NiuAleph 12 - Manual de Matemática A de 12.º...

Manual de Matemática para o 12º anoMatemática A

NIUaleph 12VOLUME 4

Jaime Carvalho e SilvaJoaquim PintoVladimiro Machado

2012

TítuloNiuAleph 12 - Manual de Matemática para o 12.º ano de Matemática A

AutoresJaime Carvalho e Silva (Editor)Joaquim PintoVladimiro Machado

Capa e DesignElisa Silva

Conceção TécnicaVítor TeodoroJoão Fernandes

Imagens e fontes

As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 http://creativecom-mons.org/licenses/by-sa/3.0/) ou Creative Commons Attribution 3.0 http://creativecommons.org/li-censes/by/3.0/

As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvol-vidas pela GUST http://www.gust.org.pl/projects/e-foundry/lm-math/index_html

Parte dos gráficos deste volume foram criados com o software livre Geogebra 4, disponível em http://www.geogebra.org

ISBN978-989-97839-0-4

Edição1.ª edição/versão 1

Data2012

© Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é

permitida a impressão deste ficheiro.

Índice geral

Volume 1

Capítulo 1 – É possível? É provável?

Capítulo 2 – Probabilidade

Capítulo 3 – Probabilidade condicionada

Capítulo 4 – Distribuição de probabilidades

Volume 2

Capítulo 5 – Análise Combinatória

Capítulo 6 – Triângulo de Pascal e Binómio de Newton

Capítulo 7 – Função exponencial

Capítulo 8 – Função logarítmica

Volume 3

Capítulo 9 – Teoria de Limites

Capítulo 10 – Cálculo Diferencial

Capítulo 11 – Aplicações do Cálculo Diferencial

Capítulo 12 – Teoremas elementares do Cálculo Diferencial (*)

Volume 4

Capítulo 13 – Funções trigonométricas

Capítulo 14 – A História dos números complexos

Capítulo 15 – A Álgebra dos números complexos

Capítulo 16 – A Geometria dos números complexos

Capítulo 17 – Demonstrações de Geometria usando números complexos (*)

Índice

Capítulo 13 – Funções trigonométricas 6

Função Seno 7

Função Cosseno 12

História(s) - Regiomontano (1436-1476) 15

Função Tangente 17

Famílias de funções trigonométricas 19

Síntese 24

Lição de Lógica Matemática n.º 6 26

Exercícios globais 27

Conselhos para os exames – n.º 12 30

Itens de exame 31

Prova Global 37

Capítulo 14 - A História dos números complexos 39

Capítulo 15 - A Álgebra dos números complexos 45

Operações com números complexos 47

História(s) - As primeiras raízes quadradas de números negativos 48

Leitura(s) - Os números imaginários 52

Síntese 53


Conselhos para os exames – n.º 13 56

Itens de exame 57

Prova global 59

Capítulo 16 - A Geometria dos números complexos 60

Forma trigonométrica 63

Operações com complexos na forma trigonométrica 66

História(s) - Wessel, Argand e Gauss 69

Teorema - Fórmula de Moivre 70

Domínios planos 72

Leitura(s) - Equações algébricas e números complexos 77

Síntese 78


Conselhos para os exames - n.º 14 82

Itens de exame 83

Prova global 88

Capítulo 17 - Demonstrações de Geometria usando números complexos 90

Teorema de Varignon 91

História(s) - Napoleão Bonaparte (1769-1821) e a Matemática 96

Soluções 98

6 13. Funções trigonométricas

13. Funções trigonométricas“A essência da matemática não é complicar as coisas simples,

mas fazer com que as coisas complicadas sejam simples.” Stanley Gudder, Universidade de Denver, EUA

E para que mais certas se conheçamAs partes tão remotas onde estamos,Pelo novo instrumento do Astrolábio,

Invenção de subtil juízo e sábio,In “Lusíadas” de Luís de Camões (1524-1580), Canto V

Recordemos que o círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário cujo centro está colocado na origem de um referencial ortonormado XOY. O círculo trigonométrico é muito útil porque nos permite visualizar as razões trigonométricas, como é o caso do seno, cosseno e tangente. Existem muitos softwares (para calculadora gráfica ou computador) que simulam círculos trigonométricos, livremente disponíveis na internet, onde podemos visualizar, calcular e modificar de forma interati-va as razões trigonométricas; este é um exemplo:

Uma concretização interessante dum círculo trigonométrico é a chamada Roda Gigante das Fei-ras Populares, que nos Estados Unidos é conhecida como Roda de Ferris (“Ferris wheel”) por ter sido pela primeira vez construída pelo engenheiro George Washington Gale Ferris, Jr. para a Exposição Universal de Chicago em 1893. Existem rodas gigantes um pouco por todo o mundo (inclusive dentro de Centros Comerciais) sendo que a mais alta estrutura atualmente existente está localizada em Singapura (inaugurada em 2008 tem uns espantosos 165 metros de altura total).

Círc

ulo

trigo

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tri.p

hp

http://mat.absolutamente.net/ra_c_tri.php

713. Funções trigonométricas

A Roda Gigante original (Chicago, 1893) tinha 80,4 metros de altura

A maior Roda Gigante do mundo (Singapura, 2008)

Função Seno

seno

cosseno

tangente

A função seno é uma função real de variável real que a cada amplitude x (em radianos) associa o valor da razão trigonométrica seno de x, sen x, quando estamos em presença do círculo trigonomé-trico já referido. Isto significa que é possível associar a cada ângulo, com a amplitude medida em radia-nos*, um e um só valor da razão trigonométrica seno, o valor sen x. Este valor sen x é a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa, no caso em que a amplitude do ân-

gulo varia entre 0 e . Para todos os valores de x,

o seno de x pode ser obtido facilmente a partir do círculo trigonométrico. O seno de x, para qualquer valor de x, será a ordenada do ponto correspondente à interseção entre a circunferência, que define o cír-culo trigonométrico, e o lado extremidade do ângulo de amplitude radianos (o lado origem coinci-de sempre com o semieixo positivo horizontal, mas o lado extremidade é marcado no sentido positivo ou no sentido negativo conforme x seja positivo ou negativo).

* Se a amplitude fosse medida em graus, seria possível definir também uma função, mas a função seria diferente da que obtemos com a amplitude medida em radianos.


Do mesmo modo se pode obter o cosseno de x e a tangente de x. O cosseno de x será a abcissa do mesmo ponto sobre a circunferência, que define o círculo trigonométrico, e a tangente de x será a ordenada do ponto obtido por interseção entre o lado extremidade do ângulo e a reta perpendicular ao eixo dos XX e tangente ao círculo trigonométrico (a linha da tangente).

Usando qualquer software que simule o círculo trigonométrico podemos facilmente intuir as princi-pais propriedades da função seno. Temos assim:a) Domínio: toda a reta real.

b) Contradomínio: o intervalo fechado [–1,1].

c) Período: 2π pois sen(x + 2π)= senx . Em particular basta estudar a função seno num intervalo de amplitude 2π, como o intervalo ]0,2π] ou o intervalo ]− π,π] pois as propriedades repetem-se devido à periodicidade.

d) Simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem: a função seno é uma função ímpar pois sen(−x)=−senx ; assim o gráfico é simétrico em relação à origem. Se pretendermos analisar a função no intervalo ]− π,π] , a simetria permite-nos estudar apenas, por exemplo, o que se passa no intervalo [0,π].

e) Pontos notáveis: a função seno interseta o eixo dos YY no ponto (0,0); para ver onde interseta o eixo dos XX interessa resolver a equação senx = 0 . No intervalo ]− π,π] existem dois zeros da função seno: e .

f) Monotonia: vendo o que se passa no círculo trigonométrico concluímos que, no intervalo ]0,2π],

a função seno é crescente nos intervalos e 3π2

,2π⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢, e decrescente no intervalo π

2, 3π

2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢.

g) Continuidade: A função seno é contínua em todo o seu domínio.

h) Assíntotas: Não tem.

i) Limites nos ramos infinitos: Não existe limite em –∞ ou +∞.

j) Extremos (relativos e absolutos): no intervalo ]0,2π] a função seno tem um máximo para x = π2

e um mínimo para x = 3π2

.

O gráfico da função seno nos intervalos ]0,2π] e ]− π,π] respetivamente é:

π2

π 3 π2

2 π

x

–1,0

–0,5

0,0

0,5

1,0

y

π π2

π2

π

x

–1,0

–0,5

0,5

1,0

y

– –


Poderá haver algumas dúvidas em relação aos extremos e à continuidade, pois estamos apenas a observar um gráfico, mesmo que esteja ligado ao círculo trigonométrico (o que é sempre uma grande ajuda mas não resolve todas as dúvidas). No que diz respeito aos extremos, precisamos de determi-nar a derivada da função seno para podermos fazer um estudo mais completo.

Quanto à continuidade da função seno, podemos tirar as dúvidas se provarmos que.

Comecemos por considerar o caso em que . Por observação do círculo trigonométrico é fácil

concluir que, se , então .

Como a função seno é ímpar, se multiplicarmos ambos os membros desta desigualdade por –1, ob-

temos , para .

Usando estas duas desigualdades simultaneamente podemos que concluir que se tem

para todo o x ≠ 0 do intervalo . Recorrendo à definição de limite de função segundo Heine,

teremos de provar que, para toda a sucessão de termos diferentes de zero e a convergir para , a sucessão também converge para zero. Mas neste caso basta aplicar o teorema

das sucessões enquadradas para concluir o pretendido. Fica assim provado que .

Para determinar o limite para um a qualquer observemos que se , se tem

Para determinarmos este limite só nos falta esclarecer o valor de .

Para todo o do intervalo , a função cosseno é positiva, pelo que .

Logo .

Assim


como queríamos demonstrar.

Determinemos agora qual a função derivada da função seno. Temos

Para podermos concluir, teremos de determinar os dois limites que nos apareceram. Vejamos o que acontece com o limite do seno. Traçando um gráfico da função e ampliando sucessivamente, ficamos com a ideia de que o limite é 1:

–4� 2

2 4x

–1,0

–0,5

0,5

1,0

y

–1,0 –0,5 0,5 1,0x

–1,0

–0,5

0,5

1,0

y

–0,2 –0,1 0,1 0,2x

–1,0

–0,5

0,5

1,0

y

–2–4� 2

2 4x

–1,0

–0,5

0,5

1,0

y

–1,0 –0,5 0,5 1,0x

–1,0

–0,5

0,5

1,0

y

–0,2 –0,1 0,1 0,2x

–1,0

–0,5

0,5

1,0

y

–2–4� 2

2 4x

–1,0

–0,5

0,5

1,0

y

–1,0 –0,5 0,5 1,0x

–1,0

–0,5

0,5

1,0

y

–0,2 –0,1 0,1 0,2x

–1,0

–0,5

0,5

1,0

y

–2

Em ]–4 ; 4[ Em ]–0,1 ; 0,1[ Em ]–0,01 ; 0,01[

Podemos facilmente provar que tal conclusão é verdadeira. Por observação do círculo trigonométri-

co é fácil concluir que, se , então 0< senx< x < tgx .

Dividindo ambos os membros das desigualdades por sen x obtemos

desde que se tenha . Mas as funções presentes na desigualdade são funções pares pelo que

a mesma desigualdade é válida desde que . Então, tal como fizemos atrás, recorrendo

à definição de limite de função segundo Heine e ao teorema das sucessões enquadradas, podemos

concluir que: .

Vejamos agora o que acontece com o seguinte limite: limx→0

cosx −1x

.

Multiplicando e dividindo ambos os membros da fração por , obtemos


Podemos agora retomar o cálculo da derivada da função seno:

Em conclusão: .

Sabendo agora como determinar a derivada da função seno, podemos confirmar os intervalos de monotonia. Vamos estudar apenas o que se passa no intervalo ]0,2π] onde a função derivada, a fun-

ção cosseno, tem dois zeros: e x = 3π2

.

Podemos construir o quadro de variações, a partir do conhecimento do sinal da função cosseno:

x 0π

23π2

2π

+ 0 – 0 +

máximo

mínimo

Este resultado confirma o que foi visto antes.


ExErcícios

1. Determina se as seguintes funções são pares ou ímpares:

1.1 1.2

2. Usando a calculadora gráfica, confirma os resultados do exercício anterior.

3. Determina analiticamente o contradomínio das seguintes funções:

3.1 h(x)= 2senx + π 3.2 d(x)= 1sen(2x + π)

4. Usando a calculadora gráfica, confirma os resultados do exercício anterior.

5. Deriva as seguintes funções:

5.1 5.2

6. Determina os limites:

6.1 6.2 limx→0

sen(4x)sen(5x)

7. Usa a calculadora gráfica ou o computador para confirmar o valor do limite limx→0

cosx −1x

Função CossenoA função cosseno é uma função real de variável real que a cada amplitude x (em radianos) associa o valor da razão trigonométrica cosseno de x, cos x, quando estamos em presença do círculo trigo-nométrico já referido no início do capítulo. Este valor cos x é a razão entre o comprimento do cate-to adjacente e o comprimento da hipotenusa, no caso em que a amplitude do ângulo varia entre 0

e . Para todos os valores de x, o cosseno de x pode ser obtido facilmente a partir do círculo trigo-

nométrico. O cosseno de x, para qualquer valor de x, será a abcissa do ponto obtido pela interseção do círculo trigonométrico com o lado extremidade do ângulo de amplitude radianos.

Usando qualquer software que simule o círculo trigonométrico podemos facilmente intuir as princi-pais propriedades da função cosseno. Temos assim:a) Domínio: toda a reta real.

b) Contradomínio: o intervalo fechado [–1,1].

c) Período: 2π pois . Em particular basta estudar a função cosseno num interva-lo de amplitude 2π, como o intervalo ]0,2π] ou o intervalo ]− π,π] pois as propriedades repetem--se devido à periodicidade.

d) Simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem: a função cosseno é uma função par pois


; assim o gráfico é simétrico em relação ao eixo dos YY. Se pretendermos ana-lisar a função no intervalo ]− π,π] , então a simetria permite-nos estudar apenas, por exemplo, o que se passa no intervalo [0,π].

e) Pontos notáveis: a função cosseno interseta o eixo dos YY no ponto (0,1); para ver onde interse-ta o eixo dos XX interessa resolver a equação . No intervalo ]− π,π] a função cosseno

tem dois zeros: x =− π2

e x = π2

.

f) Monotonia: observando o que se passa no círculo trigonométrico concluímos que, no intervalo ]0,2π], a função cosseno é crescente no intervalo ]π,2π[ e decrescente no intervalo ]0,π[ .

g) Continuidade: A função cosseno é contínua em todo o seu domínio.

h) Assíntotas: Não tem.


j) Extremos (relativos e absolutos): no intervalo ]0,2π] a função cosseno tem um máximo para x = 2π e um mínimo para .

O gráfico da função cosseno nos intervalos ]0,2π] e ]− π,π] é, respetivamente:

π2

π 3 π2

2 π

x

– 1,0

– 0,5

0,0

0,5

1,0

y

– π – π2

π2

π

x

– 1,0

– 0,5

0,5

1,0

y

Mais uma vez surgem dúvidas quanto à continuidade e à monotonia. Vamos deduzir estas pro-priedades a partir das correspondentes propriedades da função seno. Quanto à continuidade da

função cosseno, relembremos que

Temos então que, por a função seno ser contínua,

E a função cosseno é efetivamente contínua. Para calcular a derivada da função cosseno usamos uma abordagem do mesmo tipo. Temos, usando o teorema da derivada da função composta,


cosx( )'= sen π2−x

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

′

= cos π2−x

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟×π

2−x

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

′

=−senx

Sabendo agora como determinar a derivada da função cosseno, podemos confirmar os intervalos de monotonia. Vamos estudar apenas o que se passa no intervalo ]0,2π] onde a função derivada, a função seno, tem dois zeros: e .

Podemos construir o quadro de variações, a partir do conhecimento do sinal da função seno:

x 0 2π

– 0 + 0

mínimo

máximo

Estas conclusões confirmam o que havíamos visto atrás.

ExErcícios

8. Calcula as derivadas das funções definidas por

8.1 8.2

9. Sabendo que a função g é derivável e que g(2)= π e g '(2)= 6 , indica o valor das derivadas das seguintes funções nos pontos indicados:

9.1 sen(g(x)) para x = 2; 9.2 cos(g(3x – 1)) para x = 1.

10. Seja f a função definida por . Determina analiticamente:

10.1 O domínio de f.

10.2 O contradomínio de f.

10.3 Os zeros no intervalo ]0,2π].

10.4 Os extremos no intervalo ]0,2π].

11. Usando a calculadora gráfica, verifica os resultados obtidos no exercício anterior.

12. Determina os extremos relativos das funções definidas por

12.1 12.2


HHistória(s)

Regiomontano (1436-1476)

Johann Muller de Königsberg (1436-1476), mais conhecido por João de Monte Régio ou por Re-giomontano, foi um matemático e astrónomo alemão do século XV. As designações Regiomontano e Monte Régio provêm da latinização do nome da sua cidade natal, Königsberg, que em alemão significa montanha do rei. Esta Königsberg é uma pequena cidade da Francónia (hoje parte da Baviera), e não deve confundir-se com a grande Königsberg da Prússia Oriental (hoje uma cidade russa chamada Kaliningrad), que se tornou famosa na História da Matemática em virtude do pro-blema das Pontes de Königsberg, cuja resolução em 1736 por Leonhard Euler esteve na origem do aparecimento da Teoria de Grafos.

Regiomontano foi uma criança precoce. Com apenas 11 anos de idade matriculou-se na universidade de Lípsia. Volvidos três anos foi para a universidade de Viena, então famosa pelos seus currículos de Astronomia e Cosmologia, onde completou o bacharelato com 16 anos; contudo, de acordo com o regulamento da universidade, teve de esperar pelos 21 anos para receber o título. Em Viena foi aluno de Jorge Purbáquio (1423-1461), também ele figura proeminente da ciência do século XV, de quem se tornou amigo e colaborador.

Na Europa do século XV as superstições ligadas à astrologia eram comuns mesmo em meios social-mente elevados e, em geral, eram os astrónomos que se encarregavam das «previsões» astrológicas. Ainda muito jovem, Regiomontano adquiriu considerável prestígio em Viena como astrónomo – e, consequentemente, também como astrólogo, a ponto de ter prestado «serviços» à coroa do Sacro Império Romano-Germânico. O imperador Frederico III pretendia casar com Leonor de Avis (uma princesa portuguesa, filha de D. Duarte e irmã de D. Afonso V) e encomendou a Regiomontano


um horóscopo da noiva; os astros devem ter-se mostrado favoráveis, porque Frederico e Leonor aca-baram por casar. Mais tarde, já imperatriz, D. Leonor veio a encomendar a Regiomontano outro horóscopo, desta vez para um dos seus filhos, o futuro imperador Maximiliano I. Estes episódios revelam-nos que Regiomontano granjeou fama (como astrólogo, é certo, mas astrólogo da corte!) ainda muito jovem; basta comparar datas: Regiomontano nasceu em 1436, Leonor casou em 1452, e Maximiliano nasceu em 1459.

Purbáquio, o mestre de Regiomontano, dedicou os dois últimos anos de vida a um projeto relaciona-do com o Almagesto de Cláudio Ptolomeu (século II d.C.); o seu objectivo seria o de produzir uma tradução a partir do original grego do grande tratado astronómico da Antiguidade, mas que fosse simultaneamente mais resumida e de mais fácil leitura. Purbáquio iniciou este trabalho em 1460 em colaboração com o seu discípulo e, antes de morrer, pediu-lhe que completasse o projeto. Regiomon-tano conseguiu levar a tarefa a bom termo em dois anos, mas a obra só veria a luz do dia em 1496.

Em 1463, concluiu De Triangulis omnimodis (isto é, Acerca dos Triângulos de todas as espécies), a obra que lhe assegurou um lugar de destaque na História da Matemática. Este tratado, que só foi publicado em 1533, constituiu a base da Trigonometria moderna. Entre 1467 e 1471, Regiomontano esteve na Hungria. Em Buda (a parte mais antiga da atual Budapeste) dedicou-se ao fabrico de ins-trumentos de observação astronómica e à compilação de tábuas trigonométricas de senos e tangen-tes, por encomenda do arcebispo de Esztergom. O rei Matias da Hungria pediu-lhe que melhorasse as tabelas existentes de movimentos planetários, pelo que em 1471 Regiomontano se mudou para Nuremberga, cidade bem localizada pela facilidade de comunicações e conhecida pela qualidade dos instrumentos nela fabricados. Em 1472 publicou, sob o título Nova Teórica dos Planetas, as lições que tinham sido ministradas alguns anos antes em Viena por Purbáquio.

Adaptado de “A Vida e Obra do Matemático Regiomontano”, Carlos Sá e M. Céu Silva, Clube SPM, 14-02-2012


Função TangenteA função tangente é uma função real de variável real que a cada amplitude x (em radianos) asso-

cia o valor da razão trigonométrica tangente de x, . Este valor tg x é a razão entre o

comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente, quando estamos em presença do círculo trigonométrico já referido no início do capítulo, no caso em que a amplitude do ângulo

varia entre 0 e , excluindo . Para todos os valores de x, a tangente de x pode ser obtida facil-

mente a partir do círculo trigonométrico: é a ordenada do ponto obtido por interseção entre o lado extremidade do ângulo e a reta perpendicular ao eixo dos XX e tangente ao círculo trigonométrico (a linha da tangente).

Usando qualquer software que simule o círculo trigonométrico podemos facilmente intuir as princi-pais propriedades da função tangente. Temos assim:a) Domínio: toda a reta real excluindo os pontos onde o denominador se anula, isto é, onde o cos-

seno se anula, ou seja, os pontos da forma , com k um inteiro qualquer.

b) Contradomínio: toda a reta real.

c) Período: π pois . Em particular basta estudar a função tangente num intervalo de amplitude π, (a que excluímos os pontos fora do domínio), como o conjunto ]0,π]\{π/2} ou o

intervalo pois as propriedades repetem-se devido à periodicidade.

d) Simetrias em relação ao eixo dos YY e à origem: a função tangente é uma função ímpar pois ; assim o gráfico é simétrico em relação à origem. Se pretendermos analisar a

função no intervalo , então a simetria permite-nos estudar apenas, por exemplo, o que

se passa no intervalo 0, π2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎡

⎣

⎢⎢⎢.

e) Pontos notáveis: a função tangente interseta o eixo dos XX e o dos YY no ponto (0,0); no inter-

valo não há mais pontos de interseção.

f) Monotonia: observando o que se passa no círculo trigonométrico concluímos que, em cada inter-

valo , a função tangente é sempre crescente.

g) Continuidade: A função tangente é contínua em todo o seu domínio.


h) Assíntotas: Tem as assíntotas verticais e em .


j) Extremos (relativos e absolutos): a função tangente não tem extremos.

O gráfico da função tangente nos intervalos e é, respetivamente:

π4

π2

x

–10

–5

0

5

10

y

π2

π4

π4

π2

x

–10

–5

5

10

y

– –

Mais uma vez surgem dúvidas quanto à continuidade e à monotonia. Como a função seno e a função cosseno são contínuas e o quociente de duas funções contínuas é contínua, exceto nos pontos que anulam o denominador (teorema 4 do capítulo 9, volume 3), concluímos que a função tangente é contínua em toda a reta real excluindo os pontos onde o denominador se anula, isto é, onde o

cosseno se anula, ou seja, os pontos da forma , com k um inteiro qualquer.

Quanto à derivada da função tangente, vamos aplicar as regras de derivação:

Observamos em particular que, exceto nos pontos onde o cosseno se anula, a derivada é positiva.

Assim, em cada intervalo , com k um inteiro qualquer, a função tangente é cres-

cente (mas não é crescente em todo o seu domínio, porquê?).


ExErcícios

13. Determina as derivadas das funções definidas por

13.1

13.2

13.3

14. Determina os intervalos de monotonia da função definida por .

15. Usando a calculadora gráfica, verifica os intervalos de monotonia obtidos no exercício anterior.

16. Estuda a existência de assíntotas verticais das funções definidas por

16.1

16.2

Famílias de funções trigonométricasUma população de coelhos num parque nacional aumenta e diminui em cada ano em função do clima e da quantidade de recursos naturais disponíveis. O valor mínimo da população é atingido em janeiro com 5000 coelhos. Na Primavera a população vai aumentando e no mês de junho, quando o tempo é mais favorável, a população de coelhos triplica. Quando chega o Inverno a população diminui novamente. No mês de janeiro seguinte o valor mínimo é novamente atingido.

Suponhamos que C(t) nos dá o tamanho da população de coelhos como uma função do tempo t, medido em meses, a começar em Janeiro. Um possível modelo para esta situação é fornecido por uma função trigonométrica. Uma função que se ajuste aos dados fornecidos é, por exemplo,

O gráfico é o seguinte, no intervalo [0,24]:

Rabb

it 2a

por

Sar

ah, h

ttp:/

/www

.flick

r.com

/pho

tos/

dluo

gs/7

9171

9133

8


0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

Esta é uma função da família de funções .

Qual o efeito dos parâmetros A, B, C e D no comportamento da função? Podemos experimentar com o exemplo da função definida por C(t) para observar tal efeito.

tr

tarEfa rEsolvida 1

Qual o efeito do parâmetro B na família de funções trigonométricas apresentada?

rEsolução

Fazendo variar o valor B em vai-nos permitir perceber melhor o que se passa. Eis alguns casos para B, sempre no mesmo intervalo [0,24]:

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0 5 10 15 20t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

B = 1 B = 10 B = 0,1

Observamos que o período muda quando o B muda. Podemos concluir isso analiticamente. Temos, se P for o período da função f,


Como a função cosseno tem período 2π, então, se , P será período da função f. Logo

P = 2πB

é período da função f. Se B for negativo, este valor será negativo, mas como –2π é também período da função cosseno, podemos obter o seguinte período (positivo):

Concluímos então que o parâmetro B influencia o período da função dada.

tarEfa 2

Considera a família de funções f (t)= Acos(Bt +C )+D .

Simulando com a função C(t) da população de coelhos, determina qual a influência de cada um dos parâmetros A, C, e D.

De seguida prova analiticamente que:a) |A| é a amplitude do gráfico da função f, ou seja, metade da diferença entre o valor máximo e o

valor mínimo da função.

b) C é a fração do período que a função está deslocada relativamente à posição base (com C = 0).

c) y = D é a reta que divide o gráfico a meio (está a meio caminho entre o valor máximo e o valor mínimo de f).

Modelação MatemáticaO modo como a teoria matemática e as aplicações se relacionam é normalmente designado por matematização ou modelação matemática. Isto significa que, como afirma o matemático Ian Stewart: “Qualquer descrição matemática do mundo real é um modelo. Manipulando o modelo esperamos compreender algo da realidade. E já não perguntamos se o modelo é verdadeiro, pergun-tamos unicamente se as suas implicações podem ser verificadas experimentalmente.”

Há vários modos de descrever o processo de matematização ou modelação matemática e o esquema que vamos apresentar é um deles.

Tudo começa com a escolha de um problema real que pode estar mais ou menos indefinido. Em seguida há que selecionar hipóteses: considera-se o atrito ou despreza-se, considera-se a espessura de um material ou despreza-se, etc. A validade das conclusões apenas pode ser considerada tendo como referência as hipóteses selecionadas. Só depois podemos enunciar o problema matemáti-co propriamente dito: que equações ou inequações há que resolver, quais são as variáveis, o que é constante, etc.

Os problemas que envolvem a matemática nem começam apenas aqui, nem terminam aqui. Agora é, em princípio, clara qual a técnica matemática que pode ser usada, embora possa não ser muito simples chegar à solução. E se não existe teoria matemática adequada, ela tem que ser elaborada


para que o problema possa ser resolvido. Esta é, historicamente, a génese de muitos resultados ma-temáticos, muitas vezes iniciada por especialistas de áreas diversas.

Escolherproblema

real

Escolherhipóteses

Enunciarproblema

matemático

Comparar com a

realidade

Interpretara solução

Resolvê-lo usandotécnicas

matemáticas

Elaborar relatório(usar as conclusões para

explicar, predizer, decidir, ...

Mas o problema ainda não acabou! Há que ver qual o significado da solução no contexto do problema. 3 quê? –16 quê? Metros? Dias? Graus?

Se obtivermos –5 metros como comprimento de uma vedação, confrontando com a realidade sa-bemos que tal não é possível; então das duas uma: ou errámos os cálculos ou as nossas hipóteses não são aceitáveis. Pode então ser necessário escolher novas hipóteses e repetir todo o processo até chegarmos a uma solução que, confrontada outra vez com a realidade, seja admissível.

Por fim há que elaborar um relatório em que a solução do problema é usada para explicar o fenó-meno, ou prever a evolução futura, ou para servir de suporte a uma tomada de decisões. Do ponto de vista científico este passo é muito importante pois obriga o cientista ou equipa de cientistas a passar a escrito o que teve de fazer, surgindo por vezes ideias unificadoras ou generalizadoras que não ocorreram no decurso do processo. A comunicação sob a forma matemática é uma ferramenta importante nos dias de hoje para todos os cientistas e investigadores.

Retomemos o exemplo da população de coelhos num parque natural, situação modelada com uma

função do tipo C(t)= 10000−5000cos πt6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟.

Nesta situação, o número de coelhos é o mesmo em cada ano. E se quisermos um modelo em que o número de coelhos aumente em cada ano, embora apenas 50 coelhos por mês? Então o novo mode-

lo terá de ser algo como C(t)= 10000−5000cos πt6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟+ 50t .

O gráfico será então


0 10 20 30 40 50 60t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0x0

20

40

60

80

100

120

140

y

Obtemos um modelo de uma situação claramente diferente. Claro que os modelos usam valores sim-plificados, que são apenas aproximações da realidade; um modelo será tanto melhor quanto essas aproximações estiverem mais próximas dos valores observados na realidade.

Todas as áreas do conhecimento usam as funções trigonométricas como modelos para variadas situ-ações concretas. A Medicina não fica fora disso. Para modelar a pressão arterial fazem-se medições com aparelhos adequados; a pressão arterial é a pressão exercida pelo sangue contra a superfície interna das artérias. Atinge o valor máximo quando o coração ejeta o seu conteúdo na aorta e atin-ge o valor mínimo quando o coração acabou de bombear para a aorta todo o sangue que continha. A pressão arterial é medida em milímetros de mercúrio, mmHg, unidade surgida quando Evangelis-ta Torricelli inventou o barómetro de mercúrio, em 1643. Se dissermos que a pressão arterial de determinada pessoa é 120/80, isso quer dizer que o valor máximo atingido é 120 mmHg e o valor mínimo é 80 mmHg. O melhor modelo para tal situação é dado por uma função trigonométrica. Suponhamos que um ciclo completo, ou seja o intervalo de tempo de um batimento cardíaco, é de aproximadamente 0,75 segundos. Atendendo ao que foi visto para as funções da família

, um bom modelo será uma função visto que

o valor máximo atingido é 120, o valor mínimo é 80 e o período é 3/4 = 0,75. O gráfico de tal fun-ção é:

0 10 20 30 40 50 60t0

5000

10 000

15 000

20 000

C

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0x0

20

40

60

80

100

120

140

y


síntEsE

O essencial passado em revista

O círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário cujo centro está colocado na origem de um referencial ortonormado XOY e onde se podem traçar os valores do seno, do cosseno e da tangente de qualquer ângulo:

seno

cosseno

tangente

Propriedades das funções trigonométricas

seno cosseno tangente

Domínio toda a reta real toda a reta real

toda a reta real

exceto π2+ kπ , com k

inteiroContradomínio [–1,1] [–1,1] toda a reta real

Período 2π 2π π

Simetrias ímpar par ímpar

Interseção com os eixos em

[0,2π]

eixo dos YY (0,0)

eixo dos XX (0,0), (π,0), (2π,0)

eixo dos YY (0,1)

eixo dos XX (π/2,0), 3π2

,0⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

eixo dos YY (0,0)

eixo dos XX (0,0), (π,0), (2π,0)

Monotonia em ]0,2π]

crescente nos interva-

los e 3π2

,2π⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢,

e decrescente no

intervalo π

2, 3π

2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

crescente nos intervalos ]0, 2π] e ]π,2π[ e decrescente

no intervalo ]0,π[

crescente em 0, π2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢,

π

2, 3π

2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢, 3π

2, 5π

2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢, ...


Continuidade contínua em todo o seu domínio

contínua em todo o seu do-mínio

contínua em todo o seu domínio

Assíntotas não tem não tem

assíntotas verticais

e

em

Limites nos ramos infinitos não existem não existem não existem

Extremos em ]0, 2π]

um máximo para

x = π2

e um mínimo

para x = 3π2

um máximo para x = 2π e um mínimo para x = π não tem extremos

Gráficoπ

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y

π

4π

23 π

4π

5 π

43 π

27 π

42 π

x

– 2

– 1

0

1

2

y


li

lição dE lógica MatEMática n.º 6

Aparecem frequentemente proposições do tipo “Para todos os números reais tem-se que ” ou do tipo “Há alguns números reais para os quais x 3 < 0 ”. As expressões “Para todos”, “Qualquer que seja”, “Existe” e “Há alguns” transformam uma condição como “ ” ou “ ” numa proposição. Chamam-se quantificadores. Veremos dois tipos de quantificadores:a) o quantificador universal transforma uma condição com uma variável numa proposição, que

será verdadeira apenas se a condição for universal. Se for conveniente pode usar-se um símbolo especial, ∀ , acompanhado, em baixo ou de lado, da variável que se quer quantificar. No exemplo dado, a escrita simbólica da proposição seria

∀x∈

| x |≥ 0

b) o quantificador existencial transforma uma condição com uma variável numa proposição, que será verdadeira apenas se houver pelo menos uma substituição da variável que conduza a uma proposição verdadeira. Se for conveniente pode usar-se um símbolo especial, ∃ , acompanhado, em baixo ou de lado, da variável que se quer quantificar. No exemplo dado, a escrita simbólica da proposição seria

São exemplos de proposições verdadeiras:

, , , , ,

São exemplos de proposições falsas:

, , , , , ∃y∈

(y < 0∧ y > 0)

É interessante observar-se que a negação de uma proposição com um quantificador existencial pro-duz uma proposição com um quantificador universal e vice-versa. Com efeito:

- A negação de uma proposição obtida através da aplicação do quantificador existencial a uma condição é verdadeira se e somente se for verdadeira a proposição obtida aplicando o quantificador universal à negação da condição.

- A negação de uma proposição obtida através da aplicação do quantificador universal a uma condição é verdadeira se e somente se for verdadeira a proposição obtida aplicando o quantificador existencial à negação da condição.

Por exemplo, a negação de é . Como é verdadeira, temos que só pode ser falsa.

A negação de é . Como ∃x∈

x 4 < 0 é falsa, temos que só pode ser ver-dadeira.


Eg

Exercícios globaisPratica ↑

1. Para todo o número real , simplifica a expressão:

A(x)= cos(3π−x)+ cos π2+ x

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟+ sen −3π

2−x

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

2. Resolve em

seguintes equações e inequações:

2.1 cosx = 22

2.2 sen(3x)= 12

2.3 cos 3x + π4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= cos x + π

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

2.4 cos(2x)= sen(3x)

2.5 cos(x)≥ 22

2.6 sen(3x)> 12

3. Sabendo que limx→0

senxx= 1 prova que lim

x→0

xsenx

= 1 .

4. Calcula:

4.1 limx→0

sen 4x2x

4.2 limx→0

sen(5x)sen(−2x)

4.3 limx→0

tgx2x

5. Determina o período das funções:

5.1 g(x)= sen(5x) 5.2 h(x)= 1+ tg(2x +1)

6. Determina a expressão analítica da derivada das funções:

6.1 f (x)= cosx + sen x

6.2 g(x)= cosxcosx −1

6.3 h(x)= cosx + sen xsen x +1

6.4 w(x)= cos3(3r)


7. Mostra que f (x)= senx e são soluções da equação .

8. Calcula o declive da reta tangente a cada uma das funções nos pontos

8.1 f (x)= sen 3x 8.2 h(x)= cos3x − 3senx

9. Para cada uma das funções das alíneas seguintes indica: os intervalos em que são crescentes e em que são decrescentes e os extremos relativos de cada uma nos intervalos indicados.

9.1 f (x)=−(senx + cosx) em ]0,2π[

9.2 g(x)= sen2x − cosx em ]0,2π[

Pensa e Resolve ↑ ↑

10. Sendo , determina uma equação da reta tangente ao gráfico de

f no ponto de abcissa .

11. Calcula:

11.1 limx→0

−sen2x3x

11.2 limx→π

2

4 cosxπ−2x

12.

12.1 Prova que para todo o número real , .

12.2 Com os valores exatos de cos π4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ e cos π

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟, determina um valor exato para cos π

12

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟.

13. Um jogador de golfe bate uma bola com velocidade inicial v0= 30m/s . Desprezando a re-

sistência do ar, a distância R, no plano horizontal, atingida pela bola é dada em função do ângulo por:

R(θ)=v

02 sen 2θ

g, onde g = 9,8m/s2

R


13.1 Calcula a distância para e para .

13.2 Determina o ângulo para o qual a distância é máxima.

13.3 Se a bola for batida com o ângulo obtido na alínea anterior., calcula a distância atin-gida pela bola.

14. Na figura está representado um trapézio.

R

1 m

1 m 1 m

14.1 Determina o valor de para o qual a área é máxima.

14.2 Calcula o valor da área máxima.

15. Define, analiticamente, a tangente à função g(x)= 1− cos2 x2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

2

no ponto de abcissa

Reflete ↑ ↑ ↑

16. Mostra que a função tem pelo menos um zero no intervalo 0, π2

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥.

17. Considera a função h(x)= 3 cosx − senx .

17.1 Escreve a função na forma h(x)= a sen(x −b) com .

17.2 Resolve a equação .

18. Prova que limx→+∞

senxx= 0 .

19. Prova que não existe .


consElHos para os ExaMEs – n.º 12

Cuidado com a trigonometria

O erro comum mais cometido por principiantes e profissionais é não ter cuidado com as unidades usadas. Quase todo o estudo feito no 12.º ano é em radianos, raramente se trabalha em graus. Vá-rias fórmulas, como as de derivação, só são válidas quando os ângulos são medidos em radianos. Os gráficos ficam completamente diferentes em graus e em radianos. Por isso, deves verificar sempre se as unidades estão certas, sobretudo quando se usa uma calculadora ou computador.

O segundo erro mais comum tem a ver com os expoentes nas funções trigonométricas. A notação por vezes induz em erro mas não há notações 100% claras. Nota que

cos2 x = cosx( )2 , cos2x = cos(2x) , cosx 2 = cos(x 2)

Deves ter cuidado para não os confundir.

Quando usas a calculadora gráfica para traçar o gráfico de muitas funções trigonométricas (e outras funções), o que vemos no ecrã pode ser enganador quanto ao domínio. Consideremos por exemplo a função definida por

f(x) = senxx

O gráfico obtido é algo como o seguinte:

Quando olhamos para ele somos tentados a afirmar que o domínio de f é toda a reta real, quando na realidade não é. A função f não está definida no ponto x = 0. Tal normalmente não é facilmente visível num gráfico pois se trata apenas de um único ponto no meio de centenas de outros. A lição a tirar é: um gráfico nunca diz tudo sobre uma função, devem sempre usar-se outros conhecimentos para estar seguro da sua conclusão.


iEItens de exame

Escolha múltipla

1. Na figura está representado, num referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico.

x

y

E A

CO

DB

Sabe-se que:

- C é o ponto de coordenadas (1,0)

- os pontos D e E pertencem ao eixo Oy

- [AB] é um diâmetro do círculo trigonométrico

- as retas EA e BD são paralelas ao eixo Ox

- é amplitude do ângulo COA

- θ ∈ 0, π2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢

Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na figura?

(A) 2(cos θ+ senθ) (B) cos θ+ senθ (C) 2(1+ cos θ+ senθ) (D) 1+ cos θ+ senθ

2. Na figura está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio igual a 1.

Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.


O

x

Qual das expressões seguintes representa, em função de , a área da parte sombreada?

(A) π− sen(2x) (B) π

2− sen(2x) (C) π−2sen(2x) (D) π−

sen(2x)4

Resposta aberta

3. Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.

A figura 1 e a figura 2 representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combus-tível distintas.

Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.

O

B

A

C

O

B

A

C

figura 1 figura 2

Sabe-se que:

- o ponto O é o centro da esfera;

- a esfera tem 6 metros de diâmetro;

- a amplitude θ , em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB correspondente.

A altura AC , em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de θ , por h, de domínio [0,π].


Resolve os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

3.1 Mostra que h(θ)= 3− 3cos(θ) , para qualquer θ ∈]0,π[ .

3.2 Resolve a condição h(θ)= 3, θ ∈]0,π[ .

Interpreta o resultado no contexto da situação apresentada.

4. De duas funções f e g sabe-se que:

- f tem domínio

e é definida por f (x)= π− 4sen(5x)

- g tem domínio −2π3

,− π3

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢ e g ' , primeira derivada de g, tem domínio −

2π3

,− π3

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢ é defini-

da por g '(x)= log2−π

6−x

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟.

Resolve as seguintes questões recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

4.1 Calcula o valor de limx→0

senxf (x)− π

.

4.2 Estuda a função g relativamente ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto

à existência de pontos de inflexão no intervalo −2π3

,− π3

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢.

Resolve a seguinte questão recorrendo às capacidades gráficas da tua calculado-ra.

4.3 Seja h a função, de domínio −2π3

,− π3

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢, definida por

O ponto A pertence ao gráfico da função h

Sabe-se que a reta tangente ao gráfico da função h no ponto A é paralela ao eixo Ox

Determina a abcissa do ponto A.

Na tua resposta, deves:

- equacionar o problema;

- reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiveres necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

- indicar a abcissa do ponto com arredondamento às décimas.


5. Considera a função g, definida no intervalo ]1,7[ por g(x)= senx + lnxx

.

(ln designa logaritmo na base e)

Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, visualiza o gráfico da função g e reproduz-lo na tua folha de prova.

Com base nesse gráfico e utilizando as ferramentas adequadas da sua calculadora, resolve o seguinte problema:

Seja a função derivada de g. O conjunto solução da inequação é um intervalo aberto ]a,b[. Determina os valores de a e de b. Apresenta os resultados arredondados às cen-tésimas.

Justifica a tua resposta.

6. Na figura seguinte está representada uma artéria principal do corpo humano, cuja seção é um círculo com raio R, e uma sua ramificação, mais estreita, cuja seção é um círculo com raio .

A seção da artéria principal tem área A e a da ramificação tem área .

Seja 0, π2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢ a amplitude, em radianos, do ângulo que a artéria principal faz com a sua

ramificação (medida relativamente a duas geratrizes complanares dos dois cilindros).

Sabe-se que .

Admitindo que o modelo descrito se adequa com exatidão à situação real, determina no

caso em que os raios referidos verificam a relação .

7. Considera a função definida no intervalo [1,2] por (ln designa logaritmo de base e).


Para um certo valor real positivo a e para um certo valor real b, a função g, definida no in-

tervalo [1,2] por , tem por contradomínio o intervalo [4,5].

Utilizando as capacidades gráficas da sua calculadora, determina os valores de a e de b, ar-redondados às centésimas.

Explica como procedeste. Na tua explicação deves incluir o gráfico, ou gráficos, que tenhas visualizado na calculadora, bem como coordenadas relevantes de algum, ou alguns, pontos. Sempre que, em valores intermédios, procederes a arredondamentos, conserva um mínimo de três casas decimais.

8. Para a, b e n, números reais positivos, considera a função f, de domínio

, definida por

f (x)= a cos(nx)+b sen(nx)

Seja a segunda derivada de .

Mostra que , para qualquer número real x.

9. Considera a função f, de domínio ] ], definida por

f (x)=ax +b+ex se x ≤ 0

com a,b ∈ x − sen(2x)

xse 0< x ≤ 2π

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

Resolve os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

9.1 Prova que a reta de equação y = ax + b, com , é uma assíntota oblíqua do grá-fico de f.

9.2 Determina o valor de , de modo que f, seja contínua em .

10. Na figura, está representado o quadrado [ABCD].

BA

CD

H F

G

E

Sabe-se que:


-

-

- x é amplitude, em radianos, do ângulo EAB.

-

10.1 Mostra que a área da região sombreada é dada, em função de x, por

10.2 Mostra que existe um valor de x compreendido entre para o qual a área da região sombreada é 5.

Se utilizares a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que procederes a arredondamentos, usa duas casas decimais.


pg

Prova Global90 minutos

1. O domínio da função f (x)= log(sen(x)) é:

(A) (B)

(C) (D)

2. A função g(x)= senxx

tem:

(A) uma assíntota vertical (B) uma assíntota horizontal

(C) uma assíntota oblíqua (D) não tem assíntotas

3. A soma da soluções da equação , , é igual a:

(A) (B) (C) (D)

4. A função é:

(A) par (B) ímpar (C) par e ímpar (D) nem par nem ímpar

5. Qual o valor de limh→0

sen(π+h)− sen(π)h

?

(A) –1 (B) 0 (C) 1 (D)

6.

O

N

P

M

x

ys

r

Na figura, no referencial ortonormado xOy, está representado:

- O círculo trigonométrico de centro O

- A reta r tangente ao círculo trigonométrico no ponto M

- P é um ponto do círculo trigonométrico

- O ângulo α ∈ 0, π2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢ é formado pelas semirretas

Ox e Os


6.1 Prova que a área do triângulo [MNP] é dada, em função de , por A(α)= 1− senα2tgα

.

6.2 Prova que a derivada de é A'(α)= sen3α−12sen2α

.

6.3 Estuda a monotonia da função.

6.4 Calcula: e

7. Mostra que (1+ cosx + senx)2 = 2(1+ cosx)(1+ senx) .

8. Resolve no intervalo [0,2π] a equação cos 2x + cos x – 2 = 0

9. A população de uma espécie de animais é modelada pela função P(t)= 1200cos π5

t⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟+ 9000

onde P(t) representa a população no ano t.

Numa composição indica as soluções das alíneas seguintes, utilizando quando entenderes como adequado as capacidades da calculadora gráfica.

9.1 Qual o período da função?

9.2 Apresenta o esboço do gráfico de P(t) num período.

9.3 Determina o máximo e o mínimo da função nesse período.

9.4 Estima o número de anos em que a população de animais é inferior a 8000.

10. Considera a função real de variável real g(x)= 1+ k senx se x < 0k2 − senx se x ≥ 0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.

10.1 Determina de modo que g(x) seja contínua.

10.2 Se k = 1, justifica que existe c ∈ π2

, 3π2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢, tal que g(c) = 1.

3914. A História dos números complexos

14. A História dos números complexos“Não se pode realmente argumentar contra um teorema matemático.”

Stephen Hawking (1942– )

“El-rei D. Pedro, o cruel, está na janela sobre a praceta onde sobressai a estátua municipal do marquês Sá da Bandeira. Gosto deste rei louco,

inocente e brutal. (...) Ele diz um gracejo. Toda a gente ri. (...)”in “Teorema” de Herberto Helder (1930– )

Imaginem uma sala repleta de pessoas a presenciar um acontecimento raro, curiosos uns, ansiosos outros, todos sem conseguir imaginar o final. Ar abafado, iluminação fraca como era comum no século XVI, silêncio pesado de se ouvir uma mosca a voar. Provavelmente numa sala da Universi-dade de Bologna, Antonio Maria Fior e Niccolò Tartaglia tentavam mostrar quem era melhor ... a resolver equações. Estes verdadeiros duelos matemáticos eram importantes para conseguir bons contratos nas Universidades. As Universidades queriam os professores mais famosos pois os alunos depois escolheriam as universidades onde havia os professores mais famosos.

Niccolò Tartaglia (1499-1557)

Quem eram Antonio Maria Fior e Niccolò Tartaglia?

Antonio Maria Fior era um discípulo de um professor da Universidade de Bolonha (a universidade mais antiga do mundo), Scipione del Ferro, falecido pouco anos antes do duelo (5 de novembro de 1526). Tanto Antonio Maria Fior como Niccolò Tartaglia aspiravam a um bom lugar numa uni-versidade italiana.

Cada um teve de apresentar 30 problemas que o oponente deveria resolver. Quem resolvesse mais problemas ganharia o duelo. Cada problema resolvido pelo vencedor estava associado a um prémio. Neste caso cada problema valia um banquete para o vencedor e seus amigos, pago pelo derrotado:

40 14. A História dos números complexos

30 banquetes por 30 problemas! A ideia era apresentar os problemas mais difíceis que cada um con-seguisse resolver mas o oponente não o soubesse fazer ou demorasse muito tempo a fazê-lo.

A Universidade de Bolonha foi fundada em 1088

Antonio Maria Fior estava confiante que ganharia o duelo pois sabia resolver um tipo de equações que mais ninguém na época sabia resolver. Scipione del Ferro tinha feito essa descoberta mas não o tinha dito a ninguém para preservar a sua vantagem caso fosse desafiado para um duelo. Mas no leito de morte revelou ao seu discípulo o segredo (e também ao seu genro Annibale Della Nave, seu sucessor na Universidade de Bolonha). Assim Antonio Maria Fior sabia resolver equações do tipo

Tal foi um enorme avanço para a época pois apenas se sabiam resolver alguns casos particulares. Niccolò Tartaglia sabia resolver apenas o caso

que é menos geral que o anterior. Para este duelo, Antonio Maria Fior propôs apenas problemas que só se conseguissem resolver com o seu método. Por exemplo:

“Encontra-me um número tal que quando a sua raiz cúbica lhe for adicionada, o resultado seja 6.”

“Um homem vende uma safira por 500 ducados, obtendo um lucro igual à raiz cúbica do seu capital. Qual foi o lucro?”

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Por sua vez, Niccolò Tartaglia, um bom matemático, propôs uma série diversificada de problemas que se poderiam resolver pelo seu método mas também usando outras técnicas matemáticas. Contu-do, não sabia realmente resolver os problemas propostos por Antonio Maria Fior. Será que Niccolò Tartaglia, apesar de ser um bom matemático, claramente melhor do que Antonio Maria Fior, iria perder o duelo pois não conseguiria resolver nenhum dos problemas propostos pelo seu oponente?

Os problemas eram apresentados publicamente com uma certa antecedência relativamente ao dia do duelo público. Até esse dia cada um dos contendores tinha tempo para se preparar devidamente. Então Tartaglia “atirou-se” ao caso que não sabia resolver e... o seu labor foi recompensado! Na ma-drugada do dia do duelo Niccolò Tartaglia redescobriu o método de resolução de Scipione del Ferro.

Assim, no dia do famoso duelo, Tartaglia conseguiu resolver todos os 30 problemas de Fior (eram essencialmente todos iguais) e este não conseguiu resolver nenhum dos propostos por Tartaglia. Desta forma Tartaglia ganhou 30 banquetes, mas contentou-se com a fama de ter ganho o duelo e prescindiu dos banquetes... Foi generoso para com o vencido!

O duelo teve realmente repercussão e várias pessoas tentaram ficar a conhecer o novo método de resolução de equações do terceiro grau. O médico e matemático Girolamo Cardano foi muito insis-tente junto de Tartaglia e conseguiu que este, com a promessa de não revelar o segredo, explicasse a Cardano como se resolvia a equação do terceiro grau de Scipione del Ferro.

Girolamo Cardano (1501-1576)

A revelação de Tartaglia a Cardano foi feita em verso:

“Quando o cubo junto com as coisas

Se iguala a algum número

Descobre dois outros que difiram do conhecido


E faz como é usual

Que o produto seja sempre igual

Ao cubo da terça parte das coisas

Então a diferença

Dos seus lados cúbicos bem subtraídos

Valerá a tua coisa principal (...)”

A “coisa” era a incógnita, digamos x. Então estes versos querem dizer que a equação seria do tipo

Para a resolver seria preciso encontrar dois números cuja diferença fosse igual ao número dado q: a – b = q, e cujo produto seja igual “ao cubo da terça parte das coisas”:

A solução será igual à diferença das raízes cúbicas de a e de b.

Cardano não divulgou a fórmula de Tartaglia, como lhe prometera, mas em 1542 Cardano descobre que a fórmula estará nos documentos deixados pelo falecido Scipione del Ferro. Cardano desloca-se a Bologna, fala com Annibale Della Nave, descobre realmente a fórmula entre os documentos de Scipione del Ferro e obtém autorização de Annibale Della Nave para a publicar. Assim, em 1545, Girolamo Cardano publica uma das suas mais célebres obras, a Ars Magna (Arte Maior), onde in-clui essa fórmula e discute muitos outros casos, referindo as prioridades de Scipione del Ferro e de Niccolò Tartaglia (o que era raro naqueles tempos).

Mas isto azedou completamente as relações entre Cardano e Tartaglia o que levou a que em 1548 houvesse mais um grande duelo matemático entre Tartaglia e um aluno de Cardano, Lodovico Fer-rari.

Mas onde aparecem os números complexos?

Ao analisar os diferentes casos da equação geral do 3.º grau

,

Cardano deparou-se com uma situação que o deixou perplexo e ninguém na época conseguiu expli-car. Quando pretendia resolver a equação

,

ao aplicar o método que parecia funcionar bem noutras situações, aparecia o número .

Por um lado, ninguém sabia como lidar com tais números. Por outro lado, a equação dada tinha pelo menos uma solução real, . Como fazer? Ninguém sabia!

No seu livro Ars Magna, Cardano encontra outra situação do mesmo tipo, ao resolver o problema:


“dividir 10 em duas partes tal que o produto seja 40”. Cardano mostrou que as soluções deveriam ser

e .

Cardano escreveu a propósito desse resultado: “Assim progride a aritmética subtilmente cuja finali-dade, como se costuma dizer, é tão refinada quanto inútil.” E não discutiu mais o assunto.

O livro de Cardano foi um dos mais populares na sua época e foi lido em toda a Europa. Girolamo Cardano era um autor de livros científicos muito popular, escrevendo tanto sobre temas matemáti-cos, como sobre medicina ou sobre temas científicos em geral.

Só 15 anos mais tarde a história dos números complexos conheceu mais desenvolvimentos, com a entrada em cena do engenheiro Rafael Bombelli. Nas horas vagas dos seus projetos de engenharia, Bombelli resolveu escrever um livro de Álgebra que fosse mais completo e mais fácil de ler do que o de Cardano.

Foi no livro de Álgebra de Bombelli que apareceu a primeira exposição aceitável dos números com-plexos. Como resolveu Bombelli os problemas que deixaram Cardano sem saída? Ele estudou a equação

Aplicando os métodos já conhecidos, chegou à fórmula seguinte para a solução:


Ele já sabia qua a solução era 4, mas queria obter esse valor a partir da fórmula. Para isso, usou as propriedades dos números complexos que ele desenvolveu e nós conhecemos hoje e usou a seguinte estratégia. Ele procurava números reais positivos a e b tais que

,

Um cálculo simples permitiu concluir que os números reais positivos a e b deviam satisfazer e . Em seguida tentou descobrir que valores podiam assumir a e b e con-

cluiu que devia ser e . Finalmente concluiu que a solução devia ser

E assim obteve a solução que pretendia encontrar.

Foi assim que nasceram os números complexos: para ajudar a descobrir algebricamente as soluções das equações do terceiro grau.

Só falta esclarecer o que aconteceu no grande duelo matemático de 1548 entre Niccolò Tartaglia e Lodovico Ferrari. O duelo teve lugar na Igreja de Santa Maria del Giardino em Milão, sendo árbitro Don Ferrante di Gonzaga, o Governador de Milão. Cada um colocou 62 problemas ao adversário. Lodovico Ferrari, aluno de Cardano desde os 14 anos, servindo como seu secretário pessoal e cola-borador, era um brilhante matemático que conseguiu obter um método para resolver as equações do quarto grau, subdividindo-as em 20 casos diferentes. Era um matemático com uma vasta cultura matemática e, apesar de Tartaglia também ser muito bom, a verdade é que foi Ferrari que ganhou o duelo. Como consequência, Ferrari obteve um excelente emprego e Tartaglia foi despedido da Uni-versidade de Brescia. Ferrari reformou-se aos 40 anos e foi viver para Bologna com a sua irmã que enviuvara há pouco (mas esta envenenou-o com arsénico para ficar com a fortuna dele; passado duas semanas da morte de Ferrari casou-se com alguém que fugiu com a sua fortuna e a irmã de Ferrari acabou por morrer na miséria).

Tartaglia nunca mais conseguiu um bom emprego e morreu na miséria 9 anos depois do duelo, na sua casa de Veneza.

Que história!

4515. A Álgebra dos números complexos

15. A Álgebra dos números complexos“Adão e Eva são como números imaginários, como a raiz quadrada de

menos um... Se a incluímos na nossa equação podemos calcular todo o tipo de coisas, que não podem ser imaginadas sem ela.”

Philip Pullman (1946- )

“O i, número imagináriocom muita imaginação,

imaginara o cenáriopara um filme de ficção.

A história começavadentro duma equação

de segundo grau, e o vilãoera uma raiz quadradada fórmula resolvente

que assaltava à mão armadaum pobre x que passava,

roubando-lhe o expoente..”História do i in “Pequeno livro de Desmatemática”, Manuel António Pina (1943–2012)

Aos números da forma a + bi, onde a e b são números reais e chamamos números com-plexos. O conjunto dos números complexos representa-se por

.

Num número complexo a + bi distinguimos a parte real, a, e a parte imaginária, bi.

Se b = 0, o número complexo tem apenas parte real, ou seja é um número real; isto significa que os números reais fazem parte dos números complexos.

Se b ≠ 0 ao número complexo chamamos imaginário, pelo que , , e são números complexos imaginários.

Se a = 0 e b ≠ 0, o número complexo tem apenas parte imaginária, ou seja, é da forma bi e chama-

-se então imaginário puro. Os números 2i, –3i e são imaginários puros.

Ao número i chama-se unidade imaginária.

46 15. A Álgebra dos números complexos

ExErcícios

1. Dos seguintes números indica quais são reais, quais são complexos, quais são imaginá-rios e quais são imaginários puros:

2i,−3i,4i,1+ 2i,−2, 3, 2,i 3, 7 − i 7

2. Para cada um dos números seguintes indica qual a sua parte real e qual a sua parte imaginária:

12, 12−

12

i,2i + 5, 35 + i 76 ,1+ 3i,i

3. Escreve três números reais, três números complexos e três números imaginários.

Sendo , passamos a poder resolver, no conjunto dos números complexos, certas equações que não podíamos resolver antes no conjunto dos números reais. Para isso basta definir o que se

entende por , quando a é negativo. Definimos o seguinte: −a = a −1 = i a .

tr

tarEfa rEsolvida 1

Resolve, no conjunto dos números complexos, a equação .

rEsolução

A equação dada é equivalente a . Logo uma solução será x = −9 = i 9 = 3i .

Mas como temos quadrado, x =− −9 =−i 9 =−3i também será solução.

Assim, a equação tem duas soluções no conjuntos dos números complexos: e .

tr

tarEfa rEsolvida 2

Resolve, no conjunto dos números complexos, a equação .


rEsolução

A fórmula resolvente pode ser usada aqui, do mesmo modo como o era antes no conjunto dos nú-

meros reais. Assim, as soluções são e x2=−2+ −20

4.

Mas como −20 = i 20 = 2i 5 , então as soluções são x1=−2−2i 5

4 e x

2=−2+ 2i 5

4

ou ainda x1=−1− i 5

2 e x

2=−1+ i 5

2.

ExErcícios

4. Resolve as seguintes equações do segundo grau:

4.1 4.2 4.3

Operações com números complexosSe queremos adicionar os números complexos e , como deveremos proceder? A ideia é usar as operações conhecidas, generalizando-as para o trabalho com a unidade imaginária i:

Se quisermos subtrair esses dois números a abordagem deve ser a mesma:

(−3−2i)−(4− 5i)= (−3− 4)+ (−2i + 5i)=−7+ (−2+ 5)i=−7+ 3i

Ou seja, para adicionar dois números complexos, adicionamos as partes reais e adicionamos as par-tes imaginárias. Para subtrair dois números complexos, subtraímos as partes reais e subtraímos as partes imaginárias.

Adição e subtração de números complexos – Se e são dois números complexos, então


HHistória(s)

As primeiras raízes quadradas de números negativos

A primeira raiz quadrada de um número negativo que se conhece é e apareceu na Stere-omerica de Herão de Alexandria (10 d.C. - 70 d.C.).

Reconstrução digital do Farol de Alexandria, uma das Sete Maravilhas do mundo antigo, construído em 280 a.C.

Outra, , foi encontrada por Diofanto (250 a.C. - 166 a.C.), que a obteve como pos-sível solução de uma equação de segundo grau. Nenhum dos dois matemáticos levou este assunto a sério. Na realidade, se os números negativos, só por si, eram já considerados falsos, absurdos ou fictícios, não é de estranhar que as suas raízes quadradas nem sequer fossem tidas em consideração. Nos tempos modernos, o primeiro matemático que passou ao papel uma fórmula que incluía a raiz quadrada de um número negativo, aparentemente sem sentido, foi o matemático italiano Gerolamo Cardano. Ao discutir a possibilidade do número 10 ser dividido em duas partes cujo produto fosse 40, mostrou que, embora este problema não tivesse solução racional, era possível obter uma resposta

através de expressões matemáticas impossíveis: e .

Adaptado de “Números Notáveis”, Lamberto García del Cid, RBA, 2011

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Como proceder para multiplicar dois números complexos? Tentaremos partir das propriedades já conhecidas para os números reais e generalizar essas propriedades para os números complexos, re-correndo nomeadamente à propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição. Por exemplo

Como , também será e podemos concluir que

Podemos então dar a seguinte definição:

Multiplicação de números complexos – Se e são dois nú-meros complexos, então

Para a divisão as coisas são mais complicadas. Como proceder quando temos ?

Conviria retirar a unidade imaginária do denominador. Para isso vamos introduzir um novo con-ceito: o de número complexo conjugado. Dado o número complexo , o número complexo conjugado de é o número complexo . Ou seja, o conjugado de um número complexo é o complexo com a mesma parte real e com uma parte imaginária simétrica. Qual a vantagem de introduzir tal número? Se multiplicarmos um número complexo e o seu conjugado o resultado é surpreendente:

Ou seja, o produto de um número complexo e do seu conjugado é um número real. Então, se mul-tiplicarmos o numerador e o denominador da fração acima pelo conjugado do denominador conse-guiremos “expulsar” os números complexos do denominador. Vejamos:

Podemos então definir a divisão de números complexos (quando o denominador não é nulo, claro):


Divisão de números complexos – Se e são dois números complexos, então

Para calcular as sucessivas potências de números complexos não há dificuldades especiais a prever

pois trata-se de multiplicações repetidas. Comecemos com a unidade imaginária. Como temos

e assim por diante. Como observamos, as potências de i vão-se repetindo, sendo . Assim, é fácil determinar o valor de qualquer outra potência de i; por exemplo

Se quisermos calcular uma potência arbitrária de outro número complexo podemos multiplicar sucessivamente o número complexo dado, mas podemos também usar a fórmula do binómio de Newton que continua a ser válida para os números complexos:

(a + bi)n =0n( )an +

1n( )an−1(bi)+

2n( )an−2(bi)2 + ...

... +kn( )an−k(bi)k + ... +

n−1n( )a(bi)n−1 +

nn( )(bi)n


ExErcícios

5. Efetua as seguintes operações com números complexos:

5.1

5.2

5.3

5.4 3− 12

i⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟×(−2−5i)

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10 i2014

6. Efetua as seguintes operações e apresenta o resultado na forma a + bi :

6.1 6.2

7. Calcula .

8. Sabendo que e que determina

8.1 8.2


lE

lEitura(s)

Os números imaginários

Os números imaginários parecem não ter qualquer significado real; é como se o seu estudo tivesse de começar com a frase “era uma vez”. Euler (1707-1783) descreveu do seguinte modo o número imaginário: “nem nada, nem mais do que nada, nem menos do que nada...” O famoso matemático, depois de considerar que estes números eram impossíveis devido à sua própria natureza, sugeria que, já que existem na nossa mente, nada impede que se faça uso deles nos cálculos. Leibniz (1646-1716), também surpreendi-do por este tipo de números, definiu-os como “esse anfíbio entre o ser e o não ser”. Podemos assim, facilmente perceber por que razão estes números tão “etéreos” e “fantasmagóri-cos” não agradavam aos matemáticos.

Foi Leonhard Euler quem, em 1777, batizou a raiz quadrada da unidade negativa com o símbolo i (de imaginário) e lhe atribuiu esta designação depreciativa. Todo o número pura-mente imaginário pode ser escrito como ib, onde b é um nú-mero real e i a unidade imaginária, com a propriedade i2 =−1Euler usou −1 em somas infinitas, o que conduziu à descoberta da extraordinária fórmula eiπ =−1

Estator de um motor de corrente alternada

Curiosamente, depois dos matemáticos terem dado à luz os números imaginários, verificou-se que se aplicavam de forma estranha e “apropriada” a elementos teóricos da corrente elétrica alternada. De fato, recorrendo aos números imaginários, é possível calcular, calibrar e controlar dispositivos tão úteis na nossa vida quotidiana como os estatores dos transformadores de corrente.

Adaptado de “Números Notáveis”, Lamberto García del Cid, RBA, 2011

Stat

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Laplace: “Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós”.


síntEsE


Números complexos: números da forma a + bi, onde a e b são números reais e

O conjunto dos números complexos representa-se por

Parte real do número complexo a + bi: a

Parte imaginária do número complexo a + bi: bi

Número imaginário: número complexo a + bi com b ≠ 0

Número imaginário puro: número complexo a + bi com a = 0 e b ≠ 0

Número complexo conjugado de c + di é o número complexo c – di

Ao número i chama-se unidade imaginária.

−a = a −1 = i a

Adição de números complexos: Se e são dois números complexos, então

Subtração de números complexos: Se e são dois números complexos, então

Multiplicação de números complexos: Se e são dois números complexos, então

Divisão de números complexos: Se e são dois números complexos, então

As potências de números complexos calculam-se pela fórmula do binómio de Newton:

(a + bi)n =0n( )an +

1n( )an−1(bi)+

2n( )an−2(bi)2 + ...

... +kn( )an−k(bi)k + ... +

n−1n( )a(bi)n−1 +

nn( )(bi)n


Eg


1. Calcula a soma e o produto dos complexos se:

1.1 z1= 4+ 5i e z

2= 3−2i

1.2 z1= 0,5−3,2i e z

2= 1,5−0,8i

2. Determina a diferença e o quociente quando:

2.1 z1= 3+ 4i e z

2= 0,4−0,2i

2.2 z1= 1−2i e z

2= 0,6

3. Escreve na forma a + bi os seguintes números complexos:

3.1 i17 + i18 + i19 + i20 3.2 2i 12+ 3

2i

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

− 12+ 3

2i

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

4. Determina o valor de x para o qual o complexo

4.1 seja um imaginário puro;

4.2 seja um número real;

4.3 tenha o seu afixo na bissetriz do primeiro quadrante.

5. Calcula k de modo que o número seja um imaginário puro.

6. Dados os números complexos 3−bi e a + 2i , calcula a e b de modo que o seu produto seja .


7. Prova que é o inverso de .


8. Resolve em

a equação .

9. Determina os números reais x e y de modo que .

Reflete ↑ ↑ ↑

10. Dados três números complexos sabemos que é o conjugado de e que é o

conjugado do simétrico de . Qual a relação entre ?

11. Resolve em

a equação , onde z designa o conjugado de z.


consElHos para os ExaMEs – n.º 13

Estratégias para elaborar relatórios ou composições

Vários problemas ou tarefas exigem uma resposta mais completa, incluindo alguma discussão e uma ou mais conclusões. Um possível guião para uma resposta a tal tipo de problemas é apresentado a seguir. Podes usar este mesmo guião quando quiseres responder de forma mais completa a uma tarefa deste manual, pois assim estás a aprofundar a tua compreensão sobre o tema envolvido na tarefa, o que constitui uma excelente preparação para o exame.

GuIãO

Introdução:

Apresenta a tarefa proposta e indica qual o seu objectivo, usando as tuas próprias palavras.

Desenvolvimento:

Relata os passos do trabalho realizado, explicando como pensaste e quais as estratégias usadas. Descreve as dificuldades sentidas e como as ultrapassaste.

Conclusão:

Apresenta as conclusões obtidas, devidamente fundamentadas (podes recorrer a tabelas, represen-tações gráficas ou esquemas).

Quando se tratar de uma tarefa de estudo podes acrescentar o seguinte.

Lições a tirar:

Faz um comentário global sobre o trabalho desenvolvido. Resume o que aprendeste. Comenta o interesse da tarefa.

Adaptado de “Os relatórios escritos na regulação das aprendizagens em Matemática” de Sílvia Semana e Leonor Santos


iEItens de exame

Escolha múltipla

1. Sejam e dois números reais e sejam e dois números complexos.

Quais são os valores de e de para os quais é igual ao conjugado de ?

(A) k =−1 e p = 3 (B) k = 1 e p = 3 (C) k = 0 e p =−2 (D) k = 1 e p =−3

2. Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo?

(A) 1 e i (B) −1 e i (C) 1− i e 1+ i (D) 1− i e −1+ i

3. Em

, conjunto dos números complexos, seja a unidade imaginária.

Seja um número natural tal que .

Indica qual dos seguintes é o valor de .

(A) 1 (B) i (C) –1 (D) –i

Resposta Aberta

4. Designando i a unidade imaginária e o conjugado do complexo z = 1 + xi, determina o

número real x que verifica a condição .

5. Designando por i a unidade imaginária, determina os números reais m e k de modo que

e k – ki sejam designações equivalentes.

6. Considera os complexos z = a + 3i e .

6.1 Investiga se existem valores de a para os quais é imaginário puro.

6.2 Supõe que . Determina uma equação de 2.º grau de coeficientes reais, cujas raízes são z e .

7. z e (conjugado de z) designam respetivamente os números complexos x + yi e x – yi ( ).


7.1 Prova que: “Se , então z representa um número real ou um número imaginário puro”.

7.2 Mostra que .

8. Mostra que:

8.1 e 5i 64 são designações equivalentes.

8.2 1

cosx + i senx= cosx − i senx,∀x ∈


pg

Prova global

45 minutos

1. Em

calcula (conjugado de z) sabendo que .

2. Considera os números complexos e com . Determina x e y de

modo que seja um número real e um imaginário puro.

3. Resolve em

a equação: .

4. Escreve na forma a + bi o número complexo .

5. Mostra que: .

60 16. A Geometria dos números complexos

16. A Geometria dos números complexos“Que o tema dos números imaginários tenha estado rodeado de obscuridade misteriosa deve

ser atribuído largamente a uma notação mal adaptada. Se, por exemplo, +1, –1 e a raiz quadrada de –1 se tivessem chamado unidades direta, inversa e lateral, em vez de positiva, negativa e imaginária (ou mesmo impossível), tal obscuridade teria estado fora de questão.”

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

“Não pode haver raízes quadradas de números negativos. Mas... basta imaginar que pode haver, e já há! Tão simples como isso...

Hoje, os números imaginários (o i e os seus múltiplos: o 2i, o 3i, o 4i e por aí adiante), são absolutamente imprescindíveis para os mais rotineiros cálculos de engenharia e de física. E a matemática já não pode pas-

sar sem eles. Afinal os números imaginários são tão “reais” como os “números reais”!”Os números imaginários in “Pequeno livro de Desmatemática” de Manuel António Pina (1943-2012)

Representamos graficamente os números reais na reta real. Como representar graficamente os nú-meros complexos? É lógico que pensemos em representar a parte real de um número complexo na reta real. O que fazer da parte imaginária? Talvez a possamos representar numa outra reta, mas diferente da anterior, nomeadamente numa reta perpendicular à reta real. Assim, a cada complexo z = a +bi com a e b números reais, podemos associar um e um só ponto do plano de coordenadas (a,b):

x

y

a + bi|z|

Reciprocamente, a cada ponto (a,b) do plano podemos também associar um e um só número com-plexo z = a +bi . Por esta razão ao plano cartesiano chama-se também plano complexo (e tam-bém plano de Argand ou plano de Argand-Gauss). Ao ponto (a,b) do plano complexo que corresponde ao número complexo z = a +bi chama-se afixo de z = a +bi . Esta representação geométrica dos números complexos faz aparecer, como já esperávamos, a parte real no eixo dos XX (a parte real é a abcissa do afixo do complexo) e a parte imaginária no eixo dos YY (o coeficiente da parte imaginária é a ordenada do afixo do complexo).

6116. A Geometria dos números complexos

A distância do ponto de coordenadas (a,b) à origem chama-se módulo do número complexo z = a +bi , representa-se por ρ =|a +bi |=|z | e, pelo teorema de Pitágoras, é igual a

|z |=|a +bi |= a2 +b2

À medida do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo real positivo OX e cujo lado extremi-dade é a semirreta de origem O e que passa pelo ponto (a,b) chama-se argumento de z = a +bi e representa-se por .

x

y

a + bi

Cada número complexo pode igualmente ser representado pelo vetor do plano cujas coordenadas são (a,b).

Diz-se que z = a +bi tem por imagem vetorial o vetor u de coordenadas (a,b) ou que u(a,b) é o vetor imagem de z = a +bi .

Não iremos entrar em muitos detalhes, mas precisamos de saber que todas as propriedades que conhecemos dos vetores são também cumpridas pelos números complexos. Podemos agora fazer a interpretação geométrica das operações com números complexos usando vetores.

A soma de dois números complexos é obtida do mesmo modo que a soma de dois vetores, recorren-

do nomeadamente à regra do paralelogramo já usada nos vetores. Se o vetor tiver por coor-


denadas (a,b) e o vetor z2

tiver por coordenadas (c,d) então o vetor s terá por coordenadas (a + c,

b + d). O mesmo acontece com os respetivos afixos, os complexos z1= a +bi , z

2= c+di e

s = (a +c)+ (b +d)i .

Podemos visualizar geometricamente o simétrico de um número complexo. Se o vetor tiver por

coordenadas (a,b) então o vetor simétrico −z

terá por coordenadas (–a,–b). O mesmo acontece com os respetivos afixos, os complexos z = a +bi e −z =−a −bi .

Podemos também interpretar geometricamente o conjugado de um número complexo. Se o vetor tiver por coordenadas (a,b) então o vetor conjugado terá por coordenadas (a, –b). O mesmo aconte-ce com os respetivos afixos, os complexos z = a +bi e z = a −bi :

ExErcícios

1. Representa graficamente os números complexos:

4 – 3i; 4; –3i; –4 – 3i; –4 + 3i; 3i; –4.

2. Efetua algébrica e graficamente estas operações com números complexos:

(4 – 3i) + (1 + 2i); (–4 – 3i) + (1 – 2i); (4 – 3i)i; (1 + 2i)i; (–5 – 2i)i.

3. Representa graficamente o simétrico e o conjugado de

3.1 2 – 3i

3.2 5 + 2i

3.3 6i

3.4 –2

3.5 –2 + 3i


Forma trigonométricaA forma algébrica de um número complexo z = a +bi não é a única maneira de representar um número complexo. Recordemos que a distância do ponto de coordenadas (a,b) à origem se chama módulo do número complexo e que se representa por ρ =|a +bi |=|z | . Por outro lado, a medida do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo real positivo OX e cujo lado extremidade é a semir-reta de origem O e que passa pelo ponto (a,b) chama-se argumento de z = a +bi e representa-se por .

Estas duas quantidades são suficientes para definir sem ambiguidade todos os números complexos diferentes de zero. Ou seja, dados números reais positivo e qualquer, existe apenas um nú-mero complexo z não nulo cujo módulo é e cujo argumento é . Com efeito, todos os números complexos cujo módulo for têm o seu afixo a uma distância da origem (ou seja, sobre uma circunferência de centro na origem e raio ): todos os números complexos cujo argumento seja têm o seu afixo sobre uma semirreta que começa na origem das coordenadas e faz um ângulo radianos com o semieixo positivo OX. Há um único ponto que satisfaz as duas condições. Esse será o afixo do complexo z de módulo e argumento .

Conclui-se imediatamente que a abcissa do afixo de z é igual a ρ cos θ e a ordenada do afixo de z é igual a ρ sen θ . No caso do complexo ser nulo o módulo é igual a zero e o argumento pode ser um valor qualquer.


Concluímos então que

Todo o número complexo z não nulo de módulo e argumento pode escrever-se como z = ρ cos θ+ iρ sen θ = ρ(cos θ+ i sen θ)= ρ cis θ

A este modo de representar z dá-se o nome de forma trigonométrica do número com-plexo z.

Observe-se que se dois números complexos iguais estiverem representados na forma trigonométrica, então os módulos são obrigatoriamente iguais, mas os argumentos não são necessariamente iguais, pois podem diferir de um múltiplo de 2π radianos. Por exemplo:

4(cosπ+ i sen π)= 4(cos(3π)+ i sen(3π))

tr

tarEfa rEsolvida 1

Representa na forma trigonométrica os números complexos seguintes:

a) z =− 3 + i

b) z = 2−2 3i

rEsolução

a) Temos de começar por determinar o módulo e o argumento de z. Para o módulo temos

|z |= − 3⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

2

+12 = 3+1 = 2

O argumento é um valor (que não será único) tal que se tenha e

Atendendo aos sinais da abcissa e ordenada concluímos que o afixo de z estará no 2.º quadrante.

Dividindo estas duas igualdade membro a membro obtemos tgθ= 1

− 3=−

33

.

Sendo assim, podemos concluir que . Logo a forma trigonométrica do número com-plexo dado é:

z = 2 cos π6+ i sen π

6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

b) Comecemos por determinar o módulo e o argumento de z. Para o módulo temos

|z |= 22 + −2 3⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

2

= 4+12 = 4


O argumento é um valor (que não será único) tal que se tenha e .

Atendendo aos sinais da abcissa e ordenada concluímos que o afixo de z estará no 4º quadrante.

Dividindo estas duas igualdade membro a membro obtemos tgθ= −2 32=− 3 .

Assim, pode ser . Logo a forma trigonométrica do número complexo dado é:

z = 4 cos 5π3+ i sen 5π

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

a não EsquEcEr

O passo mais delicado tem a ver com a determinação de um argumento. Para não errar convém verificar sempre em que quadrante está o afixo do complexo.

tr

tarEfa rEsolvida 2

Representa na forma algébrica os números complexos seguintes:

a) z = 3 cos−π6+ i sen−π

6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

b) z = 2 cos 9π4+ i sen 9π

4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

rEsolução

a) Esta conversão é fácil. Basta efetuar os cálculos:

z = 3 cos−π6+ i sen−π

6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= 3 3

2−

12

i⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

3 32−

32

i

b) A conversão da forma trigonométrica para a forma algébrica é sempre fácil. Basta efetuar os cálculos:

z = 2 cos 9π4+ i sen 9π

4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= 2 cos π

4+ i sen π

4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟= 2 + 2i


ExErcícios

4. Escreve na forma trigonométrica os complexos:

4.1 1 + 3i

4.2 –1 – i

4.3 3i

4.4 1

4.5 5 – 12i

4.6 3 + 3i

5. Escreve na forma algébrica os complexos:

5.1 z = 4 cos π3+ i sen π

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

5.2 z = 3 cos π6+ i sen π

6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

5.3

5.4

6. Determina os valores de a e b, sabendo que os complexos dados são iguais:

6.1 z1= 5 cos π

6+ isen π

6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ e z

2= a(cosb+ i senb)

6.2 z1= 2 cos 3π

6+ isen 3π

6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ e z

2= (a +1)(cos(2b)+ i sen(2b))

Operações com complexos na forma trigonométricaA adição e a subtração de números complexos não deve ser feita na forma trigonométrica pois sai muito mais complicada; deve ser feita sempre que possível na forma algébrica. Vejamos o que se

passa com a multiplicação. Sejam e dois números complexos não nulos cuja representação trigonométrica é z

1= ρ

1(cos θ

1+ i sen θ

1) e z

2= ρ

2(cos θ

2+ i sen θ

2) .

Tentemos fazer a multiplicação dos dois números, respeitando as regras usuais. Temos

z1×z

1= ρ

1(cos θ

1+ i sen θ

1)ρ

2(cos θ

2+ i sen θ

2)

= ρ1ρ

2(cos θ

1cos θ

2+ i sen θ

1cos θ

2+ i cos θ

1sen θ

2− sen θ

1sen θ

2)

= ρ1ρ

2(cos(θ

1+ θ

2)+ i sen(θ

1+ θ

2))

Ou seja, para multiplicar dois números complexos na forma trigonométrica basta multiplicar os módulos e adicionar os argumentos. Fácil!

Dado um número complexo na forma trigonométrica tentemos determinar uma forma trigonométri-ca simples para o seu simétrico. Seja então z = ρ(cos θ+ i sen θ) e tentemos ver a forma de


Temos

−z =−ρ(cos θ+ i sen θ)= (cosπ+ i sen π)×ρ(cos θ+ i sen θ)= ρ(cos(π+ θ)+ i sen(π+ θ))

Dado um número complexo na forma trigonométrica tentemos agora determinar uma forma trigo-

nométrica simples para o seu inverso. Seja então e tentemos ver a forma de

Fazendo a divisão como se estivesse na forma algébrica obtemos

1z=

1ρ(cos θ+ i sen θ)

=cos θ− i sen θ

ρ(cos θ+ i sen θ)(cos θ− i sen θ)

=cos θ− i sen θρ(cos2 θ+ sen2 θ)

=1ρ(cos θ− i sen θ)

Ainda não obtivemos a forma trigonométrica pretendida pois não aparece ainda na forma conven-

cionada. Mas cos θ− i sen θ = cos(−θ)+ i sen(−θ) pelo que vem 1z=

1ρ(cos(−θ)+ i sen(−θ)) .

Vejamos agora o que acontece com o quociente de dois números complexos. Sejam e dois

números complexos não nulos cuja representação trigonométrica é

z1= ρ

1(cos θ

1+ i sen θ

1) e z

2= ρ

2(cos θ

2+ i sen θ

2)

Temos que

Pelo que vimos anteriormente

1z

2

=1ρ

2

(cos(−θ2)+ i sen(−θ

2))

Aplicando agora o que vimos para o produto de números complexos na forma trigonométrica, ob-temos

z1

z2

= z1×

1z

2

= ρ1(cos θ

1+ i sen θ

1)× 1ρ

2

(cos(−θ2)+ i sen(−θ

2))

=ρ

1

ρ2

(cos(θ1− θ

2)+ i sen(θ

1− θ

2))


Concluímos assim que o quociente de dois números complexos tem por módulo o quociente dos módulos e por argumento a diferença dos argumentos dos complexos dados.

tr

tarEfa rEsolvida 3

Dados os complexos e determina , , e .

rEsolução

Aplicando as regras anteriormente obtidas vem

,

,

,

.


HHistória(s)

Wessel, Argand e Gauss

O plano complexo é também chamado plano de Argand ou plano de Argand-Gauss. Ao con-trário do que possa parecer, nem foi o contabilista suíço Jean-Robert Argand (1768-1822) nem foi o grande matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quem pela primeira vez propuseram a interpretação geométrica dos números complexos que hoje usamos.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

O primeiro a propor uma tal interpretação de forma consistente foi o cartógrafo dinamarquês Caspar Wessel (1745-1818), num artigo publicado em 1799 pela Academia Real das Ciências de Copenhaga. Mas este texto passou quase completamente despercebido, até porque foi escrito em dinamarquês. Argand era um matemático amador, contabilista em Paris, que escreveu em francês numa das mais famosas revistas científicas da época. A primeira vez que Argand o fez foi em 1806, num livro que editou ele próprio (mas não incluiu sequer o nome do autor no livro). Em 1813 ou-tro matemático publicou um artigo sobre o tema e referiu o trabalho de Argand, pedindo que ele revelasse a identidade de modo a ficar com a glória da descoberta da interpretação geométrica dos números complexos. Argand assim fez e seguiu-se uma polémica escrita sobe este mesmo tema, onde interveio um terceiro matemático que era contra a interpretação geométrica e entendia que os números complexos deviam ser tratados apenas de forma algébrica. Mas mesmo assim o impacto foi reduzido. O estudo dos números complexos recebeu o impulso definitivo com Gauss, que em 1831 publicou um livro onde estabeleceu a terminologia “número complexo” e popularizou o símbolo i

para (este símbolo foi introduzido pela primeira vez por Leonhard Euler (1707-1783) num trabalho apresentado publicamente em 1777, mas apenas publicado em 1794).


A potência de um número complexo também pode ser obtida facilmente se o número complexo es-tiver na forma trigonométrica. Vamos demonstrar uma fórmula muito conhecida:

Teorema – Fórmula de Moivre

Teorema (Fórmula de Moivre) – Seja n um número natural e z um número

complexo cuja forma trigonométrica é . Então temos

zn = ρn cis(nθ)

DemonstraçãoVamos usar o método de indução.

a) Caso n = 1. Temos que pelo que a fórmula pretendida é válida para n = 1.

b) Passo indutivo. Tentemos provar que supondo que é válido que .

Vejamos. Temos

c.q.d.

tr

tarEfa rEsolvida 4

Determina , sendo .

rEsolução

Aplicando a fórmula de Moivre temos

z 2013 = 2cis π6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

2013

= 22013 cis 2013π6= 22013 cis 167×2π+ 9π

6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

= 22013 cis 3π2=−i22013


Como calcular raízes enésimas de números complexos? Comecemos por determinar as raízes cúbicas do número complexo . Procurar as raízes cúbicas de z é o mesmo que procurar os números

complexos w tais que .

Como estamos em presença de uma potência, podemos usar a fórmula de Moivre. Procuremos então

w na forma trigonométrica . Temos .

Como, na forma trigonométrica, , temos

Parece que obtemos uma infinidade de raízes pois, para cada , obtemos um valor para . Mas não esqueçamos que as funções seno e cosseno são periódicas de período 2π pelo que deve haver repetições... Vamos atribuir valores a k:

k = 0 → w = 2cis π3= 2 1

2+ i 3

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= 1+ i 3

k = 1 →

k = 2 → w = 2cis 5π3= 2 1

2− i 3

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= 1− i 3

Se experimentarmos outros valores de k iremos obter valores já antes obtidos para w, visto que va-mos adicionando ângulos de 2π/3 e assim aparecem ângulos já antes considerados, mais ou menos múltiplos de 2π. Obtivemos 3 raízes cúbicas distintas, mas isso era o expectável em função do que conhecemos dos números reais. Note-se que –8 é um número real e obtivemos uma raiz cúbica real e duas raízes cúbicas imaginárias. Note-se também que as três raízes cúbicas estão nos vértices de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 2.


Em geral, para calcular a raiz índice n de um complexo qualquer z, procedemos do mesmo modo e chegamos à seguinte regra:

Teorema (Fórmula de Moivre generalizada) – Seja n um número natural e z um número complexo cuja forma trigonométrica é z = ρ(cos θ+ i sen θ) . Então as n raízes

índice n de z são:

zk= ρn cis θ+ 2kπ

n, com .

As n raízes índice n de um número complexo z são os vértices de um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio igual à raiz índice n real positiva do módulo de z. Por exemplo, para uma raiz índice 5 a situação será do tipo:

ExErcícios

7. Calcula

7.1 (−1− 3i)13

7.2 (1+ i)15

7.3

7.4 1+ i3

7.5 i4

7.6

8. Prova que 2i é uma raiz quarta de 16.

9. Calcula e representa geometricamente as 5 raízes índice 5 de .

10. Determina as n raízes complexas de . Num software de geometria dinâmica simu-la várias situações para diferentes valores de n. Descreve geometricamente as n raízes complexas de .

11. Resolve em

a equação z 3 − z = 0 , sendo z o conjugado de z.

Domínios planosMuitos subconjuntos do plano complexo têm uma descrição simples usando números complexos. Estudemos alguns. Comecemos com uma interpretação geométrica do módulo e do argumento de


um número complexo. Dado o número complexo z = a +bi , o módulo de z é dado por

|z |=|a +bi |= a2 +b2

pelo que representa a distância entre a origem e o ponto de coordenadas (a,b), o afixo de z. Assim, uma condição como |z |= 3 representa geometricamente uma circunferência de raio 3 e centro na origem:

Observemos agora que também deverá representar uma distância; de que tipo? Se for

z = x + yi e z1= a +bi então temos

|z − z1|=|(x −a)+ (y−b)i |= (x −a)2 + (y−b)2

Ou seja, a equação |z − z1|= r significa que a distância entre o ponto de coordenadas (x,y) e o

ponto de coordenadas (a,b), afixos de z e respetivamente, é igual a r. Se o ponto (a,b) for fixo e

procurarmos todos os pontos z que satisfazem a condição então esses pontos z estão sobre uma cir-cunferência de centro em (a,b) e raio r. Por exemplo, para (a,b) = (–1,2) e r = 3, obtemos:

O módulo também pode aparecer numa condição do tipo |z − z1|=|z − z

2| . Neste caso queremos

procurar os complexos z cujos afixos sejam tais que a distância ao afixo de é igual à distância ao

afixo de . Esses pontos estão sobre a mediatriz do segmento que une os afixos de e , por


definição de mediatriz.

Vejamos agora o significado geométrico de uma condição envolvendo o argumento de um número complexo. Quais os números complexos z tais que onde é um valor dado? Serão todos os pontos sobre a semirreta que começa na origem das coordenadas e que faz um ângulo de medida

com o semieixo positivo OX.

E se a condição for onde z1= a +bi é um número complexo dado? Se fosse apenas

então os z estariam, como vimos, sobre a semirreta que começa na origem das coordena-

das e que faz um ângulo de medida com o semieixo positivo OX. Mas em vez de z temos

ou seja, temos de fazer uma translação segundo da semirreta referida que assim tem por origem

o afixo de e é paralela a (ou seja, faz um ângulo α com a semirreta que começa no afixo

de e é colinear com a origem das coordenadas).


Também podemos considerar domínios planos definidos à custa de desigualdades com números complexos. A interpretação neste caso é simples, a partir do que foi visto anteriormente. Vejamos,

por exemplo, o significado geométrico de |z − z1|<|z − z

2| .

Isto significa que a distância do afixo de z ao afixo de é inferior à distância de z ao afixo de .

Logo o afixo de z deve estar na região do plano complexo definida pela mediatriz do segmento que

une e , do lado do ponto .

ExErcícios

12. Representa, no plano complexo, as condições em z :

12.1 |z |= 1

12.2 |z |< 1

12.3 |z |≤ 1

12.4 |z |≥ 1

12.5 |z − i |= 1

12.6 |z − i |≤ 1

12.7 1<|z − i |< 3

12.8 1<|z −1− i |< 3

12.9 |z − i |=|z − 3|

12.10 Imz = 3


ExErcícios

13. Define por uma condição em números complexos:

13.1

13.2

13.3

14. Esboça o lugar geométrico dos afixos dos números complexos z que verificam as con-dições seguintes:

14.1

14.2 arg(z − i)= π2

14.3 arg(z −1+ i)= π2

14.4


lElEitura(s)

Equações algébricas e números complexos

Uma equação algébrica do 2.º grau é da forma geral , (*)

Já sabemos resolver esta equação num caso muito particular; aquele em que a equação se reduz a

ou . Neste caso, por definição de radiciação, tem-se e portanto são

estas: e , as raízes da equação. Se a equação não está neste caso particular,

todo o trabalho da resolução consiste em transformá-la de modo a conseguir a fórmula

Assim têm-se as duas raízes da equação (*) (...) , ,

que se podem escrever conjuntamente sob a forma .

E se a expressão que figura debaixo do radical (o chamado discriminante) for ne-gativa? Nesse caso a radiciação não é possível e, por consequência, a expressão das raízes não tem significado.

Aos algebristas antigos, gregos, hindus e árabes, não tinha passado despercebido este caso emba-raçoso. Mas, sempre que ele se dava, concluia-se que o problema concreto que tinha dado origem à equação era um problema sem solução; o algebrista interpretava o discriminante negativo como querendo dizer que o problema não tinha solução; arrumara o caso dizendo que a equação não tinha, nesse caso, raízes, e dormia sossegado porque essa interpretação estava de acordo com a realidade e as necessidades da prática.

Adaptado de “Conceitos Fundamentais da Matemática”, Bento de Jesus Caraça, Gradiva, Lisboa, 1998


síntEsE


Forma algébrica dos números complexos: z1= a +bi , com .

Forma trigonométrica dos números complexos:

z = ρ cos θ+ iρ sen θ = ρ(cos θ+ i sen θ)= ρ cis θ ,

com módulo e argumento . Para o módulo tem-se ρ =|z |=|a +bi |= a2 +b2 e para o argumento tem-se que e .

Operações com complexos na forma trigonométrica: se z1= ρ

1(cos θ

1+ i sen θ

1) e

z2= ρ

2(cos θ

2+ i sen θ

2) .

O produto dos dois números é z1×z

1= ρ

1ρ

2(cos(θ

1+ θ

2)+ i sen(θ

1+ θ

2)) ;

O quociente dos dois números é z

1

z2

=ρ

1

ρ2

(cos(θ1− θ

2)+ i sen(θ

1− θ

2)) .

Fórmula de Moivre: Seja n um número natural e z um número complexo cuja forma trigo-

nométrica é z = ρ(cos θ+ i sen θ) . Então .

Fórmula de Moivre generalizada: Seja n um número natural e z um número complexo cuja forma trigonométrica é z = ρ(cos θ+ i sen θ) . As n raízes índice n de z são:

zk= ρn cis θ+ 2kπ

n com .

Principais domínios planos:

|z |= r


|z − z1|= r

|z − z1|=|z − z

2|

|z − z1|<|z − z

2|


Eg


1. Representa graficamente os números complexos seguintes e escreve-os na forma trigonomé-trica:

1.1 2 – 2i

1.2 2 + 2i

1.3 2i

1.4 –2 – 2i

1.5 –2i

1.6 2

1.7 –2 + 2i

1.8 –2

2. Escreve na forma algébrica os complexos:

2.1 2 cos 5π3+ i sen 5π

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟2.2 3 2 cos 3π

4+ i sen 3π

4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

2.3 3 cos3+ i sen 3( )

3. Escreve na forma trigonométrica os seguintes números complexos:

3.1 3.2 4i 3.3 3.4 3 + 3i

4. Dados os números complexos z1= 3cis 5π

12 e z

2= 4cis π

9, calcula:

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

5. Calcula as raízes cúbicas do número complexo 8 – 8i.

6. Representa no plano complexo o conjugado e o simétrico dos seguintes números complexos:

6.1 z = –4 + 3i

6.2 z = –7i

6.3 z = 4

6.4 z = –1 – 2i

6.5 z = 3 – 4i

6.6 z = 0

7. Representa no plano complexo as condições seguintes:


7.1 |z + 2− 3i |< 9

7.2 |z −1+ 2i |=|z + 2− i |

7.3 |z − i |>|z +1+ i |

7.4 arg (z ) =

7.5 arg(z – 1 – i) =


8. Escreve na forma trigonométrica o número complexo cos θ− isen θsen θ+ i cos θ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

5

.

9. Qual é o menor número n inteiro e positivo para o qual é um número real positivo?

10. Verifica a identidade 2+ i−1+ 2i

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

n

= cos 3nπ2+ i sen 3nπ

2.

11. Prova que uma representação na forma algébrica de 1+ i( )

80− 1+ i( )

82

i 96é 240 −241i .

12. Sendo uma das raízes quartas de um complexo , calcular, na forma

algébrica, todas as soluções da equação .

13. Resolve, em

, a equação .

14. Representa no plano complexo:

14.1 14.2

14.3 |2− i − z |≥ 4 ∧|Re(2− i − z)|≥ 1

Reflete ↑ ↑ ↑

15. Representa na forma trigonométrica o complexo .

16. Representa no plano de Argand-Gauss .


Conselhos para os exames – n.º 14Cuidado com as diretas!

Muitos alunos não se preparam devidamente para os exames e nas vésperas tentam estudar em modo acelerado e fazendo umas diretas com a ajuda de cafés e chocolates. Infelizmente, este método não funciona!

Hoje temos a certeza que é assim porque são essas as conclusões de um estudo desenvolvido pelo Professor Andrew J. Fuligni na UCLA-Universidade da Califórnia, Los Angeles, e divulgado pu-blicamente em agosto de 2012. O estudo do Professor Fuligni e dos seus colaboradores conclui que sacrificar o sono para aumentar o tempo de estudo, seja estudando para um exame seja para despa-char trabalhos de casa atrasados, é na verdade contraproducente. Concluiu que, independentemente de quanto um estudante normalmente estuda em cada dia, se esse aluno sacrificar tempo de sono de modo a estudar mais do que o habitual, ele ou ela é susceptível de ter mais problemas académicos, e não menos, no dia seguinte.

Ou seja, é tão importante estudar como dormir para obter resultados académicos satisfatórios. Um exagero de corte no sono pode até impedir a aprendizagem. O Professor Fuligni afirma que, em geral, os estudantes aprendem melhor quando mantêm um horário de estudo consistente, o que é dificultado quando começam a surgir muitos compromissos sociais e prazos de entrega de trabalhos ou exames. Existe a impressão de que quem estuda mais obtém melhores classificações, mas se essa quantidade de estudo implica a redução do tempo de sono começam a surgir os problemas. O conse-lho do Professor Fuligni é: “O sucesso académico pode depender de encontrar estratégias para evitar ter que cortar no sono para conseguir estudar, tais como a manutenção de um horário de estudo consistente em cada dia, usando o tempo passado na escola de um modo tão eficientemente quanto possível e sacrificando antes o tempo gasto noutras atividades menos essenciais.”

Concluímos assim que a melhor preparação escolar que se pode fazer para um exame é o do estudo regular ao longo do ano. O estudo para o exame do 12.º ano de junho ou julho começa efetivamente em setembro do ano anterior. É bom conseguir estabelecer um ritmo adequado a cada pessoa, estu-dando e revendo de forma planeada, constante e consistente com as características particulares de cada estudante, embora não precise de ser rígido nem aplicado de forma absoluta.

Convém por exemplo rever temas estudados anteriormente. Rever as “Sínteses” com o essencial de cada capítulo serve para verificar se não ficou nada perdido que seja preciso rever com mais cuidado. Resolver alguns exercícios de capítulos anteriores também ajuda a manter os temas presentes. Como os exercícios estão divididos em três categorias “Pratica”, “Pensa e resolve” e “Reflete”, pode-se tirar partido desta divisão por grau de dificuldade para rever exercícios de forma seletiva: se não temos dificuldade ao rever um ou dois exercícios de um determinado nível devemos passar ao nível seguinte. Se nos atrapalhamos com um exercício de um nível deveremos retomar um ou dois exer-cícios do nível anterior.

O estudo regular é o segredo!


iEItens de exame

Escolha múltipla

1. Seja um número complexo de argumento .

Qual dos seguintes valores é um argumento de ?

(A) −π

6 (B)

56π (C) π (D)

76π

2. Em

, conjunto dos números complexos, considera z = 3cis π

8− θ

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟, com .

Para qual dos valores seguintes de podemos afirmar que z é um número imaginário puro?

(A) −π

2 (B)

π

2 (C)

π

8 (D)

5π8

3. Seja k um número real e um número complexo.

Qual é o valor de k, para que seja um número imaginário puro?

(A) 32

(B) 23 (C) −

23 (D) −

32

4. Considera a figura, representada no plano complexo.

O –3

–3

Im(z)

Re(z)

Qual é a condição, em

, que define a região a sombreado da figura, incluindo a fronteira?


(A) Re(z)≤ 3∧− π4≤ arg(z)≤ 0

(B) Re(z)≤ 3∧ 0≤ arg(z)≤ π4

(C) Im(z)≤ 3∧− π4≤ arg(z)≤ 0

(D) Re(z)≥ 3∧− π4≤ arg(z)≤ 0

5. Na figura estão representadas, no plano complexo, duas circunferências, ambas com centro no eixo real, tendo uma delas raio 1 e a outra raio 2.

O

Im(z)

Re(z)z1

z2

z3

z4

z5

z6

A origem do referencial é o único ponto comum às duas circunferências.

Qual das condições seguintes define a região a sombreado, incluindo a fronteira?

(A) |z −1|≥ 1∧ |z −2|≤ 2

(B) |z −1|≥ 2∧ |z −2|≤ 1

(C) |z −1|≤ 1∧ |z −2|≥ 2

(D) |z −1|≤ 2∧ |z −2|≥ 1

6. Na figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de seis números

complexos :

O

Im(z)

Re(z)z1

z2

z3

z4

z5

z6

Qual é o número complexo que pode ser igual a ?

(A) z1 (B) z

3 (C) z

5 (D) z

6

7. Considera, em

, um número complexo w.

No plano complexo, a imagem geométrica de w é o vértice A do octógono [ABCDEFGH], representado na figura.


Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice 8 de um certo número complexo.

O

Im(z)

Re(z)

AB

C

D

EF

G

H

Qual dos números complexos seguintes tem como imagem geométrica o vértice C do octógo-no [ABCDEFGH]?

(A) −w (B) w +1 (C) i×w (D) i 3×w

8. Seja z = 3i um número complexo.

Qual dos seguintes valores é um argumento de z?

(A) 32π (B) π (C)

12π (D) 0

Resposta aberta

9. Em

, conjunto dos números complexos, considera z1= (−2+ i)3 e z

2=

1+ 28i2+ i

.

9.1 Resolve a equação , sem recorrer à calculadora.

Apresenta as soluções da equação na forma trigonométrica.

9.2 Seja w um número complexo não nulo.

Mostra que, se w e são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então z = 1 e z = –1.

10. Em

, conjunto dos números complexos, considera z

1= 2cis π

4

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟e z

2= 3 .

Resolve os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.


10.1 Determina o número complexo .

Apresenta o resultado na forma trigonométrica.

10.2 Escreve uma condição, em

, que defina, no plano complexo, a circunferência que tem

centro na imagem geométrica de e que passa na imagem geométrica de .

11. Seja

o conjunto dos números complexos.

11.1 Seja n um número natural.

Determina

3×i 4n−6 + 2cis − π6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

2cis π5

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

, sem recorrer à calculadora.

Apresenta o resultado na forma trigonométrica.

11.2 Seja α ∈ π4

, π2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢.

Sejam e dois números complexos tais que z1= cisα e z

2= cis α+ π

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟.

Mostra, analiticamente, que a imagem geométrica de , no plano complexo, per-tence ao 2.º quadrante.

12. Seja

o conjunto dos números complexos, onde designa a unidade imaginária.

12.1 Considera z1= 2− i( ) 2+ cis π

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ e z

2=

15

cis − π7

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟.

Sem recorrer à calculadora, escreve o número complexo na forma trigonomé-trica.

12.2 Seja um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A situado no primeiro quadrante.

- Seja B a imagem geométrica de , conjugado de .

- Seja O a origem do referencial.


- Sabe-se que o triângulo [AOB] é equilátero e tem perímetro 6.

- Representa o triângulo [AOB] e determina na forma algébrica.

13. No conjunto dos números complexos, seja z =cis π

7

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

7

+ (2+ i)3

4cis 3π2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

.

Determina na forma algébrica, sem recorrer à calculadora.

14. Considera, em

, um número complexo , cuja imagem geométrica no plano complexo é um ponto A, situado no 1.º quadrante. Sejam B e C, respetivamente, as imagens geométricas

de (conjugado de ) e de .

Sabe-se que e que |w |= 5 .

Determina a área do triângulo [ABC].


pg

Prova global90 minutos

Grupo I

1. O complexo é igual a:

(A) –1 (B) 1 (C) –i (D) i

2. Seja z o complexo e o seu conjugado. Podemos afirmar que é igual a:

(A) Re(z) (B) (C) |z |2 (D) Im(z)

3. Uma raiz da equação, em

, é:

(A) i (B) –i (C) 1 (D) –1

4. A forma trigonométrica do complexo é:

(A) 2 3 cis π3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ (B) 3 2 cis π

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ (C) 2 3 cis π

6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟ (D) 3 2 cis π

6

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

5. O conjunto dos pontos do plano definidos pelas imagens dos complexos z tais que Re(z –iz) > 2 é:

(A) o exterior de uma circunferência (B) um semiplano

(C) uma coroa circular (D) um ângulo

Grupo II

6. Considera o número complexo z =2 2cis 2π

31+ i

.

6.1 Representa z na forma algébrica

6.2 Representa z na forma trigonométrica

7. Em

considera os números complexos e

7.1 Escreve na forma trigonométrica

7.2 Determina as raízes cúbicas de z.


8. Calcula o número complexo z sabendo que |z | +z = 2+ i .

9. Determina dois números complexos cujo quociente é 4, a soma dos seus argumentos é e a soma dos seus módulos é 14.

10. Na figura, os afixos dos números complexos formam com a origem um triângulo equi-látero. Recorrendo à calculadora gráfica determina sabendo que .

90 17. Demonstrações de Geometria usando números complexos

17. “Uma boa demonstração é aquela que nos torna mais sábios.”

Yu I. Manin (1937 - )

“Sherlock Holmes: Agora temos de descobrir onde a sombra do ulmeiro cairia, quando o sol estava naquela posição.

Dr. Watson: Bem, isso vai ser difícil, Holmes, uma vez que o ulmeiro já não está lá.Sherlock Holmes: Ora essa, Watson. Se Brunton pode fazer isso, então nós tam-

bém podemos. A resposta está na trigonometria!”in O regresso de Sherlock Holmes, Arthur Conan Doyle (1859-1930)

Muitas propriedades puramente geométricas podem ter uma interpretação interessante em termos de números complexos. Já vimos algumas no capítulo anterior. Por exemplo, a multiplicação pela unidade imaginária i tem uma interpretação geométrica simples. Com efeito se z = a +bi então iz = ai −b e assim ao vetor de coordenadas (a,b) corresponderá o vetor de coordenadas (–b,a). Ou

seja, o vetor sofreu uma rotação de 90° no sentido direto.

Logo, uma rotação de 90° no sentido direto tem uma interpretação muito simples em termos de números complexos.

Dado um número complexo z, ou seja dado o vetor , a rotação de 90° em torno da origem, no

sentido direto, é dada pelo vetor , e assim obtemos o afixo do número complexo w. Este w é, al-gebricamente, o produto de z pela unidade imaginária i.

números complexosDemonstrações de Geometria usando*

* Este capítulo é, de acordo com o Programa Oficial, opcional e deve ser lecionado apenas se houver tempo. Deve ser sempre recomendado como leitura aos alunos mais interessados.

9117. Demonstrações de Geometria usando números complexos

Podemos provar já o primeiro teorema:

Teorema

Sejam A, B, P e Q os afixos dos números complexos z, w, p e q respetivamente. Então, o vetor

é perpendicular ao vetor se e somente se é um imaginário puro.

Demonstração

Se e são perpendiculares então fazem entre eles um ângulo de 90°. Logo

i(w − z) roda de 90° e então é colinear com (podendo ter ou não o mesmo sentido). Logo,

existe algum número real k (não nulo) tal que se tenha i(w − z)= k(q − p) e então é um

imaginário puro.

Reciprocamente, se é um imaginário puro então w − z = ir(q − p) para algum número real

r (não nulo). Logo e i(q − p) são colineares e então o vetor será perpendicular ao vetor

.

c.q.d.

Sejam e dois pontos dados no plano cartesiano. Suponhamos que é o

ponto médio do segmento . Em termos de coordenadas sabemos que e

Então, se A, B e M forem os afixos dos complexos z, w e m, respetivamente, teremos .

Estamos agora em condições de demonstrar uma propriedade muito conhecida:

Teorema de VarignonOs pontos médios dos lados de um quadrilátero arbitrário formam um paralelogramo.


Demonstração

Sejam K, L, M e N os pontos médios dos lados de um quadrilátero de vértices A, B, C e D. Supo-nhamos que os números complexos correspondentes são designados pelas mesmas letras, mas minús-culas. Pelo que já vimos temos que

, , e .

Assim, teremos que

e que

Ou seja, obtemos o mesmo resultado. Assim, os vetores e são iguais. Tal basta para con-cluir que o quadrilátero de vértices K, L, M e N é um paralelogramo.

c.q.d.


ttarEfa 1

Demonstra, usando um método semelhante ao do Teorema de Varignon, o Teorema de van Au-bel: “Dado um quadrilátero qualquer, constrói quadrados em cada um dos lados desse quadrilátero. Então as duas retas que unem os centros de cada um dos quatro quadrados obtidos são perpendi-culares.”

Consideremos o quadrado de vértices A, B, C e D. Sejam a, b, c e d os complexos cujos afixos são A, B, C e D, respetivamente.

Então, sendo os vetores e iguais, teremos também .

Sendo os vetores e perpendiculares e de igual módulo, teremos também b−a = i(c−b) .

O te

orem

a de

van

Aub

el po

r Hum

berto

Jos

é Bo

rtolos

si, h

ttp:/

/www

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fess

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.uff.

br/h

jbor

tol/c

eder

j/ap

plet

s/ca

r/m

gal-v

an-a

ubel-

01.h

tml

http://www.professores.uff.br/hjbortol/cederj/applets/car/mgal-van-aubel-01.html


ttarEfa 2

Dados os números complexos a e b de afixos A e B respetivamente, determina os números complexos w e z tais que os respetivos afixos W e Z formem com A e B o quadrado de vértices A, Z, B e W.

O teorema seguinte carateriza os triângulos equiláteros em termos de números complexos.

TeoremaO triângulo cujos vértices são os afixos dos complexos a, b e c é equilátero se e somente se temos

onde w é o número complexo, raiz cúbica imaginária do número 1, definido por .

Demonstração

O triângulo cujos vértices são os afixos dos complexos a, b e c é equilátero se e somente se cada um

dos ângulos externos é igual a . Mas isto é o mesmo que dizer que um dos lados é uma rotação de

centro numa das extremidades desse vértice e de ângulo no sentido direto. Isto é equivalente a

.

Mas .

Por outro lado, como , vem e portanto

.

Assim, como , concluímos que .

Donde vem que . Substituindo atrás vem que

c.q.d.

Este teorema é o que permite agora ao leitor demonstrar a tarefa final deste capítulo:


ttarEfa 3 - tEorEMa dE napolEão

Na figura apresentada, em cada um dos lados do triãngulo [ABC] constroem-se os triângulos equi-láteros [ACD], [BCE] e [ABF].

Os centros de gravidade de cada um desses triângulos equiláteros, G, H e I, formam um triângulo equilátero.


HHistória(s)

Napoleão Bonaparte (1769-1821) e a Matemática

O escritor brasileiro Monteiro Lobato (1882-1948) disse certa vez que um grande país se faz com homens e livros. Muito tempo antes dele, essa verdade não escapara ao então general Napoleão Bonaparte, con-forme regista o historiador francês Denis Guedy no seu livro A revolução dos sábios, ainda não traduzido para português. Tanto Napoleão sabia disso que quando a Convenção (o Parlamento da Revolução Francesa) deci-diu abrir bibliotecas por todo o território nacional, em 1794, não perdeu a ocasião de escrever uma carta ao mi-nistro do Interior pedindo pela Córsega, ilha onde nasce-ra.

Nela, o general dizia: “É notório que a doença dos corsos é a ignorância: nunca houve outras bibliotecas na Ilha de Córsega, a não ser as dos conventos, onde não se po-dem encontrar senão livros de teologia e alguns antigos”. Noutro trecho da carta, Napoleão escrevia: “É supérfluo demonstrar a utilidade de nossa busca. A Córsega é o país mais ignorante da República e o que tem menos meios para a instituição: se se quer consolidar a liberdade e torná-lo verdadeiramente francês é necessário que a luz aí chegue torrencialmente”.

Foi essa preocupação com a educação e a cultura do povo francês que levou Napoleão a interessar-se pelo traba-lho do matemático italiano Lorenzo Mascheroni, quando foi comandante-em-chefe do Exército Francês durante a campanha da Itália (1796-1797). Guedy conta no livro que, ao voltar a França, Napoleão apresentou a obra do matemático, considerado o fundador da Geometria do compasso, à Academia das Ciências de Paris. Entre os problemas propostos por Mascheroni, um, especialmente, chamou a atenção de Napoleão, que a ele deu uma solução pessoal.

Por esse motivo é que esse estadista, frequentador das páginas dos livros de História Universal e que se tornaria imperador da França, é o personagem principal deste artigo. O problema ficou conheci-do como Problema de Napoleão e consistia no seguinte: dado um círculo do qual não se conhece o centro, como determiná-lo? Se a proposta fosse resolver a questão com régua e compasso seria sim-ples, e um número muito grande de estudantes do secundário saberia como solucioná-lo sem grande dificuldade. Bastaria marcar três pontos quaisquer do círculo, construindo um triângulo inscrito. Traçam-se a seguir mediatrizes (a perpendicular ao centro do segmento) de dois dos seus lados, que vão se cruzar num ponto, que é o centro (procurado) do círculo dado.


O problema do general era, porém um pouco mais complicado: tratava-se de encontrar o centro de um círculo dado, usando para tanto somente o compasso. E resolveu a questão.

Saber que Napoleão Bonaparte gostava de resolver problemas de Geometria surpreendeu a todos na época, tanto que o ilustre astrónomo, físico e matemático Francês Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) quando soube fez o seguinte comentário:

“Esperávamos tudo de vós, general, salvo lições de Geometria”.

Esse episódio serve para mostrar como eram os homens públicos do passado em oposição à quase indigente visão cultural dos estadistas de hoje. Refiro-me à sabedoria, não à escolaridade. Por isso, não são as dificuldades matemáticas do Problema de Napoleão ou mesmo a sua importância para a ciência que estão em jogo, mas o significado dessa questão. O livro de Denis Guedy revela, antes de mais nada, como um povo determinado conseguiu construir um grande país como a França, usando como cimento a liberdade e a sabedoria.

Adaptado de “Lições de Geometria de Napoleão Bonaparte” de Luiz Barco, 1990

98 Soluções

SoluçõesCapítulo 13 - Funções trigonométricas

Exercícios - p. 12

1.

1.1 Nem par nem ímpar

1.2 Par

2. –

3.

3.1

3.2

4. –

5.

5.1 2cos(x)

5.2

6.

6.1 2

6.2

7. 0

Exercícios - p. 14

8.

8.1 4cos(4x) – 7sen(7x)

8.2 –4sen(8x + 2)

9.

9.1 –6

9.1 0

10.

10.1

10.2

10.3 π e 2π

10.4 Crescente: 0, π2

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢ e em

Decrescente: e em

11. –

12.

12.1 máximos em:

mínimos em:

12.2 máximos em:

mínimos em:

Exercícios - p. 19

13.

13.1

13.2

13.3

14. Crescente em cada intervalo da forma:

15. –

16.

16.1 x = 1;

16.2 bx = 1; x =

tTarefa 2 - p. 21

–

Eg

Exercícios globais - p. 27

Pratica ↑

1.

99Soluções

2.

2.1

2.2 x = π18+

23

kπ ∨ x = 5π18+

23

kπ, k ∈

2.3 x = π24+ kπ ∨ x =−7π

48+

kπ2

, k ∈

2.4 x = π10+

2kπ5∨ x = π

2+ 2kπ, k ∈

2.5 −π

4+ 2kπ ≤ x ≤ π

4+ 2kπ, k ∈

2.6 π

18+

2kπ3< x < 5π

18+

2kπ3

, k ∈

3. –

4.

4.1 2

4.2

4.3

5.

5.1

5.2

6.

6.1

6.2

6.3

6.4

7. –

8.

8.1 1; 0; –1

8.2

9.

9.1 Crescente:

Decrescente:

Máximo relativo:

Mínimo relativo:

9.2 Crescente:

Decrescente:

Mínimo relativo:

Máximos relativos:


10.

11.

11.1

11.2 2

12.

12.1 –

12.2

13.

13.1 79,5 m e 90,4 m

100 Soluções

13.2 π

4

13.3 91,8 m

14.

14.1

14.2

15.

Reflete ↑ ↑ ↑

16. –

17.

17.1 a =−2 e b = π3

17.2

18. –

19. –

iEItens de exame - p. 31

1. A

2. C

3.

3.1 –

3.2 , o depósito está meio cheio.

4.

4.1

4.2 A função não tem pontos de inflexão e tem a concavidade voltada para baixo no inter-

valo −2π3

,− π3

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢.

4.1 –1,6

5. ]1,36; 4,61[

6.

7. a = 3,367 e b = 0,633

8. –

9.

9.1 –

9.2 b = –2

10.

10.1 –

10.2 –

pg

Prova Global - p. 37

1. B

2. B

3. C

4. B

5. A

6.

6.1 Sem solução

6.2 Sem solução

6.3 Decrescente

6.4 0 e

7. Sem solução

8.

9. Período = 10

Janela do gráfico [–10, 10]�[0,11000]

Máximo: 10200; Mínimo: 7800

Aproximadamente 2 anos

10.

10.1 k = –1 ou k = 1

10.2 Usar o Teorema de Bolzano

Capítulo 15 - A Álgebra dos números complexos

Exercícios - p. 46

101Soluções

1. Reais: –2, , ,

Complexos imaginários: 1+2i,

Imaginários puros: 2i, -3i, 4i,

2. Parte real:

Parte imaginária:

3. –

Exercícios - p. 47

4.

4.1 i e –i

4.2

4.3

Exercícios - p. 51

5.

5.1 –1 – 54i

5.2 33 + i

5.3 12 – 4i

5.4

5.5 90 – 54i

5.6

5.7

5.8 5 – 12i

5.9 –1

5.10 –1

6.

6.1

6.2

7. i; –1; –i; 1; i; –1; –i

8.

8.1 6 + 5i

8.2

Eg


Pratica ↑

1.

1.1 7+ 3i; 22+ 7i

1.2 2− 4i; −1,81− 5,2i

1.3 2 2; 5

2.

2.1 2,6+ 4,2i; 2+ 11i

2.2 0,4−2i; 53−

103

i

3.

3.1 0

3.2 –2i

4.

4.1 x = 2

4.2 x =−98

4.3 x =−212

5.

6.


7. –

102 Soluções

8. 1+ i e 1+ 2i

9. x = 2 e y = –1

Reflete ↑ ↑ ↑

10. São simétricos

11.


1. B

2. D

3. A

4.

5. m = 0 e k = –1

6.

6.1 Impossível

6.1

7.

7.1 –

7.2 –

8.

8.1 –

8.2 –

pg

Prova global - p. 59

1.

2. x = 12

e y = 1

3. 2 + i

4.

5. –

Capítulo 16 - A Geometria dos números complexos

Exercícios - p. 62

1.

2. 5 – i; –3 – 5i; 3 – 4i; –2 + i; 2 – 5i

2.1

2.2

103Soluções

3.

Exercícios - p. 66

4.

4.1 cis(1,249 rad.)

4.2

4.3

4.4 cis 0

4.5 13 cis (–1,176 rad.)

4.6

5.

5.1

5.2

5.3 –1

5.4

Exercícios - p. xx

6.

6.1 a = 25;

6.2 a = 1;

7.

7.1 8192 cis4π3

7.2

7.3 16 cis

7.4

7.5

7.6

8. –

9.

10. Sem solução

11. 0; cis

Exercícios - p. 75

12.

12.1

12.2

104 Soluções

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

12.8

105Soluções

12.9

12.10

Exercícios - p. 76

13.

13.1 Imz ≤ 4 ∧ Imz ≥ 1∧ Re z ≥ 1∧Re z ≤ 5

13.2

|z – 12 – 6i| |z – 8 – 2i|

13.3

14.

14.1

14.2

14.3

106 Soluções

14.4

Eg


Pratica ↑

1.

1.1

1.2

1.3

1.4 2 2cis 5π4

1.5

1.6 2cis 0

1.7

1.8

2.

2.1

2.2

2.3

3.

3.1 3 2cis π4

3.2

3.3

3.4

4.

4.1

4.2

4.3

4.4

107Soluções

4.5

4.6

4.7

4.8 3cis 19π12

5. ; ;

6.

7.

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

108 Soluções


8.

9. 12

10. –

11. –

12.

6 − 22

+6 + 2

2i;− 6 + 2

2+

6 − 22

i;

−6 − 2

2−

6 + 22

i; 6 + 22

−6 − 2

2i

13.

14. –1; i; –i

15.

15.1

Pontos A e B

15.2

Segmento de reta AB sem os extremos A e B.

15.3

Reflete ↑ ↑ ↑

16.

17.

109Soluções


1. D

2. D

3. B

4. A

5. A

6. C

7. C

8. C

9.

9.1

10.

10.1

10.2

11.

11.1

11.2 –

12.

12.1

12.2

13.

14. 24

pg

Prova global - p. 88

1. D

2. C

3. A

4. A

5. B

6.

6.1

6.2

7.

7.1

7.2

8.

9.

110 Soluções

10. 1,96 – 4,60i

Capítulo 17 - Demonstrações de Geometria usando números complexos

Tarefa 1

–

Tarefa 2

z = 12(a +b)+ 1

2i(a −b)

z = 12(a +b)− 1

2i(a −b)

Tarefa 3

–

t

Jaime Carvalho e SilvaProfessor Associado do Departamento de Matemática da Faculdade de Ci-ências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Licenciado e Doutorado em Matemática pela Universidade de Coimbra, estudou na Universidade de Paris 6. Foi professor visitante na Arizona State University (EUA) e é Secretário-Geral da Comissão Internacional de Instrução Matemática (2009-2012).

Professor há 36 anos na Universidade de Coimbra, leccionou disciplinas de Matemática para Matemáticos e Engenheiros, assim como da formação de professores de Matemática e orientou Estágios Pedagógicos de Matemática em sete escolas diferentes. Coordenador das Equipas Técnicas que elabo-raram os programa de Matemática A, Matemática B, MACS, Matemática dos Cursos Profissionais e Matemática das Escolas Artísticas. Consultor do GAVE desde a sua criação.

Autor de Manuais Escolares do Ensino Básico e do Ensino Secundário tendo ganho o Prémio Sebastião e Silva da SPM para Manuais Escolares em 2005 e obtido uma Menção Honrosa em 2000.

Joaquim PintoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 20 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Mate-mática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática A, continuando a ser classificador de Exames de Matemática A.

Orientou Estágio Pedagógico pelas Universidades de Aveiro e de Coimbra.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática). Dinamizou várias ações dentro dos referidos domínios.

Vladimiro MachadoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 30 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamen-to de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática B. Desempenha as funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico.

Orientador de Estágio Pedagógico do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática).

ISBN 978-989-97839-0-4

9 789899 783904

ISBN 978-989-97839-0-4

Edição dE autor

Obra em 4 volumes (Não é permitida a venda em separado)

PVP (4 Volumes)

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