Capítulo 11 Rolamento, torque e momento angular

Capítulo 11 – Rolamento, torque e momento angular

Neste capítulo, cobriremos os seguintes tópicos:

- Rolamento de objetos circulares e sua relação com o atrito.

- Redefinição de torque como um vetor para descrever problemas

rotacionais mais complexos do que a rotação de um corpo rígido em

torno de um eixo fixo.

- Momento angular de partículas isoladas e sistema de partículas

- Segunda lei de Newton para movimento rotacional

- Conservação de Momento Angular

- Aplicações de conservação de momento angular

Rolamento como combinação de Translação e Rotação

O movimento de um objeto circular rolando sem escorregar sobre uma

superfície é complicado mas pode ser simplificado tratando-o como a

combinação da translação do centro de massa do objeto e a rotação do

mesmo em torno de seu centro de massa.

t1 = 0 t2 = t Para um observador em repouso, o centro de

massa da roda em O se move para a direita

com velocidade constante vcm. O ponto P que

toca o solo também se move com essa

velocidade. Durante o intervalo de tempo t,

ambos os pontos O e P cobrem a distância s.

Durante t o ciclista vê a roda girar de em torno de O tal que

A condição para o rolamento sem deslizamento é:

Mov. rotacional: O vetor velocidade Ԧ𝑣𝑐𝑚 = 𝜔𝑅 depende de cada ponto. A

magnitude é R sendo R a distância do ponto até O. A direção é tangente a

órbita circular (a)

A velocidade resultante é a soma vetorial desses dois termos (c)

Rolamento como Rotação Pura

Outra maneira de olhar para o rolamento é considerá-lo como uma rotação

pura em torno do ponto de contato P. A velocidade angular é

Os vetores mostram velocidades lineares instantâneas de pontos escolhidos

da roda. Em cada ponto, a velocidade linear escalar é dada por vcm = R em

que r é a distância entre o ponto em questão e P. Em T, r = 2R, vT = 2R =

2vcm. No ponto O, r = R, vO = R = vcm; Em P, r = 0, vP = 0

A

B

vA

vB

vT

vO

Energia Cinética de Rolamento

Considerando-se rotação pura em torno de P de um objeto com massa

M e raio R, a energia cinética é escrita como onde Ip é a

inércia rotacional em torno do eixo em P, que pode ser determinada

através do teorema dos eixos paralelos.

2

2

1The kinetic energy is then given by the equation: . Here is the

2

rotational inertia of the rolling body about point P. We can determine using

the parallel axis theorem.

P P

P

P com

K K I I

I

I I MR

=

= + → ( )

( )

2 2

2 2 2 2 2

1

2

1 1 1

2 2 2

The expression for the kinetic energy consists of two terms. The first term

corresponds to the rotation about the center of mass O with angular velocity .

com

com com

K I MR

K I MR I MR

= +

= + = +

The second term is associated with the kinetic energy due to the translational

motion of evey point with speed comv

2

2


2



P P

P

P com

K K I I

I

I I MR

=

= + → ( )

( )

2 2

2 2 2 2 2

1

2

1 1 1

2 2 2



com

com com

K I MR

K I MR I MR

= +

= + = +



2

2


2



P P

P

P com

K K I I

I

I I MR

=

= + → ( )

( )

2 2

2 2 2 2 2

1

2

1 1 1

2 2 2



com

com com

K I MR

K I MR I MR

= +

= + = +



Movimento

rotacional c/

em torno de O

Movimento

translacional c/ vcm

em todos os pontos

2

2


2



P P

P

P com

K K I I

I

I I MR

=

= + → ( )

( )

2 2

2 2 2 2 2

1

2

1 1 1

2 2 2



com

com com

K I MR

K I MR I MR

= +

= + = +



0coma =

coma R=

The rolling condition results in a connection beteen the magnitude of the

acceleration of the center of mass and its angular acceleration

We take time derivetives of both sides

com

com com

a

v R a

= → = comdv dR R

dt dt

= =

The rolling condition results in a connection beteen the magnitude of the

acceleration of the center of mass and its angular acceleration

We take time derivetives of both sides

com

com com

a

v R a

= → = comdv dR R

dt dt

= =

acom

2

sin

1com

com

ga

I

MR

= −

+

Rolamento rampa a baixo

Um corpo uniforme e redondo de massa M

e raio R rola sobre um plano inclinado com

ângulo . A acm ao longo de x é calculada

pela 2a Lei de Newton para os movimentos

rotacional e translacional.

Newton's second law for motion along the -axis: sin (eqs.1)

Newton's second law for rotation about the center of mass:

We substitute in the second equation and g

s com

s com

com

x f Mg Ma

Rf I

a

R

− =

= =

= −

2

2

et:

(eqs.2) We substitute from equation 2 into equation 1

sin

coms com

coms com s

comcom com

aRf I

R

af I f

R

aI Mg Ma

R

= − →

= − →

− − =

Translação:

Rotação:




s com

s com

com

x f Mg Ma

Rf I

a

R

− =

= =

= −

2

2

et:


sin

coms com

coms com s

comcom com

aRf I

R

af I f

R

aI Mg Ma

R

= − →

= − →

− − =




s com

s com

com

x f Mg Ma

Rf I

a

R

− =

= =

= −

2

2

et:


sin

coms com

coms com s

comcom com

aRf I

R

af I f

R

aI Mg Ma

R

= − →

= − →

− − =




s com

s com

com

x f Mg Ma

Rf I

a

R

− =

= =

= −

2

2

et:


sin

coms com

coms com s

comcom com

aRf I

R

af I f

R

aI Mg Ma

R

= − →

= − →

− − =

2

2


2



P P

P

P com

K K I I

I

I I MR

=

= + → ( )

( )

2 2

2 2 2 2 2

1

2

1 1 1

2 2 2



com

com com

K I MR

K I MR I MR

= +

= + = +



y

acom

B

r F =

( )r p m r v= = mvr⊥=

Segunda Lei de Newton para Rotações e Momento

𝑭𝒓𝒆𝒔 =𝒅𝒑

𝒅𝒕

Para movimentos lineares, a 2a Lei de Newton

pode ser escrita em termos do momento linear

Para uma partícula em movimento rotacional temos:

( )

Newton's second law for linear motion has the form: . Below we

will derive the angular form of Newton's sec

Newton's Second

ond law for a pa

Law in Angul

rticle

r Form

.

a

net

dpF

dt

d dm r v m r

dt dt

=

= → = ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

Thus: Compar e with:

net ne

n n

t

e ett

dv drv m r v m r a v v

dt dt

dv v m r

dpF

d

a r ma r Ft

d

d

dt t

= + = +

= → = = =

==

=

𝝉𝒓𝒆𝒔 =𝒅Ԧ𝒍

𝒅𝒕

O

m1

m3

m2

ℓ1

ℓ2

ℓ3

x y

z

net

dL

dt=

Momento angular para um sistema de

partículas com Ԧ𝒍𝟏, Ԧ𝒍𝟐, Ԧ𝒍𝟑, … , Ԧ𝒍𝒏

1 2 3

1

1

The angular momentum of the system is ...

The time derivative of the angular momentum is =

The time derivative for the angular momentum of the i-th part

n

n i

i

ni

i

L L

ddL

dt dt

=

=

= + + + + =

,

,

,

icle

Where is the net torque on the particle. This torque has contributions

from external as well as internal forces between the particles of the system. Thus

inet i

net i

net i

d

dt

dL

dt

=

= =1

Here is the net torque due to all the external forces.

By virtue of Newton's third law the vector sum of all internal torques is zero.

Thus Newton's second law for a system in ang

n

net net

i

=

ular form takes the form:

1 2 3

1

1

The angular momentum of the system is ...

The time derivative of the angular momentum is =

The time derivative for the angular momentum of the i-th part

n

n i

i

ni

i

L L

ddL

dt dt

=

=

= + + + + =

,

,

,

icle

Where is the net torque on the particle. This torque has contributions

from external as well as internal forces between the particles of the system. Thus

inet i

net i

net i

d

dt

dL

dt

=

= =1

Here is the net torque due to all the external forces.

By virtue of Newton's third law the vector sum of all internal torques is zero.

Thus Newton's second law for a system in ang

n

net net

i

=

ular form takes the form:

Para a i-ésima partícula 𝑑Ԧ𝑙𝑖

𝑑𝑡= Ԧ𝜏𝑟𝑒𝑠,𝑖 sendo Ԧ𝜏𝑟𝑒𝑠,𝑖 o torque resultante

na partícula. Este torque tem contribuições de forças externas e

internas entre as partículas do sistema. Como as forças internas se

cancelam, define-se o torque resultante devido a forças externas

zL I=

Momento angular de um corpo rígido girando em torno de eixo fixo

Toma-se o eixo z como o eixo de rotação,

determinaremos a componente z do momento

angular resultante. Divide-se o corpo em n

elementos com massa mi com vetor posição Ԧ𝑟𝑖.

O momento angular é Ԧ𝑙𝑖 = Ԧ𝑟𝑖 × Ԧ𝑝𝑖. A magnitude

é 𝑙𝑖 = 𝑟𝑖𝑝𝑖 sen90° = 𝑟𝑖Δ𝑚𝑖𝑣𝑖

We take the z-axis to be the fixed rotation axis. We will determine

the z-component of the net angular momentum. The body is

divided n elements of mass that have a position vector

The angula

i im r

( )

( )( )

r momentum of the i-the element is:

Its magnitude sin90 = The z-compoment

of is: sin sin

The z-component of the angular momentu

i i i i

i i i i i i

iz i iz i i i i i i i

r p

r p r m v

r m v r m v ⊥

=

=

= = =

( ) 2

1 1 1 1

2

1

m is the sum:

The sum is the rotational inertia of the rigid body

Thus:

z

n n n n

z iz i i i i i i i i

i i i i

n

i i

i

z

L

L r m v r m r m r

m r I

L I

⊥ ⊥ ⊥ ⊥

= = = =

⊥

=

= = = =

=

We take the z-axis to be the fixed rotation axis. We will determine

the z-component of the net angular momentum. The body is

divided n elements of mass that have a position vector

The angula

i im r

( )

( )( )

r momentum of the i-the element is:

Its magnitude sin90 = The z-compoment

of is: sin sin

The z-component of the angular momentu

i i i i

i i i i i i

iz i iz i i i i i i i

r p

r p r m v

r m v r m v ⊥

=

=

= = =

( ) 2

1 1 1 1

2

1

m is the sum:

The sum is the rotational inertia of the rigid body

Thus:

z

n n n n

z iz i i i i i i i i

i i i i

n

i i

i

z

L

L r m v r m r m r

m r I

L I

⊥ ⊥ ⊥ ⊥

= = = =

⊥

=

= = = =

=

i fL L=

Conservação de Momento Angular

Para um sistema de partículas qualquer (inclusive um

corpo rígido) 𝑑𝐿

𝑑𝑡= Ԧ𝜏𝑟𝑒𝑠. Se a força resultante externa

é igual a zero, então𝑑𝐿

𝑑𝑡= 0 e 𝐿 = 0. Este resultado é

conhecido como conservação do momento angular.

Nota: Se a componente do torque externo ao longo de

um certo eixo for zero, então a componente do

momenot angular naquele eixo não pode mudar.

The student then pulls in his hands as shown in fig.b. This action reduces the

rotational inertia from an initial value to a smaller final value .

No net external torque acts on the student-st

i fI I

ool system. Thus the

angular momentum of the system remains unchanged.

Angular momentum at : Angular momentum at :

Since 1

i i i i f f f f

i ii f i i f f f i f

f

fi

f

t L I t L I

I IL L I I I I

I I

= =

= → = → = → →

The rotation rate of the student in fig.b is faster

i




i fI I




Since 1

i i i i f f f f


f

fi

f

t L I t L I

I IL L I I I I

I I

= =

= → = → = → →


i




i fI I




Since 1

i i i i f f f f


f

fi

f

t L I t L I

I IL L I I I I

I I

= =

= → = → = → →


i




i fI I




Since 1

i i i i f f f f


f

fi

f

t L I t L I

I IL L I I I I

I I

= =

= → = → = → →


i

Rotational Motion

Analogies betwee

Translati

n translational and r

onal Moti

otational M

on

otio

n

x

v

22

2

2

a

p

mvK

m

F

IK

ma

I

=

=

=

net net

F

P Fv

dpF

dt

p m

d

t

v

I

P

d

=

=

=

=

=

=

L I=

Analogia entre movimentos translacional e rotacional

Movimento translacional Movimento rotacional

Capítulo 11 Rolamento, torque e momento angular

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