Questão 1 (3,0 pontos). Determine as forças normais nas barras numeradas da treliça

abaixo.

4m

2m

2m

20kN

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

B

C

D E F

G

I

H

J

K

L

4m

10kN

HA

8

3m

4cos

Ritter

VA VB

Esforço [kN]

N1 +20,00

N2 -47,13

N3 +46,65

N4 -37,27

N5 +52,17

2

2sin cos 0,70711

2 2

4sin 0,44721

8 4

BCAG

2 2

8cos 0,89443

8 4

ABAG

2020 0

1010 0 3,33

38 208 20 0 6,673 3

AAH

A B AV

BAB

H kNH

V V V kN

M V V kN

Reações de Apoio:

Equilíbrio Nó C:

1

10 10cos 0 22,361

sin 0,44721 sin 10 0

cos 22,361 0,89443=20kN N 20

CH CD CHH

CHVCD CH

N N N

NNN kN

Inspeção do equilíbrio dos nós D e J: 1 5; ; 0CD AJ DH HJN N N N N N

Corte de Ritter passando pelas barras (1), (2), (4) e (5):

1 2 4 5

2 4 5

1 4

2

4

5

cos cos cos 20 0

sin sin sin 10 3,33 0

84 4cos 20

47,13

37,27

52,170

3

AH

V

A

N kN

N kN

N

N N N

k

N H

N N N

M N NN

Equilíbrio Nó E: 1 2

33 2

cos cos 0 18,85kN

sin s 46in 0 ,65

EIH EI

EIV

N N N N

N kNN N N

Inspeção do equilíbrio dos nós G e F: 0GI FG EF FIN N N N

Questão 1 (3,0 pontos). Determine as forças normais nas barras numeradas da treliça

abaixo.

4m 4m

2m

2m

20kN

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

A B

C

D E F

G

I

H

J L

K

20kN

8

3m

HA

4cos

VA

Ritter

VB

Esforço [kN]

N1 +40,00

N2 -47,13

N3 +26,65

N4 -59,63

N5 +29,81

2

2sin cos 0,70711

2 2

4sin 0,44721

8 4

BCAG

2 2

8cos 0,89443

8 4

ABAG

2020 0

2020 0 6,67

38 408 20 0 13,333 3

AAH

A B AV

ABB

H kNH

V V V kN

M V V kN

Reações de Apoio:

Inspeção do equilíbrio dos nós F e L: 1 5; ; 0FG BL FI ILN N N N N N

Inspeção do equilíbrio dos nós C e D: 0CD DE DH CHN N N N

Equilíbrio Nó G:

1

10 10cos 0 47,722

sin 0,44721 sin 20 0

cos 47,722 0,89443 40kN 0= N 4

GI FG GIH

GIVCD CH

N N N

NkN NN

Corte de Ritter passando pelas barras (1), (2), (4) e (5):

1 2 4 5

2 4 5

1 4

2

4

5

cos cos cos 20 0

sin sin sin 20 13,33 0

84 4c

47,13

59,63

29,81os 20 0

3

H

V

B

N N N N

N

N kN

N kN

N kN

N N

M N N

Equilíbrio Nó E: 1 2

3 32

cos cos 0 9,44kN

sin si 26,n 0 65

EHH EI

EHV

N N N N

N N N N kN

NOME:_______________________________________________No.:_____________

4ª. Questão (3pts) – Calcule a tensão máxima de cisalhamento do eixo formado por dois

materiais Mat1 e Mat2, esquematizado na figura a seguir, com carregamento T2=100kN*m e

T3=40 kN*m, engastado nas duas seções de extremidade (1) e (4). Considerar o diâmetro

externo de = 154mm e o diâmetro interno di=0,8de , com Gmat1=60 GPa e Gmat2=80 GPa.

Considerar também que o eixo no tramo 1-2 é maciço e em 2-4 é vazado, com diâmetro

interno di=0,8de.

1000mm 1000mm 1000mm

T3 T2

1 2 3 4

de

di

Mat1 Mat2 Mat2

Resolução da questão

L1 1000mm:= Comprimento do tramo:

Comprimento total da barra: Lt 3 L1⋅:= Lt 3m=

Modulo de elasticidade transversal do Mat1 e Mat2: G1 60GPa:= G2 80GPa:=

diametro externo e interno do eixo-tubo: de 154mm:=

Momentos torçores aplicados em 2 e 3: T2 100− kN m⋅:= T3 40kN m⋅:=

Reações nas seções 1 e 4: Tr1 Tr4

Equação de equilibrio Tr1 T2+ T3+ Tr4+ 0 Tr1 Tr4+ T2− T3−

Equação de compatibilidade - rotação nula na seção 4 φ 4T φ 4Tr4+ 0

Momento de inercia a torção Ip1

π de4

⋅

32:= Ip1 5.522 10

3× cm

4⋅=

Ip2π

32de

4di

4−

⋅:=

φ 4T12

T2 T3+( ) L1⋅

G1 Ip1⋅:= φ 4T23

T3 L1⋅

G2 Ip2⋅:=

φ 4T12 0.018−=

Tr4 1⋅ L1⋅

G1 Ip1⋅

Tr4 2⋅ L1⋅

G2 Ip2⋅+ φ 4T12+ φ 4T23+ 0

Tr4

L1

G1 Ip1⋅

2 L1⋅

G2 Ip2⋅+

φ 4T2 φ 4T3+( )−

Tr4

φ 4T12 φ 4T23+( )−

L1

G1 Ip1⋅

2 L1⋅

G2 Ip2⋅+

:=

Tr1 T2− T3− Tr4−:=

τ12

Tr1

Ip1

de

2⋅:=

resposta da questão com di=0,8de

d i 0.8 d e⋅ := d i 123.2 mm⋅=

Ip2 3.260 10 3

× cm 4

⋅ =

φ 4T23 0.015=

Tr1 57.41 kN m⋅⋅=

Tr4 2.59 kN m⋅⋅ =

τ23

Tr1 T 2+( )Ip1

de

2⋅:=

τ23 59.383− MPa⋅=

τ12 80.063MPa ⋅=

T12 Tr1:= T23 Tr1 T2+:=

T34 Tr1 T2+ T3+:=

T 23 42.59− kN m⋅ ⋅ = Tr1 T2+ 42.59− kN m⋅⋅=

T 34 2.59− kN m⋅⋅=

NOME:_______________________________________________No.:_____________

4ª. Questão (3pts) – Calcule a tensão máxima de cisalhamento do eixo formado por dois

materiais Mat1 e Mat2, esquematizado na figura a seguir, com carregamento T2=100kN*m e

T3=40 kN*m, engastado nas duas seções de extremidade (1) e (4). Considerar o diâmetro

externo de = 154mm e o diâmetro interno di=0,6de , com Gmat1=60 GPa e Gmat2=80 GPa.

Considerar também que o eixo no tramo 1-2 é maciço e em 2-4 é vazado, com diâmetro

interno di=0,6de.

1000mm 1000mm 1000mm

T3 T2

1 2 3 4

de

di

Mat1 Mat2 Mat2

Resolução da questão

L1 1000mm:= Comprimento do tramo:

Comprimento total da barra: Lt 3 L1⋅:= Lt 3m=

Modulo de elasticidade transversal do Mat1 e Mat2: G1 60GPa:= G2 80GPa:=

diametro externo e interno do eixo-tubo: de 154mm:= di 0.6 de⋅:= di 92.4 mm⋅=

Momentos torçores aplicados em 2 e 3: T2 100− kN m⋅:= T3 40kN m⋅:=

Reações nas seções 1 e 4: Tr1 Tr4

Equação de equilibrio Tr1 T2+ T3+ Tr4+ 0 Tr1 Tr4+ T2− T3−

Equação de compatibilidade - rotação nula na seção 4 φ 4T φ 4Tr4+ 0

Momento de inercia a torção Ip1

π de4

⋅

32:= Ip1 5.522 10

3× cm

4⋅=

Ip2π

32de

4di

4−

⋅:= Ip2 4.806 10

3× cm

4⋅=

φ 4T12

T2 T3+( ) L1⋅

G1 Ip1⋅:= φ 4T23

T3 L1⋅

G2 Ip2⋅:=

φ 4T23 0.01= φ 4T12 0.018−=

Tr4 1⋅ L1⋅

G1 Ip1⋅

Tr4 2⋅ L1⋅

G2 Ip2⋅+ φ 4T12+ φ 4T23+ 0

Tr4

L1

G1 Ip1⋅

2 L1⋅

G2 Ip2⋅+

φ 4T2 φ 4T3+( )−

Tr4

φ 4T12 φ 4T23+( )−

L1

G1 Ip1⋅

2 L1⋅

G2 Ip2⋅+

:= Tr4 9.376kN m⋅⋅=

Tr1 T2− T3− Tr4−:= Tr1 50.624kN m⋅⋅=

τ23

Tr1 T2+( )Ip1

de

2⋅:= τ23 68.853− MPa⋅=

τ12

Tr1

Ip1

de

2⋅:= τ12 70.594MPa⋅= resposta da questão com di=0,6de

T12 Tr1:= T23 Tr1 T2+:= T23 49.376− kN m⋅⋅= Tr1 T2+ 49.376− kN m⋅⋅=

T34 Tr1 T2+ T3+:= T34 9.376− kN m⋅⋅=