Compensadores: projeto no dom´ınio da...

Compensadores: projeto no domınio da

frequencia

• Relembrando o conteudo das aulas anteriores: o Compensador (tambemconhecido como Controlador) tem o objetivo de“compensar”caracterısticas“ruins”do sistema original.

• Usualmente empregamos Compensadores (Controladores) em malha fechadacom o sistema original.

• Empregamos tecnicas apropriadas de modo que o Compensador altere aconfiguracao do sistema de modo a satisfazer especificacoes de projeto.

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B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil

Sistema em malha fechada

R(s) Y (s)

Controlador Planta

+−

Gc(s) G(s)

Desenvolveremos a seguir um Compensador chamado de Avanco-Atraso,usando tecnicas do domınio da frequencia.

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• Margem de Ganho (dB): e a quantidade obtida na frequencia de cruzamentodo angulo de fase igual a −180o.

• Margem de fase φpm: e a quantidade do angulo correspondente a 0 dB.

• Em sistemas de 2a. ordem podemos usar a formula ξ = 0.01φpm (quando

0 < ξ < 0.707). Isso significa que a margem de fase altera significativamenteo Maximo Overshoot do sistema. Entao projetamos φpm para ter um bomdesempenho do Maximo Overshoot.

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Compensador Avanco

A sua funcao de transferencia e dada por

Gc(s) =K (s + z)

s + p

E Compensador Avanco quando |z | < |p|. Isso implica que (em sistema estavel)o polo esta localizado a esquerda do zero no Grafico Plano s.

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Compensador Avanco

Faca p = 1/τ e z = 1/(ατ) . Entao a sua funcao de transferencia e dadapor

Gc(s) =(1 + ατs)

α(1 + τs)

A frequencia onde ocorre a fase maxima do avanco ocorre no meio entre asfrequencias do polo e zero, ou seja,

ωm =√zp =

1

τ√α

O valor do angulo de avanco maximo e

sin φm =α− 1

α+ 1

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Compensador Avanco

O diagrama de Bode do Compensador Avanco e dado por

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Homework – Compensador Avanco

Mostre para o circuito abaixo que Gc(s) = V2(s)/V1(s) quando

τ =R1R2C

R1 + R2

α =R1 + R2

R2

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Exemplo

Determine valores para R1, R2 e C no circuito acima de modo que o maximo

angulo de fase seja maior que 50o e que a sua frequencia correspondenteseja inferior a 100 rad/seg.

Solucao:α− 1

α+ 1= sin φm ≥ sin 50o = 0.766 ⇒ α ≥ 7.547

Adotamos α = 8 . Note que

100 ≥ ωm =1

τ√8

⇒ τ ≥ 0.0035 Adotamos τ = 0.004025 .

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Escolha R1 = 14kΩ, R2 = 2kΩ, C = 0.0023mF , para obter

τ =14× 2× 0.0023

14 + 2= 0.004025 α =

R1 + R2

R2

=14 + 2

2= 8

Podemos entao concluir que R1 = 14kΩ, R2 = 2kΩ, C = 0.0023mF

garantem que as especificacoes do projeto.

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Projeto: Compensador Avanco via Diagrama de Bode

1 Faca a constante de erro (erro estacionario) estar no valor desejado noprojeto.

2 Avalie o Diagrama de Bode do sistema (sem o uso de Compensador).Obtenha a margem de fase φpm.

3 Determine a quantidade adicional de avanco de fase φm necessario paraque o sistema de controle resultante atenda a especificacao de projeto.Tome esse valor e adione entre +1o a +10o graus (para gerar uma“folga”).

4 Faca φm = φm+“folga”(graus). Determine α a partir da equacao

sin φm =α− 1

α+ 1

5 Calcule 10 logα e determine a frequencia onde a curva de magnitudenao-compensada e igual a −10 logα dB. Isso decorre do fato de que oCompensador prove um ganho de 10 logα em ωm, entao essa frequenciaωm e a nova frequencia de crossover 0 dB e ωm, simultaneamente.

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6 Calcule p = ωm

√α e z = p/α.

7 Desenhe o Diagrama de Bode resultante do sistema (acoplando oCompensador) e veja se a margem de fase resultante satisfaz aespecificacao de projeto. Em caso negativo refaca os passos anterioresadotanto outros valores (altere φm).

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R(s) Y (s)Controlador Planta

+−

Gc(s) G(s) = 10

s2

Exemplo

Considere o sistema acima. Determine um Compensador Avanco de Fase demodo que as especificacoes sejam atendidas:(a) Tempo de assentamento menor ou igual a 4 seg.(b) Maximo overshoot menor ou igual a 21%.

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Solucao.Para o tempo de assentamento ser inferior a 4 s, tem-se:

ts =4

ξωn

≤ 4 ⇒ ξωn ≥ 1,

Para um Maximo overshoot menor ou igual a 21%, faca MO = 21/100 ecalcule:

ξ =− ln(MO)

√

π2 + ln2(MO)= 0.45

Maximo overshoot menor que 21% implica que 0.45 < ξ < 1. Vamos adotar

ξ = 0.45 . E assim podemos fixar ωnξ = 1, logo ωn = 2.22

Estamos lidando com G(s) de segunda ordem, por isso podemos aproximar amargem de fase desejavel para o sistema, que seja aproximada por

φpm =ξ

0.01= 45o .

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A margem de fase do sistema nao-compensado e 0o porque um integradorduplo na origem resulta em fase atrasada em −180o para todas as frequenciaspossıveis. Entao devemos adicionar um angulo de Avanco de +45o nafrequencia de crossover (0-dB).Faca φm = 45o + 1o = 46o . Determine α a partir da equacao

sin 46o =α− 1

α+ 1⇒ α = 6.

Note agora que 10 log(α) = 7.78 dB. Voltamos a visualizar o Diagrama deBode nao-compensado e marcamos a frequencia em que ocorre −7.78 dB;esse valor ocorre no Diagrama em ω = 4.95 rad/seg. Faca ωm = ω = 4.95 ecalcule o polo-zero usando a formula

p = ωm

√α = 12 z = p/α = 2.

A funcao de transferencia do Compensador Avanco e

Gc(s) =(1 + ατs)

α(1 + τs)=

1

6

(

1 + s/2

1 + s/12

)

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Projeto 2: Compensador Avanco via Diagrama de Bode


+−

Gc(s) G(s)

Exemplo

Considere um sistema de controle com funcao de transferencia de malhaaberta dada por

G(s) =40

s(s + 2)

Deseja-se implementar um compensador avanco tal que:(a) o erro estacionario devido a entrada rampa-unitaria seja menor ou igual a0.25;(b) a margem de fase resultante seja superior a 50.

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Solucao:

• Relembre que o controlador avanco possui formato

Gc(s) =(1 + ατs)

α(1 + τs)

Erro a entrada rampa-unitaria exige calculo de Kv , que e dado por

Kv = lims→0

sGc(s)G(s) = lims→0

s

(

(1 + ατs)

α(1 + τs)

)

40

s(s + 2)=

20

α

Da formula do erro estacionario obtemos

0.25 ≥ R

Kv

=120

α

=α

20⇒ α ≤ 5.

Portanto devemos escolher α ≤ 5 para satisfazer item (a).

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10−1

100

101

102

−90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

−50

−40

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

30

20

40

50

−10

−20

−30

−180

−150

−120

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• Para satisfazer item (b) devemos analisar o Diagrama de Bode. A margemde fase do sistema nao-compensado e igual a +17, logo para satisfazer aespecificacao de margem de fase de +50 precisa-se produzir um adicionala margem de fase no valor φm = 33. Considere folga de +5. Distotemos que φm = φm + 5 = 38. Podemos agora escrever

sin φm =α− 1

α+ 1⇒ α = 4.12

Adotamos α = 4.12 e esse valor ja satisfaz item (a).

• Note agora que 10 log(α) = 6.15 dB. Voltamos a visualizar o Diagrama deBode nao-compensado e marcamos a frequencia em que ocorre −6.15 dB;esse valor ocorre no Diagrama em ω = 9 rad/seg. Faca ωm = ω = 9 ecalcule o polo-zero usando a formula

p = ωm

√α = 18.26 z = p/α = 4.43

• Lembrando que z = 1/(ατ) e p = 1/τ , temos que o controlador e

Gc(s) =(1 + ατs)

α(1 + τs)=

(1 + s/4.43)

4.12(1 + s/18.26)

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Bode Diagram

Frequency (rad/s)

−100

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

102

103

Pha

se (

deg)

−90

−50

50

−180

−135

φpm

Diagrama de Bode para sistema compensado. Note que a Margem de Fasecompensada e superior a 50o .

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HomeworkRepita o exercıcio anterior para uma funcao de transferencia de malha abertadada por

G(s) =20

(s + 1)(s + 2)

Implemente um compensador tal que, obrigatoriamente, satisfaca:(a) o erro estacionario devido a entrada degrau-unitario seja menor ou igual a0.8;(b) a margem de fase seja superior a 60.

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Compensador Atraso

A sua funcao de transferencia e dada por

Gc(s) =K (s + z)

s + p

E Compensador Atraso quando |z | > |p|. Isso implica que (em sistema estavel)o polo esta localizado a direita do zero no Grafico Plano s.

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Compensador Atraso

Faca p = 1/(ατ) e z = 1/τ . Entao a sua funcao de transferencia e dadapor

Gc(s) =1 + τs

1 + ταs

A frequencia onde ocorre a fase maxima do atraso ocorre no meio entre asfrequencias do polo e zero, ou seja,

ωm =√zp =

1

τ√α

Cuidado:O Compensador Atraso nao e usado para compensacao de angulo, pois elepode diminuir a margem de fase e isso prove a tendencia de instabilidade.Usaremos Compensador Atraso para promover atenuacao de altas frequenciase para diminuir o erro estacionario.

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Homework – Compensador Atraso

Mostre para o circuito abaixo que

Gc(s) =Vo(s)

Vin(s)=

1 + τs

1 + ταs

quando

τ = R2C α =R1 + R2

R2

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Projeto: Compensador Atraso via Diagrama de Bode

1 Faca a constante de erro (erro estacionario) estar no valor desejado noprojeto.

2 Avalie o Diagrama de Bode do sistema (sem o uso de Compensador).Obtenha a margem de fase φpm. Se nao satisfaz a especificacao do projetoentao siga para o proximo passo.

3 Tome a margem de fase especificada pelo projeto e adione +5o graus(para gerar uma“folga”). Verifique no grafico a frequencia ωc na qual essenovo valor de margem de fase ocorreria.

4 Ponha o zero do compensador uma decada abaixo da nova frequencia de

crossover ωc , ou seja, z = ωc/10 .

5 Faca a medicao da atenuacao necessaria em ωc para assegurar que a curvade magnitude cruze essa frequencia.

6 Calcule α lembrando que o valor da atenuacao em ωc e dado por−20 log(α).

7 Calcule o polo p = z/α .26 of 33


Projeto 3: Compensador Atraso via Diagrama de Bode


+−

Gc(s) G(s)

Exemplo

Considere um sistema de controle com funcao de transferencia de malhaaberta dada por

G(s) =K

s(s + 2)

Deseja-se implementar um compensador tal que:(a) a constante de erro estatico de velocidade seja Kv = 20 s−1;(b) a margem de fase seja 45;

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Exemplo

Solucao: A constante K obtem-se de Kv , que e dado por

Kv = lims→0

sK

s(s + 2)= lim

s→0

K

s + 2⇒ K = 40

A curva de Bode para o sistema (nao-compensado) esta na figura curvacontınua da proxima pagina. Note que a Margem de Fase nao-compensada eφpm = 20o , e por isso nao atende a especificacao de projeto.A especificacao de projeto exige Margem de Fase 45o , e adicionamos folga 5o ,totalizando 50o . Por isso o ponto φ(ω) = −130o e desejado e ocorre emω = ωc = 1.5. A atenuacao necessaria em ωc = 1.5 e 20dB. Obtemos αusando a formula 20 log(α) = 20 e portanto α = 10.Obtemos z = ωc/10 = 0.15 e p = z/α = 0.015. Usando as formulasp = 1/(ατ) e z = 1/τ , encontramos o controlador Atraso:

Gc(s) =1 + τs

1 + ταs=

1 + s/0.15

1 + s/0.015

A especificacao foi atendida (curva pontilhada).28 of 33


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Projeto 4: Compensador Atraso via Diagrama de Bode


+−

Gc(s) G(s)

HomeworkConsidere um sistema de controle com funcao de transferencia de malhaaberta dada por

G(s) =20

s(0.1s + 1)2

Deseja-se implementar um compensador tal que:(a) a margem de fase seja 65.Dica: use a figura da proxima pagina.

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Passos: obtenha ωc = 1.5, atenuacao de 23dB, α = 14.2, z = 0.15, e enfimencontre

Gc(s) =1 + τs

1 + ταs=

1 + 6.66s

1 + 94.6s

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Dica de atividades

Dica

1. Fazer os Exercıcios apresentados no Cap. 10 do livro“Sistemas de ControleModernos”- Richard C. Dorf, Robert H. Bishop.

2. Fazer os Exercıcios apresentados no livro K. OGATA,“Engenharia deControle Moderno”.

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