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Conjunto Ortogonal de Vetores

Processo de Ortogonalizacao de Gram-Schmidt

Seja V um espaco vetorial de dimensao finita, com produto in-terno 〈, 〉. Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base qualquer de V.Sejam

I w1 = v1;

I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;

I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉

〈w2,w2〉w2;

I . . .;

I wn = vn − 〈vn,w1〉〈w1,w1〉w1 − . . .− 〈vn,wn−1〉

〈wn−1,wn−1〉wn−1.

I B′ = {w1, w2, . . . , wn} e uma base ortogonal.

I w1 = v1;

I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;

I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉

〈w2,w2〉w2;

I . . .;

〈wn−1,wn−1〉wn−1.

I w1 = v1;

I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;

I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉

〈w2,w2〉w2;

I . . .;

〈wn−1,wn−1〉wn−1.

I w1 = v1;

I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;

I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉

〈w2,w2〉w2;

I . . .;

〈wn−1,wn−1〉wn−1.

I w1 = v1;

I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;

I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉

〈w2,w2〉w2;

I . . .;

〈wn−1,wn−1〉wn−1.

I w1 = v1;

I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;

I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉

〈w2,w2〉w2;

I . . .;

〈wn−1,wn−1〉wn−1.

I w1 = v1;

I w2 = v2 − 〈v2,w1〉〈w1,w1〉w1;

I w3 = v3 − 〈v3,w1〉〈w1,w1〉w1 − 〈v3,w2〉

〈w2,w2〉w2;

I . . .;

〈wn−1,wn−1〉wn−1.

Exemplo

I Base de R4: B = {v1, v2, v3, v4} comv1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 1, 1) ev4 = (0, 1, 0, 1).

I Processo de ortogonalizacao de Gram-Schmidt:

I w1 = (1, 1, 0, 0);

I w2 =(−1

2 ,12 , 1, 0

I w3 =(13 ,−

13 , 1

I w4 =(−1

2 ,12 ,−

I B′ = {w1, w2, w3, w4}.

Exemplo

I w1 = (1, 1, 0, 0);

I w2 =(−1

2 ,12 , 1, 0

I w3 =(13 ,−

13 , 1

I w4 =(−1

2 ,12 ,−

I B′ = {w1, w2, w3, w4}.

Exemplo

I w1 = (1, 1, 0, 0);

I w2 =(−1

2 ,12 , 1, 0

I w3 =(13 ,−

13 , 1

I w4 =(−1

2 ,12 ,−

I B′ = {w1, w2, w3, w4}.

Exemplo

I w1 = (1, 1, 0, 0);

I w2 =(−1

2 ,12 , 1, 0

I w3 =(13 ,−

13 , 1

I w4 =(−1

2 ,12 ,−

I B′ = {w1, w2, w3, w4}.

Exemplo

I w1 = (1, 1, 0, 0);

I w2 =(−1

2 ,12 , 1, 0

I w3 =(13 ,−

13 , 1

I w4 =(−1

2 ,12 ,−

I B′ = {w1, w2, w3, w4}.

Exemplo

I w1 = (1, 1, 0, 0);

I w2 =(−1

2 ,12 , 1, 0

I w3 =(13 ,−

13 , 1

I w4 =(−1

2 ,12 ,−

I B′ = {w1, w2, w3, w4}.

Exemplo

I w1 = (1, 1, 0, 0);

I w2 =(−1

2 ,12 , 1, 0

I w3 =(13 ,−

13 , 1

I w4 =(−1

2 ,12 ,−

I B′ = {w1, w2, w3, w4}.

Propriedades

Sejam V, B e B′ como descritos acima. Sao validas as seguintespropriedades.

I B′ e uma base ortogonal de V.

I Para todo i = 1, . . . , n, [v1, v2, . . . , vi] = [w1, w2, . . . , wi].

I Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos

B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}

Propriedades

B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}

Propriedades

B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}

Propriedades

B′′ = {w1/ |w1| , . . . , wn/ |wn|}

Conjuntos Ortogonais

Definicao

Sejam S1 e S2 subconjuntos nao vazios de um espaco vetorialV com produto interno 〈, 〉. Dizemos que S1 e ortogonal a S2,representado por S1⊥S2, se qualquer vetor v1 ∈ S1 e ortogonal aqualquer vetor v2 ∈ S2, isto e, se 〈v1, v2〉 = 0 para todos v1 ∈ S1

e v2 ∈ S2.

Exemplo

Os conjuntos

S1 = {(−2, 1, 2,−2), (−4, 2, 0, 0), (0, 0, 1,−1)}

eS2 = {(1, 2, 0, 0), (3, 6, 1, 1)}

sao ortogonais com relacao ao produto interno usual de R4.

Definicao

Sejam S1 e S2 subconjuntos nao vazios de um espaco vetorialV com produto interno 〈, 〉. Dizemos que S1 e ortogonal a S2,representado por S1⊥S2, se qualquer vetor v1 ∈ S1 e ortogonal aqualquer vetor v2 ∈ S2, isto e, se 〈v1, v2〉 = 0 para todos v1 ∈ S1

e v2 ∈ S2.

Exemplo

Os conjuntos

S1 = {(−2, 1, 2,−2), (−4, 2, 0, 0), (0, 0, 1,−1)}

eS2 = {(1, 2, 0, 0), (3, 6, 1, 1)}

sao ortogonais com relacao ao produto interno usual de R4.

Propriedade

Sejam V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉 e B ={v1, . . . , vn} uma base de um subespaco S de V. Se um vetoru ∈ V e ortogonal a todos os vetores da base B, entao u e ortogo-nal a qualquer vetor de S. Dizemos, neste caso, que u e ortogonala S e representamos tal fato por u⊥S.

Complemento Ortogonal

Definicao

Sejam V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉 e S umsubespaco vetorial de V. O conjunto

S⊥ = {v ∈ V ; v⊥S}

dos vetores de V que sao ortogonais a S e denominado comple-mento ortogonal de S.

Exemplo 1

Seja V = R3 com o produto interno usual. Seja S = {(x, y, z) ; x+y = 0}. Entao,

S⊥ = {(x, y, z) ; x− y = 0, z = 0}.

Definicao

Sejam V um espaco vetorial com produto interno 〈, 〉 e S umsubespaco vetorial de V. O conjunto

S⊥ = {v ∈ V ; v⊥S}

dos vetores de V que sao ortogonais a S e denominado comple-mento ortogonal de S.

Exemplo 1

Seja V = R3 com o produto interno usual. Seja S = {(x, y, z) ; x+y = 0}. Entao,

S⊥ = {(x, y, z) ; x− y = 0, z = 0}.

Exemplo 2

Seja V = R3 com o produto interno dado por

〈(x1, y1, z1), (x2, y2, z2)〉 = 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + 2y1y2 + z1z2.

Seja S = {(x, y, z) ; x + y = 0}. Entao, S⊥ = {(x, y, z) ; x− y =0, z = 0}.

Propriedade

Seja S um subespaco vetorial de um espaco vetorial V com pro-duto interno. Entao,

1. S⊥ e um subespaco vetorial de V;

2. V = S ⊕ S⊥.

Propriedade

Seja S um subespaco vetorial de um espaco vetorial V com pro-duto interno. Entao,

1. S⊥ e um subespaco vetorial de V;

2. V = S ⊕ S⊥.

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