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Dissertação Mestrado em Gestão de Sistemas de Informação Médica Caracterização de uma Fila de Espera de um Serviço Hospitalar – Um Estudo de Caso Mário João Dias Carvalho Leiria, junho de 2015
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Dissertação
Mestrado em Gestão de Sistemas de Informação Médica
Caracterização de uma Fila de Espera de um Serviço
Hospitalar – Um Estudo de Caso
Mário João Dias Carvalho
Leiria, junho de 2015
Dissertação
Mestrado em Gestão de Sistemas de Informação Médica
Caracterização de uma Fila de Espera de um Serviço
Hospitalar – Um Estudo de Caso
Mário João Dias Carvalho
Dissertação de Mestrado realizada sob a orientação do Doutor Rui Filipe Vargas de Sousa Santos, Professor da Escola Superior de Tecnologia e Gestão do Instituto Politécnico de Leiria e coorientação da Doutora Liliana Catarina Rosa Ferreira, Professora da Escola Superior de Tecnologia e Gestão do Instituto Politécnico de Leiria.
Leiria, junho de 2015
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Dedicatória
À Minha Família
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Agradecimentos
Os meus sinceros agradecimentos aos meus orientadores, Doutor Rui Santos e Doutora
Liliana Ferreira, por todo o apoio e aprendizagem que me proporcionaram. Sempre
disponíveis a ajudar-me e a orientar-me da melhor maneira, sem eles sentir-me-ia perdido
neste mundo tão vasto como são as áreas da estatística e da programação.
Agradeço também ao Hospital de Santo André de Leiria por ter fornecido os dados sem os
quais não seria possível realizar este estudo.
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Resumo
Este estudo tem como principal objetivo caracterizar as filas de espera do serviço de
urgência de uma unidade de saúde, mais concretamente do Hospital de Santo André (HSA)
que pertence ao Centro Hospitalar de Leiria.
A caracterização foi feita recorrendo aos dados sobre o percurso dos utentes, durante o ano
de 2014, no que diz respeito à hora de chegada ao hospital, hora de admissão, hora de
triagem, classificação do utente na triagem, hora de consulta, hora de saída, bem como
outras medidas e/ou características que influenciam o tempo que um utente permanece nas
urgências.
Neste sentido, inicialmente fez-se um estudo sobre a teoria das filas de espera e sobre os
diversos modelos existentes. Considerando o número de servidores, as distribuições
estatísticas dos tempos de chegada e tempos de espera, a disciplina das filas e as várias
fases do sistema, adequou-se o modelo apropriado ao caso de estudo.
Implementando a simulação, através do software R, criou-se uma matriz com os dados dos
utentes comparando-os com os dados da base de dados fornecida. Parte essencial da
simulação foi a componente das prioridades que, através do sistema de Triagem de
Manchester, classifica os utentes segundo a sua urgência.
Esta simulação permitiu criar vários cenários e, assim, obter conclusões de modo a
contribuir para um melhor conhecimento do comportamento do sistema e sobre a eficiência
das filas de espera do serviço de urgência do HSA.
Deste modo, o principal objetivo deste estudo será fornecer informação relevante que
permita investigar eventuais melhoramentos de eficiência no funcionamento do serviço,
aumentando, por outro lado, a satisfação dos utentes, no sentido que permitirá encontrar o
equilíbrio entre o custo associado à prestação do serviço e o custo inerente à espera até
obter esse serviço.
Palavras-chave: Modelos de filas de espera; Distribuições estatísticas; Software R;
Simulação; Serviço de urgências; Triagem.
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Abstract
This study aims to characterize the waiting lines of the emergency unit of a health care
facility, the “Hospital de Santo André (HSA)” which belongs to the Hospital of Leiria.
The characterization was done using the hospital’s patient data during 2014, taking into
account the following steps: time of arrival at the hospital, admission time, patients triage
time, patients triage classification, time patient was seen by a doctor, time patient left the
hospital, as well as other factors that influenced the time a patient remained in the
emergency unit.
Initially a study was done about the theory of the existing waiting lines models. Then,
considering the number of servers, the statistical distribution of arrival and waiting times,
the discipline of the queues and the several phases of the system, an appropriate model was
adapted for this case study.
By performing the simulation, using the R software, a matrix with the patients data was
created and compared with the data provided by the database. An essential part of this
simulation was the priority component which, through the triage system of Manchester,
classifies the patients by level of urgency.
This simulation allows the creation of various scenarios and to obtain conclusions that
contribute to a better understanding of the systems behavior and efficiency of the waiting
queues of the emergency services of the HSA.
Thus, the main goal of this study is to provide relevant information that would enable to
investigate potential future efficiency improvements in the operation of the service,
increasing, on the other hand, the satisfaction of the patients, and allow for a balance
between the cost associated in providing the service and the cost of the waiting period
before receiving that service.
Keywords: Queueing models; Statistical distributions; R software; Simulation; Emergency
service; Triage.
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Lista de figuras
Figura 2.1 - Trade-off entre o custo da capacidade do serviço e o custo do tempo de espera ......... 5
Figura 2.2 - Representação básica do sistema de filas de espera ...................................................... 8
Figura 2.3 - Medidas de padrões de chegadas ................................................................................. 10
Figura 2.4 - Distribuição de Poisson com =10 ................................................................................ 11
Figura 2.5 - Função densidade de probabilidade da lei exponencial ............................................... 12
Figura 2.6 - Representação de Fila Única e de Múltiplas Filas ......................................................... 14
Figura 2.7 - Servidor único, fase única ............................................................................................. 18
Figura 2.8 - Múltiplos servidores, uma fila por servidor, fase única ................................................ 18
Figura 2.9 - Servidor único, múltiplas fases (um servidor em cada fase) ......................................... 18
Figura 2.10 - Múltiplos servidores, fase única.................................................................................. 18
Figura 2.11 - Múltiplos servidores, múltiplas fases .......................................................................... 18
Figura 2.12 - Funções do tempo de espera e do custo do serviço consoante o n.º de servidores .. 20
Figura 2.13 - Relação da taxa média de utilização com o tempo de espera .................................... 22
Figura 2.14 - Resumo da terminologia ............................................................................................. 23
Figura 2.15 - Diagrama de transição correspondente ao processo de nascimento e morte ........... 26
Figura 2.16 - Modelo M/M/s ............................................................................................................ 27
Figura 2.17 - Modelo M/M/1 ........................................................................................................... 30
Figura 2.18 - Família de distribuições de Erlang com média constante de 1/µ ............................... 37
Figura 3.1 - Número de utentes por mês ......................................................................................... 51
Figura 3.2 - Média diária de utentes por mês .................................................................................. 51
Figura 3.3 - Número de utentes totais por dia da semana .............................................................. 52
Figura 3.4 - Número de utentes totais por hora .............................................................................. 52
Figura 3.5 - Número de utentes em dias específicos ....................................................................... 53
Figura 3.6 - Número de utentes pela Triagem de Manchester ........................................................ 54
Figura 3.7 - Sistema geral da fila de espera em estudo ................................................................... 55
Figura 3.8 - Matriz T parcial simulada pelo software R .................................................................... 58
Figura 3.9 - Distribuições empíricas (coluna 2 vs. variável Dha) ...................................................... 61
Figura 3.10 - Quantil - Quantil Plot (coluna 2 vs. variável Dha) ....................................................... 62
Figura 3.11 - Comparação das distribuições ( (T[4]-T[2]) vs. variável tet ) ...................................... 64
Figura 3.12 - Comparação das distribuições ( (T[7]-T[4]) vs. variável tec ) ...................................... 66
Figura 4.1 - Variáveis em análise no modelo ................................................................................... 70
Figura 4.2 - Tempo no hospital com vários cenários........................................................................ 72
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Lista de tabelas
Tabela 2.1 - Triagem de Manchester ............................................................................................... 15
Tabela 2.2 - Terminologia usada na especificação do modelo ........................................................ 21
Tabela 2.3 - Terminologia usada nas medidas de desempenho ...................................................... 21
Tabela 2.4 - Notação de Kendall....................................................................................................... 24
Tabela 2.5 - Exemplos de modelos seguindo a notação de Kendall ................................................ 25
Tabela 2.6 - Pressupostos para aplicação dos modelos mais comuns ............................................. 27
Tabela 2.7 - Fórmulas do modelo M/M/s ........................................................................................ 29
Tabela 2.8 - Fórmulas do modelo M/M/s/K ..................................................................................... 32
Tabela 3.1 - Variáveis da Base de Dados .......................................................................................... 47
Tabela 3.2 - Nomes das variáveis depois de convertidas para o formato .csv ................................ 50
Tabela 3.3 - Variáveis e parâmetros utilizados na simulação .......................................................... 56
Tabela 3.4 - Estrutura da matriz T .................................................................................................... 57
Tabela 3.5 - Parâmetros utilizados na simulação ............................................................................. 60
Tabela 3.6 - Algumas medidas das duas amostras (coluna 2 vs. variável Dha) ............................... 62
Tabela 3.7 - Algumas medidas das duas amostras ( (T[4]-T[2]) vs. variável tet ) ............................. 65
Tabela 3.8 - Algumas medidas das duas amostras ( (T[7]-T[4]) vs. variável tec) ............................. 66
Tabela 4.1 - Alterações em ns (número de servidores na admissão) .............................................. 70
Tabela 4.2 - Alterações em nst (número de servidores na triagem) ................................................ 71
Tabela 4.3 - Alterações em nsc (número de servidores na consulta) .............................................. 71
Tabela 4.4 - Tempos de espera depois da triagem (parâmetros iniciais) ........................................ 73
Tabela 4.5 - Tempos de espera depois da triagem (parâmetros eficientes).................................... 73
Tabela 4.6 - Número de utentes por triagem .................................................................................. 73
Tabela 4.7 - Parte da matriz gerada através de 100 sequências ...................................................... 74
Tabela 4.8 - Resumo da matriz gerada com 100 sequências ........................................................... 75
Tabela 5.1 - Parâmetros ideais ......................................................................................................... 79
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Lista de siglas
ATS Australasian Triage Scale
CTAS Canadian Triage and Acuity Scale
ECDF Empirical Cumulative Distribution Function
ESI Emergency Severity Index
FCFS First Come First Served
FDP Função Densidade de Probabilidade
FIFO First In First Out
GD Disciplina Geral
HSA Hospital de Santo André
IID Independente e Identicamente Distribuídos
LCFS Last Come First Served
LIFO Last In First Out
METTS Medical Emergency Triage and Treatment System
MTS Manchester Triage Scale
NA Not Available
NPRP Nonpreemptive Priority Models
ns Número de servidores na admissão
nsc Número de servidores nas consultas
nst Número de servidores na triagem
PRP Preemptive Priority Models
SIRO Service In Random Order
Tc Taxa média de chegada dos clientes à admissão
tea Média do tempo de espera para a admissão
tec Média do tempo de espera para a consulta
tet Média do tempo de espera para a triagem
Ts Taxa média de serviço de um servidor da admissão
tsa Média do tempo de serviço da admissão
Tsc Taxa média de serviço de um servidor da consulta
tsc Média do tempo de serviço da consulta
Tst Taxa média de serviço de um servidor da triagem
tst Média do tempo de serviço da triagem
xvi
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Índice
DEDICATÓRIA ...................................................................................................................III
AGRADECIMENTOS ........................................................................................................... V
RESUMO ............................................................................................................................ VII
ABSTRACT .......................................................................................................................... IX
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................... XI
LISTA DE TABELAS ....................................................................................................... XIII
LISTA DE SIGLAS ............................................................................................................. XV
ÍNDICE .............................................................................................................................. XVII
1. INTRODUÇÃO .............................................................................................................1
2. REVISÃO DA LITERATURA .....................................................................................3
2.1. HISTÓRIA DAS FILAS DE ESPERA ............................................................................. 3
2.2. TEORIA DAS FILAS DE ESPERA ................................................................................. 4
2.2.1 O sistema de filas de espera .............................................................................. 7
2.2.1.1 População ou Fonte ........................................................................................... 8
2.2.1.2 Chegadas .............................................................................................................. 9
2.2.1.3 Fila de espera .................................................................................................... 13
2.2.1.3.1 Triagem de Manchester ........................................................................... 15
2.2.1.4 Servidor ............................................................................................................... 16
2.3. MEDIDAS DE DESEMPENHO DE UM SISTEMA DE FILAS DE ESPERA ....................... 19
2.3.1 Terminologia aplicada às medidas de desempenho ............................. 20
2.4. MODELOS DAS FILAS DE ESPERA ........................................................................... 23
2.4.1 Notação de Kendall ............................................................................................ 24
2.4.2 Processo de nascimento e morte .................................................................. 25
2.4.3 Modelo M/M/s ..................................................................................................... 27
2.4.4 Modelo M/M/1 .................................................................................................... 30
2.4.5 Modelo M/M/s/K ............................................................................................... 31
2.4.6 Modelo M/M/1/K ............................................................................................... 32
2.4.7 Modelo M/M/ ................................................................................................... 33
2.4.8 Modelos que envolvem distribuições não exponenciais ..................... 34
2.4.8.1 Modelo M/G/1 ..................................................................................................... 35
2.4.8.2 Modelo M/D/1 ..................................................................................................... 35
2.4.8.3 Modelo M/Ek/1 ................................................................................................... 36
2.4.9 Modelos sem entradas com distribuição de Poisson ............................ 38
2.4.10 Modelos com disciplinas de prioridade ..................................................... 38
2.4.10.1 Prioridades “não absolutas” (nonpreemptive priorities) ...................... 40
2.4.10.2 Prioridades “absolutas” (preemptive priorities) ..................................... 41
xviii
2.5. REDES DE FILAS DE ESPERA ................................................................................... 42
2.6. CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE AS FILAS DE ESPERA ............................................ 43
3. METODOLOGIA ....................................................................................................... 45
3.1. DESCRIÇÃO DAS VARIÁVEIS ................................................................................... 45
3.2. ALTERAÇÕES EFETUADAS NA BASE DE DADOS ...................................................... 46
3.3. RESULTADOS OBTIDOS DA BASE DE DADOS .......................................................... 50
3.4. SIMULAÇÃO ........................................................................................................... 54
3.4.1 Comparação das distribuições da hora de início da admissão ..........58
3.4.2 Comparação das distribuições do tempo de espera para triagem ...63
3.4.3 Comparação das distribuições do tempo de espera para consulta .65
4. ANÁLISE DE RESULTADOS .................................................................................. 69
4.1. ALTERAÇÃO DO NÚMERO DE SERVIDORES ............................................................ 70
4.2. EFICIÊNCIA APÓS A TRIAGEM ................................................................................ 72
4.3. ESTABILIDADE DO MODELO .................................................................................. 73
5. CONCLUSÃO .............................................................................................................. 77
5.1. TRABALHO FUTURO .............................................................................................. 80
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................. 81
ANEXO I – CÓDIGO DA SIMULAÇÃO........................................................................... 85
ANEXO II – CÓDIGO DA COMPARAÇÃO DAS DISTRIBUIÇÕES ........................... 89
ANEXO III – CÓDIGO DOS RESULTADOS .................................................................. 93
1
1. Introdução
Com um papel cada vez mais importante no Sistema Nacional de Saúde surgem os serviços
de urgência, onde os tempos de espera são um fator importante na satisfação dos utentes.
O serviço de urgência existe de modo a proporcionar aos utentes um atendimento rápido
em situações de potencial risco para a saúde. Uma urgência é qualquer situação cuja
demora de diagnóstico ou de tratamento apresente grave risco ou prejuízo para a vítima,
como, por exemplo, traumatismos graves, intoxicações agudas, queimaduras, crises
cardíacas ou respiratórias. Os utentes em situações graves necessitam de atendimento mais
rápido em relação aos menos graves, visto que uma espera prolongada pode comprometer
o seu estado de saúde. É então necessário que exista um método que permita classificar a
prioridade clínica dos pacientes, por exemplo, o Sistema de Triagem de Manchester.
Após efetuar o registo de entrada no serviço de urgência o utente é encaminhado para um
gabinete de triagem, onde é submetido a uma observação prévia, com identificação de um
conjunto de sintomas ou sinais que permitem atribuir um grau de prioridade clínica no
atendimento, bem como um tempo de espera máximo recomendado até à primeira
observação médica.
Num serviço de urgência, um utente encontra-se sujeito a tempos de espera, sendo estes
constantemente motivos de reclamações devido às esperas prolongadas. Um serviço de
urgência em que os utentes são atendidos rapidamente é considerado um bom serviço de
urgência [5].
O objetivo principal da teoria das filas de espera é otimizar o desempenho de um sistema,
de modo a reduzir os seus custos operacionais e a aumentar a satisfação do utente [17]. O
conhecimento de alguns parâmetros no estudo de filas de espera, tais como o tempo médio
de chegadas de utentes, o tempo de espera até receberem assistência, o número de utentes
que se encontram em simultâneo à espera de serem atendidos e a taxa de ocupação de cada
recurso, permite, por um lado, quando os recursos são limitados, determinar qual o
conjunto de regras de prioridade que maximizam as taxas de atendimento e, por outro,
dimensionar os recursos de modo a conter os tempos de espera e o número de utentes
dentro de limites máximos aceitáveis.
2
A solução de problemas desta natureza é normalmente encontrada procurando, através da
simulação, o melhor conjunto de regras e a melhor dimensão dos recursos. A simulação
pode desempenhar um papel muito importante neste contexto. Em vez de procurar avaliar
diretamente a performance do serviço de urgência, pode-se simulá-lo, utilizando
distribuições de probabilidade que permitem gerar aleatoriamente vários eventos que
ocorrem nas diversas unidades que o integram (admissão, triagem e consulta) [9, p. 1085].
Como se compreende, seria muito difícil realizar experiências diretamente num sistema de
serviço de urgências. Aumentar ou diminuir os funcionários de serviço, pondo em risco a
própria saúde dos utentes, ou alterar os tempos de serviço de modo a analisar o
comportamento do sistema não é, de todo, viável. Então, uma forma de contornar este
problema, passa pela construção de um modelo baseado nas principais características de
um serviço de urgência e de realizar experiências sobre ele, registando os resultados da
simulação.
Recorrendo à simulação de filas de espera, consegue-se demonstrar o comportamento
típico das filas de espera de um serviço de urgências e esclarecer os responsáveis clínicos
sobre as variáveis que o influenciam.
Este documento está estruturado em 5 capítulos. No capítulo 2, é apresentado o estado da
arte com uma revisão da literatura especializada da área, procurando analisar, de um modo
geral, os diversos modelos das filas de espera, conciliando-os com a realidade existente nas
unidades de saúde. No capítulo 3, explica-se a metodologia utilizada, com especial
incidência nas características da simulação implementada através do software R. São
também comparadas as distribuições estatísticas entre o modelo de simulação e a base de
dados real, de modo a verificar se as duas amostras seguem a mesma distribuição.
Procurar-se, ainda, encontrar os valores mais adequados para os parâmetros da simulação
de modo a ficar com um modelo minimamente aceitável, tendo em conta a comparação
que se faz com a base de dados real. No capítulo 4, criam-se diversos cenários, alterando
valores dos parâmetros do modelo, permitindo, assim, testar a eficiência do sistema. Será
também testada a estabilidade do modelo e apresentam-se os resultados e as respetivas
análises. Por fim, no capítulo 5, apresentam-se as conclusões, reflexões finais e o trabalho
a desenvolver no futuro.
3
2. Revisão da literatura
Neste capítulo, apresenta-se uma revisão bibliográfica com o intuito de clarificar as ideias
relacionadas com o tema principal desta dissertação, as Filas de Espera, procurando
analisar os diversos estudos e, sempre que possível, conciliar a teoria com a realidade
existente nas unidades de saúde. Assim, começa-se por referir um pouco da história das
filas de espera, seguindo-se uma análise mais profunda acerca da teoria das filas de espera,
com especial incidência nos modelos utilizados em diversos sistemas.
2.1. História das Filas de Espera
Uma fila de espera apresenta um comportamento dinâmico e mal compreendido pela
maioria das pessoas. Este comportamento foi objeto de estudo e teorização por parte de
matemáticos ao longo do século XX, sobretudo a partir dos anos 40. As leis matemáticas
descritas eram contudo muito complexas, o que tornou esta matéria tratável apenas por
especialistas. Nos anos 80-90 com o desenvolvimento das técnicas de simulação, foi
possível descrever de forma muito mais simples e compreensível o comportamento das
filas de espera.
Agner Krarkup Erlang (Janeiro 1, 1878-Fevereiro 3, 1929) foi o matemático e engenheiro
dinamarquês que idealizou pela primeira vez os conceitos de Engenharia de Tráfego e da
Teoria das Filas. A teoria das filas foi desenvolvida para fornecer modelos matemáticos
que prenunciam o comportamento de diversos sistemas que tentam fornecer um
atendimento adequado às necessidades dos clientes.
Foi quando Erlang trabalhava na empresa “Copenhagen Telephone Company”, em 1904,
que teve que resolver um clássico problema de determinar quantos circuitos são
necessários para fornecer um atendimento aceitável nas chamadas telefónicas. O seu
raciocínio ajudou-o a perceber que a matemática resolveria outro problema, que seria,
quantos operadores de telefone são necessários para atender um número de chamadas
telefónicas determinadas previamente. Nessa época, a maioria das centrais telefónicas
usava trabalhadores como operadores para gerir as chamadas telefónicas, que ligavam os
4
fios telefónicos nas tomadas elétricas das placas com circuitos. Com o seu trabalho, Erlang
pretendia ajudar a determinar os requisitos de capacidade que o sistema telefónico deveria
ter para assegurar um nível de serviço adequado à procura. O problema colocava-se porque
essa capacidade do sistema não deveria ser tão grande ao ponto de originar muita
ociosidade no sistema, nem tão pequena ao ponto de originar constantes
congestionamentos, considerando-se ainda todo o investimento financeiro envolvido.
Erlang trabalhou no desenvolvimento da área de tráfego nos sistemas de chamadas
telefónicas e publicou o seguinte [1]:
Em 1909, “The Theory of Probabilities and Telephone Conversations” onde provou
que a distribuição de Poisson se aplica ao tráfego aleatório de chamadas
telefónicas.
Em 1917, “Solution of some Problems in the Theory of Probabilities of
Significance in Automatic Telephone Exchanges” que inclui a sua fórmula clássica
de tempo de espera e tempo perdido.
Existiam avanços nas aplicações telefónicas mas na teoria das filas não houve um avanço
semelhante. Foi no fim da 2.ª Guerra Mundial e na década dos anos 50 que os estudos de
Erlang foram aplicados em problemas mais gerais, incidindo também na aplicação de filas
de espera em negócios, fazendo com que as aplicações em áreas para além dos sistemas de
telefone começassem a evoluir. Posteriormente, a Teoria das Filas de Espera foi aplicada
em múltiplos setores de atividade, como a engenharia de produção, a banca, a exploração
de linhas aéreas e as emergências hospitalares.
2.2. Teoria das Filas de Espera
Gerir eficazmente um serviço de urgência de cuidados de saúde, o qual se caracteriza pelo
desconhecimento do momento exato em que um paciente vai aparecer e do tipo e
quantidade de recursos que irá necessitar, passa pelo conhecimento e compreensão dos
fenómenos de filas de espera.
Segundo um estudo coordenado por Cabral, M. et al. (2002) [4], as “demoras” são o
principal motivo (em igualdade com a “má assistência/erro médico”) de reclamações dos
5
utentes contra os serviços públicos de saúde, em Portugal. No mesmo estudo, o tempo de
espera por uma consulta (no centro de saúde) e o tempo de espera antes de ser atendido foi
considerado por 43% dos utentes inquiridos como sendo mau ou muito mau.
A espera por um serviço ocorre sempre que o número de pessoas que pretendem um
serviço excede o número de pessoas que o sistema consegue atender de imediato.
Organizações prestadoras de serviços lidam constantemente com filas de espera, portanto,
esta é uma fonte de preocupação importante na qualidade do serviço que prestam.
Uma gestão de filas eficiente tem como um dos seus objetivos principais a redução do
congestionamento. Um Serviço de Saúde que se preocupe com o tempo de espera a que os
utentes estão sujeitos dará, certamente, um passo em frente na melhoria da qualidade dos
serviços que presta.
Existem filas de espera nas urgências, na marcação de consultas de especialidade (nos
hospitais), na marcação de consultas de medicina geral e familiar (nos centros de saúde),
na marcação de intervenções cirúrgicas, nos centros de atendimento de urgência, nos
centros de vacinação, enfim, num inúmero conjunto de situações. E porquê a existência de
longas filas de espera nestes casos? O problema central das filas de espera deriva do
trade-off (situação em que há conflito de escolha) entre o custo de prestar um serviço mais
rápido e o custo da espera (ver Figura 2.1).
As filas de espera existem devido, em grande parte, à insuficiente capacidade do serviço
que, por sua vez, existe devido ao custo elevado a considerar pelo aumento dessa mesma
Custo do tempo de espera
Cu
sto
tota
l
Custo da capacidade do serviço
Custo total
Capacidade do serviço
Custo total mínimo
Nível de serviço baixo
Nível de serviço ótimo
Nível de serviço elevado
Figura 2.1 - Trade-off entre o custo da capacidade do serviço e o custo do tempo de espera
6
capacidade. Por outro lado, o trade-off representado na Figura 2.1, adaptada de [9, p. 912],
nem sempre é considerado, sendo apenas avaliado o custo do serviço isoladamente, o que
se repercute numa capacidade de serviço diminuta, criando filas de espera.
Analisando a Figura 2.1, com a capacidade de serviço mínima, o custo do tempo de espera
está no máximo. À medida que a capacidade de serviço vai aumentando, existe uma
redução do número de utentes na fila e do seu tempo de espera, o que diminui o custo do
tempo de espera. Em situações de trade-off é necessário encontrar o ponto de equilíbrio, ou
seja, qual a capacidade do serviço que minimiza o custo total e que corresponde ao
somatório do custo da capacidade do serviço com o custo do tempo de espera.
Enquanto que o custo por acrescentar mais capacidade ao sistema é relativamente simples
de quantificar (mais recursos humanos, mais equipamento, mais instalações, entre outros),
o custo do tempo de espera é muito difícil de quantificar. Como quantificar o tempo
perdido por um utente numa fila de espera para marcação de uma consulta com o seu
médico de família? Como quantificar o tempo que um utente fica à espera de uma
ambulância, quando a sua vida está em risco? Como quantificar o tempo que um utente
fica à espera para ser observado nas urgências, enquanto o seu estado de saúde se pode
degradar?
Dada a dificuldade de quantificar o custo da espera, a resolução do problema das filas de
espera com base no custo total não é exequível.
Neste capítulo serão, assim, abordados modelos quantitativos para a gestão de filas de
espera, que indicam o desempenho esperado de um sistema de filas de espera, não sendo
necessário quantificar o custo da espera.
Para além destes modelos, existe um conjunto de sugestões que pode ser bastante útil na
gestão de filas de espera [6] e que também não poderia deixar de ser contemplado neste
capítulo:
Determinar o tempo de espera aceitável pelos utentes e estabelecer objetivos
operacionais de acordo com esse tempo;
Distrair a atenção dos utentes enquanto esperam. Música, televisão, vídeo, revistas
ou outro tipo de entretenimento pode ajudar os utentes a distraírem-se do facto de
estarem à espera;
7
Informar os utentes do tempo de espera previsto. Este aspeto é particularmente
importante quando o tempo de espera é mais longo do que o normal. É desejável
informar o utente do porquê desta situação e de quais os esforços que estão a ser
efetuados para resolver essa questão;
Os colaboradores que não estão no atendimento devem estar fora do campo visual
dos utentes. Os utentes, ao constatarem que existem mais recursos em determinado
serviço que poderiam potencialmente estar no atendimento, mas que estão a realizar
outras atividades, ficam ainda mais insatisfeitos com o tempo de espera, pois
pensam que este poderia ser facilmente reduzido;
Segmentar os utentes. Se existirem grupos de situações/utentes cujo tempo de
atendimento é semelhante e é notoriamente mais rápido do que outro(s) grupo(s) de
situações/utentes, então esse grupo deve ter uma fila dedicada, para que não tenham
de esperar por utentes mais morosos;
Formar os colaboradores para serem simpáticos. A simpatia de quem serve o utente
pode ajudar a atenuar/ultrapassar o sentimento negativo do utente provocado por
uma longa espera;
Encorajar os utentes a solicitar o serviço em períodos de tempos de procura baixa.
Informar os utentes sobre quais os períodos do dia com menos e com mais
afluência. Esta medida pode atenuar as variações acentuadas de afluência de utentes
ao longo do dia em alguns serviços.
A aplicação dos modelos analíticos em simultâneo com a aplicação de algumas (ou todas)
das sugestões indicadas permite, com certeza, uma gestão mais eficaz do problema das
filas de espera.
2.2.1 O sistema de filas de espera
Basicamente, um modelo de fila de espera representa um sistema de serviço onde um
cliente se dirige a um ou mais servidores para ser atendido [8]. Se houver um servidor
livre, o cliente poderá ser atendido de imediato, mas se todos estiverem ocupados terá de
esperar numa fila pelo atendimento.
8
A Figura 2.2 representa um sistema básico de filas de espera com alguns dos seus
elementos principais: a chegada de clientes ao sistema, a fila de espera e o servidor (quem
presta o serviço). A disciplina da fila, a capacidade do sistema, o número de servidores e o
número de fases que compõem o sistema são outras das características importantes de um
sistema de filas de espera [7].
Os clientes que requerem um determinado serviço chegam de uma determinada população
e ao entrarem no sistema de filas de espera juntam-se à fila. Cada membro da fila de espera
é selecionado para ser servido de acordo com uma regra, denominada por disciplina da fila.
O serviço requerido é executado pelo servidor, após o qual o cliente sai do sistema de filas
de espera.
Gerir um sistema de filas de espera é um processo complexo devido, entre outros motivos,
à incerteza associada à chegada dos clientes ao sistema (quantos clientes vão chegar e a
que ritmo) e ao servidor (tempo que demora a prestar o serviço).
Sendo as “Chegadas dos clientes” e o “Tempo do servidor” duas variáveis, em princípio,
aleatórias, é necessário investigar qual a distribuição estatística que essas variáveis
seguem. Este é o ponto de partida para a utilização de modelos analíticos ou técnicas de
simulação para auxiliar a gestão de filas de espera.
De seguida, serão aprofundadas as características principais de um sistema de filas de
espera. A abordagem será feita em termos gerais, mas quando se fizer referência ao caso
específico da urgência hospitalar a palavra “clientes” será substituída pela palavra
“utentes”.
2.2.1.1 População ou Fonte
Os clientes que vão chegar ao sistema são provenientes de uma dada população. Uma das
características da fonte ou população é o seu tamanho que pode ser finito ou infinito, ou
seja, se existe limite ou não de número de potenciais clientes.
Chegada de
clientes Fila
Servidor
Clientes
servidos
População Sistema de Fila de Espera
Figura 2.2 - Representação básica do sistema de filas de espera
9
Uma população infinita significa que não existem restrições de chegada, isto é, quando a
probabilidade de ocorrer uma nova chegada não é influenciada pelo número de clientes que
já se encontram no sistema, o que poderá implicar que a chegada de clientes pode
ultrapassar a capacidade do sistema, a qualquer altura.
Uma fonte é finita quando o número de clientes admitidos no sistema é limitado. Neste
caso, o modelo analítico é mais complicado, pois o número de clientes dentro do sistema
(na fila ou a ser servidos) afeta o número de clientes fora do sistema. Este modelo deve ser
adotado sempre que o ritmo a que os clientes são gerados pela fonte depende
significativamente do número de clientes que estão dentro do sistema [17].
A análise do sistema torna-se geralmente mais simples quando se considera uma população
infinita. Na prática, as situações em que há um conjunto muito numeroso de clientes
potenciais podem ser modelados como tal. Um exemplo de uma população infinita, na
prática, é a chegada dos utentes ao serviço de urgências de uma unidade hospitalar. Por
uma questão de simplificação de cálculos, na maioria dos casos, considera-se a população
infinita, exceto naqueles em que o número de clientes que pode chegar ao sistema, num
dado intervalo de tempo, depende significativamente do tamanho da população nesse
intervalo. Por exemplo, numa situação com 10 máquinas, a probabilidade de se avariar
uma máquina na próxima hora depende do número de máquinas que estejam a funcionar.
2.2.1.2 Chegadas
Para modelar um sistema de filas de espera é necessário caracterizar a chegada dos clientes
ao sistema. A dimensão da chegada pode ser unitária, quando os clientes chegam um a um,
ou em grupo. Neste caso, deve ser determinada a distribuição de probabilidade que
descreve o tamanho do grupo [7]. O processo de chegada é a descrição de como os clientes
procuram o serviço. O padrão das chegadas pode ser descrito pelo tempo entre duas
chegadas consecutivas (tempo entre chegadas) ou pelo número de chegadas por unidade de
tempo (distribuição das chegadas) [1]. Pode ser controlável, por exemplo quando existem
inscrições em dias fixos, ou incontrolável, como é o caso da chegada de utentes ao serviço
de urgência de um hospital. O tempo decorrido entre chegadas consecutivas é definido por
inter-arrival time [9, 16].
Se os clientes chegam em intervalos fixos de tempo, o processo de chegadas é dito
constante ou determinístico. Por outro lado, as chegadas são aleatórias no tempo quando os
10
intervalos de tempo entre chegadas sucessivas não podem ser previstos. Neste caso, as
chegadas formam um processo estocástico, sendo necessário usar as distribuições de
probabilidade. Um processo estocástico é um modelo de probabilidade que descreve a
evolução de um sistema aleatório no tempo [13].
Num caso como no outro, interessa sobretudo a taxa de chegada que é o número de clientes
que, em média, chega ao sistema por unidade de tempo, tal como ilustrado no exemplo da
Figura 2.3, adaptada de [17, p. 352]. Esta taxa, habitualmente denotada por λ, pode ser
independente do número de clientes existente no sistema ou dependente deste. Neste
último caso, se o número de clientes for, por exemplo, n, escreve-se λn.
No exemplo da Figura 2.3, durante uma hora (14:00-15:00), houve 10 chegadas. Para
retirar conclusões mais fiáveis seria necessário obter mais dados, registados durante mais
dias e, preferencialmente, no mesmo intervalo de tempo. Considerando que estes dados se
verificam também com outros registos, então, a taxa média de chegada é de 10 clientes por
hora. Como o espaço existente entre as várias chegadas (tempo entre chegadas ou
inter-arrival time) não é uniforme, provavelmente será aceitável considerar-se que se está
na presença de uma distribuição exponencial negativa, sendo comum designar esta
distribuição apenas por distribuição exponencial, termo que se usará daqui em diante.
Se dividirmos o número médio de clientes que chegaram naquele período de tempo, que
neste caso foi de 60 minutos, obtém-se a média, por exemplo, da distribuição exponencial
que é o tempo médio entre as chegadas. Então, o tempo médio entre chegadas será 60/10 =
6 minutos. Concluindo o exemplo, a taxa média de chegadas pode ser convertida em tempo
médio entre chegadas, ou seja, a taxa média de chegadas de 10 clientes/hora corresponde a
um tempo entre chegadas de 6 minutos. Por outras palavras, um cliente chega, em média,
de 6 em 6 minutos, perfazendo a chegada de 10 clientes por hora.
Por ser mais prática de usar do que a distribuição exponencial, as chegadas podem ser
caracterizadas pela distribuição de Poisson. Esta, representada na Figura 2.4 com =10, é
Tempo entre chegadas (Inter-arrival time)
14:00 H 15:00 H Figura 2.3 - Medidas de padrões de chegadas
11
uma distribuição discreta que mostra a probabilidade associada a cada número de chegadas
durante um determinado período de tempo, onde a média e a variância são iguais [17].
As taxas de chegada são, normalmente, probabilísticas e os modelos usam, comummente,
uma distribuição determinística (quando as chegadas são especificadas num período de
tempo ou os tempos entre chegadas são constantes), exponencial (como modelos de
distribuição para tempos entre chegadas ou tempos de serviço), Poisson (como distribuição
do número de chegadas durante um período específico de tempo), Erlang (como modelos
de distribuição de tempos entre chegadas ou tempos de serviço) e variantes destas
distribuições [1].
Ao caracterizar um modelo de filas de espera, quanto à probabilidade das chegadas, é
comum partir do pressuposto que as chegadas seguem um processo de Poisson. O nome
deve-se ao facto de que o número de chegadas num determinado intervalo de tempo seguir,
precisamente, uma distribuição de Poisson [8].
Uma característica do processo de Poisson é que o tempo entre chegadas consecutivas
(inter-arrival time) tem uma distribuição exponencial, sendo ainda caracterizada pelo facto
de o tempo da próxima chegada ser independente de quando ocorreu a última. Por outras
palavras, se as chegadas seguem o processo de Poisson, o número de chegadas em
qualquer intervalo de tempo é independente do número de chegadas de qualquer outro
intervalo de tempo disjunto. Por outro lado, se puder ser demonstrado analiticamente que
os clientes chegam de forma independente uns dos outros, o processo de chegadas é um
Figura 2.4 - Distribuição de Poisson com =10
12
processo de Poisson. Por este motivo, o processo de Poisson é considerado aleatório e é
comum assumir que o número de chegadas por unidade de tempo pode ser estimado pela
distribuição de probabilidade de Poisson, cuja expressão se apresenta a seguir [8].
𝑃(𝑛) =𝑒−𝜆.𝜆𝑛
𝑛!, 𝑛 = 0,1,2, … onde
A distribuição exponencial e a distribuição de Poisson estão relacionadas, referindo-se a
primeira ao tempo entre dois acontecimentos consecutivos e a segunda ao número de
acontecimentos por unidade de tempo.
A função densidade de probabilidade (f.d.p) de uma variável aleatória contínua T, que
pode representar o tempo entre chegadas ou o tempo de serviço, e que segue uma lei
exponencial de parâmetro , é dada por
𝑓𝑇(𝑡) = {𝜆𝑒−𝜆𝑡, 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 00 , 𝑠𝑒 𝑡 < 0
,
estando um exemplo do seu gráfico representado na Figura 2.5.
Resumindo, ao se considerar que o processo de Poisson é um modelo razoável para as
chegadas num sistema de serviço específico, será importante considerar as suas três
propriedades que o definem [8]:
A probabilidade de chegar mais que um cliente num intervalo muito curto é quase
nula;
P(n) é a probabilidade de n chegadas
n é o número de chegadas
é a média de chegadas
f(t)
t
Figura 2.5 - Função densidade de probabilidade da lei exponencial
13
O número de clientes que chegam num intervalo de tempo é independente do
número de clientes que chega em qualquer outro intervalo de tempo disjunto do
primeiro;
A probabilidade de um cliente chegar num intervalo muito curto é proporcional à
amplitude desse intervalo.
Uma outra característica do padrão de chegada é a maneira como o padrão muda com o
tempo, ou seja, se o padrão de chegada sofre ou não alterações ao longo do tempo. Se as
chegadas forem independentes do tempo, quer dizer que a distribuição de probabilidade
que descreve o comportamento de chegada no sistema é independente do tempo,
designando-se por um padrão de chegada estacionário (steady state). Caso exista
dependência do tempo, chama-se não estacionário (transient) [7].
A reação dos clientes ao entrarem no sistema também é importante, de maneira que, um
cliente pode decidir esperar sem problema, independentemente do tamanho da fila, ou, por
outro lado, o cliente pode decidir não entrar no sistema, caso a fila esteja muito grande.
Assim, um cliente conhecido como impaciente é aquele que desiste de esperar ou
simplesmente decide não entrar na fila se esta for muito grande. Um cliente paciente é
aquele que permanece na fila até ser atendido. Nos sistemas onde existem duas ou mais
filas, os clientes poderão ter um comportamento alternativo, optando por mudar de fila na
esperança de ser atendido mais rapidamente noutro servidor.
No caso da urgência hospitalar, os utentes chegam independentemente uns dos outros,
individualmente e o ritmo das chegadas não é constante, mas sim variável, aleatório,
sendo, por isso, um processo estocástico. A observação e registo das chegadas permite
avaliar qual a distribuição estatística que esta variável segue. Este registo pode ser feito
através do número de utentes que chegam por unidade de tempo ou através do tempo entre
chegadas sucessivas [5]. A reação dos utentes perante a fila de espera é, normalmente,
paciente, ou seja, juntam-se à fila e esperam até serem atendidos.
2.2.1.3 Fila de espera
A fila de espera é constituída pelos clientes à espera de serem atendidos (não inclui o(s)
cliente(s) em atendimento). Ela pode ser caracterizada quanto ao comprimento, número e
disciplina da fila.
14
O comprimento da fila está relacionado com a capacidade do sistema e pode ter uma
dimensão finita, por exemplo, devido a limitação física do espaço, podendo acolher apenas
um número limitado de clientes ou pode ter dimensão infinita, quando não existe uma
limitação ao tamanho da fila de espera.
Quanto ao número de filas de espera, pode existir uma fila única (fila simples) para um
único servidor ou mesmo que o servidor tenha vários postos de atendimento (múltiplos
servidores), ou podem existir múltiplas filas, sendo uma fila por posto de atendimento,
onde cada conjunto fila/posto de atendimento constitui um sistema separado de fila de
espera. Neste caso, é usual repartir as chegadas igualmente pelas várias filas. Estes casos
estão representados na Figura 2.6.
A disciplina da fila refere-se ao critério utilizado para definir a ordem de atendimento dos
clientes que chegam ao sistema. A disciplina mais comum que pode ser observada na vida
diária é FCFS (First Come First Served) ou FIFO (First In First Out), ou seja, o primeiro a
chegar é o primeiro a ser servido, respeitando a ordem de chegada. Contudo, existem
outras disciplinas, tais como, LCFS (Last Come First Served) ou LIFO (Last In First Out),
aplicável, por exemplo, em sistemas de controlo de stocks, onde o item mais recente é mais
fácil de ser servido, e ainda outras disciplinas baseadas em esquemas de prioridade, tais
Fila única com um servidor Fila única com servidores múltiplos
Múltiplas filas
Figura 2.6 - Representação de Fila Única e de Múltiplas Filas
15
como situações de reservas, idade ou emergências. A disciplina da fila pode ainda ser
aleatória onde não existe nenhuma regra para que o cliente seja atendido.
No caso de um serviço de urgência hospitalar, não existe limite para a dimensão da fila, ou
seja, existe a possibilidade de fila infinita. A disciplina da fila é, normalmente, FCFS,
podendo, no entanto, ser estabelecida uma ordem de prioridade baseada no estado de saúde
do utente, que indique que os utentes com determinadas características podem ir
diretamente para o início da fila, aplicando, por exemplo, o sistema de triagem de
Manchester, que se explica, resumidamente, no tópico seguinte.
2.2.1.3.1 Triagem de Manchester
A triagem é um sistema de prioridades, existente nas urgências hospitalares, que tem como
objetivo o atendimento rápido de situações de risco para a saúde, sendo que quanto mais
grave for a situação clínica do utente mais rapidamente ele deve ser atendido.
O sistema de triagem de Manchester utiliza um protocolo clínico que permite classificar a
gravidade da situação de cada utente que recorre ao serviço de urgência. Após o utente
efetuar a sua inscrição será encaminhado para um gabinete, onde será atendido por um
profissional de saúde que lhe fará algumas perguntas sobre o motivo da sua vinda. Após
uma observação rápida, objetiva e sistematizada é atribuída, ao utente, uma pulseira com
uma determinada cor, em função da gravidade da doença.
Existem 5 categorias, representadas por 5 cores, vermelho, laranja, amarelo, verde e azul,
cada uma representando um grau de gravidade e o tempo ideal em que o doente deverá ser
atendido, tal como se mostra na Tabela 2.1.
Escala de Triagem de Manchester
Nº Cor Situação Tempo alvo (minutos)
1 Vermelho Emergente 0
2 Laranja Muito urgente 10
3 Amarelo Urgente 60
4 Verde Pouco urgente 120
5 Azul Não urgente 240
Tabela 2.1 - Triagem de Manchester1
1 Fonte: Grupo Português de Triagem (http://www.grupoportuguestriagem.pt).
16
Se o utente for considerado emergente (vermelho) entrará de imediato no balcão a que se
destina. Se for considerado muito urgente (laranja) ou urgente (amarelo) entrará para uma
sala de espera interna onde o médico o chamará para ser observado e tratado. Se for
considerado pouco urgente (verde) ou não urgente (azul) aguardará na sala de espera a sua
vez, que será quando não houver doentes mais graves para serem tratados.
A triagem de Manchester é um sistema baseado em fluxogramas. A primeira etapa diz
respeito ao profissional de saúde que identifica a queixa principal do utente e a partir de 52
fluxogramas escolhe o mais adequado. Em seguida é desenvolvida uma entrevista
estruturada e assinalada uma categoria que irá do nível 1 ao 5.
Refira-se também que existem diversos tipos de triagem. Escalas de triagem como a CTAS
(Canadian Triage and Acuity Scale), ATS (Australasian Triage Scale), ESI (Emergency
Severity Index), METTS (Medical Emergency Triage and Treatment System) e a MTS
(Manchester Triage Scale) são amplamente divulgadas e instaladas nos diversos
departamentos de emergência/urgência de todo o mundo. Em Portugal o sistema utilizado é
a escala de triagem de Manchester.
2.2.1.4 Servidor
Relativamente à entidade que presta o serviço, o servidor, interessa conhecer o tempo que
demora a efetuar o mesmo. O tempo de serviço é definido como sendo o tempo decorrido
desde que o serviço foi solicitado até que este seja fornecido [9]. Como no caso das
chegadas, o padrão de serviço pode ser prestado individualmente ou em grupo [7].
A capacidade dos sistemas de filas de espera é determinada pela capacidade de cada
servidor e o número de servidores que estão a ser utilizados em paralelo (postos de
atendimento), sendo, por isso, importante determinar o número de servidores e a sequência
pela qual são visitados por cada cliente [17]. Quando se determina o número de servidores
de um sistema, considera-se o número de servidores paralelos que poderão atender os
clientes simultaneamente numa determinada fase do sistema [7].
A distribuição do tempo de serviço pode ser constante (por exemplo, se for um serviço
prestado por uma máquina) ou aleatória. Por exemplo, nos serviços hospitalares, o tempo
de serviço não é constante, mas antes variável, consoante o utente e quem presta o serviço.
Geralmente, também se assume que cada servidor lida com um utente de cada vez [17].
17
Quanto maior for o grau de contacto do cliente com o prestador de serviço (servidor), mais
difícil será o prestador de serviço controlar a duração do atendimento. No setor da saúde,
em que a grande parte dos serviços prestados necessitam da presença do utente no sistema
para que o serviço esteja concluído, a variabilidade dos tempos de atendimento é muito
acentuada, variando de utente para utente, de médico para médico, de enfermeiro para
enfermeiro.
No entanto, para modelar um sistema de filas de espera, por exemplo num serviço de
urgências de um hospital, é necessário definir o tempo despendido pelo utente no servidor.
Considerando que este tempo de serviço é uma variável aleatória, é necessário investigar
sobre qual a distribuição estatística que lhe está associada. O caso das urgências tem,
usualmente, como pressuposto que o tempo de serviço segue uma distribuição exponencial,
com um determinado valor médio [5].
A capacidade média do servidor, medida em número de utentes servidos por unidade de
tempo, obtém-se a partir do tempo médio de serviço, definindo-se assim a taxa de serviço
habitualmente denotada por µ. Se, por exemplo, a duração média de uma consulta com um
determinado médico for de 20 minutos, significa que a capacidade desse servidor (médico)
é de 3 utentes por hora, ou seja, µ = 3 utentes/hora.
A taxa de serviço pode ser independente do número de clientes existente no sistema ou
dependente do número de clientes, ou seja, um servidor pode tornar-se mais ou menos
eficiente consoante o tamanho da fila [7] e, nesse caso, se o número de clientes for, por
exemplo n, escreve-se μn.
Um sistema de filas de espera pode ser formado por uma ou várias fases. Quando o cliente,
ao longo da sua presença no sistema, tem de passar por mais do que um servidor diferente
(que desempenha funções diferentes), então esse sistema de filas de espera tem múltiplas
fases. Cada fase pode ser constituída por um ou vários servidores, formando-se fila única
ou múltiplas filas.
Por exemplo, o serviço de urgências de uma unidade hospitalar terá um sistema com
múltiplas fases, que serão a inscrição inicial, a triagem, a consulta, a realização de exames
complementares de diagnóstico, etc. As figuras seguintes representam os diversos
sistemas.
18
Fila Servidor
Figura 2.7 - Servidor único, fase única
Fila Servidores
Figura 2.8 - Múltiplos servidores, uma fila por servidor, fase única
Fila Servidor Fila Servidor
Figura 2.9 - Servidor único, múltiplas fases (um servidor em cada fase)
Figura 2.10 - Múltiplos servidores, fase única
Fila Servidores
Fila Servidores Fila Servidores
Figura 2.11 - Múltiplos servidores, múltiplas fases
Exemplo: Marcação de consulta
Exemplo: Consulta médica
Exemplo: Sala de tratamentos de enfermagem
Exemplo: Serviço de urgência hospitalar com triagem
19
Em modelos de filas de espera, o padrão de chegada e o tempo de serviço são modelados
seguindo um processo estocástico baseado em distribuições de probabilidade [20]. Para
formular um modelo de fila de espera como uma aproximação da realidade, a distribuição
deve transcrever o comportamento real do sistema de forma mais fidedigna possível, mas
deve permitir simultaneamente que o modelo produzido seja simples o suficiente para que
possa ser tratado matematicamente [9].
2.3. Medidas de desempenho de um sistema
de filas de espera
A gestão de um sistema de filas de espera, na maior parte dos casos, é uma tarefa complexa
dado o carácter aleatório tanto das chegadas como do tempo de serviço. No caso concreto
de uma unidade de prestação de cuidados de saúde, esta aleatoriedade pode ser reduzida
recorrendo, por exemplo, a processos de marcação de consultas. Contudo esta medida não
elimina a possibilidade de formação de fila de espera, pois não é possível reduzir a
aleatoriedade no tempo do serviço.
A gestão de filas de espera passa por tomar medidas em relação aos três componentes
principais de um sistema: chegadas, fila de espera e servidor. Por isso, deverá configurar-se
o sistema de filas de espera de forma a encontrar um equilíbrio entre a qualidade do serviço
prestado e os custos inerentes a esse serviço. Assim, a melhor configuração deve passar
pela tomada de decisão em relação ao número de servidores a instalar, número de fases,
tipo de fila (fila única para vários servidores ou uma fila por servidor), segmentação ou não
dos clientes, usando, por exemplo, servidores segmentados por tipo de cliente. Todas estas
decisões irão ter impacto na qualidade do serviço prestado, em função do tempo de espera,
e no seu custo associado [5].
É necessário encontrar soluções equilibradas, o que implica estabelecer trade-offs entre
custo e qualidade de serviço. Uma solução de custo mínimo, por exemplo, apenas com um
servidor, poderá comprometer a qualidade do serviço, originando um tempo de espera
elevado. Uma solução de qualidade elevada, de modo a originar um tempo de espera
reduzido, implicará custos elevados, por exemplo, devido à existência de vários servidores.
20
A Figura 2.12, baseada em [5], representa graficamente as funções do tempo de espera e do
custo do serviço fundamentadas pela explicação anterior.
Considera-se que, no início do seu funcionamento, o sistema atravessa um estado
transitório que poderá evoluir para um estado estacionário. Assume-se, ao longo deste
estudo, que se verificam as condições necessárias para que o sistema atinja o estado
estacionário. Neste estado, as medidas de desempenho não dependem de há quanto tempo
o sistema está em funcionamento nem do estado inicial do sistema, verificando-se que o
número médio de entradas é igual ao número médio de saídas e a distribuição de
probabilidade mantém-se a mesma ao longo do tempo.
A configuração de um sistema de filas de espera deve ser avaliada através de algumas
medidas de desempenho, capazes de dar uma indicação sobre a qualidade do serviço
esperada e o respetivo custo. O tópico seguinte dará relevo à notação utilizada nas medidas
necessárias para avaliar o desempenho de sistema de filas de espera.
2.3.1 Terminologia aplicada às medidas de
desempenho
A literatura sobre a teoria das filas de espera é quase unânime na adoção de uma
terminologia para a quantificação de sistemas de filas de espera. As tabelas seguintes
indicam os símbolos usados para a especificação do modelo e para as medidas de
desempenho.
Tem
po
de
esp
era
Nº de servidores
Cu
sto
do
se
rviç
o
Nº de servidores
Figura 2.12 - Funções do tempo de espera e do custo do serviço consoante o n.º de servidores
21
Especificação do modelo
Símbolo Característica
Taxa média de chegada dos clientes
1/ Tempo médio entre chegadas
µ Taxa média de serviço de um servidor
1/µ Tempo médio de serviço a um cliente
s Número de servidores
Taxa de utilização do sistema
= /µ Taxa de utilização do servidor
1 - Taxa média de desocupação do serviço
Tabela 2.2 - Terminologia usada na especificação do modelo
Ainda relativamente à especificação do modelo será importante caracterizar a estrutura da
fila de espera (fila única ou múltiplas filas). Será este elemento que vai ditar qual dos
modelos deve ser aplicado, se o modelo de servidor simples ou o modelo de múltiplos
servidores.
Será necessário conhecer as características referidas na Tabela 2.2 para o cálculo das
medidas de desempenho no regime estacionário, mencionadas na Tabela 2.3 [9]. O sistema
está em regime estacionário quando a distribuição de probabilidade do sistema se mantém
a mesma ao longo do tempo.
Medidas de desempenho
Símbolo Característica
Ls Número médio de clientes no sistema
Lq Número médio de clientes na fila de espera
Ws Tempo médio que um cliente está no sistema (tempo
na fila + tempo de serviço)
Wq Tempo médio que um cliente está na fila de espera
(exclui o tempo que o cliente demora a ser atendido)
Pn Probabilidade de estarem n clientes no sistema
P0 Probabilidade de estarem zero clientes no sistema
P(Wq = 0) Probabilidade do tempo de espera na fila ser zero
P(Wq > t) Probabilidade do tempo de espera na fila exceder t
P(Ws > t) Probabilidade do tempo no sistema exceder t
Tabela 2.3 - Terminologia usada nas medidas de desempenho
A letra L é usada em questões relacionadas com o comprimento da fila (L da palavra
inglesa Length - Comprimento) e a letra W é usada em questões relacionadas com tempo
22
Taxa
de
uti
lizaç
ão d
os
serv
ido
res
Tempo de espera
Cu
sto
Qualidade
de espera (W da palavra inglesa Waiting - esperando). Da mesma forma, usam-se as letras
q e s para indicar a fila (queue em inglês) e o sistema (system em inglês), respetivamente.
A taxa média de utilização do servidor pode ser utilizada como um indicador do custo de
serviço e o tempo de espera como um indicador da qualidade do serviço. A relação entre
estes dois indicadores encontra-se representada na Figura 2.13 [5].
Num sistema de filas de espera, seja 1/ λ o tempo médio entre duas chegadas consecutivas,
Ls o número médio de unidades no sistema, e Ws o tempo médio que cada unidade
despende no sistema. A Lei de Little diz que, se as três médias são finitas e o processo
estocástico correspondente é estacionário, então L= λ.W, para a fila e para o sistema [14].
Existem cinco relações chave que fornecem a base para a formulação de filas de espera
com modelos de fonte infinita [17]:
Taxa de utilização do sistema 2: 𝜌 =
𝜆
𝑠𝜇
Número médio de clientes no sistema: 𝐿s = 𝐿𝑞 +
Tempo médio na fila: 𝑊𝑞 =𝐿𝑞
𝜆
Tempo médio no sistema: 𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 +1
𝜇
2 sµ é a capacidade do serviço, sendo s o número de servidores. Se s=1, então =/µ.
Figura 2.13 - Relação da taxa média de utilização com o tempo de espera
23
Na Figura 2.14, apresenta-se um resumo da terminologia onde n representa o número
de clientes no sistema e N(t) o número de clientes no instante t (t ≥ 0). As outras
variáveis já foram mencionadas anteriormente.
2.4. Modelos das filas de espera
A maioria dos modelos analíticos de filas de espera supõe chegadas seguindo uma
distribuição de Poisson e um tempo de atendimento caracterizado por uma distribuição
exponencial. Estas são as distribuições que mais frequentemente caracterizam as filas de
espera reais e têm duas propriedades importantes:
Se o tempo entre dois acontecimentos consecutivos segue uma distribuição
exponencial com parâmetro , então o número de acontecimentos por unidade de
tempo t segue uma distribuição de Poisson com parâmetro t.
A distribuição exponencial não tem memória, isto é, a probabilidade de ocorrência
de um acontecimento é independente do instante de tempo em que ocorreu o
acontecimento imediatamente anterior.
A notação padrão usada nos modelos para descrever muitos dos sistemas de filas de espera
foi desenvolvida por Kendall, em 1951, onde cada sistema de filas é descrito por seis
características [2].
Figura 2.14 - Resumo da terminologia
Wq 1/µ
Ws
Chegada de
clientes Fila Servidores
(s)
Clientes
servidos
Sistema de Fila de Espera
Mecanismo de Serviço
=/(sµ)
n
1/n
1/
µn
1/µn
µ
1/µ
Taxa de utilização
n, N(t)
Lq
Nº por un.tempo: Poisson
Tempos: Exponencial
Serviços Chegadas
Distribuição mais usual
24
2.4.1 Notação de Kendall
As características abordadas anteriormente descrevem um sistema de filas de espera. Para
simplificar os diversos modelos das filas utiliza-se a notação de Kendall composta por seis
características da seguinte forma [15]: A/S/m/K/N/Q
Estas características estão explicadas na Tabela 2.4.
Notação de Kendall [24]
Símbolo Característica
A Distribuição dos tempos entre as chegadas: representa a distribuição do intervalo de
tempo entre chegadas consecutivas
M Tempos entre chegadas são independentes e identicamente distribuídos (iid), variáveis
aleatórias com uma distribuição exponencial
D Tempos entre chegadas são iid e determinísticos
Ek Tempos entre chegadas são iid seguindo uma lei de Erlang com parâmetro k
G Tempos entre chegadas são iid e são regulados por uma distribuição geral
S Distribuição dos tempos de serviço: caracteriza a duração do tempo de serviço
M Tempos de serviço são iid com distribuição exponencial
D Tempos de serviço são iid e determinísticos
Ek Tempos de serviço são iid seguindo uma lei de Erlang com parâmetro k
G Tempos de serviço são iid e seguem uma distribuição geral
m Número de servidores em paralelo
K Capacidade do sistema: define o n.º máximo de clientes permitidos no sistema que, por
norma, é infinito e representa os clientes que estão na fila e os que estão a ser servidos
N Tamanho da população: normalmente é considerado infinito, a não ser que o número de
potenciais clientes seja da mesma ordem de grandeza que o número de servidores
Q Disciplina da fila
FCFS First Come, First Served (primeiro a entrar, primeiro a ser servido)
LCFS Last Come, First Served (último a entrar, primeiro a ser servido)
SIRO Service In Random Order (serviço em ordem aleatória)
NPRP Nonpreemptive Priority Models (prioridade “não absoluta”)
PRP Preemptive Priority Models (prioridade “absoluta”)
GD Disciplina geral da fila
Tabela 2.4 - Notação de Kendall
25
Em muitos modelos importantes, as características K/N/Q são do tipo //FCFS. Quando
for este o caso, estas características podem ser omitidas. Esta regra será aplicada na maior
parte das explicações seguintes dos diversos tipos de modelos, ou seja, será assumido que,
nos diversos casos, o sistema tem capacidade infinita, o tamanho da população é também
infinito e a fila possui uma disciplina de atendimento do tipo FCFS.
Na Tabela 2.5, estão representados alguns exemplos de modelos, seguindo a notação
referenciada anteriormente.
M/D/1: Tempos entre chegadas com distribuição exponencial; tempos de
serviço constantes (determinísticos); servidor único.
Ek/G/2: Tempos entre chegadas seguem uma lei de Erlang; tempos de
serviço com uma distribuição geral; 2 servidores.
G/Ek/s: Tempos entre chegadas com distribuição geral; tempos de serviço
seguem uma lei de Erlang; s servidores.
M/M/3/9/LCFS: Tempos entre chegadas e tempos de serviço com
distribuição exponencial; 3 servidores; limite de 9 clientes
dentro do local de prestação de serviços ao mesmo tempo,
sendo que o último cliente a chegar é o primeiro a ser
atendido.
Tabela 2.5 - Exemplos de modelos seguindo a notação de Kendall
2.4.2 Processo de nascimento e morte
A maior parte dos modelos elementares de filas de espera baseiam-se no processo de
nascimento e morte. No contexto das filas de espera, um nascimento corresponde à
chegada de um novo cliente e uma morte corresponde à saída de um cliente do sistema
com o serviço concluído [9].
O estado do sistema no instante t é o número de clientes no sistema, denotado por N(t). Um
processo de nascimento e morte obedece a três hipóteses base:
Hipótese 1: Dado N(t) = n, a distribuição de probabilidade do tempo restante até ao
próximo nascimento (chegada) é exponencial com parâmetro λn (n = 0, 1, 2, … ).
26
Hipótese 2: Dado N(t) = n, a distribuição de probabilidade do tempo restante até à próxima
morte (final de atendimento) é exponencial com parâmetro μn (n = 0, 1, 2, … ).
Hipótese 3: Nunca podem ocorrer, em cada instante, mais do que um nascimento ou uma
morte (transição apenas para estados adjacentes).
As hipóteses 1 e 2 tornam o processo de nascimento e morte um tipo particular da Cadeia
de Markov (os estados futuros do sistema são independentes do passado e dependem
exclusivamente do estado atual), o que facilita o tratamento das filas de espera que assim
podem ser descritas. A hipótese 3 simplifica adicionalmente a análise.
Na Figura 2.15, esquematiza-se o diagrama de transição correspondente ao processo de
nascimento e morte, onde cada estado é identificado pelo número de clientes no sistema.
λn: taxa média de chegadas (número esperado de chegadas por unidade de tempo) de novos
clientes quando n clientes estão no sistema.
μn: taxa média de serviço (número esperado de atendimentos concluídos por unidade de
tempo) quando n clientes estão no sistema.
As setas no diagrama representam as únicas transições possíveis no estado do sistema e os
valores inscritos por cima, ou por baixo, de cada seta representam a respetiva taxa média
para essa transição, assumindo que o sistema atingiu um estado estacionário.
Os processos de nascimento e morte são processos de Markov de espaço discreto no qual
as transições entre estados estão restritas aos estados vizinhos.
Nos tópicos seguintes, apresentam-se alguns dos modelos mais aplicados no estudo de
sistemas de filas de espera, baseados no processo de nascimento e morte, considerando,
nos casos mais comuns, os pressupostos apresentados na Tabela 2.6.
Figura 2.15 - Diagrama de transição correspondente ao processo de nascimento e morte
n - 2 n - 1 n n+1 … Estado
1 0 2 n-2 n-1 n
µ1 µ2 µ3 µn-1 µn µn+1
0 1 2 3
27
Distribuição de Poisson para as chegadas, com = taxa média de chegadas;
Distribuição Exponencial para o tempo de serviço, com µ = taxa média de serviço;
Disciplina da fila: FCFS (primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido);
Todas as chegadas esperam em fila até serem servidas;
Possibilidade de extensão infinita da fila.
Tabela 2.6 - Pressupostos para aplicação dos modelos mais comuns
2.4.3 Modelo M/M/s
Neste modelo, assume-se que os intervalos de tempos entre chegadas consecutivas são
independentes e identicamente distribuídos, com distribuição exponencial (M), que os
tempos de serviço são independentes e identicamente distribuídos, com distribuição
exponencial (M) e que existem múltiplos servidores (s), que fornecem serviço
independente uns dos outros. Como as últimas três características da referência do modelo
estão omissas, assume-se que o sistema tem capacidade ilimitada, que é alimentado por
uma população infinita e que a disciplina da fila praticada será FCFS.
A Figura 2.16 representa esquematicamente, de uma forma resumida, este modelo.
Se existir uma fila para vários servidores, então o modelo a aplicar será o modelo de
múltiplos servidores. Será, por exemplo, o caso de um serviço de urgências de uma
Chegadas
Poisson Fila infinita (FCFS)
Serviço
exponencial
Clientes
servidos
Sistema de Fila de Espera
Múltiplos servidores
População
infinita Serviço
exponencial
Serviço
exponencial
Figura 2.16 - Modelo M/M/s
28
unidade de cuidados de saúde, onde os utentes fazem a sua inscrição quando entram nas
urgências, formando uma única fila para depois serem distribuídos pelos vários servidores
existentes.
De notar que, se a taxa média de chegadas de clientes ao sistema continua a ser λ,
independentemente do estado, então a taxa média de serviço, que se assume ser μ por cada
um dos s servidores, dependerá do estado do sistema. Sendo assim, quando a taxa de
serviço média por servidor ocupado é µ, a taxa de serviço média geral para n servidores
ocupados deve ser n.µ, ou seja, quanto mais servidores estiverem ocupados mais provável
é sair um cliente atendido do sistema. Portanto, µn = n.µ, quando n < s, enquanto que
µn=s.µ quando n ≥ s (todos os s servidores ocupados) [9].
𝜇𝑛 = { 𝑛. 𝜇 ; 𝑠𝑒 𝑛 < 𝑠 𝑠. 𝜇 ; 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 𝑠
As medidas de desempenho dos sistemas de filas de espera com a configuração atrás
mencionada são calculadas com base nas fórmulas referidas na Tabela 2.7 [5].
29
Modelo M/M/s
Significado Fórmula
Taxa de utilização do sistema () 𝜌 =𝜆
𝑠. 𝜇; 𝜌 < 1
N.º médio de clientes na fila (Lq) 𝐿𝑞 =
𝑃0 ( 𝜆𝜇
)𝑠
𝜌
𝑠! (1 − 𝜌)2
N.º médio de clientes no sistema (Ls) 𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 +𝜆
𝜇
Tempo médio na fila de espera (Wq) 𝑊𝑞 =𝐿𝑞
𝜆
Tempo médio no sistema (Ws) 𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 +1
𝜇=
𝐿𝑠
𝜆
Probabilidade de 0 clientes no sistema ou
Probabilidade do tempo de espera ser 0
ou Taxa de inatividade do servidor (P0)
𝑃0 =1
[∑(
𝜆𝜇
)𝑛
𝑛!𝑠−1𝑛=0 ] +
( 𝜆𝜇
)𝑠
𝑠!× (1 −
𝜆𝑠𝜇
)−1
Probabilidade de n clientes no sistema se 1 ≤ n ≤ s (Pn)
𝑃𝑛 = 𝑃0 [(
𝜆𝜇 )
𝑛
𝑛!]
Probabilidade de n clientes no sistema se n ≥ s (Pn)
𝑃𝑛 = 𝑃0 [(
𝜆𝜇 )
𝑛
𝑠! 𝑠𝑛−𝑠]
Probabilidade do tempo de espera na fila
exceder t (P(Wq > t)) 𝑃𝑊𝑞>𝑡 = (1 − 𝑃0) × 𝑒−𝑠𝜇(1−𝜌)𝑡
Probabilidade do tempo no sistema
exceder t (P(Ws > t)) 𝑃𝑊𝑠>𝑡 = 𝑒−𝜇𝑡 [
1 + 𝑃0 ( 𝜆𝜇 )
𝑠
𝑠! (1 − 𝜌)(
1 − 𝑒−𝜇𝑡(𝑠−1−𝜆
𝜇⁄ )
𝑠 − 1 − 𝜆𝜇⁄
)]
Tabela 2.7 - Fórmulas do modelo M/M/s
A condição para que a fila de espera atinja o estado estacionário de modo que não cresça
sem limite é s.µ > ou, equivalentemente, < 1, uma vez que = /(s.µ). Por outras
palavras, poder-se-á dizer que a taxa média de chegada deve ser menor que a taxa média
máxima de serviço do sistema, que é intuitivamente o que seria esperado.
30
2.4.4 Modelo M/M/1
Neste modelo, assume-se que os intervalos de tempos entre chegadas consecutivas são
independentes e identicamente distribuídos, com distribuição exponencial (M), que os
tempos de serviço são independentes e identicamente distribuídos, com distribuição
exponencial (M) e que existe um único servidor (1). Como as últimas três características
estão omissas, assume-se que o sistema tem capacidade ilimitada, que é alimentado por
uma população infinita e que a disciplina da fila praticada será FCFS.
A Figura 2.17 representa esquematicamente, de uma forma resumida, este modelo.
Se existir uma fila por servidor, então o modelo a aplicar será o modelo de servidor
simples. Esta situação pode ocorrer quando existe apenas um servidor ou quando existem
múltiplas filas independentes umas das outras, havendo um servidor para cada fila (ver
Figura 2.8).
Quando o sistema tem mais do que uma fase, cada fase deve ser analisada em separado,
identificando qual o modelo a aplicar em cada uma. Será, por exemplo, o caso de um
serviço de urgências de uma unidade de cuidados de saúde, onde os utentes, numa primeira
fase, fazem a sua inscrição quando entram nas urgências e depois esperam até serem
chamados para a triagem, que corresponderá à segunda fase.
Por ser um caso particular do modelo anterior, as medidas de desempenho, dos sistemas de
filas de espera com a configuração M/M/1, são calculadas com base nas fórmulas do
modelo M/M/s, fazendo s = 1.
O uso dos resultados pressupõe que µ > , isto é, < 1, caso contrário a fila de espera
cresceria sem limite e o sistema nunca atingiria o estado estacionário. Dito de outro modo,
Fila infinita (FCFS)
Chegadas
Poisson População
infinita
Serviço
exponencial
Clientes
servidos
Sistema de Fila de Espera
Servidor único
Figura 2.17 - Modelo M/M/1
31
para que o sistema atinja o estado estacionário, a taxa de chegadas terá que ser menor que a
taxa de serviço para que a fila não cresça infinitamente [13].
Neste modelo, como existe apenas um servidor, o sistema pode tolerar a utilização a 100%.
Se a taxa de chegada for maior do que a taxa de serviço, então, um modelo com múltiplos
servidores será o mais apropriado.
2.4.5 Modelo M/M/s/K
Um sistema M/M/s/K é um sistema de capacidade finita com s servidores com tempos de
atendimento exponenciais independentes e identicamente distribuídos (os quais não
dependem do estado do sistema). Como a capacidade do sistema deve ser, no mínimo, tão
grande quanto o número de servidores, s ≤ K. Para tal sistema [9],
𝜆𝑛 = { 𝜆 ; 𝑛 = 0,1, … , 𝐾 − 10; 𝑛 = 𝐾, 𝐾 + 1, …
À semelhança do que aconteceu no modelo M/M/s, a taxa média de saída de cada estado
também será dependente do estado. Sendo assim,
𝜇𝑛 = { 𝑛. 𝜇 ; 𝑠𝑒 𝑛 < 𝑠 𝑠. 𝜇 ; 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 𝑠
O modelo M/M/s/K tende para o modelo M/M/s quando K tende para infinito.
Algumas das medidas de desempenho dos sistemas de filas de espera com a configuração
atrás mencionada são calculadas com base nas fórmulas referidas na Tabela 2.8 [3].
32
Modelo M/M/s/K
s ≤ K; Nº de servidores = s; Nº máximo de clientes no sistema = K; População = ; Fila FCFS
Significado Fórmula
Taxa de utilização do sistema () 𝜌 =𝜆
𝑠𝜇
Taxa média de entrada �̅� = 𝜆(1 − 𝑃𝐾)
Taxa de ocupação �̅�
𝑠𝜇
Taxa média de entrada �̅� = 𝜆(1 − 𝑃𝐾)
N.º médio de clientes na fila (Lq) 𝐿𝑞 =𝑠𝑠𝜌𝑠+1
𝑠! (1 − 𝜌)2[1 − 𝜌𝐾−𝑠 − (1 − 𝜌)(𝐾 − 𝑠)𝜌𝐾−𝑠]𝑃0
N.º médio de clientes no sistema (Ls) 𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 +�̅�
𝜇
Tempo médio na fila de espera (Wq) 𝑊𝑞 =𝐿𝑞
�̅�
Tempo médio no sistema (Ws) 𝑊𝑠 = 𝑊𝑞 +1
𝜇=
𝐿𝑠
�̅�
Probabilidade de 0 clientes no sistema ou
Probabilidade do tempo de espera ser 0 ou
Taxa de inatividade do servidor (P0)
𝑃0 = [𝑠𝑠𝜌𝑠+1(1 − 𝜌𝐾−𝑠)
𝑠! (1 − 𝜌)+ ∑
(𝑠𝜌)𝑛
𝑛!
𝑠
𝑛=0
]
−1
; 𝜌 ≠ 1
𝑃0 = [𝑠𝑠
𝑠!(𝐾 − 𝑠) + ∑
𝑠𝑛
𝑛!
𝑠
𝑛=0
]
−1
; 𝜌 = 1
Probabilidade de n clientes no sistema (Pn)
𝑃𝑛 =(𝑠𝜌)𝑛
𝑛!𝑃0; 𝑛 ≤ 𝑠
𝑃𝑛 =𝑠𝑛𝜌𝑛
𝑠!𝑃0; 𝑛 = 𝑠 + 1, … , 𝐾
𝑃𝑛 = 0; 𝑛 > 𝐾 Tabela 2.8 - Fórmulas do modelo M/M/s/K
2.4.6 Modelo M/M/1/K
Este modelo difere do modelo M/M/1 porque tem capacidade do sistema limitada até K
clientes ao mesmo tempo no local da prestação do serviço. Quando já estiverem K clientes
no sistema e, caso se verifique a chegada de um novo cliente, ser-lhe-á recusado o acesso
ao sistema, ou seja, trata-se de uma fila de espera com capacidade finita. De notar que os
potenciais clientes com acesso vedado não poderão aguardar no exterior do sistema, para
33
entrada posterior. Este modelo pode, por exemplo, traduzir situações em que a sala de
espera tem uma dimensão limitada.
Se designar a taxa de chegadas de clientes ao local de prestação de serviços, então a taxa
de entradas no sistema será dependente do estado n, isto é, depende do número de clientes
no sistema e será dada por [3]:
𝜆𝑛 = { 𝜆 ; 𝑛 = 0,1, … , 𝐾 − 10; 𝑛 = 𝐾, 𝐾 + 1, …
A taxa média de entrada no sistema, normalmente denotada por �̅�, é a média ponderada das
taxas e é dada por:
�̅� = 𝜆 × ∑ 𝑃𝑛 = 𝜆(1 − 𝑃𝐾)
𝐾−1
𝑛=0
.
Por ser um caso particular do modelo anterior, as medidas de desempenho dos sistemas de
filas de espera com a configuração M/M/1/K são calculadas com base nas fórmulas do
modelo M/M/s/K, fazendo s = 1.
Note-se que a probabilidade de o sistema estar num estado n ≥ K+1 é nula uma vez que
não se aceita ninguém acima de K.
O sistema pode estar em equilíbrio para valores de superiores a 1. No entanto, nesse
caso, haverá um número potencialmente elevado de clientes do sistema que chegam e não
são servidos.
2.4.7 Modelo M/M/
Este modelo corresponde a um modelo de filas no qual o serviço é ilimitado, isto é, existe
um número infinito de servidores disponíveis, não existindo, por isso, fila de espera [1].
Para além disso, a distribuição dos tempos entre as chegadas e dos tempos de atendimento
é exponencial, a capacidade do sistema e da população são infinitas e a disciplina da fila
segue a ordem FCFS. Um exemplo simples é o caso de um hipermercado onde os clientes
se servem a eles próprios.
34
Os clientes ao entrarem no sistema são servidos de imediato, sendo o tamanho esperado do
sistema a média da distribuição de Poisson, obtido de Ls==/µ. Como o número de
servidores é infinito, Lq = 0 = Wq. O tempo médio no sistema será o tempo médio de
serviço, de modo que Ws = 1/ µ e a função de distribuição do tempo de espera é idêntica à
distribuição do tempo de serviço, ou seja, exponencial com média 1/ µ.
Por este facto, o tempo de espera no sistema é inversamente proporcional à taxa de serviço,
ou seja, enquanto a taxa de serviço aumenta, diminui o tempo de espera no serviço, como
seria expectável.
2.4.8 Modelos que envolvem distribuições não
exponenciais
Embora a distribuição exponencial descreva, em muitas aplicações, o processo de chegada,
há muitas situações em que talvez esta não se encaixe muito bem no processo do serviço.
Contudo, existem generalizações do modelo básico que permitem que a distribuição do
tempo de serviço seja arbitrária.
Todos os modelos da teoria de filas de espera abordados anteriormente basearam-se no
pressuposto de que tanto os tempos entre chegadas como os tempos de serviços tinham
distribuições exponenciais. Para determinados tipos de sistemas de filas, esta distribuição,
apenas nos dará uma aproximação à análise do estudo que pretendemos implementar. Por
exemplo, assumir que os tempos entre chegadas têm uma distribuição exponencial, requer
que as chegadas se sucedam aleatoriamente (processo de Poisson). Esta situação pode ser
aceitável na maioria dos casos, mas não será coerente quando as chegadas são
programadas. Será, por isso, importante, quando os modelos não têm distribuições
exponenciais, analisar outros modelos de filas alternativos [9].
Os modelos de filas de espera que não seguem as distribuições exponenciais têm uma
análise matemática mais difícil apesar de já se ter conseguido alguns resultados aplicáveis
a alguns destes modelos [9].
Nos tópicos seguintes será feito um resumo de alguns modelos com distribuição não
exponencial.
35
2.4.8.1 Modelo M/G/1
Seguindo a notação de Kendall este modelo pressupõe que o sistema de filas tem um único
servidor e um processo de chegadas com distribuição exponencial. A taxa média de
chegada continua a ser dada por e, tal como nos modelos anteriores, os tempos de serviço
são independentes.
O que difere neste modelo é o facto de não existir nenhuma restrição no que diz respeito à
distribuição do tempo de serviço. A referência indica que é uma distribuição generalizada
(G). Neste caso, apenas será necessário conhecer 1/µ e a variância 2 dessa distribuição
[9].
Se ρ = λ / μ < 1 o sistema poderá eventualmente atingir o estado de equilíbrio, continuando
a ser válidas as relações principais que fornecem a base para a formulação dos modelos de
filas de espera. A partir da fórmula de Lq (número médio de clientes na fila), dada por
𝐿𝑞 =𝜆2𝜎2 + 𝜌2
2(1 − 𝜌),
é possível obter todos os outros resultados analíticos.
Se a duração do atendimento for exponencial, 2 = 1/µ
2, obtêm-se os resultados do modelo
M/M/1.
2.4.8.2 Modelo M/D/1
Se continuarmos a assumir que o processo de chegadas segue uma distribuição de Poisson
(M), que temos apenas um servidor e se o tempo de serviço aos diferentes clientes consistir
numa rotina relativamente idêntica, sendo constante ou determinístico (D), praticamente
não se verificará qualquer variação na duração do serviço, sendo então útil o modelo
M/D/1, que pode ser encarado como um caso particular do modelo M/G/1, fazendo σ2 = 0.
Deste modo, a fórmula para determinar o número médio de clientes na fila será dada por
[9]
𝐿𝑞 =𝜌2
2(1 − 𝜌).
36
Os valores de Ls, Wq e Ws podem ser obtidos pelas expressões do modelo anterior.
É interessante notar que o valor indicado na fórmula acima é metade do correspondente
valor para o modelo M/M/1, ou seja, se a distribuição do atendimento for exponencial com
parâmetro μ, o comprimento da fila de espera será duplo do que seria se todos os
atendimentos fossem executados com duração determinística (igual a 1/μ). Fica assim
patente a importância da variância da distribuição da duração do atendimento no
desempenho do sistema.
2.4.8.3 Modelo M/Ek/1
Como se referiu anteriormente, nos sistemas M/D/1 assume-se que a duração do
atendimento de um cliente é determinística (σ = 0), uma situação teórica que raramente
ocorre rigorosamente na prática. Num outro extremo, temos os modelos M/M/s, em que se
assume uma variação muito grande (σ = 1/μ = duração média do atendimento de um
cliente). Ora, na realidade, muitas vezes nem temos uma duração determinística, nem
temos uma variação tão elevada. É para estes casos que se torna útil recorrermos à
distribuição Erlang-k.
A distribuição de Erlang é uma distribuição de probabilidade contínua que é igual ao
somatório de um número de k variáveis aleatórias exponenciais independentes. O
parâmetro k representa o número de fases do sistema e quando este é composto por uma
sequência de serviços, cada um deles com uma distribuição exponencial, o tempo total de
serviço tem uma distribuição de Erlang.
Considere-se um sistema com um processo de Poisson nas chegadas, com taxa λ, e com a
duração do atendimento de um cliente, T, com média 1/μ. Imagine-se que se sabe que a
duração de cada atendimento não segue uma distribuição exponencial e que se assume que
cada atendimento se pode decompor numa sequência de k estádios consecutivos, cada um
deles com durações, Ti, independentes e identicamente distribuídas, com distribuição
exponencial de valor médio 1/(kμ).
A distribuição Erlang-k, com parâmetros k e μ, tem valor médio igual a 1/μ e variância
igual a 1/(kμ2). Assim, o coeficiente de variação da distribuição Erlang-k será [9]
37
𝐶𝑉𝐸𝑘=
1
√𝑘. 𝜇1𝜇
=1
√𝑘 .
De notar que o coeficiente de variação da distribuição Erlang-k é sempre menor ou igual a
1. A igualdade ocorre quando k = 1, ou seja, quando a distribuição Erlang-k coincide com
a distribuição exponencial, como se pode ver pela Figura 2.18.
A função densidade de probabilidade de uma variável t com uma distribuição de Erlang,
com parâmetros k e μ, é dada por [1, p. 17]
𝑓(𝑡) =(𝜇𝑘)𝑘. 𝑡𝑘−1. 𝑒−𝑘𝜇𝑡
(𝑘 − 1)!, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡, 𝜇, 𝑘 ≥ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ.
Um exemplo gráfico da função, para vários valores de k, está representado na Figura 2.18,
adaptada de [9, p. 875].
O Modelo M/Ek/1 pode ser caracterizado a partir da análise do correspondente diagrama de
transição de estados, baseado no processo de nascimento e morte.
Poderíamos escrever as equações de equilíbrio para os vários estados e, após várias
manipulações, deduzir alguns resultados. No entanto, como já apresentámos o modelo mais
geral M/G/1, poderemos encarar o modelo M/Ek/1 como um caso particular desse, com
σ2=1/(k μ
2).
Assim, a fórmula para a determinação do número médio de clientes na fila será [9]:
Figura 2.18 - Família de distribuições de Erlang com média constante de 1/µ
t
38
𝐿𝑞 =1 + 𝑘
2𝑘
𝜆2
𝜇(𝜇 − 𝜆)
Os outros parâmetros relevantes podem ser obtidos aplicando as fórmulas apresentadas no
modelo M/G/1.
2.4.9 Modelos sem entradas com distribuição de
Poisson
Os modelos M/…/… assumem um processo de chegadas com distribuição de Poisson
(intervalos de tempo entre chegadas consecutivas independentes e identicamente
distribuídos, com distribuição exponencial). No entanto, em certas situações, tal poderá
não ser o mais adequado, como é o caso de as chegadas estarem previamente agendadas.
Se a duração do atendimento de um cliente for exponencial, com um parâmetro fixo,
pode-se obter, de imediato, três modelos por inversão das distribuições assumidas, para as
chegadas e para os atendimentos, nos modelos M/G/1, M/D/1, M/Ek/1, obtendo então os
modelos G/M/1, D/M/1 e Ek/M/1 [9].
O modelo G/M/1 não impõe qualquer restrição à distribuição associada ao processo de
chegadas; o modelo D/M/1 assume chegadas em intervalos regulares e o modelo Ek/M/1
permite modelar um processo de chegadas que, não sendo com uma distribuição de
Poisson, também não é determinístico (intervalos de tempo constantes).
2.4.10 Modelos com disciplinas de prioridade
Em certos sistemas de filas de espera o atendimento não é feito apenas por ordem de
chegada, mas existe um sistema de prioridades, pelo que o atendimento de um cliente é
feito pela respetiva prioridade.
Os modelos com prioridades são muito importantes, por exemplo, para as organizações de
saúde. Enquanto o modelo base assume que os clientes são indistinguíveis e servidos pela
disciplina FCFS, o modelo com prioridades assume que os clientes são distribuídos em
duas ou mais classes de serviço i = 1,2,…,N, sendo servidos por ordem de prioridade, em
que 1 é a mais alta e N é a mais baixa. Dentro da mesma classe, os clientes são servidos
39
pela disciplina FCFS. Mas quando há uma fila e um servidor fica disponível, um cliente
pertencente a classe i só será servido se não houver nenhum cliente das classes 1,…,i-1 à
espera [8].
Por exemplo, num serviço de urgências de uma unidade hospitalar, enquanto que poderá
haver utentes que não agravam a sua situação clínica, caso tenham que esperar mais de
uma hora para serem vistos pelo médico, poderá haver outros que são urgentes e que
precisam de cuidados de um médico o mais rápido possível para evitar agravar a situação
clínica. Neste caso, um modelo de filas com prioridade faz todo o sentido. O sistema de
triagem de Manchester é um dos exemplos destes modelos mais usado nas urgências
hospitalares.
O tratamento analítico de sistemas com prioridades é, obviamente, mais complicado do que
o de sistemas sem prioridades. Como consequência, apenas se dispõe maioritariamente de
resultados para o caso de um único servidor. Contudo, há um sistema com múltiplos
servidores que apresenta resultados interessantes. Caracterizando-o [9]:
Assume-se que existem N classes de prioridade (a classe 1 com prioridade mais
elevada e a classe N com mais baixa prioridade). Os clientes são atendidos por ordem
das suas classes de prioridade e, dentro da cada classe, por ordem de chegada;
Assume-se que o processo de chegadas segue uma distribuição de Poisson,
permitindo-se que a taxa de chegadas de clientes das várias classes possa ser
diferente;
Assume-se que as durações de atendimento são exponenciais para cada classe,
considerando-se, adicionalmente, que a duração média de atendimento é igual para
todas as classes.
De notar que, caso se ignorem as prioridades, estaremos perante o modelo M/M/s. Assim,
quando se contabilizar o número total de clientes no sistema, pode considerar-se as
distribuições limite apresentadas para o modelo M/M/s. Consequentemente, para um
cliente selecionado aleatoriamente, são válidas as expressões obtidas para Ls, Lq, Ws e Wq
nesse modelo. O que muda é a distribuição do tempo de espera. Neste caso, num modelo
com prioridades, a variância da distribuição do tempo de espera aumenta, ou seja, teremos
clientes de prioridade mais elevada com tempos de espera mais baixos do que ocorreriam
com a disciplina FCFS sem prioridades. Por outro lado, os clientes de prioridade mais
baixa terão tempos de espera mais elevados, o que não é de estranhar já que se pretende
40
melhorar o desempenho do sistema, no que diz respeito aos clientes de mais elevada
prioridade, à custa de um pior desempenho para os clientes de mais baixa prioridade.
Assim, é importante calcular o tempo de espera médio para um cliente de cada classe de
prioridade.
As prioridades podem ser classificadas em duas categorias, as “não absolutas”
(nonpreemptive priorities) e as “absolutas” (preemptive priorities) [1].
2.4.10.1 Prioridades “não absolutas” (nonpreemptive
priorities)
São aquelas em que um cliente que está a ser atendido não vê o seu atendimento
interrompido pela chegada de um cliente com prioridade mais elevada. Após cada
conclusão do serviço, o próximo cliente a entrar é escolhido pela ordem de prioridade,
baseado numa ordem FCFS dentro da mesma classe [24].
Considerando as prioridades “não absolutas”, Wk, será o tempo de espera médio para um
cliente da classe de prioridade k (incluindo a duração do atendimento) e será dado por:
𝑊𝑘 =1
𝐴. 𝐵𝑘−1. 𝐵𝑘+
1
𝜇; para 𝑘 = 1,2, … , 𝑁 (N-classes de prioridade)
onde
𝐴 = 𝑠! (𝑠𝜇 − 𝜆
𝜌𝑠) ∑
𝜌𝑗
𝑗!+ 𝑠. 𝜇
𝑠−1
𝑗=0
; 𝐵0 = 1; 𝐵𝑘 = 1 −∑ 𝜆𝑖
𝑘𝑖=1
𝑠. 𝜇,para 𝑘 = 1,2, … , 𝑁
sendo
s = número de servidores;
µ = taxa média de serviço por cada servidor ocupado;
i = taxa média de chegadas da classe de prioridade i, i = 1,2,…,N
𝜆 = ∑ 𝜆𝑖; 𝜌 =𝜆
𝜇 𝑁
𝑖=1
Estes resultados assumem que ∑ 𝜆𝑖𝑘𝑖=1 < 𝑠. 𝜇, de modo a que a classe de prioridade k possa
atingir um estado de equilíbrio.
41
Para cada classe de prioridade aplica-se a Fórmula de Little (subsecção 2.3), pelo que o
número esperado de clientes da classe de prioridade k no sistema, incluindo os que estão a
ser atendidos, será
Lk = k.Wk, para k = 1,2,…,N.
Para estes tipos de sistemas também são válidas as fórmulas seguintes:
Tempo médio de espera, para a classe k, a aguardar atendimento:
Wk – (1/µ); para k = 1,2,…,N
Comprimento médio da fila de espera correspondente à classe k:
k.[(Wk – (1/µ)]; para k = 1,2,…,N
Se s = 1, então A = µ2/.
Na notação de Kendall, este tipo de prioridade é indicada como NPRP (Nonpreemptive
Priority Models) na característica da disciplina da fila [24].
2.4.10.2 Prioridades “absolutas” (preemptive priorities)
São aquelas em que o atendimento de um cliente será interrompido e reenviado para a fila
de espera, devido à chegada de um cliente com mais elevada prioridade. O serviço do
cliente anterior continuará a partir do ponto em que foi interrompido, depois do cliente
prioritário estar servido [24].
Mantendo as hipóteses já referidas, Wk corresponde ao tempo de espera médio para um
cliente da classe de prioridade k (incluindo a duração do atendimento) e será, para um
único servidor, dado por:
𝑊𝑘 =1
𝜇⁄
𝐵𝑘−1. 𝐵𝑘; para 𝑘 = 1,2, … , 𝑁
O número esperado de clientes da classe de prioridade k no sistema será:
Lk=k.Wk; para k = 1,2,…,N
42
Refira-se, finalmente, que dado que a distribuição exponencial não tem memória, as
interrupções de atendimento não afetam, em média, o processo de atendimento, ou seja, a
duração média total do atendimento continua a ser igual a 1/μ. Quando um cliente com
atendimento interrompido voltar a ser atendido, a distribuição da duração do atendimento
restante continuará a mesma [9].
Na notação de Kendall, este tipo de prioridade é indicada como PRP (Preemptive Priority
Models) na característica da disciplina da fila [24].
Por razões óbvias, a disciplina de prioridades “absolutas”, raramente são usadas caso os
elementos que constituem a fila de espera sejam pessoas [24].
2.5. Redes de filas de espera
Neste estudo, até agora, tem-se considerado, sobretudo, sistemas de filas de espera com um
único local de atendimento, ainda que com um ou mais servidores. No entanto, em muitas
situações reais, como por exemplo, num serviço de urgências de uma unidade hospitalar,
onde um utente terá de passar por uma sequência de filas de espera, seguindo, ou não, uma
determinada ordem, haverá um sistema com múltiplas fases (Figura 2.9 e Figura 2.11).
Estas fases são compostas pela inscrição inicial, pela triagem, pela consulta, pela
realização de exames complementares de diagnóstico, etc. O output de algumas dessas filas
será o input de outras. Estaremos, assim, perante um sistema de redes de filas de espera.
Quando tal ocorre, é importante estudar globalmente a rede para determinar, para além dos
tempos de espera ou o número de clientes por fase, também o tempo total de espera ou o
número total de clientes no sistema.
Assim, no caso concreto deste estudo, cuja explicação será aprofundada nos capítulos
seguintes, teremos, no serviço de urgências, um sistema de fila de espera para o registo da
admissão inicial, cujo output será o input do segundo sistema de fila de espera – a triagem,
que por sua vez terá um output que corresponderá ao input do terceiro sistema de fila de
espera – a consulta. Portanto, teremos um atendimento que é constituído por diversas
tarefas, cada uma das quais dando origem a uma fila, isto é, estaremos na presença de um
sistema em rede de filas de espera. Será com base neste pressuposto que se irá modelar o
sistema, tal como se explica nos capítulos seguintes.
43
2.6. Considerações finais sobre as filas de
espera
A importância das filas de espera é notória no dia-a-dia e em variados contextos. Assim, é
evidente que a gestão adequada de um sistema de filas de espera tem repercussões na
qualidade de vida e na produtividade.
Na modelação matemática de sistemas de filas de espera, a distribuição exponencial tem
um papel fulcral para representar as distribuições dos tempos de chegadas e os tempos de
serviço, ainda que em determinadas situações possa ser útil considerar outras distribuições,
nomeadamente a distribuição de Erlang.
De referir ainda a necessidade de, em certos sistemas, se tornar necessário separar os
clientes em diferentes classes, cada uma das quais com um nível de prioridade distinto.
Quando um cliente precisa de recorrer a vários serviços, num mesmo sistema, torna-se útil
modelá-lo como uma rede de filas de espera.
Refira-se, finalmente, que quando há particularidades especiais, não contempladas em
qualquer modelo conhecido, poderemos recorrer à simulação de filas de espera, através de
um programa de computador, para simular o funcionamento do sistema. Esta técnica será
objeto de desenvolvimento, através de um caso de estudo, nos capítulos seguintes.
44
45
3. Metodologia
Depois de obter a base de dados, fornecida pelo Hospital de Santo André de Leiria,
efetuou-se uma análise geral e constatou-se que a base de dados necessitava de alguns
ajustes que se descrevem nos tópicos seguintes. Posteriormente, estes ajustes permitem
analisar a base de dados através do software R [11, 22].
Composta por 91206 registos mais o cabeçalho das colunas, a base de dados, formada por
um ficheiro Excel (xlsx) constituído por duas folhas, contém os dados relativos aos utentes
que deram entrada no serviço de urgência durante o ano de 2014.
É constituída pelas variáveis seguintes referidas pelo nome e ordem original da base de
dados: data nascimento, sexo, prioridade, data admissão, TriagemUG Leiria, data_triagem,
primeira_observa_med, data da observação, pm_manchester, data alta, destino.
3.1. Descrição das variáveis
“data nascimento” – contém a data de nascimento do utente no formato dd/mm/aaaa.
“sexo” – contém o sexo do utente, representado por F (feminino) e M (masculino).
“prioridade” – contém um número de 1 a 5 e uma cor segundo a classificação da
Triagem de Manchester.
“data admissão” – contém a data e a hora que representa o tempo registado
correspondente ao momento que o funcionário recebe o utente de modo a efetuar a sua
inscrição na admissão inicial.
“TriagemUG Leiria” – designação do nome da triagem do serviço de urgências do
hospital de Leiria.
“data_triagem” – contém a data e a hora que representa o tempo registado
correspondente ao momento que o enfermeiro recebe o utente quando este chega à
triagem.
46
“primeira_observa_med” – descreve a primeira observação feita pela triagem,
nomeadamente qual a especialidade médica atribuída ao utente.
“data da observação” – contém a data e a hora que representa o tempo registado
correspondente ao momento que o médico recebe o utente quando este chega à
consulta.
“pm_machester” – descreve os sintomas identificados pela Triagem de Manchester.
“data alta” – contém a data e a hora que representa o tempo registado correspondente
ao momento em que o utente abandona o hospital.
“destino” – representa o destino dado ao utente, nomeadamente médico de família,
internamento, alta médica, etc.
3.2. Alterações efetuadas na base de dados
As alterações foram efetuadas, pela ordem seguinte, no ficheiro Excel da base de dados
(formato .xlsx) composta por 91206 registos mais o cabeçalho das colunas distribuídos por
duas folhas, tal como referido anteriormente.
Eliminaram-se, nas duas folhas, as colunas J e L que estavam vazias.
Na folha 1, colocaram-se as horas e as datas das variáveis (colunas) “data admissão”,
“data_triagem”, “data da observação” e “data alta”, em células separadas, uma vez que,
inicialmente, data e hora estavam na mesma célula. A hora foi retirada da data e colocada
numa coluna nova através do menu Dados - Texto para colunas.
Foi efetuado o mesmo procedimento na folha 2. A base de dados ficou com 4 novas
variáveis que são: “hora admissão”, “hora triagem”, “hora da observação” e “hora alta”.
Eliminou-se a coluna com a variável “TriagemUG Leiria”, nas duas folhas, por ser sempre
igual e não ser relevante para a análise dos dados.
Acrescentaram-se os dados da folha 2 à folha 1 de modo a que a base de dados fosse
constituída por uma só folha e eliminou-se a folha 2.
47
Ordenou-se a coluna com a variável “data admissão” e depois a coluna com a variável
“hora admissão” por ordem crescente em ambas.
De modo a facilitar a análise através do software R, atribuíram-se abreviaturas aos títulos
das colunas passando a base de dados a ser formada pelas variáveis com as respetivas
abreviaturas, conforme a Tabela 3.1.
Variáveis da Base de Dados
Designação original Nova designação
(abreviatura)
data nascimento dn
sexo sexo
data admissão da
hora admissão ha
data_triagem dt
hora triagem ht
prioridade prio
primeira_observa_med pom
data da observação (consulta) do
hora da observação (consulta) ho
pm_manchester pm
data alta dal
hora alta hal
destino dest
Tabela 3.1 - Variáveis da Base de Dados
De seguida efetuaram-se alguns cálculos que permitirão uma análise mais detalhada dos
dados.
Calculou-se ha = (hora admissão do utente) – (hora admissão do utente anterior). Esta
variável, ha, poderia dar-nos o tempo da duração do serviço de admissão, ou seja, o
tempo que cada utente demorou a ser atendido, permitindo assim obter a taxa de serviço do
sistema de admissão inicial (a), admitindo que o serviço de admissão não está vazio
quando há utentes em espera. Como a base de dados não fornece todos os dados, a variável
ha, inclui o tempo de registo na admissão inicial, mas igualmente o tempo no qual
nenhum utente aguardava o registo, havendo ainda a complexidade de existirem 2
funcionários para o registo da admissão.
Calculou-se tet = ht - ha (hora triagem - hora admissão), relativamente ao mesmo utente.
Esta variável, tet, poderia dar-nos o tempo de espera para a triagem, caso se soubesse a
48
hora de saída da admissão, dados que não são fornecidos pela base de dados. Assim sendo,
esta variável representa o tempo de admissão adicionado ao tempo de espera para a
triagem.
Calculou-se ht = (tempo de chegada à triagem do utente) – (tempo de chegada à triagem
do utente anterior). Esta variável, ht, poderia dar-nos o tempo da duração do serviço de
triagem, ou seja, o tempo que cada utente demorou na triagem, permitindo assim obter a
taxa de serviço do sistema de triagem (t), admitindo que o serviço de triagem não está
vazio quando há utentes em espera ou caso se soubesse a hora que o utente saiu do serviço
de triagem. Como estes dados não são fornecidos pela base de dados, ht inclui o tempo do
serviço de triagem mais o tempo no qual ninguém está na fila de espera da triagem.
Depois de efetuar este cálculo verificou-se que havia registos de utentes que chegavam
antes de outros à admissão e eram atendidos depois deles na triagem, ou seja, a hora da
triagem do utente seguinte era inferior à do anterior, fazendo com que houvesse horas
negativas na duração do serviço da triagem. Para evitar este tipo de situação, ordenaram-se
as colunas data e hora da triagem e, em seguida, calculou-se ht. Depois, colaram-se
apenas os valores obtidos numa nova coluna e ordenaram-se as colunas data e hora de
admissão, tal como inicialmente. Por último, eliminou-se a coluna de ht que continha as
fórmulas.
Calculou-se tec = ho - ht (hora observação – hora triagem), relativamente ao mesmo
utente. Caso se soubesse a hora de saída da triagem, dados que não são fornecidos pela
base de dados, esta variável, tec, poderia dar-nos o tempo de espera para a consulta
(observação). Por conseguinte, a variável inclui o tempo de espera para a observação mais
o tempo de serviço da triagem.
Calculou-se tsc = hal-ho (hora alta - hora observação), relativamente ao mesmo utente.
Esta variável, tsc, pode dar-nos o tempo da duração do serviço de consulta, ou seja, o
tempo que cada utente demorou na consulta, permitindo assim obter a taxa de serviço do
sistema de consulta (c), caso se considere que a hora de alta coincide com a hora de saída
da consulta. Todavia, tal análise não foi efetuada, pois efetivamente este tempo inclui
diversas situações bem distintas, tais como o tempo de consulta ou o tempo no qual o
utente fica internado devido a uma intervenção cirúrgica.
49
Depois destes cálculos, verificou-se que a base de dados continha algumas incongruências
que foram eliminadas.
Eliminaram-se registos onde a hora de alta era inferior à hora de observação e registos com
valores de tempos de espera, da admissão para a triagem, demasiadamente altos que
aconteciam apenas quando a entrada do utente correspondia à hora 00:00:00, o que se
depreendeu serem erros nos registos.
Eliminaram-se também registos com tempos de espera, da triagem para a consulta,
superiores a 02:30:00 por parecerem valores desajustados.
Eliminaram-se ainda 905 registos repetidos que continham a mesma data de nascimento e
tempos iguais, 749 registos que continham prioridade 6 (cor branca) e que não consta no
sistema de Triagem de Manchester e 198 registos onde a hora de triagem era inferior à hora
de admissão.
Por último, corrigiram-se 38 registos onde a data de alta era inferior à data de observação.
Com estes ajustes eliminaram-se 4033 registos, que correspondem a 4,4% do total de
registos iniciais, ficando a base de dados final com 87173 registos.
Por haver utentes com entrada no final do dia 31 de dezembro, a saída foi realizada já no
dia 1 de janeiro, não estando estes dados registados na base de dados, o que originou
células vazias. Por isso, e de modo a que estes dados também sejam interpretados pelo
software R, foi colocado, nestas células, o valor NA (Not Available).
Para finalizar o tratamento da base de dados, colocaram-se as colunas das variáveis com
uma ordem lógica, ficando a coluna das prioridades e dos primeiros sintomas obtidos pela
triagem a seguir à coluna dos tempos da triagem.
Deste modo, a base de dados final, e depois de efetuados os cálculos referidos
anteriormente, ficou com as variáveis referidas na Tabela 3.2 e pela ordem indicada,
estando a primeira variável na coluna 1 da base de dados, a segunda variável na coluna 2 e
assim sucessivamente.
Tendo em conta que a importação da base de dados pelo software R será feita através de
um ficheiro com formato .csv, indicam-se, na Tabela 3.2, os nomes das variáveis finais
50
depois de convertidas, pelo Excel, para um ficheiro com formato .csv.
Variáveis finais da Base de Dados
Descrição Nome da variável
Data de nascimento dn
Sexo sexo
Data de admissão da
Hora de admissão ha
ha = (hora admissão do utente) – (hora admissão do
utente anterior) Dha
Data da triagem dt
Hora da triagem ht
tet = ht – ha tet
ht = (tempo de chegada à triagem do utente) – (tempo
de chegada à triagem do utente anterior) Dht
Prioridade prio
Primeira observação médica pom
Pm manchester pm
Data da observação do
Hora da observação ho
tec = ho – ht tec
Data da alta dal
Hora da alta hal
tsc = hal-ho tsc
Destino dest
Tabela 3.2 - Nomes das variáveis depois de convertidas para o formato .csv
3.3. Resultados obtidos da base de dados
Alguns resultados relevantes, obtidos da base de dados, são mostrados nas figuras
seguintes.
A Figura 3.1 mostra o número de utentes, que chegaram, por mês, às urgências, ao longo
do ano de 2014, onde se pode constatar que o mês com maior afluência foi o de agosto,
com 8105 utentes, e o mês com menor número de utentes foi o de fevereiro com 6527.
51
Como nem todos os meses têm o mesmo número de dias representa-se, na Figura 3.2, a
média diária dos utentes que chegaram às urgências, em cada mês. Verifica-se, novamente,
que o mês com maior afluência foi o de agosto, com uma média de 261,5 utentes por dia.
No entanto, o mês com menos afluência de utentes por dia, passa a ser o de novembro com
uma média diária de 224 utentes.
6527
8105
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
Nº utentes por mês
Figura 3.1 - Número de utentes por mês
261,5
224,0
0,0
50,0
100,0
150,0
200,0
250,0
300,0
Média diária de utentes
Figura 3.2 - Média diária de utentes por mês
52
A Figura 3.3 mostra a afluência de utentes, às urgências, por dia de semana. O dia com
mais utentes é a segunda-feira com 14402 e o dia com menos utentes é o domingo com
10677. Estes valores são totais, ou seja, o número de utentes em cada dia, por exemplo ao
domingo, representa a soma dos utentes que chegaram em todos os domingos de 2014.
A Figura 3.4 mostra a afluência de utentes, às urgências, em cada hora do dia. A hora com
mais utentes é das 10h às 11h com 7108 e a hora com menos afluência é das 4h às 5h com
915 utentes. Estes valores são totais, ou seja, o número de utentes representa a soma de
todos os utentes que chegaram nessa hora ao longo do ano.
10677
14402
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Nº utentes totais por dia da semana
Figura 3.3 - Número de utentes totais por dia da semana
Figura 3.4 - Número de utentes totais por hora
915
7108
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Horas
Nº utentes totais por hora
53
A Figura 3.5 mostra o número de utentes, por hora, em dias específicos. Escolheu-se o
domingo e a segunda-feira por serem os dias da semana com menos e mais registos de
utentes, respetivamente, e os meses de novembro e agosto por serem os meses com menos
e mais afluência de utentes, respetivamente.
Por último, a Figura 3.6 mostra a prioridade atribuída aos utentes depois da Triagem de
Manchester. Depois da triagem, verifica-se que a prioridade 3 (cor amarela com situação
urgente) é a que tem o maior número de utentes e a prioridade 1 (cor vermelha com
situação emergente) a que tem menos utentes ao longo do ano.
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Horas
17/08/2014 (domingo)
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Horas
16/11/2014 (domingo)
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Horas
17/11/2014 (segunda-feira)
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
Horas
18/08/2014 (segunda-feira)
Figura 3.5 - Número de utentes em dias específicos
54
3.4. Simulação
Para ser realizada uma simulação, é necessário construir um modelo computacional que
corresponda à situação real que se deseja simular, permitindo obter uma descrição
aproximada das características do sistema em estudo.
Assim, utilizando o software R [11, 22], a programação do modelo foi feita tentando
aproximar o mais possível os dados da simulação aos dados da base de dados. Para isso,
definiram-se os parâmetros correspondentes às taxas média de chegada, taxas média de
serviço e o número de servidores em cada uma das fases do sistema de filas de espera.
Considerando que o sistema em estudo é do tipo múltiplos servidores com múltiplas fases
(Figura 2.11) e tendo em conta as informações fornecidas pelo hospital, as variáveis foram
definidas seguindo os seguintes critérios:
No serviço de admissão do registo inicial do utente, o número de servidores está fixo
durante todo o ano, havendo 2 funcionários (2 servidores) das 08:00h às 00:00h e 1
funcionário (1 servidor) das 00:00h às 08:00h.
No serviço de triagem, o número de enfermeiros é variável havendo sempre 1
enfermeiro (1 servidor) fixo, mas, por vezes, pode ser necessário aumentar este
número. No entanto, esta informação, sobre quando é que há necessidade de aumentar
280
5295
43011 38235
352 0
10000
20000
30000
40000
50000
1 2 3 4 5
Prioridades
Nº utentes depois da Triagem de Manchester
Figura 3.6 - Número de utentes pela Triagem de Manchester
55
o número de enfermeiros na triagem e de quanto pode ser esse aumento, não foi
fornecida pelo hospital.
No serviço de consulta, o número de médicos (servidores) é variável. Nas consultas de
especialidade existem escalas fixas de especialistas 24h por dia, formadas por 3
ortopedistas, 3 cirurgiões, 3 internistas e ainda 1 psiquiatra das 08:00h às 20:00h.
Quanto aos médicos generalistas existem 3 das 08:00h às 14:00h, 4 das 14:00h às
00:00h e 2 das 00:00h às 08:00h, podendo, nalguns casos, existir alterações no número
de médicos generalistas.
Face aos critérios anteriores, e devido à complexidade e a alguma falta de informação,
optou-se por implementar um sistema de fila de espera com três fases: admissão, triagem e
consulta. Na fase de admissão, consideraram-se 2 servidores, na triagem 1 servidor e na
fase consulta 4 servidores. Em todas as fases o sistema de fila é do tipo fila única com uma
disciplina do tipo FCFS (First Come First Served), com exceção da fila para as consultas,
uma vez que, após a triagem, são definidas as prioridades através do sistema de
Manchester. O sistema geral é mostrado na Figura 3.7.
As variáveis e os parâmetros, utilizados na programação da simulação, foram definidos
conforme a Tabela 3.3, onde as taxas de chegada e de serviço correspondem a valores por
hora. Os valores dos parâmetros seriam válidos caso se usasse a base de dados completa,
mas, como se explica na subsecção 3.4.1, estes valores serão alterados devido ao facto de
se usar um subconjunto da base de dados.
Fila única (FCFS)
Admissão (2 servidores)
Triagem (1 servidor)
Consulta (4 servidores)
Fila com prioridades
Fila única (FCFS)
Figura 3.7 - Sistema geral da fila de espera em estudo
56
Variáveis e parâmetros da simulação com base de dados completa
Fase Descrição Nome Valor A
dm
issã
o Taxa média de chegada dos clientes à admissão Tc 10
Taxa média de serviço de um servidor da admissão Ts 10
N.º de servidores na admissão ns 2
Tria
gem
N.º de utentes que vão entrar na fila de espera da triagem nt variável
N.º de utentes que chegaram à triagem nut variável
Taxa média de serviço de um servidor da triagem Tst 10
N.º de servidores na triagem nst 1
Definição das prioridades da triagem triagem variável
Probabilidade de atribuição da cor vermelha após triagem p1 0.00321
Probabilidade de atribuição da cor laranja após triagem p2 0.06074
Probabilidade de atribuição da cor amarela após triagem p3 0.49339
Probabilidade de atribuição da cor verde após triagem p4 0.43861
Probabilidade de atribuição da cor azul após triagem p5 0.00404
Co
nsu
lta N.º de utentes que chegaram à consulta nuc variável
Taxa média de serviço de um servidor da consulta Tsc 4
N.º de servidores nas consultas nsc 4
No
taçã
o c
om
um
às
3 f
ases
N.º de utentes que chegaram ao hospital nu variável
N.º de utentes nas diversas fases do sistema n variável
Tempo da próxima chegada às diversas fases do sistema t1 variável
Tempo da próxima chegada t2 variável
Tempo final da simulação t.end 1000
Relógio t.clock variável
Matriz de dados T variável
N.º de linhas da matriz T dimensao variável
Tabela 3.3 - Variáveis e parâmetros utilizados na simulação
O parâmetro Tc = 10 foi calculado dividindo o número total de registos da base de dados
pelo número de horas do ano (87173/(365*24)10), obtendo-se, assim, o número médio de
utentes que chegam à admissão, por hora. O parâmetro Ts = 10 foi obtido calculando a
média do tempo da duração do serviço na admissão, cujo resultado foi de 6.03 minutos.
Em seguida, dividiu-se uma hora pela média obtida (60/6.0310), obtendo-se, assim, o
número de utentes atendidos por hora. Os restantes parâmetros das taxas médias de serviço
foram obtidos de forma similar. Os parâmetros das probabilidades de atribuição da cor
após a triagem (p1,…,p5) foram obtidos através do comando prop.table(table(h$prio)), que
devolve uma tabela com as proporções da variável prio, existente na base de dados.
57
A simulação consiste em gerar números aleatórios que constroem, através da função rbind,
uma matriz T com uma estrutura de 8 colunas e onde cada linha corresponde aos dados que
caracterizam cada utente. Tendo em conta a estabilidade da simulação, na matriz final,
foram retirados os primeiros valores que poderiam causar alguma instabilidade. O
significado de cada coluna, da matriz, está explicado na Tabela 3.4.
Colunas da matriz T
Nº da
coluna Descrição
1 Hora de chegada ao hospital
2 Hora de início da admissão
3 Hora de fim da admissão
4 Hora de início da triagem
5 Hora do final da triagem
6 Resultado da triagem
7 Hora de entrada na consulta
8 Hora de saída da consulta
Tabela 3.4 - Estrutura da matriz T
Os números gerados relacionados com a hora de fim da admissão (coluna 3) correspondem
à hora de início da fila de espera para a triagem. Assim, os dados da coluna 3 serão iguais
aos da coluna 4 (hora de início da triagem) quando o servidor da triagem estiver livre, uma
vez que, neste caso, não há fila de espera nesta fase. Isto acontece em termos teóricos, mas,
na realidade, haverá sempre um tempo de deslocação entre os postos.
Os números gerados para a hora do final da triagem (coluna 5) correspondem à hora de
início da fila de espera para a consulta. Assim, os dados da coluna 5 serão iguais aos da
coluna 7 (hora de entrada na consulta) quando um dos 4 servidores da consulta estiver
livre, uma vez que, nesta situação, não há fila de espera nesta fase. Tal como no caso
anterior, este facto é válido em termos teóricos, uma vez que, na realidade, haverá sempre
um tempo de deslocação entre os postos.
O código completo do programa da simulação é apresentado no Anexo I.
Um exemplo de uma parte da matriz T, com 10 utentes ordenados pela hora de chegada ao
hospital, gerada pelo software R, é mostrado na Figura 3.8.
58
Figura 3.8 - Matriz T parcial simulada pelo software R
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
. .
.
Analisando a matriz da figura anterior e considerando que os números gerados representam
tempos (por exemplo, minutos), pode-se observar que, por exemplo, o utente número 147
chega ao hospital no minuto 208.0778 (coluna 1) e está em fila de espera até que comece a
ser atendido na admissão inicial, no minuto 208.5910 (coluna 2). Termina o seu registo no
minuto 208.9532 (coluna 3) e espera na fila até que comece a ser atendido na triagem, o
que acontece no minuto 208.9786 (coluna 4), terminando a triagem no minuto 209.0377
(coluna 5). O resultado da triagem para este utente foi o 2 (coluna 6), que corresponde à
cor laranja do sistema de Manchester. Depois da triagem, este utente, e após um tempo em
fila de espera, entra na consulta no minuto 209.3311 (coluna 7) e sai da consulta ao minuto
210.3938 (coluna 8). De referir também que este utente, pelo facto de ter uma prioridade
mais urgente do que a do utente anterior (linha 146), entra na consulta primeiro, mesmo
tendo saído da triagem depois desse utente.
Noutro exemplo, pode-se observar que o utente número 150 sai da triagem no minuto
210.0085 (coluna 5) e entra na consulta no minuto 210.0085 (coluna 7) que, por ser
exatamente o mesmo momento no qual saiu da triagem, significa que não houve fila de
espera entre a triagem e a consulta, ou seja, um servidor estava livre.
3.4.1 Comparação das distribuições da hora de
início da admissão
De modo a que se consiga analisar os resultados e retirar conclusões dos dados fornecidos
pela simulação é necessário que estes dados tenham a mesma distribuição estatística que os
59
dados da base de dados real. Por conseguinte, foi necessário comparar as duas amostras na
expetativa que seguissem a mesma distribuição.
Para a comparação de duas amostras independentes, em que não se conhecem quais as suas
distribuições, utilizam-se testes estatísticos não-paramétricos, que são testes que não
especificam condições sobre os parâmetros nem sobre a distribuição uma vez que apenas
comparam as observações das duas amostras.
Para o caso em estudo, o teste adequado é o Teste de Kolmogorov-Smirnov [2, 12, 23] que
irá ter como hipóteses a testar:
H0: as duas amostras são provenientes da mesma distribuição;
H1: as duas amostras não são provenientes da mesma distribuição.
Pelo facto da base de dados do hospital ter apenas a hora de chegada à admissão inicial e
não a hora de chegada ao hospital, optou-se por comparar estes dados com a coluna 2 da
matriz T de simulação, que representa, tal como a base de dados, a hora de início da
admissão.
De referir que enquanto na base de dados existem comportamentos bem diferenciados, por
exemplo se considerarmos diferentes horas ou diferentes dias ao longo do ano, na matriz
de simulação todos os dados são homogéneos, não havendo grandes diferenças entre os
dados gerados dos diversos utentes. Por exemplo, conforme foi retratado anteriormente, o
número de utentes entre as 03:00h e as 05:00h é bem distinto do número de utentes entre as
12:00h e as 14:00h, razão pela qual a base de dados referente ao primeiro período será
caracterizada por uma distribuição totalmente distinta da que caracteriza o segundo período
referido. Por este facto, para a comparação das distribuições entre os dados reais e os
simulados, escolheu-se um subconjunto da base de dados que corresponda a um
comportamento homogéneo. Considerando os gráficos da Figura 3.3 e da Figura 3.4,
optou-se por selecionar os registos das quartas-feiras e quintas-feiras, entre as 14:30h e
16:30h, durante todos os dias do ano, fazendo com que a base de dados parcial ficasse com
3459 registos. Qualquer outro horário, desde que homogéneo, pode ser modelado de forma
análoga à que iremos aplicar.
Tendo em conta o subconjunto selecionado, alguns parâmetros descritos na Tabela 3.3
foram recalculados. Assim, aplicando os mesmos métodos descritos na secção 3.4 e de
modo a aproximar as duas distribuições o mais possível, chegou-se aos valores descritos na
60
Tabela 3.5 (alterações assinaladas com cor). Foi com estes valores que se efetuaram os
testes de comparação das distribuições e, doravante, de cada vez que se fizer referência à
base de dados entenda-se que esta engloba, apenas, o subconjunto atrás referido.
Parâmetros da simulação com o subconjunto da base de dados
Descrição Nome da
variável Valor
Taxa média de chegada dos clientes à admissão Tc 15
Taxa média de serviço de um servidor da admissão Ts 10
N.º de servidores na admissão ns 2
Taxa média de serviço de um servidor da triagem Tst 21
N.º de servidores na triagem nst 1
Probabilidade de atribuição da cor vermelha após triagem p1 0.00145
Probabilidade de atribuição da cor laranja após triagem p2 0.05984
Probabilidade de atribuição da cor amarela após triagem p3 0.52472
Probabilidade de atribuição da cor verde após triagem p4 0.41081
Probabilidade de atribuição da cor azul após triagem p5 0.00318
Taxa média de serviço de um servidor da consulta Tsc 4
N.º de servidores nas consultas nsc 4
Tempo final da simulação t.end 1000
Tabela 3.5 - Parâmetros utilizados na simulação
Note-se que, sendo Ts < Tc, poderia levar à interpretação de que a fila iria ficar infinita,
uma vez que o serviço seria mais lento do que a chegada de utentes. No entanto, existindo
2 servidores na fase de admissão (ns = 2) faz com que a taxa de serviço global desta fase
seja de 20 utentes por hora, escoando, assim, os 15 utentes por hora que chegam ao serviço
de admissão.
Como os dados fornecidos pela simulação têm um formato do tipo número e os da base de
dados têm um formato do tipo hh:mm:ss foi necessário converter estes dados também para
o formato numérico, para que depois fosse possível a comparação.
Para comparar as distribuições calculou-se, na simulação e na base de dados, as diferenças
dos tempos de chegada à admissão inicial entre um utente e o anterior, obtendo-se, assim, o
tempo entre duas chegadas consecutivas. Na base de dados, estas diferenças já tinham sido
determinadas, através do cálculo de ha, quando se efetuou o tratamento dos dados ainda
no ficheiro do Excel, tal como está explicado na secção 3.2. A esta variável foi atribuído o
nome de Dha, depois de converter o ficheiro para o formato .csv, conforme está também
descrito na Tabela 3.2.
61
Por último, aplicou-se o Teste de Kolmogorov-Smirnov, que no software R [10] é aplicado
através do comando ks.test() [18].
O teste devolveu um p-value < 2.2e-16 , o que levaria a rejeitar a hipótese nula e com isso
concluir que haveria evidência estatística de que as duas amostras não são provenientes da
mesma distribuição. Contudo, apesar da variável tempo ser contínua na base de dados, ela
está aproximada ao minuto (os primeiros registos da variável Dha são, 00:07:00, 00:02:00,
00:05:00, etc.) tornando-a discreta e fazendo com que o teste compare uma variável
discreta com uma variável contínua, a gerada pelos dados da simulação, que, obviamente,
não têm a mesma distribuição o que resulta na rejeição da hipótese nula.
Pelo facto do resultado não levar à expetativa inicial optou-se por analisar e comparar
outras medidas.
Contudo, refira-se que o Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras analisa a
distância máxima, D, entre as duas funções de distribuição empíricas. Por conseguinte,
representando graficamente as duas distribuições, através da função ecdf (empirical
cumulative distribution function), obtém-se o resultado da Figura 3.9, onde se pode
constatar que essa distância não é significativa, levando a supor que as duas amostras
podem ser provenientes da mesma população.
Figura 3.9 - Distribuições empíricas (coluna 2 vs. variável Dha)
62
Por outro lado, comparando algumas medidas destas duas amostras, por exemplo
recorrendo às funções summary (resumo) e sd (desvio padrão) de ambas as amostras,
obtiveram-se os resultados da Tabela 3.6.
Analisando a tabela anterior, verificam-se resultados muito idênticos o que leva a supor
que as duas amostras podem seguir a mesma distribuição.
Outra representação das duas distribuições pode ser feita através do gráfico quantil-quantil
plot, que no software R é aplicado através do comando qqplot() [16]. Este gráfico é
utilizado para analisar a distribuição dos quantis de dois conjuntos de dados. Neste gráfico,
os pontos do plano são formados pelos quantis das duas amostras (dados simulados e dados
reais). Se os pontos se alinharem numa reta de inclinação 1 (x = y), então as distribuições
das duas amostras podem ser consideradas iguais. Assim, representando as duas amostras,
obtém-se o gráfico da Figura 3.10, onde se pode observar que a maior parte dos pontos
coincidem com a reta x = y ou estão próximos dela. Face a estes resultados, mais uma vez
parece não haver grande diferença entre as duas distribuições.
Figura 3.10 - Quantil - Quantil Plot (coluna 2 vs. variável Dha)
Tabela 3.6 - Algumas medidas das duas amostras (coluna 2 vs. variável Dha)
63
Outro teste adequado para comparar distribuições de duas amostras é o teste de
ajustamento do Qui-Quadrado [21]. Este teste divide as observações em intervalos e depois
compara as frequências desses intervalos. Por ser uma exigência do teste colocaram-se as
duas amostras com a mesma dimensão, aplicando-se, depois, o comando chisq.test() [19].
O teste devolveu um p-value = 0.4601, não rejeitando a hipótese nula. Por isso,
considerando as hipóteses iniciais, não há evidência estatística de que as duas amostras não
sejam provenientes da mesma distribuição.
Concluindo, apesar do Teste de Kolmogorov-Smirnov rejeitar a hipótese nula, pelas razões
previamente referidas, a análise gráfica, os resultados das medidas e o teste do
Qui-Quadrado indicam que as duas amostras podem seguir a mesma distribuição, pelo
menos de forma aproximada.
O código completo do programa da comparação destas distribuições é apresentado no
Anexo II.
3.4.2 Comparação das distribuições do tempo
de espera para a triagem
Tal como descrito na secção 3.2, a variável da base de dados foi calculada fazendo a
diferença entre os tempos da hora de início da triagem e da hora de admissão, atribuindo-se
o nome de tet (tet = ht – ha). Neste caso, o objetivo seria comparar os tempos de espera
para a triagem. No entanto, como a base de dados não tem informação sobre os tempos
relativos ao fim do serviço de admissão, não foi possível fazê-lo de forma direta. Por essa
razão, optou-se pela comparação da soma de dois tempos: o tempo do serviço de admissão
e o tempo de espera para a triagem. Assim, de modo a que faça sentido a comparação com
os dados da simulação, teve que se comparar a variável tet, com a diferença entre os
tempos da coluna 4 (hora de início da triagem) e da coluna 2 (hora de início da admissão)
da matriz de simulação. Os métodos utilizados para a comparação foram os mesmos
descritos na subsecção anterior.
O Teste de Kolmogorov-Smirnov voltou a rejeitar a hipótese nula. Analisando o gráfico das
distribuições empíricas e o gráfico quantil-quantil plot, representados na Figura 3.11,
64
pode-se observar que as funções de distribuição dos dois conjuntos de dados não são muito
distintas e muitos dos pontos dos quantis amostrais estão próximos da reta x = y, embora
estes se afastem um pouco da reta quando a variável assume valores mais altos.
Pelo facto da variável tet ter os tempos aproximados ao segundo, ela deixou de ser discreta
e passou a ser mais próxima de contínua, tal como se constata na Figura 3.11, ao contrário
do que acontecia com a variável Dha. No entanto, aparentemente, as duas amostras não
seguem exatamente a mesma distribuição. Uma opção seria recorrer à estatística não
paramétrica para tentar estimar a distribuição de cada um dos diferentes tempos do sistema.
Contudo, uma vez que a base de dados não permite obter o tempo de serviço, pelas razões
anteriormente apontadas, não foi possível usar a estatística não paramétrica de modo a
aferir a distribuição de cada um dos tempos.
Face a esta impossibilidade optou-se por tentar modelar e comparar algumas medidas
destas duas amostras. Isto é, manteve-se na modelação a distribuição exponencial, dado ser
impossível deduzir a distribuição dos tempos, e estimou-se os valores dos parâmetros de
forma a aproximar, dentro do possível, algumas medidas tais como a média, quartis,
extremos e desvio padrão. Assim, recorrendo às funções summary e sd, obtiveram-se os
resultados da Tabela 3.7.
Figura 3.11 - Comparação das distribuições ( (T[4]-T[2]) vs. variável tet )
65
Analisando a tabela anterior, verifica-se que os resultados são aproximados, levando a
supor que as duas amostras podem seguir distribuições aproximadas. Refira-se que estes
resultados foram obtidos após se somar 0.03 aos dados da simulação, de modo a
aproximá-los dos dados da base de dados. Este tempo pode ser interpretado como um
tempo que os utentes gastam enquanto circulam entre as fases do sistema.
O teste de ajustamento do Qui-Quadrado devolveu um p-value = 0.3167, não rejeitando a
hipótese nula, não havendo, por isso, evidência estatística de que as duas amostras não
sejam provenientes da mesma distribuição.
Concluindo, a análise gráfica, os resultados das medidas e o teste do Qui-Quadrado
indicam que as duas amostras podem seguir a mesma distribuição, pelo menos de forma
aproximada, sendo os valores encontrados para os parâmetros da simulação minimamente
aceitáveis.
O código completo do programa da comparação destas distribuições é apresentado no
Anexo II.
3.4.3 Comparação das distribuições do tempo
de espera para a consulta
Neste caso, a análise foi feita com a diferença dos tempos entre a coluna 7 (hora de entrada
na consulta) e a coluna 4 (hora de início da triagem) da matriz T de simulação e
comparando-a com a variável tec da base de dados. A variável tec (tec = ho – ht), tal como
descrito na secção 3.2, representa a diferença entre os tempos da hora de observação, ou
seja, a hora de entrada na consulta, e da hora de início da triagem, coincidindo, assim, com
a diferença de tempos da matriz de simulação. Tal como no tópico anterior, os métodos
usados foram os descritos na subsecção 3.4.1.
Tabela 3.7 - Algumas medidas das duas amostras ( (T[4]-T[2]) vs. variável tet )
66
As dificuldades na comparação das distribuições referidas para a variável tet
mantiveram-se para a variável tec. Contudo, os valores encontrados para os parâmetros da
simulação, descritos na Tabela 3.5, acabam por ser minimamente aceitáveis, usando-se, por
isso, a mesma metodologia já descrita aquando da análise da variável tet.
Pelas mesmas razões da variável anterior, foi também somado aos dados da simulação o
valor de 0.0025. Retiraram-se ainda 14 valores (correspondentes a menos de 0.1%) dos
dados da simulação que estavam muito afastados dos restantes, considerando apenas os
menores do que 8.2, fazendo com que os dados das duas amostras se aproximassem.
Os gráficos das distribuições empíricas e o gráfico quantil-quantil plot estão representados
na Figura 3.12.
Recorrendo às funções summary e sd, obtiveram-se os resultados da Tabela 3.8.
Apesar do teste de ajustamento do Qui-Quadrado ter devolvido um p-value = 0.2675, não
rejeitando a hipótese nula, nota-se, quer pelos gráficos, quer pelos resultados das medidas,
Figura 3.12 - Comparação das distribuições ( (T[7]-T[4]) vs. variável tec )
Tabela 3.8 - Algumas medidas das duas amostras ( (T[7]-T[4]) vs. variável tec)
67
diferenças ligeiramente mais acentuadas em relação às variáveis anteriores. No entanto, e
após diversos testes, foi com os valores dos parâmetros anteriormente referidos que se
conseguiu a melhor aproximação entre a distribuição estatística da simulação e da base de
dados. Todavia, saliente-se que a distribuição que caracteriza os tempos de serviço não é a
exponencial, pois não é possível aproximar todos os parâmetros simultaneamente, uma vez
que, quando um é tido em consideração os restantes pioram.
O código completo do programa da comparação destas distribuições é apresentado no
Anexo II.
Admitindo que os valores testados para os parâmetros da simulação podem ser encarados
como minimamente aceitáveis de forma a aproximar as distribuições das duas amostras,
nas várias fases do sistema, efetuaram-se de seguida, várias simulações, alterando os
parâmetros, de modo a testar eventuais ganhos que possam contribuir para uma melhoria
da eficiência do sistema. São essas simulações e as respetivas análises e resultados que
estão descritos no capítulo seguinte. Contudo, reiteramos a inexistência de dados que
permitam uma análise não paramétrica através da qual se poderia estimar a função de
distribuição. Deste modo, foi utlizada a usual distribuição exponencial procurando-se,
unicamente, os valores dos parâmetros que melhor aproximam os dados simulados dos
dados reais.
68
69
4. Análise de Resultados
Neste capítulo, pretendeu-se fazer uma análise de sensibilidade, criando cenários diversos
através da alteração de vários parâmetros do modelo. Foi também testada a estabilidade do
modelo e apresentados resultados e as respetivas análises. O código do programa usado
para obter os resultados é apresentado no Anexo III.
Os resultados obtidos tiveram por base a criação das variáveis que se explicam em seguida.
tea: média do tempo de espera, de cada utente, até iniciar o registo na admissão inicial.
Obtida através do cálculo da média da diferença entre a coluna 2 (hora de início da
admissão) e a coluna 1 (hora de chegada ao hospital).
tsa: média do tempo que cada utente esteve na admissão, ou seja, a média do tempo de
serviço da admissão. Obtida através do cálculo da média da diferença entre a coluna 3
(hora de fim da admissão) e a coluna 2 (hora de início da admissão).
tet: média do tempo de espera, de cada utente, desde que saiu da admissão até iniciar a
triagem. Obtida através do cálculo da média da diferença entre a coluna 4 (hora de
início da triagem) e a coluna 3 (hora de fim da admissão).
tst: média do tempo que cada utente esteve na triagem, ou seja, a média do tempo de
serviço da triagem. Obtida através do cálculo da média da diferença entre a coluna 5
(hora de fim da triagem) e a coluna 4 (hora de início da triagem).
tec: média do tempo de espera, de cada utente, desde que saiu da triagem até iniciar a
consulta. Obtida através do cálculo da média da diferença entre coluna 7 (hora de
entrada na consulta) e a coluna 5 (hora de fim da triagem).
tsc: média do tempo que cada utente esteve na consulta, ou seja, a média do tempo de
serviço da consulta. Obtida através do cálculo da média da diferença entre a coluna 8
(hora de saída da consulta) e a coluna 7 (hora de entrada na consulta).
No sistema geral em estudo, as variáveis distribuem-se como se mostra na Figura 4.1.
70
4.1. Alteração do número de servidores
Alterando o número de servidores na admissão (parâmetro ns), e mantendo os outros
parâmetros nos valores definidos na Tabela 3.5, obtiveram-se os resultados da Tabela 4.1.
A alteração do parâmetro ns, tem, sobretudo, influência na variável tea, porque é nessa
coluna que se notam diferenças significativas. Para ns=1 também se verificam oscilações
nas variáveis tet e tec, em relação aos outros valores de ns. O facto de existir apenas 1
servidor origina tempos de espera elevados, fazendo com que, depois da admissão, os
utentes cheguem aos serviços seguintes com intervalos de tempos muito maiores e por isso
não encontram filas de espera, daí os tempos de espera reduzidos no serviço de triagem e
no de consulta. As ligeiras oscilações que as outras variáveis sofrem devem-se à geração
de números aleatórios de cada vez que se efetua uma simulação, sendo que, os resultados
de cada ns são obtidos através de simulações distintas.
Assim, verifica-se que o sistema é menos eficiente se tiver apenas 1 servidor na admissão,
uma vez que o tempo de espera é muito superior em relação às outras simulações. A partir
de 2 servidores o sistema começa a ser aceitável e quantos mais servidores houver menor
será o tempo de espera para o serviço de admissão, como expectável, contudo a diferença é
cada vez mais diminuta. Inicialmente, o sistema foi definido para 2 servidores na admissão
e, considerando também os custos inerentes ao aumento de servidores, parece ser,
aparentemente, um valor razoável.
tea Admissão
tsa Triagem
tst Consulta
tsc tec tet
Figura 4.1 - Variáveis em análise no modelo
Tabela 4.1 - Alterações em ns (número de servidores na admissão)
71
Alterando o número de servidores na triagem (parâmetro nst), e mantendo os outros
parâmetros nos valores definidos na Tabela 3.5 (análise ceteris paribus), obtiveram-se os
resultados da Tabela 4.2.
Pelas mesmas razões apontadas para o parâmetro anterior, conclui-se que o parâmetro nst
apenas tem influência na variável tet. Mais uma vez se nota que à medida que aumenta o
número de servidores na triagem o tempo de espera vai diminuindo e de forma acentuada,
mas as diferenças vão sendo cada vez menos significativas. O sistema, inicialmente, estava
definido para 1 servidor mas, neste caso, seria vantajoso aumentar o número de servidores
para 3 (ou pelo menos para 2), uma vez que há uma grande diminuição no tempo de
espera, tornando o sistema muito mais eficiente. Foi com 3 servidores na triagem que se
efetuaram as simulações seguintes, as do último servidor.
Alterando o número de servidores na consulta (parâmetro nsc), com nst=3 e mantendo os
outros parâmetros (Tabela 3.5), obtiveram-se os resultados da Tabela 4.3. Para que a
análise não fique muito exaustiva optou-se por apresentar os exemplos mais relevantes.
Pelas mesmas razões já descritas, o parâmetro nsc tem influência apenas na variável tec.
Com valores inferiores a 4 servidores o sistema fica ineficiente, devido ao tempo de espera
para a consulta ser demasiado elevado (para nsc=3 verifica-se tec=63.3). A partir de 6
servidores o sistema fica aceitável, mas é a partir de 8 servidores que o sistema fica
eficiente, porque, depois de consultar a matriz T gerada, verifica-se que a maior parte dos
tempos de entrada na consulta são iguais aos tempos de fim da triagem, significando que os
utentes, praticamente, não encontram fila de espera ao passar da triagem para a consulta.
Como o sistema, inicialmente, estava definido para 4 servidores, será mais vantajoso
Tabela 4.2 - Alterações em nst (número de servidores na triagem)
Tabela 4.3 - Alterações em nsc (número de servidores na consulta)
72
aumentar esse número para 8. Note-se que o modelo foi simplificado uma vez que apenas
se considerou postos de consulta, sem ter em conta as especialidades, uma vez que não se
analisou o comportamento das filas de espera para as consultas de especialidade, embora
estas existam no sistema real.
Assim, assumindo estes novos parâmetros, a que chamaremos parâmetros eficientes,
calculou-se o tempo médio de permanência total dos utentes no hospital, ou seja, o tempo
médio decorrido desde hora de entrada dos utentes no hospital (coluna 1 da matriz de
simulação) até à hora de saída da consulta (coluna 8 da matriz de simulação) e
comparou-se com o tempo de permanência considerando os parâmetros iniciais. Pelo
gráfico da Figura 4.2, onde foi também introduzida uma simulação com parâmetros
intermédios, verifica-se que houve uma redução significativa nesse tempo.
4.2. Eficiência após a triagem
Considerados os parâmetros iniciais, descritos na Tabela 3.5 e depois de calcular as médias
do tempo de espera para a consulta, confirmou-se, que quanto maior for a urgência do
utente, menor será o tempo de espera, como se vê pela Tabela 4.4. Recorde-se que a cor
vermelha indica a maior urgência (emergente) e a cor azul a não urgente.
Figura 4.2 - Tempo no hospital com vários cenários
73
Considerando os parâmetros eficientes, encontrados na secção 4.1 (nst=3 e nsc=8),
obteve-se a Tabela 4.5, onde se confirmou que os tempos de espera, depois da triagem,
reduzem de forma acentuada, chegando a não haver fila de espera para os utentes
classificados com cor vermelha, confirmando-se, assim, a eficiência do sistema com estes
novos parâmetros.
Em relação ao número total de utentes por cor de triagem, quer com os parâmetros iniciais,
quer com os parâmetros eficientes, os valores foram idênticos, tal como se verifica na
Tabela 4.6, pelo facto de estes números serem gerados aleatoriamente em função das
probabilidades de atribuição de cada cor, definidas na Tabela 3.5. As pequenas diferenças
que se verificaram foram devidas ao facto de se terem obtido os valores em simulações
diferentes, ou seja, a eficiência do serviço não afeta os resultados da triagem.
4.3. Estabilidade do modelo
Sendo a simulação um processo artificial, que retrata o comportamento de um fenómeno
aleatório, esta permite observar o comportamento desse fenómeno que será tão mais fiável
quantas mais vezes for repetido.
Assim, de modo a aferir a estabilidade do modelo, efetuou-se uma simulação com 100
Tabela 4.4 - Tempos de espera depois da triagem (parâmetros iniciais)
Tabela 4.5 - Tempos de espera depois da triagem (parâmetros eficientes)
Tabela 4.6 - Número de utentes por triagem
74
sequências3 e, através do comando rbind, do software R, complementado com o ciclo for,
foi construída uma matriz onde cada linha corresponde aos dados gerados por cada
sequência. As colunas da matriz mostram os resultados da média, da mediana e do desvio
padrão, optando-se por analisar as variáveis dados_sim (tempo entre duas chegadas
consecutivas à admissão), dados_sim1 (diferença entre os tempos da coluna 4 e da coluna
2) e dados_sim2 (diferença entre os tempos da coluna 7 e da coluna 4). A opção por estas
três variáveis teve como finalidade medir, praticamente, todo o modelo (diferença entre
chegadas, da coluna 2 à 4 e da coluna 4 à 7). Estas variáveis foram explicadas no capítulo 3
e foram introduzidas no código da comparação das distribuições, apresentado no Anexo II.
Deste modo, a matriz ficou com 100 linhas correspondentes ao número de sequências e 9
colunas, que correspondem às 3 medidas de cada uma das variáveis.
Uma parte da matriz gerada é mostrada na Tabela 4.7, onde as variáveis dados_sim,
dados_sim1 e dados_sim2 foram abreviadas para ds, ds1 e ds2, respetivamente.
Refira-se que a mediana é obtida do conjunto de dados quando este se encontra ordenado.
Contudo, a função median, do software R, já tem em conta a ordenação, não havendo a
necessidade de se ordenar os dados antes de executar o comando que devolve a mediana.
Após obter a matriz das sequências, chegou-se aos resultados, através da função summary,
representados na Tabela 4.8, que mostram um resumo de cada coluna da matriz gerada.
3 Como curiosidade, refira-se que esta simulação demorou 17 horas até ficar concluída.
Tabela 4.7 - Parte da matriz gerada através de 100 sequências
75
Analisando a tabela anterior concluiu-se que, na maior parte das colunas, a diferença entre
o mínimo e o máximo é pouco significativa, que a mediana é igual ou muito próxima da
média e que a amplitude interquartil (diferença entre o terceiro e o primeiro quartil) é
pequena. Estas características mostram que não existe grande variabilidade dos dados em
cada coluna, indicando que o sistema é estável. Contudo, é também notório que a variável
ds2 apresenta uma maior variabilidade que as restantes variáveis, como se pode constatar
pelas distâncias entre o máximo e as restantes medidas (nomeadamente na média e no
desvio padrão).
Salienta-se, assim, a importância da estabilidade de uma simulação quando se aumenta o
número de sequências, de modo a obter uma descrição mais fiável das características do
sistema em estudo, destacando o papel que a simulação pode desempenhar na análise dos
resultados.
Tabela 4.8 - Resumo da matriz gerada com 100 sequências
76
77
5. Conclusão
Na área da saúde, as decisões sobre como e quando colocar pessoal, equipamentos, camas,
e outros recursos, a fim de minimizar os atrasos sofridos pelos pacientes, são, muitas vezes,
ainda mais difíceis de tomar do que em outros setores de serviços, devido a limitações de
custos por um lado e consequências, potencialmente graves, de atrasos por outro lado.
Portanto, é imperativo que essas decisões sejam baseadas na maior informação possível e
assentes nas melhores metodologias disponíveis de forma a analisar o impacto das várias
alternativas [8].
Os serviços de urgência representam um papel fulcral no Serviço Nacional de Saúde. Estes
serviços são destinados a emergências e pacientes em situações urgentes, sendo normal
existir uma grande afluência de pacientes no serviço e, consequentemente, originar
problemas devidos a longos tempos de espera, provocando descontentamento dos
pacientes.
Um serviço de urgência que se preocupe com os tempos de espera dos pacientes pode
adotar medidas para os melhorar, caso estes não sejam aceitáveis. Esta ideia foi a base
deste estudo e é a pensar na eficiência do serviço de urgência e no benefício dos pacientes
que foi desenvolvido um modelo de simulação, através do software R, que permitiu criar
vários cenários e com isso testar qual a melhor solução. A grande vantagem desta
abordagem reside na profundidade de conhecimento passível de ser adquirido pela sua
modelação, capaz de proporcionar um modelo de simulação preciso e próximo da
realidade, concebendo resultados mais fidedignos. A simulação é uma das técnicas mais
populares de operações de investigação, por ser uma ferramenta flexível, poderosa e
intuitiva. Em questão de segundos ou minutos, o modelo pode simular até mesmo anos de
operação de um sistema típico, gerando uma série de observações estatísticas sobre o
desempenho do sistema ao longo desse período [20].
Neste estudo, não foram considerados os fatores económicos que devem estar associados,
também, à eficiência de um sistema. Apenas se procurou encontrar o melhor desempenho
do modelo associado ao sistema de filas de espera do estudo de caso. Considerando os
custos associados ao sistema, não se pode dizer que a solução encontrada seja a solução
ótima, uma vez que não se teve em conta todo o conjunto de fatores que influenciam as
78
tomadas de decisão. Contudo, mesmo sem os cálculos dos custos inerentes ao processo, a
possível solução mais eficiente, teve em conta, intuitivamente, esse fator.
Com a simulação pretendeu-se, numa primeira fase, estimar, estatisticamente, os
parâmetros pretendidos, constituindo um aspeto importante no contexto das filas de espera
e, numa segunda fase, encontrar os parâmetros que melhor se adequavam ao sistema em
estudo. A vantagem reside no facto de se poderem modelar, através da simulação, sistemas
muito complexos, cuja análise seria difícil ou mesmo impossível de outra forma. A
desvantagem consiste no facto de os resultados obtidos não fornecerem soluções exatas,
mas estimativas, que variam frequentemente, embora com valores aproximados, de
simulação para simulação.
Os dados operacionais necessários para os parâmetros de entrada de um modelo de filas de
espera estão, muitas vezes, indisponíveis nos serviços de saúde [8]. Especificamente, neste
estudo, embora os dados da hora de chegada do utente às várias fases do sistema estejam
gravados, a hora de chegada ao hospital e os tempos de serviço não estão registados. Por
exemplo, pelos dados fornecidos, apenas se sabe a hora de chegada dos utentes ao servidor
mas não se sabe a que horas concluíram esse serviço. Este facto constituiu uma limitação
para o estudo, impedindo a tradução fiel do sistema real na simulação o que,
consequentemente, conduziu também a restrições na análise dos resultados.
Assim, uma análise de um sistema de filas de espera exige um esforço de recolha de dados
para estimar, por exemplo, o tempo que um prestador de cuidados de saúde gasta com um
paciente. Por outro lado, quanto mais comum se torna o uso de sistemas de tecnologia da
informação nos cuidados de saúde, mais este tipo de dados deveria estar também
facilmente disponível.
Neste estudo, ainda não tivemos disponíveis os tempos que nos permitissem modelar a
distribuição do tempo de cada serviço, uma clara restrição do presente estudo. Contudo,
todos os dados necessários foram inseridos no modelo de simulação, procurando
analisar-se o sistema, de modo a fazê-los coincidir com os dados reais existentes,
nomeadamente aquando da análise das distribuições estatísticas.
Considerando os fatores descritos, as simulações e as análises efetuadas no capítulo 4,
conclui-se que os parâmetros que representam um sistema mais eficiente no serviço de
urgência da unidade de saúde do HSA, são os descritos na Tabela 5.1.
79
Parâmetros ideais no sistema de filas de espera do HSA
Descrição Valor
Nº de servidores na admissão 2
Nº de servidores na triagem 3
Nº de servidores nas consultas 8
Tabela 5.1 - Parâmetros ideais
O modelo de simulação mostrou ser uma ferramenta adequada quando se pretende
acompanhar o fluxo dos pacientes através de um serviço hospitalar e estimar os efeitos das
decisões. Com este modelo de simulação é possível estimar um grande número de medidas
de desempenho, relacionadas com a ocupação de recursos e com os tempos de espera dos
utentes. É possível estimar, também, as alterações dessas medidas em função das decisões
tomadas.
Para além dos dados, uma análise de filas de espera de uma unidade de saúde requer a
identificação de outras medidas que também podem ser importantes para um serviço de
excelência. Estas medidas devem refletir a perspetiva do paciente, bem como a realidade
clínica [8]. Por exemplo, chegadas de utentes ao hospital com problemas não urgentes
podem não necessitar de cuidados dentro de uma hora ou mais. Na perspetiva clínica será
um tempo de espera razoável mas irá resultar em altos níveis de insatisfação por parte do
paciente, podendo até levá-lo ao abandono do sistema, o que poderia resultar em perda de
receita. Decidir sobre o que poderá ser um padrão de espera razoável numa instalação
específica de cuidados de saúde não é trivial devido à falta de conhecimento de ambas as
expectativas, a do paciente e a do impacto que os atrasos podem ter nos resultados clínicos
para a maioria dos problemas de saúde.
Em resumo, os gestores de saúde devem estar conscientes da necessidade de usar os seus
recursos de forma tão eficiente quanto possível, a fim de continuar a assegurar que as suas
instituições sobrevivam e prosperem. Com este estudo tentou demonstrar-se que uma
gestão eficaz do sistema de filas de espera é essencial para este objetivo, bem como para a
melhoria da capacidade de atendimento, em tempo adequado, dos pacientes. No entanto, a
gestão eficaz da capacidade de atendimento deve lidar com complexidades como os
compromissos entre a flexibilidade e a qualidade da assistência, os tipos de pacientes, os
intervalos entre chegadas variados e imprevistos, e, muitas vezes, as diferentes perspetivas
dos administradores, médicos, enfermeiros e pacientes. Todos estes fatores são desafios
80
que afetam a capacidade dos gestores hospitalares para controlar os custos e melhorar a
qualidade da prestação de cuidados de saúde. Para enfrentar esses desafios, os gestores
devem estar informados, através dos dados e de medidas de desempenho do sistema, de
modo a usar esses dados e medidas em modelos, para obter análises que não podem ser
obtidas a partir da experiência e da intuição. A análise de sistemas de filas de espera é uma
das ferramentas mais práticas e eficazes para a compreensão desses sistemas, podendo
auxiliar a tomada de decisões na gestão de recursos críticos, razão pela qual deve tornar-se
tão amplamente utilizada na comunidade médica como o é em outros setores de serviços.
5.1. Trabalho futuro
Face às limitações, já referidas, da base de dados do hospital, seria importante o
aperfeiçoamento dos dados contidos nessa base de dados. Assim, será crucial obter dados
dos tempos de cada um dos serviços, de modo a obter, através da estatística não
paramétrica, a distribuição aproximada que caracteriza esses tempos. Outra informação que
não consta na base de dados é a hora de chegada de cada utente ao hospital. Por isso, esse
aperfeiçoamento deve passar por adotar técnicas que permitam recolher todos os dados
necessários ou então, usando um método mais exaustivo, recolher esses dados através de
um processo manual, um trabalho que necessitará de tempo e disponibilidade. Neste caso,
o trabalho de campo iria exigir autorizações prévias e um planeamento adequado de forma
a ser possível obter dados para os diferentes meses do ano, os diferentes dias da semana e
as diferentes horas do dia.
Outra sugestão para um trabalho futuro será efetuar o mesmo tipo de estudo noutros
serviços do hospital ou até em outras unidades hospitalares.
Por último, será interessante também aperfeiçoar o modelo de simulação, criando uma
aplicação que permita a introdução de parâmetros, de forma rápida, por exemplo quando
há alteração do número de médicos ou quando o número de chegadas de utentes ao
hospital cresce rapidamente, de forma a observar de imediato quais as consequências no
sistema.
81
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83
84
85
Anexo I – Código da simulação
################### # Variáveis globais ################### t.end <- 1000 # Duração das simulações seq = 1 # Número de réplicas (sequências) Tc <- 15 # Taxa média de chegada dos clientes à admissão Ts <- 10 # Taxa média de serviço de um servidor da admissão ns <- 2 # Número de servidores na admissão nt <- rep(0,seq) # Número de utentes que vão entrar na fila de espera da
# triagem Tst <- 21 # Taxa média de serviço de um servidor da triagem nst <- 1 # Número de servidores na triagem Tsc <- 4 # Taxa média de serviço de um servidor da consulta nsc <- 4 # Número de servidores na consulta # Probabilidades da triagem de Manchester p1=0.00145; p2=0.05984; p3=0.52472; p4=0.41081; p5=0.00318 triagem <- function(){a=runif(1) if (a<p1) {return(1)} # Vermelho else if (a<p1+p2) {return(2)} # Laranja else if (a<p1+p2+p3) {return(3)} # Amarelo else if (a<p1+p2+p3+p4) {return(4)} # Verde else {return(5)} # Azul } ########## # Matriz T ########## # Tem 8 colunas que caracterizam cada utente: # C1 - Hora de chegada ao hospital # C2 - Hora de início da admissão # C3 - Hora de fim da admissão # C4 - Hora de início da triagem # C5 - Hora de fim da triagem # C6 - Resultado da triagem # C7 - Hora de entrada na consulta # C8 - Hora de saída da consulta T=rbind() # Construção da matriz T #################### #Sistema de admissão #################### nu <- 0 # Número de utentes que já chegaram ao hospital t.clock <- 0 # Relógio n <- 0 # Número de clientes no sistema de admissão t1 = rexp(1, Tc) # Tempo da primeira chegada à admissão
86
t2 = t.end # Inicialização do t2 while (min(t1,t2)< t.end) { if (t1<t2) # Chegada de novo utente à fila da admissão { nu=nu+1 T=rbind(T,c(t1,0,t.end,0,t.end,0,t.end,t.end)) n=n+1 t.clock=t1 t1= t1 + rexp(1, Tc) # Próximo cliente if (n<=ns) {T[nu,2] = t.clock
T[nu,3] = t.clock + rexp(1, Ts) #verifica se # existe servidor livre T=rbind(T[order(T[,3]),]) t2=T[nu-n+1,3]} } else # Saída de um utente com a admissão realizada { n=n-1 t.clock=t2 T=T[order(T[,1]),] if (n>ns-1) {T[nu-n+ns,2] = t.clock T[nu-n+ns,3]= t.clock + rexp(1, Ts) T=T[order(T[,3]),]} if (n>0) {t2=T[nu-n+1,3]} else {t2=t.end} } } T=T[1:(nu-n),] # Retira os valores que não entraram na admissão até
# t.end #################### #Sistema de triagem #################### t.clock <- 0 # Relógio n <- 0 # Número de clientes no sistema de triagem nut <- 0; # Número de utentes que chegaram à triagem t1 = T[1,3] # Tempo da primeira chegada à triagem t2 = t.end # Inicialização do t2 dimensao<-nrow(T) # Número de linhas while (min(t1,t2)< t.end) { if (t1<t2) # Chegada de novo utente à fila da triagem { nut=nut+1 n=n+1 t.clock=t1 T=T[order(T[,3]),] if (nut<dimensao) {t1= T[nut+1,3]} else {t1=t.end} if (n<=nst) {T[nut,4] = t.clock T[nut,5] = t.clock + rexp(1, Tst) T[nut,6] = triagem() T=T[order(T[,5]),] t2=T[nut-n+1,5]} } else # Saída de um utente com a triagem realizada { n=n-1 t.clock=t2
87
T=T[order(T[,3]),] if (n>nst-1) {T[nut-n+nst,4] = t.clock T[nut-n+nst,5]= t.clock + rexp(1, Tst) T[nut-n+nst,6] = triagem() T=T[order(T[,5]),]} if (n>0) {t2=T[nut-n+1,5]} else {t2=t.end} } } T=T[1:(nut-n),] # Retira os valores que não entraram na triagem até # t.end #################### #Sistema de Consulta #################### t.clock <- 0 # Relógio n <- 0 # Número de clientes no sistema de consulta nuc <- 0; # Número de utentes que chegaram à consulta t1 = T[1,5] # Tempo da primeira chegada à consulta t2 = t.end # Inicialização do t2 dimensao<-nrow(T) # Número de linhas while (min(t1,t2)< t.end) { if (t1<t2) # Chegada de novo utente à fila da consulta { nuc=nuc+1 n=n+1 t.clock=t1 T=T[order(T[,7],T[,5]),] if (nuc<dimensao) {t1= T[nuc+1,5]} else {t1=t.end} if (n<=nsc) {T[nuc,7] = t.clock T[nuc,8] = t.clock + rexp(1, Tsc) T=T[order(T[,8]),] t2=T[nuc-n+1,8]} } else # Saída de um utente com a consulta realizada { n=n-1 t.clock=t2 T=T[order(T[,7],T[,5]),] if (n>nsc-1) { aux=order(T[(nuc-n+nsc):nuc,6],T[(nuc- n + nsc):
nuc,5])[1] T[nuc-n+nsc+aux-1,7] = t.clock T[nuc-n+nsc+aux-1,8]= t.clock + rexp(1, Tsc) T=T[order(T[,8]),]} if (n>0) {t2=T[nuc-n+1,8]} else {t2=t.end} } } T=T[250:(nuc-n),] # Retira valores menos estáveis da matriz T=T[order(T[,1]),] # Ordena pela hora de chegada ao hospital
88
89
Anexo II – Código da comparação das distribuições
# ---------------------------------------------------------------------- # Comparação da coluna 2 da matriz de simulação com a variável Dha do # subconjunto da base de dados # ----------------------------------------------------------------------
########### # Simulação ########### dados_sim<-diff(T[,2]) # Diferença entre linhas da coluna 2
# (registo seguinte - registo anterior) dados_sim<-dados_sim[dados_sim<0.5] # retira 1 valor muito afastado dos # restantes ############### # Base de dados ############### h<-read.table('bd parcial.csv',header=TRUE,sep=';') # Carrega subconjunto # da base de dados Dha_char<-format(h$Dha, format = "%H:%M:%S") # Converte para H:M:S com # formato caracter Dha_num_dec<-sapply(strsplit(Dha_char,":"), # Aplica a função a cada # elemento da lista e separa os elementos de caracteres pelos ":" function(x){ x<-as.numeric(x) x[1]+x[2]/60}) # Converte para numérico. Coloca a posição 1(hora) e # divide a posição 2 por 60 minutos para dar decimal dados_bd<-Dha_num_dec # Teste Kolmogorov-Smirnov dados_sim<-sort(dados_sim) # Ordenar os dados de ambas as amostras por dados_bd<-sort(dados_bd) # ordem crescente ks.test(dados_sim,dados_bd) # Teste do Qui-Quadrado dados_sim_qq<-head(dados_sim,length(dados_bd)) # Tamanhos iguais chisq.test(dados_sim_qq,dados_bd) ########## # Gráficos ########## # Distribuições empíricas plot(ecdf(dados_sim), do.points=FALSE, verticals=TRUE, pch=20, cex=1.25,
90
lwd=2,col="red",ylab="Função cumulativa", main="Distribuições empíricas (ecdf)") lines(ecdf(dados_bd), do.points=FALSE, verticals=TRUE, lwd =2, col="blue") legend("bottomright", c("Simulação", "Base de dados"), lty = 1, col=c("red", "blue"), bty = "n") arrows(0.02,0.38,0.02,0.52,length=0.1,col="red",code=3) text(0.01,0.45,labels="D",col="red") # QQ-Plot qqplot(dados_sim,dados_bd,xlab="Simulação",ylab="Base de dados", main="QQ-Plot") abline(0,1,col="red") ######## # Resumo ######## summary(dados_sim) summary(dados_bd) sd(dados_sim) sd(dados_bd) # ---------------------------------------------------------------------- # Comparação da diferença entre a coluna 4 e a coluna 2 da matriz de # simulação com a variável tet do subconjunto da base de dados # ----------------------------------------------------------------------
########### # Simulação ########### dados_sim1<-T[,4]-T[,2] # Diferença entre coluna 4 e coluna 2 dados_sim1<-dados_sim1+0.03 # Aproximar ao mínimo da base de dados ############### # Base de dados ############### tet_char<-format(h$tet, format = "%H:%M:%S") # Converte para H:M:S com # formato caracter tet_num_dec<-sapply(strsplit(tet_char,":"), # Aplica a função a cada # elemento da lista e separa os elementos de caracteres pelos ":" function(x){ x<-as.numeric(x) x[1]+x[2]/60+x[3]/3600}) # Converte para numérico. Coloca a # posição 1 (hora), divide a posição 2 por 60 minutos e a posição 3 por # 3600 segundos para dar decimal dados_bd1<-tet_num_dec
91
# Teste Kolmogorov-Smirnov dados_sim1<-sort(dados_sim1) # Ordenar os dados de ambas as amostras por dados_bd1<-sort(dados_bd1) # ordem crescente ks.test(dados_sim1,dados_bd1) # Teste do Qui-Quadrado dados_sim_qq1<-head(dados_sim1,length(dados_bd1)) # Tamanhos iguais chisq.test(dados_sim_qq1,dados_bd1) ########## # Gráficos ########## par(mfrow=c(1,2)) # Distribuições empíricas e QQ-Plot plot(ecdf(dados_sim1), do.points=FALSE, verticals=TRUE, pch=20, ex=1.25, lwd=2, col="red",ylab="Função cumulativa", main="Distribuições empíricas (ecdf) \nVariável tet") lines(ecdf(dados_bd1), do.points=FALSE, verticals=TRUE, lwd =2, col="blue") legend("bottomright", c("Simulação", "Base de dados"), lty = 1, col=c("red", "blue"), bty = "n") qqplot(dados_sim1,dados_bd1,xlab="Simulação",ylab="Base de dados", main="QQ-Plot \nVariável tet") abline(0,1,col="red") ######## # Resumo ######## summary(dados_sim1) summary(dados_bd1) sd(dados_sim1) sd(dados_bd1) # ---------------------------------------------------------------------- # Comparação da diferença entre a coluna 7 e a coluna 4 da matriz de # simulação com a variável tec do subconjunto da base de dados # ---------------------------------------------------------------------- ########### # Simulação ########### dados_sim2<-T[,7]-T[,4] # Diferença entre coluna 7 e coluna 4 dados_sim2<-dados_sim2+0.0025 # Aproximar ao mínimo da base de dados dados_sim2<-dados_sim2[dados_sim2<8.2] # Eliminar valores afastados
92
############### # Base de dados ############### tec_char<-format(h$tec, format = "%H:%M:%S") # Converte para H:M:S com # formato caracter tec_num_dec<-sapply(strsplit(tec_char,":"), # Aplica a função a cada # elemento da lista e separa os elementos de caracteres pelos ":" function(x){ x<-as.numeric(x) x[1]+x[2]/60+x[3]/3600}) # Converte para numérico. Coloca a # posição 1 (hora), divide a posição 2 por 60 minutos e a posição 3 por # 3600 segundos para dar decimal dados_bd2<-tec_num_dec # Teste Kolmogorov-Smirnov dados_sim2<-sort(dados_sim2) # Ordenar os dados de ambas as amostras por dados_bd2<-sort(dados_bd2) # ordem crescente ks.test(dados_sim2,dados_bd2) # Teste do Qui-Quadrado dados_sim_qq2<-head(dados_sim2,length(dados_bd2)) # Tamanhos iguais chisq.test(dados_sim_qq2,dados_bd2) ########## # Gráficos ########## par(mfrow=c(1,2)) # Distribuições empíricas e QQ-Plot plot(ecdf(dados_sim2), do.points=FALSE, verticals=TRUE, pch=20,cex=1.25, lwd=2, col="red",ylab="Função cumulativa", main="Distribuições empíricas (ecdf) \nVariável tec") lines(ecdf(dados_bd2), do.points=FALSE, verticals=TRUE, lwd =2, col="blue") legend("bottomright", c("Simulação", "Base de dados"), lty = 1, col=c("red", "blue"), bty = "n") qqplot(dados_sim2,dados_bd2,xlab="Simulação",ylab="Base de dados", main="QQ-Plot \nVariável tec") abline(0,1,col="red") ######## # Resumo ######## summary(dados_sim2) summary(dados_bd2) sd(dados_sim2) sd(dados_bd2)
93
Anexo III – Código dos resultados
# ---------------------------------------------------------------------- # Alterações no número de servidores da admissão (parâmetro ns) # ----------------------------------------------------------------------
# ns = 1 tea1<-mean(T[,2]-T[,1]) # Média do tempo de espera até iniciar admissão. tsa1<-mean(T[,3]-T[,2]) # Média do tempo de serviço da admissão. tet1<-mean(T[,4]-T[,3]) # Média do tempo de espera da admissão à triagem tst1<-mean(T[,5]-T[,4]) # Média do tempo de serviço da triagem. tec1<-mean(T[,7]-T[,5]) # Média do tempo de espera da triagem à consulta tsc1<-mean(T[,8]-T[,7]) # Média do tempo de serviço da consulta. ns1<-rbind(tea1,tsa1,tet1,tst1,tec1,tsc1) # Construção da matriz # ns = 2 tea2<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa2<-mean(T[,3]-T[,2]) tet2<-mean(T[,4]-T[,3]) tst2<-mean(T[,5]-T[,4]) tec2<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc2<-mean(T[,8]-T[,7]) ns2<-rbind(tea2,tsa2,tet2,tst2,tec2,tsc2) # ns = 3 tea3<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa3<-mean(T[,3]-T[,2]) tet3<-mean(T[,4]-T[,3]) tst3<-mean(T[,5]-T[,4]) tec3<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc3<-mean(T[,8]-T[,7]) ns3<-rbind(tea3,tsa3,tet3,tst3,tec3,tsc3) # ns = 4 tea4<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa4<-mean(T[,3]-T[,2]) tet4<-mean(T[,4]-T[,3]) tst4<-mean(T[,5]-T[,4]) tec4<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc4<-mean(T[,8]-T[,7]) ns4<-rbind(tea4,tsa4,tet4,tst4,tec4,tsc4) # Construção da tabela tabela_ns<-matrix(c(ns1,ns2,ns3,ns4),ncol=6,byrow=TRUE) rownames(tabela_ns)<-c("ns=1","ns=2","ns=3","ns=4") colnames(tabela_ns)<-c("tea","tsa","tet","tst","tec","tsc") tabela_ns
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# ---------------------------------------------------------------------- # Alterações no número de servidores da triagem (parâmetro nst) # ----------------------------------------------------------------------
# nst = 1 tea1<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa1<-mean(T[,3]-T[,2]) tet1<-mean(T[,4]-T[,3]) tst1<-mean(T[,5]-T[,4]) tec1<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc1<-mean(T[,8]-T[,7]) nst1<-rbind(tea1,tsa1,tet1,tst1,tec1,tsc1) # nst = 2 tea2<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa2<-mean(T[,3]-T[,2]) tet2<-mean(T[,4]-T[,3]) tst2<-mean(T[,5]-T[,4]) tec2<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc2<-mean(T[,8]-T[,7]) nst2<-rbind(tea2,tsa2,tet2,tst2,tec2,tsc2) # nst = 3 tea3<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa3<-mean(T[,3]-T[,2]) tet3<-mean(T[,4]-T[,3]) tst3<-mean(T[,5]-T[,4]) tec3<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc3<-mean(T[,8]-T[,7]) nst3<-rbind(tea3,tsa3,tet3,tst3,tec3,tsc3) # nst = 4 tea4<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa4<-mean(T[,3]-T[,2]) tet4<-mean(T[,4]-T[,3]) tst4<-mean(T[,5]-T[,4]) tec4<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc4<-mean(T[,8]-T[,7]) nst4<-rbind(tea4,tsa4,tet4,tst4,tec4,tsc4) # Construção da tabela tabela_nst<-matrix(c(nst1,nst2,nst3,nst4),ncol=6,byrow=TRUE) rownames(tabela_nst)<-c("nst=1","nst=2","nst=3","nst=4") colnames(tabela_nst)<-c("tea","tsa","tet","tst","tec","tsc") tabela_nst
95
# ---------------------------------------------------------------------- # Alterações no número de servidores da consulta (parâmetro nsc) # ----------------------------------------------------------------------
# nsc = 3 tea3<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa3<-mean(T[,3]-T[,2]) tet3<-mean(T[,4]-T[,3]) tst3<-mean(T[,5]-T[,4]) tec3<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc3<-mean(T[,8]-T[,7]) nsc3<-rbind(tea3,tsa3,tet3,tst3,tec3,tsc3) # nsc = 4 tea4<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa4<-mean(T[,3]-T[,2]) tet4<-mean(T[,4]-T[,3]) tst4<-mean(T[,5]-T[,4]) tec4<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc4<-mean(T[,8]-T[,7]) nsc4<-rbind(tea4,tsa4,tet4,tst4,tec4,tsc4) # nsc = 6 tea6<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa6<-mean(T[,3]-T[,2]) tet6<-mean(T[,4]-T[,3]) tst6<-mean(T[,5]-T[,4]) tec6<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc6<-mean(T[,8]-T[,7]) nsc6<-rbind(tea6,tsa6,tet6,tst6,tec6,tsc6) # nsc = 8 tea8<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa8<-mean(T[,3]-T[,2]) tet8<-mean(T[,4]-T[,3]) tst8<-mean(T[,5]-T[,4]) tec8<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc8<-mean(T[,8]-T[,7]) nsc8<-rbind(tea8,tsa8,tet8,tst8,tec8,tsc8) # nsc = 10 tea10<-mean(T[,2]-T[,1]) tsa10<-mean(T[,3]-T[,2]) tet10<-mean(T[,4]-T[,3]) tst10<-mean(T[,5]-T[,4]) tec10<-mean(T[,7]-T[,5]) tsc10<-mean(T[,8]-T[,7]) nsc10<-rbind(tea10,tsa10,tet10,tst10,tec10,tsc10) # Construção da tabela tabela_nsc<-matrix(c(nsc3,nsc4,nsc6,nsc8,nsc10),ncol=6,byrow=TRUE) rownames(tabela_nsc)<-c("nsc=3","nsc=4","nsc=6","nsc=8","nsc=10") colnames(tabela_nsc)<-c("tea","tsa","tet","tst","tec","tsc") tabela_nsc
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# ---------------------------------------------------------------------- # Gráfico que compara o tempo médio de permanência no hospital em 3 # simulações com parâmetros iniciais, intermédios e eficientes # ----------------------------------------------------------------------
p_iniciais<-mean(T[,8]-T[,1]) # Média do tempo p_intermed<-mean(T[,8]-T[,1]) # calculada em p_eficientes<-mean(T[,8]-T[,1]) # 3 simulações distintas tempos<-c(p_iniciais,p_intermed,p_eficientes) names(tempos)<-c("ns=2;nst=1;nsc=4","ns=2;nst=2;nsc=6","ns=2;nst=3; nsc=8") barplot(tempos,col=c("red","yellow","green"),density=60,angle=45, axes=FALSE,cex.lab=1.2,main="Tempo de permanência no hospital", xlab="Nº de servidores") # ---------------------------------------------------------------------- # Eficiência após a triagem # ---------------------------------------------------------------------- # Cálculo da média do tempo de espera para a consulta após a triagem tr1<-T[T[,6]==1,] # Triagem de cor vermelha triagem1<-mean(tr1[,7]-tr1[,5]) tr2<-T[T[,6]==2,] # Triagem de cor laranja triagem2<-mean(tr2[,7]-tr2[,5]) tr3<-T[T[,6]==3,] # Triagem de cor amarela triagem3<-mean(tr3[,7]-tr3[,5]) tr4<-T[T[,6]==4,] # Triagem de cor verde triagem4<-mean(tr4[,7]-tr4[,5]) tr5<-T[T[,6]==5,] # Triagem de cor azul triagem5<-mean(tr5[,7]-tr5[,5]) # Construção da tabela da_triagem_para_consulta<-matrix(c(triagem1,triagem2,triagem3,triagem4, triagem5),ncol=5,byrow=TRUE) rownames(da_triagem_para_consulta)<-c("Tempo de espera") colnames(da_triagem_para_consulta)<-c("Vermelho","Laranja","Amarelo", "Verde","Azul") da_triagem_para_consulta # Total por triagem p_iniciais_tr<-table(T[,6]) # Totais das cores da triagem p_eficientes_tr<-table(T[,6]) # obtidos em simulações diferentes total_por_triagem<-matrix(c(p_iniciais_tr,p_eficientes_tr),nrow=5, ncol=2, dimnames=list(c("Vermelho","Laranja","Amarelo","Verde","Azul"), c("Parâmetros iniciais","Parâmetros eficientes"))) total_por_triagem
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# ---------------------------------------------------------------------- # Estabilidade do modelo # ----------------------------------------------------------------------
t.end <- 1000 # Duração das simulações seq=100 # Número de réplicas (sequências) Tc <- 15 # Taxa média de chegada dos clientes à admissão Ts <- 10 # Taxa média de serviço de um servidor da admissão ns <- 2 # Número de servidores na admissão nt <- rep(0,seq) # Número de utentes que vão entrar na fila de espera da
# triagem Tst <- 21 # Taxa média de serviço de um servidor da triagem nst <- 1 # Número de servidores na triagem Tsc <- 4 # Taxa média de serviço de um servidor da consulta nsc <- 4 # Número de servidores na consulta # Probabilidades da triagem de Manchester p1=0.00145; p2=0.05984; p3=0.52472; p4=0.41081; p5=0.00318 triagem <- function(){a=runif(1) if (a<p1) {return(1)} # Vermelho else if (a<p1+p2) {return(2)} # Laranja else if (a<p1+p2+p3) {return(3)} # Amarelo else if (a<p1+p2+p3+p4) {return(4)} # Verde else {return(5)} # Azul } ######### # Matriz ######### matriz_100seq=rbind() # Construção da matriz das sequências for (i in 1:seq) # Início do ciclo de sequências de simulação { T=rbind() # Construção da matriz T #################### #Sistema de admissão #################### nu=0 # Número de utentes que já chegaram ao hospital t.clock <- 0 # Relógio n <-0 # Número de clientes no sistema de admissão t1= rexp(1, Tc) # Tempo da primeira chegada à admissão t2=t.end # Inicialização do t2 while (min(t1,t2)< t.end) { if (t1<t2) # Chegada de um novo utente à fila da admissão { nu=nu+1 T=rbind(T,c(t1,0,t.end,0,t.end,0,t.end,t.end)) n=n+1 t.clock=t1 t1= t1 + rexp(1, Tc) # Próximo cliente if (n<=ns) {T[nu,2] = t.clock
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T[nu,3] = t.clock + rexp(1, Ts) #verifica se #existe servidor livre T=rbind(T[order(T[,3]),]) t2=T[nu-n+1,3]} } else # Saída de um utente com a admissão realizada { n=n-1 t.clock=t2 T=T[order(T[,1]),] if (n>ns-1) {T[nu-n+ns,2] = t.clock T[nu-n+ns,3]= t.clock + rexp(1, Ts) T=T[order(T[,3]),]} if (n>0) {t2=T[nu-n+1,3]} else {t2=t.end} } }
T=T[1:(nu-n),] # Retira os valores que não entraram na # admissão até t.end
#################### #Sistema de triagem #################### t.clock <- 0 # Relógio n <-0 # Número de clientes no sistema do triagem nut = 0; # Número de utentes que chegaram à triagem t1= T[1,3] # Tempo da primeira chegada à triagem t2=t.end # Inicialização do t2 dimensao<-nrow(T) # Número de linhas while (min(t1,t2)< t.end) { if (t1<t2) # Chegada de um novo utente à fila da triagem { nut=nut+1 n=n+1 t.clock=t1 T=T[order(T[,3]),] if (nut<dimensao) {t1= T[nut+1,3]} else {t1=t.end} if (n<=nst) {T[nut,4] = t.clock T[nut,5] = t.clock + rexp(1, Tst) T[nut,6] = triagem() T=T[order(T[,5]),] t2=T[nut-n+1,5]} } else # Saída de um utente com triagem realizada { n=n-1 t.clock=t2 T=T[order(T[,3]),] if (n>nst-1) {T[nut-n+nst,4] = t.clock T[nut-n+nst,5]= t.clock + rexp(1, Tst) T[nut-n+nst,6] = triagem() T=T[order(T[,5]),]} if (n>0) {t2=T[nut-n+1,5]} else {t2=t.end} } } T=T[1:(nut-n),] # Retira os valores que não entraram na # triagem até t.end
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#################### #Sistema de Consulta #################### t.clock <- 0 # Relógio n <-0 # Número de clientes no sistema de consulta nuc = 0; # Número de utentes que chegaram à consulta t1= T[1,5] # Tempo da primeira chegada à consulta t2=t.end # Inicialização do t2 dimensao<-nrow(T) # Número de linhas while (min(t1,t2)< t.end) { if (t1<t2) # Chegada de um novo utente à fila da consulta { nuc=nuc+1 n=n+1 t.clock=t1 T=T[order(T[,7],T[,5]),] if (nuc<dimensao) {t1= T[nuc+1,5]} else {t1=t.end} if (n<=nsc) {T[nuc,7] = t.clock T[nuc,8] = t.clock + rexp(1, Tsc) T=T[order(T[,8]),] t2=T[nuc-n+1,8]} } else # Saída de um utente com a consulta realizada { n=n-1 t.clock=t2 T=T[order(T[,7],T[,5]),] if (n>nsc-1) { aux=order(T[(nuc-n+nsc):nuc,6],T[(nuc-n + nsc):
nuc,5])[1] T[nuc-n+nsc+aux-1,7] = t.clock T[nuc-n+nsc+aux-1,8]= t.clock + rexp(1, Tsc) T=T[order(T[,8]),]} if (n>0) {t2=T[nuc-n+1,8]} else {t2=t.end} } } T=T[250:(nuc-n),] # Retira valores menos estáveis da matriz T ds_100seq<-diff(sort(T[,2])) # Diferença entre linhas da coluna 2 ds1_100seq<-T[,4]-T[,2] # Diferença entre coluna 4 e coluna 2 ds2_100seq<-T[,7]-T[,4] # Diferença entre coluna 7 e coluna 4 # Construção da matriz com cálculo da média, mediana e desvio padrão matriz_100seq=rbind(matriz_100seq,c(mean(ds_100seq),median(ds_100seq),sd(ds_100seq),mean(ds1_100seq),median(ds1_100seq),sd(ds1_100seq),mean(ds2_100seq),median(ds2_100seq),sd(ds2_100seq))) } colnames(matriz_100seq)<-c("Média ds","Mediana ds","D padrão ds", "Média ds1","Mediana ds1","D padrão ds1","Média ds2","Mediana ds2","D padrão ds2") matriz_100seq summary(matriz_100seq) # Resumo
