COLÉGIO ADVENTISTA PORTÃO A O - Blog dos...
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A P O S T I L A
D E
M A T E M Á T I C A -
Á L G E B R A
COLÉGIO ADVENTISTA PORTÃO Curitiba - PR
Hermes Jardim 2012
TEORIA E PRÁTICA
8º ANO
Nome:
Nº: Turma: Professor(a):
Curso de Matemática Básica Álgebra
2
Apresentação Nesta apostila abordaremos um assunto nada agradável para a maioria dos estudantes, mas que é de grande importância para a Matemática. O conhecimento de Álgebra é uma ferramenta que ajuda a compreender a forma como o algoritmo de resolução de muitos exercícios é efetuado. A Álgebra tem por finalidade simplificar muitos cálculos que de outra forma necessitariam de muito tempo e espaço para serem resolvidos. A palavra ÁLGEBRA tem origem árabe e conforme o Dicionário Luft (2000), Álgebra é a parte da Matemática que generaliza as questões aritméticas, representando quantidades através de símbolos. Sua origem é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr). Um advogado francês e apaixonado por álgebra, François Viète, que viveu de 1540 até 1603 passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática, por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra. Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète. A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète: 1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação; 2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação; 3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes da incógnita e os termos independentes ( literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.
Por que devemos aprender Álgebra? O ensino de Álgebra geralmente é iniciado, mais sistematicamente, no 8º ano (antiga 7ª série) do Ensino Fundamental e visa apresentar regras de transformações de expressões e a resolução de equações e sistemas de equações e inequações. Para muitos profissionais, o ensino da Álgebra é uma fonte de dificuldade para os alunos o que demanda muito tempo de estudo, com resultados pequenos e desânimo. A maior dificuldade do aluno é aceitar uma letra representando número desconhecido e não percebe o sentido de uma expressão algébrica. Outra dificuldade é a tradução da linguagem comum para a linguagem simbólica da Matemática. A álgebra ajuda a estruturar o raciocínio e permite equacionar e resolver numerosos problemas de situações do cotidiano. A Álgebra ajuda a melhorar a compreensão e a desenvolver o raciocínio lógico matemático, contribuindo para um pensamento autônomo. A Álgebra capacita o aluno a representar simbolicamente uma quantidade desconhecida relacionando-a com as informações de uma situação ou problema. O autor1 _________________________ 1 Professor de Matemática do Ensino Fundamental e Médio no Colégio Adventista Portão Licenciado em Matemática pela PUC-PR
Hermes Jardim 2012
TEORIA E PRÁTICA
COLÉGIO ADVENTISTA PORTÃO Curitiba - PR
8º ANO
A P O S T I L A
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Curso de Matemática Básica Álgebra
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CAPÍTULO 14 - ÁLGEBRA ...................................................................... 5
14.1 Valor Numérico de uma Expressão Algébrica .................... 5 14.2 Termo Algébrico .................................................................... 8 14.3 Monômios .............................................................................. 9
14.3.1 Adição e Subtração de Monômios ....................... 10 14.3.2 Multiplicação de Monômios ................................. 12 14.3.3 Divisão de Monômios ............................................ 14 14.3.4 Potenciação de Monômios .................................... 16 14.3.5 Radiciação de Monômios ...................................... 17
14.4 Polinômios ............................................................................. 19 14.4.1 Adição e Subtração de Polinômios ....................... 19 14.4.2 Multiplicação de Polinômios ................................ 22
CAPÍTULO 15 - PRODUTOS NOTÁVEIS ........................................... 29
15.1 Quadrado da Soma ................................................................ 29 15.2 Quadrado da Diferença ......................................................... 31 15.3 Produto da Soma pela Diferença .......................................... 33
CAPÍTULO 16 - FATORAÇÃO ............................................................... 35
16.1 Fator Comum ......................................................................... 35 16.2 Agrupamento .......................................................................... 37 16.3 Diferença de Dois Quadrados ............................................... 39 16.4 Trinômio Quadrado Perfeito ................................................ 40 16.5 Trinômio do 2º Grau ............................................................. 41 16.6 Casos Combinados de Fatoração ......................................... 45 16.7 Simplificação de Expressões ................................................. 48
CAPÍTULO 17 - FRAÇÕES ALGÉBRICAS ........................................... 50
17.1 Simplificação de Frações Algébricas .................................... 50 17.2 Operações com Frações Algébricas ...................................... 53 17.2.1 Multiplicação de Frações Algébricas ................... 53 17.2.2 Divisão de Frações Algébricas .............................. 57 17.2.3 Adição e Subtração de Frações Algébricas ......... 60
CAPÍTULO 18 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS FRACIONÁRIAS .... 62
Curso de Matemática Básica Álgebra
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Apresentação Nesta apostila abordaremos um assunto nada agradável para a maioria dos estudantes, mas que é de grande importância para a Matemática. O conhecimento de Álgebra é uma ferramenta que ajuda a compreender a forma como o algoritmo de resolução de muitos exercícios é efetuado. A Álgebra tem por finalidade simplificar muitos cálculos que de outra forma necessitariam de muito tempo e espaço para serem resolvidos. A palavra ÁLGEBRA tem origem árabe e conforme o Dicionário Luft (2000), Álgebra é a parte da Matemática que generaliza as questões aritméticas, representando quantidades através de símbolos. Sua origem é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr). Um advogado francês e apaixonado por álgebra, François Viète, que viveu de 1540 até 1603 passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática, por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra. Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète. A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète: 1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação; 2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação; 3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes da incógnita e os termos independentes ( literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.
Por que devemos aprender Álgebra? O ensino de Álgebra geralmente é iniciado, mais sistematicamente, no 8º ano (antiga 7ª série) do Ensino Fundamental e visa apresentar regras de transformações de expressões e a resolução de equações e sistemas de equações e inequações. Para muitos profissionais, o ensino da Álgebra é uma fonte de dificuldade para os alunos o que demanda muito tempo de estudo, com resultados pequenos e desânimo. A maior dificuldade do aluno é aceitar uma letra representando número desconhecido e não percebe o sentido de uma expressão algébrica. Outra dificuldade é a tradução da linguagem comum para a linguagem simbólica da Matemática. A álgebra ajuda a estruturar o raciocínio e permite equacionar e resolver numerosos problemas de situações do cotidiano. A Álgebra ajuda a melhorar a compreensão e a desenvolver o raciocínio lógico matemático, contribuindo para um pensamento autônomo. A Álgebra capacita o aluno a representar simbolicamente uma quantidade desconhecida relacionando-a com as informações de uma situação ou problema. O autor1 _________________________ 1 Professor de Matemática do Ensino Fundamental e Médio no Colégio Adventista Portão Licenciado em Matemática pela PUC-PR
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Depois do século XVI, os matemáticos começaram a representar números desconhecidos por meio de letras para indicar operações matemáticas de uma forma mais simples.
O valor numérico de uma expressão algébrica é o número real que obtemos quando substituímos as letras por números reais dados e efetuamos as operações indicadas, obedecendo à seguinte ordem de resolução:
Radiciação Potenciação Multiplicação ou divisão (na ordem que aparecerem) Adição ou subtração não esqueça de respeitar a sequência de eliminação dos ( 1º ) – parêntesis [ 2º ] – colchetes { 3º } – chaves
1) Calcule o valor numérico da expressão: 3x2 - 4xy, para x = 5 e y = 3.
V. N. = 3 . 52 - 4 . 5 . 3
V. N. = 3 . 25 - 4 . 5 . 3
V. N. = 75 - 60
.V. N. = 15.
2) Calcule o valor numérico da expressão: 2
2
x 3yy 5x
−+
, para x = - 2 e y = 3.
V. N. = 2
2
( 2) 3.33 5.( 2)− −+ −
V. N. = 4 99 10−−
V. N. = 51
−−
.V. N. = 5.
3) Calcule o valor numérico da expressão: 3 22x 3x 1x 1− +−
, para x = 4.
V. N. = 3 22.4 3.4 14 1− +−
V. N. = 2.64 3.16 1
3− +
V. N. = 128 48 1
3− +
V. N. = 813
⇔ V. N. = 93
⇔ .V. N. = 3.
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4) Calcule o valor numérico da expressão: 23x 5xx 1−−
, para x = 23
.
V. N. =
22 23. 5.3 3
2 13
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− =
13 4.9 3
25.3
2 13
−
− =
4 103 32 3
3
−
− =
63
−1
13
−1
=
1 Calcule o valor numérico da expressão: a) 2x + 3y, para x = 5 e y = - 2. b) x2 - 2x, para x = - 3.
c) x2 - ab, para 1x2
= , 1a3
= e 1b4
= .
d) 2p2 - 4pq - 3q2, para 1p6
= − e 2q3
= .
e) 3x2 - 5x + 12, para x = - 4. f) a3 + 3ab + 5b2 + 1, para a = - 3 e b = - 4. g) 2x3 + 4x2 - 5x + 4, para x = - 4.
h) m3 - 2mn + 2n2, para 1m2
= − e 1n4
= .
i) x2 + 3x - 6xy + xy2, para x = - 2 e y = 3.
j) 3.(x2 - y2) - 5.(x + y) + 3.(x2 + y2) - 4y, para 1x2
= e 2y3
= − .
2 Calcule o valor numérico da expressão:
a) 2
2
x 3yy 3x 4
−+ −
, para x = - 2 e y = 3.
b) 2 2
2 2
3a 2ab 2ba b+ +
−, para a = 6 e b = 3.
c) 3 2
2
m 3m 4m 1m 3m 5+ + −
+ −, para m = 3.
d) 2 2x 4 x 3x 2
x 2 x 1− − +
++ −
, para x = 4.
e) 3 2
4
a a b a ba 1
+ + +−
, para a = 2 e b = 4.
f) 2 2x 3xy yx 2y 4− +− −
, para 1x4
= e 1y2
= − .
g) 2 2
2 2
a 3ab ba a b− −+ −
, para 3a4
= e 1b3
= − .
h) 2
2
2ax bx 5a ax 3
− +− −
, para a = 2, b = - 3 e x = - 2.
i) 2 2
(a b).(a b)a 2ab b+ −+ +
, para a = 4, b = - 2.
j) 2 2
2 2
3a x 6ax 41 2ax a x
+ −+ +
, para 1a3
= a = 2 e x = - 6.
V. N. = 6.
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3 Calcule o valor numérico da expressão:
a) 2 2 2
2
(a b) (a b) 2a(a b) (a b).(a b)− + + −+ − − +
, para a = 2 e b = 8.
b) 2
2 2
x xy ax ay 2a 8ab 4b a x
+ + + −×
− −, para x = 1, y = - 3, a = 5 e b = - 2.
c) 2b b 4ac
2a− + −
, para a = 2, b = - 5 e c = - 3.
d) 2b b 4ac
2a− + −
, para a = 5, b = - 9 e c = - 2.
e) 3 22x 3x 2 3x
x 1− −
−−
, para x = - 2.
f) 3 3x y
2xy+
, para 1x8
= e y = 1.
g) 9x 4 3x 1+ − + , para x = 5.
h) 31x 2y 12 x 4y2
− + + − , para x = 5 e 1y2
= .
i) 2 2 2a a b a c
13 55
− ++ + , para a = 3, b = 2 e c = 4.
j) 2
2a 4axx 2 x 4
−+ −
, para 1a3
= − e 1b2
= .
4 Calcule o valor numérico da expressão algébrica: 4x - [2x2 + 3y - (5x3 + y3 - x) - 2xy], para x = 3 e y = - 4.
5 Calcule o valor numérico das expressões algébricas: a) 2a3 + 5a2b - ab2 - 5b3, para a = 5 e b = - 2.
b) 2
2
x 4 3 xx 4 x 2 x 2
++ −
− − + , para x = - 8.
c) 2 2
2 2
x 6xy 9yx 9y+ +
− , para x = 3 e y = 2.
d) 4 - [2x2 + 3y - (5x3 + y3 - x) - xy], para x = 2 e y = - 4.
e) 4x
4x4xx2
23
−+−− , para x = 3.
6 Simplifique a expressão algébrica 2ax + {5ax - [ax - (3ax - 12ax) + 8ax] + 15ax}, e calcule seu valor numérico para a = 3 e x = - 2.
7 Simplifique a expressão algébrica 10x2y3 - {8x2y3 + [x2y3 - (3x2y3 + 7x2y3) - (10x2y3 -
9x2y3) + 5x2y3] - 5x2y3} - 8x2y3 e calcule o seu valor numérico para 32x = e
23y = .
Curso de Matemática Básica Álgebra
8
8 Simplifique a expressão algébrica 2x2y2 - [- 5x2y2 - (x2y2 + 4x2y2 - 2x2y2) - 8x2y2] - 10x2y2 e
calcule seu valor numérico para 1x4
= e y = - 6.
9 Calcule o valor numérico da expressão algébrica: 5x - [2x2 + 5y - (5x3 + y3 - 3x2) - 6xy] - 1, para x = 5 e y = - 4.
Calcule o valor da expressão A p.(p a).(p b).(p c)= − − − , sabendo que a b cp2
+ += ,
a = 5, b = 4 e c = 3.
Quando uma expressão algébrica for um produto de números reais, expressa ou não por variáveis, isto é, letras, é chamada de termo algébrico. Essa expressão não pode ter somas ou subtrações. Exemplos: a) 5ab → é uma expressão algébrica de um termo.
b) 2x - 5y → é uma expressão algébrica de dois termos.
c) 3a - b + 2c → é uma expressão algébrica de três termos. Um termo algébrico é composto de duas partes: • a parte numérica, que será chamada de coeficiente. • a parte literal, inclusive com seus expoentes.
a) 3xy : 3 coeficientexy parte literal→⎧
⎨ →⎩.
b) - 8x2y3: 2 3
8 coeficientex y parte literal− →⎧⎨
→⎩.
c) - km: 1 coeficiente
km parte literal− →⎧⎨ →⎩
.
Observações: • Quando o coeficiente é 1, não devemos escrevê-lo. Nunca escreva 1xy, escreva apenas xy.
• Quando o coeficiente for - 1, escreva somente o sinal de -. Se tiver - 1a2b, escreva apenas - a2b.
• Se um termo algébrico tem “zero” como coeficiente, vai representar sempre um número real. 0m2n3 = 0 0x = 0
• Todo número real é considerado um termo algébrico sem parte literal. 3, - 5 ou 2 são termos sem parte literal.
Curso de Matemática Básica Álgebra
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1 Nos termos algébricos abaixo, identifique seu coeficiente e sua parte literal:
Termo Algébrico Coeficiente Numérico
Parte Literal
a) - 5x2 b) abc c) 2a2b3
d) 22 xy5
e) 2 f) - xy3z
g) 1 am2
−
h) 3 23a b4
i) 53x y
j) 2 4 3x y z
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Monômio é toda expressão algébrica inteira na qual temos somente uma multiplicação de números ou de variáveis. Exemplos:
a) 10x2y → é um monômio.
b) 2a → é um monômio.
c) 8 → é um monômio.
d) 3x2 + y → não é um monômio. Monômios Semelhantes Dois ou mais monômios são semelhantes quando apresentarem a mesma parte literal. Exemplos: a) 2xy e 5xy → são monômios semelhantes, pois têm a mesma parte literal xy.
b) - 4a2b2 e 2 22 a b3
→ são monômios semelhantes.
c) 6a2y e 3ay2 → não são monômios semelhantes, pois apresentam partes literais diferentes.
Curso de Matemática Básica Polinômios
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Operações com Monômios
Somente podemos somar ou subtrair monômios semelhantes. Se numa expressão algébrica
todos os monômios forem semelhantes, para torná-la mais simples, somamos algebricamente
os coeficientes e repetimos a parte literal.
1) Calcule: a) 3xy + 2xy = 5xy, pois 3 + 2 = 5.
b) 4a2b2 - 7a2b2 + 5a2b2 = 2a2b2, pois 4 - 7 + 5 = 2.
c) 2 22 1ax ax3 2
− = 2 24ax 3ax
6− = 21 ax
6.
d) 5,7x + 1,9x - 6,1x = 1,5x, pois 5,7 + 1,9 - 6,1 = 1,5. 2) Simplifique as expressões algébricas: a) 3x2 - [11x2 - (- 7x2 + 9x2) - 12x2] - [4x2 + (3x2 - 6x2)] =
3x2 - [11x2 - (+ 2x2) - 12x2] - [4x2 + (- 3x2)] =
3x2 - [11x2 - 2x2 - 12x2] - [4x2 - 3x2] =
3x2 - [- 3x2] - [+ x2] =
3x2 + 3x2 - x2 =
.5x2. b) - 11ay + {- [12ay + (5ay - 20ay) - (2ay + 3ay + 5ay)]} =
- 11ay + {- [12ay + (- 15ay) - (10ay)]} =
- 11ay + {- [12ay - 15ay - 10ay]} =
- 11ay + {- [- 13ay]} =
- 11ay + {+ 13ay} =
- 11ay + 13ay =
.2ay.
1 Calcule:
a) 8x - 12x = f) a2 - 2a2 + 6a2 =
b) y + 2y = g) xy2 + xy2 + xy2 =
c) 9x2 - 6x2 = h) 5x2 + 8x2 - x2 - 2x2 =
d) 6ay + 2ay = i) 3abc - 2abc + 5abc =
e) 5x2y - 8x2y = j) 8a2b2 - 5a2b2 + a2b2 - 3a2b2 =
Curso de Matemática Básica Polinômios
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2 Calcule:
a) 1 1x x2 3
− =
b) xy - 3 xy5
=
c) 4 3ab ab3 2
− =
d) 1 2 3xy xy xy6 3 4
2 2 2− + =
e) 2 2 21 1 1a b a b a b2 3 6
− + =
f) 2ax ax ax3 6
− − =
g) 7 3 1xy xy xy
10 5 15− + =
h) 2 2 21 1ab ab ab2 4
− − =
i) 1 1 5 3y y y y2 3 6 4
+ − + =
j) 3 2 3 2 3 2 3 21 3 3a b a b a b a b2 5 10
− + + + =
3 Calcule:
a) 1,6ax + 3,75ax = b) 5,43x2 - 0,48x2 - 0,5x2 = c) 3,4y - 1,78y = d) 6xy - 0,7xy - 1,5xy - 2,4xy = e) 2,8x2y - 0,5x2y - 1,6x2y - 0,3x2y = f) - 1,75a4 - 0,6a4 - 1,2a4 - 1,05a4 = g) 0,5ab - 0,3ab + ab + 0,8ab = h) 0,25x3y2 - 1,5x3y2 + 0,125x3y2 = i) - x3 - 0,8x3 + 3x3 - 0,25x3 = j) 2mn + 2,2mn - 3,4mn + 1,75mn =
4 Simplifique as expressões algébricas: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno)
a) 30ab + (- 25ab) - (+ 2ab) - (+ 10ab) = b) 10x + (+ 3x) - (- 12x) + (- 11x) + (- 2x) = c) 10ax - (- 7ax) - (+ 8ax) + (+ 3ax) - (+ 9ax) = d) 8y - (- 4y + 7y) - (3y - 5y) - 9y = e) 10x2y - [5x2y + (3x2y - 6x2y) - (9x2y - 13x2y)] = f) 4x2 - [2x2 - (6x2 - 7x2) - 3x2] - (5x2 - 9x2 + 3x2) = g) ay + [8ay - (- 2ay + 10ay) + 6ay] - (- 2ay + 4ay) = h) 5xy2 - {2xy2 - [7xy2 - (2xy2 + 5xy2 + 7xy2) - xy2] - 3xy2} = i) 12x2y2 - {2x2y2 - [5x2y2 + (4x2y2- 7x2y2) - 3x2y2] + 6x2y2} = j) 2a2 - {- a2 - (4a2 - 3a2) + [10a2 - (31a2 - 27a2)] + 3a2} =
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5 Simplifique as expressões algébricas: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno)
a) 1,1x3y - 0,48x3y - 1,05x3y + x3y - 0,07x3y =
b) - 3,1ap + (2,4ap - 3,8ap) - (1,6ap - 2ap) =
c) 0,7a2x - [0,2a2x + (5a2x - 3,7a2x) - 1,4a2x] - 0,4a2x =
d) - 1,5p2q5 + 1,75p2q5 - 0,125p2q5 + 0,2p2q5 - 0,075p2q5 =
e) 2 2 2 27 1ab 2ab ab ab3 3
⎡ ⎤⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ =
f) 1 1x 1,1x x 0, 4x6 2
⎡ ⎤⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ =
g) 1 2 1 1by by 1,2by by by4 3 2 30
⎡ ⎤⎛ ⎞− − − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ =
h) 2 3 2 3 2 3 2 35 3 5 2x y x y x y x y12 4 6 9
⎡ ⎤⎛ ⎞− − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ =
i) 1 2 1 1mn mn mn mn mn
10 5 2 4⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞− − + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
=
j) 1 2 3 1 2m m m m m m 3m m
12 3 4 10 5⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − + − − −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
=
6 Simplifique as expressões e calcule o seu valor numérico. (fazer no seu caderno)
a) 15x + [- 5x + (5x - 7x + 3x - 4x) - 3x], para x = 5.
b) (- 10x2y2 + 15x2y2 - x2y2) - [7x2y2 + (- 4x2y2 + 2x2y2) - 3x2y2], para x = 1 e y = 2.
c) 5x2y - [- x2y - (3x2y - 5x2y) - (8x2y - x2y) - 4x2y] - 10x2y, para x = 6 e 151y = .
d) 15ab - {(ab + 6ab + ab) - [(2ab - ab) - (10ab + 2ab)]}, para a = 2 e b = 3.
e) 12xy2 - {- xy2 + [- xy2 - (- 18xy2 - 4xy2) - 3xy2] - 8xy2 - 5xy2}, para 61x = e
23y = .
Para se entender bem a multiplicação de monômios, é muito importante recordarmos a propriedade da potenciação:
.am . an = am + n, com a ≠ 0. Para multiplicar dois ou mais monômios, devemos:
♦ multiplicar os sinais;
♦ multiplicar os coeficientes;
♦ multiplicar as partes literais entre si, usando a propriedade acima.
Curso de Matemática Básica Polinômios
13
a) (+5a3).(- 3ab) = - 15a4b
b) (- 8x2y3).(- 2a2y) = + 16a2x2y4
c) (- 1,35xy2).(+ 0,4x2y) = - 0,54x3y3
d) 4 5ab . ax5 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 24- a bx3
e) 3 212 5m n . - mn15 18
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 4 32 m n9
+
1 Calcule os produtos: 2 Calcule os produtos:
a) x2 . x3 = a) (+ 2x).(+ 3x2y) =
b) 2x5 . 3x2 . x = b) (- 3xy3).(+ 4xy) =
c) (+ 4x).(- 3x2) = c) (- 5axy).(- 3a2y2) =
d) (- 7x2).(- 5x4) = d) (+ 6a).(- a).(- 4a2) =
e) (- 6m4).(- 2mx2) = e) (- 5x).(- 3xy).(- 2xy2) =
f) (+ 8am2).(+ 2a2m3) = f) (- 2x).(+ 5xy).(- x4) =
g) 5a3x . ax . 3a2y = g) (- a2c).(+ ac3).(+ a2c2) =
h) (- 6x4y2).(- 3xy2) = h) (- 4x2).(+ 2x3).(- 3x) =
i) (+ 2a2b3).(+ 5ab2) = i) (+ 7x2y4).(- 2xy2).(- xy) =
j) (+ 8x2).(- 7x4) = j) (- 5ab2).(+ 4b).(- a3x5) = 3 Calcule os produtos:
a) 21 4a . a2 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= f) 5 2 33 15a m . am5 9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
b) 3 2 23 2x y . x y4 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= g) 21 2( a). a2 3
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
=
c) 21 3a x . y3 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= h) 2 2 33 4xy .( 4xy ). x y2 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
d) 310 2a . a3 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= i) 22 5am . an .( 7mn)5 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
e) 3 21( 7xy ). x y14
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
= j) 2 32( 12mnp). m n .( 5np)3
⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Curso de Matemática Básica Polinômios
14
4 Calcule os produtos:
a) (- 1,4xy2).(- 0,3x2y2) = f) (+ 2,5a6x5).(- 5a) = b) (+ 1,5a).(- 0,5a2x) = g) (- 1,5x3).(- 0,3ax2) = c) (- 2xy).(- 1,5x2y3) = h) (+ 1,6m2n).(- 0,5am) = d) (- 4,5y2).(+ 0,3x2y2).(- y3) = i) (- 0,75x).(- 0,2ax).(+ 1,6a2x2) = e) (0,1xy).(100xy2).(0,01x3) = j) (- 1,2pq2).(+ 6p3).(+ 0,5pq) =
5 Escreva o monômio que representa a área da figura:
6 Qual é o monômio que representa o volume da figura?
7 Calcule: Observe a figura abaixo e calcule o que se pede:
a) o monômio que representa o volume do sólido.
b) o valor numérico do volume quando a = 12
e b = 4.
Vamos recordar a propriedade da potenciação:
.am : an = am - n, com a ≠ 0. Para dividir dois monômios, devemos:
♦ dividir os sinais; ♦ dividir os coeficientes; ♦ dividir as partes literais entre si, usando a propriedade acima.
a) (-6x5y2):(+3x3y) = - 2x2y b) (- 5m4n):(- 3m2n) = 25 m3
c) 4 3 25 10x y : xy6 9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 35 9. .x y6 10
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 33- x y4
Curso de Matemática Básica Polinômios
15
1 Calcule: 2 Calcule:
a) x8 : x5 = a) (- 5x2y2):(+ 5x2y2) =
b) 12y6 : 4y2 = b) (+ 8a3):(- 4a) =
c) 20a5y2 : (- 5a2y) = c) (- 12x3y2):(- 2xy) =
d) (- 32m4y2):(- 8m2) = d) (27x5y4):(9x3y2) =
e) (+ 9xy6):(- 3xy4) = e) (- 6p10q8):(+ 3p9q5) =
f) (- 2a2b3):(- ab3) = f) (- 14xy3):(- 7xy2) =
g) (- 20x2y3):(- 5xy2) = g) (- 24a3b8):(+ 4a2b7) =
h) (+ 15x8):(+ 3x6) = h) (+ 2x3y):(- 4x2)
i) (- 12m7n2):(+ 3m2n2) = i) (- 15a7b5):(+ 20a5b5) =
j) (+ 36ab3):(- 12ab2) = j) (- 21x4y2):(- 14x2) =
3 Calcule:
a) 5 31 2p : p3 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
b) 25 10a c : ac6 9
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
c) 8 2 6 22 4x y : x y5 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
d) 4 21x : x3
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
=
e) 15 121 a : ( 3a )2
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
=
f) 7 3 43 1a b : a b4 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
g) 6 51 1an : an8 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
h) 2 2 23( 0,4xy z ) : xyz5
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
=
i) 4 3 22 4a x : ax7 7
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
j) 5 35 5by : by3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
4 Calcule:
a) (- 2xy4):(- 0,5y2) = f) (+ 1,5x3y3):(- 5x3y3) =
b) (- 0,4a2b4):(+ 0,25ab2) = g) (- 0,25mx2):(- 2x) =
c) (+ 0,1a6x2):(- 0,01a3) = h) (4,096p5q2):(1,6p3q) =
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Precisamos recordar a propriedade da potenciação:
.(am)n = am . n, com a ≠ 0. Para elevarmos um monômios a um potência dada, devemos:
♦ elevar o sinal ao expoente dado;
♦ elevar o coeficiente ao expoente dado;
♦ elevar a parte literal ao expoente dado, usando a propriedade acima.
a) (+ 2x2y)2 = 4x4y2
b) (- 5a3b2)2 = 25a6b4
c) (- 0,5m5n)3 = - 0,125m10n3
d) 2
3 22 a b3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 6 44 a b9
e) (- 2p3q2)5 = - 32p15q10
1 Calcule: 2 Calcule:
a) (a4)2 = a) (- 2m3n2)6 =
b) (2x2)3 = b) (- 5x2y3z)2 =
c) (a2m)5 = c) (+ 8a2bc3)2 =
d) (3x3y2)2 = d) (- 3x2y)3 =
e) (4a3m2z)3 = e) (- am6x3)4 =
f) (5x2y2)2 = f) (- 2a2c3)3 =
g) (- 4a2y)2 = g) (- 5x4y3)2 =
h) (- 2p2q)3 = g) (+ 4p2q5)3 =
i) (- 2a3)6 = i) (- 2a5b2c4)5 =
j) (+ 3ax5)2 = j) (+ 5a3m4n2)3 =
3 Calcule:
a) (- 0,2x2)2 = f) (+ 2,5ab5)2 =
b) (+ 1,5b2y3)2 = g) (0,1x2y)5 =
c) (0,4a5b3)3 = g) (- 1,5a2y3)3 =
d) (- 0,3a3b2z)2 = i) (0,8m5n3)2 =
e) (- 1,2p4q2)2 = j) (- 0,4a2b3c4)3 =
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17
4 Calcule:
a) 2
23 p5
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
= f) 2
3 22 x y3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
b) 3
2 32 x y3
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
= g) 3
4 34 x yz5
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
=
c) 4
23 ac5
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
= h) 2
21 x y4
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
=
d) 3
2 52 m n5
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
= i) 4
21 ab c3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
e) 2
5 43 b c4
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
= j) 4
3 42 am n5
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
=
Vamos recordar a propriedade radiciação:
≥ ≥nm n ma = a , co m a 0 e m 2
O estudo da radiciação de monômios é semelhante ao que foi visto com números racionais positivos. Acompanhe os exemplos:
a) 36 = 26 = 6 b) 3 27 = 33 = 3
c) 2581
= 2
2
59
= 25
9⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 59
d) 364
125− =
33
3
4-5
= 3
345
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
= 4-5
Vamos considerar, para o estudo da raiz quadrada de monômios, que todas as variáveis utilizadas assumam valores reais positivos, isto é, não podem ser valores negativos.
a) . 216b = 4b a raiz quadra de 16 é 4 e o expoente de b foi dividido pelo índice da raiz
b) 6 93 64a b = 4a2b3 a raiz cúbica de 64 é 4 e os expoentes de a e b foram divididos pelo índice da raiz.
c) 6 425 x y49
= 3 25 x y7
foi extraída a raiz da fração e divididos os expoentes do radicando.
d) 8 20, 25m n = 8 225 m n100
= 45 m n10
= 41 m n2
o decimal foi passado para fração e extraída sua raiz, os expoentes foram divididos pelo índice da raiz e a fração foi simplificada.
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18
1 Calcule: 2 Calcule:
a) 6x = a) 2 464a m =
b) 2 4a b = b) 4625x =
c) 225x = c) 12 8324m n =
d) 64a = d) 16400x =
e) 4 849a b = e) 6 8 10289a m n =
f) 69m = f) 8 122,25p q =
g) 8 216x y = g) 6 101,96x y =
h) 2 6 881a b c = h) 6 40,25a p =
i) 2 10169x y = i) 2 80,01x y =
j) 4 6144a m = j) 80,49x =
3 Calcule:
a) 21 x4
= f) 6 938 a m27
=
b) 10 64 x y25
= g) 8 12416 x y81
=
c) 6 1081 a m100
= h) 5 1551 a c32
=
d) 2 625 a c64
= i) 3 6 931 a b c8
=
e) 8 41 a x9
= j) 12 15364 a m
125 =
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19
Polinômio é uma sentença algébrica formada por monômios associados pelas operações da adição e subtração. Exemplos:
a) 5a2b3 → monômio b) x2 - 3x → binômio c) x + 2y - 5 → trinômio d) x3 - 3x2 + 5x - 10 → polinômio
Observações: • Toda adição algébrica de monômios é chamada de polinômio.
• Qualquer monômio é um polinômio.
• Os monômios que formam um polinômio são chamados de termos do polinômio.
• O grau de um polinômio é dado pelo seu termo de maior grau.
Para se somar algebricamente dois ou mais polinômios, devemos reduzir os termos semelhantes. Acompanhe com atenção os exemplos abaixo:
a) (5x - 3) + (x + 7) = polinômio dado
5x - 3 + x + 7 = eliminando os parênteses
5x + x - 3 + 7 reduzindo os termos semelhantes
.6x + 4. polinômio reduzido
b) (5x4 - 3x3 + 12x2 -7) - (3x4 + 10x2 - 3x - 5) = polinômio dado
5x4 - 3x3 + 12x2 - 7 - 3x4 - 10x2 + 3x + 5 = eliminando os parênteses
5x4 - 3x4 - 3x3 + 12x2 - 10x2 + 3x - 7 + 5 = reduzindo os termos semelhantes
.2x4 - 3x3 + 2x2 + 3x - 2. polinômio reduzido
c) 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1x y y x x y3 2 3 3 2 2 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − + + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
polinômio dado
2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1x y y x x y3 2 3 3 2 2 4
+ + − + − + − − eliminando os parênteses
2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1x x x y y y3 2 3 4 2 3 2
+ − + − − + − + reduzindo os termos semelhantes
2 2 2 2 2 24x 6x 3x 12y 4y 3y 3 2 3
6 12 6+ − − − − +
+ + mmc de polinômios semelhantes
2 27 5 2x + y +6 12 3
polinômio reduzido
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20 d) Sejam os polinômios A = x2 - 3x + 2, B = 3x3 + 5x2 - 4x - 5 e C = 3x2 - 10x - 7, determine A + B - C.
(x2 - 3x + 2) + (3x3 + 5x2 - 4x - 5) - (3x2 - 10x - 7) =
x2 - 3x + 2 + 3x3 + 5x2 - 4x - 5 - 3x2 + 10x + 7 =
3x3 + x2 + 5x2- 3x2 - 3x - 4x + 10x + 2 - 5 + 7 =
.3x3 +3x2 + 3x + 4.
1 Calcule: a) (9x - 7y) + (- 6x + 3y) =
b) (6x2 + 8x - 3) + (x3 - 2x2 - 5x + 7) =
c) (4x2 - 4x + 5) - (2x2 + 7x - 1) =
d) (x4 - 2x2 - 5x - 6) - (2x3 - 5x2 - 2) =
e) (7x + 2y - 6) + (- 3x - 4y + 5) =
f) (x3 - 3x2 - 2x - 2) - (x2 + 3x - 4) =
g) (5x3 + 4x2 - 2x + 1) + (- 2x3 - 4x2 + 7x - 3) =
h) (2x3 - 10x2 + x) - (- 8x2 - 2x + 3) =
i) (a4 + 5a3 + a2) - (- a2 + 3a + 6) =
j) (x3 - 5x2 - 4x + 3) + (2x2 + 8x - 5) = 2 Calcule:
a) (4x2 - 7x + 2) + (x3 + 3x2 + 2x + 3) - (x2 - x - 1) =
b) (x3 - 4x2 + 6x - 4) - (2x3 - 3x - 5) + (4x3 + 9x2 - 11x - 3) =
c) (7a2 - 3ab +2b2) - (3a2 - 5ab - c2 - 3b2) + (- 6ab - c2) =
d) (9x3 - 8x + 10) + (- 3x2 + 6x - 2) - (7x3 - 5x2 + 4x + 5) =
e) (ab + a2b2 - 7a - b) - (4a2b2 - 7a + 3b - ab) + (4b + 5a2b2) =
f) (7m3 - 2m2 + 3m - 5) + (m3 - 4m + 9) - (5m3 + 4m2 - m + 1) =
g) (3a4 - a2 + 7a - 1) - (2a4 + 3a3 + 5a - 6) + (5a3 - 3a2 + a - 2) =
h) (x3 + 5x2 - 3x + 11) - (3x2 - 9x + 7) - (4x2 - 3x) =
i) (x2 - 3x + 5) + (x3 - 4x2 + x + 2) - (- 2x2 - x - 4) =
j) (5y3 - 6y2 - 5y + 10) - (y3 - y2 - 2y - 1) + (y3 + 3y2 - 15) = 3 Calcule:
a) 2 2 2 22 1 1 1x xy y xy y x3 2 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
b) 2 23 2 1 3x x 2 x2 5 6 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
c) 2 3 1 1 1ax xy ay ax xy ay3 4 2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
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21
4 Simplifique as expressões: a) (4x2 - 2x + 3) - 3.(x2 + 6x - 8) + 2.(3x2 + 7x - 15).
b) 2.(x3 - 3x2 + 2x - 5) + 3.(x2 - 5x + 3) - 5.(x2 - 4x - 1).
c) (x3 + 7x2 - 4x + 15)+ 3.(x2 - 2x + 6) – 5.(x2 - 2x + 9) - 4(x + 2).
d) (x3 + 6x2+ 5x + 2) - 3.(3x2 - 6x - 5) + 5.(x2 - 4x - 3).
e) 2.(x2 + 5x - 6) - 3.(x2 - 5x - 8) + 4.(x2 - 5x - 5).
f) (x3 - 5x2 + 2x + 8) - 2.(x2 + 6x + 5) - 3.(- x2 - 5x + 2).
g) 6.(a + ax + x) - 2.(a - ax - x) + 3.(- a - ax + x).
h) 3.(x2 + 2x + 1) - 2.(x2 - 3x + 1) - 5.(2x - 1).
i) 2.(3x3 - 5x2 - 9x + 1) - 3.(4x2 - x - 2) + 4.(- x3 + 4x2 + 6x).
j) 3.(2x3 - x2 + 4x - 3) - 5.(4x2 - 2x + 1) + 6.(3x2 - 5x + 4). 5 Sejam os polinômios A = 2x3 - x2 + 5x + 3, B = 4x2 - 2x + 1 e C = 3x2 - 5x + 4, determine:
a) A + B + C. d) 3A - 4B - 5C.
b) 2A - 3B - C. e) A + 4B - 5C.
c) A + 2B - 3C. 6 Dados A = 2x3 + 3x2 + 5x - 4, B = 4x2 - 5x + 2 e C = - 4x + 3, calcule:
a) 2A - 3B + 5C.
b) A - 3B + 4C.
c) 3A - 2B + 5C.
7 Dados os polinômios A = x2 - 3x + 6, B = x3 - 4x2 - 3x + 5 e C = 3x - 4. Calcule: a) - A + B - C. c) 3A + 2B + 4C.
b) 2A + 3B + 7C. d) - A + 2B + 5C. 8 Simplifique a expressão: 2.(a3 - 5a + 3) + 5.(a4 - 2a3 + 3a + 1) - 3.(2a2 + 3a - 7) e calcule o seu valor numérico para a = 2.
9 Dada a figura abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo.
b) o valor numérico do perímetro para x = 8 e y = 3.
Dados A = 2x3 + 3x2 - 5x - 4, B = 4x2 - 5x + 2 e C = 2x + 3, calcule: a) A + B + C. d) A - 3B + 4C.
b) 2A - 3B + 5C. e) A + 2B - 5C.
c) A - 2B + 3C.
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22
Vamos estudar dois casos de multiplicação de polinômios:
1º caso - Monômio por polinômio:
1) Calcule os produtos: a) 2x.(x2 - 3x + 1) = .2x3 - 6x2 + 2x.
b) 5x2y.(x2 - 3xy + 2y2) = .5x4y - 15x3y2 + 10x2y3.
c) 3a.(a3 - 2a2 + 3a - 5) = .2a4 - 6a3 + 9a2 - 15a.
2º caso - Polinômio por polinômio:
2) Calcule os produtos: a) (x - 3).(x + 2) = b) (x2 - x).(2x - 3) =
x2 + 2x - 3x - 6 = 2x3 - 3x2 - 2x2 + 3x =
.x2 - x - 6. .2x3 - 5x2 + 3x. c) (3x + 5).(4x - 2) =
12x2 - 6x + 20x - 10 =
.12x2 + 14x - 10.
d) (x + 3).(x - 2).(x - 4) =
(x2 - 2x + 3x - 6).(x - 4) =
(x2 + x - 6).(x - 4) =
x3 - 4x2 + x2 - 4x - 6x + 24 =
.x3 - 3x2 - 10x + 24.
e) (a + 2).(a - 3).(2a - 1) =
(a2 - 3a + 2a - 6).(2a - 1) =
(a2 - a - 6).(2a - 1) =
2a3 - a2 - 2a2 + a - 12a + 6 =
.2a3 - 3a2 - 11a + 6. 3) Simplifique a expressão: 3.(x - 1).(x - 2) + (x - 3).(x + 4) - 3.(x + 3).(x - 2) + 5.(x - 2) =
3.(x2 - 2x - x + 2) + (x2 + 4x - 3x - 12) - 3.(x2 - 2x + 3x - 6) + 5x - 10 =
3x2 - 6x - 3x + 6 + x2 + 4x - 3x - 12 - 3x2 + 6x - 9x + 18 + 5x - 10 =
23x + x2 - 23x - 6x - 3x + 4x - 3x + 6x - 9x + 5x - 12 + 18 - 10 =
.x2 - 6x + 2.
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234) Observe a figura abaixo:
a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura. P = 2.(3x + y) + 2.(3x - 2y)
P = 6x + 2y + 6x - 4y
.P = 12x - 2y.
b) Determine o valor numérico do perímetro quando x = 6 e y = 4. V. N. = 12 . 6 - 2 . 4
V. N. = 72 - 8
.V. N. = 64.
c) Escreva o polinômio que representa a área da figura. A = (3x + y).(3x - 2y)
A = 9x2 - 6xy + 3xy - 2y2
.A = 9x2 - 3xy - 2y2.
d) Determine o valor numérico da área quando x = 6 e y = 4. V. N. = 9x2 - 3xy - 2y2
V. N. = 9 . 62 - 3 . 6 . 4 - 2 . 42
V. N. = 9 . 36 - 18 . 4 - 2 . 16
V. N. = 324 - 72 - 32
V. N. = 324 - 104
.V. N. = 220.
5) Dado o sólido geométrico abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o volume do sólido. V = (2x + 5).(x + 2).(x - 3)
V = (2x2 + 4x + 5x + 10).(x - 3)
V = (2x2 + 9x + 10).(x - 3)
V = 2x3 - 6x2 + 9x2 - 27x + 10x - 30
.V = 2x3 + 3x2 - 17x - 30.
Curso de Matemática Básica Polinômios
24 b) o valor numérico do volume para x = 5.
V. N. = 2x3 + 3x2 - 17x - 30
V. N. = 2.53 + 3.52 - 17.5 - 30
V. N. = 2.125 + 3.25 - 17.5 - 30
V. N. = 250 + 75 - 85 - 30
V. N. = 325 - 115 .V. N = 210.
1 - Calcule os produtos: 2 - Calcule os produtos:
a) 5x.(2x2 - x) = a) am3.(3a2m - 2m5) = b) 4ab.(a2 - 2ab + b2) = b) 3x.(2x - 5) = c) x2y2.(x2 + xy - y2) = c) (x2 + y).x = d) 4a2b.(2a3 - 3ab2 + b) = d) (y2 - 4y).2ay4 = e) 3a.(2a2 - 5b2) = e) (x2 - 3).(- 2x3) = f) b.(2a + b) = f) (a + m).(- am2) = g) 2x.(4p - 5q2) = g) (- p2 - 2p + 1).(- p3) = h) 8.(x2 - 3x + 2) = h) xy2.(xy + x2y - 4xy2) = i) 5x2.(x - 3) = i) 5y3.(2y4 + 5y5 - 8y3) = j) - x.(- ax + xy) = j) x.(x + y - xy + 5x2) =
3 - Calcule os produtos: 4 - Calcule os produtos:
a) (x + 7).(x - 4) = a) (x + 2).(3x - 4) = b) (y - 6).(y - 5) = b) (x2 - x + 1).(x3 - 2x) = c) (2a + b).(a - 2b) = c) (a2 + ab + b2).(a - b) = d) (a - y).(a - 2x) = d) (x + 2).(x3 - 2x2 +3x - 5) = e) (ab - 2x).(ab + x) = e) (a + 2x).(3a + 5x) = f) (x2 + 5y).(2 - 3x) = f) (x2 - x - 2).(x - 3) = g) (3mx + y).(mx - 2y) = g) (x2 + 2x - 3).(x2 - 2x + 3) = h) (2a + 5).(2a - 3) = h) (x + y - 2).(x - 2y) = i) (x2y + 2).(5 - y2) = i) (x3 - x2 - 2x - 5).(x2 + x - 2) = j) (y4 - y3).(y2 - 2) = j) (a3 + a2 - 3a).(a2 - 4a - 2) =
5 - Calcule os produtos:
a) (x + 9).(x - 6) = f) (x + 3).(x2 + 2x - 2) = b) (a + 2y).(a - 3y) = g) (2a - b2).(a2 - 3ab - 4b2) =3 c) (y - 4).(y - 12) = h) (a2 - ay + y2).(2a + y) = d) (b + 2a).(a - b) = i) (x3 - 2x2 - 5x).(x2 - 2x) = e) (x + a).(3x - 4a) = j) (2a + b).(a + 3b) =
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256 - Calcule os produtos:
a) x.(x - 2).(x - 4) = f) (y2 - 1).(y + 2).(y2 - 3) = b) (a - b).(a - 3b).(2a - b) = g) (a + 2x).(a - 3x).(a + x) = c) (a + b).(a + b).(a + b) = h) (x + 3).(x + 2).(x - 1) = d) (x - 4).(x - 5).(x + 2) = i) (x - 1).(x + 2).(x - 4) = e) (x + 3).(x - 2).(x - 1) = j) (x - 3).(x + 2).(x - 2) =
7 - Calcule os produtos: 8 - Calcule os produtos:
a) (x - y).(x - 2y).(x + 3y) = a) (x + 8).(x - 1) = b) (a - b).(3a - 2b).(a + b) = b) (5x + y).(x + 3y) = c) (x - 2).(2x + 7).(x + 3) = c) (xy + 6).(x - y2) = d) (a + 2x).(a - 3x).(a + x) = d) (x2 + 3x - 4).(x - 2) = e) (x + 3).(x + 2).(x - 1) = e) (y2 + y - 3).(y + 5) = f) (x - 1).(x + 2).(x - 4) = f) (2x + 3).(2x - 1).(x - 2) = g) (p - 1).(p + 1).(p + 2) = g) (x - 3).(x - 4).(x + 2) = h) (x - 3).(2x + 3).(x + 1) = h) (x - 2).(x + 5).(x + 4) = i) (x + 2).(x - 3).(x + 4) = i) (x - y).(x - 2y).(x + 3y) = j) (x + 1).(x - 2).(x - 3) = j) (a - 3).(a + 2).(a - 5) =
9 - Simplifique as expressões algébricas:
a) (x2 + 2x + 4).(x - 2) - (x2 - 2x + 4).(x + 2) = b) (x + 1).(x - 2) + (x - 5).(x + 6) - 2.(x + 3).(x - 4) = c) (x2 - xy + y2).(x + y) - (x2 + xy + y2).(x - y) = d) (x - 5).(x2 - 3x - 2) + 2.(x + 1) - 5.(x + 3) = e) 2.(x + 6) - 3.(x + 5) + 3.(x + 3) - (x + 5) = f) x.(x + y - 1) + y.(- x + y + 1) + (x - y + 1) = g) (x - 1).(x2 + x - 1) - (x - 1).(x2 + 1) = h) 3.(a2 + a + 1) + 2.(a2 + 2a - 2) - (a2 - 3a - 3) - a.(2a + 5) = i) 2.(3x - 2).(x + 3) - 3.(x + 2).(1 - x) - 3x.(2x + 3) = j) 2.(5x2 - 3x) + (3x - 1).(x2 - x + 1) + 3.(x2 - 1) =
10 - Resolva os problemas:
a) Se A = x - 2, B = x - 1 e C = x2 + 1, determine o polinômio A.B - 2.C e seu valor numérico, para x = - 5.
b) Sendo A = 3 - 2x, B = 2x + 4, C = 5 - x e D = x - 3, determine o polinômio que representa a expressão 3AC - 2BD - 20A.
c) Dados A = 3 - 2x, B = x - 8, C = 5 - 2x e D = 3 - x, calcule 2AC + 3BD. d) Dados A = a2 + a + 1, B = a2 + 2a - 2 e C = a2 - 3a - 3, calcule: 3A + 2B - C. e) Sendo A = 4x2 - 3x, B = 3x - 1, C = x2 - x + 1 e D = 3x2 - 1, calcule 2A + BC,
(A - D).(B + C) e - A + CD + B. f) Simplifique a expressão: (x + 2a)3 - ax.(5x + 7a) - a.(x + 2a)2 e determine o seu valor
numérico quando a = x = - 1. g) Simplificando a expressão (m + n)2 - (2m + n)(n - m) - m.(2m + n) e seu valor
numérico para m = - 3.
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h) Considere os polinômios: A = x - 2, B = x - 3, C = x + 2 e D = 4x - 5. Calcule o valor da expressão: A2 - 2B2 - 3D + AC + 8x.
i) Se P = x + 1 e Q = x - 1, determine o polinômio que representa a expressão PQ + 3Q2 + 3Q + 1 e seu valor numérico para x = 2.
j) Dados os polinômios A = x2 + 5x - 6, B = x2 - 5x - 8 e C = x2 - 5x - 5, calcule 2A - 3B + 4C e o seu valor numérico para x = 4.
11 - Dada a figura abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo.
b) o valor numérico do perímetro para x = 3.
c) o polinômio que representa a área do retângulo.
d) o valor numérico da área para x = 3. 12 - Observe a figura abaixo:
a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura.
b) Determine o valor numérico do perímetro quando a = 8 e b = 4.
c) Escreva o polinômio que representa a área da figura.
d) Determine o valor numérico da área quando a = 8 e b = 4. 13 - Observe a figura abaixo:
a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura.
b) Determine o valor numérico do polinômio acima quando x = 4.
c) Escreva o polinômio que representa a área da figura.
d) Determine o valor numérico do polinômio acima quando x = 4.
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14 - Observe a figura abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o perímetro da figura.
b) o valor numérico do polinômio acima quando x = 3 e y = 5.
c) o polinômio que representa a área da figura.
d) o valor numérico do polinômio acima quando x = 3 e y = 5.
15 - Dada a figura abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo.
b) o valor numérico do perímetro para x = 3.
c) o polinômio que representa a área do retângulo.
d) o valor numérico da área para x = 3.
16 - Dada a figura abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo.
b) o valor numérico do perímetro para x = 4.
c) o polinômio que representa a área do retângulo.
d) o valor numérico da área para x = 4. 17 - Dado o sólido geométrico abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o volume do sólido.
b) o valor numérico do volume para x = 6.
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18 - Dado o sólido geométrico abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o volume do sólido.
b) o valor numérico do volume para x = 6. 19 - Dado o sólido geométrico abaixo, determine:
a) o polinômio que representa o volume do sólido.
b) o valor numérico do volume para x = 5. 20 - Considere o sólido da figura abaixo:
a) Escreva o polinômio que representa o volume do sólido.
b) Calcule o valor numérico para x = 6.
21 - Os polinômios x + 1, x + 2 e x + 3 são as medidas de um paralelepípedo retângulo. Determine o polinômio que representa o volume do sólido e o seu valor numérico para x = 2.
22 - As arestas de um paralelepípedo retângulo são expressas x - 3, x + 2 e x - 4. Calcule: a) o polinômio que representa o volume do paralelepípedo.
b) o seu valor numérico para x = 8.
23 - Considere o sólido da figura abaixo:
a) Escreva o polinômio que representa o volume do sólido.
b) Calcule o valor numérico para x = 4.
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O quadrado da soma de dois termos, a e b, é indicado por (a + b)2. Como (a + b)2 = (a + b).(a + b), temos:
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Podemos enunciar uma regra prática:
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo”.
a) (x + 2)2 = x2 + 2.x.2 + 22 = x2 + 4x + 4.
b) (3x + 2y)2 = (3x)2 + 2.3x.2y + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2.
c) (x + 3y)2 = x2 + 2.x.3y + (3y)2 = x2 + 6xy + 9y2.
1 Desenvolva os quadrados da soma:
a) (x + 5)2 = b) (a + 7)2 = c) (x + 8)2 = d) (h + 4)2 = e) (x + 6)2 = f) (3x + 1)2 = g) (4a + 5b)2 = h) (m3 + 2n)2 = i) (2 + xy)2 = j) (x2 + x3)2 =
2 Desenvolva os quadrados da soma:
a) (5x2 + 4y)2 = b) (x + 2y)2 = c) (2x + 5)2 = d) (3x + 2)2 = e) (a + 3x)2 = f) (5x2 + 1)2 = g) (x3 + 6)2 = h) (xy + 5)2 = i) (3m2 + 4n)2 = j) (x5 + x2)2 =
Curso de Matemática Básica Produtos Notáveis
30
3 Desenvolva os quadrados da soma:
a) (2x + 5)2 =
b) (a3 + x2)2 =
c) (3x + 1)2 =
d) (x3 + y2)2 =
e) (3x + y3)2 =
f) (a3 + 2)2 =
g) (3x + y2)2 =
h) (a2 + 4a)2 =
i) (5x3 + 2x2)2 =
j) (a2x3 + a3x2)2 = 4 Desenvolva os quadrados da soma:
a) (3x + y)2 =
b) (2x + 3y)2 =
c) (3a + 2)2 =
d) (5a2 + 1)2 =
e) (4a + y3)2 =
f) (2 + 5x)2 =
g) (4x3 + 3y2)2 =
h) (x + 2y)2 =
i) (4x2 + y2)2 =
j) (3a + 2a3)2 = 5 Desenvolva os quadrados da soma:
a) 21 1x y
2 3⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
=
b) 2
32 1a a3 4
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
=
c) 2
2 22 3x y5 2
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
=
d) 2
3 1x m4
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
=
e) 223x y
3⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
=
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O quadrado da diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a - b)2.
Como (a - b)2 = (a - b).(a - b), temos:
(a - b)2 = a2 - ab - ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Podemos enunciar uma regra prática:
“O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo”.
a) (x - 2)2 = x2 - 2.x.2 + 22 = x2 - 4x + 4.
b) (3x - 2y)2 = (3x)2 - 2.3x.2y + (2y)2 = 9x2 - 12xy + 4y2.
c) (x - 3y)2 = x2 - 2.x.3y + (3y)2 = x2 - 6xy + 9y2.
1 Desenvolva os quadrados da diferença:
a) (x - 6)2 = b) (3x - y)2 = c) (x4 - 2b3)2 = d) (7m - 2n2)2 = e) (x - 4)2 = f) (x - 5y)2 = g) (2x - 3)2 = h) (1 - ab)2 = i) (x3 - 3x2)2 = j) (x2 - y3)2 =
2 Desenvolva os quadrados da diferença:
a) (x2 - 3ax)2 = b) (4x - 2)2 = c) (3x - 5)2 = d) (2 - x3)2 = e) (x - 3)2 = f) (2a - 5)2 = g) (1 - 4y)2 = h) (x2 - 2)2 = i) (x3 - 2x)2 = j) (3x2 - y3)2 =
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3 Desenvolva os quadrados da diferença:
a) (3a - 5)2 = b) (5 - 4a)2 = c) (3x - 2y)2 = d) (a - 2y)2 = e) (4x3 - 3x2)2 = f) (a4 - b2)2 = g) (2a2 - 1)2 = h) (m - 5n)2 = i) (5x - y)2 = j) (2x2 - x3)2 =
4 Desenvolva os quadrados da diferença:
a) (2x - 3)2 = b) (a3 - 3a2)2 = c) (x - 5y)2 = d) (x3 - y2)2 = e) (x - 2y4)2 = f) (5x - 2y)2 = g) (x2 - 3y)2 = h) (2a3 - 3b2)2 = i) (y - a2)2 = j) (3a2 - 2)2 =
5 Desenvolva os quadrados da diferença:
a) (3x - 1)2 = b) (a3 - 2)2 = c) (x - 5)2 = d) (x - 9)2 = e) (5x2 - 6)2 = f) (a - 2)2 = g) (3x - 2y)2 = h) (y6 - 4)2 = i) (2a - 5b)2 = j) (3m - 5n)2 =
6 Simplifique as expressões: (este exercício deve ser feito no seu caderno)
a) x2 - (x - 3)2 = f) (x + 1)2 - (x + 2)2 + (x + 3)2 = b) (x + 1)2 + (x + 2)2 = g) (x + 5)2 - x.(x + 3) + x2 = c) (2x + 1)2 + (x - 1)2 = h) (3x - 2)2 - (2x - 4)2 = d) (3 - x)2 - 2x.(4 - x) - 2.(x - 2)2 = i) (4x + 3)2 - 2.(3x + 2)2 + 3x2 = e) 2.(2x + 1) + (3x - 4)2 - 2.(2x - 3)2 = j) (2x + 4)2 - (x + 5)2 =
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O produto da soma de dois termos, a e b, pela sua diferença é indicado por (a + b).(a - b). Como (a + b).(a - b) = a.(a + b) + b.(a - b), temos:
(a + b).(a - b) = a2 - ab + ab - b2
(a + b).(a - b) = a2 - b2. Podemos enunciar uma regra prática:
“O produto da soma de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo”.
a) (x + 2).(x - 2) = x2 - 22 = x2 - 4.
b) (3x + 2y).(3x - 2y) = (3x)2 - (2y)2 = 9x2 - 4y2.
c) (x + 3y).(x - 3y) = x2 - (3y)2 = x2 - 9y2.
1 Desenvolva os produtos da soma 2 Desenvolva os produtos da soma pela diferença: pela diferença:
a) (x + 8).(x - 8) = a) (x2 + 2).(x2 - 2) = b) (x + 4).(x - 4) = b) (3 - 2a).(3 + 2a) = c) (x + 2y).(x - 2y) = c) (4x + 3).(4x - 3) = d) (ab - c).(ab + c) = d) (5 + 3y).(5 - 3y) = e) (5x + 2y).(5x - 2y) = e) (x2 - 3y).(x2 + 3y) = f) (3a + 10).(3a - 10) = f) (a3 + b2).(a3 - b2) = g) (m + 2n).(m - 2n) = g) (2x2 + y3).(2x2 - y3) = h) (x2 + y2).(x2 - y2) = h) (3x + 5).(3x - 5) = i) (1 + xy).(1 - xy) = i) (2 - 3x).(2 + 3x) = j) (2x - 5).(2x + 5) = j) (m2 + 5).(m2 - 5) =
3 Desenvolva os produtos da soma 4 Desenvolva os produtos da soma pela diferença: pela diferença:
a) (a + 7).(a - 7) = a) (3a + 2b).(3a - 2b) = b) (x3 + 3).(x3 - 3) = b) (3a + 10).(3a - 10) = c) (1 + 2a).(1 - 2a) = c) (m + 2n).(m - 2n) = d) (t3 + 5).(t3 - 5) = d) (p + 1).(p - 1) = e) (x2 + x5).(x2 - x5) = e) (2a + 3).(2a - 3) = f) (ab + 3).(ab - 3) = f) (x3 + 2y).(x3 - 2y) = g) (1 + a2x3).(1 - a2x3) = g) (x2 + xy).(x2 - xy) = h) (a3x + 10).(a3x - 10) = h) (2x + 3y).(2x - 3y) = i) (a - 2b).(a + 2b) = i) (m + 2p).(m - 2p) = j) (2x + y3).(2x - y3) = j) (4x + 5y).(4x - 5y) =
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5 Desenvolva os produtos da soma pela diferença:
a) 2 21 12a b . 2a b3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= d) 3 3
4 42 2
a ac cb b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =
b) 1 13 am . 3 am2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= e) a x a x3 5 3 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
c) 3 3x . x4 4
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= f) 1 1 1 1m n . m 23 2 3 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
6 Simplifique as expressões algébricas: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno)
a) 2a. (a - 5)2 = b) 5.(x - 1) - (x - 4)2 + (x - 5)2 = c) (x - 8)2 + 8.(5x - 6) = d) (x - y)2 - x.(x - 2y) = e) (x - 2)2 + (x + 2).(x - 2) = f) (x + 4)2 + (x + 2)2 - x.(x + 7) - 15 = g) (x + 4).(x - 8) + (x + 4).(x - 4) - (x + 6).(x - 6) = h) (m + 1).(m - 1) + (m + 1)2 - 2m = i) (a + x)2 + (a - x).(a + x) - 2ax = j) (xy - 1)2 - (1 - xy).(1 + xy) + 2xy =
7 Simplifique as expressões: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno)
a) x2 + (x - 1)2 - (x + 1).(x - 1) = b) (x - 3)2 + (x + 3).(x - 3) = c) 2.(x + 2)2 - (x + 1).(x - 1) - (x + 1)2 = d) 2.(x + 3).(x - 3) - (x - 4)2 + 2.(x + 9) = e) 3.(x - 2).(x + 2) - (x + 2)2 + (x - 2)2 = f) (x + 1).(x - 1) + (x + 2).(x - 2) - (x + 3).(x - 3) = g) 2.(2x + 3y)2 - (2x + 3y).(2x - 3y) - (2x - 3y)2 = h) (a - x)2 + a.(a - x) - (a - x).(a + x) = i) (2x - y)2 + (x + y).(x - y) + 2xy = j) (2a - 1)2 - (a + 3).(a - 3) - (a + 2)2 =
8 Simplifique as expressões: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno)
a) (2x + y).(2x - y) + (x + y)2 = b) (x - 3)2 - (x - 5)2 = c) (a + 1)(a - 1) + 5.(a - 1)2 + 5.(a - 1) + 1 = d) (a - x)2 + (a - x).(a + x) - (a + x)2 + x2 = e) (x2 + 2y)2 + (x2 - y).(x2 + y) - 3x2y = f) (3a2 - b)2 + (b - 3a2).(b + 3a2) + 2.(a2 + b)2 = g) 2.(x - 1)2 + 3.(x - 2)2 - 4.(x + 1).(x - 1) + 5. (3x - 4) = h) 4.(a - 8) - (a + 5).(a - 5) + 5.(a + 4)2 - 5.(3a + 7) = i) (a - x)2 + (a - x).(a + x) - (a + x)2 + 4ax = j) 4.(x + 2)2 - (x + 3)2 - (x + 3).(x - 3) - x.(x + 6) - 8 =
Curso de Matemática Básica Fatoração
35
Fatorar significa transformar em produto, isto é, em multiplicação. Estudaremos seis casos de fatoração: Fator Comum
Agrupamento
Diferença de Dois Quadrados
Trinômio Quadrado Perfeito
Trinômio do 2º Grau
Casos Combinados de Fatoração
Quando uma expressão algébrica (polinômio) apresenta um fator comum a todos os seus termos, podemos transformar num produto indicado onde um dos fatores é o fator comum e o outro é o quociente de cada termo pelo fator comum colocado em evidencia.
Fatore as expressões:
a) 2x + 2y = 2.(x + y)
b) 12ab - 18a = 6a.(2b - 3)
c) 20a4b2 + 50a3b4 - 30a2b7 = 10a2b2.(2a2 + 5ab2 - 3b5)
Obs.: O fator comum literal é sempre a letra que aparece em todos os termos com o menor expoente.
1 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência:
a) 9a + 9b = b) x2 + 3x = c) a3b - ab3 = d) x3 - x2 = e) 2x + 4 = f) y2 - y = g) 4x2y - 6xy = h) 18mn2 - 27mn3 = i) 5a2 - 5a = j) 5x2 + 3x =
Curso de Matemática Básica Fatoração
36
2 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência:
a) ax4 - 3x3 + 5ax2 =
b) 15x2y + 20xy2 - 10x2y2 =
c) a2y + b2y - c2y =
d) 9ax + 12ay - 15az =
e) 9x2 - 6x + 3 =
f) 10x - 15y + 20z =
g) 2x3 + 4x2 - 6x =
h) 6x4 - 12x3 + 15x2 =
i) 15p2q + 9p2q2 - 18pq2 =
j) 4x5 - 8x4 + 12x3 = 3 Fatore as expressões, colocando os 4 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência: fatores comuns em evidência:
a) x2 - 5x = a) ax + ay =
b) 4x + 2 = b) 3x - 3y =
c) ax - mx = c) 2a + 2b =
d) x2 + x = d) bx + by =
e) x3 - x2 + x = e) 7a - 7b =
f) a3 + 3a2b = f) ab + ac =
g) 4x2 - 6x3 = g) x2 + 3x =
h) x9 + x6 - x4 = h) a2 - a =
i) x2y + y3 = i) x2 + xy =
j) x.(y + 4) - 2.(y + 4) = j) 3ax4 - 9ax3 + 15ax2 = 5 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência:
a) 5x - 20 =
b) 15x3 - 10x2 =
c) m5 - m2 =
d) 4a3 - 6a =
e) 12ax - 16ay =
f) 2ab + 3abc =
g) ab2 + a2bc =
h) 9ax - 6a =
i) 25b2 - 5b =
j) ab2 - a2b =
Curso de Matemática Básica Fatoração
37
Para fatorar por agrupamento, aplicamos duas vezes o processo do fator comum. Separamos em grupos de dois termos, de modo que haja pelo menos um fator comum em cada grupo.
Fatore as expressões: a) bx + 2x + by + 2y = c) x2 + 5x - ax - 5a =
x.(b + 2) + y.(b + 2) = x.(x + 5) - a.(x + 5) =
(b + 2).(x + y) (x + 5).(x - a)
b) mx - 2mc + 4x - 8c = d) x3 + x2 + x + 1 =
m.(x - 2c) + 4.(x - 2c) = x2.(x + 1) + 1.(x + 1) =
(x - 2c).(m + 4) (x + 1).(x2 + 1)
1 Fatore, por agrupamento, as expressões:
a) x6 + x4 + x2 + 1 = b) 2ab + bc - 10a - 5c = c) ab - ac + 3b - 3c = d) 2x + 2y + bx + by = e) ay + a + xy + x = f) a2 + ab - ax - bx = g) cy - y + cx - x = h) 2x2 - x + 4xy - 2y = i) 2ax + 5x + 6a + 15 = j) ax2 + ay2 + x3 + xy2 =
2 Fatore, por agrupamento, as expressões:
a) a2b + b - 3a2 - 3 = b) ax + x + a + 1 = c) kb2 + k - 2b2 - 2 = d) mx2 - 2my + 5x2 - 10y = e) ax + bx + ay + by = f) 5m3 - 4m2 + 10m - 8 = g) 2xy + 15 + 6x + 5y = h) bx - x - b + 1 = i) x3 + x - x2 - 1 = j) p2 - pm + pm - m2 =
Curso de Matemática Básica Fatoração
38
3 Fatore, por agrupamento, as expressões:
a) ax + ay + 5x + 5y =
b) am - mb + 7a - 7b =
c) ax + 2bx + ay + 2by =
d) ax + 6x - ay - 6y =
e) ax + bx + ay + by =
f) am - bm + an - bn =
g) ay + 3a + y2 + 3y =
h) m2 + mx + mb + bx =
i) bx + by + 2x + 2y =
j) ay + a + xy + x =
4 Fatore, por agrupamento, as expressões: a) a2 - 3a + 2ab - 6b =
b) am + bm - an - bn =
c) ap + px + 3a + 3x =
d) 2ax + bx - 2ay - by =
e) a2 + ab - ax - bx =
f) 2ab + bc - 10a - 5c =
g) 6p2 - 4pq - 9rp + 6rq =
h) mx - nx + 2m - 2n =
i) 5ax - 5a + bx - b =
j) p3 - 5p2 + 4p - 20 = 5 Fatore, por agrupamento, as expressões:
a) m3 + m - m2 - 1 =
b) x2 - xy + xy2 - y3 =
c) mx - nx + 2m - 2n =
d) a3 + a2 + a + 1 =
e) ax + a + 3mx + 3m =
f) ax + x2 + 2a + 2x =
g) ab - y2 + ay - by =
h) ac - ad - bc + bd =
i) mp + mq + np + nq =
j) kx + ky + 2x + 2y =
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39
Observe o produto:
termosdoisdediferençapela
somadaproduto
)ba).(ba( −+ = quadradosdois
dediferença
22 ba − .
Pelo que vimos (a + b).(a - b) é a forma fatorada de a2 - b2.
Para fatorar uma diferença de dois quadrados, podemos usar a regra: 1 Achar a raiz quadrada do primeiro termo.
2 Achar a raiz quadrada do segundo termo. 3 O resultado será o produto da soma pela diferença dessas raízes.
Fatore as expressões. a) x2 - 25 = (x + 5).(x - 5) b) a2 - 9 = (a + 3).(a - 3) c) 4x2 - 16b6 = (2x + 4b3).(2x - 4b3)
d) x2y2 - 91 = (xy +
31 ).(xy -
31 )
1 Fatore as diferenças de dois quadrados: 2 Fatore as diferenças de dois quadrados:
a) x2 - 36 = a) a2x4 - 1 = b) x2 - y2 = b) x2 - 100 = c) 9x2 - 16 = c) x4 - 1 = d) 1 - b2 = d) a2 - m2n4 = e) 4m2 - x2 = e) x2 - y2 = f) 49a2 - x2y2 = f) x4y8 - y6 = g) a4 - 9 = g) 25a2 - 4b4 = h) x2 - 81 = h) a2x2 - y2 = i) 36x4 - y6 = i) x6 - 64 = j) 16x6 - 25y4 = j) 4a2 - 9b4 =
3 Fatore as diferenças de dois quadrados: 4 Fatore as diferenças de dois quadrados:
a) a4 - 4 = a) p6 - m4 = b) 9 - a4b6 = b) 36x2 - 49y2 = c) x2m4 - n6 = c) 25x2 - 16p6 = d) 16p2 - 25q2 = d) a2 - 1 = e) 4x2 - 1 = e) x2 - 49 = f) a2 - 25 = f) 4a2 - 9b2 = g) x2 - 4y2 = g) 100 - x2y4 = h) 4x2 - x6y2 = h) 4p2m2 - 121 = i) x6 - 9a4b8 = i) a4x2 - y2 = j) 9 - x2 = j) x2 - 16 =
Curso de Matemática Básica Fatoração
40
5 Fatore as diferenças de dois quadrados:
a) 4x2 - 49 = f) x2 - y4 = b) a2 - 36 = g) 9x2 - 16 = c) 9a2 - 25b2 = h) 1 - 25a2 = d) a2 - 4b4 = i) x2 - 1 =
e) 2x41 - 2y
361 = j) 36x2 - 4a
251 =
Vimos que: • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ou • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Então: a2 + 2ab + b2 tem para forma fatorada (a + b)2
a2 - 2ab + b2 tem para forma fatorada (a - b)2 Para fatorarmos um trinômio quadrado perfeito, temos que: 1 Achar a raiz quadrada do primeiro termo.
2 Achar a raiz quadrada do último termo. 3 O termo do meio deve ter o dobro do produto das raízes. 4 O resultado terá o sinal do termo do meio.
Fatore as expressões. a) x2 + 10x + 25 = b) a2 - 6a + 9 =
↓ ↓ ↓ ↓ 2x = x 25 = 5 2a = a 9 = 3
2 . x . 5 = 10x 2 . a . 3 = 6a x2 + 10x + 25 = a2 + 6x + 9 = .(x + 5)2. .(a + 3)2.
1 Fatore os trinômios quadrados perfeitos: 2 Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a) a2 + 2ab + b2 = a) 9m2 - 12mn + 4n2 = b) x2 + 6x + 9 = b) a2 - 8ab + 16b2 = c) a2 + 8a + 16 = c) a4 + 20a2 + 100 = d) 1 - 6m + 9m2 = d) m2 + 4m + 4 = e) x2 - 4xy + 4y2 = e) x2 + 2x + 1 = f) 4 + 12x + 9x2 = f) x2 + 10xy + 25y2 = g) 36a2 - 12ac + c2 = g) 1 - 6m3 + 9m6 = h) 49p2 - 28pq + 4q2 = h) 4x2y2 + 20xy + 25 = i) x2 + 10xy + 25y2 = i) n2 - 10n + 25 = j) a2 - 4ab + 4b2 = j) x2 + 64 + 16x =
Curso de Matemática Básica Fatoração
41
3 Fatore os trinômios quadrados perfeitos: 4 Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a) x2 - 14x + 49 = a) a2x4 - 5ax2 + 6,25 = b) 25p2 + 30px + 9x2 = b) x2 - 10x + 25 = c) 16a2m2 + 8am + 1 = c) a2 + 4ax + 4x2 = d) 9b2 - 6bc + c2 = d) x2 - 8xy + 16y2 = e) 16a4 + 56a2b3 + 49b6 = e) a2 - 2ax + x2 = f) a2 - 2ax2 + x4 = f) y4 - 12y2 + 36 = g) 16b2 - 40b + 25 = g) 9x2 + 12x + 4 = h) 25x2 + 10x + 1 = h) 25a2 + 10ax2 + x4 = i) 4a2 + 4a + 1 = i) 81 + 90a + 25a2 = j) x2y2 + 3axy + 2,25a2 = j) 9x2 + 24xy + 16y2 =
5 Fatore os trinômios quadrados perfeitos: 6 Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a) y2 + 2y + 1 = a) 49 + 4p2 - 28p = b) 4a2 - 12ab + 9b2 = b) x2 + 8xy + 16y2 = c) x2 + 6x + 9 = c) 16x2 - 24x + 25 = d) x2 - 8x + 16 = d) x2 + 12x + 36 = e) 4y2 + 4y + 1 = e) m2 - 10mn + 25n2 = f) 121a2 + 88a + 16 = f) p2 + 4pq + 4q2 = g) x4 - 4x2 + 4 = g) 49a2 + 28a + 4 = h) 4a2x2 - 4abx + b2 = h) 36m2 - 60m + 25 = i) m8 + 2m4n2 + n4 = i) 16 - 40x + 25x2 =
j) 25x2 + 3
10 x + 91 = j) b2 +
34 bc +
94 c2 =
Quando um trinômio não tiver as características de um quadrado perfeito, devemos verificar se ele pode ser fatorado com as condições de um trinômio do 2º grau. Para efetuarmos essa fatoração, precisamos saber as regras de sinais da adição e multiplicação. Veja os exemplos:
1) Fatore: x2 + 8x + 12.
Vamos imaginar a expressão acima da seguinte forma: x2 + Sx + P, onde S significa SOMA e P, PRODUTO. Isto quer dizer que precisamos descobrir dois números que ao mesmo tempo em que multiplicados seja 12 e somados, seja 8. Fica mais fácil estabelecermos primeiro a multiplicação, pois existem poucos valores que satisfazem o que precisamos: São eles: 1 e 12 2 e 6 3 e 4 Agora os outros serão repetidos, só que ao inverso.
Curso de Matemática Básica Fatoração
42 Desses pares de números, vamos verificar aquele que ao somarmos ou subtraímos,
encontraremos como resultado 8. Facilmente podemos descobrir que os números procurados são 2 e 6. Vamos definir os sinais desses números. Como o produto é positivo, isso quer dizer que os números terão sinais iguais e como a soma é positiva, isso quer dizer que os dois serão positivos. Então podemos escrever que x2 + 8x + 12 = (x + 2).(x + 6).
2) Fatore: x2 + 5x - 24.
Vamos encontrar dois números que multiplicados sejam iguais a 24 e somados, iguais a 5. Estabelecendo primeiro a multiplicação, temos: 1 e 24 2 e 12 3 e 8 4 e 6 Dentre os números acima, vamos escolher o par em que somados ou subtraídos esses números, encontremos 5. Facilmente escolheremos 3 e 8. Como o produto é negativo, isso quer dizer que os números têm sinais diferentes. Já a soma é positiva, isso quer dizer que o maior será positivo. Então podemos escrever: x2 + 5x - 24 = (x - 3).(x + 8). 3) Fatore: x2 - 4x - 21. Vamos encontrar dois números que multiplicados sejam iguais a 21 e somados, iguais a 4. Encontrando primeiro a multiplicação, temos as opções: 1 e 21 3 e 7 Agora está bem simples a escolha. Os números são: 3 e 7. Como o produto é negativo, os sinais são diferentes e a soma negativa, quer dizer que o maior tem que ser negativo. Então: x2 - 4x - 21 = (x + 3).(x - 7).
Obs.: O processo da fatoração de um trinômio do 2º grau só é válido, quando o primeiro termo do trinômio, o que tem x2, tiver coeficiente 1.
1 Fatore os trinômios do 2º grau: 2 Fatore os trinômios do 2º grau:
a) x2 + 3x + 2 = a) x2 + 4x - 5 =
b) y2 + 4x + 3 = b) y2 + 5y - 6 =
c) x2 + 5x + 4 = c) x2 + 3x + 2 =
d) x2 + 6x + 5 = d) x2 + 3x - 10 =
e) m2 + 7m + 6 = e) m2 + 3m - 18 =
f) a2 + 6a + 8 = f) m2 - m - 2 =
g) x2 + 8x + 15 = g) x2 - 2x - 3 =
h) x2 + x - 2 = h) x2 - 11x + 30 =
i) x2 + 2x - 2 = i) x2 + 7x + 12 =
j) m2 + 3m - 4 = j) x2 + 7x + 10 =
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43
3 Fatore os trinômios do 2º grau: 4 Fatore os trinômios do 2º grau:
a) x2 - 7x + 6 = a) x2 + x - 6 =
b) x2 - 6x + 8 = b) x2 - 5x + 4 =
c) x2 - 9x + 14 = c) x2 - 11x - 12 =
d) x2 + x - 12 = d) m2 - 13m + 12 =
e) x2 - 9x + 18 = e) x2 + 8x + 12 =
f) x2 - 9x + 8 = f) a2 - 2a - 8 =
g) x2 - x - 12 = g) y2 + 13y + 40 =
h) x2 + 4x - 12 = h) x2 - 7x - 8 =
i) x2 + 7x - 8 = i) x2 + 3x - 28 =
j) x2 - 2x - 15 = j) x2 + 2x - 15 = 5 Fatore os trinômios do 2º grau:
a) x2 - 8x + 12 = f) x2 - 3x + 2 =
b) x2 - 10x + 9 = g) x2 - 4x - 5 =
c) x2 + 8x + 16 = h) x2 - 10x + 24 =
d) x2 - 6x + 9 = i) x2 - x - 12 =
e) x2 - x - 6 = j) x2 - 2x - 24 =
Para se fatorar uma expressão é importante saber qual caso de fatoração aplicar. Segue
abaixo orientações que o ajudarão na decisão do caso a ser usado. Se uma expressão algébrica
tiver:
Dois termos:
Fator Comum
Diferença de Dois Quadrados
Três termos:
Fator Comum
Trinômio Quadrado Perfeito
Trinômio do 2º Grau
Quatro termos:
Fator Comum
Agrupamento
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44
6 Fatore as expressões:
a) a2 + 4a =
b) x2 - 1 =
c) x2 - 18x + 81 =
d) a2 - 2ab + b2 =
e) 5y3 + 3y2 + 7y =
f) 36y2 - m2 =
g) x2 + 4xy + 4y2 =
h) a2 - 14a + 24 =
i) 3a2 + 3ab + 2a + 2b =
j) 4x2 - 6x = 7 Fatore as expressões:
a) y2 - 4ay + 4a2 =
b) m2 - 9n2 =
c) a2 - 4a + 4 =
d) a4 - 2a2b2 + b4 =
e) ab + 3b + 7a + 21 =
f) 3a2b + 6ab2 - 9ab =
g) a4 - 9 =
h) x2 + 8x + 16 =
i) a2 - 25 =
j) p3 - 5p2 + 4p - 20 = 8 Fatore as expressões:
a) 4x3 - 6x2 =
b) 6x2 + 8x =
c) 9 + 24a + 16a2 =
d) xy - 2y + 4x - 8 =
e) 64x2 - 25y8 =
f) x2 + 10x + 16 =
g) 2ab + bc - 10a - 5c =
h) 4x2 - 25 =
i) a2 + ax + 2a + 2x =
j) 49x2 - 56x + 16 =
Curso de Matemática Básica Fatoração
45
Muitas vezes a fatoração de um polinômio exige a aplicação de mais de um caso. Vamos fatorar expressões que exigem mais de um caso de fatoração.
Fatore completamente as expressões:
a) 4x2 - 16 → fator comum
4.(x2 - 4) → diferença de dois quadrados
4.(x + 2).(x - 2) → polinômio fatorado
b) a3 + 10a2x + 25ax2 → fator comum
a.(a2 + 10ax + 25x2) → trinômio quadrado perfeito
a.(a + 5x)2 → polinômio fatorado
c) 2x4 + 6x3 + 4x2 + 12x → fator comum
2x.(x3 + 3x2 + 2x + 6) → agrupamento
2x.[x2.(x + 3) + 2.(x + 3)] → continuando o agrupamento
2x.(x + 3).(x2 + 2) → polinômio fatorado
d) a2 - 6a + 9 - b2 → trinômio quadrado perfeito
(a - 3)2 - b2 → diferença de dois quadrados
[(a - 3) + b].[(a - 3) - b]
(a + b - 3).(a - b - 3) → polinômio fatorado
1 Fatore as expressões:
a) 5x2 - 5 = b) ax2 - ay2 = c) x3 - 6x2 + 9x = d) m4 - 1 = e) a2x - b2x + a2y - b2y = f) 3x2 - 6xy + 3y2 = g) a2x + 2ax + x = h) 2x2 - 8x + 8 = i) x3 + 8x2 + 16x = j) 5x2 - 20x + 20 =
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46
2 Fatore completamente as expressões:
a) y2 - 14y + 49 = b) 16 - x2y8 = c) a2b + b - 3a2 - 3 = d) a3 + 3a2b = e) 15ab + 10bc - 5 = f) 5a3 + 30a2b + 45ab2 = g) 16a4 + 56a2b3 + 49b6 = h) ax - 2x + 5a - 10 = i) 5a2 - 20a + 15 = j) 3a2 - 27b4 =
3 Fatore completamente as expressões:
a) 2x2 - 2 =
b) 7x4 - 7 =
c) m3 - m =
d) 2y3 - 2y =
e) m4 - m3 + mn3 - n3 =
f) ax3 - ax + bx3 - bx =
g) x3 - 4x2 + 4x =
h) a4b + ab4 =
i) 2a2 + 12a + 18 =
j) 3a2 - 6ab + 3b2 =
4 Fatore completamente as expressões:
a) x3 + ax2 - bx2 - abx =
b) ax2 - 2axy + ay2 =
c) ab2 - ac2 + b3 - bc2 =
d) 2x2 - 12xy + 18y2 =
e) x3 - 4x2 + 4x =
f) a3 - ax2 =
g) 5x3 + 30x2y + 45xy2 =
h) 5x2y2 - 20 =
i) 2x2 - 4x + 6ax - 12a =
j) 12x2 - 60x + 75 =
Curso de Matemática Básica Fatoração
47
5 Fatore completamente as expressões:
a) 12x2y - 36xy2 + 27y3 =
b) 4m2 - 100n2 =
c) 6ax + 4b2 + 2b2x + 12a =
d) 6x2 - 3x + 12xy - 6y =
e) a4 + 10a3 + 2a2 + 20a =
f) 8x2 - 24x + 18 =
g) 12a4x2 + 18a3x3 =
h) 3x3 - 48x =
i) x3 - xy2 + x2y - y3 =
j) ax2 - a + bx2 - b = 6 Fatore as expressões:
a) 2x2 - 4xy =
b) am - bm + 5a - 5b =
c) 9a2 - x4 =
d) ax + 6x - 4a - 24 =
e) 4x6 - 9y4 =
f) x2y - y3 =
g) 2a2 - 20a + 50 =
h) ax - 6x + ay - 6y =
i) 12x2 + 84x + 27 =
j) 3xy + 9xz + 6x = 7 Fatore as expressões:
a) 25m2 + 20m3 =
b) 2ax - 6a + 5x - 15 =
c) 4a6 + 12a4 + 9a2 =
d) x6 - 2x4y + x2y2 =
e) bx - 2b + x - 2 =
f) x4 - 12x2 + 36 =
g) 4x2 - 48x + 144 =
h) x4 - 25p2 =
i) 4x2 - 4 =
j) 2xy - 6y - x + 3 =
Curso de Matemática Básica Fatoração
48
Resolver todas as operações indicadas.
Dada a expressão: (x - 6)2 - 4.(3x - 4) + (x - 2).(x + 6) + 5.(x - 3) + (x + 3)2 - 9.(x + 1) + 2.
a) Simplifique a expressão.
(x - 6)2 - 4.(3x - 4) + (x - 2).(x + 6) + 5.(x - 3) + (x + 3)2 - 9.(x + 1) + 2.
x2 - 12x + 36 - 12x + 16 + x2 + 6x - 2x - 12 + 5x - 15 + x2 + 6x + 9 - 9x - 9 + 2
x2 + x2 + x2 - 12x - 12x + 6x - 2x + 5x + 6x - 9x + 36 + 16 - 12 - 15 + 2
.3x2 - 18x + 27.
b) Fatore completamente. 3x2 - 18x + 27
3.(x2 - 6x + 9)
.3.(x - 3)2.
c) Calcule o seu valor numérico para x = 8. 3.(x - 3)2
3.(8 - 3)2 =
3.52 =
3.25 =
.75.
1) Dada a expressão: (x - 2)2 - 3.(2x - 5) + 2.(x + 3)2 + 5.(2x - 5). a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 3.
2) Dada a expressão: 2.(x - 3).(x + 2) - 3.(x - 5) + (x - 1)2 - 2.(x + 2)2 + 5.(x + 4). a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 12.
3) Dada a expressão: 6.(x - 4)2 - 2.(x + 3).(x - 2) + 2.(x + 10) + x.(x - 2) - 3. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 3.
Curso de Matemática Básica Fatoração
494) Dada a expressão: x.(4x - 5) - 7.(x + 2) - (x - 3)2 - 2.(x - 3).(x + 4) + 15x. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 10.
5) Dada a expressão: 2.(5x + 3) - (x - 2).(x + 7) + 2.(x + 5)2 + (x + 2).(x - 3)- 8.(x + 4). a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = - 9.
6) Dada a expressão: 2.(x + 7) - 2.(x - 3)2 + (x - 2).(x + 3) + (x + 2).(x - 5) + x.(x - 4). a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 5.
7) Dada a expressão: (x + 5)2 - 8.(x + 2) - 3.(x - 3)2 + 3x.(x - 7) + 6. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 7.
8) Dada a expressão: 2.(x - 5) - (x - 3).(x + 4) + 3.(x - 2)2 - 5.(x - 6) - 4.(x - 1). a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 9.
9) Dada a expressão: 2.(x - 4).(x - 6) - 3.(x - 2)2 + 5.(x - 2) + 4.(x + 3)2 + 3.(x - 5) + 1. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = - 6.
10) Dada a expressão: (x - 1)2 + (x + 2).(x - 2) + 3.(2x + 3) - 2.(x + 5) + (x + 4)2 + 2x. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 3.
11) Dada a expressão: 5.(6x + 19) + 2.(x - 3).(x + 8) + (x - 5)2 + 3. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = 5.
12) Dada a expressão: 2.(x - 3)2 + 6.(3x + 5) - 2.(3 - 7x) + 8. a) Simplifique a expressão. b) Fatore completamente. c) Calcule o seu valor numérico para x = - 10.
Curso de Matemática Básica Fatoração
50
Frações algébricas são expressões que tem variáveis no denominador
O processo de simplificação de uma fração algébrica é semelhante ao de uma fração numérica. Acompanhe o exemplo:
3018 = 2 3 3
2 3 5⋅ ⋅⋅ ⋅
= 53
Para simplificar uma fração numérica, devemos dividir o numerador e o denominador pelos seus divisores comuns.
Simplificar as frações algébricas:
a) cba21
bca1422
3
= 2 7⋅ 2a⋅ a b⋅ ⋅ c⋅3 7⋅ 2a⋅ b b⋅ ⋅ c⋅
= 2a3b
b)
comumfator
aaxa2+
= 2 aa .(x 1)+
= 2
x 1+
c)
perfeitoquadradotrinômio
2
quadradosdoisdediferença
2
1x2x1x++
− = (x 1)+
2
(x 1)
(x 1)
⋅ −
+ =
x 1x 1−+
d)
comumfator
oagrupament
2a21axax
++++ = x.(a 1) 1 (a 1)
2 (a 1)+ + ⋅ +⋅ +
= (a 1) (x 1)2.(a 1)+ ⋅ +
+ =
a 12+
1 Simplifique as frações algébricas:
a) a15
a3 2
= f) 24
33
nm8nm4 =
b) 5x
15x = g) 32
23
xa10xa8 =
c) ab4
ab = h) 42
43
yzx33yzx22 =
d) 2xyxy3 = i)
xy48yx18 2
=
e) cb8
abc22
2
= j) 34
53
ba27ba18 =
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
51
2 Simplifique as frações algébricas:
a) 6
y3x3 + =
b) x3x9x
2
2
+− =
c) 3x3
1x2x2
+++ =
d) 2
2x 6x 9
+−
=
e) 9x6x
21x72 +−
− =
f) 4x4x
y2xy2 +−
− =
g) 20x205x5 2
+− =
h) 4m4m
10m52 +−
− =
i) 9x6x
6x22 +−
− =
j) 2a4a2
a2a22
2
+++ =
3 Simplifique as frações algébricas:
a) 12x3
4x4xx2
23
−+−− =
b) 22 bab2abcac++
+ =
c) 10x2
25x10x2
+++ =
d) x25xx10x2
3
2
−− =
e) 6x3
4x4x2
−+− =
f) yxx
yx23
22
−− =
g) ayax
yyxxy 2
++++ =
h) yxy1x2
+− =
i) a12x12
a4ax8x4 22
+++ =
j) 3a3xax
aa2
++++ =
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
52
4 Simplifique as frações algébricas:
a) 2x 4x 43x 6+ ++
=
b) 2 2 2
x abx 2abx a b
−− +
=
c) 2x 2x 12x 2+ ++
=
d) 2 2
2 2
x 2xy yx y− +
− =
e) 2 22x 4bx 2b
4x 4b+ +
+ =
f) 2ax a
2ax 2a−+
=
g) 4 4
2 2
a b4a 4b
−−
=
h) 2 2
2 2
3x 3y3x 6xy 3y
−− +
=
i) 2
2
a 6a 9a 3a+ ++
=
j) 2x 25
7x 35−+
=
5 Simplifique as frações algébricas:
a) 3 3
4 3
8x y4x 4x+
=
b) 2
3 2
5xx x y+
=
c) 2
2 2 2
xyzx z xz+
=
d) 2
2
2x 2xy2x y− =
e) 2 2
2 2
a ba 2ab b
−+ +
=
f) 2 2a 2ab b
2a 2b− +
− =
g) 2x 4x 4xy 2y− +−
=
h) 2
2
xy 2xyy 4−−
=
i) 2
2
3x 18x 273x 9x− +
− =
j) 2
2
x 1x 2x 1
−− +
=
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
53
6 Simplifique as frações algébricas:
a) 2
2
a bb a−−
=
b) 2
2
x xy x yx 1
+ + +−
=
c) 2a 8a 15
2a 6− +
− =
d) 2
axa x ax−
=
e) 2x xy3x+ =
f) 2
2
2x 2xy2x y− =
g) 2
2
a 6a 9a 3a+ ++
=
h) 2 2
3 2
x yx x y
−−
=
i) 3 2 2 2
2
x x xy yx xy x y+ − −+ + +
=
j) 3 2 2 3
5 4 4 5
p p q pq qp p q pq q− + −− − +
=
Estudaremos as quatro operações fundamentais com as frações algébricas. Por motivos convenientes, começaremos pela multiplicação.
Para multiplicarmos frações algébricas, procedemos da mesma maneira que multiplicamos números fracionários. Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos simplificar antes de efetuar a multiplicação.
Acompanhe os exemplos:
a) 5 36 4⋅ =
85 b) 8 14 9 25
21 20 5 36⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 31
−
Agora, em termos algébricos, antes de efetuar a multiplicação, é necessário que fatoremos todas as expressões nos numeradores e denominadores. Veja os exemplos:
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
54
Calcule os produtos:
a) 5x 1−
x 1−⋅
x 1+ =
5x 1+
b) 2 2
6x a c3xa c+
⋅−
= 6 x(a c)+
a c.(a c)
+⋅
− 3 x =
2a c−
c) 3 2 2
2
6x 6x a 2a 14ax 4x 3x 3x
+ + +⋅
+ + =
26x . (x 1)+2 4x . (a 1)+
2(a 1)+⋅3 x . (x 1)+
= a 1
2+
d) 2 2
3 2
4x 9 2x 3x4x 64x 12x 9x
− +⋅
−+ + = 2
(2x 3).(2x 3) x.(2x 3)2.(2x 3)x.(4x 12x 9)
+ − +⋅
−+ + =
= (2x 3)− . (2x 3)−
x 2. (2x 3)+
x⋅
. (2x 3)+
2.(2x 3)− =
12
1 Calcule os produtos:
a) 2 2 3
3
5x a yay 10x
⋅ =
b) 2
1 3m 2aa 9mx
⋅ ⋅ =
c) 4 3
5
5x y 8a8y 10 x
⋅ ⋅ =
d) 2 3
2
3x y6x2y⋅ =
e) 2
2
2x y 10y 5a x⋅ ⋅ =
f) 2
15a xy 2y5ayx 4+
⋅−
=
g) 2 2 21 a 2ab b a ab
ab a b a b− + +
⋅ ⋅+ −
=
h) 2 2 2
2 2
x 2x x yxy y x xy
− −⋅
− + =
i) 2 2 2
2 2
x 4x 4 4x 16 x4x 82x 4x x 2x
+ + −⋅ ⋅
+− + =
j) 3 4 2
3 5
a a a aa 1a a
+ −⋅
−− =
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
55
2 Calcule os produtos:
a) 2 2 3
2 2 3
a a a a b bb b b b a a
+ − −⋅ ⋅
+ − − =
b) 2
2
a a 3a 63a 3 a 4
+ +⋅
+ − =
c) 2 2
3
3m m 5m 7m5 7m m 9m+ −
⋅− −
=
d) 2
10m 3p 1510mp 25+
⋅−
=
e) 2 2x y byby 2x 2y−
⋅−
=
f) 2
2 2
x 8x 16 ax bxa ab x 4x+ + −
⋅− +
=
g) 2 2
ay y 3a 3ba 1a b
+ +⋅
+− =
h) 2
2 2
x xy ax ay 2ab 8bab 4b 2a 2x
+ + + −⋅
− − =
i) 2 2
2 2 3
2a 2b a b aba ab a b b
+ −⋅
− − =
j) 3 2 4 3 2
2 3 3 2 2 3
a b ab a aba b b a b a b
− −⋅
− − =
3 Calcule os produtos:
a) 2
2
x x 3x 6x 1 x 4+ +
⋅+ −
=
b) 2
2
x 4 x 2x 2x 2x
− +⋅
−+ =
c) am a 6ab 2a 2m 2
−⋅
+ − =
d) 3 2
3
y 4y 2y2y 43y
−⋅
+ =
e) 2
2 2
a b 2x 82x 4 a b− −
⋅− −
=
f) 2
2 2 2
x xy 12x 86x 4x x y
− +⋅
+ − =
g) 2
2
a 3 2a a 3a2x 6 aa 9+ −
⋅ ⋅− −
=
h) 3 4am 4a m 1
2m 2 a ab 3m 3+ −
⋅ ⋅− + +
=
i) 2 2 2
2 2
x 4x 4 4x 16 x8x 16x 2x x 2x
+ + −⋅ ⋅
+− + =
j) 2
2
x 6x x 6 2x x 6x 12x 36+ −
⋅ ⋅−+ +
=
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
56
4 Calcule os produtos:
a) 2 3
2
x x 1 xx 1 x x+ −
⋅+ −
=
b) 2 2 21 a 2ab b a ab
ab a b a b− + +
⋅ ⋅+ −
=
c) 2 2
2
a 6a 5 a 43a 3 a 7a 10+ + −
⋅+ + +
=
d) 2 2 2
2 2
x 4x 4 4x 16 x8x 16x 2x x 2x
+ + −⋅ ⋅
+− + =
e) 2
2 2 2
6x 6xy 3x 26x 4x x y
− +⋅
+ − =
f) 2 2
9x 6y 15x 10y5 9x 4y− −
⋅−
=
g) 3 2
3
3y 12y 12y 2y3y 66y
− +⋅
− =
h) 2 2
ax x 3x 3na 1m n
+ +⋅
+− =
i) 2 2 2
2 2 2
a a a a b 1b b b b a 1
+ − −⋅ ⋅
+ − − =
j) 2 2 2
2
3x 6x x 2 x y3x 3y x yx 4
− + −⋅ ⋅
+ −− =
5 Calcule os produtos:
a) 2 2
ax x x ya 1x y
+ +⋅
+− =
b) 2
2
a 3 2a a 3a2a 6 aa 9+ −
⋅ ⋅− −
=
c) 3 2
2 2
x x x 1 6x 69x 9 x 1+ + + −
⋅− +
=
d) 2 2
2
a 2a 1 a2a 23a
+ +⋅
+ =
e) 2 2
2
a 4a 4 a 93a 9 a a 6+ + −
⋅+ − −
=
f) 2
2
a 2ab x 3x2b 1x 9
+ +⋅
+− =
g) 2 22x 4x 9 m
5mx 15x 2x 4− −
⋅+ −
=
h) 4 2
2 2 2
x x 2 5x 5x 2x 1 5x x 1
+ +⋅ ⋅
+ + + =
i) 3
3 2 2
2x 16 3xx 2x 8x 3x 6x 12
−⋅
+ − + + =
j) 2 2 3
2 3 2
x 8x 16 x 4 2x 8x:4x 8 x 2x 8 4x 16x 16x+ + − −
⋅− + − − +
=
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
57
Vamos acompanhar uma divisão de números fracionários.
a) 58:
53 = 3 5
5 8⋅ =
83 b) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
32:
94 = 4 3
9 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= 32
−
A divisão entre duas frações algébricas é obtida multiplicando-se a primeira fração pelo inverso da segunda. Veja os exemplos:
a) x5
a:x3a2 2
= 2
2a 5x3x a
⋅ = 103a
b) a6
1b2:a3
ab2a2
++ = 2
a.(1 2b) 6a2b 13a
+⋅
+ = .2.
c) 2
2 2
ab b 4a 4 a 2a 1:b 8b 16 b 16+ − − + +− + −
= 2 2
b.(a 1) 4.(a 1) (b 4).(b 4)(b 4) (a 1)+ − + + −
⋅− +
=
= 2 2
(a 1).(b 4) (b 4).(b 4)(b 4) (a 1)+ − + −
⋅− +
= b 4a 1++
d) 4x4x
4x:2x16x
2
2
++−
+− =
2(x 4).(x 4) (x 2)x 2 x 4
+ − +⋅
+ − = (x + 4).(x + 2) = .x2 + 6x + 8.
1 Calcule as divisões:
a) ab4:
y5x2 =
b) bca4:
bc5a8 2
=
c) ab10:
ba5
22 =
d) 5 4 5 5
4 5
x y 15 x y:a a b
=
e) 23
22
22
22
cbyx:
cabyx2 =
f) 1p
x:1p
x2
54
−+ =
g) ba
1aa:ba
aaa 2
22
23
+++
−++ =
h) bcbb2ab:
cbb4ab4a
2
2
22
22
+−
−+− =
i) ax7
ama:y7x7
ma 2 +−+ =
j) 2
2222
yxyayax:
ayaxyx
−+
−+ =
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
58
2 Calcule as divisões:
a) 423
3223
32
23
abbababa:
bbaaba
+−
+− =
b) 22
2
2
2
yxxyx:
yxyx
−+
− =
c) 2 2
x 1 x 1:3x 6x 3 x 2x 1
+ +− + − +
=
d) 3 2 2
2
x 6x 9x x:x 3x 9
− ++−
=
e) 2
2 2
ax ay x y a 2a 1:3x 3yx y
− + − + ++−
=
f) 1m
5m10m5:1m
1m2m2
22
−+−
++− =
g) 2
2 2
a 3a ax 3x:x 1 x x+ +− +
=
h) 1x1x:
2x21x2x2
−+
−++ =
i) xk
k:xk
kx22 −−
=
j) 2
2 2 2
x 2x 1 x 1 1:a ba ab a b
+ + +⋅
−+ − =
3 Calcule as divisões:
a) 2 2
2
a 4a 4 a a 6:3a 9 a 9+ + − −+ −
=
b) 2
2 2
ab b 4a 4 a 2a 1:b 8b 16 b 16+ − − + +− + −
=
c) 2a 2a 1 3a 3:
a 1 a 1+ + +− −
=
d) 2x 1 x 1:
6x 6 3x 3− −+ +
=
e) 4 2
2
x 1 x 1:x 1 x 1
− −+ +
=
f) 2
6x 12 4x 8:4x 20x 10x 25
+ +−− +
=
g) 2 3
2
3m m m 9m:5 7m 5m 7m+ −− −
=
h) 2
2 2
a 3a a 3:x 1 x x+ +− +
=
i) 2 2x 3x x x 9: :
2x 4 x 2 2x 4− −+ + −
=
j) 2
2 2 2
a 25 2a 10 18ab: . 6a b a 3a 15a− +
− =
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
59
4 Calcule as divisões:
a) 2
2 2
m m m:3m 6m 4 m 1
−− + −
=
b) 2 2
2
x 2x x 4:3x 6x 3x
− −++
=
c) 2
2 2
a 3a ax 3x:x 1 x x+ +− +
=
d) 2 2
2 2 2
x 2x x xy:xy y x y
− +− −
=
e) 2 2
2
2x 4x 4x 8x:x 3 x 9− −+ −
=
f) 3 2 2
2
x 6x 9x x:x 3x 9
− ++−
=
g) 2 2y 6y y 36:x 2 3x 6− −+ +
=
h) 3 2
2 3 2
a 64a a a 56:a 16a 64 a 7a
− − −− + +
=
i) 2
2 2
5x 10 x 6x 8:x 5x 6 x 7x 12
+ + ++ + + +
=
j) 2 2 2
2 2
3x 6x 3x 3y x y:x 4 x 4x 4 2x 2xy
− + −⋅
− + + − =
5 Calcule as divisões:
a) b2a2)ba(:
babab2a 222
−+
−++ =
b) 3a9a:
39a6a 22
−−++ =
c) 2x2x16x:
1xx4x
2
3
2
2
+−
+− =
d) 2 2x 3x x 2 x 9:
2x 4 x 2x 4− + −
⋅+ −
=
e) 2 2 2
2 2 2
a 2a a a a 1:a a a 2a a 4− − −
⋅+ − −
=
f) 2 2
x 4 x 2 1:x 4x 4 x 16
− +⋅
+− − =
g) 2 2
x 4 x 2 1:x 1x 4 x 16
− +⋅
+− − =
h) y
18y3:21y672y2:
7y272y24y2 22 +
−−
−++ =
i) 6 am a 3m 3:
2m 2 a ab m 1+ +
⋅− + −
=
j) 3 2 2 2
2 3 3 2
8b 16a 9b 4a 3ab:4a 3b a b a b
− −⋅
+ =
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
60
Para somarmos ou subtrairmos frações algébricas, vamos utilizar o mesmo raciocínio das frações numéricas. Procederemos da seguinte forma:
Reduzir as frações ao mesmo denominador (m.m.c.) Dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador. Quando for possível, simplificar o resultado.
Veja os exemplos:
a) 161
23
32
−+− = 6
6194 −+− = 6155 − =
610
− = 35
−
b) ax5
ax3+ =
ax5x3 + =
ax8
c) x3
x32
x21
2 −+ =
m.m.c. = 6x2
2x6x184x3 −+ = 2x6
x154 −
d) 1x2x
1x5x
1xx2
2 −+
−−+
++
=
m.m.c. = (x + 1).(x - 1)
)1x).(1x()1x).(2x(5x)1x.(x2
−+++−++− =
)1x).(1x(2x2xx5xx2x2 22
−+−−−−++− =
)1x).(1x(3x4x2
−++− =
(x 1)− .(x 3)(x 1). (x 1)
−
+ − =
e) x2x
84x
16x4
2x5
22 −−
−+−
+ =
Fatorando os denominadores, temos:
)2x.(x8
)2x).(2x(16
x4
2x5
−−
−++−
+
m.m.c. = x.(x + 2).(x - 2)
)2x).(2x.(x)2x.(8x16)2x).(2x.(4)2x.(x5
−++−+−+−− =
)2x).(2x.(x16x8x16)4x.(410x5 22
−+−−+−−− =
)2x).(2x.(x16x8x1616x410x5 22
−+−−++−− =
)2x).(2x.(xx2x2
−+− =
x . (x 2)−
x .(x 2). (x 2)+ − =
2x1+
1x3x
+−
Curso de Matemática Básica Frações Algébricas
61
1 Calcule: 2 Calcule:
a) 4a a6 12+ = a)
1x2x
xx2
x2x 2
2
2
+−
−+
+− =
b) by
ax− = b)
2xx
2x3
4x4x
2
2
+−
−+
−+ =
c) 2 3
1 5 2a a a− + = c)
x3xax2
xa
3xa2
2 −−+
− =
d) 2
2
2 a 1aa 2a+
+−
= d) 2x
24x
12x2x
x2
2
++
−−
−−
=
e) 2
2
2x y y 3xyx y xy y− +
+− −
= e) y2x22
yx1
yx3
−−
−+
+ =
f) 2
3a 4 a 5a 4a 16
− −−
−− = f)
aba2a2
ab
ba22
2 −−−
− =
g) 9x6x
xx63x1x
2
2
++−−
++− = g)
1xx2
1xx
1xx
2
2
−+
+−
− =
h) 4x2
22x
3+
−+
= h) 1p2p
1p6
1p2p
2 +−
+−
−−+ =
i) 9x
63x
12 −
−−
= i) 2
5 3 6xx 3 x 3 x 9
+ −− + −
=
j) 2x
a6x3
a6+
−+
= j) 9x
x63x
33x
52 −
−+
+−
=
3 Calcule: 4 Calcule:
a) 4a
116a4a3
2 −−
−− = a)
2x2
4x12x
2xx
2
2
++
−−
−−
=
b) 2
2
3 x 3x 2x 2 x 4
− ++
+ − = b)
2
2
x 3x x 1 x 1x 1 x 1x 1
− + −+ −
− +− =
c) 2
p 2 pp 1 p 1 p 1
− +− − +
= c) 2x 2 2 4x 8x 2 x 2 x 4− −
+ ++ − −
=
d) 1x
11x
x21x
22 −
+−
−+
= d) x2x
84x
16x4
2x5
22 −−
−+−
+ =
e) 2 2
x y x 1x y x y x y
−+ +
− − + = e) 2
2 2x 1x 1 x 1x 1
+ −+ −−
=
f) 2
2 2
2x 4y 4yx y x y x y
+ −+ − −
= f) 4a
116a4a3
2 −−
−− =
g) 2
2 30 3y 5 y 25 y 5
− ++ − −
= g) 2
x 7 x 2 x 1x 1 x 1x 1
− + −+ −
− +− =
h) 2
3 1 6x 3 x 3 x 9
+ −+ − −
= h) 1x2x
1x5x
1xx2
2 −+
−−+
++
=
i) x3x
ax2xa
3xx2
2 −−+
− = i)
2
2
x 5 2 x 2x 1 x 1x 1
− −+ −
− +− =
j) aba2
a2ab
ba22
2 −−−
− = j)
2x2
4x12x
2xx
2
2
++
−−
−−
=
Curso de Matemática Básica Equações Algébricas Fracionárias
62
Quando uma equação tiver variável no denominador, essa equação será fracionária.
Exemplos: a) 1 2 3x x 1− =
− b) 4 1 1
x 2 2+ =
+ c) x 1 2
x 1 x+
=−
É bom lembrarmos que equações do tipo:
a) x 5 1 22 3+
− = b) 1 y y 22
− = c) x 1 x 13 2 4−
+ =
são equações de coeficientes fracionários e não equações fracionárias, pois essas equações não apresentam variável no denominador.
Resolução: Para a resolução de uma equação fracionária vamos utilizar as mesmas técnicas estudadas na resolução de equações inteiras. Como toda equação fracionária possui pelo menos uma variável no denominador, é necessário que se determine a condição de existência nas frações algébricas.
a) Resolva a equação: 5 1 2x 3− = − .
Condição de Existência (CE): x ≠ 0
m.m.c.: 3x
15 - x = - 6x → dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador - x + 6x = - 15 → separar termos com variável do sem variável 5x = - 15 → juntar os termos semelhantes
15x5−
= → isolar a variável
.x = - 3. → satisfaz a condição de existência, logo: S = {- 3}
b) Resolva a equação: 5x 205x 4 x
= −−
.
Condição de Existência (CE): x ≠ 4 e x ≠ 0
m.m.c.: x.(x - 4)
5x2 = 5x.(x - 4) - 20.(x - 4)
5x2 = 5x2 - 20x - 20x + 80 25x - 25x + 20x + 20x = 80 40x = 80
80x40
=
.x = 2. → satisfaz a condição de existência, logo:
S = {2}
Curso de Matemática Básica Equações Algébricas Fracionárias
63
c) Resolva a equação: 2
5 6 2x 3 x 9 x 3
+ =+ − −
.
Condição de Existência (CE): x ≠ 3 e x ≠ - 3
m.m.c.: (x + 3).(x - 3)
5.(x - 3) + 6 = 2.(x + 3)
5x - 15 + 6 = 2x + 6 5x - 2x = 6 + 15 - 6 3x = 15
15x3
=
.x = 5. → satisfaz a condição de existência, logo:
S = {5}
d) Resolva a equação: 2
2 1 1x 4 x 2 x
+ =− +
.
Condição de Existência (CE): x ≠ 2, x ≠ - 2 e x ≠ 0
m.m.c.: x.(x + 2).(x - 2) 2x + x.(x - 2) = (x + 2).(x - 2)
2x + x2 - 2x = x2 - 4 2x + 2x - 2x = - 4 2x = - 4
.x = - 2. → - 2 não satisfaz a condição de existência.
S = ∅
e) Resolva a equação: 2
x 4 10 x 2x 3 x 3x 9+ +
+ =+ −−
.
Condição de Existência (CE): x ≠ 3, x ≠ - 3
m.m.c.: (x + 3).(x - 3) (x + 4).(x - 3) + 10 = (x + 2).(x + 3)
2x - 3x + 4x - 12 + 10 = 2x + 3x + 2x + 6 - 3x + 4x - 3x - 2x = 6 + 12 - 10 - 4x = 8
8x4
=−
.x = - 2. → satisfaz a condição de existência, logo: S = {- 2}
Curso de Matemática Básica Equações Algébricas Fracionárias
64
1 Resolva as equações:
a) 1 2 1
4x 3x 12− = − f)
2 32x 1 4x 1
=+ +
b) x 5 7 52x 3x 12+
− = g) 4 12
x 2 x=
−
c) 7 2
x 3 x 2=
− + h)
2x 122x 3 x
− =+
d) 4 3
x 1 x 2=
− − i)
5 4x 5 x 3
=− −
e) 3x 5 1
x 4 2 2+ = −
− j)
3 5 5 1x 3 4 x 3
− = −− −
2 Resolva as equações:
a) 2
5x 2 1x 1 x 1 x 1
+ =− − +
f) 2
2
3x x 1 2x 9x 4 x 4 x 16
+ +− =
− + −
b) 2
14 x 4 x 6x 9 x 3 x 3
+ ++ =
− + − g)
2
2 3
x 2 3 2x 6x 3x x 3 x 9x
− ++ =
+ − −
c) 3 1 4
x 1 x 3 x 2+ =
− − − h)
2
2
x 1 x 1 2x 2xx 3 x 3 x 9− + −
+ =− + −
d) 2
13 x 1 xx 4 x 2 x 2
++ =
− − + i) 2
x 3 x 2 x 4x 2 x 4 x 2− − −
− =+ − −
e) 2
x 3 13 x 2x 1 x 1x 1+ −
+ =− +−
j) 2
2x x 5 x 2x 1 x 1 x 1
+ ++ =
+ − −
3 Resolva as equações:
a) 2
1 1 3x 2x 5 x 5 x 25
−− =
− + − f) 2
x 1 x 2 3x 1x 3 x 3 x 9− − −
− =− + −
b) 2
2
3.(2x 1) 6x 1 6x 1 x 1 x 1
+ +− =
− + − g) 2
x 2 x 2 xx x x x 1+ −
− =+ +
c) 2
2
x 1 2x 1 3x 4x 3 x 3 x 9+ + +
+ =− + −
h) 2
2 8x 1 7x 2 x 5x 6 x 3
−+ =
+ + + +
d) 2
x x (x 1).(2x 3)x 2 x 2 x 4
+ −+ =
+ − − i)
2
2
x 2x 3x x 2x 1 x 2 x x 2
− ++ =
− + + −
e) 3 4 1
x 1 x 2 x 3= −
− − − j) 2
x 7 x 6 xx 5 x 4 x 9x 20+ +
− =+ + + +