CAP 14 FLUIDOS - paginapessoal.utfpr.edu.br

MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 1 14.1 Fluidos. Os fluidos compreendem os líquidos e gases. Os líquidos escoam sob a ação da gravidade, ocupando as regiões mais baixas do recipiente que os contêm. Os gases se expandem até ocuparem todo o volume do recipiente.

Base da engenharia hidráulica, mas é aplicado em outras áreas: Eng. Nuclear – fluido no sistema hidráulico de um

reator; Eng. Médica – fluido sanguíneo nas artérias do

paciente; Eng. Ambiental – drenagem de depósito de lixo ou

irrigação de plantações; Eng. Naval – resgate em águas profundas; Eng. Civil – tubulação hidráulica das edificações; Eng. Alimentos – Escoamento de alimentos em

tubulações e embalagens.

MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 2

14.3 Densidade e pressão Propriedade das substâncias representada pela razão entre sua massa e seu volume.

volumemassadensidade

ou simplesmente:

Vm

A letra grega (rô) é normalmente usada para simbolizar a densidade Unidades:

No sistema cgs é 3cmg

No sistema internacional (SI) é 3mkg

Uma unidade conveniente de volume para os fluidos é o litro (L):

3333 10101 mcmL A 4oC, a massa específica da água é

3/00,1/00,1/00,1 cmgmLgLkg . Se a massa específica de um corpo for maior que a da

água, ele afunda na água; Se a massa específica de um corpo for menor que a da

água, ele flutua na água. A razão entre a massa específica de uma substância e a

massa específica da água é chamada de densidade relativa ou simplesmente densidade.

Algumas densidades ( 3/ mkg ) Ósmio 22,5 x103 Ouro 19,3x103

Mercúrio 13,6x103

Chumbo 11,3x103 Cobre 8,93x103 Ferro 7,96 x103 Terra (média) 5,52 x103 Cimento 2,7-3,0 x103 Alumínio 2,7 x103 Vidro (comum) 2,4-2,8 x103 Osso 1,7-2,0 x103 Água do mar 1,025 x103 Água 1,00 x103 Gelo 0,92 x103 Álcool (etanol) 0,806 x103 Gasolina 0,68 x103 Ar 1,293 Vapor de água 0,6 (100oC) Hélio 0,1786


A Densidade relativa de um corpo, ou simplesmente densidade, é igual ao peso de um volume igual de água.

águaEw

águadevolumeigualdepesoarnocorpodopeso

Densidade

Ex. A densidade do alumínio é 2,7. Isto quer dizer que a massa do alumínio tem 2,7X a massa de água para um mesmo volume. Os sólidos e líquidos dilatam muito pouco com a

variação da temperatura, não influenciando significativamente no volume;

Os gases se expandem muito com a variação da temperatura e pressão, que precisam ser especificadas ao se informar a densidade do gás.

Exemplo: Um frasco de 200mL está cheio de água a 40C. Quando o frasco é aquecido a 800C, 6g de água derramam para fora do frasco. Qual a massa específica da água a 800C? (Suponha que a expansão do frasco seja desprezível.)

gcmcmgVmVm 200)200()/00,1( 33

perdeu 6g, logo: 3

3

,, /97,0

200194 cmg

cmg

Vm

Exercício: Um cubo metálico maciço tem 8cm de aresta e 4,08kg de massa. (a) Qual a massa específica do cubo? (b) Se o cubo fosse feito de um único elemento listado na tabela anterior, qual seria esse elemento? (Resp. 7,97kg/L).

Exercício: Uma barra de ouro tem 5cmx10cmx20cm. Qual a sua massa? (19,3kg).


Pressão num Fluido Quando um corpo está imerso num fluido, sofre a ação de uma força perpendicular em cada ponto de sua superfície. Essa força por unidade de área é chamada de pressão.

AFP

No SI, pressão é dada em 2/ mN , chamada de Pascal (Pa).

PamN 1/1 2 Outras unidades:

)/( 2inlb libra por polegada quadrada – inglês; )(atm pressão atmosférica

)/70,14760325,1011( 2inlbmmHgkPaatm

14.4 Fluidos em Repouso: Para suportar o peso de uma coluna de líquido de altura

h , a pressão na base da coluna tem que ser maior do que no topo. O peso da coluna de líquido é dado por:

hgAgVmgw )(

Se 0P é a pressão no topo e P é a pressão na base, a força resultante orientada para cima, exercida por essa diferença de pressão, é

APPA 0 . Igualando essa força ao peso da coluna, obtém-se:

hgAAPPA 0 ou hgPP 0

hgPP 0 , com constante.

h

0P

P

A


Exercício: A pressão de 2atm corresponde a que profundidade da superfície de um lago? (a pressão na superfície é de 1atm). Resp. 10,3m

Exemplo Uma represa retangular, de 30m de largura, suporta uma massa de água com 25m de profundidade. Calcule a força horizontal total que age sobre a represa. ghLdhPdAdF

2

0

2

0 21

2gLHhgLghLdhF

HHh

h

2232 )25)(30)(/81,9)(/1000(21

21 mmsmmkggLHF NxF 71020,9

A pressão aumenta linearmente com a profundidade em qualquer recipiente, independentemente da sua forma.

A pressão é a mesma em todos os pontos à mesma profundidade. 14.5 Medindo a Pressão: O Barômetro de Mercúrio – é

um tubo longo de vidro preenchido com mercúrio e invertido com sua extremidade aberta mergulhada em um recipiente com mercúrio.

01 y , 01 pp e hy 2 , 02 p A pressão atmosférica em termos da altura h da coluna de mercúrio

será: ghp 0

H

L

h dh

0p

0p


Manômetro de Tubo Aberto – é um medidor simples de pressão, constituído de um reservatório que se comunica com um tubo em “U”. Uma das extremidades do tubo está sujeita à pressão p , que será medida e a outra extremidade aberta, está sujeita a pressão atmosférica 0p . A diferença de pressão 0pp , é chamada de pressão manométrica manp . Logo, a pressão que se deseja medir será:

0pppman Na prática, a pressão é freqüentemente medida em milímetros de mercúrio (mmHg), uma unidade chamada torr, em homenagem a Evangelista Torricelli. Os sistemas se relacionam por:

2/7,14325,1019,297607601 inlbkPainHgtorrmmHgatm Exemplo 13-4: A pressão manométrica média na aorta humana é de aproximadamente 100mmHg. Converta essa pressão sanguínea média em pascals.

kPaP

mmHgmmHgkPaP

3,13)760(

)100).(325,101(

Exercício: Converta a pressão de 45kPa a (a) mmHg e (b)atm. Resp.338mmHg e 0,444atm

(?)100325,101760

PmmHgkPammHg


14.6 O Princípio de Pascal: “Uma alteração de pressão aplicada a um líquido confinado é transmitida, sem qualquer diminuição, a todos os pontos do líquido e às paredes do recipiente”.

2

2

1

1

AF

AF

Exemplo 13-3: Prensa hidráulica. O pistão grande de uma prensa hidráulica tem 20cm de raio. Que força deve ser aplicada ao pistão menor, de 2cm de raio, para elevar um carro com 1500kg de massa?

11 PAF e mgPAF 22 logo 2A

mgP

Ncmcmsmkg

rrmgA

AmgF 147

202)/81,9)(1500(

22

22

21

12

2

14.7 Empuxo e Princípio de Arquimedes. Se um objeto maciço submerso em água for pesado por uma balança de mola (dinamômetro), o peso aparente do objeto quando submerso será menor do que o peso do objeto. Isso ocorre porque a água exerce uma força de baixo para cima que equilibra parcialmente a força da gravidade. Essa força é chamada de empuxo. “Um corpo inteiro ou parcialmente submerso em um fluido sofre um empuxo que é igual ao peso do volume de fluido deslocado”.

ff gVE

m

1F

2F

1A 2A

w

m

E

apw


Peso Aparente em um Fluido: O peso aparente de um corpo submerso em um fluido é igual a diferença entre seu peso w e o empuxo E :

Ewwap

logo:

apwwE

Exemplo 13-5: Um anel, supostamente de ouro, pesa 0,158N no ar. Quando o anel é preso por um fio e submerso em água, seu peso é de 0,150N. O anel é de ouro puro?

150,0158,0

158,0

apágua www

EwDensidade

Exercício: Um bloco de um material desconhecido pesa 3N e tem um peso aparente de 1,89N quando submerso em água. Qual o material do bloco? Resp. alumínio. Exercício: Uma amostra de chumbo (densidade = 11,3) pesa 80N no ar. Qual o seu peso quando submersa em água? (resp. 72,9N).


14.8 Fluidos Ideais em Movimento Escoamento estacionário (laminar) – A velocidade do

fluido em movimento em qualquer ponto fixo não varia com o tempo, nem em módulo nem em sentido.

Escoamento incompressível – sua densidade tem um valor uniforme e constante. Escoamento não-viscoso – a viscosidade do fluido é a medida do quanto o fluido resiste ao escoamento. Escoamento irrotacional – não se mova em trajetória circular. 14.9 Fluidos em Movimento. O escoamento de um fluido em movimento pode ser muito complexo. Ele pode ser Regular ou Turbulento. O escoamento turbulento é muito difícil de ser descrito, de forma que, neste estudo, nos restringiremos ao escoamento não turbulento, em regime permanente, de um fluido “ideal”. Para a tubulação abaixo, considere que o fluido está escoando da esquerda para a direita, e a porção sombreada à esquerda representa o volume V de um fluido que passa pelos pontos 1 e 2 durante um tempo t . Desta forma podemos escrever:

tvAV 11

e tvAV 22

, logo:

2211 vAvA

A grandeza Av é chamada de vazão volumétrica vI . Assim:

A1 A2

v1

v2

tv 1

tv 2


teconsAvIv tan que é a equação da continuidade de um fluido incompressível.

Exercício: O sangue flui numa aorta, cujo raio é de 1,0cm, a 30cm/s. Qual a vazão volumétrica em L/min? min)/65,5( LI v Exercício: O sangue flui numa artéria com raio de 0,3cm, com velocidade de 10cm/s. Devido a uma arteriosclerose, numa região o raio é reduzido a 0,2cm. Qual a velocidade do sangue nesta região? 22,5cm/s A Equação de Bernoulli – relaciona a pressão, a

elevação e a velocidade de um fluido incompressível num escoamento em regime permanente. Pode ser deduzida aplicando-se o teorema do trabalho-energia a um segmento do fluido.

Desta forma: 21

221221 2

121 vvghghPP ,

que reunindo os termos para o ponto 1 e 2 tem-se: 2222

2111 2

121 vghPvghP

Este resultado pode ser reescrito como:

teconsvghP tan21 2

A1

A2

v1

v2

tv 1

tv 2

Referencial

1h 2h

MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 11Equação de Bernoulli

Para um fluido em repouso, 021 vv , assim: hgghghPP 1221

Se as alturas forem iguais: 21

2221 2

121 vvPP

Exemplo 13-9: Um grande tanque de água, aberto no topo, tem um pequeno orifício a uma distância h abaixo da superfície livre da água. Calcule a velocidade do escoamento da água para fora do orifício.

2

22

210

21

21

bbbaa

bbbaaa

vghPghP

vghPvghP

Como a superfície em a e o orifício em b estão a mesma pressão, a atmosférica, temos que:

hgv

hghhgghghv

vghghvghgh

vghPghP

b

babab

bbabba

bbatmaatm

2

2)(2)(221

21

210

2

22

2

Note que a velocidade com que o fluido sai do ponto b só depende da altura em relação ao nível da água.

ah

bh

h


Efeito Venturi – Quando a velocidade de um fluido aumenta, a pressão diminui.

Tubo de Venturi – Dispositivo usado para medir a velocidade de escoamento num fluido.

Exemplo 13-10: A figura ao lado mostra um medidor Venturi, usado para medir a vazã de um fluido. O fluido de massa

específica f atravessa um tubo de áres de seção transversal 1A com um estrangulamento de área de seção transversal 2A . As duas partes do tubo estão conectadas por um manômetro de tubo em U, parcialmente cheio com um líquido de massa específica L . Como a velocidade é maior na região do estrangulamento, a pressão nesta seção é menor do que na outra seção do tubo. A diferença de pressão é medida pela diferança de nível do líquido no tobo em U, dada por h . Expresse a velocidade

2v em termos da altura h e das grandezas conhecidas f , L e

21 AAr . - Escrevendo as equações de Bernoulli e da continuidade para este caso temos:

21

2221 2

121 vvPP ff e 2211 vAvA 11

2

12 rvv

AAv

21

221

21

221

2221 )1(

21)(

21)(

21 vrvvrvvPP fff

- A diferença de pressão )( 21 PP é igual à queda de pressão em uma coluna de altura h do líquido e em uma coluna de fluido de mesma altura.

hgghghPP fLfL )(1221 , logo:

)1()(2

)()1(21

2121

2

rhg

vhgvrf

fLfLf

1A 2A

1v2v

1P

2P

L

f

h


Exercício: Calcule 1v quando cmh 3 e 421 AAr . Considere que o fluido em escoamento no tubo é o ar ( 3/29,1 mkgf ) e o líquido manométrico do Venturi é a água ( 33 /10 mkgL ). Resp ; 5,51m/s. Exercício: Um tubo de Venturi de 4,0cm de diâmetro, com uma garganta de 2,0 cm de diâmetro, é usado para medir a velocidade de um líquido ideal. A diferença de pressão dada pelo manômetro é 25mmHg. Calcule (a) a velocidade do líquido no tubo principal e (b) a vazão do líquido. Resp. ((a) 0,66m/s ; (b) 8,4x10-4 m3/s = 0,84 l/s) Escoamento Viscoso – Na prática observa-se uma queda de pressão quando o fluido avança da direção do fluxo. Uma diferença de pressão será necessária para vencer a força de arraste exercida pelo tubo sobre a camada de fluido adjacente que se move com velocidade ligeiramente diferente. Essas forças de arraste são chamadas de forças viscosas. Devido a essas forças, a velocidade do fluido é maior nas vizinhanças do eixo do tubo e tende a zero quando o fluido entra em contato com as paredes do tubo. Seja 1P a pressão no ponto 1 e 2P a pressão no ponto 2, numa distância L a jusante do ponto 1, Q queda de pressão 21 PPP é proporcional a vazão volumétrica:

RIPPP V 21

Onde vAIV é a vazão volumétrica, e a constante de proporcionalidade R é a resistência ao escoamento, que depende do comprimento do tubo L, do raio r e da viscosidade do fluido.

L

1P 2P v


Exemplo 13-11: O sangue flui da aorta pelas artérias principais, pelas artérias pequenas, pelos vasos capilares e pelas veias, até que alcança a aurícula direita. No curso desse escoamento, a pressão (manométrica) cai de aproximadamente 100torr para zero. Se a vazão for de 0,8L/s, estime a resistência total do sistema circulatório.

333 /.6,16

101

760101

/8,0100 mskPa

mL

torrkPa

sLtorr

IPRV

=

Exercícios Cap. 14: 21. Calcule a massa de um cilindro de cobre com 6cm de comprimento e 2cm de raio. 22. Calcule a massa de uma esfera de chumbo com 2cm de raio. 27. Um elevador hidráulico é usado para elevar um automóvel de 1500kg de massa. O raio do cabo do elevador é de 8cm e o do pistão é de 1cm. Que força deve ser aplicada ao pistão para elevar o automóvel? 37. Uma amostra de cobre de 500g (9,0 de densidade) está suspensa por um dinamômetro e mergulhada em água. Qual a leitura do dinamômetro? 38. Quando uma pedra de 60N é presa a um dinamômetro e mergulhada em água, o dinamômetro acusa 40N. Qual a massa específica da pedra. 39. Um bloco de material desconhecido pesa 5N no ar e 4,55N quando mergulhado em água. (a) Qual a massa específica do material? (b) De que material é feito o bloco? 40. Uma amostra de metal sólido pés 90N no ar e 56,6N quando mergulhada em água. Determine a massa específica desse metal. 43. Um pedaço grande de cortiça pesa 0,285N no ar. Um dinamômetro é fixo no fundo de um recipiente contendo água e a cortiça é presa nele. Devido ao empuxo, a leitura no dinamômetro é 0,855N. Calcule a massa específica da cortiça.

MECÂNICA– Cap 14: Fluidos - Prof. Wladimir 1545. Um corpo tem empuxo neutro quando sua massa específica é igual à do líquido no qual está mergulhado, de forma que não aflora à superfície nem afunda. Se a massa específica média de um mergulhador de 85kg for de 0,96kg/L, que massa de chumbo deve carregar para lhe dar empuxo neutro? 53. Água escoa a 3m/s em um tubo horizontal, sob uma pressão de 200kPa. O diâmetro do tubo é reduzido à metade do seu diâmetro original. (a) Qual a velocidade do fluxo na seção reduzida do tubo? (b) Qual a pressão na seção reduzida? (c) Qual a razão entre as vazões da água nas duas seções? Admita que o escoamento é laminar e despreze a viscosidade do fluido. Respostas dos exercícios: 21 - kg673,0 22 - ? 27 – N230 37 – N36,4 38 - ? 39 – 33 /101,11)( mkgxa ; chumbob)( 40 - ? 43 - 3/250 mkg 45 - kg89,3 53 - sma /0,12)( ; kPab 133)( ; iguaissãoasvolumétricvazõesasc)(

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