Capítulo 5 Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 2ª Edição © Gerson Lachtermacher,2005...

Capítulo 5

Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões

2ª Edição© Gerson Lachtermacher,2005

Problemas de Rede

Capítulo 5

Conteúdos do Capítulo

Problema de Transporte Caso LCL Bicicletas

Sem/Com Dummy Como Modelos de Rede

Caso LCL Fórmula 1 Ltda. Caso LCL Construções S.A.

Problemas de Rede de Distribuição; Caso Frod Brasil Caso LCL Eletrodomésticos

Problemas do Menor Caminho; Problemas de Fluxo Máximo;

Capítulo 5

Problema de TransporteCaso LCL Bicicletas

Centro Consumidor

Fábrica Recife Salvador Manaus Capacidade

Rio 25 20 30 2000São Paulo 30 25 25 1500B.Horizonte 20 15 23 1500Demanda 2000 2000 1000

A LCL Bicicletas possui 3 fábricas localizadas no Rio, São Paulo e Belo Horizonte. A produção deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus. Considerando os custos de transporte unitários, as capacidades de produção das fábricas e as demandas dos centros consumidores que estão especificados na tabela a seguir, determine quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro consumidor de forma a minimizar os custos de transporte.

Capítulo 5

Problema de Transporte:Modelo Tradicional

Existem 9 variáveis para expressar a quantidade transportada em cada uma das possíveis vias. xij = Quantidade transportada da fábrica i para o centro

consumidor j.

Horizonte Belo 3

Paulo São 2

Rio 1

i

Manaus 3

Salvador 2

Recife 1

j

Capítulo 5

Problema de Transporte:Variáveis de Decisão

RIO

SP

BHZ

REC

SSA

MAN

x11

x12

x13

x21

x22

x23

x31

x32

x33

Centro Consumidor

Fábrica REC SSA MAN

Rio x11 x12 x13

SP x21 x22 x23

BH x31 x32 x33

Capítulo 5

Problema de Transporte:Modelo Tradicional

0

1000

2000

2000

1500

1500

2000

s.t.

231520

252530302025

332313

322212

312111

333231

232221

131211

333231

232221131211

ijx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxMin

Capítulo 5

Problemas de Transporte:Propriedades

Soluções Inteiras:

Para problemas de transporte onde os valores das ofertas, oi e

demandas dj , sejam números inteiros, todos os valores das

variáveis das soluções básicas viáveis, incluindo a solução

ótima, também serão inteiros.

Capítulo 5

A condição necessária e suficiente para um problema de transporte com n fábricas e m centros consumidores tenha solução é dada por:

Total da Capacidade = Total da demanda

m

jj

n

ii df

11

Problemas de Transporte:Propriedades

Capítulo 5

Problema de TransporteOferta Diferente da Demanda

A regra das variáveis fantasma (Dummy): No caso de Oferta Demanda devemos introduzir

um destino fantasma; No caso de Demanda Oferta devemos introduzir

uma oferta fantasma; Todos os custos relacionados às variáveis fantasma

serão nulos; A oferta ou a demanda fantasma será dada pela

diferença entre o total ofertado e total demandado.

Capítulo 5


Modificando a oferta de São Paulo de 1500 para 3000

Demanda total menor que a Oferta total!

Centro Consumidor Capacidade

Fábrica Recife Salvador Manaus (oferta)

Rio 25 20 30 2000

São Paulo 30 25 25 3000

B.Horizonte 20 15 23 1500

Demanda 2000 2000 1000

Capítulo 5


Centro Consumidor

Fábrica Recife Salvador Manaus Dummy Capacidade

Rio 25 20 30 0 2000

São Paulo 30 25 25 0 3000

B.Horizonte 20 15 23 0 1500

Demanda 2000 2000 1000 1500

Cria-se um consumidor Dummy:

Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Resolvendo no Excel

Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Parâmetros e Opções do Solver

Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Resolvendo no Excel

Capítulo 5

Problemas de TransporteSolução Alternativa

As Variáveis Dummy não são obrigatórias, apenas facilitam a interpretação do resultado da otimização.

Capacidade > Demanda: Criação de consumidor

dummy Interpretação: capacidade

ociosa Alternativa: restrições

de oferta com sinal

Demanda > Capacidade: Criação de fábrica

dummy Interpretação: demanda

não atendida; Alternativa: restrições

de demanda com sinal

Capítulo 5

Caso LCL Bicicletas Modelo sem Fantasma no Excel

Todas as fórmulas são idênticas...

Capítulo 5


As restrições de oferta estão com sinal

Capítulo 5


Capítulo 5

Modelos em Rede

Modelos de rede podem ser utilizados em diversas áreas tais como transportes, energia e comunicações para modelagem de diversos tipos de problemas.

Uma rede é um conjunto de vértices ou nós ligados entre si por um conjunto de arcos.

Nós

arcos

Capítulo 5

Caso LCL BicicletasRepresentação Como Problema de Rede

Sem Utilização de Variáveis Dummy

Capítulo 5


Com Utilização de Variáveis Dummy

Capítulo 5

Regra de Fluxo Balanceado

Uma maneira de modelar um problema de rede é seguir

a Regra Fluxo Balanceado para cada nó.

No Caso de Oferta Total = Demanda Total

nó do

andaOferta/Dem

nó no

saídas de total

nó no

entradas de total

Capítulo 5

Regra de Fluxo Balanceado

nó do

andaOferta/Dem

nó no

saídas de total

nó no

entradas de total

nó do

andaOferta/Dem

nó no

saídas de total

nó no

entradas de total

Caso a Oferta Total > Demanda Total

Caso a Oferta Total < Demanda Total

Capítulo 5


=SOMASE($C$4:$C$15;H4;$F$4:$F$15)-SOMASE($A$4:$A$15;H4;$F$4:$F$15)

Capítulo 5


Capítulo 5

Problema de TransporteAplicações

O problema de transporte não é aplicado apenas a

problemas de distribuição de mercadorias das fábricas

para centros distribuidores;

O mesmo tipo de formulação pode ser aplicado a outros

tipos de problema, tais como: Problemas de Escalas de Produção;

Problemas de Lay-out de fábricas;

Capítulo 5

Caso LCL Fórmula 1 Ltda.

A LCL Fórmula 1 Ltda. fornece motores para um grande nº de equipes de fórmula 1. A companhia detém uma série de contratos de entregas futuras programadas para o próximo ano. As entregas deverão ocorrer trimestralmente de acordo com as necessidades das equipes. A tabela resume as entregas programadas, a capacidade máxima de produção, o custo de produção por trimestre e o custo de armazenamento. Formule o problema para achar o número de motores que devem ser fabricados em cada trimestre de maneira a atender os pedidos contratados.

* em milhões de reais

Capítulo 5

Fonte i = Produção de motores no trimestre i (i=1,..,4)

Destino j= entrega dos motores às equipes no trimestre j (j=1,..,4)

xij = nº de motores produzidos no trimestre i para entrega no trimestre j

cij = custo associado ao motor xi

Dj = nº de pedidos contratados Fi = capacidade de produção

no mês i


30202515101001,13043001,11533501,1402

2501,1251,1101,0951,0801Oferta5(D)4321

1,110 1,1251,10

Entrega dos Motores (trimestre)

Produçãono

Trimestre

Demanda

Capítulo 5


Capítulo 5

Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil

A Frod Brasil terá duas fábricas no Brasil, uma na Bahia e outra

em São Paulo, e está estudando a forma de distribuição de seus

carros para as diversas revendas de Minas Gerais.

A seguir é apresentada a possível rede de distribuição dos

veículos, seus custos de transporte unitários, demandas por

revenda e as capacidades das fábricas.

Formule o Problema de LP que resolva as rotas que devem ser

seguidas a partir das fábricas para atender as diversas revendas.

Capítulo 5


SP1

BA2

3

4

5

6

7

-500

-600

+200

+300

+250

+350

+350

40

20

2025

25

35

40

10

1010 10

1015

ofertademanda

Capítulo 5

Variáveis de Decisão xij – Nº de Carro remetidos de i para j Exemplo:

x14 – Nº de Carro remetidos de 1 para 4

Função-Objetivo = Minimizar o Custo de Distribuição

76

656756474536

272423151314

10

101015253525

402010402010

X

XXXXXX

XXXXXXMin


Capítulo 5


Como a oferta total é menor que a demanda total

devemos utilizar a seguinte restrição em todos os nós:

Entradas – Saídas < Oferta / Demanda no nó

Capítulo 5


Capítulo 5

A LCL Eletrodomésticos Ltda. deseja realizar o escalonamento de sua produção para os próximos 4 meses. Sua fábrica pode produzir mensalmente em horário normal 150 ferros de passar a um custo de R$5, e em horário extra, 50 unidades a um custo de R$ 7. Considere que é possível armazenar durante um mês a um custo unitário de R$1. Suponha que as demandas para os próximos quatro meses são de 120, 200,120 e 180.

Caso LCL Eletrodomésticos Ltda.

Capítulo 5


Para resolver este problema, criaremos uma rede onde:

Cada nó representará uma unidade produtora ou unidade receptora. São 8 unidades produtoras (2 por mês), e 5 unidades receptoras (4 meses mais o Dummy – visto que a capacidade produtiva é maior que a demanda);

Cada arco está relacionado ao custo de produção ou armazenagem.

Capítulo 5


-150

0

0

0

0

0

0

0

0

1

3-150

5-150

7-150

2-50

4-50

6-50

8-50

D +180

C +120

B +200

A +120

5

7

5

7

5

7

5

7

Dummy

E

+800-620=+180

1

1

1

Capítulo 5


=SOMASE($C$3:$C$21;F15;$E$3:$E$21)-SOMASE($B$3:$B$21;F15;$E$3:$E$21)

=somarproduto(D3:D21;E3:E21)

Capítulo 5


Capítulo 5

Problemas de Menor Caminho

Se considerarmos uma rede na qual o arco signifique a

distância entre dois pontos (nós) e desejarmos achar a

rota que une estes pontos com distância mínima,

teremos um problema do tipo do Menor caminho.

Este tipo de problema pode ser generalizado e aplicado

a distribuição de produtos, entre outros.

Capítulo 5

Problemas de Menor Caminho Exemplo

Considere a rede abaixo que representa a ligação rodoviária entre duas cidades (A e B). O tamanho dos arcos representa a distância entre pontos da malha rodoviária entre as cidades.

A B

4

3

2

140

30

3030

20

20

20

Capítulo 5

Este problema pode ser visto como um problema de rede de distribuição com um ponto de oferta de um caminhão (A=-1) e ponto de demanda de um caminhão (B=+1) e os demais pontos da malha sem demanda ou oferta (=0)


[-1] [+1]A B

4

3

2

140

30

3030

20

20

20

Capítulo 5


Capítulo 5

Problemas de Menor CaminhoSolução

Capítulo 5

Problema do Fluxo Máximo

Nesse tipo de problema temos uma rede de nós e arcos,

e desejamos que o maior fluxo de uma grandeza possa

fluir de um determinado nó para outro.

Nesse tipo de problema mais de um caminho pode ser

utilizado simultaneamente.

Aplicações Rede de distribuição de água, luz, gás e tráfego na internet.

Capítulo 5

Como resolver o problema? Adicionar um arco artificial ligando o ponto de saída (A) ao

ponto de chegada (B).

Maximizar o fluxo no arco artificial criado (fluxo grande).

Utilizar a regra de balanceamento de redes.

As grandezas associadas aos arcos são o fluxo máximo em

cada trecho da rede, portanto restrições no modelo.

O Valor de Oferta/Demanda em cada nó é igual a zero.

Problemas de RedeProblema do Fluxo Máximo

Capítulo 5


30

30

A B

4

3

2

140

30

20

20

40

30

30

A B

4

3

2

140

30

20

20

40

Capítulo 5


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