Cilindros de Paredes Grossas (Solução de...

Departamento de Engenharia Mecânica Mecânica dos Sólidos II

Cilindros de Paredes Grossas (Solução de Lamé)

Prof. Arthur Braga

Mecânica dos Sólidos II

Teoria da Elasticidade

Problema Corpo sujeito a ação de esforços externos (forças, momentos, etc.)

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

Determinar •  Esforços internos (tensões) •  Deformações •  Deslocamentos



•  Equações de Equilíbrio

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zyxxzxyxx σσσ

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zyxyzyyxy σσσ

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zyxzzyzxz σσσ



•  Relações entre deslocamentos e deformações

zuyuxu

zzz

yyy

xxx

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

ε

ε

ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂==

yu

zu

xu

zu

xu

yu

zyyzyz

zxxzxz

yxxyxy

21

21

21

21

21

21

γε

γε

γε



•  Relações constitutivas (tensão vs. deformação)

TEEE

TEEE

TEEE

zzyyxxzz

zzyyxxyy

zzyyxxxx

Δ++−−=

Δ+−+−=

Δ+−−=

ασσ

νσ

νε

ασ

νσσ

νε

ασ

νσ

νσ

ε

G

G

G

yzyz

xzxz

xyxy

2

2

2

σε

σε

σε

=

=

=

( )ν+=12EG



•  15 Equações –  Equilíbrio (3) –  Deformação vs. Deslocamentos (6) –  Tensão vs. Deformação (6)

•  15 Variáveis:

•  Condições de contorno

yzxzxyzzyyxx

yzxzxyzzyyxx

zyx uuu

εεεεεε

σσσσσσ

,,,,,

,,,,,

,,

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8


x

y

z 3D

Teoria de Vigas

n(x)

q(x)

Teoria de Vigas (aproximação)

q(x)

x

n(x)

1D


Cilindros de Paredes Grossas

b

a pi

po

σ0

σ0



Coordenadas Cilíndricas



Tensões em Coordenadas Cilíndricas

rrσ

θσ rrzσθθσ

zzσ

rzσzθσ

zθσ

θσ r

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzrz

zr

rzrrr

σσσ

σσσ

σσσ

σ

θ

θθθθ

θ


Equilíbrio


01=

−+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

rzrrrrrzrrr θθθ σσσ

θσσ

021=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

rzrrrzr θθθθθ σσ

θσσ

01=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

rzrrrzzzzrz σσ

θ

σσ θ


Relações Deslocamentos vs. Deformações

Coordenadas Cilindricas

zu

ruu

r

ru

zzz

r

rrr

∂

∂=

+∂

∂=

∂

∂=

ε

θε

ε

θθθ

1

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∂

∂+

∂

∂==

zuu

r

ru

zu

ruu

rru

zzz

zrrzrz

rrr

θθθ

θθθθ

θγε

γε

θγε

121

21

21

21

121

21


Relações Tensões vs. Deformações (Eq. Constitutivas)


TEEE

TEEE

TEEE

zzrrzz

zzrr

zzrrrr

Δ++−−=

Δ+−+−=

Δ+−−=

ασσ

νσ

νε

ασ

νσσ

νε

ασ

νσ

νσ

ε

θθ

θθθθ

θθ

G

G

G

rzrz

zz

rr

2

2

2

σε

σε

σε

θθ

θθ

=

=

=

( )ν+=12EG



b

a pi

po

σ0

σ0



Simetria Axial (Problema Axissimétrico) •  Coordenadas cilíndricas •  Deslocamento circunferencial é nulo (uθ = 0) •  Tensões e deslocamentos não variam com θ •  Como o carregamento axial é uniforme (σ0 = cte), tensões e o

deslocamento radial não variam com a coordenada z (hipótese que pode ser posteriormente verificada). Além disso, adota-se a hipótese de que, devido ao carregamento uniforme axial, o deslocamneto uz varia apenas com a coordenada z.

•  Estado plano de deformação: tensões e deformações axiais estão desacopladas das tensões e deformações no plano produzidas pela pressão interna ou externa



0=−+

rdrd rrrr θθσσσ

rudrdu

r

rrr

=

=

θθε

ε

( )00 =σ

orr

irr

pbpa

−=

−=

)()(

σ

σ

rBArru

ru

drdurdr

udr

rrr +=⇒=−+ )(0122

2

( )

( )rr

rrrr

E

E

νεεν

σ

νεεν

σ

θθθθ

θθ

+−

=

+−

=

)1(

)1(

2

2


Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé

oirr p

ab

rb

ab

p

ab

rb

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

11

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

σ

oi p

ab

rb

ab

p

abrb

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

11

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

θθσ

( )( )

( )( ) 022

22

22

22 11σ

νννEr

rabppba

Er

abbpap

Eu oioir −

−

−++

−

−−=

b

a pi

po

σ0

σ0 0σσ =zz



•  Pressão Interna (po = 0 e pi = P)

P

abrb

rr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

1

1

2

2

2

2

σ P

abrb

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

1

1

2

2

2

2

θθσ

( ) ( ) 022

22

22

2 11σ

νννErP

rabba

Er

aba

Eur −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

++

−

−=


Cilindros de paredes grossas Solução de Lamé (pressão interna)

Definindo temos: logo:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−−

−=

X

XXtPD

rr

211

121

21

2

2

2

2

ξξσ

Dr

br

tDX 2e2

=== ξ

1e1,1

=⇒=−

=⇒=−

= ξξ brXXar

XX

ab

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−+

=

X

XXtPD

211

121

21

2

2

2

2

ξξσθθ


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

tPDrr

2σ

2r/D

σrr σθθ

X = 1.05


{ }

X

XXtPD

2112111

2max 2

−

+−=θθσ



0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

tPDrr

2σ

2r/D

σrr σθθ

X = 1.5



0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

tPDrr

2σ

2r/D

σrr σθθ

X = 3


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

tPDrr

2σ

2r/D

σrr σθθ

X = 20




0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

tPDrr

2σ

2r/D

σrr σθθ

X = 35.5

GASBOL D = 32”, t = 0.451”



0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

tPDrr

2σ

2r/D

σrr σθθ

X = 80


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.800

0.825

0.850

0.875

0.900

0.925

0.950

0.975

1.000{ }tPD 2

max θθσ

tD 2


Dutos de Transporte

Dutos Industriais

GASBOL D/2t = 35.5

{ } 986.02

max=

tPDθθσ


Problema 1

aT

bT

aJ

bJ

Na figura ao lado aT = 40 mm bT = 60 mm bJ = 100 mm Determine o valor de aJ para que a tensão compressiva de contato entre o tubo e a jaqueta seja de – 50 MPa. Tanto o tubo quanto a jaqueta são fabricados do mesmo material com: E = 200 GPa ν = 0.3


Problema 1 (Sol.) 50 MPa

50 MPa

bT

aJ

δT δJ δT = - ur(bT)

δJ = ur(aJ)

aJ + δJ = bT - δT

Tubo Jaqueta


Problema 1 (Sol.)

50 MPa

Tubo

pi = 0 po = P = 50 MPa

( ) ( ) ( ) ( )( )2222 11 TTTT

TTr ab

abEPbbu νν ++−−

−=

( ) ( ) ( )( )2222 11 TTTT

TT ab

abEPb

ννδ ++−−

=


Problema 1 (Sol.)

50 MPa

Jaqueta

pi = P = 50 MPa po = 0

( ) ( ) ( ) ( )( )2222 11 JJ

JJ

baabE

Paau JJr νν ++−

−=

( ) ( ) ( )( )2222 11 JJ

JJ

baabE

PaJJ ννδ ++−

−=


Problema 1 (Sol.)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )2222

2222

11

11

T

TT

JJ

JJ

ababE

Pbb

baabE

Paa

TT

T

JJ

νν

νν

++−−

−=

++−−

+

O valor de aJ é obtido a partir da equação:


Problema 1 (Sol.)

TbaJ=0

( ) ( ) ( )( )

( )( )( ) ( ) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−

++−−

−=+

22

22

2222

1

11

11

JJ

JJ

J

T

TTJ

baabE

Pa

ababE

Pbba

n

n

n

TT

Tn

νν

νν

Repetir enquanto tolerância1 >−+ nnJJaa

Após a segunda interação: mm93.59=Ja


Problema 2

aT

bT

aJ

bJ

Na figura ao lado aT = 40.00 mm bT = 60.00 mm aJ = 59.93 ,mm bJ = 100.00 mm Tanto o tubo quanto a jaqueta são do mesmo material com: E = 200 GPa ν = 0.3 Determine a máxima tensão circunferencial

250 MPa


Problema 2 (Sol.)

P

bT

aJ

δT δJ δT = - ur(bT)

δJ = ur(aJ)

aJ + δJ = bT - δT

250 MPa P


Problema 2 (Sol.)

( ) ( )( ) ( )( )

( ) PabE

babpabEbabu

TT

TTTi

TT

TTTrT 22

22

22

2 112−

++−+

−−=−=

ννδ

P

250 MPa Ppp

o

i

=

= MPa250


Problema 2 (Sol.)

0==

o

i

pPp

P

( ) ( ) ( )( )2222 11)( JJ

JJ

baabE

Paau JJrJ ννδ ++−

−==


Problema 2 (Sol.)

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )222222

2

2222

112

11

TTTT

T

TT

iTTT

JJ

ababE

PbabEpbab

baabE

Paa JJ

JJ

νν

νν

++−−

−−

+=

++−−

+

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )MPa24.134

1111

2

22

22

22

22

22

2

=

−

++−+

−

++−

−−

+

=

TT

TTTJ

JTT

iTTT

abEabb

abEbaa

aabEpbab

P

JJ

JJ νννν

Resolvendo para P


Problema 2 (Sol.)

{ } MPa75.166max =θθσ

250 MPa Tensão circunferencial máxima no tubo jaquetado

{ } ( )( ) ( )Pab

abpababa

TT

TTi

TT

TTT 1

211)(max 22

22

22

22

−−

−

+== θθθθ σσ


Problema 2 (Sol.)

250 MPa

MPa250MPa75.166

−=

=

rrσ

σθθ

σθθ = 285.3MPaσ rr = −134.24 MPa

0MPa47.150

=

=

rrσ

σθθ


{ } MPa24.345max =θθσ

( )( ) i

TJ

TJT p

ababa

11)(}max{ 22

22

−

+== θθθθ σσ

Problema 2 (Sol.)

Tubo Homogêneo Tensão circunferencial máxima num tubo sem a jaqueta (raio interno aT e raio externo bJ)

250 MPa

MPa250MPa24.345

−=

=

rrσ

σθθ

0MPa24.95

=

=

rrσ

σθθ


Problema 2 (Sol.)

Tubo Homogêneo

σrr σθθ

Tubo com Interferência

σrr σθθ


Problema 2 (Sol.)

τmax Tubo com Interferência


Exercício 1: P1 2008

b

a

Problema 2. O vaso de pressão cilíndrico esquematicamente mostrado na figura ao lado, cujo material tem limite de escoamento de 350 MPa, foi dimensionado para operar a uma pressão interna máxima de 5.000 psi (34,5 MPa). Seu raio externo, b, mede 90,5 mm e seu raio interno, a, mede 41,3 mm. Calcule as tensões normais radial, circunferencial e axial máximas quando o vaso está sob a pressão máxima de operação. Considerando os critérios de escoamento de von Mises e Tresca, determine os respectivos fatores de segurança de operação (3,0 pontos).


Exercício 1 (cont.)



Tubo: E1 = 200 GPa, ν = 0,3

Revestimento: E2 = 10 GPa

Cilindros de Paredes Grossas (Solução de...

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