INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS 199

'iEiERêNCIASr L' W H and S. H. Lam Principies of Fluid Mechanics.1 1 • ., ,

". > .' < dj:ng MA: Addison-Wesley, 1964.'·:"'Rea ';'j;; D üy J W and D. R. F. HarIeman, Fluid Dynamics. Reading,." 2. a " "". MA Addison-Wesley, 1966.

':~3. Schlichting, H., Boundary-Layer Theory, 7th ed. New York:McGraw-Hill, 1979.

4. White, F. M., Viscous Fluid Flow, 3rd ed. New York:'. McGraw-Hill, 2000.

'r~;

S. Sabersky, R. H., A. J. Acosta, E. G. Hauptmann, and E. M.Gates, Fluid Flow-A First Course in Fluid Mechanics, 4th ed.New Jersey: Prentice Hall, 1999.

6. Fluent. Fluent Incorporated, Centerra Resources Park, 10Cavendish Court, Lebanon, NH 03766 (www.fluent.com).

7. FAR-CD. Adapco, 60 Broadhollow Road, Melville, NY117'47 (www.cd-adapco.com).

5.1 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveiscasos de escoamento bidimensional incompressível?

a. u = 2x2 + l- ~y; u = x3 + xcl- 2y)b. u = 2xy - x2 + y; u = 2xy - l + x2

c. U = xt + 2y; u = xt2 - ytd. u = (x + 2y)xt; V = -(2x + y)yt

5.2 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveiscasos de escoamento tridimensional incompressível?

? 2 [22 34a. u = y + 2xz; v = -2yz + x yz; w = ')x z + x Yb. u = xyrt; V = - xyz?; w = (Z2f2)(xt2 -- yt)c. u = x2 + Y + l; v = x - y + z; w = -2xz + l + Z

5.3 As três componentes da velocidade em um campo de velocidadesão dadas por u = Ax + By + Cz, v = Dx + Ey + Fz e w = Gx +Hy + Jz. Determine a relação entre os coeficientes de A a J necessáriapara que este seja um possível campo de escoamento incompressível.

5.4 Para um escoamento no plano xy, a componente x da velocidadeé dada por LI = Ax(y - B), onde A = l tr ' . s"I, B = 6 ft e x e y sãomedidos em pés. Encontre uma possível componente y para escoamen-to permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamentoincompressível não permanente? Por quê? Quantas são as possíveiscomponentes y?5.5 Para um escoamento no plano xy, a componente x da velocidadeé dada por u = xJ - 3xy2. Encontre uma possível componente y paraescoamento permanente e incompressível. Ela também é válida paraf escoamento incompressível não permanente? Por quê? Quantas são as

l possíveis componentes y?t·< 5.6 A componente x da velocidade em um campo de escoamento per-f' manente e incompressível, no plano xy, é LI = A/x, onde A = 2 m2/s

~'j t e x é medido em metros. Determine a mais simples componente y da:: 1-.. ., < velocidade para esse campo de escoamento.

... 5.7 A componente y da velocidade em um campo de escoamento per-manente e incompressível, no plano xy, é v = Axy(y2 - xl), onde A =

~: 2 rn? . S-I e x e y são medidos em metros. Determine a mais simplest- componente x da velocidade para esse campo de escoamento.

: _ 5.8 A componente x da velocidade em um campo de escoamento per-. F··- manente e incompressível no plano xy é u = AeP"cos(ylb), onde A =

f

,.· 10 mls e b = 5 m, e x e y são medidos em metros. Determine a mais;\". simples componente y da velocidade para esse campo de escoamento.

., 5.9 A componente y da velocidade em um campo de escoamento in-. ~:.' compressível e permanente no plano xy é

2xyv=-----;;-

(x2 + y2)2

Mostre que a expressão mais simples para a componente x da veloci-dade é

~~r-t ~.,t ..

t~

5.10 Uma aproximação grosseira para a componente x da velocidadeem uma camada limite laminar e incompressível é uma variação linearde u = Ona superfície (y = O) até a velocidade de corrente livre, V, naborda da camada limite (y = 8). A equação do perfil é u = Vy/O, onde8 = cxl

/2, sendo c uma constante. Mostre que a expressão mais simplespara a componente y da velocidade é v = uy/4x. Avalie o valor máximoda razão v/Vem um local onde x = 0,5 m e O = 5 mm.

5.11 Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em ~uma camada limite laminar e incompressível é uma variação parabólicade LI = Ona superfície (y = O) até a velocidade de corrente livre, V, naborda da camada limite (y = 8). A equação do perfil é u/U = 2(y/8) -(y/8)2, onde 8 = CX1/2, sendo c uma constante. Mostre que a expressãomais simples para a componente y da velocidade é

Trace vIU em função de y/8 e determine o local do máximo valor darazão vIU. Determine a razão onde o = 5 mm e x = 0,5 m.

5.12 Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em 0\\uma camada limite laminar e incompressível é uma variação senoidalde ti = Ona superfície (y = O) até a velocidade de corrente livre, V, naborda da camada limite (y = o). A equação do perfil é u = U sen( Try/28),onde 8 = CXII2, sendo c uma constante. Mostre que a expressão maissimples para a componente y da velocidade é

Trace u/U e v/Vem função de ytõ, e determine o local do máximo valorda razão u/U, Avalie a razão onde x = 0,5 m e 0= 5 mm.

5.13 Uma aproximação útil para a componente x da velocidade em uma ~camada limite laminar e incompressível é uma variação cúbica de u = Ona superfície (y = O) até a velocidade de corrente livre, U, na borda dacamada limite (y = o). A equação do perfil é u/U = ~ (y/8) - ± (y/8)3 ,onde O = cxl12

, sendo c uma constante. Deduza a expressão mais sim-ples para vIU, a componente y da razão de velocidade. Trace u/V e v/Uem função de y/o, e determine o local do máximo valor da razão u/U,Avalie a razão onde O = 5 mm e x = 0,5 m.

5.14 A component<:.-y da velocidade em um campo de escoamento J\\permanente e incompressível, no plano xy, é v = - Bxy', onde B =0,2 rn? . S-I, e x e y são medidos em metros. Encontre a mais simplescomponente x da velocidade para esse campo de escoamento. Determinea equação da linha de corrente para esse escoamento. Trace as linhasde corrente que passam pelos pontos (1, 4) e (2, 4).

5.15 Para um escoamento no plano xy, a componente da velocidade ~em x é dada por u = Ax2y2, onde A = 0,3 m? . s" I, e x e y são medidos

200 CAPíTULO 5

em metros. Determine uma possível componente y para escoamentopermanente e incompressível. Ela é válida também para um escoamentonão permanente incompressível? Por quê? Quantas possíveis compo-nentes y existem? Determine a equação da linha de corrente para a maissimples componente y da velocidade. Trace as linhas de corrente quepassam pelos pontos (1, 4) e (2, 4).

5.16 Deduza a forma diferencial da conservação da massa em coorde-nadas retangulares por expansão em série de Taylor em torno do pontoO dos produtos da massa específica pelas componentes da velocidade:pu, pu e pw. Mostre que o resultado é idêntico à Eq. 5.la. :

5.17 Considere um jato d'água saindo de um irrigador oscilatório degramados. Descreva as trajetórias e as linhas de emissão corresponden-tes.

5.18 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveiscasos de escoamento incompressível?

a. Vr = U cos 8; Vo = - U sen ()b. V, = -q/2nr; Vo = K/2nrc. Vr = U cos 8 [1 - (a/r)2]; Ve = -Usen 8[1 + (a/d]

5.19 Para um escoamento incompressível no plano re, a componenter da velocidade é dada por V, = - A cos Blr'. Determine uma possívelcomponente e da velocidade. Quantas possíveis componentes e exis-tem?

5.20 Um líquido viscoso é submetido a cisalhamento entre dois discosparalelos de raio R, um dos quais gira enquanto o outro permanece fixo.O campo de velocidade é puramente tangencial, e a velocidade varialinearmente com z, de Vo = O em z = O (o disco fixo) até a velocidadedo disco rotativo na sua superfície (z = h). Deduza uma expressão parao campo de velocidade entre os discos.

5.21 Avalie V . pV em coordenadas cilíndricas. Use a definição de Vem coordenadas cilíndricas. Substitua o vetor velocidade e aplique ooperador gradiente, usando a informação da nota 1 de rodapé. Agrupeos termos e simplifique; mostre que o resultado é idêntico à Eq. 5.2c.

5.22 Um campo de velocidade em coordenadas cilíndricas é dado porV = êrAlr + êoB/r, onde A e B são constantes com dimensões de m-/s.Isso representa um possível escoamento incompressível? Trace a linhade corrente que passa pelo ponto ro = 1 m, e = 90°, seA = B = 1 m2/s,se A = 1 m2/s e B = O e se B = 1 m2/s e A = O.

*5.23 O campo de velocidade para o escoamento viscométrico doExemplo 5.7 é V = U(y/h)'i. Determine a função de corrente para esteescoamento. Localize a linha de corrente que divide a vazão volurné-trica total em duas partes iguais.

*5.24 Determine a família de funções t/J que resultará do campo develocidade V = y(2x + 1)[ + [x(x + I) - y2]].

*5.25 A função de corrente para um certo campo de escoamento in-compressível é dada pela expressão t/J =-Ur sen e + qe/2'11'. Obtenhauma expressão para o campo de velocidade. Encontre o(s) ponto(s) deestagnação onde I V I = O e mostre que ali t/J = O.*5.26 O campo de velocidade do Problema 5.22 representa um pos-sível caso de escoamento incompressível? Se afirmativo, avalie e tracea função de corrente para o escoamento. Se negativo, avalie a taxa devariação da massa específica no campo de escoamento.

*5.27 Considere um escoamento com as componentes da velocidadeu = O, u =y(l - 3z2) e w = Z(Z2 - 3y2).

a. Esse escoamento é uni, bi ou tridimensional?b. Demonstre se este é um escoamento incompressível ou com-

pressível.c Se possível, deduza uma função de corrente para esse esco-

amento.

*5.28 Um campo de escoamento incompressível, sem atrito, é espe_cificado pela função de corrente t/J = -2Ax - 5Ay, onde A = I rnlsex e y são coordenadas em metros. Esboce as linhas de corrente t/J == O et/J = 5 e trace o vetor velocidade no ponto (O, O). Determine o módu_10 da vazão volumétrica entre as linhas de corrente que passam pelospontos (2, 2) e (4, I).

*5.29 Num escoamento unidimensional, paralelo e no sentido positi-vo do eixo x, a velocidade varia linearmente de zero em y = O a 30 mlsem y = 1,5 m. Determine uma expressão para a função de corrente, "'.Determine também a coordenada y acima da qual a vazão volumétricaé metade da vazão total entre y = O e y = 1,5 m.

*5.30 Um perfil de velocidade linear foi usado para modelar o esco- .amento em uma camada limite laminar e incompressível no Problema5.10. Deduza a função de corrente para esse campo de escoamento ..Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volu-métrica total na camada limite.

*5.31 No Problema 5.11, um perfil de velocidade parabólico foi usado-para modelar o escoamento em uma camada limite laminar e incom- .pressível. Deduza a função de corrente para esse campo de escoamento.Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volu.métrica total na camada limite.

*5.32 Deduza a função de corrente que representa a aproximaçãosenoidal usada para modelar a componente x da velocidade na camadalimite do Problema 5.12. Localize as linhas de corrente a um quarto ea um meio da vazão volumétrica total na camada limite.

*5.33 Um perfil cúbico de velocidade foi usado para modelar o esco-amento em uma camada limite laminar e incompressível no Problema5.13. Deduza a função de corrente para esse campo de escoamento.Localize as linhas de corrente a um quarto e a um meio da vazão volu-métrica total na camada limite.

*5.34 Um movimento de corpo rígido foi modelado, no Exemplo 5.6,pelo campo de velocidade V = rwêo. Determine a função de corrente'para esse escoamento. Avalie a vazão em volume por unidade de pro- .fundidade entre ri = 0,10 m e r2 = 0,12 m, se w = 0,5 rad/s. Esboce'o perfil de velocidade ao longo de uma linha de e constante. Confira a .vazão em volume calculada a partir da função de corrente, integrando .o perfil de velocidade ao longo dessa linha.

*5.35 O Exemplo 5.6 mostrou que o campo de velocidade para umvórtice livre no plano re é V = êoC/r. Determine a função de corrente:para esse escoamento. Avalie a vazão em volume por unidade de pro-fundidade entre ri = 0,10 m e r2 = 0,12 rn, se C = 0,5 m2/s. Esboce operfil de velocidade ao longo de uma linha de e constante. Confira avazão calculada a partir da função de corrente, integrando o perfil develocidade ao longo dessa linha.

5.36 Considere o campo de velocidade no plano xy dado porV A(x4 - 6x2y2 + y4)[ + A(4.xyl - 4x3y)J, onde A = 0,25 rn": S-I

e as coordenadas são medidas em metros. Este é um possível campo .de escoamento incompressível? Calcule a aceleração de uma partículafluida no ponto (x, y) = (2, 1).

5.37 Considere o campo de escoamento dado por V = xy2[ - t ylJ +xyk. Determine (a) o número de dimensões do escoamento, (b) se eleé um possível escoamento incompressível e (c) a aceleração de unnpartícula fluida no ponto (z, y, z) = (1,2,3).

5.3~ Considere o campo de escoamento dado por V = ax2y[ - byJ +cz2k, onde a = 1 rn? . S-I, b = 3 çl e c = 2 m" . S-I. Determine (a)o número de dimensões do escoamento, (b) se ele é um possível esCO-amento incompressível e (c) a aceleração de uma partícula fluida noponto (x, y, z) = (3, 1,2).

5.39 O campo de velocidade em uma camada limite laminar é dadopela expressão

* Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto.

Nessa expressão, A = 141 m-1I2 e U = 0,240 mJs é a velocidade da" frente livre. Mostre que esse campo de velocidade representa umco "ossível escoamento incomprcssível. Calcule a aceleração de uma par-ácuIa fluida no ponto (x, y) = (0,5 m, 5 mm). Determine a inclinaçãoda linha de corrente através desse ponto.

,5.40' A componente x da velocidade num campo de escoamento per-" rnanente, incompressível, no plano xy, é u = A(x5 - lOx3y2 + 5xy4) ,. ónde A == 2 m -4 • S-I e x é medido em metros. Encontre a mais simples"~omponente y da velocidade desse campo de escoamento. Avalie a ace-.íeração de uma partícula fluida no ponto (x, y) = (1, 3).

5.41 Considere AOcampo de velocidade no plano xy dado porti == Ax/(x2 + y2)i + Ay/(x2 + v'», onde A = 10 m2/s e x e y são me-°didosem metros. Este é um possível campo de escoamento incompres-sível? Deduza uma expressão para a aceleração do fluido. Avalie a ve-

''Íocidade e a aceleração ao longo do eixo x, do eixo y e ao longo da linha. . definida por y = x. O que você pode concluir sobre esse escoamento?

'u. ~.'t~.:.5.42 A ~omponente y d~ vel~cidade em um campo de escoamentofJ\ 0'0 bidlmenslOnal incompressível e dada por v = -Axy, onde v é em mJs,k:. x e y são em metros e A é uma constante dimensional. Não há cornpo-

ia IJa. f".",. nente ou variação de velocidade na direção z. Determine as dimensões'e fi/ir da constante A. Encontre a mais SImples componente x da velocidade

t ".;.nesse campo de escoamento. Calcule a aceleração de uma partículat '. fluida no ponto (x, y) = (1) 2).

J. ~i 5.43 Um líquido incompressível, com viscosidade desprezível, escoata ~ em regime permanente no interior de um tubo horizontal de diâmetro~~ i.:...•·.·.·.· constante. Em uma seção porosa de comprimento L = 0,3 m, o Iíqui-? do é removido a uma taxa constante por unidade de comprimento, de

o modo que a velocidade axial no tubo é u(x) = U(l - x/2L), onde U =í, i' 5 m/s. Desenvolva uma expressão para a aceleração de uma partículae ,. fluida ao longo da linha de centro da seção porosa.

,- ~'~ 5.44 . Um líquido incompressível com viscosidade desprezível escoa~:•. atraves de um tubo honzontal. O escoamento é permanente. O diârne-

J r tro do tubo varia linearmente de 10 em a 2,5 em ao longo de um com-r pnmento de 2 m. Desenvolva uma expressão para a aceleração de umai partícula fluida ao longo da linha central do tubo. Trace um gráfico da

1 t. velocidade e da aceleração na linha central versus a posição ao longot. do tubo, se a velocidade na linha central é igual a 1 m/s.,r 5.45 Resolva o Problema 4.118 para mostrar que a velocidade radialF. n~ folga estreita é V, = Q/27Trh. Deduza uma expressão para a acelera-t' çao de uma partícula fluida na folga.r, 5.46 Considere o escoamento de ar de baixa velocidade entre doist dISCOSparalelos, conforme mostrado. Admita que o escoamento é in-f. . compressível e não viscoso e que a velocidade é puramente radial e~~. umforme em qualquer seção. A velocidade do escoamento é V = 15í mls em R = 75 mm. Simplifique a equação da continuidade para uma.' forma]" Ir,. _ ap icave a esse campo de escoarn:nto. Mostre que uma expres-t:... sao geral para o campo de velocidade é V = V(R/r)êr para ri :s; r 2': R.L Calcule a aceleração de uma partícula fluida em r = ri e r = R.i:;~.

/(

\ -,

v= 15 m/s

INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS 201

5.47 Como uma das etapas de um estudo sobre poluição, foi desen- 0\\volvido um modelo da concentração c em função da posição x, em quea concentração é dada por

onde A = 10-5 ppm (partes por milhão) e a = 1 m. Trace o gráficodessa concentração desde x = ° até x = 10m. Se um veículo com umsensor de poluição viaja através dessa atmosfera a u = U = 20 mJs,desenvolva uma expressão para a taxa de concentração medida da mu-dança-de c com o tempo e trace um gráfico usando esses dados. Emqual localização o sensor indicará a maior taxa de mudança. Qual é ovalor dessa taxa de mudança?

5.48 Um avião voa para o norte a 300 mph em relação ao solo. Suataxa de subida é de 3.000 ftlmin. O gradiente vertical de temperatura é- 3°F por 1.000 ft de altitude. A temperatura do solo varia com a po-sição através de uma frente fria, caindo a uma razão de 1°F por milha.Calcule a taxa de variação da temperatura mostrada por um registradora bordo da aeronave .

5.49 Quando um avião voa através de uma frente fria, um instrumen-to de bordo indica que a temperatura ambiente cai à taxa de 0,5°F porminuto. Outros instrumentos mostram uma velocidade no ar de 300knots e uma taxa de subida de 3.500 ft/min. A frente fria é estacionáriae verticalmente uniforme. Calcule a taxa de variação da temperaturacom respeito à distância horizontal através da frente fria.

5.50 Após uma chuva, a concentração de sedimentos num certo pontode um rio aumenta à taxa de 100 partes por milhão (ppm) por hora. Alémdisso, a concentração de sedimentos aumenta com a distância rio abaixocomo resultado do recebimento de correntes tributárias; esse aumentoé de 50 ppm por milha. Nesse ponto, a corrente de água flui a 0,5 mph.Um barco é usado para inspecionar a concentração de sedimentos. Ooperador fica surpreso ao descobrir três taxas aparentes de variação desedimentos quando o barco sobe o rio, deixa-se levar pela corrente oudesce o rio. Explique fisicamente porque as diferentes taxas são obser-vadas. Se a velocidade do barco é de 2,5 mph, calcule as três taxas devariação.

5.51 Expanda (V' \7) Vem coordenadas retangulares pela substituiçãodireta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de umapartícula fluida. Verifique os resultados dados nas Eqs. 5.11.

~52 Um car::Po decveloci~ade bidimensional permanente é dado por 0\V = (Ax - B)l + CYJ + Dtk, onde A = 2 s", B = 4 m . s", D = 5m . ç2, e as coordenadas são medidas em metros. Determine o valorpróprio para C se o escoamento é incompreensível. Calcule a acelera-ção de uma partícula fluida localizada no ponto (x, y) = (3,2). Esbocealgumas linhas de corrente do escoamento no plano xy.

~5! t;m car::Po de velocida~e bidimensional permanente é dado por 0\V - Axz - AYJ, onde A = 1 s I. Mostre que as linhas de corrente paraesse escoamento são hipérboles retangulares, xy = C. Obtenha uma ex-pressão geral para a aceleração da partícula nesse campo de velocidade.Calcule a aceleração das partículas fluidas nos pontos (x, y) = ct, 2),(1, 1) e (2, +), onde x e y são medidos em metros. Trace as linhas decorrente que correspondem a C = 0,1 e 2 m2 e mostre os vetares ace-leração sobre o gráfico das linhas de corrente.

~~ Um ca;npo ge velocidade é representado pela expressão 9.V - (Ax - B)z - AYJ, onde A = 0,2 çl, B = 0,6 m . çl e as coor-denadas são medidas em metros. Obtenha uma expressão geral para aaceleração da partícula'nesse campo de velocidade. Calcule a aceleraçãodas partículas fluidas nos pontos (x, y) = (O, -t), (1,2) e (2, 4). Tracealgumas linhas de corrente no plano xy. Mostre os vetores aceleraçãosobre o gráfico das linhas de corrente.

5.55 Mostre que o campo de velocidade do Problema 2.16 representa ~um possível campo de escoamento incompressível. Determine e trace •a linha de corrente passando pelo ponto (x, y)= (2,4) em t = 1,5 s.

202 CAPíTULO 5

Para a partícula no mesmo ponto e instante, mostre, sobre o gráfico, ovetor velocidade e os vetores representando as acelerações total, locale convectiva.

5.56 Um perfil de velocidade aproximadamente linear foi usado noProblema 5.10 para modelar uma camada limite laminar e incompres-sível sobre uma placa plana. Para esse perfil, obtenha expressões paraas componentes x e y da aceleração de uma partícula fluida na camadalimite. Localize as componentes x e y da aceleração de módulos máxi-mos. Calcule a razão entre o módulo máximo da aceleração em x e omódulo máximo da aceleração em y para as condições de escoamentodo Problema 5.10.

JI 5.57 Um perfil de velocidade aproximadamente parabólico foi usadono Problema 5.11 para modelar o escoamento em uma camada limitelaminar e incompressível sobre uma placa plana. Para esse perfil, en-contre a componente x da aceleração, a., de uma partícula fluida dentroda camada limite. Trace a,para a posição x = 0,8 m, onde (5 = 1,2 mm,para um escoamento com U = 6 m/s. Determine o máximo valor de a;nesta posição x.

~ 5.58 Um perfil de velocidade aproximadamente senoidal foi usado noProblema 5.12 para modelar o escoamento em uma camada limite lami-nar e incompressível sobre uma placa plana. Para esse perfil, obtenhaexpressões para as componentes x e y da aceleração de uma partículafluida na camada limite. Trace a, e aI' para a posição x = 1 m, onde (5 =1 mm, para um escoamento com U= 5 m/s. Encontre os máximos dea, e a)' nesta posição x.

5.59 Ar escoa numa folga estreita, de altura h, entre duas placas para-lelas muito próximas, através de uma superfície porosa, conforme mos-trado. Use um volume de controle, com superfície externa localizadana posição x, para mostrar que a velocidade uniforme na direção x éU = uoX/h. Encontre uma expressão para a componente da velocidade nadireção y. Avalie a aceleração de uma partícula fluida na folga.

y

P5.59

:-~~~_.~J~~_~L ~I j t t t t t t t f t t t t t t t

Vo

5.60 Ar escoa numa folga estreita, de altura h, entre dois discos pa-ralelos muito próximos, através de uma superfície porosa, conformemostrado. Use um volume de controle, com superfície externa localiza-da na posição r, para mostrar que a velocidade uniforme na direção r éV = uor/2h. Encontre uma expressão para a componente da velocidadena direção z (uo« 11). Avalie as componentes da aceleração de umapartícula fluida na folga.

P5.60

S\\ 5.61 O campo de velocidade para um escoamento permanente e não-viscoso, da esquerda para a direita, sobre um cilindro circular de raioR, é dado por

Obtenha expressões para a aceleração de uma partícula í1uida movendo-se ao longo da linha de corrente de estagnação (e = 11) e para a acele-ração ao longo da superfície do cilindro (r = R). Trace um gráfico dea,.como função de riR para e = 11, e outro de a, como função de e parar = R; trace um gráfico de ae como função de r/R para 17= 11. Comentesobre os gráficos. Determine os locais em que essas acelerações atingemvalores máximo e mínimo.

P5.62

5.62 Considere o escoamento incompressível de um í1uido através de~um bocal, conforme mostrado. A área do bocal é dada por A = AoO _bx) e a velocidade de entrada varia de acordo com U = Uo(l - e-A~,onde Ao = 0,5 m', L = 5 m, b = 0,1 m", À = 0,2 çl e Uo = 5 m/s.Determine e trace um gráfico da aceleração na linha central, usando otempo como parâmetro.

L----

5.63 Considere o escoamento unidimensional e incompressível através~ .....do duto circular mostrado. A velocidade na seção CD é dada por U = Uo +' ..UI sen wt, onde Uo = 20 m/s, UI = 2 m/s e w = 0,3 rad/s. As dimensõesdo duto são L = 1 m, RI = 0,2 m e R2 = 0,1 m. Determine a aceleração', '(}.da partícula na saída do duto. Trace um gráfico dos resultados corno .. 'VIuma função do tempo para um ciclo completo. Sobre o mesmo gráfico, ,mostre a aceleração na saída do duto, se este apresentar área constanteem vez de convergente, e explique a diferença entre as curvas.

P5.63I----L--~I

vrn

5.64 Considere novamente o campo de velocidade bidimensional per·manente do Problema 5.53. Obtenha expressões para as coordenadasde partícula, xI' = .f.(t) e Yl' = fit), como funções do tempo e da posi-ção inicial da partícula, (xo, Yo) em t = O. Determine o tempo requeridopara a partícula se deslocar da sua posição inicial (xo, Yo) = (t, 2) paraas posições (x, y) = (1, 1) e (2, t)· Compare as acelerações da partícu-Ia determinadas pela derivação de .f.(t) e fz(t) com aquelas obtidas noProblema 5.53.

5.65 Expanda (ti . V) ti em coordenadas cilíndricas pela substituiçãodireta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de umapartícula í1uida. (Lembre-se de reler a nota 1 de rodapé). Compare osresultados com as Eqs. 5.12.

5.66 Quais, se houver algum, dos campos de escoamento do Problema5.1 são irrotacionais?

5.67 Um escoamento é representado pelo campo de velocidadeti ~ (x7 - 2lx5y2 + 35x3y4 -7xy6)i + (7x6y - 35x4y3 + 2Ix2y5-y7)j. Determine se o campo é (a) um possível escoamento incompres-sível e (b) irrotacional.

5.68 Considere novamente o perfil de velocidade senoidal usado paramodelar a componente x velocidade para a camada limite no Proble-ma 5.12. Despreze a componente vertical da velocidade. Avalie a cir-culação sobre o contorno limitado por x = 0,4 m, x = 0,6 m, y == O ey = 8 mm. Quais seriam os resultados dessa avaliação, se ela fosse feita0,2 m mais a jusante? Considere U = 0,5 m/s.

5.69 Considere o campo de velocidade para escoamento em um "can-to", ti = Axi - Ay], comA = 0,3 s", como no Exemplo 5.8. Avalie acirculação sobre o quadrado unitário do Exemplo 5.8.

5.70 Considere o campo de escoamento bidimensional no qual u '"Axye v = By2, onde A = 1 m-I . s", B = -tm-I . S-I, e as coordena-

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5.8. rale

melu=:

o C(

Par,de á5.82vol,

---• ESI

': "_ medidas em metros. Mostre que esse campo de velocidade re-'"das sao ., I D' ---o ta um possível escoamento incornpressrvei. eterrrune a rotaçao

present (x y) = (l, 1). Avalie a circulação sobre a "curva" delimitada. 'no po~ 00 x' = 1 y = 1 e x = O.'.' ory ~, ,

~s.71 Considere o campo de escoamento re~resentad? pela função de~ nte l/J = X' - 15x"i + 15x2y4 - y6. Esse e um possível escoamento

corre , I? O ' . . I?idi ensional incompressível, escoamento e irrotaciona .bllm*572 Considere o campo de escoamento representado pela função

•",.,'''', . rrente l/J = 3x5y - 10x3y3 + 3xy5. Esse é um possível escoamentoc,," de co , , . . l?"J;~:; bidimensional íncornpressível? O escoamento e irrotaciona .

*5.73 Considere o campo de escoamento repr,esentado pela funçã.o. de corrente t/J = - A/2(r + i)· Esse é um, possível escoamento bidi-

mensional incompressível? O escoamento e irrotacional?

• *5.74 Considere um campo de velocidade para um movimento pa-ralelo ao eixo x com cisalhamento constante. A tax~ de cisalhamento é

. du/dy = A, onde A = O,l s" I, Obtenha uma expressao para o campo de'velocidade, ti. Calcule a taxa de rotação. Avalie a função de corrente

lSÕes • .>. . para esse campo de escoamento,

'ação~t;SG *5.75 Um campo de escoamento é representado pela função de cor-orno f .., rente'" = x2 - i·Determine o campo de velocidade correspondente.fico,'r' Mostre que este campo de escoamento é irrotacional. Trace diversas~ante t linhas de corrente e ilustre o campo de velocidade.

:~}SG*5.76 Considere o campo de velocidade dado por ti = ~i + B~2J,'~' .• onde A = 4 m-I .çl, B = -2 m' . çl e as coordenadas sao medidast' em metros. Determine a rotação do fluido, Avalie a circulação sobre a

"curva" delimitada por y = O, x = 1, Y = 1 e x = O. Obtenha uma ex-~•. ' pressão para a função de corrente, Trace diversas linhas de corrente no.t primeiro quadrante.

f~ *5.77 Considere o campo de escoamento representado pela função~ de corrente t/J = Axy + Ay2, onde A = 1çl.Mostre que esse campo def velocidade representa um possível escoamento incornpressível, Avalie a

'er.~. rotação do escoamento. Trace algumas linhas de corrente no sernipla-ias . ~ no superior.

si- r\l~ :5.78 Consi~ere o ::scoamento representado pelo campo de velocidadedo ~ V = (Ay + B)i + Ax), onde A = 6 S-I, B = 3 m : çl, e as coordenadasIra ~ são medidas em metros, Obtenha uma expressão para a função de cor-

rente. Trace algumas linhas de corrente (incluindo a linha de corrente deestagnação) no primeiro quadrante. Avalie a circulação sobre a "curva"delimitadapory = O,x = l,y = 1 ex = O.5.79 Considere novamente o escoamento viscométrico do Exemplo5,7. Avalie a taxa média de rotação de um par de segmentos de linhaperpendiculares, orientados a :::':450 em relação ao eixo x. Mostre queos resultados são os mesmos do exemplo.

*5.80 O campo de velocidade perto do núcleo de um furacão podeser aproximado por

u-10

iaIalS

a

- q, K,V = --er+ -eo

Znr Lnr

Este é um campo de escoamento irrotacional? Obtenha a função deCorrente para esse escoamento.

5.81 Considere o escoamento induzido por pressão entre placas pa-ralelas e estacionárias, separadas pela distância b. A coordenada y émedida a partir da placa inferior. O campo de velocidade é dado poru == U(y/b)[1 - (y/b)]. Obtenha uma expressão para a circulação sobreo Contorno fechado de altura h e comprimento L. Avalie para h = b/2 epara h == b. Mostre que o mesmo resultado é obtido a partir da integralde área do teorema de Stokes CEq. 5.18).

5.82 O perfil de velocidade para o escoamento inteiramente desen-Volvido num tubo circular é V, = V,D,Jl - (riR?]. Avalie as taxas de

INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS 203

deformação linear e angular para esse escoamento. Obtenha uma ex-pressão para o vetor vorticidade, r5.83 Considere o escoamento induzido por pressão entre placas pa-ralelas e estacionárias, separadas pela distância 2b. A coordenada y émedida a partir da linha de centro do canal entre as placas. O campo develocidade é dado por U = u",á.Jl - (y/b?]. Avalie as taxas de deforma-ção linear e angular. Obtenha uma expressão para o vetor vorticidade,r Determine o local onde a vorticidade é máxima.5.84 Um perfil de velocidade linear foi usado para modelar o escoa-mento em uma camada limite laminar incompressível no Problema 5,10.Expresse a rotação de uma partícula fluida, Localize a taxa máxima derotação. Expresse a taxa de deformação angular de uma partícula fluida .Localize a taxa máxima de deformação angular. Expresse as taxas dedeformação linear de uma partícula fluida. Localize as taxas máximasde deformação linear. Expresse a força de cisalhamento por unidadede volume na direção x. Localize a força de cisalhamento máxima porunidade de volume; interprete o resultado,

5.85 A componente x da velocidade em uma camada limite laminarna água é aproximada por u = U sen (7T'y/28), onde U = 3 rn/s e o = 2mm. A componente y da velocidade é muito menor que u. Obtenha umaexpressão para a força de cisalhamento resultante sobre um elementofluido por unidade de volume na direção x, Calcule o seu valor máximopara esse escoamento,5.86 O Problema 4,31 deu o perfil de velocidade para um escoamen-to laminar inteiramente desenvolvido em um tubo circular como u =u,mix[l- (rlRn, Obtenha uma expressão para a força de cisalhamentopor unidade de volume na direção x. Avalie o seu máximo valor paraas condições do Problema 4.31.

*5.87 Use uma planilha Excel para gerar a solução da Eq. 5.28 para 9•m = 1, mostrada na Figura 5,16, Para fazer isso, você precisa aprendera resolver sistemas de equações algébricas lineares em uma planilha Ex-cel. Por exemplo, para N = 4, você terminará com a equação matricialda Eq. 5.34. Para resolver essa equação para os valores de u, você teráque calcular a matriz inversa 4 X 4 e, então, multiplicar essa matriz in-versa pela matriz 4 X 1 no lado direito da equação. Na planilha Excel,para fazer operações matriciais, use as seguintes regras: pré-selecioneas células que conterão o resultado; use afunção arranjo do Excel (vejadetalhes na ajuda do Excel); aperte Ctrl + Shift + Enter e não somenteEnter, Por exemplo, para inverter a matriz 4 X 4 você deve: pré-sele-cionar uma tabela em branco 4 X 4 que conterá a matriz inversa; digitar= minversa ([tabela contendo a matriz a ser invertida)); apertar Ctrl +Shift + Enter. Para multiplicar uma matriz 4 X 4 por uma matriz 4 X1 você deve: pré-selecionar uma tabela em branco 4 X 4 que conteráo resultado; digitar = mmult([tabela contendo a matriz 4 X 4], [tabelacontendo a matriz 4 X 1]); apertar Ctrl + Shift + Enter.

*5.88 Seguindo os passos para converter a equação diferencial Eq. 5.28 \5\(para m = 1) em uma equação por diferenças (por exemplo, Eq. 5.34para N = 4), resolva

du- + u = 2sen(x) O s x si u(O) = Odx

para N == 4, 8 e 16 e compare com a solução exata

UexalD = sen(x) - cos(x) + e-x

Sugestão: siga as regras para operações matriciais do Excel descritasno Problema 5,87, Apenas o lado direito das equações por diferençasmudará, comparado ao' método de solução da Eq. 5.28 (por exemplo,apenas o lado direito da Eq. 5.34 precisa de modificação).

*5.89 Seguindo os passos para converter a equação diferencial Eq. 5,28 0\(para m = 1) em uma equação por diferenças (por exemplo, Eq. 5.34para N = 4), resolva

--------* Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto.

'i"!!

204 CAPiTULO 5

du 2- +U=Xdx

O:5x:5l u(O) = 2*5.93 Use a planilha Excel para gerar soluções da Eq. 5.28 para m '"1, com u(O) = 2, usando 4 e 16 pontos, com suficientes interações, ecompare-as à solução exata

UexalO = .)4 - 2x

Para fazer isso, siga os passos descritos na seção "Lidando com a nãclinearidade" .

*5.94 Você (alguém cuja massa é M = 70 kg) cai em um rio com muitacorrenteza (a velocidade da água é U = 7,5 m/s). A equação do mov;mento para a sua velocidade u é

du 2M dt =k(U-u)

onde k = 10 N . s2/m2 é uma constante indicando o arrasto da água. Usea planilha Excel para gerar e traçar um gráfico da sua velocidade emfunção do tempo (para os primeiros 10 s), usando as mesmas aproxi-mações da Eq. 5.28 para m = 2, como mostradas na Fig. 5.19, excetoo uso de 16 pontos e a necessidade de tantas interações para obter umaconvergência razoável. Compare seus resultados com a solução exata

kU2tUexato = M + kUt

Sugestão: use uma substituição para (U - u), de modo que a equaçãodo movimento fique semelhante à Eq. 5.28 .

..',. .

para N = 4, 8 e 16, e compare com a solução exata

Ucxato = x2- 2x + 2

Sugestão: siga as orientações dadas no Problema 5.88.0\ *5.90 Um cubo de aresta 10 em e de massa M = 5 kg está deslizandoatravés de uma superfície recoberta com óleo. A viscosidade do óleoé u. = 0,4 N . s/rrr', e a espessura do óleo entre o cubo e a superfície e(3 = 0,25 mm. Se a velocidade inicial do bloco é Uo = 1 m/s, use o mé-todo numérico que foi aplicado à forma linear da Eq. 5.28 para prevera velocidade do cubo para o 10 segundo do movimento. Use N = 4, 8e 16, e compare com a solução exata

Uexato = uoe-(AI{IMIi)t

onde A é a área de contato. Sugestão: siga as orientações dadas no Pro-blema 5.87.9. *5.91 Use a planilhaExcel para gerar soluções daEq. 5.28 param = 2,como mostradas na Fig. 5.19.

J\\ *5.92 Use a planilha Excel para gerar soluções da Eq. 5.28 para m = 2,como mostradas na Fig. 5.19, exceto o uso de 16 pontos e a necessidadede tantas interações para obter uma convergência razoável.

* Estes problemas requerem material de seções que podem ser omitidas sem perda de continuidade no material do texto.