Calculo Vetorial-422 Exercícios Respondidos

8/17/2019 Calculo Vetorial-422 Exercícios Respondidos

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Projeto

Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial e

Geometria Analítica

Por:

Prof. André Assumpção

Versão Preliminar

422 Exercícios

Abril de 2014

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1- Parte : Pontos em R2 1.1 – Operações com Pontos em R2;1.2 – Propriedades dos Pontos em R2;1.3 – Distância entre Pontos em R2;1.4

– Ponto Médio.2- Parte : Pontos em R3 2.1– Operações com Pontos em R3;2.2– Propriedades dos Pontos em R3;2.3– Distância entre Pontos em R3;3- Parte : Pontos em Rn 4- Parte : Vetores4.1- Construção de Vetores;4.2- Operações com Vetores

4.2.1- Soma;4.2.2 – Multiplicação por Escalar;4.2.3 – Produto Interno;4.2.4 – Produto Vetorial;4.2.5 – Produto Misto.4.3 - Módulo de Vetores;4.4 - Vetores Unitários;4.5- Vetor Direção;4.6 – Fracionamento de um Segmento de Reta;4.7- Ângulo entre Vetores;4.8 – Vetores Paralelos;4.8 – Vetores Ortogonais;4.10 – Área da Região Formada por dois Vetores;4.11 – Volume do Paralelepípedo Gerado por Vetores;5- Parte : Retas5.1- Equação da Reta;5.1.1 – Coeficiente Angular e Coeficiente Linear;5.1.2 – Equação Geral da Reta;5.1.3 – Equação Reduzida da Reta;

5.1.4 – Equação da Reta em R3;5.1.5 – Vetores Normais ä Reta;5.1.6 – Retas Parametrizadas;5.2 – Retas Paralelas;5.3 – Retas Ortogonais;5.4 – Distância entre Ponto e Reta;5.5 – Distância entre Duas Retas;



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5.6 – Ângulo entre Duas Retas;5.7 – Intersecção de Retas.6- Parte: Planos6.1- Equação do Plano;6.2- Vetores Normais ao Plano;6.3 – Equação Paramétrica do Plano;6.4 – Intersecção de Planos;7- Parte: Circunferências7.1- Equação da Circunferência;7.2 – Intersecção entre Reta e Circunferência;7.3 – Intersecção entre duas Circunferências;7.4 – Área e Comprimento da Circunferência.8- Parte: Cônicas8.1 – Elipse

8.2 – Hipérbole8.3 – Parábola



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Parte 1 : Pontos em R2

1. Como pode ser descrito o conjunto R2?

Solução: R2 é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e pode ser descrito

como {(x,y) x R e y R}.

2. Qual a condição para que dois pares ordenados sejam iguais?

Solução: Dizemos que os pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se, e somente se, a = c e b =

d.

3. Determine x de modo que os pontos A=(2, 4) seja igual ao ponto B=(x, 2x).

Solução: Para que A e B sejam iguais, as coordenadas (x,y) de ambos os pontos deverão ser

iguais, ou seja, 2 = x e 4 = 2x. Assim, o valor de x=2 irá satisfazer às duas condições.

4. Determine os valores de x e de y de modo que (2x, y + 3) = (10, 10).

Solução: Deveremos ter 2x = 10 x = 5 e y + 3 = 10 y = 7.

5. Determine os valores de x e de y de modo que (x + y, x – y) = (4, 2).

Solução: Deveremos ter

.13

2

4 ye x

y x

y x

6.

Em quantos quadrantes podemos dividir o plano cartesiano?Solução: O plano cartesiano é dividido em 4 quadrantes conforme mostrado no diagrama.

yQ2 Q1

xQ3 Q4

7. Quais são as características dos pontos que pertencem ao primeiro quadrante

de R2 ?

Solução: Os pontos que pertencem ao primeiro quadrantes de R 2 deverão ter x > 0 e y > 0.



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8. Quais são as características dos pontos que pertencem ao segundo quadrante

de R2 ?

Solução: Os pontos que pertencem ao segundo quadrantes de R 2 deverão ter x < 0 e y > 0.

9. Quais são as características dos pontos que pertencem ao terceiro quadrante de

R2 ?

Solução: Os pontos que pertencem ao terceiro quadrantes de R 2 deverão ter x < 0 e y < 0.

10. Quais são as características dos pontos que pertencem ao quarto quadrante de

R2 ?

Solução: Os pontos que pertencem ao quarto quadrantes de R2 deverão ter x > 0 e y < 0.

11. Quais são as características dos pontos que pertencem ao eixo das abscissas de

R2 ?

Solução: Os pontos que pertencem ao eixo das abscissas de R2 , ou seja, ao eixo x, deverão

ter x 0 e y = 0.

12. Quais são as características dos pontos que pertencem ao eixo das ordenadas

de R2 ?

Solução: Os pontos que pertencem ao eixo das ordenadas de R2 , ou seja, ao eixo y, deverão

ter x = 0 e y 0.

13.

Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine A + B.

Solução: A + B = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d).

14. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine A - B.

Solução: A - B = (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d).



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15. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine 2A + 3B.

Solução: 2A +3B =2.(a,b) + 3.(c,d) = (2a ,2b ) + (3c,3d) = (2a+3c,2b+3d).

16.

Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine 2A - 3B.Solução: 2A -3B =2.(a,b) - 3.(c,d) = (2a ,2b ) - (3c,3d) = (2a -3 c,2b-3d).

17. Dados os pontos A=(a,b), B=(c,d) e C=(e,f), demonstre que (A+B) + C = A +

(B+C).

Solução: (A + B) + C = [(a,b) + (c,d)] + (e,,f) = (a+c,b+d) + (e,,f) = (a+c+e,b+d+f) = [a+(c+e),

b+(d+f)] = (a,b) + (c+e,d+f) = (a,b) + [(c+e,d+f)] = A + (B+C).

18. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), demonstre que A+B = B+A.

Solução: A + B = (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b) = B + A.

19. Demonstre que o elemento neutro da adição de pares ordenados em R2 , é o par

O=(0,0).

Solução: Sendo A = (a,b), e A + O = A, então (a,b) + O= (a,b) O = (a,b) – (a,b) O = (a-

a,b-b) O = (0,0).

20. Demonstre que para todo A=(a,b) R2 , existe –A tal que A + (-A) = 0.

Solução: Sendo A=(a,b) R2 e A + B = 0, então (a,b) + B = (0,0) B = (0,0) – (a,b) B =

(0-a,0-b) B = (-a, -b). Como – a e – b R, então B = (-a,-b) = -A R2.

21. Sendo A e B R2 e k R, demonstre que k(A + B) = kA + kB.

Solução: Supondo que A = (a,b) e B = (c,d), k(A + B) = k(a+c, b+d) = (k(a+c), k(b+d)) =

(ka+kc, kb+kd) = (ka, kb) + (kc,kd) = k(a,b) + k(c,d) = kA + kB.



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22. Sendo k e h R e A R2 , demonstre que A(k + h) = kA + mA.

Solução: Supondo que A = (a,b), A(k + h) = (a,b).(k+h) = (a.(k+h), b.(k,h)) = (ak+ah, bk+bh) =

(ak,bk) + (ah,bh) = kA + hA .

23. Sendo k e h R e A R2 , demonstre que k(hA) = (k.h)A.

Solução: Supondo que A = (a,b), k(hA) =k(h(a,b)) = k(ha,hb)= (kha, khb) = (kh).(a,b)=

(kh).A.

24. Determine k R de modo que k.A = A, para A R2.

Solução: Se k.A = A, então, k(a,b) = (a,b) ka = a e kb = b k = 1 R.

25. Determine o ponto simétrico do ponto (2,4) em relação ao eixo das abscissas.

Solução: O ponto simétrico ao ponto (2,4) em relação ao eixo das abscissas é um ponto com

a mesma abscissa e ordenada simétrica, ou seja, o ponto (2,-4).

26. Determine o ponto simétrico do ponto (2,4) em relação ao eixo das ordenadas.

Solução: O ponto simétrico ao ponto (2,4) em relação ao eixo das ordenadas é um ponto com

a mesma ordenada e abscissa simétrica, ou seja, o ponto (-2,4).

27. Determine o ponto simétrico do ponto (2,4) em relação a origem do plano

cartesiano.

Solução: O ponto simétrico ao ponto (2,4) em relação a origem do plano cartesiano é um

ponto com ordenada e abscissa simétricas, ou seja, o ponto (-2,-4).



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28. Determine a distância entre os pontos A=(1,3) e B=(4, 7).

Solução: A distância entre dois pontos em R2 é determinada por

2

12

2

12, )()( y y x xd

B A .

Assim, .525169)4()3()37()14( 2222,

B A

d

29. Determine a distância entre os pontos A=(-2,5) e B=(4, -3).


2

12

2

12, )()( y y x xd

B A . Assim,

.101006436)8()6()53())2(4( 2222,

B A

d

30. Determine o perímetro do retângulo ABCD, onde A=(1,2), B=(1,5), C=(4,5) e

D=(4,2).

Solução: Para calcular o perímetro do retângulo ABCD, deveremos determinar as medidas

de seus lados. Porém, é importante perceber que a medida do lado AB é igual a medida do

lado CD, e que o mesmo ocorre com os lados BC e DA. Assim, o perímetro do retângulo

será dado por :

.123.23.23.23.2)55()14(.2)25()11(.2222 222222,,

C B B A

d d p

31. Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, onde A=(-1,2), B=(3,4), C=(4,0) e

D=(2,-8).

Solução: .1745517.217172,,,,

A D DC C B B A d d d d p

32. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d) de R2 , determine o ponto médio de AB .

Solução: O ponto médio do segmento AB é um ponto M situado entre os pontos A e B, onde

).2

,2

(2

),(),(

2

d bcad cba B A M



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33. Dados os pontos A=(3,1) e B=(5,3) de R2 , determine o ponto médio de AB .

Solução: O ponto médio do segmento AB é um ponto M situado entre os pontos A e B, onde

).2,4()2

31,

2

53(

2

)3,5()1,3(

2

B A M

Parte 2: Pontos em R3

34. Como pode ser descrito o conjunto R3 ?

Solução: R3 é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e pode ser descrito

como {(x,y,z) x, y e z R}.

35. Qual a condição para que dois pares ordenados de R3 sejam iguais ?

Solução: Dizemos que os pares ordenados (a,b,c) e (d,e,f) são iguais se, e somente se, a = d,

b = e e c = f.

36. Determine x e t de modo que os pontos A=(2, 4, t) seja igual ao ponto B=(x, 2x,

3x).

Solução: Para que A e B sejam iguais, as coordenadas (x,y,z) de ambos os pontos deverão

ser iguais, ou seja, 2 = x, 4 = 2x e t = 3x. Assim, os valores de x=2 e, por consequência, t=6irão satisfazer às duas condições.

37. Determine os valores de x e de y de modo que (5x, y + 5, z - 3) = (10, 10, 5).

Solução: Deveremos ter 5x = 10 x = 2, y + 5 = 10 y =5 e z – 3 = 5 z=8 .

38. Determine os valores de x, de y e de z, de modo que (x + y - z, 2x + 2y – z, x – y

– 3z) = (0, 2, -2).

Solução: Deveremos ter

.21,3

23

222

0

z e y x

z y x

z y x

z y x



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39. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine A + B.

Solução: A + B = (a,b,c) + (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f).

40.

Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine A - B.Solução: A - B = (a,b,c) - (d,e,f) = (a-d, b-e, c-f).

41. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine 2A + 3B.

Solução: 2A +3B =2.(a,b,c)+ 3.(d,e,f) = (2a ,2b, 2c ) + (3d, 3e, 3f) = (2a+3d,2b+3e,2c+ef).

42. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine 2A - 3B.

Solução: 2A -3B =2.(a,b,c) – 3.(d,e,f) = (2a ,2b, 2c ) - (3d,3e,3f) = (2a – 3d,2b-3e,2c-3f).

43. Dados os pontos A=(a,b,c), B=(d,e,f) e C=(g,h,i), demonstre que (A+B) + C = A +

(B+C).

Solução: (A + B) + C = [(a, b, c) + (d, e, f)] + (g, h, i) = (a+d,b+e,c+f) + (g, h, i) =

(a+d+g,b+e+h, c+f+i) = [a+(d+g), b+(e+h), c+(f+i)] = (a, b, c) + (d+g, e+h, f+i) = (a, b, c)+[(d,

e, f) + (g, h, i)] = A + (B+C).

44. Dados os pontos A=(a,b,c), B=(d,e,f), demonstre que A+B = B+A.

Solução: A + B = (a, b, c)+ (d, e, f)= (a+d,b+e, c+f) = (d+a,e+b,f+c) = (d, e, f) + (a, b, c)= B +

A.

45. Demonstre que o elemento neutro da adição de pares ordenados em R3 , é o par

O=(0,0,0).

Solução: Sendo A = (a, b, c), e A + O = A, então (a, b, c) + O= (a, b, c) O = (a, b, c) – (a, b,

c) O = (a-a, b-b, c-c) O = (0,0,0).



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46. Demonstre que para todo A=(a,b,c) R3 , existe –A tal que A + (-A) = O.

Solução: Sendo A=(a, b, c) R3 e A + B = O, então (a, b, c) + B = (0,0,0) B = (0,0,0) – (a,

b, c) B = (0-a,0-b, 0-c) B = (-a, -b, -c). Como – a , – b e – c R, então B = (-a,-b, -c) = -

A R3.47. Sendo A e B R3 e k R, demonstre que k.(A + B) = k.A + k.B.

Solução: Supondo que A = (a, b, c) e B = (d, e, f), k(A + B) = k(a+d, b+e, c+f) = (k(a+d),

k(b+e), k.(c+f)) = (k.a+k.d, k.b+k.e, k.c+k.f) = (k.a, k.b, k.c) + (k.d, k.e, k.f) = k.(a,b,c) + k.(d, e,

f) = k.A + k.B.

48. Sendo k e h R e A R3 , demonstre que A(k + h) = k.A + m.A.

Solução: Supondo que A = (a,b,c), A.(k + h) = (a,b,c).(k+h) = (a.(k+h), b.(k+h), c(k+h)) =

(a.k+a.h, b.k+b.h, c.k + c.h) = (a.k, b.k, c.k) + (a.h, b.h, c.h) = k.A + h.A .

49. Sendo k e h R e A R3 , demonstre que k.(h.A) = (k.h).A.

Solução: Supondo que A = (a,b,c), k.(h.A) = k.(h.(a,b,c)) = k.(h.a, h.b, h.c)= (k.h.a, k.h.b,

k.h.c) = (k.h).(a,b,c)= (k.h).A .

50. Determine k R de modo que k.A = A, para A R3.

Solução: Se k.A = A, então, k.(a,b,c) = (a,b,c) k.a = a, k.b = b e k.c = c k = 1 R.

52. Determine a distância entre os pontos A=(1,2,3) e B=(2, 4, 5).


)()()(12

2

12

2

12, z z y y x xd

B A .

Assim, .39441)2()2()1()35()24()12( 222222,

B A

d



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53. Determine a distância entre os pontos A=(-1, 3,-2) e B=(1, -2, 3).


)()()(12

2

12

2

12, z z y y x xd

B A .

Assim, .1325425254)5()5()2())2(3()32())1(1( 222222, B Ad

Parte 3: Vetores

54. Dados os pontos A=(1,2) e B=(5,3), represente no plano cartesiano o segmento

orientado .

Solução:

55. Calcule o módulo do segmento orientado AB , sendo A=(1,2) e B=(5,3).

Solução: O módulo do segmento orientado AB será calculado pela distância entre A e B.

Assim, teremos

.1714)23()15( 2222 AB

56. Calcule o módulo do segmento orientado AB , sendo A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3).

Solução: O módulo do segmento orientado AB será calculado pela distância entre A e B.

Assim, teremos

.30)5()1()2()23()32()11( 22222 AB

57. Determine um vetor v que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o

mesmo sentido do segmento orientado AB , onde A=(1,2) e B=(5,3).

AB



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Solução: Para que v tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido de AB,

então v = B-A = (5,3) – (1,2) = (4,1).

58. Determine um vetor u que possua o mesmo módulo, a mesma direção e omesmo sentido do segmento orientado AB , onde A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3).

Solução: Para que u tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido de AB,

então u = B-A = (-1, 2, -3) – (1, 3, 2) = (-2, -1,-5).

59. Determine um vetor t que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o

sentido contrário ao do segmento orientado AB , onde A=(1,2) e B=(5,3).

Solução: Para que t tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário ao de AB,

então t = A-B = (1,2) – (5,3) = (-4,-1).

60. Determine um vetor z que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o

sentido contrário ao do segmento orientado AB , onde A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3).

Solução: Para que z tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário ao de

AB, então z = B-A = (1, 3,2) – (-1,2,-3) = (2, 1,5).

61. Dados o ponto P=(2,1) e o vetor v=(5,3), determine o ponto Q de modo que P+v

= Q.

Solução: Se P + v = Q, então, (2,1) + (5,3) = Q Q=(7,4).

62. Dados os pontos P=(2,4) e Q=(-3,5), determine o vetor v de modo que Q + v = P.

Solução: Se Q + v = P, então, v = P-Q v = (2,4)-(-3,5) v = (2+3, 4-5) v=(5,-1).

63. Dados os pontos A=(1, -2, 3), B=(1, -3, 2) e C=(-1, 3, 1), determinar as

coordenadas do ponto D tal que 0CD AB .



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Solução: Se D=(x, y, z) e

).0,0,0()1,3,1()1,1,0(,.0,,0 z y x sejaOuC D A BentãoCD AB

Assim, x + 1 + 0 = 0 x = -1.

y – 3 - 1 = 0 y = 1.

z – 1 – 1 = 0 z = 2.

64. Prove que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio.

Solução: Considere o paralelogramo ABCD, de diagonais AC e DB. Seja M o ponto médio

de AC. Como BM = BC + CM = AD + MA = MD, pode-se afirmar que M também é ponto

médio de BD.

65. Represente no plano cartesiano o vetor v=(4,1).

Solução:

66. Represente no plano cartesiano o vetor t=(-4, -1).

Solução:

67. Determine o módulo do vetor v=(a,b).

Solução: O vetor v=(a,b) terá origem no ponto (0,0) e extremidade no ponto (a,b), assim



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2222 )0()0( babav

68. Determine o módulo do vetor u=(a,b,c).

Solução: O vetor u=(a,b,c) terá origem no ponto (0,0,0) e extremidade no ponto (a,b,c),

assim .)0()0()0( 222222 cbacbav

69. Determine o módulo do vetor v=(4,1).

Solução: .1711614 2222 bav

70.

Determine o módulo do vetor t = (-4, -1).

Solução: .17116)1()4( 22 t

71. Determine o módulo do vetor u=(-2, -1, -5).

Solução: .302514)5()1()2( 222222 cbau

72. Determine o módulo do vetor z=(2, 1, 5).

Solução: .302514512 222 z

73. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine v + u.

Solução: v + u = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d). Geometricamente, determinamos o vetor v+u da

seguinte maneira:

74. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine v - u.



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Solução: v - u = (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d).

75. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine u – v.

Solução: u -v = (c,d) - (a,b) = (c-a, d-b).

76. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine 2v + 3u.

Solução: 2v +3u =2.(a,b) + 3.(c,d) = (2a ,2b ) + (3c,3d) = (2a+3c,2b+3d).

77. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine 2v – 3u.

Solução: 2v – 3u =2.(a,b) - 3.(c,d) = (2a ,2b ) - (3c,3d) = (2a -3 c,2b-3d).

78. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d) e t=(e,f), demonstre que (v+u) + t = v + (u+t).

Solução: (v + u) + t = [(a,b) + (c,d)] + (e,,f) = (a+c,b+d) + (e,,f) = (a+c+e,b+d+f) = [a+(c+e),

b+(d+f)] = (a,b) + (c+e,d+f) = (a,b) + [(c+e,d+f)] = v + (u+t).

79. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), demonstre que v+u = u+v.

Solução: v + u = (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b) = u + v.

80. Demonstre que o elemento neutro da adição de vetores em R2 , é o vetor o=(0,0).

Solução: Sendo v = (a,b), e v + o = v, então (a,b) + o= (a,b) o = (a,b) – (a,b) o = (a-a,b-

b) o = (0,0).

81. Demonstre que para todo vetor v=(a,b) R2 , existe – v tal que v + (-v) = o.

Solução: Sendo v=(a,b) R2 e v + v’ = o, então (a,b) + v’ = (0,0) v’ = (0,0) – (a,b) v’=

(0-a,0-b) v’ = (-a, -b). Como – a e – b R, então v’ = (-a,-b) = -v R2.

82. Sendo v e u vetores de R2 e k R, demonstre que k(v + u) = kv + ku.

Solução: Supondo que v = (a,b) e u = (c,d), k(v + u) = k(a+c, b+d) = (k(a+c), k(b+d)) =

(ka+kc, kb+kd) = (ka, kb) + (kc,kd) = k(a,b) + k(c,d) = kv + ku.



17/97


83. Sendo k e h R e v um vetor de R2 , demonstre que v(k + h) = kv + mv.

Solução: Supondo que v = (a,b), v(k + h) = (a,b).(k+h) = (a.(k+h), b.(k+h)) = (ak+ah ,

bk+bh) = (ak ,bk) + (ah ,bh) = kv + hv .

84. Sendo k e h R e v um vetor de R2 , demonstre que k(hv) = (k.h)v.

Solução: Supondo que v= (a,b), k(hv) =k(h(a,b)) = k(ha,hb)= (kha, khb) = (kh).(a,b)=

(kh).v.

85. Determine k R de modo que k.v = v , para todo vetor de R2.

Solução: Se k.v = v, então, k(a,b) = (a,b) ka = a e kb = b k = 1 R.

86. Os vetores u=(3,4), v=(2, 3b) e t=(5a,1) satisfazem à equação 2u – 3v + t = o , onde

o é o vetor nulo. Assim, determine os valores de a e b.

Solução: 2.(3,4) – 3.(2, 3 b) + (5a ,1)=(0,0) (6, 8) – (6, 9 b) + (5a , 1) = (0,0) (6-6+5a ,8-

9 b+1) = (0,0) 5a = 0 e 9 – 9 b = 0 a = 0 e b = 1.

87. Dados os vetores u=(4,3), v=(-5,1) e w=(3,0), determine u - v+w.

Solução: (4,3) – (-5,1) + (3,0) = (4 + 5 + 3, 3 – 1 + 0) = (12, 2).

88. Os vetores u=(1,2), v=(5, 7) e w=(x,2) do R2 , satisfazem à equação 4u + 3w = 2v.

Determine o valor de x.

Solução: 4.(1,2) + 3.(x,2) = 2.(5,7) (4,8) + (3x, 6) = (10,14) (4+3x, 14) = (10,14) 4

+ 3x = 10 3x = 6 x = 2.

89. Determine o produto interno entre os vetores u=(a,b) e v=(c,d).



18/97


Solução: Simbolizamos o produto interno, que também é denominado de produto escalar,

por ou u.v, que é determinado da seguinte maneira: = (a,b).(c,d) = a.c+b.d.

90.

Determine o produto interno entre os vetores u=(2,3) e v=(4,2). Solução: = (2,3).(4,2) = 2.4 + 3.2 = 8+6 = 14.

91. Determine o produto interno entre os vetores u=(-2,1) e v=(5,-3).

Solução: = (-2,1).(5,-3) = (-2).5 + 1.(-3) = -10+(-3) = -10 – 3= -13.

92. Determine o produto interno entre os vetores u=(3,6) e v=(2,-1).

Solução: = (3,6).(2,-1) =3.2 + 6.(-1) = 6 – 6 = 0.

93. Determine o produto interno entre os vetores u=(-2,4,1) e v=(2,5,-3).

Solução: = (-2,4,1).(2,5,-3)= (-2).2+4.5+1.(-3) = -4+20 – 3=13.

94. Determine o produto interno entre os vetores u=(2,-2,3) e v=(-1,5,4).

Solução: = (2,-2,3).(-1,5,4)= 2.(-1)+(-2).5+3.4 = -2+(-10)+ 12= -2 -10+12= 0.

95. Demonstre que, para u 0 , u.u > 0.

Solução: Sendo u=(a,b), onde a e b R* , u.u = (a,b) . (a,b) = a.a + b.b = a2 + b2. Como, a e

b R* , a2 >0 e b2 > 0, então a2 + b2>0.

96.

Demonstre que u.v = v.u , para u e v R2.

Solução: Sendo u=(a,b) e v=(c,d), u.v = (a,b) . (c,d) = a.c + b.d = c.a + d.b = (c,d).(a,b) = v.u.

97. Demonstre que u.(v+w) = u.v + u.w , para u, v e w R2.



19/97


Solução: Sendo u=(a,b), v=(c,d) e w=(e, f), u.(v+w) = (a,b).[(c,d) + (e, f)] = (a,b). (c+e, d+ f)

= a.(c+e) + b.(d+f) = ac + ae + bd + bf = ac + bd + ae + bf = (a,b) . (c,d) + (a,b).(e, f) = u.v +

u.w.

98. Demonstre que u.(k.v) = k.(u.v), para u e v R2 e k R.

Solução: Sendo u=(a,b) e v=(c,d), u.(k.v) = (a,b).(k.(c,d)) = (a,b).(kc,kd) = kab + kcd =

k.(ab + cd) = k.(a,b).(c,d) = k.(u.v).

99. Demonstre que o módulo de um vetor u R2 também pode ser calculado

por uuu . .

Solução: Sabemos que, para u = (a,b), 22 bau . Como a2 + b2 = (a,b).(a,b) = u.u, então,

uuu . .

100. Determine o valor de x para que o vetor v=(x,2) seja unitário.

Solução: Um vetor é unitário quando seu módulo é igual a 1. Assim,

.2

3

4

3

4

111

4

1

14

11

4

11)

4

1(

222

2

2

2222

x x x x

x x x x

101. Demonstre que o vetor , para v R2 e não nulo, é necessariamente

unitário.

Solução: Sendo v=(a,b), onde a e b R* ,

.1

',).,(

),(

'

22

22

22

2

22

2

2

22

2

22222222

ba

ba

ba

b

ba

a

ba

b

ba

av Assim

ba

b

ba

a

ba

bav

102. Determine o versor do vetor v=(2,4).

v

vv '

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Solução: O versor de um vetor v qualquer, não nulo, é um vetor unitário que possui a

mesma direção e o mesmo sentido de v. O versor de v, simbolizado por v’, é determinado por

. Assim, para v = (2,4) teremos: ).5

2,

5

1(

52

)4,2(

20

)4,2(

42

)4,2('

22

v

103. Sendo u=(-2,3) e v=(5, -2), determine u’+ v’.

Solução: Sendo u’ e v’ os versores de u e v respectivamente,

então: ).13

1,

13

1()

13

)2(3,

13

32(

13

)2,3(

13

)3,2(

)2()3(

)2,3(

)3()2(

)3,2(

2222

104. Determine u’.u’ , sendo u um vetor de R2.

Solução:Sabemos que o módulo de um vetor u pode ser calculado por ..uuu Assim,

.1''.)''.()1(''.1''.' 22 uuuuuuuuu

105. Prove que vuvu .. , sendo u e v vetores de R2. (Desigualdade de Cauchy-

Schwarz).

Solução: Fazer.

106.

Prove que, se o vetor u=(a,b) é paralelo ao vetor v=(c,d) , ambos de R2 onde c.d

0, entãod

b

c

a .

Solução: Se u e v são paralelos, então u = kv. Logo, (a,b) = k(c,d) (a,b) = (kc,kd) a = kc

e b = kd .k d

b

c

a

107.

Determine o valor de x para que os vetores u=(x ,2) e v=(9,6) sejam paralelos.Solução: Se u e v são paralelos, então .3

6

9.2

6

2

9 x x

x

108. Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam

paralelos.

v

vv '



21/97


Solução: Se u e v são paralelos, então .44810

52 ye x

y

x

109. Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um

triângulo é perpendicular ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida

deste lado.

Solução: Seja o triângulo ABC, onde M e N são, respectivamente, os pontos médios de AC e

BC. Podemos afirmar queCN CB

MC AC

2

2

.

Somando membro a membro teremos:

.2

12)(2 AB MN AB MN CB AC CN MC

110.

Prove que, se u e v são vetores de R2 tais que u=kv , então ..vk u

Solução: Supondo que v=(a,b), então u=(ka,kb). Assim,

)( 2222222 bak ubk ak u

... 22 vk ubak u

111. Prove que, sendo u e v vetores ortogonais, então u.v=0.

Solução: Com o auxílio da figura, pode-se observar que u+v é a hipotenusa do triângulo

retângulo que possui catetos u e v. Aplicando Pitágoras encontra-se .222 vuvu

Utilizando uma propriedade do produto interno tem-se: (u+v).(u+v) = u.u + v.v u.u +

u.v + v.u + v.v = u.u + v.v 2(u.v) = 0 u.v=0.

112. Verifique se os vetores u=(3,2) e v=(-4,6) são ortogonais.

Solução: Os vetores serão ortogonais se e somente se u.v=0. Assim, (3,2).(-4,6) = -12+6 = -6

0. Logo u e v não são ortogonais.

113. Obter y de modo que os pontos A=(3,y), B=(0,4) e C=(4,6) sejam os vértices se

um triângulo retângulo em A.



22/97


Solução: Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, os vetores AB e AC deverão ser

ortogonais. Assim, AB.AC = 0. Logo, (B-A).(C-A) = 0 (0 - 3, 4 - y).(4 - 3, 6 - y) = 0 (-

3, 4 – y).(1, 6-y) = 0 -3.1 + (4 - y).(6 - y) = 0 -3 + 24 – 4y – 6y + y2 = 0 y2 – 10y +

21 = 0 y = 3 ou y = 7.

114. Sendo u=(2,5) e v=(5,2), verifique se u+v e u-v são ortogonais.

Solução: u+v=(7,7) e u-v=(-3, 3). Assim, (7,7).(-3,3) = -21+21 = 0. Logo u+v e u-v são

ortogonais.

115. Determine x de modo que os vetores u=(x, 0, 3) e v=(1, x, 3) sejam ortogonais.

Solução: Para que u e v sejam ortogonais, u.v = 0. Assim, (x, 0, 3).(1, x, 3) = 0 x + 0 + 9

= 0 x = -9.

116. Determine o vetor u ortogonal a v=(4, -1, 5) e a w=(1, -2, 3), tal que u.(1, 1, 1) = -

1.

Solução: Supondo u=(x, y, z) tem-se:

11)1,1,1).(,,(0320)3,2,1).(,,(

0540)5,1,4).(,,(

z y x z y x z y x z y x

z y x z y x

. Assim, solucionando

o sistema, encontra-se x= 1, y = -1 e z = -1. Logo, u=(1, -1, -1).

117. Prove que se kv = tv , sendo v 0 , então k = t.

Solução: kv = tv kv – tv = 0 (k-t).v = 0 k=t, pois v 0.

118. Sendo v 0 , prove quev

v , denominado de versor de v , é um vetor unitário.

Solução: Escrevendov

vcomo u e considerando que vvv .

2 , então

v

v

v

vuuuu ..

22



23/97


.11.

.. 222

2 uu

vv

vvu

v

vvu

119.

Prove que, para u e v 0 e sendo o ângulo formado pelos vetores,

..

.cos

vu

vu

Solução: Observando a figura ao lado e aplicando a Lei dos Cossenos encontra-se:

..

.coscos..2..2

cos...2..2cos2 2222222

vu

vuuvuv

uvuvuvuvuvuvuv

120. Determine o ângulo formado pelos vetores u=(1,1) e v=(2,0).

Solução: .452

2cos

2.2

2cos

2.2

)0,2).(1,1(cos

.

.cos o

vu

vu

121. Determine o ângulo formado pelos vetores u=(1, -1, 0) e v=(1, 0, 1).

Solução: .602

1cos

4

1cos

2.2

)1,0,1).(0,1,1(cos

.

.cos o

vu

vu

122. Dados os vetores u=(a,b,c) e v=(d,e,f) determine o produto vetorial entre u e v.

Solução: O produto vetorial entre u e v, que pode ser simbolizado por u x v ou u ^ v, tem

como solução um vetor e pode ser calculado das seguintes maneiras:

Supondo que (x, y, z) são as coordenadas do vetor solução, tem-se

f beaed

ba z

f ad cd f

ac y

ec f b f e

cb x

..

..

..

Assim, u x v = (b.f – c.e, c.d – a.f, a.e – b.f).

O produto vetorial entre u e v também poderá ser calculado da seguinte maneira:

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24/97


)...()..()..(............ d bea z f ad c yec f b x y f a xec z d b z ea yd c x f b

f ed

cba

z y x

Assim, uxv será o vetor de coordenadas (b.f – c.e, c.d – a.f, a.e – b.f).

123. Sendo u=(1, -2, 3, -4) e v=(5, -4, 5, 7), determine se u e v são ortogonais.

Solução: Se u e v são ortogonais (perpendiculares), então u.v = 0. Assim, (1, -2, 3, -4).(5, -4,

5, 7) = 1.5 + (-2).(-4) + 3.5 + (-4).7 = 5 + 8 + 15 – 28 = 28 – 28 = 0. Logo, u e v são

ortogonais.

124. Determine o versor do vetor v=(3, -12, -4).

Solução: O versor do vetor v será o vetor unitário u, tal quev

vu . Como

,13169)4()12(3 222 v então ).13

4,

13

12,

13

3(

u

125. Determine o vetor direção do vetor v=(2, -3, 8, -5).

Solução: O vetor direção, ou versor, do vetor v será o vetor unitário u, tal quevvu .

Como ,102)5(8)3(2 2222 v então ).120

5,

120

8,

120

3,

120

2(

u

126. Dados os vetores v , u1 e u2 R2 , determine a condição para que o vetor v seja

escrito como uma combinação linear de u1 e u2 .

Solução: v poderá ser escrito como uma combinação linear de u1 e u2 se existires escalares

k1 e k2 tais que v = k1 . u1 + k2 . u2.127. Determine se é possível escrever o vetor v=(6, 9) como uma combinação linear

do vetor u=(2,3).

Solução: Se v é uma combinação linear de u, então v poderá ser escrito como v = k.u, ou

seja, (6,9) = k.(2,3). Assim, 2.k = 6 e 3.k = 9. Como k = 3 satisfaz às duas equações, então v é



25/97


uma combinação linear de u, pois (6,9) = 3.(2,3), ou seja, v=3.u. É importante observar que,

neste caso, u e v são paralelos.

128. Determine se é possível escrever o vetor v=(-3,8) como uma combinação linear

dos vetores u1=(1,2) e u2=(-2,3).Solução: v poderá ser escrito como uma combinação linear de u1 e u2 se existirem escalares

k1 e k2 tais que v = k1 . u1 + k2 . u2. Assim, deverão existir escalares para que (-3,8) = k1.(1,2)

+ k2.(-2,3). O sistema, com as equações k1 - 2k2 = -3 e 2k1 + 3k2 = 8, terá como solução k1 = 1

e k2 = 2. Logo, v é uma combinação linear de u1 e u2 , pois (-3,8) = 1.(1,2) + 2.(-2,3), ou seja,

v=1.u1 + 2.u2 , .

129. Dados o vetor v e o conjunto de vetores { u1 , u2 , u3 , u4 , ..., un } todos de Rn ,

determine a condição para que o vetor v seja escrito como uma combinação linear

de { u1 , u2 , u3 , u4 , ..., un }.

Solução: v poderá ser escrito como uma combinação linear de { u 1 , u2 , u3 , u4 , ..., un } se

existirem escalares { k1 , k2 , k3 , k4 , ..., kn } tais que v = k1 . u1 + k2 . u2 ,+ k3 .u3 + k4 . u4 + ....

kn ,. un .

130. Determine se é possível escrever o vetor v=(2, 3, -4) como uma combinação

linear de u1 = (1,1,1), u2 = (1,1,0) e u3 = (1,0,0).

Solução: v poderá ser escrito como uma combinação linear de u 1 , u2 e u3 se existirem k1 , k2

e k3 de modo que v = k1 . u1 + k2 . u2 ,+ k3 .u3 . Assim, (2, 3, -4) = v = k1 . (1,1,1) + k2 .(1,1,0)+

k3 .(1,0,0). O sistema, com as equações k1 + k2 + k3 = 2, k1 + k2 = 3 e k1 = -4, terá como

solução k1=-4, k2= 7 e k3 =-1. Logo, v é uma combinação linear de u1 , u2 e u3 pois (2, 3, -4) =

-4.(1,1,1) + 7.(1,1,0) – 1.(1,0,0), ou seja, v = -4 u1 + 7 u2 - u3.

131.

Determine os escalares k1 , k2 e k3 de modo que o vetor v=(3, 5,-2) seja uma

combinação linear dos vetores i, j e k, onde i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1) (O conjunto

{i, j, k} é uma base ortonormal de R3 , denominada de base canônica de R3).

Solução: (3, 5, -2) = k1 . (1,0,0) + k2 .(0,1,0)+ k3 .(0,0,1). Assim, k1=3, k2= 5 e k3 =-2. Logo,

v=3i + 5j – 2k.



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132. Sendo u = 3i + 5j – 2k e v = 4i – 3j + 7k , determine u + v.

Solução: u + v = (3i + 5j – 2k) + (4i – 3j + 7k) = 7i + 2j + 5k.

133. Sendo u = 3i + 5j – 2k e v = 4i – 3j + 7k , determine 2u - 3 v.

Solução: 2u – 3v = 2.(3i + 5j – 2k) – 3.(4i – 3j + 7k) = (6i + 10j – 4k) – (12i – 9j + 21k) = -6i+ 19j – 25k.

134. Sendo u = 3i + 5j – 2k e v = 4i – 3j + 7k , determine u . v.

Solução: u.v = 3.4 + 5.(-3) + (-2).7 = 12 – 15 – 14 = -17.

135. Calcular o módulo do vetor v = 4i + 3j.

Solução: .52591634 22 v

136.

Calcular o módulo do vetor v=2i + 4j – k.

Solução: .211164)1(42 222 v

137. Determinar o versor do vetor v=4i + 3j.

Solução: Como ,5v então o versor de v será o vetor .5

3

5

4 ji

v

vu

138. Determine o versor do vetor v=2i + 4j – k.

Solução: Como ,21v então o versor de v será o vetor .211

21

4

21

2k jiv

vu

139. Determine o valor de m de modo que o vetor v=(2m, 4m, 4m) seja um versor.

Solução: para que v seja um versor, v deverá ser unitário, ou seja, .1v Assim,

.13616164 2222 mmmmv Ou seja, 36m2 = 1 ou m= 1/6.

140. Sendo A=(1,0), B=(4,1) e C=(4,y), calcule y de modo se tenha BÂC = 60o.

Solução: O ângulo BÂC é formado pelos vetores AB e AC, onde AB = (3,1) e AC=(3,y).

Como



27/97


C A B A

C A B Ao

.

.60cos , então y y

y

y2181090

9.10

9

2

1 22

. Elevando os dois

membros ao quadrado tem-se .356039124723241090 222 y y y y y y

141.

Sendo v um vetor unitário, prove que a projeção de um vetor u na direção de v é o vetor p=(u.v).v.

Solução: Como pode ser observado na figura, o vetor p possui a mesma direção que o vetor

v. Assim, p poderá ser escrito como p=kv. Como (u - p) e v são ortogonais, então (u - p).v =

0 (u - kv).v = 0 u.v – k.(v.v) = 0. Como v é unitário, então v.v = 1. Logo, u.v – k = 0

k = u.v. Assim, como p = k.v, substituindo-se k por u.v tem-se p = (u.v).v.

142.

Determinar a projeção do vetor u=(10,5) na direção do vetor ).54

,5

3

(v

Solução: .125

16

25

9v Assim, sabendo-se que p=(u.v).v, tem-se:

.5

52,

5

39

5

4,

5

3.13

5

4,

5

3.

5

65

5

4,

5

3.

5

20

5

45

5

4,

5

3.

5

4,

5

3.5,15

p

p p p p

143.

Determinar a projeção do vetor t=(0,4) na direção do vetor v=(1,1).Solução: Como v não é unitário, pois ,2v será necessário calcular o versor de v.

O versor de v será o vetor .2

1,

2

1

u Assim,

).2,2(2

1,

2

1.

2

4

2

1,

2

1.

2

1,

2

1).4,0(

p p p

144. Mostre que se v é unitário, então, o produto escalar u.v é, em valor absoluto, o

módulo da projeção de u sobre v.Solução: Sendo p = (u.v).v e supondo que u.k = k, então ... vk vk p Como v é unitário,

então

.,.1 k p Assimv

http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br/


28/97


145. Sendo v um vetor não nulo, prove que a projeção de um vetor u sobre o vetor v

é um vetor que possui módulo igual a cos.u , onde é o ângulo entre u e v.

Solução: Sendo v um vetor não nulo, então a projeção de u sobre v será calculada

em função do versor de v. Assim,v

v

v

vu p )..( . Como cos.

.

.cos vuvuvu

vu ,

então v

v

v

vu p .

.

.cos..cos

u pv

v

v

vu p

146. Determine o coeficiente angular de uma reta que faz um ângulo de 45 o com o

eixo das abscissas.

Solução: Define-se como coeficiente angular (m) o valor numérico da tangente

trigonométrica da inclinação da reta, ou seja:

.1450 mtg m

147. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A=(xA , yA) e

B=(xB , yB).

Solução: Conforme pode ser observado na figura,

. x

y

x x

y y

deadjacentecatetodomedida

deopostocatetodomedidatg m

A B

A B

148. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A=(1,3) e B=(2,

5).

Solução: .212

35

x

ym

149. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A=(-3,1) e

B=(1,-2).

Solução: .4

3

)3(1

12

x

ym



29/97


150. Determine o valor de k de modo que os pontos A=(1,3), B=(2,7) e C=(4,k)

estejam alinhados.

Solução: Para que os pontos estejam alinhados, o coeficiente angular calculado

pelos pontos A e B deverá ser igual ao coeficiente angular calculado por B e C.Assim,

.15872

7

1

4

24

7

12

37

k k

k k m

151. Se os pontos (2,-3), (4,3) e (5,2

k ) estão numa mesma reta, então k é igual a:

Solução: .12666)32/(21

32/

2

6

45

32/

24

)3(3

k k k

k k m

152.

Verificar que os pontos A=(2,3), B=(5,11) e C=(10,25) são vértices de um mesmo

triângulo.

Solução: Para que os pontos sejam vértices de um mesmo triângulo eles não

poderão estar alinhados. Assim,

.0201751770155011012530220

12510

1115

132

Como os pontos não

estão alinhados, eles poderão ser vértices de um mesmo triângulo.

153. Verifique se os pontos A=(xA ,yA), B=(xB ,yB) e P=(x,y) estão alinhados.

Solução: Como já foi visto anteriormente, pode-se utilizar o critério do

determinante para verificar se os pontos estão alinhados. Assim,

.0)()(

000

1

1

1

A B B A A B B A

A B B A A B B A A B A B B A B A

B B

A A

y x y x x x y y y x

y x y x yx yx xy xy yx xy y x y x yx xy

y x

y x

y x

Fazendo a=(yA – yB), b=(xB –xA) e c=(xAyB – xByA), tem-se ax + by + c=0, que é a forma

algébrica da equação da reta que passa pelos pontos A, B e P.

154. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A=(1,3), B=(2,4) e P=(x,y).



30/97


Solução: .020464230142

131

1

y x x y y x

y x

155. Dada a equação da reta r: ax + by + c=0, mostre que a e b são coordenadas de

um vetor ortogonal à reta r.

Solução: Tomando-se os pontos A=(xA ,yA) e B=(xB ,yB) da reta r, pode-se mostar o

vetor AB, que terá coordenadas AB=( xB-xA , yB -yA). Assim, sendo v=(a,b) onde

a=(yA – yB) e b=(xB –xA), observa-se que AB=(-b,a), que é ortogonal à v. O vetor

v=(a,b) é denominado de vetor normal da reta r.

156. Determine as coordenadas do vetor normal da reta r: 2x + 3y – 5=0.

Solução: O vetor normal da reta r terá coordenadas v=(2,3).

157. Determine as coordenadas do vetor normal da reta que passa pelos pontos

A=(-3,5) e B=(1,1).

Solução: Calculando as coordenadas do vetor AB, e sabendo que AB=(-b,a), tem-se:

AB = (1-(-3), 1-5)=(4,-4). Assim, v=(-(-4),4), ou seja, v=(4,4).

Outra forma de encontrar a solução do problema é montando a equação da reta

que passa pelos pontos A e B. Assim, encontrando a equação 4x + 4y – 8 = 0,verifica-se que v=(4,4).


A=(3,2) e B=(6,2).

Solução: Construindo a equação da reta que passa por A e B, em sua forma

algébrica, encontra-se

.01230032126620

126

123

1

y x y x y x

y x

Assim, v=(0,3). Observa-se

que a reta é paralela ao eixo das abscissas.


A=(3,5) e B=(3,2).



31/97


Solução: Construindo a equação da reta que passa por A e B, em sua forma

algébrica, encontra-se

.0903032156350

123

153

1

y x y x y x

y x

Assim, v=(3,0). Observa-se

que a reta é paralela ao eixo das ordenadas.

160. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P=(x,y) e

Q=(xA ,yA).

Solução: O coeficiente angular da reta que passa por P e Q será

).( A A

A

A x xm y y x x

y ym

161. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A=(5,1) e que tenha

coeficiente angular m=2.

Solução: Aplicando A e m na equação geral da reta encontra-se

(y - 1) = 2(x - 5) y – 1= 2x – 10 2x – y – 9 = 0.

162. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A=(3,0) e tenha coeficiente

angular m= -3.

Solução: (y – 0) = -3(x – 3) y = -3x + 9 -3x – y + 9 = 0 ou 3x + y – 9 = 0.

163. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A=(0,0) e tenha coeficiente

angular m=1/2.

Solução: (y – 0) = ½.(x – 0) 2y = x x – 2y = 0.

164. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A=(7,-2) e faça um ângulo

de 45o em relação ao eixo das abscissas.

Solução: m = tg 45o = 1 (y – (-2)) = 1(x-7) y + 2 = x – 7 -x + y + 9 = 0 ou x – y –

9 = 0.

165. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A=(-5,3) e é perpendicular ao

eixo das abscissas.



32/97


Solução: m = tg 90o é impossível calcular m. Como a reta é perpendicular ao eixo

das abscissas, ou seja, paralela ao eixo das ordenadas, a reta terá valor de x fixo

para todo valor de y. Assim, para qualquer ponto A=(xA , yA), a equação da reta

perpendicular ao eixo das abscissas, passando por A, será dada por x = xA.Desta forma, a equação da reta que passa por A=(-5,3) e é perpendicular ao eixo

das abscissas será a equação x = -5.

166. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A=(3, 1) e é perpendicular ao

eixo das ordenadas.

Solução: m = tg 0o m = 0. Logo, y – 1 = 0(x – 3) y – 1 = 0 y = 1.

Observa-se que a reta em questão é paralela ao eixo das abscissas, ou seja, a reta

terá valor fixo de y para qualquer valor de x. Assim, para qualquer ponto A=(x A ,

yA), a equação da reta paralela ao eixo das abscissas, passando por A, será dada por

y = yA.

167. Dada a reta de equação r: x + 2y – 3 = 0, verifique se o ponto A=(1,1) pertence à

reta.

Solução: Se A r, então xA + 2yA – 3 = 0 . Assim, 1 + 2.1 – 3 = 0 1 + 2 – 3 = 0 0 =

0. Logo, pode-se afirmar que o ponto A pertence à reta r.

168. Verifique se o ponto P=(1,2) pertence à reta r: 2x – 3y + 2 = 0.

Solução: Aplicando P em r tem-se, 2.1 – 3.2 + 2 = 0 2 – 6 + 2 = 0 -2 0. Logo, P

r.

169. Determine as coordenadas do ponto P da reta de equação 2x – y + 2 = 0 que

possui abscissa 3.

Solução: O ponto P terá coordenadas P = (3, y). Assim, 2.3 – y + 2 = 0 6 – y + 2 = 0

y = 8. Logo, P=(3, 8).

170. Para a reta 3x – 2y + 5 = 0, determine as coordenadas do ponto P desta reta, que

possua ordenada 2.



33/97


Solução: O ponto P terá coordenadas P = (x, 2). Assim, 3x – 2.2 + 5 = 0 3x – 4 + 5 =

0 3x = -1 x = -1/3.

171. Determine o ponto de encontro da reta r: 2x – 3y + 6 = 0 com o eixo das

abscissas.Solução: O ponto de interseção entre a reta r e o eixo das abscissas terá

coordenadas (x, 0). Assim, 2x – 3.0 + 6 = 0 2x + 6 = 0 x = -3. Logo, as

coordenadas serão (-3, 0).

172. Determine o ponto de encontro da reta r: 3x + 2y – 8 = 0 com o eixo das

ordenadas.

Solução: O ponto de interseção entre a reta r e o eixo das ordenadas terá

coordenadas (0, y). Assim, 3.0 + 2.y – 8 = 0 2y = 8 y = 4. Logo, as coordenadas

serão (0, 4).

173. Determine o valor de k, de modo que o ponto P=(2,1) pertença à reta x + y + k =

0.

Solução: Substituindo as coordenadas de P na reta, encontra-se 2 + 1 + k = 0 3 + k

= 0 k = -3.

174. Verifique se a reta 3x + y = 0 passa pela origem do sistema de eixos cartesianos.

Solução: Substituindo as coordenadas da origem, ou seja, o ponto (0,0), encontra-se

3.0 + 0 = 0 0 = 0. Logo, a reta passa pela origem do sistema de eixos cartesianos.

175. Determine a equação reduzida da reta de equação r: 2x – y + 4 = 0.

Solução: A equação reduzida da reta é uma equação do tipo y = mx + n, onde m é o

coeficiente anular e n é o coeficiente linear. Assim, 2x – y + 4 = 0 y = 2x + 4.

176. Determine a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A=(3,1) e B=(1,5).

Solução: .22

4

31

15

m Assim, para A=(3,1), tem-se: y – 1 = -2(x – 3) y – 1 = -2x +

6



34/97


y = -2x + 7.

177. Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P=(3,5) e que

possua coeficiente angular m=4.

Solução: y – 5 = 4.(x – 3) y = 4x – 12 + 5 y = 4x – 7.178. Determinar a equação da reta que corta os eixos nos pontos P=(p,0) e Q=(0,q),

para p e q 0.

Solução: .10010

10

1

q

y

p

xqp pyqx

p

q

y x

Esta equação é conhecida como equação

segmentaria da reta.

179.

Determine a equação da reta que intercepta o eixo das ordenadas no ponto

A=(0,4) e intercepta o eixo das abscissas no ponto B=(2,0).

Solução: A solução deste problema poderá ser dada por meio do cálculo do coeficiente

angular e da utilização de um dos pontos, ou seja:

2

20

04m y – 4 = -2(x - 0) y = -

2x + 4.

Porém, observando que o coeficiente linear da reta é 4, pois a reta corta o eixo das ordenadas

no ponto A=(0,4), o problema também poderá ser resolvido da seguinte maneira:

y=mx + n y = mx + 4, substituindo o ponto A, encontra-se

0 = m.2 + 4 m = -4/2 m = -2. Assim, a equação da reta será y = -2x + 4.

Pela equação segmentaria também é possível encontrar a solução do problema

.4242824142

1 x you y xou y x y x

q

y

p

x

180. Determine a equação da reta que passa pelos pontos P=(-1,0) e Q=(0,1).

Solução: Pela equação segmentaria tem-se

.1011111

1 x you y xou y x

y x

q

y

p

x

181. Determine a equação da reta que passa por P=(1,3) e Q=(0,-1).



35/97


Solução: Como o coeficiente linear é – 1, pois a reta corta o eixo das ordenadas em

Q=(0,-1), tem-se

y = mx + n y=mx-1 3=m.1 - 1 m=4 y=4x – 1.

182.

Determine a equação da reta que passa por P=(1,1) e Q=(2,2).

Solução: .0022220122

111

1

x y y x y x y x

y x

Esta reta é

denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares.

183. Determine a equação da reta que passa por P=(1,-1) e Q=(-2,2).

Solução: .033022220122111

1

x y y x y x y x

y x

Esta reta é

denominada de bissetriz dos quadrantes pares.

184. Determine os coeficientes angular e linear da reta de equação r: 6x – 2y + 4 = 0.

Solução: 6x – 2y + 4 = 0 2y = 6x + 4 y = 3x + 2. Logo, m=3 e n = 2.

185. Determine os coeficientes angular e linear da reta de equação r: -3x + 2y – 4=0.

Solução: .22

3

2

434320423

x y

x y x y y x Assim, m= 3/2 e n=2.

186. Para que valor de k o coeficiente linear da reta 3x + y + 2k = 0 é igual a 5?

Solução: 3x + y + 2k = 0 y = -3x – 2k -2k = 5 k = -5/2.

187. Determine os coeficientes angular e linear da reta de equação r: ax + by + c = 0.

Solução: Sendo r: ax + by + c =0, então, by = -ax – c .b

cne

b

am

b

cax y

188. Dados os pontos A=(0,0), B=(3,7) e C=(5, -1), determinar a equação da reta que

passa por A e pelo ponto médio do segmento AB.

Solução: ).3,4(2

)1,5()7,3(

M

P Assim, a reta passará pelo ponto (4,3) e pelo ponto (0,0).

Logo,

.0434

3)0(

4

30

4

3

04

03

y xou x y x ym



36/97


189. Obter um ponto A na reta r: x – y = 0 e equidistante dos pontos A=(1,0) e

C=(5,2).

Solução:Sendo A=(xA , yA) e A r xA - yA = 0 xA = yA . Assim, A=(x,x).

Como dAB = dAC , então,

).3

7,

3

7(

3

7281214251042

44251012)2()5()0()1( 22222222

A x x x x x

x x x x x x x x x x x

190. Obter um ponto P na reta r: y=3x e equidistante dos pontos A=(4,0) e B=(0,2).

Solução: Sendo P=(xP , yP) e P r 3xP = yP . Assim, P=(x,3x).

Como dPB = dPC , então,

).9,3(312416412841299168)23()0()03()4(

22222222

P x x x x x x x x x x x x x x

191. Obter um ponto A na reta r: y = x tal que o ponto médio do segmento AB, onde

B=(2,4), pertença à reta s: 2x – y – 4 = 0.

Solução: Sendo A=(x,x), então, .2

4,

2

2

2

)4,2(),(

x x x x P M

Como P M s, então, ).8,8(80844204)2

4()

2

2.(2

A x x x x x

192. Obter um ponto A na reta r: y = x e um ponto B na reta s: y=4x tais que o ponto

médio do segmento AB seja M=(1,2).

Solução: Sendo A=(a,a) e B=(b, 4b), então

).3

8,

3

2()

3

4,

3

4(.

3

2

3

4

44

2)2,1(

2

)4,(),(

Be A Logobea

ba

babbaa P M

193. Dadas as retas r: a1x + b1y + c1=0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, determine as condições

para que r e s sejam paralelas.

Solução: Sendo v1=(a1 , b1) e v2=(a2 ,b2) os vetores normais de r e s respectivamente. Se r//s,

então, v1 // v2.



37/97


Assim, .21

2

2

1

1

2

1

2

1 mmb

a

b

a

b

b

a

a Logo, r e s são paralelas se e somente se seus

coeficientes angulares são iguais.

Uma outra relação que é importante ser observada é:Se

2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a as retas são paralelas coincidentes.

Se 2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a as retas são paralelas distintas.

194. Dadas as retas r: a1x + b1y + c1=0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, determine as condições

para que r e s sejam ortogonais.

Solução: Sendo v1=(a1 , b1) e v2=(a2 ,b2) os vetores normais de r e s respectivamente. Se r éortogonal à s, então, v1 é ortogonal à v2. Assim, v1.v2 = 0 (a1 , b1).(a2 ,b2)=0 a1.a2 + b1.b2

= 0 a1.a2 = - b1.b2

.1.1

21

2

1

2

2

1

1 mmoum

ma

b

b

a

195. Determinar a interseção entre as retas r: 5x – 2y – 1 = 0 e s: 2x – 4y + 7 = 0.

Solução: Para encontrar a interseção entre as retas basta solucionar o sistema

742

125

y x

y x .

Assim, a interseção entre as retas será o ponto )16

37,

8

9( P .

196. Determinar a interseção entre as retas r: 3x + y + 1 = 0 e s: 6x + 2y + 3 = 0.

Solução: Antes de buscar a solução do sistema

326

13

y x

y x , é importante observar que as

retas são paralelas, uma vez que os vetores normais vr=(3,1) e vs=(6,2), são paralelos. Além

disso, também pode-se observar que mr = ms = -3.

Porém, essas retas são paralelas distintas, uma vez que3

1

2

1

6

3

. Assim, não haverá

interseção entre as retas.

197. Determinar a interseção entre as retas r: 2x – y + 3 = 0 e s: 6x – 3y + 9 = 0.



38/97


Solução: Da mesma maneira que na questão anterior, é importante observar que as retas são

paralelas. Porém, desta vez, as retas são paralelas coincidentes, um vez que9

3

3

1

6

2

.

Logo, as retas terão uma infinidade de pontos de interseção. A solução do sistema será o

conjunto )32,(),( 2 x x R y xS .

198. Determinar os valores de k para os quais as retas r: kx + y + 2 = 0 e s: 3x – 6y – 2

= 0 são concorrentes.

Solução: Para que as retas sejam concorrentes, os vetores normais não poderão ser

paralelos. Assim,

.2

1

6

1

3

k

k

199. Determinar os vértices do triângulo cujos lados estão nas retas r: x – 2y = 0, s:

2x – y = 0 e t: x + y – 6 = 0.

Solução: Para se determinar os vértices do triângulo, deve-se buscar as

intersecções entre as retas, duas a duas. Assim, r s = (0,0), s t = (2,4) e r t = (4,2).

200. Mostrar que as retas r: 3x – 2y – 8 = 0, s: x + 2y – 8= 0 e t: 5x – 6y – 8 = 0 são

concorrentes num mesmo ponto P.

Solução: As retas terão um mesmo ponto de intersecção caso o sistema

tenha uma única solução.

Resolvendo o sistema, encontra-se o ponto P=(4,2)

201. Determinar o valor de k de modo que as retas r: kx + 2y + 3 = 0 e s: 3x – y – k = 0

sejam paralelas.

Solução: Para que as retas sejam paralelas é necessário que .612

3

k k

202. Determinar os valores de k de modo que as retas r: 2x – ky + 1 = 0 e s : 8x + ky –

1 = 0 sejam perpendiculares.

0865

082

0823

y x

y x

y x



39/97


Solução: Se r e s são perpendiculares, então seus vetores normais vr=(2,-k) e vs=(8,k)

são perpendiculares. Logo, (2,-k).(8,k) = 0 16-k2 = 0 k2 = 16 k = 4.

203. Obter a equação da reta s paralela à reta r: 2x + 3y + 1 = 0 e que passa pelo

ponto P=(5, -2).Solução: Se s e r são paralelas, então ms = mr = -2/3. Assim,

.0432:)5(3

2)2( y x s x y

204. Determinar uma reta s paralela à r: 7x + 15y – 11 = 0 e que passa pela origem do

sistema cartesiano.

Solução: Se as retas são paralelas, então elas deverão ter vetores normais paralelos.

Como a reta em questão deverá passar na origem do sistema cartesiano, então seu

coeficiente linear deverá ser c =0. Assim, a equação da reta s poderá ser escrita

como 7x + 15y = 0.

205. Obter a equação da reta s perpendicular à reta r: 2x + 5y – 1 = 0 e que passa

pelo ponto P=(1,1).

Solução: O coeficiente angular da reta r é .5

2

r m Assim, o coeficiente angular da reta s

será .2

51

r

s mm Logo, a equação da reta s será s: 5x – 2y – 3 = 0.

206. Determinar a projeção ortogonal do ponto P=(2,3) sobre a reta r: x + y + 1 = 0.

Solução: A projeção ortogonal de P sobre a reta r é o ponto P’, gerado pela

intersecção entre a reta r e uma reta s, perpendicular a r, que passe por P. Assim, o

coeficiente angular da reta s será ms = 1, uma vez que mr = -1.

Desta forma, a equação de s será s: x – y + 1 = 0. Logo, o ponto P’, intersecção entre

r e s, será P’= (-1,0).

207. Determinar o ponto simétrico de P=(0,4) em relação à reta r: 2x + y = 0.



40/97


Solução: Primeiramente deve-se encontrar a projeção ortogonal de P em relação à

reta r. A equação da reta s, perpendicular à reta r, será s: x – 2y + 8 = 0. Assim, a

intersecção entre r e s será o ponto P’=(-8/5 , 16/5).

O ponto simétrico de P em relação a reta r será um ponto Q, tal que, P’ será o ponto médio

entre P e Q, ou seja, ).5

12,

5

16()4,0()

5

16,

5

8(2'2'

2

QQ P P Q P

Q P

208. Dados O=(0,0) e r: x + y – 5 = 0, determine o ponto médio do segmento cujas

extremidades são o ponto O e a sua projeção ortogonal sobre r.

Solução: Sendo mr=-1, a equação da reta ortogonal a r, passando por O, será dada

por s: x – y = 0. Assim, a projeção ortogonal de O, em relação à reta r será o ponto

O’=(5/2, 5/2). Logo, o ponto médio do segmento OO’ será ).45,

45(

2)2/5,2/5()0,0(

M P

209. Dadas duas retas com inclinações r e s , determine a tangente do ângulo

formado pelas retas.

Solução: Sendo s o maior ângulo, pela figura pode-se observar que rs = s - r , então:

tg rs = tg( s - r ).

Assim,)).((1

r s

r s

rs tg tg

tg tg tg

. Como tg s = ms e tg r = mr , onde ms e mr são os coeficientes

angulares das retas s e r, então:

r s

r s

rs mm

mmtg

.1

.

Da mesma maneira, caso r seja o maior ângulo, tem-se:

r s

sr

sr mm

mmtg

.1

210.

Sendo r: 3x + y + 5 = 0 e s: 2x – y – 4 = 0, calcular o ângulo formado pelas retas re s.



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Solução: Verifica-se que os coeficientes angulares das retas são, respectivamente, mr= -3 e

ms= 2. Assim, .135115

5

)3(21

32

.1

0

rsrsrs

r s

r s

rs tg tg

mm

mmtg

211. Determine as equações das retas que passam pelo ponto P=(1,2) e formam um

ângulo de 45o com a reta r: y – 2x +4= 0.

Solução: Supondo que s seja a reta pedida, e que ela passe pelo ponto P=(1,2), então sua

equação deverá ser y – 2 = ms.(x-1).

O ângulo de 45o pode ser sr ou rs. Assim, o problema terá duas soluções.

1o Caso:

Sendo sr = 45o tgsr = 1 e mr = 2, então:

.3

12121

21

2

.1

s s s

s

s

r s

sr

sr mmm

m

m

mm

mmtg

Logo, y – 2 = 1/3(x-1) s: x – 3y + 5 = 0.

2º Caso:

Sendo rs = 45o tgrs = 1 e mr = 2, então:

.3212121

2

.1

s s s

s

s

r s

r s

rs mmm

m

m

mm

mmtg

Logo, y – 2 = -3.(x – 1) s:3x + y – 5 = 0.

212. Determinar as equações das retas que passam pelo ponto de intersecção das

retas r: 2x – y = 0 e s: 5x + 2y – 2 = 0 e formam um ângulo de 45o com a reta t: x – 2y

+ 2 = 0.

Solução:Verifica-se que r s = (2/9,4/9) e que mt = 1/2.

Sendo m o coeficiente angular da reta desejada, então:

y – 4/9 = m.(x – 2/9).

Assim, as soluções serão:

.3

1

21

2

11

21

2

1

451

1

11

1

m

mm

m

m

tg o Logo, a equação será



42/97


9x + 27 – 14 = 0.

ou

.3

2

1

2

11

21

2

1

452

2

21

2

m

mm

m

m

tg o Neste caso, a equação será

27x – 9y – 2 = 0.

213. Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto P em relação ao sistema de eixos xOy

e (h,k) as coordenadas da origem O’ de um novo sistema XO’Y de eixos

respectivamente paralelos aos primeiros e de igual sentido. Determine as

coordenadas (X,Y) do ponto P no novo sistema de coordenadas XO’Y.

Solução: Pela figura pode-se observar que

X = x – h e

Y = y – k.

Esta mudança de coordenadas é denominada de Translação de Eixos.

214. As coordenadas de um ponto P são (5,8). Calcule as coordenadas desse ponto

em relação a outro sistema de eixos paralelos a xOy, de igual sentido, e de origemno ponto O’=(3,2).

Solução: Como X = x – h e Y = y – k, então as coordenadas de P serão (2,6).

215. Transformar a equação x2 – 4y2 – 2x + 8y – 7 = 0 mediante uma translação de

eixos, considerando a nova origem no ponto (1,-1).

Solução:

.11

)1(

4

)1(1

4

1

4

7

1

)12(

4

)12(

4

7

1

)2(

4

)2(

7)2(4)2(2222

2222

y x y y x x

y y x x

y y x x

Fazendo a translação de eixos tem-se:

X=1-1 = 0

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Y = 1 – (-1) = 2

Logo, a equação será:

.0208411

)2(

4

)0( 2222

y y x

y x

216. Transformar a equação x2 – 6y + 9 = 0 mediante uma translação de eixos,

considerando a nova origem no ponto (0, 3/2).

Solução:

.2

3

60

6

9

6096

222 y

x y

x y x

Fazendo a translação de eixos tem-se:

X= 0 – 0 = 0Y= 3/2 – 3/2 = 0

Logo, a equação será:

.0606

22

x x y x

217. Defina circunferência.

Solução: Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um

ponto fixo C=(a,b) chamado centro.218. Determine a equação da circunferência de centro em O=(0,0) e raio R.

Solução: Sendo P=(x,y) um ponto qualquer da circunferência,

.)0()0( 22222 R y x R y x Rd

OP

219. Determine a equação da circunferência de centro em C=(0,0) e raio R= 4.

Solução: Como x2 + y2 = R2 x2 + y2 = 42 x2 + y2 = 16.

220.

Transformar a equação x2

+ y2

= R2

mediante uma translação de eixos,considerando a nova origem no ponto (a,b).

Solução: x2 + y2 = R2 (x+0)2 + (y+0)2 = R2 . Fazendo a translação de eixos tem-se:

X= 0 – a

Y= 0 - b



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Logo, a equação será (x-a)2 + (y-b)2 = R2 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - R2 =0. Esta equação é denominada de equação geral da

circunferência

221.

Determine a equação geral da circunferência de centro em C=(1,2) e raio R=3.Solução: (x-1)2 + (y-2)2 = 32 x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 9 = 0 x2 + y2 – 2x – 4y – 4=0.

222. Determine a equação geral da circunferência de centro em C=(-2,-1) e raio R=1.

Solução: (x+2)2 + (y+1)2 = 12 x2 + 4x + 4 + y2 + 2y + 1 – 1 = 0 x2 + y2 + 4x + 2y + 4=0.

223. Determine o centro e o raio da circunferência de equação (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4.

Solução: Comparando com a equação reduzida da circunferência, ou seja, (x - a)2 + (y - b)2 =

R2 , tem-se: a = 2, b = 3 e R2 = 4 R = 2.

224. Determine o centro e o raio da circunferência de equação (x + 3)2 + (y + 1)2 = 9.

Solução: Comparando com a equação reduzida da circunferência, ou seja, (x – a)2 + (y – b)2

= R2 , tem-se: a = -3, b = -1 e R2 = 9 R = 3.

225. Determine o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 – 25 = 0.

Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x2 + y2 – 2ax – 2by + a2

+ b2 - R2 =0, tem-se: a = 0, b = 0 e a2 + b2 - R2 = -25 R = 5.

226. Determine o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 – 6x = 0.

Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x 2 + y2 – 2ax – 2by + a2

+ b2 - R2 =0, tem-se: -2a = -6 a = 3, -2b = 0 b = 0 e a2 + b2 - R2 = 0 R = 3.

227. Determine o raio e o centro da circunferência de equação x2 + y2 – 6x + 10y - 2=

0.


+ b2 - R2 =0, tem-se: -2a = -6 a = 3, -2b = 10 b = -5 e a2 + b2 - R2 = -2 R = 6.

228. Determine o raio e o centro da circunferência de equação x2 + y2 + 8x + 2y + 11=

0.



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Solução: Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x 2 + y2 –

2ax – 2by + a2 + b2 - R2 =0, tem-se: -2a = 8 a = -4, -2b = 2 b = -1 e a2 + b2 - R2 = 11 R

= 6 .

229.

Determine a equação da circunferência de centro no ponto C=(3,0) e tangenteao eixo das ordenadas.

Solução: Se a circunferência é tangente ao eixo das ordenadas e possui centro em C=(0,3),

então ela possui raio R=3. Assim, tem-se: (x-3)2 + (y-0) 2 = 32 x2 + y2 – 6x= 0.

230. Determine o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 = 2(x – y) + 1.

Solução: x2 + y2 = 2(x – y) + 1 x2 + y2 = 2x – 2y + 1 x2 + y2 - 2x +2y – 1=0.

Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x2

+ y2

– 2ax – 2by + a2

+ b2

- R2

=0, tem-se: -2a = -2 a = 1, -2b = 2 b = -1 e a2 + b2 - R2 = -1 R = 3 .

231. Calcular p de modo que a circunferência x2 + y2 – 2px + 2py + p2 = 0 tenha raio

igual a 2.


+ b2 - R2 =0, tem-se: -2a = -2p a = p, -2b = 2p b = -p e a2 + b2 - R2 = p2 R2 = p2+ (-p) 2

– p2 R2= p2 p2 = 4. Logo p= 2.

232. Calcular p e k de modo que as circunferências C1: x2 + y2 – 4px + 8y – 1 e C2: x2 +

y2 +8x – (k - 4)y = 0 sejam concêntricas, ou seja, tenham centro coincidentes.

Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, observa-se que os centro das

circunferências são, respectivamente, C1=(2p, -4) e C2=(-4, (k-4)/2). Assim, como C1 = C2 ,

então:

2p = -4 p = -2 e .442

4

k

k

233. Determine os valores de m para os quais a equação x2 + y2 + 4x – 6y + m = 0

representa uma circunferência.



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+ b2 - R2 =0, tem-se: -2a = 4 a = -2, -2b = -6 b = 3 e a2 + b2 - R2 = m R2 = (-2) 2 + 32 –

m R2= 4 + 9 – m R2 = 13 - m. Como R > 0 , então, 13 - m > 0 m < 13.

234.

Mostrar que existe um único ponto do plano cartesiano que satisfaz à equaçãox2 + y2 – 2x – 2y + 2 = 0.

Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, tem-se a = 1 e b = 1. Assim, a 2

+ b2 – R2 =2 1 + 1 – R2 = 2 R = 0. Logo, a equação representa todos os pontos cuja

distância de C=(1,1) é igual a zero. Portanto, a equação representa apenas o ponto C=(1,1).

235. Determinar os valores de k para os quais o ponto A=(k,2) pertence à

circunferência x2 + y2 = 9.

Solução: Se A pertence à circunferência, então k2 + 22 =9 k2 = 5 k= 5 .

236. Quais os pontos da circunferência x2 + (y - 1)2 = 4 que têm abscissa 1?

Solução: Se x = 1, então, 1+ (y – 1)2 = 4 y2 – 2y – 2 = 0 y= 21 .

Assim, os pontos serão: )21,1( .

237. Quais são os pontos onde a circunferência x2 + y2 – 4x – 5y + 3 = 0 intercepta o

eixo dos x?

Solução: Se a circunferência intercepta o eixo dos x, então, nestes pontos, y = 0. Assim, x 2+

02 – 4x – 5.0 + 3 = 0 x2 – 4x – 5 = 0 x1= -1 e x2= 5. Logo, os pontos serão (-1, 0) e (5,0).

238. A int

Calculo Vetorial-422 Exercícios Respondidos

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