Cones alunos
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Geometria Espacial
Os ConesFABIANA DE SOUSA SANTOS GOANÇALVES
Cones no trânsito...
E mais ao sul do
País uma linda
catedral em forma de cone.
À noite e iluminada.
Cone circular Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice)
fora de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os
segmentos .
Cone circular
Cone circular• altura: distância h do vértice V ao
plano • geratriz (g):segmento com uma
extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
• raio da base: raio R do círculo • eixo de rotação:reta determinada
pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
Elementos do cone circular Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: •altura: distância h do vértice V ao plano •geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência•raio da base: raio R do círculo•eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
O cone é um sólido geométrico obtido da revolução de um triângulo em torno de seu eixo vertical. Os cones
podem ser classificados em: cone circular oblíquo e cone circular reto. Iremos focar nossos estudos sobre o cone
circular reto, que é obtido após a revolução de um triângulo retângulo em torno de seu eixo vertical. Por
apresentar uma das faces arredondadas, os cones também são denominados de corpos redondos.
A figura a seguir exibe a planificação de um cone
g2 = h2 + R2
Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Definição: é um sólido formado por todos os segmentos de reta que tem extremidade em V
(vértice) é a outra em um ponto do círculo (base).
Cone Equilátero:O cone circular reto cujas secções meridianas são
regiões limitadas por triângulos equiláteros é chamado de cone equilátero. Logo, a geratriz é
igual ao dobro do raio, isto é, g = 2R.
Secção meridiana A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero:
A B
V
Secção meridiana
Área do Cone Desenvolvendo a superfície lateral de
um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e
comprimento : L = 2..R
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:a) área lateral (AL): área do setor circular AL = .R.g
b) área da base (AB):área do circulo do raio R AB = .R2
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da baseAT = AL + AB = Rg + R2 AT = R.(g + R)
Áreas
Exemplo 1. Calcule a área total de um cone cujo raio da base mede 6cm e a altura 8cm. Solução: Para calcular a área total do cone é preciso conhecer as medidas do raio da base e da geratriz. Como foram dados somente a medida do raio e da altura, precisamos determinar a medida da geratriz. Para isso utilizaremos a relação fundamental existente entre esses três elementos. g2 = h2 + r2
g2 = 82 + 62
g2 = 64 + 36g2 = 100g = 10 cm
Conhecidas as medidas do raio e da geratriz, basta aplicar a fórmula da área total. Segue que:
Exemplo 2. Determine a área total do cone abaixo. Solução: Pela figura temos que r = 40 cm e g = 70 cm. Como já conhecemos as medidas do raio da base e da geratriz, podemos aplicar diretamente a fórmula da área total.
Volume Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:
Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: V = 2..d.S Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:
d = distância do centro de
gravidade (CG) da sua superfície ao
eixo eS=área da superfície
O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação.
Logo:
Fórmulas de áreas e volume:
DIVERSÃODE
CASA/AULA
1 – Um cone circular reto tem 10 cm de raio da base e 24 cm de altura. Calcule a área total e o volume desse cone.
g2 = h2 + r2
g2 = 242 + 102
g2 = 676g = 26 cm
AT = .r.(r + g)AT = .10.(10 + 26)AT = 360 cm2
2 – A superfície lateral de um cone é um setor circular de 12 cm e ângulo central de 120º. Calcule a área total desse cone.
.122 _____ 360ºAL _____ 120ºAL = 144. 3 AL = 48 cm2
AL = .r.g48. = .r.12r = 4 cm
AT = .r.(r + g)AT = .4.(4 + 12)AT = 64 cm2
3 – calcule a área total e o volume de um cone equilátero cuja geratriz mede 20 cm. (Obs.: em um cone equilátero, a geratriz é igual ao diâmetro da base.)
g = 2.rg = 20 cmR = 10 cm
g2 = h2 + r2
202 = h2 + 102
h2 = 300h = 10.3 cm
AT = .r.(r + g)AT = .10.(10 + 20)AT = 300 cm2
4 – Um cone é gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo, de catetos medindo 15 cm e 8 cm, em torno do cateto maior. Calcule a área total e o volume desse cone.g2 = h2 + r2
g2 = 152 + 82
g2 = 225 + 64g2 = 289g = 17 cm
AT = .r.(r + g)AT = .8.(8 + 17)AT = 200 cm2
g
5 – Considere um triângulo retângulo de catetos medindo 5 cm e 12 cm. Gira-se o triângulo em torno do cateto maior, obtendo-se um cone circular reto. Analise as proposições abaixo, marcando (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas. ( ) A geratriz do cone mede 13 cm.( ) A área lateral do cone é igual a 60 cm2.( ) O volume do cone é igual a 100 cm3.( ) A área total do cone é igual a 90 cm2.( ) O volume do cone obtido em torno do cateto menor é o mesmo que daquele que se obtém em torno do cateto maior.
FV
F
V
V
6 – Um cone reto tem 4 cm de altura e o raio da base mede 3 cm. Vamos calcular a área lateral e o volume:
g2 = 42 + 32
g2 = 16 + 9 = 25 g = 5 cmAL = .r.gAL = .3.5AL = 15 cm2
V = 1 . 9. 4 V = 12 cm3
3
7 – Vamos calcular o volume a área lateral de um cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro da base.
4r2 = h2 + r2
h2 = 3r2 h = r.3
AB = .r2 V = .r2.r3h = r.3 3 V = .r33 3
AL = .r.gAL = .r.2rAL = 2r2 cm2
8 – Calcule a área lateral e o volume de um cone equilátero, sabendo que o raio da base mede 5 cm.9 – Em um cone reto, o raio da base e a altura medem respectivamente 5 cm e 12 cm. Determine:a) Sua área lateral;b) Sua área total;c) Seu volume.10 – Em um cone reto, a área lateral é igual a 48 cm2 e o raio da base mede 6 cm. Calcule a geratriz.
11 – Em um cone reto, o raio da base é a metade da medida da geratriz e a área lateral 18 cm2 . Calcule o raio da base e o volume do cone. 12 – A base de um cone reto está inscrita em um quadrado de 6m de lado. Sabendo que a geratriz do cone mede 5m, calcule o volume e a área lateral do cone.
13 – Qual a geratriz de um cone equilátero cujo volume é igual a .3 cm3 ?
14 – Qual o volume de um cone circular reto inscrito em um cilindro de 4m de altura e raio da base igual a 3m ?
15 – Qual o volume de um cone reto inscrito em um cubo de 3m de aresta ?
16 – Uma ampulheta é formada por dois cones retos idênticos, tendo cada um deles 6 cm de diâmetro na base e 10 cm de altura. Um deles está completamente cheio de areia e esta ecoa para o outro cone à razão de 0,5 cm3 por segundo.O tempo necessário para escoar totalmente a areia de um cone para outro é:a) Menor que 2 min;b) Entre 2min e 3 min;c) Entre 3min e 4min;d) Entre 4min e 5 min;e) Maior que 5min.