Conceitofuncao

Projeto TEIA DO SABER 2006 UNESP – Campus de Guaratinguetá Secretaria de Estado da Educação, SP. Departamento de Matemática Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni

Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial)

O CONCEITO DE FUNÇÃO

Profa. Dra. Maria Tereza de Lima Carvalho

[email protected]

Departamento de Matemática

FEG – UNESP

Novembro de 2006

TEIA DO SABER 2006 − Metodologias de Ensino da Matemática

2

FUNÇÕES

O estudo de função decorre da necessidade de analisar fenômenos, descrever regularidades, interpretar interdependências e generalizar.

Consideremos as seguintes situações: a) A área de um círculo depende de seu raio r. A lei que relaciona r

e A é dada pela equação .2rA π= A cada número r positivo corresponde um único valor de A, e dizemos que A é função de r.

b) A população humana mundial P depende do tempo t. A tabela

abaixo fornece estimativas da população mundial P no instante t, para determinados casos. Por exemplo, em 1955,

P≅ 2.500.000.000

c) O custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso p. Embora não exista uma fórmula simples relacionando p e C, o correio tem uma fórmula que permite calcular C quando é dado p.

d) A aceleração vertical a do solo registrada por um sismógrafo

durante um terremoto é uma função do tempo t decorrido. A figura seguinte mostra o gráfico gerado pela atividade sísmica durante o terremoto de Norhridge, que abalou Los Angeles em 1994. Para um dado valor de t, o gráfico fornece o valor correspondente de a.


3

Definição. Uma função é uma lei segundo a qual, para cada elemento

x em um conjunto A corresponde um único elemento y em um conjunto B. O conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é o

contra-domínio. A variação de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia em todo o domínio. A definição de função pode ser esquematizada através de um diagrama de flechas.

X - variável independente y – variable dependente Gráfico Cartesiano O gráfico de uma função f consiste em todos os pontos (x,y) do plano

coordenado Oxy, tais que x pertence ao domínio de f e y = f(x). O gráfico permite a visualização do comportamento da função.


4

Representações de Funções - verbalmente (descrevendo-a com palavras)

- numericamente (através de tabela de valores)

- visualmente (através de gráficos) - algebricamente (utilizando-se uma fórmula explícita)

A representação de uma função de maneiras diferentes é importante,

pois possibilita uma maior compreensão sobre a função. Porém, algumas funções são descritas mais naturalmente de uma determinada forma que de outra. Exemplificando, vamos considerar as quatro funções descritas anteriormente.

a) A mais útil dentre as representações da área de um círculo em

função de seu raio é provavelmente a fórmula .)( 2rrA π= É possível, também, elaborar uma tabela de valores bem como esboçar um gráfico (meia parábola). Como o raio do círculo é positivo, o domínio da função é { } ),,0(0; ∞=>ℜ∈ rr e a variação é ),( ∞o .

b) Seja dada a seguinte descrição em palavras de uma função: P(t)

é a população humana mundial no instante t. A tabela de valores da população mundial fornece uma representação conveniente dessa função.


5

Se plotarmos esses valores vamos obter o gráfico abaixo, chamado mapa de dispersão. É também uma representação útil, já que nos possibilita visualizar todo o conjunto de dados. A plotagem de dispersão pode ser visualmente realçada, unindo os pontos sucessivos com segmentos de reta, obtendo, nesse caso, um gráfico de linhas. É evidente que não existe uma fórmula exata que forneça a população humana P(t) em qualquer momento t. Porém é possível determinar uma expressão aproximada. Existem métodos através dos quais obtemos a aproximação

ttP )013716,1)(00836312,0()( ≅ e a figura abaixo mostra que o ajuste é bem razoável.


6

c) Novamente a função é descrita verbalmente: C(w) é o custo de

enviar pelo correio uma carta com um peso w. Nos EUA, em 1998, o serviço postal seguia a seguinte regra: até 1 onça (1onça )35,28 g≅ , o custo era de 32 centavos de dólar, e mais 23 centavos para cada onça sucessivamente até 11 onças. A tabela de valores, mostrada abaixo, é a representação mais conveniente para essa função, embora seja possível esboçar o seu gráfico.

d) O gráfico é a representação mais natural da aceleração vertical a em função do tempo t. É possível compilar uma tabela de valores e até mesmo deduzir uma fórmula aproximada. Porém, as informações que o geólogo necessita – amplitude e padrões – podem ser facilmente obtidas do gráfico.


7

Atividades

1. Verifique se o gráfico dado representa uma função y=f(x). Justifique a resposta.

a) b) c) d) e) f) Mapa de dispersão de pesos versus idade para uma amostra aleatória de 100 estudantes.


8

2. Determine o domínio da função:

xxfa 26)() −=

265

)()2

+++=

xxx

xgb

3. Critique o argumento seguinte: a função

)1(1)1(1

)(xx

xf+−=

pode ser simplificada multiplicando-se numerador e denominador por x, obtendo-se

11

)(+−=

xx

xf

Como você reescreveria o argumento para torna-lo correto?

4. Escreva uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada.

a) b) A parte de baixo da parábola .0)1( 2 =−+ yx


9

5. O gráfico em anexo mostra a renda familiar média dos EUA entre 1975 e 1995. Use o gráfico para responder as questões a seguir , fazendo aproximações razoáveis quando for necessário.

a. Quando a renda média atingiu seu valor máximo e qual foi ele? b. Quando a renda média atingiu seu valor mínimo e qual foi ele? c. A renda média estava diminuindo durante os quatro anos do período

de 1989 a 1993. Ela estava diminuindo mais rapidamente durante os dois primeiros anos ou nos dois segundos anos daquele período? Justifique a resposta.

6. Um estudante vai de carro para a escola. Após 5 minutos de percurso, percebe que esqueceu seu material. Ele volta rapidamente para casa, pega seu material e retorna para a escola em alta velocidade. Porém, 5 minutos após ter deixado a sua casa, bate em uma árvore. Esboce um gráfico aproximado que descreva razoavelmente a distância do estudante a sua casa em função do tempo, a partir do momento de sua primeira saída até o momento da batida.


10

7. Duas partículas 1P e 2P são lançadas verticalmente, no instante t=0 (em verticais distintas). Os gráficos de suas alturas (em metros) em função do tempo (em segundos) estão representados na figura seguinte, o de 2P sendo tracejado. Determine:

a. A altura máxima atingida pelas partículas e o instante em que isto sucedeu.

b. O maior intervalo de tempo durante o qual 1P se manteve mais alta

que 2P .

c. O instante em que 1P e 2P têm a mesma altura.

d. Qual a distância percorrida por 1P no intervalo de tempo [ ]?8,0


11

8. Num campeonato de futebol, cada time joga contra todos os outros times duas vezes.

a. Se nesse campeonato houver quatro times, quantas vezes cada time vai jogar? E cada par de times? Quantos jogos haverá no campeonato?

b. Responda todas essas perguntas, para o caso de haver cinco times no campeonato.

c. Determine uma expressão que forneça o número de jogos do campeonato em função do número de times.

9. Uma livraria recebe certo livro por um custo de R$ 40,00 por exemplar. O gerente vendeu inicialmente 36 desses livros por semana a R$ 100,00 cada. Sabendo que, se reduzisse o preço de cada livro de R$ 5,00 por semana, venderia mais 6 livros por semana, resolveu experimentar e foi reduzindo o preço do livro de R$ 5,00 a cada semana. A que preço um livro deve ser vendido a fim de que o lucro seja máximo?

10.Nos EUA, em 1998, o serviço postal seguia o seguinte regulamento: até 1 onça (1 onça ≅ 28,34) o custo era de 32 centavos de dólar, e mais 23 centavos para cada onça sucessiva até 11 onças. Na tabela seguinte C(w) representa o custo para enviar pelo correio uma carta com um peso w.

Defina a função C(w) e represente-a graficamente.


12

10. Uma companhia de táxi cobra R$ 5,00 pelo primeiro quilômetro (ou fração de quilômetro) e, após, 50 centavos para cada décimo de quilômetro (ou fração). Expresse o custo C (em reais) de uma de uma corrida como uma função da distância x percorrida (em quilômetros) para 0<x<2, e esboce o gráfico.

11. Na Figura (a) abaixo são mostrados os pontos A, B e C das margens de

um rio. Um atleta vai de A até um ponto P entre A e C, caminhando sobre a margem, com velocidade smv /5,21 = , e nada de P a B com velocidade

./22 smv = a) Determine o tempo gasto no percurso APB. b) Calcule o tempo gasto se o percurso for ACB. c) Calcule o tempo gasto se o atleta nadar de A a B, em linha

reta. d) O gráfico de t em função de x é representado na Figura (b).

Na parte (c) da figura mostra-se um detalhe do gráfico. Determine a distância AP para que o tempo gasto seja o menor possível.


13

12.Um fazendeiro deseja cercar parte de um campo, para formar dois pastos retangulares adjacentes, como mostrado na figura.

Ele tem o total de 600 pés de arame disponível, que deseja usar

inteiramente. a)Escreva a área total cercada como uma função de x. b) Determine as dimensões de x e y que tornam máxima a área

total cercada.


14

MAC – TURMA 152 PROF.ª M. TEREZA

Não haverá aula terça-feira, 07/11.


15

PLANO DE AULAS

FUNÇÕES 11/11

i. Definições: função, domínio, contra-domínio, variação. ii. Formas de Representação: verbal, numérica, gráfica,

algébrica. iii. Gráficos: o plano cartesiano, interpretação e construção de

gráficos. iv. Problemas.

18/11

v. Problemas envolvendo as diversas formas de representação de função.

vi. Determinação da expressão analítica de uma função através de generalização.

vii. Sobre o ensino usual de função: dificuldades e obstáculos.


16

Bibliografia.

viii. BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral I, vol.1. São Paulo: Books Internacional, 1999.

ix. HOWARD, A. Cálculo – um novo horizonte, vol.1. Porto Alegre: Bookman, 2000.

x. STEWART, J. Cálculo, vol.1. São Paulo: Pioneira, 2001. xi. TINOCO, L. (coord.) Construindo o Conceito de Função. Rio

de Janeiro: Instituto de Matemática/ UFRJ – Projeto Fundão,2002.

Conceitofuncao

Documents

Transcript of Conceitofuncao