Cap4

Capıtulo 1

Logica Modal

1.1 Introducao

Neste capıtulo e apresentada a logica modal, mais precisamente, a logica modal debase proposicional.

Em primeiro lugar apresentam-se os aspectos sintacticos e semanticos da logica.Seguidamente apresentam-se diferentes sistemas de logica modal e finalmente apre-sentam-se sistemas de deducao natural para varios sistemas de logica modal. Faz-seainda referencia a utilizacao do ambiente Isabelle para desenvolvimento de derivacoesnesses sistemas de deducao natural. Sao por ultimo apresentados resultados de cor-reccao e completude para os sistemas de deducao natural descritos.

A logica modal permite exprimir de um modo explıcito as nocoes de necessidadee possibilidade: permite exprimir que uma dada assercao e necessariamente verda-deira (i.e., nao se concebe nenhuma situacao em que possa ser falsa) e que uma dadaassercao e possivelmente verdadeira (i.e., concebe-se que possam existir situacoes emque e verdadeira podendo, no entanto, existirem tambem situacoes em que e falsa).Para tal e introduzido o operador modal 2, designado operador necessidade, o qualvai ser aplicado a formulas: sendo ϕ uma formula, 2ϕ e uma nova formula quepermite exprimir a nocao de que e necessariamente verdadeira a assercao represen-tada por ϕ. E ainda considerado (eventualmente por abreviatura) o operador modal3, designado operador possibilidade, que permite construir formulas do tipo 3ϕrelativas a assercoes possivelmente verdadeiras.

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Introducao

A logica modal serve de base a muitas outras logicas as quais tem aplicacoes muitodiversas. Nessas logicas, os operadores modais tem por vezes interpretacoes distintasdas originais. Algumas dessas logicas sao extensoes da logica modal tal como eapresentada neste capıtulo, ou seja, sao introduzidos mais operadores modais. Outrasrepresentam aplicacoes especıficas da logica modal tal como e aqui apresentada masque, pela sua importancia, deram origem a novas designacoes. Seguem-se algunsexemplos dessas logicas. Exemplos de textos relevantes sobre logica modal sao [5],[12] e [2].

A logica temporal e uma logica que tem por objectivo permitir a representacaoda variacao da veracidade das assercoes ao longo do tempo. Uma assercao pode, porexemplo, ser verdadeira num certo dia mas ja o nao ser no dia seguinte. Neste caso ooperador 2 permite representar a nocao de sempre no futuro e o operador 3 a nocaode alguma vez no futuro. Neste contexto e usual introduzir mais operadores. Emparticular, e usual considerar o operador ©, que representa a nocao de no proximoinstante. Esta logica tem, entre outras, aplicacoes no campo da especificacao e veri-ficacao de sistemas reactivos (sistemas concorrentes, sistemas distribuıdos, protocolosde comunicacao, etc.). Exemplos de textos sobre logica temporal sao [10] e [9].

A logica deontica e a chamada logica das obrigacoes e permissoes. Neste caso ooperador 2 permite representar a nocao de obrigatoriedade, i.e., 2ϕ exprime a nocaode que e obrigatoria a assercao representada por ϕ. O operador 3 representa a nocaode permissao, i.e., 3ϕ exprime a nocao de que e permitida a assercao representadapor ϕ. Esta logica tem aplicacoes em, por exemplo, representacao do conhecimentona area do Direito e na especificacao de organizacoes. Exemplos de textos sobrelogica deontica sao [5], .......

No contexto da logica epistemica, 2Agϕ pode exprimir a nocao de que um agenteAg sabe a assercao representada por ϕ (e muitas vezes o operador 2 e substituıdopor K - knowledge). Um outro caso e aquele em que 2Agϕ exprime a nocao de queum agente Ag acredita na assercao representada por ϕ (e muitas vezes o operador 2

e substituıdo por B - belief). Estas logicas tem aplicacoes no campo da representacaodo conhecimento e, por exemplo, mais recentemente, na verificacao de protocolos deautenticacao. Exemplos de textos sobre logica epistemica [3] e [8].

Um ultimo exemplo e o caso da logica dinamica, em que 2P ϕ representa queapos qualquer execucao do programa P a assercao ϕ e verdadeira. Neste contexto3P ϕ representa que existem execucoes do programa P apos as quais a assercao ϕ everdadeira. A logica dinamica tem aplicacoes na area da verificacao de programas.

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Logica Modal

Exemplos de textos sobre logica dinamica sao [10] e [11].

Este capıtulo esta organizado como se segue. Na seccao ?? introduzem-se os as-pectos sintacticos e na seccao 1.3 os aspectos semanticos. Na seccao 1.4 apresenta-seo conceito de sistema de logica modal (ou sistema modal) e varias outras nocoes rele-vantes a ele associadas. Na seccao 1.5 e seguintes apresentam-se sistemas de deducaonatural para varios sistemas de logica modal. Sao ainda apresentados resultados decorreccao e completude para estes sistemas dedutivos. Por ultimo, na seccao 1.10,faz-se uma brevıssima referencia a questao da normalizacao de deducoes no ambitodos sistemas dedutivos aqui apresentados.

No final de algumas seccoes sao propostos alguns exercıcios sobre os assuntosexpostos.

1.2 Sintaxe

Nesta seccao apresentam-se os aspectos sintacticos da logica modal proposicional(ou de base proposicional). Introduz-se em primeiro lugar o alfabeto e depois alinguagem das formulas modais proposicionais (ou seja, a linguagem da logica modalproposicional) sobre o alfabeto.

Definicao 1.2.1 Alfabeto modal sobre PDado um conjunto P , o alfabeto modal sobre P e constituıdo por

• cada um dos elementos de P

• o sımbolo ⊥ (absurdo, contradicao, falso ou falsidade);

• os conectivos logicos → (implicacao), ∧ (conjuncao) e ∨ (disjuncao)

• os operadores modais 2 (necessidade) e 3 (possibilidade)

• os sımbolos auxiliares ( e ).

Observacao 1.2.2 No que se segue assume-se fixado o conjunto nao vazio P .

Definicao 1.2.3 Linguagem modal induzida pelo alf. modal sobre PA linguagem modal induzida pelo alfabeto modal sobre P designa-se por FMP e e

o conjunto definido indutivamente da seguinte forma:

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Sintaxe

• p∈FMP qualquer que seja p ∈ P

• ⊥ ∈ FMP

• (ϕ → ϕ′)∈FMP , (ϕ ∧ ϕ′)∈FMP , (ϕ ∨ ϕ′)∈FMP , (2ϕ)∈FMP , (3ϕ)∈FMP

quaisquer que sejam ϕ, ϕ′∈FMP .

Os elementos de FMP sao as formulas da linguagem modal ou formulas modaisinduzidas pelo alfabeto.

Como anteriormente, omitem-se parenteses mais exteriores das formulas. Consideram-se as abreviaturas usuais relativas a ¬, ⇔ e >.

Exemplo 1.2.4 Considere-se P = {ET,L} e suponha-se que ET representa a as-sercao “Existem seres extra terrestres inteligentes”e L representa a assercao “A Luae habitada por seres inteligentes”.

• 3ET ∈ FMP

esta formula exprime a ideia de que e possıvel que existam seres extra terrestresinteligentes1.

• 3(¬ET ) ∈ FMP

esta formula exprime a ideia de que e possıvel que nao existam seres extraterrestres inteligentes2.

• 3L ∈ FMP

esta formula exprime a ideia de que e possıvel que a Lua seja habitada porseres inteligentes2.

• 2(¬L) ∈ FMP

esta formula exprime a ideia de que necessariamente a Lua nao e habitada porseres inteligentes2.

Definicao 1.2.5 Complexidade de formulasA funcao complexidade c : FMP → IN0 define-se indutivamente do seguinte modo:

• c(ϕ) = 0 para cada ϕ ∈ P ∪ {⊥};1Assercao que e verdadeira a luz dos actuais conhecimentos cientıficos2Assercao que e falsa a luz dos actuais conhecimentos cientıficos

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Logica Modal

• c(2ϕ) = c(3ϕ) = c(ϕ) + 1 para cada ϕ ∈ FMP .

• c(ϕ′ → ϕ′′) = c(ϕ′ ∧ ϕ′′) = c(ϕ′ ∨ ϕ′′) = c(ϕ′) + c(ϕ′′) + 1para ϕ,ϕ′, ϕ′′ ∈ FMP .

Sendo ϕ ∈ FMP , a complexidade de ϕ representa-se por c(ϕ).

Definicao 1.2.6 SubformulasSendo ϕ ∈ FMP , as nocoes de subformula e subformula estrita sao identicas as

apresentadas nos capıtulos anteriores.

1.3 Semantica

Nesta seccao apresentam-se os aspectos semanticos da logica modal. Em primeirolugar introduz-se a nocao de enquadramento3 (relevante para o conceito de validade)e seguidamente apresenta-se a nocao de estrutura de interpretacao (relevante para oconceito de satisfacao).

Definicao 1.3.1 Enquadramento modalUm enquadramento modal ou enquadramento e um par

IE = (W,R)

onde

• W e um conjunto nao vazio

• R e uma relacao binaria em W dita relacao de acessibilidade (ou relacao devisibilidade).

Sendo w1, w2 ∈ W , diz-se que w2 e acessıvel a partir de w1 se (w1, w2) ∈ R.

Observacao 1.3.2 Seja IE = (W,R) um enquadramento. Aos elementos de W saopor vezes atribuıdas certas designacoes, dependendo do contexto em que apresentaou utiliza a logica modal. Exemplos dessas designacoes sao: mundos, pontos, estados,nos, instantes e situacoes.

3Na literatura anglo-saxonica utiliza-se a designacao frame.

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Semantica

No que se segue e util o leitor ter presente a definicao de certas propriedades dasrelacoes binarias, como, por exemplo, reflexividade, simetria, transitividade, seria-lidade, convergencia e densidade. Estas nocoes encontram-se reunidas no capıtulo??.

Definicao 1.3.3 Classificacao de enquadramentos modaisSeja Π uma propriedade de relacoes binarias. Diz-se que um enquadramento IE =

(W,R) tem a propriedade Π se R e uma relacao binaria que verifica a propriedadeΠ.

Observacao 1.3.4 Seja IE = (W,R) um enquadramento. Se IE tem, por exemplo, apropriedade da transitividade diz-se tambem que IE e um enquadramento transitivo.Designacoes semelhantes sao tambem utilizadas no caso das outras propriedades.

Segue-se a definicao da nocao de estrutura de interpretacao modal.

Definicao 1.3.5 Estrutura de interpretacao modal sobre PUm estrutura de interpretacao modal sobre P e um par

IMI = (IE, V )

onde

• IE = (W,R) e um enquadramento modal

• V : P → P(W ) e uma funcao.

Uma estrutura de interpretacao modal sobre P cujo enquadramento subjacente sejaIE diz-se estrutura de interpretacao modal baseada em IE ou estrutura de inter-pretacao modal com base em IE.

Se nao ha ambiguidade sobre qual o conjunto P em causa pode usar-se apenasa designacao estrutura de interpretacao modal. E tambem usual representar umaestrutura de interpretacao como um triplo

(W,R, V )

onde as duas primeiras componentes constituem o enquadramento modal subjacentea estrutura de interpretacao.

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Logica Modal

Um enquadramento modal e constituıdo por um conjunto (nao vazio) cujos ele-mentos representam possıveis mundos (instantes ou situacoes) nos quais se irao ava-liar as formulas. Pode acontecer que uma formula venha a ser satisfeita num certomundo (instante ou situacao) mas nao o seja nalgum outro. A nocao de satisfacao deuma dada formula num mundo vai depender, em particular, da satisfacao ou nao dossımbolos proposicionais nesse e/ou noutros mundos. Para isso e necessario a nocaode estrutura de interpretacao. Uma estrutura de interpretacao e constituıda por umenquadramento e por uma funcao V que a cada sımbolo proposicional faz correspon-der um conjunto de mundos. Cada um desses mundos corresponde, intuitivamente,a um mundo no qual e verdadeira a assercao denotada por esse sımbolo.

No que se segue assume-se fixado um conjunto de sımbolos proposicionais P .Segue-se agora a definicao da nocao de satisfacao de uma formula num certo mundo.

Definicao 1.3.6 Satisfacao num mundo de uma estr. de interpretacao

Sejam IMI = (IE, V ) uma estrutura de interpretacao modal e w ∈ W . A nocaode satisfacao de ϕ ∈ FMP por IMI no mundo w denota-se por

IMI, w |= ϕ

e define-se indutivamente como se segue:

• para cada p ∈ P , IMI,w |= p se w ∈ V (p);

• nao IMI,w |= ⊥;

• IMI,w |= ϕ → ϕ′ se4 IMI,w 6|= ϕ ou IMI, w |= ϕ′;

• IMI,w |= ϕ ∧ ϕ′ se IMI, w |= ϕ e IMI, w |= ϕ′;

• IMI,w |= ϕ ∨ ϕ′ se IMI, w |= ϕ ou IMI,w |= ϕ′;

• IMI,w |= 2ϕ se IMI, w′ |= ϕ para cada w′ ∈ W tal que wRw′;

• IMI,w |= 3ϕ se existe w′ ∈ W tal que wRw′ e IMI,w′ |= ϕ;

4Definicao alternativa: se IMI, w |= ϕ entao IMI, w |= ϕ′

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Semantica

sendo IMI,w 6|= ϕ uma abreviatura de “ nao IMI, w |= ϕ”. Dado Φ ⊆ FMP , IMIsatisfaz Φ em w, o que se representa por

IMI, w |= Φ

se IMI, w |= ϕ para toda a formula ϕ ∈ Φ. Sempre que IMI, w |= ϕ (IMI,w |= Φ)diz-se que IMI e modelo de ϕ (Φ) em w.

A nocao de satisfacao de uma formula num mundo de uma estrutura de inter-pretacao e uma nocao local. Pode tambem definir-se, como se segue, a nocao desatisfacao de formula numa estrutura de interpretacao a qual sera uma nocao global.

Definicao 1.3.7 Satisfacao numa estrutura de interpretacaoSejam IMI = (IE, V ) uma estrutura de interpretacao modal e ϕ ∈ FMP . A nocao

de satisfacao de ϕ por IMI denota-se por

IMI |= ϕ

e define-se como se segue: IMI |= ϕ se IMI, w |= ϕ para cada w ∈ W . Sempre queIMI |= ϕ diz-se que IMI e modelo de ϕ.

Exemplo 1.3.8 Seja {p, q, r} ⊆ P . Considere-se o enquadramento IE = (W,R)onde W = {w1, w2, w3, w4, w5} e R e tal que, para cada 1 ≤ i, j ≤ 5, wiRwj sej = i + 1, isto e,

w1 −→ w2 −→ w3 −→ w4 −→ w5

e seja V : P → P(W ) tal que V (p) = {w2, w3}, V (q) = W e V (r) = ∅. Considerandoa estrutura de interpretacao IMI = (IE, V ) tem-se que

• IMI, w2 |= p ∧ (¬r), pois IMI, w2 |= p dado que w2 ∈ V (p) e IMI, w2 |= ¬r dadoque w2 6∈ V (r);

• IMI, w1 |= 2p, pois IMI, w2 |= p e w1Rw2 e w2 e o unico mundo que esta narelacao R com w1;

• IMI, w2 |= 2p por um raciocınio semelhante ao anterior;

• IMI, w3 6|= 2p, pois w3Rw4 e IMI, w4 6|= p;

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Logica Modal

• IMI,w1 6|= (2p) → p, pois IMI, w1 |= 2p mas IMI, w1 6|= p;

• IMI,w1 |= 3(2p), pois w1Rw2 e IMI,w2 |= 2p;

• IMI,w1 |= 3(p ∧ (¬r)), pois w1Rw2 e IMI, w2 |= p ∧ (¬r);

• IMI,w5 6|= 3(¬r), pois, se IMI,w5 |= 3(¬r), teria de existir um mundo w talque w5Rw e IMI,w |= ¬r o que nao acontece neste caso pois, em particular,nao existe w ∈ W tal que w5Rw.

• IMI,w5 |= 2p, pois e necessario garantir para todos os mundos w tal que w5Rwse tem IMI, w |= p o que e, de facto, (vacuosamente) verdadeiro neste exemplo.

Tem-se ainda que:

• IMI |= 2q, pois IMI,wi |= 2q para cada i ∈ {1, 2, 3, 4, 5};• IMI |= (2p) ∨ (3(¬r)), pois IMI,wi |= 2p para cada i ∈ {1, 2, 5} e IMI, wi |=

3(¬r) para cada i ∈ {3, 4}.

Exemplo 1.3.9 Seja P = {ET, L} como no Exemplo 1.2.4. Considere-se o enqua-dramento IE = (W,R) onde W = {w1, w2, w3, w4} e R = {(w1, w2), (w1, w3)} , istoe,

w2 ←− w1 −→ w3 w4

e seja V : P → P(W ) tal que V (ET ) = {w2}, e V (L) = {w4}. Considerando aestrutura de interpretacao IMI = (IE, V ) tem-se que

• IMI,w1 |= 3ET pois w1Rw2 e IMI, w2 |= ET ;

• IMI,w1 |= 3(¬ET ) pois w1Rw3 e IMI,w3 |= ¬ET ;

• IMI,w1 6|= 3L pois nao existe w′ ∈ W tal que w1Rw′ e IMI,w′ |= L;

• IMI,w1 |= 2(¬L) pois para cada w′ ∈ W tal que w1Rw′ se tem que IMI,w′ |=¬L.

Seguem-se agora as nocoes de formula valida num mundo de um enquadramento,num enquadramento e numa classe de enquadramentos. Finalmente apresenta-se anocao de formula valida.

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Semantica

Definicao 1.3.10 Validade num enquadramento, validade numa classe deenquadramentos e validade de formula

Sejam ϕ ∈ FMP , IE = (W,R) um enquadramento modal e E uma classe deenquadramentos:

• ϕ e valida no estado w ∈ W de IE, o que representa por

IE, w |= ϕ

se IMI,w |= ϕ qualquer que seja a estrutura de interpretacao modal IMI base-ada5 em IE;

• ϕ e valida no enquadramento IE, o que representa por

IE |= ϕ

se IE,w |= ϕ para cada w ∈ W ;

• ϕ e valida na classe E de enquadramentos, o que representa por

|=E ϕ

se IE |= ϕ para cada IE ∈ E ;

• ϕ e valida , o que representa por

|= ϕ

se IE |= ϕ para cada IE na classe de todos os enquadramentos.

Notacao 1.3.11 Sendo E uma classe de enquadramentos, ΛE designa o conjuntodas formulas que sao validas na classe E

Exemplo 1.3.12 Considere-se o enquadramento IE = (W,R) do Exemplo 1.3.8onde W = {w1, w2, w3, w4, w5} e R e tal que, para cada 1 ≤ i, j ≤ 5, wiRwj sej = i + 1. Seja tambem P = {p, q, r}. Tem-se que:

• IE, w5 |= 2ϕ qualquer que seja ϕ ∈ FMP5Ou seja, IMI = (IE, V ) com V : P → P(W )

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Logica Modal

note-se que, dada uma qualquer estrutura de interpretacao modal IMIbaseada em IE, se tem que IMI, w5 |= 2ϕ pois verifica-se (vacuosamente)que qualquer mundo w ∈ W tal que w5Rw e tal que IMI, w |= ϕ;

• IE |= (3ϕ) → (2ϕ) qualquer que seja ϕ ∈ FMP

note-se que para cada w ∈ W se tem que IE,w |= (3ϕ) → (2ϕ), (i.e.,IMI, w |= (3ϕ) → (2ϕ) para cada estrutura de interpretacao modal IMIbaseada em IE) pois: (i) IMI,w1 |= (3ϕ) → (2ϕ) porque como w2 e ounico mundo de W tal que w1Rw2, se IMI,w1 |= 3ϕ entao IMI,w2 |= ϕe IMI, w1 |= 2ϕ, (ii) IMI, wi |= (3ϕ) → (2ϕ) para cada i ∈ {2, 3, 4}raciocinando como em (i), (iii) IMI, w5 |= (3ϕ) → (2ϕ) porque IMI,w5 6|=3ϕ pois nao existe w ∈ W tal que w5Rw.

Exemplo 1.3.13 Sejam {p, q, r} ⊆ P e ϕ,ϕ′ ∈ FMP . Tem-se que:

• |=E (2ϕ) → ϕ sendo E a classe dos enquadramentos reflexivos (ou que verificama propriedade da reflexividade)

note-se que, sendo IE = (W,R) um enquadramento em E , IMI uma estru-tura de interpretacao modal baseada em IE e w ∈ W , se tem que wRw eportanto se IMI,w |= 2ϕ entao, em particular, IMI, w |= ϕ concluindo-seassim IMI, w |= (2ϕ) → ϕ;

• |= (3(ϕ ∨ ϕ′)) → ((3ϕ) ∨ (3ϕ′))note-se que, sendo IE = (W,R) um enquadramento, IMI uma estruturade interpretacao modal baseada em IE e w ∈ W , se tem que: (i) seIMI, w |= (3(ϕ ∨ ϕ′)) entao existe v ∈ W tal que wRv e IMI, v |= ϕ ∨ ϕ′,(ii) se, nas condicoes de (i), IMI, v |= ϕ (o outro caso e identico) tem-seque IMI, w |= 3ϕ e consequentemente IMI,w |= (3ϕ) ∨ (3ϕ′) (iii) de (i) e(ii) conclui-se IMI, w |= (3(ϕ ∨ ϕ′)) → ((3ϕ) ∨ (3ϕ′));

• |= (2(ϕ → ϕ′)) → ((2ϕ) → (2ϕ′))supondo, por absurdo, que existia um enquadramento IE = (W,R) talque 6|= (2(ϕ → ϕ′)) → ((2ϕ) → (2ϕ′)) entao: (i) existe uma estruturade interpretacao modal IMI baseada em IE e w ∈ W tal que IMI, w 6|=(2(ϕ → ϕ′)) → ((2ϕ) → (2ϕ′)); (ii) de (i), IMI,w |= 2(ϕ → ϕ′) e

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Semantica

IMI, w 6|= (2ϕ) → (2ϕ′); (iii) de (ii), IMI, w |= (2ϕ) e IMI, w 6|= 2ϕ′; (iv)de (iii) existe v ∈ W tal que wRv e IMI, v |= ¬ϕ′; (v) de (iii), IMI, v |= ϕe, consequentemente, IMI, v 6|= ϕ → ϕ′; (vi) de (ii), IMI, v |= ϕ → ϕ′; (vii)de (v) e (vi) resulta uma situacao absurda que permite concluir que naopode existir o enquadramento referido no inıcio e portanto a formula evalida.

• 6|= (2p) → p

recorde-se o Exemplo 1.3.8 e note-se IMI, w1 6|= (2p) → p onde IMI e a es-trutura de interpretacao modal baseada em IE apresentada nesse Exemploe w1 e um dos mundos do enquadramento.

Notacao 1.3.14 No que se segue usar-se-ao as seguintes notacoes para designaralgumas classes importantes de enquadramentos:

• Eref e a classe dos enquadramentos reflexivos;

• Esim e a classe dos enquadramentos simetricos;

• Etrn e a classe dos enquadramentos transitivos;

• Eeuc e a classe dos enquadramentos euclideanos;

• Eser e a classe dos enquadramentos seriais;

• Ecnv e a classe dos enquadramentos convergentes;

• Edns e a classe dos enquadramentos densos.

Exemplo 1.3.15 Sendo ϕ ∈ FMP tem-se que:

• |=Eref(2ϕ) → ϕ;

• |=Esim ϕ → (2(3ϕ));

• |=Etrn (2ϕ) → (2(2ϕ));

• |=Eeuc (3ϕ → (2(3ϕ));

• |=Eser (2ϕ) → (3ϕ);

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Logica Modal

• |=Ecnv (3(2ϕ)) → (2(3ϕ));

• |=Edns(2(2ϕ)) → (2ϕ);

• |=E (2((2ϕ) → ϕ)) → (2ϕ)onde E e a classe dos enquadramentos cuja relacao subjacente constitui umaarvore finita transitiva.

Apresentam-se seguidamente varias nocoes relacionadas com consequencia semantica.Com efeito, no contexto da logica modal existem varias nocoes de consequenciasemantica, nomedamente, pode falar-se de consequencia local, consequencia global,consequencia face a uma classe de enquadramentos e consequencia face a uma classede modelos.

Definicao 1.3.16 Consequencia semantica localSejam Φ ⊆ FMP , ϕ ∈ FMP , E uma classe de enquadramentos e M uma classe

de estruturas de interpretacao modais:

• ϕ e consequencia semantica local de Φ o que se representa por

Φ |= ϕ

se qualquer que seja a estrutura de interpretacao modal IMI = (IE, V ), comIE = (W,R), e qualquer que seja w ∈ W se tem que se IMI,w |= Φ entaoIMI,w |= ϕ.

• ϕ e consequencia semantica local de Φ em E o que se representa por

Φ |=E ϕ

se qualquer que seja a estrutura de interpretacao modal IMI = (IE, V ) comIE = (W,R) ∈ E e qualquer que seja w ∈ W se tem que se IMI, w |= Φ entaoIMI,w |= ϕ.

• ϕ e consequencia semantica local de Φ em M o que se representa por

Φ |=M ϕ

se qualquer que seja a estrutura de interpretacao modal IMI = (W,R, V ) emM e qualquer que seja w ∈ W se tem que se IMI,w |= Φ entao IMI, w |= ϕ.

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Semantica

Definicao 1.3.17 Consequencia semantica global

Sendo Φ ⊆ FMP e ϕ ∈ FMP diz-se que ϕ e consequencia semantica global de Φo que se representa por

Φ |=G ϕ

se qualquer que seja o enquadramento IE se tem que se IE |= Φ entao IE |= ϕ.Sendo E uma classe de enquadramentos e M uma classe de estruturas de inter-

pretacao modais, definem-se de modo analogo as nocoes de consequencia semanticaglobal de em E (Φ |=GE ϕ) e de consequencia semantica global em M (Φ |=GE ϕ).

Exemplo 1.3.18 Sejam ϕ,ϕ′ ⊆ FMP . Tem-se que:

• {2(ϕ → ϕ′), 3ϕ} |= 3ϕ′

se IE = (W,R) e um enquadramento, IMI uma estrutura de interpretacaomodal baseada em IE e w ∈ W , tem-se que (i) se IMI, w |= 3ϕ entao existew′ ∈ W tal que wRw′ e IMI,w′ |= ϕ, (ii) se IMI,w |= 2(p → ϕ′) e wRw′

entao IMI, w′ |= ϕ → ϕ′ e, como IMI, w′ |= ϕ, tem-se que IMI, w′ |= ϕ′, (iii)como wRw′, tem-se que IMI, w |= 3ϕ′;

• {ϕ} |=Eref3ϕ

sendo IE = (W,R) um enquadramento reflexivo, IMI uma estrutura deinterpretacao modal baseada em IE e w ∈ W , se tem que wRw e portantose IMI,w |= ϕ entao IMI, w |= 3ϕ;

• {ϕ} |=G 2ϕ

sendo IE = (W,R) um enquadramento, se IE |= ϕ entao IMI, w |= ϕquaisquer que sejam a estrutura de interpretacao IMI baseada em IE ew ∈ W e, consequentemente, IE |= 2ϕ.

Propoem-se seguidamente alguns exercıcios sobre os assuntos expostos.

Exercıcio 1.3.19 Na sequencia p e q designam sımbolos proposicionais. Verifiqueque as seguintes formulas nao sao validas.

1. (3p) → (2p)

2. p → (2(3p))

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Logica Modal

3. (3(2p)) → (2(3p))

4. (2p) → (2(2p))

5. (3(3p)) → (3p)

6. (2p) → (3p)

7. ((3p) ∧ (3q)) → ((3(p ∧ q)) ∨ (3(p ∧3q)) ∨ (3(q ∧3p)))

8. (2p) ∨ (2(¬p))

9. 2⊥

Exercıcio 1.3.20 Para cada uma das formulas das alıneas 1, 5, 7, 8 e 9 do exercıcioanterior caracterize uma classe nao vazia de enquadramentos na qual essa formulaseja valida.

Exercıcio 1.3.21 Na sequencia ψ, ψ1 e ψ2 designam formulas em FMP . Verifiquese as seguintes assercoes sao verdadeiras.

1. |= 2(ψ → ψ)

2. {2ψ1 ∨2ψ2} |= 2(ψ1 ∨ ψ2)

3. {3ψ1, 3ψ2} |= 3(ψ1 ∧ ψ2)

4. {3ψ1} |= (2ψ2) → (3ψ2)

5. |=Eser (2ψ) → (3ψ)

6. |=Esim ψ → (2(3ψ))

7. |=Etrn (2ψ) → (2(2ψ))

8. |=Eeuc (3ψ → (2(3ψ))

9. |=Ecnv (3(2ψ)) → (2(3ψ))

10. |=Edns(2(2ψ)) → (2ψ)

11. {3ψ} |=Eref∩Etrans 3(3ψ) (e vice-versa)

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Sistemas de logica modal

1.4 Sistemas de logica modal

Nesta seccao apresenta-se o conceito de sistema de logica modal (tambem designadosistema modal ou, por vezes, mais simplesmente, logica modal). Um sistema delogica modal e um conjunto de formulas modais verificando certas propriedades.Sao tambem apresentadas varias outras nocoes relevantes associadas ao conceitode sistema modal, nomeadamente a nocao de sistema normal, sistema K (e suasextensoes) e relacoes entre estes sistemas modais e certas classes de enquadramentos.

Na sequencia assume-se fixado um conjunto de sımbolos proposicionais P .

Antes de apresentar a nocao de sistema de logica modal e necessario introduziralguns conceitos preliminares.

Definicao 1.4.1 Formulas proposicionalmente atomicasO conjunto das formulas proposicionalmente atomicas em FMP e o conjunto

P ∪ {2ψ : ψ ∈ FMP } ∪ {3ψ : ψ ∈ FMP }

o qual se designa por PA.

Formulas proposicionalmente atomicas em FMP sao os sımbolos proposicionaisem P e as formulas do tipo 2ψ ou 3ψ com ψ ∈ FMP .

O conjunto PA pode ser visto como um conjunto de sımbolos proposicionais, (cadaelemento de PA e visto como um sımbolo proposicional) e pode assim considerar-seuma linguagem proposicional cujo conjunto das formulas e, usando a notacao docapıtulo sobre logica proposicional, FPA. Nesta linguagem, formulas do tipo 2ψ ou3ψ sao vistas como sımbolos proposicionais.

16

Logica Modal

Definicao 1.4.2 Consequencia tautologica

Sejam Φ ⊆ FMP e ϕ ∈ FMP . A formula ϕ e consequencia tautologica de Φ, oque se representa por

Φ |=taut ϕ

se no contexto da logica proposicional cuja linguagem e FPA se tem que ϕ e con-sequencia semantica de Φ.

Uma formula modal ϕ e consequencia tautologica de um conjunto de formulasmodais Φ se, olhando para as formulas modais envolvidas como formulas proposici-onais da linguagem proposicional FPA, se tem que ϕ e consequencia semantica (nosentido proposicional) de Φ.

Exemplo 1.4.3 Sendo ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ FMP tem-se que

{(2ϕ1) → (2ϕ2), (2ϕ2) → (2ϕ3)} |=taut (2ϕ1) → (2ϕ3)

pois facilmente se prova que (2ϕ1) → (2ϕ3) e consequencia semantica (no sentidoproposicional) de {(2ϕ1) → (2ϕ2), (2ϕ2) → (2ϕ3)}: sendo V valoracao (proposi-cional) V sobre PA tal que V |= {(2ϕ1) → (2ϕ2), (2ϕ2) → (2ϕ3)} facilmente seconclui que V |= (2ϕ1) → (2ϕ3).

Definicao 1.4.4 Conjunto fechado para a consequencia tautologica

O conjunto Φ ⊆ FMP diz-se fechado para a consequencia tautologica, se quaisquerque sejam ϕ1, . . . , ϕn ∈ Φ, n ∈ IN0, e ϕ ∈ FMP

se {ϕ1, . . . , ϕn} |=taut ϕ entao ϕ ∈ Φ.

Definicao 1.4.5 Conjunto fechado para o Modus PonensO conjunto Φ ⊆ FMP diz-se fechado para o Modus Ponens se

se ϕ1 → ϕ2 ∈ Φ e ϕ1 ∈ Φ entao ϕ2 ∈ Φ.

Definicao 1.4.6 Conjunto fechado para a necessitacao

O conjunto Φ ⊆ FMP diz-se fechado para a necessitacao se

se ϕ ∈ Φ entao 2ϕ ∈ Φ.

17


Pode agora apresentar-se a nocao de sistema de logica modal. Um sistema delogica modal e um conjunto de formulas modais verificando certas propriedades.Neste texto segue-se a definicao apresentada em [5].

Definicao 1.4.7 Sistema de logica modalO conjunto Λ ⊆ FMP e um sistema de logica modal se e fechado para a con-

sequencia tautologica.

Outras designacoes comuns para o conceito de sistema de logica modal sao sistemamodal e logica modal.

Podem encontrar-se definicoes algo diferentes para

Observacao 1.4.8 Note-se que qualquer sistema de logica modal contem todas astautologias proposicionais isto e, todas as formulas que sao tautologias no contextoda logica proposicional subjacente a FPA.

Um definicao alternativa para o conceito de sistema de logica modal e, alias, aseguinte: Λ ⊆ FMP e um sistema de logica modal se contem o conjunto {ϕ ∈ FMP :|=taut ϕ} (isto e, contem todas as tautologias proposicionais) e e fechado para oModus Ponens.

No que se segue sao relevantes certas formulas, mais precisamente, formulas es-quema. As formulas esquema sao construıdas a custa dos conectivos e operadoresmodais seguindo a sintaxe das formulas modais mas, em vez dos sımbolos propo-sicionais, sao utilizadas metavariaveis A,B,C . . .. Estas metavariaveis representamformulas modais. Assim, por exemplo, (2A) → (3A) e uma formula esquema. A me-tavariavel A pode ser instanciada com uma dada formula modal ψ ∈ FMP obtendo-sea formula (2ψ) → (3ψ) ∈ FMP . Esta formula modal e uma instancia da formulaesquema referida.

Na literatura existem algumas formulas esquema as quais sao atribuıdos deter-minados nomes especiais como, por exemplo, K, T, etc. (ver Definicao 1.4.9). Emcertas situacoes (ver seccao ??), estas formulas sao designadas axiomas esquema ou,simplesmente, axiomas e, por isso, faz-se muitas vezs referencia ao axioma K, axiomaT, etc., para designar a formula esquema a qual e atribuıdo o nome K, a formulaesquema a qual e atribuıdo o nome T, etc.

No que se segue e tambem relevante definir em que condicoes se pode dizer queuma axioma esta contido num conjunto de formulas.

18

Logica Modal

Definicao 1.4.9 Alguns axiomas relevantes

• Axiomas e respectivas designacoes6

• (2(A → B)) → ((2A) → (2B)) K

• (3A) ⇔ (¬(2A)) Df3

• (2A) → (3A) D

• (2A) → A T

• A → (2(3A)) B

• (2A) → (2(2A)) 4

• (3A) → (2(3A)) 5

• (3(2A)) → (2(3A)) 2

• (2(2A)) → (2A) X

• (2((2A) → A)) → (2A) L

• (2((2A) ⇔ A)) → (2A) H

onde A e B representam formulas de FMP .

• Sendo Φ ⊆ FMP , diz-se que Φ contem K se

(2(ϕ → ψ)) → ((2ϕ) → (2ψ)) ∈ Φ

quaisquer que sejam ϕ,ψ ∈ FMP . Esta nocao pode ser estendida de modoobvio a qualquer um dos outros axiomas.

• Diz-se que K e valido numa classe de enquadramentos E se

|=E (2(ϕ → ψ)) → ((2ϕ) → (2ψ))

quaisquer que sejam ϕ,ψ ∈ FMP . Esta nocao pode ser estendida de modoobvio a qualquer um dos outros axiomas.

6Na literatura sobre logica modal estas designacoes nao sao atribuıdas de modo uniforme. Emborahaja algum consenso relativamente a alguns dos axiomas, outros existem que aparecem sob diferentesdesignacoes. Neste texto seguem-se as designacoes utilizadas em [2], [14] e, no caso de Df3, [5].

19


Dizer que o axioma K esta contido num conjunto de formulas Φ significa quetodas as instancias de K (ou seja, todas as formulas que se obtem substituindo ossımbolos A e B de K por formulas modais) pertencem a Φ.

A lista de formulas apresentada nao esgota as formulas que, na literatura, recebemusualmente designacoes especiais. Em [5] e [14], por exemplo, pode encontrar-se umalista mais extensa.

Uma nocao relevante neste contexto e a nocao de sistema normal.

Definicao 1.4.10 Sistema normal de logica modal

O conjunto Λ ⊆ FMP e um sistema normal de logica modal, ou um sistemanormal, se verifica as seguintes condicoes:

• e um sistema de logica modal

• contem o axioma K e o axioma Df3

• e fechado para a necessitacao.

Definicao 1.4.11 Sistema K

O sistema modal K, ou sistema K, e o menor dos sistemas modais normais, istoe, e a interseccao de todos os sistemas modais normais.

Todos os sistemas normais sao fechados para a consequencia tautologica e para anecessitacao e contem o axioma K. O menor destes conjuntos (no sentido da inclusaode conjuntos) designa-se7 sistema K. Este sistema contem apenas as tautologiasproposicionais e as formulas que resultam da instanciacao dos axiomas K e Df3 e dofacto de ser fechado para a necessitacao e Modus Ponens. Se se considerarem sistemasnormais que tambem contenham outro(s) axioma(s) obtem-se novos sistemas normais(que irao conter8 o sistema K). Considerando, por exemplo, o axioma T, obtem-se sistemas modais que sao sistemas normais (e por isso contem o sistema K esao fechados para a consequencia semantica e para a necessitacao), mas tambemcontem o axioma (esquema) T. Sistemas modais com estas caracterısticas designam-se sistemas-KT e o menor destes sistemas (no sentido da inclusao de conjuntos) e osistema KT .

7A designacao K foi atribuıda a este sistema nos anos 70 em honra de S. Kripke pelas suascontribuicoes na area da semantica da logica modal [12].

8Nao necessariamente de forma estrita

20

Logica Modal

Definicao 1.4.12 Extensoes do sistema K

Sejam E1,. . .,En designacoes de axiomas (esquema). Um conjunto Λ ⊆ FMP eum sistema-KE1 . . . En se verifica as seguintes condicoes:

• e um sistema normal

• contem o axioma Ei para cada 1 ≤ i ≤ n.

O menor (no sentido da inclusao de conjuntos) dos sistemas-KE1 . . . En e o sistemaKE1 . . . En.

Refira-se que certos autores, como por exemplo [12] e [2], consideram uma de-finicao para a nocao de sistema de logica modal distinta da apresentada na Definicao1.4.7. Nestes casos, um sistema de logica modal e um conjunto de formulas quecontem todas as tautologias e e fechado para o Modus Ponens e para a substituicaouniforme. Note-se porem, que o sistema KE1 . . . En corresponde exactamente aomesmo conjunto de formulas quer se use uma definicao, quer outra.

Como facilmente se conclui, da combinacao dos varios axiomas resultam va-riadıssimos sistemas modais sendo que alguns deles sao identicos. Por exemplo,os sistemas KDT e KT sao iguais. Sao tambem iguais os sistemas KTB4, KT5 eKT45. Obviamente, sao tambem iguais os sistemas KT5 e K5T , por exemplo.

Listam-se seguidamente alguns dos sistemas usualmente mais estudados na lite-ratura. Para alguns destes sistemas sao usadas tambem designacoes distintas da queresulta da Definicao 1.4.12. Essas outras designacoes aparecem entre parenteses.

• KD (D)

• KT (T )

• KB (B)

• KT4 (S4)

• KTB4 (S5)

Em [5], por exemplo, sao descritas diversas propriedades destes sistemas.

Apresentam-se seguidamente alguns resultados que relacionam estes sistemas mo-dais com certas classes de enquadramentos (ver tambem seccao ??). O objectivo e

21


apenas fazer referencia a alguns dos resultados mais relevantes sobre este assunto enao apresentar uma exposicao detalhada. Nao serao apresentadas provas das pro-posicoes enunciadas. Estes resultados sao na sua generalidade resultados tıpicosque se podem encontrar na maior parte da literatura sobre logica modal. O leitorinteressado podera consultar, por exemplo, [5, 12, 2].

Proposicao 1.4.13Sejam E1,. . .,En designacoes de axiomas e E1, . . . , En classes de enquadramentos taisque o axioma Ei e valido na classe Ei, para cada 1 ≤ i ≤ n. Tem-se que

se ϕ e uma formula do sistema KE1 . . . En entao |=E1∩...∩En ϕ

ou seja, se ϕ e uma formula do sistema KE1 . . . En entao ϕ pertence a ΛE1∩...∩En (i.e.,e valida na classe de enquadramentos E1 ∩ . . . ∩ En).

Esta propriedade e por vezes designada correccao do sistema KE1 . . . En relati-vamente a classe de enquadramentos E1 ∩ . . .∩ En. Pode ser generalizada a qualquersistema normal como se segue.

Definicao 1.4.14 Correccao de um sistema modal normal face a umaclasse de enquadramentos

Seja Λ ⊆ FMP um sistema normal. O sistema Λ e correcto face a classe deenquadramentos E sempre que Λ ⊆ ΛE .

Da Proposicao 1.4.13, do Exemplo 1.3.13 e do Exemplo 1.3.15 resulta que asformulas dos varios sistemas que foram mencionados anteriormente sao validas emclasses de enquadramentos verificando certas propriedades bem conhecidas, isto e,essas formulas pertencem a ΛE para tais classes de enquadramentos E . Na Proposicao1.4.15 listam-se alguns desses casos.

Proposicao 1.4.15Os sistemas listados na tabela da Figura 1.1 sao correctos face as classes de

enquadramentos correspondentes, ou seja, cada um dos sistemas esta contido nalogica da classe de enquadramentos correspondente.

Tem-se assim que, por exemplo, as formulas do sistema K sao validas na classede todos os enquadramentos, as formulas do sistema KD sao validas na classe dos

22

Logica Modal

Sistema Classe E de enquadramentos(Λ) para a qual Λ ⊆ ΛE

classe E de todos os enquadramentosK (K ⊆ ΛE)

classe dos enquadramentos seriaisKD (KD ⊆ ΛEser)

classe dos enquadramentos reflexivosKT (KT ⊆ ΛEref

)classe dos enquadramentos simetricos

KB (KB ⊆ ΛEsim)classe dos enquadramentos transitivos

K4 (K4 ⊆ ΛEtrn)classe dos enquadramentos euclideanos

K5 (K5 ⊆ ΛEeuc)classe dos enquadramentos reflexivos e transitivos

S4 (S4 ⊆ ΛEref∩Etrn)classe dos enq. reflexivos, simetricos e transitivos

S5 (S5 ⊆ ΛEref∩Esim∩Etrn)classe E ′ dos enq. cuja relacao subjacente

KL constitui uma arvore finita transitiva(KL ⊆ ΛE ′)

Figura 1.1: Relacoes entre sistemas modais e classes de enquadramentos

enquadramentos seriais, ou seja, KD ⊆ ΛEser e as formulas do sistema KT saovalidas na classe dos enquadramentos reflexivos , ou seja, KT ⊆ ΛEref

.

Naturalmente, sempre que se tem Λ ⊆ ΛE para uma dado sistema normal e umaclasse de enquadramentos, uma questao que se coloca e a de saber se ΛE ⊆ Λ (oque permitiria concluir que Λ = ΛE). Tal acontecera sempre que toda a formulavalida em E seja um elemento de Λ (esta propriedade e designada por completude dosistema Λ relativamente a classe de enquadramentos E).

Definicao 1.4.16 Completude de um sistema modal normal face a umaclasse de enquadramentos

23


Seja Λ ⊆ FMP um sistema normal. O sistema Λ e completo face a classe deenquadramentos E sempre que ΛE ⊆ Λ.

Na Proposicao 1.4.17 apresentam-se resultados de completude para os sistemasanteriormente referidos.

Proposicao 1.4.17Os sistemas listados na tabela da Figura 1.1 sao tambem completos face as classes

de enquadramentos relativamente as quais sao correctos.

Tem-se assim que, por exemplo, as formulas validas na classe E de todos osenquadramentos sao formulas do sistema K (ou seja, ΛE ⊆ K), as formulas validasna classe de todos os enquadramentos seriais sao formulas do sistema KD (ou seja,ΛEser ⊆ KD) e as formulas validas na classe de todos os enquadramentos reflexivossao formulas do sistema KT (ou seja, ΛEref

⊆ KT ).

Sempre que um sistema e correcto e completo relativamente a uma certa classe deenquadramentos, essa classe de enquadramentos constitui uma importante caracte-rizacao semantica desse sistema que permite dizer que esse sistema e precisamente oconjunto de formulas validas em todos os enquadramentos da classe. Das proposicoes1.4.15 e 1.4.17 resultam as seguintes caracterizacoes semanticas para os sistemas quetem vindo a ser referidos.

Proposicao 1.4.18Os sistemas listados na tabela da Figura 1.2 sao constituıdos precisamente pelas

formulas validas nas classes de enquadramentos correspondentes, ou seja, cada umdos sistemas e igual a logica da classe de enquadramentos correspondente.

Tem-se assim que, por exemplo, o sistema K e constituıdo pelas formulas validasna classe de todos os enquadramentos, o sistema KD e constituıdo pelas formulasvalidas na classe de todos os enquadramentos seriais e o sistema KT e constituıdopelas formulas validas na classe de todos os enquadramentos reflexivos, ou seja,ΛEref

= KT .

Existe uma outra nocao mais geral de completude que esta relacionada com anocao de consequencia semantica (ver, por exemplo, [2])

24

Logica Modal

Sistema Classe E de enquadramentos(Λ) para a qual Λ = ΛE

classe E de todos os enquadramentosK (K = ΛE)

classe dos enquadramentos seriaisKD (KD = ΛEser)

classe dos enquadramentos reflexivosKT (KT = ΛEref

)classe dos enquadramentos simetricos

KB (KB = ΛEsim)classe dos enquadramentos transitivos

K4 (K4 = ΛEtrn)classe dos enquadramentos euclideanos

K5 (K5 = ΛEeuc)classe dos enquadramentos reflexivos e transitivos

S4 (S4 = ΛEref∩Etrn)classe dos enq. reflexivos, simetricos e transitivos

S5 (S5 = ΛEref∩Esim∩Etrn)classe E ′ dos enq. cuja relacao subjacente

KL constitui uma arvore finita transitiva(KL = ΛE ′)

Figura 1.2: Relacoes entre sistemas modais e classes de enquadramentos

Definicao 1.4.19 Completude forte de um sistema modal normal face auma classe de enquadramentos

Seja Λ ⊆ FMP um sistema normal. O sistema Λ e fortemente completo face aclasse de enquadramentos E sempre que dados Φ ⊆ FMP e ϕ ∈ FMP se tem seΦ |=E ϕ entao ϕ ∈ Φ ou existe um conjunto finito de formulas ϕ1, . . . , ϕn ∈ Φ tal que(ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn) → ϕ ∈ Λ.

Na Proposicao 1.4.20 apresentam-se resultados de completude forte para todosos sistemas referidos anteriormente com excepcao de KL

Proposicao 1.4.20

25


Os sistemas K, KD, KT , KB, K4, K5, S4 e S5 sao fortemente completos face,respectivamente, a classe de todos enquadramentos, a classe Eser, a classe Esim, aclasse Etrn, a classe Eeuc, a classe Eref , a classe Eref ∩ Etrn e a classe Eref ∩ Etrn ∩ Esim.

Nao foi enunciado nenhum resultado sobre completude forte relativamente aosistema KL. De facto, prova-se mesmo que nao existe nenhuma classe E de en-quadramentos tal que KL seja correcto e fortemente completo relativamente a essaclasse. O leitor interessado podera consultar a prova deste resultado em [2].

Do que atras foi exposto resulta que existe um grande numero de sistemas normaisde logica modal. Para uns havera resultados semelhantes de correccao e completude epara outros nao. O problema tem geralmente a ver com a nao existencia de resultadosde completude e, na verdade, a nao existencia de resultados de completude serasubstancialmente mais frequente do que a sua existencia. O sistema KH e umexemplo de um sistema para o qual se prova que nao existe nenhuma classe deenquadramentos relativamente a qual o sistema seja correcto e completo [12].


Exercıcio 1.4.21 Na sequencia ψ, ψ1 e ψ2 designam formulas em FMP .

1. Mostre que as formulas

(a) 2(ψ → ψ)(b) (2(ψ1 ∧ ψ2)) → ((2ψ1) ∧ (2ψ2))(c) (3(ψ1 ∧ ψ2)) → ((3ψ1) ∧ (3ψ2))

pertencem ao sistema modal K.

2. Mostre que a formula (3(2ψ)) → (3(2ψ)) pertence ao sistema modal KB.

3. Mostre que a formula (2(ψ1 → ψ2)) → (2((2ψ1) → (2ψ2))) pertence aosistema modal K4.

4. Mostre que as formulas

(a) (3(2ψ)) → (3ψ)(b) (2ψ) → (2(3ψ))

pertencem ao sistema modal K5.

26

Logica Modal

1.5 Sistema de deducao natural para o sistema K

Nesta seccao e nas seguintes sao apresentados sistemas de deducao natural paravarios sistemas normais de logica modal, isto e, sistemas de deducao natural cujosteoremas estao estreitamente relacionados com as formulas desses sistemas modais.Nesta seccao e apresentado um sistema de deducao natural para o sistema modal K.Este sistema de deducao natural e designado Nm. Nas seccoes seguintes estende-seeste sistema de deducao natural para o caso de varios outros sistemas modais.

Existem na literatura diferentes propostas de sistemas de deducao natural paravarios sistemas de logica modal. Podem citar-se como exemplo os seguintes: em[13] sao apresentados sistemas para S4 e para S5, em [4] e apresentado um sistemapara K e em [7] sao apresentados sistemas para varias logicas modais (normais e naonormais).

Neste texto optou-se por seguir a abordagem apresentada em [14]. Os sistemas dededucao natural aı apresentados (para um consideravel numero de sistemas modaisnormais) sao construıdos de uma forma modular e incremental de um modo relati-vamente simples. Com efeito, a partir de um sistema de deducao para K obtem-seum sistema de deducao natural para, por exemplo, K4, juntando mais uma regra deinferencia (relacionada com a transitividade da relacao de acessibilidade das estru-turas semanticas) e obtem-se um sistema de deducao natural para KT4, juntandoao sistema para K4 mais uma outra regra de inferencia (esta relacionada com areflexividade). Os outros sistemas sao construıdos de modo semelhante.

A semelhanca dos capıtulos anteriores faz-se em primeiro lugar, na subseccao1.5.1, uma exposicao mais informal do sistema Nm, sendo uma breve descricao maisrigorosa apresentada na subseccao 1.5.2. As provas de correccao e completude dosistema encontram-se na subseccoes 1.9.1 e 1.9.4.

Tal como anteriormente, a construcao de derivacoes em Nm pode ser efectuadacomputacionalmente usando o ambiente de desenvolvimento de provas Isabelle. Esteassunto e abordado na subseccao 1.6.

1.5.1 O sistema dedutivo Nm

Tal como nos casos anteriores, faz-se nesta subseccao uma exposicao mais informaldo sistema dedutivo comecando por apresentar varios exemplos que visam ilustraros seus aspectos fundamentais.

27

Sistema de deducao natural para o sistema K

O sistema Nm e um sistema dedutivo para o sistema modal K, isto e, comose vera, as formulas do sistema K estao estreitamente relacionadas com (certos)teoremas de Nm. Sistemas de deducao natural para outros sistemas modais seraoapresentados em seccoes ulteriores. O sistema Nm inclui regras semelhantes as dosistema de deducao natural Np apresentado para o caso da logica proposicional mastem, como e natural, regras especıficas relacionadas com os operadores modais 2 e3.

Tal como anteriormente, sao construıdas arvores de deducao (ou derivacao), istoe, arvores etiquetadas construıdas a partir de arvores singulares e utilizando certasregras de inferencia, nas quais a cada no esta associada uma formula e um conjuntode marcas. No entanto, as formulas que se vao considerar no caso do sistema Nm (eno caso de todos os outros sistemas de deducao natural que se irao apresentar) naosao, como se poderia esperar a partida, formulas modais, isto e, formulas em FMP .As formulas que aqui se manipulam sao de dois tipos: formulas modais etiquetadas(ou prefixadas) e formulas relacionais. Formulas modais etiquetadas sao formulas dotipo t : ϕ onde t e um termo9 e ϕ ∈ FMP . Formulas relacionais sao formulas dotipo t1Rt2 onde t1 e t2 sao termos. Neste contexto, estes termos dizem-se etiquetase representam mundos.

Informalmente, uma formula t : ϕ exprime a ideia de que ϕ e satisfeita no mundorepresentado pelo termo t. Uma formula t1Rt2 exprime a ideia de que o mundorepresentado pelo termo t2 e acessıvel (ou visıvel) a partir do mundo representadopor t1. Com estes novos tipos de formulas as nocoes semanticas de mundo e deacessibilidade entre mundos sao, de certa forma, introduzidas na sintaxe das formulas.

Especificamente no caso do sistema Nm (e alguns outros), os termos que vaoser utilizados nas formulas sao apenas variaveis. No entanto, como se vera, existemdeterminados sistemas modais para os quais sao tambem necessarios termos queincluem certos sımbolos de funcao (funcoes de Skolem).

Dos paragrafos anteriores resulta que as derivacoes construıdas no ambito destessistemas de deducao natural tem como hipoteses formulas prefixadas e/ou formulasrelacionais e a conclusao destas derivacoes pode ser tambem de um destes dois tipos.Assim, nestes sistemas nao se constroem derivacoes de formulas modais a partir deconjuntos de formulas modais, mas sim derivacoes de formulas prefixadas (ou relaci-onais) a partir de conjuntos de formulas prefixadas e/ou relacionais. Em particular,os teoremas destes sistemas nao sao simplesmente formulas modais mas sim formulas

9Termo de uma certa linguagem de primeira ordem

28

Logica Modal

prefixadas ou formulas relacionais. Como adiante se vera, as formulas etiquetadasque sao teoremas destes sistemas dedutivos estao estreitamente relacionadas com asformulas de certos sistemas modais. No caso do sistema Nm, por exemplo, tem-seque se x : ϕ e teorema de Nm entao ϕ e uma formula do sistema modal K (e vice-versa). Mostra-se-a ainda que se existe uma derivacao em Nm de x : ϕ a partir de{x : ϕ1, . . . , x : ϕn} entao ϕ e consequencia semantica de {ϕ1, . . . , ϕn}.

Apresentam-se seguidamente alguns exemplos ilustrativos, comecando por apre-sentar um caso simples no qual so vao ser utilizadas regras associadas aos conectivos.

Exemplo 1.5.1 A arvore

x : 2ψ11 x : (2ψ1) → (2ψ2) 2

————————————————— → Ex : 2ψ2 x : (2ψ2) → (2ψ3) 3

—————————————————- →Ex : 2ψ3

—————– →I, 1x : (2ψ1) → (2ψ3)

e uma arvore de deducao em Nm sendo, em particular, uma derivacao da formulaetiquetada x : (2ψ1) → (2ψ3) a partir do conjunto de formulas etiquetadas {x :(2ψ1) → (2ψ2), x : (2ψ2) → (2ψ3)} (o conjunto das hipoteses abertas). Como severa adiante, o facto de se poder derivar a formula etiquetada x : (2ψ1) → (2ψ3) apartir do conjunto indicado, permite concluir que a formula modal (2ψ1) → (2ψ3)e consequencia semantica de {(2ψ1) → (2ψ2), (2ψ2) → (2ψ3)}.

Foram utilizadas as regras →E e →I, as quais, como facilmente se percebe, saosemelhantes as apresentadas nos casos da logica proposicional e de primeira ordem.Note-se, no entanto, que estas regras envolvem apenas formulas etiquetadas e, emparticular, formulas que tenham a mesma etiqueta.

As regras →E e →I sao neste sistema as seguintes.

Regra →E (eliminacao da implicacao)

A regra → E permite obter uma derivacao de x : ϕ2 a partir de derivacoes dex : ϕ1 e de x : ϕ1 → ϕ2, onde x e uma variavel e ϕ1, ϕ2 e ϕ3 sao formulas modais.Como e habitual a regra e representada do seguinte modo

29


D1 D2

x : ϕ1 x : ϕ1 → ϕ2

—————————– →Ex : ϕ2

onde os diferentes elementos tem o significado esperado. ∇

Regra →I (introducao da implicacao)

A regra → I permite obter uma derivacao para x : ϕ1 → ϕ2 dada uma derivacaode x : ϕ2 a partir de um conjunto de hipoteses contendo (eventualmente) x : ϕ1 ondex e uma variavel e ϕ1 e ϕ2 sao formulas modais. A representacao usual e

[x : ϕ1] m

Dx : ϕ2

———— →I,mx : ϕ1 → ϕ2

onde os diferentes elementos tem o significado esperado e se assumem todas os re-quisitos relativos a marcas e hipoteses eliminadas descritos anteriormente. ∇

Todas as regras relativas aos conectivos, com excepcao da regra ⊥ e da regra ∨E,sao identicas as apresentadas nos capıtulos anteriores, tendo apenas em conta que,a semelhanca das regras → E e → I acima apresentadas, estao sempre envolvidasformulas etiquetadas com as mesmas etiquetas. As regras ⊥ e ∨E serao referidasmais adiante. No Exemplo 1.5.2 ilustram-se as regras 2E e 2I.

Exemplo 1.5.2 A arvore d1

x : 2(ψ1 → ψ2) 1 xRy 2 x : 2ψ13 xRy 2

———————————– 2E —————————– 2Ey : ψ1 → ψ2 y : ψ1

————————————————— →Ey : ψ2

———————– 2I, 2x : 2ψ2

30

Logica Modal

e uma arvore de deducao em Nm. E uma derivacao de x : 2ψ2 a partir do conjunto{x : 2(ψ1 → ψ2), x : 2ψ1} (o conjunto das hipoteses abertas).

Nesta derivacao foram utilizadas as regras 2E (eliminacao do operador 2) e 2I(introducao do operador 2). Como facilmente se percebe pela presenca de marcas,a regra 2I permite eliminar hipoteses.

Tendo em conta a descricao informal acima apresentada sobre o significado dasformulas etiquetadas e relacionais, e facil compreender a regra 2E: se 2ϕ e verificadanum certo mundo (assercao representada neste contexto por x : 2ϕ) e um outromundo e visıvel a partir deste (assercao representada por xRy) entao ϕ verifica-senesse outro mundo (assercao representada por xRy).

O caso da regra 2I e um pouco mais complicado. Esta regra tem algumasafinidades com a regra ∀I. Com efeito, esta regra corresponde a introducao dooperador necessidade e a questao que se coloca e a de saber em que condicoes fazsentido introduzir este operador. Para se poder estabelecer 2ϕ num certo mundo wha que garantir que todos os mundos que sao visıveis a partir deste verificam ϕ. Paratal, bastara considerar um mundo arbitrario de entre os que sao visıveis a partir dew e conseguir concluir que nele se verifica ϕ. Dado que o mundo considerado e ummundo arbitrario visıvel a partir de w, pode assegurar-se entao que todos os mundosque sao visıveis a partir de w verificam ϕ.

Voltando ao exemplo inicial, tem-se que a arvore d2

x : 2(ψ1 → ψ2) 1 xRy 2 x : 2ψ13 xRy 2

———————————– 2E —————————– 2Ey : ψ1 → ψ2 y : ψ1

————————————————— →Ey : ψ2

constitui uma derivacao de y : ψ2 a partir de x : 2(ψ1 → ψ2), x : 2ψ1 e xRy.Informalmente, y : ψ2 significa que ψ2 se verifica no mundo representado por y exRy significa que o mundo representado por y e visıvel a partir do mundo10 x. Parase poder introduzir o operador 2 para obter x : 2ψ2 (isto e, para se poder concluirque todos os mundos visıveis a partir do mundo x verificam ψ2) ha que garantirque y representa um mundo arbitrario (de entre os que sao visıveis a partir de x).A semelhanca do que acontecia no caso da regra ∀I, o modo como se garante essa

10Mais correctamente, dever-se-ia dizer “mundo representado por x”, mas, para nao sobrecarregara exposicao, na sequencia usa-se a expressao mais simples “mundo x”.

31


arbitrariedade esta relacionado com o modo como y ocorre nas hipoteses abertasda deducao. Note-se que no caso desta derivacao, pelo facto de y nao ocorrer nashipoteses abertas distintas de xRy, nada se assume acerca do mundo representadopor y, a excepcao do facto de ser visıvel a partir do mundo x. A satisfacao destesrequisitos sobre y fazem com que possa considerar que y e arbitrario. Pode entaoconcluir-se x : 2ψ2 construindo a arvore d1 por aplicacao da regra 2I.

A aplicacao da regra 2I deve conduzir ainda a eliminacao da hipotese xRy. Estahipotese e a hipotese auxiliar que se utiliza para indicar que y nao representa ummundo arbitrario qualquer mas sim um mundo arbitrario de entre os que sao visıveisa partir do mundo x. Apos se concluir que se tem, de facto, y : ψ2, esta hipoteseauxiliar pode ser eliminada. A eliminacao e conseguida do modo usual utilizandomarcas.

Existem ainda mais alguns detalhes sobre a aplicacao da regra 2I que devemser referidos antes de apresentar a regra na sua generalidade. Estes detalhes saoabordados no exemplo seguinte.

Para terminar, note-se que na derivacao d1, ao contrario do que acontecia naderivacao apresentada no Exemplo 1.5.1, ja estao presentes formulas relacionais. Emparticular, utilizou-se (duas vezes) a formula relacional xRy como hipotese (auxiliar).Esta hipotese foi eliminada por aplicacao da regra 2I e nao esta presente nem naconclusao nem nas hipoteses abertas. Como e evidente, podem fazer-se derivacoes nasquais este tipo de hipoteses nao cheguem a ser eliminadas. A arvore d2 e precisamenteum desses exemplos e, como referido, constitui uma derivacao de y : ψ2 a partirde x : 2(ψ1 → ψ2), x : 2ψ1 e xRy. Como se sabe, as formulas relacionais naoestao presentes na linguagem modal usual (apresentada nas seccoes iniciais destecapıtulo). Como se vera adiante, este tipo de formulas nao estara presente nem naconclusao nem nas hipoteses abertas de derivacoes que permitirao concluir que, porexemplo, certas formulas modais pertencem ao sistema modal K. Nessas derivacoesas formulas relacionais sao apenas utilizadas como hipoteses auxiliares, ou seja, saoutilizadas como hipoteses em determinado ponto e depois, mais tarde, eliminadas.

Apresenta-se seguidamente a regra 2E. A regra 2I sera apresentada apos oproximo exemplo.

Regra 2E (eliminacao do operador necessidade)

A regra 2E permite obter uma derivacao de y : ϕ a partir de derivacoes de x : 2ϕ

32

Logica Modal

e de xRy, onde x, y sao variaveis e ϕ e uma formula modal. A regra e representadado seguinte modo

D1 D2

x : 2ϕ xRy———————————- 2E

y : ϕ

onde os diferentes elementos tem o significado esperado. ∇Exemplo 1.5.3 A arvore d1

x : 2(ψ1 → ψ2) 1 xRy2

——————————————– 2Ey : ψ1 → ψ2 y : ψ1

3

—————————————————- →Ey : ψ2

—————– 2I, 2x : 2ψ2

nao e uma arvore de deducao em Nm. A regra 2I foi incorrectamente aplicada poisna arvore d2

x : 2(ψ1 → ψ2) 1 xRy2

——————————————– 2Ey : ψ1 → ψ2 y : ψ1

3

—————————————————- →Ey : ψ2

y : ψ1 e uma hipotese aberta e e distinta de xRy. Isto significa que y representa ummundo que, para alem ser visıvel a partir do mundo x, tambem verifica ψ1 (o quepermite que a regra →E seja aplicada para obter y : ψ2). Assim y nao representa,como devia, um mundo arbitrario de entre os que sao visıveis a partir de x.

Note-se que nao faz sentido poder concluir x : 2ψ2 a partir de y : ψ1 e x :2(ψ1 → ψ2). Com efeito, pode existir um outro mundo distinto daquele que yrepresenta que seja visıvel a partir do mundo x e que verifique ¬ψ1 e ¬ψ2 (nenhumadestas assumpcoes e incompatıvel com as hipoteses 2(ψ1 → ψ2), xRy e y : ψ1) eportanto nao se pode concluir 2ψ2.

A arvore d3

33


x : 2ψ 1 xRx 2

———————————————– 2Ex : ψ

——————– →I, 1x : (2ψ) → ψ

———————- 2I, 2x : 2((2ψ) → ψ)

tambem nao e uma arvore de deducao em Nm. Quando se chega a x : (2ψ) → ψ,x nao ocorre, de facto, nas hipoteses abertas distintas xRx (note-se que x : 2ψ ehipotese fechada) mas x nao pode ser considerado como representando um mundoarbitrario visıvel a partir do mundo x. Com efeito, como e natural, um determinadomundo nao pode ser considerado como um mundo arbitrario visıvel a partir deleproprio. Note-se que a formula 2((2ψ) → ψ) nao e, de facto, uma formula dosistema K, ou seja, uma formula valida na classe de todos os enquadramentos.

Do paragrafo anterior decorre que, para se poder usar a regra 2I para obter umaderivacao de x : 2ϕ a partir de uma derivacao de y : ϕ, e necessaria nao so a condicaosobre y ja referida no exemplo anterior, mas e tambem necessaria a condicao y 6= x.

Regra 2I (introducao do operador necessidade)

A regra 2I permite obter uma derivacao para x : 2ϕ dada uma derivacao dey : ϕ a partir de um conjunto de hipoteses contendo (eventualmente) xRy, desdeque (i) y 6= x e (ii) y nao ocorra nas hipoteses abertas da derivacao de y : ϕ distintasde xRy. Tal como nos casos anteriores, x e y sao variaveis e ϕ e uma formula modal.A representacao usual e

[xRy] m

Dy : ϕ

———— 2I, mx : 2ϕ

onde os diferentes elementos tem o significado esperado e se assumem todos os requi-sitos referidos relativos a variavel y, bem assim como os requisitos relativos a marcase hipoteses eliminadas ja descritos em casos semelhantes. ∇

34

Logica Modal

No proximo exemplo ilustra-se a regra ⊥. Como ja foi referido, esta regra esemelhante a apresentada nos sistemas anteriores mas ha um pequeno detalhe re-lativamente as etiquetas que e conveniente ilustrar. A terminar, faz-se tambem re-ferencia a regra ∨E pois esta regra apresenta tambem a mesma particularidade queesta presente na regra ⊥.


x : (¬ψ1) → (2ψ2) 1 x : ¬ψ12

——————————————- →ExRy 3 x : 2ψ2

————————————————- 2Ey : ¬ψ2

4 y : ψ2

————————————————– →Ey : ⊥

——————– ⊥, 2x : ψ1

e uma arvore de deducao em Nm. E, em particular, uma derivacao de x : ψ1 a partirde x : (¬ψ1) → (2ψ2), xRy e y : ¬ψ2.

Esta derivacao tem aqui o proposito de ilustrar a regra ⊥, a regra do absurdo.Com efeito, para obter uma derivacao de x : ψ1 a partir das hipoteses indicadasdesenvolve-se nesta derivacao um “raciocınio por absurdo”, isto e, considera-se ahipotese (auxiliar) adicional x : ¬ψ1 e deriva-se y : ⊥. A formula y : ⊥ representauma contradicao, uma situacao absurda, associada ao mundo representado por y. Eprecisamente este detalhe que merece atencao: ao derivar uma situacao absurda apartir de um conjunto de hipoteses contendo x : ¬ψ2, a regra ⊥ pode ser utilizadapara concluir x : ψ2 independentemente de quem e o mundo a que esta associada asituacao absurda.

Regra ⊥ (absurdo)

A regra ⊥ permite obter uma derivacao para x : ϕ dada uma derivacao de y : ⊥a partir de um conjunto de hipoteses contendo (eventualmente) x : ¬ϕ (ou ϕ → ⊥,se nao se usar a abreviatura), sendo x e y variaveis e ϕ uma formula modal. Arepresentacao usual e

35


[x : ¬ϕ] m

Dy : ⊥

———— ⊥,m

x : ϕ

onde os diferentes elementos tem o significado esperado e se assumem todos os re-quisitos relativos a marcas e hipoteses eliminadas ja descritos em casos semelhantes.Note-se que, como e natural, pode ter-se, em particular, x = y. ∇

Apresenta-se agora a regra ∨E. Algumas das particularidades referidas relativasregra ⊥ estao tambem presentes na regra ∨E.

Regra ∨E (eliminacao da disjuncao)

A regra ∨E permite obter uma derivacao para y : ψ a partir de (a) uma derivacaode x : ϕ1 ∨ ϕ2, (b) uma derivacao para y : ψ a partir a partir de um conjunto dehipoteses contendo (eventualmente) x : ϕ1 e (c) uma derivacao para y : ψ a partira partir de um conjunto de hipoteses contendo (eventualmente) x : ϕ2, sendo x e yvariaveis e ϕ1, ϕ2 e ψ formulas modais. A representacao e a usual

[x : ϕ1]m′

[x : ϕ2]m′′

D1 D2 D3

x : ϕ1 ∨ ϕ2 y : ψ y : ψ

———————————————————- ∨E, m′,m′′

y : ψ

onde os diferentes elementos tem o significado esperado e se assumem todos os re-quisitos relativos a marcas e hipoteses eliminadas ja descritos em casos semelhantes.∇

No proximo exemplo ilustram-se as regras relativas ao operador 3.

Exemplo 1.5.5 A arvore d1

36

Logica Modal

x : 2(ψ1 → ψ2) 3 xRy 4

——————————————- 2Ey : ψ1

2 y : ψ1 → ψ2

————————————————- →Ey : ψ2 xRy 4

——————————————— 3Ix : 3ψ1

1 x : 3ψ2

——————————————————– 3E, 2, 4x : 3ψ2

e uma arvore de deducao em Nm. E, em particular, uma derivacao de x : 3ψ2 apartir de x : 2(ψ1 → ψ2) e x : 3ψ1.

Nesta derivacao foram utilizadas as regras 3I (introducao do operador 3) e 3E(eliminacao do operador 3). Como facilmente se percebe pela presenca de marcas,a regra 3E permite eliminar hipoteses.

Facilmente se compreende a ideia subjacente a regra 3I: se ϕ se verifica numcerto mundo (assercao representada por y : ϕ) e este mundo e visıvel a partir deum outro mundo (assercao representada por xRy) entao 3ϕ verifica-se nesse outromundo (assercao representada por x : 3ϕ).

O caso da regra 3E e um pouco mais complexo. Esta regra tem algumas afini-dades com a regra ∃E. Assuma-se que num certo mundo w se verifica 3ϕ (o quesignifica que existe um mundo visıvel a partir deste que verifica ϕ). Suponha-se queusando esta informacao (e, eventualmente, informacoes adicionais), se pretende es-tabelecer que uma dada formula modal se verifica num determinado mundo w′ (quepode ser, em particular, o proprio w). Nesta situacao, ter-se-a de representar tempo-rariamente de algum modo o mundo que verifica ϕ e e visıvel a partir de w para serpossıvel utilizar esta informacao na prova do resultado pretendido. Como e natural,ha que ter algum cuidado na representacao que se escolhe pois nada se pode assumirsobre esse mundo, para alem de ser visıvel a partir de w e de verificar ϕ. Tem de segarantir, portanto, que a representacao escolhida assegura que se trata de um mundoarbitrario (de entre os que sao visıveis a partir de w e verificam ϕ). Tem-se ainda quew′ tambem nao pode, obviamente, depender da particular representacao escolhidapara o tal mundo que se sabe verificar ϕ .

Voltando ao exemplo inicial, tem-se que, por um lado, x : 3ψ1 representa o factode existir um mundo visıvel a partir do mundo x que verifica ψ1. Por outro lado, aarvore d2

37


x : 2(ψ1 → ψ2) 3 xRy 4

——————————————- 2Ey : ψ1

2 y : ψ1 → ψ2

————————————————- →Ey : ψ2 xRy 4

——————————————— 3Ix : 3ψ2

e precisamente uma derivacao de x : 3ψ2 a partir de y : ψ1 e de xRy (e da hipoteseadicional x : 2(ψ1 → ψ2)), ou seja, uma derivacao na qual com as formulas y : ψ1 exRy se representa o facto de existir um mundo visıvel a partir de x que verifica ψ1

e de se representar esse mundo atraves da variavel y.

Para se concluir x : 3ψ2 a partir da derivacao d2 e de x : 3ψ1 (e portanto aplicara regra 3E para obter a arvore inicial d1), ha que garantir que a representacaoescolhida para o tal mundo visıvel a partir de x assegura a arbitrariedade dessemundo (de entre os que sao visıveis a partir de x e verificam ψ1). Esta situacao esemelhante a que ocorre no contexto da regra 2I. Tal como nessa situacao, para quea arbitrariedade seja garantida e necessario que y 6= x e y nao ocorra nas hipotesesabertas de d2 distintas de xRy mas, no presente caso, deve tambem acrescentar-seque y podera eventualmente ocorrer numa hipotese aberta que corresponda a formulay : ψ1. Consequentemente, os requisitos que devem ser exigidos sobre y sao, ate aomomento: (i) y 6= x e (ii) y nao ocorre nas hipoteses abertas de d2 distintas de xRye de y : ψ1.

No exemplo apresentado, mais nenhum outro requisito sobre y e necessario, maspoderia acontecer que a etiqueta da conclusao de d2 nao fosse x, mas, por exemplo,uma outra etiqueta z (como foi acima referido, o objectivo poderia ser estabeleceruma dada formula modal num determinado mundo que nao necessariamente o queverifica 3ψ1). Nesta situacao, existe um ultimo requisito que deve ser observadopara garantir a arbitariedade de y: y teria de ser distinto de z.

A aplicacao da regra 3E conduz naturalmente a eliminacao das hipoteses xRye y : ψ1, isto e, das formulas que, temporariamente, representam por y o mundoque verifica ψ1 e e visıvel a partir do mundo x. A eliminacao processa-se da formahabitual, atraves das marcas. A semelhanca do que acontecia na regra ∨E, as marcasenvolvidas na aplicacao desta regra tem de ser marcas de hipoteses associadas asformulas xRy ou y : ψ1, ou entao marcas novas e, ao aplicar a regra, apenas poderaoser eliminadas hipoteses xRy e y : ψ1 na arvore d2.

38

Logica Modal

Regra 3I (introducao do operador possibilidade)

A regra 3I permite obter uma derivacao de x : 3ϕ a partir de derivacoes de y : ϕe de xRy, onde x, y sao variaveis e ϕ e uma formula modal. A regra e representada,como usualmente, do seguinte modo

D1 D2

y : ϕ xRy————————— 3I

x : 3ϕ

onde os diferentes elementos tem o significado esperado. ∇

Regra 3E (eliminacao do operador possibilidade)

A regra 3E permite obter uma derivacao para z : ψ a partir de (a) uma derivacaode x : 3ϕ e (b) uma derivacao de z : ψ a partir de um conjunto de hipoteses contendo(eventualmente) xRy e y : ϕ, desde que (i) y 6= x e y 6= z e (ii) y nao ocorra nashipoteses abertas da derivacao de z : ψ distintas de xRy e de y : ϕ. A representacaousual e

[y : ϕ] m′[xRy] m′′

D1 D2

x : 3ϕ z : ψ—————————————– 3E, m′,m′′

z : ψ

onde os diferentes elementos tem o significado esperado e se assumem todos os requi-sitos referidos relativos a variavel y, bem assim como os requisitos relativos a marcase hipoteses eliminadas ja descritos em casos semelhantes. ∇

39


Para terminar esta subseccao apresentam-se agora conjuntamente todas as regrasde inferencia do sistema de deducao natural Nm.

D1 D2 D Dx : ϕ1 x : ϕ2 x : ϕ1 ∧ ϕ2 x : ϕ1 ∧ ϕ2

———————– ∧I —————— ∧Ed —————— ∧Ee

x : ϕ1 ∧ ϕ2 x : ϕ1 x : ϕ2

[x : ψ]m

D D1 D2

x : ϕ x : ϕ1 → ϕ2 x : ϕ1

———— →I,m ——————————- →Ex : ψ → ϕ x : ϕ2

[x : ¬ϕ]m

D D Dy : ⊥ x : ϕ1 x : ϕ2

———— ⊥,m ———— ∨Id ———— ∨Ie

x : ϕ x : ϕ1 ∨ ϕ2 x : ϕ1 ∨ ϕ2

[x : ϕ1]m′

[x : ϕ2]m′′

D1 D2 D3

x : ϕ1 ∨ ϕ2 y : ψ y : ψ———————————————————- ∨E, m′,m′′

y : ψ

[xRy]m

D D1 D2

y : ϕ x : 2ϕ xRy———— 2I,m ——————————- 2E

x : 2ϕ y : ϕ

40

Logica Modal

[y : ϕ]m′

[xRy]m′′

D1 D2 D1 D2

y : ϕ xRy x : 3ϕ z : ψ

—————————- 3I —————————- 3E, m′,m′′

x : 3ϕ z : ψ

Regras de inferencia do sistema Nm

onde se assumem os requisitos ja mencionados em sistemas anteriores relativos amarcas e eliminacao de hipoteses e se assume ainda que nas regras 2I e 3E saoverificados os seguintes requisitos:

− Regra 2I

(i) y 6= x

(ii) y nao ocorre nas hipoteses abertas da derivacao de y : ϕ distintas de xRy;

− Regra 3E

(i) y 6= x e y 6= z

(ii) y nao ocorre nas hipoteses abertas da derivacao de z : ψ distintas de y : ϕe de xRy

(iii) as marcas m′ e m′′ sao tais que apenas hipoteses y : ϕ e/ou xRy na arvoreD2 sao (eventualmente) fechadas.

Pode agora estabelecer-se a seguinte definicao, na qual

FG = {x :ϕ : x ∈ Et, ϕ ∈ FMP } ∪ {xRy : x, y ∈ Et}

e o conjunto das formulas modais generalizadas sendo Et um conjunto de etiquetas(ou prefixos).

Definicao 1.5.6 Sistema dedutivo Nm

O sistema dedutivo Nm e constituıdo pelas regras de inferencia ∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,∨E, →E, ∧Ed, ∧Ee, ⊥, 2E, 2I, 3E e 3I.

41


Todas as nocoes definidas no ambito do sistema de Np sao definidas de modoanalogo para o sistema Nm. Sendo Ξ ⊆ FG e ξ ∈ FG a notacao

Ξ `Nm ξ

usa-se agora para afirmar que existe uma deducao de ξ a partir de Ξ em Nm e anotacao

`Nm ξ

para afirmar que existe prova de ξ em Nm.

Existe um aspecto interessante relativo a derivacao de formulas relacionais nosistema Nm. Note-se que nenhuma das regras de inferencia tem como conclusao umaformula relacional. Assim, uma formula relacional e consequencia em Nm de umconjunto de formulas Ξ se e so se a formula e um elemento de Ξ.

Aborda-se agora a questao da relacao11 entre o sistema dedutivo Nm e as nocoesde consequencia semantica (local) e de validade em FMP e, consequentemente, arelacao entre o sistema dedutivo Nm e o sistema modal K.

O sistema Nm permite determinar se uma dada formula modal e consequenciasemantica (local) de um conjunto de formulas modais e, como caso particular, se umaformula modal e valida (e portanto se uma formula modal pertence ao sistema modalK). E por este motivo que se diz que o sistema dedutivo Nm e um sistema dedutivopara o sistema modal K ou, mais precisamente, que o sistema Nm e correcto face aosistema modal K. Com efeito, dados Φ ⊆ FMP e ϕ ∈ FMP tem-se que

se {x :ϕ′ : ϕ′ ∈ Φ} `Nm x : ϕ entao {x : ϕ′ : ϕ′ ∈ Φ} |= x : ϕ

e portanto para determinar se ϕ e consequencia semantica local de Φ, basta encontraruma derivacao no sistema Nm de x : ϕ a partir do conjunto formado por formulasmodais generalizadas x : ϕ′ para cada ϕ′ ∈ Φ. Para determinar a validade deuma formula modal ϕ ∈ FMP procede-se do mesmo modo, tentando agora encontaruma prova de x : ϕ no sistema Nm. Como seria de esperar estes resultados estaorelacionados com a propriedade de correccao do sistema Nm.

A relacao em sentido inverso tambem se verifica (embora adiante apenas sejaprovada para o caso em que as formulas so envolvem ⊥, → e 2) e esta naturalmenteassociada a propriedade de completude do sistema Nm.

11Estas questoes sao tratadas com detalhe nas seccoes 1.9.1 e 1.9.4

42

Logica Modal

Propoem-se seguidamente alguns exercıcios sobre os assuntos expostos. Propoe-se tambem ao leitor que, apos a resolucao destes exercıcios com lapis e papel e aleitura da seccao 1.6, resolva estes mesmos exercıcios usando a ferramenta Isabelle.

Exercıcio 1.5.7 Na sequencia ψ, ψ1 e ψ2 designam formulas em FMP . Mostre que:

1. {x : 2ψ, xRx} `Nm x : ψ

2. {x : (¬ψ1) → (2ψ2), xRy, y : ¬ψ2} `Nm x : ψ

3. {y : ψ1, xRy} `Nm x : 3(ψ2 → ψ1)

4. `Nm x : (2(ψ1 → ψ2)) → ((2ψ1) → (2ψ2))

5. `Nm x : 2(ψ1 → ψ1)

6. `Nm x : ((2ψ1) ∨ (2ψ2)) → (2(ψ1 ∨ ψ2))

7. `Nm x : (((2ψ1) ∧ (2ψ2))) → (2(ψ1 ∧ ψ2)) ( e vice-versa)

8. {x : 3ψ1} `Nm x : (2ψ2) → (3ψ2)

9. `Nm x : (3(ψ1 ∨ ψ2)) → ((3ψ1) ∨ (3ψ2))

10. `Nm x : (3(ψ1 ∧ ψ2)) → ((3ψ1) ∧ (3ψ2))

11. {x : (2ψ1) ∧ (3ψ2)} `Nm x : 3(ψ1 ∧ ψ2)

12. `Nm x : (3(ψ1 → ψ2)) ∨ (2(ψ2 → ψ1))

13. `Nm x : (3(ψ1 → ψ2)) → ((2ψ1) → (3ψ2)) (e vice-versa)

14. `Nm x : (3>) → ((2ψ) → (3ψ)) (e vice-versa)

15. {x : ((3ψ1) → (2ψ2))} `Nm x : 2(ψ1 → ψ2)

1.5.2 O sistema Nm revisitado

Tal como anteriormente, apresenta-se nesta seccao uma definicao mais rigorosa dosistema dedutivo Nm. Em particular, ha que comecar por definir mais rigorosamenteas nocoes de formula etiquetada (ou prefixada) e de formula relacional. Assim, nasubseccao 1.5.2.1 introduzem-se os varios conceitos sintacticos e semanticos relativosa nocao de formula modal etiquetada e a nocao de formula relacional. Na subseccao1.5.2.2 apresenta-se entao o sistema dedutivo.

43


1.5.2.1 Formulas etiquetadas e formulas relacionais: sintaxe e semantica

Nesta subseccao introduzem-se varios conceitos sintacticos e semanticos relativos aformulas etiquetadas e formulas relacionais.

As definicoes que aqui se apresentam sao as adequadas nao so para apresentaro sistema dedutivo Nm e provar a sua correccao e completude, mas tambem, comoadiante se vera, para apresentar varias outras extensoes deste sistema e provar osrespectivos resultados de correccao e completude (seccoes 1.9.1 e 1.9.4). No entanto,existem outras extensoes, que tambem serao apresentadas adiante, para as quais saonecessarias definicoes um pouco mais elaboradas. Tal deve-se ao facto de, nesses ca-sos, as etiquetas das formulas nao poderem ser apenas variaveis mas serem tambemnecessarios termos que envolvam certos sımbolos de funcao (funcoes de Skolem).Para tratar esses sistemas, ha que generalizar as definicoes que nesta subseccao seapresentam. Claro que se poderia apresentar desde ja a versao mais geral e pros-seguir a apresentacao com base nessa versao. No entanto, para nao sobrecarregardesnecessariamente a exposicao, optou-se por tratar o sistema dedutivo Nm, e todosos outros para os quais tal seja possıvel, deste modo mais simples.

Definicao 1.5.8 Formulas modais generalizadas sobre P e EtSeja P um conjunto de sımbolos proposicionais e Et um conjunto numeravel de

etiquetas (ou prefixos).

• FEEtP = {x :ϕ : x ∈ Et e ϕ ∈ FMP } e o conjunto das formulas modais sobre

P etiquetadas em Et

• FREt = {xRy : x, y ∈ Et} e o conjunto das formulas relacionais sobre Et

• FGEtP = FEEt

P ∪ FREt e o conjunto das formulas modais generalizadas sobre Pe Et.

Cada elemento de FEEtP e uma formula etiquetada (ou prefixada). Sempre que nao

haja ambiguidade acerca dos conjuntos P e Et usam-se as notacoes FE, FR, FGpara representar FEEt

P , FREt e FGEtP , respectivamente.

Para cada Ξ ⊆ FG, definem-se os conjuntos ΞM , Ξet, ΞE e ΞR como se segue

• ΞM = {ϕ∈FMP : x : ϕ ∈ Ξ}• Ξet = {x∈Et : x : ϕ ∈ Ξ ou xRy ∈ Ξ ou yRx ∈ Ξ}

44

Logica Modal

• ΞE = FE ∩ Ξ e ΞR = FR ∩ Ξ.

Observacao 1.5.9 Para simplificar a exposicao, na sequencia, sempre que seja feitareferencia a formulas tal deve ser entendido como dizendo respeito a formulas modaisgeneralizadas.

No que se segue assumem-se fixados um conjunto de sımbolos proposicionais Pe um conjunto de etiquetas Et. Seguem-se agora as nocoes semanticas relativas asnovas formulas aqui consideradas.

Definicao 1.5.10 Atribuicao em estrutura de interpretacao modalSeja IMI = (W,R, V ) uma estrutura de interpretacao modal. Uma atribuicao de

Et em IMI e uma aplicacao ρ : Et → W . O conjunto de todas as atribuicoes de Etem IMI representa-se por ATREt

IMI . Se nao ha ambiguidade sobre qual o conjunto deetiquetas em causa utiliza-se simplesmente a notacao ATRIMI .

Se x ∈ Et e ρ ∈ ATRIMI , ρ[x := w] e a atribuicao ρ′ em ATRIMI tal que ρ′(x′) =ρ(x′) para cada x′ ∈ Et\{x} e ρ′(x) = w.

Definicao 1.5.11 Satisfacao de formula modal generalizada por estru-tura de interpretacao modal com atribuicao

Sejam IMI uma estrutura de interpretacao modal, ρ ∈ ATRIMI e ξ ∈ FG. A nocaode satisfacao de ξ por IMI com ρ define-se como se segue:

• se ξ = x : ϕ entao IMI, ρ |= ξ se IMI, ρ(x) |= ϕ

• se ξ = xRy entao IMI, ρ |= xRy se ρ(x)Rρ(y)

Dado Ξ ⊆ FG, IMI, ρ |= Ξ se IMI, ρ |= ξ para cada ξ ∈ Ξ.

Formulas do tipo x : ϕ sao satisfeitas em IMI com uma dada atribuicao quandoo mundo representado por x (ou seja, ρ(x)) e um mundo de IMI no qual a formula ϕe satisfeita. Formulas do tipo xRy sao satisfeitas se o mundo que y representa (ouseja, ρ(y)) e acessıvel a partir do mundo representado por x.

Exemplo 1.5.12 Sejam P = {p, q, r} e Et = {x1, x2, x3, . . .} e seja a estrutura deinterpretacao modal IMI = (W,R, V ) onde

• W = {w1, w2, w3, w4, w5}

45


• R e tal que, para cada 1 ≤ i, j ≤ 5, wiRwj se j = i + 1

• V (p) = {w2, w3}, V (q) = W e V (r) = ∅.Seja ρ : Et → W tal que ρ(xi) = wi para cada 1 ≤ i ≤ 5. Tem-se que

• IMI, ρ |= x2 : p ∧ (¬r);

• IMI, ρ |= x1 : 2p;

• IMI, ρ 6|= x3 : 2p;

• IMI, ρ |= x1Rx2;

• IMI, ρ 6|= x1Rx3.

Definicao 1.5.13 Consequencia semanticaSejam Ξ ⊆ FG e ξ ∈ FG.

• Diz-se que ξ e consequencia semantica de Ξ, o que se representa por Ξ |= ξ se,para cada estrutura de interpretacao modal IMI e cada ρ ∈ ATRIMI se tem quese IMI, ρ |= Ξ entao IMI, ρ |= ξ.

• Sendo E uma classe de enquadramentos modais, diz-se que ξ e consequenciasemantica de Ξ na classe E , o que se representa por Ξ |=E ξ se, para cadaestrutura de interpretacao modal IMI baseada num enquadramento em E ecada ρ ∈ ATRIMI , se tem que se IMI, ρ |= Ξ entao IMI, ρ |= ξ.

A Proposicao 1.5.14 relaciona a nocao de consequencia semantica entre formulasmodais generalizadas e a nocao de consequencia semantica entre formulas modais.Este resultado e relevante para descrever a relacao entre o sistema dedutivo Nm

(e os outros sistemas dedutivos que adiante que se apresentarao) e a consequenciasemantica entre formulas modais e a validade de formulas modais.

Proposicao 1.5.14Sejam {ϕ1, . . . , ϕn} ∈ FM, ϕ ∈ FM e x ∈ Et e seja E uma classe de enquadramentosmodais.

1. Se {x : ϕ1, . . . , x : ϕn} |= x : ϕ entao {ϕ1, . . . , ϕn} |= ϕ.

46

Logica Modal

2. Se {x : ϕ1, . . . , x : ϕn} |=E x : ϕ entao {ϕ1, . . . , ϕn} |=E ϕ.

Prova: 1. Seja IMI = (W,R, V ) uma estrutura de interpretacao modal e w ∈ W talque IMI, w |= {ϕ1, . . . , ϕn}. Ha que provar que IMI,w |= ϕ.

Seja Ξ = {x : ϕ1, . . . , x : ϕn} e seja ρ ∈ ATRIMI tal que ρ(x) = w. ComoIMI, w |= {ϕ1, . . . , ϕn} entao, pela Definicao 1.5.11, tem-se que IMI, ρ |= Ξ. Dado queΞ |= x : ϕ, pela Definicao 1.5.13, IMI, ρ |= x : ϕ. Novamente pela Definicao 1.5.11,IMI, w |= ϕ como se pretendia.

2. A prova e identica tendo agora em atencao que as estruturas de interpretacaomodais sao baseadas em enquadramentos pertencentes a classe de enquadramentosem causa.

1.5.2.2 Sistema dedutivo

O sistema Nm pode ser visto como uma extensao do sistema Np, tendo em conta quesao aqui manipuladas formulas modais generalizadas e existem regras de inferenciarelativas ao operador modal 2. Note-se que neste sistema nao existem regras direc-tamente relacionadas com as formulas relacionais.

Assumem-se na sequencia todas as definicoes e notacoes relativas a arvores apre-sentadas no capıtulo sobre logica proposicional. Assume-se ainda fixado um con-junto M de marcas.

Definicao 1.5.15 Sistema Nm

O sistema dedutivo Nm e constituıdo pelas regras de inferencia seguintes. Nasequencia, a1, a2 e a3 sao EM

FG-arvores sem conflito de marcas entre si.

• Regra 2E: se frm(νa1) = x : 2ϕ e frm(νa2) = xRy entao, por aplicacao daregra 2E, obtem-se a EM

FG-arvore a =⊔{a1, a2} (y : ϕ, ∅)

• Regra 2I: se frm(νa1) = y : ϕ, e sendo x ∈ Et e m ∈ M tais que

− x 6= y e y 6∈ Ξet onde Ξ = Frm(Abta1\AbtxRya1 )

− se m ∈ Mrca1 entao AbtxRy,ma1 6= ∅

entao, por aplicacao da regra 2I com etiqueta x e marca m, obtem-se a EMFG-

arvore a = a1 (x : 2ϕ, {m})

47


• Regra 3I: se frm(νa1) = y : ϕ e frm(νa2) = xRy entao, por aplicacao daregra 3I, obtem-se a ERm,M

FG -arvore a =⊔{a1, a2} (x : 3ϕ, ∅)

• Regra 3E: se frm(νa1) = x : 3, frm(νa2) = z : ψ, e sendo y ∈ Et, m′,m′′ ∈M tais que

− y 6= x, y 6= z e y 6∈ Ξet onde Ξ = Frm(Abta1\(AbtxRya1 ∪Abty:ϕ

a1 ))

− se m′ ∈ Mrca1 ∪Mrca2 entao Abty:ϕ,m′a2 6= ∅.

se m′′ ∈ Mrca1 ∪Mrca2 entao AbtxRy,m′′a2 6= ∅.

− Mrc(Abty:ϕa1 ) ∩Mrc(Abty:ϕ

a2 ) = ∅Mrc(AbtxRy

a1 ) ∩Mrc(AbtxRya2 ) = ∅

entao por aplicacao da regra 3E com formula z : ψ e marcas m′ e m′′, obtem-sea EM

FG-arvore a =⊔{a1, a2} (z : ψ, {m′,m′′}).

• Regra ⊥: se frm(νa1) = y : ⊥, e sendo x : ψ ∈ FG e m ∈ M tais que sem ∈ Mrca1 entao Abtx:¬ϕ,m

a1 6= ∅, entaopor aplicacao da regra ⊥ com formulax : ϕ e marca m, obtem-se a EM

FG-arvore a = a1 (x : ϕ, {m})• Regra ∨E: se frm(νa1) = x : ϕ1 ∨ ϕ2, frm(νa2) = frm(νa3) = y : ψ e sao

verificadas condicoes semelhantes a apresentadas no caso do sistema Np, entaopor aplicacao da regra ∨E com formula y : ψ e marcas m′ e m′′ obtem-se aEM

FG-arvore a =⊔{a1, a2} (y : ψ, {m′,m′′})

• as regras ∧I, ∧Ed, ∧Ee, → I, →E, ∨Id e ∨Ie sao definidas a semelhanca dasapresentadas no caso do sistema Np.

As regras ∧I, →I, ∨Id, ∨Ie, 2I e 3I dizem-se regras de introducao ou I-regras e asregras ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨Ed e 2E e 3E dizem-se regras de eliminacao ou E-regras.A nocao de aridade de uma regra e identica a apresentada anteriormente pelo que aregra 2I e unaria e a regra 2E e binaria.

Tal como anteriormente, as condicoes sobre etiquetas das formulas e sobre mar-cas que sao impostas na definicao das regras de inferencia anteriores visam assegurarque sao de facto verificadas em cada arvore de deducao as condicoes que foramdescritas na seccao 1.5.1 relativas as etiquetas e as hipoteses que sao ou nao fecha-das/eliminadas por aplicacao das regras.

48

Logica Modal

Definicao 1.5.16 Arvores de deducao de Nm, conclusao e hipoteses dearvore de deducao

O conjunto das arvores de deducao12 do sistema dedutivo Nm representa-se porDNm e tem definicao indutiva semelhante a apresentada para DNp usando agora asregras de inferencia de Nm. Sendo d ∈ DNm , as nocoes de deducao de conclusao ded, hipotese de d e conjunto das hipoteses abertas de d sao analogas as apresentadaspara o sistema Np.

Seguem-se as habituais nocoes de consequencia no sistema dedutivo e de teoremado sistema dedutivo.

Definicao 1.5.17 Consequencia em Nm e Teorema de Nm

Sejam Ξ ⊆ FG e ξ ∈ FG. As nocoes de deducao de ξ a partir Ξ em Nm e provade ξ em Nm sao analogas as apresentadas para o sistema Np. Tambem e a analoga adefinicao de ξ ser consequencia de Ξ no sistema Nm, o que se representa agora por

Ξ `Nm ξ

e o mesmo acontece com a nocao de teorema de Nm sendo agora a notacao

`Nm ξ

Tem-se de novo o resultado relativo ao facto de as arvores de deducao em Nm

serem arvores sem conflitos de marcas.

Lema 1.5.18Se d ∈ DNm entao d e uma arvore sem conflito de marcas.

Segue-se um resultado semelhante ao metateorema da deducao apresentado noscasos dos sistemas Np e Nc.

Proposicao 1.5.19Sejam x : ϕ, x : ψ ∈ FE e Ξ ⊆ FG. Tem-se que

se Ξ ∪ {x : ψ} `Nm x : ϕ entao Ξ `Nm x : ψ → ϕ.

Prova: Semelhante a apresentada para o caso do sistema Np.

12Arvores de derivacao, deducoes ou derivacoes

49

Representacao e utilizacao do sistema Nm em Isabelle

Termina-se esta seccao com um resultado interessante relativo a derivacao deformulas relacionais no sistema Nm. Note-se que nenhuma das regras de inferenciatem como conclusao uma formula relacional. Assim, uma formula relacional e con-sequencia em Nm de um conjunto de formulas Ξ se e so se a formula e um elementode Ξ.

Proposicao 1.5.20Sendo ξ ∈ FR e Ξ ⊆ FG, Ξ `Nm ξ se e so se ξ ∈ Ξ.

1.6 Representacao e utilizacao do sistema Nm em Isa-belle

A representacao da logica modal (proposicional) em Isabelle nao oferece dificuldadesde maior. A representacao da sintaxe passa por definir os tipos dos objectos sintaticosrelevantes. As regras de deducao natural de Nm sao definidas da forma esperada.O ficheiro contendo o sistema Nm tem por nome K.thy.

1.6.1 Tipos

As formulas generalizadas sao de uma das duas formas seguinte: ou13 t1 Rel t2 out1:A, onde A e uma subformula modal (proposicional).

Desta forma existem tres tipos de objectos sintaticos: os termos (que designammundos, como por exemplo x e y), as subformulas modais e as formulas (genera-lizadas) propriamente ditas. O tipo destas formulas generalizadas e, como habitu-almente, designado por o. As subformulas modais (sem etiquetas) tem tipo sbf.Quanto aos termos sao tratados de forma semelhante aos termos da logica de pri-meira ordem. Assim, e definida uma subclasse term de logic. Considera-se ainda otipo tm dos termos modais (que e um tipo da classe term).

classesterm < logic

typestm

13Modifica-se um pouco a sintaxe introduzida anteriormente.

50

Logica Modal

sbfo

aritiestm :: termsbf :: logico :: logic

1.6.2 Construtores de formulas

As formulas generalizadas sao obtidas a partir dos termos e das formulas modais poruma de duas formas: ou t1:A ou t1 Rel t2.

Estes dois casos sao representados pelos construtores etf (de formulas etique-tadas) e relf e (de formulas relacionais). O primeiro, dado um termo e umasubformula, devolve uma formula (generalizada). O segundo, dados dois termos,devolve uma formula. A representacao destes e apresentada de seguida.

(* construtores de formulas *)

etf :: [tm,sbf] => o (" : "[0,0] 10)relf :: [tm,tm] => o (" Rel "[0,0] 10)

Trueprop :: o => prop ("( )"5)

1.6.3 Subformulas modais

As subformulas modais sao definidas de forma semelhante a da definicao das formulasproposicionais, acrescentando-se os operadores modais 2 ([]) e 3 (<>).

(* Subformulas modais *)

verum, falsum :: sbf

not :: sbf => sbf ("∼ "[40] 40)

51


and :: [sbf, sbf] => sbf (" & "[36,35] 35)or :: [sbf, sbf] => sbf (" | "[31,30] 30)imp :: [sbf, sbf] => sbf (" --> "[26,25] 25)iff :: [sbf, sbf] => sbf (" <-> "[26,25] 25)box :: sbf => sbf ("[] "[40] 40)dia :: sbf => sbf ("<> "[40] 40)

1.6.4 Abreviaturas

As abreviaturas consideradas sao as seguintes.

(* Abreviaturas *)

verum def "verum == falsum-->falsum"neg def "∼P == P-->falsum"eq def "P<->Q == (P-->Q) & (Q-->P)"

1.6.5 Regras de deducao natural

As regras que dizem respeito aos conectivos proposicionais sao apresentadas de se-guida, sem mais comentarios.

(*Conectivos Proposicionais*)

conjI "[| x:P; x:Q |] ==> x:P&Q"conjEd "x:P&Q ==> x:P"conjEe "x:P&Q ==> x:Q"

disjId "x:P ==> x:P|Q"disjIe "x:Q ==> x:P|Q"disjE "[| x:P|Q; x:P ==> y:R; x:Q ==> y:R |] ==> y:R"

impI "(x:P ==> x:Q) ==> x:P-->Q"impE "[| x:P-->Q; x:P |] ==> x:Q"

52

Logica Modal

absurdo "((x:P --> falsum) ==> y:falsum) ==> x:P"

As regras referentes aos operadores modais sao as seguintes.

(* Operadores Modais *)

boxI "(!!y. (x Rel y ==> y:P)) ==> x:[]P"boxE "[| x:[]P; x Rel y|] ==> y:P"diaI "[| x Rel y; y:P|] ==> x:<>P"diaE "[| x:<>P; (!!y. [|x Rel y; y:P|]==> z:P)|]==> z:P"

As regras da eliminacao do operador 2 e de introducao do operador 3 nao ofe-recem dificuldade de maior. Quanto a boxI significa que, se, para y arbitrario, apartir da hipotese x Rel y se consegue estabelecer y:P, entao estabeleceu-se x:[]P.Omite-se a explicacao da regra diaE que fica ao cuidado do leitor.

Refira-se que, em apendice (na seccao ??), se referem em mais detalhe algunsaspectos da definicao de teorias.

Na derivacao seguinte ilustram-se as regras associadas ao operador possibilidadee estabelece-se que x:(<>(A&B)-->(<>A&<>B)). Os dois primeiros passos consistemna aplicacao das regras de introducao da implicacao e da conjuncao.

> Goal "x:(<>(A&B)-->(<>A&<>B))";Level 0 (1 subgoal)x:<>(A&B)--><>A&<>B1. x:<>(A&B)--><>A&<>B

> br impI 1;Level 1 (1 subgoal)x:<>(A&B)--><>A&<>B1. x:<>(A&B) ==> x:<>A&<>B

> br conjI 1;Level 2 (2 subgoals)x:<>(A&B)--><>A&<>B

53


1. x:<>(A&B) ==> x:<>A2. x:<>(A&B) ==> x:<>B

Para estabelecer o primeiro subobjectivo (x:<>(A&B) ==> x:<>B) usa-se a re-gra [| ?x:<>?P; !!y. [| ?x Rel y; y:?P |] ==> ?z:?Q |] ==> ?z:?Q de eli-minacao do operador possibilidade, que introduz dois subojectivos.

> br diaE 1;Level 3 (3 subgoals)x:<>(A&B)--><>A&<>B1. x:<>(A&B) ==> ?x2:<>?P22. !!y. [| x:<>(A&B); ?x2 Rel y; y:?P2 |] ==> x:<>A3. x:<>(A&B) ==> x:<>B

O primeiro subobjectivo e facilmente estabelecido por hipotese (e corresponde aindicar que a formula objecto de eliminacao do operador possibilidade e a formulax:<>(A&B).

> ba 1;Level 4 (2 subgoals)x:<>(A&B)--><>A&<>B1. !!y. [| x:<>(A&B); x Rel y; y:A&B |] ==> x:<>A2. x:<>(A&B) ==> x:<>B

O primeiro subobjectivo e estabelecido por aplicacao da regra [|?x Rel ?y;?y:?P |] ==> ?x:<>?P de introducao do operador possibilidade. A aplicacao destaregra introduz dois subobjectivos. O primeiro destes e estabelecido por prova porhipotese.

> br diaI 1;Level 5 (3 subgoals)x:<>(A&B)--><>A&<>B1. !!y. [| x:<>(A&B); x Rel y; y:A&B |] ==> x Rel ?y3(y)2. !!y. [| x:<>(A&B); x Rel y; y:A&B |] ==> ?y3(y):A3. x:<>(A&B) ==> x:<>B

54

Logica Modal

> ba 1;Level 6 (2 subgoals)x:<>(A&B)--><>A&<>B1. !!y. [| x:<>(A&B); x Rel y; y:A&B |] ==> y:A2. x:<>(A&B) ==> x:<>B

Falta agora estabelecer y:A. Para tal usa-se eliminacao da conjuncao e a hipotesey:A&B.

> br conjEd 1;Level 7 (2 subgoals)x:<>(A&B)--><>A&<>B1. !!y. [| x:<>(A&B); x Rel y; y:A&B |] ==> y:A&?Q4(y)2. x:<>(A&B) ==> x:<>B

> ba 1;Level 8 (1 subgoal)x:<>(A&B)--><>A&<>B1. x:<>(A&B) ==> x:<>B

O subobjectivo x:<>(A&B) ==> x:<>B estabelece-se de forma semelhante peloque se omite o resto da derivacao.

Exercıcios

Os seguintes exercıcios sao uteis para melhor entendimento das derivacoes em Isabelleusando operadores modais. Sugere-se tambem a resolucao em Isabelle das alıneas doExercıcio 1.5.7.

1. Usando a teoria K, mostre que:

(a) `Nm x : (2A ∧2B) → 2(A ∧B)

(b) `Nm x : (2A ∨2B) → 2(A ∨B)

(c) `Nm x : (3A ∧3B) → 3(A ∧B)

55

Sistemas modais KT , KB, K4, K5, KT4 e KTB4

(d) `Nm x : (3A ∨3B) → 3(A ∨B)

(e) `Nm x : (23A) → (¬32¬A)

(f) `Nm x : 3(A → B) ∨2(B → A)

1.7 Sistemas de deducao natural para os sistemas mo-dais KT , KB, K4, K5, KT4 e KTB4

Nesta seccao apresentam-se varias extensoes do sistema dedutivoNm, as quais corres-pondem a sistemas de deducao natural para outros sistemas modais, ou seja, sistemasdedutivos cujos teoremas estao estreitamente ligados com as formulas desses sistemasmodais. Tais sistemas modais sao, nomeadamente, os sistemas KT , KB, K4, K5,KT4 (S4) e KTB4 (S5).

Estas extensoes sao obtidas adicionando simplesmente as regras de inferencia deNm uma ou mais regras de inferencia. Em todos os casos estas novas regras deinferencia sao regras relativas a formulas relacionais e correspondem as propriedadesdas relacoes de acessibilidade subjacentes as caracterizacoes semanticas dos diferentessistemas modais. Uma destas regras de inferencia e, mais rigorosamente, um axiomamas, como os axiomas podem tambem ser vistos como regras de inferencia14, emmuitas situacoes ao longo das proximas seccoes far-se-a genericamente referencia aregras de inferencia.

Tal como acontecia no sistema dedutivo Nm, nas extensoes consideradas nestaseccao continua a so ser necessario manipular formulas generalizadas do tipo x : ϕou xRy, onde x e y sao variaveis em Et.

Esta seccao esta organizada como se segue. Na subseccao 1.7.1 sao descritas asregras de inferencia relativas a formulas relacionais que sao necessarias para construiros novos sistemas dedutivos, os quais sao depois descritos como nos casos anteriores.Na subseccao 1.7.2 os leitores mais interessados podem encontrar uma definicao maisrigorosa destes sistemas. Na subseccao 1.7.3 faz-se representacao destes sistemasdedutivos em Isabelle.

14Uma forma de ver um axioma e considera-lo como uma regra de inferencia de aridade 0, isto e,uma regra de inferencia cuja conclusao e o axioma em causa mas que nao tem premissas. Esta regrade inferencia pode ser utilizada em qualquer situacao (pois nao ha premissas a respeitar) e assimpode obter-se a respectiva conclusao (o axioma em causa) sempre que necessario.

56

Logica Modal

As questoes relacionadas com correccao e completude destes sistemas dedutivosso serao abordadas nas subseccoes 1.9.2 e 1.9.5.

1.7.1 Os sistemas dedutivos N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m

Comeca-se por apresentar as regras de inferencia que sao necessarias para construir asextensoes ao sistema dedutivo Nm pretendidas. Estas regras serao designadas regrasrelacionais. Elas correspondem a propriedades das relacoes de acessibilidade subja-centes a certas classes de enquadramentos. Sempre que seja necessario distinguir, asregras de inferencia anteriormente descritas designam-se regras modais.

Uma das regras de inferencia e, mais rigorosamente, um axioma e e definida aparte como tal. Como ja havia sido referido, dado que um axioma pode ser vistocomo uma regra de inferencia sem premissas, em muitas situacoes ao longo do textofalar-se-a apenas de regras de inferencia.

As regras relacionais necessarias para construir as extensoes ao sistema Nm pre-tendidas nesta seccao sao as que se apresentam na sequencia, assumindo que osdiferentes elementos tem o significado esperado.

Regra simD

xRy—————- sim

yRx

∇

Regra trnD1 D2

xRy yRz——————– trn

xRz

∇

57


Regra eucD1 D2

xRy xRz——————– euc

zRy

∇Como os proprios nomes sugerem, as tres regras correspondem a certas proprieda-

des das relacoes de acessibilidade: relacoes transitivas, relacoes simetricas e relacoeseuclideanas.

A regra trn, por exemplo, exprime a transitividade da relacao de acessibilidade.Estender o sistema Nm com a regra trn corresponde a considerar que a relacaode acessibilidade subjacente e transitiva. Deste modo facilmente se compreende ofacto de o sistema dedutivo que resulta da extensao referida verificar a seguintepropriedade: x : ϕ e teorema do sistema se e so se ϕ e uma formula valida na classede todos os enquadramentos transitivos (isto e, ϕ pertence a logica da classe dosenquadramentos transitivos).

Recorde-se ainda que a classe de enquadramentos transitivos caracteriza seman-ticamente o sistema modal K4 (ou seja, ϕ e uma formula de K4 se e so se e validana classe dos enquadramentos transitivos). Assim, tem-se que x : ϕ e teorema dosistema dedutivo referido se e so se ϕ e uma formula do sistema K4. Diz-se entaoque este sistema dedutivo e correcto e completo para o sistema modal K4 e, por estarazao, tal sistema e designado N 4

m. No exemplo seguinte apresenta-se uma derivacaoem N 4

m.

Exemplo 1.7.1 A arvore seguinte e uma derivacao em N 4m.

x1R x22 x2R x3

3

———————————- trnx1 : 2ϕ 1 x1R x3

———————————————- 2Ex3 : ϕ

——————- 2I, 3x2 : 2ϕ

———————— 2I, 2x1 : 2(2ϕ)

—————————— → I, 1

58

Logica Modal

x1 : (2ϕ) → (2(2ϕ))

Como se vera, esta arvore permite concluir que `N 4m

x1 : (2ϕ) → (2(2ϕ)).

Procedendo de igual forma com as outras regras obtem-se sistemas dedutivospara outros sistemas modais. Se se estender Nm com a regra sim obtem-se umsistema dedutivo tal que x : ϕ e teorema do sistema se e so se ϕ e uma formulavalida na classe de todos os enquadramentos simetricos o que, raciocinando comoacima, significa que e um sistema dedutivo para o sistema modal KB. Este sistemae designado NB

m . Se se estender Nm com a regra euc obtem-se um sistema dedutivotal que x : ϕ e teorema do sistema se e so se ϕ e uma formula valida na classe detodos os enquadramentos euclideanos, ou seja, obtem-se um sistema dedutivo parao sistema modal K5. Este sistema e designado N 5

m.Note-se que nada impede que se adicione mais do que uma regra de inferencia.

Finalmente, discute-se agora o axioma ref. Este axioma esta relacionado com apropriedade reflexiva das relacoes de acessibilidade. Assim, a semelhanca dos casosacima descritos, no novo sistema que se obtem tem-se que x : ϕ e teorema dessesistema se e so se ϕ e uma formula valida na classe de todos os enquadramentosreflexivos. Tem-se ainda que x : ϕ e teorema do sistema se e so se ϕ pertence aosistema modal KT . A designacao do novo sistema dedutivo e N T

m.Recorde-se que se a relacao e reflexiva entao cada mundo esta em relacao con-

sigo proprio - wRw. Note-se que quando se formula, por exemplo, a propriedadetransitiva - “se wRw′ e w′Rw′′ entao wRw′′- estao presentes duas premissas, wRw′

e w′Rw′′, que, naturalmente, tem de ser verificadas para se poder concluir wRw′′.Consequentemente, regra de inferencia trn e, como se viu, uma regra de aridade 2que permite obter uma derivacao de xRz a partir de derivacoes de xRy e yRz. Estasderivacoes de xRy e yRz podem ser vistas como premissas da regra trn. Voltandoa propriedade reflexiva, o que se afirma e que cada mundo esta sempre em relacaoconsigo proprio e portanto, contrariamente ao que acontece no caso da propriedadetransitiva, a formulacao nao e do tipo “se . . . entao . . .”, ou seja, nao existem pre-missas. Este facto reflecte-se, como e de esperar, na definicao da regra ref. A regraref nao e uma regra de aridade 1, 2 ou 3 como as que foram sendo apresentadasate aqui, e uma regra de aridade 0 porque nao tem premissas. Como foi ja referidoatras, isto significa que esta regra e, mais precisamente, um axioma. O axioma ref eusualmente representado da seguinte forma

59


Axioma ref:—————- ref

xRx

onde o facto de nada ser representado acima da linha horizontal, exprime precisa-mente que nao existem premissas. Deste modo, em princıpio, seria sempre possıvelem qualquer situacao, e para cada x ∈ Et, obter uma derivacao de xRx, ou seja, dadauma derivacao qualquer d, poder-se-ia sempre prolongar esta derivacao utilizando oaxioma ref e obter uma derivacao d′ com conclusao xRx. No entanto, esta situacaonao e de grande utilidade porque se perde a informacao representada na conclusao ded e, se se pretende usar o facto de se considerar reflexiva a relacao de acessibilidade,pode-se sempre usar a derivacao correspondente a uma arvore de derivacao singular acujo no esta associada a formula xRx. Por este motivo, na sequencia, a utilizacao doaxioma ref sera apenas permitida na construcao de arvores de derivacao singulares.Consequentemente, nas derivacoes do sistema N T

m (e de todos os sistemas dedutivosque incluirem ref), formulas do tipo xRx que resultem do axioma ref apenas ocor-rerao nas folhas. Estas derivacoes tem no entanto uma caracterıstica particular quemerece alguma atencao. No Exemplo 1.7.2 ilustra-se esta questao.


x : ϕ 1 xRx

———————————————————3I

x : 3ϕ

———————————— →I, 1x : ϕ → (3ϕ)

e uma arvore de derivacao do sistema N Tm. Como se vera, esta derivacao permite

dizer que x : ϕ → (3ϕ) e teorema de N Tm.

Nesta derivacao a formula xRx corresponde a uma folha da arvore de derivacaoe portanto a uma hipotese da derivacao. De acordo com o que se tem vindo a fazerate aqui, a esta hipotese deveria corresponder uma marca. No entanto, na arvoreapresentada esta hipotese nao tem marca. Explica-se na sequencia o porque destasituacao, a qual esta naturalmente relacionada com a presenca do axioma ref.

Suponha-se que na arvore anterior a hipotese xRx estava associada uma marca(a marca 2, por exemplo). Essa arvore constituiria uma derivacao em Nm de x :

60

Logica Modal

ϕ → (3ϕ) a partir de xRx (note-se que, neste caso, xRx seria hipotese aberta).Informalmente, esta derivacao corresponderia a estabelecer que se um mundo se vea si proprio entao ϕ → (3ϕ) verifica-se nesse mundo. Como e habitual, a hipoteseaberta xRx corresponde a assumpcao de que o mundo se ve a si proprio.

Note-se que nao e possıvel derivar x : ϕ → (3ϕ) em Nm a partir de um conjuntovazio de hipoteses abertas (i.e., nao se tem `Nm x : ϕ → (3ϕ)) pois, pela Proposicao1.9.3, tal significaria que ϕ → (3ϕ) seria uma formula valida o que nao e o caso,como facilmente se prova. No entanto, faz sentido exigir que no contexto do sistemaN T

m (que, como foi atras referido, se pretende que seja um sistema dedutivo para osistema modal KT ) tenha de existir uma derivacao de x : ϕ → (3ϕ) a partir de umconjunto vazio de hipoteses abertas, (i.e., ter-se-a de ter `NT

mx : ϕ → (3ϕ)) pois

ϕ → (3ϕ) pertence ao sistema modal KT . De um modo mais informal, tal derivacaocorresponde a estabelecer que ϕ → (3ϕ) se verifica em qualquer mundo (o que faz osentido pois, no ambito dos enquadramentos reflexivos, todos os mundos se veem asi proprios).

Isto significa que, no contexto do sistema N Tm, a “hipotese”xRx e vista de um

modo especial.O facto de ref ser um axioma do sistema corresponde precisamente ao facto de

considerar, a partida, que todos os mundos se veem a si proprios. Assim, na derivacaoapresentada acima, xRx nao e uma simples hipotese aberta representando o factode se assumir que, em particular, o mundo representado por x se ve a si proprio.A formula xRx corresponde aqui ao axioma ref que representa que se considera apartida que todos os mundos se veem a si proprios. O modo como se distinguem osdois casos tem precisamente a ver com a existencia ou nao de marcas associadas axRx. No ambito do sistema N T

m, xRx nao e uma hipotese, e um axioma e portanto,nao lhe e associada nenhuma marca15. Assim sendo, na derivacao acima todas ashipoteses sao fechadas e portanto, como se vera, esta derivacao permite concluir que`NT

mx : ϕ → (3ϕ).

No caso geral, o modo como se utiliza o axioma ref nas arvores de derivacao dosistema N T

m e sempre semelhante ao que se descreveu ao longo deste exemplo: aformula xRx corresponde a uma folha da arvore e nao tem associada qualquer marca(e e, portanto, uma folha fechada).

Na representacao de uma derivacao na qual se tenha utilizado o axioma ref, epara tornar mais claro o facto deste axioma ter sido utilizado, pode tambem optar-se

15Ou, mais rigorosamente, e-lhe associado um conjunto vazio de marcas

61


por incluir a referencia explıcita ao axioma como se exemplifica seguidamente:

————–refx : ϕ 1 xRx

——————————————————— 3I

x : 3ϕ

———————————— →I, 1x : ϕ → (3ϕ)

Na Figura 1.3 apresenta-se uma tabela que apresenta varias extensoes do sistemaNm com uma ou mais das regras relacionais referidas nesta seccao. No Exemplo 1.7.3apresenta-se um exemplo de derivacao no sistema N TB4

m (S5).


xRz 4

————-simzRx xRy 3

—————————-trny : ϕ 2 zRy

————————————— 3I

z : 3ϕ

—————————- 2I, 4x : 3ϕ 1 x : 23ϕ

——————————————————— 3E, 2, 3x : 23ϕ

———————————— →I, 1x : (3ϕ) → (23ϕ)

e uma derivacao no sistemaN TB4m que, como se vera, permite concluir que x : (3ϕ) →

(23ϕ) e teorema do sistema.

Pode agora estabelecer-se a seguinte definicao.

62

Logica Modal

Sistema Regras de inferencia Regras de inf./axiomasdedutivo modais relacionais

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,N T

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, ref2I, 2E, 3I, 3E

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,NB

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, sim2I, 2E, 3I, 3E

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,N 4

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, trn2I, 2E, 3I, 3E

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,N 5

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, euc2I, 2E, 3I, 3E

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,N T4

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, trn,ref2I, 2E, 3I, 3E

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,N TB4

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, sim,trn,ref2I, 2E, 3I, 3E

Figura 1.3: Algumas extensoes do sistema dedutivo Nm

Definicao 1.7.4 Sistemas dedutivos N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m

Os sistemas dedutivos N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m sao constituıdos comoindicado na tabela da Figura 1.3. Todas as nocoes e notacoes definidas no ambitodo sistema de Nm sao definidas de modo analogo para o sistema Nm.

Existe um aspecto interessante relativo a derivacao de formulas relacionais nossistemas dedutivos referidos nesta seccao: se existe uma derivacao de uma formula re-lacional num desses sistemas entao e possıvel construir uma derivacao dessa formula,no sistema correspondente, na qual nao sao utilizadas regras de inferencia modais(Proposicao 1.7.9).

63


Refere-se agora de novo a questao da relacao16 entre os sistemas dedutivos N Tm,

NBm , N 4

m, N 5m, N T4

m e N TB4m e (i) as nocoes de consequencia semantica (local) e de

validade em FMP (em certas classes de enquadramentos), (ii) os sistemas modaisKT , KB, K4, K5, KT4 e KTB4.

Tal como acontecia no sistema Nm, os sistemas N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m

permitem determinar se uma dada formula modal e consequencia semantica (local) deum conjunto de formulas modais em certas classes de enquadramentos. Como casoparticular, permitem assim determinar se uma formula modal e valida em certasclasses de enquadramentos. Com efeito, dados Φ ⊆ FMP e ϕ ∈ FMP tem-se que

− se x : Φ `NTm

x : ϕ entao Φ |=Erefϕ

− se x : Φ `NBm

x : ϕ entao Φ |=Esim ϕ

− se x : Φ `N 4m

x : ϕ entao Φ |=Etrn ϕ

− se x : Φ `N 5m

x : ϕ entao Φ |=Eeuc ϕ

− se x : Φ `NT4m

x : ϕ entao Φ |=Eref∩Etrn ϕ

− se x : Φ `NTB4m

x : ϕ entao Φ |=Eref∩Etrn∩Esim ϕ

e portanto para determinar se ϕ e consequencia semantica local de Φ nas classes deenquadramentos indicadas, basta encontrar uma derivacao no sistema dedutivo cor-respondente de x : ϕ a partir do conjunto formado por formulas modais generalizadasx : ϕ′ para cada ϕ′ ∈ Φ. Para determinar a validade de uma formula modal numadas classes de enquadramentos procede-se do mesmo modo. Tendo em conta que ossistemas modais KT , KB, K4, K5, KT4 e KTB4 sao constituıdo pelas formulasvalidas na classe dos enquadramentos reflexivos, simetricos, transitivos, euclideanos,simetricos e transitivos, reflexivos, simetricos e transitivos, respectivamente, tem-seque se x : ϕ e teorema do sistema dedutivo associado a cada classe de enquadramen-tos, entao ϕ e uma formula do sistema modal correspondente. Diz-se entao que cadaum dos sistemas dedutivos e correcto face ao sistema modal correspondente.

Como seria de esperar estes resultados estao relacionados com a propriedade decorreccao do sistema N T

m, NBm , N 4

m, N 5m, N T4

m e N TB4m .

16Estas questoes sao tratadas com detalhe nas seccoes 1.9.2 e 1.9.5

64

Logica Modal

A relacao em sentido inverso tambem se verifica (embora adiante apenas sejaprovada para o caso em que as formulas so envolvem ⊥, → e 2) e esta naturalmenteassociada a propriedade de completude dos sistemas N T

m, NBm , N 4

m, N 5m, N T4

m eN TB4

m .

Termina-se esta seccao com mais algumas observacoes relevantes.

As regras relacionais e o axioma apresentados acima nao sao independentes, istoe, e possıvel, nos casos que seguidamente se ilustram, obter uma das regras comoregra derivada a partir de outras.

• A regra sim pode ser obtida a custa da regra euc e do axioma ref:

Dx1R x2 x1R x1

——————————— euc

x2R x1

Note-se que o axioma ref na folha da arvore nao tem marca. Consequentemente,esta folha esta sempre, por definicao, fechada.

• A regra trn pode ser obtida a custa da regra euc e do axioma ref:

D1

x1R x2 x1R x1

———————————– euc D2

x2R x1 x2R x3

————————————————————— euc

x1R x3

65


• A regra euc pode ser obtida a custa das regras sim e trn:

D1

x1R x2

——————— sim D2

x2R x1 x1R x3

————————————————————— trn

x2R x3

Do que ficou exposto resulta que, em certos casos, e possıvel considerar variantes aomodo como certos sistemas dedutivos foram definidos.

Note-se que os sistemas de deducao natural que foram referidos ao longo destaseccao nao sao os unicos que e possıvel definir a custa das regras de inferencia relaci-onais e do axioma apresentados. De facto, outras combinacoes destas regras/axiomacom as regras do sistema Nm poderao dar origem a outros sistemas de deducaonatural. Nesta seccao foram apenas mencionados alguns dos casos mais comuns naliteratura. Como exemplo de um sistema que aqui nao foi mencionado pode referir-seo caso do sistema dedutivo N 45

m que e constituıdo pelas regras de inferencia modais epelas regras de inferencia relacionais trn e euc. Prova-se que este sistema e correctorelativamente a classe de enquadramentos transitivos e euclideanos.


Exercıcio 1.7.5 Na sequencia ψ, ψ1 e ψ2 designam formulas em FMP . Mostre que:

1. `NTm

x : (2ψ) → ψ

2. `NTm

x : 3(ψ → (2ψ))

3. {x : ψ} `NBm

x : 2(3ψ)

4. {2(ψ1 → ψ2)} `N 4m

2((2ψ1) → (2ψ2))

5. `N 4m

x : (2ψ) → (2(2ψ))

66

Logica Modal

6. `N 5m

x(3ψ) → (2(3ψ))

7. `N 5m

x : (3(2ψ)) → (3ψ)

8. `N 5m

x : (2ψ) → (2(3ψ))

9. {x : 2(2ψ)} `NTB4m

x : 2ψ

10. {3ψ} `NT4m

3(3ψ)

11. `NTB4m

x : (3ψ) → (2(3ψ)) (e vice-versa)

12. `NTB4m

x : (2ψ) → (3(2ψ)) (e vice-versa)

1.7.2 Os sistemas N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m revisitados

Assumem-se fixados um conjunto (numeravel) de etiquetas Et, um conjunto desımbolos proposicionais P e um conjunto M de marcas.

Definicao 1.7.6 Axioma ref e regras de inferencia sim, trn e eucNa sequencia, a1 e a2 sao EM

FG-arvores sem conflito de marcas entre si.

• Axioma ref: toda a EMFG-arvore singular com etiqueta (xRx, ∅)

• Regra sim: se frm(νa1) = xRy entao, por aplicacao da regra sim, obtem-sea EM

FG-arvore a = a1 (yRx, ∅)• Regra trn: se frm(νa1) = xRy e frm(νa2) = yRz entao, por aplicacao da

regra trn, obtem-se a EMFG-arvore a =

⊔{a1, a2} (xRz, trn, ∅)• Regra euc: se frm(νa1) = xRy e frm(νa2) = xRz entao, por aplicacao da

regra euc, obtem-se uma EMFG-arvore a =

⊔{a1, a2} (zRy, ∅)

Genericamente, as regras sim, trn e euc e o axioma ref sao na sequencia de-signadas regras de inferencia relacionais quando for necessario distingui-las das jaapresentadas anteriormente que serao designadas regras de inferencia modais.

A utilizacao do axioma ref nas deducoes dos sistemas dedutivos que o incluıremreflecte-se ao nıvel de quais sao as EM

FG-arvores singulares que se consideram como

67


sendo arvores de deducao do sistema dedutivo em causa. O axioma ref e apenas utili-zado para construir derivacoes singulares. Nas derivacoes dos sistemas que incluiremeste axioma, formulas do tipo xRx resultantes da sua utilizacao apenas ocorreraonas folhas das arvores e nao existira nenhuma marca associada a tais formulas peloque essas folhas estarao sempre, por definicao, fechadas.

Definicao 1.7.7 Sistemas dedutivos N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m

Os sistemas dedutivos N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m sao constituıdos pelasregras de inferencia (e axiomas) referidas na Definicoes 1.5.15 e 1.7.6 como se indicana tabela da Figura 1.3.

A partir da definicao dos sistemas anteriores, a definicao de conjunto das arvoresde deducao em cada um deles segue a usual definicao indutiva e a notacao utilizadapara designar cada conjunto e a tambem a usual. Existe o detalhe diferente queconsiste no facto de qualquer instancia do axioma ref ser uma arvore de deducaonos sistemas que o incluem. Como exemplo, apresenta-se a definicao para o caso dosistema dedutivo N T

m. Os outros casos sao semelhantes.

Definicao 1.7.8 Arvores de deducao do sistema N Tm

O conjunto das arvores de deducao do sistema dedutivo N Tm representa-se por

DNTm

e define-se indutivamente de modo semelhante ao apresentado para o sistemadedutivo Np excepto que se considera tambem o seguinte caso: todas as instanciasdo axioma ref pertencem a DNT

m.

No contexto dos varios sistemas dedutivos definidos nesta seccao, as nocoes deconclusao, hipoteses abertas/fechadas sao as usuais, o mesmo se podendo dizer rela-tivamente as nocoes (e notacoes associadas) de deducao/consequencia de ξ ∈ FG apartir Ξ ⊆ FG e de teorema.

Termina-se esta seccao com um resultado que, a semelhanca da Proposicao 1.5.20,esta relacionado com as formulas relacionais que se podem derivar no ambito dossistemas dedutivos aqui apresentados.

Proposicao 1.7.9Sendo ξ ∈ FR, Ξ ⊆ FG e N ∈ {N T

m,NBm ,N 4

m,N 5m,N T4

m ,N TB4m } tem-se que Ξ `N ξ

se e so se existe uma derivacao de ξ a partir de ΞR em N na qual nao sao utilizadasregras de inferencia modais.

68

Logica Modal

Prova: Prova-se que se Ξ `N ξ entao existe uma derivacao com as caracterısticasindicadas (note-se que a prova da afirmacao recıproca e trivial) . A prova faz-seprovando, por inducao na profundidade das arvores, que, qualquer que seja ξ′ ∈ FR,se existe uma arvore de deducao d′ em N tal que conc(d′) = ξ′ e Hd′ ⊆ Ξ entaoexiste uma derivacao d′′ em N tal que conc(d′′) = ξ′, Hd′′ ⊆ ΞR e nao sao utilizadasregras de inferencia modais.

Base: Seja ξ′ ∈ FR e suponha-se que d′ tem profundidade 1. Entao d′ e umaarvore de deducao singular e portanto ou ξ′ ∈ Ξ (e consequentemente ξ′ ∈ XiR)ou N inclui o axioma ref e a derivacao corresponde a utilizacao desse axioma. Emambos os casos esta derivacao satisfaz as caracterısticas indicadas para d′′.

Passo: Seja ξ′ ∈ FR e seja d′ uma arvore de deducao com profundidade n > 1.Dado que conc(d′) ∈ FR e tendo em conta as regras de inferencia dos sistemasdedutivos em causa tem-se necessariamente que rg(νd′) ∈ {trn, sim, euc}. Suponha-se que rg(νd′) = sim (os outros casos sao identicos). Isto siginifica que d′ e

DyRx

—————–simxRy

assumindo ξ′ = xRy. Tem-se entao que a arvore d1

DyRx

e uma arvore de deducao em N , tem profundidade menor que n, conc(d1) ∈ FR eHd1 ⊆ Ξ. Por hipotese de inducao existe d2 em N tal que conc(d2) = yRx, Hd2 ⊆ ΞR

e nao sao utilizadas regras de inferencia modais. Aplicando a regra sim a d2 obtem-seuma arvore d′′ com as caracterısticas pretendidas.

1.7.3 Os sistemas N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m em Isabelle

A representacao em Isabelle dos novos sistemas de deducao natural e obtida a par-tir da teoria K (relativa ao sistema Nm) adicionando as regras convenientes. Porexemplo, o ficheiro KT.thy que descreve o sistema N T

m, tem o seguinte conteudo:

KT=K+

69


globalrulesrfl "x Rel x"end

Outras teorias sao definidas de forma semelhante:

• ao sistema NBm corresponde o ficheiro KB.thy:

KB=K+

globalrulessim "x Rel y ==>y Rel x"end

• ao sistema N 4m corresponde o ficheiro K4.thy:

K4=K+

globalrulestrn "[|x Rel y; y Rel z|] ==>x Rel z"end


K5=K+

globalruleseuc "[|x Rel y; x Rel z|] ==>y Rel z"end

• ao sistema N T4m corresponde o ficheiro S4.thy:

70

Logica Modal

S4=KT+K4

• ao sistema N TB4m corresponde o ficheiro S5.thy:

S5=KT+KB+K4

Exemplos de derivacoes

O primeiro exemplo corresponde a estabelecer o teorema x:(P--><>P) do sistemaN T

m. O primeiro passo da derivacao e a aplicacao da regra de introducao da im-plicacao.

use thy "KT";> Goal "x:(P--><>P)";Level 0 (1 subgoal)x:P--><>P1. x:P--><>P

> br impI 1;Level 1 (1 subgoal)x:P--><>P1. x:P ==> x:<>P

Segue-se a aplicacao da regra de introducao do operador possibilidade.

> br diaI 1;Level 2 (2 subgoals)x:P--><>P1. x:P ==> x Rel ?y12. x:P ==> ?y1:P

O primeiro subobjectivo corresponde a encontrar ?y1 relacionado com x. O ?y1conveniente e o proprio x. Para tal usa-se resolucao com a regra rfl (?x Rel ?x).Como a regra nao tem premissas nao introduz nenhum subobjectivo.

71


> br rfl 1;Level 3 (1 subgoal)x:P--><>P1. x:P ==> x:P

A derivacao termina usando prova por hipotese.

> ba 1;Level 4x:P--><>PNo subgoals!

A derivacao seguinte e semelhante mas usa tacticais. Pretende-se estabelecerx:(P--><><><>P). E interessante notar que os mesmos comandos permitem estabe-lecer teoremas da forma x:(P--><>...<>P), para qualquer numero de ocorrenciasdo operador possibilidade.

> Goal "x:(P--><><><>P)";Level 0 (1 subgoal)x:P--><><><>P1. x:P--><><><>P

> br impI 1;Level 1 (1 subgoal)x:P--><><><>P1. x:P ==> x:<><><>P

> by (REPEAT (resolve tac[diaI] 1 THEN resolve tac[rfl] 1));Level 2 (1 subgoal)x:P--><><><>P1. x:P ==> x:P

> ba 1;Level 3

72

Logica Modal

x:P--><><><>PNo subgoals!

Exercıcios

Seguem-se alguns exercıcios sobre estes novos sistemas modais. Sugere-se tambem aresolucao em Isabelle das alınes do Exercıcio 1.7.5.

1. Usando as teorias KT, KB, K4, K5, S4 e S5 mostre que:

(a) `NTm

x : 2A → A

(b) `NBm

x : A → 23A

(c) `NBm

x : 2(3A → B) → (A → 2B)

(d) `N 4m

x : 2A → 22A

(e) `N 5m

x : 3A → 23A

(f) `N5m

x : 22A ⇔ 232A

(g) `NT4m

x : 3A ⇔ 33A

(h) `NT4m

x : 3232A ⇔ 32A

(i) `NT4m

x : 2323A ⇔ 23A

(j) `NTB4m

x : 32P ⇔ 2P

(k) `NTB4m

x : 23P ⇔ 3P

1.8 Sistemas de deducao natural para os sistemas mo-dais D, 2, X, D45 e T42

Nesta seccao apresentam-se mais algumas extensoes do sistema dedutivo Nm: ossistemas dedutivos ND

m , N 2m, NX

m , ND45m e N T42

m .Tal como as extensoes de Nm apresentadas anteriormente, estas novas extensoes

obtem-se considerando novas regras de inferencia que envolvem apenas formulas re-lacionais. No entanto, estas novas extensoes tem a particularidade de se revelarnecessario manipular formulas t : ϕ ou sRt, onde as etiquetas t e s podem nao servariaveis. Com efeito, em certas situacoes, torna-se necessario que estas etiquetas

73

Sistemas modais D, 2, X, D45 e T42

incluam determinados sımbolos de funcao nao sendo assim suficiente ter apenas umconjunto de etiquetas Et. Estas etiquetas sao, com efeito, termos sobre uma certaassinatura de primeira ordem. Consequentemente, tambem ao nıvel das estruturassemanticas terao de ser incluıdas algumas alteracoes. Como se vera, o modo comovao ser apresentados os sistemas dedutivos que se consideram nesta seccao corres-ponde a uma generalizacao do modo como foram apresentados os sistemas dedutivosconsiderados ate aqui.

A semelhanca das anteriores, esta seccao esta organizada como se segue. Nasubseccao 1.8.1 sao descritas as novas regras de inferencia relativas a formulas re-lacionais que sao necessarias para construir estes novos sistemas dedutivos, que saodepois apresentados do modo informal usual. Na subseccao 1.8.2 apresenta-se umadefinicao mais rigorosa. Na subseccao 1.8.3 faz-se representacao destes sistemas de-dutivos em Isabelle.

As questoes relacionadas com correccao e completude destes sistemas dedutivosso serao abordadas nas subseccoes 1.9.3 e 1.9.6.

1.8.1 Os sistemas dedutivos NDm , N 2

m, NXm , ND45

m e N T42m

Nesta seccao apresentam-se as regras de inferencia que e necessario considerar paraconstruir as novas extensoes ao sistema dedutivo Nm. Tal como nas extensoes an-teriores, as novas regras correspondem a propriedades das relacoes de acessibilidadesubjacentes a certas classes de enquadramentos. As propriedades que aqui sao maisrelevantes sao a serialidade, a densidade e a convergencia. Uma das novas regras deinferencia e, mais rigorosamente, um axioma.

Como foi referido, sao agora relevantes as propriedades de serialidade, de densi-dade e de convergencia das relacoes binarias. Estas propriedades podem exprimir-seatraves de formulas de primeira ordem como se segue.

• Serialidade: ∀x∃y R(x, y)

• Densidade: ∀x∀y((R(x, y) → ∃z(R(x, z) ∧R(z, y))) ou, de modo equivalente,∀x∀y∃z(R(x, y) → (R(x, z) ∧R(z, y)))

• Convergencia: ∀x∀y∀z((R(x, y)∧R(x, z)) → ∃u(R(y, u)∧R(z, u))) ou, de modoequivalente, ∀x∀y∀z∃u((R(x, y) ∧R(x, z)) → (R(y, u) ∧R(z, u))).

74

Logica Modal

Sao estas formulas que vao sugerir as novas regras de inferencia. Seguindo atecnica designada skolemizacao e possıvel “simplificar”de algum modo estas formulase e a partir dessas formulas simplificadas que vao surgir as referidas regras de in-ferencia.

A tecnica designada skolemizacao17, permite “eliminar”o quantificador existen-cial em formulas do tipo

∀x1(. . . (∀xn(∃y ϕ)) . . .)

onde ϕ tem como variaveis livres x1, . . . , xn e y, considerando formulas do tipo

∀x1(. . . (∀xn ϕyfϕ(x1,...,xn)) . . .)

ondeϕy

fϕ(x1,...,xn)

representa a formula que se obtem quando em ϕ se substitui y pelo termo fϕ(x1, . . . , xn)e fϕ e o sımbolo de funcao de Skolem18 associado a ϕ.

Informalmente, ∀x1(. . . (∀xn(∃y ϕ)) . . .), exprime a ideia de que para cada tuplode n elementos (representados por x1, . . . , xn) existira um elemento (representadopor y) tal que ϕ se verifica. Assim, de um modo implıcito, esta aqui presente umafuncao que a cada tuplo de n elementos faz corresponder um certo elemento quesatisfaz uma derterminada condicao (a assercao que ϕ representa). Para cada tuplo(x1, . . . , xn), o y procurado pode ser visto como o resultado de aplicar a referidafuncao a (x1, . . . , xn). E esta a razao pela qual se considera, para cada formula dotipo indicado, o sımbolo de funcao fϕ e a formula ∀x1(. . . (∀xn ϕy

fϕ(x1,...,xn)) . . .) (naqual o quantificador existencial “desapareceu”e o y e substituıdo por fϕ(x1, . . . , xn)).

Prova-se19 que, sendo Γ um conjunto de formulas fechadas, entao

(∀x1(. . . (∀xn(∃y ϕ)) . . .)) ⇔ (∀x1(. . . (∀xn ϕyfϕ(x1,...,xn)) . . .))

e consequencia20 de Γ∗ = Γ ∪ {∀x1(. . . (∀xn((∃y ϕ) → ϕyfϕ(x1,...,xn))) . . .)}. Informal-

mente, tal significa que, sob as hipoteses em Γ∗, a formula com o quantificador exis-tencial e equivalente a formula em que tal quantificador “desapareceu”. Prova-se que

17Para uma abordagem mais detalhada sobre este assunto consultar, por exemplo, [1, 6].18Ou mais simplesmente, funcao de Skolem19Ver [6], por exemplo.20Pode aqui considerar-se quer consequencia em Nc, quer consequencia semantica.

75


nao existem diferencas essenciais entre Γ e Γ∗, ou seja, prova-se que as consequenciasde Γ e as consequencias de Γ∗ (que nao envolvam o sımbolo fϕ) sao as mesmas.Isto significa que se se pretende encontrar consequencias de Γ que necessitem da in-formacao representada pela formula ∀x1(. . . (∀xn(∃y ϕ)) . . .) pode trabalhar-se comΓ∗ e com a formula ∀x1(. . . (∀xn ϕy

fϕ(x1,...,xn)) . . .). Esta ultima formula e mais “sim-ples”que a primeira uma vez que nela apenas ocorrem quantificadores universais.

Considerando, por exemplo, o caso da formula

∀x∃y R(x, y)

que exprime a propriedade de serialidade da relacao R, tem-se que

(∀x∃y R(x, y)) ⇔ (∀xR(x, f(x)))

e consequencia de Γ∗ = Γ ∪ {∀x(∃y R(x, y) → R(x, f(x)))}. Tendo em conta osparagrafos anteriores pode trabalhar-se com a formula

∀xR(x, f(x))

onde, recorde-se, f e um sımbolo de funcao (de Skolem). O termo f(x) representaum dos mundos que se sabe ser visıvel a partir do mundo representado por x. Aexistencia de pelo menos um destes mundos, para cada x, decorre da serialidade darelacao.

No caso da propriedade de densidade, da formula

∀x∀y∃z(R(x, y) → (R(x, z) ∧R(z, y)))

resultara a formula

∀x∀y(R(x, y) → (R(x, g(x, y)) ∧R(g(x, y), y)))

onde agora e g a funcao (de Skolem) correspondente. O termo g(x, y) representa umdos mundos que (i) e visıvel a partir do mundo representado por x e (ii) ve o mundorepresentado por y. A existencia de pelo menos um mundo nestas condicoes, paracada x e y, decorre do facto da relacao ser densa.

Finalmente, no caso da convergencia, da formula

∀x∀y∀z∃u((R(x, y) ∧R(x, z)) → (R(y, u) ∧R(z, u)))

76

Logica Modal

obter-se-a

∀x∀y∀z((R(x, y) ∧R(x, z)) → (R(y, h(x, y, z)) ∧R(z, h(x, y, z))))

onde agora e h a funcao (de Skolem) correspondente. O termo h(x, y, z) representaum dos mundos que (i) e visıvel a partir do mundo representado por y e (ii) e visıvela partir do mundo representado por z. A existencia de pelo meno um mundo nestascondicoes, para cada x e y e z, decorre do facto da relacao ser convergente.

Apresentam-se seguidamente as regras relacionais necessarias para construir asextensoes ao sistema Nm pretendidas nesta seccao. A regra ser e, mais precisamente,um axioma. Como foi atras mencionado, estas regras decorrem das formulas, acimareferidas, relativas as propriedades de serialidade, densidade e convergencia.

Axioma ser—————- ser

tRf(t)

∇

Regras dns1 e dns2 DsRt

—————- dns1sRg(s, t)

DsRt

—————- dns2g(s, t)Rt

∇

Regras cnv1 e cnv2 D1 D2

sRt sRr——————– cnv1

tRh(s, t, r)

77


D1 D2

sRt sRr——————– cnv2

rRh(s, t, r)∇

Como os nomes sugerem, o axioma ser esta relacionado com a serialidade, asregras dns1 e dns2 com a densidade e as propriedades cnv1 e cnv2 com a convergencia.

Nas regras acima t, s e r representam termos, isto e, como ja se havia referido, nossistemas dedutivos que aqui se apresentam, as etiquetas nao sao necessariamente ape-nas variaveis como nos sistemas dedutivos apresentados anteriormente. Os sımbolosde funcao f , g e h sao as funcoes de Skolem referidas para cada um dos casos.

Os sistemas dedutivos que se consideram nesta seccao sao obtidos, tal como nasextensoes anteriormente apresentadas, estendendo sistema Nm com uma ou maisregras e/ou axiomas sendo que estas regras e/ou axiomas tanto podem ser as jaapresentadas na seccao 1.7 como as que se apresentaram nesta seccao. Por exemplo,o sistema ND

m e obtido juntando as regras de Nm o axioma ser, o sistema N 2m e

obtido juntando as regras cnv1 e cnv2 e o sistema ND45m e obtido juntando ser, trn

e euc.Existe um detalhe importante que e preciso ter em conta. Quando se diz, por

exemplo, que se obtem o sistema dedutivo ND45m estendendo o sistema Nm com as

regras ser, trn e euc ha que ter em atencao que nao sao exactamente as regras dosistema Nm, trn e euc tal como foram apresentadas anteriormente. Com efeito, comono ambito deste novo sistema ND45

m as etiquetas sao termos (e nao apenas variaveis),pressupoem-se aqui que sempre que se faz referencia as regras de Nm, trn e euc, oque de facto se pretende ter sao regras semelhantes a estas mas em que as etiquetassao agora termos. Assim, por exemplo, a regra →I e, de facto,

[t : ϕ1]m

Dt : ϕ2

—————- →I,mt : ϕ1 → ϕ2

onde t e um qualquer termo. O mesmo se passa relativamente as outras regras.Existem, no entanto, duas excepcoes: a regra 2I e a regra 3E.

78

Logica Modal

A regra 2I e

[tRy]m

Dy : ϕ

———— 2I, mt : 2ϕ

onde y tem de ser obrigatoriamente uma variavel (pois, como se viu na seccao 1.7.1,y deve representar um mundo arbitrario visıvel a partir do mundo representado port). Os requisitos presentes nesta regra sao, naturalmente, mantidos: y nao ocorreem t (note-se que neste caso nao se exige apenas y 6= t) e y nao ocorre nas hipotesesabertas de D distintas de tRy.

A regra 3E e

[y : ϕ] m′[tRy] m′′

D1 D2

t : 3ϕ s : ψ—————————————– 3E, m′,m′′

s : ψ

onde, de novo, y tem de ser obrigatoriamente uma variavel e t e s sao termos. Osrequisitos que devem ser verificados sao: y nao ocorre nem em t nem em s e y tambemnao ocorre nas hipoteses abertas de D2 distintas de tRy e de y : ϕ.

Seguem-se alguns exemplos que ilustram a utilizacao destas regras no ambito dealguns dos sistemas dedutivos aqui considerados.

Exemplo 1.8.1 Como foi referido, obtem-se o sistema dedutivo NDm estendendo o

sistema Nm com o axioma ser. A arvore seguinte e uma derivacao em NDm .

x : 2ψ 1 xRf(x)—————————————- 2E

f(x) : ψ xRf(x)———————————————– 3I

x : 3ψ—————– → I, 1x : (2ψ) → (3ψ)

79


Como se vera, esta arvore permite concluir que `NDm

x : (2ψ) → (3ψ).

Exemplo 1.8.2 Como foi referido, obtem-se o sistema dedutivo N 2m estendendo o

sistema Nm com as regras cnv1 e cnv2. A arvore seguinte e uma derivacao em N 2m.

x1R x23 x1R x3

4

————————– cnv1

x2 : 2ϕ 2 x2R h(x1, x2, x3) x1R x23 x1R x3

4

—————————————- 2E ————————– cnv2

h(x1, x2, x3) : ϕ x3R h(x1, x2, x3)————————————————————————– 3I

x1 : 3(2ϕ) 1 x3 : 3ϕ

————————————————————— 3E, 2, 3x3 : 3ϕ

——————- 2I, 4x1 : 2(3ϕ)

————————————————- → I, 1x1 : (3(2ϕ)) → (2(3ϕ))

Como se vera, esta deducao permite concluir que `N 2m

x1 : (3(2ϕ)) → (2(3ϕ)).

Na Figura 1.4 apresenta-se uma tabela que introduz varias extensoes do sistemaNm. Estas extensoes sao obtidas estendendo Nm com uma ou mais das regras rela-cionais referidas ate aqui.

Pode agora estabelecer-se a seguinte definicao.

Definicao 1.8.3 Sistemas dedutivos NDm , N 2

m, NXm , ND45

m e N T42m

Os sistemas dedutivos NDm , N 2

m, NXm , ND45

m e N T42m sao constituıdos como indi-

cado na tabela da Figura 1.4. Todas as nocoes e notacoes definidas no ambito dosistema de Nm sao definidas de modo analogo para o sistema Nm.

Tal como nas extensoes ao sistema Nm anteriormente apresentadas, se existe umaderivacao de uma formula relacional num destes novos sistemas dedutivos entao epossıvel construir uma derivacao dessa formula, no sistema correspondente, na qualnao sao utilizadas regras de inferencia modais (Proposicao 1.8.14).

80

Logica Modal

Sistema Regras de inferencia Regras de inf./axiomasdedutivo modais relacionais

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,ND

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, ser2I, 2E

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,N 2

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, cnv1, cnv2

2I, 2E

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,NX

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, dns1, dns22I, 2E

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,ND45

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, ser, trn, euc2I, 2E

∧I, →I, ∨Id, ∨Ie,N T42

m ∧Ed, ∧Ee, →E, ∨E, ⊥, trn,ref, cnv1, cnv2

2I, 2E

Figura 1.4: Mais algumas extensoes do sistema dedutivo Nm

Termina-se esta seccao com uma breve referencia a relacao entre os teoremasdestes sistemas e a validade de formulas em certas classes de enquadramentos e,consequentemente, com uma referencia a nocao de correccao e completude destessistemas para certos sistemas modais.

Os resultados sao semelhantes aos referidos no caso das extensoes ja apresentadas.Considerando o sistema ND

m , por exemplo, tem-se (como se vera adiante) que x : ϕe teorema do sistema ND

m se e so se ϕ e uma formula valida na classe de todos osenquadramentos seriais. Dado que a classe de enquadramentos seriais caracterizasemanticamente o sistema modal KD, tem-se que x : ϕ e teorema de ND

m se e so seϕ e uma formula do sistema KD. Isto significa que ND

m e correcto e completo parao sistema modal KD

Observacoes semelhantes podem ser feitas relativamente aos outros sistemas de-dutivos.

81


1.8.2 Os sistemas NDm , N 2

m, NXm , ND45

m e N T42m revisitados

Comeca-se por definir as nocoes de formula etiquetada (ou prefixada) e de formularelacional que sao necessarias no ambito destes sistemas dedutivos. Como se referiuanteriormente, o facto de as etiquetas nao serem necessariamente apenas variaveisleva a que, quer a nıvel sintactico, quer a nıvel semantico algumas alteracoes tenhamde ser introduzidas face ao que ja havia sido apresentado na seccao 1.5.2.1. Assim, nasubseccao 1.8.2.1 introduzem-se os varios conceitos sintacticos e semanticos relativosa nocao de formula modal etiquetada e a nocao de formula relacional. Na subseccao1.8.2.2 apresentam-se os sistemas dedutivos.

1.8.2.1 Formulas etiquetadas e formulas relacionais: sintaxe e semantica

Na sequencia assume-se fixado um conjunto P de sımbolos proposicionais.

Definicao 1.8.4 Assinaturas ΣD, ΣX e Σ2

ΣD e a assinatura de primeira ordem que nao inclui nenhum sımbolo de predicadoe inclui um unico sımbolo de funcao: o sımbolo f de aridade 1; ΣX e a assinaturade primeira ordem que nao inclui nenhum sımbolo de predicado e inclui um unicosımbolo de funcao: o sımbolo g de aridade 2; Σ2 e a assinatura de primeira ordemque nao inclui nenhum sımbolo de predicado e inclui um unico sımbolo de funcao:o sımbolo h de aridade 3. No que se segue, sempre que seja feita referencia a umaassinatura de primeira ordem Σ, assume-se que Σ ∈ {ΣD, ΣX ,Σ2}.

Definicao 1.8.5 Formulas modais generalizadas sobre P e TEtΣ

Sejam Et um conjunto (de variaveis) e Σ ∈ {ΣD, ΣX ,Σ2}.

(i) FEEtP,Σ = {t :ϕ : t ∈ TEt

Σ e ϕ ∈ FMP } e o conjunto das formulas modais sobreP etiquetadas em21 TEt

Σ ;

(ii) FREtΣ = {t1Rt2 : t1, t2 ∈ TEt

Σ } e o conjunto das formulas relacionais sobre TEtΣ ;

(iii) FGEtP,Σ = FEEt

P,Σ ∪ FREtΣ e o conjunto das formulas modais generalizadas sobre

P e TEtΣ .

21Recorde-se que T EtΣ e o conjunto dos termos sobre Σ e Et.

82

Logica Modal

Sempre que nao haja ambiguidade acerca de P e Et usam-se as notacoes FEΣ, FRΣ

e FGΣ; se tambem nao existe ambiguidade acerca de Σ, usa-se FE, FR e FG. Paracada Ξ ⊆ FG definem-se os conjuntos ΞM , Ξet, ΞE e ΞR como na Definicao 1.5.8.

As definicoes anteriores sao semelhantes as apresentadas na Definicao 1.5.8 mas asetiquetas nao sao necessariamente variaveis. As etiquetas podem ser termos de umacerta assinatura de primeira ordem. Seguem-se agora as nocoes semanticas relativasas formulas aqui consideradas. No que se segue assume-se fixado um conjunto Et.

Definicao 1.8.6 Estrutura de int. modal generalizada sobre Σ e PSeja Σ ∈ {ΣD,ΣX , Σ2}. Uma estrutura de interpretacao modal generalizada sobre

Σ e P e um tuplo IMIg = (W,R, V, I) onde

• (W,R, V ) e uma estrutura de interpretacao modal sobre P ;

• (W, I) e uma estrutura de interpretacao de primeira ordem sobre Σ tal que

– se Σ e ΣD e R e uma relacao serial entao I(f) : W → W e tal que, paracada w ∈ W , wRw′ onde w′ = I(f)(w);

– se Σ e ΣX e R e uma relacao densa entao I(g) : W × W → W e talque, para cada (w1, w2) ∈ W ×W , se w1Rw2 entao w1Rw e wRw2 ondew = I(g)(w1, w2);

– se Σ e Σ2 e R e uma relacao convergente entao I(h) : W ×W ×W → W etal que, para cada (w1, w2, w3) ∈ W ×W ×W , se w1Rw2 e w1Rw3 entaow2Rw e w3Rw onde w = I(h)(w1, w2, w3).

Dada uma estrutura de interpretacao modal generalizada IMIg, utiliza-se IMIcg para

representar a estrutura de interpretacao de primeira ordem subjacente e IMImg para

representar a estrutura de interpretacao modal subjacente.

Numa estrutura de interpretacao modal generalizada IMIg = (W,R, V, I) sobreΣ e P , tem-se que (W,R, V ) e uma estrutura de interpretacao modal sobre P parainterpretar as formulas modais e (W, I) constitui uma estrutura de interpretacaode primeira ordem sobre Σ ∈ {ΣD, ΣX ,Σ2} cujo objectivo e interpretar os termosque sao utilizados como etiquetas. As interpretacoes dos sımbolos de funcao f , g eh verificam condicoes directamente relacionadas com as propriedades da relacao deacessibilidade R.

83


Definicao 1.8.7 Atribuicao em estrutura de int. modal generalizada

Sendo IMIg uma estrutura de interpretacao modal generalizada, uma atribuicaode Et em IMIg e uma atribuicao de Et na estrutura de interpretacao modal IMIm

g

(Definicao 1.5.10). O conjunto de todas as atribuicoes de Et em IMIg designa-seATREt

IMIg, ou, se nao ha ambiguidade sobre Et, simplesmente, ATRIMIg .

Definicao 1.8.8 Interpretacao de termo em estrutura de int. modalgeneralizada

No que se segue, dados t ∈ TEtΣ , IMIg = (W,R, V, I) e ρ ∈ ATRIMIg , a inter-

pretacao de t em IMIg com ρ, representa-se por [[t]]ρIMIge e, naturalmente, a inter-

pretacao de t na estrutura de interpretacao de primeira ordem IMIcg com ρ, isto e,

[[t]]ρIMIcg.

Definicao 1.8.9 Satisfacao de formula modal generalizada por estru-tura de interpretacao modal generalizada com atribuicao

Sejam IMIg = (W,R, V, I) uma estrutura de interpretacao modal generalizadasobre Σ e P , ρ ∈ ATRIMIg e ξ ∈ FG. A nocao de satisfacao de ξ por IMIg com ρdefine-se como se segue:

• se ξ = t : ϕ entao IMIg, ρ |= t : ϕ se IMIm, [[t]]ρIMIg|= ϕ

• se ξ = t1Rt2 entao IMIg, ρ |= t1Rt2 se ([[t1]]ρIMIg

, [[t2]]ρIMIg

) ∈ R

Dado Ξ ⊆ FG, IMIg, ρ |= Ξ se IMIg, ρ |= ξ para cada ξ ∈ Ξ.

Note-se que a nocao de satisfacao apresentada na Definicao 1.5.11 e um casoparticular da nocao apresentada na Definicao 1.8.9. Com efeito, se uma etiqueta tfor, em particular, uma variavel em Et, a interpretacao de t em IMIc com ρ, [[t]]ρIMIc

,e precisamente ρ(t).

Definicao 1.8.10 Consequencia semantica

Sendo Ξ ⊆ FGΣ e ξ ∈ FGΣ

• ξ e consequencia semantica de Ξ, o que se representa por Ξ |= ξ, se paracada IMIg estrutura de interpretacao modal generalizada sobre Σ e P e cadaρ ∈ ATRIMIg se tem que se IMIg, ρ |= Ξ entao IMIg, ρ |= ξ;

84

Logica Modal

• sendo E uma classe de enquadramentos modais, ξ e consequencia semantica deΞ na classe E , o que se representa por Ξ |=E ξ, se para cada IMIg estruturade interpretacao modal generalizada sobre Σ e P tal que IMIm

g e baseada numenquadramento em E , e cada ρ ∈ ATRIMIg se tem que se IMIg, ρ |= Ξ entaoIMIg, ρ |= ξ.

Como seria de esperar, tem-se tambem aqui um resultado semelhante ao apre-sentado na Proposicao 1.5.14.

Proposicao 1.8.11Sejam Ξ ⊆ FEΣ, x ∈ Et, ϕ ∈ FMΣ, com Σ ∈ {ΣD, ΣX ,Σ2}, e E uma classe deenquadramentos modais.

1. Se Ξ = {x : ϕ1, . . . , x : ϕn} e Ξ |= x : ϕ entao {ϕ1, . . . , ϕn} |= ϕ.

2. Se Ξ = {x : ϕ1, . . . , x : ϕn} e Ξ |=E x : ϕ entao {ϕ1, . . . , ϕn} |=E ϕ.

Prova: Semelhante a apresentada para a Proposicao 1.5.14.

1.8.2.2 Sistemas dedutivos

Nesta seccao, e a semelhanca do que foi feito para todos os sistemas dedutivos jaconsiderados, apresenta-se uma definicao mais precisa dos sistemas ND

m , N 2m, NX

m ,ND45

m e N T42m . No que se segue assumem-se fixados um conjunto Et um conjunto de

sımbolos proposicionais P e um conjunto M de marcas.

Definicao 1.8.12 Novas regras de inferencia

Na sequencia, a1 e a2 sao EMFGΣ

-arvores sem conflito de marcas entre si.

• Axioma ser: toda a EMFGΣD

-arvore singular com etiqueta (tRf(t), ∅) onde t ∈TEt

ΣD

• Regra dns1: sendo a1 uma EMFGΣX

-arvore tal que frm(νa1) = sRt entao, por

aplicacao da regra dns1, obtem-se a EMFGΣX

-arvore a = a1 (sRg(s, t), ∅)

• Regra dns2: semelhante a regra dns1 mas a etiqueta da raiz de a e (g(s, t)Rt, ∅)

85


• Regra cnv1: sendo a1 e a2 duas EMFGΣ2

-arvores tais que frm(νa1) = sRt e

frm(νa2) = sRr entao, por aplicacao da regra cnv1 obtem-se uma EMFGΣ2

-arvore a =

⊔{a1, a2} (tRh(s, t, r), ∅)• Regra cnv2: semelhante a regra cnv1 mas a etiqueta da raiz de a e (rRh(s, t, r), ∅)• Regra 2I: sendo a1 uma EM

FGΣ-arvore tal que frm(νa1) = y : ϕ e sendo

t ∈ TEtΣ e m ∈ M tais que22

− y /∈ V (t) e y 6∈ V (Ξet), sendo Ξ = Frm(Abta1\AbttRya1 )

− se m ∈ Mrca1 entao AbttRy,ma1 6= ∅.

entao, por aplicacao da regra 2I com etiqueta t e marca m, obtem-se a EMFGΣ

-arvore a = a1 (t : 2ϕ, {m})

• Regra 3E: sendo a1, a2 duas EMFGΣ

-arvores tais que frm(νa1) = t : 3ϕ efrm(νa2) = s : ψ e sendo e y ∈ Et, m′, m′′ ∈ M tais que

− y /∈ V (t) e y /∈ V (s)

− y 6∈ V (Ξet), onde Ξ = Frm(Abta1\(AbttRya1 ∪Abty:ϕ

a1 ))

− restantes condicoes semelhantes as anteriores

entao, por aplicacao da regra 3E com formula s : ψ e marcas m′ e m′′, obtem-sea EM

FGΣ-arvore a =

⊔{a1, a2} (s : ψ, {m′,m′′})

Seguem-se agora as definicoes dos sistemas dedutivos nas quais se usam as notacoeshabituais.

Definicao 1.8.13 Sistemas dedutivos NDm , N 2

m, NXm , ND45

m e N T42m

• Os sistemas dedutivos NDm e ND45

m sao constituıdos pelas regras de inferencia(axioma) como indicado na tabela da Figura 1.4 sendo as regras nao referidasna Definicao 1.8.12 analogas as apresentadas anteriormente tendo em conta asetiquetas sao agora termos em TEt

ΣD.

22Recorde-se que, dado um termo t, V (t) e o conjunto das variaveis que ocorrem t e que estanocao se estende a conjuntos de termos

86

Logica Modal

• Os sistemas dedutivos N 2m e N T42

m sao constituıdos pelas regras de inferencia(axioma) como indicado na tabela da Figura 1.4 sendo as regras nao referidasna Definicao 1.8.12 analogas as apresentadas anteriormente tendo em conta asetiquetas sao agora termos em TEt

Σ2.

• O sistema dedutivo NXm e constituıdo pelas regras de inferencia como indi-

cado na tabela da Figura 1.4 sendo as regras nao referidas na Definicao 1.8.12analogas as apresentadas anteriormente tendo em conta as etiquetas sao agoratermos em TEt

ΣX.

A partir da definicao dos sistemas anteriores, a definicao de arvore de deducao emcada um deles segue a usual definicao indutiva tendo em conta que, por exemplo, emND

m e ND45m as formulas das arvores singulares (e consequentemente de todas as ou-

tras) sao formulas em FGΣD. Observacoes semelhantes se podem fazer sobre em N 2

m

e N T42m (relativamente a formulas em FGΣ2) e sobre NX

m (relativamente a formulasem FGΣX

). Todas as outras nocoes e notacoes relativas a deducoes introduzidas paraoutros sistemas se mantem para estes sistemas.

Termina-se esta seccao com um resultado que, a semelhanca das Proposicoes1.5.20 e 1.7.9, esta relacionado com as formulas relacionais que se podem derivar noambito dos sistemas dedutivos aqui apresentados.

Proposicao 1.8.14

• Sendo ξ ∈ FRΣD, Ξ ⊆ FGΣD

e N ∈ {NDm ,ND45

m } tem-se que Ξ `N ξ se e sose existe uma derivacao de ξ a partir de ΞR em N na qual nao sao utilizadasregras de inferencia modais.

• Sendo ξ ∈ FRΣ2 , Ξ ⊆ FGΣ2 e N ∈ {N 2m,N T42

m } tem-se que Ξ `N ξ se e sose existe uma derivacao de ξ a partir de ΞR em N na qual nao sao utilizadasregras de inferencia modais.

• Sendo ξ ∈ FRΣX, Ξ ⊆ FGΣX

tem-se que Ξ `NXm

ξ se e so se existe umaderivacao de ξ a partir de ΞR em NX

m na qual nao sao utilizadas regras deinferencia modais.

Prova: Semelhante a prova apresentada para a Proposicao 1.7.9.

87


1.8.3 Os sistemas NDm , N 2

m, NXm , ND45

m e N T42m em Isabelle

A representacao em Isabelle destas novas extensoes e semelhante a representacaodas anteriores com um cuidado adicional relacionado com as funcoes de Skolem.De facto, ha que declara-las como “constantes” significando isto que os sımbolos defuncao correspondentes sao fixos e nao variaveis esquema.

Por exemplo, o ficheiro KD.thy que descreve o sistema NDm , tem o seguinte

conteudo:

KD=K+

global

(* A func~ao de Skolem *) constsf:: tm => tm

rulesser "t Rel f(t)"end

Outras teorias sao definidas de forma semelhante:

• ao sistema NXm corresponde o ficheiro KX.thy:

KX=K+

global

(* A func~ao de Skolem *) constsg:: [tm,tm] => tm

rulesdns1 "s Rel t==> s Rel g(s,t)"dns2 "s Rel t==> g(s,t) Rel t"end

88

Logica Modal


K2=K+

global

(* A func~ao de Skolem *) constsh:: [tm,tm,tm] => tm

rulescnv1 "[|s Rel t; s Rel r|]==> t Rel h(s,t,r)"cnv2 "[|s Rel t; s Rel r|]==> r Rel h(s,t,r)"end

• ao sistema ND45m corresponde o ficheiro KD45.thy:

KD45=KD+K4+K5

• ao sistema N T42m corresponde o ficheiro KT42.thy:

KT42=KT+K4+K2

Exemplos de derivacoes

O primeiro exemplo corresponde a estabelecer o teorema x:([]P--><>P) do sistemaND

m . O primeiro passo da derivacao e a aplicacao da regra de introducao da im-plicacao.

use thy "KD";> Goal "x:([]P--><>P)";Level 0 (1 subgoal)x:[]P--><>P1. x:[]P--><>P

89


> br impI 1;Level 1 (1 subgoal)x:[]P--><>P1. x:[]P ==> x:<>P

O proximo passo consiste na aplicacao da regra de introducao do operador pos-sibilidade.

> br diaI 1;Level 2 (2 subgoals)x:[]P--><>P1. x:[]P ==> x Rel ?y12. x:[]P ==> ?y1:P

O ?y1 desconhecido e f(x) pelo que se estabelece o primeiro subobjectivo usandoresolucao com o axioma da serialidade:

> br ser 1;Level 3 (1 subgoal)x:[]P--><>P1. x:[]P ==> f(x):P

A derivacao prossegue usando a regra da eliminacao do operador necessidade:

> br boxE 1;Level 4 (2 subgoals)x:[]P--><>P1. x:[]P ==> ?x3:[]P2. x:[]P ==> ?x3 Rel f(x)

O primeiro subobjectivo estabelece-se usando a prova por hipotese. O subobjec-tivo restante estabelece-se usando resolucao com o axioma da serialidade.

> ba 1;Level 5 (1 subgoal)

90

Logica Modal

x:[]P--><>P1. x:[]P ==> x Rel f(x)

> br ser 1;Level 6x:[]P--><>PNo subgoals!

E facil generalizar o exemplo anterior de forma a estabelecer x:[]n P--><>n P,para qualquer n. A derivacao correspondente e construıda usando tacticais. Ilustra-se para n = 3:

> Goal "x:([][][]P--><><><>P)";Level 0 (1 subgoal)x:[][][]P--><><><>P1. x:[][][]P--><><><>P

> br impI 1;Level 1 (1 subgoal)x:[][][]P--><><><>P1. x:[][][]P ==> x:<><><>P

> by (REPEAT ((resolve tac[diaI] 1) THEN (resolve tac[ser] 1)) );Level 2 (1 subgoal)x:[][][]P--><><><>P1. x:[][][]P ==> f(f(f(x))):P

> by (REPEAT ((resolve tac[boxE] 1) THEN (resolve tac[ser] 2)));Level 3 (1 subgoal)x:[][][]P--><><><>P1. x:[][][]P ==> x:[][][]P

> ba 1;Level 4x:[][][]P--><><><>P

91

Correccao e completude

No subgoals!

Exercıcios

Seguem-se alguns exercıcios sobre estes novos sistemas modais. Sugere-se tambem aresolucao em Isabelle dos exercıcios da seccao 1.7.5.

1. Usando as teorias KD, KX, K2, KD45 e KT42 mostre que:

(a) `NDm

x : 3>(b) `N2

mx : (32A) → (23A)

(c) `NXm

x : (22A → 2A)

(d) `NXm

x : (2P ∧3Q) → 3(P ∧3Q)

(e) `NXm

x : (3A → 333A)

(f) `NT42m

x : ((32A) ∧ (32B) → 23(A ∧B))

(g) `ND45m

x : (32A ∧32B) → 32(A ∧B))

(h) `ND45m

x : 32P ⇔ 2P

(i) `ND45m

x : 23P ⇔ 3P

1.9 Correccao e completude do sistema dedutivo Nm esuas extensoes

Nesta seccao apresentam-se os resultados de correccao e completude sistema dedutivoNm e das suas extensoes descritas nas seccoes anteriores

1.9.1 Correccao do sistema dedutivo Nm

Nesta seccao mostra-se que o sistema dedutivo Nm e correcto provando que se umaformula generalizada e consequencia no sistema Nm de um conjunto de formulasgeneralizadas entao a formula em causa e consequencia semantica do conjunto deformulas. No que se segue e util o leitor ter presente algumas das nocoes e notacoesapresentadas na subseccao 1.5.2.1.

92

Logica Modal

Apos a prova de correccao aborda-se a questao, ja anteriormente referida, darelacao entre o sistema dedutivo Nm e as nocoes de consequencia semantica (local)e de validade em FMP .

Para provar a correccao do sistema Nm e, tal como no caso dos sistemas Np eNc, e necessario

− provar que todas as regras de inferencia sao correctas e

− provar que a conclusao de cada deducao d do sistema e consequencia semanticado conjunto das hipoteses abertas de d.

A nocao de correccao de regra de inferencia e naturalmente analoga a apresentadano caso do sistema Np (tendo em conta que estao envolvidas formulas modais gene-ralizadas).

Proposicao 1.9.1Todas as regras do sistema Nm sao correctas.

Prova: Ha que fazer a prova para cada uma das regras. Tal como nos sistemas an-teriores, deve-se (i) identificar qual a relacao entre as hipoteses abertas das arvoresenvolvidas e (ii) provar que a conclusao da arvore obtida por aplicacao da regra e con-sequencia semantica das suas hipoteses abertas, assumindo que a mesma propriedadee verificada por cada arvore a que se aplicou da regra.

Regra ∧Ed: Suponha-se que d foi construıda por aplicacao da regra ∧Ed a partirde d1, pelo que, sendo conc(d1) = x : ϕ1 ∧ ϕ2, tem-se que conc(d) = x : ϕ1. Nestecaso tem-se que Hd = Hd1 . Assumindo que Hd1 |= x : ϕ1 ∧ ϕ2 ha que mostrar queHd |= x : ϕ1. Considere-se uma estrutura de interpretacao modal IMI = (W,R, V )e ρ ∈ ATRIMI tal que IMI, ρ |= Hd. Entao IMI, ρ |= Hd1 e portanto IMI, ρ |= x :ϕ1 ∧ ϕ2. Sendo ρ(x) = w, tem-se que IMI, w |= ϕ1 ∧ ϕ2 e portanto IMI, w |= ϕ1.Consequentemente, IMI, ρ |= x : ϕ1. Conclui-se assim que Hd |= x : ϕ1.

Regra ⊥: Suponha-se que d foi obtida por aplicacao da regra ⊥ com formulax : ϕ (e marca m) a partir de d1, pelo que conc(d1) = y : ⊥ e conc(d) = x : ϕ.Neste caso tem-se que Hd1 ⊆ Hd ∪ {x : ¬ϕ}. Assumindo que Hd1 |= y : ⊥ ha quemostrar que Hd |= x : ϕ. Considere-se uma estrutura de interpretacao modal IMIe ρ ∈ ATRIMI tal que IMI, ρ |= Hd. Se IMI, ρ 6|= x : ϕ, entao IMI, ρ(x) 6|= ϕ, o quesignifica que IMI, ρ(x) |= ¬ϕ e portanto IMI, ρ |= x : ¬ϕ. Deste modo, IMI, ρ |= Hd1

93


e assim IMI, ρ |= y : ⊥. Chega-se asim a um absurdo e portanto, necessariamente,IMI, ρ |= x : ϕ. Conclui-se assim que Hd |= x : ϕ.

Regras →I, →E, ∨Id, ∨Ie e ∧Ee, ∧I, ∨E: Provas semelhantes ao caso anteriore as regras proposicionais correspondentes.

Regra 2E: Suponha-se que d foi obtida por aplicacao da regra 2E a partirde d1 e d2, pelo que, sendo conc(d1) = x : 2ϕ e conc(d2) = xRy, tem-se queconc(d) = y : ϕ. Neste caso Hd = Hd1 ∪ Hd2 . Assumindo que Hd1 |= x : 2ϕe Hd2 |= xRy ha que mostrar que Hd |= y : ϕ. Considere-se uma estrutura deinterpretacao modal IMI = (W,R, V ) e ρ ∈ ATRIMI tal que IMI, ρ |= Hd. EntaoIMI, ρ |= Hd1 e IMI, ρ |= Hd2 e portanto IMI, ρ |= x : 2ϕ e IMI, ρ |= xRy. Sendoρ(x) = w e ρ(y) = w′ tem-se que IMI, w |= 2ϕ e wRw′, pelo que, IMI,w′ |= ϕ.Consequentemente, IMI, ρ |= y : ϕ. Conclui-se assim que Hd |= y : ϕ.

Regra 2I: Suponha-se que d foi obtida por aplicacao da regra 2I com etiqueta x(e marca m) a partir de d1, pelo que, sendo conc(d1) = y : ϕ, tem-se que conc(d) = x :2ϕ. Neste caso Hd1 ⊆ Hd∪{xRy}. Assumindo que Hd1 |= y : ϕ ha que mostrar queHd |= x : 2ϕ. Considere-se uma estrutura de interpretacao modal IMI = (W,R, V ) eρ ∈ ATRIMI tal que IMI, ρ |= Hd. Seja ρ(x) = w.

Se nao existe w′ ∈ W tal que wRw′, entao, trivialmente, IMI, w |= 2ϕ e portantoIMI, ρ |= x : 2ϕ, concluindo-se, como se pretendia, que Hd |= x : 2ϕ.

Caso contrario, seja w′ ∈ W arbitrario tal que wRw′ e considere-se a atribuicaoρ[y := w′]. Dado que IMI, ρ |= Hd, entao IMI, ρ |= Hd1\{xRy}. Pelas condicoesda regra 2I, x 6= y e y nao ocorre nas hipoteses abertas de d1 distintas de xRye portanto IMI, ρ[y := w′] |= xRy e IMI, ρ[y := w′] |= Hd1\{xRy}. Deste modo,IMI, ρ[y := w′] |= Hd1 e portanto IMI, ρ[y := w′] |= y : ϕ, ou seja, IMI, w′ |= ϕ.Provou-se assim que qualquer w′ acessıvel a partir de w satisfaz ϕ o que permiteconcluir que IMI,w |= 2ϕ e portanto IMI, ρ |= x : 2ϕ. Conclui-se assim que queHd |= x : 2ϕ.

Regra 3I: Prova semelhante a apresentadada para a regra 2E.Regra 3E: Suponha-se que d foi obtida por aplicacao da regra 3E com etiqueta

z e formula ψ a partir de d1 e d2, pelo que, sendo conc(d1) = x : 3ϕ e conc(d2) =z : ψ tem-se que conc(d) = z : ψ. Neste caso tem-se que Hd1 ⊆ Hd e algum dosseguintes casos: (i) Hd2 = Hd, (ii) Hd2\{y : ϕ} ⊆ Hd, (iii) Hd2\{xRy} ⊆ Hd ou (iv)Hd2\{y : ϕ, xRy} ⊆ Hd. Assumindo que Hd1 |= x : 3ϕ e Hd2 |= z : ψ ha que mostrarque Hd |= z : ψ. Considere-se a estrutura de interpretacao modal IMI = (W,R, V ) eρ ∈ ATRIMI tal que IMI, ρ |= Hd.

94

Logica Modal

Tendo em conta as relacoes entre os conjuntos Hd e Hd1 tem-se que IMI, ρ |= Hd1

e portanto IMI, ρ |= x : 3ϕ. Sendo ρ(x) = w, existe w′ ∈ W tal que wRw′ e IMI, w′ |=ϕ. Considere-se a atribuicao ρ[y := w′]. Pelas condicoes da regra tem-se que x 6= ye que y nao ocorre nas hipoteses abertas de d1 distintas de xRy e de y : ϕ, peloque IMI, ρ[y := w′] |= Hd1\{xRy, y : ϕ}. Tem-se ainda que IMI, ρ[y := w′] |= xRye IMI, ρ[y := w′] |= y : ϕ. Tendo em conta as relacoes entre os conjuntos Hd eHd2 , conclui-se que IMI, ρ[y := w′] |= Hd2 e portanto IMI, ρ[y := w′] |= z : ψ. Pelascondicoes da regra tem-se que z 6= y, pelo que IMI, ρ |= z : ψ. Conclui-se assim queHd |= z : ψ.

Proposicao 1.9.2Para cada deducao d ∈ DNm tem-se que Hd |= conc(d).

Prova: Semelhante a apresentada no caso do sistema Np.

Apresenta-se agora o enunciado e a prova do resultado de correccao de Nm.

Proposicao 1.9.3O sistema Nm e correcto, ou seja, sendo Ξ ⊆ FG e ξ ∈ FG tem-se que

se Ξ `Nm ξ entao Ξ |= ξ.

Prova: Pretende-se mostrar que se Ξ `Nm ξ entao para qualquer estrutura deinterpretacao modal IMI e ρ ∈ ATRIMI , se IMI, ρ |= Ξ entao IMI, ρ |= ξ.

Suponha-se que entao que Ξ `Nm ξ e sejam IMI e ρ ∈ ATRIMI tais que IMI, ρ |= Ξ.Existe entao d ∈ DNm tal que conc(d) = ξ e Hd ⊆ Ξ. Pela Proposicao 1.9.2,Hd |= conc(d). Dado que IMI, ρ |= Ξ entao IMI, ρ |= Hd e portanto IMI, ρ |= ξ.

A Proposicao 1.9.4, cuja prova tem por base a Proposicao 1.5.14, estabelece arelacao entre derivacoes no sistema dedutivo Nm e consequencia semantica (local)entre formulas modais (isto e, entre formulas de FMP ) e resultados de validade deformulas modais.

Proposicao 1.9.4Sejam Φ ⊆ FMP , ϕ ∈ FMP e x ∈ Et. Tem-se que se {x : ϕ′ : ϕ′ ∈ Φ} `Nm x : ϕentao Φ |= ϕ. Como caso particular tem-se ainda que se `Nm x : ϕ entao |= ϕ.

Prova: Se {x : ϕ′ : ϕ′ ∈ Φ} `Nm x : ϕ entao, pela correccao do sistema Nm,{x : ϕ′ : ϕ′ ∈ Φ} |= x : ϕ. Pela Proposicao 1.5.14, Φ |= ϕ. O caso particular referidoresulta de tomar Φ = ∅.

95


Exemplo 1.9.5 Tendo em conta as derivacoes apresentadas nos Exemplos 1.5.2 e1.5.5 tem-se que

• {x : 2(ψ1 → ψ2), x : 2ψ1} `Nm x : 2ψ2

• {x : 2(ψ1 → ψ2), x : 3ψ1} `Nm x : 3ψ2

e, portanto, pela Proposicao 1.9.4

• {2(ψ1 → ψ2), 2ψ1} |= 2ψ2

• {2(ψ1 → ψ2), 3ψ1} |= 3ψ2

A relacao entre o sistema dedutivo Nm e o sistema modal K e clara: se x : ϕ eteorema de Nm entao ϕ e uma formula do sistema modal K. Diz-se entao que Nm

e correcto face ao sistema modal K.

Proposicao 1.9.6 Correccao do sistema Nm face ao sist. modal K

Se x : ϕ ∈ FE e x : ϕ e teorema de Nm entao ϕ pertence ao sistema K.

1.9.2 Correccao dos sistemas N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m

Nesta seccao mostra-se que os sistemas dedutivos N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m

sao correctos face a certas classes de enquadramentos, provando que se uma formulageneralizada e consequencia de um conjunto de formulas generalizadas num destessistemas entao a formula em causa e consequencia semantica do conjunto de formulasnuma certa classe de enquadramentos. Apos a prova de correccao provam-se resul-tados relacionados com relacao entre estes sistemas dedutivos e (i) as nocoes deconsequencia semantica (local) e de validade em FMP (em certas classes de enqua-dramentos), (ii) os sistemas modais KT , KB, K4, K5, KT4 e KTB4.

Como nos casos anteriores, a prova de correccao para cada um dos sistema passapor provar que cada uma das regras do sistema e correcta. No entanto, neste caso,como o objectivo e provar que cada sistema e correcto face a uma certa classe deenquadramentos, e necessario introduzir a nocao de correccao de uma regra face auma certa classe de enquadramentos.

96

Logica Modal

Definicao 1.9.7 Correccao de regras de inferencia face a uma classe deenquadramentosUma regra de inferencia modal ou relacional diz-se correcta face a uma classe E deenquadramentos se, sendo nr a aridade da regra, se tem que

se Hdi |=E conc(di) para cada 1 ≤ i ≤ nr entao Hd |=E conc(d)

sempre que d seja uma arvore obtida por aplicacao da regra as arvores d1, . . . , dnr .

No que se segue Eref , Esim, Etrn, Eeuc representam, como e usual, as classes deenquadramentos reflexivos, simetricos, transitivos e euclideanos, respectivamente.

Proposicao 1.9.8

1. As regras de inferencia de N Tm sao correctas face a Eref .

2. As regras de inferencia de NBm sao correctas face a Esim.

3. As regras de inferencia de N 4m sao correctas face a Etrn.

4. As regras de inferencia de N 5m sao correctas face a Eeuc.

5. As regras de inferencia de N T4m sao correctas face a Eref ∩ Etrn.

6. As regras de inferencia de N TB4m sao correctas face a Eref ∩ Esim ∩ Etrn.

Prova: Note-se que, no contexto desta proposicao, nao se considera o axioma refcomo regra de inferencia.

1. As regras de inferencia do sistema N Tm sao exactamente as regras do sistema

Nm. A prova de que estas regras sao correctas face a classe Eref e identica a provaapresentada na Proposicao 1.9.1.

2. A prova relativa as regras de inferencia modais de NBm e identica a apresentada

na Proposicao 1.9.1.Regra sim: Suponha-se que d foi construıda por aplicacao da regra sim a partir

de d1, pelo que, sendo conc(d1) = xRy tem-se que conc(d) = yRx. Neste casoHd = Hd1 . Assumindo que Hd1 |=Esim xRy ha que mostrar que Hd |=Esim yRx.Considere-se a estrutura de interpretacao modal IMI = (W,R, V ), onde R e umarelacao simetica, e ρ ∈ ATRIMI tal que IMI, ρ |= Hd. Entao IMI, ρ |= Hd1 e portanto

97


IMI, ρ |= xRy. Sendo ρ(x) = w e ρ(y) = w′, tem-se que wRw′ e portanto, como R esimetrica, w′Rw. Assim, IMI, ρ |= yRx. Conclui-se assim que Hd |=Esim yRx.

3. A unica situacao nova e o caso da regra trn. A prova e semelhante a apre-sentada em 2, tendo em conta que e uma regra de inferencia binaria e a relacao deacessibilidade subjacente e transitiva.

4. A unica situacao nova e o caso da regra euc. A prova e semelhante a apresen-tada em 2, tendo em conta que a relacao de acessibilidade subjacente e euclideana.

5. Semelhante a 3.6. As unicas situacoes novas sao os casos da regra sim e da regra trn que ja foram

referidos anteriormente.

Proposicao 1.9.9

1. Hd |=Erefconc(d) para cada d ∈ DNT

m.

2. Hd |=Esim conc(d) para cada d ∈ DNBm

.

3. Hd |=Etrn conc(d) para cada d ∈ DN 4m

.

4. Hd |=Eeuc conc(d) para cada d ∈ DN 5m

.

5. Hd |=Eref∩Etrn conc(d) para cada d ∈ DNT4m

.

6. Hd |=Eref∩Etrn∩Esim conc(d) para cada d ∈ DNTB4m

.

Prova: Nos varios casos, a prova utiliza o princıpio de inducao aplicado ao conjuntodas respectivas arvores de deducao. A prova da base e igual a apresentada para Np

no caso de todos os sistemas que nao incluam o axioma ref. No caso dos sistemasque o incluam ter-se-a de provar que a arvore singular correspondente verifica apropriedade pretendida. A prova do passo e tambem identica a apresentada para Np

recorrendo aqui a Proposicao 1.9.8. Segue-se a prova relativa ao axioma ref.Sendo d uma arvore singular correspondente a uma instancia do axioma ref, ha

que mostrar que Hd |=Erefconc(d). Neste caso, Hd = ∅ e conc(d) = xRx. Seja

IMI = (W,R, V ) uma estrutura de interpretacao tal que R e reflexiva e seja ρ ∈ATRIMI . Tem-se entao que ρ(x)Rρ(x) e portanto, IMI, ρ |= xRx. Consequentemente,Hd |=Eref

xRx.

Segue-se agora o enunciado e prova da correccao dos sistemas N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m,N T4

m e N TB4m relativamente a certas classes de enquadramentos.

98

Logica Modal

Proposicao 1.9.10Sejam Ξ ⊆ FG e ξ ∈ FG.

1. Se Ξ `NTm

ξ entao Ξ |=Erefξ.

2. Se Ξ `NBm

ξ entao Ξ |=Esim ξ.

3. Se Ξ `N 4m

ξ entao Ξ |=Etrn ξ.

4. Se Ξ `N 5m

ξ entao Ξ |=Eeuc ξ.

5. Se Ξ `NT4m

ξ entao Ξ |=Eref∩Etrn ξ.

6. Se Ξ `NTB4m

ξ entao Ξ |=Eref∩Etrn∩Esim ξ.

Prova: As provas sao identicas a apresentada no caso da Proposicao 1.9.3, tendoagora em conta as classes de enquadramentos correspondentes.

O resultado anterior mostra que os sistemas dedutivos N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e

N TB4m sao correctos relativamente as classes de enquadramentos reflexivos, simetricos,

transitivos, euclideanos, reflexivos e transitivos e reflexivos, simetricos e transitivos,respectivamente.

Estes sistemas dedutivos podem ser utilizados para estabelecer resultados re-lacionados com consequencia semantica local entre formulas modais (isto e, entreformulas de FMP ) nas classes de enquadramentos relativamente as quais sao correc-tos e resultados de validade de formulas modais nessas classes de enquadramentos.A Proposicao 1.9.11 estabelece o resultado pretendido.

Proposicao 1.9.11Sejam Φ ⊆ FMP , ϕ ∈ FMP , x ∈ Et e x : Φ = {x : ϕ′ : ϕ′ ∈ Φ}.

1. Se x : Φ `NTm

x : ϕ entao Φ |=Erefϕ.

2. Se x : Φ `NBm

x : ϕ entao Φ |=Esim ϕ.

3. Se x : Φ `N 4m

x : ϕ entao Φ |=Etrn ϕ.

4. Se x : Φ `N 5m

x : ϕ entao Φ |=Eeuc ϕ.

5. Se x : Φ `NT4m

x : ϕ entao Φ |=Eref∩Etrn ϕ.

99


6. Se x : Φ `NTB4m

x : ϕ entao Φ |=Eref∩Etrn∩Esim ϕ.

Prova: Identica a da Proposicao 1.9.4.

Corolario 1.9.12Sejam ϕ ∈ FMP e x ∈ Et.

1. Se `NTm

x : ϕ entao |=Erefϕ.

2. Se `NBm

x : ϕ entao |=Esim ϕ.

3. Se `N 4m

x : ϕ entao |=Etrn ϕ.

4. Se `N 5m

x : ϕ entao |=Eeuc ϕ.

5. Se `NT4m

x : ϕ entao |=Eref∩Etrn ϕ.

6. Se `NTB4m

x : ϕ entao |=Eref∩Etrn∩Esim ϕ.

As relacoes, ja anteriormente referida, entre os sistemas dedutivos N Tm, NB

m , N 4m,

N 5m, N T4

m e N TB4m e os sistemas modais KT , KB, K4, K5, KT4 e KTB4, res-

pectivamente, podem agora ser estabelecidas com rigor. Tendo em conta que, pelaProposicao 1.4.17, os sistemas modais KT , KB, K4, K5, KT4 e KTB4 sao cons-tituıdo pelas formulas validas na classe dos enquadramentos reflexivos, simetricos,transitivos, euclideanos, simetricos e transitivos, reflexivos, simetricos e transitivos,respectivamente, tem-se que se x : ϕ e teorema de um destes sistemas dedutivosentao ϕ e uma formula do sistema modal correspondente. Da Proposicao 1.4.17 edo Corolario 1.9.12, pode chegar-se aos resultados enunciados na Proposicao 1.9.13.Tal como ja havia sido referido, para cada sistema dedutivo, o resultado em causadesigna-se correccao do sistema dedutivo face ao sistema modal indicado.

Proposicao 1.9.13 Correccao dos sistemas dedutivos N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m,N T4

m e N TB4m face a certos sistemas modais

Sejam x ∈ Et e ϕ ∈ FMP .

1. Se x : ϕ e teorema de N Tm entao ϕ pertence ao sistema KT .

2. Se x : ϕ e teorema de NBm entao ϕ pertence ao sistema KB.

3. Se x : ϕ e teorema de N 4m entao ϕ pertence ao sistema K4.

100

Logica Modal


5. Se x : ϕ e teorema de N T4m entao ϕ pertence ao sistema KT4.

6. Se x : ϕ e teorema de N TB4m entao ϕ pertence ao sistema KTB4.

Conclui-se assim que os sistemas dedutivos N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m saocorrectos face aos sistemas modais KT , KB, K4, K5, KT4 e KTB4, respectiva-mente.

1.9.3 Correccao dos sistemas dedutivos NDm , N 2

m, NXm , ND45

m e N T42m

Nesta seccao mostra-se que os sistemas dedutivos NDm , N 2

m, NXm , ND45

m e N T42m sao

correctos face a certas classes de enquadramentos.A semelhanca das extensoes anteriores, apos a prova de correccao provam-se re-

sultados relacionados com relacao entre estes sistemas dedutivos e (i) as nocoes deconsequencia semantica (local) e de validade em FMP (em certas classes de enqua-dramentos), (ii) os sistemas modais KD, K2, KX, KD45, KT42.

Como nos casos anteriores, a prova de correccao para cada um dos sistema passapor provar que cada uma das regras do sistema e correcta face a uma certa classede enquadramentos. Note-se que a nocao de correccao das regras e, naturalmente,semelhante a apresentada anteriormente. No entanto ha que ter em conta que exis-tem regras que, por definicao, envolvem apenas formulas FGΣ para uma particularassinatura Σ. A regra cnv1, por exemplo, apenas esta definida quando se trabalha nocontexto de FGΣ2 . Assim, na nocao de correccao de cnv1, a consequencia semanticaenvolve apenas, como e natural, estruturas de interpretacao modal generalizadassobre Σ2.

No que se segue Eser, Edns, Ecnv, Eref , Etrn e Eeuc representam, como e usual,as classes de enquadramentos seriais, densos, convergentes, reflexivos, transitivos eeuclideanos, respectivamente.

Proposicao 1.9.14

1. As regras de inferencia de NDm sao correctas face a Eser.

2. As regras de inferencia de N 2m sao correctas face a Ecnv.

3. As regras de inferencia de NXm sao correctas face a Edns.

101


4. As regras de inferencia de ND45m sao correctas face a Eser ∩ Etrn ∩ Eeuc.

5. As regras de inferencia de N T42m sao correctas face a Eref ∩ Etrn ∩ Ecnv.

Prova: Note-se que, no contexto desta proposicao, nao se consideram os axiomasref e ser como regras de inferencia.

1. As regras de inferencia do sistema NDm sao semelhantes as regras do sistema

Nm. A prova de que estas regras sao correctas face a classe Eser e identica a provaapresentada na Proposicao 1.9.1.

2. A prova relativa as regras de inferencia modais de N 2m e identica a apresen-

tada na Proposicao 1.9.1. Note-se que neste caso as formulas envolvidas sao sempreformulas em FGΣ2 .

Regra cnv1: Suponha-se que d foi construıda por aplicacao da regra cnv1 a partirde d1 e d2, pelo que, sendo conc(d1) = sRt e conc(d2) = sRr, tem-se que conc(d) =tRh(s, t, r). Neste caso Hd = Hd1 ∪Hd2 . Assumindo que Hd1 |=Ecnv sRt e Hd2 |=Ecnv

sRr ha que mostrar que Hd |=Ecnv tRh(s, t, r). Considere-se uma estrutura de inter-pretacao modal generalizada IMIg = (W,R, V, I) sobre Σ2, onde R e uma relacao con-vergente, e ρ ∈ ATRIMIg tal que IMIg, ρ |= Hd. Entao IMIg, ρ |= Hdi , i∈{1, 2}, e por-tanto IMIg, ρ |= sRt e IMIg, ρ |= sRu. Sendo [[s]]ρIMIg

= w1, [[t]]ρIMIg= w2 e [[u]]ρIMIg

= w3,tem-se que w1Rw2 e w1Rw3. Pela Definicao 1.8.6, I(h)(w1, w2, w3) = w tal que, emparticular, w2Rw. Assim, dado que [[h(s, t, r)]]ρIMIg

= I(h)([[s]]ρIMIg, [[t]]ρIMIg

, [[r]]ρIMIg) = w,

tem-se entao que IMIg, ρ |= tRh(s, t, r). Conclui-se assim que Hd |=Ecnv tRh(s, t, r).Regra cnv2: Semelhante ao caso da regra cnv1.3. As unicas situacoes novas sao o caso das regras dns1 e dns2. As provas sao

semelhantes as apresentadas em 2, tendo em conta que as formulas envolvidas saosempre formulas em FGΣX

e a relacao de acessibilidade subjacente e densa.4. As provas relativas as regras trn e euc sao semelhantes as referidas na Pro-

posicao 1.9.8.5. Semelhante aos casos anteriores.

Proposicao 1.9.15

1. Hd |=Eser conc(d) para cada d ∈ DNDm

.

2. Hd |=Ecnv conc(d) para cada d ∈ DN 2m

.

3. Hd |=Ednsconc(d) para cada d ∈ DNX

m.

102

Logica Modal

4. Hd |=Eser∩Etrn∩Eeuc conc(d) para cada d ∈ DND45m

.

5. Hd |=Eref∩Etrn∩Ecnv conc(d) para cada d ∈ DNT42m

.

Prova: A prova e semelhante a apresentada para a Proposicao 1.9.9. A unicadiferenca reside no casos dos sistemas que incluam o axioma ser para os quais haque provar que a arvore singular correspondente verifica a propriedade pretendida.Note-se que nos casos 1 e 4 se trabalha com formulas em FGΣD

, nos casos 2 e 4 setrabalha com formulas em FGΣ2 e no caso 3 se trabalha com formulas em FGΣX

.Consequentemente, a consequencia semantica envolve, para cada caso, estruturas deinterpretacao apropriadas. Segue-se a prova relativa ao axioma ser.

Sendo d uma arvore singular correspondente a uma instancia do axioma ser, haque mostrar que Hd |=Eser conc(d). Neste caso, Hd = ∅ e conc(d) = tRf(t). SejaIMIg = (W,R, V, I) uma estrutura de interpretacao modal generalizada sobre ΣD

tal que R e serial e seja ρ ∈ ATRIMIg . Sendo [[t]]ρIMIg= w, pela Definicao 1.8.6,

I(f)(w) = w′ tal que wRw′. Assim, dado que [[f(t)]]ρIMIg= I(f)([[t]]ρIMIg

) = w′, tem-seentao que IMIg, ρ |= tRf(t).

Proposicao 1.9.16Sejam Ξ ⊆ FGΣ e ξ ∈ FGΣ.

1. Se Σ e ΣD

• se Ξ `NDm

ξ entao Ξ |=Eser ξ;

• se Ξ `ND45m

ξ entao Ξ |=Eser∩Etrn∩Eeuc ξ.

2. Se Σ e Σ2

• se Ξ `N 2m

ξ entao Ξ |=Ecnv ξ;

• se Ξ `NT42m

ξ entao Ξ |=Eref∩Etrn∩Ecnv ξ.

3. Se Σ e ΣX e Ξ `NXm

ξ entao Ξ |=Ednsξ.

Prova: As provas sao identicas a apresentada no caso da Proposicao 1.9.3, tendoagora em conta as classes de enquadramentos correspondentes.

A semelhanca das extensoes anteriores, estes sistemas dedutivos podem ser uti-lizados para estabelecer resultados relacionados com consequencia semantica local

103


entre formulas modais nas classes de enquadramentos relativamente as quais saocorrectos (e resultados de validade de formulas modais nessas classes de enquadra-mentos). A Proposicao 1.9.17 estabelece o resultado pretendido.

Proposicao 1.9.17Sejam Φ ⊆ FMP , ϕ ∈ FMP , x ∈ Et e x : Φ = {x : ϕ′ : ϕ′ ∈ Φ}.

1. Se x : Φ `NDm

x : ϕ entao Φ |=Eser ϕ.

2. Se x : Φ `N 2m

x : ϕ entao Φ |=Ecnv ϕ.

3. Se x : Φ `NXm

x : ϕ entao Φ |=Ednsϕ.

4. Se x : Φ `ND45m

x : ϕ entao Φ |=Eser∩Etrn∩Eeuc ϕ.

5. Se x : Φ `NT42m

x : ϕ entao Φ |=Eref∩Etrn∩Ecnv ϕ.

Prova: Identica a da Proposicao 1.9.4.

Corolario 1.9.18Sejam ϕ ∈ FMP e x ∈ Et.

1. Se `NDm

x : ϕ entao |=Eser ϕ.

2. Se `N 2m

x : ϕ entao |=Ecnv ϕ.

3. Se `NXm

x : ϕ entao |=Ednsϕ.

4. Se `ND45m

x : ϕ entao |=Eser∩Etrn∩Eeuc ϕ.

5. Se `NT42m

x : ϕ entao |=Eref∩Etrn∩Ecnv ϕ.

As relacoes, ja anteriormente referidas, entre os sistemas dedutivosNDm , N 2

m, NXm ,

ND45m e N T42

m e os sistemas modais KD, K2, KX, KD45 e KT42, respectivamente,podem agora ser estabelecidas.

Proposicao 1.9.19 Correccao dos sistemas dedutivos NDm , N 2

m, NXm , ND45

m

e N T42m face a certos sistemas modais

Sejam x ∈ Et e ϕ ∈ FMP .

1. Se x : ϕ e teorema de NDm entao ϕ pertence ao sistema KD.

104

Logica Modal


3. Se x : ϕ e teorema de NXm entao ϕ pertence ao sistema KX.

4. Se x : ϕ e teorema de ND45m entao ϕ pertence ao sistema KD45.

5. Se x : ϕ e teorema de N T42m entao ϕ pertence ao sistema KT42.

Conclui-se assim que os sistemas dedutivos NDm , N 2

m, NXm , ND45

m e N T42m sao

correctos face aos sistemas modais KD, K2, KX, KD45 e KT42, respectivamente.

1.9.4 Completude do sistema dedutivo Nm

Nesta seccao provam-se resultados de completude de uma restricao do sistema Nm

(que nao afecta a expressividade da logica).Tal como nos casos anteriores, a prova de resultados de completude e mais tra-

balhosa do que a prova da correccao e tambem aqui, para simplificar a exposicao,assume-se que apenas se manipulam formulas que nao incluam os conectivos ∧ e ∨nem o operador modal 3 (e portanto so sao relevantes as regras →I, →E e ⊥, 2I e2E). Como se sabe, isto nao constitui uma restricao importante dado que os outrosconectivos se podem definir como abreviatura a partir dos aqui considerados23. As-sim sendo, os resultados de completude aqui apresentados sao relativos a restricaodo sistema Nm designada N ′

m.

Os resultados de completude que aqui se apresentam sao os seguintes:

(i) se ∆ ⊆ FR e xRy ∈ FR tem-se que se ∆ |= xRy entao ∆ `N ′m

xRy

(ii) se Ξ ⊆ FG e x : ϕ ∈ FE tem-se que se Ξ |= x : ϕ entao Ξ `N ′m

x : ϕ

assumindo, naturalmente, que as formulas envolvidas verificam as restricoes acimareferidas. Resultados semelhantes serao apresentados para as varias extensoes dosistema Nm que se descrevem nas seccoes seguintes.

233ϕabv¬(2(¬ϕ))

105


Notacao 1.9.20 No que se segue, e a semelhanca do que acontecia em situacoessemelhantes anteriores, FM′

P , FG′ e FE′, representam conjuntos definidos como FMP ,FG e FE, respectivamente, mas nao envolvendo os conectivos ∧, ∨ e o operador 3.Assume-se fixado um certo conjunto (numeravel) M de marcas.

Definicao 1.9.21 Sistema N ′m

O sistema dedutivo N ′m e constituıdo pelas regras de inferencia → I, →E, 2I,

2E e ⊥ definidas como na Definicao 1.5.15 mas considerando apenas EMFG′-arvores.

Observacao 1.9.22 Todas as definicoes e notacoes relativas ao sistema de deducaonatural Nm apresentadas anteriormente podem como e natural ser adaptadas parao caso do sistema N ′

m.

Inicia-se agora a prova dos resultados que conduzem a prova dos resultados decompletude do sistema N ′

m. A prova dos resultados de completude referidos e seme-lhante a prova desenvolvida para o sistema N ′

p. Tem de novo por base

− as nocoes de conjunto (de formulas) coerente e de conjunto (de formulas) coe-rente maximal (Definicao 1.9.23)

− o facto de qualquer conjunto coerente estar contido num conjunto coerentemaximal (Proposicao 1.9.25) e

− o facto de, para cada conjunto coerente maximal, existir uma modelo quesatisfaz todas as formulas do conjunto com uma dada atribuicao (Corolario1.9.29).

Definicao 1.9.23 Conjunto coerente e conjunto coerente maximalSendo Ξ ⊆ FG′

• Ξ diz-se coerente se, para cada x ∈ Et, Ξ 6`N ′m

x : ⊥; Ξ diz-se incoerente se naoe coerente;

• Ξ diz-se coerente maximal se se verificam as condicoes seguintes

– Ξ e coerente

– para cada x : ϕ ∈ FE′ tem-se que x : ϕ ∈ Ξ ou x : ¬ϕ ∈ Ξ.

106

Logica Modal

Proposicao 1.9.24

1. Se Ξ ⊆ FG′ e coerente entao nao existe x : ϕ ∈ FE′ tal que {x : ϕ, x : ¬ϕ} ⊆ Ξ.

2. Se Ξ ⊆ FG′ e coerente entao, para cada x : ϕ ∈ FE′, tem-se que Ξ ∪ {x : ϕ} ecoerente ou Ξ ∪ {x : ¬ϕ} e coerente.

Prova: 1. Semelhante a apresentada no caso da Proposicao ??.2. Semelhante a apresentada no caso da Proposicao ?? (tendo agora em conta a

Proposicao 1.5.19).

Proposicao 1.9.25Seja Ξ ⊆ FG′ um conjunto coerente. Seja Et = Et∪Etaux onde Etaux e um conjuntonumeravel e disjunto de Et e sejam FG′ e FE′ ⊆ FG′, respectivamente, o conjuntodas formulas modais generalizadas e o conjunto das formulas modais etiquetadassobre P e Et. Considere-se uma enumeracao ξ0, ξ1, ξ2, . . . de FE′ e considerem-se osconjuntos Ξ0, Ξ1, Ξ2, . . . construıdos do seguinte modo:

(i) Ξ0 = Ξ

(ii) para cada i ≥ 0

– se Ξi ∪ {ξi} e incoerente entao Ξi+1 = Ξi

– se Ξi ∪ {ξi} e coerente

- se ξi nao e da forma x : ¬2ϕ entao Ξi+1 = Ξi ∪ {ξi}- se ξi = x : ¬2ϕ entao Ξi+1 = Ξi∪{x : ¬2ϕ, u : ¬ϕ, xRu} para algum

u ∈ Etaux tal que u /∈ (Ξi)et ∪ {x}.Tem-se que o conjunto Ξ? =

⋃i≥0 Ξi e coerente maximal.

Prova: Note-se que o conjunto FE′ e numeravel (a prova e semelhante a referida naProposicao ??) e portanto e possıvel considerar uma sua enumeracao.

Prova-se, por inducao, que Ξi e coerente para cada i ≥ 0.Base: Ξ0(= Ξ) e coerente, por hipotese.Passo: seja i ≥ 0 e assuma-se Ξi coerente. No caso em que Ξi ∪ {ξi} e incoerente

ou no caso em que Ξi ∪ {ξi} e coerente e ξi nao e do tipo x : ¬2ϕ tem-se, porconstrucao, que Ξi+1 e coerente. Considere-se agora o caso em que Ξi∪{ξi} e coerentee ξi = x : ¬2ϕ. Suponha-se, por absurdo, que Ξi+1 = Ξi ∪ {x : ¬2ϕ, u : ¬ϕ, xRu}(onde u verifica as condicoes enunciadas) nao e coerente. Existe entao uma deducao

107


Dy : ⊥

para algum y ∈ Et na qual as hipoteses abertas de D estao contidas em Ξi+1 e, semperda de generalidade, se pode considerar que hipoteses abertas relativas a formulau : ¬ϕ tem todas a mesma marca, o mesmo acontecendo no caso da formula xRu.Pode assim construir-se a deducao

[u : ¬ϕ]m′

[xRu]m′′

Dy : ⊥

—————– ⊥,m′

u : ϕ—————– 2I,m′′

x : 2ϕ x : ¬2ϕ m′′′

——————————— →Ex : ⊥

que permite concluir que Ξi ∪ {x : ¬2ϕ} `N ′m

x : ⊥ (note-se que a aplicacao daregra 2I e correcta, pois u verfica as condicoes de aplicacao da regra). Deste modoΞi∪{x : ¬2ϕ} nao e coerente, o que contradiz a assumpcao inicial. Conclui-se assimque Ξi+1 e coerente.

Finalmente, a prova de que Ξ? e coerente maximal prossegue agora de modosemelhante ao apresentado na prova da Proposicao ??.

Proposicao 1.9.26Seja Ξ ⊆ FG′ um conjunto coerente e seja Ξ? um conjunto coerente maximal cons-truıdo a partir de Ξ como na Proposicao 1.9.25. Sendo ϕ,ϕ1, ϕ2 ∈ FM′

P e x ∈ Etentao

(i) Ξ? `N ′m

x : ϕ se e so se x : ϕ ∈ Ξ?;

(ii) x : ϕ1 → ϕ2 ∈ Ξ? se e so se se x : ϕ1 ∈ Ξ? entao x : ϕ2 ∈ Ξ?;

(iii) x : 2ϕ ∈ Ξ? se e so se, para cada u ∈ Et, se xRu ∈ Ξ? entao u : ϕ ∈ Ξ?.

Prova: (i) e (ii) Provas semelhantes as apresentadas na prova da Proposicao ??.(iii) Suponha-se, em primeiro lugar, que x : 2ϕ ∈ Ξ?. Seja u ∈ Et e assuma-se

que xRu ∈ Ξ?. Ha que mostrar que u : ϕ ∈ Ξ?. A deducao

108

Logica Modal

x : 2ϕ m′xRu m′′

————————————- 2Eu : ϕ

permite concluir que Ξ? `N ′m

u : ϕ. Por (i), u : ϕ ∈ Ξ?.Suponha-se agora que, para cada u ∈ Et, se xRu ∈ Ξ? entao u : ϕ ∈ Ξ?. Ha

que mostrar que x : 2ϕ ∈ Ξ?. Suponha-se, por absurdo, que x : 2ϕ /∈ Ξ?. ComoΞ? e coerente maximal, x : ¬2ϕ ∈ Ξ?. Tem-se ainda que existe j ∈ IN0 tal quex : ¬2ϕ = ξj onde ξj e um dos elementos da enumeracao de FE′ considerada naProposicao 1.9.25. Considerando a sucessao de conjuntos Ξ0, Ξ1, . . . construıda nareferida Proposicao, tem-se que Ξj ∪{ξj} e necessariamente coerente (caso contrario,dado que Ξj ∪ {ξj} ⊆ Ξ?, Ξ? nao seria coerente) e portanto, tendo em conta, aconstrucao de Ξj+1, existe y ∈ Et tal que xRy ∈ Ξj+1 e y : ¬ϕ ∈ Ξj+1. Porconstrucao de Ξ?, xRy ∈ Ξ? e y : ¬ϕ ∈ Ξ?. Mas, pela hipotese acima, se xRy ∈ Ξ?

entao y : ϕ ∈ Ξ?. Tem-se entao que y : ϕ ∈ Ξ? e y : ¬ϕ ∈ Ξ? o que, pela Proposicao1.9.24, significa que Ξ? nao e coerente. Chega-se assim a uma contradicao, o quesignifica que x : 2ϕ ∈ Ξ? como se pretendia.

Definicao 1.9.27 Estrutura de interpretacao modal canonicaSeja Ξ ⊆ FG′ um conjunto coerente e seja Ξ? um conjunto coerente maximal

construıdo a partir de Ξ como na Proposicao 1.9.25. A estrutura de interpretacaomodal canonica induzida por Ξ? designa-se IMIΞ? e e definida do seguinte modo:IMIΞ? = (W,R, V ) onde

• W = (Ξ?)et

• para cada x, y ∈ W , xRy se xRy ∈ Ξ?;

• para cada p ∈ P , V (p) = {x ∈ W : x : p ∈ Ξ?}.

Proposicao 1.9.28Seja Ξ ⊆ FG′ um conjunto coerente e seja Ξ? um conjunto coerente maximal cons-truıdo a partir de Ξ como na Proposicao 1.9.25. Seja ρ ∈ ATREt

IMIΞ?tal que ρ(x) = x

para cada x ∈ W . Entao, para cada ϕ ∈ FM′P e x, y ∈ Et

(i) xRy ∈ Ξ? se e so se IMIΞ? , ρ |= xRy;

(ii) x : ϕ ∈ Ξ? se e so se IMIΞ? , ρ |= x : ϕ.

109


Prova: Seja IMIΞ? = (W,R, V )(i) Supondo xRy ∈ Ξ?, por definicao de IMIΞ? , tem-se que xRy e x, y ∈ W . Tendo

em conta a definicao de ρ, ρ(x)Rρ(y) e portanto IMIΞ? , ρ |= xRy. Suponha-se agoraque IMIΞ? , ρ |= xRy. Isto significa que ρ(x)Rρ(y), o que pela definicao de ρ, permitedizer que xRy. Pela definicao de IMIΞ? conclui-se que xRy ∈ Ξ?.

(ii) A prova faz-se por inducao na complexidade de ϕ e tendo em conta as de-finicoes de IMIΞ? e ρ.

Base: seja ϕ ∈ P . Se x : ϕ ∈ Ξ? entao x(= ρ(x)) ∈ V (ϕ) e IMIΞ? , ρ(x) |= ϕ, peloque IMIΞ? , ρ |= x : ϕ. Reciprocamente, se IMIΞ? , ρ |= x : ϕ entao IMIΞ? , ρ(x) |= ϕ.Deste modo x(= ρ(x)) ∈ V (ϕ), o que permite concluir que x : ϕ ∈ Ξ?.

O caso ϕ = x : ⊥ e trivial em ambos os sentidos porque, por um lado, x : ⊥ 6∈ Ξ?

pois este conjunto e coerente e, por outro, por definicao de satisfacao de formula,IMIΞ? , ρ 6|= x : ⊥.

Passo: Existem dois casos a considerar: (a) ϕ e ϕ1 → ϕ2 e (b) ϕ e 2ϕ1.Caso (a): prova semelhante a apresentada no caso da Proposicao ??, recorrendo

aqui a Proposicao 1.9.26.Caso (b): Se x : 2ϕ1 ∈ Ξ? entao x ∈ W e ρ(x) = x. Seja y ∈ W tal que xRy.

Tem-se que ρ(y) = y e xRy ∈ Ξ?. Pela Proposicao 1.9.26, y : ϕ1 ∈ Ξ?. Por hipotesede inducao, IMIΞ? , ρ |= y : ϕ1 e portanto IMIΞ? , y |= ϕ1. Assim, IMIΞ? , x |= 2ϕ1 econsequentemente IMIΞ? , ρ |= x : 2ϕ1.

Reciprocamente, suponha-se que IMIΞ? , ρ |= x : 2ϕ1. Tem-se entao que IMIΞ? , x |=2ϕ1. Suponha-se, por absurdo, que x : 2ϕ1 6∈ Ξ?. Entao, pela Proposicao 1.9.26,existe u ∈ Et tal que xRu ∈ Ξ? e u : ϕ1 6∈ Ξ?. Como xRu ∈ Ξ?, u ∈ W e xRu. Tem-se ainda que ρ(u) = u. Como u : ϕ1 6∈ Ξ?, por hipotese de inducao, IMIΞ? , ρ 6|= u : ϕ1,isto e, IMIΞ? , u 6|= ϕ1. Consequentemente, IMIΞ? , x 6|= 2ϕ1. Chega-se assim a umacontradicao, a qual permite concluir que x : 2ϕ1 ∈ Ξ?.

Corolario 1.9.29Seja Ξ ⊆ FG′ um conjunto coerente, seja Ξ? um conjunto coerente maximal cons-truıdo a partir de Ξ como na Proposicao 1.9.25 e seja ρ ∈ ATREt

IMIΞ?como na Pro-

posicao 1.9.28. Tem-se que IMIΞ? , ρ |= Ξ?.

Prova: Imediato a partir da Proposicao 1.9.28.

Apresentam-se finalmente os resultados de completude referidos no inıco da seccao.

110

Logica Modal

Proposicao 1.9.30Sejam Ξ ⊆ FG′, ∆ ⊆ FR, x, y ∈ Et e ϕ ∈ FM′

P . Tem-se que

(i) se ∆ |= xRy entao ∆ `N ′m

xRy;

(ii) se Ξ |= x : ϕ entao Ξ `N ′m

x : ϕ.

Prova: (i) Para provar resultado prova-se o seu contra-recıproco, ou seja, mostra-seque se ∆ 6`N ′

mxRy entao ∆ 6|= xRy. Suponha-se entao que ∆ 6`N ′

mxRy. Tem-

se assim que xRy /∈ ∆. Tendo em conta, as regras de inferencia de N ′m e o facto

de ∆ ⊆ FR, tem-se que ∆ e necessariamente coerente e portanto pode construir-seuma sua extensao coerente maximal ∆? como na Proposicao 1.9.25. Da construcaode ∆?, pelo facto de xRy /∈ ∆ e dado que x, y ∈ Et e Et ∩ Etaux = ∅, tem-seque xRy /∈ ∆?. Pela Proposicao 1.9.28, IMI∆? , ρ 6|= xRy onde ρ ∈ ATREt

IMIΞ?como

na Proposicao 1.9.28. Pelo Corolario 1.9.29, IMI∆? , ρ |= ∆? e portanto, dado que∆ ⊆ ∆?, IMI∆? , ρ |= ∆. Sendo IMI∆? = (W,R, V ) e considerando ρ′ ∈ ATREt

IMIΞ?

tal que ρ′(x) = ρ(x) para cada x ∈ Et, tem-se, trivialmente que IMI∆? , ρ′ |= ∆ eIMI∆? , ρ′ 6|= xRy. Conclui-se assim que ∆ 6|= xRy.

(ii) A prova e semelhante a apresentada no caso da Proposicao ?? recorrendo aquia Proposicao 1.9.25 e ao Corolario 1.9.29 e tendo em conta observacoes semelhantesas apresentadas em (i) associadas a atribuicao ρ′.

1.9.5 Completude dos sistemas N Tm, NB

m , N 4m, N 5

m, N T4m e N TB4

m

Nesta seccao provam-se resultados de completude relativos aos sistemas N Tm, NB

m ,N 4

m, N 5m, N T4

m e N TB4m . Tal como no caso de Nm, nao se trabalha directamente

com estes sistemas, mas sim com restricoes destes sistemas, mais precisamente, comsistemas em se manipulam apenas formulas que nao incluam os conectivos ∧ e ∨ nemo operador modal 3. A semelhanca do que tem vindo a ser feito, tais restricoes saodesignadas N ′ T

m, N ′ Bm, N ′ 4

m, N ′ 5m, N ′ T4

m e N ′ TB4m .

Os resultados de completude que aqui se apresentam sao semelhantes aos apre-sentados no caso de Nm mas, como e natural, a nocao de consequencia semantica (|=)e a agora substituıda por consequencia semantica em certas classes de enquadramen-tos (|=E). Os resultados de completude para os sistemas dedutivos aqui apresentadossao enunciados nas Proposicoes 1.9.44 a 1.9.50.

111


Notacao 1.9.31 No que se segue, e a semelhanca do que acontecia nas situacoesanteriores, FM′

P , FG′ e FE′, representam conjuntos de formulas definidos como FMP ,FG e FE, respectivamente, mas nao envolvendo os conectivos ∧, ∨ e o operador 3.

Definicao 1.9.32 Sistemas N ′ Tm, N ′ B

m, N ′ 4m, N ′ 5

m, N ′ T4m e N ′ TB4

m

Os sistemas dedutivos N ′ Tm, N ′ B

m, N ′ 4m, N ′ 5

m, N ′ T4m e N ′ TB4

m tem definicaoidentica a dos sistemas N T

m, NBm , N 4

m, N 5m, N T4

m e N TB4m , respectivamente, mas nao

se incluem as regras relacionadas com os conectivos ∧ e ∨ e o operador 3 e saoconsideradas apenas E

R1′m,MFG′ -arvores.

Observacao 1.9.33 Todas as definicoes e notacoes relativas ao sistemas de deducaonatural N T

m, NBm , N 4

m, N 5m, N T4

m e N TB4m sao tambem consideradas para os novos

sistemas.

A prova dos resultados de completude para os sistemas aqui considerados e muitosemelhante a apresentada para o caso do sistema N ′

m mas, como seria de esperar,existem algumas diferencas em alguns detalhes. Sendo N ′ um qualquer dos sistemasaqui considerados tem-se que:

− e necessario introduzir a nocao de fecho dedutivo em N ′ de conjuntos deformulas relacionais

− as nocoes de conjunto coerente e coerente maximal sao agora substituıdas pelasnocoes de conjunto N ′-coerente e N ′-coerente maximal

− na construcao de um conjunto N ′-coerente maximal a partir de um conjuntoN ′-coerente existem algumas diferencas relacionadas com as formulas relacio-nais envolvidas.

Notacao 1.9.34 Para simplificar a exposicao no que se segue usa-se N ′ para repre-sentar genericamente os sistemas dedutivos N ′ T

m, N ′ Bm, N ′ 4

m, N ′ 5m, N ′ T4

m e N ′ TB4m .

Definicao 1.9.35 Fecho dedutivo em N ′ de ∆ ⊆ FRSeja ∆ ⊆ FR. O conjunto

∆N ′ = {xRy : ∆ `N ′ xRy}e o fecho dedutivo de ∆ em N ′.

112

Logica Modal

Proposicao 1.9.36Sendo Ξ ⊆ FG′ e ξ ∈ FG′ tem-se que Ξ `N ′ ξ se e so se ΞE ∪ (ΞR)N ′ `N ′ ξ.

Prova: O facto de se Ξ `N ′ ξ entao ΞE ∪ (ΞR)N ′ `N ′ ξ e trivial tendo em conta aDefinicao 1.9.35. Suponha-se agora que ΞE ∪ (ΞR)N ′ `N ′ ξ. Existe entao uma arvorede deducao d de N ′ tal que conc(d) = ξ e Hd ⊆ ΞE ∪ (ΞR)N ′ . Se, em particular,Hd ⊆ ΞE ∪ΞR(= Ξ) entao e imediato que Ξ `N ′ ξ. Caso contrario, sejam n1, . . . , nk,k ∈ IN , as folhas de d a que estao associadas hipoteses em (ΞR)N ′\ΞR e, para cada1 ≤ i ≤ k, seja xiRyi a hipotese associada a ni. Pela Definicao 1.9.35, para cada1 ≤ i ≤ k, ΞR `N ′ xiRyi, pelo que existe uma arvore de deducao di em N ′ talque conc(di) = xiRyi e Hdi ⊆ ΞR. A partir da arvore d e substituindo as folhasn1, . . . , nk pelas arvores d1, . . . , dk assim construıdas obtem-se uma deducao d′ talque conc(d′) = ξ e Hd′ ⊆ ΞE ∪ ΞR(= Ξ) e portanto Ξ `N ′ ξ.

Definicao 1.9.37 Conjuntos N ′-coerente e N ′-coerente maximal

Sendo Ξ ⊆ FG′

• Ξ diz-se N ′-coerente se, para cada x ∈ Et, Ξ 6`N ′ x : ⊥; Ξ diz-se N ′-incoerentese nao e N ′-coerente;

• Ξ diz-se N ′-coerente maximal se se verificam as condicoes seguintes

– Ξ e coerente

– ΞR = (ΞR)N ′

– para cada x : ϕ ∈ FE′ tem-se que x : ϕ ∈ Ξ ou x : ¬ϕ ∈ Ξ.

Proposicao 1.9.38

1. Se Ξ ⊆ FG′ e N ′-coerente entao nao existe x : ϕ ∈ FE′ tal que {x : ϕ, x :¬ϕ} ⊆ Ξ.

2. Se Ξ ⊆ FG′ e N ′-coerente, entao, para cada x : ϕ ∈ FE′, tem-se que Ξ∪{x : ϕ}e coerente ou Ξ ∪ {x : ¬ϕ} e coerente.

Prova: Igual a prova da Proposicao 1.9.24.

Proposicao 1.9.39

113


Seja Ξ ⊆ FG′ um conjunto N ′-coerente e sejam Et, FG′ e FE′ ⊆ FG′ como naProposicao 1.9.25. Considerem-se ainda os conjuntos Ξ0, Ξ1, Ξ2, . . . construıdoscomo na referida Proposicao. Tem-se que o conjunto

Ξ?N ′ =

⋃

i≥0

(Ξi)E ∪ ((Ξi)R)N ′

e N ′-coerente maximal.

Prova: Os conjuntos Ξ0, Ξ1, Ξ2, . . . sao N ′-coerentes. A prova e identica a provade que os referidos conjuntos sao coerentes (Proposicao 1.9.25).

Para provar o resultado pretendido, ha que mostrar que sao satisfeitas as trescondicoes referidas na Definicao 1.9.37.

Prova-se em primeiro lugar que Ξ? e coerente. Suponha-se, por absurdo, que Ξ?

nao e coerente. Entao existe um subconjunto Ξ′ ⊆ Ξ? finito tal que Ξ′ `N x : ⊥para algum x ∈ Et. Tendo em conta a construcao de Ξ?, tem-se que existira umcerto j ≥ 0 tal que Ξ′ ⊆ (Ξj)E ∪ ((Ξj)R)N ′ . Assim, (Ξj)E ∪ ((Ξj)R)N ′ `N ′ x : ⊥ eportanto, pela Proposicao 1.9.36, (Ξj)E ∪ (Ξj)R `N ′ x : ⊥, ou seja, Ξj `N ′ x : ⊥ oque contradiz o facto de Ξj ser N ′-coerente. Conclui-se entao que Ξ? e coerente.

Prova-se agora que (Ξ?)R = ((Ξ?)R)N ′ . A inclusao (Ξ?)R ⊆ ((Ξ?)R)N ′ e trivial.Considere-se entao xRy ∈ ((Ξ?)R)N ′ . Pela Definicao 1.9.35, (Ξ?)R `N ′ xRy. Existeentao um conjunto finito ∆ ⊆ (Ξ?)R tal que ∆ `N ′ xRy. Por construcao de Ξ?, tendoem conta que ((Ξj)R)N ′ ⊆ ((Ξj+1)R)N ′ para cada j ∈ IN0, ∆ ⊆ ((Ξj)R)N ′ paraalgum j ∈ IN0. Consequentemente, ((Ξj)R)N ′ `N ′ xRy. Pela Proposicao 1.9.36,(Ξj)R `N ′ xRy e portanto xRy ∈ ((Ξj)R)N ′ . Conclui-se entao que ((Ξ?)R)N ′ ⊆(Ξ?)R.

Finalmente, a prova da ultima condicao e identica a apresentada na Proposicao??.

Proposicao 1.9.40Seja Ξ ⊆ FG′ um conjunto N ′-coerente e seja Ξ? um conjunto N ′-coerente maximalconstruıdo a partir de Ξ como na Proposicao 1.9.39. Sendo ϕ,ϕ1, ϕ2 ∈ FM′

P ex, y ∈ Et entao

(i) (Ξ?)R `N ′ xRy se e so se xRy ∈ (Ξ?)R;

(ii) Ξ? `N ′ x : ϕ se e so se x : ϕ ∈ Ξ?;

114

Logica Modal

(iii) x : ϕ1 → ϕ2 ∈ Ξ? se e so se sempre que x : ϕ1 ∈ Ξ? entao x : ϕ2 ∈ Ξ?;

(iv) x : 2ϕ ∈ Ξ? se e so se, para cada u ∈ Et, se xRu ∈ Ξ? entao u : ϕ ∈ Ξ?.

Prova: (i) Se xRy ∈ (Ξ?)R entao, trivialmente, (Ξ?)R `N ′ xRy. Reciprocamente,se (Ξ?)R `N ′ xRy entao xRy ∈ ((Ξ?)R)N ′ . Como ((Ξ?)R)N ′ = (Ξ?)R, xRy ∈ (Ξ?)R.

(ii), (iii) e (iv) Provas semelhantes as apresentadas na prova da Proposicao 1.9.26.

Tal como anteriormente, constroi-se a partir do conjuntoN ′-coerente maximal Ξ?

uma estrutura de interpretacao modal canonica IMIΞ? = (W,R, V ). Esta estrutura econstruıda como na Definicao 1.9.27. Tal como o resultado seguinte ilustra, mostra-se que para cada N ′ o enquadramento (W,R) vai pertencer a uma particular classede enquadramentos.

No que se segue, e como e habitual, Eref , Esim, Etrn, Eeuc representam as classesde enquadramentos reflexivos, simetricos, transitivos e euclideanos, respectivamente.

Proposicao 1.9.41Seja Ξ ⊆ FG′ um conjunto N ′-coerente e seja Ξ? um conjunto N ′-coerente maximalconstruıdo a partir de Ξ como na Proposicao 1.9.25. Seja IMIΞ? = (W,R, V ) aestrutura de interpretacao modal canonica construıda como na Definicao 1.9.27.

1. Se N ′ e N ′ Tm entao (W,R) ∈ Eref .

2. Se N ′ e N ′ Bm entao (W,R) ∈ Esim.

3. Se N ′ e N ′ 4m entao (W,R) ∈ Etrn.

4. Se N ′ e N ′ 5m entao (W,R) ∈ Eeuc.

5. Se N ′ e N ′ T4m entao (W,R) ∈ Eref ∩ Etrn.

6. Se N ′ e N ′ TB4m entao (W,R) ∈ Eref ∩ Esim ∩ Etrn.

Prova: 1. Seja x ∈ W . Pela Definicao de IMIΞ? , tem-se que x ∈ Et e, pela definicaode N ′ T

m, `N ′ Tm

xRx (usando o axioma ref). Entao, (Ξ?)R `N ′ Tm

xRx. Pela Pro-posicao 1.9.40, xRx ∈ (Ξ?)R ⊆ Ξ?. Pela Definicao de IMIΞ? , xRx. Conclui-se assimque R e reflexiva e portanto (W,R) ∈ Eref .

115


2. Sejam x, y ∈ W tal que xRy. Pela Definicao de IMIΞ? , tem-se que x, y ∈ Ete xRy ∈ (Ξ?)R. Pela definicao de N ′ B

m, {xRy} `N ′′ Bm

yRx (usando a regra sim).Entao, (Ξ?)R `N ′ B

myRx. Pela Proposicao 1.9.40, yRx ∈ (Ξ?)R ⊆ Ξ?. Pela Definicao

de IMIΞ? , yRx. Conclui-se assim que R e simetrica e portanto (W,R) ∈ Esim.Os outros casos sao semelhantes.

Proposicao 1.9.42Seja Ξ ⊆ FG′ um conjunto N ′-coerente e seja Ξ? um conjunto N ′-coerente maximalconstruıdo a partir de Ξ como na Proposicao 1.9.39. Seja ρ ∈ ATREt

IMIΞ?tal que

ρ(x) = x para cada x ∈ W . Entao, para cada ϕ ∈ FM′P e x, y ∈ Et

(i) xRy ∈ Ξ? se e so se IMIΞ? , ρ |= xRy;

(ii) x : ϕ ∈ Ξ? se e so se IMIΞ? , ρ |= x : ϕ.

Prova: Identica a prova da Proposicao 1.9.28.

Corolario 1.9.43Seja Ξ ⊆ FG′ um conjunto N ′-coerente, seja Ξ? um conjunto N ′-coerente maximalconstruıdo a partir de Ξ como na Proposicao 1.9.39 e seja ρ ∈ ATREt

IMIΞ?como na

Proposicao 1.9.42. Tem-se que IMIΞ? , ρ |= Ξ?.


Apresentam-se finalmente os resultados de completude para os sistemas dedutivosaqui considerados.

Proposicao 1.9.44Sejam ∆ ⊆ FR e x, y ∈ Et. Tem-se que se ∆ |=Eref

xRy entao ∆ `N ′ Tm

xRy.

Prova: Para provar o resultado prova-se o seu contrarecıproco, ou seja, mostra-seque se ∆ 6`N ′ T

mxRy entao ∆ 6|=Eref

xRy. Suponha-se entao que ∆ 6`N ′ Tm

xRy.Tendo em conta as regras de inferencia de N ′ T

m e o facto de ∆ ⊆ FR, tem-se que ∆e necessariamente coerente e portanto pode construir-se uma sua extensao coerentemaximal ∆? a partir da sucessao de conjuntos ∆0, ∆1, ∆2, . . . como na Proposicao1.9.39.

Mostra-se agora, por inducao, que para cada j ∈ IN0, (∆j)R 6`N ′ Tm

xRy (eportanto xRy /∈ ((∆j)R)N ′ T

m).

116

Logica Modal

Base: (∆0)R 6`N ′ Tm

xRy porque (∆0)R = ∆R = ∆.Passo: seja j ∈ IN0 e suponha-se que (∆j)R 6`N ′ T

mxRy. Nos casos em que

(∆j)R = (∆j+1)R tem-se naturalmente que (∆j+1)R 6`N ′ Tm

xRy. Nos outros casostem-se que (∆j+1)R = (∆j)R ∪ {zRu} onde z ∈ Et, u ∈ Etaux e u /∈ (∆j)et ∪ {z}.Se (∆j+1)R `N ′ T

mxRy entao, pela Proposicao 1.7.9, existe uma derivacao d de

xRy a partir de (∆j+1)R em N ′ Tm na qual nao sao utilizadas regras de inferencia

modais. Da Definicao de N ′ Tm decorre que d e necessariamente uma arvore singular.

Tendo em conta a hipotese de inducao e a definicao de ∆j+1, tem-se que zRu ∈ Hd.Mas entao Hd = {zRu} = {conc(d)} e portanto zRu = xRy. Chega-se assim auma contradicao porque x, y ∈ Et e Etaux ∩ Et = ∅. Consequentemente tem-se que(∆j+1)R 6`N ′ T

mxRy.

Uma vez que, para cada j ∈ IN0, xRy /∈ ((∆j)R)N ′ Tm

, a definicao de ∆? permite

concluir que xRy /∈ ∆?. Pela Proposicao 1.9.42, IMI∆? , ρ 6|= xRy onde ρ ∈ ATREtIMIΞ?

como na Proposicao 1.9.42. Pelo Corolario 1.9.43, IMI∆? , ρ |= ∆? e portanto, dadoque ∆ ⊆ ∆?, IMI∆? , ρ |= ∆. Sendo IMI∆? = (W,R, V ) e considerando ρ′ ∈ ATREt

IMIΞ?

tal que ρ′(x) = ρ(x) para cada x ∈ Et, tem-se, trivialmente que IMI∆? , ρ′ |= ∆ eIMI∆? , ρ′ 6|= xRy. Como, pela Proposicao 1.9.41, (W,R) ∈ Eref conclui-se assim que∆ 6|=Eref

xRy.

Proposicao 1.9.45Sejam ∆ ⊆ FR e x, y ∈ Et. Tem-se que se ∆ |=Esim xRy entao ∆ `N ′ B

mxRy.

Prova: A prova deste resultado e identica a apresentada para a Proposicao 1.9.44.A unica diferenca reside na demonstracao do passo da prova por inducao no caso emque (∆j+1)R = (∆j)R ∪{zRu}. Neste caso, a derivacao d garantida pela Proposicao1.7.9 e uma arvore singular ou, tendo em conta as regras inferencia em N ′ B

m, soutiliza a regra sim. De novo se tem que zRu ∈ Hd.

Prova-se, por inducao na profundidade das arvores, que qualquer d′ ∈DN ′ Bm

naqual nao sejam utilizadas regras de inferencia modais e com zRu ∈ Hd′ e tal queu∈{conc(d′)}et.

Base: seja d′ uma arvore de deducao singular verificando os requisitos enunciados.Entao Hd = {zRu} = {conc(d)} e portanto o resultado e imediato.

Passo: seja d′ uma arvore de deducao verificando os requisitos enunciados comprofundidade k > 1 e suponha-se que todas as arvores de deducao d′′ de profundi-dade menor que k e verificando os referidos requisitos sao tais que u∈{conc(d′′)}et.

117


Tem-se que d′ foi necessariamente construıda a partir de uma arvore d′′ (de profun-didade menor que k) usando a regra sim e d′′ verifica necessariamente os requisitosenunciados. Por hipotese de inducao, u∈{conc(d′′)}et e portanto, tendo em conta adefinicao de sim, u ∈ {conc(d′)}et.

Este resultado permite concluir que a derivacao d garantida pela Proposicao1.7.9 verifica u ∈ {conc(d)}et. Mas conc(d) = xRy e portanto, tendo em conta asrestricoes impostas a u na construcao de ∆j+1, u 6∈ {conc(d)}et. Esta contradicaopermite entao concluir que (∆j+1)R 6`N ′ T

mxRy.

Proposicao 1.9.46Sejam ∆ ⊆ FR e x, y ∈ Et. Tem-se que se ∆ |=Etrn xRy entao ∆ `N ′ 4

mxRy.

Prova: A prova deste resultado e identica a apresentada para a Proposicao 1.9.44 enovamente a unica diferenca reside na demonstracao do passo da prova por inducaono caso em que (∆j+1)R = (∆j)R ∪ {zRu}. Tendo em conta as regras inferenciaem N ′ 4

m, a derivacao d garantida pela Proposicao 1.7.9 e uma arvore singular ouso utiliza a regra trn. Tal como anteriormente, zRu ∈ Hd. Se a arvore e singularentao conc(d) = xRy = zRu, o que, como se viu na prova da Proposicao 1.9.45,conduz a uma contradicao. Entao d tem pelo menos profundidade 2. Sem perda degeneralidade, d pode ser representada da seguinte forma

zRu m uRz′ m′

—————————— trnzRz′

Donde apenas se apresenta explicitamente a sub-arvore que envolve a hipotese zRue uma aplicacao da regra trn. Dado que uRz′ ∈ (∆j+1)R e, em particular, u /∈(∆j)et ∪ {z}, uRz′ = zRu e portanto z = u. Mas esta igualdade que contraria ofacto de z 6= u. Conclui-se assim que nao pode existir uma tal derivacao d, pelo que(∆j+1)R 6`N ′ 4

mxRy.

Proposicao 1.9.47Sejam ∆ ⊆ FR e x, y ∈ Et. Se ∆ |=Eref∩Etrn xRy entao ∆ `N ′ T4

mxRy.

Prova: Tal como nas proposicoes anteriores, a prova e identica para a Proposicao1.9.44 mas difere na demonstracao do passo no caso em que (∆j+1)R = (∆j)R ∪

118

Logica Modal

{zRu}. Tal como anteriormente, zRu ∈ Hd onde d e derivacao garantida pelaProposicao 1.7.9 e, tendo em conta a definicao de N ′ T4

m , as regras de inferenciaaplicadas na construcao d sao ref ou trn. Se d e uma arvore singular entao conc(d) =zRu, o que, como se viu na prova da Proposicao 1.9.45, conduz a uma contradicao.Caso contrario, foi necessariamente aplicada a regra trn. Raciocinando como naprova da Proposicao 1.9.46 obtem-se o resultado pretendido.

Proposicao 1.9.48Sejam ∆ ⊆ FR e x, y ∈ Et. Se ∆ |=Eref∩Esim∩Etrn xRy entao ∆ `N ′ TB4

mxRy.

Prova: De novo a prova e identica a apresentada para a Proposicao 1.9.44 diferindono mesmo ponto das proposicoes anteriores. Assim, (∆j+1)R = (∆j)R ∪ {zRu} ezRu ∈ Hd onde d e derivacao garantida pela Proposicao 1.7.9. Seja DR

N ′ TB4m

⊆DN ′ TB4m

constituıdo pela arvores que nao utilizam regras em Rm.(1) Comeca por provar-se, por inducao na profundidade das arvores, que para

cada arvore d′ ∈ DRN ′ TB4

mtal que conc(d′) = z′Rz′′ e Hd′⊆(∆j+1)R existe uma arvore

d′′∈DRN ′ TB4

mtal que (i) conc(d′′) = z′Rz′′ e (ii) Hd′′ = ∅ ou existe w1 . . . wn+1∈Et∗,

n∈IN , tal que w1 = z′, wn+1 = z′′, Hd′′ =⋃

1≤i≤n{wiRwi+1} e, para cada 1 ≤ i ≤ n,wiRwi+1 ∈ (∆j+1)R ou wi+1Rwi ∈ (∆j+1)R.

Base: seja d′ ∈DN ′ TB4m

uma arvore singular verificando os requisitos indicados.Se z′ = z′′ entao uma arvore singular a cujo no corresponda a etiqueta (z′Rz′, ref, ∅)e a arvore pretendida. Se z′ 6= z′′, entao Hd′ = {z′Rz′′} e portanto d′ e a arvorepretendida.

Passo: seja d′ ∈ DRN ′ TB4

muma arvore verificando os requisitos indicados com

profundidade k>1. Entao d′ foi construıda a partir (a) de uma arvore d por aplicacaoda regra sim ou (b) de duas arvores d1 e d2 por aplicacao da regra trn. No caso (a),tem-se que conc(d) = z′′Rz′, Hd = Hd′ ⊆ (∆j+1)R. Como d tem profundidademenor que k e verifica os requisitos enunciados, por hipotese de inducao, existeuma arvore com as caracterısticas enunciadas. Obtem-se a arvore d′′ pretendidaaplicando a regra sim a essa arvore. No caso (b) pode assumir-se, sem perda degeneralidade, que conc(d1) = z′Rz e conc(d2) = zRz′′. Como, para cada 1 ≤ i ≤ 2,Hdi

⊆ Hd′ ⊆ (∆j+1)R e di tem profundidade menor que k, pela hipotese de inducao

existe d′i ∈ DR

N ′ TB4m

com as caracterısicas enunciadas. Aplicando a regra trn a d′1 e

d′2 obtem-se uma arvore d′′ ∈ DR

N ′ TB4m

tal que conc(d′′) = z′Rz′′ e Hd′′ = Hd′1∪H

d′2.

Se alguma das arvores d′1 ou d

′2 (ou ambas) tem um conjunto de hipoteses vazio, o

119


resultado e imediato. Caso contrario, para cada 1 ≤ i ≤ n, seja wi1 . . . , wi

ni+1 ∈Et∗

a sequencia garantida pela hipotese de inducao relativamente a d′i. Tendo em conta

que w11 =z′, w1

n1+1 =z = w21 e w1

n2+1 =z′′, tem-se que w11w

12 . . . w1

n1+1w22w

23 . . . w2

n2+1

e a sequencia exigida para d′′.(2) Prova-se agora que, sendo d′ ∈ DR

N ′ TB4m

tal que conc(d′) = z′Rz′′ e zRu ∈Hd′ ⊆ (∆j+1)R, se tem que se u /∈ {z′, z′′} entao (∆j)R `N ′ TB4

mz′Rz′′.

Suponha-se entao que u /∈ {z′, z′′}. Como zRu∈Hd′ , tendo em conta as regrassim e trn, tem de haver um conjunto nao vazio A⊆Suc(νd′) tal que, para cada α∈A setem que (i) u /∈ {{frm(α′)}et : α′ ∈ Pred(α)}, (ii) rg(α) = trn e frm(α) = zα

1 Rzα2 ,

(iii) SucD(α) = {α1, α2}, frm(α1) = zα1 Ru e frm(α2) = uRzα

2 . Seja entao α∈A esejam d1 e d2 as subarvores de d′ cujas raizes sao, respectivamente, α1 e α2. Estasarvores estao nas condicoes de 1. Sejam entao d′1 e d′2 as derivacoes garantidaspor 1 para d1 e d2, respectivamente. Sem perda de generalidade suponha-se queconc(d′1) = zα

1 Ru e conc(d′2) = uRzα2 . Como zα

1 6= u e zα2 6= u, tendo em contas

as regras de N ′ TB4m tem-se necessariamente que Hd′1 6= ∅ e Hd′2 6= ∅. Seja entao,

para cada 1 ≤ i ≤ 2, wi1 . . . , wi

ni+1 ∈ Et∗ a sequencia garantida para d′i. Tem-seque w1

1 = z1, w1n1+1 = u = w2

1 e w2n2+1 = z2. Tendo em conta a definicao de ∆j+1,

tem-se necessariamente que w1n1

Rw1n1+1 = zRu e w2

1Rw22 = uRz. Considerando a

sequencia w′1 . . . w′m = w11 . . . w1

n1w2

3 . . . w2n2+1, onde m=n1 +n2−1, tem-se que, para

cada 1 ≤ i < m, w′iRw′i+1 ∈ (∆j+1)R ou w′i+1Rw′i ∈ (∆j+1)R. Note-se ainda quenesta sequencia nao estao presentes as etiquetas w1

n1+1 e w12 ambas correspondentes

a u. Recordando que w′1 = zα1 e w′m = zα

2 tem-se que, usando primeiro a regra simnos casos em que w′i+1Rw′i ∈ (∆j+1)R, e depois a regra trn, facilmente se constroiuma derivacao de zα

1 Rzα2 cujas hipoteses abertas pertencem a (∆j+1)R. Se u 6= w′i

para cada 1 ≤ i ≤ m, entao (∆j)R `N ′ TB4m

zα1 Rzα

2 . Caso contrario, repetindo umaou mais vezes o raciocınio anterior, e possıvel concluir que (∆j)R `N ′ TB4

mzα1 Rzα

2 .Procedendo de igual modo para cada α∈A e possıvel concluir entao que existe umaderivacao em DR

N ′ TB4m

cuja conclusao e z′Rz′′ e cujas hipoteses abertas pertencem a(∆j)R e portanto, tal como pretendido, (∆j)R `N ′ TB4

mz′Rz′′.

(3) Considere-se a derivacao d referida no inıcio da prova. Se u ∈ {cond(d)}et,raciocinando como na prova da Proposicao 1.9.45, tem-se, como pretendido que(∆j+1)R 6`N ′ TB4

mxRy. Caso contrario, por (2), (∆j)R |= xRy o que contraria a

hipotese de inducao e portanto de novo se tem que (∆j+1)R 6`N ′ TB4m

xRy.

Proposicao 1.9.49

120

Logica Modal

Sejam ∆ ⊆ FR e x, y ∈ Et. Se ∆ |=Eeuc xRy entao ∆ `N ′ 5m

xRy.

Prova: Deixa-se como exercıcio a prova deste resultado.

Proposicao 1.9.50Sejam Ξ ⊆ FG′ e x : ϕ ∈ FE′.

1. Se Ξ |=Erefx : ϕ entao Ξ `N ′ T

mx : ϕ.

2. Se Ξ |=Esim x : ϕ entao Ξ `N ′ Bm

x : ϕ.

3. Se Ξ |=Etrn x : ϕ entao Ξ `N ′ 4m

x : ϕ.

4. Se Ξ |=Eeuc x : ϕ entao Ξ `N ′ 5m

x : ϕ.

5. Se Ξ |=Eref∩Etrn x : ϕ entao Ξ `N ′ T4m

x : ϕ.

6. Se Ξ |=Eref∩Esim∩Etrn x : ϕ entao Ξ `N ′ TB4m

x : ϕ.

Prova: As provas sao semelhantes a apresentada para a Proposicao 1.9.30 (ii) tendoem conta tambem o Corolario. 1.9.43.

1.9.6 Completude dos sistemas dedutivos NDm , N 2

m, NXm , ND45

m e N T42m

Nesta seccao provam-se resultados de completude relativos aos sistemas NDm , N 2

m,NX

m , ND45m e N T42

m . Tal como nos casos anteriores nao se trabalha directamentecom estes sistemas, mas sim com restricoes destes sistemas, mais precisamente, comsistemas em se manipulam apenas formulas que nao incluam os conectivos ∧ e ∨ nemo operador modal 3. A semelhanca do que tem vindo a ser feito, tais restricoes saodesignadas N ′ D

m, N ′ 2m, N ′ X

m, N ′ D45m e N ′ T42

m .

Os resultados de completude que aqui se apresentam sao semelhantes aos descritospara as extensoes de Nm referidas anteriormente. Estes resultados sao enunciadosnas proposicoes 1.9.58 e 1.9.59.

Notacao 1.9.51 No que se segue, e a semelhanca do que acontecia nas situacoesanteriores, e sendo Σ ∈ {ΣD, Σ2, ΣX}, FM′

P , FG′Σ e FE′Σ, representam conjuntos de

formulas definidos como FMP , FGΣ e FEΣ, respectivamente, mas nao envolvendo osconectivos ∧, ∨ e o operador 3. Omite-se a referencia a Σ sempre que nao existapossibilidade de confusao.

121


Tem-se ainda que R2′m = R1′m ∪ {ser, dns1, dns2, cnv1, cnv2} e assume-se fixadoum certo conjunto (numeravel) M de marcas.

Definicao 1.9.52 Sistemas N ′ Dm, N ′ 2

m, N ′ Xm, N ′ D45

m e N ′ T42m

Os sistemas dedutivos N ′ Dm, N ′ 2

m, N ′ Xm, N ′ D45

m e N ′ T42m tem definicao identica

a dos sistemas N Dm, N 2

m, N Xm, N D45

m e N T42m , respectivamente, mas nao se incluem

as regras relacionadas com os conectivos ∧ e ∨ e o operador 3.Todas as usuais definicoes e notacoes relativas ao sistemas de deducao natural

N Dm, N 2

m, N Xm, N D45

m e N T42m sao tambem consideradas para os novos sistemas.

Observacao 1.9.53 Para simplificar a exposicao no que se segue usa-se N ′ pararepresentar genericamente os sistemas dedutivos N ′ D

m, N ′ 2m, N ′ X

m, N ′ D45m e N ′ T42

m .Como e natural, sempre que se trabalhe no ambito de N ′ e existam referencias aelementos de TEt

Σ ou de FEΣ (FE) pressupoem-se que, em cada caso, Σ e a assinaturaassociada a N ′.

Como e de esperar, muitas das nocoes e resultados que sao aqui necessarios saosemelhantes aos apresentados na seccao 1.9.5 no ambito dos sistemas dedutivos aıdescritos. No entanto, existem por vezes certos detalhes que sao diferentes. Para naoalongar a exposicao, enumeram-se seguidamente as referidas nocoes (e resultados)mencionando, quando for caso disso, os detalhes que sao aqui diferentes.

• As nocoes de fecho dedutivo em N ′, conjunto N ′-coerente e N ′-coerente ma-ximal sao identicas as apresentadas na seccao 1.9.5 tendo em conta que asetiquetas sao agora elementos de TEt

Σ .

• Sao validos tambem para estes novos sistemas resultados semelhantes aos apre-sentados nas Proposicoes 1.9.36 e 1.9.38.

• Dado Ξ ⊆ FGΣ coerente, a construcao de Ξ?N ′ e semelhante a apresentada

na Proposicao 1.9.25, partindo de uma enumeracao de FE′Σ e recordando queas etiquetas sao os elementos de TEt

Σ (onde Et = Et ∪ Etaux sendo Etaux umconjunto numeravel e, neste caso, disjunto de TEt

Σ ). Refira-se ainda que aoconstruir Ξi+1 a partir de Ξi, nos casos em que se tem de considerar um novaetiqueta u ∈ Etaux, a condicao imposta neste contexto e agora u /∈ V ((Ξ)et ∪{t}).

122

Logica Modal

• Sao validos tambem para estes novos sistemas resultados semelhantes aos apre-sentados nas Proposicoes 1.9.39 e 1.9.40 tendo em conta que as etiquetas saoelementos de TEt

Σ .

Tal como anteriormente, constroi-se a partir do conjunto N ′-coerente maximalΞ? uma estrutura de interpretacao canonica.

Definicao 1.9.54 Estrutura de interpretacao modal generalizada canonica

Seja Ξ ⊆ FG′Σ um conjunto coerente e seja Ξ? um conjunto coerente maximal

construıdo a partir de Ξ como referido na Observacao 1.9.53. A estrutura de inter-pretacao modal generalizada canonica sobre Σ induzida por Ξ? designa-se IMIΞ?

g e edefinida do seguinte modo: IMIΞ?

g = (W,R, V, I) onde

• W = (Ξ?)et

• para cada x, y ∈ W , xRy se xRy ∈ Ξ?;

• para cada p ∈ P , V (p) = {x ∈ W : x : p ∈ Ξ?};

• se Σ e ΣD entao I(f)(w) = f(w) para cada w ∈ W ;

• se Σ e ΣX entao I(g)(w1, w2) = g(w1, w2) para cada w1, w2 ∈ W ;

• se Σ e Σ2 entao I(h)(w1, w2, w3) = h(w1, w2, w3) para cada w1, w2, w3 ∈ W .

Note-se que para a Definicao 1.9.54 estar correcta e necessario que garantir quea interpretacao de f , g e h esta bem definida, isto e, que, por exemplo no caso deΣD, se tem que f(w) ∈ W para cada w ∈ W . E tambem necessario garantir que,novamente no caso de ΣD, se R e reflexiva entao wRf(w).

Facilmente se conclui que a primeira condicao e satisfeita. Basta pensar que naenumeracao de FE′ΣD

que conduz a construcao de Ξ? tem de existir j ∈ IN0 tal queξj tem etiqueta f(w) e a formula modal associada e uma tautologia proposicional,⊥ → ⊥, por exemplo, e portanto ξj e f(w) : ⊥ → ⊥. Como cada Ξj e coerente,Ξj ∪ {ξj} e tambem coerente e portanto Ξj+1 = Ξj ∪ {ξj}. Assim, f(w) ∈ (Ξ?)et(=W ). Os outros casos sao semelhantes.

O facto de a segunda condicao ser tambem satisfeita e assegurado na prova daProposicao 1.9.55

123


Proposicao 1.9.55Seja Ξ ⊆ FG′

Σ um conjunto N ′-coerente e seja Ξ? um conjunto N ′-coerente ma-ximal construıdo a partir de Ξ como referido na Observacao 1.9.53. Seja IMIΞ?

g =(W,R, V, I) a estrutura de interpretacao modal generalizada canonica sobre Σ cons-truıda como na Definicao 1.9.54.

1. Se N ′ e N ′ Dm entao (W,R) ∈ Eser.

2. Se N ′ e N ′ Xm entao (W,R) ∈ Edns.

3. Se N ′ e N ′ 2m entao (W,R) ∈ Ecnv.

4. Se N ′ e N ′ D45m entao (W,R) ∈ Eser ∩ Etrn ∩ Eeuc.

5. Se N ′ e N ′ T42m entao (W,R) ∈ Eref ∩ Etrn ∩ Ecnv.

Prova: 1. Seja t ∈ W . Pela definicao de N ′ Dm, `N ′ D

mtRxf(t) (usando o axioma

ser). Entao, (Ξ?)R `N ′ Dm

tRf(t). Pela Proposicao 1.9.40 (e a Observacao 1.9.53),tRf(t) ∈ (Ξ?)R ⊆ Ξ?. Tem-se assim que f(t) ∈ W . Pela Definicao de IMIΞ?

g , tRf(t).Conclui-se assim que R e reflexiva e portanto (W,R) ∈ Eref . O facto de se ter tRf(t)mostra ainda que IMIΞ?

g esta bem definida no que respeita a componente I.2. Sejam s, t ∈ W tal que sRt. Pela Definicao de IMIΞ? , tem-se que sRt ∈ (Ξ?)R.

Pela definicao de N ′ Xm, {sRt} `N ′′ X

msRg(s, t) e {sRt} `N ′′ X

mg(s, t)Rt (usando

as regras cnv1 e cnv2). Entao, (Ξ?)R `N ′ Xm

sRg(s, t) e (Ξ?)R `N ′ Xm

g(s, t)Rt. PelaProposicao 1.9.40 (e a Observacao 1.9.53), {sRg(s, t), g(s, t)Rt} ⊆ (Ξ?)R ⊆ Ξ?. Tem-se assim que g(s, t) ∈ W . Pela Definicao de IMIΞ? , sRg(s, t) e g(s, t)Rt. Conclui-seassim que R e densa e portanto (W,R) ∈ Edns. O facto de se ter sRg(s, t) e g(s, t)Rtmostra ainda que IMIΞ?

g esta bem definida no que respeita a componente I.Os outros casos sao semelhantes.

Proposicao 1.9.56Seja Ξ ⊆ FG′

Σ um conjunto N ′-coerente e seja Ξ? um conjunto N ′-coerente maximalconstruıdo a partir de Ξ como referido na Observacao 1.9.53. Seja ρ ∈ ATREt

IMIΞ?g

tal

que ρ(x) = x para cada x ∈ W . Entao, para cada ϕ ∈ FM′P e s, t ∈ TEt

Σ

(i) sRt ∈ Ξ? se e so se IMIΞ?

g , ρ |= sRt;

(ii) t : ϕ ∈ Ξ? se e so se IMIΞ? , ρ |= t : ϕ.

124

Logica Modal

Prova: Identica a prova da Proposicao 1.9.28.

Corolario 1.9.57Seja Ξ ⊆ FG′

Σ um conjunto N ′-coerente, seja Ξ? um conjunto N ′-coerente maximalconstruıdo a partir de Ξ como referido na Observacao 1.9.53 e seja ρ ∈ ATREt

IMIΞ?g

como na Proposicao 1.9.56. Tem-se que IMIΞ?

g , ρ |= Ξ?.


Apresentam-se finalmente os resultados de completude para os sistemas dedutivosaqui considerados.

Proposicao 1.9.58Sejam ∆ ⊆ FRΣ e s, t ∈ TEt

Σ .

1. Se Σ e ΣD

− se ∆ |=Eser sRt entao ∆ `N ′ Dm

sRt;

− se ∆ |=Eser∩Etrn∩Eeuc sRt entao ∆ `N ′ D45m

sRt.

2. Se Σ e Σ2

− se ∆ |=Ecnv sRt entao ∆ `N ′ 2m

sRt;

− se ∆ |=Eref∩Etrn∩Ecnv sRt entao ∆ `N ′ T42m

sRt.

3. Se Σ e ΣX , se ∆ |=EdnssRt entao ∆ `N ′ X

msRt.

Prova: A prova relativa aN ′ Xm e semelhante a apresentada para a Proposicao 1.9.44.

As provas relativas a N ′ Xm e N ′ X

m sao semelhantes as apresentada para a Proposicao1.9.45. As outras provas deixam-se como exercıcio.

Proposicao 1.9.59Sejam Ξ ⊆ FG′

Σ e t : ϕ ∈ FE′Σ.

1. Se Σ e ΣD

− se Ξ |=Eser t : ϕ entao Ξ `N ′ Dm

t : ϕ;

− se Ξ |=Eser∩Etrn∩Eeuc t : ϕ entao Ξ `N ′ D45m

t : ϕ.

125

Normalizacao de deducoes

2. Se Σ e Σ2

− se Ξ |=Ecnv t : ϕ entao Ξ `N ′ 2m

t : ϕ;− se Ξ |=Eref∩Etrn∩Ecnv t : ϕ entao Ξ `N ′ T42

mt : ϕ.

3. Se Σ e ΣX e Ξ |=Ednst : ϕ entao Ξ `N ′ X

mt : ϕ.

Prova: As provas sao semelhantes as referidas na Proposicao 1.9.50.

1.10 Normalizacao de deducoes

Nesta seccao faz-se referencia a questoes de normalizacao de deducoes no ambito dossistemas de deducao natural apresentados ao longo deste capıtulo. Para nao alongardemasiado este texto, far-se-a apenas uma brevıssima referencia a alguns aspectosde normalizacao de deducoes. As propriedades de normalizacao apresentadas saosemelhantes as referidas no caso da logica proposicional e da logica de primeiraordem. O leitor interessado podera consultar os detalhes em [14].

Tal como nos casos da logica proposicional e de primeira ordem, consideram-se sistemas dedutivos que nao incluem as regras relativas ao conectivo ∨ e, nestecaso, tambem nao incluem as regras relativas ao operador modal 3. A regra ⊥ esubstituıda pela seguinte regra ⊥⊥

[t : ¬ψ]m

Ds : ⊥

———— ⊥⊥,mt : ψ

onde ψ e uma formula que nao e do tipo ϕ → ⊥.

No que se segueN representa genericamente um qualquer dos sistemas de deducaonatural apresentados ao longo deste capıtulo (mas assumindo que nao estao presentesnem as regras relativas ao conectivo ∨ nem as regras relativas ao operador 3) e N⊥⊥

representa o sistema que se obtem quando em N se substitui a regra ⊥ pela regra⊥⊥.

A nocao de deducao normal e aqui semelhante a apresentada no caso do sistemaNp, isto e, uma deducao d diz-se normal se nao existe nenhuma formula maximum

126

Logica Modal

em d. A definicao de formula maximum e tambem semelhante a apresentada anteri-ormente. Ha apenas que ter em conta que na regra 2E, a premissa que envolve umaformula modal (ou seja, a premissa do tipo x : 2ϕ) e a premissa maior da regra e apremissa relativa a formula relacional (ou seja, a premissa do tipo xRy) e a premissamenor.

Verificam-se as propriedades que seguidamente se apresentam, sendo Ξ ⊆ FG et : ϕ ∈ FE (nao envolvendo o conectivo ∨ nem o operador 3).

• Se Ξ `N t : ϕ entao Ξ `N⊥⊥ t : ϕ.

• Se Ξ `N⊥⊥ t : ϕ entao existe uma deducao de t : ϕ a partir de Ξ em N⊥⊥ naqual as formulas que se obtem por aplicacao da regra ⊥⊥ sao do tipo t : ψ ondeψ e formula atomica.

• Se Ξ `N⊥⊥ t : ϕ entao existe uma deducao normal de t : ϕ a partir de Ξ emN⊥⊥.

• Se d e uma deducao normal de t : ϕ a partir de Ξ em N⊥⊥ entao, sendo F oconjunto das subformulas dos elementos de {ϕ} ∪ ΞM , tem-se que, para cadat : ψ que ocorra em d alguma das seguintes condicoes e satisfeita

– ψ ∈ F

– ψ e ψ′ → ⊥ com ψ′ ∈ F e t : ψ corresponde a uma hipotese eliminada poruma aplicacao de ⊥⊥

– ψ e ⊥ e t : ψ foi obtida por aplicacao de →E a partir de uma hipoteset : ψ′ → ⊥, com ψ′ ∈ F , hipotese essa que e eliminada por por aplicacaode ⊥⊥

– ψ e ⊥ e t : ψ foi obtida por uma aplicacao de ⊥⊥ que nao elimina nenhumahipotese.

127

Normalizacao de deducoes

128

Bibliografia

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