Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá - Divisão de …rrpela/downloads/fis14/FIS14-2012-aula21.pdf5.5...

Mecânica I (FIS-14)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues PeláSala 2602A-1Ramal [email protected]

www.ief.ita.br/~rrpela

Onde estamos?

● Nosso roteiro ao longo deste capítulo– Princípio do impulso e quantidade de movimento

● Uma partícula● Sistema de partículas

– Conservação da quantidade de movimento

– Impacto

– Torque e momento angular● Uma partícula● Sistema de partículas

– Propulsão com massa variável

5.5 – Torque e Momento Angular

● Momento angular (ou quantidade de movimento angular)– Mede a quantidade de movimento de

“rotação”


● Momento angular (ou quantidade de movimento angular)– definido como o ‘momento’ da

quantidade de movimento linear da partícula em torno de O.

● Formulação escalar– se uma partícula move-se ao longo de

uma curva no plano x–y, o momento angular em qualquer instante pode ser determinado em relação ao ponto O, usando-se uma formulação escalar.


● Formulação vetorial– se a partícula move-se ao longo de um espaço

curvo, o produto vetorial pode ser usado para determinar o momento angular em torno de O. Nesse caso


● Coisas interessantes envolvendo momento angular– Motociclista fazendo curva e momento angular

– Helicóptero

– Patinadora e momento angular● Museu do Catavento


● Momento angular na Mecânica Quântica– Spin



– Efeito Spin Hall



– Efeito Einstein-de Haas


● Relação entre torque (momento) da força resultante e momento angular

Relação entre Força e Momento Linear

Relação esperada para o Torque e Momento Angular

Vejamos se é assim mesmo. Partimos da derivada:

Momento da força resultante


● Impulso angular e momento angular


● Conservação do momento angular– Quando os impulsos angulares atuando em uma

partícula são todos zero durante o tempo t1 a t

2: o

Momento angular se conserva

Exemplo de situação em que o Momento Angular se conserva


● Momento angular para um sistema de partículas

Vamos provar que

Para facilitar a demonstração, vamos considerar um sistema de 2 partículas. Mas o resultado vale para N partículas =)


● Força na partícula 1 devido à partícula 2● Força na partícula 2 devido à partícula 1● Força externa resultante na partícula 1 ● Força externa resultante na partícula 2

OBS.: Vamos considerar a lei da ação e reação em sua forma forte.

Forma fraca Forma forte


● Torque e momento angular (part. 1)

● Torque e momento angular (part. 2)

● Somando

Mas e


● A expressão

● é válida para qualquer referencial inercial● é válida (sempre) para o CM de um sistema

de partículas– seja ele referencial inercial ou não

– vamos provar isto já já =)


● Momento angular do sistema e do CM● Questão: o momento angular de um sistema

de partículas é igual a ?● Resp.: NÃO!!!

– Tente encontrar um contra-exemplo

● Vamos encontrar a expressão completa:


● Momento angular do sistema

● Seja

Veja que


● Conclusão


● Relação entre o torque num ponto P e no CM

Mudança de referencial:


● Equação dos torques num ponto P e no CM


● Questão: a equação vale para qualquer referencial?

● Resp.:– Se o referencial for inercial, sim.

– Se o referencial for o CM, sim (sendo este ref. inercial ou não)

– Se o referencial for não inercial, as forças inerciais (fictícias) devem ser incluídas. Estas forças agem sobre cada partícula do sistema


● Impulso angular e momento angular (para um sistema de partículas)


● Exemplo: uma estrela esférica gira por um período de 30 dias por um eixo que passa pelo seu centro. Depois que a estrela sofre uma explosão supernova, o núcleo estelar, que tinha um raio de 1,0x104 km, sofre colapso em uma estrela de 3,0 km de raio. Determine o período de rotação da estrela de nêutron.


● Resp.: 0,23 s– De fato, são observadas estrelas de nêutrons que

giram aproximadamente 4 vezes por segundo.


● Exemplo: um cometa está na órbita extremamente excêntrica mostrada na Figura. Sua velocidade no ponto mais distante A (a 6000x106 km do Sol), que está no limite externo do sistema solar, é de 740 m/s. Determine sua velocidade no ponto B (a 75,0x106 km do Sol) de maior aproximação do Sol.


● Resp.: 59,2 km/s


● Exemplo: o conjunto da haste leve e duas massas nas extremidades está em repouso quando é atingido pela queda de um punhado de massa de vidraceiro se deslocando com velocidade v

1. A massa de vidraceiro

se adere e se desloca com a massa na extremidade direita. Determine a velocidade angular do conjunto após o impacto.


● Resp.: v1/(19l)


● Exemplo: A bola B de 0,400 kg está presa a uma corda que passa através de um furo em A sobre uma mesa lisa. Quando a bola está a 0,500 m do furo, ela gira em círculo a uma velocidade escalar de 1,20 m/s. Aplicando-se a Força F (que não necessariamente é constante no tempo), a corda é puxada para baixo através do furo a uma velocidade escalar constante de 2,00 m/s. Determine (a) a velocidade escalar da bola no instante em que estiver a 0,200 m do furo; (b) o trabalho realizado pela força F ao encurtar a distância radial de 0,500 m para 0,200 m.


● Resp.:– (a) 3,61 m/s

– (b) 2,31 J


● Exemplo: Cada uma das três esferas possui uma massa m e está soldada à estrutura rígida com ângulos iguais de massa desprezível. O conjunto está em repouso sobre uma superfície horizontal lisa. Se uma força F é aplicada repentinamente a uma barra conforme indicado, determine a aceleração do ponto O e a aceleração angular da estrutura.


● Resp.:


● Exemplo: Considere as mesmas condições do Exemplo anterior, exceto que os raios são livremente articulados em O e, portanto, não constituem um sistema rígido. Explique a diferença dos dois problemas.


● Exemplo: O centro de massa somente coincide com o ponto O no instante inicial (quando os raios se movimentam, o ponto O deixa de ser o centro de massa)

● Os movimentos angulares dos braços são todos diferentes e não são facilmente determinados

● Este problema poderia ser resolvido desmembrando o sistema e escrevendo as equações de movimento para cada parte. Ou então, o método de Lagrange poderia ser utilizado (este seria o método mais simples)


● Exemplo: Uma pequena partícula recebe uma velocidade inicial v

0

tangente à borda horizontal de uma cavidade hemisférica lisa (de raio r

0),

como indicado no ponto A. Quando a partícula desliza passando pelo ponto B, a uma distância h abaixo de A, sua velocidade v faz um ângulo θ com a tangente horizontal à cavidade através de B. Determine θ.


● Resp.:

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá - Divisão de …rrpela/downloads/fis14/FIS14-2012-aula21.pdf5.5...

Documents

Transcript of Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá - Divisão de …rrpela/downloads/fis14/FIS14-2012-aula21.pdf5.5...