capitulo0401

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Testes de Restrições Lineares Múltiplas: os testes t e FAula 05/05/2014

Prof. Moisés A. Resende Filho

Introdução à Econometria (ECO 132497)

05 de maio de 2014

Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seções 4.4 e 4.5) 05/05/2014 1 / 26

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Teste sobre uma combinação linear de parâmetros

Algumas hipóteses podem envolver vários parâmetros da RLM.

EXAMPLO: o retorno de um ano de curso superior pro…ssionalizante éigual ao de uma ano de curso superior pleno? (twoyear.dta). Sample of high school graduates.

lsal ario = β0 + β1cp + β2univ + β3exper + u (1)H0 : β1 = β2

H1 : β1 < β2 (hipótese unilateral)

H1 : β1 6= β2 (hipótese bilateral)

onde cp é o número de anos de curso superior pro…ssionalizante de doisanos (tecnólogo); univ é o número de anos em curso superior pleno dequatro anos; exper é o número de anos de experiência pro…ssional.Questão: um ano de cp equivale a um ano de univ ? ou H0 : β1 = β2?


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Se H1 : β1

<

β2, o teste é monocaudal; se H1 : β1 6= β2, o teste ébicaudal.

Pode-se escrever equivalentemente

H0 : β1 β2 = 0H1 : β1 β2 < 0 (hipótese unilateral)

H1 : β1 β2 6= 0 (hipótese bilateral)

A forma geral de se construir uma estatística t de teste é calcular:

t = (estimativa valor hipotetizado)

erro padrão da estimativa


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Dadas as estimativas MQO ˆ β1

e ˆ β2

,

t =ˆ β1

ˆ β2

se ( ˆ β1 ˆ β2)

Problema: a saída do STATA nos dá as estimativa MQO ˆ β1 e ˆ β2 e os

erros padrão destas, o que não é su…ciente para obter ep ( ˆ β1 ˆ β2). Lembremos de um fato importante sobre variâncias:

Var (a ˆ β1 + b ˆ β2 + c ) = a2Var ( ˆ β1) + b 2Var ( ˆ β2) + 2abCov ( ˆ β1, ˆ β2)

onde a, b e c são constantes. Assim, para a = 1, b = 1 e c = 0:

Var ( ˆ β1 ˆ β2) = Var ( ˆ β1) + Var ( ˆ β2) 2Cov ( ˆ β1, ˆ β2) (2)


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Com base em (2), o erro-padrão de ( ˆ β1 ˆ β2) é calculado segundo:

ep ( ˆ β1 ˆ β2) = f[ep ( ˆ β1)]2 + [ep ( ˆ β2)]2 2s 12g

1/2

onde s 12 = dCov ( ˆ β1, ˆ β2), ou seja, é a estimativa da Cov ( ˆ β1, ˆ β2),.que éuma informação que não dispomos na saída do STATA. O Stata reportará o valor de s 12 se pedirmos, para tanto basta digitar ocomando estat vce. (vide exemplo a seguir).


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As bases de dados do livro texto estão disponíveis emhttp://fmwww.bc.edu/ec-p/data/wooldridge/datasets.list.html No STATA digite:*Instala o pacote ado "bcuse"ssc install bcuse*Carrega a base de dados a ser utilizadabcuse twoyear, clear


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_cons -.00001741 -.00001573 -3.105e-06 .00044353 exper -1.718e-08 3.933e-08 2.480e-08 univ 1.928e-06 5.330e-06 jc .00004663

e(V) jc univ exper _cons

Covariance matrix of coefficients of regress model

. estat vce

_cons 1.472326 .0210602 69.91 0.000 1.431041 1.51361 exper .0049442 .0001575 31.40 0.000 .0046355 .0052529 univ .0768762 .0023087 33.30 0.000 .0723504 .0814021 jc .0666967 .0068288 9.77 0.000 .0533101 .0800833

lwage Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total 1608.29609 6762 .237843255 Root MSE = .43014 Adj R-squared = 0.2221

Residual 1250.54352 6759 .185019014 R-squared = 0.2224 Model 357.752575 3 119.250858 Prob > F = 0.0000

F( 3, 6759) = 644.53

Source SS df MS Number of obs = 6763

. reg lwage jc univ exper

t = 0.06669670.0768762(.00682882 +.0023087221.928106 )1/2 = 1.4677 > c 10%;6758g .l . = 1.282:

rejeita-se H 0 : β1 β2 = 0 em favor de H1 : β1 β2 < 0 ao nível de 10%

de probabilidade.Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seções 4.4 e 4.5) 05/05/2014 7 / 26

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Teste de restrições de exclusão

Uma segunda alternativa é fazer o seguinte:1 De…na θ1 β1 β2, tal que H0 : θ1 = 0 contra H1 : θ1 < 0

(hipótese unilateral) e t bθ1 = bθ10

ep ( bθ1 ).

2 Substitua no model original, por exemplo, β1 = θ1 + β2, tal que o

modelo trasnformado a ser estimado é

lsal ario = β0 + (θ1 + β2) cp + β2univ + β3exper + u

= β0 + θ1cp + β2 (univ + cp ) + β3exper + u

3 Estime o modelo lsal ario = β0 + θ1cp + β2totgrad + β3exper + u ,com totgrad (univ + cp ) e efetue o teste utilizando os resultadosobtidos para bθ1 e seus erro-padrão e p-valor.


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_cons 1.472326 .0210602 69.91 0.000 1.431041 1.51361 exper .0049442 .0001575 31.40 0.000 .0046355 .0052529 totgrad .0768762 .0023087 33.30 0.000 .0723504 .0814021 jc -.0101795 .0069359 -1.47 0.142 -.0237761 .003417


Total 1608.29609 6762 .237843255 Root MSE = .43014 Adj R-squared = 0.2221


F( 3, 6759) = 644.53Source SS df MS Number of obs = 6763

. reg lwage jc totgrad exper

. gen totgra = c+ un v

t = 1.47 e o p-valor (P>j t j) para totgrad (H0 : θ1 = 0) é0.142/2 = 0.071 , ou seja, o retorno de um ano de curso superiorpro…ssionalizante é menor que o de um ano de curso superior pleno aonível de 7,1% ou maior.


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Uma terceira alternativa e que, hoje em dia é mais fácil, é utilizar umcomando para testar uma combinação linear de parâmentos, que no Stata

é lincom. No caso, o comando lincom jc - univ.

(1) -.0101795 .0069359 -1.47 0.142 -.0237761 .003417


( 1) jc - univ = 0

. lincom jc - univ

_cons 1.472326 .0210602 69.91 0.000 1.431041 1.51361 exper .0049442 .0001575 31.40 0.000 .0046355 .0052529 univ .0768762 .0023087 33.30 0.000 .0723504 .0814021 jc .0666967 .0068288 9.77 0.000 .0533101 .0800833


Total 1608.29609 6762 .237843255 Root MSE = .43014

Adj R-squared = 0.2221Residual 1250.54352 6759 .185019014 R-squared = 0.2224 Model 357.752575 3 119.250858 Prob > F = 0.0000


. reg lwage jc univ exper


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Objetivo: testar se um grupo de variáveis não tem efeito sobre avariável dependente.

H0: O conjunto de variáveis não tem efeito sobre a variável dependente;H1: H0 é falsa, ou seja, pelo menos uma das variáveis do grupo temefeito sobre a variável dependente.


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Teste de restrições de exclusão: passos

Passo 1. Estime o modelo (econométrico) irrestrito

y = β0 + β1x 1 + ... + βk x k + u (3)e guarde a Soma dos Quadrados dos Resíduos deste, SQR ir .

Passo 2. Sob a hipótese geral de que as (k q ) últimas variáveis domodelo (3) são, em conjunto, zero, de…na:

H0: β(k +1)q = β(k +1)q +1 = = β(k +1)q +(q 1) = 0

Passo 3. Sob H0, estime o modelo (econométrico) restrito

y = β0 + β1x 1 + ... + βk q x k q + u (4)

e guarde a Soma dos Quadrados dos Resíduos deste, SQR r .Passo 4. Calcule a estatística do teste e proceda com o teste

F = (SQR r SQR ir )/q

SQR ir /(n k 1) F q ,(nk 1) g.l. (5)


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SQR ir /(n k 1) F q ,(nk 1) g.l.

A divisão de uma variável aleatória qui-quadrado ( χ2q g.l.) por uma

variável aleatórias qui-quadrado ( χ2(nk 1) g.l) gera uma variávelaleatória F q ,(nk 1) g.l. distribuída.

SQR r SQR ir 0, pois restrições à minimização da SQR , no melhordos casos, mantêm a SQR inalterada => F 0.

F mede o aumento relativo em SQR quando nos movemos do modeloirretrito para o restrito.


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Considere q = 3 and n k 1 = gl ir = 60, o valor crítico dadsitribuição F a 5% de signi…cência é 2.76.

2.76

area = .95

area = .05

regionrejection

0


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Exemplo: salário na liga de beisebol americana

Considere o modelo econométrico:

log(sal ario ) = β0 + β1anos + β2 jogosano + β3rebmed +

+ β4hrumano + β5rebrumano + u (6)

em que sal ario = salário anual do jogador em 1993; anos = anos do jogador na liga; jogosano = média de partidas jogadas por ano;rebmed = média de rebatidas na carreira do jogador; hrumano =rebatidas que resultaram em ponto por ano; rebrumano = rebatidasque resultaram em corrida até a próxima base por ano.


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Passo 1: Estime o modelo (econométrico) irrestrito


+ β4hrumano + β5rebrumano + u

Modelo irrestrito estimado:

_cons 11.19242 .2888229 38.75 0.000 10.62435 11.76048 rebrumano .0107657 .007175 1.50 0.134 -.0033462 .0248776 hrumano .0144295 .016057 0.90 0.369 -.0171518 .0460107 rebmed .0009786 .0011035 0.89 0.376 -.0011918 .003149 jogosano .0125521 .0026468 4.74 0.000 .0073464 .0177578 anos .0688626 .0121145 5.68 0.000 .0450355 .0926898

lsalario Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total 492.175535 352 1.39822595 Root MSE = .72658 Adj R-squared = 0.6224



. reg lsalario anos jogosano rebmed hrumano rebrumano

E guarde SQR ir = 183.186335 e (n k 1)g.l.= 353 5 1 = 347 g.l.


E l l i li d b i b l i

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+ β4hrumano + β5rebrumano + u

Passo 2: para "a produtividade individual do jogador não temefeito sobre o salário deste "de…na

H0 : β(k +1)q = β(k +1)q +1 = β(k +1)q +(q 1) = 0

H0 : β(5+1)3 = β(5+1)3+1 = β5 = 0, pois q = 3

H0 : β3 = β4 = β5 = 0

Assim, H1: H0 é falsa ou pelo menos uma das variáveis deprodutividade tem efeito sobre o salário do jogador.


E l lá i li d b i b l i

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Passo 3: sob H0, estime o modelo (econométrico) restrito

log(sal ario ) = β0 + β1anos + β2 jogosano + u

Modelo restrito estimado:

_cons 11.2238 .108312 103.62 0.000 11.01078 11.43683 jogosano .0201745 .0013429 15.02 0.000 .0175334 .0228156 anos .071318 .012505 5.70 0.000 .0467236 .0959124

lsalario Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total 492.175535 352 1.39822595 Root MSE = .75273 Adj R-squared = 0.5948



. reg lsalario anos jogosano

E guarde SQR r = 198.311491; q = 3 g.l.



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Passo 4: Calcule a estatística do teste e proceda com o teste


SQR ir /(n k 1)

= (198.311491 183.186335) /3

183.186335/(353 5 1)= 9.5503

FInv(0.95; 3, 347) = 2. 6306, como 9.5503 > 2. 6306, então:Rejeita-se H0 a 5%;

FInv(0.99; 3, 347) = 3.8385,como 9.5503 > 3.8385, então:Rejeita-se H0 a 1%;

p-valor = (1 FDist(9.5503; 3, 347)) = 4.4734 106 0.



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* p<0.10, ** p<0.05, *** p<0.01t statistics in parentheses

rss 183.2 198.3R-squared 0.628 0.597Observations 353 353

(38.75) (103.62)Constant 11.19*** 11.22***

(1.50)rebrumano 0.0108

(0.90)

hrumano 0.0144

(0.89)rebmed 0.000979

(4.74) (15.02)jogosano 0.0126*** 0.0202***

(5.68) (5.70)anos 0.0689*** 0.0713***

lsalario lsalario (1) (2)

Qual a conclusão para os testes t das hipóteses individuais H0: β3 = 0, H0: β4 = 0 e H0: β5 = 0?



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Como explicar que se rejeita H0 pelo teste F , ou seja, pelo menos umdos betas é diferente de zero; Mas pelos testes t individuais não serejeita H0: β3 = 0, H0: β4 = 0 e H0: β5 = 0?

Resposta: as variáveis rebmed , hrumano e rebrumano são muitocorrelacionadas, o que torna difícil separar o efeito individual de cadauma delas;

Moral da história: o teste F serve para testar a exclusão de umgrupo de variáveis quando estas são altamente correlacionadas.


Inconsistência lógica dos testes t e F

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Inconsistência lógica dos testes t e F

Como explicar, por exemplo, se ocorresse de não se rejeitar a hipóteseconjunta H0: β3 = β4 = β5 = 0 pelo teste F , mas rejeitar-se H0: β3 = 0 pelo teste t ?

Resposta: agrupando-se um punhado de variáveis não sigini…cantesmascarou o fato da variável rebmed ser signi…cante;

Moral da história: o poder do teste F de detectar β3 6= 0 combase na hipótese conjunta H0: β3 = β4 = β5 = 0 é menor que o doteste t para a hipótese individual H0: β

3 = 0.


No Stata: digite na janela de comandos

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No Stata: digite na janela de comandos

*Instala o pacote ado "bcuse"ssc install bcuse*Carrega a base de dados a ser utilizadabcuse mlb1, clear*Traduz os nomes da variáveis para o português

rename salary salariorename years anosrename gamesyr jogosanorename bavg rebmedrename hrunsyr hrumano

rename rbisyr rebrumano*Gera a variável log(salário)gen lsalario=ln(salario)


No Stata: digite na janela de comando

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*Executa um teste F indireto*Passo 1: Estima o modelo irrestrito e armazena SQR ir e g.l.quietly reg lsalario anos jogosano rebmed hrumano rebrumanoscalar sqr_ir = e(rss)scalar gl_ir = e(df_r)* Passo 2: Estima o modelo restrito e armazena SQR r e g.l.

quietly reg lsalario anos jogosanoscalar sqr_r = e(rss)scalar gl_r = e(df_r)scalar q = gl_r - gl_ir*Calcula a estatística F

scalar Festatistica = ((sqr_r-sqr_ir)/q)/(sqr_ir/gl_ir)*Obtém o F crítico a 5%, p-valor e lista tudoscalar Fcrit5 = invFtail(q,gl_ir,.05)scalar pvalor = Ftail(q,gl_ir,Festatistica)scalar list sqr_ir sqr_r gl_r gl_ir q Festatistica pvalor Fcrit5



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*Executa o teste F direto da hipótese conjunta H0: β3 = β4 = β5 = 0quietly reg lsalario anos jogosano rebmed hrumano rebrumanotest rebmed hrumano rebrumano

Prob > F = 0.0000 F( 3, 347) = 9.55

( 3) rebrumano = 0( 2) hrumano = 0( 1) rebmed = 0

. test rebmed hrumano rebrumano


Relação entre os testes t e F

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Relação entre os testes t e F

É possível mostrar que para H0: β j = a j (uma constante),


SQR ir /(nk 1) =

( b β j a j )

ep ( b β j )

2

F 1,(nk 1) g.l . Ou seja, F = t 2 b β j

;

Como a distribuição F 1,(nk 1) g.l = t 2(nk 1)g.l., então, os testes t eF para H0: β j = a j (constante) levam, necessariamente, à iguaisconclusões.

Mas, como vimos, quando a hipótese nula é a de que umconjunto de parâmetros é igual a certo valor, o resultado do teste

F da hipótese conjunta e os resultados dos testes t das hipóteseindividuais podem levar à conclusões contraditórias (diferentes).


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