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Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica

Circuitos Elétricos II

José Azcue, Prof. Dr.

Aplicação da Transformada de Laplace

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Lei de Ohm no domínio de Laplace Se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor, a relação entre a tensão e a corrente em cada elemento é dado por:

Sendo:

Z(s) = impedância do elemento no domínio da frequência

Impedância do resistor = R []

Impedância do indutor = sL []

Impedância do capacitor = 1/sC []

( ) ( ) ( )V s Z s I s

(Lei de Ohm no domínio de Laplace)

3

Lei de Ohm no domínio de Laplace Se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor, a relação entre a tensão e a corrente em cada elemento é dado por:

(Lei de Ohm no domínio de Laplace)

Sendo:

Y(s) = admitância do elemento no domínio da frequência

Admitância do resistor = G=1/R [S]

Admitância do indutor = 1/sL [S]

Admitância do capacitor = sC [S]

( ) ( ) V( )I s Y s s

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Teoremas

Teorema da Derivada

ℒ𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡= 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0−)

ℒ 𝑓 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

0−

=𝐹 𝑠

𝑠+ 𝑓 𝜏 𝑑𝜏0−

−∞

𝑠

Teorema da Integral

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Resistor no domínio de Laplace

• No domínio do tempo:

• No domínio da frequência:

sendo: e

R vR(t)

iR(t)

R VR(s)

IR(s)

𝑉𝑅 𝑠 = ℒ{𝑉𝑅(𝑡)} 𝐼𝑅 𝑠 = ℒ{𝐼𝑅(𝑡)}

𝑉𝑅 𝑡 = 𝑅. 𝑖𝑅 (𝑡)

𝑉𝑅 𝑠 = 𝑅. 𝐼𝑅(𝑠)

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Capacitor no domínio de Laplace • No domínio do tempo:

• No domínio da frequência:

sendo: C vC(t)

iC(t)

(Teorema da Derivada)

𝐼𝐶 𝑠 = ℒ{𝑖𝐶(𝑡)}

𝑉𝐶 𝑠 = ℒ{𝑣𝐶(𝑡)}

𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶𝑑𝑉𝐶(𝑡)

𝑑𝑡

𝐼𝐶 𝑠 = 𝐶 𝑠𝑉𝐶 𝑠 − 𝑣𝐶(0−)

𝐼𝐶 𝑠 = 𝑠. 𝐶. 𝑉𝐶 𝑠 − 𝐶. 𝑣𝐶(0−)

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Fonte equivalente da condição inicial

Tempo Frequência

𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶𝑑𝑉𝐶(𝑡)

𝑑𝑡

𝐼𝐶 𝑠 = 𝑠. 𝐶. 𝑉𝐶 𝑠 − 𝐶. 𝑣𝐶(0−)

𝐼𝐶 𝑠 = 𝑠. 𝐶. 𝑉𝐶 𝑠 − 𝐶. 𝑉0

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Condições iniciais nulas

Tempo Frequência

𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶𝑑𝑉𝐶(𝑡)

𝑑𝑡

𝐼𝐶 𝑠 = 𝑠. 𝐶. 𝑉𝐶 𝑠

𝑉0 = 0

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Capacitor no domínio de Laplace

• No domínio do tempo:

• No domínio da frequência:

C vC(t)

iC(t)

Isolando 𝑽𝒄(𝒔), tem-se:

𝑖𝐶 𝑡 = 𝐶𝑑𝑉𝐶(𝑡)

𝑑𝑡

𝐼𝐶 𝑠 = 𝑠. 𝐶. 𝑉𝐶 𝑠 − 𝐶. 𝑣𝐶(0−)

𝑉𝐶 𝑠 =𝐼𝐶𝑠𝐶+𝑉𝐶(0−)

𝑠

𝑉𝐶 𝑠 = ℒ 𝑣𝑐 𝑡 = ℒ1

𝐶 𝑖𝐶 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

−∞

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C - fonte equivalente da condição inicial

Tempo Frequência

𝑉𝐶 𝑡 =1

𝐶 𝑖𝐶 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

−∞

𝑉𝐶 𝑠 =𝐼𝐶𝑠𝐶+𝑉𝐶(0−)

𝑠

𝑉𝐶 𝑠 =𝐼𝐶𝑠𝐶+𝑉0𝑠

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Condição inicial nula

Tempo

Frequência

𝑉𝐶 𝑡 =1

𝐶 𝑖𝐶 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

−∞

𝑉0 = 0

𝑉𝐶 𝑠 =𝐼𝐶𝑠𝐶

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Indutor no domínio de Laplace • No domínio do tempo:

• No domínio da frequência:

(Teorema da Derivada)

sendo: L vL(t)

iL(t)

𝑉𝐿 𝑠 = ℒ{𝑣𝐿(𝑡)}

𝐼𝐿 𝑠 = ℒ{𝑖𝐿(𝑡)}

𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖𝐿(𝑡)

𝑑𝑡

𝑉𝐿 𝑠 = 𝐿 𝑠𝐼𝐿 𝑠 − 𝑖𝐿(0−)

𝑉𝐿 𝑠 = 𝑠. 𝐿. 𝐼𝐿 𝑠 − 𝐿. 𝑖𝐿(0−)

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L - fonte equivalente da condição inicial

Tempo Frequência

𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖𝐿(𝑡)

𝑑𝑡 𝑉𝐿 𝑠 = 𝑠. 𝐿. 𝐼𝐿 𝑠 − 𝐿. 𝑖𝐿(0−)

𝑉𝐿 𝑠 = 𝑠. 𝐿. 𝐼𝐿 𝑠 − 𝐿. 𝐼0

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Condição inicial nula

Tempo Frequência

𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖𝐿(𝑡)

𝑑𝑡

𝑉𝐿 𝑠 = 𝑠. 𝐿. 𝐼𝐿 𝑠

𝑖 0− = 𝐼0 = 0

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Indutor no domínio de Laplace

• No domínio do tempo:

• No domínio da frequência:

L vL(t)

iL(t)

Isolando 𝐈𝑳(𝒔), tem-se:

𝑣𝐿 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖𝐿(𝑡)

𝑑𝑡

𝑉𝐿 𝑠 = 𝐿 𝑠𝐼𝐿 𝑠 − 𝑖𝐿(0−)

𝐼𝐿 𝑠 =𝑉𝐿(𝑠)

𝑠. 𝐿+𝑖(0−)

𝑠

𝐼𝐿 𝑠 = ℒ 𝑖𝐿 𝑡 = ℒ1

𝐿 𝑣𝐿 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

−∞

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L - fonte equivalente da condição inicial

Tempo Frequência

𝑖𝐿 𝑡 =1

𝐿 𝑣𝐿 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

−∞

𝐼𝐿 𝑠 =

𝑉𝐿(𝑠)

𝑠. 𝐿+𝑖(0−)

𝑠

𝐼𝐿 𝑠 =𝑉𝐿(𝑠)

𝑠. 𝐿+𝐼𝑜𝑠

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Condição inicial nula

Tempo Frequência

𝑖𝐿 𝑡 =1

𝐿 𝑣𝐿 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

−∞

𝐼𝐿 𝑠 =𝑉𝐿(𝑠)

𝑠. 𝐿

𝐼0 = 0

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Análise de circuitos no domínio de Laplace 1. Transformar o circuito do domínio do tempo para o

domínio da frequência complexa s.

2. Substituir as condições iniciais pelas fontes equivalentes.

3. Resolver o circuito usando análise de malhas, análise nodal, transformação de fontes, superposição ou qualquer outra técnica de análise de circuitos.

4. Efetuar a transformada inversa da resposta de interesse, obtendo a solução no domínio do tempo.

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Análise de circuitos no domínio de Laplace As regras para associações e simplificações valem no

domínio da frequência s. As Leis de Kirchhoff continuam válidas no domínio s, ou

seja:

Todos os métodos de análise podem ser aplicados no domínio de Laplace (para circuitos lineares!).

𝐼 𝑠 = 0 𝑉 𝑠 = 0

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Problema prático 16.1 Determine vo(t) no circuito da Figura abaixo supondo condições

nulas.

Rpta: 40*(1-exp(-2t)-2*t*exp(-2t))*u(t) V

A

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Problema prático 16.1

Vo(t)=40*(1-exp(-2t)-2*t*exp(-2t))*u(t) V v0(t) [V]

tempo [s]

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Problema prático 16.3 A chave na figura abaixo esteve na posição b por muito tempo.

Ela é comutada para a posição a em t=0. Determine v(t) para t>0.

Rpta: v(t)=(Vo-Io*R)*exp(-t/Tau) + Io*R ; para t>0, onde Tau=R*C

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Problema 16.63 Considere o circuito RLC em paralelo da figura abaixo. Determine

v(t) e i(t) dado que v(0)=5 V e i(0)=-2 A.

𝑣 𝑡 = 5𝑒−4𝑡 cos 2𝑡 + 230𝑒−4𝑡 sin 2𝑡 𝑢(𝑡)

i 𝑡 = 4 − 6𝑒−4𝑡 cos 2𝑡 − 11,38𝑒−4𝑡 sin 2𝑡 . 𝑢(𝑡)

Rptas:

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Próxima Aula

Leitura: Cap 14 – livro texto

1. Resposta em frequência.

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Referências

1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de

Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

2. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.

1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.

4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.

5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,

Editora Pearson, 2009.