Caracterizaço Experimental de FSS Sintonizáveis usando Anéis com Capacitâncias Acopladas
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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DA PARAÍBA
COORDENAÇO DO CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA
EM SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES
Emanuele da Silva Rodrigues Montalvão
CARACTERIZAÇO
E FSSXPERIMENTAL DE
SINTONIZÁVEIS USANDO
A CNÉIS COM APACITÂNCIAS
ACOPLADAS
João Pessoa, 2009.
Emanuele da Silva Rodrigues Montalvão
Caracterizaço Experimental de FSSSintonizáveis usando Anéis com
Capacitâncias Acopladas
Trabalho de Conclusão de Curso submetido à
Coordenação do Curso Superior de Tecnologia em
Sistemas de Telecomunicações do Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba, como parte
dos requisitos para a obtenção do grau de Tecnóloga em
Sistemas de Telecomunicações.
Orientador
Prof. Alfrêdo Gomes Neto, Dr.
João Pessoa, 2009.
Emanuele da Silva Rodrigues Montalvão
Caracterizaço Experimental de FSSSintonizáveis usando Anéis com
Capacitâncias Acopladas
Data da Defesa: 22/10/2009
_________________________________________Alfrêdo Gomes Neto, Dr. IFPB
Prof. Orientador
_________________________________________Jefferson Costa e Silva, Dr. IFPB
Componente da Banca
_________________________________________Joabson Nogueira de Carvalho, Dr. IFPB
Componente da Banca
João Pessoa, 2009.
À minha maravilhosa mãe Maria Gomes da Silva, aosmeus avós Manuel Luíz da Silva e Rosa Gomes da Silva eao meu esposo amado Augusto César Pereira da SilvaMontalvão. E acima de tudo, a Deus que me deu vida e mefez chegar até aqui.
Agradecimentos
Primeiramente agr adeço a Deus, que me deu vida e me fez chegar até aqui. Por tudo o
que ele faz, sinto em todos os momentos o imenso amor que ele tem por mim.
Agradeço a minha mar avilhosa mãe, amiga e companheira, que é uma mulher forte,
guerreira, batalhadora e um exemplo de vida. A mulher que sozinha foi o meu sustento e me
mostrou o caminho a seguir, contribuindo para formar a pessoa que sou hoje.
Agradeço ao meu esposo amado Augusto César, amigo e companheiro, que sempre
esteve ao meu lado, em todas as horas, me apoiando, me dando forças e muito amor. Sem ele,
sem dúvidas, eu não teria chegado até aqui.
Aos meus avós, que mesmo não tendo boas condições financeiras, fizeram o possível e o
impossível para que eu tivesse uma vida muito feliz e me tornasse uma vencedora. Sem
dúvidas, me ensinaram algo muito importante: caráter e dignidade não se compram.
À minha família querida que sempre ficou muito feliz e orgulhosa com minhas
conquistas.
Ao amigo Segundo, companheiro de inúmeros trabalhos, sempre disposto a ensinar e a
aprender.
Aos amigos Bruno e Gustavo, que me ajudaram em algumas pesquisas.
Ao CNPq pelo suporte financeiro no trabalho de iniciação científica.
Não poderia deixar de agradecer ao homem a qual eu sinto orgulho em tê-lo conhecido.
Hoje, posso dizer que para mim ele é um paizão que sempre está disposto a ajudar. Ele é meu
grande amigo e padrinho de casamento, Alfrêdo. Agradeço também a generosidade e o
carinho de sua esposa Cris.
Aos amigos, colegas e professores de Teleco do IFPB, que comtribuiram para minha
formação.
Um abraço a todos e muito obrigada.
Resumo
As Superfícies Seletivas de Frequência, FSS, são estruturas periódicas em uma ou duasdimensões, que, dependendo do material, da geometria e das dimensões físicas, podemfuncionar como filtros passa-baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa. Atualmente suasaplicações envolvem entre outras, radomes, mísseis e blindagens eletromagnéticas. Oconsiderável aumento na demanda por estruturas cada vez mais compactas e com requisitosespecíficos de banda passante, tem motivado diversos grupos de pesquisa a estudar novasestruturas. O objetivo principal deste tr abalho é caracterizar experimentalmente FSSsintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas, apresentando os resultados obtidos,sendo discutidos os efeitos do comprimento da região acoplada e da polarização nasfrequências de ressonância. A faixa de frequência considerada é de 7 GHz a 13,5 GHz.Também são apresentadas informações relacionadas às FSS, como por exemplo, suasprincipais características e alguns métodos utilizados para análise de tais estruturas.Concluindo, são consideradas possíveis aplicações dos resultados obtidos com acaracterização experimental, principalmente o aumento da banda de rejeiço, o ajuste dasfrequências de ressonâncias e da obtenção de estruturas multi-banda, tornando possível aexecução de futuros projetos relacionados ao tema.
Abstract
The Frequency Selective Surfaces, FSS, are periodic structures in either one or twodimensions, that, depending on material, geometry and physical dimensions can operate aslow-pass, high-pass, band-pass or band-stop filters. Currently your applications involveamong other, radomes, missiles and electromagnetic shields. The considerable increase indemand for increasingly compact structures and with specific requisite of band pass, hasmotivated diverse research groups to study new structures. The principal objective of thiswork is characterize experimentally FSS tunable using rings with coupled capacitance,presenting the results obtained, being discussed the effects of the length of coupled region andof polarization in resonance frequencies. The frequency range considered is of 7 GHz to 13,5GHz. Are also presented information related to FSS, as for example, yours principalscharacteristics and some methods utilized for analyze of such structures. Concluding, areconsidered possible applications of the results obtained with the experimentalcharacterization, principally the increase in rejection of band, the adjust of resonancefrequencies and of obtaining multi-band structures, giving possible the execution of futuresprojects related to the theme.
Lista de Figuras
Figura 1 - Exemplos de FSS ..................................................................................................... 18
Figura 2 - Modelos de FSS utilizadas como filtros .................................................................. 19
Figura 3 - Grupo 1: N-pólos conectados pelo centro................................................................ 21
Figura 4 - Grupo 2: Espiras ...................................................................................................... 21
Figura 5 - Grupo 3: Interior sólido ........................................................................................... 21
Figura 6 - Grupo 4: Combinações ............................................................................................ 22
Figura 7 - Cascata para formar uma estrutura periódica tripla ................................................. 25
Figura 8 - Seção longitudinal de uma descontinuidade entre guias ......................................... 28
Figura 9 - Cubo de Yee: Posicionamento das componentes de campo elétrico e magnético em
uma célula ( x, y, z) ............................................................................................................ 38
Figura 10 - Princípio de Funcionamento do WCIP .................................................................. 46
Figura 11 - Componentes de campos transversais de uma onda eletromagnética.................... 48
Figura 12 - FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas ................................ 50
Figura 13 - Célula básica de uma FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas
.................................................................................................................................................. 50
Figura 14 - FSS: Célula básica quadrada e circuito equivalente .............................................. 51
Figura 15 - Esquema utilizado para a medição......................................................................... 52
Figura 16 - Exemplo de FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas que foi
confeccionada ........................................................................................................................... 52
Figura 17 - Resultado para FSS com célula básica quadrada: |S21| x frequência .................... 53
Figura 18 - Orientação das FSS: (a) Horizontal; (b) Vertical................................................... 53
Figura 19 - Resultados para o primeiro caso de FSS sintonizável com capacitância acoplada
com orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical ............................................................................ 54
Figura 20 - Resultados para o segundo caso de FSS sintonizável com capacitância acoplada
com orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical ............................................................................ 55
Figura 21 - Resultados para o terceiro caso de FSS sintonizável com capacitância acoplada
com orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical ............................................................................ 55
Figura 22 - Resultados para o quarto caso de FSS sintonizável com capacitância acoplada com
orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical .................................................................................... 56
Figura 23 - Variação da frequência de ressonância com a dimensão da região acoplada com
orientação horizontal e circuito equivalente ............................................................................. 57
Figura 24 - Variação da frequência de ressonância com a dimensão da região acoplada com
orientação vertical e circuito equivalente ................................................................................. 57
Figura 25 - Variação da segunda frequência de ressonância com a dimensão da região
acoplada com orientação vertical ............................................................................................. 58
Lista de Símbolos
- Coeficiente de Reflexão
- Coeficiente de Transmissão
- Comprimento de Onda
E- Vetor Campo Elétrico
H- Vetor Campo Magnético
- Operador Nabla
- Densidade Volumétrica de Carga Elétricae
- Densidade Volumétrica de Carga Magnética equivalentem
s - Condutividade Elétrica
s - Condutividade Magnética Equivalente*
- Permissividade Elétrica
- Permeabilidade Magnética
- Permissividade Elétrica Relativar
- Permeabilidade Magnética Relativar
- Permissividade Elétrica no Vácuo0
- Permeabilidade Magnética no Vácuo0
x - Variação do Deslocamento em relação ao eixo x
y - Variação do Deslocamento em relação ao eixo y
z - Variação do Deslocamento em relação ao eixo z
a - Grandeza Escalar Alfan
ß- Grandeza Escalar Beta
* - Complexo Conjugado
- Potencial Vetorial de Hertz Elétricoe
- Potencial Vetorial de Hertz Magnéticoh
ø - Função Potencial
- Frequência Angular
Lista de Siglas
EBG - Electromagnetic Band Gap
FDTD - Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
FEM - Método dos Elementos Finitos
FSS - Frequency Selective Surfaces (Superfícies Seletivas de Frequência)
GTEMA - Grupo de Telecomunicações e Eletromagnetismo Aplicado
MoM - Método dos Momentos
TE - Transverso Elétrico
TM - Transverso Magnético
UWB - Ultra Wideband (Banda Ultra Larga)
VNA - Analisador de Redes Vetorial
WCIP - Wave Concept Interactive Procedure (Método das Ondas)
Sumário
Resumo
Abstract
Lista de Figuras
Lista de Símbolos
Lista de Siglas
1. Introdução ............................................................................................................................. 13
2. Superfícies Seletivas de Frequência ..................................................................................... 15
2.1 Histórico das FSS ............................................................................................................ 16
2.2 Características das FSS ................................................................................................... 17
2.3 Elementos das FSS .......................................................................................................... 19
2.4 A curva de Ressonância .................................................................................................. 22
2.5 Aplicações Típicas das FSS ............................................................................................ 23
3. Métodos utilizados para Análise de FSS .............................................................................. 27
3.1 Método do Casamento Modal ......................................................................................... 27
3.2 Método dos Circuitos Equivalentes ................................................................................ 32
3.3 Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo, FDTD...................................... 33
3.4 Método dos Elementos Finitos, FEM ............................................................................. 38
3.5 Método dos Momentos, MoM ........................................................................................ 40
3.6 Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz ...................................................................... 42
3.7 Método das Ondas, WCIP .............................................................................................. 46
4. FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas ............................................. 50
4.1 Resultados Experimentais ............................................................................................... 51
Considerações Finais ................................................................................................................ 59
Referências ............................................................................................................................... 60
13
1. Introduço
Uma estrutura periódica é basicamente um conjunto de elementos idênticos organizados
em um arranjo finito de uma ou duas dimensões. Esses arranjos podem ser considerados
ativos ou passivos. Esse tipo de estrutura tem um grande número de aplicações e vem
contribuindo para melhorar o desempenho dos sistemas de comunicações [1].
As Superfícies Seletivas de Frequência, ou simplesmente FSS, são estruturas periódicas
em uma ou duas dimensões, que, dependendo das dimensões físicas, do material e da
geometria, podem ser classificadas como filtros passa-baixas, passa-altas, passa-faixa ou
rejeita-faixa [2] [3].
O estudo de novas geometrias combinadas com o uso de novos materiais pode melhorar o
desempenho dessas estruturas. Além desses fatores, o uso de FSS, combinadas com antenas
planares, pode aumentar a eficiência dessas antenas e encontra aplicações no desenvolvimento
de diversos dispositivos e circuitos para sistemas de comunicações modernos. O uso de FSS
integradas a absorvedor es de micro-ondas pode também melhorar o desempenho desses
dispositivos, onde a incorporação de tais estruturas pode mudar de forma efetiva as
propriedades de reflexão dos absorvedores [4].
O objetivo principal deste trabalho é caracterizar experimentalmente FSS sintonizáveis
usando anéis com capacitâncias acopladas, sendo proposto um circuito equivalente e
discutindo possíveis aplicações. A partir do objetivo principal foram estabelecidos os
seguintes objetivos: revisar a bibliografia relacionada ao tema (FSS); projetar, confeccionar e
caracterizar experimentalmente FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas
e; apresentar os resultados obtidos.
No capítulo 2 são apresentadas informações relacionadas às FSS como: o histórico, as
características, os elementos, a curva de ressonância e algumas aplicações. No capítulo 3 é
feita uma breve explanação sobre alguns métodos utilizados para análise de FSS, pois não é o
foco principal deste trabalho. O capítulo 4 apresenta o projeto de caracterização experimental
de FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas.
Dentre as características que motivaram a análise dessas estruturas, destacam-se: a fácil
construção; a sintonia da frequência de ressonância dependente da polarização da onda
incidente; a possibilidade de arranjos com FSS periódicas e quase-periódicas e; a
possibilidade de utilização de estruturas EBG ( Electromagnetic Band Gap ).
14
Deseja-se com esse trabalho, fornecer informações para a construção de novos projetos
práticos na área, pois com projetos apropriados, pode-se, por exemplo, obter o aumento da
largura de banda e a frequência de ressonância desejada.
15
2. Superfícies Seletivas de Frequência
As FSS são estruturas planares compostas de uma camada metálica sobre um ou mais
substratos dielétricos, que podem operar em diferentes faixas. Tais estruturas possuem
arranjos periódicos descritos por células que podem conter elementos do tipo patches
condutores ou aberturas. Quando expostas à radiação eletromagnética, as características
periódicas da camada metálica ressoam em determinadas frequências que dependem das
propriedades do dielétrico, da geometria e do espaçamento utilizado nas células condutoras
[5] [6] [7].
Fundamentalmente, qualquer estrutura periódica pode ser ativada de duas maneiras: por
uma onda plana incidente E (arranjo passivo), ou por geradores individuais conectados a cadai
elemento (arranjo ativo). No caso dos arranjos passivos, uma onda incidente é parcialmente
transmitida através da estrutura, Et , e o restante é refletida, Er . Neste segundo caso, os
geradores de tensão devem possuir a mesma amplitude e variações lineares de fase ao longo
do arranjo ativo, de forma a caracterizar a estrutura como uma superfície periódica [1] [5].
Sob condiçes r essonantes a amplitude do sinal refletido pode ser igual à amplitude do
sinal incidente quando a amplitude do sinal transmitido for igual a zero. Usualmente defini-se
o coeficiente de reflexão como:
(1)
onde Er e Ei em geral estão referidos ao plano do arranjo. De forma similar o coeficiente de
transmissão é definido por:
(2)
Além dos arranjos com dipolos, podemos considerar os ar ranjos com fendas magnéticas.
Esses tipos de arranjos também são ativados por uma onda plana incidente ou por geradores
individuais. No caso dos arranjos com dipolos são ativadas correntes elétricas e no caso dos
arranjos com fendas são ativadas correntes magnéticas, mas esses arranjos podem se tornar
bem semelhantes se comparados ao campo elétrico no caso dos dipolos e ao campo magnético
no caso das fendas [1] [5].
16
Ainda existe o caso dos arranjos complementares, que são arranjos formados por dipolos
e fendas. Esses elementos possuem formas semelhantes, tal que se os arranjos forem
colocados um em cima do outro se completam para obter o resultado desejado. Um exemplo
disso pode ser demonstrado quando se utiliza um arranjo com dipolos na parte superior de
uma estrutura e um arranjo complementar com fendas na parte inferior, isso se o coeficiente
de reflexão de um arranjo for igual ao coeficiente de transmissão do arranjo complementar.
Este é um caso simples, portanto não pode ser generalizado, pois outras características
precisam ser observadas como a largura de banda e a espessura do material. Se dois ou mais
arranjos funcionam em cascata podemos conseguir uma resposta desejada para um filtro
alterando suas características. O cálculo para os dois casos é bem diferente e podem conduzir
a diferentes resultados, o que não é aqui detalhado [1].
2.1 Histórico das FSS
Em meados dos anos 60, as FSS passaram a ser extensivamente estudadas com êxito e
implementadas para uso em aplicações de radiofrequência, uma vez que transmitem energia
eletromagnética para algumas frequências e refletem para outras. Embora seja verdade que
devido o grande potencial de aplicações militares, esse estudo intenso sobre tais superfícies
periódicas teve início nessa década, o princípio geral de funcionamento já era conhecido.
A referência mais antiga conhecida é uma patente concedida a Marconi e a Franklin por
construírem um refletor parabólico com uma se ão de cabos “infinitamente” longos. Estes
inventores foram os primeiros a apresentar o conceito de “elementos sintonizados”. Foi
apresentada em 16 de Outubro de 1968 uma patente para Munk relacionada “Superfície
periódica para grande verifica ão de ngulos” (esta patente ocorreu sob ordem de sigilo at
que foi concedida em 29 de Janeiro de 1974). Basicamente, esta patente revelou que qualquer
superfície periódica deve ter sua frequência ressonante estável com o ângulo de incidência,
onde a dimensão e os elementos necessários para alcançar o resultado desejado funcionam
como uma espécie de carga. Outra patente agora relacionada aos elementos tripolos foi
concedida em 1975 para Pelton e Munk [1].
O interesse no estudo das FSS tem crescido através dos anos. Consequentemente as mais
variadas aplicações para tais estruturas têm sido investigadas. Essas estruturas vêm sendo
largamente utilizadas devido a sua capacidade de se integrar com outros circuitos de micro-
ondas. Elas são muito importantes em diversas aplicações, como aviões, sistemas de antenas,
17
radomes, foguetes, mísseis, filtros eletromagnéticos para antenas refletoras, estruturas
absorvedoras, etc [4] [5].
As FSS foram objeto de intensa investigação para aplicativos como filtros para micro-
ondas e sinais ópticos por mais de quatro décadas. Essas superfícies podem refletir totalmente
ou transmitir a onda incidente.
Nos últimos anos, os filtros e os guias de onda utilizando estruturas periódicas foram
intensivamente estudados para alcançar uma característica desejada de frequência de
ressonância ou frequência de corte. As FSS passaram a ser utilizadas em conjunto com tais
estruturas, porque além de contribuírem com as características desejadas, são de fácil
fabricação, de baixo custo e possuem dimensões e pesos cada vez menores [8].
O avanço tecnológico ocorrido nos últimos anos no desenvolvimento de estruturas e
dispositivos com tecnologia planar decorre da necessidade crescente da implementação de
dispositivos e da criação de circuitos para as mais diversas aplicações [5].
A investigação dos efeitos produzidos pela utilização de novos materiais em FSS é de
grande interesse para o desenvolvimento científico e tecnológico, em face da possibilidade de
melhoria das características de diversos dispositivos e circuitos usados em altas frequências.
O estudo de novas geometrias combinadas com o uso de novos materiais pode melhorar o
desempenho dessas estruturas [4].
Recentemente, principalmente com a expansão dos serviços de comunicações sem fio,
aumentou consideravelmente a demanda por estruturas multifuncionais, cada vez mais
compactas e com requisitos específicos de banda passante [9] [10], o que tem motivado
diversos grupos de pesquisa a estudar novas estruturas.
2.2 Características das FSS
Uma característica comum das técnicas tradicionais utilizadas para a confecção de uma
FSS, é que o tamanho dos elementos ressonantes e seu espaçamento são comparáveis a
metade de um comprimento de onda em relação à frequência de operação desejada.
A sensibilidade da resposta da FSS em relação ao ângulo de incidência precisa ser
reduzida, por isso é necessário que haja muita precisão na confecção da estrutura, pois é
praticamente impossível que não haja erro de alinhamento durante a fabricação.
O mais importante para o processo de fabricação de uma FSS é a escolha adequada dos
elementos que irão constituir tais estruturas, como por exemplo, os modelos representados na
Figura 1 e a determinação adequada de periodicidade da estrutura. O tipo de elemento, a
18
geometria, os parâmetros de substrato, a presença ou ausência de arranjos e o espaçamento
entre os elementos, determinam a resposta de frequência da estrutura, como também sua
largura de banda, a função de transmissão ou reflexão e a dependência entre o ângulo de
incidência e a polarização da onda incidente, portanto é necessário que essas características
sejam otimizadas [11].
Figura 1 - Exemplos de FSS.
Uma FSS com elementos do tipo abertura trabalha como um filtro passa-faixa, onde o
funcionamento ocorre da seguinte forma: à medida que os elementos vão entrando em
ressonância, a estrutura vai se tornando “transparente” para a onda incidente, até que na
frequência de ressonância da estrutura, ocor re a transmissão total da onda.
Por outro lado, uma FSS com elementos do tipo patch condutor, funciona como um filtro
rejeita-faixa, aonde os elementos vão entrando em ressonância e, com isso, eles radiam a
potência incidente na direção de reflexão, até que na frequência de ressonância da estrutura,
ela se comporta como um condutor perfeito refletindo totalmente a onda incidente, ou seja,
uma FSS é um dispositivo projetado para transmitir ou refletir totalmente uma onda
eletromagnética incidente [4] [12]. A Figura 2 representa modelos de FSS utilizadas como
filtros.
19
Figura 2 - Modelos de FSS utilizadas como filtros.
Uma FSS pode ainda ser classificada em relação à espessura dos elementos como uma
tela fina ou espessa. A FSS de tela fina usualmente se refere aos elementos de circuitos
impressos ( patches ) ou elementos de abertura com espessura menor do que 0,001 , onde é o
comprimento de onda da FSS na frequência de ressonância. Em geral, a FSS de tela fina é
leve, de pequeno volume e pouco dispendiosa, o que facilita sua fabricação com o auxílio da
tecnologia convencional de circuitos impressos.
Por outro lado, uma FSS de tela espessa é mais usada para aplicações em altas
frequências, sendo caracterizada por um arranjo periódico de elementos com espessura
elevada. Ela é pesada e sua fabricação requer uma construção precisa para se obter o resultado
desejado e, portanto, de alto custo [13] [14].
2.3 Elementos das FSS
Como mostrado anteriormente, uma FSS pode ser formada por elementos do tipo patch ,
por elementos do tipo abertura, ou ainda, por uma combinação dos dois tipos de elementos, ou
seja, essa estrutura periódica é um arranjo planar de patches condutores ou aberturas, com
formatos diversos, depositados sobre um dielétrico. Por atender à seletividade de frequência,
as FSS são incorporadas em uma ampla variedade de aplicações.
20
Através da adição de dispositivos ativos ou passivos à unidade de células dessas
estruturas periódicas, é possível obter uma nova categoria de FSS com características
extremamente controláveis [15].
Quando um dipolo é alimentado por uma fonte de radiofrequência e esse dipolo é
múltiplo de meio comprimento de onda, ele então reirradia a energia. Quando vários dipolos
estão dispostos em forma de arranjo, a energia reirradiada de todos os elementos será
direcionada coerentemente como se uma reflexão estivesse ocorrendo, onde o ângulo de
reflexão é igual ao ângulo de incidência. Isto acontece porque as correntes induzidas em cada
dipolo possuem um atraso de fase relativo aos elementos vizinhos. Este atraso de fase faz com
que o espalhamento das ondas de todos os elementos seja coerente com a direção de reflexão.
Finalmente, quando a dimensão do elemento é totalmente diferente das dimensões
ressonantes, a onda incidente passará através da FSS como se a estrutura f osse “transparente”,
ocorrendo uma pequena perda devido ao dielétrico e à condução do cobre [5] [14].
A dispersão nos materiais utilizados pode ter um impacto significativo sobre o
desempenho da FSS, o que afetará a mediço, tornando incoerente a comparação entre os
resultados projetados e medidos. Além disso, mesmo que os materiais utilizados possuam
uma configuração similar com a FSS projetada, é de extrema importância que outras
observações sejam consideradas como a condição atmosférica e a influência eletromagnética,
o que pode acarretar em dados imprecisos na medição. Portanto, as propriedades das
estruturas dependem tanto das dimensões e da periodicidade, quanto da composiço dos
materiais que estão sendo utilizados na confecção das mesmas. Assim, através dos diferentes
modelos e de suas propriedades materiais, é possível ajustar a ressonância da FSS às
exigências específicas [6] [ 16] .
Muitos parâmetros de projetos e princípios são relacionados com as estruturas periódicas,
tais como a forma e o tipo de elementos, as dimensões das células unitárias, os tipos de
materiais dielétricos e as espessuras dos substratos utilizados [ 5] [ 14] .
No projeto de FSS utilizadas como filtros passa-faixa ou rejeita-faixa, é de extrema
importância a escolha adequada dos elementos. Existe uma grande variedade de pesquisas que
utilizam as mais diversas formas de elementos. Os elementos são divididos em quatro grupos
[1].
O Grupo 1 corresponde aos N-pólos conectados pelo centro. As formas mais conhecidas
são o dipolo fino, dipolo cruzado, cruz de Jerusalém e o tripolo. Na Figura 3 são mostrados
exemplos de elementos correspondentes ao Grupo 1.
21
Figura 3 - Grupo 1: N-pólos conectados pelo centro.
O Grupo 2 corresponde aos elementos do tipo Espiras. Os tipos mais conhecidos são: as
espiras quadradas, as quadradas duplas, quadradas com grades e anéis circulares concêntricos.
Na Figura 4 são mostrados exemplos de elementos correspondentes ao Grupo 2.
Figura 4 - Grupo 2: Espiras.
O Grupo 3 é formado pelos elementos de interior sólido. As formas mais conhecidas são
os patches quadrados, retangulares, hexagonais e circulares. Na Figura 5 são mostrados
exemplos de elementos correspondentes ao grupo 3.
Figura 5 - Grupo 3: Interior sólido.
O Grupo 4 é composto por elementos formados a partir de combinações de elementos
típicos. A lista de elementos que compõem esse grupo é interminável [1] [4]. Na Figura 6 são
apresentados exemplos de elementos correspondentes ao Grupo 4.
22
Figura 6 - Grupo 4: Combinações.
2.4 A curva de Ressonância
As superfícies periódicas podem obter uma perfeita transmissão ou reflexão da onda
incidente, porém em muitos aplicativos é necessário que a curva de ressonância apresente
uma resposta superior, mais ampla e com o corte mais rápido. No entanto, a largura de banda
irá variar consideravelmente com o ângulo de incidência. Para se alcançar esse objetivo existe
duas maneiras: utilizando duas ou mais superfícies periódicas em cascata sem o dielétrico
entre elas ou utilizando placas dielétricas entre as superfícies em cascata, neste caso a
superfície periódica passa a ser híbrida.
No primeiro caso, ou seja, onde as superfícies estão em cascata e sem o dielétrico entre
elas, as várias camadas apresentam uma curva ressonante com desempenho superior se
comparado a uma superfície de camada única. No entanto, mesmo com essas camadas, tal
superfície é muito simples e apresenta uma variação considerável de largura de banda em
relação ao ângulo de incidência e a polarização, por isso não é recomendada em um trabalho
que necessite de muita precisão [1].
No caso de adicionar placas dielétricas nos dois lados de uma estrutura de camada única
podemos conseguir uma largura de banda consideravelmente maior que a conseguida com a
estrutura sem essas placas auxiliares. Essa combinação também não é recomendada nos casos
em que é necessária muita precisão mesmo se a largura de banda for projetada para ser quase
constante em relação ao ângulo de incidência e a polarização.
É comum que as estruturas periódicas sejam projetadas inicialmente sem as placas
dielétricas, e que essas placas sejam adicionadas posteriormente para que se tornem estruturas
híbridas, passando a ter um grande efeito na curva de ressonância. É necessária a escolha
correta da espessura das placas de acordo com o resultado desejado, pois tal característica
pode alterar a frequência de ressonância e a variação do ângulo incidente na curva de
ressonância.
23
Cada placa dielétrica adicionada possui funções específicas, como por exemplo: tornar a
largura de banda constante em relação ao ângulo incidente e à polarização. A FSS vai
determinar a largura de banda e a frequência ressonante. O formato das placas dielétricas e
dos elementos das FSS são projetados para uma maior otimização e para a compreensão do
comportamento da estrutura em relação à onda plana incidente [1].
2.5 Aplicaçes Típicas das FSS
Inicialmente, as aplicações das FSS estavam concentradas no uso em sub-refletores do
tipo Cassegrain de antenas par abólicas, que pode ser definido simplesmente como uma
estrutura periódica que “transparente” a uma faixa de frequência e “opaca” a outras faixas.
O sub-refletor não tem que necessariamente ser hiperbólico, pode ser simples, mas o formato
deve manter sua mecânica com uma alta tolerância o tempo todo [1].
Atualmente as aplicações envolvem, entre outras, antenas, aplicações militares, segurança
na rede sem fio, radomes, mísseis, blindagens eletromagnéticas, filtros angulares de micro-
ondas e absorvedores de micro-ondas [17].
As FSS foram amplamente utilizadas durante muitos anos em aplicativos de antenas,
filtros para micro-ondas e sinais ópticos. A introdução de uma FSS pode modificar e melhorar
o desempenho de absorção, pois a banda de absorção pode ser deslocada ou ampliada pela
presença de uma FSS [18].
Existem muitos exemplos onde as FSS são usadas em sub-refletores para configuração de
antenas com duplo refletor. Tais sub-refletor es são utilizados para reforçar a capacidade
multifrequencial destes sistemas de antena. A introdução de uma FSS no sub-refletor permite
melhorar as características multifrequenciais específicas, onde os sub-refletores possuem boas
características de reflexão e polarização.
É muito importante incorporar com precisão os efeitos de uma FSS no sub-refletor, em
relação ao cálculo da radiação, diretividade e coeficiente de reflexão de uma antena. Na
maioria dos casos, esta abordagem fornece bons resultados, no entanto, existem situações
onde se torna importante maior precisão, como por exemplo, levando em conta os efeitos da
curvatura da superfície e a diferença no sentido do ângulo de incidência em relação às
coordenadas do sub-refletor, o que se torna extremamente importante para uma previsão
precisa da polarização [17].
As FSS têm sido muito usadas como sub-refletores para comunicações via satélite, onde
apenas um sub-refletor principal pode separar diferentes bandas de frequência. Para melhorar
24
as capacidades do sub-refletor, são usadas FSS que operam em multifrequências. Em tais
sistemas, a FSS possui boas características de reflexão das frequências específicas. As FSS
também são utilizadas para aumentar ou diminuir a largura de banda de um arranjo de
antenas.
Uma das aplicações mais conhecidas das FSS é o anteparo da porta do forno de micro-
ondas doméstico, que possui a característica de um filtro passa-faixa, deixando passar a
frequência de luz visível e rejeitando a faixa de micro-ondas [2] [5] [10] [13].
Outra aplicação bem antiga dessas estruturas periódicas é a sua utilização na
caracterização da banda passante de radomes para reduzir a radiação da seção transversal das
antenas fora de sua banda operacional.
Uma situação típica ocorre quando uma onda plana é radiada por uma antena em um
radome funcionando como um filtro passa-faixa. Se o radome “opaco” e exposto a um
campo incidente, vários sinais serão refletidos devido à forma do radome e por isso é
produzido um sinal muito fraco no sentido contrário, isto é, temos uma baixa radiação da
seção tr ansversal. Por outro lado, se o sinal incidente possui a frequência correspondente à
faixa selecionada pelo filtro, este equipamento se torna ineficaz na redução da radiação da
seção transversal da antena. Isso é essencialmente determinado pela própria antena, mas para
assegurar um melhor desempenho utiliza-se um arranjo de FSS para que a banda passante
considerada seja “invisível” tamb m no sentido contr rio.
Essas estruturas periódicas são consideradas adequadas ao desenvolvimento de filtros,
ideais para a utilização conjunta com antenas em sistemas de comunicações sem fio e de
radar. É possível a utilização com êxito dessas superfícies como uma medida para aumentar as
capacidades de comunicação via satélite.
As aplicações das FSS têm crescido bastante através da adiço de dispositivos ativos
encaixados na célula unitária das estruturas periódicas, sobre substratos ferrimagnéticos e
sobre substratos líquidos. A incorporação de dispositivos que fornecem ganho ou não-
linearidade em uma FSS permite o desenvolvimento de arranjos com aplicações adicionais,
incluindo-se as funções de amplificação, oscilação e multiplexação. Essas estruturas podem
ser usadas em cascatas, empilhadas ou como uma camada única de desenho simplificado. A
Figura 7 mostra uma cascata para formar uma estrutura periódica tripla.
25
Figura 7 - Cascata para f ormar uma estrutura periódica tripla.
Arranjos de grades ativas podem ser usados em sistemas de radar, de radiodifusão e de
comunicações, em estado sólido, de baixo custo e alta potência. Vários arranjos de grades
ativas têm sido desenvolvidos com detetores, defasadores, multiplicadores, osciladores,
amplificadores e chaveadores [2] [5] [10] [13].
Um exemplo dessa utilização é uma situação comum, onde uma antena é colocada sobr e
o mastro de um navio e utiliza-se um arranjo de FSS com o intuito de rejeitar algum sinal da
banda e deixar que os sinais desejados propaguem. Alguns radares a bordo de navios muitas
vezes operam abaixo de 3 GHz assim como a maioria dos sistemas de comunicações.
Para isso poderia ser utilizado um radome híbrido operando a uma baixa frequência,
porém ele poderia produzir níveis elevados de radiação da seção transversal para algumas
frequências e variação no ângulo incidente. Portanto, ao invés disso, utiliza-se uma FSS
funcionando como filtro rejeita-faixa com elementos de tipo dipolo que ir ão reduzir
consideravelmente essa radiação.
Outro aplicativo interessante é a utilização de um arranjo de FSS que irradia através de
um polarizador juntamente com um refletor diretivo principal. Para um sinal incidente no
campo elétrico vertical, o polarizador irá atuar como uma indutância através da linha de
transmissão equivalente, enquanto uma onda polarizada horizontalmente é retardada. Para
melhorar a largura de banda e estabilizar o ângulo de incidência, utilizam-se placas dielétricas
com uma ou mais camadas no polarizador [1].
Uma aplicação recente de FSS é um painel que bloqueia sinal de redes sem fio. Os
painéis podem ser usados como papéis de paredes em locais como, por exemplo, escritórios,
cobrindo inclusive janelas, impedindo o acesso não autorizado à rede sem fio das empresas.
Além de proporcionar o isolamento e a segur ança da rede, os painéis reduzem a interferência.
Os painéis são feitos com películas e podem atuar nas versões passiva e ativa. Na versão
26
passiva, a barreira é permanente e impedirá que ondas dentro de uma dada gama passem. Já
na versão ativa, permitirá que uma ár ea seja ligada ou desligada de forma a aumentar ou
diminuir o alcance de uma rede. É preciso salientar que, por fazerem seleção em relação à
frequência que irão filtrar, estes painéis permitirão que as ondas de rádio, redes celulares ou
TV continuem a ser recebidas sem qualquer perda de sinal [19] [20].
Em sistemas UWB (Banda Ultra Larga) a ampla largura de banda das antenas causa uma
grande radiação, que é inadequada, em determinadas situações. Para melhorar tal situação, é
necessário fazer com que o sistema permita a transmissão ou reflexão em momentos
determinados, diminuindo assim qualquer possível descontinuidade. Para isso, utiliza-se uma
FSS funcionando como filtro passivo, fazendo com que os elementos ressonantes individuais
possam transmitir ou refletir sua frequência específica, ou utiliza-se várias camadas para que
possam interagir e ressoar [21].
27
3. Métodos utilizados para Análise de FSS
Vários métodos têm sido usados para análise de FSS. Diversas fórmulas aproximadas
foram desenvolvidas para analisar as características de transmissão e de reflexão das FSS. Um
dos primeiros métodos utilizados neste tipo de análise foi o casamento modal. Associado ao
casamento modal surgiu o método dos circuitos equivalentes, possibilitando a avaliação
inicial do comportamento de uma FSS [ 2].
Com o avanço dos recursos computacionais, outros métodos foram utilizados, citando-se
o método das diferenças finitas no domínio do tempo, FDTD, o método dos elementos finitos,
FEM, o método dos momentos, MoM e o método dos potenciais vetoriais de Hertz [2] [22].
Em conjunto com esses modelos, podem ser utilizadas técnicas como, por exemplo, as redes
neurais [5].
O FDTD e o FEM apresentam a vantagem da flexibilidade na forma da FSS. Entretanto,
requerem um esforço computacional elevado. Por outro lado, métodos como o MoM e o dos
potenciais vetoriais de Hertz, que não requerem tanto esforço computacional, apresentam
limitações quanto a forma das FSS.
A partir de meados dos anos 90 foi desenvolvido o Método das Ondas, um processo
iterativo, mais conhecido na literatura por Wave Concept Interactive Procedure , WCIP,
baseado em princípios relativamente simples e com diversas aplicações [23] [24].
Para entendermos melhor é feita uma breve explanação sobre alguns métodos utilizados
para análise de FSS.
3.1 Método do Casamento Modal
O método do Casamento Modal baseia-se em um princípio que pode ser ilustrado a partir
da Figura 8, onde:
Observa-se uma descontinuidade entre dois guias de onda. A região à esquerda da
descontinuidade é denominada região I, seção S . A região à direita é denominada região II,I
seção S . Considerando S contida em S [25].II I II
28
Figura 8- Seção longitudinal de uma descontinuidade entre guias.
A determinação da matriz de espalhamento ocorre da seguinte forma: uma onda
eletromagnética, composta por um somatório de modos TE (Transverso Elétrico) e TM
(Transverso Magnético), com amplitudes conhecidas, incide na estrutura através da região I
ou II, propagando-se ao longo do eixo z e incidindo na descontinuidade. Deseja-se determinar
os campos espalhados (transmitidos e refletidos). Os campos elétricos e magnéticos
transversais, nas regiões I e II, em z = 0 e em z = 0 são expressos através de suas expansões- +
modais:
(3a)
(3b)
(4a)
(4b)
29
onde os índices je iestão associados aos pares or denados ( m ,n ) e ( m ,n ), que caracterizam1 1 2 2
os modos (TE/TM) e (TE/TM) , nas regiões I e II, respectivamente. As componentes dem1n1 m2n2
campos transversais dos campos modais nas regiões I e II são representadas por e , h , e ejI jI iII
h . A e A são as amplitudes dos campos incidentes e B e B são as amplitudes dosiII jI iII jI iII
campos transmitidos e refletidos. As condiçes de contorno em z = 0 (continuidade dos
campos Ee Htransversais) impõem:
Para pontos no interior de S :I
(5a)
(5b)
Para pontos no interior de S - S :II I
(6a)
(6b)
Combinando-se as equações (3) (4) (5) e (6) temos:
Para pontos no interior de S :I
(7a)
(7b)
Para pontos no interior de S - S :II I
(8a)
30
(8b)
Multiplicando-se vetorialmente os membros de (7a) e (7a) por h , i = 1, ..., I, integrando-iII
se sobre a superfície S , e lembrando-se que:II
(9)
obtém-se:
(10)
onde
(11)
(12)
Analogamente, multiplicando-se vetorialmente os membros de (7b) e (8b) por e , j= 1,jI
..., J, e integrando-se sobre a superfície S , tem-se:I
(13)
onde
(14)
31
As equações (10) e (13) formam um sistema de J + I equações com J + I incógnitas, que
na forma de matriz é expresso por:
(15a)
(15b)
onde
[A ] e [ B ] são matrizes colunas J x 1contendo os coeficientes A e B ;I I jI jI
[A ] e [B ] são matrizes colunas I x 1contendo os coeficientes A e B ;II II iII iII
[P] é uma matriz I x J , com elementos p definidos em (11);ij
[Q] é uma matriz diagonal I x I, com elementos q definidos em (12);ii
[R] é uma matriz diaginal J x J , com elementos r definidos em (14).jj
O sistema definido em (13) pode ser reescrito da seguinte maneira:
(16a)
(16b)
De sua resoluço temos:
(17)
onde
sendo [ S] a matriz de espalhamento desejada. Manipulando algebricamente as equações (14a)
e (14b), temos:
32
(18a)
(18b)
(18c)
(18d)
Assim, para calcular a matriz [ S] basta que sejam determinados os elementos das matrizes
[R], [Q] e [ P], aplicando-os às expressões (18a) a (18d) [25].
3.2 Método dos Circuitos Equivalentes
O Método dos Circuitos Equivalentes é um método relativamente simples, que produz
resultados satisfatórios. Diferentemente dos métodos tradicionais de cálculo de campo
baseados na solução direta das equações de campo de Maxwell, o método dos circuitos
equivalentes focaliza os processos de transporte elétrico no meio, utilizando a equação de
continuidade e a teoria de circuitos elétricos para obter, a partir de modelos matemáticos
apropriados para os processos de transporte, um sistema de equações algébricas para a
distribuição de potenciais elétricos num espaço discretizado de elementos de volume. O
método dos circuitos equivalentes reúne estratégias bem sucedidas dos outros métodos [26].
Qualquer meio pode ser representado por um circuito de elementos concentrados, em
relação às propriedades eletromagnéticas e transporte de cargas. A capacitância, indutância e
condutância são equivalentes das propriedades distribuídas: permissividade elétrica,
permeabilidade magnética e condutividade, respectivamente. O método dos circuitos
equivalentes consiste em obter o circuito equivalente do meio e resolver o sistema de
equações (uma equação para cada nó do circuito equivalente, em cada passo de tempo, para as
condiçes iniciais e de limite), o que não é aqui detalhado [27].
Na análise de FSS utilizando esse método, os vários segmentos de fita que formam o
elemento tipo patch, por exemplo, em um arranjo periódico são modelados como
componentes indutivos e capacitivos em uma linha de transmissão. Da solução deste circuito,
são encontrados os coeficientes de transmissão e reflexão das FSS. Esta técnica permite uma
rápida resposta computacional, desde que o método use a aproximação quase-estática para
calcular as componentes do circuito [5] [13].
33
3.3 Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo, FDTD
O método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo, FDTD, é um dos métodos
numéricos mais utilizados para a soluço de problemas que envolvem transitórios
eletromagnéticos. O FDTD foi proposto inicialmente por Kane Yee em 1966. Este método
consiste em uma técnica de soluço dir eta para as equações de Maxwell no formato
diferencial e no domínio do tempo. Baseia-se na amostragem volumétrica do campo elétrico
Ee do campo magnético Hdesconhecidos em uma região de interesse em determinado
período de tempo. A amostragem do espaço é feita de maneira que o período de amostragem
seja menor do que o comprimento de onda do sinal. Para garantir a estabilidade numérica do
algoritmo, geralmente utiliza-se de 10 a 20 amostras por comprimento de onda.
Na época em que foi proposto, não existiam recursos computacionais para a simulação de
problemas complexos, o que atrasou o estudo do método. O avanço computacional permitiu
que esta técnica fosse estendida para a soluço de problemas mais complexos. O FDTD é um
método que utiliza um algoritmo baseado em equações diferenciais parciais e não requer uma
abordagem através da função de Green.
Em simulações onde a região modelada estende-se ao infinito, utilizam-se condiçes de
contorno para limitar o domínio computacional. As condiçes de contorno mais utilizadas são
planos condutores perfeitos (elétricos ou magnéticos) [ 28].
Para a implementação deste método, utiliza-se as equações de Maxwell:
Lei de Gauss para o campo elétrico:
(19)
Lei de Gauss para o campo magnético:
(20)
Lei de Faraday:
(21)
34
Lei de Ampère:
(22)
onde
é a densidade volumétrica de carga elétrica (C/m );3e
é a densidade volumétrica de carga magnética equivalente (Wb/m 3 );m
Dé o vetor densidade de fluxo elétrico (C/m 2 );
Bé o vetor densidade de fluxo magnético (Wb/m );2
Eé o vetor campo elétrico (V/m);
Hé o vetor campo magnético (A/m);
Jé o vetor densidade de corrente elétrica (A/m 2 );
Mé o vetor densidade de corrente magnética equivalente (V/m ).2
Os parâmetros ( ) e ( M) são incluídos nas equações para o tratamento das condiçes dem
contorno responsáveis pela limitação do domínio computacional.
Devemos considerar que nas equações J e Matuam como fontes geradoras da energia
associada ao campo eletromagnético. Considerando a presença de materiais com perdas
elétricas e magnéticas isotrópicas e não dispersivas na região de interesse, temos:
(23)
(24)
onde
s é a condutividade elétrica (S/m);
s a condutividade magn tica equivalente (O/m);*
J é o vetor densidade de corrente elétrica da fonte (A/m 2 );fonte
M é o vetor densidade de corrente magnética da fonte (V/m2).fonte
Para um meio linear, isotrópico e não dispersivo, as relações entre o fluxo (elétrico ou
magnético) e o campo (elétrico ou magnético) por ser descritas através de:
35
(25)
(26)
onde
é a permissividade elétrica (F/m);
é permeabilidade magnética (H/m);
é a permissividade elétrica relativa;r
é a permeabilidade magnética relativa;r
é a permissividade elétrica no vácuo (F/m);0
é a permeabilidade magnética no vácuo (H/m).0
Aplicando J, Me as equações (25) e (26) nas equações (21) e (22), obtemos:
(27)
(28)
Representando as coordenadas cartesianas, temos:
(29)
(30)
(31)
(32)
36
(33)
(34)
As equações diferenciais parciais acopladas (29) a (34) são base para o algoritmo da
técnica FDTD em três dimensões. As equações (19) e (20) estão implícitas no posicionamento
dos campos elétricos e magnéticos na grade FDTD e na derivação espacial numérica sobre as
componentes dos campos que modelam a ação do operador divergente. Para uma geometria
bidimensional, as equações apresentadas em coordenadas cartesianas podem ser simplificadas
utilizando as representações TEz (Ez = 0) e TMz (Hz = 0).
Para ondas TEz, com invariância espacial em relação à coordenada z, temos:
(35)
(36)
(37)
(38)
Para ondas TMz, temos:
(39)
(40)
37
(41)
(42)
Os modos TEz e TMz são maneiras diferentes de propagação bidimensional com
derivada parcial nula na direção z e sem componentes de vetor de campos semelhantes. Essas
diferenças podem fazer com que os fenômenos físicos associados a esses casos sejam muito
diferentes devido à orientação dos campos em relação à região que está sendo modelada.
Utilizando o método proposto por Kane Yee para implementar numericamente as
equações de Maxwell na forma diferencial e no domínio do tempo, foi possível a resoluço de
vários problemas, facilitando a compreensão física do que ocorre na propagação das ondas
eletromagnéticas. Kane Yee posicionou o campo elétrico e o campo magnético de forma que
sempre houvesse um dado plano, quatro componentes de um dos campos (elétrico ou
magnético) circulando ao redor de uma componente perpendicular do outro campo.
Possibilitando a análise tridimensional, Kane Yee usou um cubo, posicionando as
componentes do campo elétrico na metade das arestas do cubo e as componentes do campo
magnético no centro das faces do mesmo cubo.
Com vários cubos de Yee, pode-se formar uma grade para posicionar o campo elétrico
defasado no espaço e no tempo em relação ao campo magnético, par a obter equações que a
partir de campos previamente conhecidos no tempo, permitem os cálculos dos campos atuais.
As componentes de campo elétrico são calculadas e armazenadas para um determinado
instante de tempo em todo o domínio de interesse, utilizando valores do campo elétrico
(previamente armazenados). De forma análoga ocorre para o campo magnético [28]. A Figura
9 representa o arranjo, que recebeu o nome de Cubo de Yee.
38
Figura 9 - Cubo de Yee: Posicionamento das componentes de campo elétrico e magnético emuma célula ( x, y, z).
3.4 Método dos Elementos Finitos, FEM
O método dos Elementos Finitos, FEM, que teve sua origem nos anos 40 é uma
ferramenta numérico-computacional utilizada para a soluço aproximada de equações
diferenciais entre as quais se inclui a Equação de Poisson, Equação de Laplace, Equação de
Helmholtz, etc. Este método pode ser aplicado a muitas áreas da engenharia. Além da área de
estruturas (de onde o método originou-se) pode-se aplicá-lo em transferência de calor ,
escoamento de fluidos, lubrificação, campos elétricos e magnéticos, e muitos outros [29] [30].
Um dos conceitos básicos do FEM é a discretização, ou seja, a substituição do sistema
original por outro, mais simples na sua forma, por partes. A discretização do domínio da
estrutura permite descrever de forma mais simplificada o seu comportamento.
Devido às suas características de flexibilidade e estabilidade numérica, este método pode
ser implementado na forma de um sistema computacional (programa de computador) de
forma consistente e sistemática, fato que explica a sua grande popularidade nos dias atuais.
Um grande impulso para o seu desenvolvimento e aperfeiçoamento foi dado pela indústria
aeroespacial, aonde o método vem tendo larga aplicação desde os anos 50 [30]. De uma forma
geral, o FEM consiste em modelar a estrutura como uma montagem de pequenas partes, as
quais são chamadas de elementos, onde a conexão dessas pequenas partes é feita não mais em
uma área ou linha, mais em pontos discretos os quais são chamados de nós [29]. É utilizado
39
um conjunto de variáveis (variáveis nodais) distinto das variáveis de ramo, obtendo-se desta
forma um sistema de equações tendo como incógnitas as tensões dos nós do circuito em
relação ao nó de referência, o qual pode ser escolhido como qualquer nó do circuito. As
cargas distribuídas são aplicadas nos nós, ou seja, calcula-se o valor da carga aplicada que irá
atuar em cada nó de forma a produzir a mesma energia do sistema original. Com essa
modelagem, analisa-se a estrutura de forma local em cada elemento, somando-se a
contribuição das partes para formar o sistema completo. Os elementos das estruturas apenas
interagem nos nós, por isso supõe-se que as cargas e deslocamentos atuantes nesses nós são os
responsáveis pelo estado de tensão ou deformação do elemento e sucessivamente da estrutura.
A partir daí nota-se que não é mais necessário saber o comportamento da estrutura ponto
a ponto, como é o resultado da solução analítica de uma equação diferencial. Basta que os
valores das variáveis nodais dos elementos sejam conhecidos de alguma forma. Com os
parâmetros sendo os valores nodais das variáveis interpoladas, facilita-se o entendimento da
formulação e análise de seus resultados. O formato final do método é uma equação de
equilíbrio dada por:
(43)
onde [ K] é a matriz de rigidez do problema estrutural. Esta matriz representa as propriedades
físicas discretizadas da estrutura; { U} é o vetor que contém os valores nodais dos
deslocamentos utilizados como parâmetros; e { R} é o vetor que contém as cargas atuantes em
cada nó do modelo estrutural discretizado.
Os passos que constituem o FEM podem ser resumidos da seguinte forma:
Dividir a estrutura ou meio contínuo em elementos finitos;
Formular as propriedades de cada elemento, ou seja, determinar as cargas nodais
associadas com todos os estados de deformações que são permitidos;
Montar os elementos para obter o modelo de elementos finitos da estrutura;
Aplicar as cargas conhecidas: forças e momentos nodais em análise de tensão;
Aplicar as condições de contorno da estrutura, ou seja, restringir e impor os valores de
deslocamentos conhecidos em cada nó;
Resolver o sistema de equações algébricas derivadas da condição de equilíbrio;
Em análise de tensão, calcular as deformações e tensões nos nós e no interior do
elemento, se necessário;
Avaliar os resultados encontrados [29] .
40
3.5 Método dos Momentos, MoM
O método dos Momentos, MoM, é uma técnica de resolução de equações integrais
complexas, por redução destas a um sistema de equações lineares simples. Este método utiliza
uma técnica conhecida por método dos resíduos ponderados. Todas as técnicas de resíduos
ponderados começam por estabelecer um conjunto de funções de base com um ou mais
parâmetros variados. Os resíduos são uma medida de diferença entr e a soluço de base e a
soluço real. Os parâmetros variáveis são determinados de forma a garantir uma melhor
aproximação das funções de base, com vista a minimizar os resíduos. A situação ideal seria a
determinação de uma função de base para a qual o resíduo se tornaria nulo, o que na prática
nem sempre é possível [31].
Para a formulação matemática do método dos Momentos, deve-se considerar a equação
homogênea:
(44)
onde Lé um operador linear, gé uma função conhecida e fé a função a encontrar.
Expandindo fnuma série de funções f , f , ..., f conhecidas, no domínio de L:1 2 n
(45)
sendo a constantes e as funções f denominadas por funções de base ou funções de expansão.n n
Para soluçes exatas o segundo termo da equação é um somatório infinito e os f formamn
um conjunto completo de soluçes de base. Para uma soluço aproximada fé dado por um
somatório finito. Utilizando a linearidade de L, temos:
(46)
aDa equação (46) pode-se concluir que as incógnitas passaram a ser os escalares . Sen
considerarmos a solução aproximada (com Nfunções de base), a soluço da equação não é
41
possível, pois o número de incógnitas ( N) é maior que o número de equações. Para determinar
aas grandezas escalares , efetua-se o produto escalar com um conjunto de funções conhecidasn
w conhecidas por funções de teste ou peso. O produto escalar < f, g > é uma operaçãom
escalar que satisfaz as leis:
(47a)
(47b)
(47c)
(47d)
em que ae ßsão grandezas escalares e o *indica o complexo conjugado. Assim, para cada
função de teste w , temos:m
(48)
Desenvolvendo o somatório para as funções de testes que possuir, pode-se escrever as
equações num sistema de equações do tipo:
(49)
Este conjunto de equações pode ser escrito na forma de matriz como:
ou seja,
42
(50)
sendo l = < w , Lf > e g = < w , g>. Se a matriz [ l] for não singular, existe a sua inversamn m n m m
a[l]-1 e os escalares são dados por:n
(51)
e a solução de fpor:
(52)
Definindo a matriz de funções:
(53)
então:
(54)
Esta soluço pode ser aproximada ou exata, dependendo da escolha dos f e w . Nan m
aplicação deste método numérico é muito importante a escolha das funções de base. De
maneira geral, escolhem-se funções do gênero da função desconhecida, pois de acordo com o
problema, sabemos o tipo de função que vamos encontrar, lembrando que as f devem sern
linearmente independentes [31] [ 32].
3.6 Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz
Os potenciais eletromagnéticos são funções a partir das quais o campo eletromagnético
pode ser derivado e cujas equações estruturais são mais fáceis de serem resolvidas do que as
43
do próprio campo [33]. Assim como os potenciais de retardo Ae F, os potenciais vetoriais de
Hertz elétrico e magnético são grandezas matemáticas que auxiliam na resolução dase h
equações de onda [ 34]. A análise vetorial mostra que campos vetoriais obedecem à seguinte
condiço:
(55)
Assim, com uma função potencial øqualquer satisfaz:
(56)
Num espaço livre de cargas elétricas, os campos (elétrico e magnético) satisfazem as
equações de Maxwell:
(57)
e
(58)
Portanto, pode-se escrever os vetores (campo elétrico e campo magnético) em função de
potenciais que obedeçam a identidade (55), isto é,
(59)
e
(60)
Substituindo-se (59) na equação de Maxwell:
(61)
tem-se:
44
(62)
logo:
(63)
ou de uma forma geral:
(64)
Substituindo-se (59) e (64) na equação de Maxwell:
(65)
tem-se:
(66)
ou
(67)
Impondo-se a condiço de Lorentz:
(68)
obtém-se:
(69)
45
A soluço da equação diferencial (69) fornece a expressão do potencial vetorial de Hertz
magnético que, por sua vez, possibilita a determinação de Ea partir de (59) e Ha partir de:
(70)
De forma semelhante, pode-se obter a equação diferencial que fornece a expressão do
potencial vetorial de Hertz a partir da substituiço de (60) em (65), ou seja,e
(71)
ou, de uma forma geral:
(72)
Substituindo-se (60) e (72) em (61), tem-se:
(73)
ou
(74)
Impondo-se a condiço de Lorentz:
(75)
obtém-se:
(76)
A partir da solução de (76) pode-se determinar a expressão do campo magnético através
de (60) e do campo elétrico através de [34]:
46
(77)
3.7 Método das Ondas, WCIP
O método das Ondas, WCIP baseia-se em um princípio relativamente simples que pode
ser ilustrado a partir da Figura 10, onde:
Os dois meios, I e II, em uma região limitada do espaço, estão separados por uma
superfície S;
Uma onda A incide perpendicularmente na superfície S, a partir do meio I, na0
direção n, no sentido positivo.
Ao incidir sobre a superfície a onda A sofre dois processos: uma parte passa para o0,I
meio II, B , na direção n, no sentido positivo e; outra parte é refletida, B , retornando ao1,II 1,I
meio I, na direção n, no sentido negativo.
Em função dos limites e das condiçes de propagação na região I a onda B sofre uma1,I
nova reflexão, dando origem a onda A .1,I
A onda A incide perpendicularmente na superfície Se o processo se repete.1,I
Analogamente, a onda B sofre uma reflexão no meio II, dando origem a onda A .1,II 1,II
Figura 10 - Princípio de Funcionamento do WCIP.
Após a k-ésima repetição do processo, a onda resultante sobre a superfície Sserá a soma
de todas as ondas incidentes e r efletidas. Se parte da potência é absorvida a cada iteração, seja
pelas características da superfície S, ou pelas condiçes de propagação nos meios I e II, o
47
processo converge e os somatórios das ondas incidentes, A, e refletidas, B , podem ser
determinados. Matematicamente têm-se [22] [35]:
(78)
(79)
onde
Sxy descreve o comportamento da onda ao incidir sobre a superfície;
descreve o comportamento da onda ao se propagar no meio.
Portanto, são dois os pontos a serem analisados: a incidência ou reflexão da onda na
superfície Se a propagação ou reflexão da onda no meio.
As ondas incidentes e refletidas se relacionam com as amplitudes de campo transversais
através das equações (80) e (81):
(80)
(81)
sendo Z a impedância característica do meio, dada por:0
(82)
Entretanto, ao invés do vetor campo magnético, H, em geral é utilizado o vetor densidade
de corrente superficial, J, definido por:
48
(83)
A utilização do vetor densidade de corrente superficial decorre de vantagens tais como: o
vetor Japresenta a mesma natureza do vetor H.
Para uma estrutura propagando modos TE e TM os vetores Ee Jsão colineares, como
mostrados na Figura 11.
Figura 11 - Componentes de campos transversais de uma onda eletromagnética.
Substituindo (83) em (80) e em (81), temos:
(84)
(85)
De (84) e (85) obtém-se as expressões para os vetores Ee Jem função das ondas
incidentes e refletidas. Desta forma:
(86)
49
(87)
A partir dos valores de Ee J, determinados sobre a superfície do circuito, parâmetros tais
como impedância e frequências de ressonância, podem ser calculados e, dessa forma, o
circuito é caracterizado. No WCIP essa caracterização é realizada em diferentes domínios,
sejam eles, espacial, espectral e modal, o que não é aqui detalhado.
A necessidade relativamente reduzida de recursos computacionais e a flexibilidade
quanto à forma da estrutura planar são características do WCIP, o que tor na a sua aplicação
particularmente interessante na análise de FSS.
A análise de FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas é uma
aplicação típica desse método, onde uma estrutura relativamente complexa é analisada de
maneira global [23] [24].
50
4. FSS sintonizáveis usando anéis comcapacitâncias acopladas
As FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas são estruturas
relativamente simples, como mostrado na Figura 12.
Figura 12 - FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas.
Essas estruturas são construídas a partir de uma célula básica, sendo fabricadas sobre um
substrato dielétrico de altura he constante dielétrica . Sua frequência de ressonância estár
relacionada com o comprimento efetivo da célula básica, L , e com a constante dielétricaef
˜efetiva, . Para h<< , o efeito do dielétrico pode ser bastante reduzido e 1. A Figurarefref
13 representa uma célula básica de uma FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias
acopladas.
Figura 13 - Célula básica de uma FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias
acopladas.
51
Não há uma expressão exata para o cálculo do comprimento efetivo da célula básica com
capacitância acoplada. Para uma célula básica quadrada, como mostrada na Figura 14, uma
aproximação para o comprimento efetivo é o comprimento médio, dado por:
(88)
Figura 14 - FSS: Célula básica quadrada e circuito equivalente.
Como para as frequências de ressonância, o comprimento de onda é igual a múltiplos
inteiros do comprimento efetivo da célula básica, f é dada por:res
(89)
Os valores obtidos para FSS com célula básica quadrada são utilizados como referência
neste projeto. Embora essas equações não apresentem respostas com grande precisão, os seus
resultados servem como uma primeira aproximação para projetos.
4.1 Resultados Experimentais
A determinação das frequências de ressonância foi realizada no GTEMA (Grupo de
Telecomunicações e Eletromagnetismo Aplicado) do IFPB, a partir da medição do módulo
coeficiente de transmissão, |S21|, utilizando um Analisador de Redes Vetorial, VNA, com
duas antenas do tipo corneta, na banda X, na faixa de frequência de 7 GHz a 13,5 GHz. A
Figura 15 representa o esquema utilizado para a mediço.
52
Figura 15 - Esquema utilizado para a medição.
As FSS foram confeccionadas em um substrato de fibra de vidro, com = 4,5 e h= 1,5r
mm. A dimensão total da placa é de aproximadamente 200 mm x 200 m m. Para cada célula
básica W = W = 20 mm e w= 2 mm. A Figura 16 representa um exemplo de FSSx y
sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas que foi confeccionada.
Figura 16 - Exemplo de FSS sintonizável usando anéis com capacitâncias acopladas que foi
confeccionada.
Na Figura 17 é apresentado o resultado medido para uma FSS com célula básica
quadrada, Lx= Ly= 9,8 mm e w = 1,8 mm. Neste caso, a frequência de ressonância não
depende da polarização do campo elétrico em relação à FSS. Usando as equações (88) e (89),
foi obtido: L = 32 mm e f = 9,8 GHz.ef res
53
Figura 17 – Resultado para FSS com célula básica quadrada: |S21| x frequência.
A frequência de ressonância calculada foi 9,8 GHz, já a frequência de ressonância medida
foi 10 GHz, dentro da ordem de grandeza esperada.
As FSS sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas apresentam um
comportamento que depende da polarização do campo elétrico em relação às seção de linhas
acopladas. Para os resultados apresentados neste projeto, o campo elétrico está sempre
polarizado na vertical e o que muda é a orientação da FSS, sendo considerada horizontal, com
o campo elétrico perpendicular às linhas acopladas, como mostrado na Figura 18 (a) e
considerada vertical, com o campo elétrico paralelo às linhas acopladas, como mostrado na
Figura 18 (b).
Figura 18 - Orientação das FSS: (a) Horizontal; (b) Vertical.
54
Nas Figuras 19, 20, 21 e 22 são apresentados os resultados para FSS com diferentes
valores de região acoplada.
Figura 19 - Resultados para o primeiro caso de FSS sintonizável com capacitância acopladacom orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical.
Para este primeiro caso, as dimensões são: L = L = 10 mm, s= 1 mm, d = d = 5 mm ex y 1 2
d = 7 mm. Para uma orientação horizontal mostrada na Figura 19 (a), a frequência de3
ressonância medida foi 9,90 GHz. Já para uma orientação vertical mostrada na Figura 19 (b),
a primeira frequência de ressonância medida foi 11,46 GHz e a segunda frequência de
ressonância medida foi 13,17 GHz.
55
Figura 20 - Resultados para o segundo caso de FSS sintonizável com capacitância acopladacom orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical.
Para este segundo caso, as dimensões são: L = L = 10 mm, s= 1 mm, d = d = 5,5 mmx y 1 2
e d = 7 mm. Para uma orientação horizontal mostrada na Figura 20 (a), a frequência de3
ressonância medida foi 9,43 GHz. Já para uma orientação vertical mostrada na Figura 20 (b),
a primeira frequência de ressonância medida foi 11,30 GHz e a segunda frequência de
ressonância medida foi 12,90 GHz.
Figura 21 - Resultados para o terceiro caso de FSS sintonizável com capacitância acopladacom orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical.
56
Para este terceiro caso, as dimensões são: L = L = 10 mm, s= 1 mm, d = d = 6 mm ex y 1 2
d = 7 mm. Para uma orientação horizontal mostrada na Figura 21 (a), a frequência de3
ressonância medida foi 8,96 GHz. Já para uma orientação vertical mostrada na Figura 21 (b),
a primeira frequência de ressonância medida foi 11,09 GHz e a segunda frequência de
ressonância medida foi 12,60 GHz.
Figura 22 - Resultados para o quarto caso de FSS sintonizável com capacitância acopladacom orientação: (a) Horizontal; (b) Vertical.
Para este quarto caso, as dimensões são: L = L = 10 mm, s= 1 mm, d = d = 6,5 mm ex y 1 2
d = 7 mm. Para uma orientação horizontal mostrada na Figura 22 (a), a frequência de3
ressonância medida foi 8,70 GHz. Já para uma orientação vertical mostrada na Figura 22 (b),
a primeira frequência de ressonância medida foi 10,94 GHz e a segunda frequência de
ressonância medida foi 12,32 GHz.
Em todos os casos mostrados acima observou-se que: para uma orientação horizontal há
uma redução gradativa da frequência de ressonância a partir da frequência de ressonância da
FSS quadrada, com mostrado na Figura 23. A presença da região acoplada funciona como
uma capacitância em paralelo, cujo valor aumenta com a frequência.
57
Figura 23 - Variação da frequência de ressonância com a dimensão da região acoplada comorientação horizontal e circuito equivalente.
Já para uma orientação vertical observa-se que a primeira frequência de ressonância
reduz gradativamente, partindo de um valor superior ao da frequência de ressonância da FSS
quadrada, como mostrado na Figura 24. A presença da região acoplada funciona como uma
capacitância em série, cujo valor diminui com a frequência.
Figura 24 - Variação da frequência de ressonância com a dimensão da região acoplada com
orientação vertical e cir cuito equivalente.
Além disso, verificou-se o surgimento de uma segunda frequência de ressonância na
mesma faixa de frequência de medição, com um comportamento semelhante ao da primeira,
como mostrado na Figur a 25. Entretanto, seria interessante comparar o comportamento dessa
58
segunda frequência de ressonância com a segunda frequência de ressonância da FSS com
célula básica quadrada, o que não foi possível, pois essa frequência está fora da faixa de
frequência dos equipamentos disponíveis no GTEMA do IFPB.
Figura 25 - Variação da segunda frequência de ressonância com a dimensão da regiãoacoplada com orientação vertical.
Portanto, dos resultados experimentais apresentados observou-se que é possível fazer o
ajuste da frequência de ressonância, assim como a introdução de novas ressonâncias a partir
do ajuste das dimensões da região acoplada e da polarização.
59
Consideraçes Finais
Pelo que foi apresentado, pode-se considerar que o trabalho alcançou o resultado
desejado. Foi apresentado o projeto, a confecção e a caracterização experimental de FSS
sintonizáveis usando anéis com capacitâncias acopladas, descrevendo a variação da
frequência com a região acoplada e com a polarização. A partir do ajuste da região acoplada e
da polarização observou-se que é possível ajustar a frequência de ressonância, assim como
introduzir novas ressonâncias. Na análise dessas estruturas, há uma grande flexibilidade dos
parâmetros de projeto.
A partir da análise dos resultados, é possível propor uma investigação a respeito de
estruturas multi-banda, principalmente com a utilização de arranjos quase-periódicos.
Foi feito um levantamento bibliográfico sobre as FSS, apresentando as principais
características e alguns métodos utilizados para analise de tais estruturas, tornando possível a
construção de diversos projetos relacionados ao tema.
Um diferencial apresentado pelo GTEMA do IFPB no desenvolvimento de atividades de
pesquisa é a possibilidade de realização de procedimentos experimentais. A experimentação
confere ao pesquisador uma visão muito mais nítida dos fenômenos em análise, confirmando
ou negando suas expectativas teóricas. Atualmente, com a utilização da técnica WCIP, vem
sendo desenvolvida no GTEMA a caracterização numérica de FSS.
Verificou-se que as estruturas periódicas encontram diversas aplicações, tais como: filtros
de micro-ondas, radomes, sub-refletores parabólicos, dentre outras. Além disso, o uso de FSS
pode melhorar a resposta de antenas (por exemplo, patches de microfita), aumentando a
largura de banda e melhorando a eficiência dessas antenas.
Dessa forma, com o que foi apresentado neste trabalho, pretende-se contribuir para o
avanço da pesquisa neste instigante campo de investigação.
60
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