Capitulo I - Ppt

1

MECÂNICA

DE

FLUIDOS

INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

mailto:[email protected]

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Mecânica de Fluidos

DEM

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO E CONCEITOS

FUNDAMENTAIS


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DEM

NOÇÕES INTRODUTÓRIAS

Mecânica dos Fluidos compreende o estudo dos fluidos (líquidos e gases) em movimento

(cinemática e a dinâmica) e dos fluidos em repouso (estática) com o fim de determinar os

efeitos por eles produzidos sobre as fronteiras que os delimitam ou, em alternativa, a acção

que essas mesmas fronteiras sobre eles exerçam.

Fluido: Substância que não oferece resistência finita à sua própria deformação, quando solicitada por

forças tangenciais ou de corte (forças orientadas tangencialmente à superfície sobre a qual

actuam) por muito pequenas que estas possam ser.

Se for solicitado por uma tensão (força por unidade de área) tangencial de valor constante no tempo (ainda que infinitesimal),

um fluido apresenta uma deformação continuamente crescente e continuará a deformar-se enquanto a tensão estiver

aplicada. Um fluido não resiste a deformar-se, resiste, sim à velocidade de deformação.

Domínios de Interesse da Mecânica de Fluidos: Construção Aeronáutica; Produção ou utilização de energia em Turbomáquinas; Oceanografia

e Hidrografia; Transporte de Fluidos; Meteorologia, Tribologia, etc.


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DEM

ESTUDO DA MECÂNICA DOS FLUIDOS:

Compromisso entre a TEORIA e a EXPERIMENTAÇÃO, técnicas indissociáveis e complementares ª).

Apoia-se num conjunto de leis

fundamentais da Física.

p. exº a conservação da massa, conservação da energia

e conservação da quantidade de movimento – segunda

lei de Newton e também para alguns problemas, nas

leis da termodinâmica.

DOIS OBSTÁCULOS PRINCIPAIS:

Geometria dos Fenómenos e Viscosidade dos Fluidos

a) A correlação entre um complexo conjunto de leis e o efectivo comportamento de um fluido em escoamento nem

sempre surge como óbvia, torna-se assim, frequentemente imprescindível, para além da abordagem teórica o

recurso à observação experimental.

Completa e valida a abordagem

teórica.

No estudo de muitos escoamentos específicos constitui

a principal fonte de informação, mediante a aplicação

de técnicas de visualização, utilização de

instrumentação apropriada, análise dimensional e

modelação.


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DEM

GEOMETRIA DOS FENÓMENOS:

GEOMETRIAS SIMPLES RESOLUÇÃO ANALÍTICA.

Formulação de um modelo matemático para descrever o problema;

Envolve a análise diferencial e de volume de controlo;

Soluções exactas apenas para condições e geometrias simplificadas;

Soluções aproximadas para problemas práticos (relações empíricas usando dados

experimentais.

GEOMETRAIS COMPLEXAS RESOLUÇÃO NUMÉRICA, com aplicação de cálculo

computacional (“CFD – Computational Fluid Dynamics).


http://www.featflow.de/album/catalog/bfs_medium_2d/velo1.mpeg

http://www.featflow.de/album/catalog/bfs_high_2d/velo1.mpeg

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DEM

VISCOSIDADE DOS FLUIDOS

Por definição um fluido não opõe resistência finita à deformação, provocada por tensões

tangenciais, contrariamente ao que se passa nos sólidos. Resiste, porém, à velocidade de

deformação. Qual a origem dessa resistência?

A propriedade que evidência esta resistência é a VISCOSIDADE

Em determinados modelos é admissível a simplificação de desprezar a viscosidade (Fluidos «ideais», escoamentos «potencias»

ou «invíscidos»);

A consideração da viscosidade complica os modelos matemáticos teóricos (aumenta a complexidade das equações

fundamentais);

A viscosidade condiciona as perturbações desordenadas e aleatórias no campo de velocidades «turbulência».

Análise dos escoamentos turbulentos: abordagem experimental e aplicação de técnicas numéricas, baseadas em hipóteses

empíricas resultantes de modelos estatísticos.


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DEM

O CONCEITO DE FLUIDO

SÓLIDO Substância que resiste a uma tensão tangencial através de uma deformação estática.

FLUIDO

Substância que não resiste a uma tensão tangencial, deforma-se, continuamente, sob a

acção de uma tensão tangencial ou de corte que provoca o movimento e a deformação

contínua do meio fluido. Um fluido em repouso está isento de tensões tangenciais.

b

a

b` c

d

c`

u y

U F

y

x Placa

fixa


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DEM


Ao aplicar-se uma força tangencial F sobre a placa A, a tensão aplicada sobre o material é F/A.

Um sólido sofrerá uma deformação finita, e uma força elástica restauradora aparecerá sobre a

placa, equilibrando F. Já no caso dum fluido este irá deformar-se continuamente enquanto F estiver aplicada.

A FORÇA COM QUE O SÓLIDO RESISTE AO ESFORÇO DA PLACA É PROPORCIONAL À PRÓPRIA DEFORMAÇÃO SOFRIDA:

y

xk

A

F

NO FLUIDO A FORÇA SERÁ PROPORCIONAL À SUA TAXA DE DEFORMAÇÃO:

y

Vk

yt

xk

A

F x

1

Enquanto no caso do material sólido quer-se resolver as deformações (que se traduzem em

deslocamentos), na segunda o enfoque é resolver-se as taxas de deformação (que se traduzem em velocidades.


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TENSÃO TANGENCIAL OU TENSÃO DE CORTE – DEFINIÇÃO A tensão de corte que é aplicada a um elemento de fluido é dada por:

A Força F que age sobre a área A pode ser decomposta numa componente normal Fn e numa componente

tangencial Ft .

A força dividida pela área, sobre a qual age, é chamada tensão. O vector força dividido pela área é chamado

vector tensão. A componente normal da força dividida pela área é a tensão normal e a força tangencial dividida

pela área é a tensão tangencial ou tensão de corte.

No nosso estudo iremos estar, particularmente, interessados na tensão tangencial.

n F

A

Fn

Ft

COMPONENTES

F

dAdF

AF

Ayx

0lim


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As propriedades de uma substância são a manifestação directa da sua própria estrutura

molecular, cada molécula simples origina à sua volta um campo de forças de natureza

quântica, resultando, na ausência de reacção química, um efeito de atracção ou de repulsão

entre duas moléculas contíguas, consoante a distancia “d” que as separa:

LIQUIDOS:

Constituídos por moléculas relativamente próximas, sujeitas a forças de coesão elevadas. Tendem a manter o volume que

ocupam e, quando expostas a um campo gravítico, se a sua fronteira superior não estiver confinada, formam uma

«superfície livre». Dado tratar-se uma estrutura molecular relativamente compacta, apresentam uma forte resistência à

compressão.

GASES:

Constituídos por moléculas relativamente espaçadas, sujeitas a forças de coesão fracas.

Não tendem a manter o volume determinado, expandindo-se livremente até aos limites impostos por paredes envolventes.

Não formam superfícies livres e a sua resistência à compressão é significativamente pequena.


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DEM

CONCEITO DE FLUIDO

Bloco sólido em

repouso sobre um

plano rígido e sujeito

ao seu próprio peso

Líquido e gás em

repouso requerem

paredes de apoio

para eliminarem a

tenção de corte.

a) Deflexão estática do

sólido.

b) Equilíbrio e Circulo de

Mohr para o elemento de

fluido A.

c) O fluido requere paredes

de retenção que anulem

as tensões de corte (o

liquido toma a forma do

recipiente e o gás ocupa o

volume disponível)

d) Equilíbrio e Circulo de

Mohr para o elemento de

fluido A.


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DEM

MODELO CONTÍNUO DE FLUIDO

Ao estudar o comportamento de um fluido à escala microscópica, surgem dois

obstáculos:

Do ponto de vista teórico: A utilização do cálculo diferencial pressupõe que, em cada

ponto e instante, as propriedades em estudo sofram variações de um modo contínuo, condição

esta que permite o recurso à noção de derivada espacial ou temporal, isto não acontece, porque a

estrutura a que respeitam as propriedades de um fluido é constituído de modo discreto.

Na óptica experimental: os instrumentos a que tipicamente se recorre na análise

laboratorial não oferecem resolução espacial nem temporal que permita descer à escala

microscópica.

Terá de se recorrer a uma escala macroscópica…qual o critério a usar para a

distinção entre ambas as escalas?


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MODELO CONTÍNUO DE FLUIDO Como o meio fluido é constituído por moléculas que se podem mover relativamente umas às outras,

originando a variação continua de quantidade de matéria que ocupa determinado volume, a «massa

específica» (massa por unidade de volume) não tem uma determinação rigorosa.

V

m

VV

lim 3910 mmV

Se a unidade de volume considerada for menor que o espaço intermolecular o nº de moléculas

varia permanentemente.

Se a unidade de volume considerada for da ordem do espaço intermolecular o nº de moléculas

será aproximadamente constante, apesar da elevada circulação de partículas através das respectivas

fronteiras.

Se a unidade de volume considerada for muito maior que o espaço intermolecular contém

variações apreciáveis da concentração de massa que não serão detectáveis.

As variações das propriedades físicas e dinâmicas de um fluido ao longo de uma distancia da ordem de 0,001 mm

raramente são significativas, assim, uma resolução volúmica da ordem de (10-3)3=10-9 mm3 (dv*) fornece uma

informação de carácter pontual. A massa especifica «» de um fluido passará a ser entendida

como um conceito pontual:


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DEM

MODELO CONTÍNUO DE FLUIDO

Região contendo fluido

com massa específica

variável

=1000Kg/m3

=1100Kg/m3

=1200Kg/m3

=1300Kg/m3

Volume elementar

v

Incerteza microscópica

Incerteza macroscópica

v*=10-9mm3

v

m

dvdv

*lim

Volume limite, abaixo do qual as variações moleculares

podem ser importantes e acima do qual as variações

agregadas podem também ser importantes (para todos os

líquidos e para gases à pressão atmosférica).



DEM

MODELO CONTÍNUO DE FLUIDO Ao considerarmos a massa especifica como uma função pontual, implica que as propriedades dos

fluidos podem ser consideradas como variando continuamente no espaço por este ocupado de

“ponto” para “ponto” em ambos os domínios espacial e temporal.

A substancia essencialmente discreta passa deste modo a ser entendida como

um meio contínuo - modelo continuo de fluido ou : «hipótese do continuum».

A «Hipótese do Continuum» (válida para a generalidade dos problemas de Mecânica de Fluidos, excluindo gases

rarefeitos, ou interfaces entre fluidos diferentes ou nas ondas de choque) implica que a variação das

propriedades do fluido é tão suave que os cálculos diferenciais podem ser usados para

analisar e quantificar os fenómenos que envolvam substancias fluidas.


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DEM

DIMENSÕES E UNIDADES FÍSICAS

DIMENSÃO FÍSICA é a medida pela qual uma variável física é expressa quantitativamente. (p.exº o comprimento (L) é uma dimensão para a largura, altura, deslocamento, etc.)

UNIDADE FÍSICA é forma especifica de associar um valor numérico a uma dimensão quantitativa.

(p.exº o comprimento (L) pode ser medido nas unidades: metro, pé, milha, polegada, etc. Existe

equivalência para unidades diferentes para a mesma dimensão.

Sistema Internacional de Unidades (SI) Introduzido em 1960 pela “General Conference of Weights and Measures” (40 países) para

padronizar o sistema métrico de unidades.

DIMENSÕES PRIMÁRIAS OU FUNDAMENTAIS

(Massa, Comprimento, Tempo e Temperatura)


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DEM

DIMENSÕES SECUNDÁRIAS (OU DERIVADAS) (Resultam da combinação das quatro dimensões primárias)

As equações devem satisfazer o principio da homogeneidade dimensional, o qual estabelece que todos os termos aditivos de

uma equação física devem ter as mesmas dimensões, mas devem também usar unidades compatíveis, isto é, cada termo

aditivo deve ter as mesmas unidades (atenção à mistura de unidades SI com unidades BG).

HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL E UNIDADES COMPATIVEIS


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PROPRIEDADES DO CAMPO DE VELOCIDADES

ÊNFASE NA DISTRIBUIÇÃO ESPAÇO-TEMPO DAS PROPRIEDADES DO FLUIDO

MÉTODOS ALTERNATIVOS DE ANÁLISE PARA DESCREVER OS FENÓMENOS FÍSICOS:

- Descrição “Euleriana”

- Descrição “Lagrangiana”

(Euler, Leonhard – Século XVIII)

(Lagrange, Joseph Louis – Século XVIII)

A solução de um problema de mecânica dos fluidos envolvendo um escoamento,

consiste na determinação, experimental ou teórica, da variação das propriedades do

fluido em função da posição espacial e do tempo.

O observador é suposto “colocar-se” num ponto fixo (x,y,z) (zona de

interesse) onde colhe informação sobre as propriedades do escoamento.

Exº: P=P(x,y,z,t); T=T(x,y,z,t); etc

Método mais adequado em Mecânica de Fluidos.

O observador é suposto “localizar-se” sucessivamente em vários pontos

fixos do domínio. Colhe informação sobre as propriedades de uma partícula

(elemento de volume) de fluido ao longo do escoamento. Exº: variação

da velocidade do corpo/partícula em estudo V=V(t).

Método raramente utilizado em Mecânica de Fluidos.


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DEM

CAMPO DE VELOCIDADES

Primeira das propriedades a determinar num escoamento, uma vez que as outras

propriedades seguem directamente o campo de velocidades.

ktzyxwjtzyxvitzyxutzyxV ,,,,,,,,,,,,

Velocidade como função vectorial da posição espacial tridimensional e do tempo

Várias outras grandezas (chamadas propriedades cinemáticas) obtém-se por manipulação

matemática do campo de velocidades, como por exemplo:

Vector deslocamento ; Aceleração ; Caudal volúmico

dtVr

dt

Vda dAnVQ .


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DEM

PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DE UM FLUIDO:

AS PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DESCREVEM O ESTADO DE UM SISTEMA, ISTO É, A SUA

CONDIÇÃO TERMODINÂMICA

Pressão;

Temperatura;

Massa especifica.

Energia interna;

Entalpia;

Entropia;

Calores específicos cp e cv.

Coeficiente de viscosidade;

Condutibilidade térmica.

Uma vez conhecidas duas propriedades, todas as outras propriedades podem ser determinadas: energia

interna, entalpia, entropia, calor especifico, velocidade do som, etc

Permanentemente associadas ao vector

velocidade em análises de escoamentos.

Importantes quando se pretende efectuar

balanços de trabalho, calor e energia.

São também propriedades de transporte e

influenciam a condução de calor e o atrito.


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DEM


PRESSÃO “p”

[ N/m2 = Pa ]

É a tensão (de compressão) num elemento de fluido;

Pode variar fortemente ao longo de um escoamento;

Muitos escoamentos são impulsionados por diferenças ou gradientes de pressão (p/x),

como é o caso dos escoamentos em tubagens;

Depois da velocidade é a variável mais dinâmica em M.F.

Pressão atmosférica = 101325 Pa = 760mmHg

221

2....

.

NmPaISUnidadesTLMTL

M

Área

Forçap


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DEM


TEMPERATURA “T”

[ ºK ]

Medida macroscópica do nível de energia interna de um fluido;

É directamente proporcional à correspondente energia cinética média, inerente

ao movimento aleatório das suas moléculas;

Pode variar, consideravelmente, em escoamentos gasosos de alta velocidade;

Se existem grandes diferenças de temperatura num escoamento, os efeitos de

transmissão de calor podem ser importantes;

Temperatura absoluta: Kelvin ou Rankine 0K=0ºR . O zero da temperatura absoluta é

o ponto de referência para o cálculo da entropia, pois cessa o movimento atómico.

KelvinGrauKISUnidadesT ..

ºK=ºC + 273,15

ºR=ºF + 459,69

ºR=1,8 ºK

ºF=1,8ºC + 32


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DEM


MASSA ESPECIFICA “”

[ Kg/m3 ]

Mede a quantidade de massa por unidade de volume de um fluido (de uma substância em

geral);

Um corpo com massa “M” ocupando o volume “V” terá uma massa especifica (ró);

Nos gases é muito variável na proporção directa do gradiente de pressões;

Nos líquidos é praticamente constante, facto que permite considerar os escoamentos

líquidos incompressíveis.

Liquido comum mais pesado – Mercúrio: =13580 Kg/m3

Gás mais leve – Hidrogénio: =0,0838 Kg/m3

33

3.... mKgISUnidadesLM

L

M

Volume

Massa


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DEM


PESO ESPECIFICA “”

[ N/m3 ]

Quantifica o peso de fluido por unidade de volume

ggV

Mespecíficopeso .

322323 /....... mNISUnidadesTLMLTLMLFVolume

Força

g - aceleração da gravidade


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DEM


DENSIDADE “d”

[ Adimensional ]

A “Densidade” é um coeficiente adimensional que expressa a razão entre a massa

especifica de um fluido (de uma substancia em geral) e a massa especifica de um fluido

padrão.

Gases: fluido padrão: ar (1 atm e 20 ºC)

Líquidos: fluido padrão: água (1 atm e 20ºC)

31,205 /

gás gás

gás

ar

dKg m

3/998 mKg

dlíquido

água

liquido

líquido


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DEM


ENERGIAS POTENCIAL E CINÉTICA

Fluido em repouso:

Energia Total / Unidade de Massa = Energia Interna /Unidade de massa

Energia Interna = Energia acumulada no fluido (numa substancia em geral) devido à actividade e coesão molecular.

Fluido em escoamento:

Energia Total = Energia Interna + Energia Cinética + Energia potencial

Energia Total / Unidade de massa = (Energia Interna + Energia Cinética + Energia potencial) / unidade de massa

^

ue

zgmvmmume ..... 2

21

^

zgvue .2

21

^


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DEM


ENERGIA POTENCIAL

Quantifica o trabalho necessário para se mover o sistema de massa “m” da

origem até um vector posição r=ix + jy + kz contra um campo gravitacional “g”

EPOTENCIAL= m.g.z ou EPOTENCIAL =g.z (por unidade de massa)

ENERGIA CINÉTICA

Quantifica o trabalho necessário que se deve fornecer a um sistema de massa

“m” para que ele passe da condição de repouso à de movimento com

velocidade “V”.

ECINÉTICA = ½ m.V2


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DEM

EQUAÇÃO DE ESTADO PARA GASES:

Gás perfeito* As moléculas de um gás movem-se de forma aleatória, com velocidades e níveis energéticos que variam de

instante para instante. Podem no entanto definir-se valores médios ao longo de um dado período de tempo,

de velocidade molecular e de energia molecular. A relação entre a massa volúmica () de um gás a sua

pressão absoluta (p) e a sua temperatura absoluta (T) é estabelecida através da equação de estado:

RTP

* Um gás em que as moléculas se encontram suficientemente afastadas para que se considerem desprezáveis as forças

intermoleculares (sem que tal afecte a validade da hipótese do continuum) é designado por gás ideal ou gás perfeito.

R (J/KgºK) designa a constante do gás, definida por:

te

vp consccM

R .

Sendo = 8314 J/(Kmol ºK), a constante universal dos gases perfeitos e M a massa molecular do gás.

Exº )/(287/97,28/97.28 KKgJRKmolKgmolgM arar


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DEM

VISCOSIDADE

A viscosidade é uma das variáveis que caracteriza reologicamentea) uma substância. No caso dos

fluidos, é a propriedade que relaciona a tensão de corte (tensão tangencial) local num

escoamento com a taxa de deformação dos elementos de fluido (gradiente transversal de

velocidade). É uma medida que evidência a resistência de um fluido à deformação.

A tensão de corte impõe uma deformação tangencial continua num fluido (deformação de um elemento de fluido a uma taxa d/dt)

Distribuição

“newtoniana” da

tensão de corte

numa camada

limite junto a uma

parede sólida –

junto á parede a

velocidade é nula

“condição de não

arrastamento” –

característica de

todos os fluidos

viscosos

u t /t

u=u

y

x u=0

y

u(y)

du

dy

0

Perfil de

velocidade

Não-escorregamento na

parede

= u/y

a) Num sentido amplo entende-se por propriedade reológica aquela que especifica a deformação ou a taxa de deformação que uma substância

apresenta quando sujeita a uma tensão.


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DEM

Lei de Newton* para Fluidos (1687):

Quando um fluido é submetido a uma tensão de corte deforma-se

tangencialmente com uma taxa inversamente proporcional à sua “viscosidade

Dinâmica”) (propriedade do fluido).

* Sir Isaac Newton (1642-1727)

Os fluidos que apresentam um comportamento viscoso de acordo com a “Lei de

Newton para os Fluidos” recebem a designação de “Fluidos Newtonianos”.

dy

du

dt

d

Tensão

Deformação

Viscosidade dinâmica


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DEM

Os fluidos reais mais comuns (ar, água,

óleos, combustíveis líquidos ou gasosos,

etc.) tem um comportamento muito

concordante com o modelo de fluido

newtoniano

Fluido Newtoniano [Sir Isaac Newton (1642-1727)]

A Lei de Newton baseia-se num modelos linear que relaciona a tensão de corte com a viscosidade,

constitui um modelo muito simplificado, não aplicável a todos os fluidos.

O gráfico seguinte caracteriza o comportamento dos fluidos reais, observado na prática, no que

respeita à variação do estado de tensão (tensão de corte) com a taxa de deformação (gradiente

transversal da velocidade) à qual é submetido (relacionados pela viscosidade)


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DEM

Viscosidade Cinemática () (“Kinematic Viscosity”):

(porque não tem dimensões de massa e representa a razão entre a viscosidade dinâmica e a

massa especifica de um fluido).

Viscosidade Dinâmica () (“Coefficient of Viscosity”):

0

.v

h

A

F

1111

12

2

0

......

...

.

smKgISUnidadesTLMTL

L

L

TLM

v

h

A

F

1212

3

11

....

..

smISUnidadesTLLM

TLM


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DEM

Unidades de viscosidade:


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DEM

VARIAÇÃO DA VISCOSIDADE COM A TEMPERATURA

CASO DOS LÍQUIDOS

A viscosidade de praticamente todos os líquidos diminui com o aumento da temperatura, mas

a taxa à qual essa diminuição se dá , decresce com o aumento da temperatura.

A viscosidade nos líquidos é praticamente independente da pressão, excepto a pressões

muito elevadas.

CASO DOS GASES

A viscosidade é praticamente independente da sua pressão (excepto para pressões muito

altas ou muito baixas)

A viscosidade aumenta com o aumento da temperatura (a menos que o gás esteja tão

fortemente comprimido que a teoria cinética deixe de ser válida) uma vez que a agitação

molecular aumenta com o aumento da temperatura.


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DEM

VARIAÇÃO DA VISCOSIDADE COM A TEMPERATURA

Aproximações frequentes para determinar a variação da viscosidade com a temperatura, no

caso dos gases, são:

0

3 20

0 0

lei da

lei de

n

Tpotência

T

T T T SSutherland

T S

0 – viscosidade conhecida a uma temperatura absoluta T0

As constantes n e S são ajustadas aos dados, no caso do ar, n=0,7 e S=110K


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DEM

Variação da Viscosidade com a temperatura:

Propriedades do ponto critico

Viscosidade adimensionalizada com

relação às propriedades do ponto

critico.

Válida para todos os fluidos mas a

sua precisão é de 20%

ccc p

p

T

Tf ,


37


DEM

ESCOAMENTO EM COUETTE Escoamento viscoso induzido entre duas placas paralelas pela deslocação de uma

placa (superior) relativamente à outra (inferior) caracterizado por um perfil de

velocidades [u(y)] linear quando se atinge o regime estacionário (quando a placa

móvel se desloca com velocidade uniforme [u=v=constante]).

Considera-se o escoamento unidimensional (/x= /z=0) e em regime permanente (/t=0)

F

Fluido

viscoso

x

y v=u

Placa móvel

Placa fixa

h

duu

udy

y

Escoamento caracterizado por uma variação linear da velocidade do fluido entre y=0 e y=h, ou seja o perfil de velocidades

para 0y h é dado por u(y)=(y/h)U

O ângulo recto sofre uma deformação no intervalo de tempo dt (a recta vertical MN gira de um ângulo infinitesimal ,

enquanto a placa superior move-se de uma distancia infinitesimal da=v.dt, o deslocamento angular ou deformação é expressa

por:

d

N N`

M v=0

dy

du

dt

ddt

dy

du

h

vdt

h

datgd

da

Conclui-se que a taxa de deformação de um

elemento de fluido é equivalente ao

gradiente transversal de velocidades du/dy


38


DEM

ESCOAMENTO EM COUETTE

Considera-se o escoamento unidimensional (/x= /z=0) e em regime permanente (/t=0)

F

Fluido

viscoso

x

y v=u

v=0

u(y) (y)

Ah

VAFV ..

h

V

A

Fp

Força de atrito viscoso conduz a uma dissipação viscosa de energia (conversão de energia

cinética em energia térmica) resultante da acção da tensão de corte sobre a superfície de atrito:

Placa móvel

Placa fixa

Se admitirmos que se trata de um fluido “Newtoniano” o gradiente transversal de velocidade (taxa de

deformação) e a tensão de corte são constantes em todo o escoamento (Unidades SI: Nm-2)

h


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DEM

ESCOAMENTO EM COUETTE FENÓMENO DE “ARRASTAMENTO” ENTRE LAMINAS DE FLUIDO É MODELADO PELO CONCEITO DA

TENSÃO DE CORTE:

Se admitirmos que se trata de um fluido “newtoniano”, o gradiente transversal de

velocidade (taxa de deformação) e a tensão de corte ou tangencial são constantes em todo

o escoamento.

A expressão é válida para o “Escoamento em Covette” estacionário para o qual a

velocidade é representada por um perfil linear.

No caso geral:

consth

V

h

V

y

u

dy

du

0

0

dy

duyphy :0

LEI DE NEWTON, em homenagem a

Sir Isaac Newton que a postulou, em

1687

Expressão que determina a tensão de corte pontual (conceito matemático) no volume de

controle (conceito físico)


40


DEM

ESCOAMENTO EM COUETTE (exercício)

Determinar a força “F” requerida para que o piston mantenha a velocidade uniforme de 5,6 m/s?

O piston move-se através do cilindro a uma velocidade uniforme.

O “filme” de óleo que separa o piston do cilindro tem viscosidade = 0,020 Kg/m.s

Vel. do piston = 5,6 m/s

= 0,020 Kg/m.s 25 c

m

4,9

cm

5 c

m

Obs.

Não há aceleração, admite-se distribuição linear de velocidades no “filme” de óleo.

Como as dimensões da placa (cilindro) são >>>>h assume-se escoamento laminar.

Condição de não escorregamento na placa (cilindro) V(0)=0 e V(h)=V

F


41


DEM


RESOLUÇÃO:

Não há aceleração, admite-se distribuição linear de velocidades no “filme” de óleo.

Como as dimensões da placa (cilindro) são >>>>h assume-se escoamento laminar.

• Condição de não escorregamento na placa (cilindro) V(0)=0 e V(h)=V

25 c

m

4,9

cm

5 c

m F


= 0,020 Kg/m.s

h

Piston

Para manter o regime estacionário (uniforme) com V=5,6 m/s é necessário que a força aplicada (F) seja igual à

Força de atrito viscoso (Fav). [1ª Lei de Newton: um corpo mantém o seu estado inercial (repouso) ou o seu estado

movimento uniforme se o somatório das forças exteriores que sobre ele actuam for igual a zero]

Filme de óleo


42


DEM


RESOLUÇÃO:

25 c

m

4,9

cm

5 c

m F


= 0,020 Kg/m.s

h

Piston

Filme de óleo

NF

assim

NF

RLh

vAF

FF

aplicada

av

contactoav

ovisatritoaplicada

62,8

62,810250245,02

2

049,005,0

6,5020,0

2

2

cos

Movimento axial e uniforme


43


DEM


Determinar o momento viscoso sobre o disco representado na figura?

Admite-se que no espaço entre a superfície plana e o disco a gradiente de velocidades tem um perfil linear

(h<<r);

A altura de película de fluido mantém-se constante (h=cte);

O disco roda a uma velocidade angular constante [(rad/s)]=cte;

Despreza-se a tensão de corte sobre os contornos;

Obs.

O momento de atrito viscoso é transmitido através das camadas do fluido para a superfície plana. No entanto

é preciso considerar, neste exemplo, que a tensão de corte não é constante em toda a superfície (v),.

= 30 rad/s

= 0,08 Pa.s

R=175 mm


44


DEM


Dados:

=0,5 mm; R=175 mm; =0,08 Pa.s; =30 rad/s286 r.p.m.

Neste caso, a força de resistência induzida pelos efeitos viscosos e consequentemente o momento viscoso,

não se poderão determinar pela simples multiplicação da tensão pela área, dado que a tenção é uma variável

espacial e que depende da distancia ao centro do disco (depende da velocidade tangencial). Assim os

cálculos terão de ser efectuados para um elemento de área infinitesimal (dA) e posteriormente, efectuar a

integração para toda a superfície do disco.

dA

d

dr

R=175 mm


45


DEM


Considerando a área elementar dA:.

dA

d

dr

rdArdFdM vv ...

com dA dado por:

drdrdA ..

Considerando que o perfil de velocidades, entre as superfícies do disco e o dispositivo que o contém é

linear, a tenção de corte é função da distância ao centro de rotação:

rrvr

...

Substituindo na equação inicial:

drdr

rdrdrr

rdrdrrv

dM v ...

......

......3

4

..2..

..

43

0

2

0

Rdrd

rM

R

v

NmM v 07,710.5,0.4

175,0.30.08,0.2

3

4

PARA UMA FACE

CONSIDERANDO AMBAS AS FACES o Mv= 14,14 Nm


46


DEM

Regimes de Escoamento – Número de REYNOLDS a)

Escoamento Laminar (Para baixos números de Reynolds);

Escoamento de Transição (Para números de Reynolds intermédios);

Escoamento Turbulento (Para elevados números de Reynolds)

a) Em homenagem a Osborne Reynolds (1842 – 1912)


47


DEM

Regimes de Escoamento – Número de REYNOLDS

A ocorrência de um escoamento laminar ou turbulento é avaliado segundo um parâmetro, designado

por “Número de Reynolds” (Re).

Para pequenos valores do número de Reynolds, o escoamento é estável e regular (regime

laminar). Para valores elevados, o escoamento passa a regime turbulento (as trajectórias das

partículas são extremamente irregulares). O processo dessa mudança é chamado de transição para

a turbulência.

Obs. A grande maioria das análises referem-se a escoamento laminar ou turbulento, não se devendo projectar um escoamento na região de transição.

LVLURe

...

U – Velocidade média do escoamento;

L – largura transversal do escoamento;

- Viscosidade cinemática


48


DEM


A grandeza representada pela expressão anterior corresponde à razão das grandezas de duas forças

( força de inércia / força viscosa) e, como tal, é um número adimensional:

LVLURe

...

1

../

// 3

LTM

TLLLM

e

LVR

A expressão mostra que valores elevados de , L ou V, ou um valor baixo de , contribuem para um

valor elevado de Re. Inversamente, o valor de Re é reduzido se a viscosidade for elevada. Um valor

elevado de Re indica que as forças de inércia dominam o escoamento e que as forças viscosas têm

pouca influência; inversamente, quando Re é baixo, as forças viscosas são dominantes e as forças de

inércia são menos significativas.


49


DEM


A transição depende de muitos efeitos, como por exemplo, a rugosidade da parede ou as flutuações da

corrente de entrada, mas o parâmetro básico é o número de Reynolds


50


DEM


O perfil parabólico de escoamento laminar,

torna-se instável (para Red 2300 no caso de

escoamentos em tubagens) e começam a

formar-se “bolsas” ou “rajadas” de turbulência

intensa, podendo em certas situações ser

visível o mecanismo de enrolamento de

vórtices.

Para escoamento turbulento, por causa das

flutuações, cada termo da velocidade é uma

função aleatória de variação rápida no espaço e

no tempo V (x,y,z,t).No entanto usam-se valores

médios de velocidade. A média temporal V de

uma função V (x,y,z,t) é definida por:

Onde T é o período de cálculo da média

T

VdtT

V0

1


51


DEM

Força de coesão na superfície por unidade de comprimento do perímetro de um

corte normal à superfície ou, pode ser visto, como a energia de superfície por

unidade de área da interface.

[Unidades SI:N.m-1=N.m/m2=J/m2]

É um efeito mecânico que resulta da atracção das moléculas

do liquido na superfície de contacto, onde a densidade é

mais baixa que no interior do liquido.

TENSÃO SUPERFICIAL (“SURFACE TENSION”)

Como um liquido não se pode expandir livremente, forma uma superfície de

contacto com outro liquido ou com um gás (interface). Os efeitos superficiais

são tratados recorrendo ao conceito de Tensão Superficial.

Coeficiente de Tensão Superficial ()


52


DEM


É necessário uma certa quantidade de trabalho para deslocar moléculas para a superfície em

oposição aquela força. A tensão superficial () representa o trabalho que deve ser executado

para trazer do interior do liquido uma quantidade de moléculas suficiente para formar uma

nova unidade de área daquela superfície. Como resultado da tensão superficial, forma-se uma

fina película na sua superfície livre.

Uma molécula no interior de um liquido é submetida a forças de atracção em todas as

direcções, e a soma vectorial resultante dessas forças é zero (as moléculas estão em

equilíbrio). Mas uma molécula na superfície de um liquido é atraída para o interior do mesmo,

por uma força resultante perpendicular à superfície do liquido.

acção reacção

Tensão superficial – interpretação molecular


53


DEM


54


DEM


http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:2006-01-15_coin_on_water.jpg

55


DEM

mN

mN

/48,0

/073,0 Ar-Água

Ar-Mercúrio

Obs: estes valores podem variar consideravelmente se a superfície estiver

contaminada. Em geral diminuem com a temperatura do líquido.


Interfaces mais comuns:

Se um corte de comprimento dL é feito numa superfície interfacial, forças iguais e

opostas de magnitude dL estão presentes normais ao corte e paralelas á superfície.

(Ver Tabela A5, página 536, F.White)


56


DEM


No caso de uma bolha esférica de raio R (por exemplo, uma bolha de água de sabão), a pressão

interna apresenta um excesso pe (pressão efectiva) em relação à pressão externa, assim

impedindo a contracção da bolha.

Seccionando a bolha por um plano diametral, obtemos uma bolha hemisférica de raio R e na qual

reina a mesma pressão efectiva pe = po - p , onde po é a pressão interna e p é a pressão externa

(geralmente, a pressão atmosférica). O plano diametral encontra-se em equilíbrio sob a acção de

dois sistemas de forças antagónicas: as forças de pressão efectiva devidas ao gás aprisionado, e

as forças de tensão superficial devidas às duas faces da lâmina líquida.


57


DEM


Admita-se que a esfera é cortada em duas metades, por um plano vertical imaginário. A intercepção

do plano com a superfície esférica é uma circunferência de perímetro 2R, sendo a força de coesão

que mantém juntas as duas superfícies hemisféricas dada por (2R). A pressão interior da esfera

p que tende a separar os dois hemisférios é dada por:

2R

p p p + p p + p

p

R

pRpR

22 2


58


DEM


Interface curva geral

(caso geral de uma interface

arbitrariamente curvada, cujos raios

principais são R1 e R2)

Rp

LpRL

22

Rp

RpR

2

22

1

2

1

1

RRp

Variação de pressão através de uma interface curva devido à tensão superficial:

Um balanço de força normal à

superfície mostrará que o aumento

de pressão sobre o lado concavo é

p

No interior de um cilindro de líquido

No interior de uma gota esférica

Pressão interna para equilibrar a

força de tracção devida à tensão

superficial.


59


DEM

As forças de tensão superficial determinam efeitos peculiares em tubos estreitos (ditos “tubos

capilares”) e, de um modo mais geral, em quaisquer espaços estreitos, tais efeitos são

denominados fenómenos de capilaridade.

Num tubo capilar o liquido sobe

até o peso da coluna (que é

vertical descendente) equilibre

com a resultante das forças

devidas à tensão superficial

(vertical ascendente)


Capilaridade em Tubos


http://media.efluids.com/galleries/all?medium=515

60


DEM

h>0



Um líquido molha a superfície sólida quando a força de adesão (força atractiva

provocada pelas moléculas do sólido) é maior que a coesão (exercida pelas próprias

moléculas do liquido). No caso do liquido não molhar o sólido, a situação é inversa e a

força de coesão entre as moléculas é maior que a força de adesão.


61


DEM

<90º : procura de uma maior superfície de contacto entre o liquido e a superfície sólida

o liquido sobe no tubo.

>90º : procura de uma menor superfície de contacto entre o liquido e a superfície sólida

o liquido desce no tubo.

h>0

Y=h

x X=0

h<0

Componente vertical da tensão superficial no

contacto do liquido com a superfície interna do

tubo = peso da coluna de fluido de altura “h”

RhhRR

.

cos..2...cos....2 2



O desnível capilar é proporcional à tensão superficial do

liquido e inversamente proporcional ao diâmetro interior

do tubo capilar.


62


DEM

PRESSÃO DE VAPOR

A pressão de vapor é a pressão exercida por um vapor quando está em

equilíbrio com o liquido que lhe deu origem. É uma propriedade física

dependente da temperatura.

Pressão do liquido > pressão de vapor evaporação do liquido na

superfície de contacto liquido-vapor.

Pressão do liquido < pressão de vapor formação de bolhas de vapor no

interior do liquido.

O nº de moléculas de vapor que atingem a superfície do liquido e que condensam é exactamente igual ao

nº de moléculas que escapam da superfície livre em qualquer intervalo de tempo.

Variação da pressão de

vaporização da água com a

temperatura, (ver Tab. A5,

pág. 537 Frank White)

Temperatura (ºC) Pressão Vapor (Pa)

0 611

10 1227

20 2337

40 7375

60 19920

80 47350

100 101325


63


DEM

PRESSÃO DE VAPOR

Se um líquido for aquecido num recipiente fechado até determinada temperatura, evapora-se até se

atingir a pressão de vapor para a temperatura imposta, mantendo-se a partir daí um estado de

equilíbrio em que a quantidade de líquido vaporizado é igual á quantidade de vapor condensado.

Quando a temperatura atinge 100ºC a taxa de vaporização vence a taxa de condensação: ocorre

assim a mudança de fase.


http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Press%C3%A3o_de_vapor.gif

64


DEM

PRESSÃO DE VAPOR E CAVITAÇÃO

A aceleração de um escoamento liquido impõe uma depressão que pode

provocar « Cavitação » se a pressão descer abaixo da respectiva pressão de

vapor.

O parâmetro adimensional relacionado com o fenómeno de cavitação é o

«Número de Cavitação»

22

1 V

ppCa va

pa – pressão ambiente

Pv – pressão de vapor

V – velocidade característica do escoamento

Num escoamento a cavitação ocorre quando o «Número de Cavitação»

característico desce abaixo de um valor crítico dependente da geometria

especifica desse escoamento.


65


DEM

Quando ocorre este fenómeno?

Quando a velocidade de escoamento de um fluido causa uma queda de pressão

suficientemente intensa, isto é, a Pabs menor que a Pvap, ocorrerá uma vaporização

(formação de bolhas de vapor de água) do líquido.



66


DEM

Quando as bolhas de cavitação, transportadas pelo escoamento, atingem uma

zona de pressão superior à pressão de vapor, ocorre o seu colapso (condensação

do vapor) por implosão sendo este fenómeno suficientemente violento para

provocar a erosão e eventual destruição de peças metálicas (exº degradação das

pás do hélice de um barco)


FORMAÇÃO IMPLUSÃO


67


DEM


Redução da pressão na

linha de aspiração

Quando o liquido escoa através de uma bomba centrifuga ou axial, a pressão

estática (pressão de sucção) é drasticamente reduzida e a velocidade aumenta.

Existem desta forma condições para a formação de bolhas de cavitação na entrada

do rotor ou na tubulação de aspiração.

Pressão

atmosférica

Bolhas de Vapor


68


DEM



69


DEM



70


DEM

Condições de «Não escorregamento» (“No-Slip Condition”) e de «Igual

Temperatura» (“No-Temperature-Jump Condition”):

Quando um escoamento viscoso está confinado por uma superfície sólida, as

interacções moleculares impõem o equilíbrio dinâmico (quantidade de movimento)

e energético (temperatura) do fluido com essa superfície.

Condição de «Não-Escorregamento»:

Excluindo gases rarefeitos todos os fluidos, líquidos e gasosos, em contacto com

uma superfície sólida assumem a velocidade e a temperatura dessa superfície

(parede).

paredefluido VV

Condição de «Igual Temperatura»: paredefluido TT

Na análise dos escoamentos viscosos em contacto com envolventes sólidas, estas hipóteses são

utilizadas como «condições fronteira». Na análise de escoamentos inviscidos (escoamentos «potenciais»)

admite-se que os fluidos não tem viscosidade (fluidos «ideais») pelo que a condição de «não

escorregamento» não é considerada.


71


DEM

Num escoamento, os efeitos da compressibilidade traduzem-se em variações

significativas da densidade do fluido.

Os efeitos de compressibilidade, tornam-se importantes quando a velocidade

do escoamento atinge um valor correspondente a uma fracção significativa da

“velocidade do som” no fluido (“a”).

Um escoamento liquido pode considerar-

se praticamente incompressível,

independentemente do gradiente de

pressões aplicado (densidade do fluido

mantém-se aproximadamente constante).

Um escoamento gasoso pode ser

compressível, uma vez que a densidade do

fluido pode variar significativamente, na

proporção directa do gradiente de

pressões.

KRTa perfeitogás

K=Cp/Cv=constante adiabática de um gás perfeito=1.40;

R=Constante termodinâmica dos gases perfeitos=287 m2.s-2.K-1;

T=temperatura absoluta (Kelvin)

VELOCIDADE DO SOM


72


DEM

Incompressibilidade – Número de MACH:

O número de MACH é um parâmetro adimensional relacionado com os efeitos de

compressibilidade e que mede a velocidade de um fluido, relativamente à

velocidade de propagação do som nesse meio fluido.

MACH: a = Velocidade do som no meio considerado

Este parâmetro adimensional destina-se a qualificar os regimes de escoamento:

M < 1 : Escoamento em regime Subsónico

M 1 : Escoamento em regime Transónico

M = 1 : Escoamento em regime Sónico

M > 1 : Escoamento em regime Supersónico

O estudo desenvolvido nesta cadeira é

confinado a “escoamentos incompressíveis”

condição que se pode garantir desde que se

verifique M<0,3 (regime subsónico baixo)

KRT

V

a

VMaM


73


DEM

Incompressibilidade – Número de MACH:


74


DEM

TÉCNICAS BÁSICAS DE ANÁLISE DE ESCOAMENTOS

A análise de escoamentos pode ser efectuada por via teórica, por via experimental

ou por via mista que inclui uma fracção de cálculo e uma outra laboratorial, em

função das condições de estudo disponíveis.

Dentro da perspectiva teórica, existem duas técnicas básicas:

- CALCULO INTEGRAL OU ANÁLISE DE UM VOLUME DE CONTROLO (Cuja solução conduz a resultados

globais);

- CALCULO DIFERENCIAL OU ANÁLISE DE UM SISTEMA INFINITESIMAL (Cuja solução permite obter

distribuições espaciais e temporais das variáveis dependentes).

Dentro da perspectiva experimental:

- ANÁLISE DIMENSIONAL (Permite além da definição dos principais parâmetros adimensionais

determinantes para a correcta caracterização do escoamento, o conhecimento das regras a respeitar para

que um modelo laboratorial represente de modo satisfatório o protótipo).


75


DEM

Uma forma comum de classificar os escoamentos, baseia-se nas hipóteses

assumidas na respectiva análise, essas hipóteses apresentam-se aos pares, sob a

forma de condições antagónicas:

Regime

Permanente

(estacionário)

Regime

Transitório

Inviscido

(potencial)

viscosos

Isotérmico

Não

Isotérmico

Gás

Liquido

Incompressível

Compressível

Estas hipóteses podem ser locais ou extensivas a todo o domínio do escoamento

analisado. Normalmente o estudo de um escoamento implica a selecção de apenas

uma hipótese de cada par.

CLASSIFICAÇÃO DOS ESCOAMENTOS


76


DEM

Linha de corrente (“Streamline”)

É a linha que, num determinado instante, é tangente aos vectores velocidade, em cada ponto

(imagem instantânea: «fotográfica»).

Linhas de corrente no

instante “t1”

Linhas de corrente no

instante “t1+t”

No ESCOAMENTO PERMANENTE, como não há

variação do vector velocidade em cada ponto as

linhas de corrente tem a mesma inclinação, sendo

portanto fixa no tempo, logo a trajectória de uma

partícula é uma linha de corrente, no caso dos

escoamentos não uniformes a trajectória pode não ter

nenhuma semelhança com a linha de corrente dada

num certo instante.

A noção de linha de corrente refere-se sempre a um certo instante e, para a sua definição,

não é necessário conhecer os campos de velocidades prevalecentes nos instantes anteriores ou

posteriores.

LINHAS CARACTERISTICAS USADAS NA ANÁLISE DE ESCOAMENTOS

(Quer nas vertentes, teórica e experimental, a representação da configuração ou do padrão de um dado escoamento pode

ser materializada por linhas de escoamento)


77


DEM

Trajectória (“Pathline”)

É a linha percorrida por uma determinado elemento de volume (partícula) de fluido ao longo

do tempo (sucessão de imagens obtidas durante um intervalo de tempo: «cinematográfica»).

Para definição da trajectória é necessário conhecer os campos de velocidades prevalecentes

nos instantes anteriores e posteriores.

1

´ tu

2

´ tu

3

´ tu 4

´ tu

1`` tu 2`` tu

3`` tu

4`` tu

Trajectória da partícula (`) Trajectória da partícula (``)

LINHAS ASSOCIADAS AO CAMPO DE ESCOAMENTO

Quando o escoamento é estacionário ou unidimensional, a linha de corrente coincide com a trajectória.


78


DEM

Trajectória (“Pathline”)

P1

P2

P3

1v

2v

3v

Sendo para cada ponto a velocidade constante no tempo, se uma dada partícula de fluido

percorre a trajectória P1 P2 P3 todas as partículas que chegam a P1, vão percorrer a

mesma trajectória.

A curva P1 P2 P3 Linha de Corrente

Um conjunto de linhas de corrente próximas formam um tubo de corrente



79


DEM

Linha de Emissão (“Streakline”)

Linha que, num dado instante, é formada por um conjunto de partículas que ocuparam,

anteriormente um determinado ponto (imagem instantânea: «fotográfica»).

Tf

Tf-1

Tf-2

T2

T1

T0 inicial

Linhas de corrente, linhas de trajectória e linhas de emissão são coincidentes em escoamento

estacionário (regime permanente) como em cada ponto o vector velocidade não altera a sua

intensidade nem a sua direcção, cada partícula de fluido tem o mesmo comportamento das que

a precedem.



80


DEM

ESPECTRO DE UM ESCOAMENTO (LINHAS ASSOCIADAS AO CAMPO DE ESCOAMENTOS)


Capitulo I - Ppt

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