Cap08_Methodio

VII - 1

Capítulo 88Modelagem de Máquinas Síncronas

1. OBJETIVO

Este capítulo descreve a modelagem das máquinas síncronas a ser

utilizada em estudos de fluxo de carga e de curto circuito nos sistemas elétri-

cos. Não é objetivo deste texto estudar detalhadamente às máquinas síncronas

e sim estudar a modelagem dessas máquinas, tanto em regime permanente

quanto em curto circuito.

O comportamento da máquina síncrona em regime permanente, em

especial, a sua curva de capacidade, tem significativa importância para a reali-

zação dos estudos de fluxo de potência ou 'load flow'.

Nos estudos de curto circuito, o comportamento da máquina síncrona

tanto em regime permanente quanto no período transitório precisam ser co-

nhecidos. A forma de onda e a intensidade da corrente de curto circuito estão

intimamente relacionados aos parâmetros da máquina síncrona como a rea-

tância subtransitória, transitória e as respectivas constantes de tempo.

2. INTRODUÇÃO

Nos sistemas elétricos existentes no mundo, a geração de energia

elétrica é quase que totalmente efetuada por geradores síncronos acionados

por turbinas à gás, à vapor ou hidráulicas.

A capacidade da máquina síncrona de absorver e fornecer potência

reativa variando a sua corrente de campo é o grande atrativo para se utilizar

os motores síncronos, uma vez que usualmente para motores de pequena e

média potência, eles tem custo muito mais elevado que os motores de indução

Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas

VIII - 2

correspondentes. Motores síncronos sem carga mecânica no eixo, denomina-

dos compensadores síncronos, são especialmente projetados para absorver e

fornecer potência reativa aos sistemas elétricos ao qual estão conectados.

A máquina síncrona é uma máquina elétrica cuja velocidade mecânica

em regime permanente está relacionada a freqüência elétrica das tensões e

correntes que circulam em regime permanente no seu enrolamento de armadu-

ra, pela seguinte equação:

Polos

fw

.120= [1]

onde:

w - velocidade mecânica da máquina síncrona em rpm

f - freqüência elétrica em Hz

Polos - número de polos da máquina síncrona

As duas principais partes da máquina síncrona são estruturas cons-

truídas com chapas de material ferromagnético, uma delas estacionária, de-

nominada de estator e outra móvel, denominada rotor. A Figura 1 mostra o

estator de uma máquina síncrona que consiste essencialmente de um cilindro

com uma abertura central por onde gira o rotor mostrado na Figura 2 . Nas ra-

nhuras do estator estão distribuídos os enrolamentos de armadura, onde são

induzidas as tensões geradas pelo campo magnético indutor. O rotor é a parte

móvel da máquina síncrona, montada num eixo. O campo magnético indutor é

produzido no rotor pelo enrolamento de campo.

Figura 1 - Estator de uma máquina síncrona


VIII - 3

Figura 2 - Rotor de uma máquina síncrona

O enrolamento de campo é alimentado por corrente contínua, forne-

cida pela excitatriz. A excitatriz pode ser estática ou rotativa e normalmente

corresponde a uma potência da ordem de 1% da potência nominal da máquina

síncrona.

Nas máquinas síncronas mais antigas as excitatrizes eram constituídas

por geradores de corrente contínua, que através de escovas de carvão e anéis

coletores supriam o enrolamento de campo de corrente cc. Com a evolução da

eletrônica de potência, as fontes de corrente alternada rotativas externas ou

montada sobre o eixo da máquina passaram a ser empregadas sendo retifica-

das através de conversores controlados ou não. Para os geradores síncronos

de grande porte a excitatriz é usualmente auto excitada, isto é alimentada a

partir de um transformador ( denominado transformador de excitação) conecta-

do ao próprio sistema elétrico suprido pela máquina.

No rotor das máquinas síncronas, além do enrolamento de campo

existe ainda os enrolamentos amortecedores. Estes enrolamentos consistem

essencialmente de barras de cobre curto circuitada dispostas em ranhuras na

face polar, formando uma gaiola. Os enrolamentos amortecedores tem a fun-

ção de atenuar as oscilações mecânicas do rotor, geralmente provocadas por

desequilíbrio entre a potência ativa gerada e a consumida. Nos motores sín-

cronos os enrolamentos amortecedores são responsáveis pela produção do

torque de partida funcionando como a gaiola do motor de indução. Os enrola-

mentos amortecedores tem ainda um papel importante na redução dos har-

mônicos de fluxo na máquina. Na Figura 3 estão mostrados os dois tipos exis-


VIII - 4

tentes de enrolamentos amortecedores, os conectados e os desconectados.

Os enrolamentos amortecedores conectados tem suas barras de cobre curto

circuitadas envolvendo todas as faces polares como uma grande malha. No

caso dos desconectados, cada face polar tem sua barras de cobre curto cir-

cuitadas porém isolada da barras de cobre das demais faces polares.

Figura 3 - Enrolamento amortecedores

O enrolamento de armadura das máquinas síncronas consiste de bobi-

nas com N espiras distribuídas em ranhuras estreitas na periferia interna do

estator. A Figura 4 apresenta bobinas típicas de enrolamentos da máquina

síncrona e a Figura 5 apresenta uma ranhura aberta típica. Os enrolamentos

de armadura, usados em armaduras estacionárias, são normalmente trifásicos

constituídos de enrolamentos imbricados devido à menores conexões termi-

nais (cabeças de bobinas) requeridas entre bobinas.

Figura 4 - Tipos de bobinas de enrolamentos de máquinas síncronas


VIII - 5

Figura 5 - Ranhura aberta do estator

De acordo com o tipo construtivo do rotor, as máquinas síncronas se

classificam em máquinas de polos lisos e máquinas de polos salientes. As má-

quinas de polos lisos ou de rotor cilíndrico são máquinas de alta velocidade

usualmente com 2 ou 4 polos e são encontradas nos geradores acionados por

turbinas à gás ou a vapor. As máquinas síncronas de polos salientes são má-

quinas de grande número de polos e baixa velocidade, são empregadas em

geradores síncronos acionados por turbinas hidráulicas. A Figura 6 apresenta

as diferenças dimensionais entre os dois rotores, o rotor de polos lisos tem um

comprimento acentuado em relação ao seu raio, enquanto que o rotor de polos

salientes tem um raio mais acentuado que o seu comprimento.

Figura 6 - Comparação entre rotores de polos lisos e salientes

Nas máquinas síncronas em regime permanente o rotor gira a veloci-

dade constante sobre mancais, e é acionado no caso dos geradores síncronos

por uma fonte de potência mecânica acoplada ao seu eixo (turbinas ou máqui-

nas primárias).


VIII - 6

3. MODELO DA MÁQUINA SÍNCRONA DE EM REGIME PER-

MANENTE

Para a máquina síncrona de em regime permanente, o enrolamento de

campo distribuído ao longo da periferia do rotor e alimentado por uma corrente

contínua ( iF ), produz uma distribuição radial de indução magnética ao longo

da periferia do rotor que varia em função do ângulo espacial como pode ser

visualizado na Figura 7 que mostra a vista transversal de uma máquina síncro-

na de dois polos.

Figura 7 - Vista transversal de uma máquina síncrona de dois polos.

O fluxo magnético ( ϕF ) gerado no entreferro em regime permanente é

praticamente senoidal, expresso por:

.senwtöö mF = [2]

O rotor girando na velocidade síncrona, faz com que a forma de onda

do fluxo enlace os lados das bobinas do enrolamento de armadura, induzindo

uma tensão resultante que é também senoidal e que pode ser determinada

com auxílio da Lei de Faraday e de Lenz, isto é:

( ))90-sen(wtw.N.ö

dt.senwtNöd

dtdë

e 0m.

m=−=−= [3]


VIII - 7

O valor eficaz ta tensão resultante induzida é EF ,

dada por:

FF 4,44.f.N.öE = [4]

Com a circulação de corrente no enrolamento de armadura ( Ia ), é pro-

duzida uma nova força magnetomotriz no entreferro, usualmente conhecida

por reação de armadura. A circulação destas correntes de armadura, polifási-

cas equilibradas em enrolamentos dispostos defasados de 1200 elétricos na

periferia do estator produz um campo magnético de intensidade constante que

gira na velocidade síncrona, denominado campo girante. O campo magnético

resultante na máquina síncrona é a soma das duas componentes produzidas

pela corrente de campo e pela reação de armadura .

O modelo utilizado para representar o comportamento em regime

permanente de uma máquina síncrona de rotor cilíndrico em condições polifá-

sicas equilibradas, é usualmente obtido considerando o efeito do fluxo de rea-

ção de armadura representado por uma reatância indutiva. Para uma máqui-

na de rotor cilíndrico não saturada, o fluxo de entreferro resultante na máquina

pode ser considerado como a soma fasorial dos fluxos componentes criados

pelas fmm de campo e da reação de armadura, respectivamente, como mos-

trado pelos fasores ϕf , ϕar e ϕr, como mostra a Figura 8.

Figura 8 - Diagrama fasorial dos fluxos na máquina síncrona

Do ponto de vista dos enrolamentos de armadura , estes fluxos se ma-

nifestam como forças eletromotrizes geradas. A tensão de entreferro resultante

Er pode ser considerada como fasor soma da tensão de excitação Ef gerada


VIII - 8

pelo fluxo do campo e a tensão Ear gerada pelo fluxo de reação de armadura.

As forças eletromotrizes componentes Ef e Ear são proporcionais às correntes

de campo e armadura , respectivamente, e cada uma se atrasa em relação ao

fluxo que a produz de 90o. O fluxo de reação de armadura ϕar está em fase com

a corrente de armadura Ia e consequentemente a fem de reação de armadura

Ear se atrasa em relação a corrente de armadura de 90o. De forma analítica,

pode-se escrever que raf E.IjXE =− ϕ , onde xϕ é a constante de proporciona-

lidade , que relaciona os valores eficazes de Ear e Ia. O efeito da reação de

armadura, portanto é simplesmente o de uma reatância indutiva xϕ represen-

tando a tensão componente gerada pelo fluxo espacial fundamental criado

pela reação de armadura. Esta reatância é chamada reatância de magnetiza-

ção ou reatância da reação de armadura .

A tensão de entreferro difere da tensão terminal pelas quedas de ten-

são na resistência de armadura e na reatância de dispersão da armadura, e

Vt é a tensão terminal. Os circuitos equivalentes utilizados para modelar uma

máquina de rotor cilíndrico em regime permanente estão mostrados na Figura

9 e na Figura 10. O circuito equivalente destacando a tensão de entreferro é

apresentado na Figura 9, e o circuito equivalente mais compacto na Figura 10.

Figura 9 - Circuito equivalente da tensão de entreferro

Figura 10 - Circuito equivalente reduzido para a máquina de polos lisos


VIII - 9

No circuito equivalente da máquina síncrona de polos lisos mostrado

na Figura 10, a máquina é representada pela tensão de excitação Ef em série

com uma impedância simples. A reatância desta impedância é chamada impe-

dância síncrona e corresponde a soma das reatâncias de magnetização e dis-

persão.

Utilizando o modelo de máquina síncrona da Figura 9, considerando a

máquina operando como gerador síncrono pode-se obter a seguinte equação:

talaraf V.IjX.IjXR.IE.IjXE a +++=+= ϕϕ [5]

e para o circuito equivalente reduzido da Figura 10:

a.IjXR.IVE sa tf +++= [6] Uma das importantes características da máquina síncrona é a de poder

operar tanto absorvendo, quanto fornecendo reativo ao sistema elétrico ao

qual está conectado bastando para isto variar a sua corrente de campo. Uma

máquina síncrona operando com uma elevada corrente de campo é dita sobre-

excitada, nessas condições ela opera fornecendo reativo e com a tensão Ef em

módulo maior que a tensão terminal da máquina. De forma similar, uma máqui-

na síncrona é dita subexcitada quando ela opera absorvendo reativo, com uma

corrente de campo baixa ou até mesmo negativa. Nesta condição de operação

a tensão Ef em módulo é menor que a tensão terminal da máquina. Utilizando a

equação [6] pode-se obter o diagrama fasorial de um gerador síncrono sobre-

excitado e subexcitado como pode ser visto na Figura 11 e na Figura 12.

ϕϕf

Ef

Vt

jXs.Ia

R.Ia

Iaθθ

Figura 11 - Diagrama fasorial do gerador síncrono sobreecitado


VIII - 10

ϕϕf

Ef

Vt

jXs.Ia

R.Ia

θθ

Ia

Figura 12 - Diagrama fasorial do gerador síncrono subexcitado

No caso da máquina síncrona operando como motor, a corrente é as-

sumida saindo da máquina, revendo a equação [6], obtém-se:

a.IjXR.IEV sa f t ++= [7]

A partir da equação [7] podemos obter os diagramas fasoriais de um

motor síncrono subexcitado e sobreexcitado como está mostrado na Figura 13

e na Figura 14, respectivamente.

ϕϕf

Ef

Vt

jXs.Ia

R.Ia

Ia θθ

Figura 13 - Diagrama fasorial de um motor síncrono subexcitado

ϕϕf

Ef

Vt

FjXs.Ia

FR.Ia

IIa θθ

FIa

Figura 14 - Diagrama fasorial de um motor síncrono sobreexcitado


VIII - 11

Diferentemente da máquina de pólos lisos, onde o fluxo produzido por

uma onda de f.m.m. é independente do alinhamento espacial da onda em re-

lação ao pólos de campo, na máquina de pólos salientes, como mostra a

Figura 7, tem uma direção preferencial de magnetização determinada pela sa-

liência dos pólos de rotor. A permeância ao longo do eixo polar, ou direto, é

significativamente maior do que ao longo do eixo interpolar, ou em quadratura.

Os efeitos dos pólos salientes podem ser levados em conta decom-

pondo a corrente de armadura Ia em duas componentes, uma em quadratura e

outra em fase em relação ao fluxo magnético, como mostrado no diagrama fa-

sorial da Figura 15, para uma máquina funcionando a fator de potência induti-

vo.

Figura 15 - Diagrama fasorial de uma máquina de polos salientes

Assim uma grandeza de eixo direto é uma grandeza cujo efeito mag-

netizante está centrado nos eixos dos pólos de campo. Uma grandeza de eixo

em quadratura é uma grandeza cujo efeito magnético está centrado no espa-

ço interpolar. A cada uma das correntes componentes Id e Iq está associada

uma queda de tensão na resistência síncrona componente, j.Id.Xd e j.Iq.Xq

respectivamente. As reatâncias Xd e Xq são respectivamente as reatâncias

síncronas de eixo direto e de eixo em quadratura. As reatâncias síncronas

levam em conta os efeitos indutivos de todos os fluxos geradores de freqüên-

cias fundamental, criados pelas correntes de armadura, incluindo os fluxos

dispersos da armadura e de reação de armadura. Assim, os efeitos indutivos

das ondas de fluxo de reação de armadura nos eixos diretos e em quadratura

podem ser levados em conta por reatâncias magnetizantes de eixo direto e


VIII - 12

em quadratura Xϕd e Xϕq respectivamente de modo similar à reatância mag-

netizante Xϕ. Portanto:

dld XXX ϕ+= [8]

qlq XXX ϕ+= [9]

onde Xl é a reatância de dispersão da armadura e é considerada a mesma

para correntes de eixo direto e em quadratura. A reatância Xq é menor do que

a reatância Xd devido a maior relutância do entreferro no eixo em quadratura.

Usualmente, Xq está entre 0,6 e 0,7 de Xd.

Da mesma forma que a máquina síncrona de polos lisos podemos es-

crever as seguintes para a máquina síncrona de polos salientes:

tqqddaf V.IjX.IjXR.IE +++= [10]

4. CARACTERÍSTICA DE CIRCUITO ABERTO

A característica de circuito aberto da máquina síncrona é a curva que

apresenta a relação entre a tensão terminal da máquina síncrona em função

da corrente de excitação quando a máquina está girando na velocidade nomi-

nal com o enrolamento de armadura em aberto. A característica de circuito

aberto ( CCA ) da máquina síncrona representa a relação entre a componente

espacial fundamental do fluxo de entreferro e a fmm do circuito magnético,

quando o enrolamento de campo é a única fonte de fmm.

A Figura 16 mostra a montagem experimental utilizada para obter a ca-

racterística de circuito aberto. A máquina síncrona é acionada na sua veloci-

dade mecânica nominal e a corrente de campo é ajustada de forma a obter-se

tensão terminal nominal com os terminais de armadura em aberto. A potência

mecânica necessária para mover a máquina síncrona na sua velocidade nomi-

nal durante o ensaio de circuito aberto corresponde as perdas rotacionais em

vazio. Nas perdas rotacionais estão incluídas as perdas referentes ao atrito,

ventilação e perdas no ferro. As perdas por atrito e ventilação podem ser me-


VIII - 13

didas separadamente medindo-se a potência necessária para girar a máquina

síncrona na sua velocidade nominal sem corrente no enrolamento de campo.

A

EXCITATRIZ

V

V

V

w

MÁQ. SÍNCRONA

Figura 16 - Ensaio em vazio numa máquina síncrona

A característica de circuito aberto assim como outras características da

máquina síncrona são usualmente expressas em por unidade, sendo usual

neste caso se adotar como corrente de campo nominal, aquela que produz

tensão terminal nominal com a máquina em vazio. A CCA não apresenta gran-

des variações de acordo com o tamanho da máquina uma vez que ela está

diretamente relacionada ao entreferro.

5. CARACTERÍSTICA DE CURTO CIRCUITO

A característica de curto circuito é a curva que relaciona a corrente de

armadura de uma máquina síncrona com a sua corrente de campo quando a

máquina é acionada em velocidade nominal com o enrolamento de armadura

curto circuitado. A Figura 17 mostra a montagem geral para obter a CCC.

A

EXCITATRIZ

w

MÁQ. SÍNCRONA

A

A

A

Figura 17 - Ensaio de curto circuito


VIII - 14

Com os terminais de armadura curto circuitados, a corrente de campo

é gradualmente aumentada até que a corrente atinja um valor máximo de 1.5

vezes a corrente nominal. Com o enrolamento de armadura curto circuitado:

VT = 0 e:

jXs).Ia(RaEf += [11]

como Ra ≅ 0, a defasagem entre Ef e Ia é praticamente 90º. Assim a reação de

armadura na obtenção da ccc tem um fortíssimo efeito desmagnetizante, pois

a corrente de armadura está aproximadamente em linha em linha com os polos

do campo e em oposição ao fluxo de campo φf . Em outras palavras a máquina

síncrona está operando não saturada. A corrente de armadura é praticamente

diretamente proporcional a corrente de campo, na faixa de zero até bem acima

da corrente a de armadura. O diagrama fasorial de um gerador síncrono na

condição de operação para obter a CCC é mostrada na Figura 18.

Φf

F

Ef

Ra.Ia

jxs.Ia

Ia

A

Er

Figura 18 – Diagrama fasorial do gerador síncrono para a ccc

A reatância síncrona não saturada pode ser encontrada a partir dos

dados da característica de curto circuito e da característica de circuito aberto.

A Figura 19 mostra a ccc e a cca para uma mesma máquina síncrona. Assu-


VIII - 15

mindo a resistência de armadura desprezível, a reatância síncrona não satura-

da é obtida dividindo-se a tensão terminal medida na linha de entreferro pela

corrente de armadura obtida na ccc para uma mesma corrente de campo if ,

então:

accc

flesnsat

I

EX = [12]

A reatância síncrona saturada pode ser obtida dividindo-se o valor da

tensão terminal nominal na cca pela corrente de armadura na ccc obtidos para

uma mesma corrente de campo. Assim,

accc

fccassat

I

EX = [13]

na Figura 19 para ifo .

Finalmente, define-se relação de curto circuito RCC como sendo a ra-

zão entre o valor de corrente de campo que produz tensão terminal nominal na

cca pela corrente de campo que produz corrente de armadura nominal na ccc,

Na Figura 19 a RCC é dada por:

f1

fo

i

iRCC = [14]

Vt

If

Ia

ccccca

le

Vto

Iao

Ifo if1

Ia1

Figura 19 - Características de curto e de circuito aberto


VIII - 16

Analisando a Figura 19 pode ser visto que em pu a RCC é o inverso da

reatância síncrona saturada:

1X

1

II

ii

RCC ssat

acc

acc

f1

f0

inom

vnom

===

satXs

1RCC = [15]

Uma máquina síncrona com alta relação de curto circuito é uma má-

quina mais pesada tem menor entreferro, e uma maior capacidade de transfe-

rência de potência. Devido aos novos sistemas de excitação de respostas

muito velozes a tendência mundial e de redução da RCC de novas máquinas.

6. POTÊNCIA ATIVA E REATIVA FORNECIDA POR UMA MÁ-

QUINA SÍNCRONA

Quando a máquina síncrona está conectada a uma barra infinita sua

velocidade e sua tensão terminal são fixas e inalteradas, ficando apenas a cor-

rente de campo e o torque mecânico no eixo que podem ser controladas. A

variação da corrente de campo If referida como sistema de controle da excita-

ção é utilizado tanto para geradores como para motores permite suprir ou ab-

sorver uma quantidade variável de potência reativa. Se uma máquina síncrona

gira na sua velocidade síncrona, o único meio de variar a potência ativa é

através do controle do torque imposto ao eixo ou pela máquina primária no

caso de geradores ou pela carga mecânica no caso de motores.

Considerando um gerador de polos lisos com resistência desprezível,

suprindo potência num certo angulo de carga δ entre a tensão terminal Vt e a

fem de excitação interna Ef, a potência complexa suprida a rede é dada por:

( )jsenècosè.Ia.VtVt.IajQPS * +==+=

Como .senèIa.VtQ = , pode ser observado que Q é positivo para fatores de

potência atrasados desde que o angulo θ seja numericamente positivo. Man-


VIII - 17

tendo a potência ativa constante ( .cosèIa.VtP = ), o produto .cosèIa deve

permanecer constante. Ao variarmos a corrente de campo If, nestas condições

a fem interna Ef varia proporcionalmente sempre mantendo .cosèIa constante

como pode ser visto na Figura 20.

δδ

Ef

Vt

θθ

Ia

E’f

I’a

δδ’

Figura 20 - Controle da potência reativa

A potência ativa é controlada a partir do potência mecânica entregue

na máquina primária ou turbina, se a potência mecânica é incrementada, a

velocidade do rotor irá aumentar, com a corrente de campo e a fem de excita-

ção Ef mantidas constantes, o angulo δ entre a tensão Ef e Vt irá aumentar.

Aumentando o angulo δ resulta em um maior .cosèIa como pode ser visto gi-

rando o fasor Ef no sentido anti-horário. O gerador com um maior angulo de

carga δ, portanto fornece mais potência para o sistema elétrico exercendo um

elevado conjugado eletromagnético frenante na máquina primária restabele-

cendo o equilíbrio na velocidade síncrona.

A partir do circuito equivalente da máquina síncrona de polos lisos

apresentado na Figura 10, podemos escrever que a potência gerada a partir

da fem de excitação é expressa por:

jQPjXR

jXR.

jXR

.VE.EE

jXR

V-EE.IES

S

S

s

Tfff*

s

Tff.

*f

**

+=

++

−−

=+

==

[16]


VIII - 18

( ) ( )[ ]{ })VE(senV.Ej)VE(cosV.E.jXRjXR.E.XR

1S TfTfTfTfSS

2f

22∠−∠+∠−∠+−+

+= [17]

separando a parte real e a imaginária da equação [17], encontramos as equa-

ções da potência ativa e reativa fornecida por uma máquina síncrona de polos

lisos.

{ })VE(senV.EX )VE(cosV.ER.R.E.XR

1P TfTfTfTf

2f

22∠−∠+∠−∠−

+= [18]

{ })VE(senV.ER- )VE(cosV.EX.X.E.XR

1Q TfTfTfTf

2f

22∠−∠∠−∠−

+= [19]

Desprezando a resistência de armadura as equações [18] e [19] ficam

reduzidas as seguintes expressões:

)VE(senX

V.EP Tf

Tf∠−∠= [20]

X

)VE(cosV.EEQ

TfTf2

f ∠−∠−= [21]

No caso da máquina síncrona de polos salientes a potência fornecida

pode ser determinada a partir do diagrama fasorial mostrado na Figura 21.

φF

EF

IA

jXd.Id

jXq.Iq

Ra.Ia

Vt

Iq

Id δ

Figura 21 - Diagrama fasorial de uma máquina síncrona de polos salientes


VIII - 19

Analisando esse diagrama podemos ver que dqa j.III += , tdtqt jVVV +=

onde Vt.cosäVtq = e Vt.senäVtd = . A potência suprida pela máquina síncrona

de polos salientes é obtida pela seguinte equação:

df.qf*

dqf*

af IjE.IE)jI.(IE.IEjQPS +=−==+= [22]

Do diagrama fasorial da Figura 21 podemos retirar as expressões para

Id e Iq em função da tensão terminal, fem de excitação, parâmetros da máquina

síncrona e angulo de carga:

d

aatfd

X

.cosè.IR.cosäVEI

−−= [23]

q

aatq

X

.senè.IR.senäVI

+= [24]

Substituindo as expressões [23] e [24] na equação [22] e desprezando

a resistência de armadura obtemos as seguintes equações:

.sen2ä.X2.X

XXV.senä

X

.VEP

qd

qd.f

d

tf 2

−+= [25]

7. CURVA DE CAPACIDADE DE MÁQUINAS SÍNCRONAS

A curva de capacidade ou capabilidade de uma máquina síncrona de-

fine todas as condições normais de operação desta máquina conectada a um

barramento infinito. Esta curva consiste de um conjunto de pontos na superfí-

cie do plano PxQ, cujos pontos que se situam sobre os contornos da curva são

pontos de operação da maquina síncrona em que pelo menos um dos fatores

limitativos da capacidade de equipamento atinge o valor máximo permissível,

definindo assim as características nominais da máquina.

A curva de capacidade de uma máquina síncrona é construída admi-

tindo uma tensão terminal constante e desprezando-se a resistência de arma-

dura. A construção da curva se inicia a partir da obtenção do diagrama fasorial


VIII - 20

tomando Vt como referência e traçando as cinco curvas responsáveis pela de-

finição dos limites operacionais da máquina síncrona em regime contínuo ou

dos contornos da curva de capacidade de uma máquina síncrona. São elas:

excitação máxima, corrente de armadura máxima, excitação mínima, potência

máxima da máquina primária e limite de estabilidade.

O diagrama fasorial para um gerador síncrono sobrexcitado despre-

zando a resistência de armadura e adotando o fasor tensão terminal Vt como

referência está apresentado na Figura 22.

δδ

Ef

Vt

jXs.Ia

Ia

φφ

Figura 22 – Diagrama fasorial de um gerador síncrono de polos lisos

Multiplicando o módulo de cada fasor do diagrama mostrado na Figura

22 por s

t

X

V obteve-se o diagrama que pode ser visto na Figura 23.

δδ

s

Tf

X

.VE

s

T

XV 2

Ia

φφ

Vt.Ia

Figura 23 - Diagrama da potência reativa requerida


VIII - 21

Analisando-se a Figura 23 pode-se obter as equações [1] e [2]. Com-

binando-se estas equações obtém-se a equação [3] que demonstra o fato de

que a curva relacionada a excitação constante é um círculo de raio s

Ft

X

.EV.

ö.sen .IVX

Vcos.

X

.EVat

s

t

s

ft2

+=δ [26]

ö .cos.IVsen.X

.EVat

s

ft=δ [27]

( )2

s

t22

s

ftQ

X

VP

X

.EV 2

++=

[28]

A primeira curva que limita a capacidade operacional da máquina sín-

crona é a curva excitação máxima. Esta curva consiste de um círculo de raio

igual a máxima tensão de excitação (corrente de campo máxima) com centro

no ponto (0, -Vt) como pode ser visto na Figura 24 para uma máquina síncrona

de polos lisos.

Q

P

δδ

s

Tfmax

X

.VE

s

T

X

V 2

Ia

φφ

Vt.Iaφφ

Figura 24 - Curva de corrente de excitação máxima


VIII - 22

A segunda curva limite operacional está relacionada ao valor máximo

de corrente de armadura, esta curva corresponde também a um círculo de raio

Vt.Ia e centro no ponto (0,0) como pode ser visto na Figura 25.

Q

P

δδ

s

Tf

X.VE

s

T

X

V 2

Ia

φφ

Vt.IaMAX

φφ

Figura 25- Curva limite da corrente de armadura máxima

A terceira curva limite está relacionada a potência ativa máxima que

um gerador síncrono pode fornecer, que está diretamente associado a limita-

ção da máquina primária. Esta curva limite é uma reta paralela ao eixo da po-

tência reativa que cruza o eixo da potência ativa no valor limite de potência

mecânica da máquina primária como pode ser visto na Figura 26.

Q

P

δδ

Ia

φφ

N

φφ

PMAX

Figura 26 - Curva do limite de potência ativa


VIII - 23

A quarta curva limite está relacionada ao limite de excitação mínima

permissível. Quando a máquina opera com o módulo da tensão de Ef menor

que a tensão terminal isto é subexcitada, ela absorve potência reativa da rede.

A medida que a tensão Ef vai sendo reduzida, o torque eletromagnético vai

também sendo reduzido afetando também a estabilidade da máquina síncrona.

Se a fem de excitação Ef for nula a máxima potência reativa absorvida

pela máquina pode ser determinada a partir da equação [28], fazendo Ef = 0 e

a potência ativa suprida pela máquina síncrona nula (P = 0), assim:

s

t

X

VQ

2

−= [29]

Em termos práticos a quarta curva limite corresponde a condição de

excitação mínima usualmente limitada a valores da ordem de 5 à 15% do valor

correspondente a excitação máxima. Esta curva limite corresponde a um cír-

culo de raio relacionado ao valor da excitação mínima e centro no ponto

(s

t

X

V 2

− ,0) como pode ser visto na Figura 27.

Q

P

δδ

Ia

φφ

N

φφ

PMAX

EfMIN

Figura 27 - Círculo de excitação mínima

A quinta curva limite está associada ao limite de estabilidade, relacio-

nado ao angulo de carga que conduz ao valor máximo de potência suprida


VIII - 24

pela máquina síncrona. Analisando a equação [20] verificamos que para a má-

quina síncrona de polos lisos esta situação ocorre para δ = 900, isto é colocan-

do-se Ef perpendicularmente a Vt. Esta condição de operação corresponde a

fatores de potência fortemente capacitivos.

O conjunto de pontos onde δ = 900 corresponde a uma reta paralela ao

eixo da potência ativa cruzando o eixo de potência reativa no ponto x =s

t

X

V 2

−

como pode ser visto na Figura 28.

Q

P

δδ

Ia

φφ

N

φφ

PMAX

EfMIN

δδ = 900Limite de

estabilidadeteórico

Figura 28 - Limite de estabilidade teórico

A operação de uma máquina síncrona no limite de estabilidade teórico

embora possível seria indesejável pois resultaria numa condição de operação

bastante instável, pois qualquer perturbação mínima levaria a máquina a perda

de sincronismo. Por este fato, a operação nesta condição limite não pode ser

permitida, daí se definir um limite prático de estabilidade a partir do limite teóri-

co. Este limite prático é obtido de modo que a cada valor de Ef, a potência ati-

va seja limitada ao valor resultante da diferença entre o máximo teórico para

este valor de Ef e 10% da potência nominal. Dessa forma, na região de cargas

capacitivas o contorno passará a ser estabelecido pela linha limite prático de

estabilidade representado na Figura 29.


VIII - 25

Figura 29 - Limite prático de estabilidade

Resumindo a Figura 30 mostra a curva de capacidade de um gerador

síncrono de polos lisos identificando cada uma das curvas limites.

Figura 30 - Curva de capacidade de um gerador síncrono de polos lisos


VIII - 26

A obtenção da curva de capacidade para motores síncronos de polos

lisos segue o mesmo procedimento descrito anteriormente, apenas a curva

deve ser esboçada no terceiro e quarto quadrante do plano complexo pois a

potência ativa é negativa, indicando absorção de potência. Para esboçar a

curva de capacidade de uma máquina síncrona de polos salientes o procedi-

mento em essência é o mesmo do apresentado para a máquina de polos lisos,

apenas a presença do conjugado de relutância produz um componente adicio-

nal de potência modificando ligeiramente o formato da curva como pode ser

visto na Figura 31.

Figura 31 - Curva de capacidade de uma máquina de polos salientes

Concluindo é importante destacar que os fatores que limitam o campo

de operação das máquinas síncronas estão relacionados aos níveis de perdas

toleráveis, decorrentes do carregamento da máquina, que influenciam decisi-

vamente na produção de calor e na conseqüente elevação da temperatura de

trabalho seja no rotor, no estator ou em ambos. Qualquer elevação das perdas

e, em conseqüência, da temperatura, além dos limites, provocará o envelhe-

cimento precoce do material isolante, desgaste de suas propriedades dielétri-

cas e até mesmo sua destruição.


VIII - 27

8. CURTO CIRCUITO TRIFÁSICO NOS TERMINAIS DE UMA

MÁQUINA SÍNCRONA

A máquina síncrona é um grande circuito RL constituído de um con-

junto de enrolamentos (enrolamentos de armadura, enrolamento de campo e

enrolamentos amortecedores) acoplados eletromagneticamente. Como todos

os outros sistemas dinâmicos, a análise do comportamento de uma máquina

síncrona em qualquer instante de tempo t, exige a solução de um sistema de

equações diferenciais de um certo nível de complexidade, principalmente pelo

fato de boa parte das indutâncias próprias e mútuas variarem com a posição

do rotor.

Para que possamos entender fisicamente o modelo a ser utilizado para

estudar a máquina síncrona em regime transitório, este será apresentado a

partir da análise de um curto circuito trifásico nos seus terminais, como está

mostrado na Figura 32.

if

icc

Figura 32 - Curto circuito nos terminais de uma máquina síncrona

A máquina síncrona da Figura 32 é assumida de polos lisos e operan-

do em vazio com a tensão terminal fase neutro da fase a, dada por:

á).sen(wtv(t)v Ma += [30]

Em t=0 a chave da Figura 32 é fechada e os terminais da máquina síncrona

são curto circuitados, a corrente de curto circuito na fase a é dada por:

( ) ( ) AT

t

dT'

t

dT''

t

CC è).e.I".sen(á2-è)á.sen(wtI.eII'.eI'I".2(t)i−

−−

−−+

+−+−= [31]

onde:


VIII - 28

I” - corrente subtransitória de curto circuito

I’ - corrente transitória de curto circuito

I - corrente de regime permanente de curto circuito

T”d – constante subtransitória de eixo direto em curto circuito

T’d - constante transitória de eixo direto em curto circuito

Ta – constante de tempo de armadura

α - θ - fase inicial da corrente

CORRENTE DE CURTO CIRCUITO

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

TEMPO ( seg.)

CO

RR

EN

TE

( p

u )

Figura 33 - Corrente de curto circuito trifásico na fase a

A Figura 33 apresenta o gráfico da corrente de curto circuito trifásico

da equação [31]. Analisando esta equação verificamos que a corrente de curto

circuito é composta de dois termos. O primeira termo da equação é uma senói-

de com amplitude variável que decai com o tempo sobre ação de duas cons-

tantes de tempo T’d e T’’d e é denominada componente CA (iCA). O segundo

termo é não periódico e decai exponencialmente com uma constante de tempo

TA. Este termo não periódico é chamado componente CC da corrente (iCC).

Portanto:

(t)i(t)i(t)i CCCACC += [32]

onde:


VIII - 29

( ) ( ) è)á.sen(wtI.eII'.eI'I".2(t)i dT'

t

dT''

t

AC −+

+−+−=

−−

[33]

AT

t

DC è).e.I".sen(á2-(t)i−

−= [34]

CORRENTE DE CURTO CIRCUITO

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

TEMPO ( seg.)

CO

RR

EN

TE

( p

u )

Figura 34 - Componentes CC e AC da corrente de curto trifásico

A Figura 34 apresenta o gráfico da corrente de curto circuito trifásico e

de suas duas componentes CA e CC. A componente CC surge de modo a sa-

tisfazer a condição física da corrente constante se manter em todas as indu-

tâncias da máquina no instante do curto circuito. Como a máquina síncrona

estava em vazio antes de ocorrer o curto nos seus terminais, existindo valor

inicial para a componente CA, a componente CC surge para anular a compo-

nente CA em t=0, uma vez que se em t =0- a corrente é nula nos enrolamentos

de armadura, em t=0+ tem que ser nula também pois se a corrente variar brus-

camente estaria contrariando o princípio de conservação da energia.

Devido a própria origem o termo CC, ela não existe se o circuito é fe-

chado num ponto da onda de tensão tal que α - θ = ± nπ ( n inteiro positivo ou

negativo). Se o circuito é fechado no ponto da onda da tensão que α - θ = ±

nπ/2, a componente CC tem seu máximo valor inicial para anular o valor má-

ximo da componente CA.


VIII - 30

A componente CC pode assim ter qualquer valor dependendo do valor

instantâneo da tensão quando o circuito é fechado e também do fator de po-

tência do circuito. Num sistema elétrico, sendo o valor instantâneo inicial da

tensão diferente nas três fases, a componente CA em t=0 é diferente nas três

fases, consequentemente teremos diferentes componentes CC nas três fases.

A Figura 35 ilustra este fato apresentando um gráfico das correntes de arma-

dura nas três fases e da corrente de campo durante a ocorrência de um curto

circuito nos terminais de uma máquina síncrona em vazio.

Figura 35 - Correntes de curto e de campo durante um curto trifásico

Um outro aspecto que é importante ressaltar relacionada a compo-

nente CC da corrente de curto circuito trifásico nos terminais de uma máquina

síncrona, é que esta componente, torna a corrente de curto trifásica assimétri-

ca em relação ao eixo dos tempos. Se a componente CC não existir a corrente

de curto circuito terá apenas a componente CA, será simétrica em relação ao

eixo dos tempos, e neste caso particular a corrente de curto circuito é denomi-

nada corrente simétrica de curto circuito.( Figura 36).


VIII - 31

Figura 36 – Corrente simétrica de curto circuito

Admitindo a máquina síncrona em vazio antes da ocorrência do curto,

o fluxo magnético produzido pela corrente de campo, induz uma tensão Ef nos

enrolamentos de armadura. Com a máquina síncrona em regime permanente

na velocidade síncrona, o fluxo que enlaça os enrolamentos amortecedores é

constante, não existindo portanto tensão induzida ou corrente nestes enrola-

mentos. Ocorrendo um curto circuito trifásico nos terminais desta máquina,

como os enrolamentos de armadura são predominantemente indutivo, a cor-

rente de curto circuito estará praticamente em cima do eixo direto da máquina,

produzindo um fluxo em oposição de fase ao fluxo de campo. Deste fato se diz

que a corrente de curto circuito tem efeito desmagnetizante. Como os fluxos

concatenados com o enrolamento de campo e com os enrolamentos amortece-

dores não podem variar instantaneamente são então induzidas correntes mag-

netizantes nos enrolamento de campo e nos enrolamentos amortecedores de

forma a contrabalancear a fmm desmagnetizante criado pela corrente de curto.

A Figura 37 apresenta o oscilograma da corrente de campo durante a

ocorrência de um curto circuito trifásico nos terminais de uma máquina síncro-

na de polos lisos, pode-se observar que ela consiste de uma componente uni-

direcional (linha pontilhada) e uma componente alternada, ambas decaem no

tempo até atingir o valor de regime permanente.


VIII - 32

Figura 37 - Corrente de campo durante um curto circuito trifásico

Analisando a equação [3] verifica-se que a componente CA tem uma

amplitude que decai no tempo, constituída por três períodos distintos. O perí-

odo imediatamente após a falta é denominado de subtransitório, se caracteriza

por valores muito elevados da corrente de curto circuito devido as influências

dos enrolamentos de campo e amortecedores. Como o fluxo magnético nos

enrolamentos não pode variar bruscamente, tensões são induzidas em ambos

enrolamentos para que entre t=0- e t=0+ o fluxo enlaçado pelos enrolamentos

devido a ocorrência de um curto circuito súbito não varie.

O enrolamento amortecedor é o principal responsável pelo apareci-

mento do período subtransitório. Sua atuação é idêntica à gaiola de um motor

de indução. Em regime permanente, o rotor gira à velocidade síncrona, ou

seja, não existe escorregamento. Em conseqüência, não haverá indução de

corrente no enrolamento amortecedor e tudo se passa como se ele não exis-

tisse. Sua presença e eficiência serão sentidas nos primeiros ciclos do curto-

circuito. Isto porque, com o curto circuito, se estabelece momentaneamente,

variação entre o campo girante do estator (armadura ) e o do rotor , induzindo

corrente no enrolamento amortecedor. Estas corrente produzem um campo

magnético adicional, que impede maiores oscilações do rotor, dando maior

estabilidade a máquina. Portanto, o enrolamento amortecedor é importante

para aumentar a estabilidade da máquina frente ao sistema elétrico. Mas, em

contrapartida, aumenta a corrente de curto-circuito, e consequentemente, au-

mentando também o dimensionamento dos disjuntores, e TC’s. Uma máquina

síncrona sem enrolamento amortecedor na cabeça polar, não terá o período


VIII - 33

subtransitório e o curto-circuito se dará imediatamente dentro do período

transitório .

A duração do período imediatamente após a falta está diretamente re-

lacionada a constante de tempo subtransitória (da ordem de quatro vezes esta

constante) que é da ordem de alguns ciclos. Se desconsiderarmos o decai-

mento provocado pelas constantes de tempo Td’ e Td”, a componente CA fica

reduzida a uma senóide de amplitude I’’, isto é:

è)á.I".sen(wt2(t)iAC −+= [35]

O valor eficaz da corrente de curto circuito I’’ neste período é denomi-

nado corrente subtransitória de curto circuito e sua intensidade pode ser ex-

pressa admitindo que durante este período a reatância da máquina é diferente,

pela seguinte equação:

Xd"

E

jXd"Ra

E'I' ≅

+= [36]

Quando a máquina síncrona não possui enrolamentos amortecedores

ou quando o efeito destes enrolamentos já tenham cessados, a corrente de

curto circuito se encontra no período transitório que tem duração de alguns

ciclos de até alguns segundos.

O período transitório é caracterizado por um decaimento mais suave

e por período maior do que o período subtransitório. O principal responsável

pela dinâmica deste período é o enrolamento de campo. Este enrolamento é

energizado, como já se sabe, por uma fonte de corrente contínua, cuja corrente

cria um campo magnético que gira à velocidade síncrona. Durante o curto-

circuito, a brusca mudança do fluxo enlaçado nos enrolamentos provoca osci-

lações, e o enrolamento de campo do rotor passa a funcionar como uma gaio-

la, onde é induzida, por reação, uma corrente alternada. O enrolamento de

campo é encarado como um curto-circuito pela corrente CA induzida. A com-

ponente induzida da corrente de campo determina o comportamento da cor-

rente de estator durante o período transitório. Ela simplesmente representa


VIII - 34

maior excitação da máquina do que está presente no regime permanente, e

consequentemente as correntes de estator durante o período transitório são

maiores do que no regime permanente. A corrente induzida no campo, não

sendo mantida por um tensão aplicada ao circuito de campo, decresce numa

taxa determinada pela resistência do circuito de campo e pela indutância equi-

valente, e o correspondente acréscimo de corrente de estator decresce com

a mesma taxa, como pode-se ver na Figura 35.

Cessado ou simplesmente não existindo o efeito dos enrolamentos

amortecedores e desconsiderando o decaimento provocado pelas constante

de tempo Td’, a componente CA fica reduzida a uma senóide de amplitude I’,

isto é:

è)á.I'.sen(wt2(t)iAC −+= [37]

O valor eficaz da corrente de curto circuito I’ neste período é denomi-

nado corrente transitória de curto circuito e sua intensidade pode ser expressa

admitindo que durante este período a reatância da máquina é também dife-

rente, pela seguinte equação:

Xd'

E

jXd'Ra

EI' ≅

+= [38]

Após aproximadamente quatro constantes de tempo transitórias, a in-

fluência a corrente de campo estabiliza e a corrente de curto circuito da arma-

dura atinge o terceiro período desta corrente denominado corrente de regime

permanente de curto circuito. Neste período a componente CA fica reduzida a

uma senóide de amplitude I, dada por:

è)á.I.sen(wt2(t)iAC −+= [39]

O valor eficaz da corrente de regime permanente de curto circuito I é

expressa pela seguinte equação:

Xd

E

jXdRa

EI ≅

+= [40]


VIII - 35

Na realidade, durante a ocorrência de um curto-circuito num sistema

elétrico, a máquina síncrona não chega a atingir o regime permanente de cur-

to, porque antes de se atingir este regime, os dispositivos de proteção, isto é,

os relés promovem a abertura dos disjuntores, eliminando o defeito.

9. REATÂNCIAS DA MÁQUINA SÍNCRONA

A variação da corrente de curto circuito analisada anteriormente de-

monstra que, para se determinar com exatidão os valores instantâneos corres-

pondentes aos diferentes instantes, é necessário conhecer três reatâncias di-

ferentes do gerador, as quais sejam: a reatância subtransitória Xd’’, a reatân-

cia transitória Xd’ e a reatância síncrona Xd. A Figura 38 mostra os fluxos de

eixo d e eixo q relacionadas a cada uma destas reatâncias durante o curto.

Figura 38 - Reatâncias da máquina síncrona


VIII - 36

A reatância subtransitória Xd’’ compreende a reatância de dispersão

dos enrolamentos do estator e do rotor do gerador, estando incluídos na dis-

persão do rotor as influências do enrolamento de amortecimento e das partes

maciças do rotor. A reatância subtransitória também é designada por reatân-

cia inicial. O valor relativo da reatância subtransitória é nos turbo geradores,

da ordem de 12%. Nas máquinas de pólos salientes e com enrolamentos

amortecedores, é de 18% .

A reatância transitória Xd’, engloba a reatância de dispersão do enro-

lamento do estator e de excitação do gerador. Geralmente o seu valor é mais

elevado do que a reatância subtransitória. Se, porém, o rotor tem pólos e car-

caça laminados e tem enrolamentos amortecedores, então o valor de ambas é

praticamente o mesmo. A reatância transitória é às vezes conhecida por rea-

tância total de dispersão. O valor relativo da reatância transitória, em turbo

geradores é da ordem de 18% e nas máquinas de pólos salientes com en-

rolamentos amortecedores atinge 27%. Em ambos os casos portanto, o seu

valor é aproximadamente igual a 1,5 vezes o valor da reatância subtransitória.

A reatância síncrona Xd engloba a reatância total do enrolamento rotor

do gerador (reatância de dispersão mais a reatância da reação do induzido). O

seu valor relativo equivale ao valor recíproco da relação de curto-circuito em,

vazio, sendo em média igual a 160% nos turbo geradores e igual a 100% nas

máquinas com pólos salientes.

Todas as reatâncias mencionadas pertencem ao conceito de reatân-

cias de seqüência positiva. Tratando-se unicamente de diferentes valores

desse, particulares ao gerador e necessários para a determinação dos valores

instantâneos de curto-circuito.

O subíndice ‘’d’’ indica que as reatância são referidas a uma posição

do rotor, na qual o eixo do enrolamento do rotor e do estator coincidem. Este

eixo é designado por eixo direto. Além destas reatâncias, o gerador também

possui reatâncias nos eixos transversais, designado eixo em quadratura ou

eixo q, as quais entretanto, praticamente não tem maior importância para o

cálculo das condições de curto-circuito.


VIII - 37

10. CIRCUITOS EQUIVALENTES DA MÁQUINA SÍNCRONA

Para que possa determinar todas as expressões das reatâncias e

constantes de tempo da máquina síncrona, é essencial apresentar os circuitos

equivalentes da máquina síncrona de eixo direto e em quadratura em pu para

estudos de fenômenos transitórios envolvendo máquinas síncronas. Estes cir-

cuitos tem os enrolamentos de rotor (enrolamento de campo e amortecedores)

referidos ao estator.

O circuito equivalente de eixo direto ou de eixo d da maquina síncrona

é apresentado na Figura 39 enquanto que o do eixo em quadratura ou eixo q é

mostrado na Figura 40.

Figura 39 - Circuito equivalente de eixo d da máquina síncrona

Figura 40 - Circuito equivalente de eixo q da máquina síncrona

A expressão da reatância subtransitória de eixo direto da maquina sín-

crona pode ser obtida a partir do circuito equivalente de eixo d da Figura 39.

Desconsiderando todas as resistências envolvidas, a reatância subtransitória

de eixo direto é a reatância equivalente vista de aa’.( Figura 41)


VIII - 38

Figura 41 - Reatância subtransitória de eixo d

Analisando a Figura 41 podemos escrever que:

dfdkdkdf

dkdfld

.XX.XX.XX

.X.XXXX"

ϕϕ

ϕ

+++= [41]

De forma semelhante pode-se obter a expressão da reatância transitó-

ria de eixo direto da maquina síncrona a partir do circuito equivalente de eixo d

da Figura 41, desconsiderando a influência do enrolamento amortecedor e re-

atância equivalente vista de aa’:

df

dfld

X.X

.XXXX'

ϕ

ϕ

++= [42]

Desconsiderando a influência do enrolamento amortecedor e do enro-

lamento de campo a reatância equivalente vista de aa’ é a reatância síncrona

de eixo direto,

dld XXX ϕ+= [43]

Para a obtenção das reatâncias do gerador do eixo em quadratura ou

eixo q, utiliza-se o mesmo procedimento, contudo como não existe influência

do enrolamento de campo na variação do fluxo enlaçado em quadratura, não

se determina a reatância transitória de eixo q. A partir do circuito equivalente

de eixo q apresentado na Figura 40, desconsiderando as resistências obtemos

o circuito equivalente da Figura 42.


VIII - 39

Figura 42 - Reatância subtransitória de eixo q

A reatância subtransitória de eixo em quadratura é a reatância equi-

valente vista de aa’, isto é:

q

q

ϕ

ϕ

X.X

.XXXX"

l

llq

++= [44]

Desconsiderando a influência do enrolamento amortecedor e do enro-

lamento de campo a reatância equivalente vista de aa’ é a reatância síncrona

de eixo direto,

qϕXXX lq += [45]

Os circuitos equivalentes de eixo direto e em quadratura apresentados

na Figura 39 e na Figura 40 respectivamente também podem ser utilizados

para obter as constantes de tempo da máquina síncrona.

A constante de tempo subtransitória de eixo direto em circuito aberto

T”do da máquina síncrona, fisicamente está relacionada a influência dos enro-

lamentos amortecedores quando ocorrem variações bruscas no fluxo de cam-

po com a máquina operando em vazio. A constante de tempo subtransitória do

gerador em vazio Tdo’’ tem usualmente valores que estão entre 40 e 60 ms. Ela

pode ser determinada a partir do circuito equivalente de eixo direto (Figura 39),

assumindo os terminais de estator em aberto, a relação X/R vista do enrola-

mento amortecedor, desconsiderando a resistência de campo é dada por:

kd

df

dfkd

''do Rù

XX

XXX

T⋅

+

⋅+

= ϕ

ϕ

[46]


VIII - 40

A constante de tempo subtransitória de eixo direto em curto circuito Td’’

depende das propriedades amortecedoras do circuito de corrente do rotor, e,

em especial, do enrolamento amortecedor. Ela pode ser determinada a partir

do circuito equivalente de eixo direto (Figura 39), assumindo os terminais de

estator em curto, a relação X/R vista do enrolamento amortecedor, desconside-

rando as resistência de campo e de armadura é dada por:

kd

ldlffd

ldf

kd

''d Rù

XXXXXX

XXXX

T⋅

⋅+⋅+⋅

⋅⋅+

= ϕϕ

ϕ

[47]

No caso de um curto-circuito nos terminais do gerador Td’’ tem valores

típicos entre 20 e 30 milisegundos, variando relativamente pouco de máquina

síncrona para máquina, de forma que todo o fenômeno subtransitório fica limi-

tado a 1 ou 2 ciclos.

Para o cálculo das constantes de tempo transitória, a influência do en-

rolamento de amortecedor cessou, e o decaimento da corrente de curto circuito

neste período passa a ser comandado pelo enrolamento de campo.

A constante de tempo transitória de eixo direto em circuito aberto T”do

da máquina síncrona, fisicamente está relacionada a influência do enrolamento

de campo quando ocorrem variações bruscas no fluxo de campo com a máqui-

na operando em vazio. A constante de tempo transitória do gerador em vazio

Tdo’ tem usualmente valores que estão entre 2 e 12 segundos Os valores me-

nores são encontrados para as máquinas com pólos salientes e os maiores

nos turbogeradores. Ela pode ser determinada a partir do circuito equivalente

de eixo direto (Figura 39), assumindo os terminais de estator em aberto, a re-

lação X/R vista do enrolamento de campo, é dada por:

f

df''do Rù

XXT

⋅

+= ϕ [48]

A constante de tempo transitória de eixo direto em curto circuito Td’ é

função das propriedades amortecedoras do circuito de excitação. Seu valor

sofre a influência do tipo de curto-circuito, de modo que os valores são dife-


VIII - 41

rentes nos casos de defeitos trifásico, bifásico ou monofásico. Num curto cir-

cuito trifásico, a constante de tempo Td’ nos casos em que o curto-circuito

ocorre junto dos terminais do gerador seu valor se reduz a valores próximos de

1s nos turbogeradores e de 2s nas máquinas síncronas com pólos salientes.

Portanto o fenômeno transitório somente desaparece após um tempo de 3 a 8

segundos.

A constante de tempo subtransitória de eixo direto em curto circuito Td’’

pode ser determinada a partir do circuito equivalente de eixo direto (Figura 39),

assumindo os terminais de estator em curto, a relação X/R vista do enrola-

mento de campo, desconsiderando a resistência de armadura é dada por:

f

fd

ldf

'd Rù

XX

XXX

T⋅

+

⋅+

= ϕ

ϕ

[49]

A constante de tempo de armadura Ta define a duração da compo-

nente CC da corrente de curto circuito e é expressa pela seguinte equação:

a

dA

R.w

"XT = [50]

Para os valores típicos de resistência de armadura e reatância sub-

transitória das máquinas síncronas de polos lisos e polos salientes, a cons-

tante de tempo de armadura varia entre 0,1 e 0,2 segundos, de tal forma que

usualmente com pouco menos que um segundo ( 0.4 a 0.8 segundos) a com-

ponente CC desaparece. A constante de tempo TA é importante na definição

no valor de pico máximo da corrente de curto circuito, quanto maior seu valor,

mais lentamente a componente CC decai, fazendo com que uma maior parcela

desta componente contribua para o valor do pico máximo.


VIII - 42

11. CURTO CIRCUITO TRIFÁSICO AFASTADO DOS TERMI-

NAIS DA MÁQUINA SÍNCRONA

Considere o sistema elétrico mostrado na Figura 43, onde o curto cir-

cuito trifásico ocorre num ponto P ‘afastado’ eletricamente da falta, isto é, num

ponto onde existe uma impedância Zn entre os terminais da máquina síncrona

e a falta.

Zn = Rn + jXn PG1

Figura 43 - Curto trifásico num ponto P

A corrente de curto circuito trifásico num ponto P afastado dos termi-

nais da máquina síncrona é expressa pela mesma equação [31], apenas cada

um dos parâmetros precisa ser recalculado levando em consideração a impe-

dância Zn entre a máquina e o ponto de falta. Portanto, para as correntes sub-

transitória, transitória e de regime permanente de curto circuito, obtemos:

nnd jXR"jXRa

E'I'

+++= [51]

nnd jXRjX'Ra

EI'

+++= [52]

nnd jXRjX'Ra

EI'

+++= [53]

Analisando as equações verificamos que quanto maior for a impedân-

cia Zn, mais próximo estarão os módulos de cada uma correntes fazendo com

que a componente CA da corrente de curto circuito seja quase que uma senói-

de pura.


VIII - 43

A constante de tempo de armadura TA é também afetada quando o

curto circuito ocorre afastado da máquina, pois ela é definida pelas caracte-

rísticas amortecedoras do estator, isto é, pela relação entre a reatância e a

resistência vista do enrolamento do estator incluindo portanto nesta situação a

impedância entre os terminais da máquina e o ponto de falta, daí:

)RR.(w

X"XT

na

ndA

++

= [54]

Na seção anterior foi descrito que no caso de um curto circuito nos

terminais do gerador, o valor de Ta varia entre 0,1 e 0,2s, quando o curto cir-

cuito ocorre num dado ponto P, a constante de tempo será tanto menor,

quanto menor for o valor de Xn/Rn, como pode ser visto no gráfico da Figura

44. Portanto, quando o curto-circuito se dá afastado dos terminais da máquina,

a componente da corrente contínua tende a desaparecer rapidamente, sempre

que a rede possua resistências ôhmicas acentuadas.

Figura 44 - Variação da constante de tempo de armadura com R/X

As constantes de tempo da componente CA também são significativa-

mente afetadas pela impedância Zn e pela relação X/R desta impedância entre


VIII - 44

os terminais da máquina e o ponto de falta. Inicialmente vamos considerar que

a impedância Zn é predominantemente indutiva, nesta situação as constantes

de tempo subtransitória e transitória de eixo direto em curto circuito podem ser

determinadas a partir das constantes de tempo subtransitória e transitória de

eixo direto em circuito aberto pelas seguintes equações:

''do

T

nX'

dX

nX''

dX

"d

T ⋅+

+= [55]

'do

Tn

Xd

Xn

X'd

X'

dT ⋅

+

+= [56]

Como das constantes de tempo subtransitória e transitória de eixo di-

reto em circuito aberto tem valores mais elevados que as constantes de tempo

subtransitória e transitória em curto circuito, quanto maior o valor de Xn, maio-

res serão os valores constantes de tempo subtransitória e transitória de eixo

direto em curto circuito e consequentemente maiores serão as durações dos

respectivos períodos da componente CA.

No caso da impedância Zn ser predominantemente resistiva as cons-

tantes de tempo subtransitória e transitória da componente CA também serão

ampliadas, embora este efeito seja mais acentuado na constante de tempo

transitória que passa a ser determinada pela seguinte equação:

'do

ndnd2n

n'dnd

2n

d TXX)X(XR

XX)X(XR'T ⋅

++++++

= [57]

A figura mostra o crescimento da constante de tempo T’d referida a

constante de tempo do rotor em vazio T’do, tanto no caso particular da impe-

dância Zn ter característica puramente indutiva, quanto predominantemente

resistiva . A resistência ôhmica tem, supostamente, um valor 3 vezes maior

que o da reatância, o que corresponde a um angulo de impedância de 30o,

valor este típicos em alimentadores e cabos .


VIII - 45

Figura 45 - Variação de T'do para uma falta distante da máquina

12. VALOR DE PICO MÁXIMO DA CORRENTE DE CURTO

CIRCUITO TRIFÁSICO

Um valor elevado de corrente, como uma corrente de curto, circulando

num dado ponto de um sistema elétrico, produz nos condutores e equipamen-

tos dois tipos de efeitos um térmico e outro dinâmico.

O efeito térmico está relacionado ao Efeito Joule, isto é, ao aquecimento

produzido pela energia dissipada quantificada por R.I2 onde I é o valor eficaz

da corrente. Um aquecimento excessivo pode produzir danos irreversíveis aos

materiais e equipamentos como a própria fusão dos materiais envolvidos.

F

Condutor 1

Condutor 2

i1(t)

i2(t)B2

B1D

Figura 46 – Efeito dinâmico produzido por condutores

A Figura 46 apresenta dois condutores 1 e 2 retilíneos de raio R e

afastados por uma distância D, percorridos por duas correntes de mesmo


VIII - 46

sentido i1(t) e i2(t) respectivamente. A corrente i1(t) circulando pelo condutor 1,

produz uma indução magnética B1 expressa pela seguinte equação, obtida a

partir da Lei de Ampère:

D

tiB

..2)(. 10

1π

µ= [58]

A indução magnética B1 origina no condutor 2 uma força de atração

para o condutor 1 expressa pela seguinte equação:

D

titiF

..2)().(. 210

πµ

= [59]

Analisando a equação [59] , verificamos que a passagem da corrente

elétrica produz esforços mecânicos que estão associados ao quadrado dos

valores instantâneos de corrente. Em caso de valores elevados de corrente, se

os materiais e equipamentos não estiverem dimensionados para suportar os

valores de pico máximo destas correntes, os esforços mecânicos produzidos

poderão produzir deformações, fadigas e até mesmo rupturas. Para que se

possa avaliar a suportabilidade de materiais e equipamentos a estes esforços

torna-se essencial o cálculo do maior valor de pico produzido pela corrente de

curto circuito num dado ponto de um sistema elétrico.

Obter o valor de pico máximo para a corrente de curto circuito trifásico

expressa pela equação [31] a partir dos conceitos de Cálculo determinando os

pontos críticos da curva e verificando se tratar de ponto de máximo da função

conduziria o problema para uma solução numérica. Contudo, analisando a

equação [31] podemos observar que:

• O valor de pico máximo da corrente de curto circuito trifásico ocorre

quando tivermos a máxima componente CC.

• A máxima componente CC num curto circuito trifásico, implica em um

valor máximo da componente CA no instante inicial, isto é em

2

.ðnèá ±=−


VIII - 47

Nestas condições o instante no qual ocorrerá o valor de pico máximo

será aproximadamente meio ciclo ou 8,33ms, e este valor pode ser determina-

do fazendo α-θ =-900 e t =0,00833 milisegundos na equação [31] o que resulta

em:

( ) ( ) AT

t

dT'

t

d'T'

t

CCPICOMAX e.I"22

ðwt.senI.eII'.eI'I".2(0,00833)ii

−−−

+

−

+−+−== [60]

Este valor de pico máximo da corrente de curto circuito trifásico num

dado ponto de um sistema elétrico pode ainda ser determinado de forma apro-

ximada e pessimista desprezando os decaimentos exponenciais do período

subtransitório e transitório, isto é:

AT

t

CCPICOMAX e.I"22

ðwt.I".sen2(0,00833)ii

−+

−== [61]

Em qualquer instante de tempo t valor eficaz da corrente de curto cir-

cuito pode ser obtido pela seguinte equação:

[ ] [ ]2DC

2CARMSCC (t)I(t)I(t)I += [62]

onde:

( ) ( )

+−+−=

−−

I.eII'.eI'I"(t)I dT'

t

d'T'

t

CARMS [63]

e:

( )âásene.I"2(t)I AT

t

DC −−=−

[64]

13. BIBLIOGRAFIA

[1] Kinderman, G. - Curto Circuito

[2] Robba, E. J. - Introdução aos Sistemas Elétricos de Potência

[3] Clarke, Edith – Circuit Analysis of A.C. Power Systems


VIII - 48

[4] Roeper, Richard – Correntes de curto circuito em redes trifásicas - Siemens

[5] Stevenson, W. D. – Elementos de Analise de Sistemas de Potência

[6] Fitzgerald, A. E. - Máquinas Elétricas

[7] Elgerd, Olle – Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica

[8] Altino, Luciana – Transitório de Máquinas Elétricas

[9] Feijó, José Antonio – Curva de Capacidade

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