CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS · processamento. Os resultados com dados...

WIMERSON SANCHES BAZAN

CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE

CÂMARAS DIGITAIS

PRESIDENTE PRUDENTE 2008

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Faculdade de Ciências e Tecnologia

Campus de Presidente Prudente

WIMERSON SANCHES BAZAN

CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE

CÂMARAS DIGITAIS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciências Cartográficas da Faculdade de Ciências e Tecnologia da UNESP, como parte dos requisitos exigidos para obtenção do título de Mestre em Ciências Cartográficas.

Orientador: Prof. Dr. Antonio M. G. Tommaselli

Co-orientador: Prof. Dr. Mauricio Galo

PRESIDENTE PRUDENTE 2008

Aos meus pais Orestes e Marlene, todos os familiares e amigos, e à minha querida namorada Etiene, por todo o carinho, incentivo e apoio.

AGRADECIMENTOS

Meus sinceros agradecimentos aos Professores Antonio Maria

Garcia Tommaselli e Mauricio Galo pela orientação que tem se estendido ao longo

destes últimos anos e tem sido essencial na minha formação. Sem dúvida alguma,

vocês são modelos de caráter, profissionalismo e ética que pretendo seguir na

minha vida profissional.

Ao colega Roberto da Silva Ruy pelo envolvimento e colaboração,

no que diz respeito ao desenvolvimento de todo o fluxo de entrada e saída do

programa, além das principais rotinas do ajustamento pelo método combinado.

Agradeço também à sua participação e dedicação na etapa de coleta das imagens,

além de outras tarefas relacionadas ao trabalho desenvolvido.

Aos colegas Tiago, Rodrigo e José Marcato Junior, pela colaboração

na etapa de coleta das imagens, entre outras tarefas.

Aos demais professores do Programa de Pós-graduação em

Ciências Cartográficas que contribuíram de alguma maneira com o desenvolvimento

deste trabalho.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

(CNPq) pelo auxílio financeiro concedido através de uma bolsa pesquisa e à

empresa Engemap pelo empréstimo das câmaras.

Aos amigos que fiz no laboratório de Ciências Cartográficas e sala

de permanência dos alunos de Pós-Graduação.

“Fui moço, e agora sou velho; mas nunca vi desamparado o justo, nem a sua descendência a mendigar o pão” (Salmos, 37:25)

RESUMO

Os sistemas de aquisição de imagens baseados em arranjos de câmaras digitais de

quadro, são alternativas que possibilitam um maior recobrimento da área imageada

em comparação a um único sensor. Um problema relevante é a determinação dos

elementos de orientação relativa entre estas câmaras que permitem a fusão das

imagens retificadas e geração de uma imagem com maior cobertura. O cálculo

destes parâmetros com base na calibração individual das câmaras não se revelou

uma estratégia adequada, tendo se verificado experimentalmente que as variações

nestes foram significativamente maiores que as variações físicas esperadas. Para

resolver este problema, propõe-se neste trabalho a calibração simultânea de duas

câmaras, estabelecendo-se, por meio de injunções, a condição de que os

parâmetros de orientação relativa, no caso, a matriz de rotação relativa e a distância

entre os centros perspectivos das câmaras são constantes ao longo das aquisições,

admitindo-se que a estrutura de suporte das câmaras possua uma certa

estabilidade. Foram realizados testes com imagens coletadas por um arranjo

composto por duas câmaras Hasselblad H2D, admitindo-se diferentes opções de

processamento. Os resultados com dados reais mostraram que a introdução das

injunções de orientação relativa permite a obtenção de melhores resultados em

relação a calibração individual.

Palavras-chave: Calibração de câmaras digitais, calibração de um sistema multicâmaras, fototriangulação com parâmetros adicionais, injunções de orientação relativa, Fotogrametria Digital.

ABSTRACT

Image acquisition systems based on multi-head arrangement of digital cameras are

attractive alternatives enabling larger imaging area when compared with a single

frame camera. A key problem is computing the relative orientation (RO) parameters

between cameras aiming at rectified image fusion and generation of a higher

coverage image. Single camera calibration followed by RO parameters estimation

has not presented suitable results because the dispersion in the estimated RO is

higher than expected physical variation. In order to solve this problem, this work

presents an approach based on simultaneous calibration of two cameras using

relative orientation constraints, which can be introduced by the relative rotation matrix

and the distance between the perspective centers of each cameras, considering a

stable arrangement. Experiments were accomplished with images acquired by an

arrangement of two Hasselblad H2D cameras, using different processing options.

The experiments shown that the calibration process with RO constraints allows better

results than the approach based on single camera calibration

Key-Words: Digital camera calibration, multi-camera system calibration, bundle adjustment with additional parameters, relative orientation constraints, Digital Photogrammetry.

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO..................................................................................................... 12

1.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS................................................................................... 12

1.2 OBJETIVOS........................................................................................................ 13

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO................................................................................. 14

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA........................................................................... 16

2.1 PROJEÇÃO PERSPECTIVA CENTRAL E AS EQUAÇÕES DE COLINEARIDADE................ 16

2.1.1 Sistema de referência do espaço imagem.................................................. 18

2.1.2 Sistema de referência do espaço objeto..................................................... 20

2.2 CALIBRAÇÃO DE CÂMARAS.................................................................................. 21

2.2.1 Parâmetros de orientação interior............................................................... 22

2.2.1.1 Distância focal gaussiana equivalente e distância focal calibrada......... 22

2.2.1.2 Ponto principal de autocolimação e de simetria..................................... 22

2.2.1.3 Distorção radial simétrica........................................................................ 23

2.2.1.4 Distorção descentrada............................................................................ 24

2.2.1.5 Coeficientes de afinidade........................................................................ 24

2.2.2 Parâmetros de orientação exterior.............................................................. 25

2.2.3 Métodos de Calibração............................................................................... 26

2.2.3.1 Métodos de laboratório........................................................................... 26

2.2.3.1.1 Método do multicolimador................................................................... 26

2.2.3.1.2 Método do goniômetro........................................................................ 28

2.2.3.2 Métodos de campo.................................................................................. 29

2.2.3.2.1 Equações de colinearidade com parâmetros adicionais..................... 29

2.2.3.2.2 Método dos campos mistos................................................................ 30

2.2.3.2.3 Método das câmaras convergentes.................................................... 31

2.2.4 Diferenças entre calibração on-the-job e autocalibração............................ 31

2.2.4.1 Calibração em serviço (on-the-job)......................................................... 32

2.2.4.2 Autocalibração (self-calibration).............................................................. 32

2.2.5 Calibração de estereocâmaras................................................................... 33

2.2.5.1 Calibração de uma estereocâmara por autocalibração.......................... 33

2.2.5.2 Calibração de um sistema de vídeo estereoscópico.............................. 35 2.2.5.3 Influência da injunção de base na fototriangulação de imagens de vídeo......................................................................................................

37

2.3 AJUSTAMENTO PELOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ).............................................. 37

2.3.1 Método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções.....................................................................................................

38

2.3.2 Teste de hipótese do ajustamento.............................................................. 46

3 CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS......................... 48

3.1 GEOMETRIA DO ARRANJO DUAL........................................................................... 48

3.2 SISTEMA SAAPI................................................................................................ 50

3.3 CAMPO DE CALIBRAÇÃO...................................................................................... 51

3.4 MEDIDAS DE FOTOCOORDENADAS COM PRECISÃO SUBPIXEL................................. 53 3.5 SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS COM CÁLCULO POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA.......................................

54

3.6 METODOLOGIA DESENVOLVIDA PARA CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL..................... 55

3.6.1 Desenvolvimento das equações de injunção de orientação relativa.......... 57

3.6.2 Estudo da estrutura das matrizes envolvidas no ajustamento.................... 60

3.6.3 Implementação do programa CMC (Calibração Multicâmaras).................. 67 3.6.4 Medida da distância entre os CPs localizados a partir das informações técnicas do fabricante.................................................................................

68

4 EXPERIMENTOS E RESULTADOS................................................................... 70 4.1 EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS E CÁLCULO POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA.........

70

4.2 EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A METODOLOGIA DESENVOLVIDA NA SEÇÃO 3.6 QUE FAZ USO DO RECURSO DE CALIBRAÇÃO MULTICÂMARA.............................

76

4.2.1 Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa considerando os pontos de apoio originalmente levantados......................

84

4.2.2 Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa Considerando os pontos triangulados com injunções de distâncias medidas no espaço objeto...........................................................................

88

4.2.3 Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa............. 92

4.2.3.1 Resultados do experimento considerando o primeiro conjunto de injunções admitindo o sistema fisicamente estável, porém não rígido......

93

4.2.3.2 Resultados do experimento considerando o segundo conjunto de injunções admitindo o sistema fisicamente rígido......................................

97

4.2.4 Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa mais uma injunção de distância entre os CPs ....................................................

101

4.3 AVALIAÇÃO DAS DISCREPÂNCIAS DOS PONTOS DE VERIFICAÇÃO RESULTANTES DOS PROCESSAMENTOS DE CALIBRAÇÃO REALIZADOS NOS EXPERIMENTOS DA SEÇÃO 4.2....................................................................................................................

104 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................. 119

5.1 SÍNTESE DOS RESULTADOS................................................................................. 119

5.2 CONCLUSÕES.................................................................................................... 121

5.3 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.................................................... 122

REFERÊNCIAS...................................................................................................... 124 ANEXO I ................................................................................................................ 128 ANEXO II ............................................................................................................... 129 ANEXO .................................................................................................................. 130 APÊNDICE ............................................................................................................. 131 APÊNDICE II .......................................................................................................... 137 APÊNDICE III ......................................................................................................... 146 APÊNDICE IV ........................................................................................................ 148 APÊNDICE V ......................................................................................................... 154

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Colinearidade entre os pontos: na imagem (p), correspondente no espaço objeto (P) e centro perspectivo da câmara (CP).

16

Figura 2.2 - Relação vetorial ligando os pontos O, CP, p e P. 17

Figura 2.3 - Relação entre o sistema matricial de medida e o sistema com origem no centro da imagem.

19

Figura 2.4 - Obtenção da distância focal calibrada a partir do balanceamento da curva de distorção.

22

Figura 2.5 - Ponto principal de autocolimação (ppa). 23

Figura 2.6 - (a) Ponto nodal posterior coincidindo com o ponto de convergência dos eixos dos colimadores e (b) eixo ótico da câmara alinhado com o eixo do colimador central.

27

Figura 2.7 - Goniômetro para calibração de câmaras. 28

Figura 3.1 - (a) Arranjo de câmaras Hasselblad e (b) geometria deste arranjo. 48

Figura 3.2 - Aquisição das imagens pelo arranjo de câmaras convergentes. 50

Figura 3.3 - Campo de calibração originalmente construído com recursos do projeto de mapeamento móvel.

51

Figura 3.4 - Campo de calibração reformado. 52

Figura 3.5 - Fluxograma do processo de calibração pela metodologia desenvolvida. 57

Figura 3.6 - (b) Bloco formado por quatro imagens de (a) duas aquisições com o arranjo dual de câmaras digitais.

60

Figura 3.7 - Estrutura da matriz A de dimensões 100 x 119. 63

Figura 3.8 - Estrutura da matriz C de dimensões 4 x 119. 64

Figura 3.9 - Estrutura da matriz N de dimensões 119 x 119. 65

Figura 3.10 - Estrutura da matriz NC de dimensões 119 x 119. 65

Figura 3.11 - Estrutura da matriz resultante N + NC de dimensões 119 x 119. 66

Figura 3.12 - Entrada e saída de dados do programa. 67

Figura 3.13 - Projeção dos CPs na estrutura de suporte das câmaras do sistema dual. 68

Figura 3.14 - Medição da distância entre os CPs. 69

Figura 4.1 - Exemplo de imagens adquiridas sobre o campo de calibração: (a) estações; (b) aquisições individuais e; (c) aquisições com o arranjo dual.

71

Figura 4.2 - Gráfico de barras dos desvios-padrão apresentados na Tabela 4.3. 75

Figura 4.3 - Distribuição dos pontos medidos ao longo das 14 imagens tomadas pela câmara 1.

81

Figura 4.4 - Distribuição dos pontos medidos ao longo das 15 imagens tomadas pela câmara 2.

82

Figura 4.5 – Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção 4.2.1. 85

Figura 4.6 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção 4.2.1. 86

Figura 4.7 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 no experimento da Seção 4.2.1. 87



Figura 4.10 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0. no experimento da Seção 4.2.2. 91

Figura 4.11 – Resultantes dos resíduos das observações considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3). 95

Figura 4.12 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

96

Figura 4.13 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

96

Figura 4.14 – Resultantes dos resíduos das observações considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

99

Figura 4.15 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

99

Figura 4.16 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

99



Figura 4.19 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 no experimento da Seção 4.2.4. 103

Figura 4.20 - Fluxograma do processo de avaliação das discrepâncias considerando os quatro processamentos de calibração descritos.

105

Figura 4.21 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento.

106

Figura 4.22 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento.

106

Figura 4.23 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento.

107

Figura 4.24 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento.

107

Figura 4.25 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento.

108

Figura 4.26 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento.

108

Figura 4.27 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento.

109

Figura 4.28 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento.

109

Figura 4.29 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

113

Figura 4.30 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

113

Figura 4.31 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

114

Figura 4.32 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

114

Figura 4.33 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

115

Figura 4.34 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

115

Figura 4.35 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

116

Figura 4.36 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

116

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Orientação exterior aproximada das imagens apresentadas pela Figura 3.6a. 61

Tabela 4.1 – Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 1. 73

Tabela 4.2 – Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 2 74

Tabela 4.3 – Elementos de orientação relativa médios e seus respectivos desvios-padrão. 75

Tabela 4.4 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.1. 85

Tabela 4.5 – Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.1).

88



91

Tabela 4.8 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.3.1. 94

Tabela 4.9 - Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (para o primeiro conjunto de injunções nos experimentos da Seção 4.2.3).

97

Tabela 4.10 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.3.2. 98

Tabela 4.11 - Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (para o segundo conjunto de injunções nos experimentos da Seção 4.2.3).

100



103

Calibração de um Sistema Dual de Câmaras Digitais

BAZAN, W. S. FCT/UNESP

12

1 INTRODUÇÃO

1.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

As câmaras fotogramétricas, ou câmaras métricas, têm por

finalidade fornecer imagens fotográficas com geometria conhecida, permitindo a

correta reconstrução do feixe de raios que gerou as imagens, sendo essa uma das

condições que tornam possível o processo de calibração, ou seja, a determinação

dos parâmetros geométricos que participam do modelo matemático que relaciona a

posição de um objeto no espaço real com a sua posição na imagem fotografada

(ANDRADE, 2003).

Calibrar uma câmara significa encontrar um conjunto de parâmetros

de orientação interior (BROWN, 1966), que inclui a modelagem das distorções

provocadas pelo sistema de lentes da câmara e que pode ser feito usando tanto

feições pontuais (TOMMASELLI e TOZZI, 1990; GALO, 1993; TOMMASELLI e

ALVES, 2001; MACHADO et al, 2003; ANDRADE, 2003) quanto retas (HABIB et al,

2002; TELLES e TOMMASELLI, 2005).

Os recentes desenvolvimentos de sensores eletrônicos a base de

silício e das câmaras digitais, no que diz respeito ao aumento da resolução e à

redução de custos, têm tornado cada vez mais atrativa a utilização destes

equipamentos nas tarefas de levantamento fotogramétrico e mapeamento (HABIB e

MORGAN, 2003). Além destas vantagens, a reutilização da mídia de gravação e a

possibilidade de se fazer a avaliação da imagem em tempo real, são fatores que

também contribuem para o aumento do uso dos sensores digitais.

Outro problema a ser considerado, diz respeito à pequena área de

cobertura dos sensores digitais de quadro, atualmente disponíveis. Existem no

mercado três tecnologias destinadas à solução deste problema: as câmaras

baseadas nos sensores tri-lineares, podendo-se citar, as câmaras ADS-40 (Leica

Geosystems - Hexagon), HRSC-A, HRSC-AX e HRSC-AXW (desenvolvidas pelo

Centro Alemão de Pesquisas Espaciais - DLR); a configuração modular de câmaras

matriciais convergentes como, por exemplo, o sistema DMC (Z/I Imaging) e,

finalmente, os sistemas matriciais com câmaras verticais, como a UltracamX

(Microsoft Vexcel) e a DIMAC (Dimac Systems).



13

Este trabalho de dissertação foi desenvolvido no contexto do projeto

ARMOD - Automação dos processos de Reconstrução e orientação de MODelos

(TOMMASELLI, 2004), o qual propõe como solução para o problema de

recobrimento o uso de um arranjo de câmaras digitais convergentes disparadas

simultaneamente, consistindo de uma alternativa de custo reduzido quando

comparada com os sistemas comerciais supracitados. As imagens podem ser

retificadas e mosaicadas para formar uma única imagem, ou podem ainda ser

processadas isoladamente.

Um sistema comercial desta natureza está sendo implementado pela

empresa Engemap em parceria com a UNESP, com financiamento da Fapesp,

mediante um projeto intitulado SAAPI - Sistema Aerotransportado de Aquisição e

Pós-Processamento de Imagens. O emprego desta solução, baseada no arranjo de

câmaras convergentes, exige a calibração de todo o sistema e o método de

ajustamento aplicado pode envolver o uso de equações de injunções, elaboradas

com base nas características físicas ou geométricas do problema, o que implica em

uma maior confiança aos parâmetros estimados no processo.

1.2 OBJETIVOS

O objetivo geral do trabalho consiste no estudo e desenvolvimento

de uma metodologia para a calibração do sistema dual de câmaras digitais

convergentes. Conforme mencionado, alguns elementos dentro do arranjo de

câmaras se mantêm fixos, podendo ser explorados mediante a elaboração de

equações de injunções.

No contexto deste trabalho, as injunções (ou restrições) podem ser

elaboradas com base na orientação relativa entre as duas câmaras que se mantém

fixa ao longo da etapa de aquisição, dado que o sistema é sustentado por uma

estrutura considerada fisicamente estável. Com relação aos objetivos específicos do

projeto, pretende-se:

1) Testar uma abordagem que se baseia no ajustamento seqüencial dos

parâmetros de ambas as câmaras que compõem o arranjo dual, seguido do

cálculo dos elementos de orientação relativa;



14

2) Desenvolver uma metodologia baseada no ajustamento simultâneo de todos

os parâmetros de ambas as câmaras, considerando algumas restrições

relacionadas à estabilidade física da orientação relativa;

3) Implementar os algoritmos para aplicação das injunções de orientação relativa

na metodologia proposta;

4) Calibrar o sistema dual de câmaras digitais convergentes;

5) Analisar os resultados da calibração, no que diz respeito à influência das

injunções na solução.

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO

A Seção 1 apresenta as considerações iniciais bem como os

objetivos gerais e específicos deste trabalho.

A fundamentação teórica essencial ao desenvolvimento da pesquisa

é apresentada na Seção 2, que de maneira geral abrange: o desenvolvimento das

equações de colinearidade como modelo matemático adotado na metodologia de

calibração desenvolvida; a definição dos principais métodos de calibração, que se

dividem entre métodos de laboratório e de campo; três métodos de calibração de

estereocâmaras que fazem uso da orientação relativa; os parâmetros adicionais

considerados nas equações de colinearidade (parâmetros de orientação interior); e o

método de ajustamento aplicado na metodologia desenvolvida.

A Seção 3 apresenta a geometria do arranjo de câmaras e uma

solução para calibração do sistema, que se baseia no ajustamento individual dos

parâmetros de cada câmara (processamento seqüencial), utilizando o aplicativo CC

(Calibração de Câmaras) desenvolvido por Galo (1993), seguido do cálculo dos

parâmetros de orientação relativa. Apresenta-se, ainda, a metodologia desenvolvida

para a calibração do sistema dual de câmaras digitais, baseada no ajustamento

simultâneo dos parâmetros de ambas as câmaras, fixando-se, por meio de

injunções, os parâmetros de orientação relativa.

A Seção 4 apresenta os experimentos e resultados obtidos com a

solução que se baseia no ajustamento seqüencial. Apresenta, também, os

experimentos e a avaliação da metodologia desenvolvida, considerando a aplicação

das injunções de estabilidade da orientação relativa.



15

As conclusões e considerações finais do trabalho, bem como as

recomendações para trabalhos futuros são apresentados na Seção 5.



16

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 PROJEÇÃO PERSPECTIVA CENTRAL E AS EQUAÇÕES DE COLINEARIDADE

As equações de colinearidade constituem o modelo matemático que

relaciona os espaços imagem e objeto (LUGNANI, 1987), sendo baseadas no

modelo de projeção perspectiva central, que descreve o processo de imageamento

no plano focal da câmara, ou no plano de sensores para o caso de uma câmara

digital (ATKINSON, 1996; GALO, 1993). Sua dedução se baseia no princípio de que

um determinado ponto p na imagem, seu correspondente P no espaço objeto e o

centro perspectivo da câmara (CP), são idealmente colineares (Figura 2.1).

Figura 2.1 - Colinearidade entre os pontos: na imagem (p), correspondente no espaço objeto (P) e centro perspectivo da câmara (CP).

A Figura 2.2 mostra as relações entre os vetores envolvendo o CP, o

ponto p na imagem, seu correspondente P no espaço objeto e a origem O do

sistema de referência do espaço-objeto.

Fonte: Adaptado de Galo (2005)

z y

O

Espaço objeto

Plano da imagem

Y0

X0

CP

Z0

p (xp,yp)

Z

X

Y

Espaço imagem

y

x

P (Xp, Yp, Zp)

-f

x



17

Figura 2.2 - Relação vetorial ligando os pontos O, CP, p e P.

Com base na Figura (2.2), a seguinte relação vetorial pode ser

escrita:

CPP+OCP=OP (2.1)

O vetor que liga o CP ao ponto objeto P pode ser obtido como

resultante de um produto do escalar k pelo vetor que liga o CP ao ponto p na

imagem (GALO, 2005). Como CPp é expresso em função das coordenadas no

referencial da imagem, considera-se as rotações existentes entre o referencial da

imagem, com origem no CP, e o referencial do espaço objeto, com origem em O,

aplicando-se a matriz de rotação inversa 1M− ao vetor CPpk . Deste modo, ao

considerar CPpkM=CPP 1- a Equação 2.1 pode ser reescrita como:

CPpkM+OCP=OP 1-. (2.2)

Isolando-se CPpk na Equação 2.2, tem-se:

O

z

Fonte: Adaptado de Galo (2005)

κ

φ

ω

x

y

CP

P

Z

X

Y

y

x

p

-f



18

)OCP-OPM(CPpk = . (2.3)

A matriz de rotação Mkφω = R(k).R(φ).R(ω) é calculada em função

das rotações k, φ, ω, respectivamente, sendo dada por:

ϕ

−

++−

+−+

=

cosφ cosωcosφ senωsenφ

cosκ senωsenκ senφ cosωcosκ cosωsenκ senφ senωsenκ cosφ-

senκ senωcosκ senφ cosωsenκ cosωcosκ senφ senωcosκ cosφ

M ωκ ,

que aplicada às Equações 2.3, resulta nas equações:

ϕ

−

−

−

=

−

−

−

=

0

0

0

333231

232221

131211

0

0

0

ωκ

ZZ

YY

XX

.

mmm

mmm

mmm

ZZ

YY

XX

.M

z

y

x

k (2.4)

As Equações 2.4 podem ser desenvolvidas a partir de um produto

matricial, e escritas conforme segue:

[ ][ ][ ])Z(Zm)Y(Ym)X(Xmkz

)Z(Zm)Y(Ym)X(Xmky

)Z(Zm)Y(Ym)X(Xmkx

033032031

023022021

013012011

1

1

1

−+−+−=−+−+−=−+−+−=

−

−

−

(2.5)

Considerando z = -f (f distância focal) na Equação 2.5, conforme

ilustra a Figura 2.1, e dividindo as duas primeiras igualdades pela terceira, obtêm-se:

)Z(Zm)Y(Ym)X(Xm

)Z(Zm)Y(Ym)X(Xmfy

)Z(Zm)Y(Ym)X(Xm

)Z(Zm)Y(Ym)X(Xmfx

033032031

023022021

033032031

013012011

−+−+−

−+−+−−=

−+−+−

−+−+−−=

. (2.6)

2.1.1 Sistema de referência do espaço imagem

Com relação às tradicionais câmaras métricas, o sistema de

coordenadas do espaço imagem é definido a partir das marcas fiduciais que



19

integram o corpo da câmara, que são registradas no plano da imagem devido à

incidência de iluminação que passa pelo sistema de lentes da câmara, ou por

iluminação independente (ATKINSON, 1996). Além da realização do sistema de

referência da imagem, as marcas fiduciais permitem ainda corrigir os efeitos da

deformação do filme a partir de uma transformação geométrica plana (afim, isogonal

ou projetiva), dado que as coordenadas das marcas fiduciais são fornecidas pelo

certificado de calibração da câmara.

No caso de uma câmara digital, o sistema matricial usado na

medição das fotocoordenadas é definido como sendo um sistema cartesiano plano

retangular, com origem no canto superior esquerdo da imagem. Os eixos x e y

coincidem com as primeiras linha e coluna, respectivamente, sendo o sentido do

eixo y definido por uma rotação de 90º em relação ao eixo x, no sentido horário.

As coordenadas medidas no sistema matricial, na unidade de pixel,

podem ser transformadas para o sistema central da imagem (equivalente ao

fiducial), na unidade de milímetros. Para isto, deve-se conhecer a largura (W) e

altura (H) da imagem (em pixels), além das dimensões sx e sy do pixel (em

milímetros). A Figura 2.3 mostra a relação entre o sistema matricial de medida e o

sistema com origem no centro da imagem.

Figura 2.3 - Relação entre o sistema matricial de medida e o sistema com origem no centro da imagem.

c = 0 c = largura - 1

l = 0

l = altura - 1

W (largura)

H (altura)

y

x

(cx, cy)

Colunas ( c)

Linhas ( l)



20

As Equações 2.7, deduzidas a partir da Figura 2.3, representam esta

relação:

][

][

yy

xx

clsy

ccsx

−−=−=

(2.7)

sendo ( xc , yc ) = (2

1W −,

2

1H −).

As coordenadas transformadas pelas Equações 2.7 estão

referenciadas ao sistema de coordenadas com origem no centro da imagem,

equivalente ao sistema fiducial utilizado para o caso das câmaras métricas

convencionais.

2.1.2 Sistema de referência do espaço objeto

Em Fotogrametria, a posição de um ponto no espaço objeto é

comumente referida a um sistema cartesiano tridimensional, cuja origem, escala e

orientação são definidos arbitrariamente, de acordo com o que for mais conveniente,

tendo em vista a tarefa a ser realizada (ATKINSON, 1996).

Deste modo, uma operação de calibração em campo, por exemplo,

pode adotar um sistema de coordenadas cartesiano local, definido com origem

próxima ao campo de calibração. Este sistema tem a vantagem de poder ser

relacionado com um sistema de coordenadas geodésicas, e vice-versa, a partir de

transformações envolvendo rotações e translações (MONICO, 2000).

Um exemplo de conveniência na adoção do sistema de referência do

espaço objeto, diz respeito à consideração do CP de uma das duas fotos como

sendo origem do referencial no processo de orientação relativa analítica (WOLF e

DEWITT, 2000). Como exemplo pode-se adotar o CP da foto 1 como origem (X0 =

Y0 = Z0 = 0), mais a coordenada X0 do CP da foto 2 como sendo igual à fotobase b,

o que permite a redução dos parâmetros de 12 (6 parâmetros de orientação exterior

para cada foto) para 5 parâmetros de orientação relativa (k, φ, ω, Y0 e Z0 da foto 2).



21

2.2 CALIBRAÇÃO DE CÂMARAS

Os parâmetros resultantes do processo de calibração descrevem a

geometria interna de uma câmara, incluindo a modelagem das distorções

provocadas pelas imperfeições no sistema de lentes, as quais podem comprometer

a precisão dos processos fotogramétricos. Para o caso das câmaras digitais, o

conjunto de parâmetros de orientação interior a ser considerado na calibração

destes equipamentos compreende:

f - Distância focal gaussiana equivalente da câmara;

x0 e y0 - Coordenadas do ponto principal;

K1, K2 e K3 - Parâmetros de distorção radial simétrica;

P1 e P2 - Parâmetros de distorção descentrada;

A e B - Coeficientes de afinidade.

No que se refere à Fotogrametria Analítica, um processo de

calibração trata da atribuição de valores às propriedades que descrevem o caráter

métrico de um sistema de medida, bem como à qualidade desta estimação

(MERCHANT, 1979). A calibração realizada pelas empresas fabricantes das

câmaras é documentada na forma de um certificado que contém os parâmetros

determinados no processo de calibração, o método utilizado, além dos parâmetros

estatísticos que lhes definem o grau de confiabilidade (ANDRADE, 2003).

Um processo de calibração de um sistema composto por duas

câmaras, por exemplo, deve considerar também a calibração dos elementos de

orientação relativa entre as câmaras, que podem ser obtidos em função da

orientação exterior de ambas as câmaras, como será visto na Seção 3.2. Neste

caso, atenta-se para a importância de se realizar periodicamente, o processo de

calibração em condições de uso, para que se possa verificar a estabilidade destes

parâmetros.



22

2.2.1 Parâmetros de orientação interior

2.2.1.1 Distância focal gaussiana equivalente e distância focal calibrada

A distância focal gaussiana equivalente, é aquela que satisfaz a

equação das lentes, coincidindo com a constante da câmara c (para o caso aéreo),

podendo ser calculada por um processo de calibração. Já a distância focal calibrada

é definida como sendo aquela que permite uma distribuição média das distorções

das lentes, a partir de um balanceamento da curva de distorção radial simétrica

(WOLF e DEWITT, 2000; ANDRADE, 2003).

A curva de distorção radial simétrica, correspondente à distância

focal gaussiana equivalente, é aquela apresentada mais adiante, pelas Equações

2.8. A Figura 2.4 ilustra as curvas de distorções considerando ambas a definições de

distância focal.

Figura 2.4 - Curvas de distorção para a distância focal calibrada e distância focal gaussiana equivalente.

2.2.1.2 Ponto principal de autocolimação e de simetria

Entre as várias definições de ponto principal adotadas pelos

fotogrametristas, cita-se duas bastante usuais (MERCHANT, 1979; ANDRADE,

2003; MIKHAIL et al, 2001): ponto principal de autocolimação, definido pela

intersecção de um raio de luz com o plano da fotografia, o qual é perpendicular a

este plano antes de passar pelo sistema de lentes; e ponto principal de simetria,

definido como sendo o ponto de melhor simetria das curvas de distorção, sendo

Fonte: Adaptado de Galo (2005a).

Curva de distorção para a distância focal calibrada

Curva de distorção para a distância focal gaussiana equivalente

δr

r



23

denominado ainda como “ponto principal calibrado” (ANDRADE, 2003; MERCHANT,

1979).

Independente da definição adotada para o ponto principal, suas

coordenadas x0 e y0 representam a sua posição com relação ao sistema fiducial, ou

sistema com origem no centro da imagem (para as câmaras digitais). Este sistema

de referência da imagem passa a ser definido como sistema fotogramétrico, quando

sua origem é transladada para o CP da imagem. A Figura 2.5 ilustra o ponto

principal de autocolimação que pode ser estimado por um método de calibração de

câmaras.

Figura 2.5 – Ponto principal de autocolimação (ppa).

2.2.1.3 Distorção radial simétrica

É a componente simétrica da distorção que ocorre ao longo das

linhas radiais da imagem, a partir do ponto principal (WOLF e DEWITT, 2000). Esta

distorção é resultante da dificuldade dos fabricantes em produzir lentes com

curvatura perfeita e pode ser entendida como a parcela não desejável da refração

sofrida por um raio de luz ao atravessar o sistema de lentes, sendo seu modelo

estabelecido através dos seguintes polinômios:

)y...)(ykK(Kδy

)x...)(xKK(Kδx

06r3

4r22r1r

06r3

4r22r1r

-

-

++=

++= (2.8)

onde,

Plano do negativo ppa

Fonte: Adaptado de Galo (2005a).



24

rδx e

rδy - Componentes do deslocamento para um ponto da imagem (x, y);

r - Distância radial deste ponto ao ponto principal (x0, y0);

K1, K2, K3, ... - Parâmetros do polinômio a serem estimados no ajustamento.

2.2.1.4 Distorção descentrada

Dentre as distorções resultantes das imperfeições do sistema de

lentes, a distorção descentrada é aquela que resta após a compensação da

distorção radial simétrica, segundo Wolf e Dewitt (2000). É provocada pela

impossibilidade do fabricante em realizar um alinhamento perfeito dos eixos ópticos

das lentes que compõem o sistema óptico, sendo composta pelas componentes

tangencial e radial assimétrica. O modelo desta distorção foi apresentado

originalmente por Conrady em 1919 e Modificado por Brown (1966), sendo expresso

por:

])y-2(y[rP)y-)(yx-(x2Pδy

)y-)(yx-(x2P])x-2(x[rPδx

20

22001d

0022

02

1d

++=

++=

(2.9)

onde,

dδx e

dδy - Deslocamentos de um ponto de coordenadas (x, y);

r - Distância radial;

P1 e P2 - Parâmetros do polinômio a serem recuperados na calibração.

2.2.1.5 Coeficientes de afinidade

Os parâmetros de afinidade permitem a modelagem da não

ortogonalidade e diferença de escala entre os eixos x e y do sistema de

coordenadas da imagem, caso estes efeitos ocorram (MONIWA, 1972; GALO,

1993). Tommaselli e Alves (2001) citam que nas modernas câmaras digitais a forma

do pixel é geralmente quadrada, apresentando a mesma escala em x e y. Se houver

diferença nas dimensões do pixel em x e y e esta diferença não for fornecida pelo

fabricante da câmara, o fator de escala em x absorverá essa diferença.

Este efeito pode ser parametrizado por diferentes modelos, como o

proposto por Moniwa (1972), para o caso das câmaras analógicas não métricas, e



25

que pode ser também utilizado para câmaras digitais (TOMMASELLI e TOZZI, 1990;

GALO, 2003). Outro modelo, apresentado por Habib e Morgan (2003), e que foi

adotado neste trabalho, é expresso por:

)yA(yδy

)yB(y)xA(xδx

0a

00a

−=

−+−−=

(2.10)

sendo A e B os parâmetros de afinidade.

2.2.2 Parâmetros de orientação exterior

Um método de calibração de câmaras pode incluir ainda a estimativa

dos parâmetros de orientação exterior. Os métodos de campo, como serão vistos

mais adiante, permitem esta determinação, ao passo que os métodos de laboratório

permitem uma solução que considera apenas a determinação da distância focal

gaussiana equivalente, das coordenadas do ponto principal de autocolimação e da

distorção radial simétrica. Os parâmetros de orientação exterior são constituídos por

k, φ, ω, X0, Y0 e Z0 onde:

k, φ e ω - Rotações entre o referencial fotogramétrico e o referencial do

espaço objeto, no momento da aquisição da imagem;

X0, Y0 e Z0 - Coordenadas do CP no referencial do espaço objeto, no

momento da aquisição.

Os ângulos k, φ, ω permitem o cálculo da matriz de rotação que é

aplicada na transformação do sistema de coordenadas do espaço objeto para um

sistema paralelo ao sistema fotogramétrico do espaço imagem.



26

2.2.3 Métodos de Calibração

2.2.3.1 Métodos de laboratório

Os métodos de calibração em laboratório constituem uma das

alternativas que podem ser usadas para a calibração de câmaras (ANDRADE, 2003;

CLARKE e FRYER, 1998; CRAMER, 2004; MIKHAIL et al, 2001). Os métodos de

calibração em laboratório a serem apresentados neste trabalho são os métodos do

Multicolimador e do Goniômetro.

Os modernos sensores digitais aerotransportados, inclusive aqueles

com configuração multicâmaras, também fazem uso de técnicas de laboratório para

calibração das câmaras individuais que os compõem. É o caso do sensor DMC (Z/I

Imaging) (CRAMER, 2004).

No entanto, a calibração de uma câmara digital a partir destes

métodos de laboratório, deve considerar algumas adaptações devido à

impossibilidade de se instalar uma placa de vidro no plano focal desta câmara. Esta

impossibilidade se deve ao fato de que a matriz de sensores se encontra

rigidamente instalada neste plano.

2.2.3.1.1 Método do multicolimador

Neste método, utiliza-se de uma matriz de colimadores fixos,

arranjada na forma de um leque, com ângulos bem definidos entre as diferentes

direções de visada (ANDRADE, 2003; CLARKE e FRYER, 1998). A luz que emerge

de cada colimador, focalizado para o infinito, passa pelo sistema de lentes e projeta

a sua posição em uma placa fotográfica fixada no plano focal da câmara.

O arranjo de colimadores compreende dois planos verticais, com 90º

entre si, constituindo um banco de colimadores. A Figura 2.6 ilustra um dos planos

verticais do banco de colimadores para calibração de cones de até 90º de abertura.

Os colimadores apresentam entre si, ângulos de 7,5º com distribuição simétrica até

que se atinja 45º para cada lado com relação ao colimador central. Sendo assim,

chega-se a um total de 25 colimadores para um banco de colimadores, considerando

cones com 90º de abertura angular. Para o caso de uma abertura de 120º, o banco

passa a ter 33 colimadores.



27

Figura 2.6 – (a) Ponto nodal exterior coincidindo com o ponto de convergência dos eixos dos colimadores e (b) eixo óptico da câmara alinhado com o eixo do colimador central.

Segundo Cramer (2004) e Mikhail et al (2001), para calibrar a

câmara usando um multicolimador, a câmara é primeiramente posicionada de

maneira que o ponto nodal exterior coincida com o ponto de convergência dos eixos

dos colimadores (Figura 2.6a). Em seguida, o eixo óptico da câmara é alinhado com

o eixo do colimador central, utilizando-se de técnicas de autocolimação e do

colimador central como referência (Figura 2.6b).

Na autocolimação, uma placa refletora é colocada no plano focal da

câmara e esta câmara é ajustada até que o retículo do telescópio autocolimador se

alinhe com a sua imagem refletida pela placa. Para realização destes passos, o

banco de colimadores deve possuir recursos para posicionar o cone da câmara,

nivelar e rotacionar o cone em torno do eixo óptico, devendo possuir ainda, um

telescópio autocolimador (ANDRADE, 2003).

O processo segue com o imageamento dos colimadores e das

marcas fiduciais em uma placa fotográfica de vidro, instalada no plano focal da

câmara. A posição de cada colimador imageado, bem como de cada marca fiducial,

é então medida por um instrumento de alta precisão. A partir destas medidas,

calcula-se a distância focal gaussiana equivalente (considerando apenas os pontos

Telescópio autocolimador

(a) (b)

Fonte: Baseado em Andrade (2003).

45º 45º

Ponto nodal exterior

colimadores

Placa fotográfica de vidro

45º 45º



28

mais próximos do centro da imagem), além da distorção radial para cada ponto

medido.

2.2.3.1.2 Método do goniômetro

O método consiste basicamente na medição de ângulos através de

um goniômetro, de maneira que um telescópio possa mirar para marcas gravadas

numa placa colocada no plano focal da câmara (ANDRADE, 2003). A Figura 2.7

ilustra um goniômetro usado na calibração de câmaras.

Figura 2.7 – Goniômetro para calibração de câmaras.

Ao se calibrar uma câmara por este método, deve-se colocar o seu

ponto nodal exterior aproximadamente sobre o eixo de rotação do limbo do

goniômetro (ANDRADE, 2003). Prossegue-se colocando no plano focal da câmara,

uma placa de vidro contendo uma rede de pontos. Estes pontos são observados

pelo telescópio focalizado para o infinito, à medida que a placa é iluminada.

Para cada ponto observado, o ângulo α entre o eixo do telescópio e

o eixo do sistema de lentes é medido. A distância focal gaussiana é então calculada

a partir das distâncias conhecidas entre alguns pontos mais próximos do centro da

malha e dos respectivos ângulos lidos pelo goniômetro. Pode-se calcular ainda, a

distorção radial para qualquer ponto de distância d cujo ângulo α tenha sido medido.

Fonte: Adaptado de Andrade (2003)

Ponto nodal exterior

α

d

Eixo das lentes

c (distância principal)

luneta

“Grid”



29

2.2.3.2 Métodos de campo

Segundo Andrade (2003), os métodos de campo oferecem soluções

mais completas na calibração de câmaras, permitindo a recuperação de todos os

parâmetros de calibração, contando ainda com uma superabundância de

observações que torna possível um controle estatístico do processo.

Apresenta-se a seguir, os métodos dos campos mistos e das

câmaras convergentes. Estes métodos são muito conhecidos pela comunidade

fotogramétrica, já que permitem, dentro de suas respectivas particularidades,

minimizar a correlação entre os parâmetros de calibração (f, x0 e y0) e a posição do

centro perspectivo (Z0, X0 e Y0), respectivamente, evitando desta maneira a

singularidade no sistema de equações normais.

2.2.3.2.1 Equações de colinearidade com parâmetros adicionais

As equações de colinearidade (Equações 2.6), na forma como foram

apresentadas, permitem obter as coordenadas (x, y) no sistema fotogramétrico,

definido na Seção 2.2.1.2. No entanto, as imperfeições inerentes ao sistema óptico

fazem com que o feixe de raios projetados geometricamente no plano focal da

câmara, ou plano de sensores, não coincida com o feixe real de raios que incide na

câmara no momento da exposição.

Logo, deve-se considerar uma parametrização adicional às

Equações 2.6, compreendendo os parâmetros de orientação interior apresentados

na Seção 2.2. As equações de colinearidade com parâmetros adicionais são dadas

por:

0=)Z-(Zm)Y-(Ym)X-(Xm

)Z-(Zm)Y-(Ym)X-(Xmf∆y-y-y=F

0=)Z-(Zm)Y-(Ym)X-(Xm

)Z-(Zm)Y-(Ym)X-(Xmfx-x-x=F

033032031

02302202102

033032031

01301201101

++

++

+

++

++

+∆

. 11)

Estas equações são usadas nos métodos de calibração em campo a

serem apresentados. Dentro das particularidades de cada método, a principal



30

diferença se dá com relação à forma como as fotografias são adquiridas, bem como

o espaço objeto fotografado.

No método dos campos mistos, por exemplo, o espaço objeto conta

com dois campos: um com variações de relevo, da ordem de 20% da altura de vôo e

outro que pode ser aproximadamente plano, no qual são identificados mais pontos.

Já no método das câmaras convergentes, o espaço objeto é fotografado de maneira

convergente, com rotações significativas em torno do eixo z.

A calibração de câmaras por meio das Equações 2.11 constitui um

método analítico cujas funções (∆x, ∆y) permitem a modelagem dos erros

sistemáticos apresentados na Seção 2.2.1, conforme segue:

++=

a

a

d

d

r

r

δy

δx

δy

δx

δy

δx

∆y

∆x. (2.12)

2.2.3.2.2 Método dos campos mistos

O método dos campos mistos surgiu quando o professor Dean

Merchant1, 2 (1968 e 1971 apud Andrade, 2003) analisou a dependência linear entre

os parâmetros de um ajustamento de aerotriangulação. Os resultados desta análise

mostraram a impossibilidade na determinação simultânea dos três pares de

parâmetros (f e Z0, x0 e X0, y0 e Y0), quando a razão entre as derivadas das

equações de colinearidade com relação a estes pares era constante.

Esta constância, no entanto, ocorre no caso de (Z - Z0) ser

constante e ω = φ = 0, ou seja, quando a altura de vôo é constante, o terreno plano

e as fotos perfeitamente verticais. Deste modo percebeu-se então que ao utilizar um

campo com alvos apresentando desníveis acentuados poderia quebrar a correlação

entre os parâmetros. Com este propósito, no ano de 1972 o professor Merchant3

(1972 apud Andrade, 2003) utilizou dois campos de testes com alvos: um

montanhoso, com poucos alvos de coordenadas bem definidas, para quebrar a

1 MERCHANT, D. C. Calibration of the aerial photogrammetric system. Rome Air Development. Center, 1968. 2 MERCHANT, D. C. An investigation into dynamic aerial photographic system calibration. RADC-R-71-174, Final Technical Report, 1971. 3 MERCHANT, D. C. Metric Calibration of the Aerial Photographic System by de Method mixed Ranges. AFSC (RADC) TR-72-178, 1972.



31

correlação entre os parâmetros; e outro plano, com muitos alvos, para uma boa

determinação dos outros parâmetros de calibração.

Este método foi adaptado no Brasil por Andrade e Olivas (1981), que

implantaram um campo de calibração na região da Serra de São Luiz de Purunã -

Paraná, no inicio dos anos 80. Além disso, desenvolveram os procedimentos

teóricos necessários à realização da calibração.

2.2.3.2.3 Método das câmaras convergentes

Segundo Andrade (2003), o método das câmaras convergentes foi

utilizado pela primeira vez para calibrar a câmara Hasselblad 500, usada para

fotografar a Lua durante a missão APOLLO 14. A princípio, não foi possível a

calibração deste equipamento e a NASA contratou então a DBA Systems para

realização desta tarefa.

A calibração deste equipamento foi realizada, utilizando-se de

fotografias convergentes e rotacionadas em torno do eixo z (ANDRADE, 2003). Este

processo só foi possível devido ao fato de que as fotografias convergentes não

apresentavam a dependência linear verificada para fotos verticais. Mais tarde a

câmara pôde ser calibrada pelo método estelar, confirmando a consistência dos

resultados de ambas as calibrações.

2.2.4 Diferenças entre calibração on-the-job e autocalibração

O processo de calibração por um método de campo faz uso das

equações de colinearidade com parâmetros adicionais, aplicadas em um processo

denominado ajustamento por feixes de raios (Bundle Adjustment). Diferentes

técnicas podem ser adotadas na realização deste processo, a citar: a autocalibração,

do inglês self-calibration e a calibração em serviço (on-the-job calibration)

A definição destas técnicas se apresenta de maneira não

homogênea na literatura, que muitas vezes define, erroneamente, a técnica de

calibração abordada (CLARKE e FRYER, 1998). Deste modo, apresenta-se a seguir

as definições para autocalibração e calibração em serviço.



32

2.2.4.1 Calibração em serviço (on-the-job)

Consiste de um ajustamento por feixes de raios considerando as

equações de colinearidade com parâmetros adicionais (Equações 2.11 da Seção

2.2.3.2.1) e requer a colocação de pontos de controle na área do objeto a ser

imageado, sendo considerada a técnica mais utilizada na Fotogrametria a curta

distância (CLARKE e FRYER, 1998). Cramer (2004) utiliza o termo “calibração in-

situ” para se referir à técnica de calibração on-the-job, e ao contrário do que se

verifica para a autocalibração, o principal interesse na aplicação desta técnica é a

reconstrução de feições do espaço objeto que ocorre em conjunto com o processo

de calibração.

2.2.4.2 Autocalibração (self-calibration)

Atkinson (1996) trata o conceito desta técnica como sendo uma

extensão do conceito de calibração on-the-job. No entanto, a autocalibração não

requer qualquer controle do espaço objeto para a realização da calibração, sendo

necessário fixar somente a posição e orientação de uma das câmaras e uma escala

no espaço objeto, compondo as 7 injunções mínimas para fixar um referencial no

espaço objeto. Além disso, alguns critérios devem ser adotados para que o processo

de calibração seja executado (BROWN, 1989):

(1) Uma única câmara deve ser utilizada para tomar um mínimo de três

imagens do objeto;

(2) Tanto a geometria interna da câmara quanto os pontos a serem

medidos devem permanecer estáveis durante o processo de medida;

(3) A rede fotogramétrica deve ser rígida;

(4) No mínimo uma imagem deve ser tomada com um ângulo

significativamente diferente dos outros;

(5) Um grande número de pontos bem distribuídos deve ser utilizado.

Mediante o cumprimento de tais critérios, Brown (1989) garante o

sucesso na execução da calibração.



33

2.2.5 Calibração de estereocâmaras

Esta Seção compreende o estudo de três abordagens de calibração

de estereocâmaras. A primeira delas, apresentada por Zhuang (1995), trata da

determinação dos parâmetros de orientação exterior de uma estereocâmara a partir

da técnica de autocalibração e a outra apresentada por Tommaselli e Alves (2001),

trata da calibração de um sistema de vídeo estereoscópico Nu-View, utilizando-se de

injunções aos parâmetros de orientação exterior. Uma terceira abordagem, estudada

por Espinhosa (2006), trata da avaliação dos resultados de uma fototriangulação

com injunção de distância na estéreo-base entre duas vídeo-câmaras digitais.

2.2.5.1 Calibração de uma estereocâmara por autocalibração

A abordagem apresentada por Zhuang (1995) trata da calibração

aplicada com o objetivo de se determinar apenas os parâmetros de orientação

relativa entre as duas câmaras (posição e orientação de uma câmara com relação à

outra). A técnica de autocalibração não requer a medida de pontos de controle no

espaço objeto, como citado na Seção 2.2.4.2, e na abordagem proposta por Zhuang

(1995), pressupõe o conhecimento de uma distância fixa, medida no espaço objeto.

Esta abordagem é considerada como sendo uma solução parcial, já

que assume a orientação interior como sendo conhecida, pré-determinada por um

método qualquer. Enquanto o objeto se move, os pontos extremos que delimitam a

distância conhecida no espaço objeto têm suas coordenadas medidas na seqüência

de imagens tomadas.

A função que relaciona os parâmetros incógnitos às medidas

(Equação 2.13) é então formulada e a minimização desta função é obtida pela

aplicação do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). As medidas compreendem as

fotocoordenadas dos pontos extremos e a distância fixa no espaço objeto.

沸m

1=j

=E [d - gj (k, ϕ, ω, ∆X, ∆Y, ∆Z)]2 (2.13)

onde



34

gj Distância calculada como função indireta dos parâmetros de orientação

relativa (incógnitos) para j = 1, 2,..., m medidas;

d Distância fixa medida no espaço objeto.

O termo gj é obtido pela Equação 2.14, sendo expresso como uma

função direta dos pontos extremos que delimitam uma feição com distância d

conhecida no espaço objeto.

2

21

2e,22,1e1

2e,22,1e1

)Z- (Z)yZ- y(Z)xZ- x(Zg ++= (2.14)

onde

( ,1ex , ,1ey ) e ( 2,ex , 2,ey ) Coordenadas dos pontos extremos (na imagem da

esquerda), normalizadas e corrigidas da distorção radial simétrica (ZHUANG,

1995);

iZ , para i = 1,2 Coordenada Z dos pontos extremos, no espaço objeto.

A partir dos valores de i

Z é possível obter as coordenadas

(i

X ,i

Y ,i

Z ) dos pontos extremos no espaço objeto, de acordo com a Equação 2.15.

O sistema de coordenadas do espaço objeto é adotado como sendo o sistema de

coordenadas da imagem da esquerda, e o valor de Z calculado pela solução

explícita apresentada em Zhuang (1995), desenvolvida com base na Equação 2.16,

que relaciona os elementos de orientação relativa (ω, ϕ, k, ∆X, ∆Y, ∆Z).

=

1

y

x

Z

Z

Y

X

ie,

ie,

i

i

i

i

(2.15)

+=

∆Z

∆X

∆X

1

y

x

RZ

1

y

x

λ ie,

ie,

iid,

id,

(2.16)

onde

λ Fator de escala;

R Matriz de orientação relativa entre as duas câmaras (função de k, φ e ω);

∆X, ∆Y e ∆Z Componentes da translação entre as duas câmaras;



35

dx e

dy Coordenadas de um ponto na imagem da direita;

ex e

ey Coordenadas do mesmo ponto na imagem da esquerda.

Portanto, o problema de calibração, na abordagem proposta por

Zhuang (1995), se reduz a encontrar os parâmetros k, φ, ω, ∆X, ∆Y e ∆Z (Equação

2.13) que minimizem a função E, de acordo com o critério dos mínimos quadrados.

Como pode ser notado neste método não são estimados os parâmetros de OI, como

nas abordagens clássicas de calibração em Fotogrametria.

2.2.5.2 Calibração de um sistema de vídeo estereoscópico

A abordagem de calibração de uma estereocâmara apresentada por

Tommaselli e Alves (2001), foi aplicada a um sistema de captura de imagens

estereoscópicas Nu-View. Este sistema permite a gravação de estereopares em

campos entrelaçados, gravados em formato VHS, que podem ser digitalizados e

separados, permitindo uma posterior reconstrução da cena imageada.

Esta abordagem utiliza as equações de colinearidade com

parâmetros adicionais (Seção 2.2.3.2.1), considerando algumas relações que são

mantidas fixas, visando-se obter uma maior rigidez do sistema. Estas relações,

segundo Tommaselli e Alves (2001), podem ser convertidas em injunções conforme

segue:

0B-ZYXXG 2)d0

e0

(Z2)d0

e0

(Y2)d0

e0

(1 =−+−+−= (2.17)

0∆κrrrrrrG d13

e23

d12

e22

d11

e212 =−++= (2.18)

0∆rrrrrrG d13

e33

d12

e32

d11

e313 =ϕ−++= (2.19)

0∆rrrrrrG d23

e33

d22

e32

d21

e314 =ω−++= (2.20)

onde

G1 Equação de distância entre os CPs das imagens da esquerda e da

direita, sendo a distância B (base) também uma incógnita a ser

determinada;



36

G2, G3 e G4 Equações de diferenças de cossenos diretores (também

constantes). Estes elementos diferenciais podem ser estimados no

ajustamento, sendo obtidos a partir da combinação entre as matrizes de

rotação das imagens esquerda e direita segundo a relação:

=−

ϕ−

−

ϕ−

1∆ω∆

∆ω1∆κ

∆∆κ1

RR 1diresq (2.21)

sendo Resq e Rdir as matrizes de rotação das imagens da esquerda e direita,

respectivamente.

De acordo com Tommaselli e Alves (2001), a matriz anti-simétrica no

segundo membro da Equação 2.21 resulta da soma das matrizes de Rodriguez com

a identidade, que nada mais é do que a expressão diferencial da matriz de rotação

da imagem direita em relação à esquerda (o referencial da imagem da esquerda é

adotado como origem). Os termos desta matriz podem ser considerados como

invariantes para duas câmaras quaisquer, quando elas são rigidamente fixas e com

rotações pequenas entre elas, o que permite a elaboração das equações G2, G3, G4

(Equações 2.18, 2.19 e 2.20, respectivamente).

Considerando as Equações 2.11 (equações de colinearidade com

modelagem das distorções), e ainda, as equações de injunções apresentadas

(Equações 2.17, 2.18, 2.19 e 2.20), o vetor dos parâmetros a serem estimados no

ajustamento é dado por:

]ωϕϕϕ ∆ ∆ ∆κ BZYXω...κZYXωκ f d K c [cX me

me

me

me

me

me

1e

1e

1e

1e

1e

1es1yx

Ta = (2.22)

Para o caso do sistema de captura de imagens mencionado (Nu-

View), os parâmetros de orientação interior constituem um único conjunto, pois as

duas imagens (esquerda e direita) são geradas pela mesma câmara, a partir de um

deslocamento provocado pelo espelho. Um ajustamento pelo método dos Mínimos

Quadrados, considerando as injunções, permite a solução do sistema e a

determinação dos parâmetros.



37

No caso da metodologia a ser desenvolvida neste projeto, isto não

ocorre, já que o sistema é composto por duas câmaras, devendo ser considerados

dois grupos de parâmetros de orientação interior no modelo de ajustamento a ser

desenvolvido.

2.2.5.3 Influência da injunção de base na fototriangulação de imagens de vídeo

Espinhosa (2006) apresentou um trabalho que avaliou o

comportamento dos parâmetros de orientação interior e exterior das câmaras e das

coordenadas dos pontos triangulados, estimados na fototriangulação com

parâmetros adicionais considerando uma injunção de distância na estéreo-base

entre as duas vídeo-câmaras. Experimentalmente, pôde-se concluiu que, para as

câmaras utilizadas, os resultados não apresentaram diferenças significativas ao se

considerar o uso da injunção de estéreo-base na solução da fototriangulação.

2.3 AJUSTAMENTO PELOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ)

O ajustamento pelos mínimos quadrados pode ser realizado por três

métodos (MIKHAIL et al, 2001) que, dependendo do tipo de modelo funcional,

podem ser denominados: ajustamento somente de observações (adjustment of

observations only); ajustamento de observações indiretas (adjustment of indirect

observations); e ajustamento de observações e parâmetros (adjustment of

observations and parameters). Estes três métodos são também conhecidos,

respectivamente, por método dos correlatos, paramétrico e combinado (GEMAEL,

1994).

O método combinado é mais geral, já que dele podem ser derivados

os outros dois. Este método é aplicado quando as equações de condição contêm

parâmetros e observações ligados por uma função implícita, não sendo possível

coloca-los na forma explicita. Mikhail e Ackerman (1976) apresentam duas variantes

deste método, sendo a primeira denominada: método unificado de ajustamento

pelos mínimos quadrados com injunções (unified aproach least squares adjustment

and parameters constraints); e a segunda: ajustamento pelos mínimos quadrados

com equações de condição e injunções (least squares adjustment with conditions

and constraints).



38

Esta segunda variante do método combinado requer um número

maior de produtos matriciais. No entanto, a influência das injunções não afeta a

estrutura da matriz N, bloco diagonal, que pode ser solucionada de maneira

otimizada. Já a primeira variante, permite um número menor de produtos matriciais,

além de uma maior facilidade de aplicação. Contudo, a estrutura bloco diagonal da

matriz N é perturbada pela influência das injunções como poderá ser verificado mais

adiante.

O método unificado de ajustamento pelos mínimos quadrados com

injunções, ou método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com

injunções, como será chamado daqui por diante, apresenta maior vantagem e

facilidade de aplicação e será adotado na metodologia de calibração desenvolvida

neste trabalho. A outra possibilidade de ajustamento será apresentada no Apêndice

I, para fins de comparação e testes futuros.

No que se refere aos tipos de injunções: a injunção funcional pode

ser definida como uma restrição imposta aos parâmetros com base nas relações

levantadas a partir de características físicas ou geométricas do modelo (MIKHAIL e

ACKERMAN, 1976). A injunção de peso, por exemplo, determina a variabilidade de

um parâmetro dentro do ajustamento, sendo este peso definido com base na

confiança que se tem no valor desta variável, conhecido a priori.

2.3.1 Método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunções

As operações nos campos da Geodésia, Fotogrametria e

Levantamentos, segundo Mikhail e Ackerman (1976), necessitam de um método de

ajustamento que permita utilizar diferentes tipos de dados, de uma maneira mais

geral e unificada. O fator mais importante associado a esta concepção de

ajustamento, diz respeito ao fato de que todas as variáveis envolvidas no modelo

matemático apresentam “valores preliminarmente estimados“, com variâncias

conhecidas a priori.

O método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados

necessita de um mecanismo de diferenciação entre as variáveis, o qual é dado

convenientemente pela matriz variância-covariância conhecida, ou ainda, pela matriz

peso das observações. Deste modo, se uma determinada variável possuir variância

tendendo ao infinito, ou seja, peso tendendo a zero (P → 0), esta variável poderá



39

variar livremente no ajustamento, assumindo a condição de parâmetro

desconhecido.

Por outro lado, se a mesma variável possuir variância nula, ou peso

tendendo ao infinito (P → ∞), não será permitida sua variação no ajustamento e esta

variável assumirá a condição de constante. Deste modo, os parâmetros envolvidos

nas equações de condição, até então encarados como simples incógnitas, passam a

ser tratados como “pseudo-observações”.

O primeiro passo considerado na aplicação do método de

ajustamento apresentado, diz respeito à identificação do modelo funcional a ser

utilizado, além do número mínimo de observações n0, de um total de n (com n > 0),

necessárias à determinação do modelo de maneira única. Para cada um dos r = n -

n0 graus de liberdade, deve-se escrever uma equação de condição que relaciona o

modelo às variáveis do problema.

A inclusão de u parâmetros incógnitos ao problema, incrementa o

número de equações de condição de acordo com c = r + u até um número máximo

de n equações (0 ≤ u ≤ n0). Assumindo que apenas u’ parâmetros são

funcionalmente independentes, do total de u, s = u – u’ representa o número de

parâmetros dependentes. Assim sendo, s equações de injunções devem ser escritas

para refletir aquela dependência, de modo que s seja menor que u (s < u) para que

as equações de injunções não se tornem um sistema inconsistente (MIKHAIL e

ACKERMAN, 1976). Os modelos matemáticos das equações de condição e

injunções são respectivamente do tipo:

0)aX,a(LF = (2.23)

0)aX,ac(c LF = (2.24)

onde

aL Vetor das observações ajustadas de dimensões n x 1;

acL Vetor das observações ajustadas, referente às equações de injunções, de

dimensões t x 1;

aX Vetor dos parâmetros ajustados de dimensões u x 1.

Os vetores dos valores observados são dados, respectivamente,

por:



40

bL Vetor das observações de dimensões n x 1 e matriz cofator Q;

cL Vetor das observações, referente às equações de injunções, de

dimensões t x 1 e matriz cofator Qc;

Xx Vetor dos parâmetros observados a priori (pseudo-observações) de

dimensões u x 1 e matriz cofator Qx.

Os modelos 2.23 e 2.24, compreendem respectivamente, c

equações de condição e s equações de injunções. Se os elementos L0, 0cL e X0

denotam os vetores dos valores aproximados, V, Vc e Vx , os vetores dos resíduos e

XL, XLc e X os vetores das correções aos valores aproximados, então (MIKHAIL e

ACKERMAN, 1976; GEMAEL, 1994):

L0ba XLVLL +=+= (2.25)

Lc0ccc

ac XLVLL +=+= (2.26)

ba LLV −−−−==== (2.27)

0XXX a −= (2.28)

Segue-se com a linearização dos modelos apresentados pelas

Equações 2.23 e 2.24, que resulta nas equações:

0WAXBV =++ (2.29)

0W'CXVB cc =++ (2.30)

nas quais

)]X,F(L)L-[B(LW 000b += ;

)]X,(LF)L-(L[BW' 00cc

0ccc += ;

00XLb ,

L

FB

風風

= ;



41

00L,XaX

FA

風風

= ;

0

0XcLc

cc

,L

FB

∂

∂= ;

0

0 cL,Xa

c

X

FC

風風

= .

A concepção desenvolvida até então para este método, considera os

parâmetros como sendo “pseudo-observações”, e embora não faça nenhuma

distinção entre os parâmetros e observações, os parâmetros são considerados como

sendo aquelas variáveis de interesse ao final do ajustamento. No entanto, algumas

considerações podem ser feitas com relação a este método.

Seja b

L o vetor das observações, V o vetor dos resíduos, X0 o vetor

dos parâmetros aproximados e X o vetor das correções aos parâmetros

aproximados, conforme apresentado anteriormente, então, segundo Mikhail e

Ackerman (1976), se r = n - n0 representa o número de graus de liberdade, pode-se

escrever c = r + u equações de condição em termos de V, b

L , X0 e X.

No entanto, considerando-se a existência de mais u “pseudo-

observações” Xx referentes aos parâmetros, o número total de observações passa a

ser de n + u com r + u graus de liberdade, resultando em um total de r + 2u, ou c + u,

equações de condição. Deste modo, ao final do ajustamento os valores dos

parâmetros ajustados deverão ser idênticos às pseudo-observações ajustadas, ou

seja:

xx0a VXXXX +=+= (2.31)

que resulta em

xx0x WXXXV =−=− (2.32)



42

Com base nas Equações 2.29, 2.30 e 2.32, Mikhail e Ackerman

(1976) desenvolvem e apresentam a equação para a estimativa do vetor das

correções aos parâmetros aproximados, dada por:

)]x

Wx

P+U+(U[σ)]x

P+N+(N-[σ=Xc

2

0

1-

c

2

0 (2.33)

para a qual

A)(BQBAN 1TT -= ;

W)(BQBAU 1TT -= ;

C)BQ(BCN 1Tcccc

T -= ;

W')BQ(BCU 1Tcccc

T -= ;

1-xx QP = ;

sendo 2

0σ a variância da observação de peso unitário a priori. Na primeira iteração,

o valor de Wx calculado de acordo com a Equação 2.32 é nulo já que a primeira

aproximação para o vetor (X0) corresponde aos valores observados (Xx). A partir da

segunda iteração, Wx passa a acumular o valor das correções aos parâmetros, ou

seja, na j-ésima iteração:

∑−

=

=1j

1i(j) ix

XW , (2.34)

para j = 2, 3, ..., m iterações. O mesmo ocorre com os vetores L0 e 0cL que na

primeira iteração recebem, respectivamente, os valores de bL e cL , anulando as

primeiras parcelas das equações no cálculo de W e W' .

Na Equação 2.33 N e U refletem a contribuição das observações

convencionalmente conhecidas. Já os termos cN e cU correspondem à contribuição



43

das injunções. Os termos remanescentes refletem a contribuição proporcional à

confiabilidade de cada parâmetro estimado a priori.

Considerando a não linearidade das equações de observação e a

necessidade de um processo iterativo, Mikhail e Ackerman (1976) propõem a

seguinte seqüência de operações. Tendo-se X0(1), L0(1) e 0cL (1) como sendo os

vetores de valores aproximados para a primeira iteração e XX , bL , cL os vetores

dos valores observados (não mudam durante o ajustamento). As matrizes e vetores

A, cB , C, W e W' e Wx são numericamente estimadas e utilizadas na montagem das

matrizes e vetores N, U, cN e cU envolvidos nos cálculo do vetor das correções aos

parâmetros aproximados X(1) (Equação 2.33). A soma de X(1) com X0(1) permite

obter o vetor dos valores aproximados X0(2) da segunda iteração.

O próximo passo consiste em estimar os valores aproximados L0(2) e

0cL (2) para a segunda iteração. Para tanto, deve-se calcular os dois vetores de

resíduos V(2) e cV (2), aplicando-se X(1) nas expressões:

W))(AX(BQBQBV TT +−= (2.35)

)W')(CXBQ(BBQV Tcccccc

T +−= (2.36)

podendo-se calcular ainda,

XWXXXV xx0x +=+= − . (2.37)

Os vetores 2.35 e 2.36 aplicados, respectivamente, nas Equações

2.38 e 2.39, obtidas a partir das Equações 2.25 e 2.26, permitem calcular LX (2) e

LcX (2) por:

0(i)1)(ib1)L(iL-VLX

+++= (2.38)

0

c(i)1)c(ic1)Lc(iLVLX -

+++= (2.39)



44

Finalmente, a partir das Equações 2.40 e 2.41 calcula-se os valores

observados ajustados L0(2) e 0cL (2), que serão usados como aproximações na

próxima iteração:

1)(ib1)(iL0(i)1)0(i VLXLL +++ +=+= (2.40)

1)c(ic1)(ic0c(i)

01)c(i VLXLL +++ +=+= (2.41)

De posse dos vetores X0(2), L0(2) e 0cL (2) da segunda iteração,

estima-se o vetor das correções X(2), agora para a segunda iteração, que somado ao

vetor dos valores aproximados da segunda iteração X0(2), permite obter o vetor dos

valores aproximados X0(3) para a terceira iteração.

Deste modo o processo iterativo segue baseado nos mesmos

passos apresentados, para um total de m iterações, até que o ajustamento atinja seu

ponto de convergência (valores das correções Xi → 0). O Quadro 2.1 resume as

matrizes e vetores que são estimados nas i = 1, 2, ...m iterações.

Quadro 2.1 – Matrizes e vetores estimados ao longo das m iterações do ajustamento.

A matriz variância-covariância os parâmetros ajustados (a

XΣ ) é

dada por

1-xc

2

0a)PN(NσX ++ˆ=Σ (2.42)

1a ITERAÇÃO

Valores aproximados

X0(1), L0(1) e 0

cL (1)

Estimativa das matrizes e vetores

A, cB , C, W e 'W e Wx

Montagem das matrizes e vetores

N, U, cN e cU

Vetor de correção aos parâmetros X(1) Vetor dos parâmetros ajustados Xa(1) = X0 (1) + X(1)

Vetores das observações ajustadas

aL (1), a

cL (1)

2a ITERAÇÃO

Valores aproximados

X0(2)=Xa(1), L0(2)= aL (1) e 0

cL (2)=a

cL (1)




N, U, cN e cU

Vetor de correção aos parâmetros X(2) Vetor dos parâmetros ajustados Xa(2)= X0 (2) + X(2)


aL (2), a

cL (2)

m-ésima ITERAÇÃO

Valores aproximados

X0(m)=Xa(m-1), L0(m)= aL (m-1) e 0

cL (m)=a

cL (m-1)




N, U, cN e cU

Vetor de correção aos parâmetros

X(m) Vetor dos parâmetros ajustados Xa(m)= X0 (m) + X(m)


aL (m), a

cL (m)



45

sendo N, cN e xP matrizes calculadas em função dos elementos estimados na

ultima iteração, e 20

σ̂ a variância da observação de peso unitário a posteriori,

calculada por:

suu-n

VPVVPVPVVσ

inj

xxTxcc

Tc

T2

0 ++

++ˆ = . (2.43)

sendo P = Q-1 a matriz peso das observações e

inju os elementos tratados como

injunções de peso.

Considerando-se o caso em que as equações de injunção são

funções apenas de parâmetros, como é o caso das injunções de orientação relativa,

que fazem parte da metodologia de calibração desenvolvida, a Equação 2.24 se

reduz a:

0)(XF ac = . (2.44)

Segue-se com a linearização deste modelo, que resulta na equação:

0W'CX =+ , (2.45)

na qual

)(XFW' 0c= ;

0Xa

c

X

FC

風風

= .

Com base nestas considerações, a equação para estimativa das

correções ao vetor dos parâmetros aproximados (Equação 2.33) passa a considerar

uma modificação para os seguintes elementos.

CPCN injcT= ;



46

W'PCU injcT= ,

sendo inj

P uma matriz diagonal peso, função da confiança que se tem na

estabilidade física do arranjo. Desta forma a variância da observação de peso

unitário a posteriori passa a ser calculada por:

suu-n

VPVPVVσ

inj

xxTx

T2

0 ++

+ˆ = (2.46)

2.3.2 Teste de hipótese do ajustamento

O teste de hipótese é realizado com objetivo de se validar o

resultado do ajustamento. Segundo Wolf e Ghilani (1997), os elementos de um teste

de hipótese são os seguintes:

• Hipótese Nula (H0) - Compara a estatística populacional com a estatística

amostral;

• Hipótese Alternativa (Ha) - É a hipótese que é aceita quando H0 é rejeitada.

O teste de hipótese é realizado a partir dos dados amostrais, no qual

é calculada uma estatística amostral, sendo esta estatística comparada com um

valor teórico, a fim de determinar se a hipótese nula deve ser rejeitada. No caso

deste trabalho, pretende-se realizar o teste unilateral, testando-se as seguintes

hipóteses:

2

0

2

0a

2

0

2

00

σσ:H

σσ:H

ˆ

ˆ

>

=

.

A estatística amostral qui-quadrado é calculada por:

glσ

σ

20

20

=2

a

ˆ

χ (2.47)



47

sendo

2

aχ - Qui-quadrado amostral;

20

σ - Variância da observação de peso unitário a priori;

20

σ̂ - Variância da observação de peso unitário a posteriori;

gl - Graus de liberdade no ajustamento.

A estatística populacional (qui-quadrado tabelado) é função dos

graus de liberdade (gl) e do nível de significância (α). Deste modo, a hipótese nula

não será rejeitada ao nível de confiança (1 - α) se:

2α)-1 (gl,

2a χχ < (2.48)

Se a hipótese nula for rejeitada, tem-se um indicativo de erro no

ajustamento. Sendo assim, as seguintes possibilidades devem ser verificadas:

possível incoerência entre as observações e suas variâncias, bastando revisar a

matriz variância-covariância dos valores observados; presença de erros grosseiros e

sistemáticos no ajustamento; inadequação do modelo matemático de acordo com a

realidade física; mau condicionamento do sistema (GEMAEL, 1994).



48

3 CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS

3.1 GEOMETRIA DO ARRANJO DUAL

A Figura 3.2 ilustra o arranjo dual de câmaras, bem como alguns

elementos considerados, tanto na solução que calibra as câmaras individualmente

(Seção 3.5), quanto na metodologia de calibração desenvolvida (Seção 3.6).

Figura 3.1 - (a) Arranjo de câmaras Hasselblad e (b) geometria deste arranjo.

(a)

C2 C1

C2 C1

Yd

Sobreposição de 10%

D

Ze

∆ω

Xe

Ye

O. E. da foto da esquerda

1

E k

e

ω 1

E k

e

k 1

E k

eφ

( e

0

e

0

e

0 ZYX )

C2

C1

O. E. da foto da direita

1

E k

d

ω 1

E k

d

k 1

E k

dφ

( d

0

d

0

d

0 ZYX ) (0, 0, 0)

Zd

Xd

(b)



49

Os elementos ∆k, ∆φ e ∆ω são os ângulos de orientação relativa

entre as duas câmaras e D é a distância entre os CPs. A Figura 3.2b ilustra apenas

∆ω, já que o sistema de referência da câmara 2 se apresenta com uma rotação ∆ω ~

-36º em relação ao sistema de referência da câmara 1. Já os ângulos de orientação

relativa ∆φ e ∆k apresentam, respectivamente, valores aproximados de 0º e 180º. Os

ângulos de orientação relativa poderiam ser considerados adotando-se como origem

o sistema de referência da câmara 2. No entanto, convencionou-se o sistema da

câmara 1 como origem.

Os ângulos de orientação relativa (∆k, ∆φ e ∆ω) e a distância D

entre os CPs das câmaras podem ser calculados em função dos elementos de

orientação exterior das câmaras 1 e 2, respectivamente, pelas duas primeiras

Equações 3.1. A terceira equação permite calcular os elementos de base (BX, BY,

BZ), caso estes elementos sejam de interesse.

T

C1C2C1C2C1C2C1T

ZYX

2d0-

e0

2d0-

e0

20-

e0i

-1C2C1R

])Z-(Z)Y-(Y)X-(X[R=]BBB[

)Z(Z)Y(Y)X(XD

)(RRR

d++=

=

(3.1)

onde

RR - Matriz de orientação relativa, correspondente às rotações (∆k, ∆φ, ∆ω);

C1R - Matriz de rotação da câmara 1;

1C2

)(R − - Inversa da matriz de rotação da câmara 2;

D - Distância entre os CPs das câmaras;

BX, BY, BZ - Componentes da base.



50

3.2 SISTEMA SAAPI

O sistema SAAPI, conforme mencionado anteriormente, integra duas

câmaras Hasselblad de médio formato, posicionadas de maneira convergente. As

imagens são adquiridas simultaneamente, de tal forma que as câmaras registrem

áreas adjacentes do terreno, como ilustra a Figura 3.1. O sistema pode ser usado

também, para adquirir imagens transversais à linha de vôo, com a vantagem de

reduzir à metade o número de faixas.

Figura 3.2 – Aquisição das imagens pelo arranjo de câmaras convergentes.

Se o imageamento considerar o arranho de câmaras alinhado de

acordo a direção de vôo, os modelos fotogramétricos serão formados pelas imagens

obtidas pela câmara 2 (C2) no instante ti e a câmara 1(C1) no instante ti+1, de modo

que toda a área imageada pelo sensor seja aproveitada no processamento

fotogramétrico (Figura 3.1a). Se o imageamento for transversal à linha de vôo

(Figura 3.1b) o modelo será formado por imagens subseqüentes da mesma câmara.

Maiores detalhes sobre o sistema podem ser encontrados em Ruy et al (2007).

Direção de vôo

Fonte: Adaptado de Ruy et al (2007)

ti+1 ti

(b)

C1 C2 C1 C2

(a)

ti ti+1

Direção de vôo C1 C2

C1 C2

Modelo fotogramétrico

Direção de vôo

Vista superior

Direção de vôo

Vista superior

Modelo fotogramétrico



51

3.3 CAMPO DE CALIBRAÇÃO

As atividades de calibração das diversas câmaras disponíveis no

Departamento de Cartografia da UNESP/FCT, contam com um campo de calibração

implantado na parede externa do ginásio de esportes do campus, implementado

com recursos do projeto de Mapeamento Móvel da FCT, coordenado pelo Prof. Dr.

João Fernando Custódio da Silva e ampliado recentemente, quando foram

incorporados pontos adicionais (GALO et al, 2007).

Segundo Silva et al (2001), este campo de calibração foi

originalmente construído com 54 alvos, cujas coordenadas foram calculadas por

meio de intersecção a vante, através da medição de uma base entre as estações,

além de direções horizontais e verticais, determinados por uma estação total Sokkia

SET5F. A Figura 3.3 ilustra o campo de calibração originalmente construído.

Figura 3.3 – Campo de calibração originalmente construído com recursos do projeto de mapeamento móvel.

Após alguns estudos de viabilidade, Galo et al (2007), com recursos

do projeto intitulado “Implantação de um campo de teste para a calibração de

câmaras digitais”, decidiram por adequar o campo de calibração já existente

mediante uma reforma deste campo, que envolveu a reparação dos 54 alvos já

existentes, além da colocação de pontos adicionais, conforme ilustra a Figura 3.4.



52

Figura 3.4 – Campo de calibração reformado.

A Figura 3.4 ilustra os 54 pontos originais, além de 29 novos alvos,

dos quais 4 se apresentam fora do plano da parede com 1,5 m de comprimento. Os

pontos de apoio levantados por intersecção a vante apresentam uma precisão de

aproximadamente 3 mm nas coordenadas calculadas, precisão esta suficiente para

o caso das câmaras de vídeo utilizadas no projeto de mapeamento móvel (Sony

DSR 200A com 720 x 480 pixels).

Fazendo uma pré-análise da precisão dos pontos existentes e o uso

de uma câmara Hasselblad de 22 Megapixels, a precisão de 3 mm é insuficiente, já

que para uma distância de 15 m entre a câmara e os alvos, por exemplo, a escala da

imagem seria de 1:300 e, para um pixel de dimensões 0,009x0,009 mm, a sua

projeção no plano dos alvos teria dimensões 2,7x2,7mm. Uma vez que a medida dos

alvos é feita com precisão subpixel (em torno 1/5 do pixel), as coordenadas dos

alvos devem ser trianguladas com desvios menores do que 1mm.

Galo et al (2007) mostraram que o uso da injunção de distância

entre os pontos do espaço objeto contribui com uma forte restrição geométrica na

escala do bloco. Utilizando-se de um paquímetro PANTEC, com alcance de 2000

mm e precisão 0,020 mm na leitura, foram levantadas 58 distâncias entre alguns dos

pontos do espaço objeto, no Campo de Calibração mencionado, o que permitiu uma

triangulação posterior e por conseqüência, um novo conjunto de pontos de apoio

com maior confiabilidade nas coordenadas do espaço objeto. Tanto o conjunto de



53

pontos de apoio originalmente levantado por intersecção, quanto aquele triangulado,

são apresentados nos Anexos I e II, respectivamente.

Na Seção 4 são apresentados resultados de testes com estes dois

conjuntos de pontos de apoio, para que se possa verificar qual destes conjuntos

permite melhores resultados na calibração do sistema dual. Pretende-se ainda

avaliar a relevância em se adotar o conjunto de pontos triangulados como apoio, em

um processo de calibração de câmaras.

3.4 MEDIDAS DE FOTOCOORDENADAS COM PRECISÃO SUBPIXEL

A etapa de medição das fotocoordenadas, considerada como sendo

dispendiosa e morosa, é fundamental para o sucesso do processo de calibração de

câmaras. Além do mais, estas coordenadas podem ser extraídas com precisão

subpixel para garantir a confiabilidade dos parâmetros de distorção das lentes

A técnica de medição de coordenadas com precisão subpixel usada

neste trabalho, consiste da técnica que calcula o centro de massa dos alvos,

implementada no aplicativo MID (REISS, 2002), apresentado no Apêndice III. O

princípio básico desta técnica consiste na média entre os pixels que compõem o

alvo, média esta ponderada pelos respectivos níveis de cinza. No entanto, os alvos

de interesse necessitam ser isolados do fundo, a partir de uma limiarização,

processo este também implementado no aplicativo MID.

Outras alternativas poderiam ser adotadas, podendo-se citar àquela

que se baseia no processo de correlação de áreas seguido de um refinamento

subpixel por ajustamento e interpolação polinomial (BAZAN et al, 2005). Esta

alternativa pode se tornar atrativa se houver o interesse em se medir outros pontos

fotoidentificáveis com precisão subpixel, além daqueles que constituem a malha de

alvos do campo de calibração



54

3.5 SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS COM CÁLCULO POSTERIOR DOS

ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA

Uma solução imediata para calibração do sistema dual pôde ser

testada com base na calibração individual de cada uma das câmaras. Para tanto,

empregou-se a técnica de calibração on-the-job, considerando como modelo

matemático as equações de colinearidade com parâmetros adicionais (Equações

2.11). Nesta solução, os parâmetros de orientação interior envolvidos foram apenas:

f, x0, y0, K1 e K2, já que os outros parâmetros apresentaram desvios padrão de

mesma magnitude que os seus respectivos parâmetros, conforme verificado

experimentalmente. A solução apresentada se divide basicamente em duas etapas:

A primeira etapa compreende a calibração on-the-job de cada câmara de

maneira individual. Esta etapa envolve a leitura de coordenadas de pontos

medidos em um conjunto de imagens adquiridas por cada câmara,

individualmente, juntamente com outras aquisições feitas com o arranjo dual.

Ao final do processo, têm-se uma estimativa dos parâmetros de orientação

interior (f, x0, y0, K1 e/ou K2) para cada câmara, bem como os parâmetros de

orientação exterior (κ, φ, ω, X0, Y0 e Z0) para cada imagem envolvida no

processamento;

A segunda etapa compreende um processo de fototriangulação envolvendo

somente as coordenadas dos pontos medidos nas imagens adquiridas com o

arranjo dual. Neste processamento os parâmetros de orientação interior,

obtidos na primeira etapa, são introduzidos na forma de injunções. Ao final

desta etapa obtêm-se novamente os parâmetros de orientação exterior (k, φ,

ω, X0, Y0 e Z0) para cada uma das imagens adquiridas pelo arranjo de

câmaras dual. Estes parâmetros serão ligeiramente diferentes daqueles

obtidos no processo de calibração on-the-job da primeira etapa. Segue-se

com o cálculo dos elementos de orientação relativa, para cada aquisição, e

sua estimativa média.



55

Os ângulos de orientação relativa (∆ki, ∆φi e ∆ωi) e a distância Di

entre os CPs das câmaras, para cada um dos n pares adquiridos com i = 1, 2, ... n,

podem ser calculados em função dos elementos de orientação exterior (posição e

orientação com relação a um referencial terrestre) das câmaras 1 e 2,

respectivamente, pelas Equações 3.1.

Os ângulos κ∆ , ϕ∆ , ω∆ médios e a distância D média, obtidos

para cada um dos n pares de imagens, podem ser estimados pelas Equações 3.2 a

partir dos elementos de orientação relativa, calculados pelas Equações 3.1.

∑=

∑=

∑=

∑=

=

=

=

=

n

1ii

n

1ii

n

1ii

n

1ii

D(1/n)D

∆ω(1/n)ω∆

∆(1/n)∆

∆κ(1/n)κ∆

ϕϕ (3. 2)

Ao final das duas etapas, têm-se tanto os parâmetros de orientação

interior (primeira etapa), quanto os parâmetros de orientação relativa determinados

(segunda etapa). Na Seção 4.1 serão apresentados alguns experimentos para

avaliação desta solução, a partir do cálculo da média dos elementos de orientação

relativa, obtidos para cada aquisição feita com o arranjo, seguido de uma análise do

EMQ (Erro Médio Quadrático) de cada elemento de orientação relativa estimado.

Para realização das duas etapas desenvolvidas nesta proposta de

calibração, utilizou-se do aplicativo CC (Calibração de Câmaras) (GALO, 1993). Os

resultados alcançados com essa solução foram utilizados como base para justificar a

importância das injunções de orientação relativa na metodologia desenvolvida.

3.6 METODOLOGIA DESENVOLVIDA PARA CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL

O problema referente à calibração de um sistema composto de duas

câmaras, segundo Zhuang (1995), deve incluir não somente os parâmetros de

orientação interior, mas também os parâmetros de orientação relativa entre as

câmaras. Estes elementos são importantes tanto para a análise da estabilidade



56

física do arranjo de câmaras, como para algumas tarefas fotogramétricas, como por

exemplo, a retificação das imagens convergentes.

A modelagem matemática para calibração deste sistema se divide

em duas partes: o modelo funcional que relaciona observações e parâmetros

incógnitos; e o modelo estocástico, que diz respeito às propriedades estatísticas de

todos os elementos envolvidos no modelo funcional.

O modelo funcional compreende as equações de colinearidade com

parâmetros adicionais (Equações 2.11), apresentadas na Seção 2.2.3.2.1. A

metodologia desenvolvida considera ainda a elaboração e incorporação de

equações de injunções a partir dos elementos de orientação exterior das duas

câmaras, levando-se em consideração que a orientação relativa se mantém fixa

durante a aquisição das imagens, desde que se assuma que a estrutura que

comporta as câmaras seja fisicamente estável. Quanto ao método de estimação dos

parâmetros usado neste trabalho considera-se o método combinado de ajustamento

pelos mínimos quadrados com injunções (Seção 2.3.1).

A metodologia desenvolvida para calibração do sistema dual

assemelha-se à calibração de um sistema de vídeo estereoscópico, apresentada por

Tommaselli e Alves (2001) (Seção 2.2.5.2). No entanto, ao contrário desta

metodologia, devem ser também considerados como parâmetros adicionais, os

parâmetros de orientação interior de cada uma das câmaras, já que o sistema é

composto de duas câmaras, como já mencionado.

Um estudo sobre a estrutura das principais matrizes envolvidas no

ajustamento por este modelo, também será apresentado, bem como algumas

considerações a respeito dos padrões destas matrizes. A análise das estruturas das

matrizes é importante para que se possa, futuramente, aplicar operações de

otimização e redução do custo computacional no processo de ajustamento.

A Figura 3.5 apresenta o fluxograma que resume a metodologia para

calibração do sistema dual, fazendo as considerações levantadas nos parágrafos

anteriores.



57

Figura 3.5 – Fluxograma do processo de calibração pela metodologia desenvolvida.

3.6.1 Desenvolvimento das equações de injunção de orientação relativa

O desenvolvimento das equações de injunções utilizadas nesta

metodologia, pressupõe que a orientação relativa entre as câmaras se mantém fixa

ao longo de i = 1, 2, ... q aquisições realizadas com o arranjo dual. Adotando-se a

câmara 1 (Figura 3.2) como origem local do sistema de câmaras, a matriz de

orientação relativa iRR e a distância

iD entre os CPs, para a aquisição i, podem ser

obtidas pelas Equações 3.1.

Formação das equações normais N, U, NC e UC

sim

não

Montagem das matrizes e vetores A, B, W, P, C e W’ e PX e WX

Fotocoordenadas medidas com precisão subpixel

Estimação da OE aproximada para as imagens

processamento da calibração

X = (N+ NC+ PX)-1 (U+ UC+ PX WX)

CONVERGIU? X→0

Xa = X0 + X (Vetor dos parâmetros ajustados Xa) 1-

C2

0a)P+N+(Nσ=ΣX X

ˆ (MVC de Xa )

X0 = X0+X

Parâmetros

(Vetor X0 com X

P → 0)

6 param. de OE para cada imagem m, os de OI para cada câmara (total = 10) e 3 coordenadas X Y Z para cada um dos j pontos fotogramétricos

Observações (Vetor Lb)

Fotocoordenadas de um total de npontos medidos em m imagens tomadas pelas duas câmaras do sistema dual.

Preparação das imagens

Método combinado de ajustamento pelos mínimos quadrados com injunção

Pontos de apoio

(Vetor X0 com 22

0X/σσ=P )

Coordenadas X Y Z e seus desvios-padrão



58

Desta forma, as equações de injunções podem ser derivadas

partindo-se das restrições 3.3 e 3.4, que se baseiam na condição de que a

orientação relativa entre duas aquisições são iguais para um sistema fisicamente

estável:

0=+1iR

iR R-R (3.3)

0=+2

1i2i

D-D (3.4)

As Equações 3.3 e 3.4 permitem escrever 4 equações de injunções

para cada par de imagens, sendo que três equações independentes podem ser

extraídas a partir do relacionamento das matrizes de orientação relativa (Equação

3.3), e uma quarta equação extraída do relacionamento das distâncias entre os CPs

(Equação 3.4).

Para q aquisições feitas com o arranjo dual, q-1 relacionamentos

independentes podem ser considerados mediante as Equações 3.3 e 3.4, o que

resulta em um total de (q-1)x4 equações de injunções no ajustamento. As matrizes

de rotação i1

R e i2

R referentes às câmaras 1 (da direita) e 2 (da esquerda) na

aquisição i são dadas por:

(i)

rrr

rrr

rrr

R

d33

d32

d31

d22

d21

d21

d13

d12

d11

i1

= e

(i)

rrr

rrr

rrr

R

e33

e32

e31

e22

e21

e21

e13

e12

e11

i2

= . (3.5)

Como as matrizes de rotação são ortogonais, a inversa de i2

R é

dada pela sua transposta, ou seja:

(i)

rrr

rrr

rrr

R

e33

e23

e13

e32

e22

e12

e31

e21

e11

1i2

−= . (3.6)



59

Assim sendo, a partir das Equações 3.1, obtém-se a matriz de

orientação relativa para a aquisição i, em função das matrizes de orientação exterior

das câmaras 1 e 2:

(i)

)rrrrr(r)rrrrr(r)rrrrr(r



R

e33

d33

e32

d32

e31

d31

e23

d33

e22

d32

e21

d31

e13

d33

e12

d32

e11

d31

e33

d23

e32

d22

e31

d21

e23

d23

e22

d22

e21

d21

e13

d23

e12

d22

e11

d21

e33

d13

e32

d12

e31

d11

e23

d13

e22

d12

e21

d11

e13

d13

e12

d12

e11

d11

iR

++++++

++++++

++++++

= (3.7)

Segue-se com o cálculo da distância i

D entre os CPs das câmaras.

2(i)d0

(i)e0

2(i)d0

(i)e0

2(i)d0

(i)e0i )Z-(Z+)Y-(Y+)X-(X=D (3.8)

Da mesma forma como foi feito para a aquisição i, realiza-se o

cálculo da matriz de orientação relativa 1iR

R + e da distância 1i

D + , referentes à

aquisição i + 1. Com base na restrição apresentadas pela Equação 3.3, elabora-se

três equações de injunções conforme segue:

0)rrrrr(r)rrrrr(rG 1)(ie13

d23

e12

d22

e11

d21

(i)e13

d23

e12

d22

e11

d211 == +++++ - (3.9)

0)rrrrr(r)rrrrrrG 1)(ie13

d33

e12

d32

e11

d31

(i)e13

d33

e12

d32

e11

d312 =(= +++++ - (3.10)

0)rrrrr(r)rrrrrrG 1)(ie23

d33

e22

d32

e21

d31

(i)e23

d33

e22

d32

e21

d313 =(= +++++ - (3.11)

Com base na Equação 3.4, que relaciona a distância entre os CPs

nos instantes i e i +1, obtém-se uma quarta equação:

---- 2)

(i)d0

(i)e0

2)

(i)d0

(i)e0

2)

(i)d0

(i)e04 Z(ZYYXXG +(+(= )

0Z(Z)Y(YX(X 2)

1)+(id0

1)+(ie0

21)+(id0

1)+(ie0

2)

1)+(id0

1)+(ie0

=----- (3.12)

As rotinas compreendendo as equações de injunções apresentadas

foram implementadas nas linguagens de programação C/C++ e incorporadas ao

programa CMC – Calibração Multi-Câmaras (RUY et al, 2007). Na Seção 3.6.2,



60

apresenta-se um estudo da estrutura das matrizes do ajustamento utilizado na

metodologia desenvolvida.

3.6.2 Estudo da estrutura das matrizes envolvidas no ajustamento

O estudo da estrutura das matrizes envolvidas no método de

ajustamento apresentado na Seção 2.3.1 é feito a partir de um caso particular onde

se tem um bloco formado por quatro imagens adquiridas em duas aquisições

distintas, com o arranjo de câmaras dual. A primeira aquisição considera o arranjo

com a câmara 1 se apresentando à direita e a câmara 2 à esquerda, em relação ao

observador.

A segunda aquisição é realizada com o arranjo rotacionado em 180º

com relação à primeira, ou seja, a câmara 1 se apresenta à esquerda e a câmara 2 à

direita. A Figura 3.6a ilustra as aquisições e seus respectivos sistemas referências

dentro do arranjo. Já a Figura 3.6b, ilustra o bloco formado pelas imagens

resultantes destas duas aquisições.

Figura 3.6 - (b) Bloco formado por quatro imagens de (a) duas aquisições com o arranjo dual de câmaras digitais.

A Tabela 3.1 permite verificar a orientação exterior aproximada de

cada câmara. É importante ressaltar que, antes da etapa de medida das

fotocoordenadas, as imagens que se apresentam originalmente conforme ilustra

yC2

xC2

xC1

yC1

Segunda aquisição

xC2

yC2 xC1

yC1

(a) (b)

C2 - Imagem 1833 C1 - Imagem 3015

C2 - Imagem 1837 C1 - Imagem 3019 Primeira aquisição



61

Figura 3.6a, necessitam ser rotacionadas devido à rotação que as imagens sofrem

em função da atuação do sensor de orientação que as câmaras possuem, e que

neste modelo não pôde ser desativado. Estas rotações são realizadas de modo que

a origem dos referenciais das imagens se apresente no canto superior esquerdo,

com o eixo x na horizontal e o eixo y na vertical.

Assim sendo, a orientação exterior é adotada com base na Figura

3.6a, ou seja, o ângulo k da imagem 3015 (Tabela 3.1), por exemplo, é adotado com

base na rotação de 90º que o referencial da imagem apresenta no sentido horário.

Tabela 3.1 – Orientação exterior aproximada das imagens apresentadas pela Figura 3.6a.

Câmara imagem ω(º) φ(º) k(º) X0 (m) Y0 (m) Z0 (m) 1 3019 10 25 -90 120 401 12 2 1837 25 60 90 120 401 12 1 3015 10 60 90 120 401 12 2 1833 5 25 -90 120 401 12

O ajustamento do bloco da Figura 3.6, considera ao todo 100

observações que correspondem às coordenadas x e y de 50 pontos medidos nas 4

imagens. Destes pontos, 14 são apoios de campo e 11 fotogramétricos, o que

totaliza 25 alvos medidos ao longo destas imagens. Aos pontos de controle foram

atribuídos pesos inversamente proporcionais aos seus desvios padrão. Já os pontos

fotogramétricos são considerados no ajustamento com peso próximo de zero, pelo

fato das suas coordenadas serem variáveis incógnitas no problema, conforme

explanado na Seção 2.3.1.

A formação da matriz A do ajustamento leva em consideração os

seguintes conjuntos de parâmetros incógnitos, segundo a ordem apresentada:

1º conjunto: 6 parâmetros de orientação exterior, referentes à imagem 3015

adquirida na primeira aquisição com a câmara 1;


adquirida na primeira aquisição com a câmara 2;


adquirida na segunda aquisição com a câmara 1;


adquirida na segunda aquisição com a câmara 2;



62

5º conjunto: Coordenadas X Y e Z dos 25 pontos (fotogramétricos e

controle), que comparecem no bloco de imagens da Figura 3.6b;

6º conjunto: 10 parâmetros de orientação interior, (Seção 2.2) para a

câmara 1;

7º conjunto: 10 parâmetros de orientação interior para a câmara 2.

Os conjuntos de parâmetros acima definidos totalizam 119

parâmetros. Além do mais, verifica-se a existência de 46 injunções das quais 42

dizem respeito aos 14 pontos de apoio (injunção de peso) e 4 referentes às 4

injunções de orientação relativa entre as câmaras (injunção funcional). O método

dos mínimos quadrados pressupõe que se tenha graus de liberdade para que o

ajustamento seja possível e no caso particular o número de graus de liberdade é g.l.

= 100 - 119 + 46 = 27.

No entanto, este aspecto deve ser desconsiderado neste momento,

dado que o objetivo é apenas apresentar as estruturas das matrizes envolvidas nos

dois métodos de ajustamento da Seção 2.3. Em uma situação real de um vôo

fotogramétrico o número de imagens e pontos medidos será maior, e por

conseqüência, o número de graus de liberdade também será maior, o que atribui

uma maior confiabilidade aos resultados do ajustamento.

Apresenta-se na seqüência o Quadro 3.1 com a equação para o

cálculo do vetor das correções X do método combinado de ajustamento pelos

mínimos quadrados com injunções. Este quadro fornece ainda as matrizes e vetores

envolvidos nesta equação, bem como as dimensões destas matrizes e vetores,

considerando o número de observações, parâmetros e injunções citados

anteriormente.



63

Quadro 3.1 – Matrizes e vetores envolvidos no ajustamento e suas respectivas dimensões.

O padrão da matriz A das derivadas parciais, das Equações de

condição em relação aos parâmetros é dada pela Figura 3.7.

Figura 3.7 – Estrutura da matriz A de dimensões 100 x 119.

)(1-

119x1119x1119X1119X1119x119119X1191119X119119X1xWPcUUPcNNX xx ++ ++−= )(

100X119100X100100X100100x100119X100

A)TBQB(TA 1−=119X119

N

119X1100X100100X100100X100119X100

W)BQB(A 1TT −=119X1

U

4X1194X4

119X4

CinjPTC=119X119

cN

4X1W'injPTC

4X4119X4

=119X1

cU

119X119

1-

xQ=

119x119

xP

∑= iX

119x1

xW



64

Na Figura 3.7, os blocos em preto representam os valores não nulos

na matriz A. Verifica-se que esta matriz é esparsa e a adoção de um algoritmo de

formação da matriz N, semelhante àquele apresentado no apêndice (Apêndice II)

poderia ser adotado. A estrutura da matriz B, dada pelas derivadas das equações de

condição em relação às observações (fotocoordenadas x e y), é bloco-diagonal com

blocos de dimensões 2x2. A matriz C, definida pela derivada das quatro equações

de injunções em relação aos parâmetros, é dada na seqüência.

Figura 3.8 – Estrutura da matriz C de dimensões 4 x 119.

Nota-se pela Figura 3.8, que a matriz C apresenta valores não nulos

apenas nas primeiras colunas, já que as equações de injunções são funções dos

elementos de orientação exterior das câmaras 1 e 2, nas duas aquisições

consideradas. A estrutura da matriz Px é diagonal, com os pesos dos parâmetros

“pseudo-observados” dispostos ao longo da diagonal principal. Já os vetores U, W,

W’ são preenchidos inteiramente por valores não nulos.

Mediante as estruturas apresentadas, pôde-se verificar que as

matrizes A e C são esparsas e com estruturas bem definidas. As matrizes diagonais

e bloco diagonais (caso das matrizes PX e B), não provocam a mudança no padrão

da matriz N na estimativa do vetor de correções X (Quadro 3.1), preservando a sua

estrutura bloco diagonal, importante na resolução das equações normais de maneira

otimizada. Voltando-se agora aos elementos apresentados no Quadro 3.1,

apresenta-se as estruturas das matrizes N (Figura 3.9), NC (Figura 3.10) e da

resultante N + NC.(Figura 3.11).



65

Figura 3.9 – Estrutura da matriz N de dimensões 119 x 119.

Figura 3.10 – Estrutura da matriz NC de dimensões 119 x 119.

simétrico



66

Figura 3.11 – Estrutura da matriz resultante N + NC de dimensões 119 x 119.

Com relação às estruturas apresentadas, algumas verificações

podem ser realizadas. A estrutura da matriz N (Figura 3.9) apresenta blocos

diagonais, que contêm os coeficientes referentes a cada conjunto de parâmetros

considerado no ajustamento. Já os grandes blocos fora da diagonal principal,

representam uma combinação entre os coeficientes dos diferentes conjuntos de

parâmetros. Para ilustrar melhor esta idéia, verifica-se o bloco fora da diagonal,

destacado na Figura 3.9, que representa uma combinação entre os coeficientes dos

parâmetros de orientação exterior das imagens e as coordenadas dos pontos do

espaço objeto.

Dentro deste bloco, para cada imagem m, cada sub-bloco Nmj em

preto significa que o ponto j está contido na imagem m. Quando o sub-bloco Nmj =0,

significa que o ponto j não comparece na imagem m, como pode ser verificado pela

Figura 3.9. Com relação à Figura 3.10, percebe-se que a matriz NC é esparsa e a

operação de adição N + NC pode ser aplicada considerando-se apenas a região com

valores não nulos. Por fim, a Figura 3.11 ilustra a matriz resultante da adição N + NC.

Verifica-se que a estrutura da matriz N, anteriormente bloco diagonal para os

simétrico



67

parâmetros de orientação exterior das imagens, passa a apresentar “perturbações”

devido à contribuição das injunções.

3.6.3 Implementação do programa CMC (Calibração Multicâmaras)

A metodologia desenvolvida neste trabalho para calibração do

sistema dual de câmaras digitais foi implementada nas linguagens de programação

C/C++, utilizando o compilador C++ Builder 6 da Borland. Tanto as rotinas de

entrada e saída, bem como as principais rotinas do ajustamento foram

implementadas por Roberto da Silva Ruy, além de outras inclusas na biblioteca

UPTK (TOMMASELLI et al, 2005). Uma posterior etapa de depuração dos erros foi

necessária, além da implementação das rotinas de injunções de orientação relativa

entre as câmaras, conforme mencionado anteriormente. O diagrama apresentado

pela Figura 3.12 ilustra, de modo simplificado, os arquivos de entrada e saída do

programa.

Figura 3.12 – Entrada e saída de dados do programa.

Na Figura 3.12, o arquivo param.prj contém os nomes dos arquivos

de entrada, com extensões .iop, .eop, .gcp, .img referentes aos parâmetros de

orientação interior, exterior, pontos de apoio e observações, respectivamente. Além

disso, este arquivo reúne outras informações, como por exemplo, o número de

câmaras envolvidas no processamento, a variância da observação de peso unitário a

Programa executável

relatorio.rep

arquivo param.prj arquivo de oi .iop arquivo de oe .eop arquivo de apoio .gcp arquivo de obs .img



68

priori, o critério de convergência, entre outros. O arquivo relatorio.rep apresenta os

dados de saída da calibração que vão desde os parâmetros de orientação interior

calibrados, orientação exterior ajustada, orientação relativa calculada para cada

aquisição e os pontos do espaço objeto ajustados. Mais detalhes sobre estes

arquivos são encontrados no Apêndice IV.

3.6.4 Medida da distância entre os CPs localizados a partir das informações técnicas

do fabricante

Com base nas informações técnicas fornecidas pelo fabricante das

câmaras Hasselblad, o centro perspectivo de cada umas das duas câmaras pôde ser

“transportado” para a parte externa da câmara e posicionado na estrutura de fixação

do sistema dual, conforme mostra a Figura 3.13.

Figura 3.13 - Projeção dos CPs na estrutura de suporte das câmaras do sistema dual.

Depois de demarcados estes pontos, a distância entre eles pôde ser

medida por meio de um paquímetro, conforme ilustra a Figura 3.14 (RUY4, 2008),

sendo esta distância considerada como sendo uma estimativa da distância entre os

dois CPs. Acredita-se que um erro de no máximo 1 mm é esperado no processo de

4 RUY, R. da S. Comunicação pessoal. Programa de Pós-graduação em Ciências Cartográficas.

2008.

CP da Câmara 2 projetado externamente

CP da Câmara 1 projetado externamente



69

projeção e medição dos CPs projetados e, portanto, o valor medido para esta

distância foi de 11,12 cm, com um erro de ±1 mm.

Figura 3.14 – Medição da distância entre os CPs.

A medida da distância entre os CPs é importante por ser uma

medida física direta, realizada com precisão e confiabilidade. O uso desta medida na

forma de injunção de distância entre os CPs possibilita uma maior acurácia nos

parâmetros de orientação relativa calibrados.

Para ser utilizada com restrição ou injunção no ajustamento, esta

distância é aplicada ao primeiro par de imagens considerado no processo de

calibração. Conseqüentemente, por meio da Equação 3.12, o valor desta injunção é

repassado para os outros pares, de acordo com um peso calculado em função de

informações de instabilidade do sistema, conforme ilustrado pela Figura IV.3 do

Apêndice IV.

O Experimento da Seção 4.2.4 apresenta o resultado da calibração

considerando da distância medida como injunção, adicionalmente às injunções de

orientação relativa, aplicadas por meio das Equações 3.9, 3.10, 3.11 e 3.12.



70

4 EXPERIMENTOS E RESULTADOS

A avaliação dos resultados de calibração do sistema dual de

câmaras digitais compreende as Seções 4.1, 4.2 e 4.3. A Seção 4.1 trata da

avaliação de uma solução baseada na calibração seqüencial das duas câmaras

compondo o arranjo, seguido do cálculo da orientação relativa entre as câmaras.

Esta solução utilizou o programa CC (GALO, 1993) que usa o método paramétrico

de ajustamento pelo MMQ (GEMAEL, 1994).

A Seção 4.2 avalia a metodologia desenvolvida e apresentada na

Seção 3.6, que se baseia no ajustamento simultâneo dos parâmetros das duas

câmaras, considerando como modelo estocástico o método unificado de ajustamento

pelos mínimos quadrados com injunções (MIKHAIL e ACKERMAN, 1976), conhecido

também como método combinado com injunções (GEMAEL, 1994). Quatro

processamentos de calibração serão apresentados e discutidos: sem (Seções 4.2.1e

4.2.2) e com o uso de injunções de orientação relativa (4.2.3) e considerando uma

injunção de distância (medida no espaço objeto) entre os CPs das câmaras que

compõe o arranjo dual (4.2.4).

Na Seção 4.3, realiza-se novamente os quatro processamentos da

Seção 4.2 com um número reduzido de pontos de apoio, a fim de se avaliar os

efeitos destas injunções no espaço objeto, a partir da análise do erro médio

quadrático (EMQ) nos pontos de verificação.

4.1 EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A SOLUÇÃO PARA CALIBRAÇÃO INDIVIDUAL DAS CÂMARAS E CÁLCULO POSTERIOR DOS ELEMENTOS DE ORIENTAÇÃO RELATIVA

Os experimentos a serem apresentados nesta Seção foram

apresentados preliminarmente em Bazan et al (2007) e tratam da avaliação da

abordagem na qual cada câmara é calibrada individualmente (primeira etapa), com

cálculo posterior dos elementos de orientação relativa (segunda etapa), conforme

apresentado na Seção 3.5. Ao final do processo, será avaliada a estabilidade dos

elementos de orientação relativa calculados por meio das Equações 3.1. Esta

avaliação será feita com base nos valores médios (Equações 3.2) e nos desvios-

padrão destes valores, calculados para cada de elemento de orientação relativa



71

Para a estimativa dos parâmetros de orientação interior na primeira

etapa, foram utilizadas 22 imagens referentes à câmara 1, sendo que 13 delas foram

adquiridas sem usar o arranjo dual, priorizando-se o melhor enquadramento do

campo de calibração, e as 9 restantes com o arranjo dual (necessárias para

realização da segunda etapa). Com relação à câmara 2, foram utilizadas 24

imagens, das quais 15 foram adquiridas individualmente. A aquisição das imagens

ocorreu no final de abril de 2007.

Todas as imagens, tanto as individuais quanto aquelas considerando

o arranjo dual, foram obtidas a partir de três estações posicionadas diante do campo

de calibração, apresentado na Seção 3.3. A Figura 4.1 ilustra as posições das

estações, bem como algumas imagens adquiridas com as câmaras da esquerda e

da direita (C2 e C1, respectivamente).

Figura 4.1 - Exemplo de imagens adquiridas sobre o campo de calibração: (a) estações; (b)

aquisições individuais e; (c) aquisições com o arranjo dual.

Observando a Figura 4.1b, verifica-se que as aquisições individuais

realizadas por ambas as câmaras apresentaram um melhor enquadramento do

campo de calibração, permitindo uma maior quantidade e melhor distribuição dos

pontos no plano imagem. Este procedimento é realizado com o objetivo de se obter

uma estimação dos parâmetros de orientação interior e exterior com maior

confiabilidade (primeira etapa), tendo em vista a melhor distribuição dos pontos

sobre o plano imagem.

(b)

C1 C1

C2 C2

C1

C2

C1

C2 C2

C1

C2

C1

(c)

(a)

2a Estação

Campo de Calibração

1a Estação 3a Estação



72

Com relação às aquisições considerando o arranjo dual (Figura

4.1c), verifica-se que estas foram executadas de maneira que cada uma das

câmaras fizesse a cobertura da metade do campo de calibração, dado a

impossibilidade de um enquadramento simultâneo de todo o campo por ambas as

câmaras.

O campo de calibração em questão contém tanto pontos de apoio,

quanto pontos fotogramétricos. As coordenadas destes pontos foram medidas com

precisão subpixel pelo aplicativo MID (Apêndice III) e tanto a primeira quanto a

segunda etapa desta solução de calibração, fizeram uso do programa de Calibração

de Câmaras (GALO, 1993). Foram realizados 4 diferentes experimentos, com

diferentes conjuntos de parâmetros e injunções:

• Experimento 1 - A calibração de ambas as câmaras considerando os

parâmetros f, x0, y0 e K1 como incógnitas na calibração;

• Experimento 2 - Repetiu-se o processamento anterior, incluindo também o

parâmetro K2;

• Experimento 3 - Foi realizado um processo de fototriangulação utilizando

apenas as imagens tomadas com o arranjo dual, considerando injunções nos

parâmetros f, x0, y0 e K1, a partir dos resultados do experimento 1;

• Experimento 4 - Repetiu-se o experimento 3 incluindo também o termo K2

como injunção.

Quanto aos parâmetros de orientação interior, considerou-se

apenas: f, x0, y0, K1 e/ou K2, já que os outros parâmetros geralmente apresentam

desvios com a mesma magnitude dos próprios parâmetros, conforme mencionado

na Seção 3.5. Os pesos das injunções dadas aos parâmetros de orientação interior

nos experimentos 3 e 4, foram definidos em função da variância destes parâmetros,

resultantes da primeira etapa da solução (estimados nos experimentos 1 e 2).

Foram analisados os resultados dos 4 experimentos para verificar

qual deles permitiu uma melhor estimativa dos elementos de orientação relativa.

Como as imagens adquiridas com o arranjo dual foram também incluídas no

processamento de calibração individual na primeira etapa, pretende-se, além dos

parâmetros de orientação interior, estimar também os elementos de orientação



73

relativa entre as câmaras em função da orientação exterior calculada para cada uma

das 18 imagens (9 pares) adquiridas com o arranjo dual. Apresenta-se na seqüência

um resumo dos quatro experimentos realizados.

• Experimento 1

o Dados de entrada: Fotocoordenadas medidas em todas as imagens

envolvidas, coordenadas dos pontos de apoio no referencial do espaço

objeto e parâmetros de orientação exterior aproximados de cada

imagem;

o Dados de saída: Parâmetros de orientação interior, coordenadas

tridimensionais dos pontos fotogramétricos, parâmetros de orientação

exterior estimados para cada imagem envolvida e MVC dos valores

estimados.

A Tabela 4.1 apresenta os parâmetros de orientação interior e os desvios-

padrão estimados para ambas as câmaras.

Tabela 4.1 – Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 1.

Câmara 1 Câmara 2 f (mm) ±σ

50,080 ±0,0068

50,135 ±0,0063

x0 (mm) ±σ

-0,376 ±0,0026

-0,730 ±0,0028

y0 (mm) ±σ

0,066 ±0,0038

-0,090 ±0,0038

K1(mm-2) ±σ

-0,222x10-04 ±0,738x10-07

-0,224x10-04 ±0,691x10-07

• Experimento 2

o Neste experimento, tanto os dados de entrada quanto os dados de

saída, foram os mesmos considerados no experimento 1. No entanto,

foi incluído o parâmetro K2 no conjunto de parâmetros de orientação

interior a serem estimados. A Tabela 4.2 apresenta os parâmetros de

orientação interior estimados para ambas as câmaras.



74

Tabela 4.2 – Parâmetros de orientação interior e desvios-padrão estimados no experimento 2.

Câmara 1 Câmara 2 f (mm) ±σ

50,114 ±0,0052

50,171 ±0,0051

x0 (mm) ±σ

-0,371 ±0,0018

-0,729 ±0,0021

y0 (mm) ±σ

0,0684 ±0,0029

-0,0816 ±0,003013

K1(mm-2) ±σ

-0,286 x10-04 ±0,185x10-06

-0,285x10-04 ±0,691 x10-07

K2(mm-4) ±σ

0,138x10-07 ±0,385x10-09

0,132 x10-07 ±0,403 x10-09

• Experimento 3

o Dados de entrada: Apenas as fotocoordenadas medidas nas imagens

tomadas com o sistema dual, as coordenadas dos pontos de apoio do

espaço objeto, além dos parâmetros de orientação exterior

aproximados de cada imagem;

o Dados de saída: Coordenadas tridimensionais dos pontos

fotogramétricos, além dos parâmetros de orientação exterior ajustados

para cada imagem.

o Injunções: Injunções nos parâmetros de orientação interior (f, x0, y0 e

K1), estimados no primeiro experimento (Tabela 4.1), com os pesos

calculados em função da variância destes parâmetros

• Experimento 4

o Os dados de entrada e saída considerados neste experimento são os

mesmo do experimento 3. No entanto, os parâmetros injuncionados

(Tabela 4.2) incluem o parâmetro K2.

Os elementos de orientação relativa médios, calculados com base

na orientação exterior das imagens tomadas com o arranjo dual para cada

experimento, bem como seus respectivos desvios-padrão, são apresentados na

Tabela 4.3. A Figura 4.2 apresenta um gráfico de barras que permite uma rápida

comparação entre os desvios de cada elemento.

Em todos os experimentos, das 9 aquisições feitas com o arranjo

(pares de imagens), enumeradas de a a i, os pares c e e foram eliminados , pois os



75

elementos de orientação relativa se apresentaram discrepantes em relação àqueles

estimados para os outros pares. Os desvios destes elementos médios variavam na

ordem de 0,5º a 1,5º para os elementos angulares e de 0 a 5 cm para a distância

entre os CPs (BAZAN et al, 2007), variação esta acentuada se o sistema for

considerados como fisicamente estável.

Tabela 4.3 – Elementos de orientação relativa médios e seus respectivos desvios-padrão.

0,00

0,05

0,10

0,15

1 2 3 4

Experimentos

Desvio

s-p

adrã

o

Desvio de Delta Kappa Desvio de Delta PhiDesvio de Delta Omega Desvio da Distância

Figura 4.2 - Gráfico de barras dos desvios-padrão apresentados na Tabela 4.3.

Conforme apresentado, verifica-se que os experimentos 2 e 3

apresentaram melhores resultados, já que os desvios-padrão dos elementos de

orientação relativa estimados apresentam-se menores em relação ao primeiro e

último experimentos. No entanto, tendo como referência o experimento 2, o

experimento 3 apresentou uma pequena redução nos desvios, referentes aos

elementos angulares (redução de ∆ω ~ 10’’, ∆φ ~ 21’’, ∆k ~ 3’’), porém o desvio da

distância D entre os CPs apresentou um aumento (D ~ 3mm). A partir do

experimento 4, constata-se que a inclusão do termo K2 não influencia

significativamente nos resultados.

ω∆ (º) ±σ

ϕ∆ (º) ± σ

κ∆ (º) ± σ

D (dm) ± σ

Exp. 1 -38,250858 ±0,12623

-0,57730 ±0,11414

178,80079 ±0,10703

1,083 ±0,119

Exp. 2 -38,25589 ±0,11340

-0,57421 ±0,10784

178,80159 ±0,10563

1,079 ±0,073

Exp. 3 -38,25401 ±0,11054

-0,57959 ±0,10199

178,79886 ±0,10492

1,101 ±0,107

Exp. 4 -38,25641 ±0,10917

-0,57268 ±0,10351

178,80079 ±0,10640

1,081 ±0,110



76

Portanto, entre os 4 experimentos apresentados, o procedimento de

calibração do experimento 3, o qual envolveu a estimativa dos elementos de

orientação interior f, x0, y0 e K1 (primeira etapa) e a aplicação destes parâmetros na

forma de injunções de peso em um procedimento de fototriangulação (segunda

etapa), de maneira geral, foi o que permitiu a estimativa da orientação relativa entre

as câmaras com menores desvios-padrão.

A análise dos desvios permite afirmar que nesta abordagem de

calibração, a determinação da orientação relativa apresenta seus resultados

afetados pela propagação de erros no processo de fototriangulação, uma vez que se

observou uma variação da ordem de centímetros na distância entre os CPs.

Admitindo que as câmaras são rigidamente conectadas, estas variações não

correspondem à realidade física. Em relação às rotações, observa-se que elas são

estimadas com erros maiores do que a possível variação física existente entre as

câmaras.

A metodologia desenvolvida e apresentada na Seção 3.6, permitirá

resolver estes problemas, já que os elementos de orientação relativa serão fixados,

por meio de injunções funcionais em um ajustamento em bloco. Esta metodologia se

baseia no modelo apresentado por Tommaselli e Alves (2001), e utiliza um processo

unificado de ajustamento pelo método dos mínimos quadrados com injunções,

apresentado na Seção 2.3.1.

4.2 EXPERIMENTOS REALIZADOS COM A METODOLOGIA DESENVOLVIDA NA SEÇÃO 3.6 QUE FAZ USO DO RECURSO DE CALIBRAÇÃO MULTICÂMARA

Os experimentos apresentados a seguir permitirão avaliar os

resultados da calibração do sistema dual de câmaras digitais pela metodologia

desenvolvida, que aplica injunções de estabilidade dos parâmetros de orientação

relativa. Em todos os experimentos apresentados nesta Seção foram utilizadas 29

imagens tomadas com o arranjo dual, adquiridas no mês de outubro de 2007.

Verificou-se a ausência de algumas imagens devido à falha no

acionamento simultâneo das câmaras. Este problema só pôde ser constatado no

momento em que as imagens foram descarregadas, o que não impossibilitou de

considerar os pares correspondentes destas imagens no processamento usando

esta metodologia. Das 29 imagens, 14 foram adquiridas pela câmara 1 e 15 pela



77

câmara 2, sendo que 13 delas formavam pares entre si, ou seja, apresentam a

imagem correspondente tomada pela outra câmara no mesmo instante.

Os Quadros 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 apresentam esquemas ilustrando as

coletas realizadas com diferentes rotações a partir de 4 pontos de vista. Para cada

estação, realizou-se 4 coletas, com o arranjo de câmaras sendo rotacionado em 90º

no sentido horário, a partir da primeira aquisição (rotação de 0º). Por estes quadros,

é possível perceber que algumas imagens apresentaram enquadramento deficiente

do campo de calibração, já que a quantidade de alvos presentes nestas imagens é

pequena, e os poucos alvos estão mal distribuídos.

Quadro 4.1 – Configuração das aquisições feitas a partir da primeira estação.

C1 - img 6

C2 - img 6

C2 - img 5

C1 - img 4

C2 - img 4 C1 - img 3 C1 - img 5 C2

Quarta aquisição

Primeira aquisição

Ausência da imagem

Terceira aquisição

Segunda aquisição

Primeira estação



78

Quadro 4.2 – Configuração das aquisições feitas a partir da segunda estação. Segunda tomada

Segunda estação

C2 - img 8 C1 - img 12 C2 - img 10 C1 - img 9

Primeira aquisição Terceira aquisição

C2 - img 9

C1 - img 11

Segunda aquisição

C1 - img 13

C2 - img 11

Quarta aquisição



79

Quadro 4.3 – Configuração das aquisições feitas a partir da terceira estação.

C2 - img 16 C1 - img 19 C1 - img 16 C2 - img 14


C2 - img 15

Segunda aquisição

C1 - img 17

Quarta aquisição

C2 - img 17

C1 - img 21

Terceira estação



80

Quadro 4.4 – Configuração das aquisições feitas a partir da quarta estação.

Os Quadros 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 mostram as imagens nas posições

originais, na forma como foram feitas as tomadas. Conforme citado no Apêndice III,

antes que sejam realizadas as medidas das fotocoordenadas, estas imagens

precisam ser rotacionadas devido à rotação que as imagens sofrem em função da

atuação do sensor de orientação, conforme mencionado na Seção 3.6.2. As Figuras

4.3 e 4.4 apresentam imagens que permitem verificar a quantidade e distribuição dos

pontos medidos em cada uma das imagens tomadas pelas câmaras 1 e 2.


Segunda aquisição Quarta aquisição

Quarta estação

C2 - img 19 C1 - img 23

C2 - img 20

C2 - img 21

C1 - img 26

C2 - img 22 C1

Ausência da imagem

C1

Ausência da imagem



81

Figura 4.3 – Distribuição dos pontos medidos ao longo das 14 imagens tomadas pela câmara 1.

colunas

C1 - img 9

C1 - img 16

C1 - img 26

C1 - img 5

C1 - img 19

C1 - img 23

C1 - img 3

linhas

C1 - img 12

C1 - img 6

C1 - img 13

C1 - img 11

C1 - img 4

C1 - img 17 C1 - img 21

Distribuição dos pontos considerando todas as imagens (C1)



82

Figura 4.4 – Distribuição dos pontos medidos ao longo das 15 imagens tomadas pela câmara 2.

C2 - img 15

Distribuição dos pontos considerando todas as imagens (C2)

C2 - img 8

C2 - img 14

C2 - img 5

linhas

colunas

C2 - img 4

C2 - img 9

C2 - img 20

C2 - img 16

C2 - img 10

C2 - img 21

C2 - img 17

C2 - img 6

C2 - img 22

C2 - img 11

C2 - img 19



83

Verifica-se pela Figura 4.3 que as imagens 4, 11, 17 e 21, referentes

à câmara 1, apresentaram uma quantidade de pontos muito pequena e que estão

mal distribuídos, concentrando-se em uma pequena região da imagem. O mesmo

pôde ser verificado para o caso da câmara 2, na Figura 4.4, que apresentou essa

deficiência para as imagens 11, 6 e 22.

Pontos em pequena quantidade e mal distribuídos, ou seja, uma

geometria fraca, não permite uma estimação adequada dos parâmetros, o que faz

com que os desvios-padrão dos elementos de orientação exterior resultantes sejam

elevados em relação aos elementos daquelas imagens que apresentaram uma

quantidade e distribuição de pontos adequada.

O problema referente à quantidade e distribuição dos pontos

imageados decorre da impossibilidade de se obter um imageamento ideal do campo

de calibração por ambas as câmaras que compõem o arranjo dual. Na tentativa de

sanar este problema, pode-se recorrer à medição de outros pontos fotoidentificáveis

que não fazem parte da malha principal de alvos, o que não permitiria, entretanto,

uma pontaria subpixel. Uma outra possibilidade seria o aumento da área sinalizada

do campo

Em adição a este procedimento, pode-se recorrer à estratégia

adotada na Seção 4.1, de se realizar aquisições individuais, priorizando o melhor

enquadramento do campo de calibração por uma e outra câmara, separadamente,

conforme ilustrado na Figura 4.1. Estes procedimentos possibilitariam uma melhora

na rigidez geométrica da rede fotogramétrica, mas não permitiriam a introdução de

injunções de orientação relativa para estas imagens.



84

4.2.1 Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa considerando

os pontos de apoio originalmente levantados

Este experimento apresenta os resultados da calibração do sistema

dual pela metodologia desenvolvida, mas ainda sem o uso das injunções de

orientação relativa, lançando-se mão dos pontos levantados por intersecção a vante

(Anexo I). Ao todo foram medidos 1005 pontos nestas imagens. O processo

envolveu 49 pontos de apoio e 27 fotogramétricos. Destes 27 pontos, dos quais 5

tinham coordenadas conhecidas no espaço objeto (pontos de verificação).

O ajustamento contou com 2010 observações (coordenadas

fotogramétricas x e y de cada ponto) e 422 parâmetros que correspondem a 6

parâmetros de orientação exterior de cada imagem, 10 parâmetros de orientação

interior de cada câmara e três coordenadas de cada ponto do espaço objeto (pontos

de apoio e fotogramétricos). Considerando que todos os pontos de apoio foram

tratados como injunções de peso, o número de graus de liberdade do ajustamento

foi igual a 1735.

O critério de convergência adotado foi de 0,0000004, que representa

0,1’’ expresso em radianos, para que se possa garantir também a convergência dos

valores angulares no ajustamento. Adotou-se a variância da observação de peso

unitário a priori igual a 0,00002025 mm2, que corresponde a um desvio padrão de

0,5 pixels nas medidas das fotocoordenadas.

Executada a calibração, o número de iterações realizadas foi igual a

6 e a variância da observação de peso unitário a posteriori igual a 0,0000011 mm2

( σ̂ 0 = 0,0010 mm = 1µm = 1/9 pixel). Pela Equação 2.47, calculou-se a estatística

amostral qui-quadrado que resultou em 2aχ =94,0147. Para um nível de confiança

(1-α) igual a 95% e 1735 graus de liberdade, determinou-se o valor do qui-quadrado

tabelado que foi de 20.95) (1735,

χ =1833. Como 2aχ =94,0147 < 2

0.95) (1735,χ =1833 é

verdadeiro, a hipótese nula não deve ser rejeitada a um nível de confiança de 95%,

sendo o ajustamento aceito. A Tabela 4.4 apresenta os parâmetros de orientação

interior calibrados e os respectivos desvios-padrão.



85

Tabela 4.4 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.1.

CÂMARA 1 CÂMARA 2 f (mm) ±σ

50,086 ±0,0086 (0,95 pixels)

50,144 ±0,0084 (0,94 pixels)

x0 (mm) ±σ

-0,280 ±0,0122 (1,36 pixels)

-0,665 ±0,0096 (1,07 pixels)

y0 (mm) ±σ

-0,052 ±0,0109 (1,21 pixels)

-0,269 ±0,0082 (0,91 pixels)

K1(mm-2) ±σ

-0,293x10-04 ±0,610x10-06

-0,291x10-04 ±0,410x10-06

K2(mm-4) ±σ

0,163x10-07 ±0,282x10-08

0,129x10-07 ±0,176x10-08

K3(mm-6) ±σ

-0,100x10-11 ±0,400x10-11

0,400x10-11 ±0,200x10-11

P1(mm-1) ±σ

0,478x10-05 ±0,149x10-05

0,216x10-05 ±0,113x10-05

P2(mm-1) ±σ

-0,588x10-06 ±0,156x10-05

-0,623x10-05 ±0,104x10-05

A ±σ

-0,333x10-04 ±0,254x10-04

-0,159x10-04 ±0,144x10-04

B ±σ

0,332x10-04 ±0,334x10-04

-0,154x10-04 ±0,201x10-04

Percebe-se pela Tabela 4.4, que os parâmetros K3, P1, P2, A e B,

apresentaram seus desvios-padrão com a mesma ordem de grandeza destes

parâmetros, ou até maiores, tanto para a câmara 1 quanto para a câmara 2. No

entanto, verificou-se empiricamente que no caso da retificação e fusão das imagens,

houve uma melhora nos resultados considerando também o uso destes parâmetros,

mesmo com desvios-padrão elevados (LOPES 5 e TOMMASELLI, 2008).

Resultantes dos resíduos em pixels

0

0,2

0,4

0,6

0,8

Observações

Figura 4.5 – Resultantes dos resíduos das observações no experimento da Seção 4.2.1.

5 LOPES, R. F, TOMMASELLI, A.. M. G. Comunicação pessoal. Programa de Pós-graduação em Ciências Cartográficas. 2008.



86

Pela Figura 4.5, verifica-se que grande parte das observações

apresentou resíduos resultantes de até 0,1 pixels. Praticamente todas as

observações apresentaram resíduos resultantes menores ou iguais a 0,5 pixel,

exceto por uma única observação que apresentou resíduo resultante de 0,6 pixel.

Os parâmetros de orientação exterior ajustados são fornecidos pela

Tabela V.1 do Apêndice V. Já os desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k e das

coordenadas X0, Y0 e Z0, são apresentados nos gráficos da Figura 4.6 e 4.7,

respectivamente.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

0,11

3 4 4 5 6 6 9 8 11 9 12 10 13 11 16 14 17 15 19 16 21 17 23 19 26 22 5 20 21

Imagens tomadas por C1 e C2

Desvio

s e

m g

raus

Desvio de ω Desvio de φ Desvio de k

Figura 4.6 – Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção 4.2.1.

C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 C2



87

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

3 4 4 5 6 6 9 8 11 9 12 10 13 11 16 14 17 15 19 16 21 17 23 19 26 22 5 20 21


Desvio

s e

m m

etr

os

Desvio de Xo Desvio de Yo Desvio de Zo

Figura 4.7 – Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 no experimento da Seção 4.2.1.

Pelas Figuras 4.6 e 4.7, é possível confirmar a afirmação feita

anteriormente com base nas Figuras 4.3 e 4.4. Os desvios-padrão dos elementos de

orientação exterior ajustados são significativamente maiores (no caso da imagem 4,

quase 7 vezes maior) para as imagens que apresentaram deficiências quanto a

quantidade e distribuição dos alvos. Estes desvios se apresentam destacados nas

Figuras 4.6 e 4.7.

A Tabela 4.5 apresenta os elementos de orientação relativa,

calculados pelas Equações 3.1, para cada aquisição, bem como seus valores

médios e respectivos desvios-padrão. Os valores angulares são apresentados em

graus sexagesimais e as distâncias entre os CPs em centímetros.




88


Par de imagens (C1 e C2)

∆ω ∆φ ∆k Distância entre

CPs (cm) 3 4 -36º 42' 27,8'' -0º 21' 57,8'' 179º 04' 09,5'' 12,214 4 5 -36º 43' 20,1'' -0º 23' 00,2'' 179º 04' 07,7'' 10,659 6 6 -36º 42' 23,3'' -0º 22' 49,9'' 179º 03' 57,7'' 11,048 9 8 -36º 38' 58,7'' -0º 21' 59,1'' 179º 06' 30,3'' 9,932 11 9 -36º 42' 37,3'' -0º 23' 00,0'' 179º 03' 18,7'' 9,873 12 10 -36º 39' 35,5'' -0º 23' 33,8'' 179º 02' 31,5'' 9,905 13 11 -36º 40' 42,5'' -0º 24' 45,5'' 179º 03' 26,3'' 10,059 16 14 -36º 40' 55,5'' -0º 23' 23,4'' 179º 04' 07,5'' 10,932 17 15 -36º 44' 23, 7'' -0º 27' 43,9'' 179º 01' 45,4'' 11,227 19 16 -36º 38' 51,4'' -0º 23' 37,7'' 179º 02' 18,1'' 10,034 21 17 -36º 43' 03,3'' -0º 21' 51,9'' 179º 04' 53,6'' 10,649 23 19 -36º 40' 42,9'' -0º 23' 14,7'' 179º 03' 34,9'' 10,935 26 22 -36º 41' 31,5'' -0º 22' 55,9'' 179º 04' 56,3'' 10,816

Média -36º 41' 30,3'' -0º 23' 22,6'' 179º 03' 49,0'' 10,637

±σ ±0º 01' 43,5'' ±0º 01' 31,6'' ±0º 01' 14,8'' ±0,679

Verifica-se pela Tabela 4.5, que os ângulos orientação relativa

apresentam um desvio padrão entre 1’ e 2’. Já a distância média entre os CPs

apresenta um desvio padrão de quase 0,7 cm. Estes desvios são considerados

altos, admitindo-se um sistema fisicamente rígido e estável.

O experimento apresentado na Seção 4.2.2 considera o mesmo

processamento, mas agora com os pontos de controle triangulados com injunções

de distância, conforme mencionado anteriormente.

4.2.2 Calibração do sistema dual sem injunções de orientação relativa considerando

os pontos triangulados com injunções de distâncias medidas no espaço objeto

Este experimento apresenta os resultados obtidos após a repetição

do experimento anterior, porém, utilizando-se das coordenadas dos pontos de apoio

triangulados com injunção de distâncias (Anexo II). Todas as considerações feitas

anteriormente foram mantidas e o processamento foi executado em 6 iterações.

Após o processamento, a variância da observação de peso unitário a

posteriori foi de 0,0000005 mm2 ( σ̂ 0 = 0,0007 mm =0,7 µm = 1/13 pixel). A partir da

Equação 2.47, calculou-se então a estatística amostral qui-quadrado que resultou

em 2aχ =42,7339. Para um nível de confiança (1-α) igual a 95%, o valor do qui-



89

quadrado tabelado foi de 20.95) (1735,

χ =1833. Como 2aχ =42,7339 < 2

0.95) (1735,χ =1833 é

verdadeiro, a hipótese nula não deve ser rejeitada a um nível de confiança de 95%.

A Tabela 4.6 fornece os parâmetros de orientação interior estimados e seus

respectivos desvios-padrão.

Tabela 4.6 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.2.

CÂMARA 1 CÂMARA 2 f (mm) ±σ

50,070 ±0,0060 (0,67pixels)

50,124 ±0,0059 (0,66 pixels)

x0 (mm) ±σ

-0,287 ±0,0085 (0,95 pixels)

-0,665 ±0,0067 (0,75 pixels)

y0 (mm) ±σ

-0,054 ±0,0076 (0,85 pixels)

-0,276 ±0,0058 (0,64 pixels)

K1(mm-2) ±σ

0,288x10-04 ±0,420x10-06

-0,285x10-04 ±0,290x10-06

K2(mm-4) ±σ

0,141x10-07 ±0,193x10-08

0,107x10-07 ±0,121x10-08

K3(mm-6) ±σ

-0,200x10-11 ±0,300x10-11

0,700x10-11 ±0,200x10-11

P1(mm-1) ±σ

0,218x10-05 ±0,104x10-05

0,832x10-06 ±0,801x10-06

P2(mm-1) ±σ

-0,327x10-06 ±0,114x10-05

-0,600x10-05 ±0,768x10-06

A ±σ

-0,174x10-04 ±0,186x10-04

0,647x10-05 ±0,105x10-04

B ±σ

-0,576x10-04 ±0,233x10-04

-0,573x10-04 ±0,140x10-04

Percebe-se pela Tabela 4.6, que todos os parâmetros de orientação

interior apresentaram uma diminuição de 30% nos seus desvios-padrão, para ambas

as câmaras, se comparados com os desvios dos parâmetros obtidos no experimento

anterior (Tabela 4.4). O desvio padrão da observação de peso unitário a posteriori

( σ̂ 0 = 0,0007 mm) também apresentou uma redução de 30% em relação àquele

obtido no experimento anterior, que foi de 0,001 mm. A Figura 4.5 apresenta os

resíduos resultantes das observações, na unidade de pixels.



90


0

0,2

0,4

0,6

Observações


A Figura 4.8 mostra que todas as observações apresentaram

resíduos resultantes menores ou iguais a 0,5 pixel. Os parâmetros de orientação

exterior ajustados são apresentados pela Tabela V.2 do Apêndice V. De modo

semelhante ao experimento anterior, os desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k e das

coordenadas X0, Y0 e Z0, são apresentados, respectivamente, pelos gráficos da

Figura 4.9 e 4.10.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

3 4 4 5 6 6 9 8 11 9 12 10 13 11 16 14 17 15 19 16 21 17 23 19 26 22 5 20 21


Desvio

s e

m g

raus


Figura 4.9 - Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção 4.2.2.




91

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

3 4 4 5 6 6 9 8 11 9 12 10 13 11 16 14 17 15 19 16 21 17 23 19 26 22 5 20 21


Desvio

s e

m m

etr

os

Desvio de Xo Desvio de Yo Desvio de Zo

Figura 4.10 – Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0. no experimento da Seção 4.2.2.

Pelas Figuras 4.9 e 4.10, verifica-se também uma diminuição de

cerca de 30% nos desvios-padrão dos elementos de orientação relativa estimados,

em relação àqueles apresentados pelas Figuras 4.6 e 4.7. A Tabela 4.7 apresenta

os elementos de orientação relativa, calculados pelas Equações 3.1, além dos seus

valores médios e respectivos desvios-padrão.

Tabela 4.7 – Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios

com respectivos desvios (experimento da Seção 4.2.2).



CPs (cm) 3 4 -36º 42' 20,7'' -0º 23' 05,9'' 179º 04' 00,4'' 11,813 4 5 -36º 42' 50,4'' -0º 23' 49,1'' 179º 03' 57,9'' 10,042 6 6 -36º 42' 31,9'' -0º 24' 23,6'' 179º 03' 39,6'' 10,983 9 8 -36º 39' 32,9'' -0º 23' 18,5'' 179º 06' 07,7'' 10,048 11 9 -36º 42' 58,7'' -0º 23' 56,2'' 179º 03' 01,0'' 9,903 12 10 -36º 40' 19,6'' -0º 24' 41,8'' 179º 02' 26,7'' 10,169 13 11 -36º 41' 5,3'' -0º 25' 54,6'' 179º 03' 18,8'' 10,157 16 14 -36º 41' 8,9'' -0º 24' 39,8'' 179º 03' 45,1'' 10,864 17 15 -36º 44' 8,7'' -0º 28' 36,3'' 179º 01' 40,8'' 10,944 19 16 -36º 39' 34,0'' -0º 24' 48,1'' 179º 02' 12,7'' 10,202 21 17 -36º 44' 2,9'' -0º 23' 0,9'' 179º 04' 36,5'' 10,957 23 19 -36º 41' 32,4'' -0º 24' 12,9'' 179º 03' 04,9'' 11,188 26 22 -36º 41' 15,2'' -0º 24' 15,5'' 179º 04' 41,9'' 10,464

Média -36º 41' 47,8'' -0º 24' 31,0'' 179º 03' 34,9'' 10,595

±σ ±0º 01' 30,7'' ±0º 01' 27,5'' ±0º 01' 10,5'' ±0,573




92

Nota-se pela Tabela 4.7, que os ângulos de orientação relativa

médios apresentam desvios menores do que aqueles apresentados na Tabela 4.5.

O processamento fazendo uso dos pontos de apoio triangulados com injunção de

distância, permitiu uma redução de 30% nos desvios-padrão, tanto dos parâmetros

de orientação interior, quanto dos parâmetros de orientação exterior resultantes.

Com base neste experimento, pôde-se constatar que os pontos de

apoio originalmente levantados por intersecção à vante (Anexo I), apresentavam um

problema de escala. Esta melhora significativa ocorreu em função da forte restrição

geométrica que a escala do bloco passou a apresentar, a partir do momento em que

considerou as injunções de distância medidas com o paquímetro na triangulação dos

pontos, como concluiram, de modo similar, Galo et al (2007).

Embora tenha ocorrido uma significativa diminuição de 30% nos

desvios-padrão dos parâmetros de orientação interior e exterior estimados, os

desvios padrão dos elementos de orientação relativa médios ainda são discrepantes,

de acordo com o que se espera para um sistema fisicamente estável, devido à fraca

geometria decorrente da má distribuição dos alvos em algumas imagens, como

discutido na Seção 4.2.1.

O próximo experimento (Seção 4.2.3) apresenta o processamento

considerando agora o uso de injunções de orientação relativa entre as câmaras.

Este experimento faz o uso dos pontos triangulados com injunção de distância, já

que o uso destes pontos como apoio permitiu uma redução de 30% nos desvios dos

parâmetros, conforme explicitado.

4.2.3 Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa

Este experimento foi realizado com dois conjuntos de injunções.

Para o primeiro conjunto foi admitido que o arranjo de câmaras apresentava uma

variação em torno de 10’’ e menor que 1 mm, para os ângulos de orientação relativa

e a distância entre os CPs, respectivamente (arranjo fisicamente estável, porém não

rígido). Já para segundo conjunto foi admitido que o arranjo apresentava variações

menores do que 1‘ e 1 mm, para os mesmos elementos, respectivamente (admitindo

que se tem um arranjo fisicamente rígido).

Com isto, pretende-se avaliar se as câmaras estão ou não fixas no

arranjo, comparando a distância média entre os CPs resultante do processamento,



93

com aquela medida pelo paquímetro (Seção 3.6.4). Estas variações são introduzidas

no arquivo de orientação exterior do processamento, conforme apresentado no

Apêndice IV (Figura IV.3), tendo sido calculadas por propagação de covariâncias

com as Equações 3.9, 3.10, 3.11 e 3.12, o que permite o cálculo dos pesos das

injunções de orientação relativa.

Os dados de entrada deste experimento, são os mesmos dos dois

anteriores, considerando ainda o uso das coordenadas dos pontos de apoio

apresentadas no Anexo II. O resultado da calibração apresentado nesta Seção faz

uso das injunções de orientação relativa, mediante a inclusão das equações de

injunções desenvolvidas na Seção 3.

O processo de ajustamento, contou com as mesmas 2010

observações e 422 parâmetros dos experimentos anteriores. No entanto, 48

injunções adicionais foram consideradas (4 X nº de pares -1), já que do total de

imagens, 13 delas foram tomadas por ambas as câmaras. Conforme foi apresentado

na Seção 3.6.1, para cada duas aquisições com o arranjo dual, é possível

desenvolver 4 equações de injunções. Assim sendo, o número de graus e liberdade

aumentou de 1735 para 1783.

4.2.3.1 Resultados do experimento considerando o primeiro conjunto de injunções

admitindo o sistema fisicamente estável, porém não rígido

Neste experimento, o número de iterações do ajustamento subiu de

6 para 31 já que um número maior de iterações é requerido, ao passo que a

convergência do ajustamento ocorre respeitando as restrições impostas pelas

equações de injunções. A variância da observação de peso unitário a posteriori foi

de 0,0000011 mm2 ( σ̂ 0 = 0,0010 mm = 1 µm = 1/9 pixel), valor este bem maior se

comparado com aquele conseguido no experimento anterior (Seção 4.2.2), que foi

de 0,0000005 mm2 ( σ̂ 0 = 1/13 pixel).

O aumento na variância da observação de peso unitário a posteriori

está associado com a restrição imposta pelas injunções, que impedem que os

parâmetros de orientação exterior variem livremente, fazendo com que os resíduos

aumentem. A estatística amostral 2χ calculada foi igual a 2aχ = 96,8543.



94

Para um nível de confiança de 95% e 1783 graus de liberdade, o

valor do qui-quadrado tabelado foi de 20.95) (1783,

χ = 1882. Como 2aχ = 96,8543 <

20.95) (1783,

χ = 1882 é verdadeiro, não se rejeita a hipótese nula a um nível de

confiança de 95%. Os parâmetros de orientação interior de ambas as câmaras e os

seus desvios-padrão são apresentados na Tabela 4.8.

Tabela 4.8 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.3.1. CÂMARA 1 CÂMARA 2 f (mm) ±σ

50,146 ±0,0071 (0,79 pixels)

50,083 ±0,0073 (0,81 pixels)

x0 (mm) ±σ

-0,253 ±0,0108 (1,20 pixels)

-0,669 ±0,0086 (0,95 pixels)

y0 (mm) ±σ

0,042 ±0,0090 (1,00 pixels)

-0,290 ±0,0066 (0,73 pixels)

K1(mm-2) ±σ

-0,273x10-04 ±0,430x10-06

-0,283x10-04 ±0,350x10-06

K2(mm-4) ±σ

0,386x10-08 ±0,162x10-08

0,970x10-08 ±0,135x10-08

K3(mm-6) ±σ

0,190x10-10 ±0,200x10-11

0,800x10-11 ±0,200x10-11

P1(mm)-1 ±σ

0,487x10-05 ±0,135x10-05

0,228x10-05 ±0,106x10-05

P2(mm)-1 ±σ

0,174x10-05 ±0,139x10-05

-0,418x10-05 ±0,943x10-06

A ±σ

-0,107x10-03 ±0,229x10-04

0,492x10-04 ±0,136x10-04

B ±σ

-0,496x10-04 ±0,282x10-04

-0,230x10-04 ±0,179x10-04

Verifica-se pela Tabela 4.8, que os parâmetros de orientação interior

apresentaram variações em comparação com aqueles da Tabela 4.6, ao se

considerar o uso das injunções de orientação relativa. O desvios-padrão de alguns

parâmetros diminuíram e outros aumentaram, já que o uso destas injunções provoca

uma modificação no modelo estocástico da estimativa pelo MMQ. O gráfico da

Figura 4.11 apresenta os resíduos resultantes em pixels.



95


0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Observações

Figura 4.11 – Resultantes dos resíduos das observações considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

O gráfico da Figura 4.11 mostra que observações que se

apresentavam anteriormente com resíduos de até 0,1 pixel, passam a apresentar

resíduos de 0,2 pixels e algumas observações apresentaram resíduos maiores que

0,5 pixel. Foi verificado que as quatro observações que apresentaram resíduos entre

0,7 e 1 pixel, foram feitas na imagem 21 da câmara 1, que apresentou deficiência

quanto ao número e distribuição dos pontos imageados (Figura 4.3).

A Tabela V.3 (Apêndice V) fornece os parâmetros de orientação

exterior estimados e as Figuras 4.12 e 4.13 apresentam, respectivamente, os

desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k e das coordenadas X0, Y0 e Z0.



96

0

0,01

0,02

0,03

3 4 4 5 6 6 9 8 11 9 12 10 13 11 16 14 17 15 19 16 21 17 23 19 26 22 5 20 21

Imagens tomadas por C1 e C2Desvio

s e

m g

raus


Figura 4.12 – Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

0

0,005

0,01

3 4 4 5 6 6 9 8 11 9 12 10 13 11 16 14 17 15 19 16 21 17 23 19 26 22 5 20 21


Desvio

s e

m m

etr

os

Desvio de Xo Desvio e Yo Desvio de Zo

Figura 4.13 – Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 considerando o primeiro conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

Apesar do aumento nos resíduos, as Figuras 4.12 e 4.13 mostram

que os desvios-padrão dos parâmetros de orientação exterior reduziram

significativamente em relação àqueles apresentados nos experimentos das Seções

4.2.1 e 4.2.2. Esta redução se deu devido às injunções de orientação relativa,

consideradas no processamento da calibração. Além do mais, percebe-se que estes

desvios apresentam magnitude de mesma ordem de grandeza. Os desvios dos

ângulos e das coordenadas são de no máximo 0,020 graus e 0,005 m,

respectivamente.

Os desvios destacados nos gráficos das Figuras 4.12 e 4.13, são

referentes às imagens que não participaram das injunções de orientação relativa. A

Tabela 4.9 apresenta os elementos de orientação relativa, juntamente com seus

valores médios e respectivos desvios-padrão.





97

Tabela 4.9 - Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (para o primeiro conjunto de injunções nos experimentos da Seção 4.2.3). Par de imagens

(C1 e C2) ∆ω ∆φ ∆k

Distância entre CPs (cm)

3 4 -36º 45' 28,9'' -0º 21' 13,6'' 179º 4' 22,8'' 12,247 4 5 -36º 45' 46,1'' -0º 21' 12,6'' 179º 4' 25,9'' 12,246 6 6 -36º 45' 58,6'' -0º 21' 11,4'' 179º 4' 27,9'' 12,246 9 8 -36º 46' 3,5'' -0º 21' 11,3'' 179º 4' 33,0'' 12,245 11 9 -36º 46' 20,8'' -0º 21' 7,9'' 179º 4' 23,3'' 12,243 12 10 -36º 46' 32,6'' -0º 21' 6,9'' 179º 4' 15,6'' 12,243 13 11 -36º 46' 44,5'' -0º 21' 6,9'' 179º 4' 11,7'' 12,242 16 14 -36º 46' 53,3'' -0º 21' 5,7'' 179º 4' 6,4'' 12,242 17 15 -36º 47' 1,4'' -0º 21' 6,3'' 179º 4' 6,0'' 12,241 19 16 -36º 47' 3,4'' -0º 21' 7,0'' 179º 4' 2,6'' 12,241 21 17 -36º 47' 15,8'' -0º 21' 8,2'' 179º 4' 4,7'' 12,240 23 19 -36º 47' 4,2'' -0º 21' 9,6'' 179º 4' 5,9'' 12,245 26 22 -36º 47' 7,2'' -0º 21' 9,9'' 179º 4' 6,5'' 12,241

Média -36º 46' 33,9'' -0º 21' 9,0'' 179º 4' 14,8'' 12,243

±σ ±0º 0' 35,1'' ±0º 0' 2,6'' ±0º 0' 10,5'' ±0,002

Como se pôde verificar, os elementos de orientação relativa se

apresentaram de acordo com o que se esperava, admitindo-se um sistema

fisicamente estável, ou seja, os desvios-padrão dos ângulos de orientação relativa

médios foram da ordem de alguns segundos e a distância média entre os CPs

apresentou um desvio menor do que 1 mm.

No entanto, a discrepância entre esta distância média estimada e a

distância medida com o paquímetro (Seção 3.6.4) foi de 1,123 cm (12,243 - 11,12 =

1,123). O valor da discrepância é acentuado, mostrando que esta distância média

absorveu erros decorrentes da má estimativa da orientação exterior de algumas

imagens, ou que o valor fixado para a variação das rotações não foi adequado.

4.2.3.2 Resultados do experimento considerando o segundo conjunto de injunções

admitindo o sistema fisicamente rígido

Considerando agora o segundo conjunto de injunções, que admite

variações menores que 1’ e 1 mm, para os ângulos de orientação relativa e a

distância entre os CPs, realizou-se o ajustamento em 34 iterações, sendo 3 a mais

do que no experimento anterior (Seção 4.2.3.1).



98

A variância da observação de peso unitário a posteriori do

ajustamento foi de 0,0000013 mm2 ( σ̂ 0 =0,0011 mm = 1,1 µm = 1/9 pixel), a

estatística amostral 2χ calculada foi igual a 2aχ =114,4642. e a tabelada

20.95) (1783,

χ =1882. Como 2aχ =114,4642 < 2

0.95) (1783,χ =1882 é verdadeiro, a hipótese

nula não é rejeitada a um nível de confiança de 95%. A Tabela 4.10 apresenta os

parâmetros de orientação interior das câmaras, seguidos dos seus desvios-padrão.

Tabela 4.10 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.3.2. CÂMARA 1 CÂMARA 2 f (mm) ±σ

50,138 ±0,0076 (0,84 pixels)

50,080 ±0,0079 (0,88 pixels)

x0 (mm) ±σ

-0,264 ±0,0116 (1,29 pixels)

-0,671 ±0,0092 (1,02 pixels)

y0 (mm) ±σ

0,058 ±0,0095 (1,06 pixels)

-0,277 ±0,0070 (0,78 pixels)

K1(mm-2) ±σ

-0,269x10-04 ±0,470x10-06

-0,279x10-04 ±0,370x10-06

K2(mm-4) ±σ

0,203x10-08 ±0,174x10-08

0,809x10-08 ±0,145x10-08

K3(mm-6) ±σ

0,220x10-10 ±0,200x10-11

0,100x10-10 ±0,200x10-11

P1(mm)-1 ±σ

0,436x10-05 ±0,145x10-05

0,256x10-05 ±0,114x10-05

P2(mm)-1 ±σ

0,356x10-05 ±0,149x10-05

-0,349x10-05 ±0,101x10-05

A ±σ

-0,121x10-03 ±0,248x10-04

0,386x10-04 ±0,146x10-04

B ±σ

-0,599x10-04 ±0,303x10-04

-0,164x10-04 ±0,192x10-04

Os resíduos das fotocoordenadas (das resultantes) são

apresentados pelo gráfico da Figura 4.14. Os desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k e

das coordenadas X0, Y0 e Z0 podem ser visualizados, respectivamente, pelas

Figuras 4.15 e 4.16. Já os parâmetros de orientação exterior estimados são

apresentados pela Tabela V.4 do Apêndice V, e os elementos de orientação relativa,

juntamente com seus valores médios e respectivos desvios-padrão, são

apresentados na Tabela 4.11.



99


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Observações

Figura 4.14 – Resultantes dos resíduos das observações considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

0

0,01

0,02

0,03

3 4 4 5 6 6 9 8 11 9 12 10 13 11 16 14 17 15 19 16 21 17 23 19 26 22 5 20 21

Imagens tomadas por C1 e C2Des

vios

em g

raus


Figura 4.15 – Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).

0

0,005

0,01

3 4 4 5 6 6 9 8 11 9 12 10 13 11 16 14 17 15 19 16 21 17 23 19 26 22 5 20 21


Des

vios

em m

etro

s


Figura 4.16 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 considerando o segundo conjunto de injunções (experimentos da Seção 4.2.3).





100

Tabela 4.11 - Elementos de orientação relativa calculados para cada aquisição e seus valores médios com respectivos desvios (para o segundo conjunto de injunções nos experimentos da Seção 4.2.3). Par de imagens

(C1 e C2) ∆ω ∆φ ∆k

Distância entre CPs (cm)

3 4 -36º 46' 51,28'' -0º 22' 28,38'' 179º 4' 0,55'' 11,261 4 5 -36º 46' 51,35'' -0º 22' 28,38'' 179º 4' 0,56'' 11,260 6 6 -36º 46' 51,40'' -0º 22' 28,37'' 179º 4' 0,56'' 11,258 9 8 -36º 46' 51,44'' -0º 22' 28,37'' 179º 4' 0,57'' 11,257 11 9 -36º 46' 51,54'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,54'' 11,254 12 10 -36º 46' 51,63'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,51'' 11,252 13 11 -36º 46' 51,72'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,49'' 11,249 16 14 -36º 46' 51,80'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,47'' 11,247 17 15 -36º 46' 51,84'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,47'' 11,246 19 16 -36º 46' 51,87'' -0º 22' 28,36'' 179º 4' 0,46'' 11,245 21 17 -36º 46' 51,92'' -0º 22' 28,37'' 179º 4' 0,47'' 11,244 23 19 -36º 46' 51,90'' -0º 22' 28,38'' 179º 4' 0,48'' 11,245 26 22 -36º 46' 51,92'' -0º 22' 28,39'' 179º 4' 0,48'' 11,245

Média -36º 46' 51,66'' -0º 22' 28,37'' 179º 4' 0,51'' 11,251

±σ ±0º 0' 0,24'' ±0º 0' 0,01'' ±0º 0' 0,04'' ±0,006

Pela Tabela 4.10, percebe-se um pequeno aumento nos desvios-

padrão dos parâmetros de orientação interior com relação àqueles estimados com o

conjunto de injunções anteriormente considerado (Tabela 4.8). A Figura 4.14 mostra

que alguns resíduos foram maiores se comparados com aqueles da Figura 4.11,

análise esta confirmada pelo desvio padrão da unidade de peso a posteriori que

também foi maior.

Com relação aos desvios dos parâmetros de orientação exterior

ajustados (Figuras 4.15 e 4.16), verificou-se um sutil aumento nestes valores quando

comparados com aqueles representados nas Figuras 4.12 e 4.13. Com vista nestas

figuras, este pequeno aumento pode ser facilmente percebido para algumas

imagens, como por exemplo, a imagem 23 da câmara 1.

A explicação para estes aumentos está no fato de que a distância

estimada, apresentada na Tabela 4.11, foi menor do que aquela fornecida pela

Tabela 4.9. Isto significa que esta distância entre os CPs, estimada no

processamento anterior, estava absorvendo erros que neste processamento

passaram a ser propagados para os outros parâmetros estimados. Esta propagação

foi em função da rigidez admitida para a estrutura física do arranjo já que a variação

dos elementos de orientação relativa foram assumidas variar menos do que 1’’ e 1

mm, para os ângulos e distância, respectivamente.



101

Verifica-se que a distância média entre os CPs estimada neste

experimento foi mais acurada do que aquela calculada no experimento da Seção

4.2.3.1, já que a discrepância entre esta distância média estimada (Tabela 4.11) e a

distância medida com o paquímetro (Seção 3.6.4) foi de 1,31 mm (11,251 – 11,12 =

0,131).

4.2.4 Calibração do sistema dual com injunções de orientação relativa e mais uma

injunção de distância entre os CPs

Neste experimento, foi usado o segundo conjunto de injunções do

experimento anterior (Seção 4.2.3.2), que admitiu o sistema como sendo rígido,

introduzindo-se adicionalmente uma injunção de distância medida entre os CPs com

um paquímetro. O ajustamento foi realizado em 29 iterações com 1784 graus de

liberdade.

A variância da observação de peso unitário a posteriori foi de

0,0000013 mm2 ( σ̂ 0 =0,0011 mm = 1,1 µm = 1/9 pixel ), a estatística amostral 2χ foi

igual a 2aχ =114,5284 e a tabelada 2

0.95) (1784,χ =1883. Como 2

aχ =114,5284 <

20.95) (1784,

χ =1883 é verdadeiro, a hipótese nula não é rejeitada a um nível de

confiança de 95% e o ajustamento é aceito.

Os parâmetros de orientação interior resultantes do processamento

com essa configuração, seguidos dos seus desvios-padrão, são apresentados na

Tabela 4.12. Os resíduos das observações, resultantes em pixels, são apresentados

pelo gráfico da Figura 4.17 e os desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k e das

coordenadas X0, Y0 e Z0 pelas Figuras 4.18 e 4.19, respectivamente.

Os parâmetros de orientação exterior estimados estão na Tabela V.5

do Apêndice V, e os elementos de orientação relativa, juntamente com seus valores

médios e desvios-padrão, são apresentados na Tabela 4.13.



102

Tabela 4.12 – Parâmetros de orientação interior calibrados no experimento da Seção 4.2.4. CÂMARA 1 CÂMARA 2 f (mm) ±σ

50,135 ±0,0073 (0,82 pixels)

50,077 ±0,0077 (0,88 pixels)

x0 (mm) ±σ

-0,265 ±0,0116 (1,29 pixels)

-0,672 ±0,0092 (1,02 pixels)

y0 (mm) ±σ

0,059 ±0,0094 (1,05 pixels)

-0,277 ±0,0070 (0,78 pixels)

K1(mm-2) ±σ

-0,269x10-04 ±0,470x10-06

-0,279x10-04 ±0,370x10-06

K2(mm-4) ±σ

0,197x10-08 ±0,174x10-08

0,768x10-08 ±0,142x10-08

K3(mm-6) ±σ

0,220x10-10 ±0,200x10-11

0,110x10-10 ±0,200x10-11

P1(mm)-1 ±σ

0,441x10-05 ±0,146x10-05

0,265x10-05 ±0,114x10-05

P2(mm)-1 ±σ

0,335x10-05 ±0,149x10-05

-0,375x10-05 ±0,100x10-05

A ±σ

-0,128x10-03 ±0,245x10-04

0,359x10-04 ±0,145x10-04

B ±σ

-0,565x10-04 ±0,303x10-04

-0,136x10-04 ±0,192x10-04


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Observações




103

0

0,01

0,02

0,03

3 4 4 5 6 6 9 8 11 9 12 10 13 11 16 14 17 15 19 16 21 17 23 19 26 22 5 20 21


Des

vios

em g

raus

desvio de ω Desvio de φ Desvio de k

Figura 4.18 – Desvios-padrão dos ângulos ω, φ, k no experimento da Seção 4.2.4.

0

0,005

0,01

3 4 4 5 6 6 9 8 11 9 12 10 13 11 16 14 17 15 19 16 21 17 23 19 26 22 5 20 21

Imagens tomadas por C1 e C2Des

vios

em m

etro

s


Figura 4.19 - Desvios-padrão das coordenadas X0, Y0 e Z0 no experimento da Seção 4.2.4.




CPs (cm) 3 4 -36º 46' 49,25'' -0º 22' 31,68'' 179º 3' 59,88'' 11,120 4 5 -36º 46' 49,40'' -0º 22' 31,67'' 179º 3' 59,91'' 11,119 6 6 -36º 46' 49,53'' -0º 22' 31,65'' 179º 3' 59,91'' 11,118 9 8 -36º 46' 49,59'' -0º 22' 31,65'' 179º 3' 59,97'' 11,117 11 9 -36º 46' 49,82'' -0º 22' 31,62'' 179º 3' 59,84'' 11,115 12 10 -36º 46' 50,02'' -0º 22' 31,61'' 179º 3' 59,74'' 11,113 13 11 -36º 46' 50,22'' -0º 22' 31,61'' 179º 3' 59,67'' 11,111 16 14 -36º 46' 50,37'' -0º 22' 31,60'' 179º 3' 59,60'' 11,109 17 15 -36º 46' 50,46'' -0º 22' 31,63'' 179º 3' 59,59'' 11,109 19 16 -36º 46' 50,52'' -0º 22' 31,65'' 179º 3' 59,55'' 11,108 21 17 -36º 46' 50,62'' -0º 22' 31,68'' 179º 3' 59,59'' 11,107 23 19 -36º 46' 50,57'' -0º 22' 31,72'' 179º 3' 59,62'' 11,109 26 22 -36º 46' 50,62'' -0º 22' 31,75'' 179º 3' 59,65'' 11,108

Média -36º 46' 50,08'' -0º 22' 31,66'' 179º 3' 59,73'' 11,113

±σ ±0º 0' 0,50'' ±0º 0' 0,05'' ±0º 0' 0,15'' ±0,005





104

Comparando este experimento com aquele da Seção 4.2.3.2,

verifica-se que o desvio da unidade de peso a posteriori foi o mesmo ( σ̂ 0 =0,0011

mm) para ambos os experimentos, já que os resíduos apresentaram o mesmo

comportamento, comparando-se as Figuras 4.14 e 4.17. O número de iterações

diminuiu de 34 para 29 devido à injunção da distância medida entre os CPs no

espaço objeto. Os parâmetros de orientação interior (Tabela 4.12) foram

praticamente os mesmos que aqueles da Tabela 4.10. As discrepâncias entre os

parâmetros f, x0 e y0, apresentados em ambas as tabelas não ultrapassam 1/3 de

pixel (0,003 mm).

Ao se comparar as Figuras 4.12 e 4.13 do experimento anterior com

as Figuras 4.18 e 4.19, percebe-se que os desvios dos parâmetros de orientação

exterior também foram os mesmos. Já os parâmetros de orientação relativa (Tabela

4.13) foram praticamente os mesmos que aqueles obtidos anteriormente,

apresentados na Tabela 4.11. Estas diferenças não ultrapassaram 3’’ para os

ângulos de orientação relativa médios.

A Tabela 4.13 mostra que a distância média calculada apresentou

um valor muito próximo da fixada por injunção, com uma discrepância de -0,07 mm

(11,113 - 11,12 = -0,007 cm). No entanto, a fixação da distância entre as câmaras

não implicou em diferenças significativas na solução de calibração, dado que os

resultados foram similares àqueles do experimento anterior (Seção 4.2.3.2).

4.3 AVALIAÇÃO DAS DISCREPÂNCIAS DOS PONTOS DE VERIFICAÇÃO RESULTANTES DOS

PROCESSAMENTOS DE CALIBRAÇÃO REALIZADOS NOS EXPERIMENTOS DA SEÇÃO 4.2

Esta etapa experimental tem por objetivo avaliar os efeitos

resultantes no espaço objeto, da consideração ou não de injunções na calibração do

sistema dual de câmaras digitais, de acordo com as diferentes configurações de

processamento verificadas nos experimentos da Seção 4.2. A avaliação será feita

por meio do cálculo das discrepâncias das coordenadas, nos pontos que foram

triangulados e usados como pontos de verificação nestes processamentos, seguido

do cálculo do erro médio quadrático (EMQ) em cada componente.

Como os processamentos anteriores consideraram apenas 4 pontos

fotogramétricos como sendo pontos de verificação, conforme mencionado no início

da Seção 4.2.1, um novo processamento de cada uma destas calibrações foi



105

realizado, considerando desta vez 72 pontos fotogramétricos, dos quais todos

apresentavam suas coordenadas conhecidas no espaço objeto (Anexo III). Apenas

os pontos 23, 26, 53 e 56 (Anexo II) foram considerados como apoio nestes novos

processamentos. Com base nestas considerações, repetiu-se os processamentos de

calibração da Seção 4.2, com algumas considerações que são representadas no

fluxograma da Figura 4.20:

• 1º processamento: Calibração sem o uso de injunções de orientação relativa

(Seção 4.2.2);

• 2º processamento: Calibração usando injunções de orientação relativa,

admitindo o sistema como sendo fisicamente estável, porém não rígido

(Seção 4.2.3.1);

• 3º processamento: Calibração com injunções de orientação relativa,

admitindo o sistema fisicamente rígido (Seção 4.2.3.2);

• 4º processamento: Calibração com injunções de orientação relativa mais

uma injunção de distância medida entre os CPs (Seção 4.2.4), admitindo o

sistema como sendo rígido.

Figura 4.20 - Fluxograma do processo de avaliação das discrepâncias considerando os quatro

processamentos de calibração descritos.

1º processamento

sem inj. de OR

2º processamento

com inj. de OR (sistema não rígido)

3º processamento com inj. de OR (sistema rígido)

4º processamento com inj. de OR (sistema rígido)

+ 1 inj. de distância

CALIBRAÇÃO DO SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS

Coordenadas (XT, YT, ZT) trianguladas

Cálculo das discrepâncias

Coordenadas (XR YR ZR) de referência

(apoio de campo)

Cálculo do EMQ

Visualização espacial das discrepâncias



106

A Figuras 4.21 e 4.22, representam a distribuição espacial das

discrepâncias nas coordenadas (X, Y) e Z, respectivamente. Estas discrepâncias

foram calculadas entre as coordenadas dos pontos triangulados no primeiro

processamento e as coordenadas de referência do Anexo III (pontos de checagem).

Figura 4.21 – Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro

processamento.

Figura 4.22 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro

processamento.

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0



107

As Figuras 4.23 e 4.24 apresentam as discrepâncias dos pontos

triangulados no segundo processamento, sendo o mesmo feito para o terceiro e

quarto processamentos, cujas discrepâncias são apresentadas pelas Figuras 4.25 e

4.26, 4.27 e 4.28, respectivamente, da mesma forma como foi feito para o primeiro

processamento.

Figura 4.23 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do segundo

processamento.

Figura 4.24 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo

processamento.

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0



108

Figura 4.25 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro

processamento.

Figura 4.26 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro

processamento.

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0



109

Figura 4.27 - Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do quarto

processamento.

Figura 4.28 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto

processamento.

O Quadro 4.5 apresenta os valores de EMQ, das coordenadas

trianguladas nos quatro processamentos de calibração. Estes valores permitirão uma

análise quantitativa e comparativa dos processamentos.

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0



110

Quadro 4.5 - Gráficos dos EMQ referentes às coordenadas X, Y e Z trianguladas no (a) primeiro, (b) segundo, (c) terceiro e (d) quarto processamentos.

1,3361,171

1,320

0

0,5

1

1,5

X Y Z

EM

Q (m

m)

1,153 1,219

2,591

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

X Y Z

EM

Q (m

m)

1,326 1,259

2,886

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

X Y Z

EM

Q (m

m)

1,363 1,236

2,831

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

X Y Z

EM

Q (m

m)

Com relação aos pontos triangulados no primeiro processamento,

verifica-se que as discrepâncias das coordenadas X e Y dos pontos da periferia

foram mais acentuadas do que para os pontos que se concentram na região central

do campo de calibração (Figura 4.21). Já as discrepâncias em Z foram mais

aleatórias. No entanto, para alguns alvos que se encontravam fora do plano da

parede, as discrepâncias em Z foram acentuadas (maiores que 3 mm), conforme

destacado pelas elipses na Figura 4.22, sendo dois pontos hastes (201 e 202) e

outros dois pontos do pilar central (102 e 105).

Pela Figura 4.23, percebe-se que as discrepâncias das coordenadas

X e Y resultantes do segundo processamento, tiveram o mesmo comportamento se

comparadas com aquelas da Figura 4.21. No entanto, o EMQ destas coordenadas

(Quadro 4.5b) foi um pouco menor em X (redução de 0,183 mm) e sutilmente maior

em Y (aumento de 0,048 mm), se comparados com os EMQ das coordenadas

resultantes do primeiro processamento (Quadro 4.5a).

Por outro lado, as discrepâncias nas coordenadas Z (Figura 4.24)

apresentaram um aumento significativo (maior parte com discrepâncias entre 2 e 3

(a) (b)

(c) (d)



111

mm), além de um comportamento sistemático, já que estas discrepâncias foram

positivas para os alvos da esquerda (em relação ao centro do campo) e negativas

para os alvos da direita. O gráfico do Quadro 4.5b mostra que este aumento foi de

quase 100% se comparado com o EMQ de Z no gráfico do Quadro 4.5a, referente

ao primeiro processamento.

As Figuras 4.25 e 4.26 mostram que as discrepâncias das

coordenadas X, Y e Z do terceiro processamento foram equivalentes àquelas

resultantes do segundo processamento, com um pequeno aumento do EMQ

(Quadro 4.5c) se comparado com o gráfico do quadro 4.5b referente ao segundo

processamento.

Com vista nas Figuras 4.27, 4.28, verifica-se uma equivalência entre

as discrepâncias das coordenadas resultantes do quarto processamento, com

aquelas que resultantes do terceiro (Figuras 4.25 e 4.26) e segundo (Figuras 4.23 e

4.24) processamentos. O Quadro 4.5d mostra que estas diferenças não são

significativas, já que a variação dos valores de EMQ não são maiores que 0,055 mm,

se comparados com aqueles do Quadro 4.5c, por exemplo.

De maneira geral, o que se percebe é que os pontos triangulados

nos processamentos que fizeram uso das injunções de orientação relativa tiveram

um aumento significativo no EMQ das coordenadas Z. Este aumento foi ocasionado

pela propagação dos erros que antes eram percebidos nos parâmetros de

orientação exterior ajustados das imagens, conforme indicado nos gráficos da

Figuras 4.9 e 4.10 do experimento que tratou da calibração do sistema sem o uso de

injunções de orientação exterior.

Nos experimentos que consideraram o uso destas injunções, os

desvios-padrão dos parâmetros de orientação exterior sofreram uma redução dos

desvios discrepantes, que passaram a se apresentar como sendo equivalentes aos

desvios das imagens que possuíam uma melhor quantidade e distribuição dos alvos,

como pode ser verificado, por exemplo, pelos gráficos 4.12 e 4.13 do experimento da

Seção 4.2.3.1.

Conforme mencionado na Seção 4.2, os desvios-padrão dos

parâmetros de orientação exterior que se mostraram discrepantes estavam

associados com aquelas imagens que apresentavam uma deficiência quanto ao

número e distribuição dos alvos na imagem (Figuras 4.3 e 4.4). Sendo assim, deve-



112

se desconsiderar estas imagens do processamento e realizá-los novamente para

que se possa eliminar a influência destas deficiências nos pontos triangulados.

Com base nas Figuras 4.3 e 4.4, além dos gráficos das Figuras 4.8 e

4.9, foram eliminadas as imagens que apresentavam poucos alvos mal distribuídos.

Os 4 processamentos apresentados no fluxograma da Figura 4.20 foram refeitos

considerando somente as imagens 3, 9, 12, 16, 19 e 23 da câmara 1 e as imagens

4, 8, 10, 14, 16 e 19 da câmara 2. Desta vez, o número de pontos de apoio

necessários à solução da calibração foi igual a 8 (pontos 11, 12, 18, 19, 61, 62, 68 e

69 do Anexo II) e o número de pontos de verificação igual a 68.

Seguindo a mesma configuração dos processamentos apresentados

pelo fluxograma da Figura 4.20, salienta-se que somente a configuração do quarto

processamento foi modificada, passando a admitir o sistema como sendo não rígido

na aplicação das injunções de orientação relativa e de distância entre os CPs,

diferentemente do que ocorreu antes da eliminação de algumas imagens, quando o

sistema foi admitido como sendo fisicamente rígido (Figura 4.20).

Esta modificação se deu em função do segundo processamento ter

apresentado um resultado mais condizente com a realidade, após a eliminação das

imagens com poucos alvos mal distribuídos, sendo que a distância média estimada

neste processamento foi de 11,165 cm, com uma discrepância de 0,045 mm (11,165

-11,12 = 0,045) em relação àquela medida com o paquímetro (Seção 3.6.4).

Os gráficos das discrepâncias em X, Y e Z são apresentados na

seqüência, seguindo a mesma ordem definida anteriormente para os quatro

processamentos realizados com todas as imagens envolvidas nos experimentos da

Seção 4.2. O Quadro 4.6 fornece os gráficos dos EMQ das coordenadas

trianguladas nestes novos processamentos, de modo semelhante ao apresentado no

Quadro 4.5.



113

Figura 4.29 – Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

Figura 4.30 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do primeiro

processamento, realizado após a eliminação de algumas imagens.

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0



114

Figura 4.31 – Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500 ) resultantes do segundo


Figura 4.32 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do segundo


X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0



115

Figura 4.33 – Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro


Figura 4.34 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do terceiro


X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0



116

Figura 4.35 – Discrepâncias nas coordenadas X e Y (multiplicadas por 500) resultantes do quarto


Figura 4.36 - Discrepâncias nas coordenadas Z (multiplicadas por 500) resultantes do quarto


X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0

X

Y

3mm

ESCALA

1mm 0



117

Quadro 4.6 - Gráficos dos EMQ das coordenadas X, Y e Z trianguladas no (a) primeiro, (b) segundo, (c) terceiro e (d) quarto processamentos, realizados após a eliminação de algumas imagens.

.

0,906 0,9771,228

0

0,5

1

1,5

X Y Z

EM

Q (m

m)

0,906 0,801 0,938

0

0,5

1

1,5

X Y Z

EM

Q (m

m)

0,864 0,930 0,977

0,0

0,5

1,0

1,5

X Y Z

EM

Q (m

m)

0,914 0,810 0,938

0,0

0,5

1,0

1,5

X Y Z

EM

Q (m

m)

Após a eliminação das imagens, percebe-se uma melhora geral nos

resultados. Para o primeiro processamento, por exemplo, é perceptível a diminuição

das discrepâncias das coordenadas X e Y dos alvos que se encontram na periferia

do campo de calibração (Figura 4.29), já que estes alvos eram antes afetados

(Figura 4.21) pelos erros propagados pelas imagens que apresentavam poucos

pontos mal distribuídos.

O gráfico da Figura 4.30 mostra que aqueles alvos que se

apresentavam fora do plano da parede tiveram uma redução nas discrepâncias

calculadas para as coordenadas Z, se comparado com o gráfico da Figura 4.22. Por

outro lado, alguns alvos localizados no lado direito do campo apresentaram um

aumento das discrepâncias na coordenada Z (Figura 4.30).

A explicação para este aumento está no fato de que alguns alvos

passaram a apresentar uma menor quantidade de observações, devido à eliminação

de algumas imagens nestes novos processamentos. É o caso do alvo 203 (retângulo

pontilhado na Figura 4.22), que anteriormente à eliminação das imagens,

apresentava fotocoordenadas observadas em 6 imagens tomadas com a câmara 1 e

7 com a câmara 2, o que permitiu uma melhor triangulação deste ponto, e por

conseqüência uma menor discrepância da coordenada Z no espaço objeto. Após a

eliminação de algumas imagens, este alvo passou a apresentar observações

somente em 3 imagens tomadas com a câmara 1 e outras 3 com a câmara 2,

(a) (b)

(c) (d)



118

resultando em uma triangulação com menor redundância e, por conseqüência, uma

maior discrepância da coordenada Z, como destacado na Figura 4.30.

Fazendo-se uma comparação entre os 4 processamentos realizados

após a eliminação de algumas imagens, percebe-se que as discrepâncias das

coordenadas X e Y trianguladas no segundo processamento (Figura 4.31), de

maneira geral, apresentaram uma pequena redução em relação às discrepâncias

dos pontos triangulados no primeiro processamento (Figura 4.39). O EMQ da

coordenada X triangulada em ambos os processamentos foi similar e para a

coordenada Y triangulada no segundo processamento, este valor é quase 0,2 mm

menor (diferença pouco significativa), comparando-se os gráficos do Quadro 4.6b e

4.6a.

Analisando as Figuras 4.33 e 4.34, e Figuras 4.35 e 4.36 do terceiro

e quarto processamentos, respectivamente, percebe-se que as discrepâncias são

bem próximas daquelas calculadas a partir dos pontos triangulados no segundo

processamento (Figuras 4.31 e 4.32), com um pequeno aumento destes valores em

Z, para alguns pontos do pilar central (destacados na Figura 4.34) que foram

triangulados no terceiro processamento. Entre os quatro processamentos, o segundo

resultou em valores menores de EMQ para as coordenadas trianguladas, como

mostrado no Quadro 4.6b.



119

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

5.1 SÍNTESE DOS RESULTADOS

Verificou-se pelos experimentos realizados e apresentados na

Seção 4.1, que a solução de calibração individual das câmaras, seguida do cálculo

dos elementos de orientação relativa, não é a melhor solução para a calibração do

sistema compondo duas câmaras, pois os elementos de orientação relativa

estimados apresentam grande variação em comparação com o que se esperaria de

da variação física para um sistema onde as câmaras são rigidamente fixadas.

Os desvios-padrão destes elementos médios variaram de 0,7 a 1,2

cm para a distância média D , e 0,10 a 0,13o (6’ a 8’) para os elementos angulares

médios ω∆ , ϕ∆ e κ∆ , conforme apresentado pela Figura 4.2. Estas variações são

consideradas elevadas, admitindo-se um sistema fisicamente estável, o que

justificou o desenvolvimento de uma metodologia para a calibração simultânea de

ambas as câmaras, fazendo uso de injunções baseadas na estabilidade da

orientação relativa entre as duas câmaras que compõem o arranjo.

A Seção 4.2 tratou da avaliação experimental da metodologia

desenvolvida com recurso de calibração multicâmara. Foram realizados dois

processamentos de calibração, apresentados nas Seções 4.2.1 e 4.2.2, para que se

pudesse testar dois conjuntos de pontos de apoio: o primeiro levantado por

intersecção a vante (SILVA et al, 2001), apresentado no Anexo I; e o segundo

resultante de uma triangulação usando injunções de distância medidas no espaço

objeto com o paquímetro (GALO et al, 2007), apresentado no Anexo II. Estes dois

processamentos não envolveram o uso de injunções de orientação relativa e os

resultados alcançados indicaram uma redução de 30% nos desvios-padrão de todos

os parâmetros estimados na calibração, ao se adotar os pontos triangulados com

injunção de distância como apoio. Assim sendo, adotou-se o conjunto de pontos do

Anexo II como apoio de campo em todos os processamentos realizados ao longo da

Seção 4.

Apesar da redução de 30% nos desvios de todos os parâmetros

estimados na calibração da Seção 4.2.2, alguns dos parâmetros de orientação



120

exterior ainda apresentavam desvios altos que chegavam a 0,07o (4’) para os

ângulos e 2,4 cm para as coordenadas dos CPs (Figuras 4.9 e 4.10). Neste mesmo

experimento, os elementos de orientação relativa médios apresentaram seus

desvios em torno de 1,5’ para os ângulos e 0,6 cm para a distância entre os CPs

(Tabela 4.7)

Os experimentos da Seção 4.2.3 trataram da aplicação das

injunções de orientação relativa com dois conjuntos de pesos, fazendo-se duas

importantes considerações: a primeira de que o sistema era estável (Seção 4.2.3.1),

admitindo uma pequena variação da ordem de 10” nos ângulos de orientação

relativa e menor que 1 mm para a distância entre os CPs; e a segunda de que o

sistema era fisicamente rígido (Seção 4.2.3.2), admitindo variações menores que 1”

para os ângulos e 1 mm para a distância entre os CPs.

Com o experimento da Seção 4.2.3.1, os desvios-padrão dos

parâmetros de orientação exterior que se apresentavam elevados, sofreram uma

redução por conta da injunções de orientação relativa. Os gráficos das Figuras 4.12

e 4.13, mostraram que os desvios dos elementos angulares foram de no máximo

0,021o (aproximadamente 1’) e 0,5 cm para as coordenadas do CP. Neste

experimento, os elementos de orientação relativa médios apresentaram desvios-

padrão variando entre 3 e 35” para os ângulos e 0,02 mm para a distância entre os

CPs (Tabela 4.9). No entanto, a diferença entre esta distância média e aquela

medida com o paquímetro na Seção 3.6.4 foi de 1,123 cm.

No experimento da Seção 4.2.3.2, verificou-se uma redução

equivalente à anterior nos desvios-padrão dos parâmetros de orientação exterior

ajustados, conforme ilustrado pelos gráficos das Figuras 4.15 e 4.16. Para este

experimento a diferença entre a distância média estimada e a distância medida com

o paquímetro foi de 1,31 mm, sendo este um indicativo de maior acurácia por parte

dos elementos de orientação relativa médios, quando se considerou o sistema como

sendo fisicamente rígido.

O experimento da Seção 4.2.4 consistiu da repetição do experimento

da Seção 4.2.3.2, considerando adicionalmente mais uma injunção de distância

entre os CPs, medida diretamente com o paquímetro no suporte das câmaras. Os

resultados alcançados foram praticamente os mesmos alcançados na Seção 4.2.3.2,

sem o uso desta injunção adicional. Os desvios-padrão dos elementos de orientação

relativa médios foram menores que 1” para os ângulos e menor que 1 mm para a



121

distância entre os CPs (Tabela 4.13), a qual apresentou uma discrepância de 0,07

mm com relação à distância medida com o paquímetro.

A Seção 4.3 apresentou uma avaliação experimental dos efeitos

decorrentes no espaço objeto, do uso de injunções de acordo com as configurações

apresentadas pelo fluxograma da Figura 4.20, que foram as mesmas consideradas

nas calibrações apresentadas pela Seção 4.2. Em uma primeira etapa, estes

processamentos foram realizados novamente, considerando o mesmo número de

imagens, porém com uma grande quantidade de pontos fotogramétricos (72 pontos

de verificação) e somente 4 pontos de apoio.

As discrepâncias entre as coordenadas dos pontos triangulados em

cada processamento e as coordenadas dos pontos de checagem do Anexo III, bem

como o EMQ destas coordenadas trianguladas, mostraram que o uso de injunções

de orientação relativa na solução da calibração propagou os erros decorrentes da

má qualidade na estimativa da orientação exterior de algumas imagens que

apresentavam poucos alvos mal distribuídos.

Em um segundo passo, eliminou-se as imagens que apresentavam

esta deficiência, e os quatro processamentos do fluxograma da Figura 4.20 foram

realizados novamente. De maneira geral, o uso de injunções fez com que o EMQ

das coordenadas (Quadro 4.6b, c e d) fossem menor em relação aos EMQ das

coordenadas trianguladas sem o uso de injunções. Independente da configuração

quanto à aplicação destas injunções, percebe-se que o segundo processamento

apresentou menores EMQ (Quadro 4.6b), com a eliminação das imagens que

apresentavam deficiência quanto ao número e distribuição dos alvos.

5.2 CONCLUSÕES

As análises feitas a partir dos experimentos apresentados ao longo

das Seções 4.1, 4.2 e 4.3, permitem concluir que a metodologia desenvolvida com o

recurso de calibração multicâmara e uso de injunções de orientação relativa,

admitindo o sistema como sendo fisicamente estável, ou seja, uma pequena

variação da ordem de 10’’ para os ângulos de orientação relativa e menor do que 1

mm para a distancia entre os CPs, resulta em melhores resultados na solução da

calibração, desde que o processo envolva somente imagens com boas quantidade e

distribuição dos alvos.



122

Nos casos estudados, a inclusão de mais uma injunção de distância

medida entre os CPs não contribuiu significativamente para a melhoria dos

resultados.

5.3 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Com base no trabalho apresentado, verificou-se alguns elementos

que podem ser incorporados e testados na aplicação desta metodologia de

calibração, sendo apresentados como uma recomendação para trabalhos futuros.

A primeira recomendação é que se amplie o campo de calibração

com a colocação de uma maior quantidade de alvos na periferia deste campo. Antes

da aquisição da imagens é importante um planejamento visando a realização das

tomadas, de modo que se possa garantir uma melhor distribuição dos alvos nas

imagens. Deste modo, ao medir pontos por todo o quadro, garante-se a adequada

modelagem dos erros, como por exemplo a distorção radial. Recomenda-se, ainda,

que seja incorporada uma ferramenta estatística para a verificação da significância

dos parâmetros de orientação interior calibrados, já que este não era o objetivo

deste trabalho.

Sugere-se que esta metodologia seja aplicada considerando os

dados provenientes de um levantamento aerofotogramétrico, para que se possa

avaliar a estabilidade dos parâmetros estimados na calibração, já que os dados

resultantes de um levantamento aéreos estão sujeitos a outros efeitos que não

ocorrem no caso terrestre, tais como: refração fotogramétrica, aumento de

temperatura, etc. Recomenda-se também, neste caso, a verificação do efeito da

inclusão da injunção da distância medida entre os CPs.

Neste trabalho todas as observações foram tratadas como tendo a

mesma confiança, ou seja, o mesmo peso. Assim sendo, é recomendável que se

realize um estudo sobre o efeito da perspectiva das imagens na qualidade das

observações e, caso seja constatada uma significativa influência deste efeito, aplicar

correções que compensem este efeito.

Quanto à otimização do processo de calibração, recomenda-se que

algumas rotinas sejam otimizadas para que se diminua o tempo de processamento,

que pode vir a ser elevado para um conjunto grande de dados. Considerando 29

imagens e 2010 observações de fotocoordenadas, por exemplo, o tempo do



123

processamento executado em 6 iterações foi da ordem de 53 segundos. Estes

procedimentos de otimização são recomendados basicamente para a formação e

inversão da matriz normal do ajustamento, e procedimentos semelhantes àqueles

apresentados no Apêndice II podem ser testados. Recomenda-se também que seja

testada a viabilidade em se realizar o ajustamento pelo outro método apresentado

no Apêndice I.



124

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128

ANEXO I

Estes pontos foram originalmente levantados por intersecção a vante com o uso da estação total Sokkia SET5F (SILVA et al, 2001).

PONTOS LEVANTADOS POR INTERSECÇÃO A VANTE ID do Ponto X (m) Y (m) Z (m) σX (m) σY (m) σZ (m)

#11 100,2857 404,2653 -0,0180 0,001 0,001 0,003 12 101,3559 404,2411 -0,0131 0,001 0,001 0,003 13 102,5510 404,2339 -0,0086 0,001 0,001 0,003 14 103,8562 404,2405 -0,0025 0,001 0,001 0,003 15 105,1650 404,2990 0,2977 0,001 0,001 0,003 16 106,3642 404,2351 0,0010 0,001 0,001 0,003 17 107,6589 404,2386 0,0027 0,001 0,001 0,003 18 108,9338 404,2500 0,0075 0,001 0,001 0,003 #19 109,8704 404,2452 0,0101 0,001 0,001 0,003 21 100,2586 403,4078 -0,0145 0,001 0,001 0,003 22 101,3370 403,3822 -0,0095 0,001 0,001 0,003 23 102,5729 403,3785 -0,0049 0,001 0,001 0,003 24 103,8583 403,3807 -0,0009 0,001 0,001 0,003 25 105,1673 403,3931 0,2936 0,001 0,001 0,003 #26 106,3987 403,3784 0,0028 0,001 0,001 0,003 27 107,6726 403,3831 0,0031 0,001 0,001 0,003 28 108,9427 403,3910 0,0073 0,001 0,001 0,003 29 109,8776 403,3903 0,0109 0,001 0,001 0,003 31 100,2292 402,5317 0,0020 0,001 0,001 0,003 32 101,3176 402,5359 -0,0016 0,001 0,001 0,003 33 102,5842 402,5262 0,0038 0,001 0,001 0,003 34 103,8594 402,5257 0,0041 0,001 0,001 0,003 35 105,1710 402,5351 0,2928 0,001 0,001 0,003 36 106,4166 402,5228 0,0097 0,001 0,001 0,003 37 107,6789 402,5320 0,0112 0,001 0,001 0,003 38 108,9389 402,5353 0,0129 0,001 0,001 0,003 39 109,8800 402,5340 0,0119 0,001 0,001 0,003 41 100,0153 401,5495 -0,0078 0,001 0,001 0,003 42 101,3039 401,5338 0,0022 0,001 0,001 0,003 43 102,5855 401,5442 0,0092 0,001 0,001 0,003 44 103,8725 401,5369 0,0176 0,001 0,001 0,003 #45 105,1651 401,5599 0,3013 0,001 0,001 0,003 46 106,4292 401,5510 0,0152 0,001 0,001 0,003 47 107,6793 401,5475 0,0156 0,001 0,001 0,003 48 108,9403 401,5575 0,0170 0,001 0,001 0,003 49 109,8870 401,5397 0,0191 0,001 0,001 0,003 51 100,0038 400,7029 -0,0072 0,001 0,001 0,003 52 101,3169 400,7048 0,0031 0,001 0,001 0,003 53 102,6034 400,6778 0,0072 0,001 0,001 0,003 54 103,8993 400,6805 0,0154 0,001 0,001 0,003 55 105,1660 400,7125 0,3093 0,001 0,001 0,003 56 106,4345 400,6999 0,0120 0,001 0,001 0,003 57 107,6773 400,6909 0,0149 0,001 0,001 0,003 58 108,9397 400,6718 0,0160 0,001 0,001 0,003 59 109,8909 400,6799 0,0157 0,001 0,001 0,003 61 100,0000 400,0000 0,0000 0,001 0,001 0,003 62 101,3172 399,9773 -0,0006 0,001 0,001 0,003 63 102,6162 399,9620 0,0046 0,001 0,001 0,003 64 103,8929 399,9482 0,0135 0,001 0,001 0,003 65 105,1731 399,9171 0,3176 0,001 0,001 0,003 66 106,4177 399,9248 0,0151 0,001 0,001 0,003 67 107,6676 399,9124 0,0180 0,001 0,001 0,003 68 108,9344 399,9024 0,0133 0,001 0,001 0,003 #69 109,8883 399,8969 0,0169 0,001 0,001 0,003

# pontos de verificação



129

ANEXO II Pontos resultantes de uma triangulação fazendo uso de injunções de distâncias medidas no espaço objeto, com o paquímetro PANTEC que tem um alcance de 2000 mm e precisão de 0,020 mm na leitura (GALO et al, 2007).

PONTOS TRIANGULADOS COM INJUNÇÃO DE DISTÂNCIA

ID do Ponto X (m) Y (m) Z (m) σX (m) σY (m) σZ (m) #11 100,302 404,251 0,059 0,002 0,002 0,004 12 101,369 404,228 0,061 0,001 0,002 0,004 13 102,559 404,220 0,065 0,001 0,002 0,004 14 103,858 404,227 0,071 0,001 0,002 0,004 15 105,162 404,285 0,369 0,001 0,002 0,004 16 106,356 404,221 0,075 0,001 0,002 0,004 17 107,645 404,225 0,077 0,001 0,002 0,004 18 108,913 404,236 0,084 0,002 0,002 0,004 #19 109,845 404,231 0,089 0,002 0,002 0,004 21 100,275 403,397 0,060 0,001 0,002 0,004 22 101,350 403,373 0,065 0,001 0,002 0,004 23 102,581 403,369 0,069 0,001 0,002 0,004 24 103,860 403,371 0,073 0,001 0,002 0,004 25 105,164 403,383 0,368 0,001 0,002 0,004 #26 106,390 403,369 0,077 0,001 0,002 0,004 27 107,658 403,373 0,077 0,001 0,002 0,004 28 108,922 403,380 0,084 0,002 0,002 0,004 29 109,852 403,380 0,087 0,002 0,002 0,004 31 100,246 402,527 0,073 0,001 0,002 0,004 32 101,328 402,527 0,074 0,001 0,002 0,004 33 102,592 402,520 0,078 0,001 0,002 0,004 34 103,859 402,518 0,079 0,001 0,002 0,004 35 105,167 402,530 0,367 0,001 0,002 0,004 36 106,408 402,517 0,084 0,001 0,002 0,004 37 107,665 402,526 0,085 0,001 0,002 0,004 38 108,918 402,529 0,088 0,002 0,002 0,004 39 109,855 402,528 0,088 0,002 0,002 0,004 41 100,034 401,548 0,067 0,001 0,002 0,004 42 101,318 401,532 0,077 0,001 0,002 0,004 43 102,594 401,543 0,084 0,001 0,002 0,004 44 103,875 401,536 0,092 0,001 0,002 0,004 #45 105,162 401,559 0,373 0,001 0,002 0,004 46 106,420 401,551 0,089 0,001 0,002 0,004 47 107,665 401,547 0,090 0,001 0,002 0,004 48 108,920 401,556 0,092 0,002 0,002 0,004 49 109,862 401,539 0,094 0,002 0,002 0,004 51 100,021 400,705 0,069 0,002 0,002 0,004 52 101,329 400,708 0,077 0,001 0,002 0,004 53 102,611 400,681 0,082 0,001 0,002 0,004 54 103,901 400,684 0,089 0,001 0,002 0,004 55 105,160 400,714 0,379 0,001 0,002 0,004 56 106,425 400,703 0,087 0,001 0,002 0,004 57 107,663 400,694 0,090 0,001 0,002 0,004 58 108,919 400,674 0,091 0,002 0,002 0,004 59 109,866 400,683 0,091 0,002 0,002 0,004 61 100,017 400,005 0,076 0,001 0,002 0,004 62 101,330 399,984 0,074 0,001 0,002 0,004 63 102,624 399,968 0,080 0,001 0,002 0,004 64 103,894 399,954 0,087 0,001 0,002 0,004 65 105,170 399,924 0,390 0,001 0,002 0,004 66 106,409 399,931 0,089 0,001 0,002 0,004 67 107,653 399,919 0,092 0,001 0,002 0,004 68 108,914 399,909 0,087 0,002 0,002 0,004 #69 109,862 399,903 0,092 0,002 0,002 0,004

# pontos de verificação



130

ANEXO III

Os pontos apresentados abaixo foram utilizados como pontos de verificação na avaliação experimental da Seção 4.3. a maior parte destes pontos são os mesmos do Anexo II.

ID do Ponto X (m) Y (m) Z (m) ID do Ponto X (m) Y (m) Z (m)

11 100,302 404,251 0,059 37 107,665 402,526 0,085

12 101,369 404,228 0,061 38 108,918 402,529 0,088

13 102,559 404,220 0,065 39 109,855 402,528 0,088

14 103,858 404,227 0,071 45 105,162 401,559 0,373

21 100,275 403,397 0,060 46 106,420 401,551 0,089

22 101,350 403,373 0,065 47 107,665 401,547 0,090

24 103,860 403,371 0,073 48 108,920 401,556 0,092

31 100,246 402,527 0,073 49 109,862 401,539 0,094

32 101,328 402,527 0,074 55 105,160 400,714 0,379

33 102,592 402,520 0,078 57 107,663 400,694 0,090

34 103,859 402,518 0,079 58 108,919 400,674 0,091

41 100,034 401,548 0,067 59 109,866 400,683 0,091

42 101,318 401,532 0,077 66 106,409 399,931 0,089

43 102,594 401,543 0,084 67 107,653 399,919 0,092

44 103,875 401,536 0,092 68 108,914 399,909 0,087

51 100,021 400,705 0,069 69 109,862 399,903 0,092

52 101,329 400,708 0,077 113 106,357 405,618 0,072

54 103,901 400,684 0,089 114 108,930 405,612 0,082

200 98,850 404,271 1,562 115 110,433 405,620 0,091

101 99,969 409,283 0,054 121 115,174 402,559 0,393

107 97,332 407,148 0,049 124 111,777 400,669 0,094

106 94,454 407,341 0,337 125 115,178 400,661 0,399

123 98,115 400,697 0,067 202 106,933 404,229 1,583

111 101,411 405,644 0,061 203 111,347 404,184 1,597

112 103,882 405,619 0,068 102 105,187 409,289 0,355

15 105,162 404,285 0,369 103 110,158 409,275 0,089

16 106,356 404,221 0,075 105 105,168 408,085 0,361

17 107,645 404,225 0,077 201 103,272 404,216 1,573

18 108,913 404,236 0,084 108 112,654 407,172 0,102

19 109,845 404,231 0,089 65 105,170 399,924 0,390

25 105,164 403,383 0,368 63 102,624 399,968 0,080

27 107,658 403,373 0,077 119 112,833 404,290 0,096

28 108,922 403,380 0,084 64 103,894 399,954 0,087

29 109,852 403,380 0,087 110 99,997 405,657 0,057

35 105,167 402,530 0,367 62 101,330 399,984 0,074

36 106,408 402,517 0,084



131

APÊNDICE I

I.1 Ajustamento pelos mínimos quadrados com equações de condição e

injunções

O primeiro passo considerado no ajustamento pelos mínimos

quadrados com equações de condição e injunções, diz respeito à identificação do

modelo a ser utilizado, bem como o número mínimo de observações n0, de um total

de n, necessárias à determinação do modelo de maneira única. Para cada um dos

r = n - n0 graus de liberdade, dado que n > 0, escreve-se uma equação de condição

que relaciona o modelo às variáveis do problema.

Como já mencionado na Seção 2.31, a inclusão de u parâmetros

incógnitos ao problema, incrementa o número de equações de condição de acordo

com c = r + u até um número máximo de n equações (0 ≤ u ≤ n0). Ao assumir que u’

parâmetros são funcionalmente independentes, s = u – u’ representa o número de

parâmetros dependentes e conseqüentemente, s equações de injunções. Os

modelos matemáticos (GEMAEL, 1994) do método combinado e das injunções

funcionais são dados, respectivamente, por:

F(Xa, La) = 0 (I.1)

G(Xa) = 0 (I.2)

sendo

La Vetor das observações ajustadas;

Xa Vetor dos parâmetros ajustados.

Para proceder com a linearização dos modelos I.1 e I.2 a partir da

série de Taylor (GEMAEL, 1994), considerando que na maioria dos casos estes

modelos são não lineares, deve-se definir:

V = La - Lb (I.3)

X = Xa - X0 (I.4)



132

onde

Lb Vetor das observações;

V Vetor dos resíduos;

X0 Vetor dos parâmetros aproximados;

X Vetor de correções aos parâmetros aproximados.

Ambos os modelos linearizados resultam, respectivamente, nos dois

conjuntos de equações de condição e injunções:

0WXAVB1c1uuc1nnc=++ (I.5)

0W'XC1s1uus=+ (I.6)

para os quais

W = F(Lb, X0);

W’ = G (X0);

0bXLa

L

FB

,∂∂

= ;

b0,LXa

X

FA

∂∂

= ;

0XaX

GC

∂∂

= .

Para que as incógnitas atendam ao critério dos mínimos quadrados

e ao mesmo tempo satisfaçam as equações de condição, utiliza-se da técnica

lagrangiana conforme apresentado por Mikhail e Ackerman (1976) e Gemael (1994).

Prossegue-se com a resolução das equações normais de maneira a se obter o vetor

das correções aos parâmetros:

XUNX 1 ∂+−= − (I.7)



133

onde

xPAMAN 1T += − ;

xxWPWMAU 1T += − ;

T1BBPM −= ;

K'CA)M(AX T11T −−=∂ ;

]W'U[CN]CA)M[C(AK' 1T11T 1- −= −−− .

Referente às parcelas componentes da Equação I.7, a primeira

(-N-1U) representa as correções obtidas com o método combinado e a segunda (∂X)

a influência das injunções funcionais. Dentre os elementos envolvidos na estimativa

destas parcelas, define-se:

P Matriz dos pesos das observações de dimensões n x n;

K’ Vetor dos multiplicadores de lagrange, referente às injunções, de

dimensões s x 1;

Px Matriz diagonal dos pesos dos parâmetros, de dimensões u x u; e

Wx Vetor de dimensões u x 1, nulo na primeira iteração, passando a

acumular as correções aos parâmetros (Xi) a partir da segunda iteração

(MIKHAIL e ACKERMAN, 1976).

Considerando que o modelo matemático do ajustamento seja linear,

o resultado apresentado pela Equação I.7 representa os parâmetros ajustados ( aX ).

Para os casos em que o modelo é não linear, deve-se iniciar o ajustamento com

valores aproximados aos parâmetros (X0), somando-se estas quantidades às

correções (X) para obter os parâmetros ajustados, conforme mostra a Equação I.8.

Xa = X0 +X (I.8)

O vetor dos resíduos pode então ser estimado pela Equação I.9:



134

KBPV T1−= (I.9)

para

W)(AXMK 1 +−= −

sendo K o vetor dos multiplicadores de lagrange referente às equações de condição.

Somando-se os resíduos às observações, obtém-se o vetor das observações

ajustadas:

La = Lb + V. (I.10)

Para o caso em que o modelo matemático é não linear, outras

iterações serão necessárias até que o ajustamento atinja o ponto de convergência

(GEMAEL, 1994). O critério de convergência mais comum é aquele em que o

processo iterativo se encerra quando os valores das correções se tornam

suficientemente pequenos (Xi → 0), para todos os valores de i, como citado no

método anterior.

Os parâmetros ajustados em uma dada iteração são sempre

tratados como parâmetros aproximados na iteração seguinte, ou seja, a1-i

0i XX = . Já

as observações ajustadas na iteração anterior a1-i

0i LL = são utilizadas no cálculo das

matrizes A e B e do vetor W, ao invés das observações Lb que são utilizadas apenas

na primeira iteração.

Assim sendo, o vetor W calculado como função de Lb, sofre uma

pequena modificação e passa a ser calculado de maneira diferente. As Equações

I.11, I.12, I.13, I.14 e I.15 apresentam, respectivamente, as matrizes A, B e o vetor

W, além da matriz C e do vetor W’ referentes às injunções, calculados a partir da

segunda iteração:

0

i

0

iLX

a

i

i

,

X

FA

∂

∂= (I.11)



135

0

i

0

iXL

a

i

i

,

L

FB

∂

∂= (I.12)

)X,F(L)L(LBW 0i

0i

0ibii+−= (I.13)

0

i

X

a

i

iX

GC

∂

∂= (I.14)

)G(XW' 0ii = (I.15)

Portanto, baseado em Gemael (1994), na i-ésima iteração tem-se:

XUNX 1ii

∂+−= − (I.16)

sendo

xi1

iTii P)AM(AN += − ;

xxi1

iTii WP)WM(AU += − ;

)BP(BM T1

iiii−= ;

i

Ti

1i

1i

Tii

K'C)AM(AX −−=∂ ;

]W'UN[C]C)AM(A[CK'iiii

1-iiiiii

1T11T −= −−− .

i0i

ai

XXX += (I.17)

)WX(AMBPViiii

1-

i

T

i

1-

i+−= (I.18)

ibai

VLL += (I.19)

Finalizado o processo iterativo, estima-se a matriz variância-

covariância dos parâmetros ajustados com base nas matrizes calculadas na ultima

iteração (GEMAEL, 1994 e CAMARGO, 2003):



136

}ˆ 1-1T1T11TT1-1T2

0A)MC(A]CA)M[C(AC{IA)M(AσΣX

a−−−−− −= (I.20)

sendo I a matriz identidade de dimensões u x u e 2

0σ̂ a variância da unidade de peso

a posteriori estimada por:

suu-n

VPVPVVσ

inj

xxTx

T2

0 ++

+ˆ = (I.21)

sendo, inj

u os elementos tratados como injunções de peso.



137

APÊNDICE II

II.1 Algumas considerações numéricas e computacionais do ajustamento pelo

MMQ

A técnica de calibração on-the-job utiliza as equações de

colinearidade com parametrização adicional, em uma operação de ajustamento por

feixes de raios (Bundle Adjustment), conforme citado na Seção 2.2.4.1.

Um dos aspectos mais importantes a serem considerados neste

processo, diz respeito ao desenvolvimento de algoritmos para a formação e solução

das equações normais de maneira eficiente (MIKHAIL et al, 2001), dado o grande

volume de dados processados considerando um caso real (grande quantidade de

observações a parâmetros). Este procedimento visa, principalmente, a redução do

custo e armazenamento computacional no processo de ajustamento.

Andrade (2003) cita que cerca de 12 aerofotos, tomadas do campo

de São Luiz do Purunã na escala 1:11000, foram escolhidas para participar da

calibração em 1981, pelo método dos campos mistos. Destas 12 aerofotos, 312

pontos imagens de pontos foram medidos. Já a calibração utilizando-se do método

das câmaras convergentes exige que no mínimo três fotos sejam tiradas dôo campo

de calibração, sendo duas convergentes entre si de 90º e a outra com uma rotação

em torno do eixo z.

Deve-se, portanto, considerar a importância destes dois principais

aspectos relativos às equações normais do ajustamento: o processo de formação; e

o processo de redução, que serão ilustrados a partir de um exemplo apresentado

por (MIKHAIL et al, 2001). Este exemplo toma como base as equações de

colinearidade em uma operação de ajustamento por feixes de raios, permitindo

visualizar as vantagens destes procedimentos.

II.1.1 Processo de formação das equações normais

No exemplo a seguir, o processo de formação das equações

normais do ajustamento considera como modelo matemático as equações de

colinearidade para a imagem i e o ponto j, que na forma linearizada, são dadas por:



138

0WXAXAVB

2x13x1

''ij

2x3

''ij

6x1

'ij

2x6

'ij

2x1

ij

2x2

ij=+++ (II.1)

onde X' representa o vetor das correções aos parâmetros de orientação exterior da

imagem i e X' o vetor de correções das coordenadas do ponto j. Considerando que

a matriz ijB seja identidade (B = I) e ijP seja a matriz peso das observações de

dimensões 2 X 2, as equações normais do ajustamento referentes à Equação II.1,

são dadas por:

−=

ijijT''ij

ijijT'ij

''j

'i

''ijij

T''ij

'ijij

T''ij

''ijij

T'ij

'ijij

T'ij

WPA

WPA

X

X

APAAPA

APAAPA (II.2)

que podem ser escritas como

−=

''j

'i

''j

'i

''j

Tij

ij'i

U

U

X

X

NN

NN. (II.3)

Na Equação II.3, 'N contém os coeficientes referentes aos

parâmetros de orientação exterior da imagem, ''N os coeficientes relativos às

coordenadas dos pontos e N se refere a ambos. Com relação à estrutura da matriz

N, pode-se dizer que 'N é bloco diagonal com sub-blocos 6 x 6 referentes a cada

imagem envolvida no processo. Cada 'iN é formada pela soma de '

ijN sub-matrizes,

formadas a partir de cada 'ijA e

ijP de cada equação de colinearidade que se refere

à imagem i.

De modo similar, ''N também é bloco diagonal contendo blocos de

dimensões 3 x 3 referentes às coordenadas de cada ponto j. Cada ''jN é constituída

de ''ijN sub-matrizes, formadas a partir de ''

ijA e ij

P de cada equação de

colinearidade se referindo ao ponto j.



139

A matriz N é determinada para os pontos j que comparecem na

imagem i. Cada sub-matriz ij

N é formada a partir de 'ijA ,

ijP e ''

ijA para um conjunto

de equações de colinearidade que consideram a imagem i e o ponto j, pertencente a

esta imagem.

O procedimento convencional adotado na formação da Matriz N

consiste em se formar a matriz A e então realizar o produto ATPA, o que demanda

um grande esforço computacional. Além do mais a Matriz A é esparsa, sendo

constituída de muitos elementos nulos, o que implica num desperdício de tempo de

processamento e espaço de armazenamento. Logo, com base no conhecimento da

estrutura da matriz N, conforme explicitado no parágrafo anterior, pode-se lançar

mão de um algoritmo para otimização do processo de sua formação, tornando esse

procedimento menos dispendioso.

O algoritmo apresentado por (MIKHAIL et al, 2001), dado a seguir,

considera uma situação particular em que i = 3 imagens e j = 10 pontos. O método

de ajustamento consiste do método unificado de ajustamento pelos mínimos

quadrados com injunções apresentado na Seção 2.3.1, porém sem injunções

funcionais. Os pesos dos parâmetros de orientação exterior das imagens e dos

pontos, estimados a priori, são dados, respectivamente, por 'iP e ''

jP . Já os vetores

'iW e ''

jW são nulos na primeira iteração e a partir da segunda passam a receber os

respectivos vetores de correções aos parâmetros 'iX e ''

jX , estimados na iteração

anterior.



140

Algoritmo 1: Formação da matriz normal pelo método combinado com injunções de

peso aos parâmetros (MIKHAIL et al, 2001)

/*adicionando o peso dos parâmetros*/

para cada ponto j = 1 ...10

''j

''j=

''j

''j=

''j

WPU

PN

fim do loop para os pontos j

para cada imagem i= 1 ...3

'i

'i=

'i

'i=

'i

WPU

PN

para cada ponto j = 1 ...10

se o ponto j está sobre a imagem i

calcular 'ijA ,

''ijA e ijW

'ijij

T'ij+

'i=

'i APANN

ijijT'ij+

'i=

'i WPAUU

''ijij

T''ij+

''j=

''j APANN

ijijT''ij+

''i=

''i WPAUU

''ijij

T'ij=

ijAPAN


fim do loop para as imagens i

A Figura II.1 ilustra a estrutura da matriz N formada pelo algoritmo

apresentado, com redução do custo computacional e armazenamento, já que não é

necessário armazenar a matriz A inteira para que seja montada a matriz normal N.



141

Figura II.1 – Estrutura da matriz normal.

II.1.2 Processo de redução das equações normais

Os segundo aspecto a ser considerado na redução do custo

computacional no processo de ajustamento, diz respeito à redução e solução das

equações normais. Mikhail et al (2001) citam que o total de equações normais

constituem um grande sistema de equações com uma estrutura bem definida. A

vantagem de uma estrutura bem definida está no fato de que a dimensão das

matrizes a serem resolvidas podem ser reduzidas, eliminando-se a influência de um

conjunto de variáveis para resolução do outro, pelas Equações II.4

'''''''T

'''ij

''

UXNXN

UXNXN

=+

=+ (II.4)

'3N

'1N

'2N

''1N

''2N

''3N

''4N

''5N

''6N

''7N

''8N

''9N

''10N

1,1N

1,2N

1,3N

1,4N

1,5N

2,3N

2,4N

2,5N

2,6N

2,7N

3,6N

3,7N

3,8N

3,9N

3,10N

2,8N

simétrico

Fonte: Adaptado de Mikhail et al (2001)



142

A partir dos conjuntos de Equações II.4, isola-se ''X no segundo

conjunto, seguido da sua substituição no primeiro, conforme segue:

)( 'T-

'''-1''' XNUNX = (II.5)

'''-1'''T'-1'-' UNNU)XNNN(N −= (II.6)

Depois de estimado o vetor das correções ( 'X ) aos parâmetros de

orientação exterior das i imagens i, estima-se o vetor das correções às coordenadas

( ''X ) dos pontos por substituição. O conjunto de Equações II.6 refere-se às

equações normais reduzidas. Como pode-se perceber, esta solução envolve a

inversa de ''N . Como ''N é bloco diagonal sua inversa resulta na inversa dos sub-

blocos de dimensões 3x3 (referentes às coordenadas de cada um dos j pontos

considerados).

Mikhail et al (2001) apresentam um algoritmo para a redução das

equações normais. O caso particular do exemplo anterior que considera 3 imagens e

10 pontos não permite visualizar a estrutura bandada das equações normais

reduzidas. Para ilustrar esta estrutura, considera-se agora uma outra situação, na

qual se tem um bloco de fotografias composto por 18 imagens tomadas ao longo de

3 faixas (6 imagens por faixa), como mostra a Figura II.2.

As áreas em preto na Figura II.2, representam as sobreposições

entre as imagens da mesma faixa e da faixa vizinha. Cada uma destas regiões

compreende pontos de passagem comuns a cada três fotos da mesma faixa e das

faixas vizinhas.



143

Figura II.2 – bloco de fotografias contendo pontos de passagem comuns às fotos de uma mesma faixa e da faixa vizinha.

Considerando que as equações normais do ajustamento do bloco da

Figura II.2 tenham sido formadas, apresenta-se o algoritmo 2 que permite a

implementação do processo de redução.

Algoritmo 2: Redução das equações normais (MIKHAIL et al, 2001)

para cada imagem i = 1 ...18

para cada ponto j= 1 ...3

se o ponto j estiver sobre a imagem i

T

ij

''jij

-'ii=

'ii NNNNN

-1

''j

''jij

'i=

'i UNNUU

-1

para cada outra imagem k a qual o ponto j comparece

T

jk

''jij

-'ik=

'ik NNNNN

-1

fim do loop para as imagens K


fim do loop para as imagens i

foto 1

foto 18

faixa 1 faixa 2 faixa 3



144

Ao analisar o algoritmo 2, percebe-se que a contribuição de cada

ponto j que comparece na imagem i é subtraída das equações normais reduzidas.

Atenta-se ao fato de que, antes da redução, a sub-matriz 'N era bloco diagonal. Se

um determinado ponto j comparece somente na imagem i, sua contribuição é

subtraída apenas do bloco diagonal referente à imagem i. No entanto, se um ponto

comparecer em ambas as imagens i e k, sua contribuição passa a ser subtraída dos

blocos diagonais referentes a ambas imagens i e k e também da sub-matriz 'ikN fora

da diagonal principal. Deste modo, a estrutura de 'N , antes bloco diagonal, é

perdida e passa a apresentar uma estrutura bandada, vista na Figura II.3.

Figura II.3 – Estrutura das equações normais reduzidas.

simétrico

Largura da Banda (6+3) X 6= 54



145

A largura da banda referente às equações normais reduzidas é dada

em função quantidade de imagens por faixa, quantidade de imagens com pontos de

passagem em comum e número de parâmetros de cada imagem, que são 6, 3 e 6,

respectivamente, no caso do exemplo considerado. Logo, a distância entre a

diagonal principal da matriz reduzida e os sub-blocos com valores não nulos é

constante, dada por: (6 + 3) X 6 = 54.

A estrutura de uma matriz bandada permite vantagens no que diz

respeito à redução do custo computacional. Gemael (1994) aponta, por exemplo,

que no caso da decomposição de uma matriz bandada pelo método de CHOLESKI,

a triangular ET resultante será também bandada e de mesma largura da matriz

reduzida, o que implica em uma maior economia computacional, tanto quanto menor

for a largura da banda.



146

APÊNDICE III

III.1 Etapa de medição das fotocoordenadas com o aplicativo MID

Antes da etapa de medição das fotocoordenadas, realizou-se um

pré-processamento para que se pudesse deixar as imagens prontas para serem

medidas. O primeiro dos processos foi a conversão das imagens RGB, com tamanho

de 66 Mbyte, para escala de cinza. Esse procedimento permitiu reduzir para um

terço o tamanho das imagens já que cada pixel passa a ocupar apenas um byte (8

bits), em vez de três.

Este pré-processamento foi realizado com o uso do aplicativo

Irfanview v. 3.95 que permite alguns processamentos com imagens e dá suporte a

vários formatos, dentre eles o PGM. Estas imagens foram salvas com este formato

para que fosse possível medir suas coordenadas pelo aplicativo MID

(Monocomparador de Imagens Digitais), desenvolvido por Mario Luiz Lopes Reiss

(REISS, 2002).

Outro procedimento importante foi a rotação manual das imagens

que foram tiradas com a câmara rotacionada. Isso foi necessário devido a um sensor

de orientação que a câmara possui, o qual detecta quando a câmara está

rotacionada fazendo uma rotação na imagem de saída.

Seguiu-se então com a etapa de medição das fotocoordenadas

usando o aplicativo MID. A Figura III.1 ilustra a interface gráfica do aplicativo MID

utilizado na etapa de medição das fotocoordenadas de um alvo, com precisão

subpixel. A técnica denominada centro de massa foi utilizada para o refinamento

subpixel das fotocoordenadas.



147

Figura III.1 – Utilização do aplicativo MID na medição das coordenadas imagem

Fotocoordenadas medidas com precisão subpixel



148

APÊNDICE IV

IV.1 Arquivos de entrada e saída do programa CMC

Apresenta-se na seqüência os arquivos de entrada e saída do

programa CMC, bem como cada elemento contido nestes arquivos, visualizados

pelo aplicativo TextPad 4.7.3. A Figura IV.1 ilustra o arquivo param.prj.

Figura IV.1 – Arquivo de entrada param.prj.

Na Figura IV.1, os elementos contidos no arquivo são enumerados

de 1 a 11sendo:

1) Nome do arquivo de parâmetros de orientação interior;

2) Nome do arquivo de parâmetros de orientação exterior;

3) nome do arquivo de pontos de apoio;

4) nome do arquivo de observações (fotocoordenadas medidas);

5) Número de câmaras consideradas na calibração;

6) Opção de entrada para as fotocoordenadas: 1 = (coluna,linha) e 2 = (x,y);

7) Opções de georreferenciamento direto: 1 = sem GPS/INS; 2 = com GPS; 3 =

com GPS/INS;

8) Número de faixas de vôo. Para o caso terrestre seleciona-se a opção de

georreferenciamento direto (1) e coloca-se o número de faixas igual a 0;

9) Critério de convergência do ajustamento;

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11



149

10) Variância da unidade de peso a priori;

11) Número máximo de iterações no ajustamento.

A Figura IV.2 ilustra o arquivo de parâmetros de orientação interior.

Salienta-se que a ilustração apresenta apenas um conjunto de parâmetros referente

a uma única câmara. Logo, considerando a calibração de duas câmaras, por

exemplo, um segundo conjunto de parâmetros deve ser colocado na linha seguinte

ao final do primeiro conjunto.

Figura IV.2 – Arquivo de orientação interior .iop.

Os elementos contidos no arquivo, enumerados de 1 a 7 (Figura

IV.2) são:

1) Largura e altura da imagem na unidade de pixels;

2) Tamanho do pixel em x e y na unidade de milímetros;

3) Distância focal da câmara e desvio padrão na unidade de milímetros;

4) Coordenadas do ponto principal (x0,y0) e desvios padrão (mm);

5) parâmetros de distorção radial k1, k2, k3 e seus respectivos desvios padrão;

6) Parâmetros de distorção descentrada p1, p2 e desvios padrão;

7) Parâmetros de afinidade A, B e desvios padrão

Com vista na Figura IV.2, explica-se que os desvios com valores “-1”

significam que o respectivo parâmetro não é considerado no ajustamento. No

exemplo visto pela mesma figura, os parâmetros A e B são desconsiderados na

calibração. A Figura IV.3 apresenta o arquivo dos parâmetros de orientação exterior.

1 2 3 4 5 6 7



150

Figura IV.3 – Arquivo de orientação exterior .eop.

Na Figura IV.3, os elementos contidos no arquivo são enumerados

de 1 a 5 e representam:

1) Índices da câmara e da imagem, parâmetros de orientação exterior ω, φ, k,

X0, Y0 e Z0 e seus respectivos desvios, time tag (instante da aquisição) e

número da faixa;

2) Palavra reservada que indica o fim da leitura das imagens, e que o próximo

valor a ser lido é o numero de orientações relativas;

3) Número de orientações relativas que pode ser 0 (somente uma câmara sendo

calibrada), 1 (duas câmaras sendo calibradas) ou 2 (para três câmaras sendo

calibradas);

4) Ordem das câmaras sendo calibradas, sendo a mesma ordem referente aos

conjuntos de parâmetros de orientação interior colocado no arquivo .iop

(Figura IV.2);

5) Valor aproximado da distância entre os CPs, conhecido a priori, seguido do

erro que se espera ter para esta distância devido à instabilidade física do

arranjo de câmaras;

6) Valor aproximado dos ângulos de orientação relativa, conhecidos a priori,

seguidos do erro angular esperado, devido a instabilidade física do arranjo;

7) Palavra reservada que indica a existência de uma medida de distância entre

os CPs, medida por um paquímetro. A posição física dos do CP de cada

câmara pôde ser medida com base nas informações técnicas fornecidas pelo

fabricante da câmara conforme mencionado na Seção 3.6.4;

8) Distância medida entre os CPs seguida do seu erro de medida.

1 2 3 4 5 6 7 C



151

Com relação aos elementos que comparecem no arquivo dos

parâmetros de orientação exterior, explica-se que o time tag permite identificar as

imagens que foram tomadas num mesmo instante. Deste modo, é possível ordenar

automaticamente os pares de imagens tomadas por uma e outra câmara

respectivamente, sendo esta ordenação necessária na elaboração das equações de

injunção. Salienta-se ainda que apesar do projeto tratar da calibração de um sistema

dual, o programa implementado permite que se calibre até três câmaras

simultaneamente, inclusive com possibilidade de injunção de orientação relativa

entre elas. No entanto, os experimentos a serem apresentados considerarão apenas

duas câmaras sendo calibradas.

Outro aspecto a ser esclarecido, diz respeito aos pesos utilizados

nas injunções de orientação relativa. Este peso, adotado para cada uma das três

equações que envolvem os elementos de orientação (Equações 3.9, 3.10 e 3.11) e

outro para a equação que relaciona as distâncias entre os CPs (Equação 3.12), são

calculados por uma propagação do erro esperado por conta da instabilidade física

do arranjo.

Para tanto, deve-se entrar com um valor aproximado para a

distância (em metros) e o erro esperado, e na linha seguinte, valores aproximados

para os ângulos (em graus decimais) e o erro angular esperado. Estes erros serão

propagados para as equações de injunções e os respectivos pesos poderão ser

calculados em função deste erro propagado. A Figura IV.4 ilustra um trecho do

arquivo de pontos de apoio



152

Figura IV.4 - Arquivo de pontos de apoio .gcp.

Pela Figura IV.4, verifica-se que cada linha representa o identificador

do ponto de apoio e suas respectivas coordenadas X Y Z, seguidas dos seus

desvios padrão. Percebe-se ainda, que o ponto 19, por exemplo, é antecedido pelo

caracter “#”, utilizado para desconsiderar este ponto de controle no processamento.

Logo, todos os pontos de identificador 19 medidos nas imagens, resultarão em um

ponto fotogramétrico triangulado. Este procedimento é normalmente utilizado para

que se possa checar os resultado da triangulação, por comparação com o ponto de

controle desconsiderado no processamento. A Figura IV.5, representa o arquivo das

fotocoordenadas medidas nas imagens.

Figura IV.5 – Arquivo de observações .img.

Na Figura IV.5, cada linha contém os identificadores da câmara, da

imagem e do ponto, além das coordenadas coluna e linha (ou x e y), e seus desvio

padrão. A Figura IV.6 a seguir, ilustra algumas partes do arquivo de saída

relatorio.rep.



153

Figura IV.6 - Arquivo de saída relatorio.rep.

Pela Figura IV.6a, verifica-se que o relatório de saída apresenta

documentados: o tempo de processamento e a data em que a calibração foi

processada. Na Figura IV.6b, pode-se visualizar os nomes dos arquivos de entrada

no processo e os arquivos de saída. Já a Figura IV.6c mostra alguns dados do

processo, documentados no arquivo relatorio.rep, os quais incluem o número de

observações, parâmetros, pontos de apoio, número de iterações no ajustamento

entre outros.

O arquivo relatorio.rep apresenta todos os dados de saída do

processo de calibração, que incluem os parâmetros de orientação interior calibrados,

os parâmetros de orientação exterior ajustados, os elementos de orientação relativa,

além das coordenadas ajustadas, dos pontos no espaço objeto. Todos estes

parâmetros calibrados e ajustados são apresentados neste arquivo, seguidos dos

seus respectivos desvios padrão.

(a)

(b) (c)



154

APÊNDICE V

V.1 Elementos de orientação exterior ajustados no experimento da Seção 4.2.1

Os parâmetros de orientação exterior ajustados, apresentado na

Tabela V.1, resultaram do processamento de calibração do sistema dual, sem

injunção de orientação relativa, considerando ainda os pontos de apoio

originalmente levantados (Anexo I).

Tabela V.1 - Elementos de orientação exterior ajustados no experimento da Seção 4.2.1.

Imagem. ω(º) φ(º) k(º) X0 (m) Y0 (m) Z0 (m)

(C1) 3 8,471800 -0,126648 92,439729 95,413 400,982 25,020

(C2) 4 11,351102 -36,738864 -85,791892 95,296 400,997 24,992

(C1) 4 32,549543 -16,659775 10,390656 95,324 401,030 25,049

(C2) 5 -6,065981 -20,321372 178,507679 95,327 401,130 25,083

(C1) 6 -8,509120 -26,115680 175,767043 95,342 401,132 25,083

(C2) 6 31,668859 -22,272005 13,632902 95,346 401,023 25,064

(C1) 9 11,299786 15,456423 90,430523 105,000 401,012 19,921

(C2) 8 12,461316 -21,177064 -88,738180 104,901 401,019 19,923

(C1) 11 34,648986 -4,762369 1,436380 104,959 401,056 19,987

(C2) 9 -2,209400 -5,546071 178,824572 104,967 401,149 20,019

(C1) 12 12,760940 -25,899573 -90,177059 104,896 401,131 19,983

(C2) 10 11,965739 10,753917 90,540359 104,994 401,122 19,996

(C1) 13 -5,174068 -0,954459 177,611142 104,962 401,149 20,001

(C2) 11 31,512186 1,298365 -0,836069 104,963 401,052 19,978

(C1) 16 14,294399 17,082413 89,958120 104,876 401,041 16,169

(C2) 14 15,190142 -19,590884 -89,219199 104,766 401,043 16,173

(C1) 17 36,252054 -0,508474 1,290707 104,830 401,068 16,219

(C2) 15 -0,465863 -2,130370 181,232229 104,818 401,168 16,268

(C1) 19 13,916876 -25,955290 -87,493509 104,762 401,152 16,234

(C2) 16 11,490396 10,618028 92,996629 104,862 401,146 16,247

(C1) 21 34,341741 -6,031758 5,092275 104,801 401,072 16,220

(C2) 17 -2,599116 8,715664 180,979075 104,805 401,173 16,254

(C1) 23 17,254990 9,103267 80,327351 119,046 401,249 12,776

(C2) 19 12,238004 12,658319 -96,148607 118,954 401,247 12,835

(C1) 26 -4,753423 38,036591 182,454732 119,077 401,383 12,856

(C2) 22 39,749705 31,732578 -23,133213 119,056 401,278 12,840

(C1) 5 15,354299 -42,128519 -82,719989 95,273 401,109 25,042

(C2) 20 -2,137733 35,687900 179,531518 119,074 401,381 12,874

(C2) 21 19,430695 47,903228 81,363154 119,088 401,359 12,843



155


Os parâmetros de orientação exterior ajustados (Tabela V.2),

resultaram do processamento de calibração do sistema dual, sem injunção de

orientação relativa, considerando os pontos de apoio triangulados com injunção de

distância no espaço objeto (Anexo II).

Tabela V.2 - Elementos de orientação exterior ajustados no experimento da Seção 4.2.2. imagem ω(º) φ(º) k(º) X0 (m) Y0 (m) Z0 (m) (C1) 3 8,453698 -0,128357 92,440081 95,452 400,988 24,979

(C2) 4 11,353884 -36,737340 -85,788349 95,340 400,999 24,945

(C1) 4 32,541523 -16,644721 10,386118 95,368 401,035 25,011

(C2) 5 -6,062024 -20,319636 178,511077 95,371 401,132 25,038

(C1) 6 -8,513264 -26,122153 175,768198 95,386 401,133 25,040

(C2) 6 31,662632 -22,252509 13,625384 95,397 401,025 25,026

(C1) 9 11,280270 15,466831 90,433517 105,000 401,018 19,903

(C2) 8 12,466848 -21,175572 -88,735077 104,900 401,020 19,900

(C1) 11 34,655583 -4,741869 1,431063 104,962 401,057 19,968

(C2) 9 -2,207833 -5,541818 178,826672 104,967 401,151 19,997

(C1) 12 12,771011 -25,906844 -90,169233 104,894 401,133 19,960

(C2) 10 11,954721 10,758657 90,540248 104,994 401,127 19,976

(C1) 13 -5,179305 -0,959635 177,613298 104,960 401,151 19,981

(C2) 11 31,513571 -1,284687 -0,840874 104,966 401,053 19,957

(C1) 16 14,274962 17,088887 89,961805 104,874 401,046 16,169

(C2) 14 15,195062 -19,587753 -89,215859 104,765 401,044 16,168

(C1) 17 36,246499 -0,491546 1,289342 104,831 401,072 16,221

(C2) 15 -0,466632 -2,128323 181,233733 104,816 401,171 16,265

(C1) 19 13,928085 -25,961733 -87,485214 104,761 401,154 16,229

(C2) 16 11,479140 10,622203 92,996698 104,861 401,151 16,244

(C1) 21 34,356057 -6,009415 5,089574 104,804 401,071 16,216

(C2) 17 -2,599209 -8,714655 180,980356 104,805 401,175 16,250

(C1) 23 17,238244 49,102702 80,339561 118,976 401,251 12,790

(C2) 19 12,245513 12,641522 -96,147174 118,881 401,246 12,849

(C1) 26 -4,752544 38,020408 182,454928 119,006 401,382 12,871

(C2) 22 39,748006 31,741441 -23,132042 118,988 401,281 12,850

(C1) 5 15,366326 -42,135376 -82,707263 95,317 401,112 24,994

(C2) 20 -2,132009 35,677812 179,526998 119,002 401,381 12,888

(C2) 21 19,427053 47,895297 81,365061 119,017 401,360 12,856



156

V.3 Elementos de orientação exterior ajustados no experimento da Seção 4.2.3.1

Os parâmetros de orientação exterior apresentados na Tabela V.3

foram ajustados na calibração do sistema dual, que considerou o sistema como

sendo fisicamente estável (variações em torno de 10’’ e menores que 1 mm para os

elementos de orientação relativa) na aplicação da injunção de orientação relativa. Os

pontos de apoios considerados foram aqueles do Anexo II, triangulados com

injunção de distância no espaço objeto.

Tabela V.3 - Elementos de orientação exterior ajustados no experimento da Seção 4.2.3.1. Imagem. ω(º) φ(º) k(º) X0 (m) Y0 (m) Z0 (m)

(C1) 3 8,480774 -0,044995 92,445984 95,439 400,985 25,021

(C2) 4 11,351265 -36,708073 -85,791058 95,358 401,004 24,932

(C1) 4 32,591580 -16,677217 10,411205 95,346 401,037 25,071

(C2) 5 -6,070690 -20,319256 178,511527 95,381 401,141 25,016

(C1) 6 -8,607704 -26,090482 175,729566 95,359 401,129 25,078

(C2) 6 31,639294 -22,286572 13,623614 95,393 401,043 24,997

(C1) 9 11,330424 15,577661 90,414173 105,010 401,008 19,936

(C2) 8 12,492802 -21,173724 -88,719245 104,900 401,017 19,882

(C1) 11 34,692551 -4,782658 1,455888 104,956 401,053 20,031

(C2) 9 -2,228858 -5,537007 178,826252 104,972 401,164 19,981

(C1) 12 12,706332 -26,004948 -90,171424 104,882 401,133 19,993

(C2) 10 11,957745 10,764998 90,535972 104,999 401,129 19,957

(C1) 13 -5,250007 -0,912139 177,615408 104,961 401,141 20,018

(C2) 11 31,535511 -1,319564 -0,829465 104,951 401,049 19,938

(C1) 16 14,320244 17,176646 89,952131 104,876 401,037 16,198

(C2) 14 15,180780 -19,596550 -89,214050 104,763 401,053 16,154

(C1) 17 36,290483 -0,612112 1,328057 104,803 401,060 16,279

(C2) 15 -0,475499 -2,124880 181,233210 104,819 401,178 16,251

(C1) 19 13,867720 -26,083686 -87,485634 104,745 401,155 16,252

(C2) 16 11,481930 10,628773 92,991898 104,865 401,152 16,229

(C1) 21 34,371821 -6,037908 5,089561 104,799 401,074 16,271

(C2) 17 -2,640529 -8,718544 180,980569 104,807 401,191 16,236

(C1) 23 17,323832 49,201985 80,275364 118,998 401,245 12,810

(C2) 19 12,227920 12,657818 -96,150589 118,879 401,254 12,839

(C1) 26 -4,868743 38,075907 182,540936 119,028 401,378 12,889

(C2) 22 39,768323 31,757531 -23,129359 118,976 401,286 12,827

(C1) 5 15,312153 -42,237326 -82,725633 95,288 401,110 25,034

(C2) 20 -2,120717 35,668043 179,517389 118,993 401,382 12,878

(C2) 21 19,423602 47,884636 81,364030 119,007 401,363 12,844



157

V.4 Elementos de orientação exterior ajustados no experimento da Seção 4.2.3.2

Os parâmetros de orientação exterior apresentados na Tabela V.4

foram ajustados na calibração do sistema dual, que considerou o sistema como

sendo fisicamente rígido (variações menores que 1’’ e 1 mm para os elementos de

orientação relativa) na aplicação da injunção de orientação relativa. Os pontos de

apoios considerados foram aqueles do Anexo II, triangulados com injunção de

distância no espaço objeto.

Tabela V.4 - Elementos de orientação exterior ajustados no do experimento da Seção 4.2.3.2 Imagem. ω(º) φ(º) k(º) X0 (m) Y0 (m) Z0 (m)

(C1) 3 8,467062 -0,023791 92,442278 95,442 400,985 25,016

(C2) 4 11,361407 36,708370 -85,788101 95,363 401,001 24,937

(C1) 4 32,594431 16,654470 10,403469 95,352 401,045 25,069

(C2) 5 -6,082369 20,317478 178,506655 95,383 401,139 25,017

(C1) 6 -8,628230 26,105505 175,719261 95,359 401,128 25,075

(C2) 6 31,634219 22,279496 13,623500 95,394 401,052 24,999

(C1) 9 11,323452 15,600285 90,413567 105,010 401,007 19,932

(C2) 8 12,509743 21,163882 -88,717114 104,908 401,011 19,885

(C1) 11 34,687886 -4,759214 1,448706 104,961 401,062 20,031

(C2) 9 -2,241103 -5,535481 178,825469 104,973 401,163 19,981

(C1) 12 12,730295 26,006321 -90,164402 104,888 401,130 19,993

(C2) 10 11,956384 10,768617 90,536134 104,995 401,128 19,957

(C1) 13 -5,258932 -0,919082 177,615222 104,963 401,137 20,015

(C2) 11 31,528961 -1,305281 -0,836473 104,956 401,057 19,937

(C1) 16 14,303861 17,174908 89,957878 104,870 401,038 16,198

(C2) 14 15,188610 19,597515 -89,213736 104,767 401,052 16,155

(C1) 17 36,276298 -0,589691 1,326124 104,806 401,069 16,282

(C2) 15 -0,486148 -2,124871 181,232796 104,820 401,177 16,251

(C1) 19 13,894122 26,073920 -87,476354 104,753 401,151 16,254

(C2) 16 11,484030 10,634006 92,991173 104,863 401,151 16,228

(C1) 21 34,347530 -6,016376 5,085235 104,801 401,086 16,276

(C2) 17 -2,655874 -8,717177 180,978870 104,808 401,191 16,236

(C1) 23 17,307570 49,218421 80,286940 118,996 401,245 12,810

(C2) 19 12,237564 12,674946 -96,157485 118,886 401,253 12,835

(C1) 26 -4,888525 38,064048 182,555513 119,027 401,377 12,887

(C2) 22 39,751260 31,775814 -23,123749 118,975 401,301 12,822

(C1) 5 15,338551 42,244391 -82,711080 95,293 401,107 25,036

(C2) 20 -2,136653 35,665755 179,529129 118,993 401,382 12,878

(C2) 21 19,424461 47,896505 81,364086 119,006 401,362 12,844



158


A Tabela V.5 apresenta os parâmetros de orientação exterior

resultantes do ajustamento realizado na calibração do sistema dual, no experimento

da Seção 4.2.4, que considerou o uso da injunção de orientação relativa mais uma

injunção de distância entre os CPs medidas com o paquímetro. O sistema foi

admitido como fisicamente rígido (variações menores que 1’’ e 1 mm para os

elementos de orientação relativa) e os pontos de apoios considerados foram aqueles

do Anexo II.

Tabela V.5 - Elementos de orientação exterior ajustados no experimento da Seção 4.2.4. Imagem. ω(º) φ(º) k(º) X0 (m) Y0 (m) Z0 (m) (C1) 3 8,467062 -0,023791 92,442278 95,442 400,985 25,016

(C2) 4 11,361407 36,708370 -85,788101 95,363 401,001 24,937

(C1) 4 32,594431 16,654470 10,403469 95,352 401,045 25,069

(C2) 5 -6,082369 20,317478 178,506655 95,383 401,139 25,017

(C1) 6 -8,628230 26,105505 175,719261 95,359 401,128 25,075

(C2) 6 31,634219 22,279496 13,623500 95,394 401,052 24,999

(C1) 9 11,323452 15,600285 90,413567 105,010 401,007 19,932

(C2) 8 12,509743 21,163882 -88,717114 104,908 401,011 19,885

(C1) 11 34,687886 -4,759214 1,448706 104,961 401,062 20,031

(C2) 9 -2,241103 -5,535481 178,825469 104,973 401,163 19,981

(C1) 12 12,730295 26,006321 -90,164402 104,888 401,130 19,993

(C2) 10 11,956384 10,768617 90,536134 104,995 401,128 19,957

(C1) 13 -5,258932 -0,919082 177,615222 104,963 401,137 20,015

(C2) 11 31,528961 -1,305281 -0,836473 104,956 401,057 19,937

(C1) 16 14,303861 17,174908 89,957878 104,870 401,038 16,198

(C2) 14 15,188610 19,597515 -89,213736 104,767 401,052 16,155

(C1) 17 36,276298 -0,589691 1,326124 104,806 401,069 16,282

(C2) 15 -0,486148 -2,124871 181,232796 104,820 401,177 16,251

(C1) 19 13,894122 26,073920 -87,476354 104,753 401,151 16,254

(C2) 16 11,484030 10,634006 92,991173 104,863 401,151 16,228

(C1) 21 34,347530 -6,016376 5,085235 104,801 401,086 16,276

(C2) 17 -2,655874 -8,717177 180,978870 104,808 401,191 16,236

(C1) 23 17,307570 49,218421 80,286940 118,996 401,245 12,810

(C2) 19 12,237564 12,674946 -96,157485 118,886 401,253 12,835

(C1) 26 -4,888525 38,064048 182,555513 119,027 401,377 12,887

(C2) 22 39,751260 31,775814 -23,123749 118,975 401,301 12,822

(C1) 5 15,338551 42,244391 -82,711080 95,293 401,107 25,036

(C2) 20 -2,136653 35,665755 179,529129 118,993 401,382 12,878

(C2) 21 19,424461 47,896505 81,364086 119,006 401,362 12,844

CALIBRAÇÃO DE UM SISTEMA DUAL DE CÂMARAS DIGITAIS · processamento. Os resultados com dados...

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