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Capítulo – VIII

A MECÂNICA DA FRATURA ELASTODINÂMICA

ÌNDICE

8. 1 – Objetivos do Capítulo........................................................................................................ 4 8. 2 - Introdução.......................................................................................................................... 4 8. 3 - A teoria elastodinâmica não-linear da Mecânica da Fratura Clássica para o caminho liso . 43 8.2.1 - A extensão de Mott para o balanço energético da teoria de fratura de Griffith, para o

caminho liso ............................................................................................................. 43

8.2.2 - A velocidade de crescimento da trinca, vo, para o caminho liso na teoria de Mott .......... 45

8.2.3 - A taxa de energia elastodinâmica liberada, GD, de acordo com a teoria de Mott, para o

caminho liso ............................................................................................................. 48

8.2.4 - A extensão de Dulaney e Brace para os resultados da teoria de Griffith, para o caminho

liso ............................................................................................................. 50

8.2.5 - A velocidade de crescimento da trinca, vo, para o caminho liso de acordo com a teoria

de Dulaney-Brace ................................................................................................................. 52

8.2..6 - A taxa de energia elastodinâmica liberada, GD, na teoria de Dulaney-Brace, para o

caminho liso ............................................................................................................. 56

8. 4 – Teoria Elastodinâmica Linear ..............................................Erro! Indicador não definido. 8.3.1 – A Equação de Movimento Elastodiâmico Linear ........................................................... 30

8.3.2 – A Equação de Onda de um Meio Elástico ...................................................................... 34

8. 5 – Campos Elastodinâmicos na Ponta da Trinca................................................................... 36 8.3.2 – O Balanço de Energia Elastodinâmico ........................................................................... 59

8.3.2 – A Integral do Fluxo de Energia na Ponta da Trinca ........................................................ 61

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8.3.2 – Derivação da Taxa Generalizada de Energia Elastodinâmica Liberada........................... 62

8.3.2 – Derivação da Densidade Generalizada de Energia Elastodinâmica................................. 64

8.3.2 – Derivação do Fluxo Generalizado de Potencia Elastodinâmica ...................................... 65

8.3.2 – Derivação da Densidade Generalizada de Potência Elastodinâmica ............................... 67

8. 6 – Soluções Gerais para trincas elasto-dinamicamente propagantes...................................... 69 8. 7 – Taxas de Energias Dinâmicas Liberadas .......................................................................... 83 8. 8 – Integrais Independentes do Caminho ............................................................................... 85 8. 9 - Considerações Finais........................................................................................................ 88

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Capítulo – VIII

A MECÂNICA DA FRATURA ELASTODINÂMICA

FUNDAMENTOS TEÓRICOS DA ELASTODINÂMICA

DO CRESCIMENTO INSTÁVEL DA FRATURA

CLÁSSICA PARA O CAMINHO LISO

E aconteceu que, acabando ele de falar todas estas palavras, a terra que estava debaixo deles se fendeu (Nm 16,31)

RESUMO

Neste capítulo, será feita uma breve revisão bibliográfica dos principais avanços

matemáticos alcançados pela Mecânica da Fratura Clássica (MFC) ao longo das décadas, sem

levar em consideração a questão da rugosidade da superfície de fratura. Para isto a MFC será

tratada na Mecânica da Fratura Dinâmica ou Dinâmica da Fratura. Em primeiro lugar, será

feita uma breve introdução a teoria elastodinâmica, com seus principais resultados. Em

seguida, será feita uma revisão da mecânica da fratura em si, e por último, uma abordagem

rápida sobre a teoria termodinâmica da fratura, aplicada a materiais frágeis e dúcteis, a qual

será útil para inserir nos capítulos seguintes a idéia da descrição geométrica fractal da fratura

rugosa. O objetivo deste capítulo é, portanto abordar os tópicos básicos para o

desenvolvimento dos modelos descritos ao longo dos capítulos subsequentes.

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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: A rigor neste capítulo, e somente neste

capítulo, todas as equações deveriam possuir um índice (l) para denotar que se trata de uma

teoria para o caminho liso da trinca, Ll. Contudo, este índice, (l), será omitida de todas elas,

para não carregar a notação. Outros motivos para essa medida ficarão claros na secção 4.8 do

Capítulo-IV.

Palavras chave: Mecânica da Fratura, Regime Estável, Curva J-R, Dinâmica da Fratura, Taxa

de Energia Elastodinâmica Liberada

PACS números:

8. 1 – Objetivos do Capítulo

i) Apresentar uma breve descrição da Mecânica da Fratura Clássica

ii) Desenvolver os principais conceitos e equações que serão utilizadas nos capítulos

subseqüentes

iii) Fornecer uma base conceitual e matemática para o problema da fratura estável.

iv) Motivar a aplicação da correção da rugosidade à Mecânica da Fratura.

8. 2 - Introdução

A Mecânica da Fratura Dinâmica pode ser largamente definida como a mecânica

dos corpos sólidos que contém trincas estacionárias ou propagantes, onde os efeitos de inércia

são levados em conta. Em tais casos um conhecimento dos campos de tensão e deslocamento

assintóticos dependentes do tempo perto da ponta da trinca é essencial no entendimento do

processo e natureza da fratura rápida dos sólidos. Uma vez que tais campos assintóticos perto

da ponta de uma trinca propagante são determinados, outros parâmetros de relevância na

dinâmica da mecânica da fratura, tais como o fator de intensidade de tensão dinâmico e as

taxas de energia liberadas podem ser determinados.

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A MF representa uma das mais importantes áreas interdisciplinares de estudos da

Ciência e Engenharia dos Materiais e da Engenharia Mecânica. Ela estuda o aparecimento de

falhas e defeitos e a sua influência sobre as propriedades mecânicas dos materiais. De uma

forma geral, a MF trata da descrição da formação, do crescimento e da propagação de trincas

e de superfícies de fratura. O entendimento dos mecanismos de formação e interação das

trincas e superfícies de fratura com a microestrutura do material, também é uma das suas

principais preocupações. Este entendimento permite compreender as propriedades mecânicas

dos materiais e os processos de dissipação de energia durante o crescimento e a propagação

das trincas. Através do conhecimento das propriedades dos materiais na presença de defeitos,

torna-se possível dar a cada material o uso correto adequando-os conforme a solicitação de

suas aplicações. Porque, por meio da MF é possível conhecer além do emprego mecânico

destinado aos diferentes materiais, as suas limitações, tanto para aqueles materiais

desenvolvidos em laboratórios, como para aqueles utilizados ou fabricados pela indústria de

uma forma geral, como prevê as suas limitações em serviço.

É importante lembrar que, a qualidade de um projeto em Engenharia está

relacionada à correta escolha dos materiais envolvidos. A aplicação de cada material deve ser

adequada às suas propriedades e limitações, a fim de preencher as necessidades e

especificações do projeto e manter o controle dos riscos e danos, dentro de uma margem

plausível, para que em uma situação crítica, seja possível prever quais são as consequências

existentes no caso de falha de um de seus componentes. Com isso é possível evitar futuros

acidentes (inclusive com vítimas), ou prejuízos, pelo uso indevido dos materiais além de suas

limitações.

O interesse particular de se conhecer os diferentes mecanismos que podem levar

um material à falha mecânica, ou a sua ruptura completa, tem a finalidade de otimizar as

diversas propriedades mecânicas oferecidas, e fornecer subsídios para o projeto de novos

materiais, os quais devem ser capazes de resistir a solicitações com limites superiores aos

limites do materiais já existentes. A modificação das propriedades de um material pode ser

feita melhorando-se os mecanismos de tenacificação. A finalidade é proporcionar à peça, ou

ao produto, uma resistência mecânica, uma tenacidade, uma durabilidade, e um melhor

desempenho, conforme a especificação desejada.

As teorias e os modelos desenvolvidos na Mecânica da Fratura visam descrever as

propriedades mecânicas dos materiais na presença de defeitos e conseqüentemente explicar os

fenômenos ligados às falhas mecânicas, como por exemplo, o processo de dissipação de

energia durante o crescimento e a propagação das trincas. Este modelos também procuram

6

relacionar as medidas feitas em ensaios macroscópicos com os efeitos da fratura sobre a

microestrutura do material. Com isto é possível saber se um dado material pode, ou não,

resistir à solicitação externa desejada.

6. 1 - O que estuda a Mecânica da Fratura e a sua importância

tecnológica na Engenharia dos Materiais

A mecânica da fratura trata da previsão da vida mecânica dos componentes e

estruturas sólidas. Existem basicamente dois tipos de estruturas e componentes estudados pela

MFC. O primeiro tipo, é aquele constituído de materiais cujas falhas são dominadas pela

fratura e o segundo tipo, é aquele constituído de materiais cujas falhas são dominadas pela

fluência ou escoamento, conforme mostra a Tabela - VI. 1.

A MFC possui aplicações tecnológicas e científicas, das mais diversas, dentre as

quais destaca-se alguns exemplos:

- chips eletrônicos, elementos de estrutura, elementos de máquinas, pontes, aviões, navios,

vasos, tanques, caldeiras, autoclaves utilizados na armazenagem de fluidos sob pressão, para

acionamento de máquinas a vapor, etc. Em fim, todo tipo de elemento, objeto, ou estrutura,

soldada ou rebitada, que pode ser quebrada ou trincada.

Tabela - VI. 1: Tipos de estruturas e componentes comumentes estudadas pela MFC

Falhas de Estruturas e Componentes

Materiais Frágeis: dominados pela fratura Materiais Dúcteis: dominados pelo escoamento

- A plasticidade é localizada - Os tipos de defeitos que controlam a resistência são macroscópicos. - Introdução de defeitos no material Ex: falhas em soldas, porosidades, defeitos superfíciais, trincas nucleadas por fadiga ou corrosão (com perda de massa)

- A plasticidade é generalizada - Os tipos de defeitos que controlam a resistência ao escoamento plástico são microscópicos. - Introdução de defeitos no material Ex: defeitos intersticiais, contorno de grão, precipitados, redes de discordâncias.

Na maioria das aplicações, os materiais são submetidos a esforços mecânicos

monotônicos contínuos e lentos (estáveis), rápidos (instáveis) ou cíclicos, conforme mostra a

Figura - 6. 1. Com isto, eles podem apresentar o fenômeno da fratura, lenta ou quase-estática,

da fratura rápida ou catastrófica e da fadiga, respectivamente. Por esta razão, o estudo da

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fratura compreende, de uma forma geral, basicamente quatro áreas: (i) a fratura estável, (ii) a

fratura instável ou a dinâmica da fratura, (iii) a fadiga e (iv) o estudo da fractografia.

(i) O estudo da fratura estável descreve o processo de crescimento de trincas em

situações próximas ao equilíbrio, ou seja, em situações em que as taxas de deformação não

dependem da velocidade de propagação dessas trincas.

(ii) A dinâmica da fratura procura descrever o processo de formação, crescimento

e propagação de trincas que são produzidas por altas taxas de deformação, onde a sua

velocidade de crescimento influencia os valores das grandezas energéticas, (caracterizando

um fenômeno não-linear). A dinâmica da fratura, ou a fratura produzida em condições

dinâmicas de instabilidade, por ser um fenômeno não-linear, apresenta situações de interesse

para a Física e para a Engenharia de Materiais. Para a Física por se tratar de um exemplo de

sistema instável, em processo de dissipação de energia. O entendimento deste processo de

dissipação, pode contribuir para o estudo e a compreensão de fenômenos análogos, de

complexidade ainda maior, como por exemplo, as avalanches, os terremotos e o movimento

das placas tectônicas da crosta terrestre. Para a Engenharia de Materiais porque a

compreensão deste fenômeno permite a otimização dos processos industriais e o projeto de

novos materiais.

(iii) O estudo da fadiga leva em conta o processo de propagação de trincas pelo

acúmulo de defeitos e trincas no material em função da velocidade, do tempo e da freqüência

de oscilação dos carregamentos cíclicos.

(iv) A fractografia é uma parte da MF que procura estudar o fenômeno do ponto

de vista mesoscópico. Ela envolve as três áreas citadas anteriormente e procura encontrar

explicações para o processo de fratura na microestrutura do material, conforme será descrito,

posteriormente, no Capítulo – IV.

A mecânica da fratura procura estudar o comportamento mecânico dos materiais e

sua propriedades frente as diferentes condições de carregamento (Figura - 6. 1) e geometrias

de ensaio.

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Figura - 6. 1. Diagramas típicos de carga x deslocamento. a) trincamento estável com diminuição da carga b) trincamento estável com carga constante c) trincamento estável com aumento da carga d) trincamento instável com fratura catastrófica e) trincamento com carga cíclica.

Considere agora os diversos tipos de ensaios onde se obtém os gráficos de carga X

(em Newtons) pela deflexão u (em milímetros) conforme mostra a Figura - 6. 1.

Os comportamentos representados nas Figura - 6. 1a) a Figura - 6. 1d) podem ser

estudados a partir de uma montagem conforme mostrado na Erro! Fonte de referência não

encontrada..

Dentro destes estudos, a MFC procura fornecer respostas quantitativas para os

seguintes problemas:

1) Qual é a resistência residual do componente, ou estrutura, em função do tamanho da trinca?

2) Qual é o tamanho máximo da trinca, que pode ser tolerada, sob um dado carregamento de

forças externas?

3) Qual é a velocidade de crescimento que uma trinca apresenta em função do meio ou das

condições de uso do material?

4) Qual é a taxa de propagação que uma trinca apresenta por carregamento cíclicos em função

do meio e das condições de uso do material

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5) Finalmente, quanto tempo leva para a trinca alcançar um tamanho crítico, isto é, qual é a

vida útil de um componente ou estrutura?

6. 2 - Revisão bibliográfica

6.4.1- Revisão Bibliográfica da Fratura Instável

Em 1947 Mott [3] percebeu que a inclusão de um termo de energia cinética no

formalismo de Griffith poderia estender a abordagem de Griffith para energia de forma a

incluir a dinâmica da fratura [2]. Ele achou que a velocidade de uma trinca deveria aproximar-

se assintoticamente de uma velocidade terminal. Em 1957 Stroh [3] propôs que esta

velocidade terminal deveria ser igual à velocidade das ondas de Rayleigh no material,

resultado que já estava implícito nos cálculos de já antecipado por Yoffe em 1951 [44]. Em

1960 Dulaney e Brace [4] corrigiram os cálculos efetuados por Mott para a dependência da

velocidade da trinca com o seu comprimento. Apesar do tremendo aumento na sofisticação

matemática da mecânica da fratura dinâmica, durante os 60 anos que se seguiram, o

argumento de escalonamento de Mott, permaneceu essencialmente inalterado, como é

evidenciado por Freund [45]. Contudo, continuou havendo uma dificuldade Um problema que

ainda se apresentava [46,47] era o fato de nunca se observar experimentalmente trincas em

materiais amorfos e frágeis que atingissem a velocidade limite das ondas de Rayleigh,

conforme previsto pela teoria. Gilman e Hull [48-51], mostraram que toda dificuldade em se

fazer esta constação, devido à complexidade do fenômeno, era mais aparente do que real. Pois

no caso de trincas que se propagam ao longo de planos de clivagem de cristais frágeis, ou ao

longo de interfaces fracas, observa-se que a velocidade de propagação se aproxima à

velocidade limiar das ondas de Rayleigh quase é atingida [48-51]. Isto é facilmente explicado

pelo fato de que nestes casos a energia liberada por unidade comprimento, durante a

propagação da trinca, é constante, conforme mostrado nas previsões feitas por Hall em 1953

[51], contrário ao que acontece em outras observações efetuadas em materiais amorfos e

polímeros frágeis. Nestes materiais, esta energia tende a aumentar com a velocidade de

propagação, em virtude do surgimento de microtrincas e/ou deslocações [46,52-55]. Além

disto, Irwin et al [25] mostraram que em materiais tais como: plásticos frágeis de PMMA,

Homalito 100, etc, as trincas não são bem definidas como nos exemplos anteriores, mas

surgem ramificações que se originam na trinca principal e se desvanecem no seio do material,

formando um certo angulo em relação a trinca principal [31-34]. Posteriormente, Doyle, Ravi-

10

Chandar e Knaus [56, 57] mostraram que o aumento de energia está associado a formação

destas ramificações. Por outro lado, nenhuma teoria da dinamica da fratura era capaz de fazer

qualquer predição sobre a velocidade de uma trinca sem fazer uma presuposição sobre a

energia por unidade de comprimento necessária para uma trinca se propagar. A maioria das

equações dinâmicas supõe que esta quantidade é uma constante [31]. Contudo, os resultados

experimentais indicam que esta suposição não é correta, ao contrário, a energia de fratura

tende a aumentar com a velocidade. Por um longo tempo tem sido mostrado que trincas em

polímeros frágeis com altos fatores de intensidade de tensão tendem a se ramificar, em ramos

que se desvanecem subsequentemente no seio do material, deixando atrás uma série de curtas

micro-trincas que formam um certo angulo em relação à trinca principal [26, 32-35]. Doyle

[36] e Ravi-Chandar e Knauss [37] mostraram que em plásticos frágeis de PMMA e

Homalito-100, o aumento na energia de fratura está relacionado à geração de microtrincas

logo abaixo da superfície de fratura.

Destas considerações concluiu-se que um dos problemas fundamentais da

dinâmica da fratura é a elucidação da causa do aumento abrupto no consumo da energia, após

atingida a velocidade crítica em que sugem as microtrincas. Ou, por que a velocidade média

de propagação pára de aumentar quando o fluxo de energia para a ponta da trinca exede um

limiar crítico. Isto foi evidenciado em por meio de simulações em computador por Liu e

Marder [58-66]. Nestas simulações reproduziram aspectos da propagação da trinca

observados em experimentos efetuados em laboratório., além do esperado, pois previam

Inclusive o fenômeno do aprisionamento da trinca na rede [67-69]. Entretanto este resultado

apenas é aparente (ou enganoso), pois conforme demonstrado por Hauch [70] este fenômeno é

característico da tri-dimensionalidade, não podendo portanto surgir na simulação bi-

dimensional. Este fato é um alerta ao excesso de confiança mostrado por alguns pesquisadores

nas técnicas de simulação em computador.

Uma tentativa para responder a esta questão foi feita por Liu e Marder [37-42 ] no

contexto do cálculo da propagação de trincas em redes cristalinas. Usando modelos

analiticamente solúveis, bem como em extensas simulações em computadores, mostrou-se

que, quando o fluxo para a ponta da trinca ultrapassa um limiar crítico, surge uma

instabilidade que aparece algumas vezes acompanhada de micro-trincas e outras vezes

acompanhada de deslocações [38-43]. Algumas das imagens produzidas por estas simulações

são semelhantes às imagens obtidas experimentalmente para o PMMA passado o seu limiar de

instabilidade [44, 45]. Os cálculos na escala atômica fizeram predições adicionais com melhor

precisão. O mais impressionante é que segundo estes cálculos, deveria existir uma faixa de

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velocidade, rigorosamente entre 0% e 20% da velocidade das ondas Rayleigh, na qual um

movimento estácionario de trinca seria impossível [40, 41], um processo também conhecido

como aprisionamento na rede [46-48]. Hauch [ ] mostrou experimentamente, usando a técnica

da queda do potencial elétrico que, para materiais cristalinos, este é um efeito tridimensional,

e que este fenômeno do aprisionamento da rede não existe para materiais amorfos.

Um outro tratamento teórico de interesse é o apresentado por Runde em 1994 [71]

quando tratou do problema da instabilidade das trincas e da dissipação da energia. Utilizando

um modelo de meio contínuo, mostrou que esta dissipação de energia por uma trinca é

semelhante à aquela que se verifica num flúido viscoso. Segundo este modelo, A instabilidade

dinâmica está relacionada a um mecanismo de dissipação de energia, que ocorre em um

regime caracterizado por um número de Reynolds suficientemente grande, de forma análoga

ao que acontece em diversas situações na mecânica dos fluidos.

Recentemente Slepyan em 1993 [72] propôs um Princípio de Máxima Dissipação

de Energia, para explicar a relação entre a inatingibilidade da velocidade das ondas Rayleigh,

a instabilidade e a formação dos padrões ramificados (microtrincas) na de dissipação de

energia. Esta idéia, da existência de um princípio físico geral capaz de explicar estes

fenômenos existentes na fratura, rupturas dielétricas, etc. é de consenso entre outros

pesquisadores do assunto [73], e é uma estratégia que pretendemos adotar.

Desta forma, as discrepâncias entre teoria e experimentos, que levam em conta a

velocidade de propagação de uma trinca, apenas foram explicadas por equações

fenomenológicas para a dissipação. Até o presente momento nenhum mecanismo satisfatório

para a dissipação foi proposto. O fenômeno da instabilidade de propagação de trincas

continua sendo um fenômeno obscuro, e segue-se a pesquisa procurando-se conhecer mais

sobre os numerosos mecanismos de dissipação.

6.4.2 - A revisão bibliográfica da dinâmica da fratura

Do ponto de vista teórico, o estudo da propagação de trincas pode ser subdividido

em duas classes. A primeira é o campo da propagação de trincas que se refere às trincas lentas

ou de quase-equilíbrio (fratura com propagação estável de trinca). Para este caso, o trabalho

de Griffith [1] é considerado como o início da mecânica da fratura tornando-a uma ciência

quantitativa do comportamento dos materiais frágeis. A segunda classe é o estudo da

formação da fratura dinâmica com propagação instável da trinca. Nesta segunda classe, o

trabalho de Mott [2] em 1947 foi o primeiro a estender os resultados de Griffith para explicar

a dinâmica da propagação de trincas.

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Mott percebeu que a velocidade de uma trinca deveria aproximar-se

assintoticamente de uma velocidade máxima de propagação. Em 1957, Stroh [3] propôs que

esta velocidade terminal de propagação das trincas nos materiais, deveria ter um limite

máximo superior, igual à velocidade das ondas de Rayleigh, que corresponde à velocidade

máxima das ondas elásticas numa superfície livre. Na prática, num processo de fratura

catastrófica, isto não se verifica para diversos materiais. Isto tem intrigado vários cientistas

da área.

Gilman e Hull [5-6], mostraram que, no caso de trincas que se propagam ao longo

de planos de clivagem de cristais, ou ao longo de interfaces fracas, a velocidade limiar de

Rayleigh quase era atingida [7-8]. Isto é facilmente explicado pelo fato de que nestes casos a

energia liberada por unidade de comprimento de extensão da trinca, durante a sua propagação,

é constante, conforme mostrado por Hall em 1953 [9], contrário ao que acontece em materiais

amorfos e polímeros frágeis. Nestes materiais, esta energia tende a aumentar com a

velocidade de propagação, em virtude do surgimento de microtrincas (e/ou deslocações para

materiais ducteis) [10-16].

Ao longo dos anos, outras abordagens ao problema da inatingibilidade da

velocidade das ondas de Rayleigh, tem sido feitas [4], contudo, a propagação rápida de trincas

ainda continua a ser um problema que persiste e desde aquela época nenhuma teoria dinâmica

satisfatória ficou estabelecida.

Entende-se, aqui, por teoria dinâmica de propagação de trinca, aquela que leva em

conta a influência da velocidade de propagação nas grandezas energéticas clássicas,

estendidas para o caso dinâmico, tais como: fator de intensidade de tensão dinâmico KID, taxa

de energia elasto-dinâmica liberada GD, etc.

Com o desenvolvimento de tecnologias capazes de monitorar processos ultra-

rápidos, o interesse no estudo da dinâmica da fratura tem sido retomado frente às realizações

experimentais de propagação de trincas tanto em condições de equilíbrio estável [5] como em

condições dinâmicas instáveis [6].

Dentro do âmbito da dinâmica da fratura, de acordo com a teoria [7], as trincas em

materiais frágeis são supostas acelerarem-se até a velocidade das ondas Rayleigh. Conforme

mencionado acima, isto não acontece. Para verificar experimentalmente esta impossibilidade

das trincas atingirem tais velocidades, foram propostos vários aparelhos que visam medir a

velocidade de propagação de trincas em materiais tais como o vidros, polímeros (PMMA) e

outros.

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Destes trabalhos, destacam-se aqueles realizados no Instituto de Dinâmica Não-

Linear em Austin-Texas pelo grupo liderado pelo Prof. Harry Swinney. Em 1991 e 1992

Fineberg [18] construiu engenhoso dispositivo para medir com grande precisão a velocidade

de propagação de trincas. Ele quantificou as discrepâncias entre os valores experimentais de

medida de velocidade de propagação e o valor da velocidade das ondas Rayleigh e além disto

fez outras observações inéditas de grande importância. Por meio de cuidadosas medidas da

velocidade de propagação de trincas em vidros e polímeros (PMMA-polimetilmetacrilato) e

da análise do perfil da superfície de fratura ele observou a ocorrência de violentas oscilações

no valor da velocidade, anteriormente não detectadas, e que se iniciavam bruscamente toda

vez que a velocidade média de propagação ultrapassava uma velocidade crítica bem definida.

Além do mais, estas oscilações tinham boa correlação com a estrutura espacial (rugosidade)

da superfície de fratura criada, acompanhando instantaneamente as abruptas mudanças na

velocidade média. Reinterpretando trabalhos anteriores, Fineberg et. al. [18] mostraram que

esta instabilidade dinâmica resulta de um grande aumento na dissipação de energia da trinca

para o meio propagador da mesma. Parte do processo de dissipação era despendido na criação

de superfícies de fratura adjacentes (ramificações da trinca principal).

Segundo Mecholsky [19] as superfícies de fratura são objetos auto-similares que

obedecem a um escalonamento fractal ou multifractal. Portanto, escalonamentos fractais com

leis de potência que relacionam a rugosidade das superfícies de fratura com os efeitos da

variação da velocidade [20], tem sido apontados como fortes evidências de que o processo de

trincamento e microtrincamento em materiais frágeis acontecem devido a condições de

instabilidade, as quais surgem a partir de uma velocidade de propagação crítica bem definida

[6].

Destas considerações concluiu-se que um dos problemas fundamentais da

dinâmica da fratura é a elucidação da causa do aumento abrupto no consumo da energia, após

atingida uma velocidade crítica de propagação. Em outras palavras, porque que a velocidade

média de propagação pára de aumentar quando o fluxo de energia para a ponta da trinca exede

um valor crítico?

Experimentalmente tem sido verificado que, acima desta velocidade crítica, a

ponta da trinca torna-se instável [9] no que se refere ao caminho (ou trajetória) a seguir [21].

Esta instabilidade é o principal mecanismo responsável (além de outros) pelo consumo da

energia cinética de propagação, de uma forma intrínseco(a) ao fenômeno de instabilidade, o

que ainda não é bem compreendido. Esta seria, em princípio, a explicação qualitativa do

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motivo pelo qual a velocidade de propagação das trincas não alcançam o valor limite

determinado pela velocidade das ondas de Rayleigh.

Nos últimos sessenta anos, numerosos trabalhos tem sido feitos para elucidar estes

problemas. Muitos mecanismos de dissipação de energia tem sido propostos e que têm

explicado de maneira satisfatória o comportamento e diversas propriedades dinâmicas da

propagação fora de equilíbrio que ocorrem durante uma fratura [17, 22]. Entretanto, o

problema da inatingibilidade da velocidade das ondas Rayleigh, apesar de estar intimamente

ligado à instabilidade da propagação da trincas, ainda não foi satisfatoriamente explicado.

Uma contribuição significativa na solução deste problema é devido a Yuse que em 1993 [17]

demonstrou experimentalmente a influência de um campo térmico sobre a ocorrência da

instabilidade na propagação de uma trinca. Isto também foi observado [23] com a aplicação

de um campo elástico adicional (ultrassom). Estas contribuições trouxeram novos subsídios

ao esclarecimento deste problema

Várias questões relacionadas ao problema da instabilidade e do consumo da

energia de propagação da trinca, foram evidenciadas em simulações em computador por Liu e

Marder [24-31]. Nestas simulações eles reproduziram aspectos da propagação da trinca

observados em experimentos efetuados em laboratório, inclusive o fenômeno do

aprisionamento da trinca na rede [32-34]. Entretanto este resultado apenas é aparente (ou

enganoso), pois conforme demonstrado por Hauch [35] este fenômeno é característico da tri-

dimensionalidade, não podendo portanto surgir na simulação bi-dimensional. Este fato foi um

alerta ao excesso de confiança mostrado por alguns pesquisadores nas técnicas de simulação

em computador.

Em 1993 Slepyan [36] propôs um Princípio de Máxima Dissipação de Energia

para explicar a relação entre a inatingibilidade da velocidade das ondas de Rayleigh e a

instabilidade, quanto ao caminho, observada na sua propagação. Esta idéia, da existência de

um princípio físico geral capaz de explicar estes fenômenos, é consenso entre os

pesquisadores do assunto [37] e é uma estratégia adotada neste projeto.

Um outro tratamento teórico de interesse para o problema da instabilidade das

trincas (ou da dissipação da energia) foi apresentado por Runde em 1994 [38]. Ele utilizou um

modelo de meio contínuo e mostrou que a dissipação de energia na propagação de trincas é

semelhante àquela que se verifica num fluído viscoso. Segundo Runde a instabilidade

dinâmica está relacionada a um mecanismo de dissipação de energia, que ocorre em um

regime caracterizado por um número de Reynolds suficientemente grande, de forma análoga

ao que acontece na mecânica dos fluídos.

15

Além destes, existem também outros subsídios no âmbito da física dos processos

não-lineares. Nestes estudos, procura-se prever o padrão geométrico resultante do fenômeno

físico (que podem ser propagação de trincas, rupturas dielétricas, eletrodeposições, etc) [39]

em decorrência do mecanismo de dissipação de energia (no caso da fratura, é a energia

mecânica). É de consenso que estes padrões são decorrentes de processos de otimização da

dissipação da energia e que podem ser caracterizados quantitativamente mediante a geometria

fractal [7,40]. O fenômeno da fratura (que em última análise deu origem à designação fractal

[41]) sem dúvida nenhuma incorpora estes aspectos não-lineares.

Um dos objetivos deste trabalho foi construir modelos que envolvam estes

aspectos, ainda díspares, dentro de uma visão sistêmica e unificada. Isto poderá ser feito,

juntando-se conceitos da mecânica da fratura clássica, da descrição fractal da superfície de

fratura e modelos que descrevem a instabilidade na propagação da trinca (tanto de velocidade

como de trajetória), para chegar-se a novas propostas de descrição do processo de fratura de

materiais frágeis. Em síntese, deveremos levar em conta os resultados provenientes da

caracterização geométrica das trincas [ ], dos experimentos estasto-dinâmicos efetuados em

Austin-Texas [ ] e os resultados da dinâmica não-linear [ ].

O tema de muitas pesquisas em décadas passadas, sobre a fratura de materiais

amorfos e frágeis, ainda permancem, nas suas mais variadas formas, devido ao problema da

inatigibilidade da velocidade das ondas Rayleigh. Apesar de muitos trabalhos terem sido

feitos neste campo, nestes últimos setenta anos, mesmo assim, os mecanismos que governam

a dinâmica de propagação das trincas ainda não são bem entendidos [10]. Além disso uma

teoria satisfatória para a instabilidade ainda não existe [6].

É de particular interesse saber o mecanismo pelo qual a energia dinâmica de

fratura é dissipada. Embora não se saiba completamente porque a inatingibilidade da

velocidade das ondas Rayleigh se verifica para alguns materiais, muitos outros mecanismos

de dissipação de energia tem sido esclarecidos e as propriedades dinâmicas da fratura de

vários materiais tem sido entendidas através da insistente busca das respostas que explicam

este fenômeno [11]. Yuse em 1993 [5], procurando entender os mecanismos da dissipação da

energia cinética de propagação, realizou experimentos importantes mostrando que uma trinca

que viaja em uma lâmina submetida a um campo unidirecional de difusão térmica não

uniforme, sofre diferentes tipos de instabilidades.

Na década passada, o estudo de sistemas conduzidos ao não-equilíbrio, tem

encoberto uma rica e inesperada variedade de rotas pelas quais tais sistemas podem evoluir de

um estado relativamente simples para estados de alta complexidade. Sabe-se que diversos

16

sistemas condicionados por um aumento no fluxo de energia, geralmente tornam-se instáveis

para os diversos modos alternativos de dissipação, nos quais a transferência de energia para

fora do sistema tende a ser otimizada [6]. Esta otimização se apresenta geralmente na

formação de um padrão de dissipação dependendo do fenômeno, registrado na forma de

figuras tais como: trincas, rupturas dielétricas, eletrodeposições, etc. que segue um tipo de

estrutura na maioria das vezes fractal.

A ocorrência de dissipação de energia da forma como foi mencionada no

parágrafo acima, é comum a muitos fenômenos na natureza. Muitos problemas recentes em

física são concernentes a conexão entre estruturas de dissipação e o fenômeno da dissipação

em si [12]. Alguns padrões de dissipação complicados, surgem em sistemas acumulativos que

apresentam excesso de energia, acima de um valor crítico. Um detalhado entendimento destes

padrões é necessário para se explicar precisamente como estas dissipações ocorrem. A relação

estrutura e dissipação é hoje em dia muito procurada pelos cientistas nos diversos fenômenos

da física não-linear. Com a retomada da dinâmica não-linear nestes últimos anos através da

teoria do caos e da física dos fractais, tem sido dado subsídios para a formulação de novos

modelos que venham a explicar os processos dissipativos da fratura dinâmica, em estados

longe do equilíbrio.

Tratando o fenômeno da fratura como sendo um fenômeno do tipo mencionado

acima, é do nosso parecer que o estudo dos padrões produzidos pelas trincas ramificadas nos

fenômenos de extrema dissipação (fratura catastrófica), juntamente com a abordagem da

elastodinâmica com a dinâmica não linear (teoria do caos), poderão dar subsídios para a

formulação de modelos envolvendo fractais, capazes de explicar satisfatoriamente não só os

mecanismos de dissipação que ocorrem neste fenômeno, como também a formação dos

padrões (trincas ramificadas),

Os grupos de pesquisa que trabalham, com dinâmica da fratura, no Brasil são

poucos, os quais, nos registros da pesquisa nacional, tem publicados artigos que tratam

problemas bem específicos. A idéia que a descrição fractal e a visão moderna da dinâmica

não-linear poderão dar melhores e maiores informações sobre o fenômeno da fratura instável,

desde uma simples trinca até o fenômeno da fragmentação, tem sido perseguida de perto por

vários cientistas em outros países.

17

6. 3 - Uma análise comparativa entre desenvolvimento da Fratura

Estável e da Fratura Instável

A partir de agora será apresentado uma análise comparativa entre a Mecânica da

Fratura Estável (ou Quase-Estática) Clássica (MFEC) e a Teoria Dinâmica da Fratura Instável

(ou Catastrófica) Clássica (TDFIC)

6.5.1 - A Mecânica da Fratura Estável (ou Quase-Estática) Clássica

A MFEC, na forma como é usada comumente na Engenharia de Materiais, trata da

descrição da fratura, do crescimento e propagação de trincas sob os aspectos de tipos de

entalhes, condições de carregamento, campo de tensões, distribuição de defeitos no material,

etc. É importante observar que esta área da ciência utiliza basicamente duas abordagems

clássicas, que se consolidaram com o tempo e com os resultados experimentais. Estas

abordagens são: a energética, originalmente proposta por GRIFFITH [1920] e a teoria elástica

linear clássica, desenvolvida por IRWIN [1957] e WESTERGAARD [1989] e outros

[OROWAN 1948; MUSKHELISVILI 1954; BARENBLATT 1962]. Uma relação entre elas é

feita pela integral G ou J (para materiais frágeis ou dúcteis, respectivamente), desenvolvida

por RICE [1968], que aparece tanto no formalismo da teoria elástica linear clássica, como no

balanço energético de Griffith [GRIFFITH 1920; ATKINS 1985]. Sob este aspecto, a MFC

está fundamentada nas grandezas que relacionam a área projetada(1) da fratura com as

grandezas energéticas tais como: energia ou o trabalho total de fratura, wof, energia efetiva de

superfície, eff, taxa de liberação da energia elástica, G ou J, fator de intensidade de tensão,

KI,II,III, (I, II, III, são os três modos de carregamento fundamentais) etc. Estas grandezas são

admitidas como sendo independentes da velocidade de crescimento da trinca. Portanto, estas

abordagens situam-se no campo da fratura elástica linear, também chamada de fratura estável

ou quase-estática.

Uma terceira abordagem da MFEC se encontra no campo das simulações em

computador, feitas por métodos numéricos de diferenças finitas [ANDERSON 1995], que não

deixa de ser um modelo mesoscópico.

1 A introdução da teoria fractal permite a consideração da área real da fratura ao invés da projetada, tornando a abordagem do problema mais autêntica, conforme será visto ao longo deste trabalho.

18

6.5.2 - A Teoria Dinâmica da Fratura Instável (ou Catastrófica) Clássica

Em primeiro lugar é preciso distinguir a TDFIC daquela que é estudada através

dos ensaios cíclicos de fadiga. A TDFIC inclui altas taxas de deformação e também a

influência da velocidade de crescimento da trinca no cálculo das grandezas energéticas

clássicas, estendidas para o caso dinâmico, sendo o impacto e a possível fragmentação um

caso limite deste [KANNINEN 1985; ÅSTRÖM 1977; HORNIG 1996]. Tal abordagem, se

encontra descrita nos livros textos de KANNINEN [1985] e de FREUND [1990].

Estabelecendo-se um paralelismo entre a MFEC e a TDFIC (vide o quadro

resumo na Tabela - VI. 2), observa-se a existência de duas abordagens para a dinâmica da

fratura, análogas àquelas mencionadas na secção – 6.2.1. A primeira, é aquela descrita por

modelos elastodinâmicos não-lineares, também chamada de teoria elástica não-linear. Nela a

velocidade da trinca é levada em consideração, sendo uma extensão da teoria elástica linear

desenvolvida por WESTERGAARD [1939]. Trabalhos importantes nesta área, relacionados à

dinâmica da fratura, tem sido desenvolvidos por IRWIN [1948] e FREUND [1972a, 1972b,

1973, 1974] e FLETCHER [1975]. A segunda, é a abordagem termodinâmica, que

corresponde paralelamente a uma extensão dos trabalhos de Griffith [ANDERSON 1995],

feita por MOTT [1947], DULANEY e BRACE [1960], CHEREPANOV [1967],

NIKOLAEVSKIJ [1982, 1987] e outros. Extensões análogas, àquela mencionada na secção –

6.2.1, da integral G ou J de Rice, que conecta estas duas abordagens citadas acima, isto é, a

elastodinâmica e a termodinâmica, para o caso de crescimento instável, também se encontram

registradas na literatura [KANNINEN 1985; FREUND 1990; ANDERSON 1995]. Houveram

diferentes tentativas de se estender a integral G ou J de Eshelby-Rice para o caso

elastodinâmico contudo, a mais geral e portanto a mais importante extensão da integral G ou J

[RICE 1968; KANNINEN 1985, ANDERSON 1995] para o caso de fratura dinâmica tem

sido feita por FREUND [1972 a, 1972b, 1973, 1974, 1990] e FLETCHER [1975].

De forma análoga a secção – 6.2.1, a TDFIC está fundamentada nas grandezas

que relacionam a área projetada da fratura com as grandezas energéticas, (estendidas para o

caso dinâmico), tais como, K(I, II, III) D, GD, etc. Neste caso porém, estas grandezas, possuem

uma forte depedência com a velocidade de crescimento da trinca. A TDFIC portanto, envolve

altas taxas de liberação de energia elástica armazenada e se estende num âmbito entre a

fratura quase-estática e o estudo de impacto propriamente dito.

19

Tabela - VI. 2: Quadro comparativo da mecânica da fratura quase-estática e dinâmica com os seus principais avanços matemáticos. (Campos não divididos são comuns às duas abordagens)

MECÂNICA DA FRATURA Fratura Quase-estática ou Estável

(MFEC) Dinâmica da Fratura ou Instável

(TDFIC) Fractografia e Caracterização Fractal

Teoria Elástica Linear Teoria Elastodinâmica Não-Linear Integral G ou J de Eshelby-Rice

Teoria Termodinâmica de Griffith Teoria Termodinâmica de Nicolaesvsky Critério de instabilidade de Nguyen-Slepyan

Métodos de Simulações em Computador: Numérica por Diferenças Finitas, Atomística e Dinâmica Molecular

Teoria dos Sistemas Não-lineares e Teoria do Caos Deterministico

Continuando o paralelismo com a MFEC, uma terceira abordagem dinâmica para

o processo de fratura, se encontra no campo das modernas simulações em computador

[MARDER 1993a e 1993b, 1994], feita pelos modelos atomísticos [ABRAHAM 1994;

GUMBSCH 1995] e de Dinâmica Molecular [GUMBSCH 1996 e 1997]. Esta abordagem,

leva em conta os aspectos físicos de primeiros princípios existentes na fratura (considerações

de interação em escala atômica ou molecular). Ela se preocupa em descrever tanto o processo

de fratura estático quanto dinâmico. Considera-se juntamente com a fratura o aparecimento de

vários fenômenos decorrentes deste processo, tais como, o movimento de discordâncias,

instabilidades dinâmicas, emissão sonora, emissão de radiação, etc. Tais fenômenos tem sido

atualmente estudados dentro do âmbito da Dinâmica Não-Linear e da Teoria do Caos

[MOHAN 1994]. Neste sentido o processo de fratura tem sido tratado de forma análoga aos

Sistemas Dinâmicos Não-Lineares da Física [TAN 1995].

Percebe-se nos parágrafos anteriores a descrição paralela de três tipos de

abordagem diferentes da fratura, tanto para o caso estático como dinâmico, em que uma busca

complementar o conhecimento da outra (vide o quadro da Tabela - VI. 2 acima). Portanto um

estudo moderno da fratura deve envolver aspectos interdisciplinares entre a Física e a

Engenharia de Materiais.

20

6.5.3 - Uma análise comparativa entre a fnomenologia da fratura estável e da fratura dinâmica

Uma trinca longitudinal, pode ser produzida em um corpo de duas formas: a

primeira, por um processo quase-estático, onde a solicitação da carga corresponde exatamente

ao valor da energia liberada na forma de superfície de fratura (G = R, dG/da = dR/da). A

segunda, quando a solicitação é muito maior do que a taxa de liberação de energia na forma

de superfície de fratura (G R, dG/da dR/da) (Figura - 1.1 e 1.2).

a) b)

Figura - 1.1. Fratura Estável a) num material cristalino b) num material

policistalino

No primeiro caso, a trinca pode ser retilínea ou não, dependendo da

microestrutura do material. Se o material for cristalino ou vítreo, a trinca produzida é retilinea

como uma clivagem em um cristal. Se por outro lado, o material possuir uma microestrutura

mais complexa (material policristalino, por exemplo), a trinca interage com esta

microestrutura, sendo desviada da propagação retilínea, produzindo uma superfíce irregular.

De qualquer forma, a trinca produzida neste processo, corresponde a resposta do corpo à

solicitação externa, definindo portanto a resistência R à propagação da trinca (Figura - 1.1a e

1.1b).

a) b)

Figura - 1.2. Fratura Instável a) num material cristalino b) num material

policistalino

No segundo caso a trinca também pode ser retilínea ou não, de forma análoga ao

caso anterior. Porém, como o regime é instável, o processo de liberação de energia pode

produzir uma trinca ramificada, devido ao excesso de energia acima dos valores estáveis de

propagação, caracterizados pelo processo anterior. Neste caso, o material procura

21

corresponder a solicitação, aumentando os mecanismos de dissipação de energia, inclusive

utilizando o recurso da ramificação. Ele faz isto como uma forma de multiplicar o número de

trincas, isto é os ramos, à medida que o limite de resistência estável R é ultrapassado (Figura -

1.2a e 1.2b).

a) b)

Figura - 1.3. Fratura Instável a) ramificada sem superposição de ramos b)

ramificada com superposição ramos formando fragmentos.

Portanto se considerarmos o fraturamento contínuo e instável de um corpo, este

pode produzir a fragamentação do mesmo. Isto porque as trincas se ramificam, à medida que

mais energia é imposta ao corpo no processo de fraturamento. As ramificações produzidas se

conectam umas as outras, formando contornos fechados, que determinam os fragmentos do

material, conforme mostra a Figura -1.3.

22

8. 3 – Teoria Elastodinâmica Linear

8.3.1 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido Elástico-Linear

A série fundamental das equações de campo que governam o movimento de um

corpo elástico isotrópico e homogêneo consiste da relação do deslocamento da deformação

para pequenas deformações. Portanto, considere o deslocamento u conforme mostrado na

Figura - 8. 1

O deslocamento do corpo é dado por:

x X u (8. 1)

sendo

udrurdru . (8. 2)

logo

rurdruud . (8. 3)

e a diferencial de x

dx dX du (8. 4)

ou seja

rdrdudud . (8. 5)

e a velocidade é:

23

dx dX duvdt dt dt

(8. 6)

E a aceleração é então:

2 2 2

2 2 2

d x d X d uadt dt dt

(8. 7)

E o estiramento é dado por:

dx udX

F I (8. 8)

Definindo a deformação E e a torção W , como sendo:

uu 21E ou jiij uu ,,2

1 E (8. 9)

e

uu 21W ou jiij uu ,,2

1 W (8. 10)

onde

WE u (8. 11)

Observe que se o tensor das deformações é simétrico o tensor das torções é nulo,

ou seja, se

uu (8. 12)

logo

0W (8. 13)

Sendo a deformação definida como:

12

Tij u u

(8. 14)

e a Lei de Hooke fica:

23ij ij kk ij (8. 15)

24

8.3.2 – Equação Constitutiva o Fluxo de Deformações em um Material Sólido

Elástico-Linear

Mais uma vez usando as mesmas considerações de Gibbs para os fluxos derivados

de potenciais os quais podem ser geralmente expressos em temos de gradiente de grandezas

escalares ou vetoriais, no calo da teoria da elasticidade temos a lei de Hooke generalizada a

qual é dada por:

ijkkUo IJ γε 2

. (8. 16)

como o tensor deformação é dado por:

uu 21E . (8. 17)

ou

uuuJUo

. . (8. 18)

Finalmente temos:

EE 2 trJUo

. (8. 19)

A equação de fluxo (8. 16) ou (8. 18) também pode ser escrita em termos da

equação geral Erro! Fonte de referência não encontrada. proposta por Gibbs usando-se a

seguinte relação:

)1(2 v

.

(8. 20)

e obtendo-se

1.2(1 )UoJ u u u

v

I . (8. 21)

como 1. . .2

Tu u u , pode-se definir o Tensor de Eshelby-Rice como sendo:

1 1. .2 (1 )

TvT u u u u

v

I . (8. 22)

25

temos:

Uo vJ T

. (8. 23)

8.3.3 – Equação do Potencial Vetorial Generalizado para a Deformação Elástica

Dada a equação da continuidade:

XoXo dtdJ . . (8. 24)

Substituindo ( ) em ( ) temos:

1. .2(1 )

d uu u u

v dt

I

. (8. 25)

Para cte , temos:

2 1. .2(1 )

d uu u u

v dt

I

. (8. 26)

Onde a derivada material de X é dada por:

d u uv u

dt t

. (8. 27)

Logo

2 1. .2(1 )

uu u u v u

v t

I

. (8. 28)

Caso I)

Para fluxos estacionários temos:

2 1. .2(1 )

u u u v uv

I . (8. 29)

Caso II) Para regimes onde os fluxos são perpendiculares aos gradientes( v u ) temos:

26

2 1. . 02(1 )

u u uv

I . (8. 30)

Onde . 0v u

8. 4 – Equação para Fluxo para a Teoria Elastodinâmica das Deformações

Considere a geometria da falha mostrada na Figura - 8. 2.

Figura - 8. 2. Fluxo de deslocamento, uJ ao redor de uma falha em um corpo sujeito a um ensaio elastostático de um corpo sujeito a uma tensão externa, .

O tensor fluxo de deslocamento, uJ devido a uma falha que atravessa uma

unidade de área pode ser definido como:

dtud

Add

u

J . (8. 31)

onde u é o vetor deslocamento.

O vetor dtud / pode ser escrito em termos do transporte de energia fornecido

pelo avanço dos deslocamentos da seguinte forma:

tuu

dtud

. . (8. 32)

Substituindo (8. 32) em (8. 31) temos:

27

tuu

Add

u

.J . (8. 33)

Desenvolvendo a derivada em relação ao vetor área temos:

tu

Addu

Add

u

.J . (8. 34)

8.3.4 – O fluxo de generalizado, uJ , através de uma superfície

Vamos a partir de agora definir o fluxo generalizado, uJ , das grandezas

generalizadas, consideradas anteriormente, como sendo:

dtud

Add

u

J (8. 35)

Desde que dX/dt é uma derivada material para as grandezas X = Q (calor), q

(carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. O fluxos correspondentes podem ser

definidos como JX = JQ (fluxo de calor), Jq (fluxo de corrente elétrica), J (fluxo de massa), Jp

(fluxo de momento = pressão + tensão tangencial), etc, dados respectivamente pelas lei de

Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc.

Portanto, a partir da equação (8. 34) temos:

tuu

Add

u

.J (8. 36)

Reescrevendo o primeiro termo do lado direito da equação acima temos:

uu

uAd

duAd

d

.).( (8. 37)

Logo

tuu

Add

uu

u

.J (8. 38)

Chamando de ku a constante de acoplamento dada por:

28

u

uu

Addk

. (8. 39)

Ficamos com:

tu

Addk uuu

J (8. 40)

Para uma grandeza X que não varia explicitamente no tempo, temos que 0 tX , ficamos

finalmente com:

uuu k J (8. 41)

Observe que, para as grandezas X = T (temperatura), (potencial elétrico), C

(concentração), v (velocidade), etc, correspondem aos fluxos JX = JQ (fluxo de calor), Jq

(fluxo de corrente elétrica), J (fluxo de massa), Jp (fluxo de momento = pressão + tensão

tangencial), etc, dados respectivamente pelas lei de Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc. Onde

em cada caso temos kX = -k (condutividade térmica), - (condutividade elétrica), -D

(coeficiente de difusão), (coeficiente de viscosidade), etc.

De forma análoga Mecânica dos fluidos nós podemos escrever este tensor fluxo

de energia J em termos do diádico entre o vetor densidade volumétrica de deformações u

que fluem no tempo ao redor da fratura e o vetor deslocamento u , como sendo:

dtud

u

J . (8. 42)

O vetor dtud / pode ser escrito em termos do transporte de energia fornecido pelo avanço

dos deslocamentos da seguinte forma:

tuu

dtud

. . (8. 43)

Onde

é a velocidade de avanço dos deslocamentos e é dada por:

dtAd

. (8. 44)

Logo

29

8. 5 – Equação do Potencial Vetorial para a Teoria Elástodinâmica das Deformações

De forma análoga ao caso escalar podemos escrever para a teoria da elasticidade

linear o fluxo de energia sob a forma de tensão da seguinte forma:

)21

(2 kkijijij vvJ

, (8. 45)

onde

)(21

j

i

i

jij x

uxu

, (8. 46)

Na forma vetorial podemos escrever:

uv

vuuJT

ij

.212

)(2

, (8. 47)

Onde

2)( uu T

ij

, (8. 48)

Substituindo ( ) e ( ) em ( ) temos:

tuuc

dtdu

vvuu

M

T ..

212)(2. (8. 49)

Esta é a proposta de uma equação para a taxa de deformação u, que se propaga na

em termos da geometria regular.

30

8.3.1 – A Equação de Movimento Elastodinâmico Linear

A partir de condições de equilíbrio nós temos que:

0. SV

SdTdVf

(8. 50)

ou seja, o campo das tensões aplicado sobre a superfície de um sólido em equilíbrio é igual a

densidade volumétrica de força armazenada por este sólido.

Da condição de não-rotação temos:

0. SV

SdTrdVfr

(8. 51)

As equações ( ) e ( ) constituem a base matemática para a teoria da elasticidade

linear. Contudo, considerando que o deslocamento u se propaga no espaço e no tempo temos:

tu

dtrd

rdud

dtud

(8. 52)

ou

tu

dtrdu

dtud

(8. 53)

ou

tu

dtrduu

(8. 54)

As equações de equilíbrio podem a partir de agora serem expressos de forma a

incluir a propagação dinâmica da deformação u , de acordo com a 2ª e 3ª Leis de Newton.

VSV

dVuSddVf .T (8. 55)

Aplicando o teorema da divergência no segundo termo do lado esquerdo da equação ( ) temos:

VS

dVSd TT ..

(8. 56)

Substituindo ( ) em ( ) temos:

31

VVV

dVudVdVf T. (8. 57)

Como o volume em ( ) é arbitrário ele pode ser escolhido igual ao volume de controle V

ficando portanto, as equações do balanço do momentum ( )

uf T. ou jjiij ufT , (8. 58)

onde é a densidade do corpo.

Observe que de uma forma geral temos:

Tnn

TT .ˆˆ. (8. 59)

A relação tensão-deformação linear é dada a partir da Lei de Hooke, na forma

tensorial, onde:

EEIT 2 tr (8. 60)

ou

ijkkijij EET 2 (8. 61)

onde

vE

12

e vv

vE211

(8. 62)

onde e são as constantes elásticas do sólido e E é o módulo elástico de Young e v é o

módulo de Poisson.

Substituindo ( ) em ( ) temos:

utrf EEI 2. (8. 63)

ou

utrf EEI .2. (8. 64)

Substituindo ( ) em ( ) temos:

Tntr

ˆ2 EEI (8. 65)

logo

32

Tnntr

ˆ2ˆ EEI (8. 66)

Mas a partir de ( ) temos:

uu 21E (8. 67)

Substituindo ( ) ou ( ) em ( ) e ( ) temos:

uuuuutrf

21.2

21. I (8. 68)

e

Tnuunuutr

ˆ

212ˆ

2I (8. 69)

ou logicamente para a equação ( ) temos:

uuuuuf

.....2

(8. 70)

Reescrevendo ( ) temos:

uuuf .. (8. 71)

ou

uuuf .2 (8. 72)

e para a equação ( ) temos:

Tuunuun

.ˆ

2.ˆ (8. 73)

sendo

ununuun ˆ.ˆ2.ˆ (8. 74)

temos:

Tununun

ˆ.ˆ2..ˆ (8. 75)

ou

33

Tununun

ˆ.ˆ2..ˆ (8. 76)

Portanto,

uuuf .2 (8. 77)

e

Tununun

ˆ.ˆ2..ˆ (8. 78)

como

kf

(8. 79)

Ficamos com,

uuuk .2 (8. 80)

e

Tununun

ˆ.ˆ2.ˆ (8. 81)

Esta é a equação diferencial parcial dependente do tempo para problemas em elasticidade em

um corpo de volume V, onde k

é a densidade volumétrica de força (força por unidade de

volume) em alguma função da posição e do tempo sujeita a condição ( ), sobre a superfície S

ligada ao volume V.

34

8.3.2 – A Equação de Onda de um Meio Elástico

Considere um corpo homogêneo e isotrópico o qual está desconectado e livre de

forças. Então a equação ( ) se reduz a:

uuu .2 (8. 82)

e a condição de contorno em ( ) pode ser escrita como:

Au (8. 83)

Com uma parte irrotacional e uma solenoidal A

. Substituindo ( ) em ( ) temos:

0.2 2

2

At

AA

(8. 84)

Mas

0 (8. 85)

logo

02. 2

2

2

2

tAA

t

(8. 86)

para que esta equação seja satisfeita, é suficiente que:

02 2

2

t

(8. 87)

e

02

2

tAA

(8. 88)

Chamando de:

22

1

c (8. 89)

e

35

22c (8. 90)

temos que:

01. 2

2

21

tc (8. 91)

e

012

2

22

tA

cA

(8. 92)

Mas

AAA

.. (8. 93)

e

2. (8. 94)

logo

012

2

21

2

tc (8. 95)

e

012

2

22

2

tA

cA

(8. 96)

As equações ( ) e ( ) mostram que c1 e c2 possuem dimensões de uma velocidade,

e nós podemos ver que a solução das equações ( ) e ( ) representam ondas. Ondas irrotacionais

se propagam com velocidade 1c e ondas solenoidais se propagam com velocidade 2c . O fato

destes dois tipos de ondas se propagarem com diferentes velocidades é uma justificação física

da separação matemática do vetor deslocamento em uma parte irrotacional e outra solenoidal

conforme a equação ( ).

36

8. 6 – Campos Elastodinâmicos na Ponta da Trinca

Rice [ ], Sih [ ], e Irwin [ ] cada expressão derivada para as tensões na frente de

uma trinca se propagando a uma velocidade constante. Eles acharam que o movimento da

trinca retêm a singularidade 1/ r , mas que a dependencia angular das tensões, deformações

e deslocamentos dependem da velocidade da trinca. Freund e Clifton [ ] e Nilsson [ ] depois

mostraram que a solução para uma velocidade de trinca constante era válida em geral. As

grandezas medidas perto da ponta da trinca dependem somente da velocidade instântanea da

velocidade da trinca. A seguinte derivação apresenta o caso mais geral, onde a velocidade da

trinca é permitida variar.

Para os problemas dinâmicos, as equações de equilíbrio são substituidas pelas

equações de movimento, as quais, na ausência de forças de corpo, são dadas por:

iji

ju

x

(8. 97)

cuja equação constitutiva para um material elástico linear é dada por:

jiij

j i

uux x

(8. 98)

onde jx denota as coordenadas ortogonais e cada ponto indica uma derivada no tempo. Para

problemas quasi-estáticos, o termo do lado direito de (8. 97) desaparece. Para um material

elástico linear, é possível escrever as equações de movimento em termos de deslocamentos e

cosntantes elásticas invocando as relações de tensão-deslocamento e tensão deformação da

seguinte forma:

jii

j j i

uu ux x x

(8. 99)

ou

2

2ji

ij ij

uu ux xx

(8. 100)

onde e são as constants de Lamé; é o modulo de cisalhamento e:

37

21 2

vv

(8. 101)

2

22 1

1 2ji

ij ij

uu v uv x xx

(8. 102)

e

2

22 1 2

1 2 1 2ji

ij ij

uu v v uv v x xx

(8. 103)

logo

2

22

1 2ji

ij ij

uu uv x xx

(8. 104)

e

2

22

1 2ji

ij ij

uu uv x xx

(8. 105)

chamando de

22c

(8. 106)

logo

2

2 22

2 11 2

jii

j ij

uu uv x xx c

(8. 107)

Considere uma propagação rápida de trinca em um corpo sujeito a um

carregamento de deformação plana. Vamos definir um eixo de coordenadas fixas, X-Y, com

uma origem sobre o plano da trinca em 0a t , conforme ilustrado na Figura - 8. 3.

38

Figura - 8. 3 .

É conveniente neste ponto introduzir dois potenciais de deslocamentos, definidos por:

1 2Xu

X Y

(8. 108)

e

1 2Yu

Y X

(8. 109)

Substituindo (8. 108) e (8. 109) em (8. 100) obtém-se:

2 21 1

12 2 21

1X Y c

(8. 110)

e

2 22 2

22 2 22

1X Y c

(8. 111)

uma vez que as velocidades das ondas são dadas por:

2 21 2

11

kc ck

(8. 112)

As equações (8. 110) e (8. 111) são também válidas tanto para a tensão plana como para a

deformação plana. Onde

39

3 43 / 1

v para deformação planak

v v para tensão plana

(8. 113)

Então, 1 e 2 são os potenciais ondulatórios longitudinais e de cisalhamento,

respectivamente.

As tensões podem ser escritas em termos de 1 e 2 invocando as equações ( ) e

( ):

2 2

1 12 22XX YY X Y

(8. 114)

e

2 2 21 1 22 22 2XX YY X YX Y

(8. 115)

e

2 2 22 2 1

2 2 2XY X YY X

(8. 116)

Vamos agora introduzir um sistema de coordenadas em movimento, x-y, preso a ponta da

trinca, onde x X a t e y Y . A taxa de variação de cada potencial ondulatório pode

ser escrita como:

( 1,2)i i id V idt t x

(8. 117)

onde /V dx dt é a velocidade da trinca. Diferenciando a equação (8. 116) em relação ao

tempo tem-se:

2 2 22

2 22i i i ii V V V

x t xx t

(8. 118)

De acordo com a equação (8. 115) o primeiro termo do lado direito da equação (8. 118) é

proporcional ao tensor de tensão. Este termo é dominante na ponta da trinca, uma vez que se

supõe que existe uma singularidade. Substituindo o primeiro termo da equação (8. 118) em (8.

110) e (8. 111) obtém-se:

40

2 22 1 1

1 2 2 0x y

(8. 119)

e

2 22 2 22 2 2 0

x y

(8. 120)

onde:

2 22 2

1 21 2

1 ; 1V Vc c

(8. 121)

Note que as equações governantes dependem somente da velocidade instantânea da trinca; o

termo que contém a aceleração da trinca na equação (8. 118) é desprezível perto da ponta da

trinca.

Se nós escalarmos y pela definição das novas coordenadas, onde

1 1y y (8. 122)

e

2 2y y (8. 123)

, as equações (8. 119) e (8. 120) tornam-se a equação de Laplace.

Freund e Clifton [ ] aplicaram um método de variáveis complexas para resolver as

equações (8. 119) e (8. 120). As soluções gerais para os potenciais ondulatórios são as

seguintes:

1 1Re F z (8. 124)

e

2 2Im G z (8. 125)

onde F e G são funções complexas de

1 1z x iy (8. 126)

e

41

2 2z x iy (8. 127)

As condições de contorno são as mesmas que para o caso estacionário da trinca,

isto é:

0yy xy (8. 128)

sobre as superficies da trinca. Freund e Clifton mostraram que estas condições de contorno

podem ser expressas em termos da segunda derivada de F e G em 0y e 0x :

22 21 " " 2 " " 0F x F x G x G x (8. 129)

e

21 12 " " 1 " " 0F x F x G x G x (8. 130)

onde os subscritos + e – correspondem às superficies superiors e inferiors da trinca,

respectivamente. As seguintes funções satisfazem as condições de contorno e permitem

integrar a densidade de energia de deformação e o deslocamento finito na ponta da trinca.

2

2 21 2 2

2" "1

C CF z G zz z

(8. 131)

onde C é uma constante. Fazendo a substituição:

11 1

iz re (8. 132)

e

22 2

iz r e (8. 133)

permite escrever as seguintes expressões para o campo de tensão na ponta da trinca no Modo I

de carregamento.

22 2 2 1 1 2 2

1 2 21 22

1 41 2 cos cos2 212

Ixx

K t r rD t r rr

(8. 134)

e

42

22 2 1 1 2 2

2 21 22

1 41 cos cos2 212

Iyy

K t r rD t r rr

(8. 135)

e

21 2 1 2

1 2

2 1sen sen

2 22I

xyK t r r

D t r rr

(8. 136)

onde

221 2 24 1D t (8. 137)

As equações (8. 134),(8. 135)e (8. 136) se reduzem as equações do caso quase-estático

quando 0V .

O campo de velocidades de uma particular perto da ponta da trinca é:

22 1 1 2 2

21 22

1 2cos cos2 212

Ix

K t r ruD t r rr

(8. 138)

e

22 1 1 2 2

21 22

1 2sen sen2 212

Iy

K t r ruD t r rr

(8. 139)

43

8. 7 - A Teoria Elastodinâmica Não-Linear da Mecânica da

Fratura Clássica para o Caminho Liso

MOTT [1947], DULANEY e BRACE [1960] são apontados como os precursores

dos estudos da fratura dinâmica ou instável, e são considerados como os responsáveis pela

visão moderna sobre o assunto, que persiste até o presente.

8.2.1 - A extensão de Mott para o balanço energético da teoria de fratura de Griffith, para o caminho liso

MOTT [1947] procurou explicar a velocidade de crescimento de um trinca em

uma situação instável. Ele percebeu que o acréscimo na energia elástica acumulada no corpo

de prova, acima da energia crítica de fratura, isto é, após a trinca haver alcançado o tamanho

crítico de Griffith, é liberado na forma de energia cinética de crescimento aumentando o

comprimento da trinca. Para calcular a dependência da velocidade de crescimento a trinca

com o seu comprimento, ele incluiu um termo de energia cinética no balanço de Griffith

estendendo a abordagem quase-estática para a dinâmica da seguinte forma:

L extF U T U U (8. 140)

Este é o teorema da conservação da energia mecânica escrito de forma compatível com a 1ª

lei da termodinâmica. E ainda,

FUUT L (8. 141)

onde T é a energia cinética de crescimento da trinca; E

LU oL

22 é a energia elástica

acumulada no corpo de prova devido a introdução de um defeito de tamanho, Lo. o é a tensão

aplicada ao corpo. Eo é o seu módulo elástico. 2 e oU L é a energia gasta para formar duas

superfícies de fratura e Fo é a energia total no corpo. o é a energia efetiva de superfície.

Da teoria elastodinâmica a energia cinética , para uma quantidade de material

encapsulado em um volume finito a energia cinética é dada por:

12

ji duduT dmdt dt

. (2. 1)

sendo dm dV temos: Da teoria elastodinâmica a energia cinética é dada por:

44

12

jiduduT dV

dt dt

. (2. 2)

Mott supôs que a velocidade dt

dLv o é pequena comparada com a velocidade do

som no material, com isso ele encontrou que, se u(Lo) é o deslocamento em qualquer ponto

(x,y) no problema estático, a energia cinética (por unidade de espessura do corpo de prova) é:

2212

o

o

dL duT dxdydt dL

. (8. 142)

ou para cte ea velocidade da trinca indepedndete dovolume considerado, temos:

dxdydLdu

dtdLT

o

o

22

21 . (2. 3)

Observe que esta equação é do tipo, T = ½mv2, possuindo um termo análogo a massa inercial

de um corpo, que pode ser chamado de inércia da trinca dado por dxdydLdum o 2/ ,

onde é a densidade do material sob fratura e a integral, dxdydLduV o 2/ , faz o papel

de volume.

O valor de u próximo a superfície da trinca, de acordo com a equação ( ) para b =

u, é da ordem de ELu o

, e a integral é então dimensionalmente dada por:

22

~

E

LdxdydLdu o

o

(8. 143)

onde o fator numérico poder se facilmente calculado. Portanto a energia cinética é dada por:

22

21

o

oo

ELvkT

(8. 144)

Inserindo-se (8. 144) e os demais termos na equação (8. 141), o balanço de energia de Griffith

na versão de Mott torna-se então em:

constanteUUT L . (8. 145)

45

Logo, substituindo-se (8. 144), ( ) e ( ) em (8. 145) obtém-se:

constanteLEL

ELvk oe

oo

4

21 222

2 . (8. 146)

Este é o balanço energético de Mott dado de forma explicita, o qual será útil para os cálculos

que se seguirão.

8.2.2 - A velocidade de crescimento da trinca, vo, para o caminho liso na teoria de Mott

Mott usou argumentos matemáticos análogos aos de Griffith e diferenciou a

expressão (8. 146) em relação ao comprimento da trinca, Lo, da seguinte forma:

2 22 2 2 0

2o

o eLk v L

E E

(8. 147)

cuja velocidade de crescimento da trinca é dada por:

222 ( / ) 2o

eo

LEvk L E

(8. 148)

22 2 ( / )2 e

o

EEvk k L

(8. 149)

o

e

LE

kEv 2

2 212

(8. 150)

mas da teoria de GRIFFITH [1920] tem-se que o tamanho crítico da trinca Loc. é dado por:

2

2f oce

LE

(8. 151)

onde

22

f

eoc

EL

. (8. 152)

Logo (8. 150) pode ser escrita como:

46

22 12

f

o

oc

LL

kEv (8. 153)

2/12

12

f

o

oc

LL

kEv (8. 154)

compare o termo dentro desta equação com a equação ( ) tomando a condição de tensão

constante = f tem-se:

2/1

12

o

oc

LL

kEv (8. 155)

cujo gráfico da relação (8. 155) é mostrado na Figura - 2. 1.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

para uma superfície de fratura lisa

velo

cida

de d

e pr

opag

ação

da

trinc

a, v

(m/s

)

comprimento da trinca, Lo, (mm)

Figura - 2. 1. Velocidade de crescimento em função do comprimento da trinca para uma superfície de fratura lisa segundo a teoria de Mott.

Mott achou a partir da equação (8. 155) que a velocidade de crescimento de uma

trinca deveria aproximar-se assintoticamente de um valor máximo dado por:

k

Ev 2max (8. 156)

47

A constante k na equação (8. 155) foi avaliada por ROBERT e WELLS [1954]

usando expressões de trinca estática para tensão e deslocamento. Para um material com

coeficiente de Poisson de 0.25 eles acharam que:

2/12/1

138.0

o

oc

LLEv

(8. 157)

48

8.2.3 - A taxa de energia elastodinâmica liberada, GD, de acordo com a teoria de Mott, para o caminho liso

Irwin introduziu o conceito de energia elastodinâmica liberada, GD, dada por:

)( TUFdLdG L

oD (8. 158)

portanto a partir da equação (8. 141) tem-se que:

UTUF L )( (8. 159)

logo

o

Lo dL

dUTUF

dLd )( (8. 160)

chamando de odL

dU tem-se que:

DG (8. 161)

Retornando a equação (8. 158) e substituindo nela a equação (8. 146), tem-se para

F = constante que:

2 22 o

D oLG k v L

E E

(8. 162)

reescrevendo (8. 162) tem-se que:

221

2o

DL kG v

E E

. (8. 163)

Mas a partir de ( ) tem-se para a fartura quase-estática que:

2oLG

E

(8. 164)

usando (8. 164) e (8. 156) em (8. 163) fica-se com:

2

max

2

1v

vGGD (8. 165)

49

tomando o caso em que GD = R a equação (8. 163) pode ser escrita como:

221

2o

DL kG v R

E E

(8. 166)

Esta consideração teórica proveniente do campo estático clássico não se verifica na prática.

Porque, sendo R diretamente relacionada a energia de superfície, esta passa a depender da

velocidade para o caso dinâmico, passando a ser designada por ao invés de R. Contudo, ela

é feita aqui para se reproduzir o cálculo realizado por Mott. Uma consideração mais realista

deste caso se encontra feita no Capítulo – VII, utilizando-se um Princípio de Máxima

Dissipação de Energia (PMDE).

Para um material frágil tem-se que:

2 eR (8. 167)

tem-se:

221 2

2o

eL k v

E E

(8. 168)

22

212

e

o

Ek vE L

(8. 169)

2

2

22 212

f

o

e

LE

kEv (8. 170)

logo

2/12

12

f

o

oc

LL

kEv . (8. 171)

Mas de ( ) e ( ) tem-se que:

2

22

ff

e

o

oc

GRE

LL

(8. 172)

50

logo

2/1

12

GR

kEv (8. 173)

A teoria de Mott em sua forma original não pôde predizer todo o comportamento

da velocidade de crescimento de uma trinca, conforme ela acelera, desde o repouso até a sua

velocidade terminal. Isto porque ela contém uma aproximação que não se verifica na prática.

Mott estabeleceu na sua investigação da velocidade terminal que 0

oLv

para facilitar a

análise. Esta suposição é somente verdadeira próximo a velocidade terminal, vomax. STROH

[1957] propôs que a velocidade máxima ou terminal da equação (8. 155) ou (8. 173) deveria

ser igual a velocidade das ondas Rayleigh no material, resultado que já estava implícito nos

cálculos antecipados por YOFFE [1951]. DULANEY e BRACE [1960] corrigiram as

aproximações feitas nos cálculos efetuados por Mott para a dependência da velocidade da

trinca com o seu comprimento, encontrando uma expressão mais correta para a velocidade de

crescimento da trinca. Apesar do tremendo aumento na sofisticação matemática da mecânica

da fratura dinâmica, durante os 60 anos que se seguiram, o argumento de escalonamento de

Mott, permaneceu essencialmente inalterado, como é evidenciado por FREUND [1990].

8.2.4 - A extensão de Dulaney e Brace para os resultados da teoria de Griffith, para o caminho liso

Uma expressão para o completo comportamento da velocidade de crescimento de

uma trinca em uma fina placa plana e infinita pode ser prontamente achada por meio de um

refinamento da análise matemática dentro do formalismo da teoria original de Mott.

A equação (8. 141) pode ser rigorosamente resolvida sem o apelo da aproximação

feita por Mott. Em primeiro lugar 4 na equação (8. 146) deve ser substituída por 2

ocLE

;

então tem-se:

2 2 2 221

2 2o o oc

oL L Lk v L FE E E

(8. 174)

uma condição de contorno para a velocidade é:

oco LLquandov 0 (8. 175)

51

a aplicação desta condição de contorno na equação (8. 174) fornece:

2 2 2 2

02

oc ocL L FE E

(8. 176)

do qual

constanteELF oc

22 (8. 177)

substituindo (8. 177) em (8. 174) tem-se:

2 2 2 2 2 221

2 2o o o oc oc

oL L L Lk v LE E E E

(8. 178)

222

22

2 221

ocoocoo LLLLE

LE

vk

(8. 179)

e

1/ 22 22 2 2 2 21 22 1

2oc

o o oc o oc oo

LEk v L L L L L vE E k L

(8. 180)

Observe que para carga ou tensão constante tem-se 2 LF U , e

52

8.2.5 - A velocidade de crescimento da trinca, vo, para o caminho liso de acordo com a teoria de Dulaney-Brace

Pode-se agora calcular a velocidade de crescimento de trinca para o caminho liso

a partir do balanço energético dado em (8. 179) multiplicando este por 22of L

E

:

2222 2

21

o

oc

o

oc

fo LL

LLv

Ek

(8. 181)

2222 212

f

o

ocf

o

oc

LL

LL

kEv (8. 182)

2/1222

212

f

o

ocf

o

oc

LL

LL

kEv (8. 183)

comparando os termos dentro dessa equação com a equação ( ) podemos usar o fato de que

2 eR e 2

oLGE

tem-se que:

2

22

fof

e

o

oc

GR

LE

LL

(8. 184)

2/122

212

f

GR

GR

kEv (8. 185)

tomando a condição de tensão constante o = of tem-se que a velocidade de crescimento da

trinca rugosa é dada a partir de ( ) por:

53

2/12

212

o

oc

o

oc

LL

LL

kEv (8. 186)

2/122

o

oco

LLL

kEv (8. 187)

portanto a velocidade de crescimento da trinca é dada por:

o

oc

LL

kEv 12 . (8. 188)

A partir de ( ) tem-se que:

GR

kEv 12 (8. 189)

cujo gráfico da relação (8. 189) é mostrado na Figura - 2. 2

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

para uma superfície de fratura lisa

velo

cida

de d

e pr

opag

ação

da

trinc

a, v

(m/s

)

comprimento da trinca, Lo, (mm)

Figura - 2. 2. Velocidade de crescimento em função do comprimento da trinca para uma superfície de fratura lisa segundo a teoria de Dulaney-Brace.

FREUND [1990] fez novas correções ao modelo de Dulaney-Brace e encontrou

que uma trinca ao se crescer em um corpo infinito segue aproximadamente a relação:

54

o

ocR L

Lcv 1 (8. 190)

Um problema se apresenta na teoria [KOBAYASHI 1974; IRWIN 1979], é o fato

de que nunca se observou experimentamente o crescimento de trincas em materiais amorfos

com velocidade limite igual à das ondas de Rayleigh.

A velocidade, vmax, dada por (8. 156) está relacionada com a velocidade cR por

uma complexa relação que envolve o módulo de Poisson. Contudo, a velocidade das ondas

Rayleigh, cR, é um majorante para o valor de vmax. Com isto, pode-se naturalmente pensar que

a correção feita por Freund, do valor de vmax para cR, foi que induziu matematicamente a

inatingibilidade desta velocidade de crescimento pelas trincas. Mas isto não é verdade, pois as

considerações feitas por Freund são mais gerais e matematicamente consistentes. Pois, apesar

do valor da velocidade limite, vmax, ser majorado pelo valor da velocidade das ondas Rayleigh,

cR, onde, cR > vmáx, a despeito disso, nunca se observou o atingimento dessa velocidade pelo

crescimento das trincas. Essa inatingibilidade mostra que, outros efeitos estão presentes no

experimento e que não estão sendo considerados pelo modelo clássico. Um destes efeitos

pode ser a influência da rugosidade, conforme será mostrado na secção - 6.33 do Capítulo –

VI.

Como a velocidade do som no material é dada por:

Ec

(8. 191)

E a velocidade das ondas Rayleigh é dada por:

0,58Rc c (8. 192)

Sabendo que a velocidade ...(Ver livro do Kanninen) é dada por:

0,38Ec c (8. 193)

Temos que:

0,580,38R Ec c (8. 194)

Logo a velocidade das ondas Rayleigh é dada por:

55

0,65517R Ec c (8. 195)

e portanto.

GRcv R 1 (8. 196)

onde cR é a velocidade das ondas elásticas de Rayleigh no material. O gráfico da relação (8.

190) é mostrado na Figura – 2.7.

Um outro problema que ainda se apresenta na teoria [KOBAYASHI 1974; IRWIN

1979], é o motivo pelo qual, a velocidade média de crescimento pára de aumentar quando o

fluxo de energia para a ponta da trinca excede um valor crítico. O problema da instabilidade e

o aumento abrupto no consumo da energia de crescimento que acontece acima desta

velocidade crítica, já foram mencionados no Capitulo – I, (Introdução Geral – secção 1.4:

problema proposto) no item referente à formulação do problema deste trabalho. Portanto, a

elucidação destes problemas foi um dos objetivos atingidos.

56

8.2..6 - A taxa de energia elastodinâmica liberada, GD, na teoria de Dulaney-Brace, para o caminho liso

Usando a conceituação de Irwin tem-se que a taxa de energia elastodinâmica

liberada, GoD, para o caminho de trinca plano em uma fina placa plana e infinita é dada por:

)( TUFdLdG L

oD (8. 197)

portanto a partir da equação (8. 141) tem-se que:

UTUF L )( (8. 198)

logo

o

Lo dL

dUTUF

dLd )( (8. 199)

chamando de odL

dU tem-se que:

DG (8. 200)

Retornando a equação (8. 197) e substituindo (8. 174) tem-se, para Fo =

constante, que:

o

oo

oD Lv

dLdvvL

Ek

ELG 22

2

222 (8. 201)

e

ELR oc

e

224 (8. 202)

novamente tomando o caso em que GD = R a equação (8. 188) pode ser escrita como:

GR

kEv 12 (8. 203)

reescrevendo (8. 201) tem-se que:

57

2

2

212 v

dLdvvL

Ek

ELG

oo

o

oD

(8. 204)

mas a partir de (8. 188) tem-se que:

22

o

oc

o LL

kE

dLdv

(8. 205)

logo

2

2

2

22

212 v

Ek

LL

kEvL

Ek

ELG

o

oco

oD

(8. 206)

usando (8. 164) e (8. 156) tem-se que:

2

maxmax1

vv

vv

LLGG

o

ocD (8. 207)

usando (8. 188) tem-se que;

max1

vv

LL

o

oc (8. 208)

logo

2

maxmaxmax11

vv

vv

vvGGD (8. 209)

max max

1Dv vG G

v v

2

max

vv

2

(8. 210)

max1

vvGGD (8. 211)

58

FREUND [1990] fez novas correções ao modelo de Dulaney-Brace e encontrou

que uma trinca ao crescer em um corpo na forma de uma fina placa plana e infinita segue

aproximadamente uma relação dada por cR ao invés de vmax. Logo a taxa de energia

elastodinâmica liberada passou a ser escrita como:

RD c

vGG 1 (8. 212)

onde cR é a velocidade das ondas elásticas de Rayleigh no material.

Tomando-se o caso em que GD = R, a equação (8. 212) pode ser escrita como:

RcvGGR

D

1 . (8. 213)

Observe que reescrevendo-se esta equação, recupera-se a equação (8. 196) e usando-se ( )

para = f, recupera-se a equação (8. 190).

1RRv cG

. (2. 4)

e

2

1 focR

o

Lv cL

. (2. 5)

e

1 ocR

o

Lv cL

. (2. 6)

59

8.3.2 – O Balanço de Energia Elastodinâmico

A equação ( ) agora será derivada. A abordagem segue estritamente de Moran e

Shih [ ] , que aplicaram uma lei de equilíbrio geral para derivar uma variedade de integrais de

contorno, incluindo a taxa de energia liberada. Outros autores [ - ] tem derivado expressões

equivalentes usando abordagens ligeiramente diferentes.

Começando com a equação de movimento, Eq. ( ), tomando o produto interno de

ambos os lados com taxa de deslocamento iu , e rearranjando fornece:

j

jii

j

ijiiji

j xu

xuu

x

(8. 214)

usando ( ) temos:

iij

ijiiji

juu

xuu

x

(8. 215)

que corresponde a:

TWux iji

j

(8. 216)

onde T e W são as densidades de energia cinética e trabalho de tensão respectivamente,

conforme definido nas equações ( ) e ( )

ij

ijji

ij

ijji dtWdW

00

(8. 217)

e

tu

tuT ii

21 (8. 218)

A equação ( ) é uma lei de balanço geral que se aplica a todo comportamento

material. Integrando essa relação sobre um volume arbitrário, e aplicando o teorema da

divergência e o teorema do transporte de Reynolds tem-se:

VVV

dVTWt

dSvTWdVTWdtd . (8. 219)

60

como

V

ijiV

iji dSvudVu .. (8. 220)

logo

V

jjVV

jiji dSnvTWdVTWdtddSnu . (8. 221)

onde V é o volume , jn é o vetor normal à superfície V , dirigido para fora e jv é a

velocidade instantânea de V .

Considere agora o caso especial de uma trinca em um corpo bidimensional, onde

essa trinca se propaga ao longo do eixo x e a origem é atracada à ponta da trinca, (Figura - ).

Vamos definir um contorno , 0C , fixo no espaço, que contém a trinca se propagando e

ligadas a área A. A ponta da trinca é arredondada por pequeno contorno , que é fixado no

tamanho e move-se com a trinca. A lei de balanço na equação ( ) torna-se:

dnuvTWdATWdtddCnu jijiijj

ACojiji . (8. 222)

Figura - 8. 4. Convenções para o balanço de energia para a propagação de uma trinca. O contorno externo,

0C , é fixado no espaço, e o contorno interno, , e os eixos x-y são fixos na ponta da trinca que se move.

onde v é a velocidade da trinca.

61

8.3.2 – A Integral do Fluxo de Energia na Ponta da Trinca

Uma expressão para a integral de contorno na ponta da trinca para o fluxo

62

8.3.2 – Derivação da Taxa Generalizada de Energia Elastodinâmica Liberada

Sabendo que:

S

ii dSuTE (8. 223)

e

Rji dVWU

0*lim (8. 224)

e

Rji dVuuT .

21lim

0* (8. 225)

cujo balanço de energia diz que:

FTUE (8. 226)

ou

TUEF (8. 227)

logo

R

jijiS

ii dVuuWdSuTF 21lim

0* (8. 228)

tomando a derivada em relação a área fraturada temos:

R

jijiS

ii dVuuWdAddSuT

dAd

dAdF

21lim

0* (8. 229)

sabendo que:

dAdFJ D (8. 230)

temos:

R

jijiS

iiD dVuuWdAddSuT

dAdJ

21lim

0* (8. 231)

63

Substituindo as soluções dinâmicas na ponta da trinca (8. 134), (8. 135) e (8. 136)

e as correspondentes relações para a deformação e o deslocamento na integral de contorno

dada por Erro! Fonte de referência não encontrada. Craggs [ ] e Freund [ ] obtiveram a

seguinte relação entre IK t e a taxa de energia liberada para a propagação da trinca a

velocidade constante:

22 21IK vG A V

E

(8. 232)

Para a deformação plana, onde:

21

221

VA Vv c D t

(8. 233)

Pode-se mostrar que:

0

lim 1V

A V

(8. 234)

e as equações (8. 232) e (8. 233) se reduzem as equações do caso quase-estático quando

0V .

A derivação que leva as equações (8. 134), (8. 135) e (8. 136) implica que as

equações (8. 232) e (8. 233) são relações gerais que se aplicam a trincas que se aceleram bem

como aquelas com velocidade constante.

64

8.3.2 – Derivação da Densidade Generalizada de Energia Elastodinâmica

Sabendo que:

S

ii dSuTE (8. 235)

e

Rji dVWU

0*lim (8. 236)

e

Rji dVuuT .

21lim

0* (8. 237)

cujo balanço de energia diz que:

FTUE (8. 238)

ou

TUEF (8. 239)

logo

R

jijiS

ii dVuuWdSuTF 21lim

0* (8. 240)

tomando a derivada em relação ao volume temos:

R

jijiS

ii dVuuWdVddSuT

dVd

dVdF

21lim

0* (8. 241)

e

jijiS

ii uuWdSuTdVd

dVdF

21lim

0* (8. 242)

usando o teorema da divergência temos:

jijiii uuWuTdVdF

21. (8. 243)

65

8.3.2 – Derivação do Fluxo Generalizado de Potencia Elastodinâmica

Sabendo que:

TUP (8. 244)

ou

TUP (8. 245)

onde

S

ii dSuTP (8. 246)

e

Rji dVWU

0*lim (8. 247)

e

Rji dVuu

dtdT .

21lim

0* (8. 248)

escrevendo

AdAdU

dtdA

dAdUU (8. 249)

e

AdAdT

dtdA

dAdTT (8. 250)

logo

ATUdAdP (8. 251)

logo

66

R

jijiS

ii dVuuWdAdAdSuT

21lim

0* (8. 252)

ou

R

jijiS

ii dVuuWdAdAdSuT

21lim

0* (8. 253)

reescrevendo ( ) temos:

R

jijiS

iiD dVuuWdAdAdSuT

dtd

dtdAJ

21lim.

0* (8. 254)

logo

R

jijiS

iiD dVuuWdAdAdSuT

dtdAJ

21lim.

0* (8. 255)

Portanto,

dtdAJ D . (8. 256)

67

8.3.2 – Derivação da Densidade Generalizada de Potência Elastodinâmica

Sabendo que:

TUP (8. 257)

ou

TUP (8. 258)

onde

S

ii dSuTP (8. 259)

e

Rji dVWU

0*lim (8. 260)

e

Rji dVuu

dtdT .

21lim

0* (8. 261)

escrevendo

R

jijiS

ii dVuuWdtddSuT

21lim

0* (8. 262)

Tomando a derivada em relação ao volume, temos:

R

jijiS

ii dVuuWdtd

dVddSuT

dVd

dVd

21lim

0* (8. 263)

trocando a ordem das derivadas temos:

R

jijiS

ii dVuuWdVd

dtddSuT

dVd

dVd

21lim

0* (8. 264)

logo

68

jijiS

ii uuWdtddSuT

dVd

dVd

21lim

0* (8. 265)

ou

jiji

Sii uuW

dtddSuT

dVd

dVd

21 (8. 266)

então

jiji

Sii uu

dtdWdSuT

dVd

dVd

21 (8. 267)

e

jijiji

Sii uuuuWdSuT

dVd

dVd

21 (8. 268)

usando o teorema da divergência temos:

jijijiii uuuuWuTdVd

21. (8. 269)

69

8. 8 – Soluções Gerais para trincas elasto-dinamicamente

propagantes

Desde o trabalho de ESHELBY[ ] e RICE[ ], o assunto das tão chamadas integrais

independentes do caminho receberam muita atenção devido a seus vários aspectos atrativos de

aplicação. A bem conhecida integral-J de ESHELBY e RICE (o qual é de fato a componente,

de um vetor integral-J, ao, longo do eixo da trinca), e que é limitado a elastostática linear e

não linear, tem o significado físico de uma energia liberada por unidade de crescimento auto-

similar de uma trinca em um corpo trincado e carregado. Em 1982 ATLURI [ ] derivou

algumas leis de conservação muito importantes para ambos sólidos elásticos finitos bem como

para aqueles descritos leis constitutivas incrementais sensíveis ou não sensíveis a taxas onde

as forcas de corpo, as condições de inércia e arbitrárias da face da trinca (tração bem como

deformação) foram levadas em conta. Com base nestas leis de conservação, ATLURI [ ]

também investigou integrais independentes do caminho no caso de propagação dinâmica de

trinca em corpo sólidos elásticos bem como inelásticos. No caso elastodinâmico de

propagação de trincas, achou-se [ ] que a integral independente do caminho (a qual de fato

envolve uma integral sobre o domínio entre a ponta da trinca e o caminho da campo longe

escolhido) derivada em [ ] não tem o significado físico de taxa de energia liberada por

unidade de extensão dinâmica da trinca. Ao invés, a integral independente do caminho em [ ]

foi mostrada ter o significado físico da taxa de variação do lagrangeana do sólido na dinâmica

do movimento, por unidade de extensão. Esta conclusão de [ ] é uma variância com a qual

KISHIMOTO et al. [ ] , que dá a interpretação física de uma taxa de energia liberada para sua

integral independente do caminho para trincas dinamicamente propagantes. Deve-se, contudo,

notar que a integral independente do caminho de BUI e KISHIMOTO et al. [ ] são

ligeiramente diferentes daqueles de ATLURI [ ]. A principal diferença entre aquele de

ATLURI [ ] em BUI principalmente vem do fato que: (i) ATLURI [ ] usa um caminho que é

fixo no espaço (então, no caso de um corpo finito, o caminho é escolhido tal que uma ponta

da trinca propagante está em todos os tempos rodeado por este caminho o qual é fixo no

espaço), enquanto (ii) BUI considera um caminho de forma fixa que está atravessando a ponta

da trinca (então, para um observador que se move com a ponta da trinca, o caminho aparece

ser fixo). Por outro lado, a diferença nas integrais de [ ] e [ ] é somente a natureza da forma

matemática (como será visto mais tarde).

70

Entre os objetivos do presente capítulo são: (i) mostrar diretamente a relação entre

a integral independente do caminho de [3] e a taxa de energia dinâmica liberada para uma

trinca propagante, (ii) derivar explicitamente expressões para ambas as integrais independente

do caminho de [ ] bem como a taxa de energia liberada em termos dos fatores de intensidade

de tensão dependentes do tempo , eI II IIIK t K t K t para o problema geral do modo

misto, e (iii) mostrar que as integrais em [ ], mesmo pensando ligeiramente diferente na forma

quando comparadas a aquelas em [ ] ainda não tem o significado de taxa de energia liberada

para trincas propagantes; e (iv) uma vez que a relação entre a integral em [3] , por um lado e

aquelas em [ ] e [ ] por outro são explicitamente estabelecidas, então segue que as integrais

em [ ] e [ ] pode ser relacionada (mas não igual a taxa de energia liberada, ou aos fatores K

dinâmicos.

Neste capítulo nós introduzimos uma nova integral independente do caminho a

qual tem o significado de taxa de energia liberada por unidade de extensão para uma trinca

dinamicamente propagante. Para começar com isso, no presente capítulo, nós primeiro

resumiremos as soluções gerais (auto-soluções) dos campos assintóticos perto da ponta de

uma trinca elasto-dinamicamente propagante sob condições de Modo I, II e III. Fazendo isto,

a formulação de uma variável complexa da equação da elasticidade plana dinâmica de

Radok’s[ ] é ligeiramente modificada e também extendida para o caso do Modo III. As auto-

soluções incluindo os campos de tensão singulares e os deslocamentos correspondentes, são

explicitamente expressos em uma sistema de coordenadas em movimento o qual aparece fixo

a um observador que se move com a ponta da trinca. Formulas mais simples para

determinação dos fatores de intensidade de tensão a partir dos potenciais complexos são

também dadas.

As taxa de energia dinâmica liberada para todos os três Modos I, II e III de fratura

, são determinadas, em termos dos fatores de intensidade de tensão, usando as tensões

singulares e os deslocamentos correspondentes, e o conceito de energia de trinca fechada.

Então, as integrais independentes do caminho e as taxas de energia liberada são

diretamente avaliadas a partir da expressão dada em [ ], usando as tensões singulares e os

campos de deslocamentos correspondentes obtidos anteriormente. Fórmulas úteis que

relacionam as integrais independentes do caminho de [ ] com a taxa de energia liberada por

um lado, e o fatores K dinâmicos por outro, são estabelecidas. Discussões das aparentes

contradições nas interpretações físicas das integrais independentes do caminho, para trinca

elasto-dinamicamente propagantes, são dadas nas Refs. [ , ] são apresentadas.

71

Nós consideramos a propagação dinâmica de uma trinca com uma velocidade

constante na ponta C em um corpo isotrópico elástico linear e planar. Seja X e Y coordenadas

cartesianas espacialmente fixas no plano do corpo, Z seja a coordenada da espessura do corpo

tal que Y = 0 define o plano da trinca. Nós supomos que os campos das tensões e dos

deslocamentos elásticos são independentes de Z. Agora nós introduzimos o sistema de

coordenadas em movimento x, y, z, o qual permanece fixo em relação à ponta da trinca que se

move, tal que:

x X Ct (8. 270)

(veja a Figura - 8. 5).

Figura - 8. 5 .

É agora possível reduzir os problemas de valores de contorno da elasto-dinâmica a problemas

do método de variáveis complexas. Como um resultado, as seguintes expressões para as

tensões e os deslocamentos podem ser derivados, veja por exemplo a Ref. [6].

2 21 2 1 2Re 1 2 ' 'x z z

(8. 271)

e

22 1 2Re 1 ' 'y z z

(8. 272)

e

72

22

1 1 22

1Im 2 ' 'xy z z

(8. 273)

e

2Re 'xz z (8. 274)

e

2 2Im 'xz z (8. 275)

e

0 :

:zx y

tensão plana

v deformação plana

(8. 276)

e

1 2Reu z z (8. 277)

e

1 1 22

1Imv z z

(8. 278)

e

2Rew z (8. 279)

onde 1z , 2z e 2z são potenciais complexos, os quais são funções de variáveis

complexas:

1ij j jz x i y r e (8. 280)

com 1,2j onde e 1i e

22

1 21d

CC

(8. 281)

e

73

222 21

s

CC

(8. 282)

onde dC e sC São as velocidades das ondas dilatacionais e de cisalhamento, respectivamente.

As velocidades das ondas dependem das constantes materiais, e são dadas em termos do

módulo de cisalhamento , da razão de Poisson v e da densidade de massa por:

2 21 ;1d s

kC Ck

(8. 283)

e

3 1 :3 4 :

v v planestressk

v planestrain

(8. 284)

Os potenciais complexos e estão relacionados ao movimento no plano da

trinca a qual são separáveis em Modo I (modo de abertura) e Modo II (modo de deslizamento

no plano) problemas de trincas. O potencial complexo é relacionado a exclusivamente ao

problema antiplano da trinca ou tão chamado problema do Modo III (modo antiplano).

As expressões relacionadas aos potenciais complexos e foram

originalmente obtidas por Radok [ ]. Contudo, no presente capítulo, de forma a simplificar a

formulação, as equações de Radok são modificadas como:

22

1 12

(8. 285)

Então, as expressões para o movimento no plano pode ser referida como as equações

modificadas de Radok.

Agora nós buscamos as soluções gerais (soluções auto funções) para todas os

tr6es modos, os quais satisfazem a condição de tensão livre 0y xy yz sobre a

superfície da trinca . Esta condição de tensão livre, em termos dos potenciais

complexos, podem ser expressas como:

1 2 3 4' ' ' 0y xyi D D D D (8. 286)

em 1 2

74

2 ' ' 02yz i (8. 287)

em 2 , onde ( ) denota o complexo conjugado. As constantes 1,2,3,4iD são

dadas por:

21 2 11 2D (8. 288)

e

22 2 11 2D (8. 289)

e

22

32

12D

(8. 290)

e

22

42

12D

(8. 291)

Nós supomos que os potenciais complexos devem estar na forma de séries de potências como:

10 *1 1 1

n nin n n

n nz A z A iA re (8. 292)

e

20 *2 2 2

n nin n n

n nz C z C iC r e (8. 293)

e

20 *2 2 2

n nin n n

n nz B z B iB r e (8. 294)

ode n são os auto-valores reais os quais serão determinados posteriormente. , en n nA B C

são as constantes complexas não determinadas e 0 *en nA A , etc. denotam, respectivamente, as

partes reais e imaginárias da constante complexa Na. Introduzindo as equações (8. 292) -(8.

294) nas equações (8. 286) e (8. 287) pode-se achar as seguintes equações para o movimento

no plano.

75

1 3 2 4 0n ni in n n ne D A D B e D A D B (8. 295)

e

1 3 2 4 0n ni in n n ne D A D B e D A D B (8. 296)

pra o movimento antiplano

0n ni in ne C e C (8. 297)

e

0n ni in ne C e C (8. 298)

Para uma solução não trivial existir, o determinante dos coeficientes das matrizes para ambos

os casos devem ser zero. Então nós temos:

0n n

n n

i i

i i

e e

e e

(8. 299)

As equações acima podem ser reduzidas a:

sen 2 0n (8. 300)

Isto leva aos auto-valores / 2 0, 1, 2,...n n n . Uma vez que os auto-valores

negativos dão deslocamentos infinitos na ponta da trinca, os valores resultantes plausíveis são:

/ 2 0,1,2,3,...n n n (8. 301)

O auto-valor 1/ 2n dá o campo de tensão singular da ordem de 1/ r , a qual é bem

conhecida na mecânica da fratura elástica linear. Nota-se também que o auto-valor zero dá o

movimento do corpo rígido. Incorporando estes auto-valores nas equações ( ) e ( ), pode-se

achar as seguintes relações para as constantes complexas:

0 01 2

3 4

11

n

n nnD D

B AD D

(8. 302)

e

76

* *1 2

3 4

11

n

n nnD D

B AD D

(8. 303)

e

1 nn nC C (8. 304)

As relações acima são rearranjadas como:

0 0n nB h n A (8. 305)

e

* *n nB h n A (8. 306)

e

:

:n

nn

iC n imparC

C n par

(8. 307)

onde

21 2 2

22

2 / 1 :

1 1 :2

n imparh n

n par

(8. 308)

e 1n n , e nC são constantes reais indeterminadas.

Os fatores dinâmicos de intensidades de tensão podem ser definidos pelas

seguintes equações:

00lim 2I yr

K r

(8. 309)

e

00lim 2II xyr

K r

(8. 310)

e

00lim 2III yzr

K r

(8. 311)

77

Usando as equações acima, nós obtemos as seguintes relações entre os fatores de intensidade

de tensão dinâmicos e as constantes:

21 2 2 0

22

4 12

2 1I IK A

(8. 312)

e

21 2 2 *

2

4 12

4II IK A

(8. 313)

e

*222III IK C

(8. 314)

Empregando as novas funções da velocidade da trinca , eI II IIIB B B as constantes

0 *, en n nA A C são normalizadas como segue:

0 012n I n

nA B C K

(8. 315)

e

* *12n II n

nA B C K

(8. 316)

e

12n III n

nC B C K

(8. 317)

Tal que os coeficientes com n = 1 dá os fatores de intensidades dinâmicos de tensão

0 *, eI I I II I IIIK K K K K K , As funções : , ,MB C M I II III são definidas por:

221

IB CD

(8. 318)

e

22IIB C

D

(8. 319)

78

e

2

1IIIB C

(8. 320)

onde

221 2 24 1D C (8. 321)

A equação 0D C é bem conhecida como equação de Rayleigh [ ] e tem as raízes de

0C e RC (velocidade das ondas Rayleigh).

Substituindo as equações ( )-( ) nas equações ( )-( ) as primeiras derivadas dos

potenciais complexos, os quais são necessários na avaliação das tensões pode ser expresso

como:

/ 2 10 *1 1

0

1'

2 2n

I n II nn

n nz B C K iB C K z

(8. 322)

e

/ 2 10 *2 2

0

1'

2 2n

I n II nn

n nz h n B C K ih n B C K z

(8. 323)

e

/ 2 1 / 2 12 2 2

1 1'

2 2 2 2n n

III n III nimpar par

n n n nz i B C K z B C K z

(8. 324)

As relações entre os fatores de intensidade de tensão dinâmico e os potenciais complexos

podem ser facilmente obtidos através da observação das equações ( )-( ). Então,

1

1 10lim 2 'I I II II z

K B C K B C z z

(8. 325)

e

2

2 20lim 2 'III III z

K B C z i z

(8. 326)

Estas formas podem ser conveniente para determinar os fatores de intensidade de tensão

dinâmico quando os potenciais complexos foram determinado.

Substituindo as equações ( )-( ) nas equações ( ) e ( ), as soluções gerais (auto

soluções) podem ser obtidas como:

79

0/2 1 / 2 12 2

1 2 1 1 2 2

*/ 2 1 / 2 12 2

1 2 1 1 2 2

11 2 cos 1 2 cos 1

2 2 22

11 2 sen 1 2 sen 1

2 2 22

n nn Ixn

n nn II

K B C n n n nr h n r

K B C n n n nr h n r

(8. 327)

e

0/2 1 / 2 12

2 1 1 2 2

*/ 2 1 / 2 12

2 1 1 2 2

11 cos 1 2 cos 1

2 2 22

11 sen 1 2 sen 1

2 2 22

n nn Iyn

n nn II

K B C n n n nr h n r

K B C n n n nr h n r

(8. 328)

e

0/ 2 1 / 2 1

1 1 1 2 2

*/ 2 1 / 2 1

1 1 1 2 2

12 sen 1 2 sen 1

2 2 22

12 cos 1 2 cos 1

2 2 22

n nn Ixyn

n nn II

K B C n n n nr h n r

K B C n n n nr h n r

(8. 329)

e

2

/ 2 12

2

sen 1 :1 2

22 cos 1 :2

nn IIIxzn

n n imparK B C n n

rn n par

(8. 330)

e

2

/ 2 12

2

cos 1 :1 2

22 sen 1 :2

nn IIIyzn

n n imparK B C n n

rn n par

(8. 331)

e

0 :

:znxn yn

deformação plana

v tensão plana

(8. 332)

e

0/ 2 / 2

1 1 2 2

*/ 2 / 2

1 1 2 2

12 cos cos2 2 2 2

2 1 sen sen2 2 2

n nn In

n nn II

K B C n n n nu r h n r

K B C n nn r h n r

(8. 333)

80

e

0/ 2 / 2

1 1 1 2 22

*/ 2 / 2

1 1 2 2

2 1 sen sen2 2 2

2 1 cos cos2 2 2

n nn In

n nn II

K B C h nn nn r r

K B C n nn h n r

(8. 334)

e

2

/ 22

2

sen :22 1

2cos :

2

nn IIIn

n n parK B C

w n rn n impar

(8. 335)

A auto solução Modo I o qual está relacionada a constante 0nK foi derivada por

Malluck [ ] seguindo o esquema empregado por Rice [ ]. Contudo, nota-se que a presente

expressão para a auto-solução do Modo I solução difere a partir daquele por Malluck [ ] no

coeficiente incluindo o número n.

Para o problema do Modo I, Nilsson [ ] tem mostrado que ambas as equações

diferenciais e as condições de contorno para uma trinca que se move arbitraria coincide com

aquele para o problema do crescimento estacionário. A partir disto conclui-se que a

distribuição angular do campo de tensão singular é somente dependente da velocidade

instantânea da trinca. Esta conclusão pode ser facilmente descrita para os outros modos de

fratura. Portanto, as soluções gerais dadas equações ( ) e ( ) são válidas para todos os

problemas elastodinâmicos de trincas se nós usamos os valores instantâneos da velocidade da

trinca e dos coeficientes incluindo os fatores de intensidade de tensão.

O campo de tensão singular e o campo de deslocamento correspondente são dadas

por n = 1 termos:

2 2 1 1 2 21 2 2

1 22

2 2 21 21 2 2

1 2

1 4 11 2 cos cos2 22 1

1 11 2 sen 1 sen2 22

I Ixn

II II

K B Cr r

K B Cr r

(8. 336)

e

81

2 1 1 2 22 2

2 22

2 21 22 2

2 2

1 4 11 cos cos2 22 1

1 11 sen 1 sen2 22

I Iyn

II II

K B Cr r

K B Cr r

(8. 337)

e

1 21 1

1 2

221 2

121 2

1 1 12 sen 2 sen2 2 22

11 12 cos cos2 2 22

I Ixy

II II

K B C n nr r

K B Cr r

(8. 338)

e

2

2

1 sen22

III IIIxzn

K B Cr

(8. 339)

e

22

2

1 cos22

III IIIyzn

K B Cr

(8. 340)

e

2 2 21 2

1

2 2 21 2

1

0 :

12 cos22

12 sen :22

I Iz

II II

deformação plana

K B Cv

r

K B Cv tensão plana

r

(8. 341)

e

1 1 2 22

1 22

22

1 21 2

2 1 2 1cos cos2 21

12 1 1sen sen2 2 2

I I

II II

K B Cu

r r

K B C n nr r

(8. 342)

e

82

1 1 21 2

1 22

22/ 2 2

1 12 2

2 1 2 1sen sen2 21

12 1cos cos2 2 2

I I

nII II

K B Cr r

K B C nr

(8. 343)

e

2

2

2 1 sen2

III IIIK B Cw

r

(8. 344)

Embora a tensão singular completa e os campos dos deslocamentos correspondentes para

todos os três modos de fratura são mostrados de uma forma unificada no presente capítulo,

muitos outros trabalhos concernentes a derivação do campo de tensões nos modos individuais

pode ser achado na literatura.

Para o Modo I de propagação de trinca as presentes expressões para o campo de

tensão singular coincide com aqueles obtidos por Rice [ ], e os deslocamentos

correspondentes concordam com aqueles obtidos por Malluck [ ]. Para o Modo II de

propagação de trinca, somente as expressões para x e y foram apresentadas na literatura

por Freund [ ]. A presente expressão para x e y coincide com aquela na Ref. [ ]. As

expressões para o Modo III de tensão e deslocamentos coincide com aqueles obtidos por

Burgers [ ]. Achenbach e Bazant [ ] investigaram as tensões singulares e os deslocamentos

para todos os três modos. Contudo, as soluções para as tensões e deslocamentos não foram

dadas explicitamente na Ref [ ].

As soluções gerais expressas pelas equações ( ) e ( ) contém as tensões zero e os

movimentos de um corpo rígido (n = 0), as tensões singulares e os deslocamentos

correspondentes (n = 1) , as tensões constantes e os deslocamentos lineares (n = 2), e os

termos de ordem mais alta (n 3). As soluções gerais podem ser incorporadas nos elementos

de movimento singulares bem como foi feita com sucesso pelos presentes autores [ ].

Também as soluções gerais são úteis para a determinação dos fatores de intensidade de tensão

ajustando as soluções gerais para soluções de elementos finitos. Isto foi feito por Malluck [ ] e

pelos presentes autores [ ].

83

8. 9 – Taxas de Energias Dinâmicas Liberadas

Uma vez que as soluções gerais completas para trincas dinamicamente

propagantes sob condições gerais de modo misto são conhecidas conforme foi mostrado nas

secções anteriores, a relação entre a taxa de energia liberada e o fator de intensidade de tensão

podem ser derivadas por meio da fórmula para a energia da trinca fechada [ ].

0

0

1lima

y xy yzaG u w dx

a

(8. 345)

Substituindo as equações ( ) e ( ) na equação ( ) e decompondo a taxa de energia liberada nos

modos de fratura correspondentes, as seguintes relações podem ser obtidas.

I II IIIG G G G (8. 346)

onde

2

; , ,2

MM M

KG A C M I II III

(8. 347)

e

21 21 /IA C D C (8. 348)

e

22 21 /IIA C D C (8. 349)

As variações das funções com a velocidade da trinca são mostradas na Figura - 8. 6 ao longo

do efeito da razão de Pioisson. Para o caso limite com 0C , a função torna-se:

0 1 / 4IA k , 0 1 / 4IIA k e 0 1IIIA . Então, quando a velocidade da trinca

torna-se zero, as relações expressas pelas equações (8. 346) e (8. 347) reduz-se a aquelas para

uma trinca estaionária. Resultados similares podem ser achados em muitos trabalhos

separados [ , ]. Nilsson [ ] mostrou que a relação I IG vs K é completamente geral para todos

os problemas elastodinâmicos. Uma vez que somente as contribuições para a integral na

equação ( ) veio a partir da parte singular das tensões, as relações para todos os três modos de

fratura mostrado na equação (8. 346) e (8. 348) são válidas para todos os problemas

elastodinâmicos gerais, se nós inserimos a velocidade instantânea da trinca.

84

Figura - 8. 6 .

Figura - 8. 7 .

85

8. 10 – Integrais Independentes do Caminho

Na década de 80 Atluri [] derivou uma lei de conservação muito geral para sólidos

elásticos e inelásticos. Com base nesta lei de conservação,muitos tipos de integrais de

caminho, de relevância na mecânica da fratura, foram obtidas na Ref.[ ]. A seguinte

propriedade constitutiva material foram incluídas na Ref.[ ]: (i) elasticidade finita e

infinitesimal, (ii) teoria do fluxo incremental independente da taxa de elastoplasticidade e (iii)

comportamento sensível a taxa incluindo a elasto-plasticidade e fluência. Em cada caso

deformações finitas são consideradas, aolongo do efeito da aceleração do material, forçãs de

corpo e integrais foram também exploradas.

No caso de propagação de trincas em campos elastodinâmicos, foi achado que a

integral independente do caminho dado em [ ] não tem o significado físico da taxa de energia

liberada, mas ainda tem o significado físico de taxa do lagrangeano do movimento dinâmico

do sólido, por unidade de crescimento de trinca.

Agora nós focaremos nossa atenção no problema da propagação dinâmica de

trinca em um sólido elástico linear. A integral independente do caminho derivado por Atluri [

] é dado por:

,0limk k i i kJ W T n t u ds

(8. 350)

e

, ,0lim

C

k k i i k i i kV V

dJ W T n t u ds u u dVdt

(8. 351)

onde W e T denota a densidade de energia de deformação e a densidade de energia cinética,

respectivamente, in são os cossenos diretores da normal unitária dirigida para fora da

superfície, i ij jt n é a tração na superfície e as definições dos caminhos , , C e os

volumes ,V V são mostrados na Figura - 8. 8

Por conveniência no cálculo de Jk o último termo da equação ( ) pode ser reescrita

como:

86

,

,

k i i kV V

i i k kV V V V

dI u u dVdt

u u dV Tn ds

(8. 352)

Quando a equação ( ) é substituída na equação ( ) nós obtemos:

,0

, ,0

lim

lim

k k i i k

k i i k i i kV V

J Wn t u ds

Wn t u ds u u dV

(8. 353)

È correto estudar os limites das integrais nas equações ( ) e ( ) no limite de 0 . Na integral

em ( ), ambos W e ,i i kt u variam com 1/ r perto da ponta da trinca. Então o limite d integral

em ( ) é claramente visto que existe, se alguém considera ser um círculo de raio . Para,

então W e ,i i kt u variar como 1/ sobre e ds d sobre . Por razões semelhantes,

o limite da primeira integral em ( ) existe. Por outro lado, uma vez que iu (aceleração

material) varia com 3/ 2r e ,i ku varia com 1/ 2r , o integarndo na segunda integral de ( ) é

da ordem de 2r . Então, na primeira visão o limite desta integral não parece existir.

Claramente uma vez que a integral ( ) é igual a soma das integrais em ( ),o limite da segunda

integral em ( ) deve existir. A única forma para isto acontecer é que a variação angular (i. e.

com ) do termo ,i i ku u é tal que:

,00

lim 0i i ku u rdr d

(8. 354)

Isto foi verificado pelos autores presentes analiticamente usano a equação ( ) e algumas

álgebras não agradáveis.

Deve-se notar que o contorno da integral de campo longe aparece na equação ( ),

como originariamente dado em [ ], é fixo no espaço, e a ponta da trinca se move dentro deste

espaço de contorno fixado. Por outro lado, Bui[ ] considere o campo de contorno como

sendo um caminho rígido ao redor da ponta da trinca e em translação na mesma velocidade v

que a ponta da trinca, e V é a superfície rodeada por . Com isto em mente, a primeira

componente da integral vetorial independente do caminho dado em [ ] pode ser escrita

87

,0

, ,0

lim

lim

k k i i k

k i i k i i kV V

J Wn t u ds

Wn t u ds u u dV

(8. 355)

Figura - 8. 8 .

Figura - 8. 9 .

A equação ( ) é a integral independente do caminho dado por: Kishimoto et al [ ] mesmo

sabendo que sua definição fundamental e equivalência para o limitante integral ( ) não aparece

ter sido considerado.

88

8. 11 - Considerações Finais

89

8. 12 - Apêndices

90

8. 13 - Referências Bibliográficas

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