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Disciplina: Sistemas Construtivos

Assunto: Características Geométricas das Figuras Planas

Prof. Ederaldo Azevedo

Aula 6

e-mail: [email protected]

Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP

Curso: Arquitetura e Urbanismo


7. Características Geométricas das Fig. Planas

O dimensionamento e a verificação da capacidade

resistente de barras, como de qualquer elemento

estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as

quais se distribuem ao longo das seções transversais de

um corpo. Daí vem a necessidade de se conhecer

claramente as características ou propriedades das

figuras geométricas que formam essas seções

transversais.

7.1 Àrea:

A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo

seu contorno. Para contornos complexos, a área pode ser

obtida aproximando-se a forma real pela justaposição de

formas geométricas de área conhecida (retângulos,

triângulos, etc).





7.1 Área:

A unidade de área é [L]² (unidade de comprimento ao

quadrado).

A área é utilizada para a determinação das tensões

normais (tração e compressão) e das tensões de

cisalhamento ou de corte.

7.2 Momento Estático:

Semelhante à definição de Momento de uma força em

relação a um eixo qualquer, defini-se Momento Estático

(M) de um elemento de superfície como o produto da

área do elemento pela distância que o separa de um eixo

de referência.






Assim temos:

Momento estático em relação ao eixo X:

Mx= y.dS;

Momento estático em relação ao eixo Y:

My= x.dS.

Momento Estático de uma superfície plana é definido

como a somatória de todos os momentos estáticos dos

elementos de superfície que formam a superfície total.






Momento Estático de uma superfície plana é definido

como a somatória de todos os momentos estáticos dos

elementos de superfície que formam a superfície total.

Mespx =∑Mx

Mespy =∑My

A unidade do Momento Estático é área x distancia e é:

[L]× [L]² = [L]³(m³, cm³, mm³ etc);

O Momento Estático é utilizado para a determinação das

tensões de cisalhamento que ocorrem em uma peça

submetida à flexão.






O Momento Estático de uma superfície composta por

várias figuras conhecidas é a somatória dos Momentos

Estáticos de cada figura.

Exemplo 1: determinar o Momento Estático da figura

abaixo:




M1,x = ycg1 . A1

M2,x = ycg2 . A2

M3,x = ycg3 . A3

___________________________

Mx = M1,x + M2,x+ M3,x



Exemplo 2: determinar o Momento Estático da figura de

elemento vazado abaixo:

Elemento Vazado:

Mx = M1,x - M2,x

Exercícios:

Aplicação de exercícios sobre momento estático.

Determine Momentos estático X e Y das fig. Abaixo.

(3 questões): 1 retângulo, 1 T e 1 elemento vazado.





7.3 Centro de Gravidade de Superfície Plana:

Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas

ficam sujeitas à ação da gravidade, isto é, em todas

estas partículas está aplicada uma força vertical atuando

de cima para baixo. A resultante de todas estas forças

verticais e paralelas entre si, constitui o peso do corpo.

Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma

rotação, ele permanecerá sempre sujeito à ação da

gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em

relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e

verticais.

O ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças

paralelas, qualquer que seja a posição do corpo,

chama-se Centro de Gravidade (CG).






Portanto, atração exercida pela Terra sobre um corpo

rígido pode ser representada por uma única força P. Esta

força, chamada peso do corpo, é aplicada no seu

baricentro, ou cento de gravidade (CG).




C XCG

YCG



O centro de gravidade pode localizar-se dentro ou fora

da superfície;

O centro de gravidade de uma superfície plana é,

coincidente com o ponto de coordenadas;

Podemos calcular o CG por qualquer dos eixos (x ou y) o

valor dará o mesmo:




Onde:

Xcg = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente;

Ycg = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente;

Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x;

My = momento estático da figura em relação ao eixo y;

A = área da Figura.



7.3.1 Centro de gravidade de áreas compostas por várias

figuras:




Onde:

Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x;

My = momento estático da figura em relação ao eixo y;

Ai = áreas das Figuras.

7.3.2 Centro de

Gravidade de Algumas

figuras planas:


Exercícios:

1) De acordo com as figuras abaixo determine os seus CG’s

(centro de gravidade),medidas em centímetros.

12

3


Exercícios:

1) Determine o CG da figura hachurada (medidas em

centímetro)




1

2

3


Exercícios:


centímetro)




3=

1

2

3

A= A1 – A2 – A3

A= (8x15) – ( 6x4) – (4x3)

A= 84 cm²

M1,x=yCG1.A1= 7,5.(8x15)= 900 cm³

M2,x=yCG2.A2= 10.(6x4)= 240 cm³

M1,x=yCG3.A3= 3,5.(4x3)= 42 cm³

Mx=M1,x – M2,x – M3,x = 900 – 240 – 42 = 618cm³

yCG= Mx = 618 = 7,36cm A 84


Exercícios:


centímetro)




1

2

A= A1 – A2

A= (12x8) – ( 3x3)

A= 87cm²

M1,x=yCG1.A1= 6.(8x12)= 576 cm³

M2,x=yCG2.A2= 9.(3x3)= 81 cm³

Mx=M1,x – M2,x = 576 – 81= 495 cm³

yCG= Mx = 495 = 5,69cm A 87


Exercícios:

3) Determine o CG da figura hachurada, medidas em

metros.




1

2


7.4 Momento de Inercia:

O momento de inércia de uma superfície plana em relação

a um eixo de referência é definido como sendo a integral

de área dos produtos dos elementos de área que

compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias

ao eixo de referência, elevadas ao quadrado.

O momento de inércia é uma característica geométrica

importantíssima no dimensionamento dos elementos

estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a

resistência da peça.

Quanto maior for o momento de inércia da seção

transversal de uma peça, maior a sua resistência.





7.4 Momento de Inércia

Propriedade:

O momento de inércia total de uma superfície é a

somatória dos momentos de inércia das figuras que a

compõe.




Ix = I1,x + I2,x+ I3,x

7.4 Momento de Inércia

Alguns momentos de

inercia de algumas figuras

planas.

7. Características Geométricas das Fig. Planas 7.4 Momento de Inércia

Exemplo:

Determinar o momento de inércia da superfície hachurada em relação ao

eixo x que passa pelo CG. (medidas em centímetros)




Ixcg = b.h³/12

Ixcg = 1/12(8X12³-3X8³)

Ixcg= 1.024cm4


Exercícios:

1) De acordo com as figuras abaixo determine os seus

Momentos de Inercia,medidas em metros

12

3


7.5 Raio de Giração:

Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da

relação entre o momento de inércia e a área da

superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento.

O raio de giração é utilizado para o estudo da flambagem.




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