Capítulo 4

Capacitância e Dielétricos

Nesse capítulo, estudaremos o conceito de capacitância, aplicações de capacitores e die-létricos.

4.1 Capacitância

Considere dois condutores carregando cargas de mesmo valor e sinais opostos, conformefigura. Essa combinação de dois condutores chamaremos de capacitores, sendo ambos con-dutores algumas vezes chamados de placas. E devido à presença das cargas, existe umadiferença de potencial �V entre os condutores.

O que determina quanta carga está nas placas de um capacitor para uma dada diferençade potencial entre elas? Experimentos mostram que a quantidade de carga Q num capacitoré linearmente proporcional a diferença de potencial �V entre os condutores. Sendo assim,a capacitância C de um condutor é definida como a razão entre a intensidade da carga numdos condutores pela intensidade da diferença de potencial entre eles

C ⌘ Q�V

(4.1)

Note que por definição capacitância é sempre uma quantidade positiva. Além disso, como

43

44 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS

veremos logo mais, capacitância é uma medida da capacidade de um capacitor em armazenarenergia, pois cargas positivas e negativas estão separadas no sistema dos dois condutores deum capacitor, existindo uma energia potencial elétrica armazenada no sistema.

A capacitância no sistema SI tem unidade de Coulomb por Volt, sendo definida comoFarad, F = C/V , em homenagem a Michael Faraday.

Para entender como um capacitor se forma, ou seja, como ele se carrega, consideremosum capacitor formado por um par de placas paralelas, conforme figura.

+–

Com o capacitor inicialmente descarregado, conec-tamos cada placa a um terminal de uma bateria,que age como uma fonte de diferença de potencial,estabelecendo um campo elétrico nos fios condu-tores quando essa conexão é feita. Na placa co-nectada ao terminal negativo da bateria, o campoelétrico força os elétrons a irem em direção à placa,o processo continua até a placa, o fio, e o terminalda bateria terem o mesmo potencial, de modo quenão há mais diferença de potencial entre o terminale a placa, não há mais movimento de elétrons, e aplaca agora está carregada negativamente.

Um processo similar ocorre na outra placa do capacitor, com elétrons saindo da placapara o fio, deixando a placa carregada positivamente. Nessa configuração final, a diferençade potencial entre as placas do capacitor é a mesma daquela entre os terminais da bateria.

4.2 Cálculo de Capacitância

Para determinar a capacitância de um certo tipo de capacitor vamos usar o seguinte pro-cedimento: assumimos uma carga de magnitude Q numa das placas, em seguida calculamosa diferença de potencial �V entre as placas usando as técnicas do capítulo anterior, e porúltimo usamos a expressão C = Q/�V para determinar a capacitância.

Exemplo 4.1. Capacitância de uma Esfera CondutoraImaginemos um condutor esférico carregado. As linhas de campo ao redor desse con-

dutor são exatamente as mesmas que no caso se existisse uma casca esférica condutorade raio infinito, concêntrica com a esfera e carregando uma carga de mesma intensidadee sinal oposto, de modo que essa casca esférica imaginária pode ser identificada como umsegundo condutor de um capacitor de dois condutores.

Assim, podemos calcular a capacitância para essa situação usando o fato que o poten-

4.2. CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 45

cial de uma esfera de raio R e carga Q é simplesmente kQ/R na sua superfície, e V = 0na casca infinitamente grande, então

C =

Q

�V

=

Q

kQ/R

=

R

k

= 4⇡✏0R,

mostrando que a capacitância de uma esfera carregada é proporcional ao seu raio e inde-pende da carga na esfera e da diferença de potencial.

A capacitância de uma par de condutores depende somente da geometria dos condutores.Vamos ilustrar isso com duas geometrias familiares: placas paralelas e cilindros concêntricos.

Exemplo 4.2. Capacitor de Placas ParalelasConsideremos duas placas metálicas de áreas iguais A separadas por uma distância d,

conforme figura. Uma placa está carregada com carga Q, a a outra carregada com carga�Q.

Se as placas estão muito próximas, de talforma que a distância d é muito menor que asdimensões típicas das placas, podemos con-siderar o campo elétrico uniforme na regiãoentre as placas com valor igual a

E =

�

✏0=

Q

✏0A,

e nulo na região fora das placas. Então, como o campo entre as placas é uniforme, adiferença de potencial entre as placas é

�V = V+ � V� = Ed =Qd

✏0A.

Substituindo esse resultado na definição de capacitância, temos para o capacitor deplacas paralelas

C =

Q

�V

=

Q

Qd/✏0A,

portanto

C =

✏0A

d

Isto é, a capacitância de um capacitor de placas paralelas é proporcional à área dassuas placas e inversamente proporcional à separação entre as placas.

46 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS

Exemplo 4.3. Capacitor CilíndricoConsideremos um condutor cilíndrico sólido de raio a e carga Q coaxial a uma casca

cilíndrica de raio b > a e espessura desprezível, com carga �Q.

Se os condutores tiverem um comprimento Lmuito maior que os raio a e b, podemos des-prezar os efeitos de borda sobre as linhas decampo, de tal forma que nesse caso o campoelétrico é perpendicular ao eixo dos cilindrose é confinado na região entre eles.A partir da Lei de Gauss, a intensidade docampo elétrico na região entre a e b é aquelade um cilindro com distribuição de carga uni-forme �, dado por

E(r) =

2k�

r

=

2kQ/L

r

,

E com esse campo, podemos calcular a diferença de potencial entre a superfície externado cilindro sólido e a superfície interna da casca cilíndrica

�V = V+ � V� = �Z

a

b

E(r)dr = �2k(Q/L)Z

a

b

dr

r

= 2k(Q/L) ln

✓b

a

◆.

Substituindo esse resultado na definição de capacitância, temos para o capacitor cilín-drico

C =

Q

�V

=

Q

2k(Q/L) ln (b/a)

,

portanto

C =

L

2k ln (b/a)

Isto é, a capacitância de um capacitor cilíndrico é proporcional ao comprimento doscilindros.

4.3 Associação de Capacitores

Agora que sabemos determinar a capacitância de capacitares a partir de sua geome-tria, podemos associar diferentes capacitares para obter qualquer valor de capacitância quenecessitarmos. Basicamente existem dois de associações: paralela e série.

4.3. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 47

4.3.1 Capacitores em Paralelo

Numa associação em paralelo, conforme figura (b), as diferenças de potenciais em cadacapacitor individualmente são as mesmas e iguais à diferença de potencial aplicada sobre aassociação inteira.

+–

+ –

+ –

+ – + –

Quando os capacitores são conectados ao circuito conforme a figura (a), elétrons sãotransferidos entre os fios e as placas, permitindo as placas da direita se carregarem negativa-mente e as placas da esquerda se carregarem positivamente. O fluxo de carga cessa quando avoltarem sobre os capacitares é igual àquela dos terminais da bateria, e os capacitares ficamcarregados com cargas Q1 e Q2. A carga total Q armazenada nos capacitores é

Q = Q1 +Q2

Isso é, a carga total nos capacitares conectados em paralelo é a soma das cargas de cadacapacitor individual. E como a voltarem sobre cada capacitor é a mesma, as cargas que elescarregam são

Q1 = C1�V e Q2 = C2�V

Suponhamos que agora desejamos trocar esses dois capacitores por um capacitor equiva-lente apenas e que tem uma capacitância C

eq

, conforme figura (c). O efeito desse capacitorno circuito deve ser o mesmo do conjunto de capacitores anteriores, isto é, esse capacitor equi-valente deve armazenar carga Q quando conectado a d.d.p de �V . Assim, para o capacitorequivalente,

Q = C

eq

�V

48 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS

Substituindo essas três relações para as carga na equação da carga total do circuito,temos

C

eq

�V = C1�V + C2�V

C

eq

= C1 + C2

Assim, a capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo é asoma algébrica das capacitâncias individuais e é maior que qualquer uma das capacitânciasoriginais.

C

eq

= C1 + C2 + C3 + . . . (em paralelo) (4.2)

4.3.2 Capacitores em Série

Numa associação em série, conforme figura (b), as cargas em cada capacitor individual-mente são as mesmas e iguais à carga total armazenada na associação inteira.

–+ + –

+–

Podemos entender isso a partir do seguinte processo. Quando os capacitores são conec-tados ao circuito conforme a figura (a), elétrons são retirados da placa da esquerda de C1 ecolocados para a placa da direita de C2 pela bateria. Como essa carga negativa se acumulana placa direita de C2, uma quantidade equivalente de carga negativa é forçada a sair daplaca esquerda de C2, ficando assim com carga positiva. A carga negativa que deixou a placaesquerda de C2 causa um acúmulo de carga negativa na placa direita de C1. Como resultado,todas as placas da direita ficam com carga negativa �Q, e todas placas da esquerda comcarga +Q. Assim, as cargas nos capacitares conectados em série são as mesmas.

Da figura (b), vemos que a voltagem �V entre os terminais da bateria é dividida entreos capacitores

�V = �V1 +�V2

4.3. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 49

Em geral, a diferença de potencial entre qualquer número de capacitores conectados emsérie é a soma da diferença de potencial sobre cada capacitor individualmente. E como ascargas nos capacitores são as mesmas, as voltagens sobre eles são

�V1 =Q

C1e �V2 =

Q

C2

Vamos agora trocar esses capacitores por um capacitor equivalente tendo uma capaci-tância C

eq

, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito deve ser o mesmo doconjunto de capacitores anteriores, isto é, esse capacitor equivalente deve armazenar carga�Q na placa da direita e carga +Q na placa da esquerda quando conectado a d.d.p de �Vdos terminais da bateria. Assim, para o capacitor equivalente,

�V =

Q

C

eq

Substituindo essas três relações para as voltagens na equação da voltarem total do cir-cuito, temos

Q

C

eq

=

Q

C1+

Q

C2

1

C

eq

=

1

C1+

1

C2

Assim, o inverso da capacitância equivalente de uma associação de capacitores em sérieé a soma algébrica dos inversos das capacitâncias individuais e é menor que qualquer umadas capacitância originais.

1

C

eq

=

1

C1+

1

C2+

1

C3+ . . . (em série) (4.3)

Exemplo 4.4. Capacitância EquivalenteConsideremos um circuito misto de capacitores, conforme figura (a). A capacitância

equivalente entre a e b pode ser encontrada reduzindo as associações de capacitores comoindicadas nas partes (b), (c), e (d), usando as regras de associações em série e paralelo.

50 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS

ba

(b)

ba

( c)

ba

(d)

ba

(a)

4.4 Energia Armazenada num Capacitor

Quanta energia deve estar armazenada num capacitor depois que o carregamos?

Para calcular a energia armazenada num ca-pacitor durante o processo de carregamento,imaginemos que a carga é transferida meca-nicamente para o capacitor, de modo que otrabalho necessário para adicionar uma cargadq ao capacitor é

dW = �V dq

e sabendo que a diferença de potencial entre as placas do capacitor depende da carga q nele,podemos escrever

dW =

q

C

dq,

conforme ilustrado na figura. O trabalho total para carregar o capacitor desde uma cargaq = 0 até a carga final q = Q é então

W =

ZQ

0

q

C

dq =

1

C

ZQ

0

q dq =

Q

2

2C

.

O trabalho feito para carregar o capacitor aparece como energia potencial elétrica Uarmazenada no capacitor. Usando a capacitância, podemos expressar a energia potencialarmazenada num capacitor carregado nas seguintes formas

U =

Q

2

2C

=

1

2

Q�V =

1

2

C(�V )

2 (4.4)

Podemos considerar a energia armazenada num capacitor como sendo armazenada nocampo elétrico criado entre as placas quando o capacitor está carregado, pois o campo elétricoé proporcional a carga no capacitor. Para um capacitor de placas paralelas, a diferença

4.5. MATERIAIS DIELÉTRICOS 51

de potencial está relacionada com o campo elétrico através da relação �V = Ed, e suacapacitância é C = ✏0A/d. Substituindo essas expressões na energia, obtemos

U =

1

2

✏0A

d

(Ed)

2=

1

2

(✏0Ad)E2.

Como o volume ocupado pelo campo elétrico é Ad, a energia por unidade de volumeu

E

= U/(Ad), conhecida como densidade de energia, é

u

E

=

1

2

✏0E2 (4.5)

Assim, a densidade de energia em qualquer campo elétrico é proporcional ao quadradoda intensidade do campo elétrico num dado ponto.

Para uma dada capacitância, a energia armazenada aumenta com o aumento da carga ecom o aumento da diferença de potencial. Na prática, entretanto, há um limite de energiamáxima (ou carga) que pode ser armazenada pois, em valores muito altos de campo elétrico,ocorre descarga elétrica entre as placas.

4.5 Materiais Dielétricos

O que acontece quando colocamos um material isolante na presença de um campo elétricoexterno?

Consideremos um dielétrico feito de moléculas polares localizadas num campo elétricoentre as placas de um capacitor. Os dipolos (isso é, as moléculas polares que formam o die-létrico) estão orientados aleatoriamente na ausência de um campo elétrico, conforme figura(a). Quando um campo elétrico externo ~E0 devido ao capacitor é aplicado, conforme figura(b), um torque é exercido sobre os dipolos, fazendo com que eles se alinhem parcialmentecom o campo. O grau de alinhamento das moléculas com o campo elétrico depende da tem-peratura e da intensidade do campo, em geral, aumentando com o aumento da temperatura edo campo. Se as moléculas do dielétrico são apolares, então o campo elétrico externo produzalguma separação de cargas e num momento de dipolo induzido.

E0

–+ –

+–+

–+

–+–+–+

–+

–+–+

– + –+

– + –+ – +

– +– +– +

– + –+ – +

– +– + – +

– +

E0

Eind

– ind� ind�

–

–

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

–

–

–

–

–

–

+

+

+

+

+

+

Em ambos materiais feitos de moléculas polares ou apolares, os campos elétricos induzidospelos momentos de dipolos elétricos alinhados tendem a cancelar parcialmente o campo

52 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS

externo original, figura (c). Assim, o campo elétrico resultante ~ET

dentro do dielétrico é ocampo original ~E0 mais o campo induzido ~Eind

~

E

T

=

~

E0 +~

E

ind

,

ou

E

T

= E0 � Eind.

Notamos que o campo resultante dentro do dielétrico aponta na direção do campo externooriginal. O campo induzido depende do campo externo original na forma E

ind

= ↵E0, sendo↵ a polarizabilidade do meio material. Com isso, podemos escrever

E

T

= (1� ↵)E0,

e denominando = 1/(1 � ↵) a constante dielétrica do meio material, vemos que o camporesultante no interior do meio dielétrico é reduzido de um fator

~

E

T

=

~

E0

(4.6)

Além disso, o campo elétrico externo E0 está relacionado com a densidade de carga �nas placas através da relação E0 = �/✏0, e o campo elétrico induzido Eind no dielétrico estárelacionado com a densidade de carga induzida �

ind

, conforme figura (b), através da relaçãoE

ind

= �

ind

/✏0. Como ET = E0/ = �/(✏0), temos

�

✏0=

�

✏0� �ind

✏0

e

�

ind

=

✓� 1

◆� (4.7)

Como > 1, essas expressões mostram que o campo elétrico no interior do dielétrico ET

é reduzido, e a densidade de carga induzida �ind

no dielétrico é menor que a densidade decargas nas placas.

Existe, porém, um valor crítico para o campo externo, consequentemente para a diferençade potencial, acima do qual o material deixa de ser isolante, e ocorre ou uma descarga elétricaou uma ruptura do isolamento. Esse campo elétrico crítico fornece a rigidez dielétrica domaterial, que é medida pelo módulo do campo elétrico mínimo acima do qual se produz aruptura do dielétrico.

4.6. CAPACITORES COM DIELÉTRICOS 53

4.6 Capacitores com Dielétricos

Quando inserimos um dielétrico no interior de um capacitor o que acontece com a capa-citância? Aumenta, diminui, ou não se modifica? Podemos analisar o seguinte experimentopara ilustrar o efeito de um dielétrico num capacitor.

+–

+–

Consideremos um capacitor de placas paralelas isolado que sem o dielétrico, conformefigura (a), tem uma carga Q0 e uma capacitância C0, de modo que a diferença de potencialentre as placas é �V0. Se um dielétrico é agora inserido entre as placas, conforme figura (b),a diferença de potencial �V entre as placas deve ser reduzida de um fator pois o campono interior do capacitor foi reduzido do mesmo fator, desta forma

�V =

�V0

.

Como a carga Q0 no capacitor não mudou, concluímos que a capacitância deve mudarpara o valor

C =

Q0

�V

=

Q0

�V0=

Q0

�V0

então

C = C0 (4.8)

Isso é, a capacitância aumenta de um fato quando um dielétrico preenche completa-mente a região entre as placas.

Exemplo 4.5. Capacitor parcialmente preenchidoConsideremos um capacitor de placas paralelas com separação entre as placas d, que

tem capacitância C0 na ausência de um dielétrico, preenchido com dielétrico de constante e espessura d/3 conforme figura (a).

54 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICOS

Podemos imaginar o conjunto da figura (a)como sendo dois capacitores C1 e C2 associ-ados em série, conforme figura (b). Usandoo resultado da capacitância de um capacitorde placas paralelas, temos

C1 =✏0A

d/3

e C2 =✏0A

2d/3

.

Como associamos em série, a capacitânciaequivalente é dada por

1

C

=

1

C1+

1

C2=

d/3

✏0A+

2d/3

✏0A

então

C =

✓3

2+ 1

◆✏0A

d

e como a capacitância sem o dielétrico é C0 =✏0A/d, podemos escrever

C =

✓3

2+ 1

◆C0

CapacitânciaCálculo de CapacitânciaAssociação de CapacitoresEnergia Armazenada num CapacitorMateriais DielétricosCapacitores com Dielétricos