Ce423 Aulas10e11 Heterocedasticidade - eco.unicamp.br · Heterocedasticidade Econometria Alexandre...

HeterocedasticidadeEconometria

Alexandre Gori Maia

Bibliografia Básica:- Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Cap. 12..

Ementa:• Definição;• Identificação: Análise Gráfica, Goldfeld-Quandt, Breusch-Pagan, White;• Correção: MQP e MQGF;• Estimadores Robustos para a Variância;

Modelo Clássico de Regressão Linear

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1) Relação Linear entre X e Y: O ajuste só é válido para relações lineares.

2) Os valores de X são fixos em repetidas amostras, não aleatórios:Quem varia é o regressando, o regressor é fixo e dado, qualquer que seja a amostra. Fazemos a pressuposição que dado um valor de X, Y irá variar segundo uma distribuição de probabilidade com valor esperado dado por E(Y|Xi).

3) Esperança condicional dos erros igual a zero, ou seja, E(e|xi)=0: É a mesma coisa afirmar que E(Y|xi)=xi´b.

4) A variabilidade dos erros é constante, ou seja, E(ei2)=s2

Os erros são homocedásticos, ou seja, sua variância é a mesma para qualquer X.

5) Os erros são não autocorrelacionados, ou seja, E(eiej)=0: Não há relação entre valores ordenados dos erros segundo tempo ou espaço.

6) Os erros apresentam distribuição normal: Não é um pressuposto necessário para que os estimadores de MQO sejam MELNV, mas necessário para que as inferências sejam válidas.

Mod

elo

Clá

ssic

o de

Reg

ress

ão L

inea

rDefinição Análise

GráficaGoldfeld-Quandt

Breusch-Pagan White MQP MQGF Estimador

Robusto

Heterocedasticidade - Definição

Homocedasticidade

Homocedasticidade:A variância dos erros e, condicional aos valores das variáveis explanatórias, será constante.

Heterocedasticidade:A variância dos erros será diferente para cada valor condicional de Xji.

221 ),...,,/( s=

iii ki XXXeVar

Heterocedasticidade

221 ),...,,/( iki iii

XXXeVar s=

Y

XjX1

E(Y1)

X2

E(Y2)

Var(e2)=s2

Var(e1)=s2

Y

XjX1 X2

Var(e2)=s22E(Y1)

Var(e1)=s21

E(Y2)

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Definição Análise Gráfica

Goldfeld-Quandt


Robusto

Heterocedasticidade - CausasPrincipais causas da heterocedasticidade:

- Natureza das variáveis: alguns relacionamentos apresentam tipicamente tendência à heterocedasticia. Por exemplo, renda e poupança.

- Valores extremos: a ocorrência de um valor extremo na amostra pode inflacionar a variabilidade em um determinado ponto do ajuste.

- Falhas na especificação do modelo: a heterocedasticidade pode também ser devida à omissão de importantes variáveis no modelo.

- Transformação dos dados: a transformação das variáveis (por exemplo, proporção ao invés de valores absolutos) ou da forma funcional (modelo log-duplo ao invés de linear) pode eliminar a heterocedasticidade.

2)( iieVar s=iii eXY ++= ba

iii eXY ++= ba iiii eXXY +++= 221 bba

iii eXY ++= ba iii eXY ++= )ln()ln( ba

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Goldfeld-Quandt


Robusto

Heterocedasticidade - ConsequênciasIneficiência dos Estimadores de MQONa presenção de heterocedasticidade nos erros, os estimadores de MQO continuam sendo não viesados e consistentes, mas deixam de ser eficientes (ou seja, não possuem mais variância mínima). Em outras palavras, seja b o estimador de MQO, então existe outro estimador b* tal que:

Homocedasticia

Y

X

IntervalodeVariaçãodasestimativasde

MQO

IntervalodeVariaçãodasestimativasdeoutrométodo

Heterocedasticia

Y

X

IntervalodeVariaçãodasestimativasde

MQO

IntervalodeVariaçãodasestimativasdeummétodomaiseficiente

)ˆ(*)ˆ( bb VarVar <

^^

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Robusto

Heterocedasticidade - ConsequênciasTendenciosidade da Variância dos Estimadores:Outra importante consequência da heterocedasticidade é o fato de as estimativas dos erros padrão e de as estatísticas de teste t e F não serem mais válidas, mesmo para amostras grandes, já que a estimativa da variância dos estimadores dos coeficientes será viesada. Em outras palavras, na presença de heterocedasticidade teremos:

Seja o modelo: iii eXY ++= ba

Pelo MQO:åå

=

== ni

2i

ni ii

x

yx

1

1b eå =

= ni

2ix

S1

22ˆ

sb

No caso de heterocedasticia:

No caso de homocedasticia:

não viesado na ausência de heterocedasticidade e

viesado na sua presença

)ˆ()( 2ˆ bb VarSE ¹

2)( s=ieVarå =

= ni ix

Var12

2)ˆ( sb

2)( iieVar s=2

12

122

)()ˆ(åå

=

== ni i

ni ii

x

xVar

sb

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Goldfeld-Quandt


Robusto

IdentificaçãoPrincipais testes para se detectar a autocorrelação:

Análise gráfica: ê2 ´ Xj

Teste Goldfeld-QuandtIdentificação

Testes Paramétricos

Teste de Breusch-Pagan

Teste de White

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Robusto

Análise Gráficaê2

Homocedasticidade

A dispersãodos resíduos é a mesma aolongo de X

X

ê2Heterocedasticidade

A dispersãodos resíduos é

uma funçãolinear de X

X

ê2

Heterocedasticidade

A dispersãodos resíduosé uma funçãoquadrática de

X

X

ê2Heterocedasticidade

A dispersão dos resíduos cresce

de maneiraquadrática com os valores de X

constanteσ 2 = i22

i Xσσ =

2i2i1

2i XαX ασ +=

2i

22i Xσσ =

X8/23


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Robusto

Análise GráficaSejam os gastos de 40 famílias com alimentação em função da renda:

A dispersão dos resíduos em função da variável X (renda) sugere que, à medida que a renda cresce, a dispersão dos resíduos também aumenta, indicando a presença de heterocedasticidade, em uma relação aparentemente linear.

iii eRendaAlimentGasto ˆ13,08,40 ++=i

22i Xσσ =

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Goldfeld-Quandt


Robusto

Teste de Goldfeld-QuandtY

X

Sejam os valores da amostra:

ïî

ïíì

<

=22

211

22

210

σ: σH

σ: σH

Passos para efetuar o teste de Goldfeld-Quandt1- Ordenar as observações da amostra de acordo com os valores de X;2- Omitir c observações centrais para dar mais poder ao teste (c costuma ser igual a 4 para n=30 e c=10 para n=60) e separar observações em duas subamostras de (n-c)/2 observações; 3- Ajustar uma regressão para cada subamostra (cada regressão terá k variáveis independentes);4- Testar hipótese da igualdade dos erros quadráticos médios a partir da estatística F.

Regressão 1

Regressão 2

A omissão de c observações centrais objetiva acentuar a diferença entre o grupo com variância pequena (SQReg1) e com variância grande (SQReg2).

glSQResglSQResF//

1

2= )1(2

+--

= kcnglonde

glglF ,

Fp

Y1 Y2 ... Yn

X1 X2 ... Xn Onde: X1<X2<...<Xn

Para testar a hipótese nula da homocedasticia:

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Robusto

Teste de Goldfeld-Quandt

99,47,5269,2629

ˆˆ21

22 ===

ssF

Regressão 1

Regressão 2

ïî

ïíì

<

=22

211

22

210

σ: σH

σ: σH

Amostra 1iii eRendaAlimentGasto ˆ18,06,12 ++=

Das 40 observações originais, foram eliminadas 6 observações centrais para dar mais poder ao teste. Restaram dois subconjuntos com 17 observações cada.

Amostra 2iii eRendaAlimentGasto ˆ09,01,75 ++=

Fonte gl SQ QM F pRegressão 1 5967,2 5967,2 11,33 0,0042Resíduos 15 7900,0 526,7Total 16 13867,2

Fonte gl SQ QM F pRegressão 1 2308,6 2308,6 0,88 0,3636Resíduos 15 39449,1 2629,9Total 16 41757,7

estatística de teste:

15,15F

99,40017,0

Rejeita-se H0, ou seja, pode-se afirmar que há diferença entre as variâncias

(heterocedasticidade) com uma probabilidade de erro de apenas 0,17%

E para calcular a probabilidade de erro do tipo I:

Sejam os gastos de 40 famílias com alimentação em função da renda:

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Robusto

Teste de Breusch-Pagan

Passos para efetuar o teste de White1- Estimar os resíduos do ajuste de MQO para o modelo original de RLM;2- Ajustar um modelo auxiliar relacionando o quadrado dos resíduos às variáveis independentes do modelo original; 3- Calcular a estatística LM pelo produto do número de observações e o R2 do ajuste auxiliar;4- Calcular o valor p associado à estatística em uma distribuição c2 com gl dado pelo número de variáveis explanatórias;

2auxRnLM ´=

2kc

2auxRn´

p

ê2

Xj

iiii eXXY +++= 2211 bba

iiii uXXe +++= 221102ˆ ddd

Onde k é o número de variáveis explanatórias, R2

aux o coeficiente de determinação do ajuste

auxiliar e n o número de observaçõesî

íì

¹==

0:0:

1

210

jHH

ddd

Seja o modelo de RLM com k=2:

Par verificarmos se os resíduos quadráticos têm relação com os regressores:


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Robusto

Teste de Breusch-Pagan - ExemploDo ajuste original por MQO obtivemos:

iii eRendaAlimentGasto ˆ13,08,40 ++=

A partir dos resíduos de MQO, ajustamos o seguinte modelo auxiliar:

iii uRendae ˆ21,55,279,2ˆ2 ++-=

O teste de hipóteses será dado por:

îíì

¹=0:0:

11

10

dd

HH 0,12301,0402 =´=´ auxRn

21c

0,12

0005,0

A probabilidade de erro ao rejeitar H0 é de apenas 0,05%. Em outras palavras, há fortíssimas evidências para afirmarmos que os

erros são heterocedásticos pois ao fazermos tal afirmação estaríamos sujeitos a uma chance de erro de apenas 0,05%.


301,02 =auxRiii uRendae ++= 102ˆ dd

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Robusto

Teste de White

Passos para efetuar o teste de White1- Estimar os resíduos do ajuste de MQO para o modelo original de RLM;2- Ajustar um modelo auxiliar relacionando o quadrado dos resíduos às variáveis independentes do modelo original, seus quadrados e produtos cruzados; 3- Calcular a estatística LM pelo produto do número de observações e o R2 do ajuste auxiliar;4- Calcular o valor p associado à estatística em uma distribuição c2 com gl dado pelo número de variáveis explanatórias do ajuste auxiliar;

2auxRnLM ´=

2hc

2auxRn´

p

ê2

Xj

iiii eXXY +++= 2211 bba

iiiiiiii uXXXXXXe ++++++= 225

21421322110

2ˆ ddddddOnde h é o número de

variáveis explanatórias, R2

aux o coeficiente de determinação e n o número

de observações, todos referentes ao ajuste

auxiliarîíì

¹===

0:0...:

1

510

jHH

ddd

Seja o modelo de RLM com k=2:

Par verificarmos se os resíduos quadráticos têm relação com os regressores, seus quadrados e seus produtos cruzados:


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Robusto

Teste de White - Exemplo

Do ajuste original por MQO obtivemos:


A partir dos resíduos de MQO, ajustamos o seguinte modelo auxiliar:

O teste de hipóteses será dado por:

6,14366,0402 =´=´ auxRn

22c

58,14

0008,0

A probabilidade de erro ao rejeitar H0 é de apenas 0,08%. Em outras palavras, há fortíssimas evidências para afirmarmos que os

erros são heterocedásticos pois ao fazermos tal afirmação estaríamos sujeitos a uma chance de erro de apenas 0,08%.


366,02 =auxRi

2iii uRendaRendae +++= 210

2ˆ ddd

i2iii uRendaRendae ˆ01,042,75,1923ˆ2 ++-=

îíì

¹==

0:0:

1

210

jHH

ddd

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Robusto

Correção HeterocedasticidadeDada a equação de RLM:

iki eXXYii++++= 211 ... bba

222

1

2

22

21

0000...00000000

0000...00000000

)()( ss

s

ss

Veee =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

==

nn

T

v

vv

EVar

eXβy +=A equivalente matricial:

Haverá heterocedasticidade quando:

Se conhecemos vi, podemos corrigir o modelo pela equação:

Se conhecemos V podemos corrigir a equação por:

22)()( iii eEeVar s==Que pode ainda ser representado por:

ii veE 22 )( s=onde o fator vi indica

como varia a variância de e para cada

observação

i

i

i

k

iii

i

ve

vX

vX

vvY ii ++++= 2

11 ...1 bba

Pois, nessa equação, os erros serão homocedásticos:

222

)(1 s==úú

û

ù

êê

ë

é

÷÷ø

öççè

æi

ii

i eEvv

eE

Haverá heterocedasticidade quando:

ΛeΛXβΛy += onde

úúúúú

û

ù

êêêêê

ë

é

=

2

2

1

10000...0000100001

v

vv

Λ

Pois:

22)( ss IΛVΛΛΛee ==TE

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Robusto

Mínimos Quadrados PonderadosDefinição:Uma vez conhecida a matriz V de variâncias e convariâncias do erros de um modelo de RLM, podemos obter os MELNV transformando as variáveis originais pela matriz L, tal que LTL=V–1. Em outras palavras, seja o modelo:

Esse método é denominado de Mínimos Quadrados Ponderados (MQP), um caso específico do método de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG).

eXβy += ondeEntão:

ΛeΛXβΛy += ondeApresentará erros homocedásticos, pois:

yVXXVXΛyΛXΛXΛXβ 1111 )()(ˆ ---- == TTTTTT

Analogamente, teremos:yVXβyVy 11 ˆSQRes -- -= TTT e 2112

ˆ ˆ)(S sb--= XVXT

2)()( sVeee == TEVar

1-= VΛΛT22)( ss IΛVΛΛΛee ==TE

Os estimadores de MQP serão:

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Robusto

MQP - V ConhecidaMínimos Quadrados Ponderados:Seja o modelo de RLM:

eXβy +=Então teremos:

com heterocedasticidade dada por: 2)( sii veVar =

Sabemos, nessas circunstâncias, que os estimadores de MQP serão os MELNV:

yVXXVXβ 111 )(ˆ ---= TT

Caso vi seja conhecido, a matriz V–1 será dada por:

222

1

0000...00000000

)( ss Ve =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

nv

vv

Var

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=-

nv

vv

10000...0000100001

2

1

1V

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Goldfeld-Quandt


Robusto

MQP com V conhecida - Exemplo

2)( sii XeVar =

úû

ùêë

é== ---

14,09,31

)(ˆ 111 yVXXVXβ TT úû

ùêë

é-

-== --

0007,046,046,05,323

ˆ)( 2112ˆ sXVXβ

TS

As estimativas de MQO foram:

Supondo agora que:

Teremos a seguinte matriz de Var-Cov dos erros:

e

As estimativas de MQP seriam:

e

808,138

ˆ

1ˆ

112 =

-=

--=

-- yVXβyVy TTT

knSQRess


22

40

1

...0.........0...

)( ss V=úúú

û

ù

êêê

ë

é=

X

XeVar

úúú

û

ù

êêê

ë

é=-

40

11

1...0.........0...1

X

XV


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Robusto

MQGF - V DesconhecidaMínimos Quadrados Generalizados Factíveis:Seja o modelo de RLM:

eXβy += com heterocedasticidade dada por: 2)( sii veVar =

As estimativas de vi podem ser substituídas na matriz de ponderações V, agora denominada V, para obtermos os estimadores consistentes (embora viesados) de Mínimos Quadrados Generalizados Factíveis:

yVXXVXβ 111 ˆ)ˆ(ˆ ---= TT

Caso o fator vi seja desconhecido, podemos supor que a variabilidade dos erros seja uma função das variáveis independentes:

iXX

i uee ikki ddd +++= ...2 110

E ajustar a função linear deste modelo a partir dos resíduos de MQO:*

11*0

2 ...)ˆln( ikki uXXeii++++= ddd

*11

*0

2 ...)ln( ikki uXXeii++++= ddd

Uma vez estimada esta função por MQO, as estimativas de vi serão dadas por:

ikki XXi ev ddd ˆ...ˆˆ 11

*0ˆ +++

=

^

d*0 e u*

i são o intercepto e erro do modelo linear

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Robusto

MQGF com V Desconhecida - Exemplo

úû

ùêë

é== ---

16,06,22ˆ)ˆ(ˆ 111 yVXXVXβ TT


Supondo agora que:

Ajustando por MQO, estimaremos a relação de heterocedasticidade por:

Finalmente, as estimativas de MQP serão:


indaRe

i uee i102 dd +=


*1

*0

2)ln( iii undaRee ++= dd

iii undaRee ˆ004,0363,3)ˆln( 2 ++= indaRei ev 004,0363,3ˆ +=

E a matriz de ponderações V será estimada por:úúú

û

ù

êêê

ë

é

=

40

1

ˆ...0.........0...ˆ

ˆ

v

vV

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Robusto

Estimadores RobustosEstimadores da Variância Robustos à Autocorrelação- Esimtador de White:Seja o modelo de RLS:

iii eXY ++= ba

Embora os estimadores de MQO para b continuem não viesados, as estimativas de suas variâncias serão viesadas.Um estimador robusto, ou seja, igualmente válido na presença ou não de heterocedasticidade, pode basear-se na real variância do estimador:

No caso de uma RLM teríamos:

Esse estimador seja robusto à heterocedasticidade, atribuído a White, é válido assintoticamente. Para amostras pequenas, as estatísticas t e F baseadas no estimador robusto não serão válidas.

com heterocedasticidade dada por: 2)( sii veVar =

212

122

)()ˆ(åå

=

== ni i

ni ii

x

xVar

sb

212

122

2ˆ

)(

ˆ

åå

=

==* ni i

ni ii

x

exSb

ikj jji eXY

i++= å =1

ba 212

122

2ˆ

)ˆ(

ˆˆ

åå

=

==* ni j

ni ij

i

i

j u

euSb

Onde ûj é o resíduo do ajuste de Xj em função das demais variáveis independentes

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Robusto

Estimador Robusto - Exemplo


Caso os erros sejam homocedásticos, a estimativa de MQO para Var(b ) seria:

Finalmente, a estatística t para testar a significância de b seria:


iii eRendaAlimentGasto ++= ba^


2

12

22ˆ 031,000093,0

463.532.1429.1ˆ

====å =

ni ix

S sb

Por sua vez, uma estimativa robusta à heterocedasticidade para Var(b) seria:^

222

12

122

2ˆ 038,00015,0

)463.532.1(919.453.421.3

)(

ˆ====

åå

=

=* n

i i

ni ii

x

exSb

36,3038,013,0

==tEmbora haja evidências de heterocedasticidade no modelo, devemos ter cautela na interpretação do teste t, já que esta baseada no estimador robusto pode não ser válida para amostras pequenas (n=40).

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