Cálculo Integral em R(Primitivação e Integração)

Miguel Moreira e Miguel Cruz

Conteúdo

1 Primitivação 21.1 Noção de primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Algumas primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Propriedades das primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Técnicas de Primitivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 Primitivação por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2 Primitivação por mudança de variável (ou substituição) 51.4.3 Primitivação por decomposição . . . . . . . . . . . . . 9

2 O Integral de Riemann 122.1 Partições de intervalos e somas de Riemann . . . . . . . . . . 122.2 Integrabilidade à Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Propriedades do Integral de Riemman 153.1 Propriedades elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Teorema Fundamental do Cálculo Integral . . . . . . . . . . . 183.3 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Integração por mudança de variável . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Algumas aplicações do integral de�nido 234.1 Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Cálculo de volumes de sólidos de revolução . . . . . . . . . . . 244.3 Cálculo do comprimento de linha . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Integrais Impróprios 265.1 Limites de integração in�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2 Funções integrandas não limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Critérios de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1 08/Dezembro/2009

1 Primitivação

1.1 Noção de primitiva

De�nição 1 Se f e F são funções de�nidas no intervalo [a; b], F é diferen-ciável em todos os pontos de [a; b] e se para todo o x 2 [a; b],

F 0 (x) = f (x) ;

diz-se que F é uma primitiva de f em [a; b].

Observação 1 Nestas circunstâncias diz-se que f é primitivável em [a; b] :

Exemplo 1 As funções F (x) = sinx e G(x) = sinx + 3 são primitivas decosx em R pois (sinx)0 = (sin x+ 3)0 = cos x.

Como se pode veri�car, se F for uma primitiva de f , também F + C(em que C é uma constante) é uma primitiva de f . Mas será que todasas primitivas de uma dada função diferem entre si de uma constante? Oseguinte teorema responde a�rmativamente a esta questão (mas só se F foruma primitiva de f num intervalo).

Proposição 1 Sejam F e G duas primitivas de f no intervalo [a; b]. Então,F (x)�G (x) = C (em que C é uma constante), isto é, F e G diferem entresi de uma constante.Dem. Reparando que,

(F (x)�G (x))0 = F 0 (x)�G0 (x)= f (x)� f (x)= 0;

deduz-se que F � G é constante no intervalo [a; b], em resultado de umcorolário do teorema de Lagrange. .

De�nição 2 Seja F a primitiva de uma função f no intervalo I; se nada fordito em contrário, denotamos por Pf (x) ; Pxf (x) ou

Rf (x) dx o conjunto

das primitivas de f no intervalo I. Nestas circustâncias (e tendo em conta oresultado anterior)

Pf (x) = fF (x) + C : C 2 Rg ;

ou simpli�cadamentePf (x) = F (x) + C:

2 08/Dezembro/2009

Função Primitivasin x � cosx+ Ccosx sin x+ C

x�; (� 6= �1; x > 0) x�+1

�+1+ C

1x

ln jxj+ C1

1+x2arctanx+ C

1p1�x2 arcsinx+ C

Tabela 1: Tabela de primitivas elementares

Função Primitiva'0 (x) sin' (x) � cos' (x) + C'0 (x) cos' (x) sin' (x) + C

'0 (x)' (x)� ; (� 6= �1; ' (x) > 0) ['(x)]�+1

�+1+ C

'0(x)'(x)

ln j' (x)j+ C'0(x)

1+['(x)]2arctan' (x) + C

'0(x)p1�['(x)]2

arcsin' (x) + C

Tabela 2: Tabela de primitivas imediatas

1.2 Algumas primitivas imediatas

Na tabela 1 apresentamos algumas primitivas imediatas.Reparando que

(F (' (x)))0 = '0 (x)F 0 (' (x))

atendendo à regra de derivação da função composta concluí-se facilmente queF (' (x)) é uma primitiva de '0 (x)F 0 (' (x)).Na tabela 2 apresentamos a versão mais geral da tabela 1.

1.3 Propriedades das primitivas

Proposição 2 Sejam f e g funções primitiváveis no intervalo [a; b] e � 2 R.Então, no intervalo [a; b]:

1. P (f (x) + g (x)) = Pf (x) + Pg (x) ;

2. P (�f (x)) = �Pf (x) ;

Proposição 3 Seja f uma função diferenciável no intervalo [a; b]. Então,no intervalo [a; b],

Pxf0 (x) = f (x) + C:

3 08/Dezembro/2009

Dem. (f (x) + C)0 = f 0 (x).

Proposição 4 Toda a função contínua num intervalo é primitivável nesseintervalo.Dem. Ver a parte 1 do teorema fundamental do cálculo integral (pro-

posição 21).

1.4 Técnicas de Primitivação

1.4.1 Primitivação por partes

Proposição 5 Sejam f e g são funções com derivada contínua no intervalo[a; b]. Então, neste mesmo intervalo

P (f 0 (x) g (x)) = f (x) g (x)� P (f (x) g0 (x)) :

Dem. Da fórmula de derivação do produto,

(f (x) g (x))0 = f 0 (x) g (x) + f (x) g0 (x) ;

resultaf 0 (x) g (x) = (f (x) g (x))0 � f (x) g0 (x) .

Notando que estas funções são todas primitiváveis pois são contínuas (pro-posição 4), deduz-se

P (f 0 (x) g (x)) = P�(f (x) g (x))0

�� P (f (x) g0 (x))

= f (x) g (x)� P (f (x) g0 (x)) ;

tendo em conta algumas das propriedades, já assinaladas, da primitivação.

Exemplo 2 Calcule P sin2 x.Fazendo f 0 (x) = sinx e g (x) = sinx, resulta f (x) = � cosx e g0 (x) =

cosx. Aplicando a fórmula de primitivação por partes,

P (sinx sin x) = � cosx sin x� P�� cos2 x

�= � cosx sin x+ P

�1� sin2 x

�= � cosx sin x+ x� P sin2 x:

Então,

P sin2 x =� cosx sin x+ x

2+ C:

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Exemplo 3 Calcule P lnx.Fazendo f 0 (x) = 1 e g (x) = lnx resulta f (x) = x e g0 (x) = 1

x. Assim,

P lnx = x lnx� Px1x= x (lnx� 1) + C:

Exemplo 4 Calcule Pxex.Fazendo f 0 (x) = ex e g (x) = x resulta f (x) = ex e g0 (x) = 1. Assim,

Pxex = xex � P1ex = ex (x� 1) + C:

1.4.2 Primitivação por mudança de variável (ou substituição)

Comecemos por apresentar a seguinte notação para representar f (g (t)):

f (g (t)) = f (x)jx=g(t) :

Proposição 6 Seja f uma função contínua no intervalo [a; b] e x = ' (t)uma aplicação com derivada contínua e que não se anula. Então,

Pxf (x) = Ptf (' (t))'0 (t)jt='�1(x) :

Dem. Claramente y = f (x) e z = f (' (t))'0 (t) são funções primi-tiváveis no intervalo [a; b] relativamente às variáveis x e t; respectivamente.Seja, H (t) uma primitiva de f (' (t))'0 (t) e

H�'�1 (x)

�= Ptf (' (t))'

0 (t)jt='�1(x) ;

mostremos qued(H('�1(x)))

dx= f (x). Da regra de derivação da função com-

posta e da função inversa deduz-se sucessivamente,

d (H ('�1 (x)))

dx=

d (H (t))

dt

����t='�1(x)

d ('�1 (x))

dx

= f (' (t))'0 (t)jt='�1(x)1

'0 (t)

����t='�1(x)

= f (x)'0�'�1 (x)

� 1

'0 ('�1 (x))

= f (x) :

Observação 2 Seguidamente apresentamos uma demonstração alternativada proposição anterior.

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Dem. Seja F uma primitiva de f e H (t) = F (' (t)). Então

H 0 (t) = F 0x (' (t))'0 (t)

= f (' (t))'0 (t) ;

o que mostra que H (t) = F (' (t)) é uma primitiva de f (' (t))'0 (t). Assim,se em H substituirmos ' (t) por x (ou seja �zermos t = '�1 (x)) obteremosF (x).

Observação 3 Utilizando outra notação para representar o conceito de prim-itiva a fórmula de primitivação por substituição pode ser apresentada daforma seguinte: Z

f (x) dx =

Zf (' (t))'0 (t) dt

����t='�1(x)

=

Zf (' (t))

d'

dtdt

����t='�1(x)

:

Exemplo 5 Calcule P 1(2x+1)2

.

Seja t = 2x + 1; isto é, façamos x = ' (t) = t�12. Da fórmula de primiti-

vação por substituição,

Px1

(2x+ 1)2= Pt

'0 (t)

(2' (t) + 1)2

����t=2x+1

= Pt

12

t2

����t=2x+1

= �12t�1��2x+1

= � 1

2 (2x+1)+ C:

Exemplo 6 Calcule Pep2�x.

Façamosp2� x = t, isto é, x = ' (t) = 2� t2. Assim, '0 (t) = �2t e

Pxep2�x = Pt'

0 (t) ep2�'(t)

���t='�1(x)

= Pt (�2t) et��t='�1(x)

= �2Ptet��t='�1(x)

= �2�et (t� 1)

���t='�1(x)

= �2�ep2�x �p2� x� 1��+ C:6 08/Dezembro/2009

Exemplo 7 Calcule Pp4� x2.

Seja x = ' (t) = 2 sin t. Então, '0 (t) = 2 cos t e

Pxp4� x2 = Pt'

0 (t)

q4� ' (t)2

����t='�1(x)

= Pt2 cos t

q4� (2 sin t)2

����t='�1(x)

= 4Pt cos2 t��t=arcsin x

2

:

Mas,

Pt cos2 t = Pt

�1� sin2 t

�=

= t� � cos t sin t+ t2

=t+ cos t sin t

2:

Então,

Pxp4� x2 = 4

t+ cos t sin t

2

����t=arcsin x

2

= 2�arcsin

x

2+ cos arcsin

x

2sin arcsin

x

2

�= 2

arcsin

x

2+x

2

r1� x

2

4

!+ C

Uma das principais di�culdades na primitivação por substituição residena escolha da mudança de variável adequada. Em numerosas situaçõesencontram-se estudadas substituições aconselhadas, tais como as que se ap-resentam na tabela 3, na qual f é uma função racional dos argumentos in-dicados. A utilização destas substituições permite transformar a função aprimitivar numa função racional que pode ser primitivada por decomposição.

Exemplo 8 Calcule P 1px2+c

.Notemos que a > 0 em x2 + c. Utilizemos por isso a primeira das substi-

tuições recomendada na tabela 3,px2 + c = t+ x:

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Primitiva SubstituiçãoPf�x;pax2 + bx+ c

�; a > 0

pax2 + bx+ c = t+ x

pa

Pf�x;pax2 + bx+ c

�; c > 0

pax2 + bx+ c = tx+

pc

Pf�x;pax2 + bx+ c

�;

pax2 + bx+ c = (x� �) t;

b2 � 4ac > 0 � raíz de ax2 + bx+ cPf (ex) x = ln t

Tabela 3: Primitivação por substituição

Assim, x = ' (t) = c�t22te '0 (t) = � t2+c

2t2e

Px1px2 + c

= � Pt1

t+ c�t22t

t2 + c

2t2

�����t=px2+c�x

= � Pt1

t

����t=px2+c�x

= � ln���px2 + c� x���+ C:

Exemplo 9 Calcule P ex+2e�x

e2x.

Notemos queex + 2e�x

e2x=e2x + 2

e3x

e façamos x = ' (t) = ln t. Assim, '0 (t) = 1te

Pxex + 2e�x

e2x= Pt

t2 + 2

t31

t

����t=ex

Exemplo 10 Calcule P 1+px2�3x�2x�1 .

Notemos que a > 0 e que x2 � 3x � 2 tem duas raízes reais distintaspois b2 � 4ac > 0. Podemos recorrer à primeira ou última das substituiçõesassinaladas na tabela 3. Utilizando a primeira das substituições, façamos

px2 � 3x� 2 = t+ x:

Assim,

x = ' (t) = �2 + t2

3 + 2te

'0 (t) = �2t2 + 6t� 4(3 + 2t)2

:

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Resultando,

Px1 +

px2 � 3x� 2x� 1 = Pt

1 + t� 2+t2

3+2t

�2+t2

3+2t� 1

��2t

2 + 6t� 4(3 + 2t)2

������t='�1(x)

No próximo ponto iremos ver como primitivar funções racionais.

1.4.3 Primitivação por decomposição

A decomposição é uma técnica de primitivação de funções racionais que con-siste em decompor em fracções elementares de primitivação imediata ou quaseimediata a função racional que se pretende primitivar.

Proposição 7 Seja F (x) uma função racional. É possível escrever F naforma

F (x) = H (x) +P (x)

Q (x)

em que H; P e Q representam polinómios tais que o grau de P é inferior aograu do polinómio mónico1 Q.Dem. Omitida.

Exemplo 11 Escreva na forma anteriormente indicada a função racionalF (x) = x4�3x2+x

3x3+x.

Apliquemos o algoritmo da divisão ao quociente F . Facilmente se veri�caque

F (x) =x

3+�10

3x+ 1

3x2 + 1

=x

3+�10

9x+ 1

3

x2 + 13

:

Assim, o cálculo da primitiva de F �ca reduzido ao cálculo da primitivaelementar do polinómio H e da primitiva da fracção racional P=Q com ascaracterísticas atrás indicadas:Z

F (x) dx =

ZH (x) dx+

ZP (x)

Q (x)dx.

Proposição 8 Sejam P e Q polinómios tais que o grau de P é inferior aograu do polinómio mónico Q. Então P=Q pode decompor-se numa soma determos elementares dos tipos seguintes:

1um polinómio é mónico se o coe�ciente do termo de maior grau é 1.

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função Primitiva

a

(x�r)k ; k � 1; k 2 N(a ln j(x� k)j+ C; se k = 1a(x�r)�k+1

�k+1 ; se k > 1bx+d

[(x��)2+�2]b ln((x��)2+�2)

2+ (b�+d)

�arctan

�x���

�+ C

bx+d

[(x��)2+�2]k ; k > 1; k 2 N b(1+t2)

�k+1

2�2k�2(1�k) +b�+d�2k�1

R1

(1+t2)kdt; t =

x���

1

(1+t2)k; k > 1; k 2 N

por partes fazendo,1

(1+t2)k= 1

(1+t2)k�1� t

22t

(1+t2)k

Tabela 4: Primitivação por decomposição

1. a

(x�r)k ; a; r 2 R; k 2 N e k � 1

2. bx+d

[(x��)2+�2]k ; �; �; b, d 2 R; k 2 N e k � 1.

Dem. Omitida.

Desta forma conhecendo as primitivas dos termos elementares a

(x�r)k ebx+d

[(x��)2+�2]k o problema do cálculo de

R P (x)Q(x)

dx �ca resolvido. Na tabela 4

apresentamos as primitivas indicadas.Seguidamente vamos veri�car como podemos decompor P=Q.

Proposição 9 Consideremos o polinómio mónico Q e todas as suas raízesreais rk (1 � k � s) e complexas cl = �l + �li (1 � l � t) assim comoas respectivas multiplicidades �k (1 � k � s) das raízes reais e da raízescomplexas �l (1 � l � t).

Raízes: Multiplicidade:r1 �1...

...rs �s

c1 = �1 � �1i �1...

...ct = �t � �ti �tEntão o polinómio Q pode ser escrito da seguinte forma,

Q (x) = (x� r1)�1 : : : (x� rs)�s�(x� �1)2 + �21

��1: : :�(x� �t)2 + �2t

��tDem. Omitida.

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Exemplo 12 Decomponha na forma indicada o polinómio Q (x) = x3�x2+x� 1.Comecemos por observar que as raízes de Q são r = 1 e c = �i, qualquer

delas de multiplicidade um. Então,

Q (x) = (x� 1)�x2 + 1

�:

Proposição 10 Consideremos a função racional P=Q tal que o grau de Pé menor do que o grau do polinómio mónico Q e todas as raízes reais rk(1 � k � s) e complexas cl = �l+�li (1 � l � t), deste último polinómio,assim como as respectivas multiplicidades �k (1 � k � s) das raízes reais eda raízes complexas �l (1 � l � t). Então,

P (x)

Q (x)=

sXk=1

�kXn=1

a(n)k

(x� rk)n+

tXl=1

�lXm=1

b(m)l x+ d

(m)l�

(x� �l)2 + �2l�m

Dem. Omitida.

De referir que os coe�cientes desconhecidos na decomposição anterior po-dem ser calculados pelo método dos coe�cientes indeterminados.

Exemplo 13 Decomponha da maneira indicada as funções racionais

1. F1 (x) = x2+2x�1(x+1)3(x�1)

x2 + 2x� 1(x+ 1)3 (x� 1)

=a1

(x+ 1)+

a2

(x+ 1)2+

a3

(x+ 1)3+

a4(x� 1) :

2. F2 (x) = x3�1x(x2+1)2

x3 � 1x (x2 + 1)2

=a1x+b1x+ d1(x2 + 1)

+b2x+ d2

(x2 + 1)2:

3. F3 (x) = x+2(x2�1)(x2+1)2

x+ 2

(x2 � 1) (x2 + 1)2=

x+ 2

(x� 1) (x+ 1) (x2 + 1)2

=a1

(x� 1) +a2

(x+ 1)+b1x+ d1(x2 + 1)

+b2x+ d2

(x2 + 1)2:

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4. F4 (x) = x2+2x�1x3�x2+x�1

x2 + 2x� 1x3 � x2 + x� 1 =

x2 + 2x� 1(x� 1) (x2 + 1)

=a1

(x� 1) +b1x+ d1(x2 + 1)

:

Exemplo 14 Decomponha em fracções elementares a função racional

F (x) =x2 + 2x� 1

x3 � x2 + x� 1

e calcule os coe�cientes indeterminados.Do exemplo anterior,

x2 + 2x� 1x3 � x2 + x� 1 =

a1(x� 1) +

b1x+ d1(x2 + 1)

=a1 (x

2 + 1) + (x� 1) (b1x+ d1)(x� 1) (x2 + 1)

=(a1 + b1)x

2 + (d1 � b1)x+ (a1 � d1)(x� 1) (x2 + 1) :

Então, 8<:a1 + b1 = 1d1 � b1 = 2a1 � d1 = �1

)

8<:a1 = 1b1 = 0d1 = 2

) x2 + 2x� 1x3 � x2 + x� 1 =

1

(x� 1) +2

(x2 + 1)

2 O Integral de Riemann

2.1 Partições de intervalos e somas de Riemann

De�nição 3 Seja [a; b] um intervalo com b > a.

1. Uma partição2 de [a; b] é um conjunto de pontos P = fx0; x1; : : : ; xngtal que

a = x0 < x1 < x2 < : : : < xn = b:

2ou decomposição de vértices P:

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2. A norma da partição P = fx0; x1; : : : ; xng é o número (que é sempremaior ou igual a zero),

kPk = max1�j�n

jxj � xj�1j :

3. Um re�namento da partição P = fx0; x1; : : : ; xng é uma partição Qde [a; b] tal que P � Q. Nesta situação diz-se que Q é mais �na doque P:

Exemplo 15 Sejam I = [0; 1], P = f0; 0:1; 0:3; 0:5; 1g e Q = P [ f0:7g.P e Q são duas partições de I tais que kPk = 0:5 e kQk = 0:3. Q é umre�namento da partição P pois P � Q. Naturalmente Q é mais �na do queP:

De�nição 4 Seja [a; b] um intervalo fechado limitado, P = fx0; x1; : : : ; xnguma partição de [a; b] e f : [a; b]! R uma função limitada. Chama-se somade Riemann de f relativamente à partição P ao número

S (f; P ) =nXj=1

f (tj) (xj � xj�1)

comtj 2 [xj�1; xj] com 1 � j � n:

Exemplo 16 Represente e interprete geometricamente uma soma de Rie-mann de f (x) = x2 em [0; 1] e P = f0; 0:25; 0:5; 0:75; 1g :

Proposição 11 Sejam P e Q partições de [a; b] tal que P � Q então kPk �kQk :Dem. Omitida.

De�nição 5 (Convergência de uma soma de Riemann) Seja P = fx0; x1; : : : ; xnguma partição de [a; b] e f : [a; b] ! R uma função limitada. Diz-se que asoma de Riemann de f converge para o número I (f) quando kPk ! 0 separa todo � > 0 existe uma partição P� de [a; b] tal que

P� � P )�����nXj=1

f (tj) (xj � xj�1)� I (f)����� < �

para todas as escolhas de tj 2 [xj�1; xj] ; 1 � j � n. Nestas circunstâncias

I (f) = limkPk!0

nXj=1

f (tj) (xj � xj�1)

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2.2 Integrabilidade à Riemann

De�nição 6 Seja [a; b] um intervalo com b > a. Diz-se que f : [a; b]! R éintegrável à Riemann em [a; b] se f é limitada em [a; b] e se o limite

I (f) = limkPk!0

nXj=1

f (tj) (xj � xj�1) ;

existe. Nestas circunstâncias escreve-se

I (f) =

Z b

a

f (x) dx;

e diz-se queR baf (x) dx é o integral de�nido de f entre a e b.

Na de�nição anterior f representa a chamada função integranda, x avariável de integração, dx o acréscimo in�nitésimal associado a

limkPk!0

(xj � xj�1)

e a e b os limites de integração.

Observação 4 No presente contexto e se nada for dito em contrário a ex-pressão �função integrável� deverá entender-se �função integrável à Rie-mann�.

Exemplo 17 As funções constantes f (x) = k; são integráveis à Riemannpois são limitadas, e f (tj) = k para todas as escolhas de tj 2 [xj�1; xj] ;j = 1; 2; : : : ; n para toda a partição P de [a; b],

nXj=1

k (xj � xj�1) = k

nXj=1

(xj � xj�1)

= k (b� a) :

O seguinte resultado mostra que todas as funções contínuas são integráveisà Riemann.

Proposição 12 As funções contínuas em intervalos fechados e limitados[a; b], são integráveis à Riemann.

Dem. Omitida.O integral de Riemann de uma função positiva entre a e b pode interpretar-

se geometricamente como a área da região do plano limitada superiormentepelo grá�co de f , inferiormente pelo eixo dos xx e lateralmente pelas rectasx = a e x = b.

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Exemplo 18 Consideremos a função f (x) = x e o intervalo [0; 1]. Calcule-mos

R 10f (x) dx.

Consideremos a partição diádica do intervalo indicado,

Pn = fj=2n : j = 0; 1; 2; 3; : : : ; 2ng

e a soma de Riemann,

S (f; P ) =

j=2nXj=1

f

�j

2n

��j

2n� j � 1

2n

�=

j=2nXj=1

j

2n1

2n

=

j=2nXj=1

j

4n

=1 + 2 + 4 + : : :+ 2n

4n

=(1 + 2n) 2n

2� 4n

=

�12n+ 1�

2:

Então, Z 1

0

f (x) dx = limn!1

�12n+ 1�

2

=1

2.

3 Propriedades do Integral de Riemman

3.1 Propriedades elementares

Vamos ver agora algumas propriedades importantes do integral de Riemann.

Proposição 13 (Linearidade do Integral) Sejam f e g integráveis em[a; b] e � 2 R, então f + g e �f são integráveis em [a; b] eZ b

a

(f (x) + g (x)) dx =

Z b

a

f (x) dx+

Z b

a

g (x) dx

e Z b

a

(�f (x)) dx = �

Z b

a

f (x) dx:

15 08/Dezembro/2009

Dem. Deixemos a demonstração da segunda igualdade como exercício edemonstremos a primeira. Comecemos por observar que f + g é limitada em[a; b]. Seja � > 0 e �1 � �

2: Existem partições P�1 e R�1 tais que

P�1 � P )�����nXj=1

f (tj) (xj � xj�1)� I (f)����� < �1 = �

2

e

R�1 � P )�����nXj=1

g (tj) (xj � xj�1)� I (g)����� < �1 = �

2

para todas as escolhas de tj 2 [xj�1; xj] ; j = 1; 2; : : : ; n (porquê?). Conside-remos a partição de [a; b], Q� = P�1 [R�1. Então,�����

nXj=1

(f (tj) + g (tj)) (xj � xj�1)� (I (f) + I (g))����� =�����

nXj=1

f (tj) (xj � xj�1)� I (f) +nXj=1

g (tj) (xj � xj�1)� I (g)����� ������

nXj=1

f (tj) (xj � xj�1)� I (f)�����+�����nXj=1

g (tj) (xj � xj�1)� I (g)����� <

�

2+�

2= �

se Q� � P , para todas as escolhas de tj 2 [xj�1; xj] ; j = 1; 2; : : : ; n (porquê?).O que mostra que,Z b

a

(f (x) + g (x)) dx =

Z b

a

f (x) dx+

Z b

a

g (x) dx

Proposição 14 Se f é integrável em [a; b] então f é integrável em todo osubintervalo [c; d] de [a; b] eZ b

a

f (x) dx =

Z c

a

f (x) dx+

Z b

c

f (x) dx;

para todo o c 2 ]a; b[.Dem. Omitida.

Proposição 15 (Comparação de Integrais) Sejam f e g integráveis em[a; b] e f (x) � g (x) para todo x 2 [a; b] ; entãoZ b

a

f (x) dx �Z b

a

g (x) dx: (1)

16 08/Dezembro/2009

Em particular se m � f (x) �M;

m (b� a) �Z b

a

f (x) dx �M (b� a) : (2)

Dem. Seja h (x) = f (x) � g (x). Então, h (x) � 0 para todo x 2 [a; b],com h e a função constante 0 integráveis à Riemann (porquê?). Por outrolado,

S (h; P ) � S (0; P ) = 0para toda a partição de P de [a; b]. Então,

limkPk!0

nXj=1

h (tj) (xj � xj�1) � 0:

Da linearidade do integral (proposição 15), conclui-seZ b

a

h (x) dx =

Z b

a

(f (x)� g (x)) dx

=

Z b

a

f (x) dx�Z b

a

g (x) dx � 0;

o que mostra que Z b

a

f (x) dx �Z b

a

g (x) dx

como se pretendia.

Proposição 16 Seja f integrável em [a; b] ; então jf j é integrável em [a; b] ;e����Z b

a

f (x) dx

���� � Z b

a

jf (x)j dx:

Dem. Omitida.

Proposição 17 Seja f e g integráveis em [a; b] ; então fg é integrável em[a; b].Dem. Omitida.

Proposição 18 Se f é integrável em [a; b] entãoZ c

c

f (x) dx = 0

17 08/Dezembro/2009

para todo o c 2 [a; b].Dem. Seja c 2 [a; b[, h > 0 tal que c+ h 2 [a; b[ e M o máximo de f em

[a; b]. Então, das proposições 16 e 15,����Z c+h

c

f (x) dx

���� �Z c+h

c

jf (x)j dx

� M (c+ h� c)� Mh:

Fazendo h ! 0 resulta���R c+hc

f (x) dx��� ! 0. Deste facto resulta a tese.

Análogamente se demonstra a situação c = b.

De�nição 7 Seja f integrável em [a; b], entãoZ a

b

f (x) dx = �Z b

a

f (x) dx:

Esta de�nição pode justi�car-se recorrendo à noção de Integral de Rie-mann e permite generalizar algumas das propriedades já estudadas.

Proposição 19 (Teorema da média) Seja f contínua em [a; b] ; então ex-iste c 2 [a; b] tal que Z b

a

f (x) dx = f (c) (b� a) : (3)

Dem. Naturalmente f é integrável (porquê?). Seja m e M o mínimo e omáximo de f em [a; b], respectivamente. Do teorema de Bolzano (porquef é contínua) para todo � entre m e M existe c 2 [a; b] tal que f (c) = �. Daequação (2) como,

m �R baf (x) dx

b� a �M ,

fazendo � =R ba f(x)dx

b�a resulta a tese.

3.2 Teorema Fundamental do Cálculo Integral

Comecemos por de�nir o que se entende por integral inde�nido.

De�nição 8 Seja f integrável em [a; b]. Então a função

F (x) =

Z x

a

f (t) dt

com x 2 [a; b] diz-se integral inde�nido de f .

18 08/Dezembro/2009

Proposição 20 Seja f integrável em [a; b] ; então

F (x) =

Z x

a

f (t) dt

existe e é contínua em [a; b] :Dem. Seja � > 0, x0 2 [a; b], M = supx2[a;b] f (x) e " =

�M. Então,

recorrendo às propriedades atrás indicadas,

jF (x)� F (x0)j =����Z x

a

f (t) dt�Z x0

a

f (t) dt

����=

( ���R xx0 f (t) dt��� , se x0 � x��R x0xf (t) dt

�� , se x0 > x�

� R xx0jf (t)j dt, se x0 � xR x0

xjf (t)j dt, se x0 > x

� M jx� x0j :

Este facto mostra, como se pretendia, que

jx� x0j < ")xjF (x)� F (x0)j < �.

Proposição 21 (Teorema fundamental do Cálculo Integral) Seja [a; b]um intervalo com b > a e f : [a; b]! R.

1. Se f é contínua em [a; b] então F (x) =R xaf (t) dt tem derivada con-

tínua em [a; b] e

d�R xaf (t) dt

�dx

= F 0 (x) = f (x) : (4)

2. (Fórmula de Barrow) Se f é contínua em [a; b] e G uma primitiva def em [a; b]. Então Z b

a

f (t) dt = G (x)jba= G (b)�G (a) : (5)

Dem.

19 08/Dezembro/2009

1. Seja F (x) =R xaf (t) dt. Calculemos a razão incremental de F em

x0 2 ]a; b[:

F (x0 + h)� F (x0)h

=

R x0+ha

f (t) dt�R x0af (t) dt

h

=

R x0+hx0

f (t) dt

h;

das propriedades elementares do integral. Por outro lado, como f écontínua em [a; b], da proposição 19 (teorema da média) existe �h entrex0 e x0 + h tal queZ x0+h

x0

f (t) dt = f (�h) (x0 + h� x0)

= f (�h)h.

Assim, notando que � ! x0 quando h! 0, (porquê?),

limh!0

F (x0 + h)� F (x0)h

= limh!0

R x0+hx0

f (t) dt

h

= limh!0

f (�h)h

h= f (x0) .

Este facto demonstra que F 0 (x) = f (x) e que F 0 é contínua em ]a; b[.A demonstração de que F 0 (a) = f (a) (derivada de F à direita de a) eF 0 (b) = f (b) (derivada de F à esquerda de b) poderia ser realizada deforma idêntica recorrendo à noção de derivada lateral direita e esquerdarespectivamente.

2. Seja G (x) uma primitiva de f em [a; b]. Então, da proposição 1, jáque

R xaf (t) dt também é uma primitiva de f em [a; b],

G (x)�Z x

a

f (t) dt = k.

Fazendo x = a resulta G (a) = k. Assim,

G (b)�Z b

a

f (t) dt = G (a) ,

o que demonstra a validade da equação (5).

20 08/Dezembro/2009

Observação 5 É possível enfraquecer ligeiramente as hipóteses do número2 da proposição 21:(Fórmula de Barrow) Se F 0 é integrável em [a; b] entãoZ b

a

F 0 (t) dt = F (x)jba= F (b)� F (a) :

A demonstração deste caso pode encontrar-se em [6].

Observação 6 A equação (5) fornece-nos um método de cálculo do integralde�nido e é conhecida por fórmula de Barrow ou fórmula de Newton-Leibniz.

Exemplo 19 Seja f é contínua em [a; b], F (y) =R yaf (t) dt e y = g (x) uma

função diferenciável em ]a; b[. Calcule, a derivada de

H (x) =

Z g(x)

a

f (t) dt;

em ]a; b[.

1. Comecemos por observar que (H (x))0 = (F (g (x)))0. Pela regra dederivação da função composta

(H (x))0 = F 0y (g (x)) g0 (x) :

2. Mas, do número 1 da proposição 21, F 0y (y) = f (y), então

(H (x))0 = f (g (x)) g0 (x) :

Exemplo 20 CalculeR �0sinxdx. Seja � cosx uma primitiva de sin x. En-

tão, do número 2 da proposição 21,Z �

0

sin xdx = � cosxj�0= � cos � � (� cos 0)= � (�1)� (�1) = 2:

21 08/Dezembro/2009

3.3 Integração por partes

Proposição 22 (Fórmula de integração por partes) Sejam f e g difer-enciáveis em [a; b] com f 0 e g0 integráveis em [a; b]. Então,Z b

a

f 0 (x) g (x) dx = f (x) g (x)jba �Z b

a

f (x) g0 (x) dx:

Dem. Da regra de derivação do produto,

f 0 (x) g (x) = (f (x) g (x))0 � f (x) g0 (x) : (6)

Tendo presente a fórmula de Barrow, notando que f (x) g (x) é uma primitivade (f (x) g (x))0 e que os restantes termos da equação anterior são integráveisem [a; b], deduz-se o resultado pretendido, integrando membro a membro aequação (6).

Exemplo 21 CalculeR �=20

x sin xdx.Seja g (x) = x e f 0 (x) = sinx. Nestas circunstâncias g0 (x) = 1 e f (x) =

� cosx. Assim,Z �=2

0

x sin xdx = �x cosxj�=20 �Z �=2

0

1 (� cosx) dx

= 0 +

Z �=2

0

cosxdx

= sin xj�=20 = 1:

3.4 Integração por mudança de variável

Proposição 23 (Mudança de variável) Seja x = ' (t) uma função comderivada contínua em [a; b], intervalo fechado e limitado, tal que ' (a) �' (b). Se,

1. f for contínua em ' ([a; b]) ; ou se,

2. ' for estritamente crescente em [a; b] e f for integrável em [' (a) ; ' (b)],então,

Z '(b)

'(a)

f (x) dx =

Z b

a

f (' (t))'0 (t) dt.

Dem. Demonstremos apenas o primeiro resultado (a demonstração donúmero 2 pode encontrar-se em [6]). Suponha-se f contínua em ' ([a; b]) =

22 08/Dezembro/2009

[' (a) ; ' (b)]. Seja, F (x) =R x'(a)

f (�) d� uma primitiva de f . Note-se que Fé uma primitiva de f em resultado do número 1 da proposição 21. Por outrolado H (t) = F (' (t)) é uma primitiva da função contínua f (' (t))'0 (t).Assim pela fórmula de Barrow resulta sucessivamente,Z b

a

f (' (t))'0 (t) dt = H (b)�H (a)

= F (' (b))� F (' (a))

=

Z '(b)

'(a)

f (x) dx

Exemplo 22 CalculeR 10

1p1�x2dx.

Seja x = ' (t) = sin t e '0 (t) = cos t. Assim, quando x = 1 e x = 0;t = arcsin 1 = �

2e t = 0: Então,Z 1

0

1p1� x2

dx =

Z �2

0

cos tq1� (sin t)2

dt

=

Z �2

0

1dt

=�

2.

4 Algumas aplicações do integral de�nido

4.1 Cálculo de áreas

A área A; limitada pelas curvas (correspondentes a funções integráveis) y =f (x) e y = g (x) e pelas rectas verticais x = a e x = b (a � b), podecalcular-se recorrendo à seguinte expressão:

A =

Z b

a

jf (x)� g (x)j dx

Note-se queZ b

a

jf (x)� g (x)j dx = limkPk!0

nXj=1

jf (tj)� g (tj)j (xj � xj�1)

facto que interpretado geometricamente justi�ca a a�rmação.

23 08/Dezembro/2009

Exemplo 23 Cálcule a área limitada pelas curvas y = sinx e o eixo dos xxentre x = 0 e x = �.Seja então

A =

Z �

0

jsin x� 0j dx =Z �

0

sin xdx

= � cos � + cos 0 = 2:

Exemplo 24 Cálcule a área limitada pelas curvas y = x e y = x2 entrex = 0 e x = 1.Seja então

A =

Z 1

0

��x� x2�� dx = Z 1

0

�x� x2

�dx

=x2

2� x

3

3

����10

=1

6:

4.2 Cálculo de volumes de sólidos de revolução

O volume V de um sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixodos xx da área limitada pelas curvas (correspondentes a funções integráveisnão negativas) y = f (x) e y = g (x) e as rectas x = a e x = b (a � b), podeser calculado pela seguinte expressão:

V =

Z b

a

���f 2 (x)� g2 (x)�� dx

Note-se queZ b

a

���f 2 (x)� g2 (x)�� dx = lim

kPk!0

nXj=1

���f 2 (tj)� g2 (tj)�� (xj � xj�1)

facto que interpretado geometricamente justi�ca a a�rmação.

Exemplo 25 Cálcule o volume de uma esfera de raio igual a um.Seja então y =

p1� x2;

V =

Z 1

�1�

�����p1� x2�2 � 02���� dx= �

Z 1

�1

�1� x2

�dx

= �

�x� x

3

3

�����1�1

= �4

3:

24 08/Dezembro/2009

Exemplo 26 Cálcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotaçãoda superfície limitada pelas curvas y = kx e o eixo dos xx entre x = 0 ex = h (k > 0 e h > 0).Seja então

V =

Z h

0

���(kx)2 � 02�� dx

= �k2Z h

0

x2dx

=�k2h3

3:

4.3 Cálculo do comprimento de linha

O comprimento l da linha associada ao grá�co da função y = f (x) (comderivada contínua) entre x = a e x = b (isto é entre os pontos (a; f (a)) eb; f (b)), pode calcular-se recorrendo ao seguinte integral de�nido por

l =

Z b

a

s1 +

�df

dx(x)

�2dx

Note-se queZ b

a

s1 +

�df

dx(x)

�2dx = lim

kPk!0

nXj=1

s1 +

�df

dx(tj)

�2(xj � xj�1)

facto que interpretado geometricamente justi�ca a a�rmação.

Exemplo 27 Calcule o perímetro de uma circunferência de raio igual a um.Seja f (x) =

p1� x2 e f 0 (x) = � xp

1�x2 . Então,

l = 8

Z p22

0

s1 +

�� xp

1� x2

�2dx

= 8

Z p22

0

r1

1� x2dx

= 8

Z �4

0

r1

1� sin2 tcos tdt

= 8�

4= 2�;

fazendo a mudança de variável x = sin t.

25 08/Dezembro/2009

5 Integrais Impróprios

A operação de integração pode ser extendida a intervalos não limitados e/oufunções não limitadas recorrendo à noção de integral impróprio que podem,assim, ocorrer em duas situações diferentes:

1. quando os limites de integração são in�nitos, isto é, quando o intervalode integração não é limitado (Integrais impróprios de 1a espécie);

2. quando a função integranda é não limitada no intervalo de integração.(In-tegrais impróprios de 2a espécie)

5.1 Limites de integração in�nitos

De�nição 9 Seja f uma função integrável para todo o � sempre que [a; �] �[a;+1[ : O integral impróprio, da função f em [a;+1] ; é o limiteZ +1

a

f (x) dx = lim�!+1

Z �

a

f (x) dx

caso exista e seja �nito. Nesta situação diz-se queR +1a

f (x) dx existe ouconverge.

Se lim�!+1R �af (x) dx não existir nem for �nito diz-se que

R +1a

f (x) dxnão existe ou diverge.De�ne-se de maneira análoga,Z a

�1f (x) dx = lim

�!�1

Z a

�

f (x) dx;Z +1

�1f (x) dx = lim

�!�1

Z a

�

f (x) dx+ lim�!+1

Z �

a

f (x) dx:

Exemplo 28 CalculemosR +10

11+x2

dx:Z +1

0

1

1 + x2dx = lim

�!+1

Z �

0

1

1 + x2dx

= lim�!+1

arctanxj�0= lim

�!+1arctan�

=�

2:

26 08/Dezembro/2009

Exemplo 29 CalculemosR +11

1x2dx:Z +1

1

1

x2dx = lim

�!+1

Z �

1

1

x2dx

= lim�!+1

�x�1���1

= lim�!+1

����1 � (�1)

�= 1:

Exemplo 30 CalculemosR +1�1

11+x2

dx:Z +1

�1

1

1 + x2dx = lim

�!�1

Z 0

�

1

1 + x2dx+ lim

�!+1

Z �

0

1

1 + x2dx

= lim�!�1

arctanxj0� +�

2

= � lim�!�1

arctan�+�

2= �:

Exemplo 31 Mostre queR +11

1xdx diverge.Z +1

1

1

xdx = lim

�!+1

Z �

1

1

xdx

= lim�!+1

ln jxjj�1= lim

�!+1ln (�)

= +1:

Exemplo 32 Estude quanto à convergência o integral impróprioR +11

1xkdx.

Seja k = 1, do exemplo anterior veri�ca-se que o integral impróprio referidonão converge. Suponha-se k 6= 1. EntãoZ +1

1

1

xkdx = lim

�!+1

�x�k+1

�k + 1

������1

=1

(1� k) lim�!+1

�1

�k�1

�� 1

(1� k) :

O que mostra queR +11

1xkdx converge, quando k > 1; pois lim�!+1

�1

�k�1

�=

0 e diverge quando 0 � k < 1 pois lim�!+1�

1�k�1

�= +1. Em resumo,

k � 1)Z +1

1

1

xkdx diverge e

k > 1)Z +1

1

1

xkdx converge. (7)

27 08/Dezembro/2009

5.2 Funções integrandas não limitadas

De�nição 10 Seja f uma função integrável para todo o � sempre que [a; �] �[a; c[ e não limitada em � = c. O integral impróprio, da função f em [a; c] ;é o limite Z c

a

f (x) dx = lim�!c�

Z �

a

f (x) dx

caso exista e seja �nito. Nesta situação diz-se queR caf (x) dx existe ou con-

verge.

Se lim�!c�R �af (x) dx não existir nem for �nito diz-se que

R caf (x) dx não

existe ou diverge.De�ne-se de maneira análoga,

R baf (x) dx quando a não limitação de f

se veri�ca em x = a, limite inferior de integração, ou x = c; pertencente aointerior do intervalo [a; b]:Z b

a

f (x) dx = lim�!a+

Z b

�

f (x) dx;Z b

a

f (x) dx = lim�!c�

Z �

a

f (x) dx+ lim�!c+

Z b

�

f (x) dx:

Exemplo 33 CalculemosR 10

1p1�xdx:Z 1

0

1p1� x

dx = lim�!1�

Z �

�

1p1� x

dx

= lim�!1�

� (1� x)1=2

1=2

������

0

= �2 lim�!1�

(1� x)1=2����0

= �2�lim�!1�

(1� x)1=2 � 1�

= 2:

Exemplo 34 Calcule o perímetro de uma circunferência de raio igual a um.

28 08/Dezembro/2009

Seja f (x) =p1� x2 e f 0 (x) = � xp

1�x2 . Então,

l = 4

Z 1

0

s1 +

�� xp

1� x2

�2dx

= 4 lim�!1�

Z �

0

r1

1� x2dx

= 4 lim�!�

2�

Z �

0

r1

1� sin2 tcos tdt

= 4 lim�!�

2��

= 4�

2= 2�;

fazendo a mudança de variável x = sin t.

Exemplo 35 CalculemosR 10

1x2dx:

Z 1

0

1

x2dx = lim

�!0+

Z 1

0

1

x2dx

= lim�!0+

�x�1��1�

= +1Exemplo 36 Estude quanto à convergência o integral impróprio

R 10

1xkdx.

Seja k = 1, então Z 1

0

1

xdx = lim

�!0+ln jxjj1� = +1

O que mostra queR 10

1xkdx não converge, quando k = 1: Suponha-se que

k 6= 1. Então Z 1

0

1

xkdx = lim

�!0+

�x�k+1

�k + 1

�����1�

=1

(1� k) �1

(1� k) lim�!0+

�1

�k�1

�:

o que mostra queR 10

1xkdx diverge se k > 1 (pois lim�!0+

�1

�k�1

�= +1) e

converge se 0 � k < 1. Em resumo,

k < 1)Z 1

0

1

xkdx converge e

k � 1)Z 1

0

1

xkdx diverge. (8)

29 08/Dezembro/2009

Exemplo 37 Seja f (x) = x�3=4. Mostre queR 10f (x) dx converge e queR 1

0� (f (x))2 dx não converge. Interprete o resultado geometricamente.Antendendo ao resultado (8) concluí-se imediatamente que

R 10

1x3=4dx é

convergente e Z 1

0

��x�3=4

�2dx = �

Z 1

0

1

x3=2dx

é divergente. Este facto mostra que a área limitada superiormente pela curvaf e inferiormente pelo eixo dos xx; entre x = 0 e x = 1; é �nita enquantoque o volume do sólido de revolução, gerado pela mesma, é in�nito.

5.3 Critérios de convergência

Antes de apresentarmos alguns importantes critérios de convergência iremosreferir a de�nição de convergência absoluta de um integral impróprio.

De�nição 11 Seja Z b

a

f (x) dx

um integral impróprio de 1a ou de 2a espécie. Este integral diz-se absoluta-mente convergente se o integral impróprioZ b

a

jf (x)j dx

convergir.

O seguinte resultado relaciona a convergência absoluta de um integralimpróprio com a sua convergência, dita, simples.

Proposição 24 SejaR baf (x) dx um integral impróprio de 1a ou de 2a es-

pécie. SeR bajf (x)j dx é um integral impróprio convergente então

R baf (x) dx

também é convergente.Dem. Omitida.

Proposição 25 (Primeiro critério de comparação) SejamR baf (x) dx eR b

ag (x) dx dois integrais impróprios, ambos da mesma espécie e relativamente

ao mesmo limite de integração, tais que 0 � f (x) � g (x) ;8x 2 ]a; b[. Então

1.R baf (x) dx divergente )

R bag (x) dx divergente.

2.R bag (x) dx convergente )

R baf (x) dx convergente.

30 08/Dezembro/2009

Dem. Omitida.

Proposição 26 (Segundo critério de comparação) SejamR baf (x) dx eR b

ag (x) dx dois integrais impróprios de 1a ou de 2a espécie relativamente

ao limite superior x = b (respectivamente, limite inferior x = a) tais quelimx!b�

f(x)g(x)

= � 2 R+ (respectivamente, limx!a+f(x)g(x)

= � 2 R+. Então,Z b

a

f (x) dx eZ b

a

g (x) dx

são da mesma natureza, isto é, são ambos convergentes ou ambos divergentes.Dem. Omitida.

Na utilização dos critérios de convergência atrás enunciados os resultadosde convergência (7) e (8) são frequentemente utilizados.

Exemplo 38 Estude quanto à convergência o seguinte integralZ +1

1

1

x2 (1 + ex)dx:

Comecemos por observar que 0 � 1x2(1+ex)

� 1x2;8x 2 [1;+1[. e queR +1

11x2dx converge como vimos anteriormente. Então do primeiro critério

de comparação resulta a convergência deR +11

1x2(1+ex)

dx.

Exemplo 39 Estude quanto à convergência o seguinte integralZ 1

0

1px+ 4x3

dx:

Comecemos por observar que 0 � 1px+4x3

� 1px;8x 2 ]0; 1]. Tendo em conta

queR 10

1pxdx converge, concluí-se que

R 10

1px+4x3

dx também converge, peloprimeiro critério de comparação.

Exemplo 40 Estude quanto à convergência o seguinte integralZ +1

1

sin x

x3dx:

Comecemos por observar que 0 ��� sinxx3

�� � 1x3;8x 2 [1;+1[. Tendo em conta

queR +11

1x3dx converge, concluí-se que

R +11

�� sinxx3

�� dx também converge peloprimeiro critério de comparação. Da proposição 24 concluí-se a convergênciadeR +11

sinxx3dx.

31 08/Dezembro/2009

Exemplo 41 Mostre queR +12

1xpx2�1dx converge.

Seja f (x) = 1x2e g (x) = 1

xpx2�1 , reparando que

limx!+1

1xpx2�11x2

= limx!+1

x2

xpx2 � 1

= 1 2 R+;

deduz-se pelo segundo critério de comparação a convergência deR +12

1xpx2�1dx,

já queR +12

1x2dx também converge.

Exemplo 42 Mostre queR 31

1xpx2�1dx converge.

Seja f (x) = 1px�1 e g (x) =

1xpx2�1 , reparando que

limx!1+

1xpx2�11px�1

= limx!1+

px� 1

xpx2 � 1

= limx!1+

1

x

sx� 1

(x� 1) (x+ 1)

=1p22 R+;

deduz-se pelo segundo critério de comparação a convergência deR 31

1xpx2�1dx,

já queR 31

1px�1dx também converge. Note que (8) permite concluír queR 3

11px�1dx converge já que

1px� 1

=1

(x� 1)1=2:

Referências

[1] Apostol, T. M., Calculus, Reverté, 1977;

[2] Azenha, Acilina e Jerónimo, M. A., Cálculo Diferencial Integral em R eRn, McGraw-Hill, 1995;

[3] Lima, Elon Lages, Curso de Análise (Vol 1 e 2), IMPA, Projecto Euclides,1995;

[4] Piskounov, N., Calcul Di¤érentiel et Intégral, MIR, 1976;

32 08/Dezembro/2009

[5] Taylor, A. E., Advanced Calculus, Xerox College Publishing, Massa-chusetts, 1972;

[6] Wade, W. R., An Introduction to Analysis, Prentice Hall, 1995;

33 08/Dezembro/2009

Exercícios Propostos

Exercício 1 Calcule as primitivas das seguintes funções, utilizando o métodode primitivação por partes:

1. x2 lnx.

2. x2 sin x.

3. ex cosx.

4. x2

x2+1arctanx .

5. 3x sin 2x.

6. x arctanx.

Exercício 2 Calcule as primitivas das seguintes funções, utilizando o métodode primitivação por decomposição:

1. sin3 x.

2. tan4 x.

3. 2x�1(x�2)(x+3) .

4. x3+1x3�x2 .

5. x2

1�x4 .

6. cos 2x cos 3x.

7. x4

x3+1.

Exercício 3 Calcule as primitivas das seguintes funções, utilizando o métodode primitivação por substituição:

1.pa2 � x2.

2. ex�e3x1+e2x

.

3. x+px

x(1+px):

4.p2x+x2

x2:

34 08/Dezembro/2009

5. 3x+4(x�5)2+3 .

6. sin4 xcos2 x

.

7. 2(2�x)2

3

q2�x2+x.

Exercício 4 Calcule as primitivas das seguintes funções, utilizando o métodoque achar mais conveniente:

1.px2�9x.

2.px�1�lnx(x�1)2 .

3. ex ln (e2x � 4ex + 3).

4. lnx(1�x)2 .

5. sin3 x cos5 x.

6. x arcsin 1x.

7. x+(arccos 3x)2p1�9x2 .

8. x (arctanx)2.

9. 3

(2x+3)p2�2 ln2(2x+3)

.

Exercício 5 Determine a expressão geral das primitivas das seguintes funções:

1. ex

9+25e2x.

2. (px+ 1) (x�

px+ 1).

3. 1x+5

px+4.

4. 2x(x2+1)2

+ arcsinx.

5. arctan2 x+3xx2

.

6. 12+tgx

.

7. x sin x cosx.

8. 2ex�e�x .

35 08/Dezembro/2009

9. P 212x2+7

.

10. Pq

x�1x+2.

11. 14p5�x+

p5�x .

12. 1ex+1

.

13. x35p1+x2 .

14. 1x+x ln2 x

.

15. sin (lnx).

16. lnx(x+1)2

.

17. x arcsinx2.

18. ex

2ex+1.

19. x�3x2+25

.

20. 3 arctan x3

9+x2.

21. x+1px.

22. 1

x(1+ln2 x).

23. x3px2�1 .

24. x2+1(x+1)3

.

Exercício 6 Determine a expressão geral das primitivas das seguintes funções:

1. x arcsin 1x.

2. tan3 x.

3. ex

e2x+1.

4. sinx cosx1+sin2 x

.

5. xx2+3x+2

.

36 08/Dezembro/2009

6. 1

x(16+4 ln2 x).

7. tanpxp

x.

Exercício 7 Considere a função f (x) = 3x2+7(x2+4)(x2�1) de�nida em Rn f�1; 1g.

Obtenha a primitiva de f que satisfaz as condições seguintes :

1. limx!+1

F (x) = �2.

2. limx!�1

F (x) = 0.

3. F (0) = 1.

Exercício 8 Considere a função f 00 (x) de�nida por f 00 (x) = sin(lnx)x

:

1. Determine a expressão geral das funções f (x) que admitem f00(x) como

2a derivada.

2. De entre as funções da alinea anterior determine aquela que veri�caf 0 (1) = f (1) = 0.

Exercício 9 Determine f (x) de modo que f 0 (x) = ln (4x2 � 1) e f (1) =32ln 3.

Exercício 10 Determine a função f : R+ ! R tal que f0(x) = ln2 x e

f (1) = 4.

Exercício 11 Determine a primitiva da função de�nida por f (x) = cospxp

x,

que toma o valor zero para x = �2.

Exercício 12 Determine uma função f (x) tal que, com f 0 (1) = �1 elim

x!+1f (x) = 1 se tem f 00 (x) = 8

(x+1)3(R: f (x) = 4

x+1+ 1).

Exercício 13 Determine a primitiva da função f (x) = x2ex, que toma ovalor 1 para x = 0:

Exercício 14 Determine um intervalo I e uma função f : I ! R tal quef 0 (x) = lnx

(x+1)2e f (1) = 4.

Exercício 15 Seja F (x) uma primitiva de f (x) e g (x) uma função derivávelnum intervalo I � R. Mostre que:

P [f (x) g (x)] = F (x) g (x)� P [F (x) g0 (x)]

37 08/Dezembro/2009

Exercício 16 Calcule os integrais:

1.R 21(x2 � 2x+ 3) dx.

2.R 80

�p2x+ 3

px�dx.

3.R 62

px� 2dx.

4.R 31j2� xj dx.

5.R 20f (x) dx com f (x) =

�x2 + 1 se 0 � x � 1x+32

se 1 � x � 2 .

6.R 0�2

x�13x2�6x+5dx.

7.R �

2

0sinx�cosxsinx+cosx

dx.

8.R �

2

0(x sin x) dx.

9.R 10

pexp

ex+e�xdx.

10.R 1�1

1x2�5x+6dx.

11.R 21lnxx2dx.

Exercício 17 Calcule os seguintes integrais de�nidos:

1.R 10

1p(2�x2)3

dx.

2.R 21

1x+5

px+4dx.

3.R 10

1(4+2x)(1+x2)

dx.

4.R 259

px�3

x(px�2)

dx.

5.R �

6

01+tanx1�tanxdx.

6.R 32

1(x2+1)(x+1)

dx.

7.R ln 20

pex � 1dx.

8.R 411+px

x2dx.

38 08/Dezembro/2009

9.R �2�3

1(x2�1)(x2+1)dx.

10.R 2p32

1p16�x2dx.

11.R 53

x�3x2�2xdx.

12.R 1�p3

13+x2

dx.

13.R 10tan2

��4x�dx.

14.R 41

1px(px+1)

3dx.

15.R �

4

0[sin (2x)]3 dx.

16.R 5�1 j2x� 3j dx.

17.R 1

2

03x�5p1�x2dx.

18.R 10

�ln (x+ 1)�

p1� x2

�dx.

19.R 3�1

11+px+1dx.

20.R 3

2

0(9� x2)�

32 dx.

21.R 10

ex

e2x+3ex+2dx.

Exercício 18 Sabendo que uma função f diz-se uma função par se f (�x) =f (x), e diz-se uma função ímpar se f (�x) = �f (x) :

1. Utilize a fórmula de integração por substituição para mostrar que:Z a

�af (x) dx = 2

Z a

0

f (x) dx, se fé par eZ a

�af (x) dx = 0 se fé impar.

2. Aplique a alínea anterior para calcular:

(a)R 1�1 jxj dx.

(b)R 1

2

� 12

cosx ln�1+x1�x�dx.

(c)R 2�2

sinx1+x8

dx.

39 08/Dezembro/2009

Exercício 19 Prove que são iguais os integraisZ �4

0

ln cos (x) dx eZ �

4

0

ln cos��4x�dx.

Exercício 20 Seja f uma função ímpar. Demonstre que a função h de�nidapor h (x) =

R x0f (t) dt é par.

Exercício 21 O integralR baf (x) dx é transformado, pela mudança de va-

riável x = sin t no integralR �

2

0cos2 t1+cos t

dt. Determine a, b e f (x).

Exercício 22 Demonstre queR baf (x) dx =

R baf (a+ b� x) dx.

Exercício 23 Sem calcular os integrais, justi�que que as seguintes desigual-dades são válidas.

1.R 10

pxdx �

R 10x3dx:

2. e �R e1ex

2lnx dx � ee2 :

Exercício 24 Determine a expressão analítica da função F (x) =R t0f (t) dt,

em que f (x) =

8<:1� x ; 0 � x � 10 ; 1 � x � 2(2� x)2 ; 2 � x � 3

.

Exercício 25 Calcule a derivada, em ordem a x, das funções:

1. � (x) =R x31ln t dt, x > 0.

2. � (x) =R x1xcos t2 dt, x 6= 0.

Exercício 26 Sendo f (x) =R k lnx0

e�t2dt , determine o valor da constante

k, de modo que f 0 (1) = 0.

Exercício 27 Seja f uma função positiva, de�nida e contínua em R, e g afunção de�nida por: g (x) =

R lnx0

f (t) dt: Determine:

1. Domínio de g.

2. Derivada de g.

3. Monotonia de g.

40 08/Dezembro/2009

Exercício 28 Determine, sem calcular o integral,

1. limx!0

x

1�ex2R x0et2dt.

2. limx!0

R x0 sin t

3 dt

x4.

Exercício 29 Determine os extremos das funções:

1.R x0t (1� t2) dt , x 2 R.

2.R x12t2 ln t dt , x � 1

2.

Exercício 30 Seja g : [1;+1[! R tal que g (x) =R x2+x2

ln tpt+2dt. Prove que

23g0(1) = ln 2:

Exercício 31 Seja f uma função de�nida em R, com derivada contínua,tal que 8x � 0

R 3x0f 0 (t) dt = x4 + 3x2 e f (0) = 2: Determine a expressão

analítica de f .

Exercício 32 Seja g : [1;+1[! R tal que g (x) =R x3+12

sin tpt+1dt. Prove que

1p3g0 (1) = sin 2:

Exercício 33 Determine os extremos da função de�nida por

f (x) =

Z x

12

�t2 ln t

�dt; t 2

�1

2; e

�:

Exercício 34 Compare, justi�cando, os seguintes integrais:R 10e�xdx e

R 10exdx:

Exercício 35 Determine, sem o calcular, mas justi�cando convenientementea resposta, o sinal do integral

R �2

��3(x sin x) dx.

Exercício 36 Determine uma função f contínua, tal que: arctan [f (x)] =R x1

1+t1+f2(t)

dt.

Exercício 37 Determine f : R+ ! R+, continua, tal que ln [f (x)] =R x1

1(1+t2)f(t)

dt e f (0) = 1.

Exercício 38 Mostre queR 1x

11+t2

dt =R 1

x

11

1+t2dt:

41 08/Dezembro/2009

Exercício 39 Determine, justi�cando os cálculos efectuados, limx!0

R x0 sin t

5dtR x20 sin t2dt

.

Exercício 40 Seja f uma função contínua em R tal queR xcf (t) dt = cos x�

12. Determine f e c, justi�cando os cálculos efectuados.

Exercício 41 Determine o valor da constante a, sendo f (x) =R a lnxx

et2dt e

f0(1) = 0.

Exercício 42 Calcule, se existir, o seguinte limite: limx!0

R x20 sin

ptdt

x3.

Exercício 43 Seja f uma função de�nida em R com derivada de 2a ordemcontínua tal que,

R x0f00(t) dt = x3 + x ^ f 0 (0) = f (0) = 1: Determine f ,

justi�cando cuidadosamente os cálculos efectuados.

Exercício 44 Seja f uma função contínua em R+ que veri�ca a condição:R x20f (t) dt = x2 (1 + x) : Determine f , justi�cando cuidadosamente os cálcu-

los efectuados.

Exercício 45 Calcule o seguinte limite: limx!0

R x0 sin t

3dt

x4.

Exercício 46 Sejam g (x) = x2e2x e f (x) =R x0e2t (3t2 + 1) dt. Calcule (sem

calcular o integral) o seguinte limite: limx!+1

g0(x)f 0(x) .

Exercício 47 1. Enuncie o teorema da Média para o Cálculo Integral.

2. Determine, utilizando o teorema da Média, um ponto do intervalo [0; 4]onde a função f de�nida por f (x) = x� 2

px tem o seu valor médio.

Exercício 48 Seja F (x) =R x31xf (t) dt um integral inde�nido em que a

função integranda f está de�nida em R+. Mostre que: x2F 0 (x) = f�1x

�+

3x4f (x3) :

Exercício 49 Utilizando a de�nição de integral segundo Riemann, mostreque:

R badx = b� a:

Exercício 50 Determine:

1. a área da região plana limitada pelas parábolas x = y2 e x2 = �8y.

2. o volume do sólido obtido pela rotação da região referida em a) emtorno:

42 08/Dezembro/2009

(a) do eixo dos xx.

(b) do eixo dos yy.

Exercício 51 Calcule a área limitada pelas curvas:

1. y = x2 , y = x+ 6 , y = 0.

2. y2 + x2 = 2x , y = 1p3x , y = 0.

3. y = ln x , y = ln2 x.

4. y2 = 2px , x2 = 2py (p 2 R).

5. y = x3 � 6x2 + 8x e o eixo dos xx.

6. y = x2 , y =px.

Exercício 52 Calcule o valor positivo de m, para que a área da região doprimeiro quadrante limitada por y = 2x3 e a recta y = mx seja 32.

Exercício 53 Considere o segmento de curva y = sinx, 0 � x � �.

1. Determine a área limitada por este segmento de curva e o eixo dos xx.

2. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela região de�nidaem a) numa rotação em tono do eixo dos xx.

Exercício 54 Calcule o comprimento do arco de curva y = ln (2 cosx)desdex = ��

3até x = �

3.

Exercício 55 Determine o comprimento do arco da curva de equação x =14y2 � 1

2ln y entre os pontos A

�14; 1�e B

�1� ln

p2; 2�.

Exercício 56 Determine o volume do toro, gerado pela rotação da regiãolimitada pela circunferência de equação (x� 2)2 + y2 = 1 em torno do eixodos yy.

Exercício 57 Calcule o volume do sólido, gerado pela rotação em torno doeixo dos xx, da região limitada pelas curvas y = ex , y = e�x e x = ln 2.

Exercício 58 Seja A a região do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : y � 1

4^ y � (x� 1)2 ^ y � lnx

�

43 08/Dezembro/2009

1. Calcule a área de A.

2. Calcule o comprimento da linha dada pela equação y = ln (ex+�), � 2 Re �2 � x � 2.

Exercício 59 Seja A a região do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : y � 2x ^ y � 0 ^ y � (x+ 1)2 � 4

1. Calcule a área de A.

2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixodos xx da parte de A que se encontra no 3o quadrante.

Exercício 60 Seja A a região do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : x2 � 1 � y � (x+ 1)2 ^ jx+ yj � 1

1. Determine a área de A.

2. Seja A0 a parte de A que se encontra nos 1o e 4o quadrantes. Determineo volume do sólido obtido pela rotação de A0 em torno do eixo dos yy.

Exercício 61 Calcule a área da região do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : y � x ^ y � 2x ^ x2 + y2 � 1

:

Exercício 62 Calcule o comprimento da linha dada pela equação y = 23

px3,

com 0 � x � 1.

Exercício 63 Determine a área da região do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : x2 + (y � 3)2 � 1 ^ y � x+ 4

:

Exercício 64 Calcule o comprimento da linha dada pela equação y =q(x+ 3)3,

com 0 � x � 2.

Exercício 65 Considere a região D do plano de�nida por:�(x; y) 2 R2 : y � ex ^ y � �x2 ^ �1 � x � 1

1. Determine a área de D.

2. Seja D1 a parte da região D que se encontra no 1o quadrante. Calculeo volume do sólido obtido pela rotação de D1 em torno do eixo dos yy.

44 08/Dezembro/2009

4321

4

3

2

1

0

y

1=y4/1=y

2/1 xy=

Exercício 66 Considere a �gura seguinte:

1. Calcule a área da região sombreada.

2. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação daregião acima referida, em torno do eixo dos yy.

Exercício 67 Determine a área do interior da elipse de�nida pela equaçãox2

a2+ y2

b2= 1, com a; b 2 R+.

Exercício 68 Considere a região do plano de�nida por:

A =

�(x; y) 2 R2 : y � 4 ^ y � x2 ^ xy � 1

x

�e calcule a sua área.

Exercício 69 Determine o valor de a, de modo que o sólido de revoluçãoobtido pela rotação em torno do eixo dos xx da região:

A =

�(x; y) 2 R2 : y � x2

a^ y � 0 ^ 0 � x � a

�;

tenha volume igual a 15.

45 08/Dezembro/2009

Exercício 70 Determine o valor de b, de modo que o comprimento de arcode curva, de equação y = ln

�ex+b

�, com 0 � x � 4, seja

p2b.

Exercício 71 Calcule a área do conjunto limitado pelos arcos das curvas deequações y = x2 e y = x2 cosx, compreendido entre a origem e o ponto demenor abcissa positiva, em que as duas curvas se intersectam.

Exercício 72 Considere a região do plano:

A =n(x; y) 2 R2 : x2 + y2 � 4 ^ y �

p3x2o:

1. Calcule a área de A.

2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação de A em torno doeixo dos xx.

Exercício 73 Considere a região do plano limitada pelas curvas de equaçãoy = sinx, y = cos x, x = 0, x = �

2e y = 0.

1. Calcule a área da região considerada.

2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região acimareferida, em torno do eixo dos xx.

Exercício 74 Determine o volume do sólido de revolução gerado pela ro-tação da região A, de�nida por:

A =�(x; y) 2 R2 : y � x2 ^ x � 1 ^ y � 0

;

em torno do eixo dos yy.

Exercício 75 Seja A a região do plano limitada pelas curvas y2 = x e y =x� 2:

1. Calcule a área de A.

2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da parte de A quese encontra no 1o quadrante, em torno do eixo dos yy.

Exercício 76 Seja A a região do plano limitada pelas curvas de equaçõesy = (x� 1)2 e x2 + y2 = 1:

1. Calcule a área de A.

46 08/Dezembro/2009

4321

3

2

1

0

xy =

x

y3/4 xy =

2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região A em tornodo eixo dos yy.

Exercício 77 Seja A a região do plano limitada pela curva y = (x+ 3)2� 4e pelas rectas x = �3, x = 2 e y = 0:

1. Calcule a área de A.

2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da parte de A quese encontra no 1o quadrante, em torno do eixo dos xx.

Exercício 78 Determine a área do subconjunto de R2 constituído pelos pon-tos que veri�cam as condições: y � 3

x^ y � x+ 2 ^ y � 1.

Exercício 79 Considere a �gura abaixo:

1. Determine a área da região sombreada.

2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da referida regiãoem torno do eixo dos xx.

Exercício 80 Seja D a região do plano limitada pelas curvas de equaçõesy = x2, y = �x+ 2 e y = 2:

47 08/Dezembro/2009

1. Calcule a área de D.

2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixodos xx, da parte da região D pertencente ao 1o quadrante (R: 32

15�).

Exercício 81 Seja A a região do plano limitada pelas curvas de equaçõesy = ln x, y = 0 e x = 2.

1. Calcule a área de A.

2. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região A em tornodo eixo dos yy.

Exercício 82 Calcule os seguintes integrais impróprios:

1.R11xe�x

2dx.

2.R �

2

01

cosxdx.

3.R 62

dx3p(4�x)2

.

Exercício 83 Calcule os seguintes integrais:

1.R +15

1x2�6x+8dx.

2.R +1e

1x lnx

dx.

3.R +11

1(1+x2) arctanx

dx.

4.R �3�1

x

(x2�4)65dx.

5.R 0�2

xp4�x2dx.

6.R +10

1x2+4

dx.

7.R 42

1p(4�x)3

dx.

8.R 10

1p1�xdx.

9.R +1�1

11+x2

dx.

10.R +11

1px3dx.

48 08/Dezembro/2009

11.R 0�1 e

2xdx.

Exercício 84 calcule o seguinte integral impróprioZ 2

0

ap16� 4x2

dx; a 2 R;

e indique a sua natureza.

Exercício 85 Estude a natureza dos seguintes integrais:

1.R11

ln(x2+1)x

dx.

2.R11

sin( 1x)pxdx.

3.R 101+sin2 x

xdx.

4.R10

11+2x2+3x4

dx.

5.R10

1p1+x3

dx.

6.R10

dx

(1+x3)13.

7.R 10

1

(1+x3)13dx.

Exercício 86 Estude a natureza dos seguintes integrais:

1.R +10

2x+6x2+x+6

dx.

2.R 10

sinxp1�xdx.

3.R +10

cosx+sinxpx3+1

dx.

4.R +10

cosx1+x2

dx.

5.R +11

1xpx+1dx.

6.R +11

1(1+x)

pxdx.

7.R +10

x2�x+2x4+10x2+9

dx.

8.R +10

x+18x2+x+12

dx.

49 08/Dezembro/2009

9.R +10

cos2 xx2+4

dx.

10.R 42

sinxp(4�x)3

dx.

11.R 10

sinxp1�xdx.

12.R +11

cosx3

x2dx.

13.R +11

1px(1+x)

dx.

14.R +11

x5

2+x6+4x8dx.

15.R 10

x+1p1�xdx.

Exercício 87 Determine a área da região in�nita limitada pela curva y =1

1+x2, pela parábola y = x2

2e pelo eixo dos xx.

Exercício 88 Prove queR10

2t+34t3+3

sin t dt é absolutamente convergente.

50 08/Dezembro/2009

Exercícios Complementares

Exercício 89 Calcule

1. P arctanx+x1+x2

:

2. P x(x�1)(x2+1) :

3. Pearcsinx:

4. P 436+x2

:

5. P (sinx� cosx)2

Exercício 90 Calcule os seguintes integrais

1.R e1ln2 xdx:

2.R 3

p3

2

32

xp9�x2xdx:

3. ??R e1

2x lnx(1+x2)2dx:

4.R 21

x16

x12+2x

13dx:

Exercício 91 Seja f uma função contínua em R tal que f(0)=1, � uma difer-enciável em R que se anula no ponto a, e h a função de�nida por

h(x) =

Z �(x)

0

f (t) dt:

1. Calcule h0 (x) :

2. Calcule limx!ah(x)�(x):

3. Supondo que f e � são funções ímpares, mostre que h é uma função par.

Exercício 92 Calcule a área da região do plano limitada pelas linhas deequação y = ex, y = ln x, x2 + y2 = 1 e x = e, no 1o quadrante.

Exercício 93 Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotaçãodo domínio plano ilimitado de�nido pelo grá�co da função y = 1

x; (x � 1),

em torno do eixo dos xx.

51 08/Dezembro/2009

Exercício 94 Estude a natureza dos seguintes integrais impróprios:

1.R +1�1

11+x2

dx:

2.R 10e�xpxdx:

Exercício 95 Considere a região plana limitada pelas parábolas y = 2x2+3e y = �x2 + 1 e pelas rectas x = 0 e x = 1.1. Represente gra�camente a referida região.

2. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação daquela região, em tornodo eixo dos yy.

Exercício 96 Calcule a área limitada pelas curvas y = sin x e y = � cosx,no intervalo 0 � x � �:Exercício 97 Seja f uma função de�nida por

F (x) =

Z x

�2tf(t) =

8<:0 se t � 0

t se 0 � t � 1ln t se t � 1

:

1. Calcule F (3) :

2. Resolva a equação F�(x) = x2.

Exercício 98 Calcule por de�nição os seguintes integrais impróprios

1.R 0�1 x5

�x2dx:

2.R +10

xeaxdx, com a 6= 0:Exercício 99 Indique a natureza dos seguintes integrais impróprios

1.R +10

1p1+x3

dx:

2.R +10

x2+13x4�x+2dx:

3.R +11

px4�1x3

dx:

4.R +11

sinx cosxpx3+1

dx:

Exercício 100 Determine o valor de k (k 2 R) e a função f (f : R! R),tais que 8x2R : Z x

1

f (t) dt = 3x2 � kx+ 1:

Exercício 101 Seja f uma função contínua tal queR x0f(t)dt = x cos(�x):

Calcule f (4).

52 08/Dezembro/2009

Soluções

1.1:x3

3

�lnx� 1

3

�+ C; 1.2:�x2 cosx+ 2x sin x+ 2 cosx+ C;

1.3:12ex (cosx+ sinx)+C; 1 4:x arctanx� 1

2(arctanx)2� 1

2ln (x2 + 1)+C;

1.5: ln 34+ln2 3

3x sin 2x� 24+ln2 3

3x cos 2x+C; 1.6:x2

2arctanx� 1

2(x� arctanx)+C

2.1:� cosx+13cos3 x+C;2.2:x�tan x+1

3tan3 x+C;2.3:3

5ln jx� 2j+7

5ln jx+ 3j

+C;2 4:x + 1x� ln jxj + 2 ln jx� 1j + C;2 5:�1

4ln jx� 1j + 1

4ln jx+ 1j �

12arctanx+ C;2 6: 1

10sin 5x+ 1

2sin x+ C;

2 7:x2

2+ 1

3ln jx+ 1j �

p33arctan

h2p33

�x� 1

2

�i� 1

6ln jx2 � x+ 1j+ C;

3.1:a2

2

�arcsin x

a+ x

a

q1� x2

a2

�+ C;3.2:�ex + 2arctan ex + C;

3.3:6�14

3px2 � 1

23px+ 6

px� 1

2ln j1 + 3

pxj � arctan 6

px�+C;3 4: 4

x�px2+2x

�

ln��1�px2 + 2x+ x��+C;3 5:3

2ln (x�5)

2+33

+193

p3 arctan

�x�5p3

�+C;3 6:tan x+

12

tanxtan2 x+1

� 32x+ C;3 7:3

4

�2+x2�x� 23 + C;

4 1:px2 � 9 � 3 arcsec x

3+ C;4 2:�2 (x� 1)�

12 + lnjxj

x�1 + ln jxj � ln jx� 1j +C;4 3:ex ln (e2x � 4ex + 3) � 2ex � 3 ln jex � 3j � ln jex � 1j +C;4 4: lnx

1�x �ln jxj + ln j1� xj + C;4 5:� cos6 x

6+ cos8 x

8+ C;4 6:x

2

2arcsin 1

x+ 1

2

px2 � 1 +

C;4 7:�19

p1� 9x2 � 1

9arccos3 (3x) + C;4 8:x

2+12arctan2 x + �x arctanx +

12ln (1 + x2) + C;4 9:3

p24arcsin [ln (2x+ 3)] + C;

5 1: 115arctan

�53ex�+C;5 2:2

5

px5+x+C;5 3:�2

3ln jpx+ 1j+ 8

3ln jpx+ 4j+

C;5 4:� 1x2+1

+ x arcsinx+p1� x2 + C;

55:arctan3 x

3+ 32ln (1 + x2)+C;5 6:1

5ln j2 + tgxj� 1

10ln (1 + tan2 x)+ 2

5x+C;5

7:12

�x sin2 x� x�sinx cosx

2

�+C;5 8:ln

�� ex�1ex+1

��+C;5 9:3p142arctan

�p147x�+C;5

10:�12

hln���px�1�px+2p

x�1+px+2

���� px+2p

x�1�px+2

�px+2p

x�1�px+2

i+C;5 11:�2

p5� x+4 4

p5� x�

4 ln��1 + 4

p5� x

��+C;5 12:ln �� ex

ex+1

��+C;5 13:58x2 5

q(1 + x2)4� 25

725

q(1 + x2)9+

C;5 14:arctan (ln x)+C;5 15:x2[sin (lnx)� cos (ln x)]+C;5 16:� lnx

x+1+ln jxj�

ln jx+ 1j + C;5 17:x2

2arcsinx2 + 1

2

p1� x4 + C;5 18:1

2ln j2ex + 1j + C;5

19:12ln (x2 + 25)� 3

5arctan x

5+C;5 20:

arctan2(x3 )2

+C;5 21:2px�x3+ 1�+C;5

22:arctan (ln x) + C;5 23:px2�1(x2+2)

3+ C;5 24:ln (jx+ 1j) + 2x+1

(x+1)2+ C;

6 1:;6 2:ln (jcosxj) + tan2 x2

+ C;6 3:arctan (ex) + C;6 4:ln(sin2 x+1)

2+ C;6

5:12ln

����� (x+3)2(x2+3x+2)(x+1)3

�����+C;6 6:18 arctan � lnx2 �+C;6 7:�2 ln jcospxj+C;7 1:F (x) = ln

��x�1x+1

��+ 12arctan x

2+ �

4;7 2:F (x) = ln

��x�1x+1

��+ 12arctan x

2+ �

4;7

53 08/Dezembro/2009

3:F (x) = ln��x�1x+1

��+ 12arctan x

2+ 1;

8 1:f (x) = �x2[cos (ln x) + sin (ln x)]+C1x+C2;8 2:f (x) = �x

2[cos (ln x) + sin (ln x)]+

x� 12;

9:x ln (4x2 � 1)� 2x� 12ln��2x�12x+1

��;10:f (x) = x ln2 x� 2x lnx+ 2x+ 2;11:2 sin

px;

12:f (x) = 4x+1

+ 1;13:x2ex � 2xex + 2ex � 1;14:;15:-;16 1:7

3;16 2:100

3;16 3:16

3;16 4:1;16 5:43

12;16 6:1

6ln 5

29;16 7:0;16 8:1;16 9:ln

���pe2+1+ep2+1

���;1610:ln 3

2;16 11:1

2(1� ln 2);

17 1:12;17 2:�2

3ln

p2+12+ 8

3ln

p2+45;17 3: 1

10ln 3

2� 1

20ln 2 + �

20;17 4:3 ln 5

3�

ln 3;17 5:� ln�p

3�12

�;17 6:�1

2

hln 3

p24� arctan 3 + arctan 2

i;17 7:4��

2;17 8:3

4;17

9:14ln 3

2�12[arctan (�2)� arctan (�3)];17 10:�

6;17 11:3

2ln 5�2 ln 3;17 12:�7

p3

36�;17

13:4���;17 14: 5

36;17 15:1

3;17 16:37

2;17 17:6�3

p3

2� 5�

6;17 18:2 ln 2�1� �

4;17

19:4� 2 ln 3;17 20:3� 52 ;17 21:ln

�3(e+1)2(e+2)

�;

18 1:-;18 2a:1;18 2b:0;18 2c:1;19:-;20:-;21:a = 0; b = 1; f (x) =

p1�x2

1+p1�x2 ;

22:-;23 1:-;23 1:-;

24:F (x) =

8<:x� x2

2; 0 � x � 1

12

; 1 � x � 212� (2�x)3

3; 2 � x � 3

;

25 1:3x2 lnx3;25 2: 1x2cos 1

x2+ cosx2;

26:k = 2e�1;27 1:]0;+1[;27 2:f (lnx) 1

x;27 3:Crescente em ]0;+1[;

28 1:�1;28 2:14;

29 1:f (0) é mínimo; f (�1) e f (1) são máximos;29 2:f (1) é mínimo;30:-;31: f (x) = x4

81+ x2

3+ 2;

32:-;33:mínimo= � 1

24

�ln 1

2+ 7

3

�; máximo= 2e3

9+ 1

24

�1� ln 1

2

�;

34:-;35:Positivo;36:f (x) = x+ x2

2+ C;

54 08/Dezembro/2009

37:f (x) = arctanx+ 1;38:-;39:1

2;

40:f (x) = � sinx ; c = �3;

41:a = e;42:2

3;

43:;44:f (x) = 1 + 3

2

px;

45:;46:;47 1:-;47 2:;48:-;49:-;50 1:8

3;50 2 2a:24

5�;50 2 2b:48

5�;

51 1:323;51 2:

p34+ �

6;51 3:3� e;51 4:4

3p2;51 5:8;51 6:1

3;

52: m = 16;53 1:2;53 2:�

2

2;

54:ln�7 + 4

p3�;

55:34+ ln

p2;

56:4�2;57:9

8�;

58 1:43� e 14 ;58 2:4

p2;

59 1: 2p3 + 5

3;59 2:24

p3+455

�;60 1:2;60 2:5�

6;

61:�8� 1

2arcsin

p55;

62:23

�2p2� 1

�;

63:�4� 1

2;

64:34327� 31

27

p31;

65 1:e2�1e+ 2

3;65 2:2�;

66 1:1;66 2:� ln 4;67:2ab+ ab sin 2;68:14�3 ln 4

3;

69:a = 13p� ;

70:b = 4;71:8�

3

3� 4�;

72 1:2�+p3

3;72 2:92

15�;

73 1:2�p2;73 2:�

2�2�4;

74:�2;

75 1:276;75 2:184

15�;

55 08/Dezembro/2009

76 ??:�4� 1

3;76 2:�

2;

77 1:973;77 2:5206

15�;

78:3 ln 3;79 1:1;79 2:103

30� � 2

3

p2�;

80 1:4p23+ 7

6;80 2:32

15�;

81 1:2 ln 2� 1;81 2:4� ln 2� 3�2;

82 1:12;82 2:+1;82 3:6 3

p2;

83 1:lnp3;83 2:+1;83 3:ln 2;83 4:� 5

2 5p5;83 5:�2;83 6:�

4;83 7:� 2p

2;83

8:2;83 9:�;83 10:2;83 11:12;

84:�4a /conv.;

85 1:div:;85 2: conv:;85 3:div:;85 4: conv:;85 5: conv:;85 6: div:;857:conv:;86 1:div.;86 2:conv:;86 3:absoluta/conv:;86 4:absoluta/conv.;86 5:conv:;866:conv.;86 7:conv.;86 8:div.;86 9:conv.;86 10:conv:;86 11:conv.;86 12:conv.;8613:conv.;86 14:conv.;86 15:conv.;87:1

3+ �

2;

88:-;89 1:;89 2:;89 3:;89 4:;89 5:;90 1:;90 2:;90 ??:;90 4:;91 1:;91 2:;91 3:;92:;93:;94 1:;94 2:;95 1:;95 2:;96:;97 1:;97 2:;98 1:;98 2:;99 1:;99 2:;99 3:;99 4:;100:;101:;

56 08/Dezembro/2009