Cap.4 - Campos Eletrostaticos
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CAMPOS ELETROSTÁTICOS
- TÓPICOS DAS AULAS -
1. Introdução.
2. Lei de Coulomb e intensidade de campo.
3. Campos elétricos de distribuições contínuas de carga.
4. Densidade de fluxo elétrico.
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
4. Densidade de fluxo elétrico.
5. Lei de Gauss (1ª equação de Maxwell).
6. Potencial escalar elétrico.
7. Relação entre o campo e o potencial escalar elétricos (2ª equação de Maxwell).
8. O dipolo elétrico
9. Linhas de fluxo elétrico.
10. Densidade de energia em campos eletrostáticos.
Introdução
Breve histórico do Eletromagnetismo
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Nosso foco de estudo
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
E1
Disciplinas de
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
E2
Disciplinas deEletromagnetismo
Lei de Coulomb e intensidade de campo
• A lei de Coulomb é uma lei experimental e trata da força queuma carga pontual exerce sobre outra carga pontual.
• Geralmente, as cargas são medidas em Coulomb (C), sendo acarga de um elétron igual a -1,6 x 10-19 C.
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• A lei de Coulomb estabelece que a força (F) entre duas cargaspontuais (Q1 e Q2)
– Está ao longo da linha que une as cargas.
– É diretamente proporcional ao produto das cargas Q1 e Q2.
– É inversamente proporcional ao quadrado da distância (R)entre elas.
• Matematicamente, temos que
onde k é a constante de proporcionalidade.
2
21
R
QQkF =
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onde k é a constante de proporcionalidade.
• Em unidades do SI, as cargas são dadas em Coulomb, adistância em metro e a força em Newton, de modo que
04
1
πε=k
• A constante ε0 é chamada de permissividade do espaço livre etem o seguinte valor aproximado
• Dessa forma,
F/m10x85,8 12
0
−≅ε
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• Dessa forma,
m/F10x94
1 9
0
≈=πε
k
• Desse modo,
• Se as cargas estão localizadas em pontos, cujos vetores posição
2
21
04
1
R
QQF
πε=
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• Se as cargas estão localizadas em pontos, cujos vetores posiçãosão r1 e r2, temos que
122
12
21
0
124
1Râ
R
QQF
πε=
→
• Considerando a figura 1, temos que
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Figura 1
3
12
12
0
2112
4 →→
→→
→
−
−
=
rr
rrQQ
Fπε
• É importante perceber que
– A força F21, sobre a carga Q1 devido à carga Q2, é dada por–F12.
– Cargas de mesmo sinal se repelem, enquanto que cargas desinal contrário se atraem.
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– Q1 e Q2 devem ser estáticas.
– Os sinais das cargas devem ser levados em consideração naexpressão da força.
• Se tivermos mais do que duas cargas pontuais, podemos usar oprincípio da superposição para determinar a força sobre umadeterminada carga, dessa forma
∑
→→
→
−
=n kk rrQ
QF
3πε
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onde rk indica o vetor posição referente à k-ésima carga noespaço e r indica o vetor posição referente à carga onde se quercalcular a força.
∑=
→→
−
=k
krr
F1
3
04πε
• O vetor campo elétrico (E) é dado pela força por unidade de cargaimersa nesse campo elétrico.
• Dessa forma,
FE
→→
=
Q
r r’
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onde o campo elétrico é medido em Newton por Coulomb, ou emVolt por metro.
Q
FE =
Origem
r r’
Figura 2
Campos eletrostáticos de distribuições contínuas de carga
• Além de cargas pontuais, podemos ter distribuições contínuas decarga ao longo de uma linha, sobre uma superfície, ou em umvolume, conforme ilustrado na figura 3.
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Figura 3
• É usual denotar a densidade de cargas como: linear (ρL em C/m),superficial (ρS em C/m2) e volumétrica (ρv em C/m3).
• O elemento de carga (dQ) e a carga total (Q), associados a taisdistribuições, são obtidos da seguinte forma
∫=→=L
dlQdldQ LL ρρ Linha de cargas
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∫
∫
=→=
=→=
v
S
L
dvQdvdQ
dSQdSdQ
vv
SS
ρρ
ρρ Superfície de cargas
Volume de cargas
• A intensidade de campo elétrico, devido a uma dessasdistribuições, pode ser obtida a partir da soma das contribuiçõeselementares de campo, devido a cada um dos pontos de cargaque constituem a distribuição, dessa forma
∫=→
L
âdlR
E R2
0
L '4πε
ρLinha de cargas
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∫
∫
=
=
→
→
v
S
âdvR
E
âdSR
E
R2
0
v
R2
0
S
'4
'4
πε
ρ
πε
ρSuperfície de cargas
Volume de cargas
• As coordenadas-linha são usadas para denotar a localização doponto-fonte.
• As demais se referem à localização do ponto de interesse, ouseja, ponto no qual E vai ser calculado.
∫=→
L
âdlR
E R2
0
L '4πε
ρLinha de cargas
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∫
∫
∫
=
=
→
→
v
S
L
âdvR
E
âdSR
E
R
R2
0
v
R2
0
S
0
'4
'4
4
πε
ρ
πε
ρ
πε
Superfície de cargas
Volume de cargas
Exercício
1. Considerando uma linha de cargas com densidade uniforme ρL,ilustrada na figura 4, determine o vetor campo elétrico no pontoP (x, y, z).
z
zb
PR
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x
yo
za
zb
r
Figura 4
Exercício
2. Considerando uma lâmina infinita de cargas, no plano xy, comdensidade uniforme ρS, ilustrada na figura 5, determine acontribuição da superfície para o campo elétrico no pontoP (0, 0, h).
zP
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Figura 5
x
yo
P
R
Densidade de fluxo elétrico
• A intensidade de campo elétrico depende do meio no qual estáimersa a carga fonte do campo.
• Supondo um campo vetorial D, independente do meio, e definidocomo
→→
= ED ε
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definiremos o fluxo elétrico (Ψ) em termos de D da seguinteforma
→→
= ED 0ε
∫→→
⋅=ΨS
SdD
• Em unidades do SI, uma linha de fluxo elétrico se inicia em umacarga de 1 C e termina em uma carga de -1 C. Dessa forma, ofluxo elétrico é medido em Coulomb.
• O campo vetorial D é denominado de densidade de fluxo elétricoe é medido em Coulomb por metro ao quadrado.
• Por razões históricas, a densidade de fluxo elétrico é também
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• Por razões históricas, a densidade de fluxo elétrico é tambémdenominada de deslocamento elétrico.
Lei de Gauss (1ª equação de Maxwell)
• A lei de Gauss constitui-se em uma das leis fundamentais doEletromagnetismo.
• Ela estabelece que o fluxo elétrico total (Ψ), através de qualquersuperfície fechada, é igual à carga total encerrada por essasuperfície.
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superfície.
• Dessa maneira,
encQ=Ψ
• Ou seja,
• Obtendo-se que
∫∫∫ ==⋅=Ψ=Ψ→→
vS
dvQSdDd venc ρ
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• Obtendo-se que
∫∫ =⋅=→→
vS
dvSdDQ vρ 1ª equação de Maxwell(forma integral)
• Aplicando o teorema da divergente à 1ª equação de Maxwell naforma integral, obtemos
• Deve-se observar que
vρ=⋅∇→→
D1ª equação de Maxwell
(forma diferencial)
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• Deve-se observar que
– A lei de Gauss se apresenta como uma maneira mais simplesde se determinar E ou D, para distribuições simétricas decarga, tais como: uma carga pontual, uma linha infinita decargas, uma superfície infinita de cargas e uma distribuiçãoesférica de cargas, por exemplo.
– Uma distribuição contínua de cargas tem simetria caso ocampo vetorial possua uma componente, ou seja, dependa deapenas uma direção.
– Dessa forma, possuirá:
• simetria retangular se tiver apenas componente na direçãoâx (ou ây, ou âz),
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âx (ou ây, ou âz),
• simetria cilíndrica, no caso de componente na direção âρ, e
• simetria esférica quando tiver componente apenas nadireção âr.
– IMPORTANTE:
• Não podemos utilizar a lei de Gauss para determinar E ouD quando a distribuição de cargas não for simétrica.
• Nesse caso, devemos recorrer à lei de Coulomb paradeterminar E ou D.
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• Aplicação da lei de Gauss
– O método de aplicar a lei de Gauss, para determinar o campoelétrico, começa pela verificação da existência de simetria.
– Uma vez identificada a existência de simetria, construímosuma superfície matematicamente fechada (conhecida comosuperfície gaussiana).
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superfície gaussiana).
– Essa superfície é escolhida de forma que o vetor D sejanormal, ou tangencial, à superfície gaussiana.
• Quando D for normal à superfície
• Quando D for tangencial à superfície 0=⋅
=⋅→→
→→
SdD
DdSSdD
– Dessa forma, devemos escolher uma superfície que sejacompatível com a simetria exibida pela distribuição de cargas.
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Exercícios
3. Determinar D no ponto P, localizado no espaço, supondo umacarga pontual Q localizada na origem.
4. Determinar D no ponto P, localizado no espaço, supondo umalinha infinita de cargas uniformemente distribuída, ao longo doeixo z, dada por ρ (C/m).
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eixo z, dada por ρL (C/m).
5. Determinar D no ponto P, localizado no espaço, supondo umalâmina infinita, localizada no plano z=0, com distribuiçãouniforme de cargas dada por ρS (C/m²).
6. Determinar D no ponto P, localizado no espaço, considerandouma esfera de raio a com uma distribuição uniforme de cargasdada por ρv (C/m3).
Potencial escalar elétrico
• Suponha que queiramos movimentar uma carga pontual Q, deum ponto A para um ponto B, em um campo elétrico externo E.
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Figura 6
• A partir da lei de Coulomb, conclui-se que a força sobre Q é dadapor F=QE.
• Dessa forma, o trabalho realizado para provocar umdeslocamento dl na carga é dado por
→→→→
⋅−=⋅−= ldEQldFdW
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onde o sinal negativo indica que o trabalho é realizado por umagente externo.
⋅−=⋅−= ldEQldFdW
• Dessa maneira, o trabalho total realizado, ou a energia potencialnecessária, para movimentar Q de A para B é
∫→→
⋅−=B
A
ldEQW
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• Dividindo-se W por Q resulta no valor da energia potencial porunidade de carga.
• Essa quantidade, denotada por VAB, é conhecida por diferença depotencial entre os pontos A e B.
• Dessa forma,
• Observe que:
∫→→
⋅−==B
A
ldEQ
WVAB
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– Ao determinar VAB, A é o ponto inicial e B é o ponto final.
– Se VAB for negativo, existe uma perda de energia potencial aomovimentarmos Q de A até B.
• Isso significa que o trabalho é feito pelo campo elétrico.
– Entretanto, se VAB for positivo, existe um ganho de energiapotencial no movimento.
• Isso significa que um agente externo é responsável poresse trabalho.
– VAB é independente da trajetória realizada.
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– VAB é medido em Joules por Coulomb, ou mais comumenteem Volt.
• O potencial em qualquer ponto é a diferença de potencial entreesse ponto e um ponto escolhido no qual o potencial é arbitradocomo zero.
• Em outras palavras, considerando potencial zero no infinito, opotencial a uma distância r da carga pontual é o trabalhorealizado, por unidade de carga, devido a um agente externo,para se deslocar uma carga-teste do infinito até esse ponto.
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• Dessa forma,
∫∞
→→
⋅−=r
ldEV
Figura 7
• Determinação da expressão do potencial escalar elétrico
– Considerando o campo E devido a uma carga pontual, temosque
3
0
r2
0 44 →
→→
==
r
rQâ
r
QE
πεπε
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– Dessa forma,
00r
( )∫∫ ⋅−=⋅−=→→ B
A
B
A
ââr
drQldEV rr2
0
AB4πε
AB
AB0
AB
0
2
0
AB
11
4
1
44
VVrr
QV
r
Q
r
drQV
B
A
B
A
−=
−=
=−= ∫
πε
πεπε
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– Considerando o potencial escalar elétrico no infinito igual azero, ou seja, VA=0, temos que
AB04 rr πε
r
QrV
1
4)(
0πε=
→
– Se a carga Q não estiver localizada na origem, mas em umponto cujo vetor posição seja r’, o potencial em r se torna
→→
→
−
=
'
1
4)(
0 rr
QrV
πε
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– Para n cargas pontuais, o potencial em r é dado por
∑=
→→
→
−
=
n
kk
k
rr
QrV
104
1
πε
– Para distribuições contínuas de carga, o potencial em r podeser escrito como
∫
→
→
→→
→
→
−
=
L
r
dl
rr
r
rV
'1
'
'
'
4
1
S
L
0
ρ
ρ
πεLinha de cargas
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∫
∫
→→
→
→
→→
→
−
=
−
=
v
S
dv
rr
r
rV
dS
rr
r
rV
'
'
'
4
1
'
'
'
4
1
v
0
S
0
ρ
πε
ρ
πεSuperfície de cargas
Volume de cargas
Exercício
7. Duas cargas pontuais -4 µC e 5 µC estão localizadas em(2, -1, 3) e em (0, 4, -2), respectivamente. Determine o potencialescalar elétrico em (1, 0, 1), considerando potencial escalarelétrico igual a zero no infinito.
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Relação entre o campo e o potencial escalar elétricos
• A diferença de potencial entre dois pontos A e B independe datrajetória percorrida, ou seja,
• Dessa forma,
ABBABAAB 0 VVVV −=⇔=+
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• Dessa forma,
• Fisicamente, isso implica dizer que não é realizado trabalho aose movimentar uma carga, ao longo de uma trajetória fechada,no interior de um campo eletrostático.
• O campo eletrostático é um campo conservativo.
∫ =⋅→→
0dlE
• Aplicando o teorema de Stokes, temos
0=⋅
×∇=⋅
→→→→→
∫∫ dSEdlE
2ª equação de Maxwell
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0
0
=×∇
=⋅
×∇
→→
→→→
∫
E
dSE Forma integral
Forma diferencial
• Partindo-se da definição de potencial escalar elétrico,
temos que
dzz
Vdy
y
Vdx
x
VdV
dzEdyEdxEdlEdV zyx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
−−−=⋅−=→→
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• O sinal negativo mostra que a direção do campo elétrico é opostaà direção de crescimento do potencial escalar elétrico.
• A orientação do campo elétrico é do maior para o menorpotencial.
VE→→
∇−=
Exercícios
8. Dado o potencial,
a) Determine a densidade de fluxo elétrico em (2, π/2, 0).
b) Calcule o trabalho realizado ao se movimentar uma carga de10 µC do ponto A(1, 30º, 120º) até o ponto B(4, 90º, 60º).
φθ cossen10
2r
V =
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10 µC do ponto A(1, 30º, 120º) até o ponto B(4, 90º, 60º).
9. Dado,
determine o trabalho realizado ao movimentar uma carga de
-2 µC do ponto (0, 5, 0) até o ponto (2, -1, 0), usando a trajetória:
a) (0, 5, 0) → (2, 5, 0) → (2, -1, 0)
b) y = 5 – 3x
( ) yx
23 xââyxE ++=→
O dipolo elétrico
• Dipolo elétrico: duas cargas pontuais, de igual magnitude esinais opostos, separadas por uma pequena distância.
z
P(r,θ,φ)r1
+Q
S(d/2,0,0)
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x
yo
r2
r
d
+Q
-Q
T(d/2,π,0)Figura 8
• O potencial no ponto P é dado por
onde
QQ −+ += VVV
+ =1Q
V
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→−
→+
−=
=
20
Q
10
Q
1
4
4
r
QV
r
V
πε
πε
• Em coordenadas esféricas, a distância entre dois pontos é dadapor
com isso
( )1221212121
2
2
2
1
2 cossensen2coscos2 φφθθθθ −−−+= rrrrrrd
θcos4
222
1
2
1 rdd
rdr −+==→
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• Portanto,
θcos4
4
222
2
2
2 rdd
rdr ++==→
++−
−+=
−−2
1
2
2
2
1
2
2
0
cos4
11cos
4
11
4θθ
πεrd
d
rrd
d
rr
QV
• Fazendo
temos que
±=
± urd
d
rθcos
4
1 2
2
( ) 11
1±− −
≈+u
u
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• Considerando
( )2
11 2
±−
±
−≈+
uu
1<<±u
temos
• Considerando que
θπε
cos1
4 2
0
dr
QV =
z
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→→
= dQp
x
yo
+Q
-Q
→
pd
Representa o momento dipolo, orientado de –Q a +Q
Figura 9
temos
e
3
0
2
0
r
44 →
→→→
⋅=
⋅=
r
rp
r
âpV
πεπε
Dipolo elétrico com centrolocalizado na origem
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e
3
0 '4
'
→→
→→→
−
−⋅
=
rr
rrp
V
πε
Dipolo elétrico com centrolocalizado no ponto r’
• O campo elétrico devido a um dipolo com centro localizado naorigem é dado por
( )θr3
0
cos21
4âsenâ
r
pVE θθ
πε+=∇−=
→→
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Exercícios
10.Dois dipolos com momentos de dipolo (0, 0, -5) nC.m e(0, 0, 9) nC.m estão localizados nos pontos (0, 0, -2) e (0, 0, 3),respectivamente. Determine o potencial na origem.
11.Um dipolo elétrico de (0, 0, 100) pC.m está localizado na origem.
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11.Um dipolo elétrico de (0, 0, 100) pC.m está localizado na origem.Determine o potencial escalar elétrico e o vetor campo elétriconos pontos:
a) (0, 0, 10).
b) (1, π/3, π /2).
Linhas de fluxo elétrico
• É uma trajetória, ou linha imaginária, desenhada de tal modoque sua orientação, em qualquer ponto, é a mesma do campoelétrico nesse ponto.
• Qualquer superfície na qual o potencial elétrico seja o mesmo emtoda a sua extensão é conhecida como superfície equipotencial.
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toda a sua extensão é conhecida como superfície equipotencial.
• A interseção de uma superfície equipotencial e um plano resultaem uma trajetória, ou linha, conhecida como linha equipotencial.
• Nenhum trabalho é realizado ao movimentar uma carga de umponto a outro ao longo de uma linha, ou superfície,equipotencial.
• As linhas de força, linhas de fluxo, ou ainda direção do campoelétrico, são sempre normais às superfícies equipotenciais.
Linhas de fluxo Linhas equipotenciais
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Figura 10
Densidade de energia em campos eletrostáticos
• Para determinar a energia armazenada por um arranjo decargas, precisamos, em primeiro lugar, determinar a quantidadede trabalho necessária para reunir essas cargas em uma região.
• Suponhamos que se posicionem três cargas pontuais Q1, Q2 e Q3
em uma região do espaço inicialmente vazia.
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em uma região do espaço inicialmente vazia.
P1
P2
P3
∞
Q1
Q2
Q3
Figura 11
• Não há necessidade de se realizar trabalho para transferir Q1 doinfinito até P1, porque o espaço inicialmente está livre de cargase não há campo elétrico presente, portanto
• O trabalho realizado para transferir Q2, do infinito até P2, é igualao produto de Q2 pelo potencial V21 em P2, devido a Q1, ou seja,
01E == WW
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ao produto de Q2 pelo potencial V21 em P2, devido a Q1, ou seja,
• De modo similar, o trabalho realizado para posicionar Q3 em P3 édado por
2122E VQWW ==
( )323133E VVQWW +==
• Dessa forma, o trabalho total realizado para posicionar as trêscargas é igual a
• Se as cargas forem posicionadas na ordem reversa,
( )32313212321E 0 VVQVQWWWW +++=++=
( )0 VVQVQWWWW +++=++=
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• Dessa forma, temos que
onde V1, V2 e V3, são os potenciais totais em P1, P2 e P3.
( )13121232123E 0 VVQVQWWWW +++=++=
( )332211E2
1VQVQVQW ++=
• A energia também pode ser determinada para diferentesdistribuições de carga, por exemplo:
1. Para n cargas pontuais
2. Para uma linha de cargas
∑=
=n
k
kkVQW1
E2
1
∫= VdlW1
ρ
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2. Para uma linha de cargas
3. Para uma superfície de cargas
4. Para um volume de cargas
∫= VdSW SE2
1ρ
∫= VdlW LE2
1ρ
∫= VdvW vE2
1ρ
• Considerando que
e que
fazendo-se algumas considerações matemáticas, temos que
→→
⋅∇= Dvρ
∇⋅+
⋅∇=
⋅∇
→→→→→→
BAABAB
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
onde
∫∫→→→
=⋅= dvEdvEDW
2
0E2
1
2
1ε
2
0EE2
1
2
1 →→→
=⋅== EEDWdv
dw ε
Representa a densidade de energia eletrostática, medida em J/m³
Exercícios
12. Três cargas pontuais -1 nC, 4 nC e 3 nC estão localizadas em(0, 0, 0), (0, 0, 1) e (1, 0, 0), respectivamente. Determine aenergia interna do sistema.
13. Se V = x – y + xy + 2z V, determine o vetor campo elétrico em
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
13. Se V = x – y + xy + 2z V, determine o vetor campo elétrico em(1, 2, 3) e a energia eletrostática armazenada em um cubo delado 2 m, centrado na origem.