Colegio Mixto Preuniversitario Bilingüe Intercultural
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Colegio Mixto Preuniversitario Bilingüe Intercultural Manual de Aprendizaje Matemática V Nivel diversificado TZOLOK CHI NAJ XYANQ Primer año, Bachillerato en Ciencias y Letras por Madurez Ixcán, Quiché, 2016
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Colegio Mixto Preuniversitario Bilingüe Intercultural
Manual de Aprendizaje Matemática V
Nivel diversificado
TZOLOK CHI NAJ XYANQ
Primer año, Bachillerato en Ciencias y Letras por Madurez
Ixcán, Quiché, 2016
2
Colegio Mixto Preuniversitario Bilingüe Intercultural
Representante Legal
Mauricio Yat Luc
Director Técnico Administrativo
Mauricio Yat Luc
Autores:
Mauricio Yat Luc
Hermelindo Quim Cuc
Rigoberto Morales
Pedro Tzuy Caal
Revisor:
Mauricio Yat Luc
Manual de Aprendizaje para estudiantes Nivel Diversificado
Playa Grande Ixcán.
No se autoriza la reproducción total o parcial de este libro
3
PRIMER SEMESTRE
Tabla de Contenidos Paginas
Descripción 5
Suma, resta, multiplicación y división de resolución de problemas
polinomiales, ---------------------------------------------------------------------- 6
Determinación de productos notables -------------------------------------- 10
Desarrollo de potencias -------------------------------------------------------- 14
Factorización de fracciones complejas ------------------------------------ 17
Potenciación y radicación de polinomios/Simplificación de
expresiones con exponentes negativos ---------------------------------- 17
Calculo de operaciones entre fracciones algebraicas ------------------ 18
Suma y resta de fracciones algebraicas ----------------------------------- 20
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador 20
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas -------------------- 22
Fracciones algebraicas compuestas --------------------------------------- 25
Simplificación de fracciones complejas ------------------------------------ 26
Identificación de las propiedades de las operaciones básicas
aritméticas ------------------------------------------------------------------------- 27
División , potencia y raíz-------------------------------------------------------- 28
Logaritmo / Expresión de las relaciones aritméticas utilizando los
signos, símbolos, gráficos, algoritmos y términos matemáticos ---- 29
Algebra lineal --------------------------------------------------------------------- 32
Símbolos y términos específicos -------------------------------------------- 35
Operaciones con polinomios ------------------------------------------------- 37
Multiplicación de polinomios -------------------------------------------------- 38
Máximo común divisor --------------------------------------------------------- 39
Resolución de ecuaciones ---------------------------------------------------- 41
Resolución de ecuaciones cuadráticas ------------------------------------ 41
Sistemas de ecuaciones ------------------------------------------------------- 42
Teoría de matrices y Álgebra lineal ----------------------------------------- 43
Algebra líneal / Lugar geométrico ------------------------------------------- 46
Algebra y aritmética ------------------------------------------------------------- 48
En la civilización mesopotámica --------------------------------------------- 50
Teorías de Número Real y Teoría de Conjuntos ------------------------ 54
Parábola --------------------------------------------------------------------------- 55
Representación de patrones geométricos y numéricos en la vida
diaria ----------------------------------------------------------------------------- 56
Identificación de patrones en fenómenos, físicos, económicos,
sociales y políticos -------------------------------------------------------------- 60
Demostración de patrones en el sistema calendario maya,
nombres y los glifos de los días --------------------------------------------- 68
Origen de la matemática maya ---------------------------------------------- 70
Aplicaciones de la matemática maya --------------------------------------- 73
4
Explicación del cholq’ij, el ab’, el tun (Calendario sagrado de 260
días, año solar de 365 días y el ciclo de 360 días) y sus múltiplos-- 75
La energía del día, nawales y glifos ---------------------------------------- 76
La cosmovisión del Pueblo Maya ------------------------------------------- 78
El Calendario Sagrado Maya - método para el cómputo de tiempo. 84
Bibliografía -------------------------------------------------------------- 87
5
DESCRIPCIÓN GENERAL
Tiene como propósito desarrollar en la o el estudiante habilidades matemáticas
que le faciliten analizar, plantear, formular, resolver e interpretar problemas
matemáticos en diferentes contextos, así como organizar y comunicar
eficazmente sus ideas.
Para lograr las competencias deseadas, la Subárea se orienta a desarrollar las
siguientes temáticas: lógica matemática, aritmética, álgebra, patrones y funciones.
Introduce a los educandos a la geometría analítica, a vectores y matrices, al
estudio de las sucesiones y series. Contenidos que ayudarán a garantizar la
calidad educativa con base en el desarrollo del pensamiento lógico y su relación
con los ejes de la Reforma Educativa: unidad en la diversidad, vida en democracia
y cultura de paz, desarrollo integral sostenible, ciencia y tecnología.
6
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POLINOMIALES: SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
Sumar y restar polinomios
Un polinomio es algo así como esto:
ejemplo de polinomio este tiene 3 términos
Para sumar polinomios simplemente suma juntos los términos similares... ¿qué son
términos similares?
Términos similares
"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2)
son los mismos.
En otras palabras, términos que "se parecen".
Ejemplos:
Términos Por qué son "similares"
7x x -2x porque las variables son todas x
(1/3)xy2 -2xy2 6xy2 porque las variables son todas xy2
Sumar polinomios
Dos pasos:
Pon juntos los términos similares Suma los términos similares
Ejemplo: suma 2x2 + 6x + 5 y 3x2 - 2x - 1 Junta los términos similares: 2x2 + 3x2 + 6x - 2x + 5 - 1 Suma los términos similares: (2+3)x2 + (6-2)x + (3-1)
= 5x2 + 4x + 4
7
Sumar varios polinomios
Puedes sumar varios polinomios juntos así.
Ejemplo: suma (2x2 + 6y + 3xy) , (3x2 - 5xy - x) y (6xy + 5)
Ponlos alineados en columnas y suma:
2x2 + 6y + 3xy
3x2 - 5xy - x
6xy + 5
5x2 + 6y + 4xy - x + 5
Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas complicadas.
Restar polinomios
Para restar polinomios, primero invierte el signo de cada término que vas a restar (en
otras palabras cambia "+" por "-", y "-" por "+"), después suma normalmente.
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3 1. Ordenamos los polinomios , si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x) 2. Agrupamos los monomios del mismo grado . P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 3. Sumamos los monomios semejantes . P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3
Resta de polinomios La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3
Multiplicación de polinomios
8
Mult ipl icación de un número por un polinomio Es otro polinomio que t iene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número .
3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio .
3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2 Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
División de polinomios
Resolver la división de polinomios: P(x) = x
5 + 2x
3 − x − 8 Q(x) = x
2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
9
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3 Mult ipl icamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multipl icamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
10
Volvemos a hacer las mismas operaciones .
8x2 : x
2 = 8
DETERMINACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES. • Los productos notables
Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre 2 o más polinomios que
poseen características especiales o expresiones particulares, y cumplen ciertas reglas
fijas. Su resultado puede ser escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la
multiplicación o no verificar con la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.
Términos: *Monomio: 1 término; ej: 2x, 4xyw. *Binomio: 2 términos; ej: x+y , 7xy-1. *Trinomio: 3 términos; ej: x+y+z , 2x+5y+3z. *Polinomio: 4 términos o más; ej: 3+y+z+w, xy+xz+xw-9y.
Algunas expresiones de productos notables son:
• Cuadrado del binomio: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado
de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el
cuadrado de la segunda cantidad.
Ejemplo:
11
También el cuadrado del binomio se presenta en cuadrado de su diferencia lo que
cambiara será solo el signo de suma por el de resta.
Ejemplo:
• Cubo del binomio: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer
número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el cuadrado del
segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más
el cubo del segundo.
Ejemplo: También el cubo del binomio se presenta en cubo de su diferencia lo que cambiara será solo el signo de suma por resta.
Ejemplo:
Suma por su diferencia: Es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos monomios.
Ejemplo:
Monomio por monomio: El resultado va a ser otro monomio, se multiplican los
coeficientes numéricos y se suman sus partes literales siempre y cuando tengan la
misma base.
12
Ejemplo:
Si hay distintas bases se resuelve de la siguiente manera
MONOMIO POR POLINOMIO: Se multiplica el término que esta solo o sea el
monomio, por cada uno de los otros dos términos, tres términos o cuatro términos, ya
sea por binomio, por trinomio o por polinomio.
Ejemplo:
Binomio por binomio: Cada uno de los dos términos en el primer binomio se multiplica
por cada uno de los dos términos del segundo binomio.
Ejemplo:
Suma de cubos: En una suma de cubos perfectos donde primero se extrae la raíz
cúbica de cada término del binomio, Se forma un producto de dos factores donde los
factores binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomio y luego
se resuelve el cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces más el
cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo:
Resta de cubos: En una diferencia de cubos perfectos donde primero se extrae la raíz
13
cúbica de cada término del binomio, Se forma un producto de dos factores donde los
factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio y
luego se resuelve el cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el
cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo:
DESARROLLO DE POTENCIAS.
Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y
el exponente.
exponente Se puede leer:
tres elevado a cuatro
tres elevado a la cuarta
base
El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la
base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a
seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque
el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64).
Ejemplos:
2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe
multiplicar por sí misma cinco veces.
3 2 = 3 · 3 = 9 El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por
sí misma dos veces.
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe
multiplicar por sí misma cuatro veces.
14
ACTIVIDADES
Ejercicios:
1) Escribe el valor de cada potencia:
3 3 = 10 3 =
7 2 = 5 2 =
8 4 = 6 4 =
10 5 = 3 2 =
2 6 = 10 1=
Toda potencia elevada a cero es igual a 1 a 0 = 1
2) Completa la siguiente tabla:
Potencia Base Exponente Desarrollo Valor
104 10 4
10 10 10 1
0 10.000
26
92
53
25
3) Completa siguiendo las instrucciones de la tabla:
Nombre Potencia
Seis elevado a la cuarta
Tres elevado al cubo
Ocho elevado a la quinta
Nueve elevado al cuadrado
Diez elevado a doce
Cinco elevado a la séptima
Dos elevado a la sexta
15
Potencia Nombre
27
34
52
85
103
76
98
Calcular:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Respuestas:
1) 33 2) – 27 3) 25/36 4) 32 5) 64 6) 1000
7) 11 8) 15625 9) 64/729 10) 4
MÁS EJERCICIOS
(3 · 5)2 = R. 225
(3 · 5 · 6) 3
= R. 72.900
16
(1/4 · 4 · ½ · 6)4 = R. 81
(1/2) 2 = R. ¼
(5/7) 2 = R. 25/49
(2/5) 4 = R. 16/625
(1/3)6 = R. 1/729
(2 1/3)3 = R. 12 19/27
(1 + 2)2 = R. 9
(12 + 15) 2 = R. 729
(1/2 + 1/3) 2
= R. 25/36
(5 + 1/5) 2 = R. 27 1/25
(1/3 - ¼)2 = R. 1/144
(1/4 - 1/8) 2 = R. 1/64
(3/5 - 1/10) 2 = R. ¼
Ejercicios de aplicación de exponentes.
=
=
= a7-1
= a6
=
=
= 55-1
= 54 =625
=
=
= a7-4
= a3
=
= a9-6
= a3
=
= 51=5
=
= 96-3
= 93=729
=
= 130 = 1
17
FACTORIZACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS. Fracción compleja
En el video se establece la definición de una fracción compleja o compuesta como una
fracción en que en el numerador o denominador contienen fracciones. Se discute dos
procedimientos de cómo llevar una fracción compleja a una fracción simple, es decir a
una fracción en que el numerador y denominador no contenga fracciones algebraicas...
El primero consiste en hacer las operaciones del numerador y denominador para luego
efectuar la división de fracciones. El segundo procedimiento consiste en
multiplicar numerador y denominador por el mínimo común múltiplo de
los denominadores.
Fracción compleja a simple. un ejemplo que surgirá en cálculo
En el video se muestran un ejemplo de cómo llevar una fracción compleja a una simple.
El tipo de expresión es similar a las que se presentan en cálculo y en que se requiere la
simplificación de la fracción dada.
Simplificación de expresiones con exponentes negativos
Se puede simplificar una fracción en que en el numerador y denominador aparecen
exponentes negativos de varias maneras: Un procedimiento es aplicar la definición de
exponente negativo convirtiéndola en una fracción compleja, para luego simplificar ésta.
Otro método consiste en considerar todas las potencias con exponente negativo,
cambiándoles el signo, entonces multiplicar numerador y denominador por el producto de
estas potencias a su mayor exponente
Operaciones combinadas de expresiones racionales
Fracciones en que en el numerador se tiene una diferencia, con factores comunes entre
los términos, surgen frecuentemente en Cálculo. Para simplificar, un procedimiento es
factorizar el numerador por factor común y entonces ver si hay factores comunes con el
denominador para proceder a simplificar
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE POLINOMIOS.
FRACCIÓN COMPLEJA NUMÉRICA
(fracción compuesta)
Fracción numérica compleja.
18
Si en una fracción en su numerador y denominador aparecen fracciones la llamamos una
fracción compleja o compuesta. Remarcar la raya principal ayuda entender la expresión,
viendo quién es el numerador y quién el denominador. En el video se dan dos
procedimientos para determinar el valor de una fracción numérica compleja en que en el
numerador y denominador se tienen sumas con fracciones. El primero hace las
operaciones del numerador y denominador. Luego, efectúa la división de fracciones. El
segundo método evita la división de fracciones, multiplicando el numerador y
denominador por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
FRACCIÓN COMPLEJA NUMÉRICA (fracción compuesta)
Fracción numérica compleja.
Si en una fracción en su numerador y denominador aparecen fracciones la llamamos una
fracción compleja o compuesta. Remarcar la raya principal ayuda entender la expresión,
viendo quién es el numerador y quién el denominador. En el video se dan dos
procedimientos para determinar el valor de una fracción numérica compleja en que en el
numerador y denominador se tienen sumas con fracciones. El primero hace las
operaciones del numerador y denominador. Luego, efectúa la división de fracciones. El
segundo método evita la división de fracciones, multiplicando el numerador y
denominador por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
CÁLCULO DE OPERACIONES ENTRE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.
Son fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas.
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.
19
Por ejemplo:
Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:
Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son
frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.
Operaciones con fracciones algebraicas
Simplificar fracciones algebraicas
La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se
simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador
por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al
máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador.
Por ejemplo, simplificar:
Otro ejemplo, simplificar la fracción
Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar
Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a
otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un
cierto nivel).
Suma y resta de fracciones algebraicas
Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones
20
algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON IGUAL
DENOMINADOR
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que
ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las
fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan
entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando
delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda
Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS CON DISTINTO
DENOMINADOR
VEAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO:
Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando
el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se
transforman en fracciones equivalentes con denominador común.
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que
llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.). (No confundir con M.C.D, Máximo
Común Divisor)
21
Para calcular el m.c.m. factorizamos
5ab a2 15b
2 a
5b a 15b2 a
5b 1 15b2 b
5 1 15b b
5 1 15 5
1 1 3 3
1 1 1
Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo
que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones
involucradas.
Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común:
Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los
denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno
de los numeradores, y lo hacemos así:
Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay
otra, como la siguiente:
Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como
22
denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:
Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.
Un ejemplo más:
Sumar
El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3)
Hacemos
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:
PRODUCTO (MULTIPLICACIÓN) DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con
fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de
multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra ,
entonces:
Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas
23
Multiplicar
Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
Simplificamos antes de efectuar el producto:
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso
dominar la factorización de productos notables.
Cociente o división de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones,
haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de
multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
24
Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:
Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas
Dividir
Anotamos haciendo el producto cruzado:
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
Ejemplos desarrollados
a)
b)
c)
Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las
fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es
la que se halla frente al signo igual (=).
25
d)
FRACCIONES ALGEBRAICAS COMPUESTAS
En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial:
las fracciones compuestas.
Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el
numerador y/o denominador.
La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las
fracciones simples que la componen.
Ejemplos:1)
2)
26
3)
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS.
Las fracciones complejas son fracciones en las que el numerador, el denominador o
ambos términos contienen fracciones a su vez. Por este motivo, hay quien las llama
"fracciones compuestas". Simplificar fracciones complejas es un proceso que puede ser
sencillo o difícil, en base al número de términos que haya en el numerador y en el
denominador, a que haya términos variables o no y, si los hay, a la complejidad de los
términos variables. Lee el paso 1 para empezar.
1. 1. Si es necesario, simplifica el numerador y el denominador para que haya una
sola fracción en cada término.
2. Las fracciones complejas no tienen por qué resultar difíciles de resolver. De hecho, las
fracciones complejas en las que tanto el numerador como el denominador contienen una
sola fracción suelen ser bastante fáciles de resolver. Por lo tanto, si el numerador o el
denominador de la fracción compleja (o ambos términos) contienen varias fracciones o
una combinación de fracciones y números enteros, simplifica el término para que quede
una sola fracción tanto en el numerador como en el denominador. Puede que tengas
que hallar el mínimo común denominador (MCD) de dos o más fracciones.
Por ejemplo, supongamos que queremos simplificar la fracción compleja (3/5 + 2/15)/(5/7
- 3/10). Primero, simplificaríamos tanto el numerador como el denominador de la fracción
compleja para que quede una sola fracción en cada término.
Para simplificar el numerador, utilizaremos u MCD de 15 multiplicando 3/5 por 3/3. El
numerador se convertirá en 9/15 + 2/15 y, después de operar, en 11/15.
Para simplificar el denominador, utilizaremos un MCD de 70 multiplicando 5/7 por 10/10
y 3/10 por 7/7. El denominador se transformará en 50/70 - 21/70 y, después de operar,
en 29/70.
Por lo tanto, la nueva fracción compleja será (11/15) / (29/70).
3.
27
2. Invierte el denominador para hallar su inverso. Por definición, dividir un número entre
otro es lo mismo que multiplicar el primer número por el inverso del segundo. Ahora que
ya hemos obtenido una fracción compleja con una sola fracción tanto en el numerador
como en el denominador, podemos utilizar esta propiedad de la división para simplificar
la fracción compleja. Primero, halla el inverso de la fracción del denominador de la
fracción compleja. Hazlo invirtiendo la fracción; es decir, colocando el numerador en
lugar del denominador y viceversa.
• En el ejemplo con el que estamos trabajando, la fracción del denominador de la
fracción compleja (11/15) / (29/70) es 29/70. Para hallar su inverso, simplemente le
"damos la vuelta", obteniendo 70/29.
• Ten en cuenta que, si la fracción compleja tiene un número entero en el
denominador, puedes expresarlo como una fracción y hallar su inverso de la misma
forma. Por ejemplo, si la fracción compleja fuese (11/15) / (29), podemos definir el
denominador como 29/1, cuyo inverso sería 1/29.
IDENTIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BÁSICAS ARITMÉTICAS.
Suma
La suma es una operación que se deriva de la operación de contar. Los términos de la
suma se llaman sumandos. Las propiedades de la suma son:
Conmutativa: a + b = b + a.
Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c.
Elemento neutro: a + 0 = a.
Elemento simétrico: a + (-a) = 0.
Resta
Al igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.
Los términos de la resta se llaman minuendo (cantidad inicial) y sustraendo (cantidad a
descontar). Las propiedades de la resta son:
No es conmutativa: a - b ≠ b – a.
No es asociativa: a - (b - c) ≠ (a - b) - c.
Elemento neutro: a – 0 = a.
Elemento simétrico: a – (a) = 0.
Producto
Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces.
Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve
28
representarlo así 5 · 7 (esto significaría sumar 5 condigo mismo 7 veces). La
multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas. Los términos
de la multiplicación se llaman multiplicando (el número que se suma) y multiplicador (el
número de veces que se suma). Las propiedades de la multiplicación son:
Conmutativa: a · b = b · a
Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c
Elemento neutro: a · 1 = a
Elemento simétrico: a · 1/a ≡ a / a = 1
Distributiva respecto de la suma: a · (b + c) = a · c + a · d
DIVISIÓN
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas
entre un número de personas. Los términos de la división se llaman dividendo (el número
de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el número que le corresponde a
cada persona) y resto (lo que sobra). Si el resto es cero la división se llama exacta y en
caso contrario inexacta.
Propiedades de la división:
No conmutativa: a / b ≠ b / a No asociativa: a / (b / c) =(a / b) / c Elemento neutro: a / 1 = a Elemento simétrico: a / a = 1
Operaciones Aritméticas Básicas
POTENCIA
En bastantes ocasiones tenemos que multiplicar un número por si mismo un número
dado de veces. Por ejemplo: 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5. Una forma de representar esta
operación es 57 (esto quiere decir que hay que multiplicar 5 por sí mismo 7 veces). El
número inferior se llama base y el superior exponente. Las
propiedades de la potenciación:
am·an = am+n
am/an = am-n
a0 = 1 (se deriva de la propiedad anterior am/am = 1 = am-m = a0)
(am)n = am·n
(a·b·c)m = am · bm · cm
a-n = 1/an (se deriva de la segunda propiedad).
29
RAÍZ
El cálculo de la raíz es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos
dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por sí mismo un número
b de veces nos da el número a. Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si
mismo 2 veces da 196. Ese número es 14. El número que está dentro de la raíz se llama
radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz. La
radicación es un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un
número (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y
en general, la raíz enésima de un número a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las
raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación
de potenciación.
LOGARITMO
El logaritmo en base a de un número n, es otro número b, tal que cumple esta ecuación:
ab = n. Dicho matemáticamente loga n = b ≡ ab = n.
Propiedad: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los
factores. Supongamos:
loga n1 = b1 ≡ ab1 = n1
loga n2 = b2 ≡ab2 = n2
Se deduce que loga n1 · n2 = loga ab1 · ab2 = b ≡ ab = ab1 · ab2 = ab1+b2.
De igual manera se demostraría que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los
logaritmos del numerador y denominador, y con un poco más de trabajo que el logaritmo
de una exponenciación es igual al exponente por el logaritmo de la base.
¿Cómo se cambia de base un logaritmo? Según la definición de logaritmo, loga b = c,
quiere decir que b = ac. Tomando logaritmos en base n, a esta última expresión, logn b =
c logn a, pero como c = loga b.
Entonces loga b= logn b / logn a.
30
EXPRESIÓN DE LAS RELACIONES ARITMÉTICAS UTILIZANDO LOS
SIGNOS, SÍMBOLOS, GRÁFICOS, ALGORITMOS Y TÉRMINOS
MATEMÁTICOS.
Historia del algebra lineal
Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones
aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son
adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin
embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de
Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la
hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La
aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 +
42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las
condiciones del teorema: a2 + b2 =c2. Un número multiplicado por sí mismo se
denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de
3 × 3 es 32; de la misma manera, a × a es igual que a2.
El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de
números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos
símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más
atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra
moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en
su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es
el idioma de las matemáticas.
Historia
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces
de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así
como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos
babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos
métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones
indeterminadas.
Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y
Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y
presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles.
Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el
mundo islámico, en donde se le llamó “ciencia de reducción y equilibrio”. (La palabra
árabe al-jabru que significa `reducción', es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX,
31
el matemático al-Jwðrizmð; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una
presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y
demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció
y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan
complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2,
y xz = y2.
En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando
abreviaturas sólo ocasionalmente; sin embargo, en la edad media, los matemáticos
árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron
el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Este
álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el
conocimiento del teorema del binomio. El matemático, poeta y astrónomo persa Omar
Khayyam mostró cómo expresar las raíces de ecuaciones cúbicas utilizando los
segmentos obtenidos por intersección de secciones cónicas, aunque no fue capaz de
encontrar una fórmula para las raíces. La traducción al latín del Álgebra de al-Jwðrizmð
fue publicada en el siglo XII. A principios del siglo XIII, el matemático italiano Leonardo
Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución de la ecuación
cúbica x3 + 2x2 + cx = d. Fibonacci había viajado a países árabes, por lo que con
seguridad utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas.
A principios del siglo XVI los matemáticos italianos Scipione del Ferro, Tartaglia y
Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las constantes
que aparecen en la ecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontró la
solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, como consecuencia, ciertos
matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las
ecuaciones de quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el
matemático noruego Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia
de dicha fórmula.
Un avance importante en el álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para
las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el
Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René
Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra. Sin embargo, la
contribución más importante de Descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la
geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución
de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de
un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de
los signospara contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de
una ecuación. Durante el siglo XVIII se continuó trabajando en la teoría de ecuaciones y
en 1799 el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicó la demostración de que toda
ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el plano complejo
(véase Número: Números complejos).
32
En los tiempos de Gauss, el álgebra había entrado en su etapa moderna. El foco de
atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la estructura de
sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el
comportamiento de objetos matemáticos, como los números complejos, que los
matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones polinómicas. Dos ejemplos de
dichos sistemas son los grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las
propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera
sustancial. Los grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones
(véase Combinatoria) de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser
uno de los más importantes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo XIX.
Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchy, el británico Arthur Cayley y los
noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su estudio. Las
cuaternas fueron descubiertas por el matemático y astrónomo irlandés William Rowan
Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números complejos para las cuaternas;
mientras que los números complejos son de la forma a + bi, las cuaternas son de la
forma a + bi + cj + dk.
Después del descubrimiento de Hamilton el matemático alemán Hermann Grassmann
empezó a investigar los vectores. A pesar de su carácter abstracto, el físico
estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad
para los físicos, del mismo modo que Hamilton había hecho con las cuaternas. La amplia
influencia de este enfoque abstracto llevó a George Boole a escribir Investigación sobre
las leyes del pensamiento (1854), un tratamiento algebraico de la lógica básica. Desde
entonces, el álgebra moderna —también llamada álgebra abstracta— ha seguido
evolucionando; se han obtenido resultados importantes y se le han encontrado
aplicaciones en todas las ramas de las matemáticas y en muchas otras ciencias.
ALGEBRA LINEAL
Rama de las matemáticas que estudia los sistemas de ecuaciones lineales,
transformaciones lineales, vectores y espacios vectoriales y temas afines. Véase Teoría
de matrices.
ÁLGEBRA LINEAL
El concepto geométrico de vector como segmento rectilíneo de módulo, dirección y
sentido dados, se puede generalizar como se muestra a continuación. Un n-vector
(vector n-dimensional, vector de orden n o vector de dimensión n) es un conjunto
ordenado de n elementos de un cuerpo. Al igual que en la teoría de matrices, los
elementos de un vector pueden ser números reales. Un n-vector v se representa como
v = (x1, x2,..., xn)
Las x1, x2,..., xn se denominan componentes del vector. Las líneas de una matriz son
33
vectores: las horizontales son vectores fila y las verticales vectores columna.
La suma de vectores (de igual longitud) y la multiplicación por un número real se definen
de igual manera que para las matrices, y cumplen las mismas propiedades. Si w es otro
vector,
w = (y1, y2,..., yn)
y k es un número real, entonces
v + w = (x1 + y1, x2 + y2,..., xn + yn)
y
kv = (kx1, kx2,..., kxn)
Si k1, k2,..., km son números reales, y v1, v2,..., vm son n-vectores, el n-vector
v = k1v1 + k2v2 + ... + kmvm
se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2,..., vm.
Los m n-vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal igual
al n-vector cero, 0 = (0,0,..., 0), es aquélla en que k1 = k2 =... = km = 0. Si existe otra
combinación lineal que cumple esto, los vectores son linealmente dependientes. Por
ejemplo, si v1 = (0, 1, 2, 3),v2 = (1, 2, 3, 4), v3 = (2, 2, 4, 4) y v4 = (3, 4, 7, 8),
entonces v1, v2 y v3 son linealmente independientes, pues k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 si y
sólo si k1 = k2 = k3 = 0; v2, v3 y v4 son linealmente dependientes pues v2 + v3 - v4 = 0.
Se dice que A es una matriz de rango r, si tiene un conjunto de r vectores fila o columna
linealmente independientes, y todo conjunto con más de r vectores fila o columna son
linealmente dependientes.
Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío de vectores (véase Teoría de conjuntos)
que cumple una serie de propiedades, que se muestran a continuación. Si u, v, w son
elementos de V, entonces se verifica que:
1a. u + v es un elemento de V
2a. (u + v) + w = u + (v + w)
3a. u + v = v + u
4a. Existe un vector 0 tal que 0 + u = u
5a. Todo vector v tiene un opuesto -v tal que v + (-v) = 0
Si y µ son números reales, se cumple también que:
34
1b. ·u es un elemento de V
2b. ( + µ)·u = ·u + µ·u
3b. ·(u + v) = ·u + ·v
4b. (·µ)·v = ·(µ·v)
5b. 1·v = v
Si S = {vi} es un conjunto de vectores, todos ellos de la misma dimensión, todas las
combinaciones lineales de los vectores v forman un espacio vectorial V. Se dice que este
espacio vectorial es generado por los vi. Si el conjunto B = {wj} genera el mismo espacio
vectorial V, y está formado por vectores linealmente independientes, se dice que B es
una base de V. Si una base de V contiene m vectores, entonces toda base de V contiene
exactamente m vectores, y se dice que V es un espacio vectorial de dimensión m. Los
espacios euclídeos de dos y tres dimensiones se pueden representar por parejas y tríos
ordenados de números reales. Las matrices se pueden utilizar para describir
transformaciones de un espacio vectorial a otro.
SÍMBOLOS Y TÉRMINOS ESPECÍFICOS
Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan
las diversas operaciones aritméticas. Los números son, por supuesto, constantes, pero
las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del
alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.
Operaciones y agrupación de símbolos
La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas
se basan en los símbolos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del
lenguaje algebraico. Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ),
corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen
usarse para representar la división y las raíces, como en el siguiente ejemplo:
Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+),
sustracción (-), multiplicación (×) y división (:). En el caso de la multiplicación, el signo `×'
normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a · b. Un grupo de símbolos
contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c. La división se indica
normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla, también se usa
para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en
las fracciones. Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente. Por
ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo
que b/c, mientras que (ax + b)/(c - dy) representa la fracción:
35
Prioridad de las operaciones
Primero se hacen las multiplicaciones, después las divisiones, seguidas de las sumas y
las restas. Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las
operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo,
comenzando por el más interno. Por ejemplo:
Otras definiciones
Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación. Una
ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las
variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para
otros, la ecuación es condicional. Un término es una expresión algebraica que sólo
contiene productos de constantes y variables; 2x, -a, ðs4x, x2(2zy)3 son algunos
ejemplos de términos. La parte numérica de un término se denomina coeficiente. Los
coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, -1, ð y 8 (el último término se
puede escribir como 8x2(zy)3).
Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio, dos
términos, binomio y tres términos, trinomio. Un polinomio es una suma (o diferencia)
finita de términos. Por ejemplo, un polinomio de n-ésimo grado en su forma general se
expresa como:
En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por
ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio
es de tercer grado. Del mismo modo, la expresión xn + xn-1 + xn-2 es de n-ésimo grado.
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado, es
decir, una ecuación de la forma ax + b = 0. Se les llama ecuaciones lineales porque
representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica.
36
Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado,
es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.
Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente
por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.
Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del
número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede
expresar como a·a·a o a3.
Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede
descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de
números primos y sus potencias. Por ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del
mismo modo, como 60 = 22 × 3 × 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Al hacer operaciones con polinomios, se asume que se cumplen las mismas propiedades
que para la aritmética numérica. En aritmética, los números usados son el conjunto de
los números racionales. La aritmética, por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra
y la geometría pueden incluir números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 y
números complejos. El conjunto de todos los números racionales e irracionales
constituye el conjunto de los números reales.
Propiedades de la adición
A1. La suma de dos números reales a y b cualesquiera es otro número real que se
escribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición,
sustracción, multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas
operaciones con números reales el resultado es otro número real.
A2. Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el
resultado de la suma es siempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c). Es la
llamada propiedad asociativa de la adición.
A3. Dado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido
como elemento neutro de la adición, tal que a + 0 = 0 + a = a.
A4. Dado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento
37
simétrico de a (o elemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.
A5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la adición, la suma es siempre la
misma: a + b = b + a. Es la llamada propiedad conmutativa de la adición.
Cualquier conjunto de números que cumpla las cuatro primeras propiedades se dice que
forma un grupo. Si además el conjunto cumple A5, se dice que es un
grupo abeliano o conmutativo.
Propiedades de la multiplicación
Para la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo,
hay que prestar especial atención a los elementos neutra y recíproca, M3 y M4.
M1. El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se
escribe a·b o ab.
M2. Cualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto
es siempre el mismo: (ab)c = a(bc). Es la llamada propiedad asociativa de la
multiplicación.
M3. Dado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento
neutro de la multiplicación, tal que a(1) = 1(a) = a.
M4. Dado un número real a distinto de cero, existe otro número (a-1 o 1/a),
llamado elemento inverso (o elemento recíproco de la multiplicación), para el que a(a-
1) = (a-1)a = 1.
M5. Cualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es
siempre el mismo: ab = ba. Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación.
Un conjunto de elementos que cumpla estas cinco propiedades se dice que es un
grupo abeliano, o conmutativo, para la multiplicación. El conjunto de los números reales,
excluyendo el cero —pues la división por cero no está definida— es un grupo
conmutativo para la multiplicación.
Propiedad distributiva
Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y la
multiplicación de la forma siguiente:
D1. a(b + c) = ab + ac
D2. (b + c)a = ba + ca
Un conjunto de elementos con una relación de igualdad, en el que se definen dos
operaciones (como la adición y la multiplicación) que cumplan las propiedades de la
adición, A1 a A5, las propiedades de la multiplicación, M1 a M5, y la propiedad
distributiva, D1 y D2, constituye un cuerpo conmutativo.
38
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
El siguiente ejemplo es el producto de un monomio por un binomio:
Este mismo principio —multiplicar cada término del primer polinomio por cada uno del
segundo— se puede ampliar directamente a polinomios con cualquier número de
términos. Por ejemplo, el producto de un binomio y un trinomio se hace de la siguiente
manera:
Una vez hechas estas operaciones, todos los términos de un mismo grado se han de
agrupar, siempre que sea posible, para simplificar la expresión:
Factorización de polinomios
Dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla
en un producto de varios términos más sencillos. Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede
factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y). El encontrar los factores de un determinado
polinomio puede ser materia de simple inspección o se puede necesitar el uso de tanteos
sucesivos. Ciertos polinomios, sin embargo, no se pueden factorizar utilizando
coeficientes reales y son llamados polinomios primos.
Algunas factorizaciones conocidas aparecen en los ejemplos siguientes.
Para factorizar suele ser útil agrupar primero; aquellos términos que sean similares se
agrupan como en el siguiente ejemplo, cuando sea posible:
39
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Dado un polinomio, suele ser importante determinar el mayor factor común a todos los
términos del polinomio. Por ejemplo, en la expresión 9x3 + 18x2, el número 9 es un
factor de ambos términos, lo mismo que x2. Tras su factorización se obtiene 9x2(x + 2), y
9x2 es el máximo común divisor de todos los términos del polinomio original (en este
caso un binomio). De la misma manera, en el trinomio 6a2x3 + 9abx + 15cx2, el número
3 es el mayor submúltiplo común a 6, 9 y 15, y x es el mayor factor de la variable común
a los tres términos. Por tanto, el máximo común divisor del trinomio es 3x.
Mínimo común múltiplo
Encontrar el mínimo común múltiplo es útil para poder hacer ciertas operaciones con
fracciones algebraicas. El procedimiento es similar al usado para realizar estas
operaciones con fracciones ordinarias en aritmética. Para poder combinar dos o más
fracciones, los denominadores deben ser iguales; la forma más directa de obtener un
denominador común es multiplicar todos los denominadores entre sí. Por ejemplo:
Pero puede ocurrir que bd no sea el mínimo común denominador. Por ejemplo:
Sin embargo, 18 es sólo uno de los posibles denominadores comunes; el mínimo común
denominador es 6:
En álgebra, el problema de encontrar el mínimo común múltiplo es similar. Dadas varias
expresiones, su mínimo común múltiplo es aquella expresión con el menor grado y los
menores coeficientes que se puede dividir exactamente por cada una de ellas. Así, para
encontrar un múltiplo común a los términos 2x2y, 30x2y2, 9ay3, basta con multiplicar las
tres expresiones entre sí y es fácil demostrar que (2x2y)(30x2y2)(9ay3) se puede dividir
40
exactamente por cada uno de los tres términos; sin embargo, éste no es el menor de los
múltiplos comunes. Para determinar cuál es el mínimo, cada uno de los términos se ha
de descomponer en sus factores primos. Para los coeficientes numéricos, 2, 30 y 9, los
factores primos son 2, 2·3·5 y 3·3 respectivamente; el mínimo común múltiplo de los
coeficientes debe ser por tanto 2·3·3·5, o 90, que es el producto de la mínima cantidad
de factores necesaria para obtener un múltiplo común. De la misma manera, como la
constante a sólo aparece una vez, debe ser un factor. En cuanto a las variables, se
necesitan x2 e y3; por tanto, el mínimo común múltiplo de los tres términos es 90ax2y3.
Esta expresión se puede dividir exactamente por cada uno de los términos.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Dada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el
concepto general de identidad a = a. Siempre que se apliquen las mismas operaciones
aritméticas o algebraicas en ambos lados de la ecuación la igualdad se mantiene
inalterada. La estrategia básica es despejar la incógnita en un lado de la igualdad y la
solución será el otro lado. Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación lineal con una
incógnita
Los términos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el
otro. El término 3x se puede eliminar del lado derecho mediante sustracción; 3x se ha de
restar del lado izquierdo al mismo tiempo:
Después se resta el número 6 de ambos lados:
Para despejar la x en el lado izquierdo se dividen ambos lados de la ecuación por 2:
41
y la solución es por tanto: x = 3. Para comprobar este resultado basta con sustituir el
valor x = 3 en la ecuación original:
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS
Dada una ecuación de segundo grado o cuadrática en su forma general:
Hay diversas posibilidades para resolverla dependiendo de la naturaleza específica de la
ecuación en cuestión. Si la ecuación se puede factorizar, la solución es inmediata. Por
ejemplo:
Primero se escribe la ecuación en su forma general
que se puede factorizar como:
La igualdad sólo se cumple cuando uno de los factores es cero, es decir, cuando x = 5
o x = -2. Éstas son las soluciones de la ecuación, que de nuevo se pueden verificar
mediante sustitución.
Si a primera vista no se encuentra un modo directo de factorizar la ecuación, puede
existir otra alternativa. Por ejemplo, en la ecuación
La expresión 4x2 + 12x se podría factorizar como un cuadrado perfecto si fuera
4x2 + 12x + 9, que equivale a (2x + 3)2. Esto se puede conseguir fácilmente sumando 9
al lado izquierdo de la ecuación. La misma cantidad debe sumarse, por supuesto, al lado
derecho:
42
que se reduce a o y
Pues ð tiene dos valores. La primera ecuación da la solución x = ð (restando 3 de ambos
lados: 2x = 1, y dividiendo ambos lados por 2: x = ð). La segunda ecuación da x = -7/2.
Ambas soluciones se pueden verificar como antes, sustituyendo los valores en cuestión
en la ecuación original. Esta forma de resolución se suele denominar método del
cuadrado perfecto.
En general, cualquier ecuación cuadrática de la forma
Se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática. Para cualquier ecuación de este tipo
las dos soluciones de x están dadas por la fórmula:
Por ejemplo, para encontrar las raíces de
primero se pone la ecuación en su forma general:
Por tanto, a = 1, b = -4 y c = 3. Estos valores se sustituyen en la fórmula cuadrática:
SISTEMAS DE ECUACIONES
En álgebra, lo normal es que haya que resolver no una sino varias ecuaciones al mismo
tiempo. El problema es encontrar el conjunto de todas las soluciones que cumplen todas
las ecuaciones simultáneamente. El conjunto de ecuaciones que deben resolverse se
43
denomina sistema de ecuaciones y para resolverlo se pueden usar técnicas específicas
del álgebra. Por ejemplo, dadas las dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
hay un sistema sencillo: la variable y se despeja en la ecuación (2) dando y = 5 - 2x; este
valor de y se sustituye en la ecuación (1):
Así el problema se reduce a una ecuación lineal con una sola incógnita x, obteniéndose
o de donde
Si este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales (1) o (2), se obtiene
que
Otro método más rápido para resolver un sistema de ecuaciones es, en este caso,
multiplicar ambos lados de la ecuación (2) por 4, con lo que queda:
Si ahora se resta la ecuación (1) de la (2), entonces 5x = 10, o x = 2. Este procedimiento
genera otro avance en las matemáticas, las matrices. La teoría de matrices nos ayuda a
obtener soluciones para cualquier conjunto de ecuaciones lineales con cualquier número
de incógnitas.
TEORÍA DE MATRICES Y ÁLGEBRA LINEAL
Teoría de matrices y Álgebra lineal, ramas de las matemáticas, relacionadas entre sí,
que son herramientas fundamentales en las matemáticas puras y aplicadas, y cada vez
más importantes en las ciencias físicas, biológicas y sociales.
Teoría de matrices y Álgebra lineal, ramas de las matemáticas, relacionadas entre sí,
que son herramientas fundamentales en las matemáticas puras y aplicadas, y cada vez
más importantes en las ciencias físicas, biológicas y sociales.
Teoría de matrices
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Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de las principales aplicaciones de
las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de primer grado con varias
incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación, siendo los valores de una fila
los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en determinado orden.
Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o corchetes:
En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera. Para delimitar la matriz,
en vez de paréntesis, se pueden utilizar también corchetes.
Las líneas horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas
verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha. Utilizando esta notación, el
elemento de la segunda fila y tercera columna de M1 es -1. Tanto a las filas como a las
columnas se las denomina líneas.
El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en este
orden, así M1, M2, M3 y M4 son de tamaño 3 × 3 (3 por 3), 3 × 3, 3 × 2 y 2 × 3
respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m × n se representan
normalmente utilizando un doble subíndice; el primer subíndice, i, indica el número de fila
y el segundo, j, el número de columna. Así pues, el elemento a23 está en la segunda fila,
tercera columna. La matriz general
se puede representar de forma abreviada como A = (aij), en donde los posibles valores
de los índices i = 1, 2,..., m y j = 1, 2,..., n se han de dar explícitamente si no se
45
sobrentienden. Si m = n, la matriz es cuadrada y el número de filas (o columnas) es el
orden de la matriz. Dos matrices A = (aij) y B = (bij), son iguales si y sólo si son de igual
tamaño y si para todo i y j, aij = bij. Si A = (aij) es una matriz cuadrada, los
elementos a11, a22, a33,... forman la diagonal principal de la matriz. La matriz
traspuesta AT de una matriz A es otra matriz en la cual la fila ies la columna i de A, y la
columna j es la fila j de A. Por ejemplo, tomando la matriz M3 anterior,
es la matriz traspuesta de M3.
La adición y la multiplicación de matrices están definidas de manera que ciertos
conjuntos de matrices forman sistemas algebraicos. Consideremos los elementos de los
matrices números reales cualesquiera. La matriz cero es aquélla en la que todos los
elementos son 0; la matriz unidad Im de orden m, es una matriz cuadrada de orden m en
la cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. El
orden de la matriz unidad se puede omitir si se sobrentiende con el resto de la expresión,
con lo que Im se escribe simplemente.
La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño. Si A = (aij)
y B = (bij) tienen igual tamaño, entonces la suma C =A + B se define como la matriz (cij),
en la que cij = aij + bij, es decir, para sumar dos matrices de igual tamaño basta con
sumar los elementos correspondientes. Así, para las matrices mencionadas
anteriormente.
En el conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño la adición tiene las propiedades uniforme,
asociativa y conmutativa. Además hay una matriz única O tal que para cualquier matriz A, se
cumple A + O = O + A = A y una matriz única B tal que A + B = B + A = O.
El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de columnas del factor
izquierdo, A, es igual al número de filas del factor derecho, B; si A = (aij) es de tamaño m × n y B = (bjk) es
de tamaño n × p, el producto AB = C = (cik) es de tamaño m × p, y cik está dado por
es decir, el elemento de la fila i y la columna k del producto es la suma de los productos de cada uno de
46
los elementos de la fila i del factor izquierdo multiplicado por el correspondiente elemento de la
columna k del factor derecho.
ÁLGEBRA LINEAL
El concepto geométrico de vector como segmento rectilíneo de longitud, dirección y
sentido dados, puede generalizarse como se muestra a continuación. Un n-vector
(vector n-dimensional, vector de orden n o vector de longitud n) es un conjunto ordenado
de n elementos de un cuerpo. Al igual que en la teoría de matrices, los elementos de un
vector pueden ser números reales. Un n-vector v se representa como
v = (x1, x2, …, xn)
Las líneas de una matriz son vectores: las horizontales son vectores fila y las verticales
vectores columna. Las x se denominan componentes del vector.
La suma de vectores (de igual longitud) y la multiplicación por un escalar se definen de
igual manera que para las matrices, y cumplen las mismas propiedades. Si
w = (y1, y2, …, yn)
y k es un escalar (número real), entonces
v + w = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn) y kv = (kx1, kx2, …, kxn)
Si k1, k2, …, km son escalares, y v1, v2, …, vm son n-vectores, el n-vector
v = k1v1 + k2v2 + … + kmvm se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2,
…, vm. Los m n-vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal
igual al n-vector cero, 0 = (0,0,…, 0), es aquélla en que k1 = k2 =… = km = 0. Si existe
otra combinación lineal que cumple esto, los vectores son linealmente dependientes. Por
ejemplo, si v1 = (0, 1, 2, 3), v2 = (1, 2, 3, 4), v3 = (2, 2, 4, 4) y v4 = (3, 4, 7, 8),
entonces v1, v2 y v3 son linealmente independientes, pues k1v1+ k2v2 + k3v3 = 0 si y
sólo si k1 = k2 = k3 = 0; v2, v3 y v4son linealmente dependientes pues v2 + v3 -v4 = 0.
Si A es una matriz de rango r, entonces al menos un conjunto de r vectores fila o
columna es un conjunto linealmente independiente, y todo conjunto con más
de r vectores fila o columna es un conjunto linealmente dependiente.
Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío de vectores (véase Teoría de conjuntos)
que cumple las siguientes propiedades: (1) si vð V y wð V, entonces (v + w) ð V, y (2)
si v ð V y k es un escalar cualquiera, entonces kv ð V. Si S = {vi} es un conjunto de
vectores, todos ellos de la misma longitud, todas las combinaciones lineales de los
47
vectores v forman un espacio vectorial V. Se dice que este espacio vectorial es generado
por los v. Si el conjunto B = {w1} genera el mismo espacio vectorial V, y está formado
por vectores linealmente independientes, se dice que B es una base de V. Si una base
de V contiene m vectores, entonces toda base de V contiene exactamente m vectores, y
se dice queV es un espacio vectorial de dimensión m. Los espacios euclídeos de dos y
tres dimensiones se pueden representar por parejas y tríos ordenados de números
reales. Las matrices se pueden utilizar para describir transformaciones lineales de un
espacio vectorial a otro.
LUGAR GEOMÉTRICO
Un lugar geométrico es el conjunto de todos puntos del plano que verifican una
propiedad determinada.
Son lugares geométricos: la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola, todas
ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas. De todos ellos, esta unidad va a
tratar de estudiar el caso de la Elipse centrada en el origen de coordenadas.
Todas las elipses, las podemos definir como el lugar geométrico de los puntos tales que
la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos (F y F'), es constante.
Y vamos a ver dos tipos: elipse de eje horizontal y elipse de eje vertical.
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48
ÁLGEBRA Y ARITMÉTICA
En la antigüedad, el Álgebra fue una parte inseparable de la Aritmética, más tarde se
separó de ella. Ésta es la razón por la que en gran parte de la literatura científica a la
hora de estudiar ambas ramas se hace de una manera conjunta.
La aritmética será la ciencia que se ocupa de los objetos concretos, esto es, de los
números. En cambio el Álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones
matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico,
independientemente de los números o objetos concretos.
El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar
objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras...
(Basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina cálculos
que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente,
limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números
representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna.
Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas
de numeración, diferentes para cada civilización.
Los egipcios desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía
en denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo
(palos, lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se
formaban añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos
números clave. Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares
características sería el sistema de numeración romano.
También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma
1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas
fracciones.
Aparecen también durante la expansión de esta civilización los primeros métodos de
operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y
fracciones.
Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la
incógnita x se denominaba "montón".
En la civilización mesopotámica
Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que
un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se
diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de
49
notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales
verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario
permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas
posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces
cuadradas.
Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la
operación de la división.
Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo
de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que
llegaron a la solución para ecuaciones de la forma y también mediante el cambio de
variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo,
por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que
incluso desarrollaron algoritmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto
aritméticas como geométricas.
Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se
conocen como ecuaciones Diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas
con conceptos geométricos.
En la Antigua Civilización China
El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las
habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige
la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de
números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación.
La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado
en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se
establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como
método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial,
transformándolos en ceros de manera escalonada.
Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de
bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los
negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.
Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta
mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de
esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el
desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou
Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso
aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma . El método del elemento celeste
es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que
50
vivió medio siglo más tarde.
Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon
Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron
elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo
precioso" de manera similar a lo que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o
Pascal.
Los primeros indicios matemáticos de la civilización india se calculan hacia los
siglos VIII-VII a.C. y parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de
numeración posicional y decimal.
Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C. cuando la contribución a la evolución de las
matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios:
Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).
La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de
las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números
negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos los
números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de
ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas
como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos,
métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver
(s.XII) la ecuación, denominada ecuación de Pelt.
Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de
numeración decimal y las reglas de cálculo.
El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue
amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de
Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales
de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza
perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.
En los matemáticos de la época helénica los problemas prácticos relacionados con las
necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas
continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas
poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que
obtuvo la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones
con números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de
dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que
conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos
de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de
51
hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo,
de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir,
el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades
generales de las operaciones con números naturales. En esta época ya resultaban
conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban
cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones
aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y
la armónica. Fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de
números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la
irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este
descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría
de la divisibilidad.
La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática
general tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al
ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se
originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta
nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de
proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea,
expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia
circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión
no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de
tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no
admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres
problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un
ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como
consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado
del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la
introducción de curvas trascendentes.
Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de una
teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo
de Euclides.
En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo
necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario
de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y
volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del triángulo
conocido los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto que
encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de
segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas.
52
Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de
los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia,
desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las ciencias
matemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánica
teórica y el método axiomático.
Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo científico,
ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario, mientras que
el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi completamente.
Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el desenfrenado proceso
de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas.
Se fundaron escuelas por todo el Imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de
la Sabiduría). Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio Mohammed
ibn-Musa Al-Khowarizmi que escribió más de media docena de obras matemáticas y
astronómicas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia. La
primera de ellas está basada en una traducción árabe de Brahmagupta y en la que se da
una reproducción exacta del sistema de numeración hindú, lo que ha originado la
creencia popular de que nuestro sistema de numeración procede del árabe. El "nuevo"
sistema de numeración vino a ser conocido como "el de Al-Khowarizmi" y a través de
deformaciones lingüísticas derivó en "algorismi" y después en algoritmo, término que,
actualmente, posee un significado mucho más amplio. Igualmente, a través del título de
su obra más importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro nombre
mucho más popular, la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos de
ecuaciones cuadráticas, así como un sin fin de elementos griegos.
Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de
cálculo y algoritmos especiales, entre ellos:
obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y
circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de 150
años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo que esperar a
fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de Kashi.
cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de Ruffini-Horner,
posiblemente como resultado de la estrecha colaboración con los matemñaticos chinos.
Además fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial y fue también
enunciada la tabla de coeficientes binomiales.
extracción aproximada de raíces, utilizando la interpolación lineal.
sumación de progresiones aritméticas y geométricas.
Asimismo, en virtud de la frecuente aplicación en los cálculos de las irracionalidades, el
límite entre los números racionales y los irracionales comenzó a difuminarse,
53
ampliándose la concepción de número real positivo. La idea de una concepción única del
número real obtuvo pues, en el oriente Medio cierto perfeccionamiento.
Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV además de la resolución de
ecuaciones de primer y segundo grado, incluían también las ecuaciones cúbicas. A estas
últimas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un
plano, la trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados...
Otra dirección en la resolución de ecuaciones cúbicas, se basaba en la obtención de la
imagen geométrica de la raíz positiva, por medio de la intersección de secciones
cónicas, convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del álgebra de esta
época era la ausencia de una simbología, lo que contuvo el desarrollo del álgebra.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en
muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época
del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.
El punto de arranque de las matemáticas en Europa fue la creación de los centros de
enseñanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se dedicaron a estudiar las obras
de ciencias naturales y matemáticas de los antiguos. Uno de los primeros centros de
enseñanza fue organizado en Reims (Francia) por Gerberto (Silvestre II) (940-1003).
Fue posiblemente el primero en Europa que enseñó el uso de los numerales indo-
arábigos. Sin embargo hubo que esperar a que los musulmanes rompieran la barrera
lingüística, hacia el siglo XII, para que surgiera una oleada de traducciones que pusieran
en marcha la maquinaria matemática. El trabajo de los traductores fue sensacional. Así
Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo del árabe más de 80 obras.
Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más conocido
como Fibonacci. Alrededor del año 1202 escribió su célebre obra "Liber Abaci" (el libro
del ábaco), en el que se encuentran expuestos: el cálculo de números según el sistema
de numeración posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos
comerciales como la regla de tres simple y compuesta, la división proporcional,
problemas sobre la determinación de calidad de las monedas; problemas de
progresiones y ecuaciones; raíces cuadradas y cúbicas... Fibonacci quedó inmortalizado
por la famosa "sucesión de Fibonacci" y el famoso problema de los conejos.
El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el concepto de potencia,
introduciendo los exponentes fraccionarios, las reglas de realización de las operaciones
con ellos y una simbología especial, anticipándose de hecho a la idea de logaritmo.
54
TEORÍAS DE NÚMERO REAL Y TEORÍA DE CONJUNTOS:
En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K.
Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría
rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta
fundamentación del análisis.
Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números
racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en
forma de línea recta.
Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números
racionales.
La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenece
también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números
racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría
de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de
punto límite, de conjunto derivado... La teoría general de las potencias de conjuntos, las
transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos
ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos.
Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con la investigación
de los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia
especial, la "lógica matemática", la cual forma una parte importante de los fundamentos
de las matemáticas modernas.
55
PARÁBOLA
Una sección cónica, es la curva de intersección de un plano con un cono circular recto.
Existen tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parábola, la elipse
incluyendo la circunferencia como un caso especial) y la hipérbola. (Ver fig. 6.1.)
56
REPRESENTACIÓN DE PATRONES GEOMÉTRICOS Y NUMÉRICOS EN
LA VIDA DIARIA.
57
58
59
60
IDENTIFICACIÓN DE PATRONES EN FENÓMENOS, FÍSICOS,
ECONÓMICOS, SOCIALES Y POLÍTICOS.
Partamos de un hecho obvio: el ser humano necesita vivir en comunidad para asegurar
su subsistencia. Sólo en cooperación con otros puede conseguir cosas tan simples y a
la vez tan imprescindibles como alimento, transporte, un lugar donde habitar, la
conservación de la salud, etcétera.
El ser humano necesita por fuerza organizarse con otros y repartirse las tareas para
producir los bienes que necesita y contar con los servicios indispensables en su vida
cotidiana. Es, por lo tanto, un ser social.
Por eso los seres humanos no existen aislados. Viven en comunidad, forman pueblos,
ciudades, países; constituyen familias y crean parentescos; tienen familiares, amigos,
vecinos, compadres, compañeros de escuela o de trabajo; se reúnen con otros en torno
a creencias, aficiones e intereses comunes, como la religión, tendencias políticas o el
gusto por algún deporte.
No hay un solo grupo social. Existen muchos de ellos, originados en muy diversas
condiciones de tiempo y espacio. Los grupos sociales dependen de distintos momentos
históricos o de determinadas circunstancias geográficas, económicas, políticas o
religiosas.
Las relaciones entre personas dan origen a diversas formas de organización social, que
pueden ser grupos como la familia, el pueblo, la ciudad, la nación o la comunidad
internacional, o instituciones como la escuela, el sindicato, el partido político, la iglesia,
la estructura de gobierno, etcétera.
Al conjunto de todas esas agrupaciones sociales -grupos e instituciones- se le llama
sociedad.
La sociedad es el conjunto de individuos que tienen relaciones de interdependencia y
que reunidos en grupos de diversas dimensiones y distintos significados, integran un
grupo mayor.
¿Qué es la sociedad? Para poder entender un concepto tan abstracto y tan complejo,
que todos los días utilizamos y del que difícilmente nos preguntamos sobre su amplio y
rico significado, se puede agregar que la sociedad es una estructura formada por grupos
interrelacionados entre sí, considerados como una unidad y que comparten una cultura
común.
La sociedad en la que vivimos, el lugar que ocupamos en ella y los papeles que
jugamos influyen tanto en la experiencia individual como en la conducta social. Somos
producto de la sociedad en la que vivimos y del lugar que ocupamos en ella.
Una sociedad funciona de manera adecuada y normal cuando los actos sociales se
61
desarrollan de manera eficiente y satisfactoria. Esto supera cualquier acción individual
aislada que intente cumplir con todas las tareas sociales.
¿Cuáles son las funciones de la sociedad?
Cabe agregar que la sociedad desempeña ciertas funciones a través de expresiones
particulares que responden a distintos grupos sociales. A continuación se anotan, con
un ejemplo en cada caso, cinco de las más Importantes:
• La reproducción biológica de sus miembros (por medio de la familia).
• La transmisión de normas sociales (educación).
• Actividades económicas para satisfacer necesidades (fábricas).
• Mantener una armonía social (instituciones gubernamentales).
• Dar respuesta social a las necesidades religiosas (iglesias).
Clasificación de la sociedad Son varias las formas en que se ha clasificado a la
sociedad. La diferencia más importante para distinguir entre una y otra sociedad es la
cultura de cada una. La sociedad se diferencia más por su cultura que por su estructura
o funciones.
Por ello es importante recordar que la sociedad y la cultura están íntimamente ligadas, y
sólo para efecto de análisis se puede hablar de ellas de manera separada. En este
apartado abordaremos algunas de las muy variadas formas en que ha sido clasificada la
sociedad a través del tiempo.
Sociedad con predominio de un grupo Se ha hecho una clasificación de la sociedad a
partir del predominio de un grupo o institución sobre los demás, y consiste en cuatro
categorías principales:
Sociedad dominada por la economía. Los empresarios gozan de un estatus alto, los
valores comerciales y materiales tienen gran influencia en el comportamiento de las
personas y se dedica más tiempo y dinero para el desarrollo de los grupos económicos.
Sociedad dominada por la familia. Hay estrechos vínculos de parentesco y se da un
lugar especial a los ancianos. El origen familiar determina el prestigio social.
Sociedad dominada por la religión. Gira sobre aspectos sobrenaturales, resaltando las
relaciones entre Dios o los dioses y el hombre. Prácticamente todos los grupos se
encuentran subordinados a lo religioso.
Sociedad dominada por la política. Existe una marcada presencia del Estado, el cual
interviene en casi todos los aspectos de la vida social. Generalmente es un poder
centralizado.
En la realidad estas sociedades no se encuentran de manera pura; es decir, no hay
sociedad exclusivamente económica, familiar, religiosa o política. Estos aspectos, junto
con otros importantes, como la educación, la recreación y el lenguaje, se encuentran
62
presentes en toda sociedad; lo que varía es su peso, su influencia.
Tres tipos de sociedad Veamos con mayor detalle otra clasificación más específica. En
la sociología tiene un lugar destacado el estudio de tres tipos de sociedad: la tradicional,
la industrial y la posindustrial. ¿Cuáles son los sectores en que se divide la economía?
En términos generales podemos decir que la economía de los países se divide,
analíticamente, en tres sectores: primario, secundario y terciario. El primario
corresponde principalmente a la agricultura, la minería, la pesca y la silvicultura; el
secundario a la industria o a la producción de mercancías; el terciario a los servicios que
incluyen entre otras actividades al comercio, a las finanzas, al transporte, a la sanidad y
a la educación. Toda economía es una mezcla en proporciones diferentes de los tres
sectores.
Así, las características fundamentales, en cada uno de los tres tipos de sociedad, reside
en que el porcentaje mayor de la fuerza de trabajo se encuentra ubicado en alguno de
los tres sectores.
A continuación se describen las principales características económicas y de
organización social de estos 3 tipos de sociedad.
La sociedad tradicional La economía de la sociedad tradicional es simple porque, para
satisfacer sus necesidades, sus miembros utilizan directamente los bienes que les
proporciona la naturaleza. En pocas ocasiones esos bienes sufren procesos de
transformación. Para subsistir se recurre a la agricultura, a la cría de ganado, a la caza,
a la pesca o a la recolección de frutos, hiervas o raíces.
¿Cómo es la economía de la sociedad tradicional? En la economía tradicional la
tecnología empleada es muy elemental, es decir, arcaica. Se recurre a la energía bruta
de la naturaleza, como la fuerza animal, la del viento y la del agua; se usan
herramientas que constituyen una extensión del cuerpo (como los martillos) y se utilizan
armas simples como el hacha y las flechas.
Un tercer elemento que distingue a la economía tradicional es su sencilla división del
trabajo; las actividades son poco diversificadas y muy simples. La división llega a existir
únicamente por motivos de sexo y edad.
La sociedad tradicional tiene una economía de subsistencia, lo cual implica una
actividad caracterizada por la reducida productividad del trabajo humano. Esto es lógico
cuando se cuenta sólo con una tecnología arcaica y una baja división del trabajo; el
resultado no podía ser otro. Como consecuencia, suelen escasear los productos básicos
y se ocupa mucho tiempo en conseguidos.
Debido a estas condiciones, la sociedad tradicional pocas veces es exportadora. Aun si
logran obtener excedentes de cualquier artículo, las dificultades de comunicación y
transporte no facilitan la salida de los productos. Los intercambios sólo se llegan a dar
entre sociedades vecinas y con limitado número de artículos.
La sociedad es reducida, es decir, numéricamente pequeña. Su nivel de subsistencia no
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permite un crecimiento demográfico alto y sostenido; sus niveles de mortalidad son muy
elevados, principalmente entre los menores.
La organización social tradicional se apoya principalmente en dos aspectos: la parentela
y los grupos de edad.
La parentela se sustenta en el reconocimiento de los lazos sanguíneos y en los vínculos
matrimoniales. Otorga el reconocimiento social al ubicar a una persona en determinado
papel, de acuerdo con su procedencia familiar.
Dentro de la sociedad tradicional no pertenecer a grupo alguno de parentela equivale a
ser ajeno.
En la sociedad tradicional la parentela constituye una amplia red de interdependencia y
ayuda mutua debido a las diversas obligaciones que origina entre sus miembros. Así,
los diversos grupos de parentela son el principal pilar de toda organización social. Toda
la vida comunitaria se desarrolla en torno a la parentela.
Los grupos de edad también determinan el papel del individuo en la sociedad. Niños,
mujeres, jóvenes, padres, madres y ancianos tienen responsabilidades distintas tanto en
la producción como en la organización y la toma de decisiones de la comunidad.
¿Qué importancia tienen los ancianos en la sociedad tradicional? Los ancianos
representan una función importante en la sociedad tradicional; se les otorgan niveles de
mando, se les profesa respeto, admiración y se valora su experiencia. A nivel
organizativo logran mantener unidos a los grupos y contribuyen, de manera
determinante, a sostener un funcionamiento social ordenado.
El control social se ejerce de manera directa e inmediata, dado que el universo social es
reducido y todos los miembros se conocen. En una aldea, alguien que violenta las
normas establecidas es más fácil de ubicar y será rápidamente sancionado, a diferencia
de lo que sucede en las grandes ciudades de la sociedad industrial.
En una pequeña comunidad, con pocas relaciones con otras comunidades, el control de
cada miembro por todos los demás se realiza de manera directa y permanente.
La sociedad industrial También se le conoce como sociedad avanzada, compleja, de
masas o tecnológica. Aquí se opta por el término industrial con el propósito de
diferenciar un nivel de desarrollo (más o menos común al conjunto de la sociedad
actual), frente a otro que ya muestra sus tendencias en las sociedades más
adelantadas.
Los principales factores que conforman su estructura económica se refieren a la relación
entre la naturaleza y la técnica, la relación de la técnica y la producción, la productividad
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elevada y las necesidades de consumo.
En la sociedad industrial la naturaleza adquiere una relación especial con la técnica
buscando un equilibrio, haciendo uso de máquinas, de tecnologías complejas, de
conocimientos, con una tendencia de transformación.
La técnica se pone al servicio de la producción. La economía de la sociedad industrial
se basa en una búsqueda permanente de mecanismos para producir más con el menor
esfuerzo humano y con el uso extensivo de maquinaria altamente desarrollada. La
relación económica de la sociedad más allá de sus fronteras le obliga a competir con la
tecnología avanzada.
¿Cuáles son las consecuencias de una alta división del trabajo?
A diferencia de la sociedad tradicional, la industrial no posee una economía de
subsistencia. Por el contrario, tiene una economía con capacidad de exportar los
productos que produce. Además, la sociedad industrial demanda una elevada
productividad, la cual no se alcanza sólo con una buena y variada tecnología.
Por otra parte, la marcada división del trabajo ha contribuido a que en la sociedad
industrial se dé un divorcio entre el productor y el consumidor, anulando casi por
completo la posibilidad de que se consuma lo que uno mismo produce. Esto es aún más
difícil debido al incremento en las necesidades de consumo, fenómeno que sirve como
motor de crecimiento económico y que incrementa la creatividad y la competencia.
La organización social en la sociedad industrial se caracteriza por su complejidad, por la
influencia de la producción, por la búsqueda del esta tus adquirido y por la
profesionalización.
Uno de los principales rasgos de la sociedad industrial es su complejidad. Ésta aumenta
en función del número de miembros debido a la cantidad y variedad de sistemas de
liderazgo, a la variedad de interacciones sociales, a las numerosas organizaciones y
grupos, y a la multiplicidad de roles.
Los diversos roles que asume una misma persona hacen compleja la organización
social.
Un mismo individuo puede jugar el rol de padre de familia, de médico, de sindicalista, de
miembro de un grupo religioso, de integrante de un equipo deportivo, de político, de
artista, etc. Así, la organización social se conforma con numerosos grupos que
interactúan de muchas maneras, conjugando intereses y roles individuales y logrando
una complejidad social que únicamente es posible en la sociedad tecnológica.
Otro eje fundamental de la sociedad industrial es la producción, sus condiciones y sus
consecuencias. Cada individuo es un productor y un gran consumidor. La vida gira en
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torno a la ocupación, el trabajo, la producción. No se puede imaginar a la sociedad
industrial sin la fuerte presencia del mundo del trabajo y la multitud de redes y
relaciones sociales que genera.
El estatus adquirido es el que una persona obtiene gracias a su desempeño, a su propia
actividad, y sirve de impulso a la superación y al cambio de roles sociales, es una
posición que se puede mejorar, según las condiciones del individuo.
Segunda parte
Una sociedad es un organismo el crecimiento es común a los conjuntos sociales y a los
conjuntos orgánicos.
No excluimos por completo la comunidad con los conjuntos inorgánicos. Algunos de
éstos, como los cristales, crecen de una manera visible, y todos ellos, según la hipótesis
de la evolución, nacieron por integración en algún momento. No obstante, comparados
con las cosas que llamamos inanimadas, los cuerpos vivos y las sociedades presentan
de manera tan notoria el aumento de masa, que podemos pensar justamente que esto
caracteriza a unos y otras. Muchos organismos crecen a lo largo de toda su vida, y los
demás crecen durante partes considerables de su existencia. El crecimiento social suele
continuar hasta el momento en que las sociedades se dividen o se hunden.
Éste es, pues, el primer rasgo por el cual las sociedades se alían con el mundo orgánico
y se diferencian sustancialmente del mundo inorgánico.
Evolución de las estructuras también es un carácter de los cuerpos sociales, como de
los cuerpos vivos, el que, mientras aumentan de tamaño, aumentan también de
estructura. Como un animal inferior, el embrión de un animal superior tiene pocas partes
diferenciables; pero, a medida que adquiere mayor masa, sus partes se multiplican y
diferencian. Lo mismo sucede con una sociedad. Al principio las desemejanzas entre
sus grupos de unidades son imperceptibles en número y grado; pero, al aumentar la
población, se hacen más numerosas y más señaladas las divisiones y subdivisiones…
Cuando pasamos de grupos pequeños a grupos mayores, de grupos simples a grupos
compuestos, de grupos compuestos a grupos doblemente compuestos, aumenta la
desemejanza entre las partes. El agregado social, homogéneo cuando es pequeño,
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suele ganar en heterogeneidad con cada etapa de crecimiento, y para adquirir un gran
tamaño tiene que adquirir gran complejidad. Echemos una mirada a las principales
etapas.
Habitualmente, cuando existen grupos sencillos mayores, encontramos alguna clase de
jefatura. Aunque no es una regla uniforme (porque la génesis de una agencia de control
depende de la naturaleza de las actividades sociales), sí es una regla general. Los
grupos sin cabeza, totalmente ingobernados, son incoherentes y se separan antes de
adquirir un tamaño considerable; pero al lado del mantenimiento de un grupo que se
acerca a cien individuos o pasa de este número, encontramos una agencia gobernante
simple o completa, uno o más individuos que reclaman y ejercen la autoridad, que
puede ser natural, sobrenatural o ambas cosas. Ésta es la primera diferenciación social.
Poco después aparece frecuentemente otra, que tiende a formar una división en partes
reguladoras y partes operadoras. En las tribus inferiores, esto está toscamente
representado sólo por la diferencia de posición entre los sexos: los hombres, con un
control ilimitado, realizan las actividades externas que nos muestra la tribu,
principalmente en la guerra; mientras que las mujeres se convierten en es-clavas que
ejecutan las partes menos calificadas del proceso de subsistencia. Pero el desarrollo
tribal y el establecimiento de una jefatura, que da la superioridad militar, no tarda en
producir la ampliación de la parte operadora sumándole cautivos. Esto comienza sin
impedimento.
Con el aumento de la masa producido por la unión de grupos sociales primarios en uno
secundario, aparece una diferenciación mayor de partes. El mantener unido un grupo
compuesto implica un jefe del conjunto a la vez que jefes de las partes; y una
diferenciación parecida a la que originariamente produjo un jefe produce ahora un jefe
de jefes. En ocasiones se hace la unión para defenderse de un enemigo común, y en
ocasiones es consecuencia de la victoria de una tribu sobre las demás. En este último
caso, la tribu predominante, al mantener su supremacía, desarrolla mucho más su
carácter militar, diferenciándose así de las otras.
Después que los grupos de grupos se han consolidado tanto, que sus fuerzas unidas
pueden ser manejadas por una sola agencia gobernante, vienen las alianzas con otros
grupos de grupos, o el sometimiento de los mismos, lo que de vez en cuando termina en
fusión. Cuando ocurre esto, resulta una complejidad todavía mayor de la agencia
gobernante, con su rey, sus gobernantes locales y sus pequeños jefes; y, al mismo
tiempo, aparecen divisiones de clase más marcadas: militares, sacerdotes, esclavos,
etc. Es evidente, pues, que la complicación de la estructura acompaña al aumento de
tamaño.
Este aumento de heterogeneidad, que en las dos clases de conjuntos va de la mano
con el crecimiento, presenta otro rasgo común. Fuera de la desemejanza de las partes
debida al desarrollo de las agencias coordinadoras, no tarda en presentarse la
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desemejanza entre las agencias coordinadas: los órganos de alimentación, etcétera, en
un caso, y las estructuras sociales en otro.
Cuando los agregados animales del orden más bajo se unen para formar un agregado
de orden más elevado, y cuando, además, esos agregados secundarios forman
agregados terciarios, cada elemento componente es al principio parecido a los otros
elementos componentes; pero en el curso de la evolución aparecen diferencias que se
acentúan cada vez más.
Cada tribu tenía originariamente en su mismo seno las divisiones industriales
débilmente marcadas que bastaban para su elemental género de vida, y dichas
divisiones eran iguales a las de cada una de las otras tribus. Pero la unión facilita el
intercambio de mercancías; y si, como suele ocurrir con la mayor frecuencia, las tribus
componentes ocupan separadamente localidades favorables a diferentes clases de
producción, se inician ocupaciones diferentes, y de ahí resulta la diferencia de
estructura industrial.
Grupos sociales ya hemos visto los postulados generales de dos de los enfoques
principales que nos permiten conocer su forma de interpretar la sociedad, adoptamos la
visión estructural-funcionalista, para buscar las explicaciones sobre algunos fenómenos
sociales, tales como los grupos y la comunidad. Como podrás ver a continuación, los
grupos y sus diversas expresiones son parte fundamental de la organización social.
Definición de grupo: Consideramos grupo a los miembros de un club, a una pandilla de
adolescentes, a los miles de trabajadores de una empresa automotriz o algunos
sectores de un partido político. Dentro de algunos grupos pueden existir otros, por
ejemplo, los partidos políticos tienen sus comités nacionales y estatales, sus
organismos electorales y sus fracciones.
Tipos de grupos sociales el grupo primario es aquel que se basa en la afectividad y
cuyos miembros, generalmente muy pocos en número, se mueven espontáneamente,
llegando a intimar entre sí. Son grupos que tienden a durar per se. Ejemplos de estos
grupos los tenemos en la familia, en los amigos de juego entre los niños del vecindario o
del barrio, etc. Los grupos primarios juegan un papel básico en el proceso de
socialización.
De esta forma, podemos entender que la más sencilla, la primera, la más universal de
todas las formas de asociación es aquella en que un corto número de personas se
encuentran "cara a cara". El grupo cara a cara constituye el núcleo de toda
organización, es definitivamente la célula de la estructura social. Es el grupo a través del
cual, como compañeros de juego y camaradas, se presenta la primera expresión de los
impulsos sociales.
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DEMOSTRACIÓN DE PATRONES EN EL SISTEMA CALENDARIO
MAYA, NOMBRES Y LOS GLIFOS DE LOS DÍAS.
Matemática maya
Los mayas usaban una cuenta basada en 20. La matemática de la totalidad o la
matemática holonómica está basada en 20 y no en 10. La cuenta de 20 corresponde a
los 20 dedos de las manos y los pies, por lo tanto es un sistema entero, matemática
humana entera. La matemática decimal es solo la mitad de la cuenta.
La matemática Maya es holística y visual. Se le llama sistema de notación punto-barra ya
que los números se escriben con puntos y barras. El punto tiene el valor de 1 y la raya
de 5: Si queremos escribir 6, es un punto encima de una barra. 7 es una barra con dos
puntos. 10 es dos barras, 15 son tres barras, 20 es equivalente al 0. Los mayas tenían el
concepto del 0 antes de que ese concepto fuera desarrollado en el Viejo Mundo.
Orden de posición de valor, notación vigesimal. Los Mayas escriben los números en
niveles, de abajo hacia arriba y se basan en el 20.
En el primer nivel, un punto equivale a 1; en el segundo nivel, un punto equivale a 20. En
el tercer nivel, un punto equivale a 400; en el cuarto nivel un punto equivale a 8.000; y en
el quinto nivel un punto equivale a 160.000: esta es una demostración de un tipo muy
diferente de matemáticas. Esta es la matemática del tiempo.
Al ciclo de un día le llaman kin, 20 días se denomina un vinal, 20 años solares es un
katun y 400 años solares es un baktun.
69
El calendario maya
El Tzolkin, que en el lenguaje Maya significa “cuenta sagrada” (Tzol= sagrada; Kin =
cuenta), es la matriz 13:20 y la clave de la ciencia Maya del tiempo. Se compone de 20
glifos o “sellos”: las 20 filas horizontales, y de 13 frecuencias numéricas o “tonos”: las 13
columnas verticales.
En el Tzolkin hay dos órdenes básicos: el orden de la “Onda Encantada” representado
por la cuenta de 13 y el orden de la “Trayectoria Armónica” representado por la cuenta
de 20. Desde el punto de vista de la Ley del Tiempo, el cosmos es generado por la
interacción de lo que llamamos Onda Encantada y Trayectoria Armónica.
La Onda Encantada está formada por una secuencia de 13 números, tonos o frecuencias
galácticas. Estos 13 tonos representan patrones fundamentales de energía radiante.
Cada uno de los 13 tonos posee un nombre particular que resume su accionar.
La Trayectoria Armónica está conformada por los 20 glifos, sellos o energías solares.
Estos 20 sellos son rangos de frecuencia para la transformación o evolución de cada uno
de los tonos.
Entonces, los tonos son rayos de pulsación y los sellos son la energía portadora de la
información necesaria para la vida como proceso evolutivo ascendente. La combinación
de cada tono con cada sello crea un patrón de pulsación radiante que contiene un tipo
específico de información y se lo llama kin.
O sea que cada día estaría impregnado con diferente energía, influenciando el accionar
de los seres de la naturaleza. Así, las personas nacemos con diferentes potencialidades
según la energía reinante en ese momento tan importante en nuestras vidas. Cada sello
y tono le da sentido a la experiencia diaria y a la misión que cumple cada persona en el
planeta Tierra.
70
ORIGEN DE LA MATEMÁTICA MAYA
El aporte clave de los matemáticos mayas fue la creación del número cero, un concepto
abstracto que permaneció ausente durante siglos en otras culturas.
Representaban el cero con una concha marina, usaban puntos o círculos del uno al
71
cuatro, y rayas que valían cinco hasta contar diecinueve.
Su sistema numérico era vigesimal, y no decimal como el actual. Los científicos se
preguntan si usarían los dedos de las manos y los pies para contar.
Las técnicas de observación celeste a simple vista que practicaban los sacerdotes
mayas son estudiadas por los científicos actuales.
Se apoyaban en un sistema de referencias naturales. Describían las posiciones del Sol,
la Luna, Marte, y registraban los eclipses.
Siguieron con detenimiento los movimientos de Venus, planeta al cual le asignaban una
gran importancia en la determinación de guerras y sacrificios.
Ciertos edificios obedecieron a cálculos muy precisos. Durante la puesta solar de los
equinoccios de primavera y otoño, la “serpiente de luz” sube al Castillo de Chichén Itzá
por la escalera de la pirámide. La proyección solar marca siete triángulos de luz
invertidos, como resultado de la sombra de las nueve plataformas del edificio. Cada
semestre se concentran turistas de todo el mundo para observar el fenómeno.
72
Reglas de la matemática maya
Fray Diego de Landa, fraile Franciscano que llegó a Yucatán en 1549 y murió allí en
1579, después de haber destruido códices, testimonios enpiel de venado, ídolos de
diversos formas y objetos además de otros artículos mayas y afrontado un juicio por su
crueldad con los indígenas, decidió estudiar esa cultura y escribir “Relación de las cosas
de Yucatán”, con la que parcialmente reivindica su nombre. En esta obra, al referirse al
sistema numérico maya comenta: "Que su contar es de 5 en 5 hasta 20, y de 20 en 20
hasta 100, y de 100 en 100 hasta 400, y de 400 en 400 hasta 8 mil; y de esta cuenta se
servían mucho para la contratación del cacao. Tienen otras cuentas muy largas y que las
extienden ad infinitum contando 8 mil 20 veces, que son 160 mil, y tornando a 20,
duplican estas 160 mil, y después de irlo así duplicando hasta que hacen un incontable
número, cuentan en el suelo o cosa llana."
De esta manera sencilla, sin sorprenderse del sistema numérico maya y probablemente
sin realmente comprenderlo ni interesarse, Fray Diego de Landa indica que los
mayas podían efectuar operaciones con números pequeños para sus asuntos
domésticos y con números infinitamente grandes, como los necesarios para los cálculos
astronómicos. También reporta la razón de que no haya registros detallados de
operaciones matemáticas: "cuentan en el suelo o cosa llana". No obstante, se
encuentran muchos numerales en el Códice de Dresde y en el Códice Madrid.
Un sistema numérico es un conjunto de caracteres y reglas matemáticas que se usan
para representar un número o numeral. El principal sistema usado actualmente es el
decimal (base 10) aunque también se utilizan el binario (base 2), el octal (base 8) y el
hexadecimal (base 16), estos tres últimos en computación. Está ampliamente
demostrado que los mayas utilizaron el sistema vigesimal, basado en el número 20.
Los aspectos básicos del sistema numérico maya son:
a) la representación de los números 0 al 19, por medio de tres símbolos , y ,
b) la escritura de números mayores a 19 en una cuadrícula donde cada renglón (leyendo
de abajo hacia arriba) corresponde a un número creciente de potencias de 20 (200, 201,
…, 20n)
y c) la utilización de dicha cuadrícula para realizar operaciones. Calderón, en su
magnífico trabajo "Matemática Maya", describe la obtención de raíces cuadradas y
cúbicas, aquí nos limitaremos a las cuatro operaciones básicas; suma, resta,
multiplicación y división.
En este trabajo se demuestra que las reglas matemáticas mayas para realizar
operaciones aritméticas son aplicables a cualquier otro sistema numérico, lo cual es una
evidencia del alto desarrollo matemático logrado por ese pueblo.
LA ESCRITURA DE NÚMEROS DEL CERO AL 19 La representación de cualquier
número requiere sólo de tres símbolos: el uno representado por un punto (semilla), el
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cinco por una barra (un pedazo de rama, la vaina de alguna legumbre, etc.) y el cero por
una concha que para los mayas significaba el cerrar un ciclo, el todo; no la ausencia,
como en la filosofía y numeración occidental actual.
Con los tres símbolos mencionados se muestra a continuación la escritura del 1 al 19:
1 = 8 = 15 =
APLICACIONES DE LA MATEMÁTICA MAYA
Los mayas usaron un sistema de numeración vigesimal, el que incluía el concepto del
cero. El sistema se basaba en puntos y barras, en donde un punto representaba una
unidad y una barra representaba cinco. Este sistema de puntos y barras similar al que
utilizamos hoy en día en las computadoras (1 y 0) se llama un sistema binario. Utilizando
diferentes posiciones los Mayas podían hacer cálculos complejos, incluyendo algunas
operaciones astronómicas, que computaron con gran precisión.
Los antiguos Mayas fueron genios matemáticos, una virtud que utilizaron a menudo, y
que tenía usos formidables… principalmente para sus propósitos religiosos y para llevar
la cuenta del tiempo, el que para ellos tuvo –quizá- un sentido sagrado. Los Mayas
divisaron el uso de calendarios de gran precisión. Las matemáticas tuvieron también
otras aplicaciones importantes, incluyendo la ingeniería y el diseño. La hazaña de la
ingeniería hidráulica de los Mayas incluye la construcción de grandes aguadas o
depósitos de agua que podían contener entre todas hasta varios millones de galones de
agua, tales como las de Tikal. (Usted puede encontrar mayor información acerca de la
74
capacidad de las aguadas de Tikal en la sección de Hidrología. La construcción de estos
lagos artificiales, repletos del agua que se recolectaba en las superficies de las plazas y
los temples y se transportaba a través de canales hacia las aguadas por medio de la
fuerza de gravedad también requirió de una gran habilidad para realizar complejos
cálculos matemáticos.
Los impresionantes descubrimientos científicos hechos por los astrónomos Mayas
incluyeron su conocimiento de la aparición de diferentes constelaciones en el firmamento
y el cálculo preciso de la órbita de Venus alrededor del sol.
75
EXPLICACIÓN DEL CHOLQ’IJ, EL AB’, EL TUN (CALENDARIO
SAGRADO DE 260 DÍAS, AÑO SOLAR DE 365 DÍAS Y EL CICLO DE 360
DÍAS) Y SUS MÚLTIPLOS.
La energía del día, los 20 nawales | La cruz maya |
El calendario : Calculadores de nawal
La cosmovisión | El Cholq’ij (Tzolkin), etimología
Las Ciencias y el Cholq´ij | El Pueblo Maya Cholq'ij |
La danza cósmica | Fechas de Wajxaqib' B'atz' |
Cargadores del año
“Es muy importante respetar y cuidar
bien todo lo que esté en la naturaleza, de
ello depende nuestra vida, te
recomendamos que nuestra vida tiene
relación con las personas, con los
animales y con las plantes, formamos
una sola vida, si la destruimos también
nosotros mismos nos estamos
destruyendo”. Por último les recordamos
que hay que agradecer al Creador y
Formador, Qajaw, a ellos les debemos
todo lo que tenemos: el sol, el agua, el
maíz, el frijol, los animales; esperamos
que sigan estas costumbres de nuestros
abuelos.
8
Y darnos la posibilidad de hallar y recuperar algo que nunca habíamos
perdido: nuestra cósmica identidad, la experiencia de volver a nuestra
postura original de seres humanos relacionados directamente con el
mundo vegetal, animal, mineral y celeste”.
76
LA ENERGÍA DEL DÍA, NAWALES Y GLIFOS
El nawal es el Espíritu o la Energía, la fuerza qui anima los diferentes días del
calendario Cholq'ij; usualmente está relacionado con un animal regente, con el
espíritu del animal que rige cada signo.
Nawal es la energía, espíritu o fuerza de los seres y elementos de la naturaleza, los
nawales son representados por elementos mismos de la naturaleza como el sol, la
luna, la lluvia, el aire, el agua, las plantas y animales porque en el pensamiento
maya todo tiene vida.
Por otra parte, en la cosmovisión maya todas las personas poseemos un nawal que
nos identifica y vincula con la naturaleza, esto propicia la armonía y equilibrio
existencial de los seres humanos con todo lo que nos rodea. Además, permite un
mayor respeto y utilización adecuada de los recursos de la naturaleza para permitir
la existencia futura.
La interpretación de cada uno de los nawales no es un ejercicio mecánico, es un
acto de percepciones y sentimientos humanos, de manera que, solamente se
presenta una explicación básica general. Si el lector desea profundizar, debe
consultar a las Abuelas y Abuelos Ajq’ijab’ a quienes debemos todo nuestro
respeto. Son ellas y ellos quienes de acuerdo al nawal de cada quien, construyen
una explicación para cada caso personal.
La Cruz Maya
La Cruz Maya indica las energías que rigen la concepción, el destino, los lados
derechos e izquierdos de la persona.
"El signo maya está basado en el ritmo cósmico-telúrico, ya que tiene una directa
proyección de las corrientes cósmicas. La confluencia de las energías de las cuatro
esquinas del universo y estas apuntalan a la cruz maya como los cuatro elementos
primigenios (fuego - tierra - aire - agua). Proporcionándonos de esta forma la
información de los aspectos que rigen tanto nuestra concepción, así como el
momento del nacimiento, pues ambos son importantes y tienen especial
trascendencia para el ser humano. Así mismo tiene influencia de las energías
hemisféricas, de las corrientes telúricas y conformación geográfica del lugar de
nacimiento".
Calendario CCAM 2010
La Cruz Maya representa las cuatro esquinas del Universo, los 4 puntos
77
cardinales.
Para conocer el significado de cada nawal y su cruz maya, o la energía del
día.
La Cruz Maya indica las energias que rigen la concepción, el destino, los
lados derechos e izquierdos de la persona.
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Calculadores de nawales
Ingresa aqui la fecha de nacimiento
y conoceras tu nawal
Ministerio de Cultura y Deportes de Guatemala
LA COSMOVISIÓN DEL PUEBLO MAYA
La cosmovisión del Pueblo Maya es un sistema de valores que interpreta y
relaciona, el mundo, la vida, las cosas y el tiempo. Es además, la
explicación y forma de dimensionar el universo y la naturaleza. La
cosmovisión vincula a los seres humanos por medio del Cholq’ij (Tzolkin),
con todos los elementos que le rodean, con las cosas visibles y con las
fuerzas que solo se sienten, es una filosofía de vida que propicia el
bienestar material pero también la satisfacción o plenitud del espíritu.
La cosmovisión del Pueblo Maya
El Cholq’ij (Tzolkin) o Calendario Sagrado Maya
Etimología
El Cholq´ij deriva su nombre de los términos maya-k´iche´:
- Chol / Contar cosas puestas en orden,
79
- Q´ij /el sol o día.
Al hacer una traducción al español, puede entenderse como: contar los días en orden.
Hay que hacer notar que en los idiomas mayas las traducciones no son literales sino
interpretativas. En el área maya de Guatemala algunas comunidades lingüísticas
mayas lo denominan con ligeras variantes.
El Cholq’ij (Tzolkin)
El Cholq´ij o calendario sagrado maya tiene 260 días, es uno de los instrumentos que
los Abuelos del Pueblo maya crearon; tiene dos aplicaciones principales, la primera:
ubica momentos para actividades colectivas; la segunda: tiene una aplicación
individual para identificar la conducta natural o la forma de ser de las personas por
medio de su nawal, es decir, los rasgos psicológicos básicos, positivos y negativos.
Este calendario fue configurado a partir de los movimientos que la Luna realiza en su
órbita alrededor de la Tierra. Así como el calendario Ab´ agrícola o solar de 365 días
está configurado en base al movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol y
es identificado como energía masculina. Por otra parte, el Cholq´ij o calendario
sagrado es considerado energía femenina, por su relación con los movimientos de la
Luna y por la influencia que este cuerpo celeste ejerce sobre los organismos
femeninos de la naturaleza y los seres humanos.
Las más antiguas referencias documentales que encontramos del Cholq´ij, se
remontan al llamado Códice de Madrid.
El Calendario Sagrado Maya - metodo para el cómputo de tiempo.
Uno de los primeros calendarios elaborados por nuestras abuelas y abuelos. Conocido
como Calendario Sagrado o calendario ritual o calendario ceremonial de 260 días, 9
meses, igual al tiempo de formación de un nuevo ser humano. El origen del Cholq’ij
está íntimamente relacionado con el origen de nuestra Madre Tierra, la naturaleza y
todos los seres vivos que la habitamos.
Está inspirado en el universo y en los elementos naturales necesarios para la vida:
fuego, tierra, agua y aire; en el ciclo de vida de algunos seres vivos de la naturaleza y
otros aspectos fundamentales de nuestra cultura. (Manual de interpretación del
Calendario Maya. Nojibsa 2001)
El calendario es una combinación de biología, zoología, mineralogía y otras ramas del
conocimiento que usamos como guía para vivir íntimamente ligados a la historia del
Universo. Todo se hace a favor de todos y con el concurso de todos, porque todos
estamos formando una conciencia universal; con la ventaja de protagonizar desde el
80
hecho del nacimiento, la construcción de nuestro propio destino sin desdeñar a los
astros, animales y plantas y vegetales. Esto significa que vivir no es otra cosa que
entablar relaciones, huir de los egoísmos, escapar del miedo por lo desconocido y es
además, un soñar para vivir y un vivir para soñar.“Soñamos la realidad para construirla
y la construimos para soñarla”, nos dice nuestro Hermano Daniel Matul.
El calendario está concebido y elaborado en homenaje a la vida, es decir a los seres
vivos y su enseñanza ética, moral, ecológica y científica, debe ser aprovechado por el
ser humano para el desarrollo de su vida personal, familiar y social y el equilibrio con la
naturaleza. El ser humano ha aprendido de la naturaleza el manejo del tiempo a través
de la observación de los fenómenos naturales y del comportamiento de algunos
animales.
Su práctica es milenaria, en los últimos cinco siglos ha sido conservado por
los Ajq’ijab’ (controladores del tiempo y de los días o guías espirituales). Está formado
por 20 días que se combinan con numerales del uno al trece, antepuestos a los veinte
Glifos de los días. El Cholq’ij es el calendario que guía la vida espiritual de la Pueblo
Maya.
Eqanel Julajuj Kej-Wayeb'2010
Las Ciencias y el Cholq´ij
El Cholq´ij o calendario sagrado fue configurado a partir de la aplicación e interrelación
de diferentes ciencias, es decir, se explica y se ejercita en base al uso de elementos
científicos, algunos de estos elementos son, por ejemplo:
Astronomía
Se identifican períodos de tiempo favorable o adverso para la naturaleza y los seres
humanos. El Cholq´ij identifica días propicios para la siembra, la maduración de los
frutos y la cosecha. El Cholq´ij en sus nawales representa al sol, la luna y las estrellas.
Matemática
La cuenta del Cholq´ij durante los 260 días integra veintenas y trecenas, por otra parte,
cada persona posee energías según la sumatoria de su nawal de nacimiento,
engendramiento, destino, auxiliares y cargador.
Física
La influencia recíproca de los seres y cuerpos que ocupan un lugar en el mundo y el
espacio, es aplicada en el ejercicio del Cholq´ij, que orienta el respeto a todas las
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cosas según enseña el pensamiento maya:
Psicología
En el ejercicio y entendimiento del Cholq´ij se pueden identificar los rasgos básicos,
positivos y negativos de la personalidad según el nawal de cada quien, de manera que,
no se descalifica a nadie, pues todas las personas tienen capacidades y debilidades.
“El conocimiento y el ejercicio del Cholq’il orienta el equilibrio físico y espiritual de las
personas y propicia el equilibrio harmónico entre los seres humanos, la naturaleza y el
cosmos.”
En la actualidad –y como novedad-, en el ámbito de las nuevas corrientes para el
aprendizaje, se plantea la Teoría de las Inteligencias Múltiples de Howard Gardner
neuropsicólogo e investigador de la universidad de Harvard. Esta teoría ha
revolucionado los tradicionales sistemas de "enseñar" al plantear que existen 8 tipos de
inteligencia distintos y que todos los seres humanos son capaces de aprender, solo
que de forma distinta y de acuerdo al tipo de inteligencia que tengan más desarrollado.
Desde tiempos ancestrales, el Cholq´ij ha definido 20 tipos de personalidad básicos -
nawales- en 13 escalas cada uno –numerales-, lo que hace 260 tipos y niveles de
personalidad; incluso, en las Facultades de Quetzaltenango de la Universidad Rafael
Landivar, se han realizado –en forma incipiente- trabajos de tesis al respecto.
La Constitución del Pueblo Maya Cholq'ij Calendario Sagrado Maya
El calendario sagrado de 20 días, llamado Cholq'ij (Cholq'ij en Maya Yucateco), salió
del cuerpo humano, de los diez dedos de las manos y los diez dedos de los pies. Estos
20 días forman una ley que controla la vida del ser humano, desde su concepción
hasta la muerte. Así mismo, de estos 20 días salió una ley conocida como Derecho
Consuetudinario Maya, esta es una ley divina, una ley sagrada, una ley que no tiene
reforma, no se le puede ni quitar ni agregar nada.
En este Derecho Consuetudinario Maya se respetan dos leyes : la Ley Divina del
Creador y la Ley Natural sobre la Tierra. Aquí se encuentra la sabiduria de nuestros
Abuelos, aquellos profetas Mayas qui vinieron de la constelación de estrellas, Las
Pleyades ; aquellos que nos dejaron estos grandes conocimientos y a su debido
tiempo, después de terminar su trabajo aquí en la tierra Maya, se regresaron hacia
aquel lugar de donde habian venido. Estos cuatro profetas Mayas son : B'alam Kitze,
B'alam Akab', Iq' B'alam et Mahucutah.
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Mientras estuvieron en tierra Maya, estos profetas tuvieron sus compañeras de vida, y
ellas fueron : Kaja Paluma, Tzununha, Chomiha y Kakixaha ; tambien tuvieron hijos a
excepción de Iq' B'alam. Estos profetas aquí vivieron y nos dejaron grandes
conocimientos. Por ejemplo, nos enseñaron cuales son los materiales a usar cuando
se hace ceremonia, eso fue desde aquella primera ceremonia celebrada sobre el Cerro
Chui' Saqarib'al (Lugar de Amanecer) en aquella madrugada cuando por vez primera
se esperaba la salida del sol sobre la faz de la Tierra. Cada uno de estos profetas traía
su ofrenda para dar gracias : B'alam Kitze traía el Kaxlam Pom, B'alam Akab' ofrecio el
Mexcam Pom ; Señor Mahucutah ofrecio Cuil Pom, e Iq' B'alam ofrecio gok pom. Hasta
hoy en día se practica esta ceremonia tal como se hizo en aquel primer día sobre aquel
sagrado Cerro "Lugar de Amanecer". También nos dejaron, entre otras cosas, nuestros
20 grandes calendarios. En fin, nos dejaron una tradición entera.
Con el estudio y formación de los calendarios, llegaron a saber que cada 5200 años la
tierra se oscurece por un periodo de 60 a 70 horas, a este periodo de 5200 años le
llamaron "Un periodo de Sol". Asi se empezo a medir el tiempo de los 20 calendarios y
entro en vigencia la nueva constitución de los pueblos Maya, el llamado Derecho
Consuetudinario. El Calendario de los 20 días, Tzolqij, como se dijo anteriormente, es
el que controla la vida del ser humano desde su nacimiento hasta su muerte.
Este calendario Tzolqij o Cholqij, año del ciclo humano, tiene 13 meses y cada mes
tiene 20 días. Asi pues, un año esta compuesto de 260 días o sea el tiempo de
gestacion del ser humano en el vientre materno. Otro calendario es el del Año Solar o
Haab, el cual tiene 18 meses de 20 días cada mes, dando un total de 360 días, a esto
se le agregan cinco días más llamados días del Wayeb (que es el encaje del año) y
nos da la cantidad de 360+5=365. Estos 365 corresponden al tiempo que tarda la
Madre Tierra en su gira al rededor del sol.
Así pues, despues de llegar a medir el tiempo es cuando comienza la cuenta de los
días. A un día se le llama Qij ; a un mes se le llama Winal ; a un año se le llama un
Tun, a 20 años un Katun, etc.
Cada día es representado por una imagen llamada glifo
y como día primero se coloca al B'atz'.
Nota
En los 20 días del Calendrio Sagrado están expresadas todas las fuerzas básicas de la
creación y destrucción, de lo positivo y negativo, de lo bueno y malo, la dualidad que
existe en el mundo, en la sociedad, en la familia y en el corazón del ser humano. De la
conjugación de tales fuerzas en las vidas individuales depende el curso de la existencia
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y del destino. Es importante saber que todo lo que uno hace repercute de una manera
a uno mismo, a la familia y a la comunidad. Por eso los abuelos recomiendan portarse
bien para el bien de uno, de la familia y de la comunidad en general.
La danza cósmica
Todo comienza con el origen y desarrollo de la creación, con el hilo de la vida.
Surge la claridad y el avance en la diversidad de los rumbos de la vida.
Para la continuidad, la presencia del retoño es fundamental. Jun Winaq, la persona
completa, es retoño del Creador Formador. Es la persona colectiva.
La persona plena busca convivencia armónica con el micro y macro Cosmos,
haciéndose parte de la totalidad.
En la totalidad, cultivamos la esencia y cosechamos la abundancia plena.
Interrelacionamos pasado, presente y futuro con las abuelas y abuelos, la conexión
de generaciones.
Con la relación intergeneracional, cultivamos sabiduría e iluminación permanente en
nuestra vida.
La relación armónica con Todo nos posibilita salud, vida y protección permanentes.
Surgen, entonces, el canto, el poema y el amor a la vida, personificados en nuestras
abuelas.
Trabajamos por el triunfo de la purificación, por la liberación.
Cultivamos arte en nuestras vidas para agradecer la superioridad y la pureza de la
casa de los Creadores Formadores.
Ellos son el aliento continuo e infinito de la vida.
Hacemos realidad la dualidad y complementariedad, esperanza para la humanidad.
La interconexión energética y el entendimiento de la personas.
Aprendemos del movimiento sincronizado del micro y macro Cosmos ; cultivando
interrelaciones e interconexiones con el Universo nos hacemos más humanos.
Volmemos cíclimamente al origen de la existencia, permaneciendo y desarrollando
la vida plena.
Nuestro fin último es el equilibrio y la armonía en nuestras conexiones y relaciones
fundamentadas en el respeto.
Nos hacemos co-creadores respetando la fertilidad, la fecundidad y el nacimiento de
todas las expresiones de vida.
Nos hacemos alimentadores de la existencia tridimensional.
Para cerrar un ciclo, resaltamos la transparencia y el valor de la palabra,
manifestación del orden, comunicación e interacción.
Wajxaqib' B'atz' (8 B'atz')
La Fiesta del Wajxaq´ib´ (8) B´atz´
En la mayoría de comunidades lingüísticas mayas, un ciclo sagrado o sea un Cholq´ij
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inicia el día 8 B´atz´. Esto tiene la explicación siguiente: el pensamiento filosófico maya,
plantea que, para el surgimiento o inicio del hilo de una nueva vida humana es
necesario el enlace de cuatro brazos, dos masculinos y dos femeninos, de la misma
forma con las piernas, dos femeninas y dos masculinas. En la tradición oral se explica
así:
“Para que haya una nueva vida, es necesario que se junten los brazos y piernas de la
mujer y del hombre. Por eso es que en el día Wajxaq'ib' B'atz' se empieza a desenrollar
el hilo del tiempo...”
También el día 8 B´atz´ es cuando las abuelas y los abuelos Ajq’ijab’ presentan a las y
los nuevos Ajq´ijab´ o sacerdotes mayas –mujeres y hombres- ante la comunidad,
durante las ceremonias de celebración de la fiesta que se realizan en todo el territorio
guatemalteco y luego de cumplir con un período de preparación, caminando junto a las
Abuelas y Abuelos en visitas a Le Tab´al conocidos como altares mayas.
EL CALENDARIO SAGRADO MAYA - MÉTODO PARA EL CÓMPUTO
DE TIEMPO.
Fechas del Wajxaq’ib’ B’atz’ Sábado 6 de Febrero 2010 Domingo 24 de Octubre 2010 Lunes 11 de Julio 2011 Martes 27 de Marzo 2012 Miércoles 12 de Diciembre 2012 Jueves 29 de Agosto 2013 Viernes 16 de Mayo 2014 Sábado 31 de Enero 2015 Domingo 18 de Octubre 2015 Lunes 4 de Julio 2016
Cargadores del año
Los 4 Cargadores del Año son de suma importancia. Generalmente son llamados Mam, o sea Señor o Antepasado. Estos días resultan sumamente trascendentes, ya que vienen a ser el Patrón de todo el año, o el día más significativo, puesto que entre otras cosas define el sentido o contenido de todo el año.
El Wayeb’ es la espera, la preparación, es el mes complementario. Son 5 días de preparación para entregar la responsabilidad del Cargador saliente y el recibimiento de
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la responsabilidad del Nuevo Cargador. El día del Cargador es el primer día del año es el dueño y gobierno del año llamado Ab’, es decir es el Nawal que tiene influencia en todo los acontecimientos de nuestra vida durante el año. Fechas del Año Nuevo
El Wayeb, los Cargadores del Año
Raxalaj Mayab' K'aslemalil, Cosmovisión Maya Plenitud de la vida
Eqanel Julajuj Kej-Wayeb'2010
El Calendario Sagrado Maya, Método para el computo de Tiempo
sabiduriamaya.org/
Las profecías mayas
Calendario Maya de la Fundación Centro Cultural y Asistencia Maya
C.C.A.M. 2009, 2010 y 2011
Don Alejandro Cirilo Pérez Oxlaj, sabio maya, sobre 2012
(español y inglés)
* maltioxinel.
La Espiritualidad como elemento para el desarrollo de valores - El agradecimiento
como valor supremo - Dónde se pueden realizar las ceremonias - Quienes lo
realizan - El sentido del Kojow kotz'ij, Xukulem, Mejelem (de la ceremonia Maya) -
El significado de los colores - Los materiales que se usan en la ceremonia - Cómo
se desarrolla la ceremonia - La Importancia del Fuego - Quién es el Ajaw y los
Abuelos - Los diferentes calendarios y su relación entre sí - El cálculo del tiempo
por los Mayas - Las raíces - Los Veinte Días: sus atributos Y Pronósticos - Los
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Días: Un diseño de la condición humana - No es una despedida, es un comienzo.
El Calendario Sagrado Maya - método para el computo de tiempo.
Introducción - Nabé Primero - El Choq´ij o Calendario sagrado Maya - Etimología -
La Cosmovisión Maya - El Ajq´ij - El Cholq´ij - Los Nawales - Las Ciencias y el
Cholq´ij - El Cholq´ij la Numeración y Matemática Maya - Geometría Maya - La
Cuenta del Cholq´ij - La Fiesta del Wajxaq´ib´B´atz´ - Los Nawales del Cholq´ij -
Ukab´ Segundo - Método para el cómputo del tiempo - Epílogo
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BIBLIOGRAFÍA
1. DOLCIANI, Mary, et al. Introducción al Análisis Moderno. Publicaciones Cultural
México D.F. s.f. 2. _______________ Álgebra Moderna Y Trigonometría. México D.F.:
Publicaciones Cultural, s.f. 3. FLEMING, Walter y Dale Varberg. Álgebra Y Trigonometría con Geometría
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Hill, 1971. 7. PURCEL, Edwin J. y Dale Varberg. Cálculo Diferencial e Integral. México D.F.:
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Analítica. México D.F.: Jeffery. International Thomson, 1998. 12. SWOKOWSKI, Earl W. Introducción al Cálculo con Geometría Analítica. México D.F.: Iberoamérica, 1987.
![Eurípides - Suplicantes [bilingüe]](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/557202924979599169a3c2a6/euripides-suplicantes-bilinguee.jpg)
