Conteudo__Funcao_1grau2008

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA CENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN

Planalto Norte

2.3. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU.

Definição:

Uma função é chamada de função do 1º grau (ou função afim) se sua sentença for dada por f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais com a 0.

x é a variável independente.y = f(x) é a variável que dependente de x.

Função Afim: f(x) = ax + b

a > 0 f(x) = ax + b a < 0 f(x) = - ax + b

y = 2x + 1

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-2 -1 0 1 2 3 4

x

y

- A função é crescente, pois a > 0;

- A constante a é chamada de coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a um aumento do valor de x;

- A constante b é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, o ponto de intersecção da reta com o eixo y;

- Zero da função é o valor de x para qual a função se anula.

f(x) = 0 x = ;

- Estudo do sinal: f(x) = 0

f(x) < 0 f(x) > 0 x

f(x) < 0 imagem negativaf(x) = 0 imagem nulaf(x) > 0 imagem positiva

y = -x + 2

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4x

y

- A função é decrescente, pois a < 0;

- Coeficiente angular é a = -1;

- Coeficiente linear é b = 2;

- Zero da função é 2, pois –x + 2 = 0 -x = - 2 .(-1) x = 2

S = {2}- Estudo do sinal:

f(x) < 0 {x R | x > 2}f(x) = 0 {x R | x = 2}f(x) > 0 {x R | x < 2}

- - - - - - -

+++++++

2x

1


Planalto Norte

Função Linear: f(x) = ax

a > 0 a < 0

y = 3x

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -1 0 1 2 3 4 x

y

- A função é crescente, pois a > 0;

- Coeficiente angular é a = 3;

- Coeficiente linear é b = 0 (neste caso);

- Zero da função é 0;

- Estudo do sinal:

f(x) < 0 {x R | x < 0}f(x) = 0 {x R | x = 0}f(x) > 0 {x R | x > 0}

y = -3x

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4

x

y

- A função é decrescente, pois a < 0;

- Coeficiente angular é a = - 3;

- Coeficiente linear é b = 0;

- Zero da função é 0;

- Estudo do sinal:

f(x) < 0 {x R | x > 0}f(x) = 0 {x R | x = 0}f(x) > 0 {x R | x < 0}

Função Constante f(x) = b

- - - - - - -

+++++++

0x

- - - - -

+++++++

0x

2


Planalto Norte

y = 4

0

1

2

3

4

5

-2 -1 0 1 2 3 4

x

y

- A função é constante, pois a = 0, com isso, não a inclinação;

- Coeficiente angular é 0, pois a = 0;

- Coeficiente linear é b = 4; - Não temos Zero da função:

- Não temos Estudo do sinal.

Gráficos de funções afins:

Podemos perceber que as funções f, g e h possuem o mesmo coeficiente angular:

f(x) = 2x + 3 a = 2g(x) = 2x a = 2h(x) = 2x - 3 a = 2

Então, as funções têm como gráfico retas paralelas.

Definição:

Se f: IR IR é tal que f(x) = ax + b e g: IR IR é tal que g(x) = a’x + b’, segue

a = a’ e b b’ as retas serão paralelas.

Podemos perceber que as funções f e g possuem o mesmo coeficiente angular e mesmo coeficiente linear:

3

Funções com o mesmo coeficiente angular

f(x) = 2x + 3

g(x) = 2x

h(x) = 2x - 3

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

Funções de mesmo coeficiente angular e mesmo coeficiente linear

f(x) = x - 3

g(x) = x - 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y


Planalto Norte

f(x) = x - 3 a = 1 e b = 3g(x) = x - 3 a = 1 e b = 3

Então, as funções têm como gráfico retas coincidentes.

Definição:


a = a’ e b = b’ as retas serão coincidentes.

Podemos perceber que as funções f e g possuem o coeficiente angular diferente:

f(x) = 2x - 6 a = 2g(x) = x - 3 a = 1

Então, as funções têm como gráfico retas concorrentes, ou seja, possuem um só ponto em comum P(3, 0).

Definição:


a a’ as retas serão concorrentes.

Exemplos a serem resolvidos na sala de aula:

1) Obter uma função a partir dos pontos A(1, 2) e B(2, 7), ou seja, f(1) = 2 e f(2) = 7.

2) Determinar o ponto de intersecção das funções f(x) = 4x e g(x) = 50 + 2x.

3) Seja f a função afim definida por f(x) = 3x – 2 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja reta correspondente passa por (-1, 2) e é paralela à reta r.

Exercícios – Função polinomial do 1º grau – Lista 3

1) Identifique as funções f: IR IR abaixo em afim, linear, identidade e constante:a) f(x) = 5x + 2 e) f(x) = -x + 3

4

Funções de mesmo coeficiente angular diferentes

f(x) = 2x - 6

y = x - 3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y


Planalto Norte

b) e) f(x) = f) f(x) =

c) f(x) = 7 g) f(x) = xd) f(x) = 3x h) f(x) = 2 – 4x

2) Dada a função f(x) = -2x + 3, determine f(1).

3) dada a função f(x) = 4x + 5, determine f(x) = 7.

4) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que:a) f(1) = 5 e f(-3) = - 7 b) f(-1) = 7 e f(2) = 1 c) f(1) = 5 e f(-2) = - 4

5) Estude a variação de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes funções do 1º grau: a) f(x) = x + 5 e) f(x) = - 5xb) f(x) = -3x + 9 f) f(x) = 4xc) f(x) = 2 – 3xd) f(x) = -2x + 10

6) Considere a função f: IR IR definida por f(x) = 5x – 3 determine:a) verifique se a função é crescente ou decrescente b) o zero da função;c) o ponto onde a função intersecta o eixo y;d) o gráfico da função;e) faça o estudo do sinal;

7) A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (-2, -63) e (5, 0). Determine essa função e calcule f(16).

8) Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) e verifique:a) Se a função é crescente ou decrescente;b) A raiz da função;c) o gráfico da função;d) Calcule f(-1).

9) Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção dessas retas:

a) f(x) = -2x + 5 e g(x) = 2x + 5b) f(x) = 5x e g(x) = 2x – 6c) f(x) = 4x e g(x) = -x + 3

10) Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender cada unidade por $ 5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda:

a) Qual a lei dessa função f;b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso?c) Para que valores de x haverá um lucro de $ 315,00?d) Para que valores de x o lucro será maior que $ 280,00?

11) Encontre o zero da função das seguintes equações de 1º Grau:a) 13(2x – 3) – 5(2 – x) = 5(-3 + 6x)

b)

12) Dada a função afim f(x) = - 2x + 3, determine:a) f(1) =b) f(0) =

5


Planalto Norte

13) Dada a função afim f(x) = 2x + 3, determine os valores de x para que:a) f(x) = 1b) f(x) = 0

c) f(x) =

14) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas:a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças.b) calcule o custo para 100 peças.

15) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se interceptem no ponto (1, 6).

16) Seja f a função afim definida por f(x) = - 4x + 1 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g cuja reta correspondente passa por (1, - 1) e é paralela à reta r.

Respostas:

1) afim, afim, constante, linear, afim, linear, identidade, afim.2) 1 3) ½ 4) a. f(x) = 3x + 2 b. f(x) = - 2x + 5 c. f(x) = 3x + 2

5) a. ]-5, [, x = -5, ]- , -5[ b. ]- , 3[, x = 3, ]3, [ c. ]- , [, x = , ] , [ d. ]- , 5[, x = 5, ]5, [

e. ]- , 0[, x = 0, ]0, [ f. ]0, [, x = 0, ]- , 0[

6) a. crescente b. x = 3/5 c. b = - 3 e. ] , [, x = , ]- , [

7) f(x) = 9x – 45, f(16) = 99

8) f(x) = a. crescente b. x = - 8 d. f(-1) =

10) a. f(x) = 5x – 230 b. para x < 46 c. para x = 109 d. para x > 102

11) a. {34} b.

12) a.1 b. 3 c. d. 4

13) a. -1 b. c.

14) a. C(x) = 8 + 0,5x b. R$ 58,0015) a = 2 e b = 5 16) g(x) = -4x + 3

6


Planalto Norte

Aos interessados: - Matemática, contexto aplicações. Luiz Roberto Dante, Volume 1 e 3

- Cálculo, Função de uma e várias variáveis. Pedro A. Morrettin. Editora Saraiva

-3

0,6 x

y

0

f(x) = 5x - 3

6. d.

-8

4

x

y

0

f(x) =

8. c.

-2,5

(0, 5)

x

y

0

f(x) = 2x + 5

9. a.

f(x) = -2x + 5

2,5

3

(-2, -10)

x

y

0

9. b.

-6

f(x) = 5x

3

(0,6; 2,4)

x

y

09. c.

3

f(x) = 4x

f(x) =- x + 3

7

f(x) = 2x - 6

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