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Capitulo 9 – Resolução de Exercícios

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 115

FORMULÁRIO

Empréstimos a Curto Prazo (Juros Simples)

Taxa efetiva linear *

1l

ii

i n

; Taxa efetiva exponencial

1

* 11

1

n

eii n

Empréstimos a Longo Prazo

Relações Básicas

1 1

nk

kk

RC

i ; 11k kS i S

; k k kS S R ; 11k k kS i S R ; 1k k kS S A

1k k kA R i S ; k k kR A J (caso se tenha 1k ki S R );

1 1min ; ;c dk k k k kJ R i S J i S ;

Método Francês ou Tabela Price

1 1

1

n

n n i

iC R R a

i i

;

1

1 1

n

n

n i

i i CR C

ai

;

1

1 1n

n i

C iA C

s i

1

11 ; 1,2, ,

k

kA A i k n ;

Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

0 C - - -

1 1 1S C A 1

n i

CA

s

1 1J i C R A R

2 2 1 2S S A 2 11A i A 2 1 2J i S R A R

3 3 2 3S S A 3 21A i A 3 2 3J i S R A R

: : : : :

n 1 0n n nS S A 11n nA i A 1n n nJ i S R A R

Método Retrospectivo

1 2k k kS C A A A C A ;

1 1

1 1

k

k i

k n

n i

iC s

iA Cs i

i

;

1 11

1 1

k

k n

iS C

i

Método Prospectivo

1 1 1 1

1

n k k n

k n k n k i

i iS R R R a

ii i

; k kS S R ;

Método de Recorrência

1 1

1 1

k

k k

k k i

iS C i R C i R s

i



FORMULÁRIO

Juros Acumulados entre os períodos h e m

11 1

11 1

m h

n

i iJ m h R C

i

Método Americano ou do “Sinking Fund”

Período

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

0 C - - -

1 C - i C i C

2 C -

i C i C

n-1 C - i C i C

n 0 C i C i C C

Sinking Fund 1 1

n

iq C

i

; 1 1

n

iR C i q C i C

i

Método Alemão ou de Juros Antecipados


0 C 0J C i C i

1 1 1C A S 1

1 1n

A R i

1 1J R A 1 1

n

C iR

i

2 1 2 2S A S

12 1

1

AA

i

2 2J R A R

3 2 3 3S A S

13 2

1

AA

i

3 3J R A R

: : : : :

n-1 2 1 1n n nS A S

11 2

1n n

AA

i

1 1n nJ R A R

n 1 0n n nS A S

1

11

n n

AA

i

0n nJ R A

1

11

n n

AR A

i



FORMULÁRIO

Sistema de Amortizações Constantes

1 2 nA A A A ; C

An

; 1k

kS C

n

;

1

11k k

kJ i S i C

n

1

1k

i CR C i k

n n

;


0 C - - -

1 1 1C n C n i C 1 1R C i n

2 1 2C n C n 1 1i C n 2 1R R i C n

3 1 3C n C n 1 2i C n 3 2R R i C n

: : : : :

n 0 C n 1 1i C n n 1nR C i n

Sistema de Amortização Mista

; 1 1 1 ;TP SAC TP SAC

k k k k k

n i

C CR f R f i n k R R R

a n

;

1

11 ;

k

k

n i

n f iCA f

n s

1 1n k i

k

n i

f a kS C f

a n

1INT 1 1 1

n i

nk n

a i



9.9 — Exercícios Propostos

1) Certo indivíduo, contraiu uma dívida no valor de R$ 200.000,00, a ser resgatada em 2 anos,

em parcelas mensais, considerada a taxa de 12% a.a.c.m.. Construa o Quadro de

Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização.

a) Método Francês

b) Método Americano com formação de sinking fund à taxa de 6% a.a.c.m.

c) Método Alemão

d) Sistema de Amortização Constante

e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)

Solução

a) Método Francês




c) Método Alemão



d) SAC

e) SAM (40% TP/ 60% SAC)




em parcelas mensais, com carência de um ano, de amortização e juros, à taxa de 12%

a.a.c.m.. Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de

amortização.

a) Método Francês


c) Método Alemão



Solução

a) Método Francês

Nota

Nas planilhas, estamos mostrando, ao longo do prazo de diferimento (isto é, ao longo do prazo

de carência de amortização e de juros), os juros devidos; que, por não terem sido pagos,

implicam em acréscimo do saldo devedor.

Ao longo do prazo de diferimento, os juros contábeis são nulos; passando a coincidir com os

juros devidos após o prazo de diferimento.



c) Método Alemão

Nota

Optamos por dividir este exercício em duas partes. Na primeira parte, relativa ao prazo de

carência, calculamos o saldo devedor (R$ 225.365,01) ao final do prazo de carência, como se

nenhum juros fossem pagos.

Na segunda parte, referente ao prazo de amortização, como no sistema alemão os juros são

antecipados, o saldo ao final do prazo de carência deve ser utilizado para calcular os juros que

devem ser pagos no inicio do 13º período (final do 12º período). Isto é, existem duas parcelas

de juros: uma relativa ao 12º período de carência (R$ 2.231,34), que não é paga e incorporada

ao saldo devedor, e outra relativa ao 13º período (R$2.253,65) que é paga ao final do 12º

período (início do 13º período).



d) SAC

e) SAM (40% TP/ 60% SAC)




em parcelas mensais, com carência de um ano de amortização, à taxa de 12% a.a.c.m.

Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização.

a) Método Francês


c) Método Alemão



Solução

Observando que, ao longo de todo o prazo de 24 meses, os juros contábeis coincidem

com os juros devidos, temos:

a) Método Francês



c) Método Alemão

Mais uma vez, optamos por dividir o problema em duas partes. A primeira, com 12

meses de carência, onde os juros são pagos ao final de cada mês; a segunda, relativa à

fase de amortização, que se inicia no inicio do 13º período (final do 12º período).

Logo, na época 12 existem dois pagamentos de juros: o relativo ao 12º período de

carência e o juros relativos à antecipação do 13º mês (referente ao método alemão).

Ou seja são pagos R$ 4.000,00 de juros ao final do 12º período.



d) SAC

e) SAM (40% TP/ 60% SAC)




em 24 parcelas mensais e 4 parcelas semestrais de R$ 20.000,00, à taxa de 12% a.a.c.m.

Construa o Quadro de Amortização para cada um dos seguintes sistemas de amortização.

a) Método Francês


c) Método Alemão



Solução

A taxa semestral equivalente à taxa mensal de 1%, é:

6 6

1 1 1 0,01 1 0,06152 6,152% . .s mi i ou a s

a) Método Francês

O valor da prestação mensal deve ser obtido pela seguinte equação de valor:

24 4

24 4

1 0,01 1 1 0,06152 1200000 20000

0,01 1 0,01 0,06152 1 0,06152

130938,4421$ 6.163,727

21,243387

m

m

R

R R




Neste caso, estamos considerando o pagamento das 4 semestrais, que podem ser

entendidas como amortizações extraordinárias e o sinking fund para formar o saldo de

R$ 120.000,00=200000-(4×20000).

c) Método Alemão

Primeiramente, devemos encontrar o valor que será pago pelas prestações mensais.

Este valor será o valor financiado subtraído do valor presente das semestrais de

R$ 20.000,00. Para tanto, iremos trabalhar com a correspondente taxa efetiva

semestral. Como

6 6

1 1 1 0,01 1 0,06152 6,152% . . s mi i ou a s

tem-se

* *1 1 11 1 1 0,06555 6,555% .

1 1 1 0,06152

s s

s s

i i ou a si i

Podemos dividir o financiamento em duas partes. A primeira, Cs , a ser paga pelas

parcelas semestrais e a segunda, Cm , pelas parcelas mensais. O valor de Cs pode ser

obtido por:

1 2 3 4* * * *

1 2 3 4

20000 20000 20000 200001

1 1 1 1

1 20000 20000 20000 20000

1 0,06152 1 0,06555 1 0,06555 1 0,06555 1 0,06555

1,06555 68429,95 $ 72.915,72

s s

s s s s

s

s

i Ci i i i

C

C R



A planilha a seguir mostra o Quadro de Amortização da parte financiada pelas parcelas

semestrais. Note que neste quadro as fórmulas utilizadas são as apresentadas no

quadro esquemático da seção 9.4, apenas considerando o período como o semestre, e

a taxa equivalente semestral.

A segunda parte do financiamento será dada por:

200000 72915,72 $127.084,28m

C R

Logo, a prestação mensal deve ser de:

24

127084,28 0,01$ 5.929,60

1 1 0,01R R

A planilha a seguir é relativa ao financiamento da parte mensal.




Serão pagas 4 parcelas semestrais de R$ 20.000,00, que correspondem ao valor

presente Cs , e dado por:

4

4

1 0,06152 120000 $ 69.061,58

0,06152 1 0,06152

s

C R

Portanto, o valor Cm que será resgatado pelas prestações mensais é:

200000 69061,58 $130.938,42 m

C R

Deste modo, teremos amortizações semestrais As e amortizações mensais Am ,

respectivamente iguais a:

69061,58$17.265,39

4

130938,42$ 5.455,77

24

s

m

A R

A R

O que nos leva ao seguinte Quadro de Amortização (já consolidado)



e) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)

Neste caso, estamos supondo que as parcelas semestrais serão rateadas na mesma

proporção entre TP e SAC; ou seja, R$ 8.000,00 e R$ 12.000,00, respectivamente.

No caso do SAC, temos que os financiamentos relativos às parcelas semestrais e

trimestrais são, respectivamente:

4

4

1 0,06152 112000 $ 41.436,95

0,06152 1 0,06152

120000 41436,95 $ 78.563,05

SAC

s

SAC

m

C R

C R

Que correspondem a amortizações semestrais SAC

SA e amortizações mensais SAC

mA , de:

41436,95$10.359,24

4

78563,05$ 3.273,46

24

SAC

s

SAC

m

A R

A R

Para a parcela do financiamento segundo a Tabela Price, teremos que o valor da

prestação mensal deve ser obtido pela seguinte equação de valor:

24 4

24 4

1 0,01 1 1 0,06152 180000 8000

0,01 1 0,01 0,06152 1 0,06152

80000 27624,63272$ 2.465,49

21,243387

m

m

R

R R

O cálculo feito para as duas partes do método é mostrado na planilha a seguir



Que consolidada é dada por:

Nota

Observe-se que o Quadro de Amortização acima apresenta cada elemento como dado

por 40% do correspondente elemento do caso da Tabela Price, somado com 60% do

correspondente elemento do caso do SAC.

5) Seja o caso de um empréstimo de R$ 200.000,00, à taxa de juros compostos de 6% a.a., a

ser amortizado segundo o método francês por meio de 10 prestações anuais, a primeira

vencendo-se um ano após a data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor

resolver saldar sua dívida, de uma só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª

prestação, quanto terá de pagar? Resolva utilizando o método:

a) Retrospectivo

b) Prospectivo

c) Recorrência

Solução

a) Método Retrospectivo

O saldo devedor logo após o pagamento da 6ª prestação é dado por:



6

6 10

1 0,06 1200000 1 $ 94.159,36

1 0,06 1S R

Já o saldo devedor logo antes do pagamento da 6ª prestação é dado por:

5

6 10

1 0,06 1200000 1 1 0,06 $121.332,96

1 0,06 1

S R

b) Método Prospectivo

Precisamos primeiramente encontrar a prestação a ser paga no financiamento, que é

dada por:

10

10

0,06 1 0,06200000 27173,59

1 0,06 1R

Portanto, o saldo logo após o pagamento da 6ª prestação é:

6 10

6

1 1 0,0627173,59 $ 94.159,36

0,06

S R

E logo antes do pagamento da 6ª prestação é:

6 694159,36 27173,59 $121.332,95 S S R R

c) Método de Recorrência

Utilizando o valor da prestação calculada no item anterior, temos o saldo logo após o

pagamento da 6ª prestação dado por:

6

6

6

1 0,06 1200000 1 0,06 27173,59 $ 94.159,36

0,06S R

E logo antes do pagamento da 6ª prestação é:

6 694159,36 27173,59 $121.332,95 S S R R

6) Seja o caso de um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros compostos de 12% a.a., a

ser amortizado por meio de 10 prestações anuais, a primeira vencendo-se 1 ano após a

data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor resolver saldar sua dívida, de uma

só vez, logo após e logo antes do pagamento da 6ª prestação, quanto terá de pagar?

Resolva, sem construir o Quadro de Amortização, utilizando o método de amortização:

a) SAC

b) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)

Solução

a) SAC

No caso do SAC a amortização do saldo é constante, e o saldo logo após o pagamento

da 6ª prestação é:



6

100000$10.000,00 100000 6 10000 $ 40.000,00

10

CA R S R

n

ou alternativamente

6

6100000 1 $ 40.000,00

10S R

E o saldo logo antes

6 5

51 100000 1 1 0,12 $ 56.000,00

10S S i R

b) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC)

10 6 12%

6

10 12%

0,4 6100000 1 1 0,4

10

0,4 3,037349100000 0,4 0,6 $ 45.502,51

5,650223

aS

a

R

10 5 12%

6 5

10 12%

0,4 51 100000 1 1 0,4 1 0,12

10

0,4 3,604776100000 0,5 0,6 1 0,12 $ 62.181,87

5,650223

aS S i

a

R

7) O banco Epsilon, para operações de empréstimo com prazo de 4 meses, está efetuando

cobrança antecipada de juros, à taxa de 4% a.m.

Se desejar ganhar, em termos reais, a taxa de 4% a.m., que proporção do empréstimo

deverá reter a título de saldo médio, se estima que a taxa mensal de inflação seja:

a) de 2% a.m.?

b) de 3% a.m.?

Solução

Sendo i a taxa mensal cobrada pelo banco, para um empréstimo de curto prazo com n

meses, o fluxo de caixa, a preços correntes, que descreve a operação, pode ser

esquematicamente representado como:

Assim, sendo I a taxa mensal de inflação, temos que, a preços da data do empréstimo, o

fluxo de caixa é:



Portanto, em termos reais, a taxa efetiva mensal, denotada por *i , é tal que:

*

11 1

1

n

n

EE i n i

I

Por conseguinte, fixados os valores de *, , e i n i I , a proporção de retenção deve

ser tal que:

* * *

* *

* *

*

*

1 11 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

n n n

n n

n nn n

n n n

n

n n

i n i i n i iI I

i n i I i I

i n i I i I

i n i I

i I

a) Sendo i = 4% a.m., n = 4 meses, *i = 4% a.m. e I = 2% a.m., tem-se:

4

4

1 0,04 4 1 0,04 1 0,02 10,2392 23,92%

1 0,02 1 0,04 1

ou

Ou seja, o banco Epsilon deve reter 23,92% do valor do empréstimo, a título de formar

saldo médio.

b) Mantidos os demais parâmetros, e sendo I = 3% a.m., tem-se

4

4

1 0,04 4 1 0,04 1 0,03 10,3348 33,48%

1 0,04 1 0,03 1

ou

Ou seja, o banco Epsilon deve reter 33,48% do valor do empréstimo.



8) João, tendo obtido um financiamento de R$ 300.000,00, à taxa de 2,8% a.m, pelo prazo de

20 anos, com prestações mensais constantes, recebeu uma herança no valor de

R$ 75.000,00, 20 dias após o pagamento da 170ª prestação.

Se, nesta mesma data, realizar uma amortização extraordinária com o valor total da

herança, qual será a proporção de redução no valor de sua prestação, se forem mantidos o

prazo original e a taxa de juros de 2,8% a.m.?

Solução

O valor das prestações originais, R, era tal que:

240

240240 2,8%

300000 0,028 1 0,028300000 $ 8.411,13

1 0,028 1

R a R R

Logo após o pagamento da prestação de ordem 170, seu saldo devedor era:

70

170 70240 170 2,8%

8411,13 1 0,028 18.411,13 $ 256.928,65

0028 1 0,028S a R

Portanto, 20 dias após, o saldo devedor era:

20/30

256928,65 1 0,028 $ 261.702,54 S R

Assim, face à amortização extraordinária, seu saldo devedor ficou reduzido a:

261702,54 75000 $186.702,54 S R

Mantendo-se a taxa de juros de 2,8% a.m. e o número 70 de prestações remanescentes, o

novo valor da prestação mensal, R’, deve ser tal que:

20/30 70 2,8%

186.702,54

1 0,028R a

ou

70

20/30 30

186.702,54 1 0,028 1$ 6.000,63

1 0,028 0,028 1 0,028R R

Por conseguinte, as prestações originais seriam reduzidas de

6000,631 0,2986 ou 29,86%

8411,13



9) O banco Teta, para empréstimos com prazo de 2 meses, adota a seguinte sistemática:

Sendo E o valor do empréstimo solicitado, cobra juros antecipados, à taxa mensal i,

pelos 2 meses (ou seja, retém a quantia 2J i E );

retém a proporção E do empréstimo, a título de composição de saldo médio;

no fim do primeiro mês, o tomador do financiamento deve pagar metade do valor

solicitado, sendo simultaneamente liberada metade da exigência de saldo médio;

no fim do prazo de 2 meses, o tomador do empréstimo deve pagar a outra metade do

valor emprestado, sendo simultaneamente liberada a segunda metade da exigência de

saldo médio.

Pede-se:

a) especificar o fluxo de caixa que, do ponto de vista do banco Teta, caracteriza a operação;

b) O valor da taxa efetiva mensal, se i = 3,5% a.m, 15% e E = R$ 10.000,00;

Solução

a) Do ponto de vista do banco TETA, o fluxo de caixa que caracteriza a operação é:

0

1

2

1 2

1 2

1 2

a E J E E i

a E

a E

b) A taxa efetiva mensal i , será tal que:

2* *

1 11 2

2 1 2 1

E EE i

i i

ou

2

* *2 4 2 1 1 1 1 0i i i

Sendo 3,5% . . e 15%i a m e fazendo=se *1x i tem-se:

2

2

2 4 0,035 2 0,15 1 0,15 1 0,15 0

1,56 0,85 0,85 0

x x

ou

x x

Resolvendo-se a equação do 2º grau temos:

2

1

2

0,85 0,85 4 1,56 0,85 1,0592610,85 6,0265

0,51442 1,56 3,12

xx

x



Como *1x i , só a primeira raiz é válida; ou seja, i*=5,9261%a.m.

Considerando o valor do empréstimo, de R$ 10.000,00, o fluxo de caixa será:

0

1 2

10000 1 2 0,035 0,15 $7.800,00

10000 1 0,15 2 $4.250,00

a R

a a R

b) Logo, fazendo uso da HP 12 C, tem-se:

[f][REG]7800[g][CF0]4250[g][CFj][g][CFj][f][IRR]5,9261

Ou seja, o banco Teta estará cobrando a taxa efetiva de 5,9261% a.m.

10) Admita que o banco Teta, considerado no Exercício 9, esteja examinando mudar a

sistemática de 2 pagamentos, para a de um único pagamento no final do prazo de 2

meses.

Considerando i = 3,5% a.m, 15% (a título de composição de saldo médio) e

E = R$ 10.000,00, no caso de 2 pagamentos, e denotando por a proporção de retenção

no caso de pagamento final, determinar o valor de de modo que se mantenha a taxa

efetiva mensal de 5,9261% a.m.

Solução

Do ponto de vista do banco Teta, o fluxo de caixa que caracteriza a operação, com um único pagamento, é:

0

1

2

1 2

0

1

a E J E E i

a

a E

A taxa efetiva mensal i , será tal que:

2*

2*

1

2*

1 11 2 1 , 0 1 2 0

1 21

11

1 2

EE i i para E e i

ii

ii

Logo 1

221 1

0,059261 1 1,0592611 2 0,035 0,93

1 1,043492 1,122034 0,122034 0,043492

0,0434920,356392 35,6392%

0,122034ou

Ou seja, o banco Teta terá que subir a retenção para 35,6392%.

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