Cinemática dos Sólidos Prof. Cláudio S. Sartori Notas ... · Notas de aula 01 – 1° Bimestre 1...

Cinemática dos Sólidos – Prof. Cláudio S. Sartori

Notas de aula 01 – 1° Bimestre

1

EMENTA

Desenvolvimento e aplicação das equações vetoriais que relacionam

as várias grandezas cinemáticas envolvidas no estudo dos movimentos

de sólidos. Classificação dos movimentos do sólido. Aplicação dos

princípios e equações cinemáticas nos movimentos de dispositivos

compostos por vários sólidos e vínculos.

OBJETIVOS GERAIS

Desenvolver no aluno uma visão factível da mecânica, criando

no mesmo uma "intuição" correta dos fenômenos mecânicos.

Capacitar o estudante de engenharia a entender e resolver

problemas que envolvam a cinemática dos sólidos e dispositivos, que

são comuns no exercício da profissão de engenheiro.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Estabelecer os conceitos básicos sobre Cinemática do

Sólido. Preparar os alunos para entender os dispositivos mecânicos

comuns à vida do Engenheiro.

Fornecer ferramentas aos estudantes para entender e

acompanhar em bom nível as disciplinas específicas do curso, em

especial aquelas ligadas à cinemática de dispositivos, vibrações e

outras.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

1. Cinemática da Partícula;

(a) Vetor Posição;

(b) Vetor Velocidade;

(c) Vetor Aceleração;

i. aceleração tangencial;

ii. aceleração normal;

2. Cinemática do Sólido;

(a) Classificação dos Movimentos;

(b) Movimento de Translação;

i. equações vetoriais de velocidade e

aceleração;

(c) Movimento Plano;

(d) Rotação com Eixo Fixo;


aceleração;

(e) Movimento Plano em geral;


aceleração;

(f) Centro Instantâneo de Rotação;

(g) Movimento Geral;

BIBLIOGRAFIA Básica

BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica vetorial

para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª ed. 2v. São

Paulo: Makron, 1994.

HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para Engenharia.

8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil, 2004.

KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio de

Janeiro: LTC,2004. FRANÇA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecânica Geral.Edgar

Blucher, 2005.

GERE, J. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson

Learning, 2003

KAMINSKI, P.C. Mecânica geral para engenheiros. Edgar Blucher,

2000.

SEARS,F.;YOUNG H. D. Física. vol.1, Mecânica. Addison Wesley,

2008.

Cinemática dos Sólidos,Unip, Versão 2, 2009.

Vetor Posição: ˆˆ ˆr x i y j z k

Vetor velocidade média mv :

m

rv

t

Vetor Velocidade instantânea: dr

vdt

Vetor aceleração média: m

va

t

Vetor Aceleração instantânea: dv

adt

Aplicação: Lançamento Oblíquo:

Eixo x: MU: 0 0x

x x v t

Eixo y: MUV:

2

0 02y

ty y v t g

0yyv v g t

Decomposição da velocidade inicial 0v :

0 0 0 0cosx y

v v v v sen

Tempo de subida: 0y

s

vt

g

Alcance: 2

0 2m

vx sen

g

Altura máxima: 0

2

2

y

vh

g



2

Movimentos curvilíneos MCU e MCUV

MCU R Na a MCUV

R N Ta a a

e Nv a perpendiculares

Função angular horária t

0t t 2

0 0

1

2t t t

Velocidade angular t

ctet 0t t

2 2

0 2

Velocidade linear v t

v r

Aceleração angular t

0t t cte

Aceleração

resultante

R cpa a

2 2

R cp Ta a a

Aceleração

tangencial

0Ta

T T

dva a r

dt

Aceleração centrípeta e Força centrípeta

22

cp cp cp

va a R F m a

R

Cinemática dos Corpos Rígidos Movimentos:

Translação.

Rotação sobre um eixo fixo.

Movimento Geral sobre um plano

Movimento sobre um ponto fixo

Movimento Geral qualquer.

Translação

B A BAr r r

B Av v

B Aa a

Rotação sobre um eixo fixo



3

01 2 360rev rad

dr

vdt

dsv s BP BP r sen

dt

dv r sen

dt

v r sen

Velocidade angular: k

Como o ângulo entre r e é , lembrando da

propriedade do módulo do produto vetorial:

r r sen r sen v

v r

dv d d dr

a a r rdt dt dt dt

da r v

dt

Aceleração angular: d

dt

ˆ ˆ ˆk k k

a r r

Rotação de uma placa em torno de um eixo fixo:

Sendo k ˆv r v k r

Como k r v r

a r r

ˆ ˆ â k r k k r

2ˆ ˆ â k r k k r

ˆ ˆk k r u v w u w v u v w

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk k r k r k k k r

ˆ ˆk k r r

2â k r r

Aceleração tangencial:

ˆT Ta k r a r

Aceleração normal 2 2

N Na r a r

Resumo: Rotação com eixo fixo: 1. Todos os pontos apresentam trajetórias circulares.

2. Todos os pontos apresentam a mesma velocidade

angular, e esta tem a direção do eixo de rotação:

ˆ ˆd

e edt

A direção do vetor velocidade angular é ortogonal ao

plano formadopelo movimento do ponto P, possui a direção do

eixo de rotação do sólido.

O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra

da mão direita: o ponto P, deslocando-se no sentido anti-

horário, acompanha-se o sentido do movimento de P ao longo

de sua trajetória circular, com os quatro dedos da mão direita;

com exceção do polegar que indicará seu sentido, apontando

para o ponto A.

3. Todos os pontos apresentam a mesma aceleração

angular, e esta tem a direção do eixo de rotação:

ˆ ˆd

e edt

4. O vetor velocidade instantânea no ponto P é dado por:

PP P

drv v r r P A

dt

5. O vetor aceleração do ponto P é dado por: dv

a v adt

P Pa r r

a P A P A

Exemplos Resolvidos

1. Ache os vetores velocidade e a aceleração dos pontos

1.1 Os discos indicados para cada caso, em cada instante

de tempo. O disco parte do repouso em t = 0s.

(a) α = 2 rad/s2; =4rad/s, t = 3 s; Pontos A e B.

(b) α = 2 rad/s2; t = 3 s; ; Pontos A e B, C e D.

Ponto B:

ˆ ˆ0.2 cos30 0.2 30Br i sen j

ˆ ˆ0.173 0.1Br i j

2ˆ2

radk

s

30°

B

C

D

45°

60°

B



4

0 0 2 3 6rad

ts

ˆ6rad

ks

ˆ ˆ ˆ6 0.173 0.1B B Bv r v k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ6 0.173 6 0.1B

j i

v k i k j

ˆ ˆ0.6 1.038B

mv i j

s

T NB B Ba a a B B Ba r v

TB Ba r

ˆ ˆ ˆ2 0.173 0.1TBa k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ2 0.173 2 0.1TB

j i

a k i k j

2ˆ ˆ0.2 0.346

TB

ma i j

s

NB Ba v

ˆ ˆ ˆ6 0.6 1.038NBa k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ6 0.6 6 1.038TB

j i

a k i k j

2ˆ ˆ0.828 3.6

NB

ma i j

s

ˆ ˆ ˆ ˆ0.2 0.346 0.828 3.6

B BT N

B

a a

a i j i j

2ˆ ˆ1.028 3.254B

ma i j

s

1.2 O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um

eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular =

5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2. No instante ilustrado, o

ponto E está descendo. Pedem-se:

(a) o vetor velocidade angular.

(b) o vetor aceleração angular.

(c) a velocidade do ponto D.

Pontos x y z (x,y,z)

A 0 0.203 0 (0,0.203,0)

B 0 0 0.152 (0,0,0.152)

D 0.178 0 0 (0.178,0,0)

0,0.203,0 0,0,0.152BA A B BA

0,0.203, 0.152BA

ˆˆ ˆ0 0.203 0.152BA i j k

22 20 0.203 0.152 0.254BA BA

0 0.203 0.152 ˆˆ ˆˆ ˆ0.254 0.254 0.254

BAe e i j k

BA

ˆˆ ˆˆ 0 0.8 0.599e i j k

ˆˆ ˆˆ 5 0 0.8 0.599e i j k

ˆˆ ˆ0 4 2.977i j k rad s

ˆˆ ˆˆ 4 0 0.8 0.599e i j k

2ˆˆ ˆ0 3.202 2.397i j k rad s


0.178,0,0 0,0.203,0AD D A AD

0.178, 0.203,0AD

ˆˆ ˆ0.178 0.203 0AD i j k

v AD

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 2.977 0.178 0.203 0v i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 4 2.977 0 4

0.178 0.203 0 0.178 0.203

i j k i j

v

ˆˆ ˆ0.608 0.533 0.712m

v i j ks

Da D A v

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 3.202 2.397 0 3.202

0.178 0.203 0 0.178 0.203

i j k i j

D A

ˆˆ ˆ0.487 0.427 0 570D A i j k

D

DA

v

D

r

D A v

z

x

y

B

A C

0.203 m

0.152 m 0.178 m

D

E



5

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 4.002 2.997 0 4.002

0.608 0.533 0.712 0.608 0.533

i j k i j

v

ˆˆ ˆ4.447 1.822 2.433v i j k

Da D A v

ˆˆ ˆ0.487 0.427 0 570

ˆˆ ˆ 4.447 1.822 2.433

a i j k

i j k

2ˆˆ ˆ4.934 1.395 3.003

ma i j k

s

2. No problema anterior, determine a velocidade e a

aceleração no vértice D, supor que a velocidade angular é =

5 rad/s e aumenta à razão de 20 rad/s2.


ˆˆ ˆˆ 20 0 0.8 0.599e i j k

2ˆˆ ˆ0 16 11.98i j k rad s

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 2.977 0.178 0.203 0v i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 4 2.977 0 4

0.178 0.203 0 0.178 0.203

i j k i j

v

ˆˆ ˆ0.608 0.533 0.712m

v i j ks

ˆˆ ˆ0.178 0.203 0AD i j k

v AD

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 2.977 0.178 0.203 0v i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 4 2.977 0 4

0.178 0.203 0 0.178 0.203

i j k i j

v

ˆˆ ˆ0.608 0.533 0 712m

v i j ks

D Da D A v

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 16 11.98 0 16

0.178 0.203 0 0.178 0.203

i j k i j

D A

ˆˆ ˆ2.4319 2.13244 2.848D A i j k

DD A v

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 4.002 2.997 0 4.002

0.608 0.533 0.712 0.608 0.533

i j k i j

v

ˆˆ ˆ4.447 1.822 2.433v i j k

Da D A v

ˆˆ ˆ2.4319 2.13244 2.848

ˆˆ ˆ 4.447 1.822 2.433

a i j k

i j k

2ˆˆ ˆ6.8789 0.31044 0.415

ma i j k

s

3. A peça rígida mostrada na figura consiste de um

eixo ABC soldado a uma placa retangular DEFH. O conjunto

gira uniformemente a uma velocidade angular de 9 rad/s, em

torno do eixo ABC. Sabendo que o movimento quando visto de

C é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do

vértice F.

Pontos P x y z P(x,y,z)

A 0 0.1 0 (0,0.1,0)

B 0.175 0 0.1 (0.175,0,0.1)

C 0.35 -0.1 0.2 (0.35,-0.1,0.2)

D 0.35 0 0 (0.35,0,0)

F 0 0 0.2 (0,0,0.2)

0.35, 0.1,0.2 0,0.1,0AC C A AC

0.35, 0.2,0.2AC

ˆˆ ˆ0.35 0.2 0.2AC i j k

22 20.35 0.2 0.2 0.45AC AC

0.35 0.2 0.2 ˆˆ ˆˆ ˆ0.45 0.45 0.45

ACe e i j k

AC

ˆˆ ˆˆ 0.778 0.444 0.444e i j k

ˆˆ ˆˆ 9 0.778 0.444 0.444e i j k

ˆˆ ˆ7.002 3.996 3.996i j k rad s



6

0,0,0.2 0,0.1,0AF F A AF

0, 0.1,0.2AF ˆˆ ˆ0 0.1 0.2AF i j k

Fv AF

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ7.002 3.996 3.996 0 0.1 0.2v i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

7.002 3.996 3.996 7.002 3.996

0 0.1 0.2 0 0.1

i j k i j

v

ˆˆ ˆ0.3996 1.4 0 7F

mv i j k

s

Fa F A v

0 0F A

FF A v

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

7.002 3.996 3.996 7.002 3.996

0.3996 1.4 0.7 0.3996 1.4

F

i j k i j

v

ˆˆ ˆ8.39 3.304 11.399Fv i j k

0

F Fa F A v

2ˆˆ ˆ8.39 3.304 11.399

ma i j k

s

4. No problema anterior, use = 9 rad/s e decresce

à razão de 13.5 rad/s2, encontre a velocidade e aceleração do

vértice H.

5. Sabe-se que a força de atrito estática entre o

bloquinho B e a placa será vencida e o bloco deslizará quando

sua aceleração alcançar 3 m/s2. Se a placa parte do repouso em

t = 0 s e acelera uniformemente à razão de 4 rad/s2, determine

o instante t e a velocidade angular da placa quando o bloco

começar a escorregar; r = 200 mm.

2 2

23R N T R

ma a a a

s

24 0.2 0.8T T T

ma r a a

s

2 2 2 2

23 9 0.8 2.891N T N N

ma a a a

s

2 2.8913.801

0.2

NN

a rada r

r s

0 t

3.8013.801 0 4 0.95

4t t s t s

6. O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal que

gira em torno de um eixo fixo. A placa parte do repouso em t =

0 e acelera à razão constante de 0.5 rad/s2. Sabendo-se que r =

200 mm, determinar o módulo da aceleração total do bloco

quando: (a) t = 0 s. (b) t = 1 s e (c) t = 2 s.

2 2

R N Ta a a

20.5 0.2 0.1T T T

ma r a a

s

0 0rad s

2

00 0N Nt a r a

20.1R T R

ma a a

s

1t

0 0 0.5 1 0.5rad

ts

2 2

21 0.5 0.2 0.05N N N

radt a r a a

s

20.1T T

ma r a

s

2 2 2 2

20.05 0.1 0.118R R N T R R

ma a a a a a

s

00.12 63.43

0.05

T

N

atg tg arctg

a

2t 2

0.1T T

ma r a

s

0 0 0.5 2 1rad

ts

2 2

22 1 0.2 0.2N N N

radt a r a a

s

2 2 2 2

20.2 0.1 0.2236R R N T R R

ma a a a a a

s

00.1 126.56

0.2 2

T

N

atg tg arctg

a

B A

α

Na

Ra Ta

Na

Ra Ta



7

7. A peça rígida mostrada na figura consiste de um

eixo AB soldado a uma placa retangular DEBC. O conjunto gira

uniformemente a uma velocidade angular constante de 10 rad/s,

em torno do eixo AB. Sabendo que o movimento quando visto

de B é anti-horário, determine a velocidade e a aceleração do

vértice E.

Pontos P x y z P(x,y,z)

A 0 0.225 0 (0,0.225,0)

B 0.5 0 0.3 (0.5,0,0.3)

C 0 0 0.3 (0,0,0.3)

D 0 0 0 (0,0,0)

E 0.5 0 0 (0.5,0,0)

0.5,0,0.3 0,0.225,0AB B A AB

0.5, 0.225,0.3AB

ˆˆ ˆ0.5 0.225 0.3AB i j k

22 20.5 0.225 0.3 0.625AB AB m

0.5 0.225 0.3 ˆˆ ˆˆ ˆ0.625 0.625 0.625

ABe e i j k

AB

ˆˆ ˆˆ 0.8 0.36 0.48e i j k

ˆˆ ˆˆ 10 0.8 0.36 0.48e i j k

ˆˆ ˆ8 3.6 4.8i j k rad s

0.5,0,0 0.5,0,0.3BE E B BE

0,0, 0.3BE

ˆˆ ˆ0 0 0.3BE i j k

Ev BE

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ8 3.6 4.8 0 0 0.3v i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

8 3.6 4.8 8 3.6

0 0 0.3 0 0

i j k i j

v

ˆˆ ˆ1.08 2.4 0E

mv i j k

s

a E B E B

0 0F A

EE B v

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

8 3.6 4.8 8 3.6

1.08 2.4 0 1.08 2.4

E

i j k i j

v

ˆˆ ˆ11.52 5.184 23.088Ev i j k

0 E

E

v

a E B E B

2ˆˆ ˆ11.52 5.184 23.088E

ma i j k

s

8. Atividade 1: Encontre a velocidade e a aceleração

do ponto C considerando que a velocidade angular é 10 rad/s e

decresce a taxa de 20 rad/s2.

9. O rotor de um motor elétrico tem freqüência de 1800

rpm quando é desligado. O rotor pára após executar 625 voltas.

Supondo movimento uniformemente retardado, pedem-se:

(a) a aceleração angular do rotor.

(b) o tempo total do movimento.

18001800 30

60f rpm f Hz f Hz

0 0 0

188.5

2 2 30 60rad

fs

3926.99

2 2 625 1250 n rad

2

2 2 00

0

22



8

2 2

2

4.524

60 36001.44

2 1250 2500

rad

s

0

188.50 188.5 4.524 41.67

4.524t t t t s

10. Atividade 1: Suponha que um rotor de um motor

execute 2400 rpm em 4 s quando ligado e quando o rotor é

desligado ele retorna ao repouso em 40 s. Assumindo que a

aceleração do movimento é uniforme, determine o número de

voltas dado pelo rotor:

(a) quando é ligado até atingir 2400 rpm.

(b) estando em 2400 rpm, até parar.

11. Na figura, o disco B inicialmente em repouso, é

posto em contato com o disco A que gira inicialmente no

sentido horário com freqüência 450 rpm. Após o contato, ocorre

escorregamento com as superfícies, durante 6 s e durante os

quais, os discos apresentam acelerações angulares diferentes,

mas ambas constantes. Ao término do escorregamento, o disco

A apresenta freqüência constante de 140 rpm. Pedem-se:

(a) as acelerações angulares de cada disco.

(b) a velocidade final do ponto de contato.

Determinando a freqüência angular inicial e final do

disco A:

0 0 0 0

4502 2 47.12

60A A A A

radf

s

1402 2 14.66

60f f f fA A A A

radf

s

Disco A: MCUVR: desacelera de 450 rpm a 140 rpm.

Depois fica com MCU a 140 rpm:

MCUVR:

2

14.66 47.1214.66 47.12 6 5.41

6A A A

rad

s

MCU:

14.66 0.08 1.17A f A AP A A P P

mv r v v

s

Disco B possui os movimentos:

1. Parte do repouso e acelera uniformemente por 6 s.

MCUVA.

2. Mantem movimento uniforme. MCU.

MCU: Neste segundo movimento, as velocidades

tangenciais de B e A serão iguais:

1.17A B BP P P

mv v v

s

MCUVA:

1.171.17 0.12

0.12B f f fP B B B Bv r

9.75fB

rad

s

Ou seja, parte do repouso e atinge essa velocidade

angular fB em 6 s:

0

0

f

f

B B

B B B Btt

2

9.75 01.63

6B B

rad

s

12. Na polia dupla, ligadas por fios inextensíveis,

suspensos pelos blocos A e B, os fios não escorregam sobre a

polia. O bloco A parte no instante t = 0 s, com aceleração

constante aA = 300 mm/s2 e velocidade inicial vA = 240 mm/s,

ambas de baixo para cima. Determine:

(a) o número de revoluções executadas pela polia em t

= 3 s.

(b) a velocidade e a posição de B em 3 s.

(c) a aceleração do ponto D da polia em t = 0.

Polia menor:

0.3

0.12

A

A

T

T A A A A

A

aa r

r

22.5A

rad

s

0

0 0 0 0

0.24

0.12

A

A A A AA

A

vv r

r

0 2.0A

rad

s

2

0 0

1

2A At t

2

0 0

1

2A At t

2

0 0

1

2A At t

212 3 2.5 3

2

A

120 mm B

80 mm



9

2.75

17.2517.25

2rad rev

Polia maior:

0 02.0A B

rad

s

22.5A B

rad

s

0 2 2.5 3BB B Bt

9.5B

rad

s

9.5 0.18 1.71B B B B B

mv r v v

s

2

0 0

1

2B Bt t

212 3 2.5 3 17.25

2rad

17.25 0.18 3.10571B B B Bs r s s m

Aceleração em D:

22.5

DT D B D A

rada r

s

2.5 0.18D DT D B Ta r a

20.45

DT

ma

s

2

0 2D AN D B D

rada r

s

2

22 0.18 0.72

D DN N

ma a

s

2 2

D D DR T Na a a

2 2

20.45 0.72 0.849

D DR R

ma a

s

0.45

0.72

D

D

T

N

atg tg

a

0.625 32arctg

13. O sistema ilustrado, composto por placas soldadas a um

eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular =

5 rad/s, que cresce a taxa de 4 rad/s2. No instante ilustrado, o

ponto C está subindo. Pedem-se:

(a) a velocidade no ponto C.

(c) a aceleração do ponto C.


A 0 0.56 0 (0,0.56,0)

B 0 0 0.8 (0,0,0.8)

C 0.56 0 0 (0.56,0,0)

0,0.56,0 0,0,0.8BA A B BA

0,0.56, 0.8BA

ˆˆ ˆ0 0.56 0.8BA i j k

22 20 0.56 0.8 0.976BA BA

0 0.56 0.8 ˆˆ ˆˆ ˆ0.976 0.976 0.976

BAe e i j k

BA

ˆˆ ˆˆ 0 0.573 0.819e i j k

Como o ponto C está subindo (horário):

ˆˆ ˆˆ 5 0 0.573 0.819e i j k

ˆˆ ˆ0 2.865 4.095i j k rad s

ˆˆ ˆˆ 4 0 0.573 0.819e i j k

2ˆˆ ˆ0 2.292 3.276i j k rad s

0.56,0,0 0,0.56,0AC C A AC

0.56, 0.56,0AC

ˆˆ ˆ0.56 0.56 0AC i j k

Cv AC

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 2.865 4.095 0.56 0.56 0Cv i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 2.865 4.095 0 2.865

0.56 0.56 0 0.56 0.56

C

i j k i j

v

ˆˆ ˆ2.293 2.2932 1.599C

mv i j k

s

C Ca AC v

DTa

DNa D

DRa

z

x

y

B

A C

0.56 m

0.80 m 0.56 m

D

E



10

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 2.292 3.276 0 2.292

0.56 0.56 0 0.56 0.56

i j k i j

AC

ˆˆ ˆ1.8346 1.8346 1.2835AC i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 2.865 4.095 0 2.865

2.293 2.293 1.599 2.293 2.293

C

i j k i j

v

ˆˆ ˆ13.97 9.389 6.569Cv i j k

C Ca AC v

ˆˆ ˆ1.8346 1.8346 1.2835

ˆˆ ˆ 13.97 9.389 6.569

Ca i j k

i j k

2ˆˆ ˆ12.1354 11.2236 7.8525C

ma i j k

s

14. O conjunto ilustrado é constituído por um disco soldado

a um eixo vertical e gira no sentido anti-horário a partir do

repouso. A aceleração angular é constante e de valor α = 1

rad/s2. Um bloco apoia-se no disco a 0.35 m do eixo e não

escorregará em relação ao mesmo até que sua aceleração total

atinja 6.5 m/s2. Pedem-se:

(a) a aceleração 1.0 s após o início do movimento do disco.

(b) o instante que o bloco deslizará.

ˆ ˆ1j j

0 1

0ˆ ˆ ˆ1j t j t j

ˆ0.35r i

v r

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ1 0.35 1 0.35

k

v t j i v t j i

ˆ0.35v t k

T Na a

a r v

ˆˆ ˆ ˆ1 0.35 1 0.35a j i t j t k

ˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ1 0.35 0.35

ik

a j i t t j k

2 2ˆ ˆˆ ˆ0.35 0.35 0.35 0.35a k t i a t i k

2 ˆˆ1 0.35 1 0.35a t i k

2ˆˆ1 0.35 0.35

ma t i k

s

2 2 2ˆ ˆ0.35 0.35 T Na k t i a a a

222 2 2 2 20.35 0.35T Na a a a t

2 46.5 0.1225 0.1225 t 442.25 0.1225 0.1225 t

44

42.12750.1225 42.1275

0.1225t t

4 343.897 4.31t t s

15. O sistema ilustrado é composto por duas rodas A e

B de raios iguais a 30 mm, que giram em torno de eixos fixos e

por um anel C, encaixado entre as mesmas. O anel tem raio

interno 72 mm e raio externo 76 mm (espessura 4 mm). Não

ocorre escorregamento entre as superfícies de contato. A roda

superior A, gira com freqüência constante f = 400 rpm no

sentido anti-horário. Pedem-se:

(a) a velocidade do anel C;

(b) a velocidade angular da roda inferior B.

(c) as acelerações dos pontos das rodas em contato

com o anel.

6.667

400400 2 41.887

60A A A A A

radf rpm f Hz f

s

ext ext

ext

AA C A A C C C A

C

rv v r r

r

3041.887 16.534

76C C

rad

s

int

int int

C

B C B B C C B C

B

rv v r r

r

7216.534 39.682

30B B

rad

s

2 2ˆ ˆ41.887 0.03A AN A A Na r j a j

y

z

B 0.35 m

A

x

j

k i

B

A

C

x

y

z



11

2ˆ0 52.635

A A AT R N

ma a a j

s

2 2ˆ ˆ39.682 0.03B BN B B Na r j a j

2ˆ0 47.239

B B BT R N

ma a a j

s

16. Na figura estão representaas duas engrenagens A e

B, com eixos fixos e com raios rA = 800 mm e rB = 384 mm,

respectivamente. A engrenagem A parte do repouso, acelera

uniformemente no sentido horário e atinge freqüência de

rotação 120 rpm em 5 s, que matém daí por diante. Pedem-se:

(a) a aceleração angular das engrenagens;

(b) a velocidade angular final da engrenagem B;

(c) a velocidade final do ponto pertencente à

engrenagem B, que faz contato com a engrenage, A.

(d) a aceleração do ponto citado no item anterior, nas

mesmas condições.

0

2

1200 120

60A A Af rpm f Hz

12.566

2 4fA A A

radf

s

0 12.566 0

5

fA A

A A At t

22.51A

rad

s o negativo é devido ao sentido horário.

AA B A A B B B A

B

rv v r r

r

80012.566 26.17

384B B

rad

s

ˆ26.17B

radk

s

0 26.17 0

5

fB B

B B Bt t

25.236B

rad

s

26.17 0.384 10.049B B B B B

mv r v v

s

ˆ10.049B

mv j

s

0T R NB B Ba a a

2 2

2

10.049262.98

0.384N N N

BB B B

B

v ma a a

r s

2ˆ262.98

NB

ma i

s

^

17. O sistema ilustrado é formado por uma plca de

dimensões 0.20 x 0. 40 m soldada ao eixo fixo AB; no instante

ilustrado, o sistema gira em torno do eixo fixo com velocidade

angular de 15 rad/s, que decresce a taxa de 7 rad/s2. Quando

obsevada de um ponto B, a placa gira no sentido anti-horário.

Para o instante ilustrado, pedem-se:

(a) a velocidade do ponto C;

(b) a aceleração do ponto C.


A 0 0.1 0 (0,0.1,0)

B 0.4 -0.1 0.2 (0.4,-0.1,0.2)

C 0.4 0 0.2 (0.4,0,0.2)

0.4, 0.1,0.2 0,0.1,0AB B A AB

0.4, 0.2,0.2AB

ˆˆ ˆ0.4 0.2 0.2AB i j k

22 20.4 0.2 0.2 0.4899AB AB

0.4 0.2 0.2 ˆˆ ˆˆ ˆ0.4899 0.4899 0.4899

ABe e i j k

AB

ˆˆ ˆˆ 0.8165 0.4082 0.4082e i j k

Anti-horário:

ˆˆ ˆˆ 15 0.8165 0.4082 0.4082e i j k

ˆˆ ˆ12.2475 6.123 6.123i j k rad s

y

x



12

ˆˆ ˆˆ 7 12.2475 6.123 6.123e i j k

2ˆˆ ˆ85.7325 42.861 42.861i j k rad s

0.4,0,0.2 0,0.1,0AC C A AC

0.4, 0.1,0.2AC

ˆˆ ˆ0.4 0.1 0.2AC i j k

Cv AC

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ12.2475 6.123 6.123 0.4 0.1 0.2Cv i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123

0.4 0.1 0.2 0.4 0.1

C

i j k i j

v

ˆˆ ˆ0.61232 0 1.225C

mv i j k

s

C Ca AC v

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

85.7325 42.861 42.861 85.7325 42.861

0.4 0.1 0.2 0.4 0.1

i j k i j

AC

ˆˆ ˆ4.2861 0 8.571AC i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

12.2475 6.123 6.123 12.2475 6.123

0.61232 0 1.225 0.61232 0

C

i j k i j

v

ˆˆ ˆ7.5 18.7534 3.7492Cv i j k

C Ca AC v

ˆˆ ˆ4.2861 0 8.571

ˆˆ ˆ 7.5 18.7534 3.7492

Ca i j k

i j k

2ˆˆ ˆ3.2139 18.7534 12.3202C

ma i j k

s


eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular

constante de = 5 rad/s. No instante considerado o ponto C

está descendo. Pedem-se:

(a) o vetor velocidade angular.

(b) a velocidade do ponto C na forma vetorial.

(c) a aceleração do ponto C na forma vetorial.


A 0 0.203 0 (0,0.203,0)

B 0 0 0.152 (0,0,0.152)

C 0.178 0.203 0 (0.178,0.203,0)

D 0.178 0 0 (0.178,0,0)

0,0.203,0 0,0,0.152BA A B BA

0,0.203, 0.152BA

ˆˆ ˆ0 0.203 0.152BA i j k

22 20 0.203 0.152 0.254BA BA

0 0.203 0.152 ˆˆ ˆˆ ˆ0.254 0.254 0.254

BAe e i j k

BA

ˆˆ ˆˆ 0 0.8 0.599e i j k

ˆˆ ˆˆ 5 0 0.8 0.599e i j k

ˆˆ ˆ0 4 3i j k rad s

ˆ 0e

0.178,0.203,0 0,0.203,0AC C A AC

0.178,0,0AC

ˆˆ ˆ0.178 0 0AD i j k

v AD

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 4 3 0.178 0 0v i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 4 3 0 4

0.178 0 0 0.178 0

i j k i j

v

ˆˆ ˆ0 0.53 0.71m

v i j ks

Ca C A v

0C A

z

x

y

B

A C

0.203 m

0.152 m 0.178 m

D

E



13

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 4.0 3 0 4.0

0 0.53 0.71 0 0.53

C

i j k i j

v

ˆˆ ˆ4.43 0 0Cv i j k

C Ca C A v

ˆˆ ˆ0 0 0

ˆˆ ˆ 4.43 0 0

a i j k

i j k

2ˆ4.43

ma i

s


eixo fixo AB, gira em torno deste, com velocidade angular

constante de = 5 rad/s. No instante ilustrado, o ponto C está

descendo. Pedem-se:

(a) o vetor velovidade angular.

(b) a velocidade do ponto E na forma vetorial.

(c) a aceleração do ponto E na forma vetorial.


A 0 0.5 0 (0,0.5,0)

B 0 0 0.5 (0,0,0.5)

E 0.4 0.1 0 (0.4,0.1,0)

0,0.5,0 0,0,0.5BA A B BA

0,0.5, 0.5BA

ˆˆ ˆ0 0.5 0.5BA i j k

22 20 0.5 0.5 0.707BA BA

0 0.5 0.5 ˆˆ ˆˆ ˆ0.707 0.707 0.707

BAe e i j k

BA

ˆˆ ˆˆ 0 0.707 0.707e i j k

ˆˆ ˆˆ 5 0 0.707 0.707e i j k

ˆˆ ˆ0 3.535 3.535i j k rad s

ˆ 0e

0.4,0.1,0 0,0.5,0AE E A AE

0.4, 0.4,0AC

ˆˆ ˆ0.4 0.4 0AE i j k

Ev AE

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 3.535 3.535 0.4 0.4 0Ev i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 3.535 3.535 0 3.535

0.4 0.4 0 0.4 0.4

E

i j k i j

v

ˆˆ ˆ1.414 1.414 1.414E

mv i j k

s

E Ea E A v

0E A

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

0 3.535 3.535 0 3.535

1.414 1.414 1.414 1.414 1.414

E

i j k i j

v

ˆˆ ˆ10 5 5Cv i j k

E Ea E A v

ˆˆ ˆ0 0 0

ˆˆ ˆ 10 5 5

Ea i j k

i j k

2ˆˆ ˆ10 5 5E

ma i j k

s

20. Uma pedra de esmeril, de formato cilíndrico, com

raio R = 0.45 m, gira com freqüência constante f0 = 1800 rpm;

quando se desliga o motor elétrico do esmeril, a pedra gasta 10

s até parar; considerando movimento uniformemente variado,

pedem-se:

(a) a aceleração angular α da pedra;

(b) a velocidade de um ponto P da borda da pedra

quando a freqüência é 1800 rpm;

(c) a aceleração de um ponto P da borda da pedra,

quando a freqüência é 1800 rpm.

z

x

y

B

A C

0.4 m

0.1 m

D G

0.1 m

0.4 m

0.2m

0.2m

D E

F



14

30

0 0

18001800 2 188.5

60

radf rpm f Hz f

s

0 0 188.5

10t t

218.85

rad

s

188.5 0.45 84.82P P P

mv r v v

s

2 2

2188.5 0.45 15989.1

N N NP P P

ma r a a

s

0 é cteTPa

R N T R NP P P P Pa a a a a

21. Dois discos de raios RB = 45 mm e RA = 20 mm

estão em contato sem escorregar.

O disco A(inferior) parte do repouso e acelera de forma

uniforme com aceleração αA = 3 rad/s2. Para o instante em que

a velocidade angular do disco A atinge valor A = 20 rad/s,

pedem-se:

(a) a aceleração angular do disco B.

(b) a velocidade angular do disco B.

(c) a velocidade de um ponto na borda do disco B.

(d) a aceleração de um ponto na borda do disco B.

Disco A: MCUVA:

0A A A t

6.67

2020 0 3

3t t s

Disco B:

AA B A A B B B A

B

Rv v R R

R

2020 8.89

45B B

rad

s

0B B B t

2

1.33

8.898.89 0 6.67

6.67B B

rad

s

20 0.02 0.4A A A A A B

mv R v v v

s

21.33 0.045 0.05985

T T TB B B B B

ma R a a

s

2 2

2

0.43.55

0.045N N N

BB B B

B

v ma a a

R s

2 2

R N T R N TB B B B B Ba a a a a a

2 2

23.55 0.05985 3.56

R RB B

ma a

s

22. O disco de raio R = 80 mm parte do repouso e

acelera de maneira uniforme, atingindo a velocidade angular

= 30 rad/s em 10 voltas. Pedem-se:

(a) a aceleração angular do disco;

(b) o tempo gasto nessas 10 voltas iniciais.

Disco: MCUVA:

2

0

1

2t t

62.832

2 10 20 rad

2 2 2 2

0 2 30 0 2 62.831

2

2

307.16

2 62.831

rad

s

0 30 0 7.16t t

304.19

7.16t t s

22. A haste ABCD gira apoiada nas articulações A e D;

no instante ilustrado, a velocidade angular da barra é 95 rad/s,

que decresce à taxa de 380 rad/s2. E o ponto C está subindo.

Pedem-se:

(a) a velocidade do ponto B, para o instante ilustrado;

(b) a aceleração do ponto B, no instante ilustrado.

z

y

R

x

A

PB

B

PA

80 mm



15


A 0 0.2 0.12 (0,0.2,0.12)

B 0.3 0.2 0.12 (0.3,0.2,0.12)

D 0.3 0 0 (0.3,0,0)

0,0.2,0.12 0.3,0,0DA A D DA

0.3,0.2,0.12DA

ˆˆ ˆ0.3 0.2 0.12DA i j k

2 2 20.3 0.2 0.12 0.38DA DA

0.3 0.2 0.12 ˆˆ ˆˆ ˆ0.38 0.38 0.38

DAe e i j k

DA

ˆˆ ˆˆ 0.789 0.5263 0.3158e i j k

Anti-horário:

ˆˆ ˆˆ 95 0.789 0.5263 0.3158e i j k

ˆˆ ˆ75 50 30i j k rad s

ˆˆ ˆˆ 380 0.789 0.5263 0.3158e i j k

2ˆˆ ˆ300 200 120i j k rad s

0.3,0.2,0.12 0,0.2,0.12AB B A AB

0.3,0,0AB

ˆˆ ˆ0.3 0 0AB i j k

Bv AB

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ75 50 30 0.3 0 0Bv i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

75 50 30 75 50

0.3 0 0 0.3 0

B

i j k i j

v

ˆˆ ˆ0 9 15B

mv i j k

s

B Ba AB v

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

28500 19000 11400 28500 19000

0.3 0 0 0.3 0

i j k i j

AB

ˆˆ ˆ0 3420 5700AB i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

75 50 30 75 50

0 9 15 0 9

B

i j k i j

v

ˆˆ ˆ1020 1125 675Bv i j k

B Ba AB v

ˆˆ ˆ0 3420 5700

ˆˆ ˆ 1020 1125 675

Ba i j k

i j k

2ˆˆ ˆ1020 4545 5025B

ma i j k

s

23. O sistema de engrenagens ilustrado, deve

suspender o bloco alçando-o por 6.10 m. A engrenagem A parte

do repouso e, mantendo aceleração angular constante, atinge a

freqüência de 120 rpm em 5 s, mantendo-se constante após

atingí-la. Pedem-se:

(a) o número de rotações da engrenagem;

(b) o tempo gasto na operação.

Engrenagem A:

0

1200 2 2

60A A Af

A

D z

x

300 mm

200 mm

120 mm C

B

76.2

381

76.2

457

Em mm

A B



16

12.566A

rad

s

2

12.5662.513

5A A A

rad

t s

AA B A A B B B A

B

rv v r r

r

0.076212.566 2.095

0.457B B

rad

s

N o MUV o de B percorrido em 5s será: 2 2

0 2B B

2 2 2 2

0 2.095 0

2 2 0.419B

05.2375

BB irad s r

0 00.381 5.2375 2B Bs s m

6.1

0.381i

i

BB B B B B

B

ss r

r

16.01B rad

2

2.0950.419

5B B B

rad

t s

Faltam: 0

6.1 6.1 2 4.1Bs m

Nesses 4.1 m a engrenagem B percorre em velocidade

angular constante; o tempo gasto será de:

4.12.095 0.381

iB B B

sv r

t t

4.15.1365

2.095 0.381t t s

A polia A gastará 5 s em MUVA e 5.1365 s em MU:

12.566A

rad

s

12.566 5.1365A A At

64.546MUA rad

Em MUV:

0

21

2MUVA A At t

210 2.513 5 31.4125

2MUV MUVA At rad

64.546 31.4125MU MUVA A

95.9585MU MUVA A rad

95.9585

2 2

MU MUVA Arev

15.272

MU MUVA Arev

5 5.1365T MUV MUt t t 10.1365Tt

24. A polia ilustrada na figura possui raio R = 0.32 m

e é acionada por um motor elétrico, com o intuito de suspender

o bloco A. Quando a polia apresenta freqüência de rotação f0 =

120 rpm, o motor é desligado. Mesmo assim, o bloco ainda sobe

h = 0.80 , antes de parar. Pedem-se:

(a) a aceleração angular da polia;

(b) o tempo gasto até parar.

0 0 0

1202 2 12.566

60

radf

s

0.82.5

0.32

hh R rad

R

2 22 2 0

0 22

FF

2 2

2

0 12.56631.58

2 2.5

rad

s

0 0 12.566 31.58t t

12.5660.397

31.58t t s

A R



17

25. A figura figura ilustra uma correia que move-se

entre duas polias A e B, de raios RA = 0.06 m e RB = 0.02 m,

respectivamente, sem que ocorra escorregamento entre as

superfícies em contato. A velocidade da correia aumenta

uniformemente, desde v1 = 0.8 m/s até v2 = 2.4 m/s, em 5 s.

Pedem-se: (a) a aceleração angular de cada polia; (b) o número

de voltas efetuadas por cada uma das polias, nos 5 s.

2.4 0.80.32

5c c c

v ma a a

t s

Ac A A A A A

A

aa a a R

R

2

0.325.33

0.06A A

rad

s

Bc B B B B B

B

aa a a R

R

2

0.3216

0.02B B

rad

s

BB B B B

B

vv R

R

2.4120

0.02B B

rad

s

0

0 0 0

B

B B B B

B

vv R

R

0 0

0.840

0.02B B

rad

s

0

0

2 2

2 2 22

B B

B B B B B

B

2 2120 40400

2 16B B rad

63.7

400

2B rev

AA A A A

A

vv R

R

2.440

0.06A A

rad

s

0

0 0 0

A

A A A A

A

vv R

R

0 0

0.813.33

0.06A A

rad

s

0

0

2 2

2 2 22

A A

A A A A A

A

2 240 13.33133.42

2 5.33A A rad

21.2

133.42

2A rev

26. Uma polia dupla, de raios R1 = 1.5 m e R2 = 0.8 m,

gira sob ação de dois blocos A e B, conforme ilustrado. O bloco

A apresenta aceleração aA = 4 m/s², com velocidade inicial (em

t = 0 s), vA0 = 5 m/s. Considerando o intervalo de tempo de 2 s,

pedem-se:

(a) o número de voltas da polia;

(b) as correspondentes velocidade e percurso do bloco

B;

(c) a aceleração centrípeta de um ponto da borda mais

externa da polia (R1 = 1.5 m).

05 4 2 13A A A A A

mv v a t v v

s

1

1

AA A A

vv R

R

138.667

1.5A A

rad

s

0

0 0 01

1

A

A A A

vv R

R

v

v

RA

RB

R1 R2



18

0 0

53.33

1.5A A

rad

s

1

1

AA A A

aa R

R

2

42.67

1.5A A

rad

s

0

0

2 2

2 2 22

A A

A A A A A

A

2 28.667 3.3311.99

2 2.67A A rad

11.991.91

2A Arev rev

2 8.667 0.8B B Bv R v

6.93B

mv

s

0 0 0 02 2B B B Bv R v R

0 03.33 0.8 2.664B B

mv v

s

2 2.67 0.8B B Ba R a

22.136B

ma

s

0

0

2 2

2 2 22

B B

B B B B B

B

v vv v a s s

a

2 26.93 2.6649.58

2 2.136B Bs s m

0

2 2

2

1

516.67

1.5A A A

A

cp cp cp

v ma a a

R s

27. As engrenagens ilustradas A, B e C, tem

respectivamente raios RA = 0.24 m, RB = 0.16 m e RC = 0.32 m

e apresentam eixos fixos. A engrenagem A gira com velocidade

angular constante A = 5 rad/s, no sentido horário. Pedem-se:

(a) as velocidades angulares das engrenagens B e C;

(b) a aceleração de um ponto periférico da engrenagem

A.

27.50 3.75 ; 4.5B C

rad rad ma

s s s

Exercícios 1. Uma polia está conectada por cabos inextensíveis

conforme mostra a figura. O movimento da polia é controlado

pelo cabo C o qual tem uma aceleração constante de 9 in/s2 e

uma velocidade inicial de 12 in/s, ambas para a

direita.Determine:

(a) o número de revoluções executados pela polia em

2 s.

(b) a velocidade e a mudança na posição do corpo B

após 2s.

(c) a aceleração do ponto D da polia interior no

instante t = 0s.

Solução:

0 0 0 012 3 4Dv r rad s

29 3 3tDa r rad s

1

14 2.23 rev2

revrad

rad

0 4 3 2 10t rad s

2 2

0

1 14 2 3 2 14

2 2t t rad

5 10 50B B Bv r v v in s

5 14 70B B By r y y in

29D Cta a in s

2 2 2

0 3 4 48D D D Dn n na r a a in s

48 48tan arctan 79.4

9 9

2

4879.4 48 48.8

79.4D D D

ina sen a a

sen s

RB

RA

RC



19

2. O movimento de um corpo é dado por:

3 29 15t t t t SI .

Determine a posição angular, a velocidade angular e a

aceleração angular nos instantes:

(a) t = 0 s (b) t =3s.

3. No problema anterior, determine a posição angular

e a aceleração nos instantes em que a velocidade angular se

anula.

4. A cinta conecta as rodas do auto. O eixo B possui

aceleração angular constante de 120 rad/s2 em sentido anti-

horário, Ela está inicialmente em repouso, Determine a

aceleração da cinta no ponto C, quando:

(a) t = 0.5 s (b) t = 2s.

5. Uma série de componentes pequenos estão

sendo movidos por um transportador. O cinto passa por

uma polia tensora de 6 in de raio. No instante mostrado,

a velocidade do ponto A é 15 in/s para a esquerda e sua

aceleração vale 9 in/s2 para a direita.

Determinar:

(a) a velocidade angular e aceleração angular

da polia,

(b) a aceleração total da máquina

componente em B.

152.5

6

BB B B B

v radv r

r s

2

91.5

6

B

B

T

T

a rada r

r s

2 2

2

1537.5

6B B B

BN N N

v ina a a

r s

2 2

B BB N Ta a a

2 237.5 9Ba

238.6B

ina

s

37.5tan tan

9

B

B

N

T

a

a

037.5arctan 76.5

9

6. A vara dobrada ABCDE gira sobre uma linha que

une os pontos A e E com uma velocidade angular constante de

9 rad/s. Sabendo que a rotação observada do ponto E é no

sentido horário, determine a velocidade e a aceleração de C.

Obs.:

ÂE

AC CE AE eAE

e

AC AC AE CE

EC CE

0 pois AE

AC AE EC AE EC

AC EC

Logo, tanto faz escolher o ponto A ou E!!!

A (0,0.4,0.2); C(0,0.15,0); E(0.4,0,0)

ACr C A

(0,0.15,0) (0,0.4,0.2)ACr

ˆˆ ˆ0 0.25 0.2ACr i j k

ÊA

EAn

EA

0,0.4,0.2 0.4,0,0EA A E EA

ˆˆ ˆ0.4 0.4 0.2AE i j k

2 2 20.4 0.4 0.2 0.6AE AE

0.4 0.4 0.2 ˆˆ ˆˆ0.6 0.6 0.6

AEn i j k

ÊAn

0.4 0.4 0.2 ˆˆ ˆ90.6 0.6 0.6

i j k

B BTa

BNa



20

ˆˆ ˆ6 6 3i j k

Cv r

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ6 6 3 0 0.25 0.2Cv i j k i j k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

6 6 3 6 6

0 0.25 0.2 0 0.25

C

i j k i j

v

ˆˆ ˆ6 0.2 0.25 3 1.2 6 0.25Cv i j k

ˆˆ ˆ0.45 1.2 1.5Cv i j k m s

C Ca v

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

6 6 3 6 6

0.45 1.2 1.5 0.45 1.2

C

i j k i j

a

2ˆˆ ˆ12.6 7.65 9.9Ca i j k m s

7. A aceleração angular de um disco oscilando é

definida pela relação:

k

Determine:

(a) o valor de k para o qual = 8 rad/s quando = 0 e

= 4 rad quando = 0.

(b) a velocidade angular do disco quando = 3 rad.

(a) 4 s-2 (b) 5.29 rad/s

8. Resolva o problema 2 encontrando a posição

angular e a aceleração angular quando a velocidade angular for

nula.

9. No problema 6, determine a velocidade e a

aceleração do ponto B. Assuma que a velocidade angular é 9

rad/s e aumenta a uma taxa de 45 rad/s2.

10. A Terra faz uma volta completa a cada 23h e 56

min. Sabendo que o seu raio é 3960 mi, determine a velocidade

linear e a aceleração linear em um ponto sobre o equador.

11. O anel C possui raio interno de 55 mm e raio

externo de 60 mm e está posicionado entre duas rodas A e B,

cada uma de raio externo de 24 mm. Sabendo que a roda A gira

com freqüência 300 rpm e que não ocorre deslizamento,

determine:

(a) a velocidade angular do anel C e da roda B.

(b) a aceleração dos pontos A e B que estão em contato

com C.

A A Av r ext extA C C Cv v r

2 2ext extA A C C A A C Cr r f r f r

300 24120 rpm

60ext

A AC C C

C

f rf f f

r

int int2 2B B C C B B C Cr r f r f r

int120 55

275 rpm24

C C

B B B

B

f rf f f

r

22 A

A A A A

A

va r a

r

3002 2 0.024

60A A A Av f r v

0.754A

mv

s

2

2

0.75423.7

0.024A A

ma a

s

2752 2 0.024

60B B B Bv f r v

0.6911B

mv

s

22 B

B B B B

B

va r a

r

2

2

0.691119.9

0.024B B

ma a

s

12. Um cilindro A está se movendo para baixo a uma

velocidade de 9 ft/s quando um breque é aplicado

repentinamente no tambor. Sabendo que o cilindro se move 18

ft para baixo antes de parar, e, assumindo movimento com

aceleração uniforme, determine:

(a) a aceleração angular da roda.

(b) o tempo que leva para o cilindro parar.



21

912

0.75

AA A A A A A

A

v radv r

r s

2 2

0 2

1824 rad

0.75

ss r

r

22 2

2

120 12 2 24 3

48

rad

s

2

0 0

1

2t t

2124 0 12 3

2t t

2 23 24 48 0 8 16 0t t t t

2 4 8 64 644

2 2

b b a ct t t s

a

13. Uma polia e dois pesos são conectados por uma

corda inextensível. O peso A tem uma aceleração constante de

300 mm/s2 e uma velocidade inicial de 240 mm/s, ambos

dirigidos para cima. Determine:

(a) o número de revoluçõe executados pela polia em 3 s.

(b) a velocidade e a posição do peso B após 3s.

(c) a aceleração do ponto D na borda da polia, em t = 0s.

14. Uma chapa circular está inicialmente em repouso.

Sabendo que r = 200 mm e que a placa possui aceleração

angular constante de 0.3 rad/s2, determine a magnitude da

aceleração total no ponto B quando:

(a) t = 0, (b) t = 2 s, (c) t = 4 s.

15. O anel B tem um raio interno r2 e externo r3. A

barra A de raio r1 gira com velocidade angular constante A.

Não há escorregamento entre as superfícies. Determine as

relações entre os raios r1, r2, r3 e A para: (a) a velocidade

angular do anel B; (b) a aceleração dos pontos entre a barra A e

o anel B que estão em contato.

16. Um disco circular de raio r = 0.16 m gira em

relação a um eixo fixo O com velocidade angular = 2 rad/s e

aceleração angular = 3 rad/s2 com sentidos indicados na

figura. Determine os valores instantâneos da velocidade e da

aceleração no ponto A da figura.

ˆ ˆcosAr OA r i r sen j

21cos 1 cos

4sen

21

14

sen

150.968

4sen sen

ˆ ˆ0.25 0.968Ar r i r j

ˆ ˆ0.16 0.25 0.16 0.968Ar i j

ˆ ˆ0.04 0.15488Ar i j

ˆ ˆ2k k

A Av r

A

O x

y

4

r

r



22

ˆ ˆ ˆ2 0.04 0.15488Av k i j

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ2 0.04 2 0.15488A

j i

v k i k j

ˆ ˆ ˆ ˆ0.08 0.30976 0.30976 0.08A Av j i v i j

ˆ ˆ3k k

A A Aa r v

ˆ ˆ ˆ3 0.04 0.15488Aa k i j

ˆ ˆ ˆ2 0.30976 0.08k i j

ˆ ˆˆ ˆ0.12 0.4646Aa k i k j

ˆ ˆˆ ˆ0.6194 0.16k i k j ˆ ˆ0.12 0.4646Aa j i

ˆ ˆ0.6194 0.16j i

ˆ ˆ0.12 0.4646Aa j i

ˆ ˆ0.6194 0.16j i ˆ ˆ0.3046 0.739Aa i j

17. Para testar a resistência de um adesivo, é colocado

um bloco de massa m = 0.3 kg em um disco que gira a partir do

repouso em t = 0 s com aceleração angular uniforme = 2

rad/s2. Se a fita se solta depois de 3 s do movimento do disco,

quantas voltas o disco execuitará?

18. A correia acoplada ao conjunto de polias faz girar

o sistema aumentando sua velocidade angular. Num certo

instante, a velocidade da correia é 1.5 m/s e a aceleração total

do ponto A é 75 m/s2.Para esse instante, determine:

(a) a velocidade angular e a aceleração angular da

polia B. (b) a aceleração total do ponto B.

(c) a aceleração do ponto C.

19. O ponto A da polia está na posição angular = 0

em t = 0s. O disco tem velocidade angular inicial 0 = 0.1 rad/s

em t = 0 e é acelerado com uma aceleração angular constante

= 2 rad/s2. Determine a velocidade e a aceleração do ponto A,

no instante t = 1 s, em função dos vetores unitários i e j .

20. Uma fita magnética utilizada para gravar dados em

um computador consiste no sistema indicado.

Se a velocidade v da fita é constante e a magnitude da

aceleração do ponto A é 4/3 a aceleração do ponto B, determine

o raio de A.

21. As características de um sistema de engrenagens é

ilustrado a seguir:

A engrenagem B está girando no sentido horário, com

300 rev/min, quando um torque é aplicado na engrenagem A,

em t = 2 s, forçando-a a girar no sentido anti-horário com uma

aceleração angular que varia com o tempo conforme o gráfico

indicado, durante 4 s. Determine a velocidade da polia B,

quando t = 6 s.

23. A potência de um motor elétrico quando ligado o

faz girar a 3300 rpm em 6 s, e quando é desligado ele retorna

ao repouso em 80 s. Assumindo aceleração uniforme, determine

o número de revoluções dado pelo motor quando:



23

(a) é ligado e atinge a máxima rotação;

(b) é desligado a partir da máxima rotação até atingir

o repouso.

24. Assumindo que a Terra gira em torno de seu eixo

em 23h e 56 min e seu raio é aproximadamente 6400 km,

determine a velocidade de rotação sobre um ponto da superfície

do Equador. E num ponto na latitude de 400 N?

25. No sistema de polias abaixo, o disco B está em

repouso quando é colocado em contato com o disco A que está

girando no sentido horário a 450 rpm. Após 6 s de

deslizamento, cada disco tem uma aceleração angular constante

e o disco A possui uma freqüência de 140 rpm no sentido

horário. Determine a aceleração angular de cada disco durante

o período de deslizamento.

26. Devido ao parafuso em E, o atuador fornece

movimento linear para o braço em F quando o motor gira a

engrenagem em A. Se as engrenagens têm os raios listados na

figura e o parafuso em E tem um passo de p = 2 mm, determine

a velocidade em F quando o motor gira a 20A rad s .

Sugestão: O passo do parafuso indica a quantidade de avanço

do parafuso para cada volta completa.

1 rad/s 0.318 mm/s

27. O cordão de diâmetro d é enrolado em torno

do tambor afunilado que tem as dimensões ilustradas. Se

o tambor está girando a uma taxa constante de ,

determinar a aceleração para cima do bloco. Negligenciar

o pequeno deslocamento horizontal do bloco.

r2 – r1

r - r1 r2

r r1

x L

1

2 1

r r x

r r L

1 2 1

xr r r r

L

2x n d x d

1

2

dx dd

dt dt

1 2 1

xr r r r

L

2 1

1dr dxr r

dt L dt

dv d drv r r

dt dt dt

0dv dr

rdt dt

dv dr

dt dt

2 1

1dv dxr r

dt L dt



24

2 1

1 1

2a

dv dr r d

dt L dt

22 1

2

r ra d

L

28. O mecanismo é utilizado para converter o

movimento circular de constante da haste AB no movimento

de translação da haste CD na fenda vertical anexa. Determine a

velocidade e aceleração de CD para qualquer ângulo de AB.

cosx l

dx dl sen

dt dt

v l sen

dv d da l cos l sen

dt dt dt

2a l cos

29. O motor gira a engrenagem A de modo que

sua freqüência aumenta uniformemente de zero a 3000

rev/min depois que o eixo gira 200 rev. Determine a

velocidade angular da engrenagem D quando t = 3 s. Os

raios das engrenagens A, B, C e D são:

rA = 25 mm, rB = 100 mm, rC = 40 mm e rD = 100 mm,

respectivamente.

Ponto P de contato de A e B:

P A A B Bv r r

2 2A A B B A A B Bf r f r f r f r

253000 750

100

AB A B B

B

rf f f f rpm

r

81.68

13

7502 26

60B B B B

radf Hz f

s

Eixo do motor é o mesmo da enfrenagem A: n = 200

1256.64

2 2 200 400A A An rad

0

0

2 2

2 2 22

A A

A A A A A

A

314.2

30002 2 100

60A A A A

radf

s

2 2

2

314.2 039.28

2 1256.64A A

rad

s

PT A A B Ba r r

2

2539.28 9.82

100

AB A B B

B

r rad

r s

Mesmo eixo C e B:

Em t = 3s:

00 9.82 3B B B Bt

29.46B

rad

s

29.46B C

rad

s

29.82C B

rad

s

Ponto P´ de contato de C e D:

P D D C Cv r r

4029.46 11.784

100

CD C D D

D

r rad

r s



25

30. A manivela AB está girando a uma velocidade

angular constante de = 150 rad/s. Determine a velocidade do

pistão P no instante em que = 30 °.

220.2 cos 0.75 0.2x sen

2 20.2 cos 0.75 0.04x sen

1

2 2 20.2 cos 0.75 0.04x sen

1

12 2 2

10.2 0.75 0.04 0.04 2 cos

2

dx d dsen sen sen

dt dt dt

1

2 2 2

0.08 cos1

0.22

0.75 0.04

dsen

dx d dtsendt dt

sen

2 2

cos0.2 0.04

0.75 0.04

dx sensen

dt sen

Pois d

dt

; Para = 300 e = 150 rad/s:

0 00

2 2 0

30 cos30 1500.2 30 150 0.04

0.75 0.04 30

dx sensen

dt sen

64.951 2.59815 0.04 15

0.74330.5625 0.01

dx

dt

15 3.4952 18.49dx ft

vdt s

31. O tambor do freio está preso a um volante

maior que não é mostrado. O movimento do tambor de

freio é definido pela relação θ(t) = 36t-1.6t2, onde θ é

expresso em radianos e t em segundos. Determine:

(a) a velocidade angular em t = 2 s,

(b) o número de revoluções executadas pelo

tambor do freio antes de parar.

Solução:

(a)

236 1.6d d

t t t tdt dt

36 3.2t t

2 36 3.2 2t

2 29.6 rads

t

(b) Quando parar: 0t

36

36 3.2 03.2

t t t

11.25t s

236 1.6t t t

211.25 36 11.25 1.6 11.25 11.25 202.5t t rad

202.5rad

202.5

2 2n n

32.2n

32. Um motorista está em seu carro com a porta

do lado do passageiro bem aberta (θ = 00). À medida que

o carro avança com aceleração constante, a aceleração

angular da porta é α = 2.5 cos θ, onde α está em rad/s2.

Determine a velocidade angular da porta quando ela é

fechada (θ = 90 °).

Solução:

d

tdt

d d d

td dt d

2.5 cos 2.5 cosd

d dd

0

2

0

2.5 cosd d



26

0

0

2

20

0

2.52

sen

2

0 2.5 2.5 02 2

sen sen

2

2.5 1 2.5 02

222.5 5 5

2

2.24rad

s ⭮

33. A montagem mostrada gira em torno da haste

AC. No instante mostrado, a montagem possui uma

velocidade angular de 5 rad/s que aumenta com uma

aceleração angular de 25 rad/s2. Sabendo que o

componente y da velocidade do canto D é negativo neste

instante no tempo, determine a velocidade e a aceleração

do canto E.

Solução:

P x(m) y(m) z(m)

A 0 0.13 0

B 0.24 0.2 0

E 0.24 0 0.1

0.24;0.2;0 0;0.13;0AB B A

0.24 0.07 0AB i j k

2 2 20.24 0.07 0AB

0.25AB

ABe

AB

0.24 0.07 0

0.25 0.25 0.25e i j k

0.96 0.28 0e i j k

e

5 0.96 0.28 0i j k

4.8 1.4 0rad

i j ks

e

25 0.96 0.28 0i j k

224 7 0

radi j k

s

0.24;0;0.1 0.24;0.2;0Er E B

0 0.2 0.1Er i j k

E Ev r

4.8 1.4 0 0 0.2 0.1Ev i j k i j k

4.8 1.4 0

0 0.2 0.1

E

i j k

v

4.8 1.4 0 4.8 1.4

0 0.2 0.1 0 0.2

E

i j k i j

v

1.4 0.1 0 0.2 0 0 0.1 4.8 4.8 0.2 0 1.4Ev i j k

0.14 0.48 0.96 mE s

v i j k

E E Ea r v

E T Na a a

T Ea r

24 7 0 0 0.2 0.1Ta i j k i j k

24 7 0

0 0.2 0.1

T

i j k

a

24 7 0 24 7

0 0.2 0.1 0 0.2

T

i j k i j

a

7 0.1 0 0.2 0 0 0.1 24 24 0.2 0 7Ta i j k

20.7 2.4 4.8 mT s

a i j k

N Ea v

4.8 1.4 0 0.14 0.48 0.96Na i j k i j k



27

4.8 1.4 0

0.14 0.48 0.96

N

i j k

a

4.8 1.4 0 4.8 1.4

0.14 0.48 0.96 0.14 0.48

N

i j k i j

a

1.4 0.96 0 0.48 0 0.14 0.96 4.8Na i j

4.8 0.48 0.14 1.4 k

1.344 0 4.608Na i j

2.304 0.196 k

21.344 4.608 2.5 mN s

a i j k

E T Na a a

0.7 2.4 4.8

1.344 4.608 2.5

Ea i j k

i j k

20.644 2.208 7.3 mE s

a i j k



28

Movimento Plano Geral

Um movimento plano geral pode ser considerado

como a soma de uma translação e de uma rotação:

Movimento geral = Translação + Rotação

Movimento de um corpo decomposto em uma

translação e uma rotação:

Velocidade absoluta e relativa:

/B A B Av v v

:Bv velocidade absoluta do ponto B.

:Av translação da placa com A.

/ :B Av velocidade relativa associada à rotação da placa

ao redor do ponto A, medida em relação a eixos com origem em

A e de orientações fixas. Denotando por :

/ :B Ar vetor de posição de B em relação a A:

/B Ar B A

k : velocidade angular em relação aos eixos de

orientações fixas.

/ /ˆ

B A B Av k r

/ˆ

B A B Av v k r

Movimento plano = Translação com A + Rotação em torno de A.

Observe que:

//

B AB A B A

vv v tg v l

l

/

/

coscos

A AB A

B A

v vv

v

cos

Av

l

Chega-se ao mesmo resultado escolhendo B como

pono de referência. Decompondo-se o movimento dado em

uma translação com B e uma rotação ao redor de B (vide figura),

teremos:

Movimento plano = Translação com B + Rotação em torno de B.

/A B A Bv v v

Observe que:

/ / / /A B B A A B B Av v v v l

O sentido da velocidade relativa deponde do ponto de

referência escolhido e deverá ser cuidadosamente determinada

a partir dos diagramas ilustrados. Finalmente, observemos que

a velocidade angular da barra em sua rotação ao redor de B é

a mesma que em sua rotação ao redor de A. Em ambos os casos

é medida pela derivada temporal do ângulo :

d

dt



29

Este resultado é geral; assim, sempre a velocidade

angular de um corpo rígido animado de movimento plano

é independente do ponto de referência.

A maior parte dos mecanismos mecânicos constam

não de um, mas de vários elementos em movimento. Quando

tais elementos se encontram articulados, pode-se estudá-los

considerando cada um como um corpo rígido, sem, contudo,

esquecer que os pontos de articulação de dois deles devem ter a

mesma velocidade absoluta. Um estudo semelhante pode ser

feito quando se trata de engrenagens, já que os dentes em

constato devem ter a mesma velocidade absoluta. Entretanto, se

os elementos de um mecanismo possuem um deslizamento

relativo entre si, deve-se levar em consideraçãoa velocidade

relativa das partes em contato.

Exemplos resolvidos

1. A engrenagem dupla mostrada na figura rola sobre

a cremalheira inferior estacionária; a velocidade do seu centro

A é de 1.2 m/s para a direita. Determinar:

(a) a velocidade angular da engrenagem,

(b) as velocidades da cremalheira superior R e do

ponto D da engrenagem.

Como a engrenagem rola sobre a cremalheira inferior,

seu centro A percorrerá uma distância igualao comprimento da

circunferência exterior, 2r1, para cada rotação completa da

engrenagem. Como 1 ver = 2 rade, quando A rola para a

direita, (xA > 0), a engrenagem gira em sentido horário ( < 0),

escrevemos:

1Ax r

1 1A

A

dx dr v r

dt dt

1

1.28

0.150

Av rad

r s

ˆ ˆ8rad

k ks

O rolamento é decomposto em dois movimentos: um

de translação do centro A e outro de rotação ao redor deste

centro. Na translação, todos os pontos da engrenagem

deslocam-se com a mesma velocidade va. Na rotaça, cada ponto

P da engrenagem se desloca ao redor de A com velocidade:

P APv r APr P A

Aqui PAr é o vetor de posição de P em relação a A.

Assim, a velocidade da cremalheira superior é a

velocidade do ponto B:

R B B A ABv v v v v

B A ABv v r

ˆˆ ˆ1.2 8 0.1Bv i k j

ˆ

ˆˆ ˆ1.2 0.8

i

Bv i k j

ˆ ˆ ˆ1.2 0.8 2.0B B

mv i i v i

s

Velocidade do ponto D:

D A ADv v r

ˆˆ ˆ1.2 8 0.15Dv i k i

ˆ

ˆˆ ˆ1.2 8 0.15

j

Dv i k i

ˆ ˆ1.2 1.2D

mv i j

s

2 21.2 1.2 2.88 1.7D D

mv v

s

tan 1 45

ˆ ˆ1.2 1.2 1.7 45D D

m mv i j v

s s

2. No sistema esboçado, a manivela AB possui uma

velocidade angular constante de 2000 rpm (freqüência f) no

sentido horário. Determinar para a posição da manivela

indicada na figura:

(a) a velocidade angular da biela BD.

(b) a velocidade do pistão P.



30

1 1002000 2000

60 3f rpm f Hz f Hz

2002 209.45

3

rad radf

s s

0.0762 209.45AB AB ABv r v

015.95 50AB

mv

s

Movimento da Biela BD:

Aplicando a lei dos senos:

40 400.0762

0.0762 0.203 0.203

sen sen sensen

0.241 0.241 13.96sen arcsen

Observe que a velocidade vD do ponto D, onde a biela

se une ao pistão, deve ser horizontal. Decompondo o

movimento de BD:

Movimento plano de BD= Translação + rotação

D B DBv v v

Fazendo o diagrama vetorial dessa relação:

53.9 50 76.1

D DB Bv v v

sen sen sen

15.9 15.950

53.9 50 76.1 76.1

D DBDB

v vv sen

sen sen sen sen

12.5DB

mv

s

76.1°

15.953.9 13.2

76.1D D

mv sen v

sen s

Cinemática dos Sólidos Prof. Cláudio S. Sartori Notas ... · Notas de aula 01 – 1° Bimestre 1...

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