Características das variáveis aleatórias
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Por: E. Seno FE-UAN - 2006
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Material para os estudantes do 2.º ano
CARACTERÍSTICAS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Por: E. Seno FE-UAN - 2006
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Características (Medidas) das v. a.
Valor esperado = Esperança matemática (média)
Variância, Desvio-padrão e Coeficiente de variação
Covariância
Coeficiente de Correlação
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Valor esperado
Definição:
Centro de gravidade da distribuição de probabilidade da variável aleatória
Matematicamente:
• Para variável discreta:
• Para variável contínua:
∑=
==N
iiix xfxXE
1)(.)( µ
∫+∞
∞−
== dxxfxXE x )(.)( µ
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Valor esperado
Exemplo – v. a. d.:
No caso do lançamento de uma moeda três vezes, pode-se calcular o número esperado de faces, da seguinte forma:
Ou, seja:
.5,1375,075,0375,00125,03375,02375,01125,00
)(.)(.)(4
11
=+++==×+×+×+×=
=== ∑∑== i
ii
N
iii xfxxfxxE
x 0 1 2 3 ∑
f(x) = 0,125 0,375 0,375 0,125 1
x.f(x) 0 0,375 0,75 0,375 1,5
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Valor esperado
Exemplo – v. a. c.: :
No caso da variável a. contínua, calculamos o valor esperado da variável cuja função de densidade édada por:
Da seguinte forma:
30 ; 41
18)(0 x ; 0
3 ; 0⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤+=<
>x
xxxf
.625,1023
41
33
181
241
3181
41
18)(.)(
233
0
23
3
0
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×+×=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡×+×
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +×== ∫∫
+∞
∞−
xx
dxxxdxxfxxE
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Valor esperado
Propriedades:
1. E(a) = a
aadxxfadxxafaE
aaxfaxafaE i
N
i
N
ii
====
====
∫∫
∑ ∑
∞+
∞−
∞+
∞−
= =
1.)()()(
,ou
,1.)()()(1 1
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Valor esperado
Propriedades:
2. E(X+Y) = E(X) + E(Y)
(Podemos demonstrar para o caso de uma v. a. Discreta)
)()()()(
),(),(),(
),(),()()(
11
1 1111 1
11
YEXEyfyxfx
yxfyyxfxyxfy
yxfxyxfyxYXE
jy
N
jjix
M
ii
N
j
M
ijij
N
jji
M
iiji
M
i
N
jj
M
i
N
jjii
M
i
N
jjiji
+=+=
=+=+
+=+=+
∑∑
∑ ∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
==
= ==== =
= == =
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Valor esperado
Propriedades:
3. E(a + bX) = E(a) + bE(X) = a + bE(X)
4. Valor esperado conjunto:
contínua a. v.para ,),(),(
,
discreta a. v.para ,),(),(),(1
∫ ∫
∑∑
∞+
∞−
∞+
∞−
= =
=
=
dxdyyxxyfYXE
ou
yxfyxYXEM
i
N
jjiji
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Valor esperado
Propriedades:
5. Valor esperado conjunto de variáveis aleatórias independentes: E(XY) = E(X).E(Y)E(XY) = E(X).E(Y)
contínua a. v.para ,)().()(.)(
)().(),(),(
,
discreta a. v.para ,11
11
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∑∑
∑∑∑∑
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
==
= == =
==
===
==
===
YEXEdyyyfdxxxf
dxdyyfxxyfdxdyyxxyfYXE
ou
E(X).E(Y))(yfy.)(xfx
)(y)f(xf.yx),y)f(x,y(xE(X,Y)
yx
yx
N
jjyj
M
iixi
M
i
N
jjyixji
M
i
N
jjiji
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Valor esperado
Propriedades:
6. Valor esperado de uma soma de v. a. iid (independentes e identicamente distribuídas), isto é E(XE(X11) = E(X) = E(X22) = ) = ……= E(X= E(XNN) ) e V(XV(X11) = V(X) = V(X22) = ) = …… = V(X= V(XNN))
)(.)(...)()(
)(...)()()...( vezesN
2121
XENXEXEXE
XEXEXEXXXE NN
=+++=
=+++=+++4444 84444 76
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Valor esperado
Propriedades:
7. Valor esperado condicionado
∫∫
∑∑
∫∫
∑∑
∞+
∞−
∞+
∞−
==
∞+
∞−
∞+
∞−
==
==
==
==
==
dy(x)f
f(x,y)yyf(y\x)dyE(Y\X)
, )(xf),yf(x
y)\xf(yyE(Y\X)
dx(y)f
f(x,y)xxf(x\y)dxE(X\Y)
, )(yf),yf(x
x)\yf(xxE(X\Y)
x
ix
jiN
jjij
N
jj
y
jy
jiM
iiji
M
ii
ou
:X dado Y De
ou
:Ydado X De
11
11
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Variância
Definição:
Valor esperado do quadrado do desvio entre a variável e o seu valor esperado, ou seja:
σ2 = V(X) = E[X – E(X)]2 = E(X2) – E2(X)
Onde:
E, E2(X) = [E(X)]2
contínuas variáveispara ; )(.
ou,
discretas, variáveispara ; )(.)(
22
1
22
dxxfx)E(X
xfxXE i
N
ii
∫
∑
∞+
∞−
=
=
=
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Variância
Exemplo – v. a. d.:
No caso do lançamento de uma moeda três vezes, pode-se calcular a variância do número esperado de faces, da seguinte forma:
%.7,5757735,05,1
866,0)(
.866,075,0
.75,0)5,1(3)()()(
.3125,15,1375,00125,03375,02375,01125,00
)(.)(.)(
2
2222
2222
4
1
2
1
22
====
===
=−=−==
=+++==×+×+×+×=
=== ∑∑==
XECv
XEXEXV
xfxxfxxEi
ii
N
iii
σσσ
σ
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Variância
Exemplo – v. a. c.:
Voltando ao exemplo anterior:
%7,5252736,0625,1
85696,0)(
.85696.073438,0
.73438,0)625,1(375,3)()()(
.375,3033
41
43
181
341
4181
41
18)(.)(
2
2222
343
0
34
3
0
222
====
===
=−=−==
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡×+×=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡×+×
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +×== ∫∫
+∞
∞−
XECv
XExEXV
xx
dxxxdxxfxxE
σσσ
σ
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Variância
Propriedades:
1. V(X) ≥ 0
2. V(a) = 0V(a) = E[a – E(a)]2 = E(a – a)2 = E(0) = 0.
3. V(b.X) = E[bX – E(bX)]2 = E[bX – bE(X)]2 == E{b[X – E(X)]}2 = E{b2.[X – E(X)]2} == b2.E[X – E(X)]2 = b2.V(X)
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Variância
Propriedades:
4. V(X ± Y) = V(X) + V(Y) ± 2.Cov(XY)
[ ] [ ][ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ][ ]
[ ][ ]
444 3444 21
m
xyCov
YEXEXYEYVXVYEXEYEXEYEXEXYE
YVXVYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXE
YEYXEXEYXEYXEYXV
)()()(2)()()()()()()()()(2
)()()(.)(2)()()()(
)()()()()(222
22
−±+==+−−±
±+=−−±±−+−=−±−
=±−=±−±=±
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Variância
Propriedades:
5. V(X ± Y) = V(X) + V(Y), se X e Y independentes, porque neste caso:
E(XY) = E(X)E(Y).
6. V(a + bX) = b2.V(X)
7. Variância de uma soma de v. a. iid (independentes e identicamente distribuídas):
)(.)(...)()(
)(...)()()...( vezesN
2121
XVNXVXVXV
XVXVXVXXXV NN
=+++=
=+++=+++4444 84444 76
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Covariância
Definição:
Medida de associação entre as variáveis (em termos absolutos)
Covxy = E(XY) – E(X)E(Y)Logo, se X e Y são independentes ⇒ Covxy =0.Mas o contrário nem sempre é verdade
Se Covxy > 0 ⇒ Relação directa entre as variáveis, evoluem no mesmo sentido;
Se Covxy < 0 ⇒ Relação inversa entre as variáveis, evoluem em sentidos opostos. Se uma aumenta, outra diminui e vice-versa.
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Coeficiente de correlação
Definição:
Medida de associação entre as variáveis (em termos relativos)
|rxy| ≤ 1; Logo, se X e Y são independentes ⇒ rxy = 0.Mas o contrário nem sempre é verdade
Em relação ao sinal, avalia-se o sentido da relação;
Em relação à grandeza do valor, avalia-se a força darelação.
[ ][ ][ ] [ ] yx
xyxy
Cov
YEYEXEXE
YEYXEXErσσ
=−−
−−=
22 )(.)(
)()(
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Coeficiente de correlação
Definição – cont.:
Em relação ao sinal:Se rxy > 0 ⇒ relação directa;Se rxy < 0 ⇒ relação inversa.
Em relação à grandeza:Se 0 < |rxy| ≤ 0,5 ⇒ relação fraca;Se 0,5 < |rxy| < 1 ⇒ relação forte;Se |rxy| = 1 ⇒ correlação total.
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos:
Calcule os coeficientes de correlação para as v. a. com as funções de probabilidade e de densidade conjuntas que se seguem:
Função de probabilidade conjunta de X e Y
Y 2 3 4 5
X
0 0,2 0,06 0,05 0
1 0,05 0,1 0,04 0,15
2 0,04 0,06 0,05 0,2
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos:
Função de densidade conjunta de X e Y
⎪⎩
⎪⎨⎧
=≤≤≤≤
21
21 ;
21
21 ,
21
contrário caso 0),(
y-x-
yxf
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos – resolução (v. a. Discretas):
Comecemos por determinar o valor esperado conjuntoE(XY) = ΣΣxy.f(x,y) = 4,23
Y 2 3 4 5 Σ
X
0 0 0 0 0 0
1 0,1 0,3 0,16 0,75 1,31
2 0,16 0,36 0,4 2 2,92
Σ 0,26 0,66 0,56 2,75 4,23
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos – resolução (v. a. Discretas):
Calculemos de seguida os valores esperados marginais de cada variável:
E(X) = Σx.fx(x) = 1,04; E(Y) = Σy.fy(y) = 3,55
Y 2 3 4 5 fx(xi) xi.fx(xi)
X
0 0,2 0,06 0,05 0,00 0,31 0
1 0,05 0,1 0,04 0,15 0,34 0,34
2 0,04 0,06 0,05 0,20 0,35 0,7
fy(yj) 0,29 0,22 0,14 0,35 1 1,04
yj.fy(yj) 0,58 0,66 0,56 1,75 3,55
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos – resolução (v. a. Discretas):
Calculemos E(X2) e E(Y2)
E(X2) = Σx2.fx(x) = 1,74 ; E(Y2) = Σy2.fy(y) = 14,1
Y 2 3 4 5 fx(xi) xi2.fx(xi)
X
0 0,2 0,06 0,05 0,00 0,31 0
1 0,05 0,1 0,04 0,15 0,34 0,34
2 0,04 0,06 0,05 0,20 0,35 1,4
fy(yj) 0,29 0,22 0,14 0,35 1 1,74
yj2.fy(yj) 1,16 1,98 2,24 8,75 14,1
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos – resolução (v. a. Discretas):
Cálculo da covariância:Covxy = E(XY) – E(X).E(Y) = 4,23 – 1,04x3,55 = 0,538.
Variâncias:V(X) = E(X2) – E2(X) = 1,74 – (1,04)2 = 0,6584.V(Y) = E(Y2) – E2(Y) = 14,1 – (3,55)2 = 1,5275.
Covxy = 0,536 > 0 ⇒ X e Y aumentam no mesmo sentido;Covxy = 0,536 > 0,5 ⇒ Э correlação forte entre X e Y.
%.6,53536,05275,16584,0
538,0==
×==
yx
xyxy
Covr
σσ
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos – resolução (v. a. Discretas):
Valor esperado condicional de X:
.44828,029,004,02
29,005,01
29,02,00
)2()2;()2\()2\(
2
0
2
0
=×+×+×=
===== ∑∑== x yx f
xfxYxxfYXE
X f(xi;2) f(xi\Y=2) xi.f(xi\Y=2)
0 0,2 0,6897 0
1 0,05 0,1724 0,17241
2 0,04 0,1379 0,27586
Σ 0,29 1 0,44828
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos – resolução (v. a. Discretas):
Valor esperado condicional de Y:
.85,334,015,05
34,004,04
34,01,03
34,005,02
)1();1()1\()1\(
5
2
5
2
=×+×+×+×=
===== ∑∑== y xy f
yfyXyyfXYE
y 2 3 4 5 Σ
f(1;yj) 0,05 0,1 0,04 0,15 0,34
f(yj\X=1) 0,15 0,29 0,12 0,44 1
yj.f(yj\X=1) 0,29 0,88 0,47 2,21 3,85
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos – resolução (v. a. contínuas):
Comecemos por determinar o valor esperado conjunto
0.22
1.21
21),()(
21
21
21
21
221
21
21
21
21
21
21
21
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
===
∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
∞+
∞−
∞+
∞−
dyxydyxdxy
xydxdydxdyyxxyfXYE
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos – resolução (v. a. contínuas):
Cálculo dos valores esperados marginais de X e de Y:
.02
1)()(
e
.02
1)()(
21
21
21
21
∫∫
∫∫
+
−
∞+
∞−
+
−
∞+
∞−
===
===
ydydyyyfYE
xdxdxxxfXE
y
x
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Parâmetros de vectores aleatórios
Exemplos – resolução (v. a. contínuas):
Cálculo de E(X2) e E(Y2)
V(X) = V(Y) = E(X2) – E2(X) =
61)()(
61
221
221
321
321
21)()(
22
21
21
3
21
21
222
==
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +×
×=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
===
+
−
+
−
∞+
∞−∫∫
XEYE
x
dxxdxxfxXE x