − yx2 + y2

dxdt

+ xx2 + y2

dydt

;

temos x = 10,dx

dt= 1; y = 12,

dy

dt= −2, pois y decresce. Substituindo estes val

expressão anteriordθ

dt= − 8

61; logo, decresce à razão de

8

61rad/seg.

[4] A resistência R, em Ohms, de um circuito é dada por R = E I , onde I é a corre

ampères e E é a força eletromotriz, em volts. Num certo instante, quando E = 120I = 15 ampères, E aumenta numa velocidade de 0.1 volts/seg e I diminui à velocidadeampères/seg. Determine a taxa de variação instantânea de R.

Como R = R(E, I ) =

E

I . Sejam E = E (t) a força eletromotriz no instante t e I = I (t) a cno instante t. Pela regra da cadeia:

dR

dt=

∂R

∂E

dE

dt+

∂R

∂I

dI

dt=

1

I

dE

dt+− E

I 2 dI

dt.

Temos E = 120,dE

dt= 0.1, I = 15,

dI

dt= −0.05, pois I decresce. Substituindo estes val

expressão anterior:dR

dt=

1

30Ohm/seg.

[5] A lei de um gás ideal confinado é P V = k T , onde P é a pressão, V é o volumetemperatura e k > 0 constante. O gás está sendo aquecido à razão de 2 graus/min e a p

aumenta à razão de 0.5 kg/min. Se em certo instante, a temperatura é de 200 graus e a pé de 10 kg/cm2, ache a razão com que varia o volume para k = 8.

Escrevemos o volume do gás em função da pressão e da temperatura:

V (P, T ) = 8T

P = 8 T P −1.




Sejam P = P (t) a pressão do gás no instante t e T = T (t) a temperatura do gás no instante t.

Pela regra da cadeia e usando quedT

dt= 2 e

dP

dt= 0.5:

dV

dt=

∂V

∂T

dT

dt+

∂V

∂P

dP

dt=

4

P (4 − T

P ).

ComoT = 200

eP = 10

, substituindo estes valores na expressão anterior:dV

dt= −32

5cm3/min.

O volume decresce à razão de32

5cm3/min.

[6] De um funil cônico escoa água à razão de 18 πcm3/seg. Se a geratriz faz com o eixo do coneum ângulo α = π

3 , determine a velocidade com que baixa o nível de água no funil, no momentoem que o raio da base do volume líquido é igual a 6 cm.

r

h

α

Figura 5.27: Funil.

Sejam r = r(t) o raio do cone no instante t, h = h(t) a altura do cone no instante t. O volume

do cone é V (r, h) =r2hπ

3 . Devemos calculardh

dt .

dV

dt=

∂V

∂r

dr

dt+

∂V

∂h

dh

dt=

π

3

2rh

dr

dt+ r2

dh

dt

;

sabemos quedV

dt= 18π e tg(α) = r/h, logo r = h tg(π/3) =

√3 h e

dr

dt=

√3

dh

dte:

18 π =π

3

2rh

dr

dt+ r2

dh

dt

= π r2

dh

dt.

Logo, temosdh

dt=

18

r2=

1

2cm/seg.

[7] Suponha que z = f b x2

2− a y3

3

é diferenciável, a, b ∈ R. Então, f satisfaz à equação:

a y2∂z

∂x+ b x

∂z

∂y= 0.




De fato, seja u =b x2

2− a y3

3; então, z = f (u). Pela regra da cadeia:

∂z

∂x=

dz

du

∂u

∂x= f ′(u) b x e

∂z

∂y=

dz

du

∂u

∂y= −f ′(u) a y2;

logo, a y2∂z

∂x+ b x

∂z

∂y= f ′(u) (a b x y2 − a b x y2) = 0.

[8] Equação da onda: Seja u = u(x, t) de classe C 2. A equação homogênea da onda é da

∂ 2u

∂t2= c2

∂ 2u

∂x2,

A solução (chamada de d’Alambert) desta equação é dada por:

u(x, t) = f (x + c t) + g(x − c t),

onde f e g são funções reais de uma variável duas vezes diferenciáveis. De fato, pela recadeia:

∂ 2u∂x2

= f ′′(x + c t) + g′′(x − c t) e ∂ 2u∂t2

= c2 (f ′′(x + c t) + g′′(x − c t)),

ou seja,∂ 2u

∂t2= c2

∂ 2u

∂x2.

5.9 Exercícios

1. Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:

(a) z = x2 y − x y2

(b) z = x3 y3

(c) z = x2 y3 − 3 x4 y4

(d) z = arctg(x2 + y)

(e) z = sec(x2 y)

(f) z = senh(√

x y)

(g) z = x yx+y

(h) z = x−yx+y

(i) z = 1√x2+y2

(j) z = tg( 4 yx )

(k) z = arcsec( xy3 )

(l) z = cos(x y4)

(m) w = x y z + z sen(x y z)

(n) w = exyz2

(o) w = x+y+zx2+y2+z2

(p) w = arctg(x + y + z)

(q) w = arcsec(x y z)

(r) w = argsenh(x y z)

(s) w = x2 y3 z4

(t) w = cos(x y + z

(u) w = 6√

x y z

(v) w = ln(x2 y3 z4)

(w) w = x y+z x1+x2+y3 z4

(x) w = sen(ln(x y z

(y) w = ex2 y3 z4

(z) w = cos(ln(x y z

2. Seja∂w

∂x+

∂w

∂y+

∂w

∂z= 0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:




(a) w = ex−y + cos(y − z) +√

z − x

(b) w = sen(ex + ey + ez )

(c) w = ln(ex + ey + ez)

(d) w = cos(x2 + y2 + z2)

3. Ligando-se em paralelo n resitências R1, R2, ........, Rn a resistência total R é dada por

1

R =

ni=1

1

Ri.

Verifique que:∂R

∂Ri= R

Ri

2.

4. Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função z = f (x, y) no ponto P se:

(a) z = x2 + y, P = (1, 1, f (1, 1)).

(b) z = x2 − y2, P = (0, 0, 0).

(c) z = x2 + 4 y2, P = (2, 1, f (2, 1)).

(d) z = x2 y + y3, P = (−1, 2, f (−1, 2)). .(e) z = x√

x2+y2, P = (3, −4, f (3, −4)).

(f) z = sen(x y), P = (1, π, 0).

(g) z = x2+4 y2

5 , P = (3, −2, 5).

(h) z = 4−x yx+y , P = (2, 2, f (2, 2)).

(i) z = x ex2−y2 , P = (2, 2, f (2, 2)).

(j) z = 3 x3 y − x y, P = (1, −1, f (1, −1)).

(k) z = 1x y , P = (1, 1, f (1, 1)).

(l) z = cos(x) sen(y), P = (0, π2 , f (0, π

2 )).

5. Determine o plano tangente ao gráfico de z = x y que passa pelos pontos (1, 1, 2) e(−1, 1, 1).

6. Determine o plano tangente ao gráfico de z = x2 + y2 que seja paralelo ao plano z − 2 x −y = 0.

7. Verifique que o plano tangente ao gráfico de z = x2 − y2 na origem intersecta o gráficosegundo duas retas.

8. Determine a linearização das seguintes funções, ao redor dos pontos dados:

(a) f (x, y) = sen(x y), (0, 1).

(b) f (x,y,z) = 4

x2 + y2 + z2, (1, 0, 0).

(c) f (x,y,z) = x y z, (1, 1, 1).

(d) f (x,y,z) = (x y)z , (12, 10, 1).

(e) f (x,y,z) = x y3 + cos(π z), (1, 3, 1)

(f) f (x,y,z) = x2− y2− z2 + x y z, (1, 1, 0)

9. Calcule, aproximadamente:




(a) 4√

1.00222 + 0.00232 + 0.000982.

(b) 0.98 × 0.99 × 1.02.

(c) 3.001 × (2.0023)3 × cos((1.002) π).

(d) (12.03 × 10.04)1.08.

(e) 8.99 × √9.99 − 1.013

(f) 1.0023 × 2.99313 + cos(1.00012π

10. Calcule as derivadas parciais de segunda e terceira ordem de:

(a) z = x3 y − 2 x2 y2 + 5 x y − 2 x

(b) z = xcos(x y) − y sen(x y)

(c) z = cos(x3 + x y)

(d) z = arctg(x2 − 2 x y)

(e) z = ex2+y2

(f) w = x2y3 z4

(g) w = cos(x + y + z)

(h) w = x3 y2 z + 2 (x + y + z)

(i) w = x3−y3

x2+y3

(j) w = exyz

(k) w = log4(x2 + y z + x y z)

(l) w = exy2z3

11. Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace:∂ 2f

∂x2+

∂ 2f

∂y2= 0.

(a) f (x, y) = e−x cos(y).(b) f (x, y) = ln(

x2 + y2).

(c) f (x, y) = arctg

yx

, x > 0.

12. Verifique que as funções dadas satisfazem à equação de Laplace em dimensão 3:

∂ 2f

∂x2+

∂ 2f

∂y2+

∂ 2f

∂z2= 0.

(a) f (x,y,z) = x2 + y2 − 2 z2. (b) f (x,y,z) = e3x+4y cos(5z).

13. Usando a regra da cadeia para z = f (x, y) e w = f (x,y,z), calculedz

dt

edw

dt

:

(a) z = x2 + 2y2, x = sen(t), , y = cos(t)

(b) z = arctg( yx ), x = ln(t), y = et

(c) z = tg( xy ), x = t, y = et

(d) z = exy, x = 3t + 1, y = t2

(e) z = x2cos(y) − x, x = t2, y = 1t

(f) z = ln(x) + ln(y) + xy, x = et, y = e−t

(g) w = xyz, x = t2, y = t3, z = t4

(h) w = e−

xy2sen(z), x = t, y = 2t, z = 3t

(i) w = x2 + y2 + z2, x = et, y = ez = etsen(t)

(j) w = x2+y2

1+x2+y2+z2 , x = cos(t),y = sen(t), z = et

(k) w = x+y+zx2+y2+z2 , x = cos(t),

y = sen(t), z = et

(l) w = (x2− y2) ln(

z3

x2−y2), x =

y = senh(t), z = t

14. Usando a regra da cadeia para z = f (x, y) e w = f (x,y,z), calcule:∂z

∂t,

∂z

∂se

∂w

∂t∂w

∂r.




(a) z = x2 − y2, x = 3t − s, y = t + 2s

(b) z = ey

x , x = 2scos(t), y = 4ssen(t)

(c) z = x2 + y2, x = cosh(s) cos(t),y = senh(s) sen(t)

(d) z = x2y−2, x = s2 − t, y = 2st

(e) z = cosh(

y

x ), x = 3t2

s, y = 6tes

(f) ) z =

1 + x2 + y2, x = set, y = se−t

(g) z = arcsen(3x+y), x = s2, y = sen(st)

(h) w = xey, x = arctg(rst), y = ln(3rs +5st)

(i) w = x2 + y2 + z2, x = rsen(t)cos(s),y = rsen(t)sen(s), z = rcos(t)

(j) w =

x2 + y2 + z2, x = tg(t), y =cos(r), z = sen(s)

(k) w = xy + yz + zx, x = tr, y = st, z = ts

(l) w = log5(xy+yz+zx), x = t2r, y = st2,z = t2s

15. Se o raio r e a altura h de um tanque cônico decrescem à razão de 0.3 cm/h e 0.5 cm/hrespectivamente, determine a razão de decrescimento do volume do tanque quando r =6 cm e h = 30 cm.

16. Num certo instante, a altura de um cone é 30 cm e o raio da base é 20 cm e cresce à razãode 1 cm/seg. Qual é a velocidade com que a altura aumenta no instante em que o volumecresce à razão de 2000

3 π cm3/seg?

17. Considere a lei de um gás ideal confinado, para k = 10. Determine a taxa de variação datemperatura no instante em que o volume do gás é de 120 cm3 e o gás está sob pressãode 8 din/cm2, sabendo que o volume cresce à razão de 2 cm3/seg e a pressão decresce àrazão de 0.1 din/cm2.

18. Se z = f (x, y) é diferenciável, x = rcos(θ) e y = rsen(θ), verifique:

∂z

∂x=

∂z

∂rcos(θ) − ∂z

∂θ

sen(θ)

re

∂z

∂y=

∂z

∂rsen(θ) +

∂z

∂θ

cos(θ)

r.

19. Sejam f (x, y) e g(x, y) funções diferenciáveis tais que:

∂f

∂x=

∂g

∂ye

∂f

∂y= − ∂g

∂x.

Se x = rcos(θ), y = rsen(θ) verifique que:

∂f

∂r=

1

r

∂g

∂θe

∂g

∂r= −1

r

∂f

∂θ.

20. Verifique que se w = f (x,y ,z) é diferenciável e homogênea de grau n, então:

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y+ z

∂f

∂z= nf (x,y,z).



Capítulo 6

DERIVADA DIRECIONAL

6.1 Introdução

Suponha que estamos numa ladeira de uma montanha e desejamos determinar a inclinação damontanha na direção do eixo dos z. Se a montanha fosse representada pelo gráfico da funçãoz = f (x, y), então, já saberíamos determinar a inclinação em duas direções diferentes, a saber,na direção do eixo dos x utilizando ∂f

∂x (x, y) e na direção do eixo dos y utilizando ∂f ∂y (x, y). Neste

parágrafo veremos como utilizar derivada para determinar a inclinação em qualquer direção;para isto definimos um novo tipo de derivada chamada direcional. Este conceito generaliza ode derivada parcial, isto é, as derivadas parciais de uma função podem ser obtidas como casosparticulares das derivadas direcionais.

Definição 6.1. Sejam A ⊂ Rn aberto, f : A ⊂ Rn −→ R uma função, x ∈ A e v um vetor unitárioem Rn. A derivada direcional de f no ponto x e na direção v é denotada por:

∂f

∂ v(x)

e definida por: ∂f

∂ v(x) = lim

t−→0

f (x + t v) − f (x)

t,

se o limite existe.

Se n = 3, A ⊂ R3 aberto, f : A ⊂ R3 −→ R uma função, x = (x,y,z) ∈ A e v = (v1, v2, v3) umvetor unitário em R3. A derivada direcional de f no ponto (x,y,z) e na direção v é denotada

por:∂f

∂ v(x,y,z) e definida por:

∂f

∂ v(x,y ,z) = lim

t−→0

f (x + t v1, y + t v2, z + t v3) − f (x,y,z)

t

se o limite existe. Analogamente para n = 2:

∂f

∂ v(x, y) = lim

t−→0

f (x + t v1, y + t v2) − f (x, y)

t

se o limite existe.

119



6.2. DERIVADA DIRECIONAL COMO TAXA DE VARIAÇÃO 121

A derivada direcional é a generalização natural das derivadas parciais. De fato, se v = e1 =(1, 0, 0), então, a derivada direcional de f na direção v é a derivada parcial de f em relação a x:

∂f

∂ e1(x,y,z) = lim

t→0

f (x + t,y,z) − f (x,y,z)

t=

∂f

∂x(x,y,z).

Analogamente se v = e2 = (0, 1, 0) e v = e3 = (0, 0, 1):

∂f

∂ e2(x,y ,z) =

∂f

∂y(x,y,z) e

∂f

∂ e3(x,y,z) =

∂f

∂z(x,y,z).

A definição para n = 2 é análoga.

Notemos que na definição de derivada direcional o vetor v deve ser unitário. A razão disto é aseguinte: se o vetor não fosse unitário, a derivada direcional não dependeria somente do pontoe da direção, mas também do comprimento do vetor. Para n = 2, v determina a direção doplano secante que intersecta o gráfico de f .

Figura 6.1:

Pode acontecer que a derivada direcional de uma função num ponto numa certa direção existae a derivada direcional da mesma função no mesmo ponto em outra direção não exista.

6.2 Derivada Direcional como Taxa de Variação

De forma análoga ao que ocorre com as derivadas parciais, a derivada direcional de f no pontox ∈ A na direção v exprime a taxa de variação de f ao longo da reta c(t) = x + t v ou, equiva-lentemente, a taxa de variação de f em relação à distância, no plano xy, na direção v.



122 CAPÍTULO 6. DERIVADA DIREC

y0

y0

+t

x0x

0+t

Ae

e

2

1

v

c(t)

Figura 6.2:

Novamente, a existência de todas as derivadas direcionais de uma função num ponto nrante a continuidade da função no ponto, pois, equivale a aproximar-se do ponto por re

Exemplo 6.2.

O potencial elétrico numa região do espaço é dado por V (x,y ,z) = x2 + 4 y2 + 9 z2. Achde variação de V no ponto (2, −1, 3) e na direção de (2, −1, 3) para a origem.

O vetor (2, −1, 3) não é unitário; logo, v =(2, −1, 3)

(2, −1, 3) =1√14

2, −1, 3

. Então:

f

x +2 t√

14, y − t√

14, z +

3 t√14

=

x +2 t√

14

2+ 4

y − t√

14

2+ 9

z +

3 t√14

2;

e,

f

x +

2 t√14

, y − t√14

, z +3 t√

14− f (x,y ,z) =

1

14t

89 t + 2

√14(2 x − 4 y + 27 z)

Logo,

∂f

∂ v= lim

t−→0

1

14

89 t + 2

√14(2 x − 4 y + 27 z)

=

√14

7(2 x − 4 y + 27 z). Então:

∂f

∂ v(2, −1, 3) =

89√

14

7.

Se f é diferenciável no ponto x0, então, f possui todas as derivadas direcionais emrecíproca é falsa. Procure exemplos.

6.3 Gradiente de uma Função

Definição 6.2. Sejam A ⊂ Rn aberto, x ∈ A e f : A ⊂ Rn −→ R uma função tal que as de parciais existem em x. O gradiente de f no ponto x é o vetor do Rn denotado por ∇f (x) e por:

∇f (x) = ∂f

∂x1(x),

∂f

∂x2(x), . . . ,

∂f

∂xn(x)

.



6.3. GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO 123

Equivalentemente:

∇f (x) =∂f

∂x1(x) e1 +

∂f

∂x2(x) e2 + ............ +

∂f

∂xn(x) en.

Se n = 3, A ⊂ R3 aberto, f : A ⊂ R3 −→ R uma função, x = (x,y,z) ∈ A o gradiente de f noponto (x,y,z) é definido por:

∇f (x,y,z) =∂f

∂x(x,y,z),

∂f

∂y(x,y,z)

∂f

∂z(x,y,z)

Analogamente para n = 2.A rigor ∇f é uma função que associa a cada ponto x ∈ A ⊂ Rn um único vetor ∇f (x) ∈Rn. Este tipo de função é chamado campo de vetores. O nome se justifica se expressarmosgraficamente ∇f do seguinte modo: em cada ponto x ∈ A desenhamos um vetor com origemem x e com o comprimento e direção de ∇f (x).

A

Figura 6.3: O gradiente como campo de vetores.

Exemplo 6.3.

[1] Se f (x, y) = x2 + y2; então, ∇f (x, y) = (2 x, 2 y).

(x, y) ∇f (x, y) ∇f (x, y)(0, 0) (0, 0) 0(1, 0) (2, 0) 2(x, 0) (2x, 0) 2x(0, y) (0, 2y) 2y

(1, 1) (2, 2) 2√2(x, y) (2x, 2y) 2 (x, y)

À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente cresce e fica igual aduas vezes a distância do ponto à origem.




Figura 6.4: Esboço de ∇f e das curvas de nível de f .

[2] Se f (x, y) = x2 − y2; então, ∇f (x, y) = (2 x, −2 y).

(x, y)∇

f (x, y)∇

f (x, y)(0, 0) (0, 0) 0

(1, 0) (2, 0) 2(x, 0) (2x, 0) 2x(0, y) (0, −2y) 2y

(1, 1) (2, −2) 2√

2(x, y) (2x, −2y) 2 (x, y)

À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente cresce ficandoduas vezes a distância do ponto à origem.


[3] Se f (x, y) = sen(x) sen(y); então, ∇f (x, y) = (cos(x) sen(y),sen(x) cos(y)).





[4] Se f (x,y ,z) = x2 + y2 + z2, então: ∇f (x,y,z) = (2 x, 2 y, 2 z) e:

∇f (x,y,z) = 2

x2 + y2 + z2.

Figura 6.7: Esboço de ∇f .

Proposição 6.1. Se f é uma função diferenciável então:

∂f

∂ v(x) = ∇f (x) · v

Para a prova, veja o apêndice. Se n = 2, qualquer vetor unitário v pode ser escrito na formacos(θ),sen(θ)

, onde θ é o ângulo diretor de v. Logo:

∂f ∂ v

(x, y) = cos(θ) ∂f ∂x

(x, y) + sen(θ) ∂f ∂y

(x, y)

Exemplo 6.4.

[1] Calcule as derivadas direcionais de z = f (x, y) = ln(

x2 + y2) na direção do vetor (1, 1).




O ângulo formado por (1, 1) e o eixo positivo dos x é θ = π4 , logo:

∂f

∂ v(x, y) = cos(

π

4)

x

x2 + y2+ sen(

π

4)

y

x2 + y2=

√2

2

x + y

x2 + y2

.

[2] Calcule as derivadas direcionais de w = f (x,y,z) = x y z na direção do vetor (1, 2, 2

Consideremos o vetor unitário v =(1, 2, 2)

(1, 2, 2) =1

3 ,2

3 ,2

3; logo:

∂f

∂ v(x,y,z) =

y z , x z , x y

· 1

3,

2

3,

2

3

=

y z + 2 x z + 2 x y

3.

[3] Calcule as derivadas direcionais de w = f (x,y,z) = ex + y z na direção do vetor (−1

O vetor (−1, 5, −2) não é unitário; logo v =1√30

(−1, 5, −2).

∂f

∂ v(x,y ,z) =

1√30

(ex, z , y) · (−1, 5, −2) =−ex + 5 z − 2 y√

30.

6.3.1 Observações Geométricas sobre Gradientes

Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função diferenciável tal que ∇f = 0, v um vetor unitárângulo formado por v e ∇f . Então:

∇f · v = ∇f v cos(α) = ∇f cos(α);

como cos(α) atinge o máximo em α = 0, então: ∂f ∂ v ≤ ∇f . Se α =

π

2, então, ∇f é orto

v. Se consideramos o vetor unitário v = ∇f ∇f , então,

∂f ∂ v

= ∇f · ∇f ∇f = ∇f 2

∇f = ∇f .

Logo, temos a igualdade quando derivamos na direção de ∇f .

Proposição 6.2. Se ∇f = 0, então:

1. A taxa máxima de crescimento de f no ponto x0 ocorre na direção e no sentido do gr Analogamente, a taxa mínima de crescimento de f no ponto x0 ocorre na direção contrá gradiente.

2. O valor máximo de ∂f

∂ v

no ponto x0 é∇

f (x0)

.

3. Se ∇f (x) = 0, então, ∂f ∂ v = 0 para todo v.

O gradiente de f no ponto x0 indica a direção, no plano xy (Dom(f )), de maior crescde f numa vizinhança do ponto x0.




Figura 6.8:

Exemplo 6.5.

[1] Se T (x, y) =100 x y

x2 + 4 y2 + 4é a temperatura em graus Celsius, sobre uma lâmina metálica, x

e y medidos em cm, determine a direção de crescimento máximo de T a partir do ponto (1, 1) ea taxa máxima de crescimento de T , nesse ponto.

Pela proposição anterior, no ponto (1, 1), a função cresce mais rapidamente na direção de∇T (1, 1) e a taxa máxima de crescimento nesta direção é ∇T (1, 1).

∇T (x, y) =100

(4 + x2 + 4 y2)2

y (4 − x2 + 4 y2), x (4 + x2 − 4 y2)

;

∇T (1, 1) =100

92

7, 1

e ∇T (1, 1) =500

√2

92∼= 8.729o por centímetro.

A solução apresentada pode ser enganosa, pois, apesar de o gradiente apontar na direção demaior crescimento da temperatura, não necessariamente indica o lugar mais quente da lâmina,isto é, o gradiente nos dá uma solução num pequeno aberto ao redor do ponto (1, 1); se mu-damos este ponto a direção de maior crescimento muda. Desenhos do gradiente ao redor doponto (1, 1) numa região do plano, respectivamente:

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

Figura 6.9:




[2] Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por V (x, y) = 80 − 20 x e−x2

volts, x e y em cm.

(a) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos

(b) Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo dos

(c) Determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor (1, 1).

(d) Qual é a taxa máxima de variação do potencial no ponto (1, 2)?

(e) Em que direção, a partir da origem, o potencial aumenta e diminui?

(a) Qualquer direção paralela ao eixo dos x é dada pelo vetor v = (1, 0); logo:

∂V

∂ v(x, y) =

∂V

∂ x(x, y) = 2 (x2 − 10) e−

x2+y2

20 .

(b) Analogamente, qualquer direção paralela ao eixo dos y é dada pelo vetor v = (0, 1);

∂V

∂ v(x, y) =

∂V

∂ y(x, y) = 2 x y e−

x2+y2

20 .

(c) O vetor (1, 1) não é unitário; normalizando o vetor obtemos v =√22 (1, 1) e calculam

∂V

∂ v(x, y) = ∇V (x, y) · v.

Então:

∇V (x, y) =

∂V

∂ x(x, y),

∂V

∂ y(x, y)

= 2 e−

x2+y2

20 (x2 − 10, x y);

∂V

∂ v(x, y) =

√2 ∇V (x, y) · (1, 1) =

√2 e−

x2+y2

20 (x2 + x y − 10).

(d) A taxa máxima do potencial no ponto (1, 2) é ∇V (1, 2).

∇V (x, y) = 2 e−x2−y2

20

100 + x4 + x2 (y2 − 20);

logo, ∇V (1, 2) =

2√

85

4√e volts.

(e) A direção do gradiente é aquela onde o potencial cresce mais rapidamente. Logoque ∇V (0, 0) = (−20, 0). A partir da origem o potencial cresce mais rapidamente na do vetor (−20, 0) e decresce mais rapidamente na direção do vetor −∇V (0, 0) = (20, 0)seguinte desenho:





[3] A temperatura do ar em certa altitude é dada por f (x,y,z) = x y2 z3 + x2 y z3 + x2 y3 z. Umavião está localizado no ponto (−1, 2, 1). Em que direção deve voar para que o motor resfrie omais rapidamente possível?

De todas as direções possíveis, a direção do gradiente é aquela onde a função cresce maisrapidamente. Logo, o avião deverá voar na direção contrária a do gradiente.

∂f

∂x(x, y) = y z (2 x y2 + 2 x z2 + y z2),

∂f

∂y(x, y) = x z (3 x y2 + x z2 + 2 y z2),

∂f

∂z(x, y) = x y (x y2 + 3 x z2 + 3 y z2), e ∇f (−1, 2, 1) = (−16, 9, 2).

O avião deverá voar na direção de (16, −9, −2).

[4] Uma lâmina metálica está situada no plano xy de modo que a temperatura T = T (x, y), emgraus Celsius, em cada ponto, seja proporcional à distância do ponto à origem. Se a tempera-tura no ponto (3, 4) é de 150oC , pede-se:

(a) Ache a taxa de variação de T no ponto (3, 4) na direção (−1, 1).

(b) Em que direções a taxa de variação é zero?

Note que T (x, y) = k

x2 + y2; então, 150 = T (3, 4) = 5 k; logo k = 30 e:

T (x, y) = 30

x2 + y2 e o gradiente ∇T (x, y) =30

x2 + y2(x, y).

Logo, ∇T (3, 4) = 6(3, 4). Esboço de ∇f :





(a) (−1, 1) não é unitário; logo, v =− 1√

2,

1√2

; então,

∂T

∂ v(3, 4) = ∇T (3, 4) · v = 3

√2.

(b) Seja v = (a, b) tal que a2 + b2 = 1;∂T

∂ v(3, 4) = 0 se (3, 4) · (a, b) = 0; logo, obtemos o s

sistema: a2 + b2 = 13 a + 4 b = 0,

com solução a = ±4

5e b = ∓3

5. As direções solicitadas são (4, −3) e (−4, 3).

[5] A equação da superfície de uma montanha é z = f (x, y) = 1200 − 3 x2 − 2 y2, odistâncias são medidas em metros. Suponha que os pontos do eixo positivo dos x estãoe os pontos do eixo positivo dos y ao norte e que um alpinista está no ponto (−10, 5, 850


(a) Qual é a direção da parte que tem a inclinação mais acentuada?(b) Se o alpinista se mover na direção leste, ele estará subindo ou descendo e qual svelocidade?

(c) Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele estará subindo ou descendo e qual svelocidade?




(d) Em que direção ele estará percorrendo um caminho plano?

Sabemos que∂f

∂ vatinge o máximo valor se v =

∇f (x, y)

∇f (x, y) e∂f

∂ v= ∇f (x, y).

(a) ∇f (x, y) = (−6 x, −4 y) e ∇f (−10, 5) = (60, −20). A direção da parte que tem a inclinaçãomais acentuada é (3, −1).

Figura 6.13: Esboço de ∇f e das curvas de nível de f

Um vetor unitário no plano se escreve v = (cos(α),sen(α)), onde α é o ângulo formado pelovetor e o eixo dos x.

(b) O vetor unitário na direção leste é v = (cos(0),sen(0)) = (1, 0); veja o desenho:

L

N

O

Figura 6.14:

∂f

∂ v

(

−10, 5) =

∂f

∂x

(

−10, 5) = 60.

O alpinista estará subindo a uma razão de 60 m/min.

(c) O vetor na direção sudoeste é (−1, −1); logo, o vetor unitário nesta direção é dado por:

v = (−√

2

2, −

√2

2); veja o desenho:




O

S

Figura 6.15:

∂f

∂ v(−10, 5) = ∇f (−10, 5) · v = −20

√2.

O alpinista estará descendo a uma razão de 20√

2 m/min.

(d) Seja v = (cos(α),sen(α)) vetor unitário. Devemos determinar α tal que:

∂f

∂ v (−10, 5) = ∇f (−10, 5) · v = 0,

que é equivalente a 3 cos(α) − sen(α) = 0; logo tg(α) = 3. Utilizando a seguinte iden

trigonométrica: sen2(α) =tg2(α)

1 + tg2(α), obtemos sen(α) = ±3

√10

10e cos(α) =

1 − sen

= ±√1010 . O alpinista estará percorrendo um caminho plano na direção de (1, 3) ou de (−

6.4 Funções Implícitas

Sejam A ⊂ R2 um conjunto aberto, f : A −→ R2 e c ∈ R fixado. A equação f (x, y) = c d

implicitamente como função dex

, quando existeg : I

−→R

tal quey = g(x)

ef (x, g(x

Isto significa que:f −1(c) = {(x, y) ∈ A / f (x, y) = c}

é o gráfico de g.

Em geral uma equação do tipo f (x, y) = c quando define y em função de x o faz apenamente (ou seja numa vizinhança de um ponto). Como veremos nos exemplos, nem sempequação do tipo f (x, y) = c define alguma função implicitamente. Para isto, basta conc /∈ Im(f ).

Exemplo 6.6.

[1] Seja f (x, y) = x2

+ y2

. Se c = −1, f não define implicitamente nehuma função. Seentão x = 0 e y = 0 e f não define implicitamente nenhuma função definida num intervdegenerado. Se c = 1, f não define implicitamente nehuma função. Considerando x(−1, 1), podemos definir:

g1(x) =

1 − x2 se A1 = {(x, y) ∈ R2 / y > 0},



6.4. FUNÇÕES IMPLÍCITAS 133

eg2(x) = −

1 − x2 se A2 = {(x, y) ∈ R2 / y < 0}.

[2] Seja f (x, y) = x y e c ∈ R; então, f define implícitamente:

y = g(x) =c

xse x = 0.

Nosso objetivo é dar condições suficientes para que seja possível obter uma função definidaimplicitamente. Exceto para as equações mais simples, por exemplo, lineares, quadráticas, estaquestão não é simples. O estudo das funções definidas implicitamente tem muitas aplicaçõesnão só na Matemática como em outras Ciências.

[3] A lei de Gay-Loussac para gases ideais confinados: P V = k T , onde P é a pressão, V ovolume e T a temperatura.

[4] O sistema: x2 + y2 + z2 = 1

x + y + z = 0,

estabelece uma relação entre as coordenadas de um ponto da esfera unitária centrada na ori-gem.

No estudo das funções definidas implicitamente surgem dois problemas:1. Dada f (x, y) = c, f de classe C k, (k > 1), em que casos existe g definida implicitamente porf (x, y) = c?2. Se existe g diferenciável definida implicitamente por f (x, y) = c, como calcular a derivadade g?

Teorema 6.1. (Função Implícita) Sejam A ⊂ R2 um conjunto aberto, f : A −→ R de classe C k e

c ∈ R fixo. Se (x0, y0) ∈ A é tal que f (x0, y0) = c e∂f

∂y(x0, y0) = 0, então, existe um retângulo aberto

I 1 ×

I 2

centrado em (x0

, y0

) tal que f −1(c)

∩ I 1 ×

I 2 é o gráfico da função g : I

1 −→I 2

de classe C k

e:

y′ = −∂F

∂x(x, g(x))

∂F

∂y(x, g(x))

.

Ix

g(x)

1

I2

f=c

Figura 6.16:




O teorema da função implícita é um teorema de existência; isto é, não indica como detea função definida implícitamente. O teorema tem consequências geométricas profundasatisfaz às hipóteses do teorema, então f −1(c) é localmente uma curvas de classe C k. Vna bibliografia. Nós, essencialmente, utilizaremos a fórmula para o cálculo das derivad

Exemplo 6.7.

[1] Se y = f (x) é definida implicitamente por ex−y + x2 − y = 1, calcule y′.

Seja f (x, y) = ex−y + x2 − y − 1; f é de classe C k e∂f

∂y(x0, y0) = −ex0−y0 − 1 = 0 pa

(x0, y0) ∈ R2; então:

y′ =ex−y + 2 x

ex−y + 1.

[2] Se y = f (x) é definida implicitamente por x2 + y2 = 1, calcule y′.

Seja f (x, y) = x2 + y2, f é de classe C k e∂f

∂y(x0, y0) = −2 y0 = 0 para todo (x0, y0) ∈ R2

y0 = 0; então:

y′ = −x

y .

[3] Seja f (x, y) = (x−2)3 y+x ey−1. Não podemos afirmar que f (x, y) = 0 define implicituma função de x num retângulo aberto centrado em (1, 1). De fato, f (1, 1) = 0, f é de clmas:

∂f

∂y(1, 1) = (x − 2)3 + x ey−1

(1,1)

= 0.

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

Figura 6.17: Curvas de nível de f num retângulo centrado em (1, 1).

Para n > 2 o teorema da função implícita também é válido. A seguir, apressentamos a

para n = 3:

Teorema 6.2. (Função Implícita) Sejam A ⊂ R3 um conjunto aberto, f : A −→ R de cl

e c ∈ R fixo. Se (x0, y0, z0) ∈ A é tal que f (x0, y0, z0) = c e∂f

∂z(x0, y0, z0) =, então, ex



6.5. GRADIENTE E CONJUNTOS DE NÍVEL 135

paralelepípedo aberto I 1 × I 2 × I 3 centrado em (x0, y0, z0) tal que f −1(c) ∩ I 1 × I 2 × I 3

é o gráfico da função g : I 1 × I 2 −→ I 3 de classe C k tal que z = g(x, y) e:

∂g

∂x= −

∂f

∂x(x , , y , g(x, y))

∂f

∂z(x,y,g(x, y))

e∂g

∂x= −

∂f

∂y(x,,y ,g(x, y))

∂f

∂z(x,y,g(x, y))

.

Novamente o teorema implica em que toda superfície de classe C k é localmente o gráfico dealguma função de classe C k. Veja [4] na bibliografia.

6.5 Gradiente e Conjuntos de Nível

Sabemos que ∇f aponta na direção para a qual f cresce o mais rapidamente, mas nas curvas denível a função f permanece constante, isto é, ao andarmos por uma curva de nível, os valoresde f são constantes; logo, a derivada direcional nessa direção será zero (sem variação):

∂f

∂ v(x0) = ∇f (x0) · v = 0.

Em geral, considere uma função f : A ⊂ Rn −→ R diferenciável.

Proposição 6.3. Seja x0 ∈ A tal que ∇f (x0) = 0. Então ∇f (x0) é perpendicular ao conjunto de nívelde f que passa pelo ponto x0.

Para a prova, veja o apêndice.

Sc3

S

Sc2

c1

Figura 6.18: O gradiente perpendicular aos conjuntos de nível.

6.6 Gradiente e Curvas de Nível

Seja a função f : A ⊂ R2 −→ R diferenciável e as curvas de nível c de f :

C c = {(x, y) ∈ R2/f (x, y) = c}.




Se (x0, y0) ∈ C c tal que ∇f (x0, y0) = 0. Pela proposição 6.3, segue que a equação tangente à curva de nível f (x, y) = c no ponto (x0, y0) é

∇f (x0, y0) · (x − x0, y − y0) = 0

ou:∂f

∂x(x

0, y

0)(x

−x0

) +∂f

∂y(x

0, y

0)(y

−y0

) = 0

e a equação da reta normal é:

∂f

∂x(x0, y0)(y − y0) − ∂f

∂y(x0, y0)(x − x0) = 0

Exemplo 6.8.

[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal no ponto (x0, y0) da elipse cna origem.

A equação da elipse centrada na origem é x2

a2+ y

2

b2= 1, (a, b = 0). Consideremos:

f (x, y) =x2

a2+

y2

b2− 1;

então, ∇f (x0, y0) = 2x0

a2,

y0b2; as equações das retas tangente e normal são, respectivam

b2 x0 x + a2 y0 y = a2 b2,

b2 x0 y − a2 y0 x = (b2 − a2) x0 y0.

Em particular, se a = b temos um círculo de raio a e as equações da reta tangente e normal são, respectivamente, x0 x + y0 y = a2

x0 y − y0 x = 0.

[2] Determine a equação da reta tangente à elipsex2

16+

y2

9= 1, que é paralela à reta x +

Seja f (x, y) =x2

16+

y2

9e g(x, y) = x + y. Pelo exercício anterior para a = 4 e b = 3, temo

9 x x0 + 16 y y0 = 144;

esta reta deve ser paralela à reta x + y = 0; logo, os vetores normais devem ser paralelosdevemos resolver o sistema:

∇f (x0, y0) = λ∇g(x0, y0)

x20

16+

y209

= 1.



6.6. GRADIENTE E CURVAS DE NÍVEL 137

Ou, equivalentemente:

(1) x0 = 8 λ

(2) 2 y0 = 9 λ

(3)x20

16+

y209

= 1.

Fazendo (1) = (2) e utilizando (3), temos: (x0, y0) = ±165

, 95; logo, no ponto

165

, 95, temos

x + y = 5 e no ponto− 16

5, −9

5

, temos

x + y = −5.

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4


[3] Determine a equação da reta normal à parábola y2 =

−8 x que passa pelo ponto (

−5, 0).

Primeiramente, observamos que o ponto (−5, 0) não pertence à parábola. Seja:

f (x, y) = y2 + 8 x;

logo, ∇f (x, y) = 2 (4, y). A equação da reta normal no ponto (x0, y0) é:

−x y0 + 4 y − 4 y0 + x0 y0 = 0.

Como esta reta deve passar por (−5, 0), temos x0 = −1 ou y0 = 0. Como o ponto (x0, y0)pertence à parábola y20 =

−8 x0. Se y0 = 0, então a equação é: y = 0. Se x0 =

−1, então

y0 = ±2 √2 e as equações são:

2 y −√

2 x = 5√

2 e 2 y +√

2 x = −5√

2,

nos pontos (−1, 2√

2) e (−1, −2√

2), respectivamente.




-5 -4 -3 -2 -1

-4

-2

2

4


6.6.1 Ângulo entre Curvas que se Intersectam

Sejam as curvas de nível:

C 1 ={

(x, y)∈R2 / F (x, y) = 0

}e C 2 =

{(x, y)

∈R2 / G(x, y) = 0

}que se intersectam no ponto (x0, y0). O ângulo compreendido entre elas é definido comnor ângulo formado pelas retas tangentes a essas duas curvas no ponto (x0, y0), o qual élente ao ângulo α formado pelas respectivas normais no ponto (x0, y0). Logo, se ∇F (x0,e ∇G(x0, y0) = 0, temos que o ângulo α, formado por C 1 e C 2 é dado por:

cos(α) =∇F (x0, y0) · ∇G(x0, y0)

∇F (x0, y0) ∇G(x0, y0)

As curvas são ortogonais se:

∇F (x0, y0) · ∇G(x0, y0) = 0,

ou seja:∂F

∂x

∂G

∂x+

∂F

∂y

∂G

∂y= 0

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (x0, y0).

Exemplo 6.9.

[1] Determine o ângulo entre as curvas x y = −2 e y2 = −4 x no ponto (−1, 2).

Sejam f (x, y) = x y + 2 e g(x, y) = 4 x + y2; então,∇

f (x, y) = (y, x) e∇

g(x, y) = (4, 2 y)

cos(α) =∇f (−1, 2) · ∇g(−1, 2)

∇f (−1, 2) ∇g(−1, 2)

e cos(α) =

√10

10.



6.7. GRADIENTE E SUPERFÍCIES DE NÍVEL 139

-2 -1

-2

2

Figura 6.21:

[2] Determine o ângulo entre as curvas x2 + y2 = 8 e 3 x2 − y2 = 8 no ponto (−2, 2).

Sejam f (x, y) = x2+y2 e g(x, y) = 3 x2−y2; então, ∇f (x, y) = 2 (x, y) e ∇g(x, y) = = 2(3 x, −y).Logo,

cos(α) = ∇f (

−2, 2)

· ∇g(

−2, 2)

∇f (−2, 2) · ∇g(−2, 2)e cos(α) =

√55 .

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

Figura 6.22:

O gráfico de uma função y = f (x) pode ser considerado como a curva de nível zero deF (x, y) = y − f (x); então:

∇F (x, y) = (−f ′(x), 1); logo, y − y0 = f ′(x) (x − x0).

6.7 Gradiente e Superfícies de Nível

Neste caso, o conjunto de nível c de f são as superfícies de nível c de f . (c ∈ R):

S c = {(x,y,z) ∈ R3/f (x,y,z) = c}




Da proposição 6.3, segue que a equação do plano tangente à superfície de nível S c dponto (x0, y0, z0) é:

∇f (x0, y0, z0) · (x − x0, y − y0, z − z0) = 0

se ∇f (x0, y0, z0) = 0, ou, equivalentemente:

∂f

∂x(x0, y0, z0) (x

−x0) +

∂f

∂y(x0, y0, z0) (y

−y0) +

∂f

∂z(x0, y0, z0) (z

−z0) = 0

Logo, a reta normal ao plano tangente deve ter a direção do gradiente e as equações ptricas desta reta no ponto (x0, y0, z0) são:

x(t) = x0 + t∂f

∂x(x0, y0, z0)

y(t) = y0 + t∂f

∂y(x0, y0, z0)

z(t) = z0 + t∂f

∂z(x0, y0, z0), t

∈R.

Como ∇f (x0, y0, z0) é normal ao plano tangente a S c no ponto (x0, y0, z0), o vetor normtário a S c em qualquer ponto (x,y,z) é:

n(x,y,z) =∇f (x,y,z)

∇f (x,y,z) .

Exemplo 6.10.

[1] Determine o vetor normal unitário à superfície sen(x y) = ez no ponto (1, π2 , 0).

Seja f (x,y,z) = sen(x y) − ez. A superfície do exemplo é a superfície de nível zero de f

S 0 = {(x,y,z) ∈ R3

/f (x,y,z) = 0}.

Logo, ∇f (x,y,z) = (y cos(x y),xcos(x y), −ez ) e ∇f (1, π2 , 0) = (0, 0, −1) é o vetor norm

tário à superfície S .

0.0

0.5

1.0

1.5

1.5

2.02

1

0





[2] Determine o vetor normal unitário à superfície z = x2 y2 + y + 1 no ponto (0, 0, 1).

Seja f (x,y,z) = x2 y2 + y − z. A superfície do problema é a superfície de nível −1 de f ;

S −1 = {(x,y ,z) ∈ R3/f (x,y ,z) = 0}.

Logo, ∇f (x,y,z) = (2 x y2, 2 x2 y + 1, −1) e ∇f (0, 0, 1) = (0, 1, −1); então,

n(0, 0, 1) =1

√2

(0, 1,

−1).

1.0

0.5

0.0

0.5

1.01.0

0.5

0.0

0.5

1.0

0

1

2

3


Esta definição de plano tangente é mais geral que a dada anteriormente. De fato, se z = g(x, y)é uma função nas condições da proposição, então o gráfico de g pode ser definido como asuperfície de nível zero de f (x,y,z) = g(x, y) − z. Note que:

∇f =∂g

∂x,

∂g

∂y, −1

,

que é exatamente, o vetor normal ao plano tangente ao gráfico de f em (x,y,g(x, y)). Note que

os vetores tangentes ao gráfico de f em (x,y,g(x, y)) são: vx =

1, 0,

∂g

∂x

e vy =

0, 1,

∂g

∂y

.

Figura 6.25:




Lembramos, que todas as superfícies definidas por equações em três variáveis, como as cas, podem ser consideradas como superfícies de algum nível de uma função de tres va

Exemplo 6.11.

[1] Seja f uma função de classe C 1 tal que f (1, 1, 2) = 1 e ∇f (1, 1, 2) = (2, 1, 3). A ef (1, 1, 2) = 1 define implícitamente uma função g? No caso afirmativo, determine a edo plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1, 2).

Como ∇f (1, 1, 2) = (2, 1, 3); então,∂f

∂x(1, 1, 2) = 2,

∂f

∂y(1, 1, 2) = 1 e

∂f

∂z(1, 1, 2) =

teorema da função implícita, existe z = g(x, y) de classe C 1 no ponto (1, 1), g(1, 1) = 2 e

∂g

∂x(1, 1) =

∂f

∂x(1, 1, 2))

∂f

∂z(1, 1, 2))

= −2

3e

∂g

∂y(1, 1) = −

∂f

∂y(1, 1, 2)

∂f

∂z(1, 1, 2)

= −1

3.

Logo, a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (1, 1, 2) é:

z = g(1, 1) +∂g

∂x(1, 1) (x − 1) +

∂g

∂y(1, 1) (y − 1) =

6 − 2 x − y

3;

equivalentemente, 3 z + 2 x + y = 6.

[2] O cone x2 + y2 − z2 = 0 pode ser considerado como a superfície de nível c = 0 daf (x,y ,z) = x2 + y2 − z2. Determinaremos as equações do plano tangente e da reta nosuperfície no ponto (1, 1,

√2):

∇f (1, 1,√

2) · (x − 1, y − 1, z −√

2) = 0.

Temos ∇f (x,y,z) = (2 x, 2 y, −2 z) e ∇f (1, 1,√

2) = 2(1, 1, −√2); então, a equação do

tangente é x + y − √2z = 0 e a reta normal passando por (1, 1,

√2) tem equações param

x = 1 + 2 t

y = 1 + 2 tz =

√2 − 2

√2 t;

o plano tangente à superfície contem a reta na direção (1, 1,√

2) perpendicular ao ∇f (1

-2

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

2

0

0.5

1

1.5

2

-2

-1

0

1

-2

-1

0

1

Figura 6.26:




[3] Determine a equação do plano tangente à superfície 3 x y + z2 = 4 no ponto (1, 1, 1).

Considere f (x,y,z) = 3 x y + z2. Logo, superfície de nível c = 4 de f é 3 x y + z2 = 4. No ponto(1, 1, 1) a equação do plano tangente à superfície de nível de f é dada por:

∇f (1, 1, 1) · (x − 1, y − 1, z − 1) = 0; ∇f (x,y,z) = (3 y, 3 x, 2 z) e ∇f (1, 1, 1) = (3, 3, 2);

então, a equação é:

3 x + 3 y + 2 z = 8.[4] Determine:

(a) O vetor normal unitário a 5 x2 + y2 − 2 z2

5= 10 nos pontos (1, 0, 0) e (1,

√5, 0).

(b) A equação do plano tangente à superfície 5 x2 + y2 − 2 z2

5= 10 no ponto (1,

√5, 0).

(a) Seja f (x,y,z) = 5 x2 + y2 − 2 z2

5; ∇f (x,y ,z) = (10 x, 2 y, −4 z

5). Então:

n1 =∇f (1, 0, 0)

∇f (1, 0, 0) = (1, 0, 0) e n2 =∇f (1,

√5, 0)

∇f (1,√

5, 0) =

√30

30(5,

√5, 0).

(b) No ponto (1, √5, 0), teremos 5 x + √5 y = 10.

Figura 6.27:

[5] Determine as equações dos planos tangentes à superfície

x2 +y2

4+

z2

9= 1

paralelos ao plano x + y + z = 0.

Como o plano x+y+z = 0 é paralelo aos planos tangentes à superfície, então os vetores normaisa ambos os planos devem serparalelos; logo, existe λ

= 0 talque

∇f (x0, y0, z0) = λ(1, 1, 1), para

algum (x0, y0, z0) na superfície; ∇f (x0, y0, z0) = (2x0, y02

, 29

z0). Devemos resolver o sistema:

2 x0 = λ

y0 = 2λ

2 z0 = 9λ,




sendo x02 +

y204

+z209

= 1; logo λ = ±

2

7; obtemos, assim, os pontos p = ±

2

7

1

2, 2,

9

2

∇f p

= ±√

14

7

1, 1, 1

; então, as equações dos planos tangentes nestes pontos, são:

x + y + z = ±√

14.

[6] Determine a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) à superfície definida po

A x2 + B y2 + C z2 = D

onde A, B, C, D ∈ R.

Consideremos f (x,y,z) = A x2 + B y2 + C z2 − D; logo, temos que:

∇f (x0, y0, z0) = (2 A x0, 2 B y0, 2 C z0)

e a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) é:

A x0 x + B y0 y + C z0 z = D

onde usamos o fato de que (x0, y0, z0) pertence à superfície. Em particular, o plano tang

ponto (x0, y0, z0) de:1. um elipsóide centrado na origem é:

x0 x

a2+

y0 y

b2+

z0 z

c2= 1

2. um parabolóide hiperbólico centrado na origem é:

2x0x

a2− 2

y0y

b2− z

c= 0

6.7.1 Ângulo entre Superfícies

Em diversas áreas da ciência é importante saber determinar o ângulo formado pela intde duas superfícies num ponto dado. O ângulo entre duas superfícies num ponto commenor ângulo formado pelas normais a essas superfícies nesse ponto.

Figura 6.28: Interseção de superfícies.




Suponha que as superfícies são definidas por:

F (x,y,z) = 0 e G(x,y,z) = 0

e tem um ponto comum (x0, y0, z0). Consideremos as funções:

w = F (x,y,z) e w = G(x,y,z)

tais que existam os gradientes e sejam não nulos neste ponto. As superfícies são as super-

fícies de nível c = 0 de w = F (x,y,z) e w = G(x,y ,z), respectivamente. ∇F (x0, y0, z0) e∇G(x0, y0, z0) são os vetores normais às superfícies de nível:

S 1 = {(x,y,z) ∈ R3 / F (x,y,z) = 0} e S 2 = {(x,y,z) ∈ R3 / G(x,y,z) = 0},

respectivamente. Se ∇F (x0, y0, z0) = 0 e ∇G(x0, y0, z0) = 0, temos que o ângulo α, formadopor S 1 e S 2 é dado por:

cos(α) =∇F (x0, y0, z0) · ∇G(x0, y0, z0)

∇F (x0, y0, z0) ∇G(x0, y0, z0)As superfícies são ortogonais no ponto (x0, y0, z0) se:

∂F ∂x

∂G∂x

+ ∂F ∂y

∂G∂y

+ ∂F ∂z

∂G∂z

= 0

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (x0, y0, z0).

Exemplo 6.12.

[1] Determine o ângulo formado pelas superfícies z − exy + 1 = 0 e z − ln(

x2 + y2) = 0 noponto (0, 1, 0).

Sejam F (x,y,z) = z − exy + 1 e G(x,y,z) = z − ln(

x2 + y2);

∇F (x,y,z) = (−y exy, −x exy, 1), ∇G(x,y,z) = (−x

x2 + y2,

−y

x2 + y2, 1),

∇F (0, 1, 0) = (−1, 0, 1), ∇G(0, 1, 0) = (0, −1, 1);

logo, ∇F (0, 1, 0) · ∇G(0, 1, 0) = 1; então, cos(α) =1

2e α =

π

3.

Figura 6.29: Superfícies do exemplo [1].




[2] Determine o ângulo formado pelas superfícies:

x y + y z − 4 z x = 0 e 3 z2 − 5 x + y = 0

no ponto (1, 2, 1).

Sejam F (x,y ,z) = x y + y z − 4 z x e G(x,y,z) = 3 z2 − 5 x + y

∇F (x,y,z) = (y − 4 z, x + z, y − 4 x), ∇G(x,y,z) = (−5, 1, 6 z),∇F (1, 2, 1) = (−2, 2, −2), ∇G(1, 2, 1) = (−5, 1, 6);

logo, ∇F (1, 2, 1) · G(1, 2, 1) = 0; então, cos(α) = 0 e: α =π

2.

Figura 6.30: Superfícies do exemplo [1].

[3] Reta tangente à interseção de duas superfícies.

Seja C a curva (ou ponto) dada pela interseção das superfícies de nível:

S 1 =

{(x,y,z)

∈R3 / F (x,y ,z) = 0

}e S 2 =

{(x,y,z)

∈R3 / G(x,y ,z) = 0

}.

Sejam w = F (x,y ,z), w = G(x,y,z) duas funções tais que as derivadas parciais exP = (x0, y0, z0) um ponto comum às duas superfícies. Considere os vetores:

N1 = ∇F (x0, y0, z0) e N2 = ∇G(x0, y0, z0),

N1 é normal à S 1 no ponto P e N2 é normal à S 2 no ponto P . Logo N1 e N2 são normno ponto P . Se N1 e N2 não são paralelas, então o vetor tangente a C no ponto P tem a direção que N1 × N2 no ponto P (produto vetorial dos vetores normais). Como isto vaqualquer ponto P da interseção, temos que se N1 × N2 = (a,b,c), então a equação naparámetrica da reta tangente a C no ponto P é:

x = x0 + t ay = y0 + t b

z = z0 + t c, t ∈ R.

Por exemplo, determinemos a equação da reta tangente à interseção das seguintes sup3 x2 + 2 y2 + z2 = 49 e x2 + y2 − 2 z2 = 10 no ponto (3, −3, 2).




Sejam F (x,y,z) = 3 x2 + 2 y2 + z2 − 49 e G(x,y,z) = x2 + y2 − 2 z2 − 10: então:

N1 = ∇F (3, −3, 2) = 2(9, −6, 2) e N2 = ∇G(3, −3, 2) = 2(3, −3, −4)

logo, (9, −6, 2) × (3, −3, −4) = 3(10, 14, −3); a equação, na forma paramétrica, da reta tangentepedida é:

x = 3 + 10 t

y = −3 + 14 t

z = 2 − 3 t.

6.8 Exercícios

1. Calcule o gradiente das seguintes funções:

(a) z = 2 x2 + 5 y2

(b) z = 1x2+y2

(c) w = 3 x2 + y2

−4 z2

(d) w = cos(x y) + sen(y z)

(e) w = ln(x2 + y2 + z2)

(f) w = cos(2 x) cos(3 y) senh(4 x)

(g) w = x y ez + y z ex

(h) w = x yz

(i) w = ln(x2 + y2 + z2 + 1)

(j) w = 1x2+y2+z2+1

(k) w = log6(x + y2 + z3)

(l) w =x y2 z3

x2 + y2 + z2 + 1

2. Determine a derivada direcional da função dada na direção v:

(a) z = 2 x2 + 5 y2, v = (cos( π2 ),sen( π

2 )).

(b) z =

1

x2+y2 , v

= (1, 1).(c) z = x2y3, v = 1

5 (3, −4).

(d) z = x2 + x y + y2 + 3 x − 3 y + 3, v = 1√5

(1, 2).

(e) z = y2 tg2(x), v = 12 (−√

3, 1).

(f) w = 3 x2 + y2 − 4 z2, v = (cos( π3 ),cos( π

4 ),cos(2π3 ).

(g) w = cos(x y) + sen(y z), v = (−13 , 23 , 23).

(h) w = ln(x2 + y2 + z2), v =√33 (1, −1, −1).

(i) w = cos(2 x) cos(3 y) senh(4 z), v =√33 (1, −1, 1).

(j) w = x y e

z

+ y z e

x

, v

= (2, 2, 1).(k) w = x yz , v = (1, 1, 1).

(l) w = xsen(y) + y sen(z) + z sen(x), v = (1, 1, 1).

(m) w = exyz , v = (1, 1, 1).

(n) w = e1+x2+y2+z2, v = (1, 0, 1).




(o) w = arcsec(x y z), v = (0, 0, 1).

(p) w = 1x + 2

y + 3z , v = (1, 1, 1).

(q) w = 1x2 + 2

y2 + 3z3 , v = (1, 1, 1).

(r) w = sen(log3(x + y + z)), v = (2, 1, 2).

3. Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto dado P e a direque ocorre:

(a) z = 2 x2 + 3 y2, P = (1, −1).

(b) z =

4 − x2 − y2, P = (1, 1).

(c) z = x y, P = (1, 0).

(d) z = e2y arctg( y3 x ), P = (1, 3).

(e) w = sen(x y) + cos(y z), P = (−3, 0, 7).

(f) w = ex cos(y) + ey cos(z) + ez cP = (0, 0, 0).

(g) w = 2 x y z + y2 + z2, P = (2, 1

(h) w = exyz , P = (1, 1, 1).

(i) w = cosh(x y z), P = (1, 0, 1).

(j) w =

x2 + y2 + z2 + 1, P = (1

4. Verifique as seguintes identidades:

(a) ∇(f + g) = ∇f + ∇g

(b) ∇(f g) = f ∇g + g ∇f

(c) ∇f g

= g∇f −f ∇g

g2se g = 0

5. Se f (x, y) = 2 e−x2 + e−3y2 é a altura de uma montanha na posição (x, y), em que dpartindo de (1, 0) se deveria caminhar para subir a montanha mais rapidamente?

6. Em que direção a derivada direcional de f (x, y) =

x2

−y2

x2 + y2 no ponto (1, 1) é zero?

7. Uma função tem derivada direcional igual a 2 na direção do vetor (2, 2), no pontoigual a −3 na direção do vetor (1, −1), no mesmo ponto. Determine o gradiente d no ponto (1, 2).

8. Verifique que os gráficos de z = x2 + y2 e z = −x2 − y2 − xy3 são tangentes na or

9. Uma lámina de metal está situada num plano de modo que a temperatura T =num ponto (x, y) é inversamente proporcional á distância do ponto á origem. Sque a temperatura no ponto P = (3, 4) é 100oC , determine:

(a) A taxa de variação de T no ponto P e na direção o vetor (1, 1).

(b) A direção em que T aumenta mais rapidamente no ponto P .

(c) A direção em que T decresce mais rapidamente no ponto P .

(d) A direção em que a taxa de variação é zero..




10. Determine o plano tangente e a reta normal às superfícies no ponto P :

(a) x2 + x y2 + y3 + z + 1 = 0, P = (2, −3, 4).

(b) x2 + 2 x y + y2 + z − 7 = 0, P = (1, −2, 6).

(c) x2 − y2 − z2 = 1, P = (3, 2, 2).

(d) x2 + y2

−z2 = 25, P = (5, 5, 5).

(e) x − y − z2 = 3, P = (3, 4, 2).

(f) 3√

x2 + 3

y2 +3√

z2 =3√

a2, P = (x0, y0, z0).

(g) ln( y2z ) − x = 0, P = (0, 2, 1).

(h) x2

a2− y2

b2 + z2

c2 = 1, P = (x0, y0, z0).

(i) x2

a2− y2

b2− z2

c2 = 1, P = (x0, y0, z0).

(j) x2

a2 + y2

b2 − z2

c2 = 1, P = (x0, y0, z0).

11. Um nave está perto da órbita de um planeta na posição (1, 1, 1). Sabendo que a tempera-

tura da blindagem da nave em cada ponto é dada por T (x,y,z) = e−(x2

+3y2

+2z2

) graus,determine a direção que a nave deve tomar para perder temperatura o mais rapidamentepossível.

12. Determine a equação do plano tangente à x2 − 2 y2 − 4 z2 = 16 e que é paralelo ao plano4 x − 2 y + 4 z = 5.

13. A densidade de uma bola esférica de centro na origem, num ponto (x,y ,z) é proporcionalao quadrado da distncia do ponto á origem. E fetuando um deslocamento a partir doponto (1, 2, 3) do interior da bola, na direção do vetor (1, 1/2, −1), a densidade aumentaou diminui? Justifique.

14. Determine o ângulo entre as seguintes superfícies no ponto P .

(a) x2 y2 + 2 x + z2 = 16, 3 x2 + y2 − 2 z = 9 e P = (2, 1, 2).

(b) x2 + 3 y2 + 2 z2 = 9, x2 + y2 + z2 − 8 x − 8 y − 6 z + 24 = 0 e P = (2, 1, 1).

(c) 3 x2 + 2 y2 − 2 z = 1, x2 + y2 + z2 − 4 y − 2 z + 2 = 0 e P = (1, 1, 2).

(d) z − x2 − y2 + 2 x y = 0, z − x2 + y2 = 0 e P = (0, 0, 0).

(e) x2 − y2 = 1, 3 x2 + y2 − 2 z = 9 e P = (1, 0, 0).

(f) x2 − 2 y z + y3 = 4, x2 + (4 c − 2) y2 − c z2 + 1 = 0 e P = (1, −1, 2), (c ∈ R).

15. Determine o ponto (ou pontos) em que o gradiente da função : f (x, y) = ln(x + y−1) éigual a (1, −16/9).

16. Determine a equação da reta tangente à interseção das superfícies x2−y = 0 e y + z2 = 16no ponto (4, 16, 0).




17. Determine o ângulo entre os gradientes da função : f (x, y) = ln( yx ) nos pontos (1

e (1, 1).

18. Sejam as seguintes superfícies x2 + y2 + z2 = 6 e 2 x2 + 3 y2 + z2 = 9.

(a) Determine as equações dos planos tangentes a cada superfície no ponto (1, 1,pectivamente.

(b) Determine o ângulo entre as superfícies no ponto (1, 1, 2).

(c) Determine a equação da reta tangente à interseção das superfícies no ponto (1

19. O potencial V associado a um campo elétrico E é dado por V (x, y) = 1√x2+y2

. S

que E = −grad(V ), determine E (4, 3). Em que direção, a partir do ponto (4, 3) a variação do potencial é máxima?

20. Sejam φ, η e ψ funções de uma variável real com derivadas de segunda ordem zendo:

φ′′(x) + λ

2

φ(x) = 0 e ψ′′(t) + c

2

λ

2

ψ(t) = 0,sendo λ, c constantes. Verifique que u(x, t) = φ(x) ψ(t) é solução da equação da o

21. Verifique que w(x, t) = 1√t

e−x2

4kt , t > 0 e k constante, é solução da equação do calo

∂w

∂t− k

∂ 2w

∂x2= 0.



Capítulo 7

MÁXIMOS E MINIMOS

7.1 Introdução

Definição 7.1. Sejam A ⊂ Rn um conjunto aberto, f : A ⊂ Rn −→ R uma função e ε > 0 (pequeno).

1. Um pontox0 é um ponto de mínimo local de f se existe B(

x0, ε), tal que:

f (x0) ≤ f (x), para todo x ∈ B(x0, ε)

2. Um ponto x0 é um ponto de máximo local de f se existe B(x0, ε), tal que:

f (x) ≤ f (x0), para todo x ∈ B(x0, ε)

3. Em ambos os casos, x0 é dito extremo relativo ou local de f e f (x0) é dito valor extremo def .

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 7.1:

Exemplo 7.1.

[1] Se z = f (x, y) = x2 + y2, então, (0, 0) é ponto de mínimo local de f .

151



152 CAPÍTULO 7. MÁXIMOS E MI N

De fato, x2 + y2 ≥ 0, para todo (x, y) ∈ R2.

0 = f (0, 0) ≤ f (x, y) = x2 + y2, para todo (x, y) ∈ Dom(f )

e o valor mínimo é z = 0, que é atingido na origem.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[2] Se z = f (x, y) = −x2; então {(0, y) ∈ R2/y ∈ R} é um conjunto infinito de pomáximo locais de f .

De fato, −x2 ≤ 0, para todo (x, y) ∈ R2 e f (0, y) = 0. Logo f (x, y) ≤ f (0, y) pa(x, y) ∈ R2. Então, f atinge seu valor máximo 0 em qualquer ponto da reta {(0, y) ∈ R2/

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


Teorema 7.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função diferenciável definida no aberto A e x0 ∈ ponto extremo local de f . Então ∇f (x0) = 0.


Definição 7.2.

1. Um ponto x0 tal que ∇f (x0) = 0 é dito ponto crítico de f e f (x0) é dito valor crítiCaso contrário, x0 é dito ponto regular de f e f (x0) valor regular de f .




2. Um ponto crítico que não é máximo local nem mínimo local é chamado de ponto de sela.

Para n = 3, ∇f (x,y,z) = 0 é equivalente a resolver o seguinte sistema de equações:

∂f

∂x(x,y ,z) = 0

∂f ∂y

(x,y ,z) = 0

∂f

∂z(x,y ,z) = 0.

Analogamente para n = 2:

∂f

∂x(x, y) = 0

∂f

∂y(x, y) = 0.

Agora, podemos enunciar o Teorema da função implícita de uma forma mais geométrica:Seja f uma função de classe C k (k > 0) definida num aberto de Rn. Para todo valor regular cde f , o conjunto f −1(c) ( se não for vazio) é uma superfície (curva) de classe C k.

Exemplo 7.2.

[1] Seja z = f (x, y) = x2 + y2. Então ∇f (x, y) = (2 x, 2 y) e:2 x = 0

2 y = 0;

a única solução do sistema é x = 0 e y = 0; (0, 0) é ponto crítico de f .

[2] Seja z = f (x, y) = 4 x y2 − 2 x2 y − x.

(1)∂f

∂x(x, y) = 4 y2 − 4 x y − 1 = 0

(2)∂f

∂y(x, y) = 8 x y − 2 x2 = 0;

o sistema é equivalente a:

(1) 4 y2

−4 x y = 1

(2) 2 x (4 y − x) = 0;

de (2): as soluções são x = 0 ou 4y − x = 0.

Se x = 0, então, de (1), 4 y2 = 1, y = ±12 e (0, ±1

2 ) são os pontos críticos. Se 4 y = x, então, de(1), 3 x2 = −4, que não tem solução real.




[3] Seja f (x, y) = xy8 + 1

x + 1y , x, y = 0.

(1)∂f

∂x= y

8 − 1x2 = 0

(2)∂f

∂y= x

8 − 1y2

= 0;

como x, y = 0, tirando o valor de uma das variáveis em (1) e subtituindo em (2), obtsolução x = y = 2. Logo (2, 2) é o ponto crítico de f .

[4] Seja f (x, y) = 2 (x2 + y2) e−(x2+y2).

(1)∂f

∂x= 4xe−(x2+y2)(1 − x2 − y2) = 0

(2)∂f

∂y= 4ye−(x2+y2)(1 − x2 − y2) = 0,

que é equivalente ao sistema:

(1) x (1 − x

2

− y2

) = 0(2) y (1 − x2 − y2) = 0;

de (1) e (2), as soluções do sistema são: x = y = 0 e x2 + y2 = 1. Observe que esta tem uma curva de pontos críticos. Os pontos críticos são (0, 0) e os pontos do círculo {R2/ x2 + y2 = 1}.


[5] Seja f (x, y) = (x2

− y2

) e−x2+y2

2

.

(1)∂f

∂x= e−

(x2+y2)2 (2 x − x (x2 − y2)) = 0

(2)∂f

∂y= e−

(x2+y2)2 (−2 y − y (x2 − y2)) = 0,





(1) x (2 − x2 + y2) = 0

(2) y (−2 − x2 + y2) = 0;

de (1) e (2), as soluções do sistema são: (0, 0), (±√2, 0) e (0, ±√

2), que são os pontos críticosde f .


[6] Seja f (x, y) =x2 − y2

x2

+ y2

+ 1

.

(1) ∂f ∂x =

2 x (1 + 2 y2)

x2 + y2 + 1= 0

(2) ∂f ∂y =

2 y (1 + 2 x2)

x2 + y2 + 1= 0,


(1) x = 0

(2) y = 0;

a única solução do sistema é: (0, 0), que é o ponto crítico de f .





[7] Seja f (x,y,z) =4√

3 x y z

3 + x + y + z. O sistema ∇f (x,y,z) = 0 é equivalente a:

(1) y z (3 − 3 x + y + z) = 0(2) x z (3 + x − 3 y + z) = 0

(3) x y (3 + x + y − 3 z) = 0;

de (1), (2) e (3), temos que o sistema tem como únicas soluções (0, 0, 0) e (3, 3, 3) , quepontos críticos de f .

7.2 Determinação dos Extremos Locais

Seja f : A ⊂ R2 −→ R. Para dimensão 2, o fato de que ∇f (x0) = 0 implica em que otangente ao gráfico de f no ponto x0 seja paralelo ao plano xy, fato análogo ao que ocodimensão 1.

Teorema 7.2. Seja a família de funções:

f (x, y) = A x2 + 2 B x y + C y2,

tal que A, B, C ∈ R e não são todas simultaneamente nulas. Denotemos por ∆ = A C − B2.

1. Se ∆ > 0 e A > 0, então (0, 0) é ponto de mínimo de f .

2. Se ∆ > 0 e A < 0, então (0, 0) é ponto de máximo de f .

3. Se ∆ < 0, então (0, 0) é ponto de sela de f .

Para a prova, veja o apêndice. Note que A =1

2

∂ 2f

∂x2, B =

1

2

∂ 2f

∂x∂ye C =

1

2

∂ 2f

∂y2.

No caso ∆ = 0, não é possível tomar uma decisão.



7.2. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS LOCAIS 157

Exemplo 7.3.

[1] Determine os pontos extremos de f (x, y) = x2 + 3 x y + y2.

Neste caso A = 1, B = 32 e C = 1; ∆ < 0; então (0, 0) é um ponto de sela.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4


[2] Determine os pontos extremos de f (x, y) = 3 x2 − x y + 3 y2.Neste caso A = 3, B = −1

2 e C = 3; ∆ > 0; então (0, 0) é um ponto de mínimo de f e o valormínimo é f (0, 0) = 0.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4


Denotemos por:∆ = det(H (x, y))

onde:

H (x, y) =

∂ 2f

∂x2

∂ 2f

∂x∂y

∂ 2f

∂y ∂x

∂ 2f

∂y2

e as derivadas parciais são calculadas no ponto (x, y). A matriz H (x, y) é chamada de matrizHessiana de f .




Teorema 7.3. Sejam f uma função de classe C 2 definida num conjunto aberto U ⊂ R2 e (x0, yum ponto crítico de f e denotemos por:

A(x, y) =∂ 2f

∂x2(x, y) e ∆(x, y) = det

H (x, y)

.

1. Se A(x0, y0) > 0 e ∆(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é ponto de mínimo local de f em U .

2. Se A(x0, y0) < 0 e ∆(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é ponto de máximo local de f em U .

3. Se ∆(x0, y0) < 0, então (x0, y0) é ponto de sela de f em U .

4. Se ∆(x0, y0) = 0, nada se pode concluir.


Observação 7.1.

Se (x0, y0) é ponto de mínimo local de f , então as curvas de nível e o gráfico de f numnhança de (x0, y0) e (x0, y0, f (x0, y0)), respectivamente, são da forma:

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 7.9:

Se (x0, y0) é ponto de máximo local de f , então as curvas de nível e o gráfico de f numnhança de (x0, y0) e (x0, y0, f (x0, y0)), respectivamente, são da forma:

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 7.10:

Se (x0, y0) é ponto de sela de f , então as curvas de nível e o gráfico de f numa vizinha(x0, y0) e (x0, y0, f (x0, y0)), respectivamente, são da forma:




-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 7.11:

Se f é uma função contínua no ponto (x0, y0) e se as derivadas parciais de f não existemno ponto (x0, y0), mesmo assim é possível que este ponto seja extremo e deve ser examinadoseparadamente. Por exemplo, f (x, y) =

x2 + y2 é contínua em R2 e as derivadas parciais na

origem não existem. Por outro lado 0 ≤

x2 + y2, para todo (x, y) ∈ R2 e f (0, 0) = 0 ≤ f (x, y),para todo (x, y) ∈ R2; logo, (0, 0) é ponto de mínimo local de f . Veja o exercício 6).

Figura 7.12:

No Cálculo em uma variável, se uma função contínua possui dois pontos de máximo local,necessariamente deve existir um ponto de mínimo local. No caso de várias variáveis, umafunção pode ter dois pontos de máximo e não possuir nenhum ponto de mínimo. De fato:

Exemplo 7.4.

Seja f (x, y) = −(x2 − 1)2 − (x2 y − x − 1)2; claramente f é contínua em R2.

Determinemos os pontos críticos:

∂f

∂x= −2

2 x (x2 − 1) + (1 − 2x y) (1 + x − x2 y)

= 0

∂f

∂y = 2 x2

(1 + x − x2

y) = 0.

Resolvendo o sistema obtemos os pontos críticos (−1, 0) e (1, 2).

A(x, y) = 2 + 4 y + 12 x y − 12 x2 (y2 + 1)

∆(x, y) = −8 x2 (2 + 6 x + x2 (5 − 7 y) − 9 x3 y + x4 (5 y2 − 3));




logo, A(−1, 0) = −10 e ∆(−1, 0) = 16; A(1, 2) = −26 e ∆(1, 2) = 16. Ambos os pontosmáximo local de f e f não possui pontos de mínimo.

Figura 7.13: Desenhos do gráfico de f ao redor dos pontos de máximo local e o gráfico

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6 0.8 1 1.2 1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

-1 -0.5 0 0.5 1 1

-1

0

1

2

3

Figura 7.14: As respectivas curvas de níveis.

Pode existir um ponto de sela quando existem dois pontos de máximo ou de mínimo. Dseja:

f (x, y) = x4 + y4 − 4 x y + 1;

claramente f é contínua em R2. Os pontos críticos são (0, 0), (−1, −1) e (1, 1) e (0, 0) é psela, (−1, −1) e (1, 1) são pontos de mínimo local de f .

Se consideramos g(x, y) = −f (x, y), o ponto (0, 0) é ponto de sela e (−1, −1) e (1, 1) sãode máximo local de f .




-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura 7.15: Curvas de nível e gráfico de f (x, y) = x4 + y4 − 4 x y + 1

7.2.1 Exemplos

[1] Classifique os pontos críticos de f (x, y) = x2 + y2 + x2 y + 4.

Determinemos os pontos críticos: Resolvemos o sistema:

∂f

∂x= 2 x + 2 x y = 2 x (1 + y) = 0

∂f

∂y= 2 y + x2 = 0,

que é equivalente a:

x (1 + y) = 0

2 y + x2 = 0.

Os pontos críticos são (0, 0), (√

2, −1) e (−√2, −1).

H (x, y) =

2 (y + 1) 2 x

2 x 2

.

A(x, y) = 2 (y + 1), ∆(x, y) = 4 (1 + y − x2).

Ptos. Críticos A ∆ T ipo V alor

(0, 0) 2 4 mín 4(√

2, −1) 0 −8 sela(−

√2, −1) 0 −8 sela




-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 7.17: Curvas de nível e gráfico do examplo [2].

[3] Classifique os pontos críticos de f (x, y) = (x2 − y2) e−(x2+y2

2).

Sabemos que f possui os seguintes pontos críticos: (0, 0), (√

2, 0), (−√2, 0), (0,

√2) e (0, −√

2).

H (x, y) = e−(x2+y2

2)

(2 − 5 x2 + y2 + x4 − x2 y2) (x2 − y2) x y

(x2 − y2) x y (5 y2 + x2 y2 − y4 − x2 − 2).

.

A(x, y) = e−(x2+y2

2) (2 − 5 x2 + y2 + x4 − x2 y2),

∆(x, y) = −e−(x2+y2

2)2 (4 − 8 x2 − 3 x4 + x6 − 8 y2 + 22 x2 y2 − x4 y2 − 3 y4 − x2 y4 + y6).

Ptos. Críticos A ∆ T ipo V alor

(0, 0) > 0 < 0 sela(√

2, 0) < 0 > 0 máx 2 e−1

(−√

2, 0) < 0 > 0 máx 2 e−1

(0,√

2) > 0 > 0 mín −2 e−1

(0, −√

2) > 0 > 0 mín −2 e−1




-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[4] Classifique os pontos críticos de f (x, y) = x4 + y4 − 2 (x − y)2.


(1)∂f

∂x= 4 (x3 − x + y) = 0

(2)∂f

∂y= 4 (y3 + x − y) = 0;

somando as equações ((1) + (2)): y = −x; de (2) obtemos que y = 0 ou y = ±√2 e te

seguintes soluções: (0, 0), (√

2, −√2) e (−√

2,√

2).

A(x, y) = 12 x2

−4, ∆(x, y) =

−48 (x2 + y2

−3 x2 y2).

Pts. Críticos A ∆ T ipo V alor

(0, 0) < 0 0 ?(√

2, −√

2) > 0 > 0 mín −8

(−√

2,√

2) > 0 > 0 mín −8

Analisemos separadamente o ponto crítico (0, 0):

A(0, 0) < 0 e ∆(0, 0) = 0;

logo, o teorema não pode ser aplicado, mas examinaremos o sinal de f numa vizinha(0, 0): f (0, 0 ) = 0. Aproximando-se de (0, 0) pela reta y = x, temos f (x, x) = 2 xAproximando-se pelo eixo dos x, (y = 0), temos f (x, 0) = x2 (x2 − 2) < 0 se x2 <f toma valores positivos e negativos numa vizinhança de (0, 0); então (0, 0) não é pontoximo nem de mínimo. Nas curvas de nível de f , podem ser observados os pontos de mperto de (0, 0) não aparecem pontos de sela ou extremos:




-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[5] Classifique os pontos críticos de f (x, y) = 1 − 3

x2 + y2.


(1)∂f

∂x= − 2 x

3 3

(x2 + y2)2= 0

(2)∂f

∂y= − 2 y

3 3

(x2 + y2)2= 0.

As derivadas parciais em (0, 0) não existem; logo, não tem pontos críticos. A função é contínuaem (0, 0); logo, apresenta uma "quina"na origem. Por outro lado:

1 = f (0, 0)≥

f (x, y) = 1−

3 x2 + y2

para todo (x, y) ∈ R2; então (0, 0) é um ponto de máximo de f .

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


[6] Determine os pontos extremos de f (x, y) = x2 − 2 x y + y2.





∂f

∂x= 2 (x − y) = 0

∂f

∂y= 2 (y − x) = 0.

Resolvendo o sistema obtemos y = x e os pontos críticos de f são os pontos da retaA(x, y) = 2 e ∆(x, y) = 0. Como antes, notamos que: f (x, x) = 0 e f (x, y) = (x − y)2

x = y; logo os pontos críticos (x, x) são pontos de mínimos locais.

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2-

-1

0

1

2


7.3 Problemas de Otimização

[1] De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é constante e igual a0), qual é o que tem volume máximo?

Sejam x, y e z as arestas do paralelepípedo tal que x + y + z = a.

x

y

z

Figura 7.22: Paralelepípedo do exemplo [1].

Seu volume é V = xyz. Como z = a − x − y, temos que V = x y z = x y (a − x − y) e a fumaximizar é:

f (x, y) = x y (a − x − y)



7.3. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 167


∂f

∂x= −y (−a + 2 x + y) = 0

∂f

∂y= −x (x − a + 2 y) = 0.

Como x e y são arestas x > 0, y > 0; o sistema é equivalente a:−a + 2 x + y = 0

x − a + 2 y = 0;

a única solução possível é x =a

3e y =

a

3.

A(x, y) = −2 y, ∆(x, y) = 4 x y − (a − 2 (x + y))2

Aa

3,

a

3 < 0 e ∆a

3,

a

3 =a2

3> 0;

logoa

3,

a

3

é ponto de máximo. As arestas são x =

a

3, y =

a

3e z =

a

3; logo o volume é:

V =a3

27.

O paralelepípedo é um cubo.

[2] Determine a distância mínima da origem ao plano x + 3y + z = 6.

Note que o plano não passa pela origem.


O quadrado da distância da origem ao ponto (x,y,z) é dada por d2 = x2 + y2 + z2; o ponto(x,y,z) pertence ao plano; logo, z = 6 − x − 3y e minimizaremos a seguinte função:

f (x, y) = x2 + y2 + (6 − x − 3 y)2.





∂f

∂x= 2(2 x + 3 y − 6) = 0

∂f

∂y= 2(3 x + 10 y − 18) = 0;

o sistema tem uma única solução:

611

, 1811

, que é o ponto crítico de f .

Por outro lado, A(x, y) = 4 e ∆(x, y) = 44. Em particular,

A 6

11,

18

11

> 0, e ∆

6

11,

18

11

> 0;

então 6

11,

18

11

é um ponto de mínimo local de f ; z =

6

11; logo,

d =6√

11

11.

[3] Determine o valor máximo da soma dos co-senos dos ângulos de um triângulo.

Devemos maximizar:w = cos(x) + cos(y) + cos(z),

onde x, y, z são os ângulos do triângulo dado. Mas, x + y + z = π; logo z = π − x − y.

f (x, y) = cos(x) + cos(y) + cos(π − (x + y)) = cos(x) + cos(y) − cos(x + y).


(1)∂f

∂x= −sen(x) + sen(x + y) = 0

(2)∂f

∂y=

−sen(y) + sen(x + y) = 0;

fazendo (1) − (2), temos sen(x) = sen(y); então, x = y ou x = π − y.

(a) Se x = y, da primeira equação obtemos:

sen(x) − sen(2 x) = 0;

logo sen(x) = 0 ou cos(x) =1

2. Se sen(x) = 0, x = 0 ou x = π, o que é impossí

cos(x) =1

2, x =

π

3; como x = y, tem-se y =

π

3, logo o ponto crítico é

π

3,

π

3

.

(b) se x = π − y, da segunda equação obtemos; sen(y) = 0; logo y = 0 ou y = π, oimpossível.

Portanto,π

3,

π

3

é o único ponto crítico de f . Por outro lado:

A(x, y) = −cos(x) + cos(x + y), ∆(x, y) = cos(x) (cos(y) − cos(x + y)) − cos(y) cos(x

Aπ

3,

π

3

< 0 e ∆

π

3,

π

3

> 0;




logo,π

3,

π

3

é um ponto de máximo local para f . Como z = π − x − y, z =

π

3e o valor máximo

da soma é:cosπ

3

+ cos

π

3

+ cos

π

3

=

3

2.

[4] Uma caixa retangular tem três faces nos planos coordenados e um vértice P = (x,y,z) noprimeiro octante sobre a superfície x2 + y2 + z = 1. Calcule o volume da maior caixa com essascaracterísticas.

O volume da caixa é V = xyz onde x, y e z são os comprimentos das arestas da caixa; z =1 − x2 − y2. Seja f (x, y) = x y (1 − x2 − y2). Determinemos os pontos críticos:

∂f

∂x= y (1 − 3 x2 − y2) = 0

∂f

∂y= x (1 − x2 − 3 y2) = 0;

x e y são arestas, logo x > 0, y > 0 e o sistema é equivalente a:

1 − 3 x2 − y2 = 0

1 − x2 − 3 y2 = 0;

logo, o único ponto crítico admissível é:1

2,

1

2

, pois x e y são comprimentos das arestas da

caixa (x > 0 e y > 0).

A(x, y) = −6 x y, ∆(x, y) = 36 x2y2 − (1 − 3 x2 − 3 y2)2, A1

2,

1

2

= −3

2e ∆

1

2,

1

2

=

35

4;

então1

2,

1

2

é um ponto de máximo, z =

1

2e V =

1

8u.v.

[5] De todos os triângulos de perímetro fixado, determine o de maior área.

Sejam x, y e z os lados do triângulo. Usando a fórmula de Heron, o quadrado da área do

triângulo é: A2 = s (s − x) (s − y) (s − z), onde 2 s = x + y + z. Maximizemos a função:f (x, y) = s (s − x) (s − y) (x + y − s).


∂f

∂x= (s − y)(2s − 2x − y) = 0

∂f

∂y= (s − x)(2s − x − 2y) = 0;

como s = x e s = y, obtemos: x =2s

3e y =

2s

3. Por outro lado:

A(x, y) = −2 s (s − y), ∆(x, y) = −s2 (5 s2 − 8 s (x + y) + 4 (x2 + x y + y2)),

A2s

3,

2s

3

< 0, ∆

2s

3,

2s

3

> 0;

logo,2s

3,

2s

3

é ponto de máximo e z =

2s

3. O triângulo é equilátero.




7.3.1 Mínimos Quadrados

Suponha que numa experiência realizada foram coletados os seguintes pares de dados(x2, y2), . . ., (xn−1, yn−1), (xn, yn), tais que os xi não são todos iguais. A teoria subjaexperiência sugere que os dados devem estar ao longo de uma reta y = a x + b. Devidoexperimentais, os pontos não são colineares. O método dos mínimos quadrados consdeterminar a reta que melhor se ajusta aos dados, ou seja, consiste em determinar a e b d

que a soma dos desvios verticais seja mínima.

xi

(xi ,yi)

Figura 7.24:

Dados os pontos (xi, yi), (1 ≤ i ≤ n) o ponto sobre a reta y = a x + b que está mais próximtância vertical) dos pontos dados tem coordenadas (xi, a xi + b); logo o quadrado da di

vertical a estes pontos é: E 2i = ((a xi + b) − yi)2, 1 ≤ i ≤ n.

Minimizaremos a função: f (a, b) = E 21 + E 22 + . . . + E 2n =n

i=1

((a xi + b) − yi)2. Calcula

derivadas parciais∂f

∂a,

∂f

∂be igualando a zero, obtemos o sistema:

a

ni=1

x2i + b

ni=1

xi =

ni=1

xiyi

an

i=1

xi + n b =n

i=1

yi.

Este é um sistema linear, que tem uma única solução que minimiza f .

Exemplo 7.5.



7.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS 173

ii) Se num país a consumação foi de 550 litros per cápita no ano de 2003, utilizando i), determinea possível mortalidade.

i) Determinamos a reta que fica a menor distância vertical dos pontos (250, 95), (300, 120),(350, 165), (370, 167), (400, 170) e (470, 174).

n xi yi x2i xiyi

6 2140 891 792800 329070

Logo, obtemos o sistema: 792800 a + 2140 b = 329070

2140 a + 6 b = 891,

que tem como solução a =846

2215e b =

10875

886; então, a reta é:

y =846x

2215+

10875

886.

100 200 300 400 500

100

150

200

Figura 7.27: Exemplo [3] i).

ii) Se x = 550,

y =196995

886≃ 222.34.

7.4 Máximos e Mínimos Absolutos

Definição 7.3. Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função e x0 ∈ A.

1. O ponto x0 é um ponto de mínimo absoluto de f em A se f (x0) ≤ f (x), para todo x ∈ A.2. O ponto x0 é um ponto de máximo absoluto de f em A se f (x) ≤ f (x0), para todo x ∈ A.

Exemplo 7.6.




[1] Seja f : R2 −→ R definida por f (x, y) = x2 + y2. Como x2 + y2 ≥ 0 para todo (x, ye f (0, 0) = 0, temos que f (x, y) ≥ f (0, 0) para todo (x, y) ∈ R2. Logo (0, 0) é ponto de mabsoluto de f .

[2] Seja f : R2 −→ R definida por f (x, y) = −

x2 + y2. Como −

x2 + y2 ≤ 0 pa(x, y) ∈ R2 e f (0, 0) = 0, temos que e f (x, y) ≤ f (0, 0) para todo (x, y) ∈ A. Logo (0, 0)de máximo absoluto de f .

Figura 7.28: Desenhos do exemplo [1] e [2], respectivamente.

Nos parágrafos anteriores estabelecemos condições para que um ponto seja um ponto ximo local (ou de mínimo local) de f . Agora nosso objetivo é verificar a existência de pomáximos e mínimos absolutos de f e determinar tais pontos. Do Cálculo de uma variánhecemos o teorema de Weierstrass que nos garante a existência de pontos extremos abno teorema, é fundamental que a função contínua a estudar esteja definida em um infechado e limitado. A seguir daremos algumas definições que estendem as característiintervalos fechados e limitados a Rn e enunciaremos o teorema que garantirá a existêmáximos e mínimos absolutos.

Definição 7.4. Um conjunto A ⊂ Rn é dito limitado se existe uma constante c > 0 tal que para todo x ∈ A.

Equivalentemente, se A está contido na bola B(0, c). Lembramos que o conjunto Afechado em Rn se ∂A ⊂ A. Veja o Capítulo III. Intuitivamente, uma superfície é feclimitada se ela separa o espaço em duas regiões, uma "interior"e outra "exterior"à supeo caso de uma esfera em R3.

Exemplo 7.7.

[1] A = {(x,y,z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 ≤ r2, r > 0} é fechado, pois sua fronteira é:

∂A = {(x,y ,z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 = r2, r > 0}.

Logo ∂A ⊂ A. Claramente A é limitado.

[2] A = {(x, y) ∈ R2/ x2 + y2 < r2, r > 0} não é fechado, pois sua fronteira é :

∂A = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = r2, r > 0}.



7.4. MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS 175

Logo ∂A ⊂ A. A é limitado

[3] A = [a, b] × [c, d] é um conjunto fechado e limitado, pois ∂A é o retângulo formado pelasretas x = a, x = b, y = c e y = d.

[4] Os planos em R3 são fechados e não limitados.

Teorema 7.4. (Weierstrass) Seja f : A

⊂Rn

−→R uma função contínua no conjunto A fechado e

limitado. Então, existem pontos de máximo e mínimo absoluto de f em A, isto é, existem x0, x1 ∈ Atais que f (x0) ≤ f (x) ≤ f (x1) para todo x ∈ A.

Exemplo importantes

[1] Sejam A = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < 1} e f : A ⊂ R2 −→ R definida por f (x, y) = y.

i) f é diferenciável em R2; logo, é diferenciável em A; por outro lado ∇f (x, y) = (0, 1); então, afunção não possui pontos críticos e portanto não possui pontos extremos em A (nem em R2).

ii) Suponhamos que agora, f tome valores no conjunto B = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}. O conjunto B é fechado e limitado; f é, claramente, contínua; o teorema de Weierstrass nos asegura

a existência de pontos extremos absolutos de f em B.iii) Por i) os pontos extremos de f devem estar em ∂B = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = 1}. De fato, afunção f associa a cada par ordenado sua ordenada; então:

−1 = f (0, −1) ≤ f (x, y) ≤ f (0, 1) = 1,

para todo (x, y) ∈ B. Logo (0, −1) e (0, 1) são pontos de mínimo e máximo absolutos de f emB. Note que estes pontos não são pontos críticos de f .

A seguir faremos algumas considerações geométricas sobre o exemplo, que serão importantesnos parágrafos seguintes. Consideremos g(x, y) = x2 + y2 − 1; então ∇g(x, y) = (2 x, 2 y); logo,não é difícil ver que os únicos pontos onde ∇g(x, y) e ∇f (x, y) são paralelos são os nos pontos

de mínimo e máximo (0, −1) e (0, 1).

g(0,1)

∆g(0,-1)

∆

∆f(x,y)

-1

1

f=c

Figura 7.29: Mínimo e máximo de g.

Se um extremo absoluto de f ocorre em A − ∂A, então, também é um extremo local de f ; logo,um extremo absoluto que não seja um extremo local, necessariamente está na ∂A. Portanto,




para determinar um extremo absoluto, primeiramente determinamos os extremos locaitão, comparamos o maior e o menor desses valores com os valores de f ao longo da ∂Apodem ocorrer pontos extremos de f na fronteira e estes extremos não serem pontos de f .

[2] Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função definida por f (x, y) = x2 + 2 x y − 4 (x − 2 yA = [0, 1] × [0, 2]. O conjunto A é fechado e limitado e f contínua; logo, f tem po

máximos e de mínimos absolutos. Pontos críticos de f em A − ∂A:

∂f

∂x= 2 x + 2 y − 4 = 0

∂f

∂y= 2 x + 8 = 0,

(−4, 6) é o único ponto crítico de f e (−4, 6) /∈ A. Portanto, os pontos de máximo e mínf são atingidos na ∂A.

Análise dos pontos da ∂ A: ∂A = L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ L4, onde Li (1 ≤ i ≤ 4) são os laretângulo A:

L

LL

1

2

3

4

L

A

Figura 7.30:

A função :g(y) = f (1, y) = 10 y − 3; 0 ≤ y ≤ 2,

expressa f restrita a L2. O menor valor de g é atingido em y = 0 e o maior valor de g emPortanto, (1, 0) é ponto de mínimo de f e (1, 2) é ponto de máximo de f , quando restriA função :

h(x) = f (x, 2) = x2 + 16; 0 ≤ x ≤,

representa f restrita a L3. (0, 2) é ponto de mínimo de f restrita a L3. Analogamente, Af restrita a L1 e L4 tem pontos de máximo (0, 0) e (0, 2) respectivamente e pontos de m(1, 0) e (0, 0) respectivamente. f (0, 0) = 0,f (1, 0) = −3, f (1, 2) = 17 e f (0, 2) = 16.

P f (P )(1,0) −3(1,2) 17(0,2) 16(0,0) 0



7.5. MÉTODO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 177

Conclusão: O valor máximo de f em A é 17 e é atingido no ponto (1, 2) e o valor mínimo de f em A é −3 e é atingido no ponto (1, 0).

O método que estudaremos a seguir é devido a Lagrange e proporciona uma condição neces-sária para a existência de pontos extremos sujeitos a uma restrição. Tais pontos extremos sãoditos condicionados.

7.5 Método dos Multiplicadores de Lagrange

Antes de apresentar o método, examinemos o seguinte exemplo:

Exemplo 7.8.

Determine os pontos extremos de f (x, y) = x2 + y2 tais que y = x + 1.

Considere a função g(x, y) = y − x − 1 e o conjunto de nível zero de g:

S = {(x, y) ∈ R2/y − x − 1 = 0}.

O conjunto de nível S é uma reta passando por (−1, 0) e (0, 1). As curvas de nível c de f são

x2 + y2 = c.

Para c > 0 são círculos concêntricos. Quanto menor a distância entre as circunferências e aorigem, menor será o valor de f . Desejamos encontrar os pontos extremos de f (x, y) quando(x, y) ∈ S , ou seja, devemos determinar qual a circunferência que intersectando S está a menordistância da origem.

Figura 7.31:

Observando o desenho vemos que a circunferência que tangencia a reta S é a que está mais

próxima da origem. No ponto de tangência, o vetor normal à circunferência é também normalà reta S , logo, ∇f (x, y) = (2 x, 2 y) deve se múltiplo de ∇g(x, y) = (−1, 1), ou seja, (2 x, 2 y) == λ(−1, 1), λ ∈ R. Equivalentemente:

2 x = −λ

2 y = λ;




resolvendo o sistema e como y = x + 1, obtemos as soluções: x = −1

2e y =

1

2.

∇f (−1

2,

1

2) = ∇g(x, y). A função f (x, y) = x2 + y2 atinge seu menor valor sobre a

no ponto− 1

2,

1

2

. De fato:

f (x, y)−

f (−

1

2,

1

2) = x2 + y2

−1

2= x2 + (x + 1)2

−1

2= 2 (x +

1

2)2

≥0.

Figura 7.32:

7.6 Determinação dos Extremos Condicionados

Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R funções diferenciáveis e A ⊂ Rn um aberto. Para determpontos extremos de f restrito à condição g(x) = 0, formamos a combinação linear:

Φ(x) = f (x) + λ g(x)

onde λ ∈ R. Consideremos o sistema de n + 1 equações:

∂ Φ

∂xr(x) = 0 r = 1, 2,.....,n

g(x) = 0.

Note que∂ Φ

∂λ(x) = g(x). Lagrange provou que a solução do problema é obtida resolv

sistema.

Teorema 7.5. Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R funções de classe C 1. Denotemos por S um conjnível de g. Se f tem um ponto de máximo ou de mínimo x0 ∈ S e ∇g(x0) = 0, então existe λque:

∇f (x0) = λ ∇g(x0)



7.6. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS CONDICIONADOS 179


Interpretemos o teorema em R2. Suponha que desejamos determinar o valor máximo de f res-trito às curvas de nível g(x, y) = 0. Façamos f (x, y) = ci, que representa para cada ci uma curvade nível de f . Se por exemplo f (x, y) = c0 intersecta a curva g(x, y) = 0 transversalmente, istoé, de modo que, uma não seja tangente à outra ou, ∇f e ∇g sejam linarmente independentesno ponto de interseção, é possível verificar que para valores próximos de c0 as curvas de nível

de f continuam intersectando g(x, y) = 0.

g(x,y)<0

∆

∆

g(p)

f(p)

g(x,y)=0

p

f=c

f=c2

f=c1

Figura 7.33:

Então, procuramos o maior ci tal que f (x, y) = ci seja tangente a g(x, y) = 0 num ponto (x0, y0).Em tal ponto as curvas de nível de f e g tem a mesma reta tangente e, portanto, a mesma retanormal, isto é, os vetores ∇f e ∇g devem ser paralelos no ponto (x0, y0). Analogamente paran = 3. Do teorema anterior, segue que se f possui um ponto de máximo ou mínimo emx0 ∈ S c então ∇f (x0) é ortogonal a S c no ponto x0. O teorema nos diz que para determinar ospontos extremos condicionados devemos resolver o seguinte sistema de n + 1 equações e n + 1

incognitas: ∇f (x) = λ ∇g(x)

g(x) = c.

Se n = 3, temos 4 equações:

∂f

∂x(x,y,z) = λ

∂g

∂x(x,y,z)

∂f

∂y

(x,y,z) = λ∂g

∂y

(x,y ,z)

∂f

∂z(x,y,z) = λ

∂g

∂z(x,y ,z)

g(x,y,z) = c.




Analogamente para n = 2:

∂f

∂x(x, y) = λ

∂g

∂x(x, y)

∂f

∂y(x, y) = λ

∂g

∂y(x, y)

g(x, y) = c.

A diferença entre os problemas de máximos e mínimos não condicionados e os condicié que nos últimos não temos critérios simples para distinguir os pontos de mínimo máximo. Cada ponto obtido pelo metódo de Lagrange deve ser examinado separadautilizando os dados do problema e/ou, argumentos geométricos.

Exemplo 7.9.

[1] Determine os pontos extremos de f (x, y) = x y tais que x2 + y2 = 1.

Utilizando o método de Lagrange, devemos resolver o sistema:

∇f (x, y) = λ ∇g(x, y)

x2 + y2 = 1.

Logo,

(y, x) = λ (2 x, 2 y)

x2 + y2 = 1, que é equivalente a:

(1) y = 2 λ x(2) x = 2 λ y

(3) x2 + y2 = 1.

De (1) e (2) obtemos y (1 − 4 λ2) = 0. Se y = 0, utilizando (3), temos, x = ±1; se λ =1

2,

y = x; de (3), temos x = ± 1√2

e y = ± 1√2

. Por outro lado:

(x, y) f (x, y)

(±

1, 0) 0

(±1/√2, ∓1/√2) −1/2

(±1/√

2, ±1/√

2) 1/2

Logo± 1√

2, ∓ 1√

2, −1

2

são pontos de mínimo e

± 1√2

, ± 1√2

,1

2

são pontos de máxi



7.6. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS CONDICIONADOS 181

-1 -0.5 0 0.5 1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1


[2] Determine os pontos extremos de f (x, y) = x2 + 2 y2 tais que x2 + y2 ≤ 1.

Determinemos os pontos extremos da função f no conjunto fechado e limitado:

D = {(x, y) ∈ R2

/g(x, y) ≤ 0}, onde g(x, y) = x2

+ y2

− 1.

Se x2 + y2 < 1, ∇f (x, y) = (2 x, 4 y); logo, (0, 0) é o único ponto crítico de f . Se x2 + y2 = 1, porLagrange, devemos resolver o sistema:

(2 x, 4 y) = λ (2 x, 2 y)

x2 + y2 = 1,

que é equivalente a:

x = λ x

2 y = λ y

x2

+ y2

= 1

, ou:

(1) x (1 − λ) = 0

(2) y (2 − λ) = 0

(3) x2 + y2 = 1,

de (1), x = 0 ou λ = 1 e de (2) y = 0 ou λ = 2; de (3), x e y, não podem ser ambos zero; logo,de (1) e (3) e de (2) e (3) obtemos os pontos (0, ±1), (±1, 0).

Em x2 + y2 < 1, temos:

f (0, 0) = 0 ≤ x

2

+ 2 y

2

= f (x, y).

Em x2 + y2 = 1, temos:

f (±1, 0) = 1, f (0, ±1) = 2;

então (0, 0) é ponto de mínimo e (0, ±1) são pontos de máximo.





[3] Determine os pontos extremos de f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 tais que 3 x − 2 y + z − 4

Sejam:

g(x,y,z) = 3 x − 2 y + z − 4, ∇f (x,y,z) = (2 x, 2 y, 2 z) e ∇g(x,y,z) = (3, −2,

Devemos resolver o sistema: ∇f (x,y,z) = λ ∇g(x,y ,z)

3x − 2y + z − 4 = 0,

ou, equivalentemente,

(1) 2 x = 3λ

(2) 2 y = −2λ

(3) 2 z = λ

(4) 3 x −2y + z − 4 = 0.Fazendo 3 × (1) − 2 × (2) + (3) e utilizando (4), obtemos

λ =4

7, x =

6

7, y = −4

7, z =

2

7

e6

7, −4

7,

2

7

é o ponto extremo.

[4] Determine os pontos extremos de f (x,y,z) = x y z tais que x2 +y2

12+

z2

3= 1.

Sejam:

g(x,y,z) = x2

+

y2

12 +

z2

3 − 1, ∇f (x,y,z) = (y z , x z , x y) e ∇g(x,y,z) =

2 x,

y

6 ,

Devemos resolver o sistema:

∇f (x,y,z) = λ ∇g(x,y ,z)

x2 +y2

12+

z2

3= 1





(1) y z = 2 xλ

(2) x z = y6λ

(3) x y = 23 zλ

(4) x2 + y2

12 + z2

3 = 1;

multiplicando (1) por x, (2) por y e (3) por z obtemos:

(1′) x y z = 2 x2λ

(2′) x y z = y2

6 λ

(3′) x y z = 23z2λ

(4) x2 + y2

12 + z2

3 = 1

somando (1′) + (2′) + (3′) e tendo em vista (4), temos 3 x y z = 2 λ (x2 +y2

12+

z2

3) = 2λ;

substituindo x y z por2λ

3a em (1′), (2′) e (3′):

λ (3x2 − 1) = 0

λ (y2 − 4) = 0

λ (z2 − 1) = 0

Se λ = 0, x = ±√

3

3, y = ±2 e z = ±1. Se λ = 0, x, y e z podem ser nulos aos pares: x = y = 0 e

z = ±√3, x = z = 0 e y = ±2

√3, y = z = 0 e x = ±1. Os pontos extremos de f são:

(±√

3

3, ±2, ±1), (0, 0, ±

√3), (0, ±2

√3, 0) e (±1, 0, 0).

(x,y,z) f (x,y ,z) Ponto

(√

3/3, 2, 1) 2√

3/3 máximo(−

√3/3, −2, −1) −2

√3/3 mínimo

7.7 Problemas de Otimização

[1] De todos os paralelepípedos retangulares cuja soma das arestas é constante e igual a 4 a

(a > 0), qual é o que tem volume máximo?Sejam x, y e z as arestas do paralelepípedo; seu volume é V (x,y,z) = x y z tal que x + y + z = a.Seja g(x,y,z) = x + y + z.

∇V (x,y,z) = λ ∇g(x,y,z)

g(x,y,z) = a,




ou, equivalentemente:

(1) y z = λ

(2) x z = λ

(3) x y = λ

(4) x + y + z = a.

Fazendo (1) = (2) obtemos x = y e fazendo (2) = (3) obtemos y = z; logo, x = y = z;temos x = y = z =

a

3e:

V a

3,

a

3,

a

3

=

a3

27

é o volume máximo.

[2] Determine as dimensões do paralelepípedo retangular de volume máximo sabenas 3 faces do paralelepípedo estão nos planos coordenados e um vértice pertence aox

a+

y

b+

z

c= 1 (a, b, c > 0). Calcule o volume.

O volume é V (x,y,z) = x y z. Seja g(x,y,z) =x

a+

y

b+

z

c −1; então,

∇V (x,y,z) = λ ∇g(x,y,z)x

a+

y

b+

z

c= 1,


(1) a y z = λ

(2) b x z = λ

(3) c x y = λ

(4)x

a+

y

b+

z

c= 1;

fazendo (1) = (2), como x, y, z = 0, temos y =b x

a; analogamente, fazendo (1) = (3)

z =c x

a, de (4) obtemos que x =

a

3, y =

b

3e z =

c

3. O ponto de máximo é

1

3(a,b,c) e:

V = V

a

3,

b

3,

c

3

=

a b c

27.

[3] Determine a distância mínima entre a superfície 4 x2 + y2 − z = 0 e o ponto (0, 0, 8).

Como antes utilizamos o quadrado da distância: f (x,y,z) = x2 + y2 + (z − 8)2. Consid

g(x,y ,z) = 4x2 + y2 − z; então,

(1) 2 x = 8 λ x

(2) 2 y = 2 λ y

(3) 2 (z − 8) = −λ

(4) 4 x2 + y2 = z,




são pontos extremos.

(x,y ,z) T (x,y ,z) Temperatura

(±1/2, ±1, 2, ±√

2/2)√

2/2 máxima

(±

√2/2,

∓√

2/2, 0) 0mínima

[5] Se a densidade na placa x y + x z + y z = a, (x, y, z = 0) é dada por D(x,y,z) =determine os pontos da placa onde a densidade é máxima e onde é mínima.

Seja g(x,y,z) = x y + x z + y z − a:

(1) y z = λ (y + z)

(2) x z = λ (x + z)

(3) x y = λ (x + y)

(4) x y + x z + y z = a;

multiplicando (1) por x, (2) por y, (3) por z e somando, temos:

3 x y z = λ(2 x y + 2 x z + 2 y z) = 2 a λ,

onde, na última igualdade utilizamos (4); substituindo λ por3 x y z

2ano sistema, obtemo

(1) 3 x (y + z) = 2 a

(2) 3 y (x + z) = 2 a

(3) 3 z (x + y) = 2 a.

Igualando (1) a (2) obtemos x = y e igualando (2) a (3) obtemos z = y; logo x = y = z

temos x = ±

a3

e os pontos extremos são:±

a3

, ±

a3

, ±

a3

.

(x,y ,z) D(x,y,z) Densidade

(

a/3,

a/3,

a/3) a√

3a/9 máxima

(−

a/3, −

a/3, −

a/3) −a√

3a/9 mínima

[6] Determine a equação do elipsóidex2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 que passa pelo ponto (1, 2, 3

menor volume.Note que as incógnitas são a, b e c. Seja V = f (a,b,c) = 4a b c π

3 o volume do elipsóide. Cponto (1, 2, 3) pertence à superfície:

1

a2+

4

b2+

9

c2= 1;




logo, consideramos g(a,b,c) =1

a2+

4

b2+

9

c2− 1; então,

(1)4 π

3a b c = − 2

a2λ

(2)4 π

3a b c = − 8

b2λ

(3)4 π

3a b c = −18

c2λ

(4)1

a2+

4

b2+

9

c2= 1,

fazendo (1) = (2) e como λ = 0, obtemos que b2 = 4 a2; fazendo (2) = (3), obtemos 4 c2 = 9 b2;logo, c2 = 9 a2 e de (4): a2 = 3, b2 = 12 e c2 = 27; a equação do elipsóide é:

x2

3+

y2

12+

z2

27= 1.

[7] Um depósito cilíndrico de aço fechado deve conter 2 litros de um fluido. Determine asdimensões do depósito de modo que a quantidade de material usada em sua construção sejamínima.

Sejam x e y o raio e a altura do cilindro, respectivamente. Devemos minimizar a área total docilindro, incluindo as tampas:

f (x, y) = 2 π x2 + 2 π x y , sendo π x2 y = 2.

Denote por g(x, y) = πx2y −2, ∇f (x, y) = (4πx + 2πy, 2πx) e ∇g(x, y) = (2πxy,πx2). O sistemaé:

(1) 2 x + y = λ x y(2) 2 x = λ x2

(3) π x2 y = 2.

De (2), x(2 − λx) = 0 e λx = 2; logo, de (1), y = 2x; ou seja, a altura é igual ao diâmetro da base; de (3) obtemos: x = π−

13 e y = 2π−

13 , que são as coordenadas do ponto de mínimo (por

que ?). f (π−13 , 2π−

13 ) = 6 3

√π.

[8] Um fio de cobre de comprimento a, deve ser dividido em 3 partes tais que o produto doscomprimentos das partes seja máximo. Determine o produto.

Se x, y e z são os comprimentos das partes, então devemos maximizar f (x,y,z) = x y z tal que

x + y + z = a. O sistema é:

(1) y z = λ

(2) x z = λ

(3) x y = λ

(4) x + y + z = a.




Fazendo (1) = (2) e (2) = (3), obtemos x = y = z; de (4) x =a

3= y = z; (

a

3,

a

3,

a

3) é o p

máximo e f (a

3,

a

3,

a

3) =

a3

27.

[9] Determine os pontos da curva x6 + y6 = 1 mais afastados e os mais próximos da ori

Novamente utilizamos o quadrado da distância da origem ao ponto (x, y): f (x, y) = xsendo x6 + y6 = 1. Seja g(x, y) = x6 + y6

−1. O sistema é:

(1) x = 3 λ x5

(2) y = 3 λ y5

(3) x6 + y6 = 1,


(1) x (1 − 3λx4) = 0

(2) y (1 − 3λy4) = 0

(3) x6 + y6 = 1.

Se x = 0, de (3) obtemos y = ±1 e em (2), λ =1

3 ; se y = 0, de (3) obtemos x = ±1 e

λ =1

3; os pontos são (±1, 0) e (0, ±1). Se x, y = 0, o sistema fica:

(1) (1 − 3λx4) = 0

(2) (1 − 3λy4) = 0

(3) x6 + y6 = 1.

Fazendo (2)-(1), λ(x4 − y4) = 0, λ = 0 e y = ±x; de (3) obtemos:

2−1/6, 2−1/6, 2−1/6, −2−1/6, − 2−1/6, 2−1/6 e − 2−1/6, −2−1/6,

onde λ =223

3.

(x, y) f (x, y) Ponto

(±1, 0) 1 mínimo

(0, ±1) 1 mínimo

2−1/6, 2−1/6

22/3 máximo

2−1/6, −2−1/6

22/3 máximo− 2−1/6, 2−1/6

22/3 máximo

− 2−1/6, −2−1/6

22/3 máximo




-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figura 7.36:

O método de Lagrange não é restrito a duas ou três variáveis. O método só depende de umafunção e uma restrição. É o que mostrará o exemplo a seguir.

[10] Determine o valor máximo da raiz n-ésima de um produto de n números positivos tal quea soma dos números seja constante. Conclua que

n

√x1 x2 .......... xn ≤1

n

n

i=1xi.

Sejam x = (x1, x2, x3, ........., xn), onde, xi > 0 para todo i = 1, 2.......n, e :

f (x) = n√

x1 x2 .......... xn,

tal que: x1 + x2 + x3 + ....... + xn = a. Denotando por g(x) = x1 + x2 + x3 + ....... + xn − a,então, ∇g(x) = (1, 1, 1, ......, 1). Cálculo do gradiente de f : Se denotamos f (x) = n

u(x) onde

u(x) = x1 x2 .......... xn, então:

∂f

∂xi

=∂u∂xi

n(u(x))n−1

n

=x1 x2 ...xi−1 xi+1 ...xn

n(u(x))n−1

n

;

para não escrever demais, denote por K (x) = n(u(x))n−1n ; o sistema é:

x2 x3 ...xn = λK (x) (1)

x1 x3 ...xn = λK (x) (2)

x1 x2 x4 ...xn = λK (x) (3)

. .

. .

. .

. .

. .

x1 x3 ...xn−2 xn = λK (x) (n − 1)

x1 x3 ...xn−2 xn−1 = λK (x) (n)

x1 + x2 + x3 + ....... + xn = a (n + 1).




Fazendo (1) = (2), temos x1 = x2; de (2) = (3), x2 = x3; assim, em geral, igualando as eq( j) = ( j + 1) com j = 1,...,n − 1, obtemos x j = x j+1 e x1 = x2 = x3 = .... = xn; usequação (n + 1) temos:

x1 = x2 = x3 = ...... = xn =a

n,

e f ( an , a

n ,....., an ) = a

n que é o valor máximo. Em particular,

f (x) ≤ f ( an, an ,....., an ) = an ;

por outro lado, a =n

i=1

xi; portanto:

n√

x1 x2 .......... xn ≤ 1

n

ni=1

xi.

7.7.1 Generalização do Método

Seja S um conjunto de nível definido por:

g1(x0) = c1

g2(x0) = c2

g3(x0) = c3

. .

. .

. .

gk(x0) = ck.

S é, em geral, interseção de superfícies. O teorema pode ser generalizado da seguinte fo

f tem um ponto de máximo ou mínimo emx0 ∈ S i, para todo i, então, devem existir conλ1, λ2 ...... λk tais que:

∇f (x0) = λ1∇g1(x0) + λ2∇g2(x0) + ........... + λk∇gk(x0).

Devemos resolver o sistema:

∇f (x0) = λ1∇g1(x0) + λ2∇g2(x0) + ........... + λk∇gk(x0)

g1(x0) = c1

g2(x0) = c2

g3(x0) = c3

. .

. .

. .

gk(x0) = ck.

Exemplo 7.10.




[1] Determine o ponto da interseção dos planos x + y + z = 1 e 3x + 2y + z = 6 mais próximoda origem.Sejam f (x,y ,z) = x2 + y2 + z2, g1(x,y,z) = x + y + z − 1 e g2(x,y,z) = 3x + 2y + z − 6; temos:

2 x = λ1 + 3 λ2 (1)

2 y = λ1 + 2 λ2 (2)

2 z = λ1 + λ2 (3)x + y = 1 − z (4)

3x + 2y = 6 − z, (5)

fazendo (1) + (2) + (3) obtemos, usando (4) e (5), o seguinte sistema:3 λ1 + 6 λ2 = 2

3 λ1 + 8 λ2 = 10;

logo λ2 = 4 e λ1 = −22

3e x =

7

3, y =

1

3e z = −5

3. A distância é:

5√

3

3.

7.8 Exercícios

1. Determine os pontos críticos de:

(a) z = e1+x2+y2

(b) z = 3x2 + 2xy + 2x + y2 + y + 4

(c) z = (x2 − 1) (y2 − 4)

(d) z = x2y − 8 x − 4 y

(e) z = 1x

−64y + xy

(f) z = 1x2+y2+1

(g) z = 2 x+2 y+1x2+y2+1

(h) z = x5 + y5 − 5x − 5y

(i) z = x2 − 4 x y + y2 + 1

(j) z = x4 + x y + y2 − 6 x − 5 y

(k) z = 3 x2 + x y − y2 + 1

(l) w = log4(x2 + y2 + z2 + 1)

(m) w = x2 + y3 + z4

(n) w =

x2 + y2 + z2

2. Determine se a origem é ponto de mínimo, de máximo ou sela de:

(a) z = x2.(b) z = x2 − 4y2

(c) z = −x2 + 2xy − y2

(d) z = x4 + y4

(e) z = x3 + y3

(f) z = 4xy − 3x2 + 4y2

(g) z = 2x2 + y2 − 3xy

(h) z = 5x2 + y2 − 4xy

(i) z = x2

−y2 + 6xy

(j) z = −x2 + y2 − xy

(k) z =xy

4− x2 − y2

2

(l) z = 7y2 − xy

3. Classifique os pontos críticos de:




(a) z = e1+x2+y2

(b) z = 3x2 + 2xy + 2x + y2 + y

(c) z = (x2 − 1)(y2 − 4)

(d) z = x2y − 8x − 4y

(e) z = 1x − 64

y + xy

(f) z =1

x2+y2+1

(g) z = 2x+2y+1x2+y2+1

(h) z = x5 + y5 − 5x − 5y

(i) z = x2 − 4xy + 4y2 − x + 3y + 1

(j) z = x4 + xy + y2 − 6x − 5y

(k) z = (x − 2)2 + (y − 3)2

(l) z = x − y2 − x3

(m) z = x2 + y3

(n) z = 3x4 − 4x2y + y2

(o) z = x2 + y2 + x y + x

(p) z = 1 + x2 + y2

(q) z = 1 + x2 − y2

(r) z = x3

+ 3 x2

+ 4 x y + y2

(s) z = x2 y2 (1 − x − y)

(t) z = x y − ln(x2 + y2)

(u) z = 2 − (x + 2)2 + (y + 1)2

(v) z = (x − 1)2 + 2 (y + 2)2 + 3

(w) z = ey + ex − ex+y

(x) z = xsen(y), 0 ≤ x, y ≤ π.

4. Determine a reta que melhor se ajusta aos seguintes pontos:

(a) (0, 0), (1, 1) e (2, 3).(b) (0, 0), (12 , 14), (1, 1), (32 , 92 ) e (2, 4).(c) (−2, −4), (−1, −2), (1, 1), (2, 3), (4, 2) e (3, 5).(d) (−5, −4), (−3, −2), (−1, −1), (0, 0), (1, 1), (2, 3), (4, 2) e (3, 5).

5. Calcule os pontos de z2 − xy = 1 mais próximos da origem.

6. Determine a menor distância de x2 − 4y = 0 ao ponto (0, b).

7. Determine o valor máximo do produto de três numeros positivos tais que

2 x y + x z + 3 y z = 72.

8. Determine a distância mínima entre 4x2 + 4y − z = 0 e o ponto (0, 0, 8).

9. Se os vértices de um triângulo são (0, 0), (2, 1) e (1, 3), determine o ponto P do trital que a soma dos quadrados das distâncias aos vértices seja mínima.

10. Determine as dimensões do paralelepípedo de volume máximo, com lados paraleeixos coordenados, inscrito no elipsóide: x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1.

11. Ache a equação do plano que passa por (1, 2, 1) e forma com os planos coordentetraedro de volume mínimo.

12. Uma calha deve ser construída com uma folha de aço, de largura a e comprimento

seção da calha é um trapézio isósceles, qual deve ser a largura da base e a inclinaçfaces para que sua capacidade seja máxima?

13. Uma aplicação num doente de x miligramas de um remédio A e y miligramasmedicamento B ocasiona uma resposta R = R(x, y) = x2 y3 (c − x − y), (c > 0quantidade de cada remédio dará a melhor resposta?




Multiplicadores de Lagrange

1. Determine os pontos extremos de:

(a) z = 25 − x2 − y2 tais que x2 + y2 − 4 y = 0.

(b) z = x2 + 2 x y + y2 tais que x − y = 3.

(c) z = 4 x2 + 2 y2 + 5 tais que x2 + y2 − 2 y = 0.(d) w = x2 + y2 + z2 tais que 3 x − 2 y + z − 4 = 0.

(e) w = x + y + z tais que x2 − y2 + z2 = 4.

(f) w = (x + y + z)2 tais que x2 + 2 y2 + 3 z2 = 1.

2. Determine os pontos extremos de: w = x2 + y2 + z2 tais que x2 + y2 + z2 ≤ 1.

3. Determine a menor distância de y = x2 ao ponto (0, b), b > 0.

4. Determine o maior e o menor valor de xy tal que 2 x + y = 2, x e y positivos.

5. Determine o maior e o menor valor de x2 + y2 tal que x4 + y4 = 1.

6. Determine o maior valor de 2 y − x tal que y = sen(x), 0 ≤ x ≤ 2π.

7. Determine os valores máximos e mínimos de f (x,y ,z) = x + 2 y + z se x2 + y2 = 1 ey + z = 1.

8. Seja 0 < p < q. Determine o máximo e mínimo de x p + y p + z p tal que xq + yq + zq = 1,x, y e z não negativos.

9. Determine os valores extremos de z = cos2(x) + cos2(y) se 4x + 4y = π.

10. Determine as dimensões do retângulo de menor perímetro e de área 16 cm2

.11. De todos os triângulos de perímetro fixo, determine o de maior área.

12. Determine o valor máximo de:

(a) f (x,y,z) = x + y + z tal que x2 + y2 + z2 = a2 e conclua que:

(x + y + z)2 ≤ 3 (x2 + y2 + z2).

(b) f (x,y,z) = x y z tal que x + y + x = s e conclua que: 3 3√

xyz ≤ x + y + z.

(c) f (x,y,z) = x y z tal que x2 + y2 + z2 = s, x, y e z positivos; conclua que:

3√

x y z ≤

x2 + y2 + z2

3.




13. Se a temperatura em qualquer ponto (x,y,z) do espaço é dada por:

T (x,y,z) = 100 x2 y z,

determine a temperatura máxima e a temperatura mínima sobre x2 + y2 + z2 ≤ 4

14. Determine o ponto P na elipse x2 + 2 y2 = 6 e o ponto Q na reta x + y = 4 ta

distância de P a Q seja a menor possível.

15. Determine os pontos mais afastados da origem tais que x2 + 4 y2 + z2 = 4 e x + y +

16. Determine as dimensõesdo paralelepípedo retangular de área total 2 a2 cuja diagomínima.

17. Dentre todos os triângulos de área S determine o que tem o perímetro menor.

18. Determine as dimensões do cilindro de maior volume inscrito numa esfera de rai

19. Dentre todos os triângulos retângulos de área S determine o que tem hipotenusa m

20. Determine o maior produto que podem ter 10 números positivos se a soma é 10 k



Capítulo 8

INTEGRAÇÃO DUPLA

8.1 Integração Dupla sobre Retângulos

Denotemos por R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} um retângulo em R2.Consideremos P 1 = {x0, x1,....,xn} e P 2 = {y0, y1,....,yn} partições de ordem n de [a, b] e [c, d]respectivamente, tais que:

a = x0 < x1 < . . . . . . < xn = b e c = y0 < y1 < . . . . . . < yn = d

e xi+1 − xi =b − a

n, y j+1 − y j =

d − c

n.

a b

c

d

x x

R

i i+1

y j+1

y j R ij

Figura 8.1: Partição de R.

O conjunto P 1 × P 2 é denominada partição do retângulo R de ordem n. Sejam os n2 sub-retângulos Rij = [xi, xi+1] × [y j , y j+1] e cij ∈ Rij arbitrário (i, j = 0,....,n). Considere a funçãolimitada f : R

−→R. A soma

S n =n−1i=0

n−1 j=0

f (cij ) ∆x ∆y,

onde ∆x =b − a

ne ∆y =

d − c

né dita soma de Riemann de f sobre R.

195



196 CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO D

Definição 8.1. Uma função f : R −→ R limitada é integrável sobre R se limn→+∞S n, existe i

dente da escolha de cij ∈ Rij e da partição; em tal caso denotamos este limite por:

R

f (x, y) dxdy,

que é denominada integral dupla de f sobre R.

Teorema 8.1. Toda f : R −→ R contínua é integrável.

A prova deste teorema pode ser vista em [EL].

8.2 Significado Geométrico da Integral Dupla

Se f é contínua e f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R, a existência da integral dupla de f stem um significado geométrico direto. Consideramos o sólido W ⊂ R3 definido por:

W = {(x,y ,z) ∈ R3 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}

Figura 8.2: O sólido W .

W é fechado e limitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente por Rralmente pelos planos x = a, x = b, y = c, y = d. Se denotamos por V (W ) o volumeentão:

V (W ) =

Rf (x, y) dxdy

De fato, escolhendo cij como o ponto onde f atinge seu máximo sobre Rij (pois R é felimitado e f é contínua), então f (cij) × ∆x × ∆y é o volume do paralelepípedo de basaltura f (cij).



8.2. SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA INTEGRAL DUPLA 197

Figura 8.3: Partição e os paralelepípedos de W , respectivamente.

S n =n−1i=0

n−1 j=0

f (cij ) ∆x ∆y

é o volume do sólido circunscrito a W . Analogamente se eij éopontoonde f atinge seu mínimosobre Rij (pois R é fechado, limitado e f é contínua), então:

sn =

n−1i=0

n−1 j=0

f (eij) ∆x ∆y

é o volume do sólido inscrito em W . Como f é integrável, os limites das somas de Riemann S ne sn independem da escolha de cij e eij :

limn→∞S n = limn→∞sn =

Rf (x, y) dxdy.

Em outras palavras os volumes dos sólidos inscritos e circunscritos a W , tendem ao mesmolimite. Portanto, é razoável chamar este limite de volume de W .

Figura 8.4: Reconstrução do sólido.




Figura 8.5: Reconstrução do sólido.

Novamente notamos que é possível mostrar rigorosamente que o significado geométintegral dupla independe da escolha da partição e dos pontos cij e eij .

A integral dupla tem propriedades análogas às das integrais das funções de uma variáv

Proposição 8.1.

1. Linearidade da integral dupla. Se f e g são funções integraveis sobre R então paα, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e:

R

α f (x, y) + β g(x, y)

dxdy = α

R

f (x, y) dxdy + β

R

g(x, y) dxdy.

2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x, y) ≤ f (x, y), para todo (x, y) ∈ R, então: R

g(x, y) dxdy ≤

Rf (x, y) dxdy.

3. Se R é subdividido em k retângulos e f é integrável sobre cada Ri, i = 1,...,k então f é insobre R e,

Rf (x, y) dxdy =

ki=1

Ri

f (x, y) dxdy.

8.3 Integrais Iteradas

Uma integral iterada de f sobre R é uma integral do tipo: d

c

b

af (x, y) dx

dy.

Para calculá-la fixamos y e calculamos a integral b

af (x, y) dx como integral de uma v

em x; o resultado é uma função de y que é novamente integrada em y, com limites de intec e d.

A integral b

a

d

cf (x, y) dy

dx é calculada de forma análoga.



8.3. INTEGRAIS ITERADAS 199

Exemplo 8.1.

[1] Calcule 20

31

x2y dy

dx.

3

1x2y dy = x2

3

1y dy = 4x2 e

2

0 3

1x2y dydx =

2

04x2 dx =

32

3.

[2] Calcule π

0

π

0cos(x + y) dx

dy.

π

0cos(x + y) dx = sen(x + y)

x=π

x=0= sen(y + π) − sen(y),

e π

0

π

0cos(x + y) dx

dy =

π

0(sen(y + π) − sen(y)) dy = −4.

[3] Calcule 1

−1 1

−2(x2 + y2) dxdy.

1−2

(x2 + y2) dx =x3

3+ x y2

x=1x=−2

= 3 + 3 y2

e 1−1

1−2

(x2 + y2) dx

dy =

1−1

(3 + 3 y2) dy = 8.

[4] Calcule π

3

π6

40

ρ2 eρ3 sen(φ) dρ

dφ.

40

ρ2 eρ3

sen(φ) dρ = sen(φ) 40

ρ2 eρ3

dρ = sen(φ)eρ3

340

= sen(φ)e64

−1

3

e π

3

π6

40


dφ =

e64 − 1

3

π3

π6

sen(φ) dφ =(e64 − 1) (

√3 − 1)

6.

[5] Calcule 10

√1−y2

0

1 − y2 dx

dy.

√1−y2

0 1 − y2 dx = 1 − y2, e

10

√1−y2

0 1 − y2 dx

dy =

10

(1 − y2) dy =2

3.

[6] Seja a função f : [0, 1] × [0, 1] −→ R definida por:

f (x, y) =

1 se x ∈ Q2 y se x /∈ Q.




Então: 10

dy =

10

dy = 1 se x ∈ Q 10

2 y dy = 1 se x /∈ Q.

Logo, 1

0

1

0

dy dx = 1. Por outro lado 1

0

f (x, y) dx não existe, exceto quando y = 12

10

10

dx

dy

não existe. Em geral, nada garante a existência das integrais iteradas.

8.4 Teorema de Fubini

O seguinte teorema fundamental relaciona a integral dupla com as integrais iteradasfacilitará seu cálculo.

Teorema 8.2. (Fubini): Seja f : R −→ R contínua sobre R. Então: R

f (x, y) dxdy =

d

c

b

af (x, y) dx

dy =

b

a

d

cf (x, y) dy

dx

Prova: Veja o apêndice.

Uma visualização geométrica do teorema de Fubini pode ser feita usando o princípio dlieri: “ Dado um sólido, se denotamos por A(y) a área da seção transversal ao sólido, a uma distância y de um plano de referência, o volume do sólido é dado por: V =

dc A

onde c e d são as distâncias mínima e máxima ao plano de referência”.

Se f é uma função contínua e f (x, y) ≥ 0 em todo R, então

Rf (x, y) dxdy repre

volume do sólido W :

W = {(x,y,z) ∈ R3 /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}.

c

Rb

d

a

Figura 8.6:



8.4. TEOREMA DE FUBINI 201

Se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano yz a uma distância x da origem,obtemos uma seção plana que tem como área A(x) =

dc f (x, y) dy. Pelo princípio de Cavalieri,

o volume total do sólido é:

R

f (x, y) dxdy =

b

aA(x) dx =

b

a

d

cf (x, y) dy

dx.

Analogamente, se intersectamos o sólido por um plano paralelo ao plano xz a uma distância y

da origem obtemos uma seção plana de área A(y) = b

a f (x, y) dx e pelo princípio de Cavalieri:

R

f (x, y) dxdy =

d

cA(y) dy =

d

c

b

af (x, y) dx

dy.

Exemplo 8.2.

[1] Calcule R

dxdy, onde R = [a, b]

×[c, d].

R

dxdy =

b

a

d

cdy

dx =

b

a(d − c) dx = (b − a) (d − c);

numericamente a integral dupla

Rdxdy, corresponde a área de R ou ao volume do parale-

lepípedo de base R e altura 1.

[2] Calcule

Rf (x, y) dxdy, onde R = [a, b] × [c, d] e f (x, y) = h, h constante positiva.

R

f (x, y) dxdy = h

R

dxdy = h × A(R) = h (b − a) (d − c),

onde a última igualdade expressa o volume do paralelepípedo de base R e altura h.

[3] Calcule

R(x y + x2) dxdy, onde R = [0, 1] × [0, 1].

R

(x y + x2) dxdy =

10

10

(x y + x2) dx

dy =

10

x2 y

2+

x3

3

x=1

x=0

dy

= 10

y2

+ 13

dy = 7

12.

O número7

12representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função

f (x, y) = x y + x2 e pelos planos coordenados. ((x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1]).




0

1

0

1


[4] Calcule

Rx y2 dxdy, onde R = [−1, 0] × [0, 1].

Rx y2 dxdy = 1

0 0

−1

x y2 dxdy = −1

2 1

0y2dy = −1

6.

[5] Calcule

Rsen(x + y) dxdy, onde R = [0, π] × [0, 2π].

R

sen(x + y) dxdy =

2π

0

π

0sen(x + y) dx

dy =

2π

0(cos(y) − cos(y + π)) dy =

[6] Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1 − y e inferiormenretângulo definido por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.

0.00.5

1.0

0.0

0.5

1.0

0.0

0.5

1.0

Figura 8.8: Sólido do exemplo [6].

O sólido está limitado superiormente pelo plano z = 1 − y e inferiormente pelo reR = [0, 1] × [0, 1]; então, o volume V é:

V =

R

(1 − y) dxdy =

10

10

(1 − y) dx

dy =

10

(1 − y) dy =1

2u.v.



8.4. TEOREMA DE FUBINI 203

[7] Calcule o volume do sólido limitado por z = x2 + y2 e pelos planos x = 0, x = 3, y = 0 ey = 1.

0

0.25

0.5

0.75

1

x0

0.25

0.5

0.75

1

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

0

0.25

0.5

0.75

1

x0

0.2

.4

6


R = [0, 3] × [0, 1]. O volume é:

V =

R(x2

+ y2

) dxdy = 10

30 (x

2

+ y2

) dx

dy = 10 (9 + 3y

2

) dy = 10 u.v.

u.v. =unidades de volume.

[8] Calcule o volume do sólido limitado por z = 1 − y2 e pelos planos x = −1, x = 1, y = −1 ey = 1.

-1

-0.5

0

0.5

1

x

-1-0.5

00.5

1y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

-1

-0.

0

0.5

1

x

0

.2

4


R = [−1, 1] × [−1, 1]. O volume é:

V = R

(1 − y2) dxdy = 1

−1 1

−1

(1 − y2) dx dy = 2 1

−1

(1 − y2) dy =8

3u.v.

8.4.1 Extensão do Teorema de Fubini

Antes de estudar a integral dupla em regiões mais gerais enunciaremos uma genereralizaçãodo teorema 8.1.




Definição 8.2. Seja A ⊂ R, R = [a, b] × [c, d]. O conjunto A ⊂ R tem conteúdo nulo se exnúmero finito de sub-retângulos Ri ⊂ R, (1 ≤ i ≤ n) tais que A ⊂ R1 ∪ R2 ∪ . . . ∪ Rn−1 ∪ R

limn→+∞

ni=1

|Ri| = 0;

onde |Ri| é a área de Ri.

Exemplo 8.3.

[1] Se A = { p1, p2,.......,pm}, pi ∈ R, (1 ≤ i ≤ m). O conjunto A tem conteúdo nulo. Utiuma partição de ordem n de R como antes, temos: |Ri| =

(b−a) (d−c)n2 , 1 ≤ i ≤ n. Com

ponto pode estar no máximo em quatro sub-retângulos, então:

0 <

n

i=1|Ri| ≤ 4 m (b − a) (d − c)

n2.

Logo limn→+∞

ni=1

|Ri| = 0.

[2] ∂R tem conteúdo nulo.

b

c

d

x xai i+1

y j+1

y

RRij

j

Figura 8.11: ∂R.

Os pontos de ∂R estão distribuido em 4 n − 4 sub-retângulos Rij :

0 <n

i=1

|Ri| ≤ (4 n − 4) (b − a) (d − c)

n2≤ 4 (b − a) (d − c)

n,

pois n−1n < 1. Logo:

limn→+∞

ni=1

|Ri| = 0.

É possível provar que o gráfico de uma função contínua f : [a, b] −→ R tem conteúdo n



8.5. INTEGRAÇÃO DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 205

Figura 8.12: G(f ).

Teorema 8.3. Se f : R −→ R é uma função limitada e o conjunto onde f é descontínua tem conteúdonulo, então f é integra´ vel sobre R.

Prova: Veja [EL] na bibliografia.

8.5 Integração Dupla sobre Regiões mais Gerais

8.5.1 Regiões Elementares

Definiremos três tipos especiais de subconjuntos do plano, que serão utilizados para estendero conceito de integral dupla sobre retângulos a regiões mais gerais Seja D ⊂ R2.

Regiões de tipo I

D é uma região de tipo I se pode ser descrita por:

D = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)}

sendo φi : [a, b] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que φ1(x) ≤ φ2(x) para todo x ∈ [a, b].

a b

D

D

ba

φφ

φ

φ

1

2

2

1

Figura 8.13: Regiões de tipo I.




Regiões de tipo II

D é uma região de tipo II se pode ser descrita por:

D = {(x, y) ∈ R2/c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}

sendo ψi : [c, d] −→ R (i = 1, 2) funções contínuas tais que ψ1(y) ≤ ψ2(y) para todo y ∈

D

d

c

ψ Dψ

ψ 1 2

ψ

12

Figura 8.14: Regiões de tipo II.

Regiões de tipo III

D é uma região de tipo III se pode ser descrita como região de tipo I ou de tipo II.As regiões de tipos I, II ou III são chamadas elementares. As regiões elementares são fee limitadas.

Exemplo 8.4.

[1] A região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2 pode ser descrita como de tipo A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:

y = x

2

y = 4 x − x2,

do qual obtemos: x = 0 e x = 2; logo, D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4x − x2}.

1 2

1

4

1 2

1

4

Figura 8.15: Região de tipo I.

[2] Seja a região D limitada pelas seguintes curvas: y2 − x = 1 e y2 + x = 1.



8.5. INTEGRAÇÃO DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 207

A região pode ser descrita por D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 1, y2 − 1 ≤ x ≤ 1 − y2}; D é umaregião de tipo II.

-1 - 0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

-1 - 0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figura 8.16: Região de tipo II.

[3] A região D limitada pela reta x + y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro quadrante,pode ser descrita como de tipo II: D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y}.

1 2

1

2

1 2

1

2

Figura 8.17: Região de tipo III.

[4] A região D limitada pelas curvas y = x

−1 e y2 = 2 x + 6, pode ser descrita como de tipo II.

A interseção das curvas é dada pela solução do sistema:y = x − 1

y2 = 2 x + 6,

do qual obtemos: x = −1 e x = 5; logo: D = {(x, y) ∈ R2/ − 2 ≤ y ≤ 4, y2

2 − 3 ≤ x ≤ y + 1} .

1 2 3

1

2

3

1 2 3

1

2

3





[5] Seja D a região limitada pela curva x2 + y2 = 1; esta região é do tipo III. De fato:

De tipo I: D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ x ≤ 1, φ1(x) = −√1 − x2 ≤ y ≤ φ2(x) =

√1 − x2}.

II: D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ y ≤ 1, ψ1(y) = −

1 − y2 ≤ x ≤ ψ2(y) =

1 − y2}.

8.6 Extensão da Integral Dupla

Seja D uma região elementar tal que D ⊂ R, onde R é um retãngulo e f : D −→ R umacontínua (logo limitada). Definamos f ∗ : R −→ R por:

f ∗(x, y) =

f (x, y) se (x, y) ∈ D

0 se (x, y) ∈ R − D.

f ∗ é limitada e contínua, exceto, possivelmente, em ∂D; mas se ∂D consiste de uma uniãde curvas que são gráficos de funções contínuas, pelo teorema 8.1, f ∗ é integrável sobre

D

R

R

D

Figura 8.19: Gráficos de f e f ∗, respectivamente.

Definição 8.3. f : D −→ R é integrável sobre D se f ∗ é integrável sobre R e em tal caso defini

D

f (x, y) dxdy =

R

f ∗(x, y) dxdy.

Se R1 é outro retângulo tal que D ⊂ R1 e f ∗1 : R1 −→ R é definida como antes, então:

R

f ∗(x, y) dxdy =

R1

f ∗1 (x, y) dxdy,

pois f ∗ = f ∗1 = 0 onde R e R1 diferem.



8.7. INTEGRAL DUPLA E VOLUME DE SÓLIDOS 209

R

D

R

f* =f* =0

1

1

Figura 8.20:

Logo,

Df (x, y) dxdy não depende da escolha do retângulo.

8.7 Integral Dupla e Volume de Sólidos

Proposição 8.2. Se f : D −→ R é uma função contínua e limitada sobre D, então:

1. Se D é uma região de tipo I:

D

f (x, y) dxdy =

b

a

φ2(x)

φ1(x)f (x, y) dy

dx

2. Se D é uma região de tipo II:

D

f (x, y) dxdy =

d

c

ψ2(y)

ψ1(y)f (x, y) dx

dy

Para a prova, veja o apêndice.Corolário 8.4. Se f (x, y) = 1 em todo D, então:

Ddxdy = Área(D)

De fato, se D é de tipo I, temos

Ddxdy =

b

a

φ2(x) − φ1(x)

dx = A(D).

Se f (x, y) ≥ 0 e é contínua em D, podemos novamente interpretar a integral dupla de f sobreD como o volume do sólido W limitado superiormente pelo gráfico de f e inferiormente porD.

W = {(x,y,z) ∈ R3/(x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}D é a projeção de W sobre o plano xy e:

V (W ) =

D

f (x, y) dxdy




8.7.1 Exemplos

[1] Calcule 10

1y

ex2 dx

dy. A integral não pode ser calculada na ordem dada. Observ

D

ex2 dxdy =

10

1y

ex2 dx

dy.

A região D, onde está definida a integral, é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 1.

1

1

1

1

Figura 8.21: A região D.

A região D é de tipo III; logo, D também é de tipo I. De fato: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x e: D

ex2 dxdy =

10

x

0ex2 dy

dx =

10

x ex2 dx =1

2(e − 1).

[2] Calcule 10

1x

sen(y)

ydy

dx.

A região D, onde está definida a integral é de tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1. Por outro lade tipo III, logo D também é de tipo II: 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ y:

1

1

1

1


10

1x

sen(y)

ydy

dx =

10

y

0

sen(y)

ydx

dy =

10

sen(y) dy = 1 − cos(1).

[3] Calcule

D

1 − y2 dxdy, onde D é a região limitada por x2 + y2 = 1 no primei

drante.




1

1

1

1


Consideramos D como região de tipo II. D = {(x, y) ∈ R/0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤

1 − y2} . Pelaproposicão:

D

1 − y2 dxdy =

10

√1−y2

0

1 − y2 dx

dy =

10

(1 − y2) dy =2

3.

Note que se escrevemos D como região de tipo I, a integração é muito mais complicada.

[4] Calcule

D(x + y)2 dxdy, se D é a região limitada por y = x, 2 y = x + 2 e o eixo dos y.

1 2

1

1 2

1


As retas se intersectam no ponto (2, 2). Escrevendo D como região de tipo I: 0 ≤ x ≤ 2,x ≤ y ≤ x

2 + 1.

D(x + y)2 dxdy = 2

0 x2+1

x(x + y)2 dydx =

1

3 2

0 3x

2+ 1

3 − 8x3

dx =21

6.

[5] Determine o volume do sólido limitado por y − x + z = 1 e pelos planos coordenados.Para ter uma visão geométrica do problema, fazemos o desenho do sólido, que é limitadosuperiormente pelo plano que passa pelos pontos (0, 0, 1), (0, 1, 0), (−1, 0, 0) e inferiormentepelo plano z = 0.




00.25

0.50.75

1 x

0

0.25

0.5

0.75

1

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

00.25

0.50.75

-1

1

-1

1

Figura 8.25: O sólido e a região, respectivamente.

A integral dupla representa o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico daz = f (x, y) = 1 + x − y e, inferiormente pela região D projeção de W no plano xy.

W = {(x,y ,z) ∈ R3 / (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ 1 + x − y},

onde D = {(x, y) ∈ R2/ − 1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ x + 1} é região do tipo I. Seu volume é:

V (W ) =

D

(1 + x − y) dxdy =

0−1

x+1

0(1 + x − y) dy

dx =

1

2

0−1

(x + 1)2dx =1

6

[6] Determine o volume do sólido limitado por z = 2 x + 1, x = y

2

e x − y = 2.

-2

0

2

4-2

0

2

4

0

1

2

3

4

5

-2

0

2

4

0

1

2

3

-2

0

2

4 0

2

4

0

1

2

3

4

5

-2

0

2

4

Figura 8.26: O sólido do exemplo [6].




1 2

-1

1

1 2

-1

1


Observe que z = f (x, y) = 2 x + 1 e

V (W ) =

D

(2 x + 1) dxdy,

onde D é a projeção do sólido no plano xy. Considerando D como região do tipo II, ela é

definida por:D = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ y ≤ 2, y2 ≤ x ≤ y + 2}.

O volume é:

V (W ) =

D

(2x + 1) dxdy =

2−1

y+2

y2(2 x + 1) dx

dy =

2−1

(5 y + 6 − y4) dy =189

10u.v.

[7] Calcule o volume do sólido que está acima do plano xy e é limitado por z = x2 + 4 y2 ex2 + 4 y2 = 4.

O gráfico de z = x2 + 4 y2 é um parabolóide elítico e o de x2 + 4 y2 = 4 é um cilindro elítico.

-2-1

0

1

2

x

-0.50

0.51

y

0

1

2

3

z

-2-1

0

1x

- .50

.

-2-1

0

1

2

x

-1-0.5

00.5

1

y

0

1

2

3

z

-2-1

0

1x

-1-0.5

0.





1-1 2

-1

1

1-1 2

-1

1

Figura 8.29: A região do exemplo [7].

Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o respor 4.

1 2

1

1 2

1


D é a projeção do cilindro no plano xy. D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤√4−x2

2 e,

V = 4

D

(x2 + 4y2) dxdy = 4

20

√4−x2

2

0(x2 + 4 y2) dy

dx

= 2

2

0

x2

4 − x2 + (4 − x2)32

3

dx = 4 π u.v.

[8] Calcule a área da região plana limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2.Os pontos de interseção das curvas são: (0, 0) e (2, 4).

1 2

1

4

1 2

1

4





D é do tipo I: 0 ≤ x ≤ 2 e x2 ≤ y ≤ 4x − x2.

A =

D

dxdy =

20

4x−x2

x2dy

dx = 2

20

(2x − x2) dx =8

3u.a.

[9] Calcule o volume do sólido obtido pela interseção dos cilindros: x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2,a

= 0.

O sólido é simétrico em relação à origem.

Figura 8.32: Interseção dos cilindros.

Calculamos o volume da porção do sólido no primeiro octante e multiplicamos o resultado por8.

Figura 8.33: O sólido no primeiro octante.




Claramente D é região do tipo I: 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ √a2 − x2. A altura do sólido W

por z = f (x, y) =√

a2 − x2 e:

V = 8

D

a2 − x2 dxdy

= 8 a

0

√a2

−x2

0

a2 − x2dy

dx

= 8

a

0(a2 − x2) dx =

16 a3

3.

[10] Calcule o volume do sólido limitado por 3 x + 4 y = 10, z = x2 + y2 e situado acplano xy, no primeiro octante.

0 12

3

0

1

2

30

2

4

6

8

0

2

4

1 2 3

1

2

1 2 3

1

2

Figura 8.34: Sólido e região do exemplo [10], respectivamente.

D é uma região do tipo II: 0 ≤ y ≤ 52 e 0 ≤ x ≤ 10−4y

3 ; logo:

V =

D

(x2 + y2) dxdy =

52

0

10−4 y3

0(x2 + y2) dx

dy

= − 2

81

52

0(2 y − 5)(43 y2 − 80 y + 100) dy

= − 281

52

0(86 y3 − 375 y2 + 600 y − 500) dy = 15625

1296u.v.

[11] Calcule o volume do sólido limitado por z − x y = 0, z = 0, y = x2 e y2 − x = 0.





D é uma região do tipo I: 0 ≤ x ≤ 1 e x2

≤ y ≤ √x,

1

1

1

1

Figura 8.36: Região D.

logo V =

D

xy dxdy =

10

√x

x2x y d y

dx =

1

2

10

(x2 − x5) dx =1

12u.v.

8.8 Exercícios

1. Calcule

Rf (x, y) dxdy, se:

(a) f (x, y) = x

2

y

3

e R = [0, 1] × [0, 1](b) f (x, y) = (x + y)2 (x2 − y2) e R = [0, 1] × [0, 1]

(c) f (x, y) = x2 + 4 y e R = [0, 2] × [0, 3]

(d) f (x, y) = x2

y2+1e R = [−1, 1] × [−1, 1]

(e) f (x, y) = ex y (x2 + y2) e R = [−1, 3] × [−2, 1]




(f) f (x, y) = x y − y2 e R = [0, 5] × [0, 4]

(g) f (x, y) = 5 x y2 e R = [1, 3] × [1, 4]

(h) f (x, y) = 2 x + c2 y e R = [−2, 2] × [−1, 1]

(i) f (x, y) = x2 − y2 e R = [1, 2] × [−1, 1].

2. Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico da função e inmente pelo retângulo dado:

(a) z =

9 − y2 e R = [0, 4] × [0, 2]

(b) z = x2 + y2 e R = [−2, 2] × [−3, 3]

(c) z = y2 − x2 e R = [−1, 1] × [1, 3]

(d) z = 2 x + 3 y + 6 e R = [−1, 2] × [2, 3]

(e) z = acos(2 θ) + bsen(2 α) e R = [0, π2 ] × [0, π

2 ]

(f) z = xsen(y) e R = [0, π] × [0, π]

3. Calcule as seguintes integrais mudando a ordem de integração:

(a) 10

1y

tg(x2) dx

dy

(b) 21

x

1

x2

y2dy

dx

(c) 10

√1−x2

0 1 − y2 dy

dx

(d) 10

1x

sen(y2) dy

dx

(e) 10

y

3yex2 dx

dy

(f) 30

9y2

y cos(x2) dx

dy

4. Calcule as seguintes integrais sabendo que D é limitada pelas curvas dadas:

(a)

Dydxdy; y = 2 x2 − 2, y = x2 + x

(b)

Dxy dxdy; x2

a2 + y2

b2 = 1, x, y ≥ 0

(c)

Dxdxdy; x − y2 = 0, x = 1

(d)

D

dxdy

x2 + 1 ; y − x2 = 0, y = 1

(e)

D(x2 + y2) dxdy; y = 0, y = x − 1 e x = 1, x = 0

(f)

Dex+y dxdy; y = 0, y = x e x − 1 = 0




(g)

Dxcos(y) dxdy; y = 0, y = x2 e x = 1

(h)

D4 y3 dxdy; y = x − 6 e y2 = x

(i)

D(y2 − x) dxdy; y2 = x e x = 3 − 2 y2

(j)

D(x2 + 2 y) dxdy; y = 2 x2 e y = x2 + 1

(k)

D(1 + 2 x) dxdy; x = y2 e y + x = 2

(l)

Ddxdy; y2 = x3 e y = x



Capítulo 9

MUDANÇA DE COORDENADAS

9.1 Introdução

Seja D∗ ⊂ R2 uma região elementar no plano uv e:

x, y : D∗

−→R,

onde x = x(u, v) e y = y(u, v) são funções contínuas e com derivadas parciais contínuas numretângulo aberto R tal que D∗ ⊂ R. Estas duas funções determinam uma transformação doplano uv no plano xy. De fato, T : D∗ −→ R2, onde T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)). A transformaçãoT é também denotada por:

x = x(u, v)

y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.

Denotemos a imagen de D∗ por T como D = T (D∗), contida no plano xy.

TD*D

y

x

v

u

Figura 9.1: Mudança de coordenadas.

Exemplo 9.1.Seja D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t),rsen(t)), Determinemos D = T (D∗) no plano xy.

x = rcos(t)

y = rsen(t);

221



222 CAPÍTULO 9. MUDANÇA DE COORDEN

logo: x2 + y2 = r2 ≤ 1; então D = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.

π2

L D

t

1 r

* D

x

y

1

T

Figura 9.2:

Definição 9.1. Uma transformação T é injetiva em D∗ se T (u1, v1) = T (u2, v2) implica eme v1 = v2, para todo par de elementos (u1, v1), (u2, v2) ∈ D∗.

No exemplo 9.1, temos que D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t),rsen(t)). A transfoT não é injetiva: De fato, T (0, t1) = T (0, t2) = (0, 0) para t1

= t2. Observe que T (L) =

onde L = {(0, t)/0 ≤ t ≤ 2 π}. Mas se D∗ = (0, 1] × (0, 2π], T é injetiva.Seja T : D∗ −→ D uma transformação definida por:

x = x(u, v)

y = y(u, v), (u, v) ∈ D∗.

Considere a seguinte matriz:

J =

∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗. J é chamada matriz Ja(de Jacobi) da transformação T .

Definição 9.2. O determinante da matriz J , dito jacobiano de T , é denotado e definido por:

∂ (x, y)

∂ (u, v)= det(J ) =

∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

onde as derivadas parciais são calculadas nos pontos (u, v) ∈ D∗.

A importância da matriz Jacobiana de uma transformação deverá ser estudada com mai

em disciplinas mais avançadas. Por enquanto citaremos a seguinte proposição, sem proProposição 9.1. Se:

∂ (x, y)

∂ (u, v)(u0, v0) = 0, (u0, v0) ∈ D∗,

então existe uma vizinhança do ponto (u0, v0) tal que a restrição de T a esta vizinhança é injetiv




Exemplo 9.2.

[1] No exemplo 9.1, temos que D∗ = [0, 1] × [0, 2π] e T (r, t) = (r cos(t),rsen(t)). Logo,

∂ (x, y)

∂ (r, t)= r.

Note que para todo (r, t) ∈ L temos∂ (x, y)

∂ (r, t)= 0.

[2] Seja o quadrado D∗ = [0, 1] × [0, 1] e T (u, v) = (u + v, u − v).

x = u + v

y = u − v.

Se u = 0, então y =−

x; se v = 0, então y = x, se u = 1; então y = 2−

x e se v = 1, então y = x−

2.A região D = T (D∗) é a região do plano xy limitada pelas curvas y = x, y = −x, y = x − 2 ey = 2 − x. O jacobiano:

∂ (x, y)

∂ (u, v)= −2.

1

1

1 2

1

1

Figura 9.3: Regiões D∗ e D, respectivamente.

[3] Seja D∗ a região limitada pelas curvas u2 − v2 = 1, u2 − v2 = 9, u v = 1 e u v = 4 no primeiroquadrante, sendo T (u, v) = (u2 − v2, u v). Determinemos T (D∗) = D, fazendo:

x = u2 − v2

y = u v;

se u2 − v2 = 1, então x = 1; se u2 − v2 = 9, então x = 9, se u v = 1, então y = 1 e se u v = 4,então y = 4




1 2 3

1

2

1 2 3

1

2

1 5

1

4


∂ (x, y)

∂ (u, v)= 2(u2 + v2), que não se anula em D∗. Logo T é injetiva.

Teorema 9.1. Sejam D e D∗ regiões elementares no plano, T uma transformação de classe C 1 eem D∗. Suponha que T (D∗) = D. Então, para toda função integrável f sobre D temos:

D

f (x, y) dxdy =

D∗

f (u, v)∂ (x, y)

∂ (u, v)

dudv

onde∂ (x,y)

∂ (u,v)

é o valor absoluto do determinante Jacobiano e f (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)). Em pa

a área de D é:

A(D) =

D

dxdy =

D∗

∂ (x, y)

∂ (u, v)

dudv

É possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetiva num subco

de conteúdo nulo de D∗, como no caso de L, no exemplo 1.Observe que podemos ir do plano uv ao plano xy e vice-versa, pois T é bijetiva.

9.2 Mudança Linear de Coordenadas

Consideremos a seguinte transformação:

x = x(u, v) = a1 u + b1 vy = y(u, v) = a2 u + b2 v

onde a1 b2 − a2 b1 = 0. Como: ∂ (x, y)

∂ (u, v)

= |a1b2 − a2b1|,

do teorema anterior, segue:



9.2. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 225

Corolário 9.2. Se f (u, v) = f (a1 u + b1 v, a2 u + b2 v), então:

D

f (x, y) dxdy = |a1b2 − a2b1|

D∗

f (u, v) dudv

Em particular, a área de D é:

A(D) = |a1b2 − a2b1| A(D∗)

Note que:

u = u(x, y) =b2 x − b1 y

a1b2 − a2b1

v = v(x, y) =−a2 x + a1 y

a1b2 − a2b1

,

e que

∂ (u, v)

∂ (x, y)

=

∂ (x, y)

∂ (u, v)

−1

.

Exemplo 9.3.

[1] Calcule

Dxy dxdy, onde D é a região limitada pelas curvas y = 2 x, y = x, y = 2 x − 2 e

y = x + 1.

A presença dos termos 2 x − y e y − x sugerem a seguinte mudança:

u = 2 x − y

v = y − x.

A nova região D∗ é limitada pelas seguintes curvas: u = 0, u = −2, v = 0 e v = 1.

1 2 3

1

2

3

4

1 2 3

1

2

3

4

2 1

1


Note que: x = u + v

y = u + 2 v,




logo,∂ (x, y)

∂ (u, v)

= 1 e f (u, v) = (u + v) (u + 2 v) = u2 + 3 u v + 2 v2. Então:

D

xy dxdy =

10

0−2

(u2 + 3 u v + 2 v2) du

dv = 1.

[2] Calcule

De

y−x

x+y

dxdy, onde D é a região limitada pela curva y + x = 2 e pelocoordenados.

A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança:

u = x + y

v = y − x.

D é limitada pelas curvas x = 0, y = 0 e x + y = 2; então, D∗ é limitada pelas curvasu = −v e u = 2, respectivamente.

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

2

2


∂ (u, v)∂ (x, y)

= 2 e∂ (x, y)

∂ (u, v)

= 12

, f (u, v) = evu ; então:

D

ey−x

x+y dxdy =1

2

D∗

evu dudv =

1

2

20

u

−uevu dv

du

=1

2

20

u evu

v=u

v=−u

du =e − e−1

2

20

u du

= e − e−1.

[3] Determine a área da região D limitada pela curva fechada (2 x − 4 y + 7)2 + (x − 5 y)

Considere a mudança: u = 2 x − 4 y + 7

v = x − 5 y.

D∗ é a região limitada pela curva u2 + v2 = 16 que é um círculo centrado na origem e de



9.2. MUDANÇA LINEAR DE COORDENADAS 227

-10 -5 1

-3

1

-10 -5 1

-3

1

-4 4

4

-4

-4 4

4

-4

Figura 9.7: Regiões D∗ e D, respectivamente.∂ (u, v)

∂ (x, y)

= 6; então∂ (x, y)

∂ (u, v)

=1

6e:

A(D) =1

6

D∗

dudv =1

6A(D∗) =

8

3πu.a.

[4] Calcule

Dcos

x − y

x + y dxdy, onde D é a região limitada pela curva y + x = 1 e pelos eixos

coordenados.A presença dos termos x + y e x − y sugerem a seguinte mudança:

u = x − y

v = x + y.

1

1

1

1

1-1

1

1-1

1


D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = v, u = −v e v = 1,∂ (x, y)

∂ (u, v)

=1

2e

f (u, v) = cosu

v

; então:

Dcos

y

−x

x + y

dxdy =

1

2

D∗cosu

v

dudv =

1

2 10 v

−vcosu

v

du

dv

=1

2

10

v

sen(1) − sen(−1)

dv = sen(1)

10

v dv

=sen(1)

2.




[5] Calcule

D

y + 2 x

(y − 2 x)2dxdy, onde D é a região limitada pelas curvas:

y − 2 x = 2, y + 2 x = 2, y − 2 x = 1, e, y + 2 x = 1.

A presença dos termos y + 2 x e y − 2 x sugerem a seguinte mudança:

u = y + 2 xv = y − 2 x.

D∗ é a região limitada pelas seguintes curvas: u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.

-0.5-1 10.5

1

2

-0.5-1 10.5

1

2

1 2

1

2

1 2

1

2


∂ (x, y)

∂ (u, v)

=1

4e f (u, v) = u

v2; então:

D

y + 2 x

(y − 2 x)2dxdy =

1

4

D∗

u

v2dudv =

1

4

21

21

u

v2du

dv =

3

16.

9.3 Mudança Polar de Coordenadas

Um ponto P = (x, y) em coordenadas retangulares tem coordenadas polares (r, θ) onddistância da origem a P e θ é o ângulo formado pelo eixo dos x e o segmento de reta quorigem a P .

r

x

y

θ

P’

r

P

Figura 9.10: Mudança polar de coordenadas.



9.3. MUDANÇA POLAR DE COORDENADAS 229

A relação entre as coordenadas (x, y) e (r, θ) é dada por:

x = r cos(θ)

y = r sen(θ)

onde r = x2 + y2 e θ = arctg

yx, x = 0.

Esta mudança é injetiva em D∗ = {(r, θ)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π}, θ0 =constante.Note que a região circular D = {(x, y) /x2 + y2 ≤ a2} corresponde, em coordenadas polares, àregião retangular D∗ = {(r, θ) /0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π} = [0, a] × [0, 2 π].

Exemplo 9.4.

[1] A cardióide é uma curva de equação cartesiana x2 + y2 =

x2 + y2 − y; em coordenadaspolares fica r = 1 − sen(θ), r ≥ 0.

[2] A lemniscata de Bernoulli é uma curva de equação cartesiana (x2 + y2)2 = a2 (x2 − y2); emcoordenadas polares fica r2 = a2 cos(2θ).

-1 1

-1

-2

Figura 9.11: Cardióide e lemniscata, respectivamente.

[3] O cilindro circular reto de raio a, em coordenadas cartesianas é definido como o seguinteconjunto C =

{(x,y,z)

∈R3/ x2 + y2 = a2, a

≥0

}; em coordenadas polares:

C = {(r,θ,z) ∈ R3/r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.

Calculemos o jacobiano da mudança de coordenadas polares:∂ (x, y)

∂ (u, v)

= r > 0. Do teorema

anterior, segue:

Corolário 9.3. Se f (r, θ) = f (r cos(θ),rsen(θ)), então:

D

f (x, y) dxdy =

D∗

r f (r, θ) drdθ

Esta igualdade ainda é válida se D∗ = {(r, θ)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π}.Em particular a área de D é:

A(D) =

D

dxdy =

D∗

r drdθ




9.3.1 Regiões Limitadas por Círculos

Seja a > 0. A região D, limitada pelo círculo x2 + y2 = a2, em coordenadas polares é da

D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.


Neste caso: D

f (x, y) dxdy =

2π

0

a

0r f (r, θ) dr

dθ

A região D, limitada pelo círculo (x − a)2 + y2 ≤ a2, em coordenadas polares é:

D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 acos(θ), −π

2≤ θ ≤ π

2}.


Neste caso: D

f (x, y) dxdy = π

2

−π2

2acos(θ)

0r f (r, θ) dr

dθ

A região D, limitada pelo círculo x2 + (y − a)2 ≤ a2, em coordenadas polares é:

D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 asen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.





Neste caso: D

f (x, y) dxdy =

π

0

2asen(θ)

0r f (r, θ) dr

dθ

Exemplo 9.5.

[1] Calcule

D(x2 + y2) dxdy, onde D é a região limitada pelas curvas:

x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x e y =

√3 x

3,

no primeiro quadrante.

1 2

1

1 2

1


Usando coordenadas polares, a nova região D∗ no plano rθ é determinada por:

D∗ = {(r, θ) /1 ≤ r ≤ 2,

π

6 ≤ θ ≤π

4 }.

Como x2 + y2 = r2, temos:

D

(x2 + y2) dxdy =

D∗

r3 drdθ =

π4

π6

21

r3 dr

dθ =

5 π

16.




[2] Calcule

Dln(x2 + y2) dxdy, onde D é a região limitada pelas curvas x2+y2 = a2 e x

b2, (0 < a < b).

Usando coordenadas polares temos que D∗ está determinada por: a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤outro lado, ln(x2 + y2) = 2 ln(r),

D

ln(x2 + y2) dxdy =

D∗

2 r ln(r) dr dθ = 4 π

b

ar ln(r) dr = π (r2(2 ln(r) − 1))

= π (2 b2 ln(b) − 2 a2 ln(a) + a2 − b2).

[3] Determine o volume do sólido situado acima do plano xy e limitado pelos gráficosx2 + y2 e x2 + y2 = 2 y.

O gráfico de z = x2 + y2 é um parabolóide centrado na origem e o de x2 + y2 = 2y é um ccircular reto centrado em (0, 1, 0) e de raio 1, pois, x2 + y2 − 2 y = x2 + (y − 1)2 − 1.

2

1

0

1

2

2

1

0

1

2

0

1

2

3

00.25

0.50.75

1

x

0

0.5

1

1.5

2

y

0

1

2

3

4

z

.0.5

0.751


Logo D = {(x, y) ∈ R2/x2 + (y − 1)2 ≤ 1}, em coordenadas polares é:

D∗ = {(r, θ) ∈ R2/0 ≤ r ≤ 2 sen(θ), 0 ≤ θ ≤ π}.

O sólido W é limitado superiormente pelo parabolóide. V =

D(x2 + y2) dxdy. Uticoordenadas polares temos x2 + y2 = r2 e:

V =

D(x2 + y2) dxdy =

D∗

r3 dr dθ =

π

0 2sen(θ)

0r3 dr

dθ = 4

π

0sen4(θ) dθ

= −sen3(θ) cos(θ) − 32

cos(θ) sen(θ) +3 θ2

π0

=3π2

u.v.

[4] Calcule o volume do sólido limitado externamente por x2 + y2 + z2 = 25 e internamex2 + y2 = 9.




5

0

55

0

5

5

0

5

01

23

45

x

01

23

y

0

1

2

3

4

z

01

23

4

1


3 5

3

5

3 5

3

5


Pela simetria do sólido, calculamos o volume no primeiro octante e multiplicamos o resultadopor 8.

V = 8

D

25 − x2 − y2 dxdy,

onde D é a projeção do sólido no plano xy. Usando coordenadas polares obtemos a nova regiãoD∗ definida por: 3 ≤ r ≤ 5, 0 ≤ θ ≤ π

2e

25 − x2 − y2 = √25 − r2:

V = 8

D

25 − x2 − y2 dxdy = 8

π2

0

53

r

25 − r2 dr

dθ =

256π

3u.v.

[5] Calcule o volume do sólido limitado pelo elipsóidex2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1; a, b, c = 0.

Pela simetria do sólido calculamos o volume relativo ao primeiro octante; logo:

V = 8 c

D

1 −

x2

a2+

y2

b2 dxdy.

A região D é limitada pela porção de elipsex2

a2+

y2

b2= 1 no primeiro quadrante. Usemos

primeiramente a seguinte mudança: x = a u

y = b v;




o determinante Jacobiano da mudança é a b e D∗ é limitada por u2 + v2 = 1. Temos:

V = 8 c

D

1 −

x2

a2+

y2

b2

dxdy = 8 a b c

D∗

1 − u2 − v2 dudv.

Agora, usamos coordenadas polares:

u = r cos(θ)

v = r sen(θ).

O determinante Jacobiano é r;√

1 − u2 − v2 =√

1 − r2 e a nova região D∗∗ é defin0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ π

2:

V = 8 a b c

D∗∗

r

1 − r2 dr dθ =4 a b c π

3u.v.

Em particular, se a = b = c temos uma esfera de raio a e V =4 π a3

3u.v.

[6] Calcule +∞0

e−x2 dx.

Esta integral é muito utilizada em Estatística. Seja R = [−a, a] × [−a, a]. Então: R

e−(x2+y2) dxdy =

a

−a

a

−ae−x2 e−y2 dy

dx =

a

−ae−x2 dx

a

−ae−y2 dy

.

O gráfico de f (x, y) = e−(x2+y2) é:

Figura 9.19:

Se denotamos por L(a) = a

−a

e−u2 du = 2 a

0e−u2 du, temos:

L2(a) =

R

e−(x2+y2) dxdy.

Sejam D e D1 regiões elementares tais que D ⊂ R ⊂ D1 onde D é a região limitada peloinscrito em R e D1 é a região limitada pelo círculo circunscrito a R:




R

D1

D

Figura 9.20:

Como f (x, y) = e−(x2+y2) é contínua em D1 e e−(x2+y2) > 0, para todo x, y,

D

e−(x2+y2) dxdy ≤ L2(a) ≤

D1

e−(x2+y2) dxdy.

Usando coordenadas polares, D é definida por 0

≤r

≤a e 0

≤θ

≤2π, D1 é definida por

0 ≤ r ≤ √2 a e 0 ≤ θ ≤ 2π; e−(x2+y2) = e−r2 e:

2π

0

a

0r e−r2 dr

dθ = π (1 − e−a2);

então, π (1 − e−a2) ≤ L(a) ≤

π (1 − e−2a2).

Como lima

→+

∞ a

0e−u2 du =

+∞

0e−u2 du, temos:

+∞0

e−u2 du =

√π

2.

[7] Se D = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ (x − y)2 + (x + y)2 ≤ 4, y ≤ 0, x + y ≥ 0}, calcule:

D

ex+y

x−y

(x − y)2dxdy.

Usamos mudança linear: u = x − y

v = x + y.

Logo, a nova região D∗ é limitada pelas curvas u2 + v2 = 1, u2 + v2 = 4, v ≤ u e 0 ≤ v:




1 2

1

2

1 2

1

2

Figura 9.21: Região D.

∂ (u, v)

∂ (x, y)= 2 então

∂ (x, y)

∂ (u, v)=

1

2e

D

ex+y

x−y

(x − y)2dxdy =

1

2

D∗

evu

u2dudv.

Usando coordenadas polares obtemos a região D∗∗ definida por: 1 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤π

4

1

2

D∗

evu

u2dudv =

1

2

D∗∗

r etg(θ)

r2 cos2(θ)dr dθ =

ln(2)

2(e − 1).

9.3.2 Aplicação

Seja D região do tipo II, limitada por curvas de equações (em forma polar): r = g(θ) e re definida por:

D = {(r, θ)/g(θ) ≤ r ≤ h(θ), θ1 ≤ θ ≤ θ2},

onde g, h : [θ1, θ2] −→ R são funções contínuas tais que 0 ≤ g(θ) ≤ h(θ).

D

h

g

y

x

θ1

θ2

r

θ

D*

θ2

θ1

Figura 9.22:

Então: D

f (x, y) dxdy =

θ2

θ1

h(θ2)

g(θ1)r f (r, θ) dr

dθ




Em particular, a área de D é:

A(D) =

D

dxdy =1

2

θ2

θ1

(h(θ))2 − (g(θ))2

dθ

Exemplo 9.6.

[1] Calcule o volume do sólido limitado pelo cone z =

x2 + y2 e pelo cilindro r = 4 sen(θ),no primeiro octante.

Usando coordenadas polares temos que o cone escreve-se z = r; no plano r θ o cilindro projeta-se no círculo r = 4 sen(θ); logo 0 ≤ r ≤ 4 sen(θ) e 0 ≤ θ ≤ π

2 .

-2 -1 1 2

1

2

3

4

-2 -1 1 2

1

2

3

4

00.5

11.5

2x

01 2 3 4

y

0

1

2

3

4

z

00.5

11.5

1

Figura 9.23:

V =

D∗

r2 dr dθ =

π2

0

4 sen(θ)

0r2dr

dθ =

128

9u.v.

[2] Calcule a área da região limitada pelo interior do círculo r = 4 sen(θ) e pelo exterior do

círculo r = 2.

-2 2

-2

2

-2 2

-2

2

Figura 9.24:

Os círculos se intersectam em: θ = π6 e θ = 5π

6 e:

A(D) =1

2

5π6

π6

(16 sen2(θ) − 4) dθ =2π

3+ 2

√3

u.a.




[3] Calcule a área da região limitada por r = 2(1 + sen(θ)).

-2 -1 1 2

1

2

3

4

Figura 9.25:

0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo:

A(D) = 2

2π

0(1 + sen(θ))2dθ = 6πu.a.

[4] Calcule a área da região limitada por r = sen(3θ).

Figura 9.26:

0 ≤ θ ≤ 2 π. Logo:

A(D) =1

2

2π

0sen2(3θ) dθ =

π

2u.a.

9.4 Outras Aplicações da Integral Dupla

Como em uma variável, outras aplicações, além do cálculo de volumes, podem ser deatravés de integrais duplas, tais como, massa total, centro de massa e momento de inérc

9.4.1 Massa TotalSuponha que uma lâmina fina tem a forma de uma região elementar D e considerema massa está distribuida sobre D com densidade conhecida, isto é, existe uma funçf (x, y) > 0 em D que representa a massa por unidade de área em cada ponto (x, y) ∈a lâmina é feita de material homogêneo, a densidade é constante. Neste caso a massa t



9.4. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA 239

lâmina é o produto da densidade pela área da lâmina. Quando a densidade f varia de ponto aponto em D e f é uma função integrável sobre D, a massa total M (D) de D é dada por:

M (D) =

D

f (x, y) dxdy

9.4.2 Momento de MassaO momento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto de sua massa peladistância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos de massa da lâmina D em relação aoeixo dos x e dos y são respectivamente:

M x =

D

y f (x, y) dx dy, M y =

D

x f (x, y) dxdy

x

y (x,y) D

Figura 9.27:

9.4.3 Centro de Massa

O centro de massa da lâmina é definido por (x, y), onde:

x =M y

M (D), y =

M xM (D)

Fisicamente (x, y) é o ponto em que a massa total da lâmina poderia estar concentrada semalterar seu momento em relação a qualquer dos eixos. Se f (x, y) = k, (k > 0) em todo D, (x, y)é chamado centróide de D. Neste caso o centro de massa é o centro geométrico da região D.

Exemplo 9.7.

[1] Calcule o centro de massa do retângulo [0, 1] × [0, 1] se a densidade é dada pela função:f (x, y) = ex+y.

A massa total de D = [0, 1] × [0, 1] é:

M (D) =

10

10

ex+y dx

dy = e2 − 2e + 1.




Os momentos de massa respectivos são:

M x =

10

10

y ex+y dx

dy = e − 1 e M y =

10

10

x ex+y dx

dy = e − 1

e o centro de massa de D é (1

e − 1,

1

e − 1).

[2] Determine o centro de massa da região limitada por um semicírculo D de raio a cena origem, sabendo que sua densidade em cada ponto é proporcional à distância do porigem.

Figura 9.28:

f (x, y) = k

x2 + y2. Calculamos a massa total usando coordenadas polares. A novaD∗ é definida por: 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ π;

x2 + y2 = r:

M (D) = k

π

0

a

0r2 dr

dθ =

k π a3

3.

Os momentos de massa respectivos são:

M x = a

0

π

0r3 cos(θ) dθ

dr = 0 e M y =

a

0

π

0r3 sen(θ) dθ

dr = a

4

2;

o centro de massa de D é (0,3 a

2 k π).

[3] Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 x − x2.

1 2

4

2

1 2

4

2

Figura 9.29:



9.4. OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA 241

Neste caso f (x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, onde:

D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4 x − x2}

e M (D) = A(D) =8

3. Esta área já foi calculada anteriormente.

M x = 2

0

4x−x2

x2

y dy dx =16

3

e M y = 2

0

4x−x2

x2

x dy dx =8

3

;

o centróide de D é (2, 1).

[4] Determine o centro de massa da região limitada pelas curvas y = x + x2, y = 0 e x = 2 se adensidade em cada ponto é f (x, y) = y

1+x .

M (D) =

20

x(x+1)

0

y

1 + xdy

dx =

1

2

20

(x3 + x2) dx =10

3,

M x =

20

x(x+1)

0

y2

1 + xdy

dx =

1

2

20

(x4 + x3) dx =412

45,

M y = 2

0

x(x+1)

0

x y

1 + xdy dx =

1

3

2

0

(x5 + 2 x4 + x3) dx =26

5;

o centro de massa de D é (39

25,

206

75).

9.4.4 Momento de Inércia

Sejam L uma reta no plano, D uma lâmina como antes e δ(x, y) = d((x, y), L), onde d é adistância no plano e (x, y) ∈ D.

D

L(x,y)

δ

Figura 9.30:

Se f (x, y) é a densidade em cada ponto de D, o momento de inércia da lâmina em relação à retaL é:

I L =

Dδ2(x, y) f (x, y) dxdy

Em particular, se L é o eixo dos x:

I x =

D

y2 f (x, y) dxdy




Se L é o eixo dos y:

I y =

D

x2 f (x, y) dxdy

O momento de inércia polar em relação à origem é:

I 0 = I x + I y = D(x2 + y2) f (x, y) dxdy

O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo é sua capacidade de resistir àração angular em torno desse eixo.

Exemplo 9.8.

[1] Determine o momento de inércia polar da região limitada pelas curvas y = ex, x = e x = 0, se a densidade em cada ponto é f (x, y) = x y.

I x =

D

xy3 dxdy =

10

ex

0x y3 dy

dx =

1

64(3 e4 + 1),

I y = D

yx3 dxdy = 1

0

ex

0

y x3 dydx =1

16(e2 + 3);

logo, o momento de inércia polar é:

I 0 = I x + I y =1

64(3 e4 + 4 e2 + 13).

[2] Uma lâmina fina com densidade constante k é limitada por x2 + y2 = a2 e x2 + y(0 < a < b). Calcule o momento de inércia polar da lâmina.

Usando coordenadas polares, a nova região é definida por: a ≤ r ≤ b e 0 ≤ θ ≤ 2 π e o mde inércia polar é:

I 0 = k

2π

0

b

ar3 dr

dθ =

k (b4 − a4)π

2.

9.5 Exercícios

1. Determine o volume dos seguintes sólidos:

(a) Limitado superiormente por z = x2 + y2 e inferiormente pela região limitay = x2 e x = y2.

(b) Limitado superiormente por z = 3 x2 + y2 e inferiormente pela região limitay = x e x = y2 − y.

(c) Limitado por y2 + z2 = 4 , x = 2 y, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.(d) Limitado por z = x2 + y2 + 4 , x = 0, y = 0, z = 0 e x + y = 1.

(e) Limitado por x2 + y2 = 1 , y = z, x = 0 e z = 0, no primeiro octante.

2. Calcule a área da região limitada pelo eixo dos y e as curvas y = sen(x) e y = cos(

3. Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:




(a) y = x2, y = 2x + 54

(b) y = −x2 − 4, y = −8

(c) y = 5 − x2, y = x + 3

(d) x = y2, y = x + 3, y = −2, y = 3

(e) y3 = x, y = x

(f) y = −x2 − 1, y = −2x − 4

(g) x = y2 + 1, y + x = 7

(h) y = 4 − x2, y = x2 − 14

4. Determine o centro de massa da lâmina plana R, no plano xy e densidade dada f :

(a) R é limitado por x2 + y2 = 1 no primeiro quadrante e f (x, y) = x y

(b) R é limitado por y = x e y = x2 e f (x, y) = x2 + y2

5. Definimos o valor médio de f sobre a região D por:

V M =1

A

D

f (x, y) dxdy,

onde A é a área de D. Calcule V M se:

(a) f (x, y) = x2, e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)

(b) f (x, y) = x2 y2 e D do retângulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2) e (0, 2)

(c) f (x, y) = x2 y2 e D do triângulo de vértices (0, 0), (4, 0), e (0, 2)

(d) f (x, y) = x2 y2 e D do triângulo de vértices (−1, 0), (1, 0), e (0, 1)

Mudanças de Variáveis

1. Utilizando a mudança de variáveis: x = u + v e y = u − v, calcule:

10

10

x2 + y2

dx

dy.

2. Utilizando a mudança de variáveis: x + y = u e x − y = v, calcule: D

x + y

2(x − y)2 dxdy,

onde D é limitado pelo quadrado de vértices (1, 0), (2, 1) e (0, 1).

3. Utilizando a mudança de variáveis: u = x − y e v = x + y, calcule: D

x2 − y2

sen2(x + y) dxdy,

onde D = {(x, y)/ − π ≤ x + y ≤ π, −π ≤ x − y ≤ π}.

4. Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:




(a)

Dex2+y2 dxdy, sendo D = {(x, y)/x2 + y2 ≤ 1}

(b)

Dln(x2 + y2) dxdy, sendo D = {(x, y)/x ≥ 0, y ≥ 0, a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2}

(c)

D

sen(

x2 + y2)

x2 + y2dxdy, sendo D limitadas por x2 + y2 = π2

4 e x2 + y2 = π

5. Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas: x = 4 − y2 e x + 2 y − 4

6. Utilizando coordenadas polares, calcule a área da região limitada pelas curvas:

(a) r = 1 e r =2cos(θ)√

3(fora a circunferência r = 1).

(b) r = 2 (1 + cos(θ)) e r = 2 cos(θ).

(c) r = 2(1 − cos(θ)) e r = 2.

7. Calcule

Dsen(x2 + y2) dxdy, sendo D o disco unitário centrado na origem.

8. Sendo dadas a parábola y2 = x + 1 e a reta x + y = 1, calcule o momento de inérelação a cada eixo e o momento de inércia polar.



Capítulo 10

INTEGRAÇÃO TRIPLA

10.1 Integração Tripla sobre Paralelepípedos

Este capítulo é totalmente análogo ao anterior.

Sejam R ⊂ R3

o paralelepípedo retangular definido por R = [a, b] × [c, d] × [ p,q] e a funçãolimitada w = f (x,y,z) definida em R. Consideremos as seguintes partições de ordem n dosintervalos: [a, b], [c, d] e [ p,q]:

a = x0 < x1 < ...... . . . . . . < xn = b

c = y0 < y1 < ...... . . . . . . < yn = d

p = z0 < z1 < ...... . . . . . . < zn = q.

Subdividamos R em n3 sub-paralelepípedos Rijk = [xi, xi+1] × [y j, y j+1] × [zk, zk+1].

b

c d

a

p

q

R

Figura 10.1: Subdivisão de R.

Denotemos por ∆x =b − a

n, ∆y =

d − c

n, ∆z =

q − p

n. Escolhamos cijk ∈ Rijk e formemos a

245



246 CAPÍTULO 10. INTEGRAÇÃO T

seguinte soma de Riemann:

S n =

n−1i=0

n−1 j=0

n−1k=0

f (cijk )∆x ∆y ∆z.

Definição 10.1. Se limn→+∞S n existe e é independente da escolha dos cijk ∈ Rijk e da partição,

namos este limite de integral tripla de f sobre R e a denotamos por:

limn→+∞S n =

R

f (x,y,z) dx dy dz

Em tal caso f é dita integrável sobre R.

Teorema 10.1. Se f é contínua em R, então f é integrável sobre R.

Para a prova do teorema veja [EL].

No capítulo anterior vimos que se f (x, y) ≥ 0 e contínua para todo (x, y) ∈ [a, b] ×

integral dupla

R f (x, y) dxdy representa o volume do sólido:

W = {(x,y,z) ∈ R3 / (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], 0 ≤ z ≤ f (x, y)}.

Para integrais triplas esta interpretação geométrica não é conveniente, pois o gráfico desubconjunto de R4 o qual não é possível visualizar.

Mas se f (x,y,z) = 1 para todo (x,y,z) ∈ R: R

f (x,y,z) dx dy dz

representa o volume de R (veja o exemplo 1). Isto se justifica, pois a soma de Riemann

pondente:

S n =n−1i=0

n−1 j=0

n−1k=0

∆x ∆y ∆z

é a soma dos volumes dos n3 sub-paralelepípedos formado pela partição; então, limn→+

exatamente o volume de R.A integral tripla tem propriedades análogas às das integrais duplas.

Proposição 10.1. Seja x = (x,y,z) ∈ R.

1. Linearidade da integral tripla. Se f e g são funções integráveis sobre R, então pa

α, β ∈ R, α f + β g é integrável sobre R, e: R

α f (x) + β g(x)

dx dy dz = α

R

f (x) dx dy dz + β

R

g(x) dx dy d

onde x = (x,y,z).



10.1. INTEGRAÇÃO TRIPLA SOBRE PARALELEPÍPEDOS 247

2. Se f e g são integráveis sobre R e g(x) ≤ f (x), para todo x ∈ R, então: R

g(x) dx dy dz ≤

Rf (x) dx dy dz

3. Se R é subdividido em k paralelepípedos e f é integrável sobre cada Ri, i = 1,...,k então f éintegrável sobre R e,

R

f (x) dx dy dz =k

i=1

Ri

f (x) dx dy dz

A prova segue diretamente das definições.

A noção de conteúdo nulo poder ser estendida ao paralelepípedo R de forma completamenteanáloga ao caso do retângulo; mudando sub-retângulos por sub-paralelepípedos e área porvolume. Como antes, o teorema é válido se o conjunto de descontinuidades de f é de con-teúdo nulo. Para integrais triplas continua valendo o teorema de Fubini. Agora temos 3! = 9possíveis integrais iteradas.

Teorema 10.2. (Fubini) Seja f : R −→ R contínua em R. Então: R

f (x,y ,z) dx dy dz =

b

a

d

c

q

pf (x,y ,z) dz

dy

dx

=

q

p

d

c

b

af (x,y ,z) dx

dy

dz

=

d

c

b

a

q

pf (x,y ,z) dz

dx

dy

=

b

a

q

p

d

cf (x,y ,z) dy

dz

dx

= ..................

A prova do teorema de Fubini para integrais triplas é completamente análoga à das integraisduplas, que pode ser vista no apêndice.

Exemplo 10.1.

[1] Calcule

Rdx dy dz, onde R = [a, b] × [c, d] × [ p,q].

R

dx dy dz =

b

a

q

p

d

cdy

dz

dx = (d − c) (q − p) (b − a),

que é o volume de R.

[2] Calcule

Rxyz dx dy dz, onde R = [0, 1] × [1, 2] × [0, 3].

R

xyz dx dy dz =

21

10

30

xyz dz

dx

dy =

9

2

21

10

x y d x

dy =

27

8.




[3] Calcule

Rsen(x + y + z) dx dy dz, onde R = [0, π] × [0, π] × [0, π].

R

sen(x + y + z) dx dy dz =

π

0

π

0

π

0sen(x + y + z) dz

dx

dy = −8.

[4] Calcule R

(x2 + y2 + z2 + x y z) dx dy dz, onde R = [0, 1]

×[0, 1]

×[0, 1].

R

(x2 + y2 + z2 + x y z) dx dy dz =

10

10

10

(x2 + y2 + z2 + xyz) dz

dx

d

=

10

10

(x2 + y2 +1

3+

1

2x y)) dx

dy

=

10

(2

3+

y

4+ y2) dy =

9

8.

10.2 Integrais Triplas sobre Regiões mais Gerais

10.2.1 7.2.1 Regiões Elementares no Espaço

De forma análoga ao estudado no capítulo das integrais duplas definidas em regiõegerais. Consideremos W ⊂ R3.

Regiões de tipo I

A região W é do tipo I se pode ser descrita por:

W = {(x,y,z) ∈ R3/(x, y) ∈ D, f 1(x, y) ≤ z ≤ f 2(x, y)}

onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano xy e f 1, f 2 : D −→ R consendo f 1 ≤ f 2.

D

W

z=f

z=f

2

1

Figura 10.2: Região de tipo I.



10.2. INTEGRAIS TRIPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS 249

Regiões de tipo II

W é do tipo II se pode ser descrita por:

W = {(x,y,z) ∈ R3/(x, z) ∈ D, g1(x, z) ≤ y ≤ g2(x, z)}

onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano xz e g1, g2 : D

−→R contínuas,

sendo g1 ≤ g2.

W

y=gy=g

2

1D


Regiões de tipo III

W é do tipo III se pode ser descrita por:

W = {(x,y ,z) ∈ R3/(y, z) ∈ D, h1(y, z) ≤ x ≤ h2(y, z)}

onde D é a região elementar do plano, projeção de W no plano yz e h1, h2 : D −→ R contínuas,sendo h1 ≤ h2.

W

D

x=hx=h 12

Figura 10.4: Região de tipo III.




A região W é de tipo IV se é do tipo I, ou tipo II, ou tipo III, como por exemplo região lipor uma esfera, ou por um elipsóide.

Em qualquer dos casos anteriores, W é chamada região elementar do espaço. As regsão conjuntos fechados e limitados em R3. Alguns exemplos de regiões elementares:

Figura 10.5: Regiões elementares do espaço.

10.3 Extensão da Integral TriplaSeja W uma região elementar em R3 tal que W ⊂ R, R um paralelepípedo como anf : W −→ R é uma função contínua, definamos f ∗ : R −→ R por

f ∗(x,y ,z) =

f (x,y,z) se (x,y,z) ∈ W

0 se (x,y,z) ∈ R − W.

Se ∂W tem conteúdo nulo, então, f ∗ é integrável sobre R e definimos a integral tripsobre W como:

W

f (x,y,z) dx dy dz = R

f ∗(x,y,z) dxdy dz.

Em tal caso dizemos que f é integrável sobre W . A integral não depende da escolha dlelepípedo R.

Proposição 10.2. Seja f : W ⊂ R3 −→ R contínua.

1. Se W é do tipo I:

W

f (x,y,z) dx dy dz =

D

f 2(x,y)

f 1(x,y)f (x,y,z) dz

dxdy

2. Se W é do tipo II:

W


D

g2(x,z)

g1(x,z)f (x,y,z) dy

dxdz



10.3. EXTENSÃO DA INTEGRAL TRIPLA 251

3. Se W é do tipo III:

W


D

h2(y,z)

h1(y,z)f (x,y,z) dx

dy dz

Observe que em todos os casos anteriores D é uma região elementar do plano e, portanto, pode

ser do tipo I, II ou III; dependendo do tipo continuamos com a integral dupla.

Volume : Em particular, se f (x,y,z) = 1 para todo (x,y,z) ∈ W , então:

W

dx dy dz = V (W )

onde V (W ) é o volume de W .

Exemplo 10.2.

[1] Calcule I = 20 4−x2

0 x

0

sen(2 z)

4 − z dy dz dx.

Note que I =

D

x

0

sen(2 z)

4 − zdy

dz dx, onde D = {(x, z) / 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − x2}:

2

4

2

4

Figura 10.6:

Calculamos primeiro x

0

sen(2 z)

4 − zdy =

xsen(2 z)

4 − z; a seguir, precisamos calcular:

D

xsen(2 z)

4 − zdz dx,

onde consideramos D = {(x, z) / 0 ≤ x ≤ √4 − z, 0 ≤ z ≤ 4} como uma região de tipo III;

logo,I =

40

√4−z

0

xsen(2 z)

4 − zdxdz =

40

sin(2 z)

2dz =

1 − cos(8)

4.

[2] Calcule o volume do sólido limitado por z + x2 = 9, z + y = 4, y = 0 e y = 4.

O sólido é limitado superiormente por z = 9 − x2 e inferiormente por z = 4 − y. W é do tipo I.




-5-2.5

02.5

5

-5

0

5

10

0

2

4

6

8

10

-5-2.5

02.5

x

y


W = {(x,y,z) ∈ R3/(x, y) ∈ D, 4 − y ≤ z ≤ 9 − x2},

Determinação de D: A região D é a projeção de W no plano xy; para determinar Deliminarmos z das equações ou, equivalentemente achar a interseção de ambas as supe

z = 9 − x2

z = 4 − y;

obtemos x2 = y + 5 e D = {(x, y) ∈ R2/ − √y + 5 ≤ x ≤ √

y + 5, 0 ≤ y ≤ 4}.

-3 3

4

-3 3

4


Logo, V (W ) =

W

dx dy dz =

40

√y+5

−√y+5

9−x2

4−ydz

dx

dy; então:

V (W ) = 4

0

√y+5

−√y+55

−x2 + y dx dy =

4

05x

−x3

3

+ x y√

y+5

−√y+5

dy

=4

3

40

(y + 5)32 dy =

8

15(y + 5)

52

30

=648

5− 40

√5

3u.v.




[3] Calcule

W xdxdydz onde W é limitado por z = x2 + y2, z = 2, no primeiro octante.

Se considerarmos W como região de tipo II, W é definida por 0 ≤ y ≤ √z − x2 e D é a projeção

de W no plano xz; fazendo y = 0 obtemos a parábola z = x2 e z = 2; logo, D é definida por0 ≤ x ≤ √

z e 0 ≤ z ≤ 2.

0

1

2

3x

01

23

y

0

1

2

3

4

z

0

1

2

01

2

1

2

1

1

2

1

Figura 10.9: O sólido e a região do exemplo [2].

W

x dx dy dz =

20

√z

0

√z−x2

0x dy

dx

dz

=

20

√z

0

x

z − x2

dx

dz

=1

3

20

z32 dz

=8√

2

15

.

10.4 Exercícios

1. Calcule as seguintes integrais:

(a) 30

20

10

(x2 + y2 + z2) dx dy dz

(b) 1−1

1−1

1−1

x2 y2 z2 dx dy dz

(c) 10 x

0 xy

0 xdzdydx

(d) 40

π

0

1−x

0x2 sen(y) dz dx dy

(e) π

2

0

y

0

1y

0sen(y) dz dx dy




(f) 1−2

x

0

y

0x2 z4 dz dy dx

2. Considere o sólido limitado por x + y + z = 3, x + y − z = 1 e os planos coordCalcule o volume do sólido, fazendo:

(a)

dz

dy

dx

(b)

dx

dy

dz

(c)

dy

dx

dz

(d)

dx

dz

dy

3. Calcule

W x dx dy dz se W é o paralelepípedo limitado pelos planos x = 2, yz = 1.

4. Calcule

W z2 dx dy dz se W é o sólido limitado pelo cilindro x2+y2 = 1 e pelos

z = 0 e z = 4.

5. Calcule

W

dx dy dz

(x + y + z + 1)3se W é o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1

planos coordenados.

6. Calcule

W (x3 + y3 + z3) dx dy dz se W é o sólido limitado pela esfera:

(x − a)2 + (y − a)2 + (z − a)2 = a2.

7. Calcule

W z

x2 + y2 dx dy dz se W é o sólido limitado pelo cilindro x2 + y2

os planos y = 0, z = 0 e z = a.

8. Determine o volume do sólido limitado pelos planos 4 y + 2 x + z = 8, x = 0, yz = 0.

9. Determine o volume do sólido limitado por z = 9 − x2, z = 5 − y, y = 0 e y = 5.



Capítulo 11

MUDANÇA DE COORDENADAS

11.1 Introdução

Sejam W ∗ uma região elementar no espaço e x, y e z as seguintes funções:

x, y, z : W ∗ −→ R,

onde x = x(u,v,w), y = y(u,v,w) e z = z(u,v,w) são funções contínuas e com derivadas par-ciais contínuas num paralelepípedo aberto R tal que W ∗ ⊂ R, Estas três funções determinamuma transformação do espaço uvw no espaço xyz. De fato:

T : W ∗ −→ R3,

onde T (u,v,w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)).

A transformação T é também denotada por:

x = x(u,v,w)

y = y(u,v,w)

z = z(u,v,w), (u,v,w) ∈ W ∗Denotemos a imagem de W ∗ por T como W = T (W ∗), contida no espaço xyz.

Definição 11.1.

1. T é injetiva em W ∗ se T ((u1, v1, w1)) = T ((u2, v2, w2)) para todos (u1, v1, w1), (u2, v2, w2) ∈W ∗ implica em u1 = u2, v1 = v2 e w1 = w2.

2. O determinante Jacobiano de T é denotado e definido por:

∂ (x,y,z)∂ (u,v,w)

= det

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z

∂u

∂z

∂v

∂z

∂w

,

onde as derivadas parciais são calculadas no ponto (u,v,w) ∈ W ∗.

255




Teorema 11.1. Sejam W e W ∗ regiões elementares no espaço, T uma transformação de clasinjetiva em W ∗. Suponha que T (W ∗) = W . Então para toda função integrável f sobre W temo

W


W ∗

f (u,v,w)

∂ (x,y ,z)

∂ (u,v,w)

du dv dw

onde f (u,v,w) = f (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) e ∂ (x,y,z)

∂ (u,v,w) é o valor absoluto do determ

Jacobiano.

Novamente, é possível mostrar que o teorema anterior é ainda válido se T não é injetivsubconjunto de W ∗ que seja de conteúdo nulo.

11.2 Coordenadas Cilíndricas

Se P = (x,y,z) é um ponto no espaço xyz, suas coordenadas cilíndricas são (r,θ,z), ondsão as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e são definidas por:

x = r cos(θ),

y = r sen(θ),

z = z,

ou, explicitamante r =

x2 + y2, z = z e:

θ =

arctgy

x

se x, y > 0,

π + arctgy

x

se x < 0,

2π + arctg

y

xse x > 0, y < 0.

Se x = 0, então θ =π

2quando y > 0 e θ =

3π

2quando y < 0. Se x = y = 0, θ não é defin

(x,y,z)

rθ

(x,y,0)

Figura 11.1: Coordenadas cilíndricas.



11.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS 257

Esta transformação é injetiva no seguinte subconjunto:

{(r,θ,z)/r > 0, θ0 < θ < θ0 + 2π, z ∈ (−∞, +∞)}e o jacobiano da transformação é:

∂ (x,y,z)

∂ (r,θ,z)= r

Exemplo 11.1.

[1] O cilindro circular reto C de raio a: C = {(x,y,z) ∈ R3/ x2 + y2 = a2, z ∈ (−∞, +∞)}.

Em coordenadas cilíndricas x2 + y2 = r2; logo r = a, então:

C = {(r,θ,z) ∈ R3/ r = a, 0 ≤ θ ≤ 2 π, z ∈ (−∞, +∞)}.

[2] O cone com base num disco D de raio 1.5 centrado na origem e altura 3.

Em coordenadas cilíndricas:

z = z, 0 ≤ r ≤ 3

2, 0 ≤ θ ≤ 2 π

logo, o cone em coordenadas cilíndricas:

S = {r,θ,z) ∈ R3/ 0 ≤ r ≤ 3

2, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 < z < 3}.

0

1

2

3

Figura 11.2: O cone do exemplo [2].

Do teorema anterior:

Corolário 11.2. Seja f (r,θ,z) = f (r cos(θ),rsen(θ), z) ; então:

W f (x,y,z) dx dy dz =

W ∗r f (r,θ,z) dr dz dθ

Esta igualdade ainda é válida se W ∗ = {(r,θ,z)/r ≥ 0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 2π, z ∈ (−∞, +∞)}. Em particular, se f (x,y,z) = 1 para todo (x,y,z, ) ∈ W , então:

V (W ) =

W ∗

rdzdrdθ.




Exemplo 11.2.

[1] Determine o volume do sólido limitado por x2 + y2 = a2, z = 0 e z = b; a, b = 0.

O sólido W é um cilindro centrado na origem, de raio a e altura z tal que 0 ≤ z ≤ b. U

coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗ definida por: 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ0 ≤ z ≤ b:

V (W ) =

W

r dz dr dθ =

b

0

2π

0

a

0r dr

dθ

dz = π a2 b u.v.

[2] Calcule

W x dx dy dz, onde W é limitado por x = 0, y = 0, z = 4 e z = x2 + y2.

O sólido W é definido por x2 + y2 ≤ z ≤ 4. Usando coordenadas cilíndricas obtemosregião W ∗ definida por: r2 ≤ z ≤ 4, 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ π

2 ; D é a projeção do parabolplano xy, no primeiro quadrante:

0

1

2

3x

0

12

3y

0

1

2

3

4

z

0

1

2

0

12

1 2

2

1

1 2

2

1

Figura 11.3: O sólido e a região do exemplo [2], respectivamente.

W

xdxdydz = W ∗

r2 cos(θ) dz dr dθ = π2

0

2

0

4

r2r2 cos(θ)dz drdθ =

6

1

[3] Calcule

W

x2 + y2 dx dy dz, onde W é o sólido limitado por x2 + y2 = 1, z = 1−

abaixo do plano z = 4.



11.2. COORDENADAS CILÍNDRICAS 259

Figura 11.4: Vistas do sólido do exemplo [3].

W é determinado por 1 − x2 − y2 ≤ z ≤ 4. A projeção no plano xy é limitada por x2 + y2 ≤ 1.

1-1

-1

1

1-1

-1

1


Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗ determinada por: 1 − r2 ≤ z ≤ 4,0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π; logo:

W x2 + y2 dx dy dz =

2π

0 1

0 4

1−

r2r2 dz drdθ =

12 π

5.

[4] Calcule

W z dxdy dz, onde W é limitado por z =

8 − x2 − y2 e z =

x2 + y2.





W é determinado por

x2 + y2 ≤ z ≤

8 − x2 − y2. A projeção no plano xy é limitax2 + y2 ≤ 4. Usando coordenadas cilíndricas obtemos a nova região W ∗ determinar ≤ z ≤ √

8 − r2, 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π; logo:

W

z dxdy dz =

20

2π

0

√8−r2

rr z d z

dθ

dr = 8 π.

[5] Determine o volume do sólido limitado por uma esfera de raio a.

Pela simetria do sólido calculamos o volume da calota superior da esfera e multiplicamsultado por 2. O sólido é definido por 0 ≤ z ≤

a2 − x2 − y2. Usando coordenadas cilí

temos que o novo sólido é definido por 0 ≤ z ≤ √a2 − r2, 0 ≤ r ≤ a e 0 ≤ θ ≤ 2 π; logo

V (W ) = 2

W

dx dy dz = 2

a

0

2π

0

√a2−r2

0r dz

dθ

dr =

4

3π a3u.v.

[6] Determine o volume do sólido limitado por z =

1 − x2 − y2 e z + 1 =

x2 + y2.




11.3. COORDENADAS ESFÉRICAS 261

W é definido por

x2 + y2 − 1 ≤ z ≤

1 − x2 − y2. Usando coordenadas cilíndricas temosque o novo sólido é definido por r − 1 ≤ z ≤ √

1 − r2, 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π; logo:

V (W ) =

W

dx dy dz = 2

10

2π

0

√1−r2

r−1r dz

dθ

dr = πu.v.

[7] Determine o volume do sólido limitado por z = 9 − x2 − y2 e z = 1 + x2 + y2.


W é definido por 1 + x2 + y2 ≤ z ≤ 9 − x2 − y2. Usando coordenadas cilíndricas temos que onovo sólido é definido por 1 + r2 ≤ z ≤ 9 − r2, 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π; logo:

V (W ) =

W dx dy dz =

2π

0

20

9−r2

1+r2r dz

dr

dθ = 16 πu.v.

11.3 Coordenadas Esféricas

Seja P = (x,y,z) um ponto no espaço xyz. Suas coordenadas esféricas são (ρ,θ,φ) onde ρ é adistância do ponto P à origem, θ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento dereta que liga (0, 0, 0) a (x,y, 0) e φ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento dereta que liga P à origem:

x = ρsen(φ) cos(θ)y = ρsen(φ) sen(θ)

z = ρcos(φ),

onde ρ =

x2 + y2 + z2 > 0, 0 ≤ θ < 2 π e 0 ≤ φ ≤ π, o que define uma região no espaço ρθφ.




(x,y,z)

(x,y,0)

θ

φ

Figura 11.9: Coordenadas esféricas.

O jacobiano da transformação é:

∂ (x,y,z)∂ (ρ,θ,φ)

= −ρ2 sen(φ)

Exemplo 11.3.

[1] Em coordenadas esféricas uma esfera de raio a é:

S = {(ρ,φ,θ) ∈ R3/ρ = a, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.

[2] Os cones circulares com eixos coincidentes com o eixo dos z são caracterizados por:

S = {(ρ,φ,θ) ∈ R3 / ρ ∈ [0, +∞), φ = c0, 0 ≤ θ ≤ 2 π},

onde c0 ∈ R.

Casos particulares:

Se c0 = 0 e φ = 0, S representa o semi-eixo positivo dos z.

Se c0 = π e φ = π, S representa o semi-eixo negativo dos z.

Se c0 = π2 e φ = π

2 , S representa o plano xy.

Se 0 < c0 < π2 e φ = c0, o cone "abre"para cima.

Se π2 < c0 < π e φ = c0, o cone "abre"para baixo.

[3] O sólido limitado por x2 + y2 + z2 ≥ 1 e x2 + y2 + z2 ≤ 4 em coordenadas esféricaspor:

W = {(ρ,φ,θ) ∈ R3 / ρ ∈ [1, 2], 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2 π}.



11.3. COORDENADAS ESFÉRICAS 263

2

1

0

1

2

21 0 1 2

2

1

0

1

2


Do teorema anterior:

Corolário 11.3. Seja f (ρ,θ,φ) = f (ρcos(θ)sen(φ),ρsen(θ)sen(φ), ρcos(φ)), então:

W


W ∗

ρ2sen(φ) f (ρ,θ,φ) dρ dθ dφ

Esta igualdade ainda é válida se W ∗ = {(ρ,θ,φ) / ρ ∈ [0, +∞), 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ π}. Em particular, se f (x,y,z) = 1 para todo (x,y,z, ) ∈ W , então:

V (W ) =

W ∗

ρ2sen(φ) dρdθ dφ

Exemplo 11.4.

[1] Calcule o volume do sólido limitado por uma esfera de raio a centrada na origem.

W

dx dy dz =

a

0

π

0

2π

0ρ2sen(φ) dθ

dφ

dρ

= 2π

a

0

π

0ρ2sen(φ) dφ

dρ

=2

3πa3

π

0sen(φ) dπ

=4

3πa3u.v.

[2] Calcule

W e√

(x2+y2+z2)3dx dy dz onde W é o sólido limitado por x2 + y2 + z2 = 1.

Usando coordenadas esféricas temos 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ φ ≤ π, que define uma região




no espaço ρθφ. Por outro lado e√

(x2+y2+z2)3 = eρ3

W

e(x2+y2+z2)32 dx dy dz =

10

π

0

2π

0ρ2 eρ3 sen(φ) dθ

dφ

dρ

= 2π

10

π

0

ρ2eρ3sen(φ)

dφ

dρ

= 4π 10

ρ2eρ3 dρ

=4

3π(e − 1).

[3] Calcule

W

x2 + y2 + z2dx dy dz onde W é o sólido limitado inferiormente por

z =

x2 + y2 e superiormente por x2 + y2 + (z − 1

2)2 =

1

4.

0

0

0

1

0

0


A esfera x2 + y2 + (z −1

2 )2 =1

4 , em coordenadas esféricas, tem como equação: ρ = cos

cone: φ =π

4; logo, 0 ≤ ρ ≤ cos(φ), 0 ≤ φ ≤ π

4e 0 ≤ θ ≤ 2 π:

W

x2 + y2 + z2dx dy dz =

π4

0

cos(φ)

0

2π

0ρ3 sen(φ) dθ

dρ

dφ

= 2π

π4

0

cos(φ)

0ρ3 sen(φ) dρ

dφ

=π

2

π4

0cos4(φ) sen(φ) dφ

=π

10 (1 −√

2

8 ).

[4] Calcule

W e(x2+y2+z2)

32 dx dy dz onde W é o sólido limitado pela esfera centrada

gem de raio 4 e os cones z =

3(x2 + y2) e z =

x2 + y2

3.




-4-2

02

4

-4

-2

0

2

40

1

2

3

4

0

1

2


Usando coordenadas esféricas a equação da esfera x2 + y2 + z2 = 16 é ρ = 4 e as dos cones

z = 3(x2 + y2) e z = x2 + y2

3são, φ =

π

6e φ =

π

3, respectivamente; logo, a região no

espaço ρθφ é definida por: 0 ≤ ρ ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2π eπ

6≤ φ ≤ π

3:

W

e(x2+y2+z2)32 dx dy dz =

2π

0

π3

π6

40


dφ

dθ =

π

3(√

3 − 1)(e64 − 1).

11.4 Exercícios

1. Faça a mudança de variável necessária para calcular as seguintes integrais:

(a) 2−2

√4−x2

−√4−x2

4x2+y2

xdzdydx.

(b) 20

√4−x2

0

√16−x2−y2

0

x2 + y2 dz dy dx.

(c) 1−1

√1−x2

−√1−x2

1+√1−x2−y2

1xdz dydx.

(d) 10

√1−x2

0

√1−x2−y2

0 x2 + y2 + z2 dz dy dx.

2. Calcule:

(a)

W xdxdydz, onde W é o sólido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 2 e peloparabolóide z = x2 + y2.




(b)

W xdxdydz, onde W é o sólido limitado pelo parabolóide x = 4 z2 + 4 y2

plano x = 4.

(c)

W 6 xy dxdy dz , onde W está acima da região plana limitada pelas curvas yy = 0, x = 1 e abaixo do plano z = 1 + x + y.

(d)

W xy dxdy dz, onde W é o tetraedro de vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 2, 0) e

3. Determine o volume:

(a) do sólido limitado pelo cilindro x = y2 e pelos planos z = 0 e x + z = 1.

(b) do sólido limitado pelo cilindro y = cos(x) e pelos planos z = y, x = 0, xz = 0.

4. O valor médio de uma função w = f (x,y ,z) sobre a região W é definido por:

V M =1

vol(W )

W

f (x,y,z) dxdy dz.

Determine o valor médio da função f (x,y,z) = x y z sobre o cubo com lados de cmento L que está no primeiro octante com um vértice na origem e arestas paraleeixos coordenados.

5. Calcule, usando coordenadas cilíndricas:

(a)

W

x2 + y2 dx dy dz, onde W é a região contida dentro do cilindro x2 +

e entre os planos z = −5 e z = 4.

(b)

W x2 + y2

dx dy dz, onde W é o cone

x2 + y2 ≤ z ≤ 1.

(c)

W

1 +

x2 + y2

dx dy dz, onde W = {(x,y,z) ∈ R3 /

x2 + y2 ≤ z ≤ 1

6. Calcule, usando coordenadas esféricas:

(a)

W

x2 + y2 + z2 dx dy dz, onde W é o sólido limitado por abaixo pelo co

π6 e acima pela esfera ρ = 2.

(b)

W

x2 + y2 + z2

dx dy dz, onde W = {(x,y,z) ∈ R3 / x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

(c)

W

dxdydz x2 + y2 + z2

3 , onde W é o sólido limitado pelas esferas x

2

+ y2

+

e x2 + y2 + z2 = b2, (a < b).

(d)

W

dx dy dz

z2, onde W é o sólido limitado pelas superfícies

z =

x2 + y2, z =

1 − x2 − y2 e z =

4 − x2 − y2.




(e)

W

x2 + y2 + z2 dx dy dz, onde

W = {(x,y,z) ∈ R3 / x2 + y2 + z2 ≤ 2 z , 1 ≤ z}.

7. Calcule o volume do sólido limitado:

(a) Por z = 4 − x2 − y2 e pelo plano xy.(b) Por z = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = 2.

(c) Por z = x2 + 9 y2 e z = 18 − x2 − 9 y2.

(d) Por z = 2 x2 + 2 y2 e z = 48 − x2 − y2.

8. Calcule

W

x2

a2+

y2

b2+

y2

c2

dx dy dz, onde a, b, c > 0 e o sólido definido por:

W = {(x,y,z) ∈ R3 / x2

a2+ y2

b2+ y2

c2≤ 1}.

9. Calcule

W x y z d x d y d z, onde W é formado pelo primeiro octante do elipsóide do

exercício anterior, (x, y, z ≥ 0).

10. Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule:

(a)

W (x2 + y + z2)3 dx dy dz, onde W é o sólido limitado pelo cilindro x2 + z2 = 1 e

pelos planos y = 0 e y = 1.

(b)

W (x2 + y2) dx dy dz, onde W é o sólido limitado por 2 z = x2 + y2 e z = 2.

(c)

W dx dy dz, onde W é o sólido limitado por x2

+ y2

+ z2

= 2 R z, x2

+ y2

= z2

eque contem o ponto (0, 0, R).

11. Utilizando coordenadas esféricas, calcule:

(a)

W (x2 + y2) dx dy dz, onde W = {(x,y,z) ∈ R3 / x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ 0}.

(b)

W

1 + (x2 + y2 + z2)3/2 dx dy dz, onde W = {(x,y ,z) ∈ R3 / x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

(c)

W x2 + y2 + z2 dx dy dz, onde W = {(x,y,z) ∈ R3 / x2 + y2 + z2 ≤ x}.

(d)

W adxdydz, onde W = {(x,y,z) ∈ R3 / x2 + y2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0}.

12. Calcule o volume do sólido limitado:

(a) pelo cilindro x2 + 4 y2 = 4 e pelos planos z = 0 z = x + 2




(b) pelo parabolóide z = x2 + y2 e pelo plano z = x

(c) pelos parabolóides z = 9 x2 + y2 e z = 18 − 9 x2 − y2

(d) pelas superfícies z =

x2 + y2 e z = x2 + y2

(e) pela superfície z = 4 − 4 x2 − y2 e o plano xy

(f) pelos cilindros x2 + z2 = 1 e y2 + z2 = 1.(g) pelos planos z = 0, y = 0, z = x e pelo cilindro x2 + y2 = 9

13. Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w = f (a massa de W é definida por:

M W =

W

f (x,y,z) dx dy dz.

As coordenadas do centro de massa do sólido W são definidas por:

x =

W

x f (x,y,z) dx dy dz

M W , y =

W

y f (x,y,z) dx dy dz

M W

e

z =

W

z f (x,y,z) dx dy dz

M W

(a) Calcule a massa de W = {(x,y,z) ∈ R3 / x2 + y2 ≤ 9, 0 ≤ z ≤ 9 − x2 − ydensidade é f (x,y ,z) = z

(b) Calcule o centro de massa do sólido limitado por z2 = x y, x = 5, y = 5 e z =densidade é f (x,y ,z) = 1

(c) Calcule o centro de massa do sólido limitado pela esfera x2 + y2 + z2 = a2 e acima do plano z = 0, sabendo que a densidade em cada ponto é proporcdistância do ponto ao centro da esfera.

(d) Se a densidade num ponto de uma estrla esférica gaseosa é dada por f = C eonde C > 0, R é o raio da estrela e ρ é a distância do ponto ao centro da Calcule a massa da estrela

14. Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w = f (então os momentos de inércia em torno dos eixos coordenados são definido por:

I x =

W

(y2 + z2) f (x,y,z) dx dy dz, I y =

W

(x2 + z2) f (x,y ,z) dx dy

e

I z =

W

(x2 + y2) f (x,y ,z) dx dy dz

Determine o momento de inércia de cada sólido em relação ao eixo indicado suque a densidade é K constante.

(a) W = {(x,y,z) ∈ R3 / x2 + y2 ≤ a2, 0 ≤ z ≤ h} em relação ao eixo dos x

(b) W = {(x,y,z) ∈ R3 / a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2, 0 ≤ z ≤ h} em relação ao eixo dos z



Capítulo 12

APÊNDICE

12.1 Limite e Continuidade

Teorema 12.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. Se o limite de f quando x aproxima-se de x0existe, então ele é único.

Suponha que limx→x0f (x) = L e limx→x0f (x) = M . Então, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que0 < x− x0 < δ implica em |f (x) − L| <

ε

2e |f (x) − M | <

ε

2. Como x0 ∈ A ∪ ∂A, podemos

escolher x ∈ A tal que 0 < x− x0 < δ, o que acarretará:

|L − M | ≤ |L − f (x)| + |f (x) − M | <ε

2+

ε

2= ε.

Como ε é arbitrário, L = M .

12.2 Diferenciabilidade

Teorema 12.2. Seja f : A ⊂ Rn

−→ R uma função definida no conjunto aberto A tal que existemtodas as derivadas parciais em cada ponto de A e cada uma delas é contínua no ponto x0 ∈ A. Então f édiferenciável em x0.

Faremos a prova do teorema para n = 2. O caso geral é análogo. Sejamx0 = (x0, y0) e h = (h, k)tal que x0 + h ∈ A. Denotemos por M = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0); então:

M = (f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0 + k)) + (f (x0, y0 + k) − f (x0, y0)).

Definamos a função g(t) = f (x0 + t h , y0 + k), t ∈ [0, 1]; pelo teorema do valor médio parafunções de uma variável, existe θ1 ∈ (0, 1) tal que g(1) − g(0) = g′(θ1), ou equivalentemente:

f (x0

+ h, y0

+ k)−

f (x0

, y0

+ k) = h∂f

∂x(x

0+ θ

1h, y

0+ k).

Definamos a função h(t) = f (x0, y0 + t k), t ∈ [0, 1]; pelo teorema do valor médio para funçõesde uma variável, existe θ2 ∈ (0, 1) tal que h(1) − h(0) = h′(θ2) ou:

f (x0, y0 + k) − f (x0, y0) = k∂f

∂y(x0, y0 + θ2 k).

269



270 CAPÍTULO 12. APÊ

Então M = h∂f

∂x(x0 + θ1 h, y0 + k) + k

∂f

∂y(x0, y0 + θ2 k), ou:

f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0) = h∂f

∂x(x0 + θ1 h, y0 + k) + k

∂f

∂y(x0, y0 + θ2 k).

Denote por: K = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0, y0) − h∂f

∂x(x0, y0) − k

∂f

∂y(x0, y0),

L = ( ∂f ∂x

(x0 + θ1 h, y0 + k) − ∂f ∂x

(x0, y0)) e S = (∂f ∂y

(x0, y0 + θ2 k) − ∂f ∂y

(x0, y0)). Então

|K |√h2 + k2

≤ |h|√h2 + k2

|L| +|k|√

h2 + k2|S |.

0 ≤ |h|√h2 + k2

≤ 1 e 0 ≤ |k|√h2 + k2

≤ 1. Pela continuidade das derivadas parciais no po

segue que f é diferenciável no ponto x0.

Proposição 12.1. Se f é diferenciável no ponto x0, então f é contínua em x0.

(n = 2). O caso geral é análogo. Devemos provar, que para todo ε > 0 existe δ > 0

|f (x, y)

−f (x0, y0)

|< ε se 0 <

x

−x0

< δ. Se f é diferenciável no ponto x0, então, para

existe δ1 > 0 tal que:

|f (x, y) − f (x0, y0) − ∂f

∂x(x0)(x − x0) − ∂f

∂y(x0)(y − y0)| < x− x0,

se 0 < x − x0 < δ1. Denotaremos por: k(x, y) = ( ∂f ∂x (x0, y0) (x − x0) + ∂f

∂y (x0, y0) (yentão:

|f (x, y) − f (x0, y0)| = |f (x, y) − f (x0, y0) − k(x, y) + k(x, y)|≤ |f (x, y) − f (x0, y0) − k(x, y)| + |k(x, y)|< x− x0 + |k(x, y)|.

Por outro lado, ∂f

∂x(x0)(x − x0)

≤ ∂f

∂x(x0)

(x − x0)2 + (y − y0)2,

∂f

∂y(x0)(y − y0)

≤ ∂f

∂y(x0)

(x − x0)2 + (y − y0)2.

Denotemos por M o maior entre |∂f

∂x(x0)| e |∂f

∂y(x0)|. Teremos: |k(x, y)| ≤ 2 M x− x0

|f (x, y) − f (x0, y0)| < (2 M + 1) x− x0.

Dado ε > 0, seja δ = min{δ1,ε

2 M + 1}; se x− x0 < δ, temos |f (x, y) − f (x0, y0) < ε.

Teorema 12.3. (Schwarz) Se f : A ⊂ Rn −→ R é uma função de classe C 2 no ponto x0, entodo i, j = 1.....n tem-se:

∂

∂x j

∂f

∂xi(x0)

=

∂

∂xi

∂f

∂x j(x0)

,

para i = j.




Faremos a prova do teorema para n = 2. O caso geral é análogo. Consideremos x0 = (x0, y0).Sejam ε > 0 tal que (x0 − ε, x0 + ε) × (y0 − ε, y0 + ε) ⊂ A e t ∈ (−ε, ε). Definamos as funções:

φ(t) = f (x0 + t, y0 + t) − f (x0 + t, y0) − f (x0, y0 + t) + f (x0, y0) e r(x) = f (x, y0 + t) − f (x, y0);

então φ(t) = r(x0 + t) − r(x0). Aplicando o teorema do valor médio para funções de umavariável à função: r(x) onde x ∈ [x0, x0 + t], existe θ1 ∈ (0, 1) tal que r(x0 + t) − r(x0) =t r′(x0 + t θ1) ou:

φ(t) = t (∂f ∂x

(x0 + t θ1, y0 + t) − ∂f ∂x

(x0 + t θ1, y0)).

As funções∂f

∂xe

∂f

∂ysão contínuas no ponto (x0, y0). Aplicando o teorema do valor médio para

funções de uma variável a m(y) =∂f

∂x(x0 + t θ1, y), y ∈ [y0, y0 + t], existe θ2 ∈ (0, 1) tal que

m(y0 + t) − m(y0) = t∂ 2f

∂y∂x(x0 + t θ1, y0 + t θ2) ou:

φ(t) = t2∂ 2f

∂y∂x(x0 + t θ1, y0 + t θ2).

De forma análoga para s(y) = f (x0 + t, y)−f (x0, y), obtemos: φ(t) = t2 ∂ 2f ∂x∂y (x0 + t θ3, y0 + t θ4),

θ3, θ4 ∈ (0, 1), e:

∂ 2f

∂y∂x(x0 + t θ1, y0 + t θ2) =

∂ 2f

∂x∂y(x0 + t θ3, y0 + t θ4);

fazendo t −→ 0 e lembrando que as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, pro-vamos o teorema.

Proposição 12.2. Se f é uma função de classe C 1 então:

∂f

∂ v

(x) =

∇f (x)

· v.

Seja g(t) = f (x + t v1, y + t v2, z + t v3); g é uma função derivável de uma variável; utilizando aregra da cadeia, derivamos g:

g′(0) =∂f

∂ xv1 +

∂f

∂ yv2 +

∂f

∂ yv3 = ∇f (x,y,z) · v;

por outro lado∂f

∂ v(x,y,z) = g′(0).

Definição 12.1.

1. Uma curva diferenciável parametrizada γ pasando por x0 em R

n

é determinada por n funçõesdiferenciáveis:xi : I ⊂ R −→ R,

i = 1, 2,...,n tal que γ (t) = (x1(t), x2(t), ........, xn (t)) e γ (t0) = x0, onde I ⊂ R.

2. A derivada de γ é γ ′(t) = (x′

1(t), x′

2(t),........,x′

n(t)).




3. Uma curva parametrizada γ em A ⊂ Rn é tal que γ (I ) ⊂ A.

Proposição 12.3. Seja (x0, y0, z0) ∈ S c . Se ∇f (x0, y0, z0) = 0, então ∇f (x0, y0, z0) é no plano tangente a S c no ponto (x0, y0, z0).

Seja γ uma curva sobre a superfície S c tal que γ (t0) = (x0, y0, z0), para algum t0 ∈ R

f (γ (t)) = c, pois γ pertence à S c.

ddt

(f (γ (t))

t=t0

= 0 e ∇f (γ (t)) · γ ′(t) = 0;

logo: ∇f (x0, y0, z0) · γ ′(t0) = 0.Isto é válido para qualquer curva em S c passando por (x0, y0, z0).

Teorema 12.4. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função diferenciável definida no aberto A e x0 uextremo local de f . Então

∇f (x0) = 0.

Suponha que x0 é ponto de máximo de f . Para todo v ∈ Rn a função real h(t) = f (xpossui um ponto de máximo em t = 0; pela regra da cadeia:

0 =d

dth(t)|t=0 = ∇f (x0) · v

e a igualdade vale para todo v; então ∇f (x0) = 0. A prova é análoga se x0 é ponto de mlocal de f .

Teorema 12.5. Seja a família de funções:

f (x, y) = A x2 + 2 B x y + C y2,

tal que A, B, C ∈ R e não são todas simultaneamente nulas. Denotemos por ∆ = A C − B2.

1. Se ∆ > 0 e A > 0, então (0, 0) é ponto de mínimo de f .2. Se ∆ > 0 e A < 0, então (0, 0) é ponto de máximo de f .

3. Se ∆ < 0, então (0, 0) é ponto de sela de f .

Suponha que ∆ > 0; logo A = 0.

f (x, y) = A

x +B y

A

2+

1

A∆ y2;

ambas as parcelas tem o mesmo sinal que A e f (x, y) = 0 se e somente se:

x + B yA = 0

y = 0;

então f (x, y) = 0 se e somente se x = y = 0.

1. Se A > 0, temos 0 = f (0, 0) < f (x, y) e (0, 0) é ponto de mínimo de f .




2. Se A < 0, temos f (x, y) < f (0, 0) = 0 e (0, 0) é ponto de máximo de f .

3. Suponha que ∆ < 0 e A = 0; denotando por E =

√B2 − AC

A, temos:

f (x, y) = A

x +B y

A

− E y

x +B y

A

+ E y

;

f (x, y) = 0 se, e somente se: y = A xA E −B ou y = − A xA E +B ; logo, f (x, y) > 0 se y > A xA E −B ouy > − A x

A E +B e f (x, y) < 0 se y < A xA E −B ou y < − A x

A E +B . Portanto, numa vizinhança de (0, 0) f

toma valores negativos e positivos. Se A = 0, então f (x, y) = 2 B x y + C y2; logo B = 0, casocontrário ∆ = 0; então:

f (x, y) = y (2 B x + C y);

portanto: f (x, y) > 0 se, e somente sey > 0 e B x + C y > 0 ou

y < 0 e B x + C y < 0.

f (x, y) < 0 se, e somente se y > 0 e B x + C y < 0ou

y < 0 e B x + C y > 0.

Teorema 12.6. Sejam z = f (x, y) uma função de classe C 2 definida num conjunto aberto U ⊂ R2 e(x0, y0) ∈ U um ponto crítico de f . Denotemos por:

A(x, y) =∂ 2f

∂x2(x, y), B(x, y) =

∂ 2f

∂x∂y(x, y), C (x, y) =

∂ 2f

∂y2(x, y) e

∆(x, y) = A(x, y) C (x, y) − B2(x, y).

Então:

1. Se A(x0, y0) > 0 e ∆(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é ponto de mínimo local de f em U .

2. Se A(x0, y0) < 0 e ∆(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é ponto de máximo local de f em U .

3. Se ∆(x0, y0) < 0, então (x0, y0) é ponto de sela de f em U .

4. Se ∆(x0, y0) = 0, nada se pode concluir.

Seja θ ∈ [0, 2 π]. Consideramos a seguinte função de uma variável:

h(r) = f (x0 + r cos(θ), y0 + r sen(θ));

h(r) descreve o comportamento de f ao longo da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção(cos(θ),sen(θ)). Denotemos por a = x0 + rcos(θ) e b = y0 + rsen(θ); usando a regra da cadeia,derivemos a função h:




h′(r) =∂f

∂x(a,b) cos(θ) +

∂f

∂y(a,b) sen(θ);

então, r = 0 é ponto crítico de h. Derivando novamente:

h′′(r) = ∂ 2

f ∂x2

(a,b) cos2(θ) + 2 ∂ 2

f ∂x∂y

(a,b) cos(θ) sen(θ) + ∂ 2

f ∂y2

(a,b) sen2(θ).

Fazendo A =∂ 2f

∂x2(x0, y0), B =

∂ 2f

∂x∂y(x0, y0), C =

∂ 2f

∂y2(x0, y0), x = cos(θ) e y =

obtemos:

h′′(0) = A x2 + 2 B x y + C y2

Como A > 0 e ∆ > 0, pelo teorema anterior h′′(0) > 0; então h possui um ponto de mín

r = 0. O argumento vale para todo θ ∈ [0, 2 π]. Logo f possui um ponto de mínimo lo(x0, y0). Os demais casos ficam como exercícios.

Teorema 12.7. Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R funções de classe C 1. Denotemos por S um conjnível de g. Se f tem um ponto de máximo ou de mínimo x0 ∈ S e ∇g(x0) = 0, então existe λque ∇f (x0) = λ ∇g(x0).

Faremos a prova para n = 2, o caso n = 3 é análogo. Suponha que a curva de nível escreva na forma paramétrica γ (t) = (x(t), y(t)) e que γ ′(t) = (x′(t), y′(t)) = 0; considerseguinte função de uma variável β (t) = f (γ (t)) = f (x(t), y(t)) tal que t ∈ (a, b). Como fum ponto extremo em x0, então, existe t0 ∈ (a, b) tal que β possui um ponto extremologo, β ′(t0) = 0 e pela regra da cadeia:

β ′(t) =∂f

∂x(x(t), y(t))

dx

dt+

∂f

∂y(x(t), y(t))

dy

dt= ∇f (x(t), y(t)) γ ′(t).

Denotando x0 = (x(t0), y(t0)) e calculando β ′(t0) = 0; temos, ∇f (x0) · γ ′(t0) = 0; p∇f (x0) e γ ′(t0) = 0 são ortogonais. Como ∇f é ortogonal às curvas de nível de f , no pas curvas de nível de g e de f devem ser tangentes e ∇f (x0) = λ ∇g(x0).

12.3 Integração

Teorema 12.8. (Fubini) Seja f : R −→ R2

contínua sobre R. Então: R

f (x, y) dxdy =

d

c

b

af (x, y) dx

dy =

b

a

d

cf (x, y) dy

dx,

onde R = [a, b] × [c, d].



12.3. INTEGRAÇÃO 275

Fixemos x0 ∈ [a, b] e consideremos a função f x0 : [c, d] −→ R definida por f x0(y) = f (x0, y),para todo y ∈ [c, d]. Como f x0 é contínua em [c, d], é integrável em [c, d]; definamos A(x0) = d

cf (x0, y) dy. Provaremos que a função: A : [a, b] −→ R é integrável em [a, b] e:

b

aA(x) dx = Rf (x, y) dxdy.

Como antes, seja c = y0 < y1 < ..... < yn = d uma partição de ordem n de [c, d] tal que∆y = d−c

n ; logo:

A(x) =n−1k=0

yk+1

yk

f (x, y) dy.

Pelo teorema do valor médio para integrais, temos: yk+1

yk

f (x, y) dy = f (x, y∗k(x)) (yk+1 − yk),

onde y∗k(x) ∈ [yk, yk+1] (y∗k(x) possívelmente depende de x); então:

A(x) =

n−1k=0

f (x, y∗k(x)) (yk+1 − yk).

Pela definição de integral para funções de uma variável:

b

a

d

cf (x, y) dy

dx =

b

aA(x) dx = lim

n→+∞

n−1k=0

A( p j) (x j+1 − x j ),

onde a = x0 < x1 < ..... < xn = b é uma partição de ordem n de [a, b] tal que ∆x = b−an e

p j ∈

[x j

, x j+1

]. Considere c jk

= ( p j

, yk

( p j

))∈

R jk

, logo A( p j

) =

n−1

k=0

f (c jk

) (yk+1 −

yk

) e

b

a

d

cf (x, y) dy

dx =

b

aA(x) dx = lim

n→+∞

n−1 j=0

A( p j ) (x j+1 − x j )

= limn→+∞

n−1 j=0

n−1k=0

f (c jk ), (yk+1 − yk) (x j+1 − x j) =

R

f (x, y) dxdy.

De forma análoga prova-se que d

c

b

af (x, y) dx

dy =

R

f (x, y) dxdy.

Proposição 12.4. Se f : D −→ R é contínua e limitada sobre D, então:1. Se D é uma região de tipo I:

D

f (x, y) dxdy =

b

a

φ2(x)

φ1(x)f (x, y) dy

dx.




2. Se D é uma região de tipo II:

D

f (x, y) dxdy =

d

c

ψ2(y)

ψ1(y)f (x, y) dx

dy.

Se R = [a, b] × [c, d] e D ⊂ R, podemos utilizar todos os resultados anteriores. Em papara integrais iteradas. De fato,

D

f (x, y) dxdy =

R

f ∗(x, y) dxdy =

b

a

d

cf ∗(x, y) dy

dx =

d

c

b

af ∗(x, y) dx

Suponha que D é uma região de tipo I definida por: φi : [a, b] −→ R, i = 1, 2. Conside b

a

d

cf ∗(x, y) dy

dx.

φ

1

2

φc

dR

D

bxa

Figura 12.1:

Fixando x ∈ [a, b], f ∗ é limitada e contínua, exceto, possivelmente em dois pontos,

integral d

cf ∗(x, y) dy existe; mas f ∗(x, y) = 0 se c < y < φ1(x) e φ2(x) < y < d.

d

cf ∗(x, y) dy =

φ2(x)

φ1(x)f ∗(x, y) dy =

φ2(x)

φ1(x)f (x, y) dy,

pois f = f ∗ em D. Então, se D é de tipo I:

D

f (x, y) dxdy =

b

a

φ2(x)

φ1(x)f (x, y) dy

dx.

Se D é do tipo II, a prova é análoga.



12.3. INTEGRAÇÃO 277

]



Bibliografia

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