Ufsc - Cálculo II

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

MTM- CLCULO B PARA COMPUTAO

SEQNCIAS

Informalmente, uma seqncia significa uma sucesso de coisas em uma determinada

ordem cronologicamente, de tamanho, ou lgica por exemplo. Na matemtica o termo

seqncia utilizado para denotar uma sucesso de nmeros cuja ordem determinada por

uma lei ou funo.

Seqncias Numrica: Uma seqncia numrica ( ou progresso ) uma sucesso de

nmeros, chamados termos ou elementos. Colocados numa ordem com primeiro termo,

segundo termo, terceiro termo, e assim por diante.

Se chamarmos cada termo de ia ( onde i representa a posio do termo na seqncia)

podemos representar uma seqncia por:

L,,,, 4321 aaaa

Exemplos: (1) L,3,2,1 (2) 12,6,4,3,2,1

(3) L51,

41,

31,

21,1 (4) L8,6,4,2

(5) L1,1,1,1 (6) 41,1,

31,1,

21,1

Seqncia Finita: Uma seqncia dita finita quando pra em um determinado termo, ou

seja, tem um ltimo elemento.

Exemplos: As seqncias (2) e (6) do exemplo anterior.

Seqncia Infinita: Uma seqncia dita infinita quando continua indefinidamente (ou no

tem um ltimo termo). Nesse caso so usadas reticncias (...) para indicar que o padro

continua.

Exemplos: As seqncias (1), (3), (4) e (5) do exemplo anterior. As cheias do Nilo.

Termo geral: uma regra ou um frmula a partir da qual possvel gerar os elementos dessa

sequencia.

No exemplo acima, cada uma das seqncia tem um padro definido, e seguindoo

torna-se fcil gerar termos adicionais. Mas, um padro pode ser ilusrio, dessa forma

importante ter o termo geral. Para isso, o objetivo procurar uma funo que relacione cada

termo da seqncia a sua posio.

Exemplos: (1) Na seqncias (4) cada termo o dobro do nmero da sua posio: isto , o

n-simo.termo da seqncia dado pela frmula 2n.

(2) Determine o termo geral da seqncia:

,...

3125

7,

625

6,

125

5,

25

4,5

3

Exerccios

1. Em cada uma das seqncias a seguir, determine o termo geral:

(a) { }L54,

43,

32,

21 (b) { }L

161,

81,

41,

21

(c) { }L54,

43,

32,

21 (d) { }L7,5,3,1

2. Considere a seqncia cujo termo geral an= )653(3

1 32 nnn + . Calcule os trs

primeiros termos e faa uma conjectura sobre o quarto termo. Verifique se a sua conjectura

foi correta.

1. SEQNCIAS E FUNES

Uma seqncia uma funo cujo domnio o conjunto de inteiros },,4,3,2,1{ LL n . Os

nmeros na imagem de uma seqncia so chamados elementos da seqncia. Se o n-simo

termo for denotado por f(n), ento a seqncia ser o conjunto de pares ordenados da forma

(n, f(n)); onde n um inteiro positivo.

Notao: Como o domnio de toda seqncia o mesmo, a notao )}({ nf pode ser usada

para denotar uma seqncia. Outra notao encontrada a notao de subndice }{ na , ou

seja nanf =)( .

Exemplos: 1) Se )12(

)(+

=n

nnf , determine os 5 primeiros termos.

2) Dadas as seqncias, identifique o termo geral e escreva os trs primeiros termos:

a)

=

+ 11 nn

n b) { }= 33 nn c)

=

06cos

n

n d)

=

+

13

)1()1(

n

n

nn

Grfico de Seqncias: como uma seqncia uma funo, podemos esboar o grfico com

seus pontos.

Exemplo: 1) Se )12(

)(+

=n

nnf , esboce o grfico com os 5 primeiros termos.

Exerccios: (1)Esboce o grfico da seqncia L,3,2,1,1

)( == nn

nf

2. Esboce a seqncia definida por

+

=parfornse

n

mparfornse

nf

2

2

1

)(

Igualdade: Dizemos que a seqncia L,,,, 4321 aaaa igual seqncia L,,,, 4321 bbbb se

e somente se ii ba = , para todo i inteiro positivo.

OBS: Uma seqncia consiste em uma ordenao de elementos. Dessa forma, possvel que

duas seqncias tenham os mesmos elementos e no serem iguais.

2. TEOREMAS SOBRE CONVERGNCIA DE SEQNCIAS

Teorema 2.1: Dado r um nmero Real, e Zn :

(i) 0lim =

n

nr se | r | 1

Exemplos: Analise a convergncia das seguintes seqncias:

(a)

n

3

2 (b) ( ){ }n01,1

Teorema 2.2: Uma Seqncia converge para um limite L se e somente se, as seqncias dos

termos de posio par e mpar convergem ambas para L.

Exemplos: Analise a convergncia das seguintes seqncias:

(a) ,...3

1,

2

1,

3

1,

2

1,3

1,2

13322

(b) ,...4

1,1,

3

1,1,

2

1,1

Teorema 2.3 (Sanduche para Seqncias): Sejam { }na , { }nb e { }nc seqncias tais que )( Nncba nnn > . Se Lca n

nn

n==

limlim ento Lbn

n=

lim .

Exemplo: Mostre que 03

coslim

2

=

nn

n

Teorema 2.4: Se 0lim =

nn

a , ento 0lim =

nna

Exemplos: (1) Se n

a nn1

)1(= , prove que 0lim =

nn

a

(2) Verifique se a seqncia ,...2

1)1(,...,

2

1,

2

1,2

1,1

32 n

n convergente ou divergente.

Exerccios:

1. Utilize os teoremas para analisar se a seqncia converge ou diverge, se converge, ache o

limite.

a.

n

n

4

b. { }nn /1 c. ( )

000.1

)0001,1 n

2. (a) Comeando com n = 1, escreva os seis primeiros termos da seqncia { }na , onde

=parfornsen

mparfornsean

,

,1

(b) Comeando com n = 1, e considerando-se separadamente os termos pares e impares, ache

uma frmula para o termo geral da seqncias:

,...2

1,5,

2

1,3,

2

1,1

642

(c) Comeando com n = 1, e considerando-se separadamente os termos pares e impares, ache

uma formula para o termo geral da seqncia:

...9

1,9

1,7

1,7

1,5

1,5

1,3

1,3

1,1

(d) Determine se as sequencias dos itens (a), (b), (c) convergem e em caso afirmativo, ache o

limite.

3. Utilize o teorema do sanduche para analisar a convergncia da seqncia:

n

nsen 2

4. Seja

3. SEQNCIAS MONTONAS E LIMITADAS

Muitas vezes mais importante saber se uma seqncia converge ou diverge sem se

preocupar com o limite. Para isso vamos estudar outras tcnicas que podem ser utilizados para

determinar se uma seqncia convergente.

Definio 3.1: Uma seqncia { }na chamada montona se for:

Estritamente Crescente: se ....,...21 > naaa ou 1+> nn aa

Decrescente se ....,...21 naaa ou 1+ nn aa

Se for estritamente crescente ou decrescente chamada de estritamente montona.

OBS: 1) Uma seqncia estritamente crescente crescente, mas o inverso no verdade. Da

mesma forma uma seqncia estritamente decrescente decrescente, mas o inverso no vale.

2) Uma seqncia que no crescente, estritamente crescente, decrescente ou estritamente

decrescente dita no-montona.

3) Algumas seqncias possuem termos iniciais sem apresentarem um padro de crescimento

ou decrescimento, e a partir de um certo termo, apresenta um padro.

Exemplo: L,4

1,3

1,

2

1,1,17,13,9,3 observe que at quarto termo a seqncia no

apresentava um padro, mas a partir do quinto termo passou a ser uma seqncia

estritamente decrescente.

Exerccios: Analise o crescimento das seguintes seqncias:

1) ,...1

,...,4

3,3

2,2

1

+nn

2) ,...1

,...,3

1,2

1,1

n 3) ,...3,3,2,2,1,1

4) ,...3

1,3

1,2

1,2

1,1,1 5) ,...

1)1(,...,

4

1,3

1,2

1,1 1

n

n+ 6) ,...12

,...,9

4,7

3,5

2,3

1

+nn

Existem outras maneiras de determinar o crescimento de uma seqncia:

1) Anlise da razo entre dois termos sucessivos: Seja uma seqncia estritamente crescente ou seja, an < an+ 1 se os termos da seqncia forem todos positivos podemos dividir ambos os membros da desigualdade por an, assim:

n

n

n

n

a

a

a

a 1+< ento n

n

a

a 11 +< , ou ainda 11 >+

n

n

a

a

Podemos seguir esse raciocnio para seqncias crescentes, decrescentes e estritamente

decrescentes. Dados dois termos sucessivos an e an+ 1 de uma seqncia, temos:

Se 11 >+

n

n

a

a, a seqncia estritamente crescente;

Se 11 +

n

n

a

a, a seqncia crescente;

Se 11 o, ento a seqncia f(n) = an estritamente crescente; Se f(x) o, ento a seqncia f(n) = an crescente; Se f(x) < o, ento a seqncia f(n) = an estritamente decrescente; Se f(x) o, ento a seqncia f(n) = an decrescente;

Exemplos: Analise as seqncias (1) e (2) utilizando as duas maneiras apresentadas acima.

Exerccios: 1) Determine se cada seqncia a seguir crescente, decrescente ou no-

montona.

a)

n

1 b)

2

221

n

n c) { }n

3

1cos d)

+ n

n

251

5

e)

n

n

5

!2 f)

n

n

3

! g)

!n

n n h)

+54

13

n

n

i)

+12nn

j) { }nen k)

+ nn ln1

5. LIMITANTES DE SEQNCIAS

Definio 5.1: Dada uma seqncia { }na :

(1) se existe um nmero C, tal que naC , para todo n inteiro positivo, chamamos C

de limitante inferior ou cota inferior de { }na .

(2) se existe um nmero D, tal que naD , para todo n inteiro positivo, chamamos D

de limitante superior ou cota superior de { }na .

Exemplos: a) Determine um limitante inferior da seqncia

+12nn

b) Determine um limitante superior da seqncia

n

1

Definio 5.2: Se A for um limitante inferior de uma seqncia { }na e se A satisfizer a propriedade de que para todo limitante inferior C de { }na , C A, ento A ser chamado de limitante inferior mximo da seqncia.Analogamente, se B for um limitante superior de uma

seqncia { }na e se B satisfizer a propriedade de que para todo limitante superior D de { }na , B D, ento B ser chamado de limitante superior mnimo da seqncia.

Exemplos: a) Determine um limitante inferior mximo da seqncia

+12nn

b) Determine um limitante superior mnimo da seqncia

n

1

Definio 5.3: Uma seqncia { }na dita limitada se e somente se ela tiver limitantes superior e inferior.

Exemplo: Verifique se as seqncias

+12nn

e

n

1 so limitadas.

Axioma do Complemento: Se um conjunto no-vazio S de nmeros reais tiver um limitante

superior, ento ele ter um limitante superior mnimo (chamado de supremo), e se um

conjunto no-vazio S de nmeros reais tiver um limitante inferior, ento ele ter um limitante

inferior mximo (chamado nfimo).

Teorema 5.1: Uma seqncia montona limitada convergente.

Teorema 5.2: Seja { }na uma seqncia crescente, e suponhamos que D seja um limitante superior da seqncia. Ento { }na ser convergente e Dan

n

lim .

Teorema 5.3: Seja { }na uma seqncia crescente, e suponhamos que C seja um limitante inferior da seqncia. Ento { }na ser convergente e Can

n

lim .

Exemplos: 1) Verifique se a seqncia

!

2

n

n

convergente.

Teorema 5.4: Uma seqncia montona convergente limitada.

OBS: Para analisar se uma seqncia limitada, no necessrio calcular o limite, podemos

verificar a existncia do limitante analisado a seqncia. Observe que ao analisar se a

seqncia limitada, no estamos procurando os limites inferior mximo ou superior mnimo,

apenas analisamos se existe um determinado nmero que limita a seqncia.

Exerccios: 1) Prove que as seguintes seqncias so convergentes, utilizando os teoremas 4.1,

4.2, 4.3, 4.4.

a)

+54

13

n

n b)

+13n

n c)

)2.....(6.4.2

)12.....(5.3.1

n

n

d)

+ n

n

251

5 e)

)12.....(5.3.1!

n

n

2) Dada uma seqncia { }na montona tal que 21 na . (a) Essa seqncia deve convergir? Caso afirmativo, o que pode ser dito sobre o limite?

(b) Suponha que { }na seja uma seqncia montona tal que 2na . A seqncia deve convergir? Se sim, o que se pode dizer sobre o limite?

3) D o exemplo de uma seqncia que seja limitada e convergente, porm no montona.



SRIES INFINITAS

1. INTRODUO

Uma parte importante no estudo do Clculo envolve a representao de funes como somas

infinitas. Para entender esse assunto, precisamos que a operao usual de adio em

conjuntos finitos de nmeros seja estendida para conjuntos infinitos. Assim vamos utilizar um

processo de limite atravs de seqncias.

1.1. Idia Intuitiva

Exemplo 1: Considere um pedao de fio com 2 m de comprimento e suponha que este seja

cortado ao meio. Uma das partes deixada de lado enquanto a outra novamente cortada ao

meio. Novamente um dos pedaos com m de comprimento posto de lado, enquanto que o

outro cortado ao meio, e ento obtemos dois pedaos com m de comprimento cada um.

Tomamos apenas um deles e dividindo-o ao meio, obtemos dois pedaos com 1/8 m de

comprimento. Novamente, cortamos um dos pedaos ao meio. Se esse processo continuar

indefinidamente, o nmero de metros na soma dos comprimentos dos pedaos separados

pode ser considerado como a soma infinita:

LL +++++++12

1

16

1

8

1

4

1

2

11

n

Qual o resultado da soma infinita acima?

Se chamarmos de { }ns uma nova seqncia definida por nn aaaas ++++= L321 , teremos:

LLL

M

++++++=+++=

++=++=

+=+=

==

121

3213

212

11

2

1

8

1

4

1

2

11

4

1

2

11

2

11

1

nnnaaas

aaas

aas

as

Exemplo 2: Podemos representar o nmero 3

1 como uma soma infinita de nmeros reais,

sabemos que ...33333,03

1= ento ...0003,0003,003,03,0

3

1++++= .

Analogamente podemos escrever uma seqncia de somas da seqncia acima.

1.2. Sries Infinitas

Definio 1.2.1: Se { }na uma seqncia e nn aaaas ++++= L321 ento a seqncia { }ns chamada de srie infinita que pode ser denotada tambm por:

=

=1n

nn as onde, os nmeros LL ,,,,, 321 naaaa so chamados de termos da srie infinita.

Os nmeros LL ,,,,, 321 nssss so chamados de somas parciais da srie infinita.

Exemplo: 1) A srie do exemplo1 ( corte do barbante ) pode ser escrita como a soma infinita:

LL +++++++=

= 1

11

2

1

16

1

8

1

4

1

2

11

2

1n

nn

ATENO: Pode ocorrer confuso entre os conceitos de srie e seqncia. Mas tenha em

mente que uma srie uma expresso que representa uma soma infinita de nmeros. Uma

seqncia uma coleo de nmeros que esto em correspondncia biunvoca com os inteiros

positivos.

Exerccios:

(1) Dada a srie LL ++

++++)1(

1

4.3

1

3.2

1

2.1

1

nn

(a) Encontre 654321 ,,,,, ssssss ;

(b) Determine ns ;

1.3. Convergncia

Definio 1.3.1: Uma srie

=1nna convergente (ou converge) se a sua seqncia de somas

parciais { }ns converge isto , se ssnn

=

lim para algum nmero real s. O limite s a soma

da srie

=1nna e escrevemos LL +++++= nn aaaas 321 .

A srie

=1nna divergente (ou diverge) se { }ns diverge. Uma srie divergente no tem soma.

Ou seja, uma srie infinita ser convergente se e somente se a seqncia das somas parciais

correspondentes for convergente. Se uma srie infinita tiver uma soma S, dizemos tambm

que a srie convergir para s.

Exemplos: (1) Mostre que a srie LL ++

++++)1(

1

4.3

1

3.2

1

2.1

1

nn converge e ache sua

soma.

(2) Dada a srie +

=

1

)1(n

n

(a) Encontre 654321 ,,,,, ssssss ;

(b) Determine ns ;

(c) Mostre que a srie diverge.

1.4 Sries Geomtricas:

Definio 1.4.1: Uma srie chamada de srie geomtrica se cada termo obtido

multiplicando-se o termo precedente por alguma constante fixada. Ou seja, se o termo inicial

da srie a e cada termo obtido multiplicando-se o termo precedente por r, ento a srie

tem a forma:

)0(

1

32 ++++++=

=

aararararaar

k

kkLL

onde r chamada de razo da srie.

Exemplos: Dadas as sries abaixo, identifique o primeiro termo e a razo.

1) LL ++++++ k28421

2) LL ++++ +k

k

2

1)1(

16

1

8

1

4

1

2

1 1

Definio 1.4.2: A Srie definida por LL +++++++n

1

5

1

4

1

3

1

2

11 chamada de srie

harmnica.

A srie LL +++++++n

1

5

1

4

1

3

1

2

11 divergente.

ATENO: Na maioria dos casos no possvel obter uma expresso para ns em termos de n;

assim, precisamos de outros mtodos para determinar se uma dada srie infinita tem uma

soma, ou seja, convergente ou divergente.

2. TEOREMAS SOBRE CONVERGNCIA DE SRIES

Teorema 2.1: Uma srie geomtrica

)0(1

1321 ++++++=

=

aararararaar

k

kkLL

converge se 1||

Teorema 2.2: Se uma srie

=1nna convergente, ento 0lim = nn

a

Exemplo: 1)

=1 4

5

nn

Mas ateno, a recproca do teorema 2 nem sempre verdadeira. Isto , se 0lim =

nna , ento

no necessariamente verdadeiro que a srie

=1nna seja convergente.

Exemplo: J vimos que a srie harmnica LL +++++++n

1

5

1

4

1

3

1

2

11 divergente, mas

observe que 01

lim = nn

.

Teorema 2.3: (i) Se 0lim

nna , ento a srie

=1nna divergente.

(ii) Se 0lim =

nna , ento a srie

=1nna convergente ou divergente.

Exemplos: 1) Analise a convergncia das sries:

= +1 12n nn

=12

1

n n

=1n

n

n

e

Teorema 2.4: Se

=1nna e

=1nnb so duas sries infinitas que diferem somente pelo seus m

primeiros termos ( isto , kk ba = se mk > ), ento ambas convergem ou ambas divergem.

Exemplo: Determine se a srie infinita convergente ou divergente

= +1 41

n n

Teorema 2.5: Seja c uma constante no-nula:

(i) Se a srie

=1nna for convergente e sua soma for S, ento a srie

=1nnca tambm ser

convergente e sua soma ser cS.

(ii) Se a srie

=1nna for divergente, ento a srie

=1nnca tambm ser divergente.

Exemplo: Determine se a srie

=1 4

1

n n convergente ou divergente.

Teorema 2.6: Se

=1nna e

=1nnb so sries infinitas convergentes com somas S e R,

respectivamente, ento:

(i)

=

+1

)(n

nn ba uma srie convergente e sua soma S + R;

(ii)

=

1

)(n

nn ba uma srie convergente e sua soma S-R.

Teorema 2.7: Se a srie

=1nna for convergente e a srie

=1nnb for divergente, ento a srie

=

+1

)(n

nn ba ser divergente.

Exemplos: 1) Determine se a srie

=

+1 4

1

4

1

nnn

convergente ou divergente.

2) Prove que a srie seguinte converge e ache sua soma:

=

+

+113

2

)1(

7

nnnn

Exerccios

1. Dadas as sries abaixo:

(i) Calcule S1, S2 e S3;

(ii) Determine Sn;

(iii) Determine a soma da srie, se for convergente.

a)

= ++

1 )32)(52(

2

n nn b)

=

1

214

1

n n

2. Verifique se as seguintes sries geomtricas convergem ou divergem:

a) LL +++++14

3

4

33

n b) LL ++++

n)100(

370037,037,0 c)

=

1

132

n

nn

3. Verifique a convergncia das seguintes sries:

a) LL +++

+++)4)(3(

1

6.5

1

5.4

1

nn b) LL +

++++

)1(

5

3.2

5

2.1

5

nn

4. Expresse as dizimas peridicas decimais, abaixo, como uma frao ordinria.

a) ...33333,0 b) ...22727272727,0 c) ,...045454545,2

5. Utilize sries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a srie

convergente ou divergente; no caso de convergncia, determine a soma.

a) ( )

=

1

322

n

nn b)

=

++

1 )1(

1

8

1

nn nn

6. Determine se a srie convergente ou divergente. Se for convergente, ache a soma.

a)

= +1 21

n n b)

=1 2

3

n n c)

=

1 7

5

3

4

n

n

d)

=

+1 2

1

2

1

nnn

e) ( )

=

+1n

nnee f)

=

1 3

1

2

1

n nn g)

=

1 3

2

2

3

n nn h)

=

+1 3

2

2

3

nnn

7. Onde est o erro na seguinte prova de que a srie divergente ( )

=

+1

11

n

ntem soma

0? Prova: ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

=

+ =+++=++++++=1

100001111111

n

nLL

8. Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica

aproximadamente metade da distncia aps a queda. Use uma srie geomtrica para

aproximar o percurso total feito pela bola at o repouso completo.

9. A trajetria de cada oscilao de um pndulo 0,93 do comprimento da trajetria da

oscilao anterior (de um lado at o outro). Se a trajetria da primeira oscilao mede

56 cm de comprimento e se a resistncia do ar leva o pndulo ao repouso, quanto

mede o caminho percorrido pelo pndulo at que ele pare?

10. Um tringulo eqiltero tem lados medindo 4 unidades de comprimento. Portanto, o

seu permetro 12 unidades. Outro tringulo eqiltero construdo com segmentos

de reta traados atravs dos pontos mdios dos lados do primeiro tringulo. Esse

tringulo tem lados medindo 2 unidades de comprimento e seu permetro de 6

unidades. Se o procedimento puder ser repetido um nmero ilimitado de vezes, qual

ser o permetro total de todos os tringulos formados?

Respostas: 1. a) 55

6.

45

4,

35

2 ;

)52(5

2

+n

n; Converge para

5

1 ; b)

7

3.5

2,3

1;

12 +nn

;

Converge para 2

1; 2. a) Converge para 4; b) Converge para

99

37; c) Diverge;

3. a) Converge ; b) Converge; c) Diverge; d) Diverge; 4. a)99

33 ;b)99

27c) 111

137;5.a) Converge para

7

6;

b) Converge para 7

8; 6.a) Divergente; b) Divergente; c) Converge para

3

10 ; d) Divergente; e) Diverge;

f) Diverge;

8. S= 4,06 m; 10. 24 unidades;

3. SRIES DE TERMOS POSITIVOS

Vimos que para estudar a convergncia de uma srie precisamos determinar o nmo. termo, ou

seja Sn, para depois verificarmos a existncia do limite nnS

lim . Infelizmente, a maioria dos

casos, quase nunca possvel encontrar uma frmula explicita para nS . Nesses casos,

podemos analisar, no obstante, testes para a convergncia ou divergncia de uma srie

=1nna que utilizam o n

mo termo na . Tais testes no nos do a soma S da srie; apenas

analisam a convergncia desta.

Definio 3.1.: Uma srie

=1nna tal que nan ,0 , chamada de srie de termos positivos.

Exemplo: A srie

=12

1

n n uma serie de termos positivos.

A convergncia de uma srie de termos positivos ser til para a analise de convergncia de

uma srie arbitrria.

Teorema 8: Uma srie infinita de termos positivos ser convergente se e somente se sua

seqncia de somas parciais tiver um limitante superior.

Exemplo: Analise a convergncia da srie:

=1 !

1

n n

Teorema 9 (Teste da Comparao): Sejam

=1nna e

=1nnb sries de termos positivos.

(i) Se

=1nnb converge e nn ba para todo inteiro positivo n, ento

=1nna converge.

(ii) Se

=1nnb diverge e nn ba para todo inteiro positivo n, ento

=1nna diverge

Exemplo: Verifique a convergncia das seguintes sries:

a)

= +1 52

1

nn

b)

=1

1

n n

Em muitos casos o teste acima um pouco difcil, quando temos que provar se nn ba ou

nn ba , principalmente se na for uma expresso complicada. O seguinte teorema em geral

mais fcil de aplicar, porque, escolhida

=1nnb basta calcular o limite quando

Teorema 10 (Teste da Comparao com Limite): Sejam

=1nna e

=1nnb sries de termos

positivos.

(i) Se 0lim >=

cb

a

n

n

x, ento ambas as sries convergem, ou ambas divergem.

(ii) Se 0lim ==

cb

a

n

n

x, e se

=1nnb converge, ento

=1nna tambm converge.

(iii) Se ==

cb

a

n

n

xlim , e se

=1nnb diverge, ento

=1nna tambm diverge.


a)

= +1 13

4

nn

b)

=1

1

n n c) LL ++++++

12

1

8

1

4

1

2

11

n

Teorema 11 : Se

=1nna for uma srie convergente de termos positivos, seus termos podero

ser agrupados de qualquer maneira, e a srie resultante continuar convergente e com a

mesma soma que a srie original.

Teorema 12 : Se

=1nna for uma srie convergente de termos positivos, a ordem dos termos

pode ser rearranjada, e a srie resultante tambm ser convergente e ter a mesma soma que

a srie original.

Definio 3.2: A srie definida por LL ++++++ppppp n

1

4

1

3

1

2

1

1

1 chamada de srie p

ou srie hiper-harmnica.

Se 1=p a srie p a srie harmnica, ento diverge; Se 1p a srie p converge.


a)

=12

1

n n b)

=1

1

n n c)

= +13/12 )2(

1

n n

Teorema 13 (Teste da Integral): Seja f uma funo continua, decrescente e com valores

positivos para todo 1x . Ento, a srie infinita

LL +++++=

=

)()3()2()1()(1

nffffnfn

ser convergente se a integral imprpria

1)( dxxf existir, e ser divergente se

+=+b

bdxxf

1)(lim

Exemplos: 1) Use o teste da integral para mostrar que a srie harmnica divergente.

2) Determine se a srie

=

1

2

n

nne converge ou diverge.

OBS: Se em uma srie infinita o ndice do somatrio comea com n=k em vez de n=1, temos

ento a seguinte modificao do teste da integral:

Se f for uma funo continua, decrescente e com valores positivos para todo kx . Ento, a srie infinita

LL +++++=

=

)()3()2()1()(1

nffffnfn

ser convergente se a integral imprpria

kdxxf )( existir, e ser divergente se

+=+b

kbdxxf )(lim


=2 ln

1

n nn converge ou diverge.

Exerccios

11. Determine se a srie convergente ou divergente. Se for convergente, ache a soma.

a)

=1

1

nnn

b)

= +

+

1252

13

n n

n c)

=1

2

3

cos

nn

n

d)

= +1 )!2(!

n n

n e)

= +1235n n

n f)

= +1 741

n n

g)

=

1

2 3

n

nen h)

= +

+

1 31

21

nn

n

4. SRIES ALTERNADAS

Vamos considerar agora series infinitas que contm termos positivos e termos negativos.

Definio 4.1: As sries

=1nna cujos termos se alternam entre positivo e negativo so

chamadas de srie alternadas. Assim, se Znan > ,0 , ento a srie:

( ) ( ) LL ++++= +

=

+ nnn

n

naaaaaa1

4321

1

111

e a srie: ( ) ( ) LL ++++=

=n

n

n

n

naaaaa 11 321

1

So chamadas de sries alternadas.

Exemplo: As seguintes sries so sries alternadas.

a) ( )

=

+1

1 11

n

n

n b) ( )

=

1 !

11

n

n

n

Existe um teorema que fornece um teste para a analise da convergncia de sries alternadas.

Chamado de Teste de Leibniz ( formulado em 1705).

Teorema 14 (Teste de sries alternadas): Uma srie alternada ( )

=

+1

11

n

n

na converge se as

duas condies a seguir estiverem satisfeitas:

(i) kaa kk > + ,1 inteiro positivo.

(ii) 0lim =

nna

Exemplo: Use o teste da srie alternada para analisar a convergncia das seguintes sries:

a) ( )

=

+1

1 11

n

n

n b) ( )

= ++

1 )1(

21

n

n

nn

n

Observao: 1) Se uma srie violar a condio (ii) do teste de sries alternadas ento a srie

deve divergir.

2) Se (ii) for satisfeita, mas (i) no for satisfeita ento a serie pode convergir ou divergir.


a) ( )

=

+

12

1

34

21

n

n

n

n b) ( )

=

+

1

1

34

21

n

n

n

n

OBS: Se todos os termos de uma dada srie infinita forem substitudos pelos seus valores

absolutos e a srie resultante for convergente, ento dizemos que a srie dada

absolutamente convergente.

Definio 4.2: Dizemos que a srie infinita

=1nna ser absolutamente convergente se a srie

=1nna for convergente.

Se uma srie que convergente, mas no absolutamente convergente denominada

condicionalmente convergente.

Exemplo: Verifique se as seguintes sries s absolutamente convergentes:

a) ( )

=

+1

1

3

21

nn

n b) ( )

=

+1

1 11

n

n

n

Teorema 15: Se a srie infinita

=1nna for absolutamente convergente ela ser convergente e

=

=

1 1n n

nn aa


=12

3cos

n n

n

Teste da razo para determinar se uma srie absolutamente convergente.

Teorema 16 ( Teste da Razo): Seja

=1nna uma srie infinita dada para a qual todo na no-

nulo. Ento:

(i) Se 1lim 1 =+

La

a

n

n

n ou se =+

n

n

n a

a 1lim a srie dada divergente;

(iii) Se 1lim 1 =+

n

n

n a

a, nenhuma concluso pode ser tirada sobre a convergncia srie.

Exemplos: 1) Determine a convergncia absoluta das sries:

a) ( )

=

+1

1

21

nn

n n b) ( )

= ++

1 )1(

21

n

n

nn

n

OBS: O teste da razo no inclui todas as possibilidades para

n

n

n a

a 1lim +

, pois possvel que o

limite no exista e no seja + . Outro teste que pode resolver esse problema o teste da raiz.

Teorema 18 (Teste da Raiz): Seja

=1nna uma srie infinita para a qual todo na diferente de

zero. Ento:

(i) Se 1lim =

Lan nn

ou se +=n

nn

alim a srie dada divergente;

(iii) Se 1lim =n

nn

a , nenhuma concluso pode ser tirada sobre a convergncia srie.

Exerccios

(1) Utilize, quando possvel, o teste da integral para determinar se a srie dada converge ou

diverge.

a)

= +1 121

n n b)

= +12/3)2(

1

n n c)

=1

ln

n n

(2) Determine se a srie alternado dada convergente ou divergente:

a) ( )

=

+1

1

2

11

n

n

n b) ( )

=

+1

1

ln

11

n

n

n

c) ( )

=

+1

2

1 ln1

n

n

n

n d) ( )

=

1

2

31

n

nn

n

(3) Determine se a srie dada absolutamente convergente,condicionalmente

convergente ou divergente. Prove a sua resposta.

a)

=

1 3

2

n

n

b) ( )

=

+1 !

21

n

nn

n

c)

=1

2

!n n

n d) ( )

=+

1

12

!1

nn

n n

Respostas: (1) D;b)C;c)D.(2)a) C;b)C;c)C;d)D.(3) a) Abs Convergente;b) Abs Convergente; c) Abs Convergente; d)Divergente;



FUNES DE VRIAS VARIVEIS

Pode-se pensar uma funo f de duas ou mais variveis como um programa de computador que recebe duas ou mais entradas, opera sobre essas entradas e produz uma sada. Nesta disciplina trabalharemos com funes cujas entradas e sadas sejam nmeros reais.

Geometricamente, se z = f ( x, y), ento podemos visualizar ( x, y ) como um ponto do plano xy e pensar f como uma regra que associa um nico valor numrico z ao ponto (x, y). Analogamente, podemos pensar w = f ( x, y,z) como uma regra que associa um nico valor numrico w ao ponto ( x, y,z) em um sistema de coordenadas xyz.

s vezes, o domnio ser determinado pelas restries fsicas sobre as variveis. Se a funo for definida por uma frmula e se no houver restries fsicas ou outras restries estabelecidas explicitamente, ento entende-se que o domnio consiste de todos os pontos para os quais a frmula resulta em um valor real para a sada. Chamamos isso o domnio natural da funo.

Exemplos: 1) Seja 13),( 2 = yxyxf , determine ),(),9,0(),4,1( 2 ttfff e o domnio

natural de f.

2) Seja 224),( yxyxg = , uma funo que pode representar a temperatura de uma

chapa circular de raio 2. Determine o domnio de g.

DEFINIO: Seja A um conjunto do espao n-dimencional ( A Rn), isto , os elementos de A

so n-uplas ordenadas ( x1, x2, x3, ..., xn ) de nmeros reais. Se a cada ponto P do conjunto A

associamos um nico elemento z R, temos uma funo

f: A R. Essa funo chamada funo de n-variveis reais.

DEFINIO: O conjunto A de entradas da funo que pode restringir sua existncia, chamado

de Domnio da funo.

Denotamos: Dom f

GRFICO DE DOMNIO DE FUNES

Como para funes de uma varivel, em geral, uma funo de vrias variveis tambm especificada apenas pela regra que a define. Nesse caso, o domnio da funo o conjunto de todos os pontos de Rn para os quais a funo est definida. Exemplos: Dadas as funes abaixo, determine seu domnio e esboce-o.

a) )(ln),( yxyxf = b) 224),( yxyxh = c) 22 yx

xyw

=

d) )(ln),( 2 yxyxk = e) 22 326

1

yxz

= f)

1142),( 22 += yyxxyxg

Cnicas - Equaes e Esboo Equaes de sees cnicas:

Crculo Elipse Parbola Hiprbole y r x

y b

x

-a a

-b

y

-p (p,0) x

y b x -a a -b

x2 + y

2 = r

2 x2 /a2 + y2/ b2 = 1 y2 = 4px x2 /a2 - y2/ b2 = 1

y

r

y C

x x

y b a

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

(x x)2 +( y- y)

2 =

r2

(x x)2 +( y- y)

2 = 1

a2 b

2

( y- y)2 = 4p(x x) (x x)

2 - ( y- y)

2 =

1

a2 b

2

Equaes de sees cnicas Degeneradas Um ponto Um par de retas coincidentes Uma reta simples

y

x

y

x

x2 + y

2 = 0 x

2 y

2 = 0 y = ax

Ce

ntr

o n

a o

rig

em

C

en

tro

(x

,y

)

QUDRICAS: Classificao

O lugar geomtrico representado por uma das equaes obtidas a partir da equao, dada na forma geral, do segundo grau nas trs varivies x, y e z:

0222 =+++++++++ dzcybxazyFzxEyxDzCyBxA

chamado de superfcie qudrica. Vamos mostrar as no degeneradas.

Equaes de Superficies Quadricas Esfera Elipside Centro (0,0,0) Raio r

x2 + y

2 + z

2 = r

2

Centro ( x, y,z) Raio r

(x-x)2+(y-y)

2+(z-z)

2 =

r2

Centro ( 0,0,0) + + = r2

Centro ( x,y,z)

+ + = r2

Parabolide Hiperbolide Elptico Hiperblico De Uma Folha De Duas Folhas z = +

z = -

+ - = 1

- - = 1

Exerccio: Determine e esboce o domnio da funo 22216),,( zyxzyxf =

GRFICOS DE FUNES DE VRIAS VARIVEIS

Para uma funo f de uma varivel, o grfico de f(x) no plano xy definido como sendo o grfico da equao y = f(x). Analogamente, se f uma funo de duas variveis, define-se o grfico de f(x,y) no espao xyz, como sendo o grfico da equao z = f(x,y).

Ou seja, o conjunto de todos os pontos (x, y, z ) R3, tais que (x,y) Domnio de (f). Assim, em geral tal grfico ser uma superfcie no espao 3-D.

Exemplos: 1) Descreva o grfico das seguintes funes:

a) )23(3

1),( yxyxf = b) 224),( yxyxg =

c) 22),( yxyxh += c) 22),( yxyxk +=

y2

b2

x2

a2

z2

c2

(y-y)2

b2

(x-x)2

a2

(z-z)2

c2

y2

b2

x2

a2

y2

b2

x2

a2

y2

b2

x2

a2

z2

c2

y2

b2

x2

a2

z2

c2

CURVAS DE NVEL Uma forma de representar grficos de funes de duas variveis utilizada por cartgrafos na elaborao de mapas de relevo. Tal procedimento consiste em determinar os conjuntos de pontos do domnio da funo, em que esta permanece constante. Esses conjuntos so chamados curvas de nvel da funo. Exemplos: 1) Esboce o mapa de contorno das seguintes funes, usando curvas de nvel nas alturas indicadas: a) f ( x, y ) = 2 - x y k = -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6. b) f ( x, y ) = 4 - 2x2 - y2 k = 0, 1,2,3,4,5 2) Esboce o grfico das seguintes funes: a) 3),( =yxf b) 1),( =zxg c) 2),( =zyh d) xz =

e) xyxk =1),( f) 2),( yyxw = g) f ( x, y ) = 122 ++ yx

h) 1),( 22 += yxyxg i) 22 99 yxz =

Na verdade, as curvas de nvel so utilizadas para representar uma paisagem tridimensional, como a extenso de uma montanha, por linhas de contorno bidimensionais ou curvas de elevao constante. O mapa de contorno construdo passando pelos planos de elevao constante, projetando o contorno resultante sobre uma superfcie plana e classificando os contornos por sua elevao.



LIMITES E CONTINUIDADE

Quando trabalhamos com funes de uma varivel, os domnios eram, em geral

intervalos. Para funes de duas ou trs variveis, a situao diferente. Assim iremos

apresentar alguns conceitos para facilitar a interpretao de limites destas funes.

Definio 1: Bola Aberta: Dados P0 ( x0, y0 ) R2

e um nmero positivo r, a bola aberta

B(P0,r), de centro em P0 e raio r, definida como o conjunto de todos os pontos P(x,y)

R2 cuja distncia at P0 menor que r, isto , pelos pontos P(x,y) que satisfazem

| P P0 | < r.

Geometricamente, B (P0, r) o conjunto de todos os pontos internos circunferncia

de centro em P0 e raio r.

Podemos escrever:

})()(|),{(),( 202

0

2

0 ryyxxRyxrPB

Exemplo:

1) Seja A o conjunto de todos os pontos do plano xy que esto dentro ou sobre o

crculo de raio 1 centrado na origem. Escreva, na notao de conjuntos, e

represente geometricamente o conjunto A, seu interior I e sua fronteira B.

2) Seja A = { ( x, y, z ) R3 / x > 0, y > 0, z > 0 }, verifique se A aberto, e determine a fronteira de A.

3) Seja D = {( x, y ) R2 / y 2x + 1} { ( 0, 0 )}, verifique se D aberto.

Definio 4: Conjuntos Limitados e Ilimitados: Seja A um conjunto de pontos do R2 .

Dizemos que A limitado se o

conjunto inteiro couber dentro

de algum retngulo, e ilimitado

se no houver retngulo que

contenha todos os pontos de A.

Analogamente, um conjunto de pontos

no R3 limitado se o conjunto couber

dentro de alguma caixa; e ilimitado, caso contrrio.

Definio 5: Ponto de acumulao: Seja A um conjunto de pontos do R2 .

Dizemos que um ponto P R2 um ponto de acumulao de A se toda bola aberta de

centro em P conter uma infinidade de pontos de A.

Intuitivamente, podemos dizer que P um ponto de acumulao de A quando

existirem pontos de A diferentes de P, que estejam to prximos de P quanto

desejarmos.

Exemplos:

1) Seja }1)()(0|),{(2

0

2

0

2

LIMITES DE UMA FUNO DE DUAS VARIVEIS

Sejam f: A R2 R e (x0,y0) um ponto de acumulao de A. Dizemos que o limite de

f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (x0,y0) um nmero real L se, para todo > 0, existir

um > 0 tal que | f(x,y) L | < sempre que (x,y) A e 0 < | (x,y) (x0,y0) | < . E

denota-se:

lim( x,y)( x0 ,y0 )

f ( x, y) = L ou limxx0yy0

f ( x, y) = L

As propriedades dos limites de funes de uma varivel podem ser estendidas para os

limites de funes de vrias variveis.

Exemplos: 1) Calcular os seguintes limites:

a) limx2y1

( x 3y + x 2y 3 2xy + 4) = b) limx0y2

x + y = c) limx1y1

x 3y + 4

x + y 2

=

LIMITES AO LONGO DE CURVAS

Para uma funo de uma varivel, h limites laterais em ponto x0, mas agora no

temos mais apenas dois sentidos dos quais x pode se aproximar de x0. Para funes de

duas ou mais variveis, a situao mais complicada, pois h uma infinidade de curvas

diferentes ao longo das quais o ponto pode ser aproximado.

Intuitivamente o limite ),(lim),(),( 00

yxfyxyx

existe se por qualquer um dos caminhos

escolhido ele tender sempre para o mesmo L.

A proposio a seguir auxilia essa interpretao.

x0

(x0,y0)

y0

x

y

(x,y)

Proposio: Sejam D1 e D2 dois subconjuntos do domnio de f, D(f), ambos

tendo(x0,y0) como ponto de acumulao. Se f(x,y) tem limites diferentes quando (x,y)

tende a ( x0, y0) atravs de D1 e de D2, respectivamente, ento limxx0yy0

f ( x, y) = L no

existe.

Com isso vemos que certos limites de Funes de duas variveis no existem.

Para isso, tomamos conjuntos particulares convenientes, dados, por exemplo, por

pontos de curvas que passem em (x0, y0). Nesse caso, o limite se transforma no limite

de uma funo de uma varivel.

Exemplos:

1) Se D1 o conjunto dos pontos do eixo dos x, o limite de

f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) atravs dos pontos de

D1 dado por:

limx0y=0

( x, y) = limx0

( x,0)

2) Se D2 o conjunto dos pontos da reta y = 2x, o limite de

f(x,y) quando (x,y) tende a (0,0) atravs dos pontos de D2

dado por:

limx0y= 2x

(x, y) = limx0

(x,2x)

3) Se D3 o conjunto dos pontos de eixo positivo dos y, o

limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (0,0) atravs dos pontos

de D3 dado por:

limy0+x=0

( x, y) = limy0+

(0, y)

4) Verifique o limite das seguintes funes nos conjuntos indicados:

lim( x,y )(0,0 )

2xy

x 2 + y 2

=

D1: Pelo eixo dos x

D2: Pelo eixo dos y

D3: Atravs de pontos da reta y = x.

LIMITES GERAIS DE FUNES DE DUAS VARIVEIS

A interpretao acima importante para afirmar que um determinado limite no

existe, mas insuficiente para afirmar sua existncia, pois o nmero de caminhos

infinito. Assim, a afirmativa

),(lim),(),( 00

Lyxfyxyx

=

Significa que os valores de f(x,y) podem ser tomados to perto quanto quisermos de L

(dentro de unidades de L) restringindo (x,y) a ficar dentro ( mas no no centro) de

uma bola aberta suficientemente pequena centrada em (x0,y0), ou seja:

Definio: Seja f uma funo de duas variveis, escrevemos

),(lim),(),( 00

Lyxfyxyx

=

Se dado um numero >0, podemos encontrar um numero >0 de modo que f(x,y)

satisfaa |f(x,y)-L|

CONTINUIDADE

Definio: Sejam f: A R2 R e ( x0, y0) um ponto de acumulao de A. Dizemos que

f contnua em ( x0, y0) se:

lim(x ,y)(x0 ,y0 )

f (x,y) = f (x0 ,y0 )

Alm disso, se f for contnua em cada ponto de uma regio R no plano cartesiano,

ento dizemos que f contnua sobre R. Ainda, dizemos que uma funo contnua se

ela for continua em cada ponto do seu domnio.

Exemplos: 1) Discutir a continuidade da funo:

f ( x, y) =x 2 + y 2 + 1, se x 2 + y 2 4

0, se x 2 + y 2 > 4

Proposies:

1. Sejam f e g duas funes contnuas no ponto ( x0, y0) ento:

a) f+g contnua em ( x0, y0);

b) f-g contnua em ( x0, y0);

c) f.g contnua em ( x0, y0);

d) f/g contnua em ( x0, y0)

e) fog contnua em ( x0, y0);

2. Uma funo polinomial de duas variveis contnua no R2.

3.Uma funo racional de duas variveis contnua em todos os pontos do seu

domnio.

Exemplos: Discuta a continuidade das seguintes funes:

)4ln(),()

2233

1),()

252),()

22

22

22

+=

+++

+=

+=

yxyxhc

yxxyxyx

yxyxgb

xyyxyxfa



DERIVADAS PARCIAIS

Sejam f: A R2 R

z = f ( x ,y )

Para fazer tal anlise, considera-se que apenas uma varivel se modifica, enquanto a outra

mantida fixa. Esse procedimento nos levar a definio de uma derivada para cada uma das

variveis independentes. Essas derivadas so ditas parciais.

Definio: Se z = f ( x, y ), ento a derivada parcial de 1a. ordem de f em relao a x (tambm

chamada de derivada parcial de 1a. ordem de z em relao a x) a derivada em relao a x da

funo que resulta quando y mantido fixo e x permitido variar. Esta derivada pode ser

expressa como o limite:

Pode ser denotada por: fx ( x, y )

f / x ; Dx f ( x, y )

Analogamente a derivada parcial de 1a. ordem de f em relao a y ( tambm chamada de

derivada parcial de 1a. ordem de z em relao a y) a derivada em relao a y da funo que

resulta quando x mantido fixo e y permitido variar. Esta derivada pode ser expressa como o

limite:

Pode ser denotada por: fy ( x, y )

f / y ; Dy f ( x, y )

Na prtica, pode-se obter as derivadas parciais utilizando as regras de derivao das funes

de uma varivel. Para calcular fx ( x, y) mantm-se y constante e para obter fy (x, y) mantm-se

x constante.

Exemplos: Determine as derivadas parciais de primeira ordem, em relao a x e a y respectivamente, das seguintes funes:

1) f ( x, y) = 2x3 y2 + 2y + 4x 2) g ( x, y ) = x2 + y2 2

3) z = cos ( 3x + 2y) 4) h ( x, y ) = ln ( x y) + x + y

lim f ( x, y) =

x 0

f ( x + x, y) f ( x, y )

x

lim f ( x, y) =

y 0

f ( x, y + y) f ( x, y )

y

Como se comportam os valores de z se x for mantido fixo e

y for permitido variar, ou se y for mantido fixo e x for

permitido variar?

Interpretao geomtrica das Derivadas Parciais de uma Funo de duas Variveis

Sejam f: A R2 R C1: a interseco da superfcie z com o plano y = y0

z = f ( x ,y ) C2: a interseco da superfcie z com o plano x = x0

Assim, geometricamente, fx ( x0, y0 ) pode ser vista como a inclinao da reta tangente curva

C1 no ponto (x0, y0), e fy ( x0, y0 ) pode ser vista como a inclinao da reta tangente curva C2

no ponto (x0, y0). E chamaremos fx ( x0, y0 ) a inclinao da superfcie na direo x em ( x0, y0 ), e

fy ( x0, y0 ) a inclinao da superfcie na direo y em ( x0, y0 ).

Exerccio: Seja f ( x, y )= x2 y + 5y3, determine as inclinaes das superfcies z nas direes x e y

no ponto ( 1, -2).

DERIVADAS PARCIAIS DE FUNES COM MAIS DE DUAS VARIVEIS

A generalizao do conceito de derivadas parciais de 1a. ordem com mais de duas variveis

pode ser feita como: Dada f: A Rn R

z = f ( x1 , x2, x3, ..., xn )

obtm-se n derivadas parciais de 1a. ordem,

representadas por:

xn

f

x

f

x

f

x

f

x

f

,...,4

,3

,2

,1

Exemplos: 1) Dadas as funes abaixo, calcule as derivadas parciais de 1a.ordem

a) f ( x, y, z ) = x3y

2z4 + 2xy + z c) w = (x

2 y

2)/(y

2 + z

2)

b) f ( x, y, z ) = z ln ( x2y cos z) d) f ( x, y, z, t, w ) = xyz ln ( x2 + t2 + w2)

Onde1x

f

calculada mantendo-se x2, x3, ..., xn constantes e variando x1, para calcular

2x

f

mantm-se x1, x3, ..., xn constantes e varia-se x2, e assim sucessivamente.

DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES

Uma vez que as derivadas parciais ( f/x e f/y )de uma funo f ( x ,y ) so funes de x e y, essas funes podem elas mesmas ter derivadas parciais. Isso origina quatro possveis

derivadas parciais de segunda ordem de f, as quais so definidas por:

xxfx

f

xx

f=

=

2

2

yyfy

f

yy

f=

=

2

2

xyfx

f

yxy

f=

=

2 yxf

y

f

xyx

f=

=

2

Os dois ltimos casos so chamados de derivadas de segunda ordem parciais mistas. Exemplos: 1) Dada a funo f(x,y) = x

2y3 + x

4y. Calcule as derivadas de segunda ordem de f.

2) Seja f(x,y) = y2 e

x + y. Determine fxyy

3) Verifique se as derivadas de segunda ordem parciais mistas de f (x,y) = ln ( 4x 5y)

so iguais.

DIFERENCIAIS

Numa funo y=f(x) de uma varivel, a diferencial dy=f (x0)dx representa a

variao de y ao longo da reta tangente em (x0, y0) produzida por uma variao em x.

Analogamente, se z = f(x,y) uma funo de duas variveis, definiremos dz

como sendo a variao de z ao longo do plano tangente em (x0, y0, z0) superfcie z = f(x,y) produzida pelas variaes dx e dy em x e y, respectivamente.

Assim, considerando: x = x x0 e y = y y0

Numa notao clssica, definimos a diferencial das variveis independentes

x e y como acrscimos x e y respectivamente, isto , dx = x e dy=y. Nesse contexto, a diferencial de f em (x,y), relativa a estes acrscimos, indicada por dz ou df, onde:

dyyxy

fdxyx

x

fdz ),(),(

+

= tambm denominada diferencial total de f(x,y)

Derivando duas vezes em relao a x. Derivando duas vezes em relao a y.

Derivando primeiro em relao a x e,

ento em relao a y.

Derivando primeiro em relao a y e,

ento em relao a x.

Exemplos: 1) Seja z = 4x3y2. Determine dz.

2) Calcular a diferencial total de xyxyxf +=),( no ponto (1,1)

3) Dada a funo z = x2 + y

2 xy

a) Determinar uma boa aproximao para o acrscimo da varivel dependente quando

(x,y) passa de (1,1) para (1,001,; 1, 02).

b) Calcular z quando as variveis independentes sofrem a variao dada em (a)

DIFERENCIAL DE FUNES DE TRS VARIVEIS

A definio anterior pode ser estendida para funes de trs ou mais variveis. Por exemplo

para o caso de trs variveis podemos dizer que a diferencial de w = f(x,y,z) em

(x0,y0,z0) dada por: dzzyxz

fdyzyx

y

fdxzyx

x

fw ),,(),,(),,(

+

+

=

Exemplos:

2) Calcule a diferencial da funo f(x,y,z) = x2 y z + 2x 2y no ponto (1,2,1/2).

3) Calcular a diferencial total de :

a) w = x2 + y2 + exyz b) z = x1x2 x2x3 + x3x4

APLICAES DA DIFERENCIAL

Exemplos:1)Dado um retngulo de lados 4cm e 2cm, calcular um valor aproximado para a

variao da rea quando os lados so modificados para 4,01 cm e 2,001cm, respectivamente;

Dado um tringulo retngulo de catetos 1cm e 2cm, calcular um valor aproximado para a

variao da rea quando os lados so modificados para 0,5 cm e 2,01 cm respectivamente;

2) Considere uma caixa, com tampa, de forma cilndrica, com dimenses; raio = 2 cm e altura =

5 cm. O custo do material em sua confeco de R$ 0,81 por cm2. Se as dimenses sofrerem

um acrscimo de 10% no raio e 2% na altura, pergunta-se:

a) Qual o valor aproximado do acrscimo no custo da caixa?

b) Qual o valor exato do acrscimo no custo da caixa?

REGRA DA CADEIA

Se y uma funo diferencivel x e se x for uma funo diferencivel de t,

ento a regra da cadeia para funes de uma varivel afirma:

t

x

x

f

t

f

=

Para deduzir a verso da regra da cadeia para funes de duas variveis,

admite-se que z uma funo de x e y , isto :

z = f ( x, y )

Caso 1: Supondo que x = x (t) e y = y (t) so funes de uma varivel t. Tem-se:

z = f ( x(t), y(t) ) a qual expressa z como uma funo de uma nica varivel t.

Exemplos: 1) Suponha que z = x2y, x = t2 e y = t3 use a regra da cadeia para determinar dz/dt e verifique o resultado expressando z como uma funo de t e diferenciando

diretamente.

2) Suponha z = xy + y, x = cos , y = sen , use a regra da cadeia para determinar dz/d quando = /2.

Caso 2: Supondo que x = x (u,v) e y = y (u,v) so funes diferenciveis de duas variveis u e v .

Exemplos: 1) Sejam f(x,y) = x2y x2 + y2 , x = rcos , y = rsen, encontre as derivadas parciais df/dr e df/d

2) A que taxa est variando a rea de um retngulo se seu comprimento de 8 cm e est crescendo a 3cm/s, enquanto sua largura de 6 cm e est crescendo a 2 cm/s?

Teorema (Regra da Cadeia): Se x = x (t) e y = y (t) forem

diferenciveis em t e se z = f ( x, y ) for diferencivel no ponto

(x(t), y(t)), ento z = f ( x(t) , y(t) ) diferencivel em t e

t

y

y

f

t

x

x

f

t

f

+

=

Teorema (Regra da Cadeia): Se x = x (u,v) e y = y (u,v) tiverem derivadas de primeira ordem no ponto (u,v) e se z = f(x,y)

for diferencivel no ponto(x(u,v),y(u,v)), ento z = f(x(u,v),y(u,v))

tem derivadas de primeira ordem no ponto (u,v) dadas por:

u

y

y

f

u

x

x

f

u

f

+

=

v

y

y

f

v

x

x

f

v

f

+

=

z

t

x

y x

t t

t

y

x

z

y

z

z

y x

v

t

u u

v

v

t

y

z

x

z

u

x

v

x

u

y

v

y

Generalizao: A regra da cadeia pode ser generalizada para um nmero maior de variveis.

OBS: H uma infinidade de variaes da regra da cadeia, dependendo do nmero de

variveis e da escolha das variveis independentes e dependentes.

Exemplos: 1) Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar dw/dt, sabendo que w = ln ( 3x

2 2y + 4z )

3 ; x = t

, y = t

2/3, z = t

2.

2) Suponha que w = e xyz

, x = 3r + s, y = 3r s, z = r2s. Use formas apropriadas da regra

da cadeia para determinar dw/dr e dw/ds.

MXIMOS E MNIMOS DE FUNES DE DUAS VARIVEIS

O objetivo deste captulo analisar os mximos e mnimos de funes de vrias

variveis que podem ocorrer na fronteira de uma regio ou no seu interior.

Aplicaes:

1) Quais as dimenses de uma caixa retangular sem tampa com volume a e com a menor

rea de superfcie possvel?

2) Se a temperatura T em qualquer ponto (x,y) do plano dado por T = T(x,y). Como

determinar a temperatura mxima num disco fechado de raio a centrado na origem? E

a temperatura mnima?

3) Numa regio montanhosa, como um gelogo pode determinar a montanha mais alta e

o vale mais profundo?

MXIMOS E MNIMOS

Definio: Diz-se que uma funo de duas variveis tem um mximo relativo ou local em um

ponto P(x0,y0) se h um crculo centrado em (x0,y0) de modo que f(x0,y0) f(x,y) para todo ponto (x,y) no domnio de f que est situado dentro do crculo, e diz-se que f tem um mximo

absoluto ou global em P(x0,y0) se f(x0,y0) f(x,y), para todos os pontos (x,y) do domnio de f.

(Regra da Cadeia): Se v1, v2, ... , vn so funes de uma varivel t, ento w = f(v1,v2,...,vn) uma funo de t e a regra da cadeia para dw/dt :

t

v

v

w

t

v

v

w

t

v

v

w

t

w n

n

++

+

=

...2

2

1

1

Exemplo: Dada a funo f(x,y) = 4 x2 y2 o ponto (0,0) um ponto de mximo absoluto de

f, pois para todo (x,y) no domnio de f

4 x2 y

2 f(0,0), ou seja, o valor mximo de f(x,y) = 4 x 2 y2 f(0,0) = 4.

Definio: Diz-se que uma funo de duas variveis tem um mnimo relativo ou local em um

ponto P(x0,y0) se h um crculo centrado em (x0,y0) de modo que f(x0,y0) f(x,y) para todo ponto (x,y) no domnio de f que est situado dentro do crculo, e diz-se que f tem um mnimo

absoluto ou global em P(x0,y0) se f(x0,y0) f(x,y), para todos os pontos (x,y) do domnio de f.

Exemplo: Dada a funo z =1 + x2 + y2 . O ponto (0,0) um ponto de mnimo absoluto de z,

pois para todo (x,y) no domnio da funo:

1 + x2 + y2 f(0,0), ou seja, o valor mnimo de f(x,y)= 1 + x2 + y2 f(0,0) = 1.

** Se f tem um mximo ou mnimo relativo em (x0,y0) diz-se que f tem um extremo relativo

em (x0,y0) e se f tiver um mximo ou mnimo absoluto em (x0,y0) diz-se que f tem um extremo

absoluto. Estes extremos podem ser chamados de pontos extremantes.

DETERMINAO DE EXTREMOS

Se g uma funo de uma varivel, ou seja g(x), diz-se que g tem extremo relativo em um

ponto x0 onde g diferencivel, ento g(x0) = 0 ( ou g(x0) no existe).

Analogamente se f uma funo de duas variveis ( que possui derivadas parciais), isto

f(x,y) ( com fx e fy ), diz-se que f tem um extremo relativo em (x0,y0) ento

fx(x0,y0) = 0 e fy (x0,y0) = 0 .

Geometricamente pode-se interpretar que os traos da superfcie z = f(x,y) sobre os

pontos x = x0 e y = y0 tenham retas tangentes horizontais em (x0,y0)

Teorema: Se f tiver um extremo relativo em um ponto (x0,y0)e se as derivadas parciais de

primeira ordem de f existirem nesse ponto, ento

fx(x0,y0) = 0 e fy (x0,y0) = 0

Definio: Um ponto (x0,y0) chamado de ponto crtico da funo f(x,y) se fx (x0,y0) = 0 e

fy(x0,y0) = 0 ou se uma ou ambas derivadas parciais no existem em (x0,y0).

Exemplos: 1) Determine os pontos crticos da seguintes funes:

a) f(x) = x2 + y

2 b) z = 1- x

2 y

2 c) z = x2 + y2

** Pontos extremos so chamados de pontos crticos, mas nem todo ponto

crtico ponto extremo. Um ponto crtico que no extremo chamado de

ponto de sela.

Exemplo: z = y2 x2

CONDIO NECESSRIA PARA A EXISTNCIA DE PONTOS EXTREMANTES

Seja z = f(x,y) uma funo diferencivel num conjunto aberto U R2. Se (x0,y0) U um ponto

extremante local ( mximo ou mnimo local), ento:

fx (x0,y0) = 0 e fy (x0,y0) = 0 isto , (x0,y0) um ponto crtico. Assim, os pontos crticos so

possveis candidatos a pontos extremantes.

CONDIO SUFICIENTE PARA UM PONTO CRTICO SER EXTREMANTE LOCAL

Seja z = f(x,y) uma funo cujas derivadas parciais de 1a. e 2a. ordem so contnuas num

conjunto aberto que contm (x0,y0) e suponha que (x0,y0) seja um ponto crtico de f. Seja D o

determinante

D= ),(),(

),()(

0000

000,0

yxfyxf

yxfyxf

yyyx

xyxx

TESTE DA DERIVADA SEGUNDA

Teorema: Seja f uma funo de duas variveis com derivadas parciais de segunda ordem

contnuas em algum crculo centrado em um ponto crtico (x0,y0) e seja:

D = fxx (x0,y0) fyy(x0,y0) f

2xy(x0,y0)

a) Se D > 0 e fxx(x0,y0) >0 , ento f tem mnimo relativo em (x0,y0); b) Se D > e fxx(x0,y0) < 0 , ento f tem mximo relativo em (x0,y0); c) Se D < 0 , ento f tem um ponto de sela em (x0,y0);

d) Se D=0, ento nenhuma concluso pode ser tirada.

Exemplos: Localize todos os extremos e pontos de sela das seguintes funes:

a) yyxyxyxf 823),( 22 += b) 444),( yxxyyxg =

DETERMINAO DE EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS

Se f(x,y) for contnua sobre um conjunto fechado e limitado R, ento existe um

mximo e mnimo absoluto de f em R (pelo teorema de Weierstrass). Esses extremos absolutos

podem ocorrer ou na fronteira ou no interior de R. Se um extremo absoluto ocorrer no

interior, ento ele ocorre em um ponto crtico, caso ocorra na fronteira, para determina-lo

deve ser feita uma anlise da funo substituindo uma das variveis pela funo da outra, e

aplicar as anlises de mximos e mnimos de funes de uma varivel, vistas no clculo I. Feito

isso, utiliza-se os seguintes passos:

Exemplos: Determine os valores de mximo e mnimo absoluto de

7363),( += yxxyyxf

APLICAES

1) Determine as dimenses de uma caixa retangular aberta no topo, com volume de 32 cm3 e

que requer uma quantidade mnima de material para sua construo.

2) A temperatura T em qualquer ponto (x,y) do plano dada por T(x,y) = 3y2 + x2 x. Qual a

temperatura mxima e a mnima num disco fechado de raio 1 centrado na origem?l

Como determinar os Extremos Absolutos de uma funo Contnua de Duas Variveis em um Conjunto

Fechado e Limitado R

Passo 1: Determinar os pontos crticos de f que esto situados no interior de R.

Passo 2: Determinar todos os pontos de fronteira nos quais os extremos podem ocorrer.

Passo 3: Calcule f(x,y) nos pontos obtidos nos passos precedentes. O maior desses valores o mximo

absoluto e o menor valor o mnimo absoluto.

SequnciasSriesFunes de Vrias VariveisLimites de Funes de Duas VariveisDerivadas Parciais

Ufsc - Cálculo II

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