CE062c - GAMLSS - UFPRtaconeli/CE06218/Aula1p2.pdf · CE062c - GAMLSS Silva,J.P;Taconeli,C.A....

CE062c - GAMLSS

Silva, J.P; Taconeli, C.A.

09 de outubro, 2018

Silva, J.P; Taconeli, C.A. CE062c - GAMLSS 09 de outubro, 2018 1 / 42

Por que GAMLSS?


Introdução

GAMLSS (Generalized aditive models for location, scale and shape) éuma recente metodologia de regressão (semi) paramétrica, quecontempla uma grande variedade de distribuições, e em que qualquerum de seus parâmetros pode ser modelado em função de covariáveis.

Permite modelar dados com dispersão não constante, diferentes níveisde assimetria e curtose, relações não lineares entre as variáveis. . .

O pacote gamlss e pacotes complementares permitem ajustar modelosda classe GAMLSS para diferentes tipos e estruturas de dados.


Introdução

Nesta aula vamos discutir alguns pontos da metodologia por meio deum exemplo referente aos preços de aluguel de imóveis em Munique,1980 (data set rent, pacote gamlss).

Adicionalmente, vamos explorar, de maneira preliminar, recursoscomputacionais implementados na biblioteca gamlss do R.

Vamos ajustar uma sequência de modelos com nível crescente decomplexidade, partindo de uma regressão linear e chegando a umGAMLSS.

Os slides apresentados na sequência são complementados com scriptsem R, disponíveis na página da disciplina.


Dados sobre preços de aluguel em Munique, 1980

A base de dados dispõe de informações de 1969 imóveis disponíveispara aluguel em nove variáveis, das quais cinco serão usadas na análise:

R: variável resposta, é o aluguel mensal em Marcos alemães menos ocusto utilitário, calculado ou estimado;

Fl: Área construída, em metros quadrados;

A: Ano de construção;

H: Fator com dois níveis, se o imóvel tem (0) ou não (1) aquecimentocentral;

loc: um fator que classifica a locação do imóvel como abaixo da média(1), na média (2) ou acima da média (3).


Análise exploratória

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1900 1920 1940 1960 1980

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

A

R

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0 1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

H

R

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1 2 3

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

loc

R

Figura 1: Gráficos para o valor de aluguel (R) vs variáveis explicativas.


Por que GAMLSS?

Complexidade da relação entre a variável resposta e as variáveisexplicativas;

A variância dos valores de aluguel não é constante para diferentesvalores das variáveis explicativas;

Distribuição dos valores de aluguel é assimétrica, e o nível deassimetria parece variar conforme os valores das variáveis explicativas.


Modelo de regressão linear

O primeiro modelo a ser ajustado é o de regressão linear, considerandoresposta com distribuição Normal.

Considere y a variável resposta e x1, x2, ..., xr um conjunto de rcovariáveis avaliados em uma amostra de tamanho n.

O modelo de regressão linear fica definido, para uma amostra detamanho n, por:

yi = β0 + β1xi1 + ...+ βr xir + εi ,

com εiind∼ N(0, σ2), para i = 1, 2, ..., n.



O modelo de regressão linear pode ser representado na forma matricialpor:

y = Xβ + ε,

onde y = (y1, ..., yn)′ é o vetor de respostas, X é a matriz do modelo n × p(p = r + 1), β = (β0, β1, ..., βr )′ é o vetor de parâmetros de regressão eε = (ε1, ε2, ..., εn)′ o vetor de erros.

Uma forma equivalente (e mais flexível) de representar o modelo deregressão linear é a seguinte:

y |x ind∼ N(µx , σ2),

onde µx = β0 + β1x1 + ...+ βr xr .



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

y

Figura 2: Ilustração de modelo de regressão linear com uma covariável.



O método de mínimos quadrados é usualmente aplicado na estimaçãodos parâmetros do modelo (β′s);

O estimador de mínimos quadrados de β é o vetor β̂ que minimiza asoma de quadrados dos erros, dada por:

SQE (β) = (y − Xβ)′(y − Xβ).

O vetor β̂ pode ser obtido de forma analítica, resultando em:

β̂ = (X ′X)−1X ′y .



Sob a especificação do modelo de regressão linear, o estimador demínimos quadrados é também o estimador de máxima verossimilhançade β.

O estimador de máxima verossimilhança de σ2 é dado por:

σ̂2 = SQResn = (y − Xβ̂)′(y − Xβ̂)

n ,

sendo viciado para σ2. Um estimador não viciado de σ2 é dado por:

s2 = SQResn − p = (y − Xβ̂)′(y − Xβ̂)

n − p .



Voltando à análise dos dados de aluguéis de imóveis, o seguinte modelode regressão linear é proposto:

y |x ∼ Normal(µx , σ2),

em que

µx =β0 + β1 × Fl + β2 × A + β3 × I(H = 1)+ β4 × I(loc = 2) + β5 × I(loc = 3),

sendo I(·) é a função indicadora, tal que I(H = 1) = 1 para os imóveis semaquecimento central (H = 1) e I(H = 1) = 0 para os imóveis comaquecimento central (H=0).



A equação do modelo de regressão linear ajustado é a seguinte:

µ̂x =− 2775.04 + 8.84× Fl + 1.48× A− 204.76× I(H = 1)+ 134.05× I(loc = 2) + 209.58× I(loc = 3).

Além disso:

log(σ̂) = 5.73165,

tal que σ̂ = 308.48.


Modelo linear generalizado

Modelos lineares generalizados configuram extensões dos modelos deregressão linear, apresentando como diferenciais:

Permitem modelar respostas com distribuição pertencente à famíliaexponencial;

A relação entre a média de y e as covariáveis é determinada por umafunção de ligação monotônica g(·);

A estimação dos parâmetros do modelo se dá por um algoritmo demínimos quadrados ponderados iterativamente.



Uma variável aleatória y tem distribuição pertencente à famíliaexponencial se sua função (densidade) de probabilidade tiver a seguinteforma:

f (y ;µ, φ) = exp{yθ − b(θ)

φ+ c(y , φ)

},

em que θ e φ são os parâmetros canônico e de dispersão, respectivamente.

A média e a variância de y são dadas, repsectivamente, porE (y) = b′(θ) e Var(y) = φV (µ), onde V (µ) = b′′[θ(µ)] é a chamadafunção de variância.



Dentre as principais distribuições contempladas pela teoria de MLGestão a normal (V (µ) = 1), binomial (V (µ) = µ(1− µ)), Poisson(V (µ) = µ), Gamma (V (µ) = µ2) e normal inversa (V (µ) = µ3).

Um modelo linear generalizado pode ser representado, genericamente,da seguinte forma:

y |x ind∼ ε(µx , φ),

em que ε denota uma particular distribuição da família exponencial, φ é umparâmetro de dispersão e

g(µx) = β0 + β1x1 + ...+ βr xr .



Na aplicação dos dados sobre os valores de aluguel de imóveis, vamosconsiderar a distribuição Gamma, que é uma alternativa para amodelagem de dados contínuos assimétricos.

Uma variável aleatória com distribuição Gamma de média µ eparâmetro de dispersão φ tem a função densidade de probabilidadedada por:

f (y ;µ, φ) =y

1φ−1exp

(− yφµ

)(φµ)1/φ Γ(1/φ)

, y > 0, µ > 0, φ > 0.

No pacote gamlss a distribuição Gamma é parametrizada peloparâmetro de escala σ =

√φ.



Como µ > 0, uma escolha adequada para o modelo é a função deligação logarítmica, de forma que o modelo a ser ajustado ficaespecificado por:

y |x ind∼ Gamma(µx , σ), y > 0, µ > 0, σ > 0,

com

log(µx) =β0 + β1 × Fl + β2 × A + β3 × I(H = 1)+ β4 × I(loc = 2) + β5 × I(loc = 3).



−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

2

4

6

8

x

y

Figura 3: Ilustração de modelo de regressão Gamma com função de ligaçãoexponencial.



O ajuste do modelo linear generalizado com resposta Gamma resultaem y |x ∼ Gamma(µ̂x , σ̂), tal que:

log(µ̂x) =2.8649 + 0.0106× Fl + 0.0015× A− 0.3001× I(H = 1)+ 0.1907× I(loc = 2) + 0.2641× I(loc = 3),

com

log(σ̂) = −0.9822,

tal que σ̂ = 0.3745.

Informações mais detalhadas sobre o ajuste encontram-se no scriptdisponível na página da disciplina.


Modelo generalizado aditivo

Modelos generalizados aditivos configuram extensões dos MLGs emque o efeito de ao menos uma das covariáveis é incorporado ao preditorlinear através de uma função suave, sem parâmetros associados.

Um modelo generalizado aditivo pode ser representado, de forma geral,por:

y |x ind∼ ε(µx , φ),onde

g(µx) = β0 + β1x1 + ...+ βjxj + ...+ sj+1(xj+1) + ...+ sr (xr ),

em que sk é uma função suave não paramétrica aplicada à covariável xk ,k = j + 1, ..., r .



−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

x

y

Figura 4: Ilustração de modelo de regressão Gamma com função suave para amédia.



Modelos aditivos são mais flexíveis do que modelos totalmenteparamétricos.

Os efeitos das covariáveis inseridas ao preditor por meio de funçõessuaves podem ser interpretados usando gráficos apropriados;

O pacote gamlss oferece diferentes alternativas de funções suaves aserem usadas em modelos aditivos, que serão abordadasposteriormente.

Na aplicação referente aos preços de aluguel vamos considerar ainclusão de efeitos aditivos (não paramétricos) para a área e o ano deconstrução do imóvel.



O modelo generalizado aditivo a ser ajustado aos dados de preços dealuguel, considerando resposta Gamma, é especificado da seguinteforma:

y |x ind∼ Gamma(µx , σ), y > 0, µ > 0, σ > 0,

com

log(µx) =β0 + s1(Fl) + s2(A) + β1 × I(H = 1)+ β2 × I(loc = 2) + β3 × I(loc = 3),

em que s1 e s2 são suavizadores não paramétricos aplicados às variáveis Fl eA, respectivamente.



O modelo ajustado fica dado por:

log(µ̂x) =3.0851 + s1(Fl) + s2(A)− 0.3008× I(H = 1)+ 0.1887× I(loc = 2) + 0.2720× I(loc = 3),

com

log(σ̂) = −1.0019,

tal que σ̂ = 0.33672.


Modelagem do parâmetro de escala

Até o momento consideramos apenas modelos em que a média(parâmetro de locação) da distribuição varia conforme os valores dascovariáveis;

Modelos mais gerais permitem incluir covariáveis também namodelagem de outros parâmetros da distribuição (por exemplo, para oparâmetro de escala).

Para a distribuição Gamma, por exemplo, temos que Var(y) = σ2µ2,ou seja, σ =

√Var(y)/µ é o coeficiente de variação de y .

Podemos modelar σ em função de covariáveis, permitindo avaliar se ocoeficiente de variação muda conforme os valores de alguma (oualgumas) delas.



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x

y

Figura 5: Ilustração - distribuição normal com média e variância dependentes de x .



Uma formulação geral para o modelo, neste caso, seria da seguinteforma:

y |x ind∼ D(µx , σx),onde

g1(µx) = β10 + β11x1 + ...+ β1j1xj1 + ...+ sj1+1(xj1+1) + ...+ sr1(xr1)g2(σx) = β20 + β21x1 + ...+ β2j2xj2 + ...+ sj2+1(xj2+1) + ...+ sr2(xr2),

em que D representa alguma distribuição com dois parâmetros (µ e σ), quesão funções de covariáveis inseridas por meio de termos paramétricos ounão paramétricos.



Neste contexto, vamos retomar a análise dos dados de preços dealuguel com o ajuste de modelos com resposta Gamma e normalinversa, inserindo covariáveis também na modelagem do parâmetro deescala.

Em ambos os casos vamos considerar função de ligação logarítmicatanto para µ quanto para σ, produzindo os seguintes modelos:


e

log(σx) =β20 + s21(Fl) + s22(A) + β21 × I(H = 1)+ β22 × I(loc = 2) + β23 × I(loc = 3).



O modelo ajustado com resposta Gamma (que produziu menor AIC doque com resposta normal inversa) produziu os seguintes resultados:


com

log(σ̂x) =5.9225 + s21(Fl) + s22(A) + 0.0659× I(H = 1)− 0.1166× I(loc = 2)− 0.1702× I(loc = 3).


Modelos generalizados aditivos para locação, escalae forma

Os modelos considerados anteriormente baseiam-se em distribuiçõescom dois parâmetros, permitindo modelar locação (média) e escala(dispersão) da distribução da variável em função de covariáveis.

A metodologia GAMLSS contempla distribuições de probabilidade comaté quatro parâmetros, permitindo modelar outros parâmetros dadistribuição, associados, por exemplo, à assimetria e curtose.

Desta forma, dispõe-se de uma ampla variedade de modelos, flexíveis eúteis para a análise de dados com distribuições de diferentes formas.



6 8 10 12 14 16 18

0

5

10

15

20

25

x

y

Figura 6: Ilustração - distribuição com locação, dispersão e forma dependentes dex .



Um modelo generalizado aditivo para locação, escala e forma pode serdefinido, de forma geral, por:

y |x ind∼ D(µx , σx , νx , τx),onde

g1(µx) = β10 + β11x1 + ...+ β1j1xj1 + ...+ sj1+1(xj1+1) + ...+ sr1(xr1)g2(σx) = β20 + β21x1 + ...+ β2j2xj2 + ...+ sj2+1(xj2+1) + ...+ sr2(xr2)g3(νx) = β30 + β31x1 + ...+ β3j3xj3 + ...+ sj3+1(xj3+1) + ...+ sr3(xr3)g4(τx) = β40 + β41x1 + ...+ β4j4xj4 + ...+ sj4+1(xj4+1) + ...+ sr4(xr4)

,

em que D(µ, σ, ν, τ) é uma distribuição de quatro parâmetros e ν e τ sãoparâmetros de forma.


Modelos generalizados aditivos para locação, escalae forma - Distribuições

O pacote gamlss dispõe de aproximadamente 100 distribuiçõesimplementadas. Além disso:

É possível ao usuário implementar novas distribuições;Versões truncadas ou censuradas podem ser definidas a partir dasdistribuições originais;Pode-se criar novas distribuições a partir de misturas das distribuiçõesoriginais;Distribuições discretas podem ser criadas a partir de distribuiçõesoriginalmente contínuas;Distribuições com suporte nos intervalos (0,∞) ou (0, 1) podem sercriadas a partir de variáveis com suporte no intervalo (−∞,∞).


Modelos generalizados aditivos para locação, escalae forma - Termos aditivos

Termos aditivos podem ser adicionados ao modelo de diferentes foras,usando, por exemplo:

Penalized B-splines (P-splines);Monotone P-splines;Cycle P-splines;Varying coefficient P-splynes;Cubic smoothing P-splynes;Loess curve fitting;Fractional polynomials;Random effects;Ridge regression;Nonlinear parametric fits.


Modelos generalizados aditivos para locação, escalae forma - Estimação

Quando o modelo especificado contém apenas termos paramétricos, ométodo da máxima verossimilhança é aplicado na estimação dosparâmetros;

Em situações mais gerais (ex: para modelos incluindo suavizadores) ométodo da máxima verossimilhança penalizada é aplicado;

O pacote gamlss dispõe de dois algoritmos distintos para o ajuste dosmodelos: CG (Cole e Green) e RS (Rigby e Stasinopoulos), que podemainda ser usados de forma combinada.


Modelos generalizados aditivos para locação, escalae forma - Aplicação

Dando sequência à análise dos dados de preços de aluguel, vamosconsiderar, como alternativa à distribuição Gamma, a distribuiçãoBox-Cox Cole e Green (BCCGo);

A distribuição BCCGo tem três parâmetros (µ, σ e τ), sendo τ oparâmetro de forma da distribuição;

Cada um dos parâmetros pode ou não ser modelado em função decovariáveis. Além disso, diferentes conjuntos de covariáveis podem serincluídos para cada parâmetro;

Modelos com diferentes especificações (distribuições, termos aditivos,covariáveis. . . ) podem ter seus ajustes comparados usando o critériode informação de Akaike (AIC) ou Akaike generalizado (GAIC), dentreoutros.



No modelo especificado para a análise dos dados, todas as covariáveisforam incluídas na modelagem dos três parâmetros (µ, σ e ν).

Como funções de ligação para cada parâmetro adotou-se o default dopacote gamlss para a distribuição BCCGo (log, log e identidade,respectivamente);

Novamente, funções suaves foram consideradas para as variáveis Fl eA.



Dessa forma, o seguinte modelo foi proposto:

y |x ind∼ BCCGo(µx , σx , νx),

onde


log(σx) =β20 + s21(Fl) + s22(A) + β21 × I(H = 1)+ β22 × I(loc = 2) + β23 × I(loc = 3),

νx =β30 + s31(Fl) + s32(A) + β31 × I(H = 1)+ β32 × I(loc = 2) + β33 × I(loc = 3).



Como resultado temos o seguinte modelo ajustado:


log(σ̂x) =6.6534 + s21(Fl) + s22(A) + 0.0819× I(H = 1)− 0.0851× I(loc = 2)− 0.1410× I(loc = 3),

ν̂x =− 3.1601 + s31(Fl) + s32(A)− 0.2866× I(H = 1)− 0.1711× I(loc = 2)− 0.0845× I(loc = 3).


Modelos generalizados aditivos para locação, escalae forma - Resumo

Algumas propriedades dos GAMLSS:GAMLSS configura uma metodologia flexível para modelos de regressão;

Permite assumir diversas distribuições de probabilidades para a variávelresposta;

Todos os parâmetros da distribuição podem ser modelados em função decovariáveis;

Diferentes tipos de termos aditivos podem ser incluídos nos preditores decada parâmetro;

GAMLSS estende diversas outras metodologias (como LM, GLM eGAM) permitindo modelar dados com super dispersão, excesso de zeros,diferentes níveis de assimetria e curtose. . .


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