CONVECÇÃO INTERNA -...
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Escoamentos Internos
GeometriasTubos circulares (líquidos) – suportam ∆p
Canais anulares
Canais de seção transversal não-circular (ar) baixo ∆p
Canais entre placas paralelas
Escoamentos confinados por superfícies em
que as camadas-limite não podem se
desenvolver livremente
Geometria conveniente para o aquecimento e
o resfriamento de fluidos usados em
processos químicos, no controle ambiental e
em tecnologia de conversão de energia
VELOCIDADE MÉDIA
trA trtrm dA)r(uAum
tr
trm
A
dA)r(uu trA
er
0rdr)r(u
r
2u
2e
m
-Usada para encontrar a velocidade média, um, conhecendo o perfil de
velocidade, u(r), em uma posição axial x
- um é constante para escoamento incompressível quando área da
seção transversal do tubo, Atr, é constante: um ≈ u∞
um
umax
u=0
idealizada
real
TEMPERATURA MÉDIA
trA trpmp dA)r(u)r(TcTcmq
er
0rdr)r(u)r(T
ru
2T
2em
m
p2
em
pm
c)r(u
rdr2)r(u)r(TcT trA
trA trtrm dA)r(uAum
- Tm do fluido muda durante o aquecimento ou resfriamento
real
idealizada
Laminar
Turbulento
Escoamento Interno: considerações fluidodinâmicas
- Região de entrada
- Região plenamente
desenvolvida
Região de entrada hidrodinâmica
Região de escoamento plenamente
desenvolvido
Perfil em desenvolvimento Perfil desenvolvidoCamada limiteRegião sem efeitos viscosos
(núcleo)
um um um um um
Número de Reynolds:Parâmetro de similaridade fluidodinâmica
velocidade média na seção transversal
Para tubos circulares
DuRe m
Perfil desenvolvido
Regime de escoamento e comprimento de entrada hidrodinâmico
Regime Laminar Regime Turbulento
10000Re
Região de entrada hidrodinâmica
Região de plenamente desenvolvida
hidrodinamicamente
Camada limite de
velocidade
Desenvolvimento do
perfil
Região de escoamento
irrotacional (núcleo)
um umumumum
Xcd,v
Camada limite: região do escoamento onde os efeitos da força de
cisalhamento viscoso, causados pela viscosidade do fluido, são sentidos
Comprimentos de entrada hidrodinâmico
Em muitos casos o escoamento torna-se turbulento para
Re > 4000
Ao projetar redes de tubulações e determinar potência de
bombeamento é considerada esta condição.
Transição:
o escoamento alterna entre laminar e turbulento
aleatoriamente
A transição do laminar para o turbulento depende do grau de
perturbação do escoamento pela rugosidade superficial,
vibrações do tubo, flutuações do escoamento.
Escoamento Interno: considerações térmicas
-Laminar
-Turbulento
-Região desenvolvida
termicamente
-Região de entrada
-Fluxo de calor prescrito
-Temperatura prescrita
Camada limite
térmica
Perfil de temperatura
Região termicamente
desenvolvidaRegião de entrada térmica
Xcd,t
Regime Laminar Regime Turbulento
Condições na superfície
q” constante Ts constante
Temperatura do fluido, Tm
Temperatura da parede,Ts
qs
qs
Tm
Ts
Comprimentos de entrada térmico
T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts T∞ Ts
Lei de resfriamento de Newton
)TT(hq ms
Tm aumenta se Ts>Tm
Tm diminui se Ts<Tm
Escoamento plenamente desenvolvido
Condições fluidodinâmicas
Perfil de velocidades é constante
Condições térmicas
Perfil de temperatura varia com x (energia continua a ser adicionada
ou removida do fluido na região termicamente desenvolvida e, portanto, a temperatura
do fluido deve mudar para que a energia se conserve)
Ts constante no sentido do escoamento
Tm varia, pois se constante dTm/dx=0 e NÃO há TC
Definindo uma forma adimensional de
temperatura:
0))x(T)x(T(
))x,r(T)x(T(
x ms
s
)TT(
)TT(
ms
s
Assim a forma relativa do perfil adimensional permanece
inalterada na região plenamente desenvolvida:
Esta condição é atingida em um tubo no qual há
q”=constante ou Ts=constante
)x(fTT
r/T
)TT(
)TT(
r ms
err
errms
s
Na parede
Independe de x
=T
r
No escoamento termicamente desenvolvido: o coeficiente local h e o
coeficiente de atrito f (que está relacionado com a tensão de viscosa na
parede) são constantes, independentes de x
rerms
r
Tk)TT(hq
)TT(
)r/T(kh
ms
rer
Região de
entradaRegião
desenvolvidaNa entrada do tubo onde a espessura da c.l. é menor:
h e são altos p e q” são altos
Na região plenamente desenvolvida os valores decrescem
O efeito da região de entrada é sempre aumentar f e h
para o tubo inteiro, significativo para tubos curtos e
desprezível para os longos
h/k não varia com x
Região
desenvolvida
C.L. Térmica
C.L. Velocidade
)TT(cmA"qq ent,msai,mps
)TT(h"q ms
Na região desenvolvida Ts aumenta, Tm aumenta, h é constante
então Ts-Tm= T=constante
)Pdx("qdTcm mp
p
ms
p
m
cm
P)TT(hcte
cm
P"q
dx
dT
Para fluxo térmico constante
Tm,ent Tm,sai
q” constante
Gradiente de temperatura
No escoamento completamente desenvolvido em um tubo submetido a
um q” constante na superfície, o dT/dx (gradiente de temperatura)
independe de x e, portanto, a forma do perfil de temperatura não se
altera ao longo do tubo
p
m
cm
P"q
dx
dT
Integrando desde x=0, tem-se que:
xcm
P"qT)x(T
pent,mm
Para q” constante
Exemplo 8.2
Tm varia linearmente com x
h
"qTT ms )TT(h"q ms
Para temperatura de superfície constante
Do balanço:
Pdx)TT(hdTcm
dA"qdTcm
msmp
smp
)TmTs(ddTm
TmTsT
Pdx)TmTs(h)TmTs(dcm p
Se
dxcm
hP
T
)T(d
p
x
0p
hdxcm
P
T
TdT
Te
pcm
xhP
e,TmTs
)x(,TmTsln
pcm
xhPexp)e,TmTs(Ts)x(Tm
(Ts - Tm) diminui exponencialmente na
direção do escoamento
Ts
Te
Tm,s
Tm,e
Definindo o coeficiente convectivo médio: x
0hdx
x
1h
Tm,e Tm,s
(1)
(2)
Limite: independente de
aumentar L (ou As) a TC
não aumenta
Indica oportunidades de troca,
conforme aumenta L (ou As)
Tm,eTm,s
Tm,s (ºC)NUT=hAs/mcp
NUT número de unidades de transferência = número adimensional que
relaciona a condutância térmica do processo com a capacidade térmica do
fluido em escoamento
É um parâmetro que transmite a relação benefício/custo da transferência de
calor por convecção
)NUTexp(cm
Ahexp
TT
s,TmT
p
s
e,ms
s
p
s
cm
AhNUT
Taxa de calor, q
Exemplo 8.1 – Çengel e 8.3 - Incropera
Da Eq. (1)
(3)
Substituindo na Eq. (3)
onde
Te
Tln(
TeTTml
mls TAhq ou (4) (5)
mlT Diferença de temperatura
média logarítmica
1. Quando um fluido escoa externamente ao tubo:
- Em vez de Ts, tem-se T∞ e U (coeficiente global de transferência de
calor) no lugar do h
sai,m
ent,m
sai,ment,mml
TT
TTln
)TT()TT(UATUAq
2. Para trocadores de calor com dois fluidos trocando calor:
Fluido quente (Tm,e e Tm,s) transferindo calor ao fluido frio (tm,e e tm,s)
s,ms,m
e,me,m
s,ms,me,me,mml
tT
tTln
)tT()tT(UATUAq
Regime laminar
Solução para: Escoamento permanente de um fluido incompressível com
propriedades constantes na região plenamente desenvolvida
Dividindo todos os termos por 2drdx, multiplicando
por (-1) e aplicando limite quando dx e dr tendem a
zero, tem-se:
- equação do movimento obtida aplicando um balanço de forças em um volume
diferencial perfil de velocidades fator de atrito
0τAτApApAdrrrrrdxxoxo
rdrπ2Ao
rdxπ2Ar
drrrdxxx )τrdxπ2()τrdxπ2()rdrPπ2()rdrPπ2(
0dr
)τr(d
dx
dpr
Regime laminar: velocidade média
u(r)rdr
- Na superfície r=R, u=0
- umax é na linha de centro r=0 e
umax=2um
Regime laminar:
Perda de pressão e fator de atrito
Perda de pressão determina a potência da bomba ou do ventilador
2/u
D)dx/dp(f
2
m
Fator de atrito de Darcy (ou de
Moody)
Coeficiente de atrito ou fator de atrito
de Fanning
2/u
dr/du
2/uC
2
m
2
m
sf
4/fCf
2/u
D)dx/dp(f
2
m
DuRe m
D
Reum
2
m
R
8udx/dp
Re
64f
D2
uf)dx/dp(
2
mIntegrando )xx(
D2
ufp 12
2
m
/mppW Potência de
bombeamento
dx
dp
μ8
Ru
2
m
• Laminar plenamente
desenvolvido
• Circular
Regime Laminar:
Perfil de temperatura, temperatura média e número de
Nusselt
Substituindo a , dividindo por (2rdrdx), aplicando
limite e introduzindo a equação da condução:
r
Tr
rr
α
x
Tu
m
0qqTcmTcm drrrdxxpxp
A taxa de energia líquida transferida para o volume de controle por fluxo
de massa é igual a taxa líquida do calor conduzido na direção radial
31
Para a condição de fluxo de calor constante e
plenamente desenvolvido:
R
02
m
rdr)x,r(T)r(uRu
2)x(Tm
Combinando a lei de resfriamento de Newton: q”=h(Ts-Tm)
D
k
11
48h Ou 36,4
k
hDNu
Temperatura de superfície constante
Suposição de condução axial desprezível e substituindo o perfil de
velocidades e o gradiente axial de temperaturas, na equação da
energia.
Regime laminar - Região de entrada
Perfil de velocidade desenvolvido e
Perfil de temperatura em
desenvolvimento (xh < L e xt > L)
Re05,0D
xh
Nº de Nusselt local, NuD
para Ts constante e q” constante
Quando a diferença entre as temperaturas da superfície e do fluido
é grande, pode ser necessário considerar a variação na viscosidade
com a temperatura
b) Região de entrada em desenvolvimento
14,0
s
3/1
L
DPrRe86,1Nu
Válida para:
Ts constante
0,48 < Pr < 16.700
0,0044 < (/s) < 9,75
Nº de Nusselt médio, Nu
condição de temperatura de superfície constante (Hausen)
3/2Pr]Re)L/D[(04,01
PrRe)L/D(065,066,3Nu
35
Escoamento laminar com desenvolvimento simultâneo das
camadas limite (comprimento de entrada combinado, xh e xt > L)
Escoamentos turbulentos em tubos
• Dificuldade de lidar teoricamente com o escoamento.
• Maior parte das correlações para os coeficientes de atrito e
transferência de calor é baseada em estudos experimentais.
H3/2
f jPrSt2/C
4
fC
PrRe
NuSt
f
Usando a analogia de
Colburn
O número de
Stanton St
e
5/1Re184,0f
2)64,1ln(Re)79,0(f
ou
3/15/4 PrRe023,0Nu
)1(Pr)8/f(7,1207,1
PrRe)8/f(Nu
3/25,0
Petukov propôs uma correlação que reduz o erro a 10%, função do f:
0,5 ≤ Pr ≤ 2000
104 < Re < 5 x 106
Gnielinski (1976) modificou a correlação na forma:
Propriedades avaliadas na temperatura média da mistura: 2
TTT
sai,ment,m
Rugosidade na superfície influi o coeficiente convectivo
Para regime turbulento o fator de atrito depende da rugosidade
relativa, /D, e de Re
Para tubos novos:
fRe
51,2
7,3
D/log2
f
1
Ou aproximadamente
por:
Re
9,6
7,3
)D/(log8,1
f
1 11,1
44
2. Seja um tubo metálico de parede delgada, comprimento L=1m e diâmetro interno D=3
mm. Água entra no tubo a uma vazão mássica de 0,015kg/s e Tm,e = 97ºC.
(a) Qual a temperatura de saída da água (Tm,s) se a superfície do tubo é mantida a 27 ºC?
(b) Se uma camada com 0,5 mm de um isolante térmico com k=0,05 W/mK for aplicada
sobre o tubo e a sua superfície externa for mantida em 27 ºC, qual será a temperatura de
saída da água?
(c) Qual o coeficiente global de transferência de calor associado ao diâmetro interno?
1. O processo de esterilização de um produto farmacêutico é feito fazendo o produto passar
com velocidade de 0,2 m/s através de um tubo de aço inoxidável de 12,7 mm de diâmetro,
onde será aquecido de 25 a 75ºC. Um fluxo de calor uniforme é mantido por uma
resistência elétrica enrolada em torno da superfície externa do tubo. O tubo tem 10 m de
comprimento.
a) Qual a vazão mássica do produto? R: 0,0253 kg/s
b) Qual será o fluxo de calor necessário? R: 12682 W/m²
c) Se o fluido entra no tubo com um perfil de velocidade plenamente desenvolvido e um
perfil de temperatura uniforme, qual é a temperatura da superfície na saída do tubo e a uma
distância de 0,5 m da entrada?
R: Ts,s=151,96°C, Ts,x=0,5=51,46ºC (Tm(0,5)=27,5ºC)
Dados: As propriedades do produto são =1000 kg/m³, cp=4000 J/kgK, =2x10-3 kg/sm,
k=0,48 W/mK e Pr = 10