Cap tulo 1 Fundamentos Matem aticos da Relatividade Geral · Introduziremos neste cap tulo a de...

Capıtulo 1

Fundamentos Matematicos daRelatividade Geral

Para entendermos a estrutura em larga escala do Universo, devemos entender primeira-mente o espaco-tempo como uma estrutura matematica na qual possamos introduzir asleis fısicas de maneira natural. Isso e possıvel a partir da Geometria Diferencial, que porsua vez, se baseia na Topologia. Introduziremos neste capıtulo a definicao do espaco-tempo como uma variedade diferenciavel segundo-contavel e Hausdorff, dotada de umtensor metrico Lorentziano e uma conexao de Levi-Civita, e tambem estudaremos tenso-res e o modo como estes elementos nos permitem escrever leis fısicas de forma covariante,nos preparando para o estudo da Relatividade Geral nos capıtulos seguintes.

1.1 Elementos de Topologia

A discussao a seguir se baseia na de Wald [1]. Apresentamos uma serie de definicoes eresultados sobre Topologia que sao necessarios para um melhor entendimento do espaco-tempo enquanto estrutura matematica.

Definicao 1. Um espaco topologico e uma dupla (X, T ) que consiste de um conjuntoX e uma famılia de subconjuntos T de X tal que sao satisfeitas as seguintes propriedades:

1. Uma uniao arbitraria de conjuntos em T esta em T ; isto e, se {Uα}α∈A ∈ T , entao⋃α∈A

Uα ∈ T ;

2. a interseccao de um numero finito de conjuntos em T esta em T ; isto e, se Oi euma famılia de n conjuntos em T , entao

n⋂i=1

Oi ∈ T ;

3. os conjuntos X e o vazio estao em T .

Dizemos que T e uma topologia em X, e os subconjuntos de X que sao elementos datopologia sao denominados conjuntos abertos. Definimos ainda um conjunto A comofechado se for o complementar de um aberto, i.e. existe U ∈ T tal que A = X\U . �

1

2 CAPITULO 1. FUNDAMENTOS MATEMATICOS DA RELATIVIDADE GERAL

E facil constatar que qualquer espaco metrico e tambem um espaco topologico segundoa topologia induzida pela metrica. Isto e, os conjuntos abertos sao aqueles que podem serexpressos por unioes (arbitrarias) de bolas abertas, nocao esta bem-definida em espacosmetricos quaisquer. Por outro lado, nem todo espaco topologico e tambem metrico.

Precisamos ainda introduzir maneiras de relacionar espacos topologicos e de classifica-los. As definicoes a seguir se encarregam disso.

Definicao 2. Sejam (X, T ) e (Y,S) espacos topologicos. Um mapeamento f : X → Y edito ser contınuo se, para todo conjunto aberto O ⊂ Y , a pre-imagem f−1(O) ≡ {x ∈X : f(x) ∈ O} e um conjunto aberto em X. �

Definicao 3. Sejam espacos topologicos e um mapeamento f entre eles como acima. Afuncao f e dita ser um homeomorfismo de X em Y se for contınua, bijetora, e deinversa contınua. Dizemos entao que (X, T ) e (Y,S) sao espacos homeomorfos. �

Definicao 4. Um espaco topologico (X, T ) e dito ser conexo se os unicos subconjuntosde X que sao simultaneamente fechados e abertos sao o proprio X e o conjunto vazio.�

Por exemplo, o espaco Euclidiano Rn com a topologia usual e conexo.

Definicao 5. Seja (X, T ) um espaco topologico, e A um subconjunto de X.

• o fecho de A, denotado por A, define-se como a interseccao de todos os conjuntosfechados que contem A;

• o interior de A, denotado por int(A), define-se como a uniao de todos os conjuntosabertos contidos em A;

• a fronteira de A, denotada por ∂A, consiste de todos os pontos que estao em Amas nao em int(A). �

Claramente, o fecho de A e fechado (pois e a interseccao arbitraria de conjuntos fecha-dos, que e fechada), contem A, e e igual a A se e somente se A for fechado. Analogamente,o interior de A e aberto, esta contido em A, e e igual a A se e somente se A for aberto.

Definicao 6. Um espaco topologico (X, T ) e dito ser Hausdorff se, para todos os paresde pontos p, q ∈ X distintos, existirem respectivos abertos A 3 p e B 3 q tais queA ∩B = ∅. �

Desta maneira, um espaco Hausdorff permite que pontos distintos sejam isolados umdo outro.

Definicao 7. Seja A um subconjunto de um espaco topologico. Uma famılia de abertos{Oα} e dita ser um recobrimento (tambem dita uma cobertura ou recobrimento porabertos) de A se ⋃

α

Oα ⊃ A.

Uma subcolecao dos {Oα} que tambem contem A e dita ser uma subcobertura ou subre-cobrimento. �

Este conceito e crucial para uma das nocoes mais importantes da topologia: a ideiade compacto.

1.1. ELEMENTOS DE TOPOLOGIA 3

Definicao 8. Um subconjunto A de um espaco topologico e dito ser compacto se todacobertura de A por abertos admitir uma subcobertura finita. �

Um ponto isolado, por exemplo, e compacto. O intervalo aberto (0, 1) da reta real,na topologia usual de R, nao e compacto, pois admite cobertura por abertos da formaOn = (1/n, 1), para n = 1, 2, . . . que, por sua vez, nao admite nenhuma subcoberturafinita.

Apresentamos a importancia da nocao de compacidade com os seguintes teoremas:

Teorema 1. Sejam (X, T ) Hausdorff e A ⊂ X um subconjunto compacto. Entao, A efechado. �

Prova: provaremos que A e fechado mostrando que seu complementar U = X\A e aberto.Para isso, basta mostrar que, para qualquer x ∈ U , existe um aberto V ⊂ U com x ∈ V .

Fixemos x ∈ U . Para todo y ∈ A, podemos evocar a propriedade de Hausdorff eescolher abertos disjuntos Ay e By tais que x ∈ Ay e y ∈ By. Desta maneira, {By : y ∈ A}e uma cobertura por abertos de A; como A e compacto, esta cobertura admite umasubcobertura finita. Escolha entao y1, . . . , yn ∈ A tais que By1 ∪ · · · ∪Byn contenha A.

Observe que o conjunto V ≡ Ay1 ∩ · · · ∩ Ayn e uma interseccao finita de abertos, e eportanto aberto e contem x. Vamos mostrar que V ⊂ U : para qualquer z ∈ A, temosz ∈ By1 ∪ · · · ∪ Byn , de onde certamente z ∈ Byk , para algum k entre 1 e n. Ora, Ayk eByk sao disjuntos, de modo que z /∈ Ayk , o que implica z /∈ Ay1 ∩ · · · ∩ Ayn = V . Assim,V e A sao disjuntos, e V e um aberto contido em U . Como esse argumento vale paraqualquer x ∈ U , segue que X\A e aberto e tem-se a prova. �

Teorema 2. Seja (X, T ) em espaco topologico e K ⊂ X um compacto. Se C ⊂ K e umsubconjunto fechado, entao C e compacto. �

Prova: seja F =⋃α

Vα uma cobertura qualquer por abertos para C. Como X\C e aberto,

com certeza F ∪ (X\C) e uma cobertura para K. Mas K e compacto, de modo que existeum conjunto finito, da forma V1 ∪ · · · ∪ Vn ∪ (X\C), que cobre K. Desse modo, comoC ⊂ K, entao V1 ∪ · · · ∪ Vn cobrem C, e C e compacto. �

A propriedade de compacidade tambem e mantida sob mapeamentos contınuos:

Teorema 3. Sejam (X, T ) e (Y,S) espacos topologicos, e K ⊂ X um compacto. Se omapeamento f : K → Y e contınuo, entao f(K) e compacto. �

Estudemos tambem a nocao de convergencia:

Definicao 9. Uma sequencia {xn} de pontos num espaco topologico (X, T ) e dita con-vergente com limite x se dada uma vizinhanca aberta O de x, existe N tal que xn ∈ Opara todo n > N . �

Definicao 10. Um ponto y num espaco topologico (X, T ) e dito ser um ponto de acu-mulacao ou ponto limite de uma sequencia {xn} se toda vizinhanca aberta de y conteminfinitos pontos de {xn}. �

Naturalmente, se y e o limite da sequencia entao ele e ponto de acumulacao; porem,nem sempre este sera o caso. E possıvel haver pontos de acumulacao de uma sequenciaque nem mesmo possua subsequencia convergente a y. Para classificar estes casos, temosa seguinte definicao.


Definicao 11. Um espaco topologico (X, T ) e dito ser primeiro contavel se para todop ∈ X existe uma colecao contavel de conjuntos abertos, {On}, tal que toda vizinhancaaberta O de p contenha ao menos um membro desta famılia. �

No caso de estarmos num espaco primeiro contavel, todo ponto de acumulacao de umasequencia e na verdade ponto limite de alguma de suas subsequencias.

Existe um caso mais geral ainda:

Definicao 12. Um espaco topologico (X, T ) e dito ser segundo contavel se existe umacolecao contavel de conjuntos abertos tais que qualquer conjunto aberto possa ser expressocomo uma uniao de conjuntos nesta colecao. �

O espaco Euclidiano Rn e segundo contavel. Todo conjunto aberto pode ser expresso

como uniao de bolas abertas da forma Br(p) = {x ∈ Rn :n∑i=1

(xi − pi)2 < r2}, mas para

r, p racionais.Por fim, definimos importante conceito de paracompacidade:

Definicao 13. Seja (X, T ) um espaco topologico e seja {Oα} uma cobertura de X porabertos. Uma cobertura {Vβ} e dita ser um refinamento de {Oα} se para cada Vβ existeum Oα associado, com Vβ ⊂ Oα.

Dizemos ainda que a cobertura {Vβ} e localmente finita se para todo x ∈ X existeuma vizinhanca W tal que apenas um numero finito de Vβ satisfazem W ∩ Vβ 6= ∅.

Por fim, o espaco topologico e dito paracompacto se toda cobertura aberta admiteum refinamento localmente finito. �

E possıvel provar o seguinte resultado (ver, e.g. Hocking e Young, 1961):

Proposicao 1. Seja um espaco topologico Hausdorff localmente compacto, i.e. em quetodo ponto possui uma vizinhanca aberta de fecho compacto. Suponha que este espacopossa ser escrito como a uniao contavel de subconjuntos compactos. Entao, este espaco eparacompacto. �

Para uma variedade, conceito a ser visto na secao seguinte, paracompacidade implicadiversas consequencias importantes. Ela garante a existencia de um tensor metrico Ri-emanniano e a segundo-contabilidade da variedade; este ultimo resultado garante que avariedade possa ser coberta por um numero contavel, e localmente finito, de cartas locaisde coordenadas (ver a seguir).

Outros conceitos importantes no domınio da Topologia serao introduzidos conformenecessario.

1.2 Variedades diferenciaveis

Na Relatividade Geral, definimos o espaco-tempo como uma variedade diferenciavel do-tada da propriedade de ser Hausdorff e segundo-contavel. As duas ultimas nocoes foramexplicadas na secao acima; vejamos o que quer dizer a primeira.

Definicao 14. Uma variedade diferenciavel Cr de dimensao n consiste de um espacotopologico M (onde deixaremos implıcita a topologia escolhida) e uma colecao {Uα, φα},onde Uα sao abertos e φα : Uα → Rn sao mapeamentos bijetores contınuos, tais que saosatisfeitas as seguintes propriedades:

1.2. VARIEDADES DIFERENCIAVEIS 5

1. A uniao de todos os Uα cobrem M, isto e⋃α

Uα =M;

2. se a interseccao Uα ∩ Uβ for nao-vazia, entao a funcao de transicao

φα ◦ φ−1β : φβ(Uα ∩ Uβ)→ φα(Uα ∩ Uβ)

e um mapeamento de classe Cr entre abertos do Rn, para todos α, β.

Chamamos os pares (Uα, φα) de cartas locais de coordenadas, e sua colecao{Uα, φα} de um atlas para M. Os mapeamentos φα costumam ser chamados de car-tas de coordenadas ou sistemas de coordenadas. �

Geralmente trabalharemos com variedades C∞; neste caso, basta impor que a funcaode transicao entre duas cartas seja um difeomorfismo.

Observe que a definicao acima constroi a variedade como um espaco topologico emque, localmente, podemos atribuir coordenadas aos pontos, via os mapeamentos φ; o papeldas funcoes de transicao e impor que, em regioes em que haja interseccoes de cartas, naohaja descontinuidades entre as possıveis descricoes de um ponto.

Nao entraremos em detalhes mais tecnicos sobre a nocao de variedade, como a nocaode atlas maximal. Nos e suficiente saber que o conceito de variedade nos permite atri-buir coordenadas a pontos, e muda-las segundo uma mudanca de cartas de coordenadas.Passaremos agora a construir estruturas geometricas.

Encerremos esta secao com uma definicao bastante natural:

Definicao 15. Uma funcao f :M→ Rn e dita ser diferenciavel num ponto p se, paratoda carta φ que cobre uma vizinhanca aberta B 3 p, a composicao f ◦φ−1 : φ(B) ⊂ Rn →Rn for diferenciavel em φ(p).

1.2.1 Espacos tangentes

A discussao desta secao e baseada na de Stewart [2].Dado um ponto p na variedadeM, existe uma maneira natural de construir um espaco

vetorial associado a este ponto. Denoteremos este espaco por TpM e o chamaremos deespaco tangente a M em p.

Para tal fim, precisaremos da seguinte definicao:

Definicao 16. Uma curva de classe Cr numa variedade diferenciavel M e um mapea-mento λ : (a, b) ⊂ R→M tal que, para toda carta φ, a composicao φ ◦ λ : (a, b)→ Rn eum mapeamento Cr. �

Assim, curvas numa variedade sao construıdas de modo a serem sempre parametriza-das. Observamos que esta definicao segue a tendencia de chamar de “curva” a funcao emsi, e nao sua imagem.

Considere entao uma curva λ = λ(t) que passe por um ponto p ∈ M. Seja φ umacarta local ao redor de p, atribuindo coordenadas locais xi. Naturalmente, uma funcaodiferenciavel f definida ao redor de p assume, sobre a curva, valores

f(t) ≡ f(λ(t)) = f(x1(λ(t)), · · · , xn(λ(t))),


e portanto admite ser derivada ao longo desta curva:

df

dt≡ d

dt(f ◦ λ)(t) =

dxi(λ(t))

dt

∂f(xi)

∂xi,

onde a notacao de soma esta subentendida e sera adotada daqui em diante. Em notacaomais simples,

df

dt=dxi

dt

∂f

∂xi.

Podemos entender a diferenciacao como um operador sobre o espaco de funcoes dife-renciaveis F(M,R) sobreM, assumindo valores reais; e podemos entao tratar de definirvetores como sendo estes operadores. Observe que a expressao acima nos permite excluira dependencia com a funcao f e tratar o “vetor tangente” a λ como sendo apenas o ope-rador diferencial d/dt, que pode ser escrito como combinacao linear dos operadores ∂/∂xi

com componentes dxi/dt. Isto motiva a seguinte definicao:

Definicao 17. Um vetor tangente d/dt a uma curva λ(t) num ponto p = λ(t0) de umavariedade e o mapeamento

f 7→ df

dt:=

d

dt(f ◦ λ)

∣∣∣∣t=t0

,

onde f : A ⊂M→ R e alguma funcao diferenciavel.As coordenadas do vetor tangente com relacao a carta xi sao dadas por(

df

dt

)i=

d

dtxi(λ(t))

∣∣∣∣t=t0

.

O espaco tangente a variedadeM no ponto p e o conjunto TpM de todos os vetorestangentes a curvas que passam por p. �

Tal como dito acima, a ideia de que possamos expressar vetores tangentes como com-binacoes lineares de uma certa base pode ser formalizada segundo o seguinte resultado:

Teorema 4. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n. Para todo p ∈ M,TpM e um espaco vetorial de dimensao n. �

Prova: estabeleca coordenadas locais x ao redor de p. Comecemos mostrando que com-binacoes lineares de elementos de TpM sao em si elementos de TpM; para isso, bastamostrar que estas combinacoes lineares sao em si tangentes a alguma curva que passa porp. Sejam X e Y dois elementos deste espaco. Entao, existem curvas λ e µ tais que, semperda de generalidade,

λ(t0) = µ(t0) = p;

dxi(λ(t))

dt

∣∣∣∣t=t0

= X i,dxi(µ(t))

dt

∣∣∣∣t=t0

= Y i.

Queremos portanto achar uma curva ν(t) tal que ν(t0) = p e que satisfaca

d(f ◦ ν)(t)

dt

∣∣∣∣t=t0

= Xf + Y f. (1.2.1)

Defina o mapeamentoν : t 7→ φ ◦ λ+ φ ◦ µ− φ(p),


que e uma curva no Rn (o termo constante φ(p) tera seu proposito esclarecido a seguir).Sua imagem sob uma funcao contınua e portanto uma curva no contradomınio; chamemosentao

ν(t) = (φ−1 ◦ ν)(t)

e mostremos que ela passa por p e satisfaz a eq. (1.2.1): para qualquer f ∈ F(M,R)

dν(f(t))

dt

∣∣∣∣t=t0

=d

dt

(f ◦ φ−1 ◦ φ ◦ λ

)∣∣∣∣t=t0

+d

dt

(f ◦ φ−1 ◦ φ ◦ µ

)∣∣∣∣t=t0

− d

dt

(f ◦ φ−1 ◦ φ(p)

)∣∣∣∣t=t0

=d

dt(f ◦ λ)

∣∣∣∣t=t0

+d

dt(f ◦ µ)

∣∣∣∣t=t0

− d

dtf(p)︸︷︷︸=0

= Xf + Y f,

logo (1.2.1) esta satisfeita. Alem disso,

ν(t0) = φ(λ(t0)) + φ(µ(t0))− φ(p)

= φ(p) + φ(p)− φ(p) = φ(p),

e logo

ν(t0) = φ−1 ◦ φ(p) = p,

tal como querıamos. Assim, uma parte da demonstracao esta feita: soma de vetorestangentes sao vetores tangentes.

O raciocınio para mostrar que, se X ∈ TpM entao αX ∈ TpM, para α ∈ R, e analogo.Chame

σ : t 7→ αφ ◦ λ− (α− 1)φ(p)

e

σ(t) = φ−1 ◦ σ(t).

Deixaremos os calculos explıcitos como exercıcio. Temos entao que TpM e um espacovetorial.

Vamos entao obter uma base para este espaco. Considere uma famılia λ(k), k =1, . . . , n de curvas, com coordenadas dadas por

xi(λ(k)(t)) =

{xi(p), se i 6= k

xi(p) + t, se i = k,

e defina (∂

∂xk

)p

:=d

dt(φ ◦ λ(k))

∣∣∣∣t=0

.

Desta maneira,[d

dt(φ ◦ λ(k))

]it=0

≡ d

dt(xi ◦ λ(k))

∣∣∣∣t=0

=

(∂xi

∂xk

)p

= δik,


onde δik = δki = δik e o delta de Kronecker. Esta propriedade nos permite calcular ooperador (∂/∂xi)p em qualquer funcao f diferenciavel na variedade:(

∂

∂xk

)p

f :=d

dt(f ◦ λ(k))

∣∣∣∣t=0

=d

dt

((f ◦ φ−1) ◦ (φ ◦ λ(k))

)∣∣∣∣t=0

=n∑

m=1

∂

∂xm(f ◦ φ−1)

∣∣∣∣φ(p)

d

dt(xm ◦ λ(k))

∣∣∣∣t=0

=n∑

m=1

∂

∂xm(f ◦ φ−1)

∣∣∣∣φ(p)

(∂xm

∂xk

)p︸︷︷︸

=δmk(∂

∂xk

)p

f =∂

∂xk(f ◦ φ−1)

∣∣∣∣φ(p)

.

A identidade acima nos explica o por que de termos definidos o operador ∂/∂xi comoo fizemos - ele efetivamente toma uma derivada de uma funcao f sobre a variedade aomapea-la desde o Rn. Vamos usar esta expressao para mostrar que estes operadoresgeram TpM: seja X vetor tangente a uma curva λ(t) com escolha de parametros tal queλ(0) = p. Disso,

Xf =d

dt(f ◦ λ)

∣∣∣∣t=0

=d

dt(f ◦ φ−1 ◦ φ ◦ λ)

∣∣∣∣t=0

=n∑k=1

∂

∂xk(f ◦ φ−1)

∣∣∣∣φ(p)︸︷︷︸

=(∂/∂xk)f

d

dt(xk ◦ λ)

∣∣∣∣t=0

=n∑k=1

[d

dt(xk ◦ λ)

]t=0

(∂

∂xk

)p

f.

Observe que o termo (d/dt)(xk ◦ λ) ≡ Xk equivale a componentes do vetor X nacombinacao linear dos operadores (∂/∂xi)p. Assim, retirando-se a funcao de teste f ,temos sucintamente, em notacao de soma,

X = Xk ∂

∂xk

deixando-se implıcita a dependencia com o ponto considerado e tornando um pouco maislimpa a notacao. Temos entao que

TpM = span

{∂

∂xk

}.

Para provar que este conjunto gerador e uma base, basta mostrar que ele e linearmenteindependente. Suponha que Ak(∂/∂xk) = 0; entao

0 = Ak∂

∂xkxi = Akδik = Ai, ∀i ∈ {1, . . . , n}.


Esta entao provada a independencia linear deste conjunto, e portanto ele e uma basepara TpM. �

Resumindo o que fizemos ate agora, o espaco tangente a uma variedade diferenciavelde dimensao n num ponto p e um espaco vetorial de dimensao n, em que existe uma basenaturalmente definida pelas coordenadas locais ao redor deste ponto.

Notacao e nomenclatura: quando o sistema de coordenadas utilizadas estiver claro,denotaremos por vezes

∂

∂xi≡ ∂i.

Esta base e denominada base coordenada de TpM.Vetores em TpM sao efetivamente chamados de vetores, mas tambem de vetores con-

travariantes.

Agora, dado que TpM e um espaco vetorial, toda a maquinaria da Algebra Linearpode ser aplicada. Para variar, comecemos com nomenclatura:

Definicao 18. O espaco cotangente T ∗pM a variedade diferenciavel M no ponto pe o dual de seu espaco tangente, i.e. o conjunto de todos os funcionais ω : TpM → Rlineares. �

Dado que TpM e T ∗pM sao isomorfos, a dimensao de T ∗pM tambem e n. Alem disso,

dada qualquer base {ei} de TpM associa-se a ela sua chamada base dual {ej} em T ∗pM,tal que

ej(ei) = δji .

No caso da base coordenada, denotamos sua base dual por dxi; assim

dxi(∂j) = δij.

Vetores no espaco cotangente sao chamados de vetores covariantes, covetores ou 1-formas.

Observe que, como estamos lidando com espacos vetoriais de dimensao finita, existeum isomorfismo canonico TpM ∼= T ∗∗p M, e logo podemos identifica-los. Lembramos queeste isomorfismo nem sempre ocorre em espacos de dimensao infinita.

1.2.2 Tensores. O produto tensorial de espacos vetoriais

Esta secao foi baseada no meu resumo inicial da Iniciacao Cientıfica, em ingles. Porhora, a deixaremos assim, misturada com trechos em portugues.

Now, with the aid of tangent spaces and their duals, we may construct a new vectorspace: their tensor product. Let us start with a simpler construction. Given two vectorspaces V and W over the same field (which we may conveniently choose to be the realnumbers), we can construct a new vector space based on them.

Definicao 19. Sejam dois espacos vetoriais V e W . Definimos sua soma direta como

V ⊕W := (V ×W,+, ·),

i.e. seu produto Cartesiano dotado de duas operacoes:


1. soma: sejam (v1, w1), (v2, w2) ∈ V ⊕W . Entao

(v1, w1) + (v2, w2) := (v1 + v2, w1 + w2);

2. multiplicacao por escalar: seja (v, w) ∈ V ⊕M e α ∈ R. Entao

α(v, w) := (αv, αw).

�

E um exercıcio simples mostrar que este novo conjunto, dotado destas operacoes, e defato um espaco vetorial. Alem disso, sua dimensao e dada por

dim(V ⊕W ) = dim(V ) + dim(W ),

uma vez que, se {vi}, i ∈ {1, . . . , dim(V )} e {wj}, j ∈ {1, . . . , dim(W )} sao bases para Ve W respectivamente, entao

{(vi, 0), (0, wj), i = 1, . . . , dim(V ), j = 1, . . . , dim(W )}

e claramente uma base para sua soma direta.We, however, wish to obtain another kind of vector space in which a “product-of-

vectors”-like operation is defined, in an exact sense to be seen below. Consider theCartesian product V ×W , and write

(v, w) ≡ v ⊗ w.

Define this operation ⊗ to satisfy the following properties:

v ⊗ w1 + v ⊗ w2 = v ⊗ (w1 + w2);

v1 ⊗ w + v2 ⊗ w = (v1 + v2)⊗ w;

α(v ⊗ w) = (αv)⊗ w = v ⊗ (αw).

One can check that these are the properties which the usual product of real numberssatisfies. We want to explicitly construct this product (named tensor product), giventhe two vector spaces. In fact, if we are given finite-dimensional vector spaces, then itcan be done in a simple way, as follows.

Definicao 20. Consider vector spaces V1, . . . , Vm over the real numbers. A multilinearform is a map

ω : V1 × · · · × Vm → R

which is linear in every component:

ω(v1, . . . , vj−1, αuj +βwj, vj+1, . . . , vm) = αω(v1, . . . , uj, . . . , vm) +βω(v1, . . . , wj, . . . , vm),

for all j ∈ {1, . . . ,m}, α, β ∈ R.Explicitly, for m components, we say that ω is a m-linear form. �


Given the fact that V1×· · ·×Vm is the same as V1⊕· · ·⊕Vm, except for the operationsdefined in the latter, sometimes we change the ×’s above for ⊕’s. Then, we denote theset of all multilinear forms in their direct sum as M (V1 ⊕ · · · ⊕ Vm) or, in a closed form,

M

(m⊕i=1

Vi

).

The reason for introducing multilinear forms is that they are capable of naturallydefining a tensor product. To see this, let V1 and V2 be finite-generated vector spaces,and let l1 ∈ V ∗1 and l2 ∈ V ∗2 be linear functionals. Define

l1 ⊗ l2 : V1 × V2 → R

(l1 ⊗ l2)(v1, v2) := l1(v1)l2(v2) ∈ R. (1.2.2)

It is an easy exercise to verify that l1 ⊗ l2 is a bilinear form over V1 × V2, given theusual multiplication properties of the real numbers. It is also immediate to verify that

(l ⊗m1 + l ⊗m2)(v1, v2) = l ⊗ (m1 +m2), m1,m2 ∈ V ∗2 ,

where the sum of functionals is understood from linear algebra. Similarly,

l1 ⊗m+ l2 ⊗m = (l1 + l2)⊗m, l1, l2 ∈ V ∗1 ;

α(l ⊗m) = (αl)⊗m = l ⊗ (αm).

Therefore, we see that the set of bilinear forms endowed with the tensor product ope-ration (1.2.2) satisfies all the properties of the tensor product of the dual vector spaces,and thus these two may be identified:

M (V1 ⊕ V2) ' V ∗1 ⊗ V ∗2 ,

and we may generalize this result by writing

m⊗i=1

V ∗i 'M

(m⊕i=1

Vi

). (1.2.3)

It is also possible to change the position of the ∗ if we remember that V ' V ∗∗; then it isalso true that

m⊗i=1

Vi 'M

(m⊕i=1

V ∗i

).

We may define a tensor as an element of the tensor product of a given combination ofvector spaces and their duals; the amount of each determines the type of the tensor. Forexample, T is said to be a (1, 2)-type tensor if it belongs to any of the following spaces:

V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗

V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V

This is also valid for tangent spaces to manifolds and their duals, for they are nothingmore than real, finitely-generated vector spaces. Therefore, the notion of tangent fieldsover manifolds is well-defined.


Notacao: a nomenclatura para tensores e ambıgua. Como vimos acima, uma tensor “detipo (1, 2)” pode ser, na verdade, um elemento de um dentre 3 espacos vetoriais distintos,ainda que isomorfos. Portanto, daqui em diante deve se tomar cuidado com a ordem emque os produtos tensoriais dos espacos sao tomados, para evitar confusoes.

Para evitar notacoes excessivas, tensores de tipo (a, b) serao ditos elementos de umespaco T (a,b)

p , ou simplesmente T (a,b) se o ponto p estiver subentendido, que representa aprodutos tensoriais de TpM com b produtos tensoriais de T ∗pM, em alguma ordem a serespecificada pelas coordenadas do tensor.

Antes de trabalharmos operacoes com tensores, vejamos um pouco o principal motivoque levou a sua criacao.

1.2.3 Mudancas de bases

Vimos quando definimos variedades diferenciaveis que a ideia de podermos descrever ummesmo ponto em diversos sistemas de coordenadas que se mesclavam de maneira contınuaera fundamental. De modo analogo, gostarıamos de obter como vetores, e tensores de ou-tras ordens, se comportam conforme mudamos de base. Obviamente, sabemos da AlgebraLinear que componentes de um vetor em duas bases distintas diferem apenas a menos doproduto por uma matriz quadrada, que chamamos de matriz de mudanca de base. NaGeometria Diferencial, esta teoria se mantem; o que muda e que a mudanca de basesagora tambem pode provir de uma mudanca de sistema de coordenadas. Com efeito, sexi e yi sao coordenadas locais ao redor de p, entao tanto {∂/∂xi} quanto {∂/∂yi} saobases coordenadas para TpM (e consequentemente induzem bases para quaisquer produ-tos entre espacos tangentes e cotangentes). Nesta secao, portanto, trataremos de obterrespostas a seguinte pergunta: uma mudanca de coordenadas xa → x′a muda como ascomponentes de um tensor?

Vetores

Lembremos a identidade (∂

∂xa

)p

f =∂

∂xa(f ◦ φ−1)

∣∣∣∣φ(p)

.

O lado direito e a derivada de uma funcao definida sobre Rn, onde sabemos fazerCalculo; podemos entao aplicar a regra da cadeia:(

∂

∂xa

)p

f =∂x′b

∂xa∂

∂x′b(f ◦ φ−1)

∣∣∣∣φ(p)

=∂x′b

∂xa

(∂

∂x′b

)p

f.

Logo, somos levados a seguinte regra para a mudanca de base, no caso da base coor-denada:

∂

∂xa=∂x′b

∂xa∂

∂x′b. (1.2.4)

Observe que o ∂x′b/∂xa nada mais e que a matriz Jacobiana da mudanca de base.Por hipotese, se a transformacao x → x′ for valida, o determinante Jacobiano deve sernao-nulo, e esta matriz deve ser inversıvel.

Queremos tambem obter como as componentes dos vetores se alteram sob uma mu-danca de coordenadas. Seja um vetor A ∈ TpM. Em dois sistemas de coordenadas xa e


x′a distintos, devemos ter

A = Aa∂

∂xa= A′a

∂

∂x′a.

Ja sabemos que, na base xa,

A = Aa∂

∂xa= Aa

∂x′b

∂xa∂

∂x′b.

A expressao acima apresenta uma combinacao linear na base ∂/∂x′b; como ela deveser unica, devemos entao ter

A′b = Aa∂x′b

∂xa. (1.2.5)

A nomenclatura contravariante para vetores em TpM provem da forma das equacoes(1.2.4) e (1.2.5); com efeito, ambas podem ser escritas como

∂

∂x′a=∂xb

∂x′a∂

∂xb

A′a =∂x′a

∂xbAb.

Observe que o Jacobiano que aparece em um caso e o inverso do que aparece no outro.

Covetores

O procedimento aqui e um pouco diferente. Lembre que a base coordenada dual {dxa} edefinida de modo que

dxa(

∂

∂xb

)= δab .

Alem disso, como o espaco cotangente tambem e um espaco vetorial, segue que dxa

devem mudar de maneira linear sob uma mudanca de base; sejam coeficientes Mab a

determinar tais quedx′a = Ma

b dxb.

Com isso, teremos

dx′a(

∂

∂x′b

)= Ma

c dxc

(∂xd

∂x′b∂

∂xd

)= δab

⇒Mac

∂xd

∂x′bdxc(

∂

∂xd

)= δab .

Na passagem da primeira para a segunda linha, usamos a propriedade conhecida damudanca entre bases coordenadas e a linearidade dos covetores. Usando agora que um δcdaparece da aplicacao da base de um-formas nos vetores da base, obtemos

Mac

∂xc

∂x′b= δab

A unica matriz Mac que satisfaz esta propriedade e

Mac =

∂x′a

∂xc.


Logo, a formula para mudanca da co-base e

dx′a =∂x′a

∂xbdxb. (1.2.6)

Este e o principal motivo de a base dos covetores ter sido escrita nesta forma; sua mu-danca de base imita perfeitamente (e acaba por generalizar) a expressao de um diferencialexato.

Em seguida, por um procedimento analogo ao feito com vetores, uma um-forma ω =ωadx

a = ω′adx′a tera seus componentes modificados por

ω′a =∂xa

∂x′bdxb (1.2.7)

Tensores em geral

We may now obtain the general tensor transformation law. Consider an (a, b)-type tensor,e.g.

T ∈ T (a,b).

Given that we have the coordinate bases for each space, a natural basis for us toexpress T is {

∂

∂xi1⊗ · · · ⊗ ∂

∂xia⊗ dxia+1 ⊗ · · · ⊗ dxia+b

}.

As T is a tensor in T (a,b), there must be coefficients T i1...iaia+1...ia+bso that

T = T i1...iaia+1...ia+b

∂

∂xi1⊗ · · · ⊗ ∂

∂xia⊗ dxia+1 ⊗ · · · ⊗ dxia+b . (1.2.8)

In another coordinate chart, a similar expression must also be true:

T = T j1...jaja+1...ja+b

∂

∂yj1⊗ · · · ⊗ ∂

∂yja⊗ dyja+1 ⊗ · · · ⊗ dyja+b . (1.2.9)

However, Eqs. (1.2.4) and (1.2.6) tell us how to express these new coordinates in termsof the old ones; let us apply them to (1.2.8):


(∂yj1

∂xi1∂

∂yj1

)⊗· · ·⊗

(∂yja

∂xia∂

∂yja

)⊗

(∂xi

a+1

∂yja+1dyja+1

)⊗· · ·⊗

(∂xia+b

∂yja+bdyja+b

).

The multilinearity property allows us to take ∂y/∂x and ∂x/∂y terms outside. Then


∂yj1

∂xi1· · · ∂y

ja

∂xia∂xi

a+1

∂yja+1· · · ∂x

ia+b

∂yja+b

(∂

∂yj1⊗ · · · ⊗ ∂

∂yja⊗ dyja+1 ⊗ · · · ⊗ dyja+b

).

Comparing this expression to (1.2.9), we get the general tensor transformation law:

T j1...jaja+1...ja+b= T i1...iaia+1...ia+b

∂yj1

∂xi1· · · ∂y

ja

∂xia∂xi

a+1

∂yja+1· · · ∂x

ia+b

∂yja+b. (1.2.10)

A expressao (1.2.10) acima e as vezes usada (em especial em textos de Fısica) comoa definicao de um tensor, i.e. que um tensor e um conjunto de numeros que, sob umatransformacao de coordenadas, se transformam da maneira indicada pela (1.2.10). Con-tanto, vimos que e possıvel obter essa propriedade como consequencia de uma definicaoaxiomatica.

Encerramos esta secao com uma definicao.

1.3. O TENSOR METRICO 15

Definicao 21. Um campo tensorial T de tipo (a, b) sobre um conjunto A em umavariedade diferenciavelM e um mapeamento A 3 p 7→ T (a,b)

p de um ponto em um tensor.

Also, from now on, we shall denote the set of infinitely differentiable vector fields overa differentiable manifold M as X(M) .

1.3 O tensor metrico

Talvez o mais importante elemento de toda a Geometria, o tensor metrico admite umadefinicao muito simples e, ao mesmo tempo, muito poderosa.

Definicao 22. Let p ∈M be a point in a differentiable manifold M. A metric tensor(or simply a metric) is a symmetric, non-degenerate bilinear form g ∈ T ∗pM⊗ T ∗pM.That is, if A,B ∈ X(M) are continuously differentiable vector fields in M, then, at eachpoint p ∈M, the following properties are true:

• symmetry: g(A,B) = g(B,A),

• non-degenaracy: if g(A,B) = 0 for all B ∈ TpM, then A ≡ 0.

A metric tensor is said to be Riemannian if it is also positive-definite; that is, givenany vector field A,

g(A,A) ≥ 0;

g(A,A) = 0⇔ A = 0.

As a Riemannian metric tensor is defined over the whole manifold, it acts naturallyas a scalar product, which in turn induces a norm and a metric (metric space sense) inthe manifold. It is a theorem that every differentiable manifold can be endowed with atleast one Riemannian metric.

A semi-Riemannian (or pseudo-Riemannian) metric tensor is any metric tensor whichis not Riemannian.

As a (0, 2)-type tensor, given a point p ∈M and its associated tangent and cotangentspace, g can be locally expressed as

g = gµνdxµ ⊗ dxν .

Given two vector fields A = Aσ∂σ and B = Bλ∂λ, we have

g(A,B) = gµνdxµ

(Aσ

∂

∂xσ

)dxν

(Bλ ∂

∂xλ

)= gµνA

µBν .

Then, the imposition of symmetry implies that gµν = gνµ. This means that if we thinkof the components gµν of the metric tensor as elements of a square, n× n real matrix G,then

G = GT ,

that is, G is a symmetric matrix. The condition of non-degeneracy then reads as

det(G) 6= 0,


so G is invertible. The fact that it is symmetric also means that is can be put in a diagonalform, with all of its eigenvalues being real.

It is indeed useful to think of the metric tensor as a matrix, because many of itsproperties become clearer this way. For example, its transformation law

gµν =∂xσ

∂yµgσλ

∂xλ

∂yλ

can be put in matrix form as

G = JTGJ,

where J is the matrix whose components are Jµν =∂xµ

∂xν, i.e. it is the Jacobian of the

coordinate transformation.

Example: consider the canonical metric tensor of R3, i.e. the one obtained in Cartesiancoordinates (x, y):

G =

(1 00 1

).

If we wish to have the metric tensor in polar coordinates (r, θ), given by

x = r cos θ, y = r sin θ

we first calculate the Jacobian

J ≡ ∂(x, y)

∂(r, θ)=

(cos θ −r sin θsin θ r cos θ

).

Then,

G = JTGJ =

(1 00 r2

).

We then see that the new metric tensor is obtained by a congruence transformation.Sylvester’s law of inertia, from linear algebra, assures us that the amount of positive andnegative eigenvalues - the signature - does not change under this kind of transformation,even though the eigenvalues themselves may do. We may thus characterize a metricby its signature. Riemannian metrics have all-positive eigenvalues, so their signature is(+,+, . . . ,+); pseudo-Riemannian metrics are allowed to have some negative eigenvalues.In relativity, our main focus is on metrics with signatures

(−,+,+, . . . ,+),

which are called Lorentzian metrics. There is a theorem which guarantees the existenceof at least one Lorentzian metric over a differentiable (finite-dimensional) manifold M ifand only if there is in M a vector field V which is never 0; i.e. the map

p ∈M 7→ Vp ∈ TpM

is never 0, for every p in the manifold.

1.3. O TENSOR METRICO 17

1.3.1 Operacoes com tensores

Uma vez tendo entendido o formalismo que levou a existencia de tensores, e tendo com-preendido o tensor metrico, passaremos a analisar operacoes entre tensores. Abaixo, todosos tensores considerados estarao em algum T (a,b)

p relativo a um ponto p da variedade.Em termos da base coordenada e sua dual, ja vimos que qualquer tensor possui uma

decomposicao natural na base induzida pelo produto tensorial de espacos tangentes ecotangentes, e.g.

T = T abc∂a ⊗ ∂b ⊗ dxc

para um tensor de tipo (2, 1).Seja um outro tensor Sabc neste mesmo espaco. A operacao mais natural que podemos

definir e a soma de tensores:

T + S = (T abc + Sabc) ∂a ⊗ ∂b ⊗ dxc. (1.3.1)

Obviamente, a soma de tensores so esta definida para tensores de mesmo tipo.Com base no produto tensorial, podemos tambem definir o produto entre tensores

de modo natural, para quaisquer dois tensores (que podem ser de tipos diferentes) A e B.Por exemplo, sejam

A = Aab ∂a ⊗ ∂b ∈ TpM⊗ TpM

eB = Bc dx

c ∈ T ∗pM.

Definimos entao seu produto AB ∈ T (2,1) da seguinte forma

AB = AabBc ∂a ⊗ ∂b ⊗ dxc ∈ TpM⊗ TpM⊗ T ∗pM. (1.3.2)

Observe que o produto de tensores nao e comutativo; poderıamos sem problema terfeito BA ao inves de AB, e de fato terıamos tensores com mesmas componentes emespacos similares (ambos representandos por T (2,1)). Contudo, note que o produto dascomponentes AabBc obviamente comuta, pois se tratam de numeros reais.

Uma ultima operacao que nos sera muito importante e a contracao. Se R e um tensorde tipo (a, b), a contracao e um mapeamento em tensores de tipo (a− 1, b− 1) que podeser exemplificada como a seguir. Faca

R = Rabcd ∂a ⊗ dxb ⊗ dxc ⊗ dxd.

Uma possıvel contracao de R e dada pelo tensor de tipo (2, 2), a que chamaremos R,dado por

R ≡ Rabac dx

b ⊗ dxc.

Como veremos na secao seguinte, esse tipo de contracao leva o tensor de curvatura doRiemann no tensor de Ricci, que aparece nas equacoes de Einstein.

Existe outro tipo de transformacao, que leva “pedacos” de um tensor entre o espacotangente e o cotangente - usando a metrica.

Seja g = gab dxa⊗dxb a expressao local do tensor metrico, e seja X = Xa ∂a um vetor.

Definimos seu bemol comoX[ := gabX

bdxa, (1.3.3)

que e um covetor. Assim, e possıvel usar o tensor metrico para “abaixar ındices” de umvetor.


De modo analogo, podemos “levantar ındices”; seja ω = ωa dxa uma 1-forma, e defina

seu sustenido comoω] := gabωb ∂a. (1.3.4)

Estas duas operacoes, ] e [, formam isomorfismos entre TpM e T ∗pM, e sao chamadosde ismorfismos musicais. Na absoluta maior parte das vezes, nao nos referimos a elesdiretamente, mas indicamos um ındice “abaixado” ou “levantado”; se X i sao as com-ponentes do vetor X, dizemos que Xi = gijX

j sao suas “componentes no espaco dual”,ainda que, na pratica, X[ e X sejam entes diferentes.

Exercıcio: verifique que (X[)] = X e que (ω])[ = ω, para qualquer vetor X e 1-forma ω.

Obviamente, estas operacoes podem ser estendidas para quaisquer tipos de tensores,mas neste caso devemos especificar qual ındice esta sendo levantado/abaixado. Por exem-plo, num tensor de componentes Tij, podemos fazer ambas as operacoes abaixo:

T ij = gikTkj

T ji = gjkTik,

Por fim, usaremos da pratica comum de nos referirmos a um tensor por suas compo-nentes; assim, diremos diretamente Rab para nos referirmos a um tensor de tipo (0, 2).Contudo, nem sempre estaremos nos referindo as componentes na base coordenada dovetor em questao. Por exemplo, as equacoes de Einstein se escrevem na forma

Gµν = 8πGTµν ,

mas nao necessariamente queremos dizer que esta e uma equacao para as componentesdos tensores G e T , e sim para os tensores em si. Esta distincao se tornara mais claradaqui para frente.

1.4 Curvatura

Uma vez que tenhamos o poderoso conceito de tensor metrico, podemos comecar a obter demaneira explıcita as ferramentas que nos permitirao fazer geometria sobre uma variedade.

Definicao 23. Let X, Y ∈ X(M) be differentiable vector fields over a differentiable ma-nifold M . The commutator of X and Y is the vector field

[X, Y ] = XY − Y X

which, when applied to a real-valued function f ∈ C∞(M) gives

[X, Y ]f = X(Y (f))− Y (X(f)).

�

Let us express the commutator in terms of coordinates. Let X = Xµ(∂/∂xµ) andY = Y µ(∂/∂xµ), and by a slight abuse of notation denote (∂/∂xµ)f ≡ ∂f/∂xµ. Then

X(Y (f))− Y (X(f)) = Xµ ∂

∂xµ

(Y ν ∂f

∂xν

)− Y µ ∂

∂xµ

(Xν ∂f

∂xν

)= Xµ∂Y

ν

∂xµ∂f

∂xν+XµY ν ∂2f

∂xµ∂xν− Y µ∂X

ν

∂xµ∂f

∂xν− Y µXν ∂2f

∂xν∂xµ

1.4. CURVATURA 19

By Schwarz’s theorem, the double derivatives commute, and thus cancel each other. Then

[X, Y ] =

(Xµ∂Y

ν

∂xµ− Y µ∂X

ν

∂xµ

)∂

∂xν.

The above expression immediately shows us that the commutator is indeed a vector(even though XY or Y X are not!).

Duas propriedades importantes do comutador o tornam, com efeito, colchetes de Lie:

• antissimetria:[A,B] = [B,A];

• identidade de Jacobi:

[A, [B,C]] + [C, [A,B]] + [B, [C,A]] = 0.

(Exercıcio: provar esta identidade! )

1.4.1 Conexoes. Derivadas covariantes

Definicao 24. A connection ∇ on a differentiable manifold M is a map

∇ : X(M)× X(M)→ X(M)

(X, Y ) 7→ ∇XY

for which the following properties hold:

1. linearity in the first component: if α, β are functions from M in R,

∇αX1+βX2Y = α∇X1Y + β∇X2Y ;

2. addition in the second component:

∇X(Y + Z) = ∇XY +∇XZ;

3. Leibniz rule in the second component: if f :M→ R, then

∇X(fY ) = f (∇XY ) + (∇Xf)Y,

where we define the action of ∇ on a function by

∇Xf = X(f).

�

In terms of notation, we will write

∇∂/∂xµ ≡ ∇µ.

Given the above definition, it is not difficult to prove that, for any vector fields A,B ∈X(M), ∇AB is indeed a new vector field. Thus, for the special case where A = ∂µ andB = ∂ν , we define the connection coefficients as

Γσµν∂σ := ∇µ ∂ν . (1.4.1)


These coefficients are useful because they allow us to obtain general expressions for ∇AB.Given the above rules, it is straightforward to show that

∇AB = Aµ(∂µBσ + ΓσµνB

ν)∂σ. (1.4.2)

It is interesting to show that the connection coefficients themselves are not tensors;given their definition, a relatively simple calculation leads to

Γλ′

µ′ν′ =∂xλ

′

∂xλ∂xµ

∂xµ′∂xν

∂xν′Γλµν −

∂xµ

∂xµ′∂xν

∂xν′∂2xλ

′

∂xµ∂xν. (1.4.3)

The additional terms prove that the connection coefficients do not satisfy the usualtensor transformation law.

Now the notion of a connection, we can create a new type of derivative over a regionof the manifold, which is built to be covariant - i.e. it satisfies the general tensor trans-formation law for (1, 0)-tensors (vectors), which is something that normal derivatives arenot able to do. Given any parameterized curve

γ : R→M

λ ∈ R 7→ γ(λ) ∈M

sufficiently small so it fits in an open subset ofM, we define the directional covariantderivative1 of a vector field A along γ as

D

DλA := ∇γA, (1.4.4)

where naturally γ ≡ dγ/dλ. This is equivalent to writing

D

DλA =

(dγ

dλ

)µ∇µA

=dxµ

dλ∇µA. (1.4.5)

In the second line above we have named the components of γ as x, and noticed that(dx/dλ)µ = dxµ/dλ. We call the operator ∇µ the covariant derivative operator, orsimply the covariant derivative. Given Eq. (1.4.2), one has

(∇µA)ν = ∇µAν = ∂µA

ν + ΓνµσAσ. (1.4.6)

We see that the covariant derivative is effectively the usual partial derivative of A withcorrection terms which rise from the fact that a connection exists over a manifold.

It is also possible to extend the notion of covariant derivatives for one-forms as well.Indeed, given Definition 24 we see that a generalization is already created so that sca-lar functions obey Leibniz’s rule; then, we may consider the scalar Aµωµ. In terms ofcoordinates, we have for a scalar function f :M→ R

∇µ f = ∂µf.

1The nomenclature here is highly controversial. Mathematicians have the tendency to call this simplycovariant derivative, and do not give any names to the operator ∇µ A, which is usually what physicistscall covariant derivatives.

1.4. CURVATURA 21

Therefore,

∇µ(Aνων) = (∇µAν)ων + Aν(∇µων)

= (∂µAν + ΓνµσA

σ)ων + Aν(∇µων).

On the other hand,

∇µ(Aνων) = ∂µ(Aνων) = (∂µAν)ων + Aν(∂µων).

Comparing these two expressions, and changing dummy summation indices, one gets

∇µων = ∂µων − Γσµνωσ. (1.4.7)

Comparing Eqs. (1.4.6) and (1.4.7) shows that there are two changes: the signalpreceding the connection coefficient and the position of the indices. For a general (r, s)-type tensor T , one can extend the above calculations and show that

∇µTλ1...λrη1...ηs

= ∂µTλ1...λrη1...ηs

+r∑

k=1

ΓλkµσTλ1...λk−1σλk+1...λrη1...ηs

−s∑

k=1

ΓσµηkTλ1...λrη1...ηk−1σηk+1...ηs

. (1.4.8)

Definicao 25. Seja um vetor A ∈ TpM e uma curva γ(t) que contenha p. O vetor A edito ser paralelamente transportado ao longo de γ se

DAµ

Dt= ∇xA = 0, (1.4.9)

ao longo de γ. Acima, x representa o vetor tangente a γ.lbox

Usando Eq. (1.4.5), a equacao acima equivale a

dxν

dt∇νA

µ = 0, (1.4.10)

se xµ(t) forem as coordenadas da curva. Abrindo esta expressao, obtemos

dAµ

dt+ ΓµνσA

ν dxσ

dt= 0. (1.4.11)

O conceito de transporte paralelo provem da Geometria do R3. Informalmente, pode-mos imaginar um viajante que carrega uma barra (nosso vetor) a um angulo fixo com oque ele ve ser sua propria horizontal. Fisicamente, um tipo de transporte paralelo consisteem carregar um giroscopio, cujo momento angular sera o vetor considerado.

Observe que a equacao (1.4.9), escrita na forma (1.4.11), consiste de um sistema deEDO’s de primeira ordem nas variaveis Aµ, com condicoes iniciais tais que o vetor em pseja aquele originalmente considerado.

Definicao 26. Uma curva γ(t), com vetor tangente dxµ/dt, e dita ser uma geodesicase transportar paralelamente seu proprio vetor tangente, i.e.

D

Dt

dxµ

dt= 0.


Usando (1.4.9), esta equacao equivale a

∇xx = 0

se x e o vetor tangente a curva. Desenvolvendo este calculo com (1.4.11) obtem-se

d2xµ

dt2+ Γµνσ

dxν

dt

dxσ

dt= 0, (1.4.12)

que e conhecida como a equacao da geodesica. �

Tudo o que fizemos ate agora considerou uma conexao ∇ arbitraria. Porem, existeum tipo muito especıfico de conexao que nos permite relacionar este conceito geometricocom o tensor metrico.

Teorema 5. (Fundamental theorem of Riemannian geometry) LetM be a pseudo-Riemannianmanifold endowed with a metric tensor g. Then, there is one and only one metric-compatible, torsion-free connection ∇ in M. This connection is called the Levi-Civitaconnection.

By torsion-free, we mean that the (1, 2)-type torsion tensor

T (A,B) = ∇AB −∇BA− [A,B]

is null. Alem disso, por compatibilidade com a metrica, queremos dizer que

∇µgνσ = 0,

para qualquer escolha de ındices µ, ν e σ.A conexao de Levi-Civita nos permite diversas coisas que conexoes em geral nao acei-

tam. Em primeiro lugar, a propriedade de compatibilidade com a metrica nos diz quebaixar/levantar ındices comuta com diferenciacao covariante. Com efeito, usando a regrade Leibniz, temos e.g.

∇µAν = ∇µ(gνσAσ) = gνσ∇µAσ.

Em segundo lugar, ela nos permite obter uma expressao explıcita para seus coeficientesΓµνσ.

Comutador de campos vetoriais. Conexoes, derivadas covariantes de tensores de grauarbitrario. A conexao de Levi-Civita e suas propriedades (deducao dos sımbolos de Ch-ristoffel a partir de propriedades da conexao e a partir da Lagrangiana).

Transporte paralelo e geodesicas. Tensores de Riemann, Ricci e Einstein.

Bibliografia

[1] Robert M. Wald, General Relativity, The Chicago University Press, 1984.

[2] J. Stewart, Advanced General Relativity, Cambridge Monographs on MathematicalPhysics, Cambridge University Press, 1991.

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Cap tulo 1 Fundamentos Matem aticos da Relatividade Geral · Introduziremos neste cap tulo a de...

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