Cálculo II

Aula 1: Funções de Várias Variáveis e Gráficos

Funções de Várias Variáveis

Funções de Várias Variáveis

Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa, a cada par ordenado de números reais (x,y) de um conjunto D, um único valor real denotado por f(x,y).

O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem o conjunto de valores de f, ou seja, {f(x,y)|(x,y)D}.

Exemplo 1

Determine os domínios das seguintes funções e calcule f(3,2).

1) ( , )

1

x ya f x y

x

2) ( , ) ln( )b f x y x y x

Solução

a)

Solução

b)

Exemplo 2

Determine o domínio e a imagem de

2 2( , ) 9g x y x y

Solução

Gráficos

Exemplo 3

Esboce o gráfico da função ( , ) 6 3 2f x y x y

Exemplo 4

Desenhe o gráfico da função

2 2( , ) 9g x y x y

Exemplo 5

Determine o domínio, a imagem e o gráfico de 2 2( , ) 4h x y x y

Mais exemplos

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Curvas de Nível

As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equações

f(x,y) = k, onde k é uma constante.

Exemplo 1

Exemplo 2

Curvas isotérmicas

Exemplo 3

A figura a seguir mostra um mapa da função f. Utilize-o para estimar os valores de f(1, 3) e f(4, 5).

(1,3) 73f

(4,5) 56f

Exemplo 4

Esboce o gráfico das curvas de nível da função f(x,y) = 6 – 3x – 2y para os valores k = -6, 0, 6, 12.

Exemplo 5

Esboce o gráfico das curvas de nível das funções

2 2( , ) 9 , para 0,1,2,3.g x y x y k

Exemplo 6

Esboce algumas curvas de nível da função2 2( , ) 4h x y x y

Exemplo 7

Exemplo 8

Funções com três variáveis

É uma regra que associa a cada tripla ordenada (x,y,z) em um domínio D3 um único número real denotado por f(x,y,z).

Exemplo 9

Determine o domínio de

( , , ) ln( ) sen .f x y z z y xy z

3, , |D x y z z y R

Superfície de nível

São as superfícies com equação f(x,y,z) = k , onde k é uma constante.

Se um ponto (x,y,z) se move ao longo de uma superfície de nível, o valor de f(x,y,z) permanece fixo.

Exemplo 10

Determine as curvas de nível da função 2 2 2( , , ) .f x y z x y z