CoordenadasCoordenadas

Definição: Diz-se que uma base é ordenada se a ordem dos vetores é fixada.

Proposição: Dada uma base ordenada para o espaço vetorial, cada vetor dele é escrito de maneira única como combinação linear dos elementos dessa base.

CoordenadasCoordenadasDefinição: Dados uma base ordenada para um subespaço vetorial real e um vetor do subespaço, chamamos de coordenadas do vetor com relação à base, aos escalares únicos da combinação linear.

Notação: 1

2

....B

n

v

ExercíciosExercícios

Exercício 05: Dados os vetores abaixo, determine as coordenadas de cada um deles em relação às bases dadas em cada caso:

32,3, 1v R

1,1,1 , 1,1,0 , 1,1,0B

232 4v t t t P R

21, 1 , 1B t t

Mudança de BaseMudança de Base

Sejam e

duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial .

Dado um vetor , ele pode ser escrito das seguintes formas:

1 2, ,..., nB u u u = 1 2, ,..., nD w w w =

vV

1 1 2 2 ... 1n nv u u u

1 1 2 2 ... 2n nv w w w

Mudança de BaseMudança de Base

1

2 1...B

n

v

1

2 2...D

n

v

1 2, ,..., nB u u u = 1 2, ,..., nD w w w =

Mudança de BaseMudança de Base

Como B é base, cada vetor da base D pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base B, ou seja:

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...(3)

...........................................

...

n n

n n

n n n nn n

w u u u

w u u u

w u u u

Substituindo (3) em (2) temos:

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

... ...

... ...

n n

n n

n n n nn n

v u u u

u u u

u u u

1 1 2 2 ... 2n nv w w w

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...(3)

...........................................

...

n n

n n

n n n nn n

w u u u

w u u u

w u u u

Bases

1 2, ,..., nB u u u =

1 2, ,..., nD w w w =

Reagrupando (4) de modo a compará-lo com (1) temos:

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

... ... (4)

... ...

n n

n n

n n n nn n

v u u u

u u u

u u u

1 11 2 12 1 1

1 21 2 22 2 2

1 1 2 2

...

... ... (5)

... ...

n n

n n

n n n nn n

v u

u

u

1 2, ,..., nB u u u =

1 2, ,..., nD w w w = 1 1 2 2 ... 1n nv u u u

Bases

1 11 2 12 1 1

1 21 2 22 2 2

1 1 2 2

...

... ... 4

... ...

n n

n n

n n n nn n

v u

u

u

1 2, ,..., nB u u u =

1 2, ,..., nD w w w = 1 1 2 2 ... 1n nv u u u

Comparando os vetores de (1) e (4) temos:

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

.....

...... (6)

... ..... ..... ..... ..... ...

.....

n

n

n n n nn n

Bases

11 12 1

21 22 2

1 2

.....

.....

..... ..... ..... .....

.....

n

n

n n nn

1 ,

D

ijB i j n

M

1 2, ,..., nD w w w =

1 2, ,..., nB u u u =Assim de (6) temos:

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

.....

...... (6)

... ..... ..... ..... ..... ...

.....

n

n

n n n nn n

Coordenadas do vetor na

Base B

Coordenadas do vetor na

Base D

Matriz Mudança de Base de D para B

ExercícioExercício

01: Considere as bases ordenadas B e C, determine as três matrizes abaixo:

,B

CM CBM e

2, 1 , 3,4B

1,0 , 0,1C

.B C

C BM M

Bases Ordenadas

Base Canônica do Plano

Cartesiano

Proposição: Se a matriz de mudança da base para a base ordenada é a matriz dada por e a matriz de mudança da base para a base

é a matriz dada por

Então temos:

1 2, ,..., nB u u u V 1 2, ,..., nD w w w V

BDM

1 2, ,..., nD w w w V

1 2, ,..., nG v v v V DGM

B B D

G D GM M M

ObservaçõesObservações

1)

2)

3)

B nBIM

B B D

B D BM M M

1B D

D B

M M

ExercícioExercício

Exerc. 02: Determine a matriz mudança da base B para a base canônica C do espaço vetorial dado, e sua inversa, em cada caso:A)

B)

C)

1,1,1 , 1,1,0 , 1,1,0B

21, 1 , 1B t t

1 1 0 1 1 1 1 0, , ,

1 1 1 0 0 0 0 0B