___________________________________________Instituto de Ciências Exatas - Departamento de MatemáticaCálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo

Capítulo 4: Derivada

4.1- A Reta Tangente

Seja )(xfy = uma curva definida no intervalo ( )ba, e sejam ( ) ( )2211 , e , yxQyxP dois pontos distintos da curva )(xfy = .

Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q.Considerando o triângulo retângulo PMQ, na figura ao lado,

temos que a inclinação da reta s, ou coeficiente angular de s, é:

xy

xxyytg

∆∆=

−−=

12

12α .

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre acurva em direção a P. Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. A medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valorlimite constante. Esse valor limite é chamado inclinação da retatangente à curva no ponto P, ou também inclinação da curva em P.

Definição:

Dada uma curva )(xfy = , seja ( ) , 11 yxP um ponto sobre ela.A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por

( )12

121

)()(limlim12 xx

xfxfxyxm

xxPQ −−=

∆∆=

→→, quando o limite existe.

Fazendo hxxxxx +=∆+= 1212 ou podemos escrever:

( )h

xfhxfx

xfxxfxmhx

)()(lim)()(lim 11

0

11

01−+=

∆−∆+=

→→∆.

Equação da Reta Tangente

Se a função )(xf é contínua em )(1 fDx ∈ , então a reta tangente à curva )(xfy = em ( ))(, 11 xfxP é:

a) A reta que passa por P tendo inclinação ( )h

xfhxfx

xfxxfxmmhx

)()(lim)()(lim 11

0

11

01−+=

∆−∆+==

→→∆, se

este limite existe. Neste caso, temos a equação: )()( 11 xxmxfy −=− .

b) A reta 1xx = , se h

xfhxfh

)()(lim 11

0

−+→

for infinito.

Exemplos:

1. Encontre a inclinação da reta tangente à curva 122 +−= xxy no ponto ( )11, yx .

60

2. Encontre a equação da reta tangente à curva 32 2 += xy no ponto cuja abscissa é 2.

3. Encontre a equação da reta tangente à curva xy = , que seja paralela à reta 0148 =+− yx .Lembrete: Duas retas são paralelas se, e somente se, seus coeficientes angulares são iguais.

4- Encontre a equação para a reta normal à curva 2xy = no ponto ( )4,2P .Lembretes:

a) Reta normal a uma curva no ponto P é a reta perpendicular à reta tangente à curva no ponto P;b) Duas retas de coeficientes angulares m1 e m2 são perpendiculares se, e somente se, m1 . m2 = – 1.

61

4.2- Velocidade e Aceleração

Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que )(tss = represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t. Então, no intervalo de tempo entre ttt ∆+ e , o corpo sofre um deslocamento

)()( tsttss −∆+=∆ .

1. Velocidade

Velocidade média do corpo no intervalo de tempo entre ttt ∆+ e é o quociente do espaço percorrido

pelo tempo gasto em percorrê-lo, isto é, t

tsttstsvm ∆

−∆+=∆∆= )()(

.

Velocidade instantânea do corpo no instante t ou velocidade no instante t é o limite das velocidades

médias quando t∆ se aproxima de zero, isto é, t

tsttststv

tt ∆−∆+=

∆∆=

→∆→∆

)()(limlim)(00

.

2. Aceleração

Aceleração média do corpo no intervalo de tempo entre ttt ∆+ e é dada por t

tvttvtvam ∆

−∆+=∆∆= )()(

.

Aceleração instantânea do corpo no instante t é o limite das acelerações médias quando t∆ se aproxima

de zero, isto é, t

tvttvtat ∆

−∆+=→∆

)()(lim)(0

.

Exemplos:

1. No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dado por 216)( ttts −= . Determine:

a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [ ]4,2 ;

b) a velocidade do corpo no instante t = 2;

c) a aceleração média no intervalo [ ]4,0 ;

d) a aceleração no instante t = 4.

62

2. A equação do movimento de um corpo em queda livre é 2

21 gts = , onde 2/8,9 smg ≅ é a aceleração

da gravidade. Determine a velocidade e a aceleração do corpo em um instante qualquer t.

4.3- A Derivada de uma Função num Ponto

A derivada de uma função )(xf no ponto 1x , denotada por )(' 1xf , é definida pelo limite

xxfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

)()(lim)(' 11

01 , quando este limite existe. Neste caso, dizemos que a função )(xf é

derivável (ou diferenciável) no ponto 1x .

Também podemos escrever: 12

1211

01)()(lim)()(lim)('

12 xxxfxf

hxfhxfxf

xxh −−=−+=

→→.

Observação: Como vimos, este limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva )(xfy = no ponto ))(,( 11 xfx . Portanto, geometricamente, a derivada da função )(xfy = no ponto 1x representa a

inclinação da curva neste ponto.

4.4- A Derivada de uma Função

A derivada de uma função )(xfy = é a função denotada por )(' xf tal que seu valor em qualquer

)( fDx ∈ é dado por x

xfxxfxfx ∆

−∆+=→∆

)()(lim)(' 0

, se este limite existir.

Dizemos que uma função é derivável (ou diferenciável) quando existe derivada em todos os pontos de seu domínio.

Outras notações podem ser usadas no lugar de )(' ' xfy = :a) )(xfDx (lê-se derivada de f(x) em relação a x);b) yDx (lê-se derivada de y em relação a x);

c) dxdy

(lê-se derivada de y em relação a x).

63

Exemplos:

1. Dada a função 165)( 2 −+= xxxf , encontre )2(' f .

2. Dada a função 32)(

+−=

xxxf , encontre )(' xf .

3. Dada xxf =)( , encontre )4(' f .

4. Dada 31

)( xxf = , encontre )(' xf .

64

4.5- Continuidade de Funções Deriváveis

TeoremaToda função )(xfy = derivável num ponto )(1 fDx ∈ é contínua nesse ponto.

Demonstração:

Sendo f derivável em 1x então 1

11

)()(lim)(' 1 xx

xfxfxfxx −

−=→

existe.

Assim temos:

[ ] ( ) ( ) 00).(' lim.)()(lim.)()(lim)()(lim 111

11

1

11

1111

==−−−=

−

−−=−

→→→→xfxx

xxxfxfxx

xxxfxfxfxf

xxxxxxxx.

Logo, [ ] [ ] )()(0)(lim)()(lim)()()(lim)(lim 1111111111

xfxfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxxxx

=+=+−=+−=→→→→ .

Portanto, f é contínua em 1x .

4.6- Exercícios

Páginas 127 e 128 do livro texto.

4.7- Derivadas Laterais

Definições:Seja )(xfy = uma função definida no intervalo ( )ba, e ( )bax ,1 ∈ .

a) A derivada à direita de 1 em xf , denotada por )(' xf+ , é definida por

1

111

01

)()(lim)()(lim)('1 xx

xfxfh

xfhxfxfxxh −

−=−+=++ →→

+ , caso este limite exista.

b) A derivada à esquerda de 1 em xf , denotada por )(' xf− , é definida por

1

111

01

)()(lim)()(lim)('1 xx

xfxfh

xfhxfxfxxh −

−=−+=−− →→

− , caso este limite exista.

c) Uma função é derivável em um ponto 1x se, e somente se, as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais.

d) Quando as derivadas laterais (direita e esquerda) existem e são diferentes em um ponto 1x , dizemos que o ponto ( ))(, 11 xfx é um ponto anguloso do gráfico de f.

e) Uma função f definida no intervalo [ ]ba, é derivável em [ ]ba, se é derivável no intervalo aberto ( )ba, e se existem a derivada à direita e a derivada à esquerda da função f em a e b, respectivamente.

Observação: Para fazer uma análise gráfica da existência da derivada em um ponto, podemos traçar retas secantes que passam pelo ponto dado e por outro na sua vizinhança e observar a sua posição limite (posição de tangência). Quando as secantes não têm uma única posição limite ou se tornam verticais, a derivada não existe. No primeiro caso, estamos diante da situação em que as derivadas laterais existem, mas são diferentes (ponto anguloso) e não há reta tangente à curva neste ponto; no segundo caso, as retas

65

secantes convergem para a posição vertical e, se − ∞=+ ∞=−+ →→

)(' lim e )(' lim11

xfxfxxxx ou

+ ∞=− ∞=−+ →→

)(' lim e )(' lim11

xfxfxxxx , dizemos que estamos diante de um ponto cuspidal do gráfico de f ,

sendo 1xx = a reta tangente neste caso.

Exemplos:

1. Seja f a função definida por

≥−<−

=2 se , 72 se , 13

)(xxxx

xf .

a) Esboce o gráfico de f.b) Mostre que f é contínua em 2.c) Encontre )2('+f e )2('−f .d) A função f é derivável em 2? Justifique sua resposta.

2. Seja a função ( ) xxxf . 2)( −= .a) Encontre )0('+f e )0('−f .b) A função f é derivável em x = 0? Justifique sua resposta.

4.8- Exercícios

Páginas 132 e 133 do livro texto.

66

4.9- Regras de Derivação

As regras de derivação permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição.

R1 – Derivada de uma Constante

Se c é uma constante e cxf =)( , para todo Rx ∈ , então 0)(' =xf .

Demonstração:

00limlim)()(lim)(' 000

==−=−+=→→→ hhh h

cch

xfhxfxf .

R2 – Regra da Potência (expoente positivo)

Se n é um número inteiro positivo e nxxf =)( , então 1 )(' −= nxnxf .

Demonstração:

( ) =−+

−

++

+

+

=−+=−+=

−−−

→→→ h

xhxhn

nhx

nhx

nx

hxhx

hxfhxfxf

nnnnnn

h

nn

hh

1221

000

1...

21limlim)()(lim)('

=

+

−

++

+

=

+

−

++

+

= −−−−

→

−−−−

→

1221

0

1221

0 1...

21lim

1...

21lim nnnn

h

nnnn

hhxh

nn

hxn

xn

h

hxhn

nhx

nx

nh

1111 )!1( 1)!1(

)!1( !1!

1−−−− =

−−=

−=

= nnnn xnx

nnnx

nnx

n.

Exemplos:a) Se 5)( xxf = então 45)(' xxf = .b) Se xxg =)( então 1)(' =xg .c) Se 10)( xxh = então 910)(' xxh = .

R3 – Derivada do produto de uma constante por uma função

Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por )()( xcfxg = .Se )(' xf existe, então )(' )(' xcfxg = .

Demonstração:

)(' )()(lim)()(lim)()(lim)()(lim)(' 0000

xcfh

xfhxfch

xfhxfch

xcfhxcfh

xghxgxghhhh

=−+=

−+=−+=−+=

→→→→

Exemplos:a) Se 28)( xxf = então xxxf 16)2(8)(' == .b) Se 72)( ttg −= então 66 14)7(2)(' tttg −=−= .

67

R4 – Derivada de uma soma

Sejam f e g duas funções e s a função definida por )()())(()( xgxfxgfxs +=+= .Se )(' xf e )(' xg existem, então )(' )(' )(' xgxfxs += .

Demonstração:[ ] [ ] =+−+++=−+=

→→ hxgxfhxghxf

hxshxsxs

hh

)()()()(lim)()(lim)(' 00

[ ] [ ] )(' )(' )()(lim)()(lim)()()()(lim000

xgxfh

xghxgh

xfhxfh

xghxgxfhxfhhh

+=−++−+=−++−+=→→→

.

Exemplos:a) Se 583)( 4 ++= xxxf então 81201.8)4(3)(' 33 +=++= xxxf .b) Se 7249)( 25 ++−= ttttg então 2845)(' 4 +−= tttg .

R5 – Derivada de um produto

Sejam f e g duas funções e p a função definida por )().())(.()( xgxfxgfxp == .Se )(' xf e )(' xg existem, então )().(' )(').()(' xgxfxgxfxp += .

Demonstração:[ ] [ ] =−++=−+=

→→ hxgxfhxghxf

hxphxpxp

hh

)().()().(lim)()(lim)(' 00

[ ] [ ]

).(' ).()(' ).(

)()().(lim)()().(lim)()().()()().(lim

)().()().()().()().(lim

000

0

xfxgxgxfh

xfhxfxgh

xghxghxfh

xfhxfxgxghxghxfh

xgxfxghxfxghxfhxghxf

hhh

h

+=

=−++−++=−++−++=

=−+++−++=

→→→

→

Exemplos:a) Se )).(12()( 243 xxxxf +−= então )).(6()24).(12()(' 24233 xxxxxxxf +++−= .

b) Se )4).(5(21)( 62 ttttg ++= então )4).(2(

21)46).(5(

21)(' 652 ttttttg ++++= .

R6 – Derivada de um quociente

Sejam f e g duas funções e q a função definida por )()()()(

xgxfx

gfxq =

= , onde 0)( ≠xg .

Se )(' xf e )(' xg existem, então [ ]2)()(' ).()(' ).()('

xgxgxfxfxgxq −= .

Demonstração:

=+

+−+=−

++

=−+=→→→ )().(

)().()().(.1lim)()(

)()(

lim)()(lim)(' 000 xghxg

hxgxfxghxfhh

xgxf

hxghxf

hxqhxqxq

hhh

68

[ ] .)(

)(' ).()().(' )(lim).(lim

)()(lim).(lim)(lim.)()(lim

)().(

)()()()(.)()(

lim)().(

)().()().()().()().(.1lim

2

00

0000

00

xgxgxfxgxf

xghxgh

xghxgxfxgh

xfhxfxghxg

hxghxgxfxg

hxfhxf

xghxghxgxfxgxfxgxfxghxf

h

hh

hhhh

hh

−=+

−+−−+

=

=+

−+−−+

=+

+−+−+=

→→

→→→→

→→

Exemplos:

a) Se 35

32)( 2

4

+−−=xx

xxf então 22

432

)35()52).(32()8).(35()('

+−−−−+−=

xxxxxxxxf .

b) Se x

xg 1)( = então 22

11.10.)(' xx

xxg −=−= .

R7 – Regra da Potência (expoente negativo)

Se nxxf −=)( , onde n é um número inteiro positivo e 0≠x , então 1 )(' −−−= nxnxf .

Demonstração:

Como nn

xxxf 1)( == − então 1

2

1

2

1

)(

.10.)(' −−−−

−=−=−= nn

n

n

nn

xnx

xnx

xnxxf .

4.10- Exercícios

Páginas 138 e 139 do livro texto.

4.11- Derivada da Função Composta (Regra da Cadeia)

TeoremaSejam )( e )( xfuugy == funções deriváveis, com Im(f) ⊂ D(g).Então a composta ))(( xfgy = é derivável e vale a regra da cadeia:

dxdu

dudy

dxdyxfxfgxfugxy . seja,ou ),(' )).((' )(' ).(' )(' === .

Exemplos:

1. Dada a função 72 )25( ++= xxy , determinar dxdy

.

2. Dada a função 5

1223

++=

xxy , encontrar ' y .

69

3. Dada a função 2232 ).()13( xxxy −+= , determinar ' y .

Proposição (Regra da Potência para Funções Quaisquer)

Se )(xgu = é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então

[ ] [ ] )(' .)()( 1 xgxgnxgdxd nn −= .

Demonstração:Fazendo )( onde , xguuy n == , e aplicando a Regra da Cadeia, temos:

[ ] [ ] )(' .)( )(' . . )( 11 xgxgnxgundxdu

dudy

dxdyxg

dxd nnn −− ==== .

Observação: A Regra da Potência pode ser generalizada como segue e será demonstrada mais adiante:Se )(xgu = é uma função derivável e r é um número racional não nulo qualquer, então

[ ] [ ] ( ) ' . ' seja,ou , )(' .)()( 11 uuruxgxgrxgdxd rrrr −− == .

Exemplos:

1- Dada a função 55)( 2 += xxf , determinar )(' xf .

2- Dada a função 3 3

2

1)(

+=

tttg , determinar )(' tg .

3- Determinar a derivada das seguintes funções:a) ( ) xxxy +++= 38 42

b) 3

12 −+=

xxy

c) 3 2 276 ++= xxy70

4.12- Derivada da Função Inversa

TeoremaSeja )(xfy = uma função definida em um intervalo aberto ( )ba, . Suponhamos que )(xf admita

uma função inversa )(ygx = contínua. Se )(' xf existe e é diferente de zero para qualquer ( )bax ,∈ ,

então ( ))(' 1

)(' 1)(' valee derivável é 1

ygfxfygfg === − .

Demonstração:Sejam )()( e )( xfxxfyxfy −∆+=∆= . Observamos que, como f possui uma inversa, se

0≠∆ x temos que )()( xfxxf ≠∆+ e, portanto, 0≠∆ y . Como f é contínua, quando 0→∆ x temos que 0→∆ y .Da mesma forma, quando 0→∆ y , então )()( ygyygx −∆+=∆ também tende a zero.Por outro lado, para qualquer )(xfy = vale a identidade:

xxfxxfxfxxf

xxfxxf

xxxy

ygyyg

∆−∆+=

−∆+∆=

−∆+−∆+=

∆−∆+

)()(1

)()()()()()()(

.

Como )(' xf existe e é diferente de zero para qualquer ( )bax ,∈ obtemos

)(' 1

)()(lim

1)()(lim

0

0 xfx

xfxxfyygyyg

x

y=

∆−∆+=

∆−∆+

→∆

→∆ .

Concluímos que )(' 1)(' valee existe )('

xfygyg = .

Exemplos:

1- Seja 34)( −== xxfy . A sua inversa é dada por )3(41)( +== yygx . Temos

41)(' e 4)(' == ygxf .

2- Seja 38xy = . Sua inversa é 3

21 yx = .

Como 224' xy = é maior que zero para todo x ≠ 0 temos 322

32

6

1

2124

124

1

yyxdy

dx =

==.

Para x = 0 temos y = 0 e 0' =y . Logo, não podemos aplicar o teorema para x = 0.

4.13- Derivadas das Funções Elementares

4.13.1 – Derivada da Função ExponencialSe xay = , sendo 1 e 0 ≠> aa , então aay x ln.' = . Em particular, se xey = , então xx eeey == ln.' .

Demonstração:Seja xaxfy == )( . Temos:

aah

aah

aah

aah

xfhxfxf xh

h

x

h

hx

h

xhx

hhln.1lim . lim)1(limlim)()(lim)('

00000=−=−=−=−+=

→→→

+

→→.

71

4.13.2 – Derivada da Função Logarítmica

Se xy alog= , sendo 1 e 0 ≠> aa , então ex

y alog1' = . Em particular, se xy ln= , entãox

ex

y 1ln1' == .

Demonstração: Seja xxfy alog)( == . Temos:

=

+=

+=

+

=−+=−+=→→→→→ x

hhx

hxhh

xhx

hxhx

hxfhxfxf ahah

a

h

aa

hh1log1limlog1lim

loglimlog)(loglim)()(lim)('

00000

=

+=

+=

+=

+=

+=

→→→→→

xx

h

ha

h

ha

h

ha

h

ha

h

ahh

xh

xh

xh

h

xh

xh

.1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

11limlog11limlog1limlog1limlog1loglim

ex

eh

x ax

a

xhx

ha log.1log11limlog1

1

0==

+=

→.

4.13.3 – Derivada da Função Exponencial CompostaSe vuy = , onde )( e )( xvvxuu == são funções de x, deriváveis num intervalo aberto I e 0)( >xu ,

Ix ∈∀ , então ' . ln. ' ..' 1 vuuuuvy vv += − .

Demonstração: Usando as propriedades de logaritmos, podemos escrever uvuv eeuy

v ln.ln === . Assim, ))(( xgofy = , onde ln.)( e )( uvxfwewg w === .

Como existem as derivadas ' . ln' ..

1.)(' e )(' vuuu

vxfewg w +== , pela regra da cadeia temos:

' . ln.' ..' . ln.' ..' . ln' .' . ln' ..)(' ).(' ' 1ln. vuuuuvvuuuuvuvu

uuvevu

uuvexfwgy vvvvuvw +=+=

+=

+== − .

Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções exponencial e logarítmica:

' . ln.' )1 e 0( uaayaaay uu =⇒≠>= ' .' ueyey uu =⇒=

euuyaauy aa log' ' )1 e 0( log =⇒≠>=

uuyuy ' ' ln =⇒=

Exemplos:

Determinar a derivada das seguintes funções:a) 132 2

3 −+= xxy

72

b) x

y

=

21

c) 11

−+

= xx

ey

d) xxey ln.=

e) )173(log 22 −+= xxy

f)

+

=1

lnxey

x

g) ( ) 122 1 −+= xxy

4.13.4 – Derivadas das Funções Trigonométricas

a) Derivada da Função SenoSe senxy = , então xy cos' = .

Demonstração:

=+=

+

=

++−+

=−+=→→→→→ 2

2coslim.

2.2

22

lim22cos.

22

lim2cos.

22

lim)(lim' 00000

hxh

hsen

h

hxhsen

h

xhxxhxsen

hsenxhxseny

hhhhh

xx coscos.1 == .

b) Derivada da Função CossenoSe xy cos= , então senxy −=' .

Demonstração:

=+−=

+−=

−+++−=−+=

→→→→→

2.2

2lim.2

2lim22.

222

lim2.

22

limcos)cos(lim' 00000 h

hsenhxsenh

hsenhxsen

h

xhxsenxhxsen

hxhxy

hhhhh

senxsenx −=−= 1.21.2 .

73

c) Derivadas das demais Funções TrigonométricasComo as demais funções Trigonométricas são definidas a partir do seno ou cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas.

Por exemplo, se x

senxtgxycos

== então xxx

xsenxx

senxsenxxxy 222

22

2 seccos

1cos

cos)(cos

)(cos.cos' ==+=−−= .

Analogamente, encontramos:xygxy 2seccos' cot −=⇒=

tgxxyxy .sec' sec =⇒= gxxyxy cot.seccos' seccos −=⇒=

Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções trigonométricas:

' . cos' uuysenuy =⇒= ' . ' cos usenuyuy −=⇒=

' . sec' 2 uuytguy =⇒= ' . seccos' cot 2 uuyguy −=⇒=

' . . sec' sec utguuyuy =⇒= ' . co . seccos' seccos utguuyuy −=⇒=

Exemplos:

Determinar a derivada das seguintes funções:a) )( 2xseny =

b)

=

xy 1cos

c) xgxtgy 3cot3 +=

d) gxxy

cot1cos

+=

e) )73sec( 2 ++= xxy

f)

−+=

11seccos

xxy

74

4.13.5 – Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

a) Derivada da Função Arco Seno

Seja [ ]

−→−

2,

21,1: ππf definida por senxarcxf )( = .

Então )(xfy = é derivável em ( )1,1− e 211'

xy

−= .

Demonstração:

Sabemos que:

−∈=⇔=

2,

2 , ππysenyxarcsenxy . Como ' )(seny existe e é diferente de zero para

todo

−∈

2,

2ππy , aplicando o teorema da função inversa obtemos:

( )1,1 para , 1

11

1cos

1' )(

1' 22

−∈−

=−

=== xxysenyseny

y .

b) Derivada da Função Arco CossenoSeja [ ] [ ]π,01,1: →−f definida por xarcxf cos )( = .

Então )(xfy = é derivável em ( )1,1− e 211' x

y−

−= .

Demonstração:

Usando a relação senxarcxarc 2

cos −= π obtemos:

( ) ( )1,1 para , 1

1' 2

' cos ' 2

−∈−

−=

−== x

xsenxarcxarcy π

.

c) Derivada da Função Arco Tangente

Seja

−→

2,

2: ππRf definida por tgxarcxf )( = .

Então )(xfy = é derivável e 211' x

y+

= .

Demonstração:

Sabemos que:

−∈=⇔=

2,

2 , ππytgyxarctgxy . Como ' )(tgy existe e é diferente de zero para todo

−∈

2,

2ππy , aplicando o teorema da função inversa obtemos:

222 11

11

sec1

' )(1'

xytgytgyy

+=

+=== .

75

d) Derivada da Função Arco CotangenteSeja ( )π,0: →Rf definida por xarcxf cotg )( = .

Então )(xfy = é derivável e 211' x

y+−= .

Demonstração:

Usando a relação tgxarcgxarc 2

cot −= π obtemos:

( ) 211'

2' cot '

xtgxarcgxarcy

+−=

−== π

.

e) Derivada da Função Arco Secante

Seja ( ] [ )

∪

→+ ∞∪−∞− πππ ,

22,0,11,:f definida por xarcxf sec )( = .

Então )(xfy = é derivável em ( ) ( )+ ∞∪−∞− ,11, e 1

1' 2 −

=xx

y .

Demonstração:

Usando a relação

=

xarcxarc 1cos sec e a regra da cadeia obtemos:

( ) =−

=−

=−−

−=

−

−=

==

xxx

xxxx

xx

x

arcxarcy1.

11.

11.1

1' x1.

11

1' x1cos ' sec '

22

2

222

2

22

1 onde , 1.

11. 222 >

−=

−= x

xxxx

x.

f) Derivada da Função Arco Cossecante

Seja ( ] [ )

∪

−→+ ∞∪−∞−

2,00,

2,11,: ππf definida por xarcxf cossec )( = .

Então )(xfy = é derivável em ( ) ( )+ ∞∪−∞− ,11, e 1

1' 2 −

−=xx

y .

Demonstração:

Usando a relação

=

xsenarcxarc 1 cossec e a regra da cadeia obtemos:

( ) =−

−=−

−=−−

=

−

=

==

xxx

xxxx

xx

x

senarcxarcy1.

11.

11.1

1' x1.

11

1' x1 ' cossec '

22

2

222

2

22

1 onde , 1.

11. 222 >

−−=

−

−= x

xxxx

x.

76

Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções trigonométricas inversas:

21' ' u

uysenuarcy−

=⇒=

21' ' cos u

uyuarcy−

−=⇒=

21' ' u

uytguarcy+

=⇒=

21' ' cot

uuyguarcy

+−=⇒=

1.' ' sec 2 −

=⇒=uuuyuarcy

1.' ' seccos

2 −−=⇒=uuuyuarcy

Exemplos:

Determinar a derivada das seguintes funções:a) )1( += xsenarcy

b)

+−= 2

2

11

xxtgarcy

4.13.6 – Derivadas das Funções Hiperbólicas

Como as Funções Hiperbólicas são definidas em termos da função exponencial, podemos determinar suas derivadas usando as regras de derivação já estabelecidas.

Por exemplo, se ( ) ( ) xeeeeyeesenhxy xxxxxx

cosh21)1(

21' então

2=+=−−=−== −−

−

.

Analogamente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas.

Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções hiperbólicas:

' . cosh' uuysenhuy =⇒= ' . ' cosh usenhuyuy =⇒=

' . sec' 2 uuhytghuy =⇒= ' . seccos' cot 2 uuhyghuy −=⇒= ' . . sec' sec utghuhuyhuy −=⇒=

' . co . seccos' seccos utghuhuyhuy −=⇒=

77

Exemplos:

Determinar a derivada das seguintes funções:a) )3( 3 += xsenhy

b) )2(sec xhy =

c) [ ])3(ln xtghy =

d) )1(cot 3xghy −=

4.13.7 – Derivadas das Funções Hiperbólicas Inversas

Vimos que senhxy arg= pode ser expresso na forma ( )1ln 2 ++= xxy . Assim,

( ) ( )1

11

1.1

111

1

1

2.1211

1' 1'

222

2

2

2

2

21

2

2

2

+=

+++++=

+++

+=

++

++=

++++=

−

xxxxxx

xxx

x

xx

xx

xxxxy .

Analogamente obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas inversas.

Observação: Usando a regra da cadeia obtemos as fórmulas gerais das derivadas das funções hiperbólicas inversas:

1' ' arg

2 +=⇒=

uuysenhuy

1 , 1

' ' cosharg2

>−

=⇒= uuuyuy

1 , 1

' ' arg 2 <−

=⇒= uu

uytghuy

1 , 1

' ' cotarg 2 >−

=⇒= uu

uyghuy

10 , 1

' ' secarg2

<<−

−=⇒= uuu

uyhuy

0 , 1

' ' seccosarg2

≠+

−=⇒= uuu

uyhuy

Exemplos:

Determinar a derivada das seguintes funções:a) 22 cosharg. xxy =

b) )3(arg xsentghy =

c) 1arg. 2 +−= xsenhxxy

78

4.14- Tabela Geral de Derivadas

Sejam u e v funções deriváveis de x e c, α e a constantes.

79

4.15- Exercícios

Páginas 159, 160, 161, 162 e 163 do livro texto.

4.16- Derivadas Sucessivas

Definição Seja f uma função derivável. Se ' f também for derivável, então a sua derivada é chamada derivada

segunda de f e é representada por '' f (lê-se f duas linhas) ou 2

2

dxfd (lê-se derivada segunda de f em

relação a x). Se '' f é uma função derivável, sua derivada, representada por ''' f , é chamada derivada terceira de f. A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f , representada por (n) f , é obtida derivando-se a derivada de ordem (n – 1) de f.

Exemplos:

1- Se 183)( 2 ++= xxxf , então 6)('' e 86)(' =+= xfxxf .

2- Se tgxxf =)( , então tgxxtgxxxxfxxf .sec2.sec.sec2)('' e sec)(' 22 === .

3- Se 1)( 2 += xxf , então

( ) ( ) ( ) ( )( )32

2

221

223

221

221

2

1111.12.1.

21.)('' e 12.1

21)('

+−

+=+++

−=+=+= −−−−

x

xx

xxxxxfxxxxxf .

4- Se 25 83)( xxxf += , então6 ,0)( e 360)( , 360)( , 180)(''' , 1660)('' , 1615)(' )()5()4(234 ≥====+=+= nxfxfxxfxxfxxfxxxf n .

5- 2)(x

exf = , então 2)(222

21 ,

81)(''' ,

41)('' ,

21)('

x

nn

xxx

efexfexfexf ==== .

6- Se senxxf =)( , então senxfxxfsenxxfxxf =−=−== )4( , cos)(''' , )('' , cos)(' , ou seja,

==−=−=

=

,...12,8,4 para , ,...11,7,3 para , cos,...10,6,2 para ,

,...9,5,1 para , cos

)()(

nsenxnxnsenxnx

xf n .

80

4.17- Derivação Implícita

Definição – Função na forma implícita Consideremos a equação 0),( =yxF . Dizemos que a função )(xfy = é definida implicitamente pela equação 0),( =yxF , se substituirmos y por )(xf em 0),( =yxF , esta equação se transforma em uma identidade.

Exemplos:

1- A equação 01212 =−+ yx define implicitamente a função )1(2 2xy −= .

De fato, substituindo )1(2 2xy −= na equação 01212 =−+ yx , obtemos a identidade 01)1(2.

21 22 =−−+ xx .

2- A equação 422 =+ yx define implicitamente uma infinidade de funções.

Por exemplo, 22 , onde , 2 se , 4

2 se , 4)( , 4 , 4

2

222 <<−∈

<≤−−−

≤≤−=−−=−= cRc

cxx

xcxxhxyxy c .

3- Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função definida implicitamente, como por exemplo )(xfy = definida implicitamente pela equação 0ln234 =++ yxyy .

A Derivada de uma Função na Forma Implícita Suponhamos que 0),( =yxF define implicitamente uma função derivável )(xfy = . Os exemplos que seguem mostram que, usando a regra da cadeia, podemos determinar ' y sem explicitar y.

1- Sabendo que )(xfy = é uma função derivável definida implicitamente pela equação 422 =+ yx , determinar ' y .

81

2- Sabendo que )(xfy = é definida pela equação yxyxy 22 32 −=+ , determinar ' y .

3- Se )(xfy = é definida por 0.22 =+ senyxyx , determinar ' y .

4- Determinar a equação da reta tangente à curva 01212 =−+ yx no ponto ( )0,1− .

5- Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à circunferência de centro ( )0,2 e raio 2, nos pontos de abscissa 1.

4.18- Exercícios

Páginas 176 e 177 do livro texto (números 1 ao 22).82