Cap.4 - Vetores

Álgebra Linear - Vetores

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VETORES

Grandezas Escalares

Grandezas físicas como tempo, por exemplo, 10 segundos, ficam perfeitamente

definidas quando são especificados o seu módulo (10) e sua unidade de medida (segundo). Estas

grandezas físicas que são completamente definidas quando são especificados o seu módulo e a

sua unidade de medida são denominadas grandezas escalares. A temperatura, área, volume, são

também grandezas escalares.

Grandezas Vetoriais

Quando você está se deslocando de uma posição para outra, basta você dizer que

percorreu uma distância igual a 5 m?

Você precisa especificar, além da distância (módulo), a direção e o sentido em que

ocorre este deslocamento.

Estas grandezas que são completamente definidas quando são especificados o seu

módulo, direção e sentido, são denominadas grandezas vetoriais.

Direção: é aquilo que existe de comum num

feixe de retas paralelas.

Sentido: podemos percorrer uma direção em

dois sentidos.


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Definindo um vetor

Considere dois pontos distintos P1 e P2, eles determinam uma única reta r que passa por

eles. Além disso, o segmento de reta entre os pontos P1 e P2 também é único. Nesse segmento

de reta, são possíveis dois sentidos de percurso: o de P1 para P2 e o de P2 para P1. O segmento

de reta ao qual atribuímos um sentido é chamado de segmento de reta orientado. Para abreviar a

linguagem, chamamos um segmento de reta orientado simplesmente de seta.

Ao fazer o desenho de uma seta, indicamos que ela tem sentido, ou orientação, de P1

para P2, desenhando uma ponta no seu ponto final, como mostra a Figura abaixo:

Nesse caso, o ponto P1 é chamado de ponto inicial da seta, ou origem da seta, e o ponto

P2, de ponto final da seta. Vamos representar a seta acima por P1P2.

Setas com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo são setas

equipolentes. Considere agora o conjunto de todas as setas equipolentes à seta P1P2:

Setas equipolentes que representam o vetor a em diferentes pontos do espaço

Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo

comprimento são representantes de um mesmo vetor.

Notação de Vetores: u, v, w, z.

VETOR OPOSTO

Dado o vetor u , existe o vetor - u , que possui o mesmo módulo e mesma direção do

vetor u, porém , de sentido oposto.


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VETOR UNITÁRIO (VERSOR)

Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à

unidade, ou seja: | u | = 1.

VETOR NULO

Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado

por O.

A PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO

Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo com o eixo x.

Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo x, de medida algébrica

igual a ux = u . cos . Observe que se = 90º, teremos cos = 0 e, portanto, a projeção do vetor

segundo o eixo r, será nula.

Um vetor no plano como um par ordenado

Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura abaixo:

Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e,

por conseguinte, O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o

ponto P(x, y). Substituindo acima, vem:

u = P - O = (x, y) - (0, 0) = (x - 0 , y - 0 ) = (x, y). Portanto, u = (x, y)


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Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema

de coordenadas cartesianas. Neste caso, o módulo do vetor u (distância do ponto P à origem O)

será dado por:

Um Vetor no Plano, em função dos Versores dos Eixos Coordenados.

Vimos que um VERSOR é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor

a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y, conforme figura abaixo:

O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou

seja, base do plano cartesiano Oxy.

Verifica-se que um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como: u = x.i + y.j

Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, poderíamos

considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz , conforme figura abaixo,

e a representação do vetor u, no espaço seria: u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k. Analogamente, o

terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 .

O módulo do vetor u = x.i + y.j + z.k será dado por:


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OPERAÇÕES COM VETORES

Adição de vetores:

a) Regra do Paralelogramo para a Adição Vetorial.

Se u e v são vetores no plano ou no espaço que estão posicionados de tal modo que seus

pontos iniciais coincidem então os dois vetores formam lados adjacentes de um paralelogramo e

a soma de u + v é o vetor representado pela seta desde o ponto inicial comum de u e v até o

vértice oposto do paralelogramo.

b) Regra do Triângulo para a Adição Vetorial.

Se u e v são vetores no plano ou no espaço que estão posicionados de tal modo que o

ponto inicial de v é o ponto terminal de u, então a soma u + v é o vetor representado pela seta

desde o ponto inicial de u até o ponto terminal de v.

Adição Vetorial na Física e na Engenharia

A regra do paralelogramo para a adição vetorial descreve corretamente o

comportamento aditivo de forças, velocidades e deslocamentos na Engenharia e na Física. Por

exemplo, o efeito de aplicar duas forças F1 e F2 ao bloco na figura abaixo é o mesmo que

aplicar a única força F1+F2 ao bloco. Analogamente, se o motor do barco impõe uma

velocidade v1 e o vento impõe uma velocidade v2, então o efeito combinado de motor e vento

impõem a velocidade v1+v2 ao barco.


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Subtração Vetorial.

O negativo de um vetor v, denotado por –v, é o vetor que tem o comprimento e direção

do que v, mas tem sentido oposto, e o vetor diferença de v com w, denotado por w-v, é definido

como sendo a soma w – v = w + (-v).

A diferença de v com w pode ser obtida geometricamente pelo método do

paralelogramo, posicionando w e v de tal modo que seus pontos iniciais coincidem e traçando

um vetor do ponto terminal de v ao ponto terminal de w

Multiplicação por Escalar.

Se v é um vetor e k um escalar ambos não nulo, então o múltiplo escalar de v com k,

denotado por kv, é o vetor de mesma direção do que v, mas cujo comprimento é |k| vezes o

comprimento de v e cujo sentido é o mesmo que o de v se k>0 e o oposto de v se k<0.

Vetores em Sistemas de Coordenadas

Se um vetor v do plano ou do espaço está posicionado de tal maneira que o seu ponto

inicial está na origem de um sistema de coordenadas retangulares, então o vetor está

completamente determinado pelas coordenadas de seu ponto final e dizemos que estas

coordenadas são os componentes do vetor v em relação ao sistema de coordenadas. Escrevemos

v=(v1,v2) para o vetor v no plano com componentes (v1,v2) e v=(v1,v2,v3) para o vetor v do

espaço com componentes (v1,v2,v3).


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Componentes de um vetor cujo ponto inicial não está na origem.

Às vezes precisamos encontrar os componentes de um vetor v em R2 ou R

3 que não tem

seu ponto inicial na origem. Para obter isso, seja v um vetor em R2 com seu ponto inicial

P1(x1,y1) e ponto final P2(x2,y2). Podemos expressar v em termos dos vetores

como

V = (x2 – x1 , y2 – y1)

Ou seja, os componentes de v são obtidos subtraindo as coordenadas do ponto inicial das

coordenadas correspondentes do ponto final. O mesmo resultado vale no espaço R3.

Exemplo: O vetor v que tem ponto inicial em P1(2, -1, 4) e ponto terminal em P2(7,5, -8) tem

componentes v = (7-2, 5-(-1), -8-4) = (5, 6, -12)

Isto significa que se o vetor P1P2 é transladado de tal modo que seu ponto inicial está na

origem, então seu ponto final cai no ponto (5, 6, -12).

Igualdade de Vetores

Dois vetores v = (v1, v2, . . . ,vn) e w = (w1, w2, . . . ,wn) de Rn são equivalentes (iguais)

se v1 = w1, v2 = w2, . . . , vn = wn, indicamos esta equivalência escrevendo v = w.

Propriedades: Se v= (v1, v2, . . ., vn) e w = (w1, w2, . . . ,wn) são vetores em Rn e se k é um

escalar, então definimos

P1) v + w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn)

P2) kv = (kv1, kv2, . . . , kvn)

P3) –v = (–v1, –v2, . . . , –vn)

P4) w – v = w + (–v) = (w1 – v1, w2 – v2, . . . , wn – vn)


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Vetores Paralelos e Colineares

Dois vetores de Rn são ditos paralelos ou, então, colineares, se um dos vetores é um

múltiplo escalar do outro. Se este escalar for positivo os dois vetores têm a mesma direção e

sentido. Se o escalar for negativo os dois vetores têm a mesma direção e sentido oposto.

Exercícios

1) Esboce os vetores com seus pontos iniciais na origem.

a) v1 = (3, 6) b) v2 = (-4, -8) c) v3 = (3, 3, 0) d) v4 = (0, 0, -3)

2) Esboce os vetores com seus pontos iniciais na origem.

a) v1 = (-1, 2) b) v2 = (3, 4) c) v3 = (1,2,3) d) v4 = (-1, 6, 1)

3) Esboce os vetores com seus pontos iniciais na origem, sabendo que u=(1,1) e que v=(-1,1).

a) 2u b) u+v c) 2u+2v d) u-v e) u + 2v

4) Esboce os vetores com seus pontos iniciais na origem, sabendo que u=(1,1) e que v=(-1,1).

a) –u+v b) 3u+2v c) 2u+5v d) -2u-v e) 2u - 3v

Norma de um Vetor

O comprimento de um vetor v de R2 ou R

3 é usualmente denotado pelo símbolo ||v||. Dado um

vetor v = (v1,v2) de R2 o comprimento de v é:

Definição: Se v = (v1, v2, . . . ,vn) é um vetor em Rn, então o comprimento de v, também

denominado norma de v ou magnitude de v, é denotado por ||v|| e definido pela fórmula


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Exemplo

Calcule a norma do vetor v = (-3, 2, 1) em R3.

Solução:

Teorema

Se v é um vetor em Rn e se k é qualquer escalar, então:

a) ||v|| ≥ 0

b) ||v|| = 0 se, e somente se, v=0

c) ||kv|| = |k|.||v||

Vetores Unitários

Um vetor de comprimento 1 é denominado um vetor unitário. Se v é um vetor não nulo em Rn,

então um vetor unitário u que tem a mesma direção e sentido do que v é dado pela fórmula:

Exemplo

Encontre um vetor unitário u que tem a mesma direção e sentido do que v = (2, 2, -1).

Solução:

Assim, u = (2/3, 2/3, -1/3)

Combinação Linear

Um vetor w de Rn é uma combinação linear dos vetores v1, v2, . . . , vk de Rn se w pode

ser expresso na forma w = c1v1 + c2v2 +, . . . +Cn vk os escalares c1, c2, . . . , ck são denominados

coeficientes da combinação linear.


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Distância entre Pontos

Se P1 e P2 são pontos em R2 ou R

3, então o comprimento do vetor P1P2 é igual à

distância d entre os dois pontos. Especificamente, se P1(x1, y1) e P2(x2, y2) são pontos em R2,

então:

Se P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) são pontos em R3, então

Produto Escalar

Se u = (u1, u2, u3, . . . , un) e v = (v1, v2, v3, . . . ,vn) são vetores em Rn, então o produto

escalar de u e v, também denominado produto interno euclidiano de u e v, é denotado pela

fórmula:

u.v = u1.v1 + u2.v2 + . . . +unvn


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O produto escalar é calculado multiplicando componentes correspondentes dos

vetores e somando os produtos resultantes.

Exemplo

Calcular o produto escalar de u = (-1, 3, 5, 7) e v = (5, -4, 7, 0) em R4.

u.v = (-1).5 + 3.(-4) + 5.7 + 7.0 = -5 -12 +35 = 18

No caso especial em que u = v, temos que:

v.v = v12 + v2

2 + . . . + vn

2 = ||v||

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Isto fornece a seguinte fórmula para expressar o comprimento de um vetor em termos do

produto escalar

Propriedades do Produto Escalar

Sejam u, v e w vetores em Rn e α um escalar.

P1) u.v = v.u [comutativa]

P2) u.(v + w) = u.v + u.w [Distributiva]

P3 (u + v).w = u.w + v.w

P4) α(u.v) = (αu).v [Homogeneidade]

P5) v.v ≥ 0 e v.v = 0 se, e somente se, v = 0 [positividade]

P6) 0.v = v.0 = 0 [elemento neutro]

P7) u.(v – w) = u.v – u.w

P8) (u – v).w = u.w – v.w

Exemplo

(u – 2v).(3u + 4v) = 3(u.u) + 4(u.v) – 6(v.u) – 8(v.v)

=3||u||2 – 2.(u.v) – 8 ||v||

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Ângulo entre Vetores

Se u e v são vetores não nulos em R2 ou R

3 e se é o ângulo entre estes vetores, então:

Ortogonalidade

Dois vetores u e v em Rn são ditos ortogonais se u.v = 0 e um conjunto não vazio de

vetores de Rn é denominado um conjunto ortogonal se cada par de vetores distintos do conjunto

é ortogonal

Exemplo

Mostre que os vetores v1 = (1, 2, 2, 4), v2 = (-2, 1, -4, 2) e v3 = (-4, 2, 2, -1) formam um

conjunto ortogonal de R4.

Solução: é preciso confirmar que v1.v2 = 0, v1.v3 = 0 e v2.v3 = 0

v1.v2 = 1.(-2) + 2.1 + 2.(-4) + 4.2 = -2 + 2 + (-8) + 8 = 0

v1.v3 = 1.(-4) + 2.2 + 2.2 + 4.(-1) = -4 + 4 + (-8) + 8 = 0

v2.v3 = (-2).(-4) + 1.2 + (-4).2 + 2.(-1) = 8 + 2 + (-8) + (-2) = 0

logo, os vetores v1, v2 e v3 formam um conjunto ortogonal em R4.

Exercícios

1) Sejam u = (1, -2, 5), v = (3, 1, -2). Calcule:

a) u + v; b) -6u; c) 2u – 5v; d) u.v; e) ||u|| e ||v||; f) d(u,v).

2) Sejam u = (2, 1, -3, 0, 4), v = (5, -3, -1, 2, 7). Calcule:

a) u + v; b) 3u – 2v; c) u.v; d) ||u|| e ||v||; e) d(u, v).

3) Determine k de modo que os vetores u e v sejam ortogonais.

a) u = (3, k, -2), v = (6, -4, -3); b) u = (5, k, -4, 2), v = (1, -3, 2, 2k).


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4) Determine x e y se: a) (x, x+y) = (y-2, 6) b) x(1, 2) = -4(y, 3)

5) Determine x, y e z, se:

a) (3, -1, 2) = x(1, 1, 1) + y(1, -1, 0) + z(1, 0, 0)

b) (-1, 3, 3) = x(1, 1, 0) + y(0, 0, -1) + z(0, 1, 1)

6) Sejam e1=(1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Mostre que, para qualquer vetor

u = (a, b, c) de R3, u = ae1 + be2 + ce3.

7) Qualquer par de pontos P = (a1, a2, ..., an) e Q = (b1, b2, ..., bn) no Rn define o segmento

orientado de reta de P para Q, representado por PQ.

Identificamos PQ com o vetor v = Q – P: PQ = v = (b1-a1, b2-a2, ..., bn-an) ..

Encontre o vetor v identificado por PQ e represente geometricamente os vetores PQ e v,

onde:

a) P = (2, 5), Q(-3, 4); b) P = (2, 2), Q = (5, 3) c) P = (-1, -3), Q = (3, -1)

Gabarito

3a) k = 6; 3b) k = 3.

4a) x=2 e y=4; 4b) x=-6 e y=3/2

5a) x=2, y=3, z=-2; 5b) x=-1, y=1, z=4

7a) v = (-5, -1) ; 7b) v = (3, 1) ; 7c) v = (4, 2)

Cap.4 - Vetores

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