conexões com DVD do professor a matemáticajoinville.ifsc.edu.br/~paulo.amaro/Mat III/Banco de...

conexões com a matemática

1

DVD do professor

banco De questões

Capítulo 16 matrizes e determinantes

10. Dadasasmatrizes:

5 5A B43

54

12

01ed dn ntaisque2A2X=B,deter-

mineamatrizX.

11. Sendo ,522 5M N

01

23

22

45ed dn n determineasma-

trizesXeYtaisque:

2 5 11 5 2

X Y M N

X Y M N

3 3

3)

12. (UFPel-RS) O iogurte é um alimento derivado do leite, tendo assumido várias cores nas prateleiras dos supermercados, dependendo do elemento a ele incorporado. A oferta de marcas, cores, sabo res e consistência é grande. Os iogurtes fornecem proteínas, vitaminas A, D e E, cálcio e fósforo. Alguns recebem ferro e fibras e o mais importante é que dificilmente ultrapassam 5% de gordura, fator muito observado pelos usuários, principalmente os que cultuam as formas de um corpo ideal, baseado nas proporções divulgadas pela mídia, e também os que seguem prescrição médica.

http://saúde.abril.com.br/livre/especiais/especialgordura/1209pop2.html.Acessoem:29set.2004[Adapt.]

Osteoresdemagnésioesódio,presentesem100 mLdeiogurtefeitocomleiteintegraloucomleitedes-natado,estãorepresentadospelasvariáveisx,y,z,tnamatriz:

5Mxz

yt

< F

comleiteintegral

comleitedesnatado

magnésio(mg)sódio(mg)

Sendo ( ),

,,

.1 ,8 11 .

M ai j i j

j i ji j i j

52 10 103 2

sese

se

13

2ij

i2 2

3

2

4

= = =*Com base no texto e em seus conhecimentos,determine:a)aquantidadedemagnésioencontradaem100 mL

deleitedesnatadoeaquantidadedesódioen-contradaem100mLdeleiteintegral.

b) amatrizrepresentadapelasomadotriplodama-

trizMede32 damatrizopostadeM.

13. Calculeosprodutos,seexistirem:

a)2

8 2312

4 1 0f _p i

b) 2 84 1 0310

_ fi p

c) 824

112

30

21

57

48

d dn n

1. Escreva as matrizes abaixo conforme a lei deformação:

a)A5(aij)332,emqueaij52t1j

b)B5(bij)331,emquebij5(2t)j

c) C5(cij)234,emquecji2

ij =

d)D=(dij)434,emque,

,5

1 i2 5

di j t j

i j t j

se

seij 2*

2. SejaA=(aij)umamatrizquadradadeordem2emque

( )

,

, .

1 52 .,

a

i j j

i j j

i i j

i

i

se

se

seij = *

Determineasomadosseuselementos.

3. Calcule os valores reais x e y que satisfazem aigualdade:

11

21

x yx y

x yx y

3 22

73

35=f dp n

4. Determine os valores de a e b de forma que asmatrizesAeBsejamiguais:

a) 52

5 1Aa b

B a b348

43

42ed dn n

b) 512 5A

a ba b B

2 33

23ed dn n

5. Sabendoqueasmatrizes2

2y

x21

13 4

2

f pe

21

21

zy x

3 12 7

11

44

e osãoiguais,determinex1y 1z.

6. ConsidereamatrizA=(aij)334naqual

528 .

ai j t j

i j t j

se

se

<ij * .

Determine o elemento que pertence à 2a linha eà3acolunadamatrizAt,transpostadeA.

7. Determineosvaloresdexeyparaque:

11 2x

yyx

3

2 1

143

4=f f fp p p

8. Dadasasmatrizes:

,,52

5 2 5A B C210

543

031

206

202

541

ef f fp p p determine:

a)At1Bt1Ct b)(A1B)2(A1C)

9. Se )21, e (5 5 2 5 2A B C251213

583

1 10tf fp p ,

determineamatrizX=A1B2C.

banco De questões

matrizes e determinantescapítulo 16

Grau de dificuldade das questões:Fácil Médio Difícil

Pr

ism

a B

ild

ag

en

tur

ag

/ala

my

/Oth

er

ima

ge

s


2

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banco De questões


14. Resolvaaequaçãomatricial:

222 2

ac

bd

32

11

73

22=d d dn n n

15. Dadaamatriz ,52

2M21

12

d n determineamatrizX,sabendoque:

a)M8X=I2

b) 8 5M X93d n

c) M8X=M

16. (Fuvest-SP)Atabelaaseguirforneceosvaloresuni-tários da massa, volume e preço de três tipos deprodutosA,BeC.

A B C

Massa (kg) 2 3 5

Volume (L) 2 5 4

Preço (US$) 4 8 10

a)Calculeovalor totaldamassa,volumeepreçodoseguintepedidodemercadorias:

A–100unidades

B–200unidades

C–50unidades

b)CalculeonúmerodeunidadesdecadaumdosprodutosA,BeCnumdespachocomosseguin-tesvalorestotais:

Massa 4.500 kg

Volume 5.300 L

Preço 10.000 US$

17. Calcule,seexistir,amatrizinversade:

a) 5A43

14

d n c) 5C124

130

001

f p

b) 52

2B32

64

d n

18. Calculeodeterminantedamatriz

cos tg

.

π

π

π

π2

23

4

3cossen

f p

19. Determinexnaturaldemodoqueodeterminante

damatriz 5 8 2 2M xx x

x1

1 11d dn nseja9.

20. Paraquaisvaloresdekaequação 1 5x

xk

00

21

031

0

temduassoluçõesreaisdistintas?

21. Resolvaaequação 5x

xx

xxx

111

0costgsen

cossencos

f p para

0,x, π.

22. Determineomenorvalorpositivopossívelquesejasoluçãodaequaçãoaseguir:

15

cos

coscos

x x

xx

xx

00

0 01

sensen

sen

2 2

23. CalculepelaregradeSarrusovalordecadadeter-minante.

a)21

03

214

123

b)345

678

91011

24. Resolvaaequação:

25 2x

123

364

2

626

25. Sendofumafunçãorealtalque ( ) ,5f xxxx

234

4916

determine:

a)aexpressãodef;

b)ovalordef (1);

c) odomíniodef;

26. (Udesc)Considereaequação

det

Determineovalordecosx,paraxÑ[0;π].

27. AplicandooteoremadeLaplace,calcule:

a)x

yz

00

0

0

00

b)

ab

cd

e

0000

0

000

00

00

000

0

0000

28. Calculeosdeterminantesaplicandoo teoremadeLaplace:

a) 52 2

det A211

120

201

b) 522

2

det B

1211

0124

0201

3232

.5 2cos

cos

xx

xxx1

111 2

1sen

sensen


3

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banco De questões


29. Uma matriz quadrada A, de ordem 2, é tal quedet(2A)=det(A2).CalculedetAsabendoquedetAi0.

30. Aplicandoaspropriedadesdosdeterminantes,en-contreovalorde:

a) 52 2

A101

400

201

c) 52

C211

120

131

b) 52

B213

126

139

d) 52

2

22D

27

15

51

19

226

31. Dadasasmatrizes:

52

M103

214

123

f pe 52

2N

120

131

121

f pCalculedet(M8N)semefetuaramultiplicaçãodematrizes.

32. DadaumamatrizAquadradadeordem3talquedetA= 248.Calcule:

a)detAt c) detA2

b)detA21 d)det(28A)

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1

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Capítulo 17 sistemas lineares

a)Determine as equações y = a rx 1 br e y = asx 1 bs de r e s, respectivamente.

b)Obtenha as coordenadas do ponto de intersecção de r e s.

7. Classifique os sistemas em SPD, SPI ou SI.

a)5

2 3 14

1x y

x y2==

* c)3 3 6

9

22 2

x y

x y

==

*

b)6

2 2 12

11

x y

x y

==

* d)4 12

2 8

11

x y

x y

==

*

8. Determine o valor de m e n, de modo que

3 2 7

6

11

x y

x my n

==

* seja:

a)SPD b)SPI c) SI

9. Determine em que condições o sistema linear, nas incógnitas x e y, a seguir é impossível.

2 2

3

11x my

x y p

==

*

10. (Unir-RO) Considere o sistema de equações lineares abaixo.4 6 2 0

3 2 0

2 3 0

1 11

x y z

x y z

x y az

2 222 2

===

* Qual deve ser o valor de a para que o sistema tenha

infinitas soluções?

a)22 b)0 c)1 d)21 e)2

11. Observe a reta r e o ponto P na figura abaixo.

–1 1

2

–3

x

P

yr

Dê as coordenadas de um ponto Q, se possível, para

que as equações das retas r e PQ formem:

a)um sistema possível e determinado;

b)um sistema impossível;

c) um sistema possível e indeterminado.

1. Verifique quais das equações abaixo são lineares:

a)x 1 2y 1 z 5 4

b)3x2 1 2y 5 7

c) 4xy 1 2x 1 3y 5 8

d)3x 1 2y 1 4z 1 t 2 2 5 0

2. Determine o valor de m, sabendo que o terno (2m, 3, m 2 1) é solução da equação x 2 3y 1 2z 5 1.

3. Determine qual terno é solução da equação 2x 2 3y 1 z 5 4.

a)(22, 1, 3) c) (1, 5, 1)

b)(1, 1, 5) d) (2, 1, 23)

4. (UPF-RS) A empresa Brinque Muito realizou uma grande doação de brinquedos para um orfanato. Essa doação compreendeu 535 brinquedos, entre bolas e bonecas, 370 brinquedos, entre bonecas e carrinhos, e o total da doação entre bolas e carri-nhos foi de 455 brinquedos. É possível afirmar que, para realizar a doação, a empresa produziu:

a)320 bolas.

b)145 carrinhos.

c) 235 bonecas.

d)780 brinquedos.

e)1.350 brinquedos.

5. Em uma lanchonete, um grupo de amigos pediu 8 pastéis, 4 refrigerantes e 5 sobremesas e pagou R$ 43,00. Em outra ocasião, dois desses amigos pe-diram 4 pastéis, 1 refrigerante e 2 sobremesas e pagaram, no total, R$ 17,00. Um deles, sozinho, pe-diu 2 pastéis, 1 refrigerante e 1 sobremesa e pagou R$ 10,00. Quanto custa cada pastel?

6. Observe as retas r e s representadas abaixo.

–1

2

2

–2

x

yr

s

sistemas linearescapítulo 17



2

dVd do professor

banco de questões

Capítulo 17 sistemas lineares

12. Desenhe em um plano cartesiano duas retas r e s e um ponto P, com P Ñ r e P É s.

Obtenha, se possível, um ponto Q , com Q i P, de maneira que:

a)as equações das retas r e PQ formem um SPI;

b)as equações das retas r e PQ formem um SPD;

c) as equações das retas s e PQ formem um SPD;

d)as equações das retas s e PQ formem um SI;

e)as equações das retas r e PQ formem um SI.

13. Determine os valores de a e b, de maneira que o sistema seja homogêneo:

3 4

2 3

x y a

x y b a

2 22 22

==

*

14. Escreva em forma de equação matricial o sistema:

a)

1 22 12 2

x y z

x y z

x y z

1

2 4

2 3 3

2

1

===

*

b) 2 4 4

3 4

1 1x y z

x z2=

=)

15. Resolva a equação matricial:

1 a

b31 2

54

28 =d c dn m n

16. Sendo 1

1,A

201

12 2

02

2= f p

Xxyz

= f p

e ,B141

= f p resolva a

equação A 8 X 5 B.

17. Considere a equação matricial AX 5 B, em que

2a2

A321

4 542

= f p e .Xxyz

= f p Determine o valor de a sabendo que a equação

A 8 X 5 B tem solução única.

18. Resolva os sistemas, aplicando a regra de Cramer, se possível.

a)3 1

2 3 8

21

x y

x y

==

*

b)

0

2 2 2

7 2 5 4

1 21 2 21 2 2

x y z

x y z

x y z

===

*

c)

2 3 8

5 7

4 6 15

3 2 4 6

2 22 22

2

x y z w

x y z w

x y z

x y z w

11 11

1 1

====

*19. Resolva o sistema de equações a seguir, cujas in-

cógnitas são a, b, c e d.

1

5

7

4

11 11 11 1

a b c

a c d

b c d

a b d

1 2====

*

20. Resolva o sistema linear a seguir.

2

2 2 5

4

2 3

1 1 11 2 11 2 2

1 2 2

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w2

====

*

21. Determine m e n de modo que os sistemas sejam equivalentes:

4 2

3 2 8

1x y

x y

22

==

*

4

2 3 1

1mx y

x ny2 2==

*

22. Para que valores de m e n os dois sistemas abaixo têm a mesma solução?

(I)2 4 6

3 9

1x y

x y2==

* (II)2

3 21x y m

x y n

2 ==

*

23. Escalone, resolva os sistemas e classifique-os:

a)2 3 0

2 5 3 1

3 2 5

111

x y z

x y z

x y z

22 22 2

===

*

b)x2 1 y zx y zx y z

44 5 63 2 2

12 12 1

===

*

c)x y zx y zx y z

93 72 3

1 12 11 2

===

*

d)

x y zx y zx y z

4 02 2 04 2 4 0

1 11 11 1

===

*

24. Determine o valor de k que torna possível e deter-minado o sistema:

kx y zx ky zx y

402

1 21 12

===

*

25. Discuta o sistema linear a seguir em função de m.

x y zx y zx z

mm

2 11

2 1

1 11 11 22

==

=*

26. Discuta, em função de m, o sistema a seguir.

x y zx y z my z m

12 3 4

2

1 11 1

2 2 2

==

=*

27. Discuta o sistema em função de k.

a)kx y zx y z

kx y kz

02 2 0

2 0

1 11 11 1

===

*

b)x kyx y k

22 411 2

==*


1

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banco De questões

Capítulo 18 análise combinatória

númeroscomalgarismosquepodemserrepetidos,teremosumaquantidadedenúmerosquechama-remosdeA.Seoptarmospelaformaçãodenúmerosdetrêsalgarismos,porémsemrepeti-los,teremosumaquantidadedenúmerosquechamaremosdeB.Combasenessasinformações,écorretoafirmarque:

a)A1B=1.500

b)A=1.000eB=504

c) A2B=252

d)AésuperioraBem250números.

e) A=B

8. (Vunesp)Umcertotipodecódigousaapenasdoissímbolos,onúmerozero(0)eonúmero(1),e,con-siderando esses símbolos como letras, podem-seformarpalavras.Porexemplo:0,01,00,001,110sãoalgumaspalavrasdeuma,duasetrêsletrasdessecódigo.Onúmeromáximodepalavras,comcincoletrasoumenos,quepodemserformadascomessecódigoé:

a)120 d) 20

b)62 e) 10

c) 78

9. (Uerj) Para montar um sanduíche, os clientes deumalanchonetepodemescolher:

•umdentreostiposdepão:calabresa,oréganoequeijo;

•umdentreostamanhos:pequenoegrande;

•deumatécincodentreostiposderecheio:sar-dinha,atum,queijo,presuntoesalame,sempos-sibilidadede repetiçãode recheionummesmosanduíche.

Calcule:

a)quantossanduíchesdistintospodemsermonta-dos;

b)onúmerodesanduíchesdistintosqueumclien-tepodemontar,seelenãogostadeorégano,sócome sanduíches pequenos e deseja dois re-cheiosemcadasanduíche.

10. Umatorredecomunicaçõescontacom5bandeirassinalizadoras,easmensagenssãoenviadasquan-doumaoumaisbandeirassãohasteadas.Quantasmensagensdistintaspodemserenviadas?

1. Marcelo,Roberto,AdrianaeGabrielasecandidata-ramaduasvagas,sendoumaparapresidenteeou-traparavice-presidentedacomissãodeformaturadosalunosdo3oanodoensinomédio.Monteumaárvore de possibilidades e determine as possíveisduplas.

2. Em uma festa de aniversário serão servidos doistiposdesorvete,casquinhaoupicolé,nosseguintessabores:uva,abacaxi,morango,chocolateelimão.

a)Usandooprincípiomultiplicativo,calculeototalde opções de sorvete que poderão ser servidosnessafesta.

b)Construaumaárvoredepossibilidadeseverifi-quesearespostadadanoitemaestácorreta.

3. Considereumaprovacomseisquestõesdemúltiplaescolha em que cada questão tenha cinco alter-nativasde resposta.Para resolveraprova,osalu-nosdeverãoassinalarapenasumaalternativaporquestão.

a)Para determinar o número de gabaritos possí-veis para essa prova, o coordenador da escoladecidiu montar uma árvore de possibilidades.Vocêconsideraessaopçãoderesoluçãoamaissimples?

b)Escreva outra opção de resolução para essaquestão.

c) Determineonúmerodegabaritospossíveisparaessa prova, usando o método que julgar maissimples.

4. Emdeterminadoprédioháquatroportasdeentra-daeseiselevadores.Dequantasmaneirasdiferen-tespode-sechegarao15oandar?

5. Umaescolairádisponibilizarnainternetasnotasdasavaliaçõesdosalunos.Paraquecadaalunosótenhaacessoàssuasnotas, serácriadaumase-nha distinta para cada um. Considerando que aescolatem1.200alunosnototal,resolvaositensaseguir.

a)Se a senha for composta de 3 algarismos, serápossível criar uma senha diferente para cadaaluno?

b)Searespostado itema foinão,penseemumaestratégiapararesolveresseproblema.

6. Quantos números de cinco algarismos podemosformar?

7. (Unioeste-PR) Na intenção de formar númerosnaturaiscompostosdetrêsalgarismosnosdepara-moscomapossibilidadedequeosalgarismosquecompõem esse número podem ser ou não distin-tos.Seoptarmospelaalternativadecomporesses

banco De questões

análise combinatóriacapítulo 18


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banco De questõesconexões com a matemática

2

11. Em determinado país, os números de telefone pos-suem 10 dígitos, conforme o padrão a seguir.

—código de área com 3 dígitos: o primeiro dígito não pode ser 0 nem 1;

—prefixo com 3 dígitos: o primeiro e o segundo dí-gitos não podem ser 0 nem 1;

—número da linha com 4 dígitos: os dígitos não podem ser todos iguais a 0.

a) Quantos diferentes códigos de área existem?

b) O código de área para certa cidade é 431. Com esse código, quantos diferentes prefixos existem?

c) Um dos prefixos da cidade do item b é 223. Com esse prefixo, quantos números de linha são pos-síveis?

d) Quantos diferentes números de telefone de 7 dígi tos são possíveis dentro do código de área 431?

e) Quantos números de telefone de 10 dígitos são possíveis nesse país?

12. Calcule o valor de n, em cada caso.

a) ! !! !

88

n3 85 9 = c) ( 6)! 720n2 =

b) !

! !n

64 61 = d)

( )!

( )!420

n

n

1

1

2

1=

13. Simplifique as expressões abaixo.

a) ( )! ( )

!n n

n1 12 2

b) !

( )!

n

n 21

c) ( )!

( )! ( )

n

n n

3

1 2

1

1 1

14. Resolva a equação: ( )!

! ( )!18

8

n

n n

2

2 1

2

1 2=

15. (Fatec-SP) A expressão ( )!

! ( )! ( )8

k

k k k

1

2 1 1

1

2 2 2,

k Ñ N, é igual a:

a) k 2 1

b) k

k 12

c) k1

d) k

e) 2k

16. (UFPel-RS) Tomando como base a palavra UFPEL, re-solva as questões a seguir.

a) Quantos anagramas podem ser formados de modo que as vogais estejam sempre juntas?

b) Quantos anagramas podem ser formados com as letras UF juntas?

c) Quantos anagramas podem ser formados com as letras PEL, nessa ordem?

17. Quantos números de cinco algarismos distintos po-demos formar?

18. Quantos números de cinco algarismos distintos ter minados em 2 podemos formar?

19. Quantos números de cinco algarismos podemos es-crever com 1, 3, 5, 7 e 9 sem repetição?

20. Com a palavra CADERNO:

a) Quantos anagramas podemos formar?

b) Quantos começam com C e terminam com O?

c) Quantos começam com consoante?

d) Quantos terminam com vogal?

e) Quantos possuem as letras D e E juntas nessa ordem?

f) Quantos possuem as letras D e E juntas?

21. (UFPel-RS) Mauricio de Sousa, criador de uma fa-mosa revista com histórias em quadrinhos, baseou a criação de seus personagens em amigos de infância e nos filhos, conferindo a cada um deles característi-cas distintivas e personalida des marcantes. A turma da Mônica e todos os demais personagens criados pelo escritor estão aí, com um tipo de mensagem carinhosa, ale gre e descontraída e até matemática, dirigida às crianças e aos adultos de todo o mundo.

Revista Cebolinha, no 98, Editora Globo.

Se os personagens da história em quadrinhos aci-ma continuassem permutando as letras, com o ob-jetivo de formar todos os anagramas possíveis, eles obteriam mais:

a) 718 anagramas.

b) 360 anagramas.

c) 720 anagramas.

d) 362 anagramas.

e) 358 anagramas.

f ) I.R.

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banco De questões


�MA

UR

ICIO

�DE

�SO

US

A�P

RO

DU

ÇÕ

ES

�LTD

A

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3

22. Quantos números de 5 algarismos maioresque 30.000 podemos formar com os algarismos2,3,5,7e8semrepetição?

23. Quantos números ímpares distintos de 5 algaris-mospodemosformarcomosalgarismos1,2,3,6e8semrepeti-los?

24. (Vunesp) Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita,vãoaocinema,sentando-seemlugaresconsecuti-vosnamesmafila.Onúmerodemaneirasqueosquatropodemficardispostosde formaquePedroeLuísafiquemsemprejuntoseJoãoeRitafiquemsemprejuntosé:

a)2 d)16

b)4 e) 24

c) 8

25. Listandoemordemcrescentetodososnúmerosdecinco algarismos formados com os elementos doconjunto{1,2,4,6,7},semrepeti-los,determineaposiçãodonúmero62.417.

26. QuantossãoosanagramasdapalavraPROFESSOR?

27. (UFC-CE)Umacomissãode5membrosseráforma-da escolhendo-se parlamentares de um conjuntocom5senadorese3deputados.Determineonúme-rodecomissõesdistintasquepodemserformadasobedecendoàregra:apresidênciadacomissãodeveserocupadaporumsenador,eavice-presidência,porumdeputado(duascomissõescomasmesmaspessoas, mas que a presidência ou a vice-presi-dênciasejamocupadasporpessoasdiferentes,sãoconsideradasdistintas).

28. NumacorridadeFórmula1,participaram20carros.Sabendoque8carrosnãoterminaramaprova,qualonúmerodepossibilidadesdecomporopódiocon-siderandoos3primeiroscolocados?

29. Maraprecisaescolherumasenhaparasecadastraremumsitenainternet.Asenhadevesercompostade2letrasdistintas,dentreas26donossoalfabeto,e4algarismossemrepetição.Dequantasmaneirasdiferenteselapodeescolheressasenha?

30. (UFV-MG)Onúmerodecombinaçõesdenobjetostomados3a3éigualaonúmerodearranjosdosmesmosobjetostomados2a2.Ovalorden22né:

a)30 b) 42 c) 56 d)70

31. (Vunesp) Uma rede de supermercados fornece aseus clientes um cartão de crédito cuja identifi-caçãoéformadapor3 letrasdistintas (dentre26),seguidasde4algarismosdistintos.Umadetermi-nadacidadereceberáoscartõesquetêmLcomoaterceiraletra,oúltimoalgarismozeroeopenúltimoé 1. A quantidade de cartões distintos oferecidosportalrededesupermercadosparaessacidadeé:

a)33.600

b)37.800

c) 43.200

d)58.500

e) 67.600

32. Suponhaqueumacestabásicasejacompostade6 produtos. Sabendo que dispomos de 10 produ-tos para montar essa cesta básica, determine dequantasmaneirasdistintaspodemosformá-lademodo que um determinado produto sempre sejaincluído.

33. Seonúmerodepermutaçõessimplesdenelemen-tosé720,determineonúmerodearranjossimplesedecombinaçõessimplesquepodemserformadascomessesnelementos,tomados2a2.

34. Numcampeonatodefutebolcomapenasumturno,participam 32 times. Quantos jogos serão realiza-dos?

35. Emumafestadeconfraternizaçãoentreamigos,to-dossecumprimentaramcomumabraço.Quantaspessoascompareceram,seonúmerodeabraçosfoi105?

36. Com um grupo de quatro rapazes e cinco moças,quantas comissões de três pessoas podemos for-mar,sabendoquesempredevehaveraparticipaçãodeduasmoças?

37. (Unifesp)Ocorpoclínicodepediatriadecertohos-pital é composto por 12 profissionais, dos quais3 são capacitados para atuação junto a criançasque apresentam necessidades educacionais espe-ciais.Parafinsdeassessoria,deverásercriadaumacomissão de 3 profissionais, de tal maneira que1deles,pelomenos,tenhaacapacitaçãoreferida.Quantascomissõesdistintaspodemser formadasnestascondições?

a)792 d)136

b)494 e) 108

c) 369

38. (Fuvest-SP) Em uma classe de 9 alunos, todos sedãobem,comexceçãodeAndreia,quevivebrigan-docomManoeleAlberto.

Nessa classe, será constituída uma comissão decincoalunos,comexigênciadequecadamembroserelacionebemcomtodososoutros.

Quantascomissõespodemserformadas?

a)71

b)75

c) 80

d)83

e) 87

39. (UFRRJ) Deseja-se formar comissões de 5 pessoasdeumgrupode5homense6mulheres.Quantascomissõespoderãoserformadasseemcadaumahaverá,nomáximo,umamulher?

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4

40. (Mackenzie-SP) Os números binomiais k 2

31d n e

k 251d n são complementares, k Ñ N e k . 3. Então,

k vale:

a) 15 d) 10

b) 5 e) 8

c) 6

41. Calcule o valor dos coeficientes binomiais.

a) 75d n b) 6

3d n

42. Calcule o valor de x, sabendo que são complemen-tares:

a) x x

142

142 1e

2 12d dn n b) x x8

2 18

3e2 1

d dn n

43. Determine os elementos da linha 8 do triângulo de Pascal.

44. (Vunesp) Se 5( 2)n n

n3 41 2=c cm m , então n é igual a:

a) 4 d) 5

b) 6 e) 8

c) 7

45. Determine o valor de:

a) 85

622d dn n b) 7

4731d dn n

46. Utilizando a relação de Stifel, determine o valor de:

a) 158

1591d dn n b) 8

4851d dn n

47. Ache o valor de k.

k105

106

117

1221 1

22=d d d dn n n n

48. Uma fábrica de bombons está preparando seu ca-tálogo para a Páscoa. Pretende-se compor caixas com 5 ou 6 sabores de bombons. Considerando que, ao todo, essa fábrica produz 8 sabores de bombons,

determine quantos tipos de caixas de bombons irão compor o catálogo de Páscoa.

49. Determine a soma dos coeficientes numéricos dos

termos do desenvolvimento de xy

32

9

e o .

50. Encontre, se existir, o termo em y2 no desenvolvi-

mento de .yy

112

12

3f p

51. Determine, se existir, o termo independente no

desenvolvimento de m m2

16

c m .

52. Determine o oitavo termo do binômio a3

227

c m .

53. Determine o valor da seguinte expressão: 986 1 6 8 985 8 2 1 15 8 984 8 22 1 20 8 983 8 23 1 1 15 8 982 8 24 1 6 8 98 8 25 1 26

54. (Mackenzie-SP) No desenvolvimento de (2x 2 y)5(2x 11 y)5, a soma dos coeficientes numéricos vale:

a) 3

b) 9

c) 27

d) 81

e) 243

55. Desenvolva as potências.

a) (x 1 3y)4

b) x

y2

222 5

e o

c) p21

1 27

d n

56. No desenvolvimento de (p 1 2q2)5, verifique quais coeficientes numéricos são iguais.

57. Calcule o termo central do desenvolvimento de

x x1

16

c m .

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Com base no texto e em seus conhecimentos, é cor-reto afirmar que a probabilidade de um apostador acertar a “trifeta simples”, num páreo de que parti-cipam 7 cavalos, é de:

a) 210 d) 701

b) 73

e) 70

c) 2101 f ) I.R.

7. (Unifor-CE) Seja a matriz ( ) tal queA a 3ij 3 3=

a sen1π

i j5

ij = . Escolhendo-se ao acaso um elemen-

to de A, a probabilidade de que ele seja um número racional é:

a) 92 d)

95

b) 31 e)

32

c) 94

8. Em determinado jogo de estratégia é usado um dado em forma de tetraedro com faces numeradas de 1 a 4. Lançando duas vezes sucessivas e obser-vando o número da face voltada para baixo, qual a probabilidade de:

a) saírem dois números pares?

b) sair o primeiro número múltiplo do segundo?

c) saírem dois números com soma igual a seis?

d) sair três no primeiro lançamento e um número ímpar no segundo lançamento?

9. (Fuvest-SP) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simulta-neamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um nú-mero primo, é de:

a) 92 d)

95

b) 31 e)

32

c) 94

10. (Unioeste-PR) Uma universidade irá participar dos jogos Olímpicos Universitários com 140 acadêmi-cos distintos dos seguintes cursos: 80 de Matemá-tica, 40 de Engenharia elétrica e 20 de Ciências da computação. Sorteando-se um acadêmico ao acaso, para representar a universidade na solenidade de abertura destes jogos, qual a probabilidade de que ele pertença ao curso de Matemática ou de Enge-nharia elétrica?

a) 74 d)

76

b) 73 e)

75

c) 78

1. Uma caixa tem fichas numeradas de 0 a 20. Retiran-do uma delas ao acaso, determine o espaco amos-tral e os eventos definidos pelas condições abaixo, classificando-os, quando possível, em evento certo, simples ou impossível.

a) Sair uma ficha com número par.

b) Sair uma ficha com número múltiplo de 21.

c) Sair uma ficha com número maior que 20.

d) Sair uma ficha com um número múltiplo de 3 e de 2.

e) Sair uma ficha com um número menor que 40.

2. Em um canil há 12 cachorros e 15 cadelas. Calcule a probabilidade de se escolher aleatoriamente dois animais do mesmo sexo.

3. Duas cartas são retiradas simultaneamente de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de serem retiradas:

a) duas cartas de ouros;

b) duas cartas com figura;

c) duas cartas quaisquer;

d) duas cartas, uma de paus e outra de ouros.

4. Das permutações formadas ao acaso pelos algaris-mos 2, 3, 5 e 8, determine a probabilidade de se for-mar um número que:

a) seja múltlplo de 3;

b) seja maior que 5.000;

c) tenha os algarismos pares juntos.

5. Considere que, entre 8 maçãs, duas estão estra-gadas. Escolhendo ao acaso duas dessas maçãs, determine a probabilidade de:

a) as duas não estarem estragadas;

b) as duas estarem estragadas;

c) uma delas estar estragada;

d) pelo menos uma não estar estragada.

6. (UFPel-RS) As corridas de cavalos começaram nas chamadas canchas retas e se constituem em grande atrativo para seus apreciadores, reunindo bom nú-mero de pessoas e sendo motivo de festa nos lugares em que se realizam. Existem diferentes modalidades de apostas, entre elas a trifeta, que pode ser simples, combinada ou parcial. Se você pedir, no guichê, por exemplo, “trifeta simples 2-6-5”, para acertar, é ne-cessário que o cavalo de número 2 (dois) chegue em primeiro, o de número 6 (seis), em segundo e, é claro, o de número 5 (cinco), em terceiro.

Disponível em: <http://www.jcb.com.br>.

Acesso em: 18/7/2005.

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Probabilidadecapítulo 19


1

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Capítulo 19 Probabilidade


11. (UFPE) Em uma pesquisa de opinião sobre o consu-mo dos produtos A, B e C constatou-se que: 30% dos entrevistados consomem A, 43% consomem B, 46% consomem C, 12% consomem A e B, 11% consomem A e C, 13% consomem B e C, 5% consomem A, B e C. Se escolhermos ao acaso um dentre os entrevis-tados, qual a probabilidade percentual de ele não consumir nenhum dos três produtos?

12. Em uma pesquisa de rua, verificou-se que 180 pes-soas usavam o produto X, 200 pessoas usavam o produto Y, 50 pessoas não usavam esses produtos e 30 pessoas usavam esses dois produtos.

Escolhendo aleatoriamente uma pessoa pesquisa-da, determine a probabilidade de ela:

a) ser usuária dos dois produtos;

b) não usar nenhum dos dois produtos;

c) ser usuária apenas de X;

d) ser usuária de X ou de Y.

13. (UFG-GO) Segundo uma reportagem do jornal O Popular [Goiânia, 24 out. 2008, p. 19], no mês de setembro de 2008, 7,6% dos trabalhadores brasileiros estavam desempregados. Por faixa etária, 49,8% dos desempregados tinham entre 25 e 49 anos. Dentre os trabalhadores considerados na reportagem, escolhendo-se ao acaso, a probabilidade de ele estar desempregado e ter entre 25 e 49 anos é, apro-ximadamente, igual a:

a) 0,038 d) 0,385

b) 0,065 e) 0,655

c) 0,153

14. (Fuvest-SP) Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro de frequência da face 1 e que as outras faces saíam com a mesma frequência esperada em um dado não viciado.

Qual a frequência da face 1?

a) 31 d)

92

b) 32 e)

121

c) 91

15. (UFV-MG) Considere o conjunto: X = {x Ñ N 15 < n < 64} Escolhendo-se ao acaso um elemento de X, a proba-

bilidade de ele ser múltiplo de 3 ou de 5 é:

a) 48% c) 44%

b) 46% d) 42%

16. (Uerj) Um pesquisador possui em seu laboratório um recipiente contendo 100 exemplares de Aedesaegypti, cada um deles contaminado com apenas um dos tipos de vírus, de acordo com a seguinte tabela:

Tipo Quantidade de mosquitos

DEN 1 30

DEN 2 60

DEN 3 10

Retirando-se simultaneamente e ao acaso dois mosquitos desse recipiente, a probabilidade de que pelo menos um esteja contaminado com o tipo DEN 3 equivale a:

a) 818 b)

9910 c)

10011 d)

11021

17. (Unicamp-SP) Dois prêmios iguais serão sortea-dos entre dez pessoas, sendo sete mulheres e três homens. Admitindo que uma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, responda às perguntas abaixo.

a) De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos entre as dez pessoas?

b) Qual é a probabilidade de que dois homens sejam premiados?

c) Qual é a probabilidade de que ao menos uma mulher receba um prêmio?

18. O número da placa de um automóvel é ímpar; determine a probabilidade de o algarismo das uni-dades ser 7.

19. (UFPel-RS) O baralho, que mantém os homens à mesa pelo simples prazer do risco, tem a sua história. Jogos à parte, com o baralho, a cigana prevê o futuro, o mágico faz seu espetáculo, o educador en-sina, o psicólogo aplica testes. Em seus primeiros tempos, o baralho era um passatempo para poucos, as figuras eram elaboradas e pintadas à mão, o que o tornava extremamente caro. Dados confirmados afirmam que três quartos da humanidade usam algum tipo de baralho para algum fim.

http://loja.copag.com br/portalcopag/ jsp/

institucional/ historis/index.jsp Acessado em 06/05/2005 [adapt].

O baralho padrão, com 52 cartas, vem da fusão dos elementos dos baralhos espanhol (ou italiano) e francês, com características acrescentadas pelos in-gleses. Como os logotipos franceses eram mais sim-ples de imprimir em larga escala, eles prevaleceram. Ainda assim, em português, mantiveram-se os nomes espanhóis dos naipes, que representam os quatro po-deres sociais: taças (copas) remetem ao poder religioso; ouros, ao econômico; espadas, ao militar e os bas-tões (paus), armas rudes, representam o povo.

Superinteressante - edição 190, julho 2003 [adapt].

Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar que, retirando do baralho padrão:

a) duas cartas, sem reposição, a probabilidade de

que elas sejam de ouro é de .171

b) uma única carta, a probabilidade de aparecer um

rei ou uma dama é de .527

c) três cartas, com reposição, a probabilidade de

que sejam duas de copas é de .643

d) duas cartas, sem reposição, a probabilidade de se

obterem dois reis é de .6763

e) uma carta, a probabilidade de não ser nem copas

nem ouro é de .21

f ) I.R.


2

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3

20. Retirando aleatoriamente duas cartas de um bara-lho, qual a probabilidade de a segunda carta ser um valete, sabendo que a primeira é de espadas?

21. (Ufla-MG) Em um programa de auditório, utiliza-se uma roleta, como na figura.

1

27

45

6 3

marcador

a) A roleta é girada três vezes. Calcule a probabili-dade de os números obtidos no primeiro giro, no segundo giro e no terceiro giro serem, respecti-vamente, 1, 2 e 3.

b) A roleta é girada duas vezes. Calcule a probabi-lidade de a soma do número obtido no primeiro giro mais o número obtido no segundo giro ser menor que 13.

22. As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti cada um são, respectiva-

mente, , e .31

21

52

Se cada jogador bater um único

pênalti, determine a probabilidade de todos erra-rem o gol.

23. A probabilidade de que o aluno A resolva um pro-

blema é de ,31 e a probabilidade de que B o resolva

é de .41

Se ambos tentarem independentemente,

qual a probabilidade de o problema ser resolvido?

24. Em uma classe de 35 alunos, constatou-se que três fazem aniversário no mesmo dia. Escolhendo ao acaso dois alunos, qual a probabilidade de eles fazerem aniversário no mesmo dia?

25. (PUC) Em uma amostra de vinte peças, existem exa-tamente quatro defeituosas.

a) Calcule o número de maneiras diferentes de escolher, sem reposição, uma peça perfeita e uma defeituosa.

b) Calcule o número de maneiras diferentes de escolher, sem reposição, duas peças perfeitas.

c) Retirando-se, ao acaso, sem reposição, três peças, calcule a probabilidade de exatamente duas serem perfeitas. Escreva a resposta em forma de fração.

26. Um dado é lançado 5 vezes. Determine a probabili-dade de se obter 3 vezes a face 3.

27. (Fuvest-SP) Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso, su-cessivamente, sem reposição. Determine:

a) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca.

b) a probabilidade de que tenham sido retiradas 2 bolas pretas e 1 bola branca, sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor.

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