Congruncia entre TringulosDois tringulos (ou de forma geral, duas figuras planas) so congruentes quando tm a mesma forma e as mesmas dimenses, ou seja, o mesmo tamanho. J a semelhana entre tringulos, objeto do artigo, aborda o conceito mais amplo onde se tem tringulos com a mesma forma, mas no necessariamente com o mesmo tamanho. Em outras palavras, congruncia um caso particular de semelhana entre tringulos no sentido de que se dois tringulos so congruentes necessariamente eles so semelhantes, mas o contrrio no verdadeiro, como voc observar daqui em diante.

Definio de Semelhana entre TringulosDizemos que dois tringulos so semelhantes se, e somente se, possuem seus trs ngulos ordenadamente congruentes e os lados homlogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.

Traduzindo a definio em smbolos:

Observe que as trs primeiras expresses entre os parntesis indicam a congruncia ordenada dos ngulos e a ltima a proporcionalidade dos lados homlogos. Em bom portugus, podemos, ainda, definir a semelhana entre tringulos atravs da frase: dois tringulos so semelhantes se um pode ser obtido pela expanso uniforme do outro (caso deseje comprovar veja o programa em Java descrito abaixo).

Razo de SemelhanaDenominamos o nmero real k, que satisfaz as igualdades abaixo entre os lados homlogos, como a razo de semelhana dos tringulos:

Para uma idia melhor dos conceitos acima sugiro uma visita ao programa em Java de Karlos Gomes. A imagem inicial da pgina apresentada a seguir, onde temos dois tringulos entre um feixe de trs retas com origem no ponto C. Ao arrastar o tringulo rosa para cima ou para baixo, o ponto em vermelho no segmento de reta indica o valor da razo de semelhana correspondente. Ao colocar o tringulo rosa exatamente sobre o verde voc observar que a razo de semelhana igual a 1, como era de se esperar (voc sabe dizer o significado deste fato?). O nico problema que o programa demora a carregar. Tenha um pouco de pacincia, e espere, vale a pena. Aps, por favor, retorne a este artigo :-).

ExemploDados os tringulos ABC e DEF semelhantes com as medidas dos lados indicadas abaixo, calcule as medidas dos lados e e d do segundo tringulo.

Soluo: Como os tringulos so semelhantes por hiptese, vem, pela razo de semelhana, que: c = kf => k = c/f => k = 4/8 = 1/2 De forma anloga: a = kd => 8 = (1/2)d => d = 16 b = ke => 6 =(1/2)e => e = 12

Propriedadesa) Reflexiva: Todo tringulo semelhante a si prprio.

b) Simtrica: Se um tringulo semelhante a um outro, este semelhante ao primeiro.

c) Transitiva: Se um tringulo semelhante a um segundo e este semelhante a um terceiro, ento o primeiro semelhante ao terceiro.

Teorema FundamentalSe uma reta paralela a um dos lados de um tringulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, ento o tringulo que ela determina semelhante ao primeiro.

A demonstrao do Teorema Fundamental feita a partir do Teorema de Tales, que por sua vez pode ser demonstrado a partir dos critrios de semelhana definidos abaixo (fica como exerccio). Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, ento a razo entre dois segmentos quaisquer de uma igual razo entre os segmentos correspondentes na outra.

Demonstrao do Teorema Fundamental: A demonstrao da congruncia dos ngulos dos tringulos ABC e ADE (figura abaixo) decorre do fato de que ngulos correspondentes determinados por duas paralelas so congruentes. Assim, o ngulo B congruente ao D e o ngulo C congruente ao E. Como o ngulo A comum aos dois tringulos conclumos a primeira parte da demonstrao.

Pelo Teorema de Tales temos que: m(AD)/m(AB) = m(AE)/m(AC) [1]

Por E construmos a reta EF paralela a BD, conforme indicado na figura acima. Do paralelogramo BDEF temos que m(DE) = m(BF). E, novamente, pelo Teorema de Tales: m(AE)/m(AC) = m(BF)/m(BC) => m(AE)/m(AC) = m(DE)/m(BC) [2] De [1] e [2] vem que os lados homlogos so proporcionais, o que conclui a demonstrao. Observao: Nos termos do tipo m(AE), utlizados acima, imagine uma barra sobre AE para se ter a notao correta conforme indicado anteriormente.

Critrios de Semelhana de TringulosCritrio AA => ngulo-ngulo: Se dois tringulos tm dois ngulos internos correspondentes congruentes, ento os tringulos so semelhantes. Demonstrao:

No caso dos dois tringulos serem congruentes, nada h a demonstrar, pois por definio de congruncia os tringulos so necessariamente semelhantes. Suponhamos, ento, como indicado na figura, o tringulo ABC maior que o tringulo DEF e construamos o tringulo AGH tal que a medida do lado AG seja igual medida do lado DE, o ngulo G congruente ao ngulo E e H sobre o lado AC.

Alm disso, como o ngulo A congruente ao ngulo D, por hiptese, o tringulo AGH congruente ao tringulo DEF (critrio ALA da congruncia entre tringulos) e portanto semelhantes. Por outro lado, pelo Teorema Fundamental, temos que o tringulo AGH semelhante ao tringulo ABC, j que o lado GH paralelo ao lado BC. E, finalmente, como o tringulo ABC semelhante ao tringulo AGH, e AGH, por sua vez, semelhante a DEF, conclumos, pela propriedade transitiva, que o tringulo ABC semelhante ao tringulo DEF.

As demonstraes dos demais critrios ficam como exerccio. Critrio AAA => ngulo-ngulo-ngulo: Se os ngulos de um tringulo forem respectivamente congruentes aos ngulos correspondentes de outro tringulo, ento os tringulos so semelhantes. Critrio LAL => Lado-ngulo-Lado: Se as medidas de dois dos lados de um tringulo so proporcionais aos homlogos do outro tringulo e os ngulos determinados por estes lados so congruentes, ento os tringulos so semelhantes. Critrio LLL => Lado-Lado-Lado: Se as medidas dos lados de um tringulo so respectivamente proporcionais s medidas dos lados correspondentes de outro tringulo, ento os tringulos so semelhantes.

Temos que dois tringulos so congruentes: Quando seus elementos (lados e ngulos) determinam a congruncia entre os tringulos. Quando dois tringulos determinam a congruncia entre seus elementos. Casos de congruncia: 1 LAL (lado, ngulo, lado): dois lados congruentes e ngulos formados tambm congruentes.

2 LLL (lado, lado, lado): trs lados congruentes.

3 ALA (ngulo, lado, ngulo): dois ngulos congruentes e lado entre os ngulos congruente.

4 LAA (lado, ngulo, ngulo): congruncia do ngulo adjacente ao lado, e congruncia do ngulo oposto ao lado.

Atravs das definies de congruncia de tringulos podemos chegar s propriedades geomtricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse mtodo damos o nome de demonstrao. Dizemos que em todo tringulo issceles, os ngulos opostos aos lados congruentes so congruentes. Os ngulos da base de um tringulo issceles so congruentes. ngulos congruentes A congruncia entre ngulos uma noo primitiva. Dizemos que dois ngulos so congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.

Na figura em anexo, temos que ABC e DEF so ngulos congruentes. Usamos a notao para denotar ngulos congruentes. Dois ngulos opostos pelo vrtice so sempre congruentes.

Medida de um ngulo A medida de um ngulo indicada por m(AB) um nmero real positivo associado ao ngulo de tal forma que satisfaz as segintes condies: 1. ngulos congruentes possuem medidas iguais e reciprocamente ngulos que possuem medidas iguais so congruentes. AB DF equivale a m(AB)=m(DF)

2. Quando afirmamos que um ngulo maior do que outro, sua medida maior do que a medida deste outro. Assim: AB>DF, equivale a m(AB) > m(DF) 3. A partir de dois ngulos dados, podemos obter um terceiro ngulo, cuja medida corresponde soma das medidas dos ngulos dados.

Se m(AB) a medida de AB e m(BC) a medida de BC, ento AC AB+BC. Alm disso: m(AC) = m(AB) + m(BC)

Unidades de medida de ngulos A unidade de medida de ngulo no Sistema Internacional o radiano e o processo para obter um radiano o seguinte: Tomamos um segmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e abertura OA, traamos um arco de circunferncia AB, sendo que B deve pertencer ao outro lado do ngulo AOB. Se o comprimento do arco for igual ao comprimento do segmento OA, diremos que este ngulo tem medida igual a 1 radiano (1 rad). Uma forma prtica de visualizar isto, tomar uma reta horizontal passando pelo centro de uma circunferncia (no importa a medida do raio). Indicamos o ponto A como uma das intersees da circunferncia com a reta horizontal. Tomamos um barbante com a mesma medida que o raio OA da circunferncia. Fixamos uma das extremidades do barbante sobre o ponto A e esticamos o barbante sobre a circunferncia. O ponto B coincidir com a outra

extremidade do barbante. Traamos ento o segmento de reta OB, que representa o outro lado do ngulo AOB. A medida do ngulo AOB 1 radiano. Uma outra unidade muito utilizada nos primeiros nveis educacionais o grau. Ela obtida pela diviso da circunferncia em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ngulo de um grau, sendo que a notao desta medida usa um pequeno o colocado como expoente do nmero, como 1. Exemplo: Em geral, associa-se um nmero a um ngulo estabelecendo a razo entre este ngulo e outro ngulo tomado como unidade.

Por exemplo, se um ngulo com 1 radiano de medida for considerado um ngulo unitrio, ento o ngulo =6 tem a medida 6 vezes maior, isto , tem 6 unidades de medida. Pergunta: Voc conhece a razo pela qual o crculo dividido em 360 partes? Leia as notas histricas que seguem.

Notas histricas sobre o grau e o radiano Acerca de elementos geomtricos relacionados com a Astronomia pouco se conhece. Sabese que Aristarco props um sistema que tinha o Sol como centro pelo menos 1500 antes de Coprnico, no entanto este material histrico se perdeu na noite do tempo. O que ficou, do ponto de vista histrico foi um tratado escrito por volta de 260 a.C. envolvendo tamanhos e distncia do Sol e da Lua. A diviso do crculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e no existe qualquer razo cientfica. Talvez exista uma razo histrica que justifique a existncia de tal nmero no contexto de estudos do povo babilnio, que viveu entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de terrenos pantanosos e construes de cidades e tinha interesse pela Astronomia assim como pela sua relao com conceitos religiosos (eram politeistas) e para viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numerao com base 60 (sistema hexagesimal). No se sabe ao certo quais as razes pelas quais, foi escolhido o nmero 360 para se dividir a circunferncia, sabe-se apenas que o nmero 60 um dos menores nmeros menores do que 100 que possui uma grande quantidade de divisores distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razo forte pela qual este nmero tenha sido adotado. O primeiro astrnomo grego a dividir o crculo em 360 partes foi Hipsicles (180 a. C.), seguido pelos caldeus. Por volta de 150 a. C. encontramos uma generalizao de Hiparco para este procedimento. Dividir um crculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os especialistas daquela poca e possvel que se tenha usado o nmero 60 para representar 1/6 do total que passou a ser 360.

Outro fato que pode ter influenciado na escolha do nmero 360 que o movimento de translao da Terra em volta do Sol se realizava em um perodo de aproximadamente 360 dias, o que era uma estimativa razovel para a poca. Hiparco mediu a durao do ano com grande exatido ao obter 365,2467 dias, sendo que atualmente esta medida corresponde a 365,2222 dias. Nosso entendimento que o sistema sexagesimal (base 60) tenha influenciado a escolha da diviso do crculo em 360 partes iguais, assim como a diviso de cada uma dessas partes em 60 partes menores e tambm na diviso de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores. Uma garantia para isto que os babilnios usavam fraes com potncias de 60 no denominador. As fraes sexagesimais babilnicas, usadas em tradues rabes de Ptolomeu, eram traduzidas como:"primeiras menores partes" = sexagsimos "segundas menores partes" = sexagsimos de sexagsimos

Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi a lngua internacional dos intelectuais por muito tempo, passamos a ter:"primeiras menores partes" = partes minutae primae "segundas menores partes" = partes minutae secundae

de onde apareceram as palavras minuto e segundo. De um modo popular, usamos a unidade de medida de ngulo com graus, minutos e segundos. Na verdade a unidade de medida de ngulo do Sistema Internacional o radiano, que foi uma unidade alternativa criada pelo matemtico Thomas Muir e o fsico James T. Thomson, de uma forma independente. Na verdade o termo radian apareceu pela primeira vez num trabalho de Thomson em 1873. Em 1884, muitos cientistas ainda no usavam este termo. Outros termos para o radiano eram: Pi-medida, circular ou medida arcual, o que mostra a forma lenta como uma unidade implementada ao longo do tempo.

Alguns ngulos especiais

Com relao s suas medidas, os ngulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso. ngulo agudo Caractersticas ngulo cuja medida maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao lado temos um ngulo de 45 graus. Grfico

Um ngulo reto um ngulo cuja medida exatamente reto 90. Assim os seus lados esto localizados em retas perpendiculares. um ngulo cuja medida est entre 90 graus e 180 obtuso graus. Na figura ao lado temos o exemplo de um ngulo obtuso de 135 graus. ngulo que mede exatamente 180, os seus lados so raso semi-retas opostas. Neste caso os seus lados esto localizados sobre uma mesma reta. O ngulo reto (90) provavelmente o ngulo mais importante, pois o mesmo encontrado em inmeras aplicaes prticas, como no encontro de uma parede com o cho, os ps de uma mesa em relao ao seu tampo, caixas de papelo, esquadrias de janelas, etc... Um ngulo de 360 graus o ngulo que completa o crculo. Aps esta volta completa este ngulo coincide com o ngulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 ).

Observao: possvel obter ngulos maiores do que 360 mas os lados destes ngulos coincidiro com os lados dos ngulos menores do que 360 na medida que ultrapassa 360. Para obter tais ngulos basta subtrair 360 do ngulo at que este seja menor do que 360.